感应电动势的电路分析与计算

高二物理法拉第电磁感应定律—感应电动势的大小学习重点1、掌握导体切割磁感线的情况下产生的感应电动势．2、掌握穿过闭合电路的磁通量变化时产生的感应电动势．3、了解平均感应电动势和感应电动势的瞬时值．4、会用法拉第电磁感应定律解决有关问题.知识要点一、感应电动势1、既然有感应电流，那么就一定存在电动势．我们把在电磁感应现象中产生的电动势称为感应电动势。

2、产生感应电动势的条件是：磁通量发生变化3、感应电动势就是电源电动势，是非静电力使电荷移动增加电势能的结果，电路中感应电流的强弱由感应电动势的大小E和电路总电阻决定，符合闭合电路欧姆定律。

二、感应电动势的大小与什么因素有关1、穿过闭合电路的磁通量变化的情况现象：将线圈与检流计相连，将条形磁铁用不同的速度插入或拔出，磁通量变化，产生感应电流。

速度越大(磁通量变化越快)，感应电流越大，感应电动势越大。

速度越小(磁通量变化越慢)，感应电流越小，感应电动势越小。

2、导体切割磁感线的情况现象：闭合回路中的一局部导体在磁场中切割磁感线，在其它条件不变的情况下，切割速度越快，感应电流越大，感应电动势越大。

上述两个实验现象说明，感应电动势的大小与磁通量变化的快慢有关。

磁通量变化越快，感应电动势越大，磁通量变化越慢，感应电动势越小。

三、法拉第电磁感应定律1、内容电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比。

2、表达式说明：当各物理量均取国际单位制，式中k＝l，即：假设线圈共有n匝，如此整个线圈的感应电动势为3、几点需要注意的地方〔1〕在法拉第电磁感应定律中，感应电动势E的大小不是跟磁通量成正比，也不是跟磁通量的变化量ΔΦ成正比，而是跟磁通量的变化率成正比。

〔2〕法拉第电磁感应定律反映的是在Δt时间内平均感应电动势。

只有当Δt趋近于零时，才是瞬时值。

当恒定时，平均感应电动势与瞬时值相等。

〔3〕当磁通量变化时，对于闭合电路一定有感应电流，假设电路不闭合，如此无感应电流，但仍然有感应电动势。

1.感应电动势大小的计算公式(1):E ＝tn ∆∆Φ〔任何条件下均适用；t ∆∆Φ为斜率，斜率的符号相同，表示感应电流的方向相同。

斜率的大小就表示感应电动势或感应电流的大小〕(2):E ＝tB nS ∆∆〔S 为有磁感线穿过的面积，适用于S 不变时；t B ∆∆为斜率，斜率的符号相同，表示感应电流的方向相同。

斜率的大小就表示感应电动势或感应电流的大小〕 (3):E ＝nBLV适用于导体棒垂直切割磁感线时；B 、L 和V 两两互相垂直，不垂直时，把B 或V 正交分解 L 为有效长度；切割的磁感线越多，E 就越大，切割的磁感线相同，E 就相同 B 为导体棒垂直切割处的磁感强度大小 B 可为非匀强磁场(4):E ＝nB 1L 1V 1 ± nB 2L 2V 2适用于两根以上导体棒垂直切割磁感线时，B 、L 和V 两两互相垂直，不垂直时，把B 或V 正交分解感应电流相互抵消时用减号L 为有效长度；切割的磁感线越多，E 就越大； B 为导体棒垂直切割处的磁感强度大小； B 可为非匀强磁场(5):E ＝ω221BL 用于导体一端固定以角速度ω旋转切割磁感线，ω单位必须用rad/s ；B 、L 和V 两两互相垂直，不垂直时，把B 或V 正交分解；L 为有效长度；切割的磁感线相同，E 就相同，切割的磁感线越多，E 就越大；； B 为导体棒垂直切割处的磁感强度大小； B 可为非匀强磁场(6):e= θωsin NBS = t NBS ωωsin 〔用于从中性面开始计时，即线圈垂直于磁感线开始计时〕e 为交流发电机的瞬时感应电动势〔V 〕； B 为匀强磁场(T)；S 为有磁感线穿过的面积(m 2)ω为线圈的角速度，其单位必须用rad/s ；450=4π rad ；5r/s(转/秒)=5⨯2π rad/s ω＝2πf 〔f 为交流电的频率〕θ为线圈和中性面的夹角〔rad 〕；线圈处于中性面时，Φ最大，感应电动势e=0应从切割磁感线的角度理解该公式，切割的磁感线越多，E 就越大；(7):e= βωcos NBS =t NBS ωωcos (从线圈平行于磁感线开始计时)e 为交流发电机的瞬时感应电动势〔V 〕； B 为匀强磁场(T)；S 为有磁感线穿过的面积(m 2)ω为线圈的角速度，其单位必须用rad/s ；300= 6π rad ；5r/s(转/秒)=5⨯2π rad/s ω＝2πf 〔f 为交流电的频率〕θ为线圈和磁感线的夹角〔rad 〕；线圈和中性面垂直时，即线圈和磁感线平行，Φ=0，感应电动势e 最大 应从切割磁感线的角度理解该公式，切割的磁感线越多，E 就越大；(8):E=U 外+Ir 〔适用条件：适用于任何电路；U 外为电源两端的电压〔即外电路的总电压〕，I 为总电流，r 为电源的内阻〕2：公式的推导：（1）:E = BLV (如右图)E=t n ∆∆Φ=n BLv tBLdvt d BL tBLdS d BL tt ===-+-+∆Φ-∆Φ)()(0 （2）:E=NBS ωsin θ(如右图)一矩形线圈绕oo ´轴转动〔t=0时，线圈处于中性面〕E=BL ad V ad sin θ + BL bc V bc sin θ E=BL ad ω21L ab sin θ + BL bc ω21L ab sin θE=21B ωS sin θ+ 21B ωS sin θ E=B ωS sin θ当线圈有N 匝时：E=NBS ωsin θθ=ωt∴ E=NBS ωsin ωt 即 e=NBS ωsin ωt3.磁通量:表示穿过某截面的磁感线数量，穿过的磁感线数量越多，磁通量越大；穿过的磁感线数量相同，磁通量就相同〔1〕：Φ＝BS 使用条件：B 和S 垂直时，S 为有磁感线穿过的面积(m 2) 〔2〕：Φ＝0 使用条件：B 和S 平行时〔3〕：当B 、S 既不平行也不垂直时，可以把B 拿来正交分解或把S 投影到B 的方向上，0<Φ<BS〔4〕：0Φ-Φ=∆Φt ，Φ是标量，但是它有正负，如：某线圈的磁通量为6 wb ，当它绕垂直于磁场的轴转过1800，此时磁通量为-6 wb ，在这一过程中，∆Φ=12 wb 而不是04：感应电动势E 与∆Φ的大小、B 的大小无关，E 与B 的变化快慢、∆Φ的变化快慢有关。

感应电动势的四种表达式一、法拉第电磁感应定律①表达式：tnE ∆∆=ϕ，其中为线圈匝数。

的大小与ϕ、ϕ∆无直接关系，与t ∆∆ϕ成正比，不管电路是否闭合，只要穿过电路的磁通量发生变化，就会产生感应电动势；若电路是闭合的，才会有感应电流产生。

②当由磁场的磁感应强度变化而产生时，tBnSt n E ∆∆=∆∆=ϕ；当由回路面积变化而产生时，t SnBt n E ∆∆=∆∆=ϕ；其中t B ∆∆、tS ∆∆恒定时，即磁场或回路面积均匀变化时，则产生的感应电动势是恒定的。

．穿过一个阻值为Ω，面积为 m 2的单匝闭合线圈的磁通量每秒均匀的减小 ，则线圈中．感应电动势每秒增加 ．感应电动势每秒减小 ．感应电动势为 ．感应电流为2 A ．（·全国）如图所示，匀强磁场的磁感应强度方向垂直于纸面向里，大小随时间的变化率为＝，为负的常量．用电阻率为ρ、横截面积为的硬导线做成一边长为的方框，将方框固定于纸面内，其右半部位于磁场区域中．求 （）导线中感应电流的大小．（）磁场对方框作用力的大小随时间的变化率．．如图，一个圆形线圈的匝数＝，线圈面积＝200cm,线圈的电阻为＝Ω，在线圈外接一个阻值＝Ω的电阻，电阻的一端与地相接，把线圈放入一个方向垂直线圈平面向里的匀强磁场中，磁感强度随时间变化规律如图－所示，求： （）从计时起在＝、＝时穿过线圈的磁通量是多少？二、导体切割磁感线产生的感应电动势导体切割磁感线产生的感应电动势的大小，跟磁感应强度、导线长度、运动速度成正比：＝。

公式的适用条件是匀强磁场、直导线、其中、、相互垂直。

若、、相互不垂直，应先求出互相垂直的分量再代入公式计算。

．如图所示，平行导轨间距为，一端跨接一个电阻（导轨电阻不计），匀强磁场的磁感应强度为，方向垂直于平行金属导轨所在的平面，一根金属棒与导轨成θ角放置，当金属棒沿垂直于棒的方向以恒定的速度在金属导轨上滑行时，通过电阻的电流强度是 ．RBdv ．R Bdv θsin ．θcos Bdv ．θsin R Bdv．如图所示，相距的两水平虚线和之间是方向水平向里的匀强磁场，磁感强度为，线框边长为（＜），质量为电阻为。

高中物理中关于感应电动势的计算公式有两个：E=△φ/△t和E= BLvsinθ。

对于这两个公式的真正物理含义及适用范围，有些学生模糊不清。

现就这一知识点做如下阐述。

（一）关于E=△φ/△t严格地说，E=△φ/△t不能确切反映法拉第电磁感应定律的物理含义。

教材中关于法拉第电磁感应定律是这样阐述的：电路中感应电动势的大小跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比。

而表达式△φ/△t所表示的物理意义应为：磁通变化量与发生此变化所用时间的比值，这与磁通变化率是不能等同的，只有在△t →0时，△φ/△t的物理意义才是磁通量的变化率。

由于中学阶段没有涉及微积分，故教材用E=△φ/△t 来表示法拉第电磁感应定律是完全可以的。

但必须清楚：用公式E=△φ/△t求得的感应电动势只能是一个平均值，而不是瞬时值。

因为△和△t 都是某一时间段内的对应量而不是某一时刻的对应量，所以直接用此公式求得的E为△t时间内产生的感应电动势的平均值。

（二）关于E=BLvsinθ公式E=BLvsinθ是由公式E=Δφ/Δt推导而来。

此公式适用于导体在匀强磁场中切割磁力线而产生感应电动势的情况，实质是由于导体的相对磁力线运动（切割磁力线），使回路所围面积发生变化，使得通过回路的磁通量发生变化从而产生感应电动势。

可以认为公式E=BLvsinθ 所表示的物理意义是法拉第电磁感应定律的一种特殊情况。

用此公式求得的E可为平均值也可为瞬时值：若v为某时间段内的平均速度，则求得的E为相应时间段内的平均感应电动势；若v为某时刻的瞬时速度，则求得的E为相应时刻的瞬时感应电动势。

一般用此公式来计算瞬时感应电动势。

（三）例题分析如图1，两根平行金属导轨固定在水平桌面上，每根导轨每米的电阻为r, 导轨的端点P、Q用电阻可忽略的导线相连，两道轨间距为L。

有随时间变化的匀强磁场垂直于桌面，已知磁感应强度B与时间t的关系为B=kt ( k为常数，且k＞0)，一电阻不计的金属杆可在导轨上无摩擦地滑动，在滑动过程中保持与导轨垂直。

电磁感应与电动势：电磁感应现象和电动势的计算电磁感应是指当磁通量通过一个电路时，该电路中产生感应电动势。

电动势可以通过电场力或磁场力的作用来产生。

在此文章中，我们将探讨电磁感应现象以及如何计算电动势。

电磁感应现象的重要性在于，它是电力工业中电能转换的基础。

例如，发电机利用电磁感应的原理将机械能转化为电能；变压器则利用电磁感应将电能从一个电路传输到另一个电路。

要理解电磁感应现象，我们首先需要了解磁通量和电路的概念。

磁通量是一个与磁场的强弱和面积有关的物理量。

当磁通量穿过一个闭合电路时，根据法拉第电磁感应定律，该电路中会产生感应电流。

感应电动势的计算可以使用法拉第的实验定律来完成。

根据法拉第的实验定律，感应电动势等于磁通量的变化率。

在数学上，这可以表示为：$\varepsilon = - \frac{{d\Phi}}{dt}$其中，$\varepsilon$表示感应电动势，$\Phi$表示磁通量，$t$表示时间。

负号表示感应电动势的方向与磁场变化的方向相反。

例如，考虑一个螺线管，当磁场的磁通量通过螺线管时，螺线管的两端将产生一个感应电动势。

如果磁通量以恒定的速率改变，感应电动势将保持恒定。

然而，如果磁通量的变化速率很大，感应电动势也会变大。

除了感应电流外，磁通量的变化还会引发涡流。

涡流是在金属中产生的环状电流。

由于涡流会消耗能量，所以需要尽量减少涡流的产生。

为了减少涡流的产生，可以使用屏蔽材料包裹导体，或者使用铁芯来引导磁场。

除了法拉第的实验定律之外，还有一些其他的计算感应电动势的方法。

例如，如果我们知道电路中的电阻和电流，可以使用欧姆定律和基尔霍夫电压定律来计算感应电动势。

但是，这些方法通常适用于简单的电路，对于复杂的电路，我们通常使用法拉第的实验定律。

总之，电磁感应是电力工业中电能转换的基础。

了解电磁感应现象和电动势的计算方法对于理解电力工业中的电路和设备非常重要。

希望通过本文的介绍，读者对电磁感应和电动势有了更深入的了解。

“感生电源”电路分析电磁感应现象从产生机理上讲，可分为“动生”与“感生”两类情形。

“感生”类型，是磁场随时间变化在其周围空间产生涡旋电场（或称感生电场），涡旋电场驱动所在空间导体内自由电荷定向移动，产生电磁感应现象。

尽管磁场区域有限，但涡旋电场区域无限，以致磁场内外导体都可能成为“感生电源”，产生感生电动势，从而电路变得复杂。

进行电路分析时要在深入理解的基础上，正确使用叠加定理和等效方法。

【例1】如图1所示，在一个半径为R 的圆柱形空间内，有指向纸里的匀强磁场，磁感应强度随时间均匀增强，设为k tB=∆∆。

再将一根长为2R 的细导体棒按图示位置放置，细导体棒延伸到磁场外，且使R bc ab ==，求细导体上a 、c 两端的电势差？解析：随时间变化的磁场在其周围空间产生的涡旋电场是非保守力场，不能引入“势”，即没有电势和电势差的概念。

但处在涡旋电场内的导体，因涡旋电场作用，自由电荷重新分布激发静电场。

静电场是保守力场，电势差是对导体上的静电场而言的。

当静电场和涡旋电场达到平衡时，导体两端电势差就等于其感生电动势。

延伸到磁场外的导体，该空间存在涡旋电场，只要涡旋电场沿导线方向的分量不为零，就会产生感生电动势。

在中学，求算感生电动势，可采取“虚拟回路法”运用法拉第电磁感应定律。

如图2，求算ab 段中的电动势，设想回路△Oab ，其中Oa 、Ob 段与涡旋电场垂直，电动势为零，故ab 段中的电动势就等于回路中的总电动势，即k R t B R t Oab ab 2214343=∆∆∙=∆∆==∆φεε 求算bc 段中的电动势，设想回路△Obc ，其中，Ob 、Oc 段与涡旋电场垂直，电动势为零，故bc 段中的电动势就等于该回路中的总电动势。

注意到回路△Obc 中磁场只分布在其扇形区域，故得：k R t B R t bc bc 222121121ππφεε=∆∆∙=∆∆==∆ 根据楞次定律知，导体中建立的静电场c 段电势高于a 端，故得BabcO ·图1BabcO图2k R U bc ab ac 21243)(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-=πεε点评：延伸到磁场外的导体，该空间也有涡旋电场，只要涡旋电场沿导线方向的分量不为零，也会产生感生电动势。

法一：请根据法拉第电磁感应定律推导如图所示，固定于水平面上的金属框架abcd ，处在竖直向下的匀强磁场中。

金属棒MN 沿框架以速度v 向右做匀速运动。

框架的ab 与dc 平行，bc 与ab 、dc 垂直。

MN 与bc 的长度均为l ，在运动过程中MN 始终与bc 平行，且与框架保持良好接触。

磁场的磁感应强度为B 。

t ΦE ∆∆=××××××××××a b ab因此得E=BLv Δф=BL v Δt 发电机模型法二：根据电动势的定义推导在上述情景中，金属棒MN相当于一个电源，这时的非静电力与棒中自由电子所受洛伦兹力有关。

当金属导体棒以速度v以垂直于磁场方向在磁场中运动时，金属导体棒上的自由电子将受到洛仑兹力的作用而延着洛仑兹力在导体棒方向上的分力而运动到导体的另一端。

其非静电力为电子受到的沿导体棒方向的洛仑兹力，且洛仑兹力f=eBv,电子在该洛仑兹力的作用下沿导体棒运动导体棒的另一端，非静电力做的功为W=fL由电动势的定义可知，导体棒上产生的电动势：E=W非/q三式联立可得导体棒上产生的电动势：E=BLv✧在磁场中运动的导体中自由电子所受的洛仑兹力。

洛仑兹力在这里起着电源内部非静电力的作用．✧以前曾学过，由于洛仑兹力总和电荷运动的方向垂直，所以洛仑兹力不做功．在这里又说洛仑兹力所做的功，似乎有些矛盾．✧分力f 所做正功，相当于非静电力搬运电荷做功，使其他形式的能转化为电能。

✧分力f′ 所做负功，所有电荷的这个分力相当于导体杆受到的安培力，这个安培力对导体棒做负功，使得导体棒的机械能减小。

✧综合来说，洛仑兹力F并不做功。

✧导体棒的能量来自于外界拉力做功获得的，而洛仑兹力起的是中介作用。

✧进一步理解“安培力对导体棒做负功”是把机械能转化为电能的说法。

法三：用微观受力分析的方法设外电路断开，导体棒中的自由电子随导体棒向右运动的速度为v ，受到沿导体棒向下的洛伦兹力分力f=evB 而向下移动，因此导体棒下端聚集负电荷，上端聚集正电荷，设导体棒两端形成的电压为U ，则自由电子还将受到电场力作用，随着自由电子的向下移动，电压逐渐升高，电场力逐渐增大，当沿导体棒的电场力与洛伦兹力平衡时，达到稳定电压时，Bev e L U =即U=BLv而外电路断开时，路端电压等于电动势，因此得电动势E =BLv法四：从功能关系的角度推导根据功能关系，拉力对系统作的功W F 等于系统产生的电能E 电在时间Δt 内，W F =Fv Δt=BILv Δt ，E 电=EI Δt 由E 电=W F ，EI Δt=BILv Δt ，因此E =BLv 外力的功率等于电路中电功率BILv =EI得到E =BLv。

导体切割磁感线产生感应电动势的计算1．公式E ＝BLv 的使用条件(1)匀强磁场．(2)B 、L 、v 三者相互垂直．(3)如不垂直，用公式E ＝BLv sin θ求解，θ为B 与v 方向间的夹角．2．“瞬时性”的理解若v 为瞬时速度，则E 为瞬时感应电动势．若v 为平均速度，则E 为平均感应电动势，即E ＝BL v . 3．切割的“有效长度”公式中的L 为有效切割长度，即导体与v 垂直的方向上的投影长度．图中有效长度分别为：4．“相对性”的理解E ＝BLv 中的速度v 是相对于磁场的速度，若磁场也运动，解决电磁感应中的电路问题三步曲1．确定电源．切割磁感线的导体或磁通量发生变化的回路将产生感应电动势，该导体或回路就相当于电源，利用E ＝n ΔΦΔt 或E ＝BLv sin θ求感应电动势的大小，利用右手定则或楞次定律判断电流方向．2．分析电路结构(内、外电路及外电路的串、并联关系)，画出等效电路图．3．利用电路规律求解．主要应用欧姆定律及串、并联电路的基本性质等列方程求解．1．如图所示，在一匀强磁场中有一U 型导线框bacd ，线框处于水平面内，磁场与线框平面垂直，R 为一电阻，ef 为垂直于ab 的一根导体杆，它可以在ab 、cd 上无摩擦地滑动，杆ef 及线框中导体的电阻都可不计．开始时，给ef 一个向右的初速度，则( ) A ．ef 将减速向右运动，但不是匀减速B ．ef 将匀减速向右运动，最后静止C ．ef 将匀速向右运动D ．ef 将做往复运动 解析：杆ef 向右运动，所受安培力F ＝BIl ＝Bl Bl v R ＝B 2l 2v R，方向向左，故杆做减速运动；v 减小，F 减小，杆做加速度逐渐减小的减速运动，A 正确．答案：A2、如图所示，金属杆ab 、cd 可以在光滑导轨PQ 和RS 上滑动，匀强磁场方向垂直纸面向里.当ab 、cd 分别以速度v 1和v 2滑动时，发现回路感生电流方向为逆时针方向，则v 1和v 2的大小、方向可能是A.v 1＞v 2，v 1向右，v 2向左 B .v 1＞v 2，v 1和v 2都向左C.v 1=v 2，v 1和v 2都向右D.v 1=v 2，v 1和v 2都向左3．(2014·无锡模拟)如图所示，在竖直向下的匀强磁场中，将一水平放置的金属棒ab 以水平初速度v 0抛出，设在整个过程棒的方向不变且不计空气阻力，则在金属棒运动过程中产生的感应电动势大小变化情况是( )A ．越来越大B ．越来越小C ．保持不变D ．无法判断解析：金属棒ab 切割磁感线，产生感应电动势而不产生感应电流，没有安培力产生，在重力作用下做平抛运动，垂直于磁感线方向速度不变，始终为v 0，由公式E ＝BL v 知，感应电动势为BL v 0不变，故A 、B 、D 错误，C 正确．答案：C4．如图所示，竖直平面内有一金属环，半径为a ，总电阻为R (指拉直时两端的电阻)，磁感应强度为B 的匀强磁场垂直穿过环平面，在环的最高点A 用铰链连接长度为2a 、电阻为R 2的导体棒AB ，AB 由水平位置紧贴环面摆下，当摆到竖直位置时，B 点的线速度为v ，则这时AB 两端的电压大小为( )A.Ba v 3B.Ba v 6 C .2Ba v 3 D ．Ba v 解析：摆在竖直位置时，AB 切割磁感线的瞬时感应电动势E ＝B ·2a ·12v ＝Ba v .由闭合电路欧姆定律得，U AB ＝E R 2＋R 4·R 4＝13Ba v ，故A 正确． 答案：A5、（10山东卷）21．(多选)如图所示，空间存在两个磁场，磁感应强度大小均为B ，方向相反且垂直纸面，MN 、PQ 为其边界，OO ′为其对称轴。