北师大版数学高二-江苏省常州市西夏墅中学高中数学 复数的四则运算(1)教案 选修2-2

《复数的四则运算》教案[教学目标]：知识与技能：1、掌握复数代数形式的加法、减法及乘法运算及意义.2、理解并掌握共轭复数的概念.过程与方法：1、由实数的运算法则来研究复数的运算.2、通过师生之间、学生与学生之间的互相交流，使学生学会与别人共同学习.3、让学生学会运用类比推理研究数学问题，培养学生理性思维能力. 情感、态度与价值观：1、通过本节课的学习，能提高学生分析问题解决问题的能力.2、学生初步形成运用逻辑知识准确地表述数学问题的数学意识.[教学重点]：复数代数形式的加法、乘法运算.[教学难点]：复数代数形式的乘法运算.[教学过程]：一、自学质疑1、明确学习目标，揭示课题师：今天我们将要学习什么知识？（板书课题）我们知道实数有加、减、乘法等运算，且有运算律，请同学们回忆一下它们的运算法则是什么？（提问1-2个学生，师总结）师：那么复数应怎样进行加、减、乘法运算呢？你认为应怎样定义复数的加、减、乘法运算呢？运算律仍成立吗？交流导学案 [知识链接] .2、学生质疑师：通过预习，在你的学习过程中还有哪些问题没有解决？二、交流展示在交流过程中解决学生提出的疑问.1、交流学案（提问2-3位同学）通过学生的回答师总结如下：（1）复数加、减法的运算法则已知两复数1z ＝bi a +,2z ＝di c +,(a 、b 、c 、d ∈R)加法法则：i d b c a z z )()(21+++=+减法法则： i d b c a z z )()(21-+-=-结论：两个复数相加（减）即实部与实部、虚部与虚部分别相加（减）.注意：○1两个复数的和、差仍是一个复数. ○2复数的减法是加法的逆运算. ○3复数的加减法可类比多项式的加减法进行. 容易验证，复数的加减法满足交换律、结合律，即对任何1z 、2z 、3z ∈C ，有： 1221z z z z +=+)()(321321z z z z z z ++=++ .例1、 计算)94()52(31i i i +-++--）（ （由学生口头讲述，师板书）解：)94()52(31i i i +-++--）（=i )953()421(+--+--=i +-5（2）复数的乘法运算法则2))(bdi bci adi ac di c bi a +++=++（i ad bc bd ac )()(++-=注意：○1两个复数的积仍然是一个复数. ○2复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在运算过程中把2i 换成-1，然后实、虚部分别合并.容易验证，复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律，即对任何1z 、2z 、3z ∈C ，有： 1221z z z z =)()(321321z z z z z z =3121321)(z z z z z z z +=+例2、计算)31)(23)(2(i i i +----（由学生口头讲述，师板书）解：)31)(23)(2(i i i +----=)31)(8(i i +-+-=i 255-例3、 计算))((bi a bi a -+ （找2-3位学生板演，师总结）解：方法1；))((bi a bi a -+=222i b abi abi a -+-=222i b a -=22b a +方法2；))((bi a bi a -+=22b a - 一步到位注意：bi a +与bi a -两复数的特点.定义：实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数.复数bi a z +=的共轭复数记作z ，即 bi a z -=.三、互动探究1、小组讨论：○1 当a>0时，方程02=+a x 的解是 .○2 在复数集C 内，将22y x +分解因式为 .○3 设bi a z += ),(R b a ∈，那么=+z z ；=-z z . 2、交流、填写学案.四、精讲点拨○1复数的和、差、乘仍是一个复数. ○2复数的加、减及乘法可类比多项式的运算法则进行.五、矫正反馈学生依据本节课所学知识,矫正学案.六、迁移应用学生独立完成[巩固练习].复数的四则运算(一) 导学案、巩固案[学习目标]：1、掌握复数代数形式的四则运算法则.2、能进行复数代数形式的加法、减法、乘法运算.3、理解并掌握共轭复数的概念.4、学会运用类比推理研究数学问题，培养理性数学思维能力.[重点难点]：复数代数形式的加、减及乘法的运算.[知识链接]：1、复数加法的法则：设bi a z +=1,di c z +=2,)(R d c b a ∈、、、，则 .2、满足的运算律（用式子表示）（1）交换律： .（2）结合律： .3、复数减法的法则：设bi a z +=1,di c z +=2,)(R d c b a ∈、、、，则 . 总结： .4、复数的乘法法则：设bi a z +=1,di c z +=2,)(R d c b a ∈、、、，则 . 复数乘法满足的运算律（用式子表示）（1）交换律： .（2）结合律： .（3）分配律： .[基础练习]：(1).=--+-i i i 4)57()35( .(2).=+++----)71()2()42(i i i .(3).=+--++)65()43()21(i i i .(4).=+--)5)(32(i i .(5).=+++）i i i 3)(2)(1( . (6).=-++-++-)]()[()]()[(bi a b a bi a b a .(7).=-++++-)]())][(()[(bi a b a bi a b a .(8).复数bi a z +=,)(R b a ∈、,且0≠b ,若bz z 42-是:（1）实数 （2）纯虚数 （3）虚数；分别写出一组有序实数对)(b a 、．[学习小结]：1、复数的和、差、乘仍是一个 .2、复数的减法是 的逆运算.3、复数的加、减及乘法可类比 的运算法则进行.[互动探究]：1、 当a>0时，方程02=+a x 的解是 .2、 在复数集C 内，将22y x +分解因式为 .3、 设bi a z += ),(R b a ∈，那么=+z z ；=-z z .[学习反思]：1、归纳本节课学习的内容，你记住了哪些知识？2、在这节课的学习中，你还有哪些问题没有解决？[巩固练习]1、复数i -2的虚部是 .2、如果复数bi a +为实数0，则实数a = b = .3、如果i m m m z )1()1(2-++=为纯虚数，则实数m 的值为 .4、以12--i 的虚部为实部，以22i i +的实部为虚部的复数为 .5、已知M={1,2,(a 2-3a-1)+(a 2-5a-6)i},N={-1,3},M ∩N={3},则实数a = .6、如果1)(-=+x i y x ,求实数x ,y 的值及复数yi x z +=.7、如果i m m m )2()1(22-+->0,求实数m 的值.8、已知x 是实数，y 是纯虚数，且满足i y i y x -=-+-)3()12(,(1)求x ,y ；(2)若R y x ∈，,其余条件不变，求x ,y 的值；（3）若bi a x +=R b a ∈，(是虚数,R y ∈,其余条件不变，求虚数x 中实部与虚部间的关系.。

高中数学选修1,2《复数代数形式的四则运算》教案高中数学选修1-2《复数代数形式的四则运算》教案【一】教学准备教学目标知识与技能：掌握复数的四则运算;过程与方法：理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律情感态度与价值观：通过复数的四则运算学习与掌握，进一步理解复数引发学生对数学学习的兴趣，激起学生的探索求知欲望。

教学重难点熟练运用复数的加减法运算法则。

教学过程教学设计流程一、导入新课：复数的概念及其几何意义;二、推进新课：建立复数的概念之后，我们自然而然地要讨论复数系的各种运算问题。

设Z1 =a+bi, Z2 =c+di是任意两个复数，我们规定：1、复数的加法运算法则：Z1+Z2=(a+从)+(b+d)i2、复数的加法运算律：交换律：Z1+Z2=Z2+Z1结合律：Z1+Z2+Z3=Z1+(Z2+Z3)3、复数加法的几何意义:4、复数的减法运算法则: Z1-Z2=(a-c)+(b-d)i5、复数减法的几何意义:三、例题讲解例1：计算：(7-3i)+(-1-i)-(6+3i)课后小结复数的加法与减法的运算及几何意义课后习题课本习题 A组 1题、2题、3题.高中数学选修1-2《复数代数形式的四则运算》教案【二】教学目标：知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。

教学重点：复数代数形式的除法运算。

教学难点：对复数除法法则的运用。

教学过程：学生探究过程：1. 复数的加减法的几何意义是什么?2. 计算(1) (2) (3)3. 计算：(1) (2) (类比多项式的乘法引入复数的乘法)讲解新课：1.复数代数形式的乘法运算①.复数的乘法法则：。

5.2复数的四则运算一、教学目标：1、掌握复数的加法运算及意义；2.理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算。

二、教学重点：1.复数的代数形式的加、减运算及其几何意义2.复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念教学难点：1.加、减运算的几何意义2.乘除运算三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习准备：1. 与复数一一对应的有？2. 试判断下列复数14,72,6,,20,7,0,03i i i i i i +----在复平面中落在哪象限？并画出其对应的向量。

3. 同时用坐标和几何形式表示复数121472z i Z i =+=-与所对应的向量，并计算12OZ OZ +。

向量的加减运算满足何种法则？4. 类比向量坐标形式的加减运算，复数的加减运算如何？（二）、探析新课：1.复数的加法运算及几何意义①.复数的加法法则：12z a bi Z c di =+=+与，则12()()Z Z a c b d i +=+++。

例1．设R m ∈，复数-+++=m m m m z (221i m m z i )3(2,)152-+-=，若21z z +是虚数，求m 的取值范围．解：因为,)15(221i m m m m z -+++=,)3(22i m m z -+-=所以 i m m m m m m z z )]3()15[()22(221-+-+-++=+i m m m m m )152(2422--++--= 因为21z z +是虚数，所以,01522=/--m m 且.2-=/m 所以5=/m 3,-=/m 且).(2R m m ∈-=/②复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行（满足平行四边形、三角形法则）例2、如图在复平面上复数i ，1，4+2i 所应对的点分别是A 、B 、C ，求平行四边形ABCD 的顶点D 所对应的复数．解：由已知OC OB OA ,,分别对应复数i ，1，4+2i ，且-=-=OC BC OB OA BA ,OB ，所以向量BC BA 、所对应的复数分别为i i 231++-、，因为BC BA BD +=，所以向量BD 对应的复数为.32)23()1(i i i +=+++- 又因为BD OB OD +=，所以OD ，所对应的复数为.33)32(1i i +=++即点D 对应的复数为.33i +2、复数的减法及几何意义：类比实数，规定复数的减法运算是加法运算的逆运算,即若12Z Z Z +=，则Z 叫做21Z Z 减去的差,21Z Z Z =-记作。

[课题]：3.2复数的四则运算（1）教案[教学目标]： 理解复数代数形式的加法.减法.乘法运算法则 能运用运算律进行复数的加法.减法.乘法运算高考要求：B 级要求[教学重点]： 复数的加减法，乘法 [教学难点]： 复数的乘法[学法指导]： 类比多项式的加减法，乘法 [课前温故知新]：一、复习问题（1）：实数可以与i 进行四则运算吗？进行四则运算时，原有的加法. 乘法运算律仍然成立吗？ [课前预习导学]：二、问题情境。

问题（2）：由x x x -=-++3)41()32(类比猜想，能否按同样的法则实施复数的加法？例如：i i i -=-++3)41()32(是否合理？问题（3）：任意两个复数按照怎样的法则进行四则运算呢？[课堂学习研讨]：三、建构数学设di c z bi a z +=+=21,是任意两个复数， 复数的加法按照以下的法则进行：id b c a di c bi a )()()()(+++=+++问题（4）：两个复数的和仍是一个复数吗？ 问题（5）：复数的加法满足交换律 结合律吗？问题（6）：复数的减法可以作为复数的加法的逆运算吗？复数的减法按照以下的法则进行：id b c a di c bi a )()()()(-+-=+-+显然：两个复数的差仍是一个复数结论：两个复数相加（减）就是把实部与实部，虚部与虚部分别相加（减）复数的乘法按照以下的法则进行：2))((bdibci adi ac di c bi a +++=++ 即i ad bc bd ac di c bi a )()())((++-=++显然：两个复数的积仍是一个复数问题（7）：你能验证复数的乘法满足交换律. 结合律以及分配律吗？对任何有C z z z ∈321,,,1221z z z z = )()(321321z z z z z z = 3121321)(z z z z z z z +=+四、数学运用例1．计算：)94()52()31(i i i +-++--例2．计算：（1）)31)(23)(2(i i i +----（2）))((bi a bi a -+问题（8）：对例2．（1）你能先计算后两个复数的积吗？ 问题（9）：方程的解是什么？012=+x 当a>0 时，方程02=+a x 的解是什么？问题（10）：在复数集内，你能将22yx +分解因式吗？问题（11）：什么是共轭复数？实数的共轭复数有什么特点？[课后训练巩固]：1计算：（1）)2)(43()23()36(i i i i +---++-（2）()[][]i b a b a i b a b a )()()(-++-++-2．在复数范围内，写出下列方程的根（1）14=x （2）01692=+x[课后拓展延伸]：已知的值和求）并满足（212122121,643,z z i i z z z z z z -=∙-+=[课后反思总结]：城西高二数学（理科）随堂练NO ：2 --- 3.2复数的四则运算（1）班级 姓名一．填空题（每题10分）1．若复数z 满足)23)(1(22i i i z -+=++，则z= 2．若i21+是方程),(02R b a b ax x ∈=++的一个根，则a= ,b= , 3．若=-=∙+∈z i z z z C z 则,421,二．解答题（每题10分）4．计算：)2321)(2123(i i +-+5．已知复数z 满足的值求z i z z ,3324+=+。

2 复数的四则运算-北师大版高中数学必修第二册（2019版）教案教学目标1.理解复数的概念和运算规则。

2.掌握复数的加减乘除四则运算。

3.能够用复数形式表示求解二次方程等实际问题。

教学重点1.复数的加减乘除四则运算。

2.复数的乘法公式。

教学难点1.复数的除法运算。

2.复数可视为平面向量的表示方法。

教学过程一、引入1.复数的引入：让学生回忆复数的定义和概念，并引出复数的四则运算。

2.运算规则的引入：通过复数计算的实例，引入复数的加减乘除四则运算，重点讲解复数的乘法公式。

二、理论探究1.复数的定义：引导学生理解含有虚数单位 i 的数称为复数，让学生能够举一些实例如3+4i表示一个复数。

2.复数的运算规则：通过对复数的运算规律的分析，介绍复数的加减乘除四则运算法则和正则式。

三、实际应用1.求解二次方程：通过引入学生在小学阶段学习过的关于一元二次方程的思路，让学生理解变量的模式，同时引导学生理解方程有根、无根和重根的概念。

2.发现规律：通过一些实例，让学生发现关于复数的运算规律，在此过程中，复习之前学过的平方公式等运算法则。

教学方法1.交互式教学法：在理论探究和实际应用的过程中，加强师生互动，鼓励学生提出问题和自己的理解。

2.演示法：运用具体实例和图形，帮助学生更好地理解复数的定义和运算规则。

3.合作学习法：在课堂中组织学生进行讨论、合作、探究，促进学生学习效果的提高。

教学评价与讲解1.教学评价：在教学过程中，及时收集学生思维卡片，了解学生对于复数和运算规则的掌握情况，并根据学生的反馈，及时调整教学策略，提高教学效果。

2.讲解：在讲解中注意事例的举证和图形的演示，让学生更加具体的理解复数和运算规则，并在讲解中，保持良好的教学态度和表现力。

总结在本次复数的四则运算教学中，通过引入、理论探究和实际应用三个环节的分别进行，让学生在具体的实例和案例中，深入学习复数的概念和运算规则，充分挖掘学生的学习兴趣，发掘学生的思维潜能，从而让学生能够更好地掌握数学知识，提高学生成绩。

§2复数的四则运算4.2．1复数的加法与减法●三维目标1．知识与技能(1)能够用复数代数形式的加法与减法法则求两个复数的和与差．(2)了解复数加法的交换律、结合律．2．过程与方法通过学习，使学生进一步理解算法与算理，提高对运算法则合理性的认识．3．情感、态度与价值观通过对复数运算的学习，培养学生严密的推理能力、准确的计算能力．●重点难点重点：能准确地进行复数的加、减运算．难点：对复数加、减运算的算法与算理的理解．复数的加、减运算法则都是作为规定给出的．因此，在教学中，要引导学生领会：为什么这样定义；要引导学生思考：当b＝0，d＝0时，与实数的加减法则一致吗？这样可加深学生对复数加、减法则的理解．认识规定的客观性，从而突出重点．为了突破难点，要引导学生在练习中领会加、减运算的算法与算理，从而提高运算能力．●教学建议1．在讲复数加、减运算的定义时，可以先要求学生思考为什么这样定义，研讨之后，通过下面验证、比较的方法，使学生逐渐理解这个规定的合理性．(1)当b＝0，d＝0时，与实数加、减法则是一致的．(2)验证实数加法运算的交换律、结合律在复数集C中仍然成立．2．对于复数加、减运算的教学，在运算时要引导学生注意算法的设计以及每一步都要有依据，即算理，培养学生严密的推理能力、准确的计算能力．●教学流程温故知新：回顾复数的代数形式，定义复数的加减⇒复数加、减运算定义的合理性⇒应用示例及演练体会复数加、减运算法则的应用⇒归纳总结，深化认识复数的加法与减法1．一个复数z ＝a ＋b i 与复平面内的向量OZ →＝(a ，b )是一一对应的吗？ 【提示】 是．2．由向量的加、减法法则，如何得到复数的加、减法法则？【提示】 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，其中a ，b ，c ，d 都是实数，则复数z 1，z 2对应的向量OZ 1→＝(a ，b )，OZ 2→＝(c ，d )．∴OZ →＝OZ 1→±OZ 2→＝(a ±c ，b ±d )，又OZ →应是z 1±z 2对应的向量，则z 1±z 2＝(a ±c )＋(b ±d )i. 1．复数的加法与减法运算法则设a ＋b i 和c ＋d i 是任意两个复数，我们定义复数的加法、减法如下： (a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ， (a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i.即两个复数相加减就是实部与实部、虚部与虚部分别相加减，其结果仍然是一个复数． 2．复数加法的运算律复数加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C 有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3).复数的加、减运算计算：(1)(3－2i)＋(－4－i)－(3＋4i)；(2)(－1＋2i)＋(1－2i)；(3)2i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]；(4)(a＋b i)－(2a－3b i)－3i(a，b∈R)．【思路探究】本例考查复数的加、减运算，掌握复数的加、减运算法则，并进行正确计算．【自主解答】(1)原式＝(3－4－3)＋(－2－1－4)i＝－4－7i.(2)原式＝(－1＋1)＋(2－2)i＝0.(3)原式＝2i－(4＋i)＝－4＋i.(4)原式＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i＝－a＋(4b－3)i.复数代数形式的加、减法运算，其运算法则是对它们的实部与虚部分别进行加、减运算．在运算过程中应注意把握每一个复数的实部和虚部．这种运算类似于初中的合并同类项，但在具体运算中要注意以下两点：(1)若有括号，括号优先；若无括号，可从左到右依次进行．(2)算式中出现字母时，首先确定其是否为实数，再提取各复数的实部与虚部，将它们分别相加减．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)，设z1－z2＝13－2i，求z1，z2.【解】∵z1－z2＝(3x＋y)＋(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]＝[(3x＋y)－(4y－2x)]＋[(y－4x)＋(5x＋3y)]i＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i ， ∴(5x －3y )＋(x ＋4y )i ＝13－2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得x ＝2，y ＝－1. ∴z 1＝5－9i ，z 2＝－8－7i.复数加、减法的几何意义复数z 1＝1＋2i ，z 2＝－2＋i ，z 3＝－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．【思路探究】 利用数形结合思想解题，由AD →＝BC →或者AB →＝DC →求出点D 对应的复数．或利用正方形是中心对称图形，即利用正方形的两条对角线交点是其对称中心求解．【自主解答】 法一 设复数z 1，z 2，z 3所对应的点分别为A ，B ，C ，正方形的第四个顶点D 对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )，则AD →＝OD →－OA →＝(x ，y )－(1,2)＝(x －1，y －2)，BC →＝OC →－OB →＝(－1，－2)－(－2,1)＝(1，－3)． ∵AD →＝BC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝1，y －2＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，故点D 对应的复数为2－i.法二 如图，设复数z 1，z 2，z 3所对应的点分别为A ，B ，C ，正方形的第四个顶点D 对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )，∵点A 与点C 关于原点对称，∴原点O 为正方形的中心．∴点O 也是点B 与点D 的中点，于是有(－2＋i)＋(x ＋y i)＝0， ∴x ＝2，y ＝－1，故点D 对应的复数为2－i.1．解法二利用正方形是中心对称图形，数形结合解题思路巧妙． 2．复数加、减法的几何意义： (1)复数加法的几何意义复数z 1＋z 2是以OZ 1→和OZ 2→为两邻边的平行四边形对角线OZ →所对应的复数． (2)复数减法的几何意义复数z 1－z 2是连接向量OZ 1→，OZ 2→的终点，并指向被减向量的向量Z 2Z 1→所对应的复数． (3)复平面内两点间的距离公式d ＝|z 1－z 2|(其中z 1，z 2是复平面内两点Z 1和Z 2所对应的复数，d 为Z 1和Z 2的距离)．4.2．2复数的乘法与除法●三维目标1．知识与技能(1)能够运用复数代数形式的乘法与除法法则求两个复数的积与商．(2)了解复数的乘法的交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．2．过程与方法通过学习，使学生进一步理解算法与算理，提高对运算法则合理性的认识．3．情感、态度与价值观通过对复数运算的学习，培养学生严密的推理能力、准确的计算能力．●重点难点重点：能准确进行复数的乘、除运算．难点：对复数四则运算的算法与算理的理解．教学中，要引导学生进行类比，将复数的乘法与多项式的乘法进行类比，将复数的乘、除运算之间的关系与实数的乘、除运算之间的关系进行类比，将复数的除法与实数的分母有理化进行类比．在类比中，领会复数乘除法的算法与算理．(教师用书独具)●教学建议1．在教学中应向学生指明：复数的乘法，可按多项式相乘的方法进行，不必专记公式．2．学习共轭复数时，首先要求学生明确共轭复数的概念，其次必须注意共轭复数的性质，即z·z＝|z|2＝|z|2＝a2＋b2∈R.合理地运用这个结论，及时进行虚、实的转换，有时可以简化计算．3．关于复数的四则运算，应避免繁琐的计算和过分的技巧，突出基本方法和基本技能的应用，突出运算中的求简原则．4．对于i的正整数幂i m的运算，要引导学生发现i m结果的周期性．●教学流程类比引入：类比多项式的乘法定义复数的乘法⇒复数乘法所满足的运算律⇒应用示例，感悟复数乘法法则及运算律的用法⇒定义共轭复数，探究其性质⇒定义复数的除法⇒应用示例，感悟复数除法的运算方法⇒归纳总结，深化认识课标解读1.理解复数代数形式的乘、除运算的运算法则(重点)．2．能利用乘、除运算法则进行计算与化简(难点)． 3．理解共轭复数的概念(重点).复数的乘法与除法1．若规定复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法满足分配律，试计算(a ＋b i)(c ＋d i)，其中a ，b ，c ，d 都是实数．【提示】 (a ＋b i)(c ＋d i)＝a (c ＋d i)＋(b i)(c ＋d i)＝ac ＋ad i ＋bc i ＋bd i 2＝ac ＋ad i ＋bc i －bd ＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.2．根据复数的除法是乘法的逆运算，求a ＋b i c ＋d i ，其中a ，b ，c ，d 都是实数，且c ＋d i ≠0.【提示】 设(c ＋d i)(x ＋y i)＝a ＋b i(x ，y ∈R )，则(cx －dy )＋(cy ＋dx )i ＝a ＋b i.根据复数相等的定义，⎩⎪⎨⎪⎧cx －dy ＝a ，cy ＋dx ＝b ，解得x ＝ac ＋bd c 2＋d 2，y ＝bc －adc 2＋d 2，∴a ＋b ic ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i. 1．复数的乘法(1)定义：(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i. (2)运算律1，z 2，z 3∈C ，有交换律 z 1·z 2＝z 2·z 1 结合律 (z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3) 乘法对加法 的分配律z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3②复数的乘方对任意复数z ，z 1，z 2和正整数m ，n ，有z m ·z n ＝z m ＋n ，(z m )n ＝z mn ，(z 1z 2)n ＝z n 1z n2. 2．共轭复数当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这样的两个复数叫做互为共轭复数．复数z的共轭复数用z来表示，即当z＝a＋b i时，z＝a－b i.3．复数的除法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(c＋d i≠0)，则z1z2＝a＋b ic＋d i＝(ac＋bd)＋(bc－ad)ic2＋d2.复数的乘法计算：(1)(1＋i)(1－i)－(1＋i)2；(2)(1＋2i)(2＋3i)(3＋4i)．【思路探究】利用复数乘法的运算法则及运算律求解．【自主解答】(1)(1＋i)(1－i)－(1＋i)2＝1－i2－2i＝2－2i.(2)(1＋2i)(2＋3i)(3＋4i)＝(2＋3i＋4i＋6i2)(3＋4i)＝(－4＋7i)(3＋4i)＝－12－16i＋21i＋28i2＝－40＋5i.1．复数的乘法、乘方的运算法则类似于多项式的乘法和乘方运算．2．在进行乘方运算时，注意i的整数次幂的性质(i4k＋r＝i r，k，r∈Z)以及“(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i”的灵活运用，它们的作用在于简化解题过程．3．实数的乘法公式在复数集中仍然成立，应注意灵活运用它解决相关问题．。

高中数学 《复数的四则运算》教材解读教案 选修2-2一、数系的扩充和复数的概念1．复数的引入：回想数系的每一次扩充都主要来自两个方面：一方面数学本身发展的需要；另一方面由于实际的需要.而复数的引入属于前者．我们知道，方程210x +=在实数范围内无解，于是需引入新数i 使方程有解，显然，需要21i =-．数系的扩充过程：自然数集N 引入负数整数集Z 引入分数有理数集Q 引入无理数实数集R 引入虚数复数集C ．2．复数的代数形式：由实数的运算类似地得到新数i 可以同实数进行加、减、乘运算，于是得到：形如()a bi a b +∈R ，的数叫做复数，并且把()z a bi a b =+∈R ，的这一表现形式叫做复数的代数形式，其中的a 叫做复数的实部，b 叫复数的虚部．注意复数132i -的虚部是3-，而不是3i -．3．复数相等的充要条件a bi c di a c +=+⇔=且()b d a bcd =∈R ，，，注意事项：（1）复数a bi +(0)(0)(0)(0)a b bi a a bi b a bi a =⎧⎪=⎧⎨+≠⎨⎪+≠⎩⎩实数纯虚数虚数非纯虚数 （2）复数集C ⎧⎨⌝⎩R R 实数集虚数集 （3）两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数，则不能比较大小. 二、复数的几何意义1．复数可以用平面直角坐标系的点来唯一表示，于是：复数集{}a bi a b =+∈C R ，|与坐标系中的点集{}()|a b a b ∈R ，，，可以建立一一对应．2．建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.在复平面内，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，x 轴的单位是１，y 轴的单位是i ，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点(00)，对应复数0．于是有下面的一一对应关系：复数Z a bi =+复平面内的点()Z a b ，．3．由于平面向量与坐标平面的点一一对应，于是有：复数Z a bi =+一一对应平面向量OZ ．在这些意义下，我们就可以把复数z a bi =+说成点Z 或向量OZ ，这给研究复数运算的几何意义带来了方便．4．复数的模就是这个复数对应的向量的模，复数z a bi =+的模为22z a b =+．三、复数代数形式的四则运算1．复数的加法、减法①运算法则()()()()a bi c di a c b d i +±+=±+±．其运算法则类似于多项式的合并同类项②复数加法的运算律对于任意的123z z z ∈C ，，，有：交换律：1221z z z z +=+．结合律：123123()()z z z z z z ++=++．③复数加法的几何意义设1OZ ，2OZ 分别与复数a bi +，c di +对应，根据向量加法的平行四边形（三角形）法则，则有12OZ OZ OZ +=（如图1）．由平面向量的坐标运算：12()OZ OZ a c b d +=++，，即得OZ 与复数()()a c b d i +++对应．可见，复数的加法可以按向量加法的法则进行．④复数减法的几何意义设1OZ ，2OZ 分别与复数a bi +，c di +对应（如图2），根据向量加法的三角形法则有：2211OZ Z Z OZ +=．于是：1221OZ OZ Z Z -=．由平面向量的坐标运算：12()OZ OZ a c b d -=--，，即得21Z Z 与复数()()a c b d i -+-对应．于是得到向量的减法运算法则为：两个复数的差与连接两个向量的终点并指向被减数的向量相对应．2．复数代数形式的乘法运算①运算法则：()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++．两个复数相乘类似于两个多项式相乘，只是把2i 换为1-，并且把实部与虚部分别合并即可．②运算律：交换律：1221z z z z =··．结合律：123123()()z z z z z z =····．分配律：1231213()z z z z z z z +=+．③虚数i 的乘方及其规律：1i i =，21i =-，3i i =-，41i =，5i i =，61i =-，7i i =-，81i =，．可见，41n i i +=，421n i +=-，43n i i +=-，41()n i n *=∈N ，即i 具有周期性且最小正周期为4．④共轭复数a bi +与a bi -互为共轭复数，即当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．它的几何意义是：共轭的两个复数关于x 轴对称．主要用于复数的化简以及复数的除法运算.3．复数代数形式的除法运算运算法则：2222(0)a bi ac bd bc ad i c di c di c d c d ++-=++≠+++． 其实质是分母“实数化”，即分子以及分母同乘以分母的“实数化”因式．类似于以前所学的把分母“有理化”．。

Z 2 Z 1 Z O xy 复数的乘法与除法教学目的：1、掌握复数的加、减、乘、除四则运算及其运算律；理解复数加、减法的几何意义。

2、培养类比思想和逆向思维。

3、培养学生探索精神和良好的学习习惯。

教学重点：复数的加、减、乘、除四则运算及其运算律。

教学难点：运用类比思想由实数运算法则探究复数运算法则。

教学方法：类比法。

教学过程：一、复习引入复数的加法：设z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di(a,b,c,d ∈R)是任意两个复数，则它们和为z 1＋z 2＝(a ＋bi)＋(c ＋di)＝(a ＋c)＋(b ＋d)i复数的和仍然为一个复数，其实部为z 1、z 2的实部和，虚部为z 1、z 2的虚部和。

复数加法满足(1)交换律：z 1＋z 2＝z 2＋z 1；(2)结合律(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3) 复数的减法：(加法的逆运算)复数a ＋bi 减去复数c ＋di 的差是指满足(c ＋di)＋(x ＋yi)＝a ＋bi 的复数x ＋yi ，记作(a ＋bi)－(c ＋di)根据复数相等的定义：(a ＋bi)－(c ＋di)＝(a －c)＋(b －d)i复数的差仍然是一个复数，其实部为两个复数实部的差，虚部为两个复数虚部的差。

显然，减法不满足交换律和结合律。

复数加法的几何意义：复数可以用向量表示，复数加法的几何意义即为平行四边形法则。

证明思路1：设z 1＝a ＋bi 、z 2＝c ＋di 分别对应复平面上的点Z 1(a ，b)和Z 2(c ，d)，z ＝(a ＋c)＋(b ＋d) i 对应复平面上Z (a ＋c ，b ＋d)，证明OZ 1ZZ 2为平行四边形。

证明思路2：根据平行四边形法则求得点Z ，证明其坐标为(a ＋c ，b ＋d)。

1OZ ＋2OZ ＝ ＜＝＞ z 1＋z 2＝z复数减法的几何意义：复数减法的几何意义即为三角形法则。

1OZ －2OZ ＝12Z Z ＜＝＞ z 1－z 2＝z二、新课讲解1.复数的乘法：设z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di(a ，b ，c ，d ∈R)是任意两个复数，则它们积为z 1•z 2＝(a ＋bi) (c ＋di)＝(ac －bd)＋(bc ＋ad)i复数的积仍然为一个复数，复数的乘法与多项式的乘法相似。