黑龙江省哈尔滨市2019-2020学年中考数学四模试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x ，则所列方程正确的为（ ）A ．1000（1+x ）2＝1000+440B ．1000（1+x ）2＝440C ．440（1+x ）2＝1000D ．1000（1+2x ）＝1000+4402．下列说法正确的是（ ）A ．某工厂质检员检测某批灯泡的使用寿命采用普查法B ．已知一组数据1，a ，4，4，9，它的平均数是4，则这组数据的方差是7.6C ．12名同学中有两人的出生月份相同是必然事件D ．在“等边三角形、正方形、等腰梯形、矩形、正六边形、正五边形”中，任取其中一个图形，恰好既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是133．某圆锥的主视图是一个边长为3cm 的等边三角形，那么这个圆锥的侧面积是（ ） A ．4.5πcm 2B ．3cm 2C ．4πcm 2D ．3πcm 24．已知圆内接正三角形的面积为33，则边心距是（ ） A ．2B ．1C ．3D ．325．已知方程2520x x -+=的两个解分别为1x 、2x ，则1212x x x x +-的值为（） A ．7-B ．3-C ．7D ．36．实数a b 、在数轴上的点的位置如图所示,则下列不等关系正确的是( )A ．a+b>0B ．a-b<0C ．a b<0 D ．2a >2b7．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm （1μm=0.000001m ）的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它们含有大量的有毒、有害物质，对人体健康和大气环境质量有很大危害．2.5μm 用科学记数法可表示为（ ） A ．52.510m -⨯ B ．70.2510m -⨯C ．62.510m -⨯D ．52510m -⨯8．已知A （，1y ），B （2，2y ）两点在双曲线32my x +=上，且12y y >，则m 的取 值范围是（ ） A ．m 0>B ．m 0<C ．3m 2>-D ．3m 2<-9．2014 年底，国务院召开了全国青少年校园足球工作会议，明确由教育部正式牵头负 责校园足球工作．2018 年2 月 1 日，教育部第三场新春系列发布会上，王登峰司长总结前三年的工作时提到：校园足球场地，目前全国校园里面有 5 万多块，到2020 年要达到85000 块．其中85000 用科学记数法可表示为（）A．0.85 ⨯ 105B．8.5 ⨯ 104C．85 ⨯ 10-3D．8.5 ⨯ 10-410．如图，A、B为⊙O上两点，D为弧AB的中点，C在弧AD上，且∠ACB=120°，DE⊥BC于E，若AC=DE，则BECE的值为（）A．3 B3C 33+D3111．化简：xx y--yx y+，结果正确的是（）A．1 B．2222x yx y+-C．x yx y-+D．22x y+12．《九章算术》中有这样一个问题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”题意为：今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其23的钱给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为x，乙的钱数为y，则列方程组为（）A．15022503x yy x⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩B．15022503y yx x⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩C．15022503x yy x⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩D．15022503y yx x⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．分解因式：a3b+2a2b2+ab3＝_____．14．如图，在△ABC中，BC=8，高AD=6，矩形EFGH的一边EF在边BC上，其余两个顶点G、H 分别在边AC、AB上，则矩形EFGH的面积最大值为_____．15．我国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，“一带一路”地区覆盖总人口约为4400000000人，将数据4400000000用科学记数法表示为______．16．关于x 的一元二次方程x 2+（2k+1）x+k 2+1=0有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是_____．17．化简：2222-2-2+1-121x x xx x x x -÷-+=_____. 18．如图，已知正六边形ABCDEF 的外接圆半径为2cm ，则正六边形的边心距是__________cm ．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，益阳市梓山湖中有一孤立小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB ，现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PD ，小张在小道上测得如下数据：AB=80.0米，∠PAB=38.1°，∠PBA=26.1．请帮助小张求出小桥PD 的长并确定小桥在小道上的位置．（以A ，B 为参照点，结果精确到0.1米） （参考数据：sin38.1°=0.62，cos38.1°=0.78，tan38.1°=0.80，sin26.1°=0.41，cos26.1°=0.89，tan26.1°=0.10）20．（6分）计算：101()2sin601tan60(2019)2π--+-+-o o ； 解方程：24(3)9x x x +=-21．（6分）问题探究（1）如图①，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，如果BC 边上存在点P ，使△APD 为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形△APD ，并求出此时BP 的长；（2）如图②，在△ABC 中，∠ABC=60°，BC=12，AD 是BC 边上的高，E 、F 分别为边AB 、AC 的中点，当AD=6时，BC 边上存在一点Q ，使∠EQF=90°，求此时BQ 的长； 问题解决（3）有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE ，山庄保卫人员想在线段CD 上选一点M 安装监控装置，用来监视边AB ，现只要使∠AMB 大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知∠A=∠E=∠D=90°，AB=270m ，AE=400m ，ED=285m ，CD=340m ，问在线段CD 上是否存在点M ，使∠AMB=60°？若存在，请求出符合条件的DM 的长，若不存在，请说明理由．22．（8分）小晗家客厅装有一种三位单极开关，分别控制着A(楼梯)、B(客厅)、C(走廊)三盏电灯，在正常情况下，小晗按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，既可三盏、两盏齐开，也可分别单盏开．因刚搬进新房不久，不熟悉情况．若小晗任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是多少？若任意按下一个开关后，再按下另两个开关中的一个，则正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明．23．（8分）已知：正方形ABCD 绕点A 顺时针旋转至正方形AEFG ，连接CE DF 、.如图，求证：CE DF ；如图，延长CB 交EF 于M ，延长FG 交CD 于N ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出如图中的四个角，使写出的每一个角的大小都等于旋转角.24．（10分）如图，已知A ，B 两点在数轴上，点A 表示的数为-10，OB=3OA ，点M 以每秒3个单位长度的速度从点A 向右运动．点N 以每秒2个单位长度的速度从点O 向右运动（点M 、点N 同时出发）数轴上点B 对应的数是______．经过几秒，点M 、点N 分别到原点O 的距离相等？25．（10分） 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣12x 2+bx+c （a≠0）与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴直线x ＝32交x 轴于点D ．（1）求抛物线的解析式；（2）点E 是线段BC 上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，交x 轴于点G ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时E 点的坐标；（3）在（2）的条件下，将线段FG绕点G顺时针旋转一个角α（0°＜α＜90°），在旋转过程中，设线段FG与抛物线交于点N，在线段GB上是否存在点P，使得以P、N、G为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．26．（12分）为支持农村经济建设，某玉米种子公司对某种种子的销售价格规定如下：每千克的价格为a 元，如果一次购买2千克以上的种子，超过2千克部分的种子价格打8折，某农户对购买量和付款金额这两个变量的对应关系用列表做了分析，并绘制出了函数图象，如图所示，其中函数图象中A点的左边为（2,10），请你结合表格和图象，回答问题：购买量x（千克） 1 1.5 2 2.5 3付款金额y（元） a 7.5 10 12 b（1）由表格得：a= ；b= ；（2）求y关于x的函数解析式；（3）已知甲农户将8元钱全部用于购买该玉米种子，乙农户购买4千克该玉米种子，如果他们两人合起来购买，可以比分开购买节约多少钱？27．（12分）动画片《小猪佩奇》分靡全球，受到孩子们的喜爱.现有4张《小猪佩奇》角色卡片，分别是A佩奇，B乔治，C佩奇妈妈，D佩奇爸爸（四张卡片除字母和内容外，其余完全相同）.姐弟两人做游戏，他们将这四张卡片混在一起，背面朝上放好.（1）姐姐从中随机抽取一张卡片，恰好抽到A佩奇的概率为；（2）若两人分别随机抽取一张卡片（不放回），请用列表或画树状图的分方法求出恰好姐姐抽到A佩奇弟弟抽到B乔治的概率.参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．A【解析】【分析】根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题．【详解】解：由题意可得，1000（1+x）2＝1000+440，故选：A．【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系进行列方程.2．B【解析】【分析】分别用方差、全面调查与抽样调查、随机事件及概率的知识逐一进行判断即可得到答案．【详解】A. 某工厂质检员检测某批灯泡的使用寿命时，检测范围比较大，因此适宜采用抽样调查的方法，故本选项错误；B. 根据平均数是4求得a的值为2，则方差为15[(1−4)2+(2−4)2+(4−4)2+(4−4)2+(9−4)2]=7.6，故本选项正确；C. 12个同学的生日月份可能互不相同，故本事件是随机事件，故错误；D. 在“等边三角形、正方形、等腰梯形、矩形、正六边形、正五边形”六个图形中有3个既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以，恰好既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是12，故本选项错误．故答案选B.【点睛】本题考查的知识点是概率公式、全面调查与抽样调查、方差及随机事件，解题的关键是熟练的掌握概率公式、全面调查与抽样调查、方差及随机事件.3．A【解析】【分析】根据已知得出圆锥的底面半径及母线长，那么利用圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2求出即可．【详解】∵圆锥的轴截面是一个边长为3cm的等边三角形，∴底面半径＝1.5cm，底面周长＝3πcm，∴圆锥的侧面积＝×3π×3＝4.5πcm2，故选A．【点睛】此题主要考查了圆锥的有关计算，关键是利用圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2得出．4．B【解析】【分析】根据题意画出图形，连接AO并延长交BC于点D，则AD⊥BC，设OD=x，由三角形重心的性质得AD=3x，利用锐角三角函数表示出BD的长，由垂径定理表示出BC的长，然后根据面积法解答即可．【详解】如图，连接AO并延长交BC于点D，则AD⊥BC，设OD=x，则AD=3x，∵tan∠BAD=BD AD，∴BD= tan30°·3，∴3，∵12BC AD ⋅=,∴12× ∴x ＝1所以该圆的内接正三边形的边心距为1， 故选B ． 【点睛】本题考查正多边形和圆，三角形重心的性质，垂径定理，锐角三角函数，面积法求线段的长，解答本题的关键是明确题意，求出相应的图形的边心距． 5．D 【解析】 【分析】由根与系数的关系得出x 1＋x 2＝5，x 1•x 2＝2，将其代入x 1＋x 2−x 1•x 2中即可得出结论． 【详解】解：∵方程x 2−5x ＋2＝0的两个解分别为x 1，x 2， ∴x 1＋x 2＝5，x 1•x 2＝2， ∴x 1＋x 2−x 1•x 2＝5−2＝1． 故选D ． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是根据根与系数的关系得出x 1＋x 2＝5，x 1•x 2＝2．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积是关键． 6．C 【解析】 【分析】根据点在数轴上的位置，可得a ，b 的关系，根据有理数的运算，可得答案． 【详解】解：由数轴，得b ＜-1，0＜a ＜1． A 、a+b ＜0，故A 错误； B 、a-b ＞0，故B 错误； C 、ab＜0，故C 符合题意； D 、a 2＜1＜b 2，故D 错误； 故选C ． 【点睛】本题考查了实数与数轴，利用点在数轴上的位置得出b ＜-1，0＜a ＜1是解题关键，又利用了有理数的运算． 7．C 【解析】试题分析：大于0而小于1的数用科学计数法表示，10的指数是负整数，其绝对值等于第一个不是0的数字前所有0的个数． 考点：用科学计数法计数 8．D 【解析】 【分析】∵A （1-，1y ），B （2，2y ）两点在双曲线32my x+=上， ∴根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，得1232m 32my y 12++==-，. ∵12y y >，∴32m 32m >12++-，解得3m 2<-.故选D. 【详解】 请在此输入详解！ 9．B 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10 n ，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．在确定n 的值时，等于这个数的整数位数减1. 【详解】解：85000用科学记数法可表示为8.5×104， 故选：B ． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值． 10．C 【解析】 【分析】连接,,CD BD D 为弧AB 的中点，根据弧，弦的关系可知，AD=BD,根据圆周角定理可得：120,ACB ADB ∠=∠=o ,CAD CBD ∠=∠在BC 上截取BF AC =,连接DF,则ACD V ≌BFD △,根据全等三角形的性质可得：,CD FD = ,ADC BDF ∠=∠ ,ADC ADF BDF ADF ∠+∠=∠+∠ 即120,CDF ADB ∠=∠=o ,DE BC ⊥根据等腰三角形的性质可得：,CE EF = 30,DCF DFC ∠=∠=o设,DE x = 则,BF AC x ==3,tan 30DE CE EF x ===o即可求出BECE的值. 【详解】 如图：连接,,CD BDD 为弧AB 的中点，根据弧，弦的关系可知，AD=BD,根据圆周角定理可得：120,ACB ADB ∠=∠=o,CAD CBD ∠=∠在BC 上截取BF AC =,连接DF,,AC BF CAD FBD AD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩则ACD V ≌BFD △,,CD FD ∴= ,ADC BDF ∠=∠ ,ADC ADF BDF ADF ∠+∠=∠+∠即120,CDF ADB ∠=∠=o,DE BC ⊥根据等腰三角形的性质可得：,CE EF = 30,DCF DFC ∠=∠=o设,DE x = 则,BF AC x ==3,tan 30DECE EF x ===o3333BE BF EF x x CE CE x+++=== 故选C. 【点睛】考查弧，弦之间的关系，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数等，综合性比较强，关键是构造全等三角形.11．B【解析】【分析】先将分母进行通分，化为（x+y ）（x-y ）的形式，分子乘上相应的分式，进行化简.【详解】()()()()222222x y x +xy xy-y x +y -=-=x-y x+y x+y x-y x+y x-y x -y【点睛】本题考查的是分式的混合运算，解题的关键就是熟练掌握运算规则.12．A【解析】【分析】设甲的钱数为x ，人数为y ，根据“若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其23的钱给乙，则乙的钱数也能为50”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，此题得解．【详解】解：设甲的钱数为x ，乙的钱数为y ， 依题意，得：15022503x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩． 故选A ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．ab （a+b ）1．【解析】【详解】a 3b+1a 1b 1+ab 3＝ab （a 1+1ab+b 1）＝ab （a+b ）1．故答案为ab （a+b ）1．【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．14．1【解析】【分析】设HG=x，根据相似三角形的性质用x表示出KD，根据矩形面积公式列出二次函数解析式，根据二次函数的性质计算即可．【详解】解：设HG=x．∵四边形EFGH是矩形，∴HG∥BC，∴△AHG∽△ABC，∴HGBC=AKAD，即8x=66KD，解得：KD=6﹣34x，则矩形EFGH的面积=x（6﹣34x）=﹣34x2+6x=34﹣（x﹣4）2+1，则矩形EFGH的面积最大值为1．故答案为1．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、二次函数的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．15．4.4×1【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】4400000000的小数点向左移动9位得到4.4，所以4400000000用科学记数法可表示为：4.4×1，故答案为4.4×1．【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．16．k＞3 4【解析】【分析】由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围．【详解】∵关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不相等的实根，∴△＞0，即（2k+1）2-4（k2+1）＞0，解得k＞34，故答案为k＞34．【点睛】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．17．1 x【解析】【分析】先算除法，再算减法，注意把分式的分子分母分解因式【详解】原式=2 22(11(11)(2)x xx x x x x---⨯++--））（=212(1)1(1)(1)x x xx x x x x-----=+++=1 x【点睛】此题考查分式的混合运算，掌握运算法则是解题关键18．3【解析】连接OA，作OM⊥AB于点M，∵正六边形ABCDEF的外接圆半径为2cm∴正六边形的半径为2 cm，即OA＝2cm在正六边形ABCDEF中，∠AOM=30°，∴正六边形的边心距是OM= cos30°×OA=323⨯=(cm)故答案为3.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．49.2米【解析】【分析】设PD=x 米，在Rt △PAD 中表示出AD ，在Rt △PDB 中表示出BD ，再由AB=80.0米，可得出方程，解出即可得出PD 的长度，继而也可确定小桥在小道上的位置．【详解】解：设PD=x 米，∵PD ⊥AB ，∴∠ADP=∠BDP=90°．在Rt △PAD 中，x tan PAD AD ∠=，∴x x 5AD x tan38.50.804===︒． 在Rt △PBD 中，x tan PBD DB ∠=，∴x x DB 2x tan26.50.50===︒． 又∵AB=80.0米，∴5x 2x 80.04+=，解得：x≈24.6，即PD≈24.6米． ∴DB=2x=49.2米．答：小桥PD 的长度约为24.6米，位于AB 之间距B 点约49.2米．20．（1）2 （2）123,1x x =-=-【解析】【分析】（1）原式第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用特殊角的三角函数值化简，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用零指数幂法则计算可得到结果；（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】（1）原式=211+=2；（2）24(3)9x x x +=- 4(3)(3)(3)+=+-x x x x()33(3)0++=x x∴123,1x x =-=-【点睛】本题考查了实数运算以及平方根的应用，正确掌握相关运算法则是解题的关键．21．（1）1；（1）;（4）（【解析】【分析】（1）由于△PAD 是等腰三角形，底边不定，需三种情况讨论，运用三角形全等、矩形的性质、勾股定理等知识即可解决问题．（1）以EF为直径作⊙O，易证⊙O与BC相切，从而得到符合条件的点Q唯一，然后通过添加辅助线，借助于正方形、特殊角的三角函数值等知识即可求出BQ长．（4）要满足∠AMB=40°，可构造以AB为边的等边三角形的外接圆，该圆与线段CD的交点就是满足条件的点，然后借助于等边三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识，就可算出符合条件的DM长．【详解】（1）①作AD的垂直平分线交BC于点P，如图①，则PA=PD．∴△PAD是等腰三角形．∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，∠B=∠C=90°．∵PA=PD，AB=DC，∴Rt△ABP≌Rt△DCP（HL）．∴BP=CP．∵BC=2，∴BP=CP=1．②以点D为圆心，AD为半径画弧，交BC于点P′，如图①，则DA=DP′．∴△P′AD是等腰三角形．∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=DC，∠C=90°．∵AB=4，BC=2，∴DC=4，DP′=2．∴227．43∴BP′=27．③点A为圆心，AD为半径画弧，交BC于点P″，如图①，则AD=AP″．∴△P″AD是等腰三角形．同理可得：BP″=7．综上所述：在等腰三角形△ADP中，若PA=PD，则BP=1；若DP=DA，则BP=2-7；若AP=AD，则BP=7．（1）∵E、F分别为边AB、AC的中点，∴EF∥BC，EF=12 BC．∵BC=11，∴EF=4．以EF为直径作⊙O，过点O作OQ⊥BC，垂足为Q，连接EQ、FQ，如图②．∵AD⊥BC，AD=4，∴EF与BC之间的距离为4．∴OQ=4∴OQ=OE=4．∴⊙O与BC相切，切点为Q．∵EF为⊙O的直径，∴∠EQF=90°．过点E作EG⊥BC，垂足为G，如图②．∵EG⊥BC，OQ⊥BC，∴EG∥OQ．∵EO∥GQ，EG∥OQ，∠EGQ=90°，OE=OQ，∴四边形OEGQ是正方形．∴GQ=EO=4，EG=OQ=4．∵∠B=40°，∠EGB=90°，EG=4，∴3∴3∴当∠EQF=90°时，BQ的长为4+3．（4）在线段CD上存在点M，使∠AMB=40°．理由如下：以AB为边，在AB的右侧作等边三角形ABG，作GP⊥AB，垂足为P，作AK⊥BG，垂足为K．设GP与AK交于点O，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，过点O作OH⊥CD，垂足为H，如图③．则⊙O是△ABG的外接圆，∵△ABG是等边三角形，GP⊥AB，∴AP=PB=12 AB．∵AB=170，∴AP=145．∵ED=185，∴OH=185-145=6．∵△ABG是等边三角形，AK⊥BG，∴∠BAK=∠GAK=40°．∴OP=AP•tan40°=145×33∴3∴OH＜OA．∴⊙O与CD相交，设交点为M，连接MA、MB，如图③．∴∠AMB=∠AGB=40°，3．∵OH⊥CD，OH=6，3∴2222=(903)150OM OH--2∵AE=200，OP=253，∴DH=200-253．若点M在点H的左边，则DM=DH+HM=200-253+402．∵200-253+402＞420，∴DM＞CD．∴点M不在线段CD上，应舍去．若点M在点H的右边，则DM=DH-HM=200-253-402．∵200-253-402＜420，∴DM＜CD．∴点M在线段CD上．综上所述：在线段CD上存在唯一的点M，使∠AMB=40°，此时DM的长为（200-253-402）米．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、矩形的性质、等边三角形的性质、正方形的判定与性质、直线与圆的位置关系、圆周角定理、三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识，考查了操作、探究等能力，综合性非常强．而构造等边三角形及其外接圆是解决本题的关键．22．（1）13；（2）13.【解析】试题分析：(1)、3个等只有一个控制楼梯，则概率就是1÷3；(2)、根据题意画出树状图，然后根据概率的计算法则得出概率.试题解析：(1)、小晗任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是：1 3(2)、画树状图得：结果：（A，B）、（A，C）、（B，A）、（B，C）、（C，A）、（C，B）∵共有6种等可能的结果，正好客厅灯和走廊灯同时亮的有2种情况，∴正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是26=13.考点：概率的计算.23．（1）证明见解析；（2）,,,DAG BAE CNF FMC ∠∠∠∠.【解析】【分析】（1）连接AF 、AC ，易证∠EAC=∠DAF ，再证明ΔEAC ≅ΔDAF ，根据全等三角形的性质即可得CE=DF ；（2）由旋转的性质可得∠DAG 、∠BAE 都是旋转角，在四边形AEMB 中，∠BAE+∠EMB=180°，∠FMC+∠EMB=180°，可得∠FMC=∠BAE ，同理可得∠DAG=∠CNF ，由此即可解答.【详解】(1)证明：连接,AF AC ，∵正方形ABCD 旋转至正方形AEFG∴DAG BAE ∠∠=，45BAC GAF ∠=∠=︒∴BAE BAC DAG GAF ∠+∠=∠+∠∴EAC DAF ∠=∠在EAC ∆和DAF ∆中,AE AD EAC FAD AC AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴EAC DAF ∆≅∆∴CE DF =(2).∠DAG 、∠BAE 、∠FMC 、∠CNF ；由旋转的性质可得∠DAG 、∠BAE 都是旋转角，在四边形AEMB 中，∠BAE+∠EMB=180°，∠FMC+∠EMB=180°，可得∠FMC=∠BAE ，同理可得∠DAG=∠CNF ，【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质及全等三角形的判定与性质，证明ΔEAC ≅ΔDAF 是解决问题的关键.24．（1）1；（2）经过2秒或2秒，点M 、点N 分别到原点O 的距离相等【解析】试题分析：（1）根据OB=3OA ，结合点B 的位置即可得出点B 对应的数；（2）设经过x 秒，点M 、点N 分别到原点O 的距离相等，找出点M 、N 对应的数，再分点M 、点N 在点O 两侧和点M 、点N 重合两种情况考虑，根据M 、N 的关系列出关于x 的一元一次方程，解之即可得出结论．试题解析：（1）∵OB=3OA=1，∴B 对应的数是1．（2）设经过x 秒，点M 、点N 分别到原点O 的距离相等，此时点M 对应的数为3x-2，点N 对应的数为2x ．①点M 、点N 在点O 两侧，则2-3x=2x ，解得x=2；②点M 、点N 重合，则，3x-2=2x ，解得x=2．所以经过2秒或2秒，点M 、点N 分别到原点O 的距离相等．25．（1）213222y x x =-++ ；（1）132 ，E （1，1）；（3）存在，P 点坐标可以为（，5）或（3，5）．【解析】【分析】（1）设B （x 1，5），由已知条件得21322x -+= ，进而得到B （2，5）．又由对称轴2b a -⨯求得b ．最终得到抛物线解析式.（1）先求出直线BC 的解析式，再设E （m ，＝﹣12m+1．），F （m ，﹣12m 1+32m+1．） 求得FE 的值，得到S △CBF ﹣m 1+2m ．又由S 四边形CDBF ＝S △CBF +S △CDB ，得S 四边形CDBF 最大值， 最终得到E 点坐标．（3）设N 点为（n ，﹣12n 1+32n+1），1＜n ＜2．过N 作NO ⊥x 轴于点P ，得PG ＝n ﹣1．又由直角三角形的判定，得△ABC 为直角三角形，由△ABC ∽△GNP ， 得n ＝或n ＝1（舍去），求得P 点坐标．又由△ABC ∽△GNP ，且OC PG OB NP =时， 得n ＝3或n ＝﹣2（舍去）．求得P 点坐标．【详解】解：（1）设B （x 1，5）．由A （﹣1，5），对称轴直线x ＝32． ∴21322x -+= 解得，x 1＝2．∴B（2，5）．又∵3 122()2b-=⨯-∴b＝32．∴抛物线解析式为y＝213222x x-++，（1）如图1，∵B（2，5），C（5，1）．∴直线BC的解析式为y＝﹣12x+1．由E在直线BC上，则设E（m，＝﹣12m+1．），F（m，﹣12m1+32m+1．）∴FE＝﹣12m1+32m+1﹣（﹣12n+1）＝﹣12m1+1m．由S△CBF＝12EF•OB，∴S△CBF＝12（﹣12m1+1m）×2＝﹣m1+2m．又∵S△CDB＝12BD•OC＝12×（2﹣32）×1＝52∴S四边形CDBF＝S△CBF+S△CDB═﹣m1+2m+52．化为顶点式得，S四边形CDBF＝﹣（m﹣1）1+132．当m＝1时，S四边形CDBF最大，为132．此时，E点坐标为（1，1）．（3）存在．如图1，由线段FG 绕点G 顺时针旋转一个角α（5°＜α＜95°），设N （n ，﹣12n 1+32n+1），1＜n ＜2．过N 作NO ⊥x 轴于点P （n ，5）． ∴NP ＝﹣12n 1+32n+1，PG ＝n ﹣1．又∵在Rt △AOC 中，AC 1＝OA 1+OC 1＝1+2＝5，在Rt △BOC 中，BC 1＝OB 1+OC 1＝16+2＝15． AB 1＝51＝15． ∴AC 1+BC 1＝AB 1． ∴△ABC 为直角三角形． 当△ABC ∽△GNP ，且OC NPOB PG=时， 即，213222242n n n -++=- 整理得，n 1﹣1n ﹣6＝5．解得，n ＝7或n ＝17（舍去）． 此时P 点坐标为（7，5）． 当△ABC ∽△GNP ，且OC PGOB NP=时， 即，222134222n n n -=-++ 整理得，n 1+n ﹣11＝5． 解得，n ＝3或n ＝﹣2（舍去）． 此时P 点坐标为（3，5）．综上所述，满足题意的P 点坐标可以为，（7，5），（3，5）． 【点睛】本题考查求抛物线，三角形的性质和面积的求法，直角三角形的判定，以及三角形相似的性质，属于较难题.26．（1）5,1 （2）当0＜x≤2时，y=5x ，当x ＞2时，y 关于x 的函数解析式为y=4x+2 （3）1.6元.【解析】 【分析】（1）结合函数图象与表格即可得出购买量为函数的自变量，再根据购买2千克花了10元钱即可得出a 值，结合超过2千克部分的种子价格打8折可得出b 值；（2）分段函数，当0≤x≤2时，设线段OA 的解析式为y ＝kx ；当x ＞2时，设关系式为y ＝k1x ＋b ，然后将（2，10），且x ＝3时，y ＝1，代入关系式即可求出k ，b 的值，从而确定关系式； （3）代入（2）的解析式即可解答． 【详解】解：（1）结合函数图象以及表格即可得出购买量是函数的自变量x ， ∵10÷2＝5，∴a ＝5，b ＝2×5＋5×0.8＝1． 故答案为a ＝5，b ＝1．（2）当0≤x≤2时，设线段OA 的解析式为y ＝kx ， ∵y ＝kx 的图象经过（2，10）， ∴2k ＝10，解得k ＝5， ∴y ＝5x ；当x ＞2时，设y 与x 的函数关系式为：y ＝1k x ＋b ∵y ＝kx+b 的图象经过点（2，10），且x ＝3时，y ＝1，11210314k b k b +⎧⎨+⎩＝＝ ，解得142k b =⎧⎨=⎩， ∴当x ＞2时，y 与x 的函数关系式为：y ＝4x ＋2． ∴y 关于x 的函数解析式为：()50242(2)x x y x x ⎧≤≤=⎨+>⎩ ；（3）甲农户将8元钱全部用于购买该玉米种子，即5x ＝8，解得x ＝1.6，即甲农户购买玉米种子1.6千克；如果他们两人合起来购买，共购买玉米种子（1.6＋4）＝5.6千克，这时总费用为：y ＝4×5.6＋2＝24.4元． （8＋4×4＋2）−24.4＝1.6（元）．答：如果他们两人合起来购买，可以比分开购买节约1.6元． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用和待定系数法求一次函数解析式，根据已知得出图表中点的坐标是解题的关键．注意：求正比例函数，只要一对x ，y 的值就可以；而求一次函数y ＝kx ＋b ，则需要两组x ，y 的值．27．（1）14；（2）112【解析】【分析】（1）直接利用求概率公式计算即可；（2）画树状图（或列表格）列出所有等可能结果，根据概率公式即可解答．【详解】（1）14；（2）方法1：根据题意可画树状图如下：方法2：根据题意可列表格如下：弟弟姐姐A B C DA （A,B）(A,C) (A,D)B (B,A) (B,C) (B,D)C (C,A) (C,B) (C,D)D (D,A) (D,B) (D,C)由列表（树状图）可知，总共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中姐姐抽到A佩奇，弟弟抽到B乔治的结果有1种：（A，B）.∴P（姐姐抽到A佩奇，弟弟抽到B乔治）1 12【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解决问题用到概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比．。
2020届黑龙江省哈尔滨市道里区中考数学四模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.寒冬腊月的一天，某市的最低气温是−35℃，最高气温是−24℃，则这一天该市的温差为()A. 9℃B. 10℃C. 11℃D. 59℃2.下列运算正确的是()A. a6÷a3=a2B. (a2)3=a5C. (−2a2)3=−8a6D. (2a+1)2=4a2+2a+13.下列图形：①角②两相交直线③圆④正方形，其中轴对称图形有()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个4.小明从上面观察如图所示的两个物体，看到的是()A.B.C.D.5.已知反比例函数y=kx的图象经过点(3,2)，那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是()A. (3,−2)B. (−2,−3)C. (1,−6)D. (−6,1)6.若关于x的不等式组{x≥6x≤m无解，则m的取值范围是()A. m<6B. m≤6C. m>6D. m≥67.如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于E，cosA=35，BE=2，则tan∠DBE的值是()A. 2B. 12C. √52D. √558.某会议厅主席台上方有一个长14.08m的长条形会议横标框，铺红色衬底．开会前将会议名称用白色厚纸或不干胶纸刻出来贴于其上．但会议名称不同，字数一般每次都可能不同，为了制作及贴字时方便美观，会议厅工作人员对有关数据作了如下规定：边空：字宽：字距=9：6：2，如图所示，根据这个规定，会议名称的字数为20时，边空的长度为()米．A. 0.16B. 0.48C. 0.72D. 1.29.如图，小伟设计两个直角三角形来测量河宽DE，他量得AD=20m，BD=15m，CE=45m，则河宽DE为()A. 50mB. 40mC. 60mD. 80m10.一次越野跑中，当小明跑了1200米时，小刚跑了800米．小明和小刚在以后所跑的路程(米)和时间(秒)之间函数关系如图所示，则这次越野跑的全程为()米．A. 2200B. 2000C. 1800D. 800二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）11.2020年突如其来的新型冠状病毒严重影响着人们正常的生活秩序，经专家测定，新型冠状病毒的直径大约为80纳米～120纳米，80纳米=0.00000008米，数据0.00000008米用科学记数法表示为______ 米.12.函数y=x+√2−x中，自变量x的取值范围是．)−2−|√2−tan45°|=______．13.计算：√8−(−1314.分解因式：ba2+b+2ab=______．15.沿着x轴正方向看，抛物线y=x2−2在y轴左侧的部分是______ 的(填“上升”或“下降”)．16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，AB=6，⊙O是△ABC的外接圆，D是弧BC的中点，则BD=．17.若扇形的面积是56cm2，周长是30cm，则它的半径是______．18.A，B两同学可坐甲，乙，丙三辆车中的任意一辆，则A，B两同学均坐丙车的概率是______ ．19.在如图所示的平行四边形ABCD中，AB=2，AD=3，将△ACD沿对角线AC折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处，且AE过BC的中点O，则△ADE的周长等于______．20.如图，点M是正方形ABCD内一点，△MBC是等边三角形，连接AM、MD.对角线BD交CM于点N，现有以下结论正确的是______ ．A.∠AMD=150°；B.MA2=MN⋅MC；C.BNDN=√3；D.S△ADMS△BMC =√3√3．三、解答题（本大题共7小题，共60.0分）21.化简或求值：aa−1−a−1a+2÷a2−1a2+4a+4，其中a=2．22.【操作体验】(1)如图①，已知线段AB和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得∠APB=30°，写出作图过程并说明理由．【方法迁移】(2)如图②，已知矩形ABCD，BC=2，AB=m，P为AD边上的点，若满足∠BPC=45°的点P恰好有两个，则m的取值范围为______．【深入探究】(3)如图③，已知矩形ABCD，AB=3，BC=2，P为矩形ABCD内一点，且∠BPC=135°，若线段AP绕点A逆时针旋转90°得到线段AQ.请问PQ是否有最小值，如果有最小值，请求出此时四边形ABPQ的面积；若没有，请说明理由．23.某班老师要求每人每学期读4～7本书，并随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况，绘制成不完整的条形图和不完整的扇形图，其中条形图被墨迹遮盖了一部分，回答下列问题：(1)请你求出老师随机抽查了多少名学生；(2)已知册数的中位数是5，嘉嘉说：条形图中被遮盖的数为5淇淇说：条形图中被遮盖的数为6ⅰ你认为嘉嘉和淇淇谁说的正确，请说明原因，并把条形图补充完整；ⅰ在扇形图中，“7册”部分所对的圆心角为______ °，并把扇形图补充完整；(3)请直接写出：从抽查学生中任取两人，恰好都读7册书的概率为______ ．24.如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在AB、BC上，BD=CE，连接AE，CD交于点O．(1)如图l，求证：CD=AE；(2)如图2，作等边△AEF，连接BF，DF.直接写出图2中所有120度的角．25.某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元．后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润不低于10%，求至少要打几折(精确到0.1折)．26.如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，以AB为直径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE．(1)求证：DE是⊙O的切线；AD⋅OE；(2)设⊙O的半径为r，证明r2=12(3)若DE=4，sinC=3，求AD之长．527.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(−1,0)、B(3,0)、C(0,−3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)点P是直线l上的一个动点，当点PA+PC的值最小时，求点P的坐标；(3)点M也是直线l上的动点，且△MAC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．【答案与解析】1.答案：C解析：解：−24−(−35)=−24+35=11(℃)，故选：C．根据有理数的减法法则，即可解答．本题考查了有理数的减法，解决本题的关键是熟记有理数的减法法则，减去一个数，等于加上这个数的相反数．2.答案：C解析：解：A.a6÷a3=a3，故本选项不符合题意；B.(a2)3=a6，故本选项不符合题意；C.(−2a2)3=−8a6，故本选项符合题意；D.(2a+1)2=4a2+4a+1，故本选项不符合题意；故选：C．先根据同底数幂的除法，幂的乘方和积的乘方，完全平方公式进行计算，再得出答案即可．本题考查了同底数幂的除法，完全平方公式，幂的乘方和积的乘方等知识点，能正确运用法则求出每个式子的值是解此题的关键．3.答案：A解析：解：全部都是轴对称图形．故选A．根据轴对称图形的概念求解．轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．4.答案：A解析：解：从上面看左边是一个圆，右边是一个正方形，故A正确；故选：A．根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．本题考查了简单组合体的三视图，把从上面看得到的图形画出是解题关键．5.答案：B解析：解：把(2,3)代入反比例解析式得：k=6，∴反比例解析式为y=6x，则(−2,−3)在这个函数图象上，故选：B．把已知点坐标代入反比例解析式求出k的值，即可做出判断．此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．6.答案：A解析：解：∵关于x的不等式组{x≥6x≤m无解，∴m<6，故选：A．根据不等式组无解得出答案即可．本题考查了解一元一次不等式组，能熟记找不等式组解集的规律是解此题的关键，找不等式组的解集时，大于大数，小于小数时，不等式组无解．7.答案：A解析：解：∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，∵cosA=AEAD =35，∴可以假设AE=3k，AD=AB=5k，∴DE=4k，BE=2k，∴tan∠DBE=DEEB =4k2k=2，故选：A．由cosA=AEAD =35，可以假设AE=3k，AD=AB=5k，推出DE=4k，BE=2k，可得tan∠DBE=DEEB=4k2k=2；本题考查菱形的性质、解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．8.答案：C解析：解：设边空、字宽、字距分别为9x米、6x米、2x米，则：9x×2+6x×20+2x(20−1)=14.08，解得：x=0.08．则边空为9×0.08=0.72(米)．故选C ．根据比例关系，设边空、字宽、字距分别为9x 米、6x 米、2x 米，由等量关系“横框长度=边空长度+字宽长度+字距长度”列出一元一次方程即可求解．此题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．9.答案：B解析：试题分析：根据题意得出△ABD∽△ACE ，则AD AE =BD CE ，进而求出DE 的长． ∵CE//BD ，∴△ABD∽△ACE ，∴AD AE =BD CE ，∵AD =20m ，BD =15m ，CE =45m ，∴2020+DE =1545，解得：DE =40，故选：B ． 10.答案：B解析：解：设小明跑的速度为a 米/秒，小刚跑的速度为b 米/秒，{1200+100a =800+100b 1200+400a =800+200b， 解得，{a =2b =6， ∴这次越野跑的全程为：800+200b =800+200×6=2000，故选：B ．根据题意可以求得小明和小刚的速度，从而可以求得这次越野跑的全程．本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．11.答案：8×10−8解析：解：0.00000008=8×10−8，故答案是：8×10−8．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．12.答案：x≤2解析：当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．即2−x≥0．13.答案：√2−8解析：解：原式=2√2−9−(√2−1)=2√2−9−√2+1=√2−8．故答案为：√2−8．直接利用负指数幂的性质以及特殊角的三角函数值代入化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．14.答案：b(a+1)2解析：解：原式=b(a2+2a+1)=b(a+1)2．故答案为：b(a+1)2原式提取公因式后，利用完全平方公式分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．15.答案：下降解析：解：∵抛物线y=x2−2的开口向上，对称轴为y轴，∴在对称轴左侧y随x的增大而减小，∴抛物线y=x2−2在y轴左侧的部分是下降的，故答案为：下降．根据二次函数的性质解答即可．本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．16.答案：2√3解析：试题分析：先根据勾股定理求出BC的长，连接OD，交BC于点E，由于点D是的中点，故OD⊥BC，故可得出BE及OE的长，进而得出DE的长，在Rt△OBD中根据勾股定理即可求出BD的长．∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，AB=6，∴BC===4，AB是⊙O的直径，OA=3，连接OD，交BC于点E，∵点D是的中点，∴OD⊥BC，∵AC⊥BC，点O是AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，BE=BC=2，∴OE=AC=1，∴DE=3−1=2，在Rt△OBD中，∵DE=2，BE=2，∴BD===2．故答案为：2．17.答案：7cm或8cm解析：解：设扇形的半径为R，∵扇形周长是30cm，∴扇形的弧长为(30−2R)cm，∵扇形的面积是56cm2，R(30−2R)=56，∴12解得：R=7或8，故答案为：7cm或8cm．设扇形的半径为Rcm，求出扇形的弧长为(30−2R)cm，根据扇形的面积公式构建方程即可解决问题．本题考查了扇形的面积的有关应用，解题的关键是记住扇形的面积等于弧和半径积的一半．18.答案：19解析：【试题解析】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与A，B两同学均坐丙车的情况，再利用概率公式即可求得答案．解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，A，B两同学均坐丙车的有1种情况，∴A，B两同学均坐丙车的概率是：19．故答案为：19．19.答案：10解析：解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD//BC，CD=AB=2由折叠，∠DAC=∠EAC∵∠DAC=∠ACB∴∠ACB=∠EAC∴OA=OC∵AE过BC的中点O∴AO=12 BC∴∠BAC=90°∴∠ACE=90°由折叠，∠ACD=90°∴E、C、D共线，则DE=4∴△ADE的周长为：3+3+2+2=10故答案为：10要计算周长首先需要证明E、C、D共线，DE可求，问题得解．本题考查了平行四边形的性质、轴对称图形性质和三点共线的证明．解题时注意不能忽略E、C、D 三点共线．20.答案：A，B，C，D解析：解：∵△MBC是等边三角形，∴∠MBC=∠MCB=∠CMB=60°，BM=BC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠BCD=∠BAD=∠ADC=90°，AB=BC，∴∠ABM=∠DCM=30°，∵AB=BM，∴∠AMB=∠BAM=12(180°−30°)=75°，同理∠CMD=∠CDM=75°，∴∠AMD=360°−75°−75°−60°=150°；故A正确；∵四边形ABCD是正方形，∴∠BDC=45°，∴∠MDN=∠CDM−∠BDC=75°−45°=30°，∵∠CMD=∠CMD，∠MDN=∠DCM=30°，∴△MND∽△MDC，∴MNDM =DMMC，∴DM2=MN⋅MC，∵∠BAD=∠ADC，∠BAM=∠CDM，∴∠MAD=∠MDA，∴MA=DM，∴MA2=MN⋅MC，故B正确；过N作NH⊥CD于H，设NH=x，如图1所示：则NH⊥BC，∠NDH=∠DNH=45°，∴NH=DH=x，∵∠NCH=30°，∠CHN=90°∴CN=2x，CH=√3x，∵NH//BC，∴BNDN =CHDH=√3xx=√3，故C正确；过M作MG⊥AB于G，如图2所示：设MG=x，Rt△BGM中，∠GBM=30°，∴BM=BC=AB=2x，BG=√3x，∴AG=2x−√3x，∴S△AMDS△BMC =12AD⋅AG12BC⋅BG=AGBG=√3x√3x=√3√3，故D正确；故答案为：A，B，C，D．A.先根据等边三角形得∠CMB=60°，再根据等腰三角形的性质得∠AMB=∠CMD=75°，最后根据周角的定义即可得出结论；B.证明△MND∽△MDC，列比例式即可得出结论；C.过N作NH⊥CD于H，设NH=x，根据平行线分线段成比例定理即可得出结论；D.过M作MG⊥AB于G，设MG=x，根据直角三角形30度角的性质和勾股定理分别计算BC、AG、BG的长，根据面积公式计算即可得出结论．本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，勾股定理、平行线的性质等知识；设出未知数，表示出各边长是解题的关键．21.答案：解：原式=aa−1−a−1a+2⋅(a+2)2(a+1)(a−1)=aa−1−a+2a+1=a(a+1)−(a+2)(a−1)(a−1)(a+1)=a2+a−a2+a−2a+2(a−1)(a+1)=2(a−1)(a+1)，当a=2时，原式=2(2−1)(2+1)=23．解析：先算除法，再算加减，最后把a的值代入进行计算即可．本题考查的是分式的化简求值，分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值．许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想(即转化)、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助．22.答案：解：(1)第一步：分别以点A，B为圆心，AB长为半径作弧，两弧在AB上方交于点O；第二步：连接OA，OB；第三步：以O为圆心，OA长为半径作⊙O，交l于P1，P2；所以图中P1，P2即为所求的点；如图1所示：理由如下：连接AP1、BP1、AP2、BP2，如图2所示：∵OA=OB=AB，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∠AOB=30°；由图②得：∠AP1B=12(2)2≤m<√2+1；(3)PQ有最小值，理由如下：如图4，构建⊙O，使∠COB=90°，在优弧BC⏜上取一点H，则∠CHB=45°∴∠CPB=135°，由旋转得：△APQ是等腰直角三角形，∴PQ=√2AP，∴PQ取最小值时，就是AP取最小值，当P与E重合时，即A、P、O在同一直线上时，AP最小，则PQ的值最小，在Rt△AFO中，AF=1，OF=3+1=4，∴AO=√12+42=√17，∴AE=√17−√2=AP，即AP的最小值为√17−√2；∴PQ=√2AP=√34−2；作EM⊥AB于M，∵AB//OF，∴∠EAM=∠AOF，∴sin∠EAM=sin∠AOF=√17，∴EMAE =√17，∴EM=√17−√2√17=1−√3417,∴四边形ABEQ的面积=△ABE的面积+△AEQ的面积=12AB×EM+12AE×AQ=12×3×(1−√3417)+12(√17−√2)2=32−3√3434+12(19−2√34)=11−37√3434，即PQ取最小值时，此时四边形ABPQ的面积为11−37√3434．解析：解：(1)见答案；(2)在AB上截取BE=BC，连接CE，以CE为直径作⊙O，如图3所示：∵BE=BC=2，∴CE=2√2，∴⊙O的半径为√2，即OE=OG=√2，∵OG⊥EF，∴EH=1，∴OH=1，∴GH=√2−1，∴BE≤AB<BM，∴2≤m<2+√2−1，即2≤m<√2+1，故答案为：2≤m<√2+1；(3)见答案．(1)①分别以点A，B为圆心，AB长为半径作弧，两弧在AB上方交于点O；②连接OA，OB；③以O为圆心，OA长为半径作⊙O，交l于P1，P2；由等边三角形的性质得出∠AOB=60°，再由圆周角定理即可得出∠AP1B=12∠AOB=30°；(2)在AB上截取BE=BC，连接CE，以CE为直径作⊙O，由勾股定理得出CE=2√2，得出⊙O的半径为√2，即OE=OG=√2，求出GH=√2−1，由题意得出BE≤AB<BM，即可得出结果；(3)构建⊙O，使∠COB=90°，在优弧BC⏜上取一点H，则∠CHB=45°∠CPB=135°，由旋转的性质得出△APQ是等腰直角三角形，当P与E重合，即A、P、O在同一直线上时，AP最小，在Rt△AFO 中，由勾股定理求出AO=√17，得出AE=√17−√2，得出PQ的最小值；作EM⊥AB于M，由平行线的性质得出∠EAM=∠AOF，由三角函数关系求出EM=1−√3417，四边形ABEQ的面积=△ABE的面积+△AEQ的面积=11−37√3434，即PQ取最小值时，此时四边形ABPQ的面积即为四边形ABEQ 的面积．本题是四边形综合题目，考查了等边三角形的性质、圆周角定理、作图、勾股定理、等腰直角三角形的性质、最值问题、三角函数以及三角形面积公式等知识；本题综合性强，是一道不错的几何压轴题．23.答案：54 3190解析：解：(1)老师随机抽查了5÷25%=20(名)学生；(2)i淇淇说的正确，理由：∵学生总数为20名，∴册数的中位数是第10个数和第11个数的平均数，∵册数的中位数是5，∴条形图中被遮盖的数为6，故淇淇说的正确；“7册”的人数是20−5−6−6=3(名)，把条形图补充完整如图所示；ii7册”部分所对的圆心角为360°×320=54°，把扇形图补充完整如图所示；(3)∵从抽查学生中任取两人，共有20×19种等可能的结果，恰好都读7册书的有3×2种情况，∴恰好都读7册书的概率为6380=3190故答案为：54，3190．(1)由“4册”人数及其所占百分比可得总人数，(2)i根据中位数的定义即可得到结论；ii用360°乘以，“7册”人数所占比例可得其对应圆心角度数，总人数乘以“7册”对应的百分比可得其人数，从而补全图形；(2)用总人数乘以样本中跑步人数所占比例即可得；(3)根据概率公式计算即可．此题考查了树状图法与列表法求概率、中位数、条形统计图与扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．24.答案：解：(1)如图1，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠ACE=60°，BC=AC，∵∠AFD=∠CAE+∠ACD=60°，∠BCD+∠ACD=∠ACB=60°，∴∠BCD=∠CAE，在△CAE和△BCD中，{∠B=∠ACEBC=AC∠BCD=∠CAE，∴△CAE≌△BCD(ASA)，∴CD=AE；(2)∵∠FDB=60°，∴∠ADF=120°，∵∠DFB+∠DBC=60°+60°=120°=∠FBC，∵∠AOD=60°，∴∠AOC=120°，∴∠DOE=∠AOC=120°，故120度的角有∠ADF，∠FBC，∠AOC，∠DOE．解析：(1)根据等边三角形的性质得出AB=BC，∠BAC=∠C=∠ABE=60°，根据ASA推出△CAE≌△BCD，即可证得结论；(2)根据等边三角形的性质得出120度的角即可．本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，根据全等三角形和等边三角形是解题的关键．25.答案：解：设打x折，根据题意得出：−800≥800×10%，则1200×x10解得x≥7.33，答：要保证利润不低于10%，至少要打7.4折．解析：利润率不低于10%，即利润要大于或等于800×10%元，设打x折，则售价是1200x元．根据利润率不低于10%就可以列出不等式，求出x的范围．本题考查一元一次不等式的应用，正确理解利润率的含义，理解利润=进价×利润率，是解题的关键．26.答案：(1)证明：连接OD、BD，∵AB为圆O的直径，∴∠BDA=90°，∴∠BDC=180°−90°=90°，∵E为BC的中点，BC=BE，∴DE=12∴∠EBD=∠EDB，∵OD=OB，∴∠OBD=∠ODB，∵∠EBD+∠DBO=90°，∴∠EDB+∠ODB=90°，∴∠ODE=90°，∴DE是圆O的切线．(2)证明：如图，连接BD．由(1)知，∠ODE=∠ADB=90°，BD⊥AC．∵E是BC的中点，O是AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE//AC，∴OE⊥BD．∴OE//AC，∴∠1=∠2．又∵∠1=∠A，∴∠A=∠2．即在△ADB 与△ODE 中，∠ADB =∠ODE ，∠A =∠2，∴△ADB∽△ODE ．∴AD OD =AB OE，即AD r =2r OE ． ∴r 2=12AD ⋅OE ；(3)∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB =∠BDC =90°，∵点E 为BC 的中点，∴BC =2DE =8，∵sinC =35， ∴设AB =3x ，AC =5x ，根据勾股定理得：(3x)2+82=(5x)2，解得x =2．则AC =10．由切割线定理可知：82=(10−AD)×10，解得，AD =3.6．解析：(1)连接OD 、BD ，根据圆周角定理求出∠BDA =∠BDC =90°，根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质求出∠ECD =∠EDC ，∠EBD =∠EDB 即可．(2)连接OE ，构造相似三角形△ADB∽△ODE ，由该相似三角形的对应边成比例证得结论；(3)根据圆周角定理得到∠ADB =∠BDC =90°，根据直角三角形的性质得到BC =8；然后由sinC =35求出AC 的长，再根据切割线定理求出AD 的长即可．该题属于圆的综合题型，主要考查了切线的判定、圆周角定理及其推论、相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理以及勾股定理等知识点是解题的关键．27.答案：解：(1)将A(−1,0)、B(3,0)、C(0,−3)代入抛物线y =ax 2+bx +c 中，得：{a −b +c =09a +3b +c =0c =−3， 解得：{a =1b =−2c =−3故抛物线的解析式：y =x 2−2x −3．(2)如图所示：连接BC ，交直线l 于点P ，此时PA +PC 知最小，设直线BC 的解析式为：y =kx +d ，则{d =−33k +d =0， 解得：{k =1d =−3， 故直线BC 的解析式为：y =x −3，∵x =−b 2a =1， ∴x =1时，y =1−3=−2，故P(1,−2)；(3)如图1所示：抛物线的对称轴为：x =−b 2a =1，设M(1,m)，已知A(−1,0)、C(0,−3)，则：MA 2=m 2+4，MC 2=(3+m)2+1=m 2+6m +10，AC 2=10①若MA =MC ，则MA 2=MC 2，得：m 2+4=m 2+6m +10，解得：m =−1，∴M 1(1,−1)②若MA =AC ，则MA 2=AC 2，得：m 2+4=10，得：m =±√6，∴M 2(1,√6)或M 3(1,−√6)③若MC =AC ，则MC 2=AC 2，得：m 2+6m +10=10，得：m 1=0，m 2=−6；当m =−6时，M 、A 、C 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；∴M 4(1,0)，综上可知，符合条件的M 点，且坐标为M(1,√6)(1,−√6)(1,−1)(1,0)．解析：(1)直接将A 、B 、C 三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可；(2)由图知：A 、B 点关于抛物线的对称轴对称，连接BC 得出P 点位置，即为符合条件的P 点；(3)由于△MAC 的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA =AC 、②MA =MC 、③AC =MC ；可先设出M 点的坐标，然后用M 点纵坐标表示△MAC 的三边长，再按上面的三种情况列式求解．此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线的性质及解析式的确定(待定系数法)、等腰三角形的判定等知识，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．。
2020年黑龙江省哈尔滨市南岗区中考数学四模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.(2020·黑龙江省哈尔滨市·模拟题)14的倒数是()A. −14B. −4 C. 14D. 42.(2020·黑龙江省哈尔滨市·模拟题)下列计算正确的是()A. x2+x3=x5B. x3÷x2=x(x≠0)C. x2⋅x3=x6D. (2x2)3=6x63.(2021·黑龙江省·历年真题)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A. B. C. D.4.(2020·黑龙江省哈尔滨市·模拟题)如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，该几何体的左视图是()A.B.C.D.5.(2020·黑龙江省哈尔滨市·模拟题)如图，在⊙O中，AB⏜所对的圆周角∠ACB=45°，若D为AB⏜上一点，连接OA，OB，OD，若∠BOD=28°，则∠AOD的度数为()A. 62°B. 60°C. 58°D. 52°6.(2020·黑龙江省哈尔滨市·模拟题)抛物线y=3(x−1)2+1的顶点坐标是()A. (1,1)B. (−1,1)C. (−1,−1)D. (1,−1)7.(2020·黑龙江省哈尔滨市·模拟题)方程2x−1=52x+1的解为()A. x=8B. x=7C. x=3D. x=28.(2020·黑龙江省哈尔滨市·模拟题)如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA等于()A. 100sin35°米B. 100sin55°米C. 100tan35°米D. 100tan55°米9.(2020·黑龙江省哈尔滨市·模拟题)对于反比例函数y=−2x，下列说法不正确的是()A. 图象分布在第二、四象限B. 当x>0时，y随x的增大而增大C. 图象经过点(1,−2)D. 若点A(x1,y1)，B(x2,y2)都在图象上，且x1<x2，则y1<y210.(2020·黑龙江省哈尔滨市·模拟题)如图，四边形ABCD为平行四边形，点E在AD上，连接CE，延长BA交CE的延长线于点F，则下列结论中一定正确的是()A. AEDE =AFBFB. AFEF =CEABC. AEAD =EFCFD. DEBC =EFCF二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）11.(2020·黑龙江省哈尔滨市·模拟题)近年来中国高铁发展迅速，高铁技术不断走出国门，成为展示我国实力的新名片，现在中国高速铁路营运里程将达到23000公里，将23000用科学记数法表示为______．12.(2020·黑龙江省哈尔滨市·模拟题)在函数y=2x3x−1中，自变量x的取值范围是______ ．13.(2021·黑龙江省哈尔滨市·模拟题)把多项式a3−4a分解因式，结果是______．14.(2020·黑龙江省哈尔滨市·模拟题)不等式组{2x−6<3xx−25≤0的解集是______ ．15.(2020·黑龙江省哈尔滨市·模拟题)把抛物线y=2(x−2)2+6向左平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为______ ．16.(2020·黑龙江省哈尔滨市·模拟题)一个扇形的弧长是2πcm，它的半径是3cm，则此扇形的圆心角是______ 度.17.(2020·黑龙江省哈尔滨市·模拟题)不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为______ ．18.(2020·黑龙江省哈尔滨市·模拟题)已知△ABC中，AB=10，AC=2√7，∠B=30°，则△ABC的面积等于______．19.(2020·黑龙江省哈尔滨市·模拟题)如图，△ABC是等边三角形，点D为△ABC内一点，连接AD，BD，CD，∠ADB=150°，AD=2，CD=√13，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点D′，则CD′的长为______ ．20.(2020·黑龙江省哈尔滨市·模拟题)如图，点E，F分别在正方形ABCD的边AD，CD上，且AE=DF，连接BE，AF，BF，BE与AF相交于点G，点H，P分别为AB，BF的中点，连接GH，GP，若GH=4，GP=5，则EG的长为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共60.0分）21.(2020·黑龙江省哈尔滨市·模拟题)先化简，再求代数式a+3a ⋅6a2+6a+9+2a−6a2−9的值，其中a=3tan60°−√3tan45°．22.(2020·黑龙江省哈尔滨市·模拟题)如图，在边长为1的小正方形组成的12×12的网格中，给出了以格点(网格线的交点)为端点的线段AB．(1)将线段AB向右平移5个单位，再向上平移3个单位得到线段CD，点A，B的对应点分别为点C，D，请画出线段CD；(2)以线段CD为一边，作一个菱形CDEF，点E，F都为格点，且菱形CDEF的面积为5.(作出一个菱形即可)23.(2020·黑龙江省哈尔滨市·模拟题)某校开展了丰富多彩的走班选课活动，其中综合实践类共开设了“礼行”、“礼知”、“礼思”、“礼艺”、“礼源”等五门课程，要求全校学生必须参与并且只能参与其中一门课程.为了解学生参与综合实践类课程活动情况，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果绘制了如图所示不完整的条形统计图和扇形统计图．(1)在这次调查中，一共抽取了多少名学生？(2)请通过计算补全条形统计图；(3)若该校共有学生1800人，估计其中参与“礼源”课程的学生共有多少人？24.(2020·黑龙江省哈尔滨市·模拟题)已知，在菱形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE=DF，连接AE，AF，CE，CF．(1)如图1，求证：△ABE≌△ADF；(2)如图2，当∠ABC=90°，且∠DAF=15°时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四条线段，使写出的每条线段的长度都等于线段AB的长度的√2倍.25.(2020·黑龙江省哈尔滨市·模拟题)某学校准备购买若干台A型电脑和B型打印机，如果购买1台A型电脑，2台B型打印机，一共需要花费5900元；如果购买2台A 型电脑，1台B型打印机，一共需要花费8200元．(1)求每台A型电脑和每台B型打印机的价格分别是多少元？(2)如果学校购买A型电脑和B型打印机的预算费用不超过24700元，并且购买B型打印机的台数要比购买A型电脑的台数多1台，那么该学校至多能购买多少台B 型打印机？26.(2020·黑龙江省哈尔滨市·模拟题)已知：四边形ABCD内接于⊙O，连接BD，且∠BCD=2∠ADB．(1)如图1，求证：AB=AD；(2)如图2，连接AC，若BC+CD=√2AC，求证：BD是⊙O的直径；(3)如图3，在(2)的条件下，过点D作DE//AB，DE分别交线段BC，线段AC于点E，F，若BE=10，tan∠CDE=1，求AF的长．327.(2020·黑龙江省哈尔滨市·模拟题)如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，直线x+b交x轴于点C．y=−x+5分别交x轴，y轴于点A，B，经过点B的直线y=52(1)求点C的坐标；(2)点D在线段OB上(不与点O，B重合)，连接CD，过点D作x轴的平行线交AB于点E，过点E作EF⊥DE，EF交CD的延长线于点F，设OD=t，EF=d，求d 与t之间的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围)；(3)在(2)的条件下，CF交AB于点G，过点O作OM//CF，OM分别交线段EG，线段DE于点M，H，且EF2=EM⋅EG+FG2，点N在线段CD上，连接BN，BF，若∠BNC=2∠DBF，求直线BN的解析式．答案和解析1.【答案】D【知识点】倒数【解析】解：1的倒数是4．4故选：D．直接利用倒数的定义，乘积是1的两数互为倒数，进而得出答案．此题主要考查了倒数的定义，正确把握定义是解题关键．2.【答案】B【知识点】同底数幂的除法、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项【解析】解：A、x2+x3，无法计算，故此选项错误；B、x3÷x2=x(x≠0)，故此选项正确；C、x2⋅x3=x5，故此选项错误；D、(2x2)3=8x6，故此选项错误；故选：B．直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别计算得出答案．此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．3.【答案】D【知识点】中心对称图形、轴对称图形【解析】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不合题意；B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不合题意；C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不合题意；D、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意；故选：D．根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合各图形的特点求解即可．本题考查了中心对称图形和轴对称图形的知识，注意掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4.【答案】A【知识点】简单组合体的三视图【解析】解：从左面看易得下面一层有2个正方形，上面一层左边有1个正方形，如图所示：．故选：A．找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．5.【答案】A【知识点】圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系【解析】解：在⊙O中，∠AOB=2∠ACB=2×45°=90°，∵∠BOD=28°，∴∠AOD=∠AOB−∠BOD=90°−28°=62°，故选：A．根据圆周角定理可求出∠AOB=90°，进而求出答案即可．本题考查圆周角定理，掌握“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”是解决问题的关键．6.【答案】A【知识点】二次函数的性质【解析】解：∵抛物线y=3(x−1)2+1是顶点式，∴顶点坐标是(1,1)．故选：A．已知抛物线顶点式y=a(x−ℎ)2+k，顶点坐标是(ℎ,k)．本题考查由抛物线的顶点坐标式写出抛物线顶点的坐标，比较容易．7.【答案】B【知识点】分式方程的一般解法【解析】解：去分母得：2(2x+1)=5(x−1)，去括号得：4x+2=5x−5，解得：x=7，经检验x=7是分式方程的解．故选：B．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．8.【答案】C【知识点】解直角三角形的应用【解析】【试题解析】解：∵PA⊥PB，PC=100米，∠PCA=35°，∴小河宽PA=PCtan∠PCA=100tan35°米．故选：C．根据正切函数可求小河宽PA的长度．考查了解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题).②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．9.【答案】D【知识点】反比例函数的性质、反比例函数的图象【解析】【分析】(k≠0)，(1)k>0，反比例函数本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数y=kx图象在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；(2)k<0，反比例函数图象在第二、四象限内，在每一个象限内，y随x的增大而增大．根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A.k=−2<0，∴它的图象在第二、四象限，故本选项正确；B.k=−2<0，当x>0时，y随x的增大而增大，故本选项正确；C.∵−21=−2，∴点(1,−2)在它的图象上，故本选项正确；D.点A(x1,y1)、B(x2、y2)都在反比例函数y=−2x的图象上，若x1<x2<0或0<x1<x2，则y1<y2；如果x1<0<x2,则y1>0>y2，故本选项错误．故选D．10.【答案】C【知识点】平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD//BC，且AD=BC，∴△FAE∽△FBC，∴AEBC =EFCF(相似三角形对应边成比例)，即AEAD =EFCF．故选：C．由ABCD是平行四边形，可得AD//BC，且AD=BC，根据相似三角形对应边成比例，可以得出正确答案．本题主要考查相似三角形的判定和性质．根据平行，快速的找出相似三角形，是解决本题的关键．11.【答案】2.3×104【知识点】科学记数法-绝对值较大的数【解析】解：23000=2.3×104，故答案为：2.3×104．科学记数法表示较大的数形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，10的指数n比原来的整数位数少1．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12.【答案】x≠13【知识点】函数自变量的取值范围【解析】解：函数y=2x3x−1中，3x−1≠0，解得x≠13，即自变量x的取值范围是x≠13，故答案为：x≠13．当函数表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．本题主要考查了函数自变量的取值范围，自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．13.【答案】a(a+2)(a−2)【知识点】提公因式法与公式法的综合运用【解析】解：原式=a(a2−4)=a(a+2)(a−2)．故答案为：a(a+2)(a−2)．首先提公因式a，再利用平方差进行二次分解即可．此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．14.【答案】−6<x≤2【知识点】一元一次不等式组的解法【解析】解：不等式组{2x−6<3x①x−25≤0②，由①得：x>−6，由②得：x≤2，则不等式组的解集为−6<x≤2．故答案为：−6<x≤2．分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键．15.【答案】y=2x2+6【知识点】二次函数图象与几何变换【解析】解：把抛物线y=2(x−2)2+6向左平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为y=2(x−2+2)2+6，即y=2x2+6．故答案是：y=2x2+6．直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．16.【答案】120【知识点】弧长的计算=2π，【解析】解：设扇形的圆心角的度数是n°，则nπ⋅3180解得：n=120，故答案为120．设扇形的圆心角的度数是n°，根据弧长公式即可列方程求得n的值．本题考查弧长公式，正确记忆公式是关键．17.【答案】14【知识点】用列举法求概率(列表法与树状图法)【解析】解：画树状图如下：共有4的等可能的结果，两次都摸到红球的结果有1个，∴两次都摸到红球的概率为1，4．故答案为：14画树状图，共有4的等可能的结果，两次都摸到红球的结果有1个，然后由概率公式求解即可．本题考查用树状图或列表法求等可能事件发生的概率，关键是画树状图列举出所有等可能出现的结果数，同时注意“放回”与“不放回”的区别．18.【答案】15√3或10√3【知识点】勾股定理、解直角三角形【解析】解：作AD⊥BC交BC(或BC延长线)于点D，①如图1，当AB、AC位于AD异侧时，在Rt△ABD中，∵∠B=30°，AB=10，∴AD=ABsinB=5，BD=ABcosB=5√3，在Rt△ACD中，∵AC=2√7，∴CD=√AC2−AD2=√(2√7)2−52=√3，则BC=BD+CD=6√3，∴S△ABC=12⋅BC⋅AD=12×6√3×5=15√3；②如图2，当AB、AC在AD的同侧时，由①知，BD=5√3，CD=√3，则BC=BD−CD=4√3，∴S△ABC=12⋅BC⋅AD=12×4√3×5=10√3．综上，△ABC的面积是15√3或10√3，故答案为15√3或10√3．作AD⊥BC交BC(或BC延长线)于点D，分AB、AC位于AD异侧和同侧两种情况，先在Rt△ABD中求得AD、BD的值，再在Rt△ACD中利用勾股定理求得CD的长，继而就两种情况分别求出BC的长，根据三角形的面积公式求解可得．本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的运用、分类讨论思想的运算及勾股定理．19.【答案】3【知识点】勾股定理、旋转的基本性质、等边三角形的性质【解析】解：如图，连接DD′，∵将△ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点D′，∴AD=AD′=2，∠DAD′=60°，∠ADB=∠AD′C，∴△ADD′为等边三角形，∴∠AD′D=60°，∠AD′C=150°，DD′=2，∴∠DD′C=∠AD′C−∠AD′D=150°−60°=90°，∵CD=√13，∴CD′=√CD2−DD′2=√(√13)2−22=3，故答案为：3．连接DD′，由旋转的性质得出AD=AD′=2，∠DAD′=60°，∠ADB=∠AD′C，得出△ADD′为等边三角形，求出∠DD′C=90°，由勾股定理可得出答案．本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．20.【答案】2√1717【知识点】全等三角形的判定与性质、正方形的性质【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAE=∠D=90°，在△ABE和△ADF中，{AB=AD∠BAE=∠D AE=DF，∴△ABE≌△ADF(SAS)，∴∠ABE=∠DAF，∵∠DAF+∠FAB=90°，∴∠ABE+∠FAB=90°，∴∠AGB=90°，∴BG⊥AF，∴∠AGB=∠FGB=90°，∵点H，P分别为AB，BF的中点，∴AH=BH=GH=4，BP=FP=GP=5，∴AB=BC=CD=AD=8，BF=10，∴FC=√BF2−BC2=√102−82=6，∴DF=CD−FC=8−6=2，∴AF=√AD2+DF2=√82+22=2√17，∵∠AGE=∠D=90°，∠GAE=∠DAF，∴△GAE∽△DAF，∴AEAF =EGDF，∴EG=AE⋅DFAF =2√17=2√1717．故答案为：2√1717．根据正方形的性质证明△ABE≌△ADF，证明BG⊥AF，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得AH=BH=GH=4，BP=FP=GP=5，得AB=BC=CD=AD=8，BF=10，再根据勾股定理求出FC和AF的长，根据△GAE∽△DAF，即可得EG的长．本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是综合运用以上知识．21.【答案】解：a+3a ⋅6a2+6a+9+2a−6a2−9=a+3a⋅6(a+3)2+2(a−3)(a+3)(a−3) =6a(a+3)+2a+3=6+2aa(a+3)=2(3+a)a(a+3)=2a，当=3tan60°−√3tan45°=3√3−√3×1=3√3−√3=2√3时，原式=2√3=√33．【知识点】特殊角的三角函数值、分式的化简求值、实数的运算【解析】根据分式的乘法和加法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．22.【答案】解：(1)如图所示：线段CD即为所求；(2)如图所示：菱形CDEF即为所求．【知识点】菱形的性质、作图-平移变换【解析】(1)直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；(2)直接利用菱形的性质得出对应点位置进而得出答案．此题主要考查了平移变换以及菱形的性质，正确得出对应点位置是解题关键．23.【答案】解：(1)(4+10+12+8)÷(1−15%)=40(人)，答：在这次调查中，一共抽取了40名学生；(2)选择礼艺课程的人数为40×15%=6(人)，补全图形如下：(3)1800×8=360(人)，40答：估计其中参与“礼源”课程的学生共有360人．【知识点】扇形统计图、用样本估计总体、条形统计图【解析】(1)用“礼行、礼知、礼思、礼源”的人数和除以这四个课程人数所占百分比即可得出答案；(2)总人数乘以礼艺课程对应的百分比求出其人数，据此即可补全图形；(3)用总人数乘以样本中礼源人数所占百分比即可．本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．24.【答案】解：(1)如图所示，连接AC，交BD于O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC垂直平分BD，∴BO=DO，又∵BE=DF，∴BO=FO，∴AC垂直平分EF，∴AE=AF，又∵菱形ABCD中，AB=AD，∴在△ABE和△ADF中，{AE=AF AB=AD BE=DF，∴△ABE≌△ADF(SSS)；(2)如图所示，连接AC，交BD于O，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=90°，∴四边形ABCD是正方形，∴AC=BD=√2AB，AC=2AO，∠DAO=45°，∵∠DAF=15°，∴∠FAO=60°，∠AFO=30°，∴AF=2AO，∵AC 与EF 互相垂直平分，∴四边形AECF 是菱形，∴AE =CE =CF =AF ，∴长度等于线段AB 的长度的√2倍的线段有BD 、AF 、AE 、CE 、CF ．【知识点】菱形的性质、全等三角形的判定与性质【解析】(1)连接AC ，交BD 于O ，利用菱形的性质即可得到AB =AD ，AF =AE ，根据SSS 即可判定△ABE≌△ADF ；(2)连接AC ，交BD 于O ，依据四边形ABCD 是正方形，四边形AECF 是菱形，即可得到长度等于线段AB 的长度的√2倍的线段．本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 25.【答案】解：(1)设每台A 型电脑的价格为x 元，每台B 型打印机的价格为y 元，依题意得：{x +2y =59002x +y =8200， 解得：{x =3500y =1200． 答：每台A 型电脑的价格为3500元，每台B 型打印机的价格为1200元．(2)设学校购买m 台B 型打印机，则购买(m −1)台A 型电脑，依题意得：3500(m −1)+1200m ≤24700，解得：m ≤6．答：该学校至多能购买6台B 型打印机．【知识点】一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用【解析】(1)设每台A 型电脑的价格为x 元，每台B 型打印机的价格为y 元，根据“如果购买1台A 型电脑，2台B 型打印机，一共需要花费5900元；如果购买2台A 型电脑，1台B 型打印机，一共需要花费8200元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；(2)设学校购买m 台B 型打印机，则购买(m −1)台A 型电脑，根据总价=单价×数量结合预算费用不超过24700元，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．26.【答案】解：(1)连接AC，则∠ACB=∠ADB，∵∠BCD=ACB+∠ACD=2∠ADB=2∠ACB，∴∠ACD=∠ACB，∴AB⏜=AD⏜，∴AB=AD；(2)延长CB于点G使BG=CD，∵∠ABG=∠ADC，AB=AD，∵△AGB≌△ACD(SAS)，∴CD=BG，AG=AC，∠GAB=∠DAC，∴BC+CD=BC+BG=CG，∵BC+CD=√2AC，即CG=√2AC，即2AC2=CG2，∴AC2+AG2=CG2，∴∠GAC=90°=∠AGB+∠BAC=∠BAC+∠DAC，∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=90°，∴BD是⊙O的直径；(3)延长DE交圆O于点M，连接BM，∵BD为直径，故∠AMD=90°，∵△ABD为等腰直角三角形，DE//AB，∴AD⊥MD，即∠ADM=90°，∵∠BAD=∠ADM=∠BMD=90°，故四边形ABMD为矩形，∵AB=AD，故四边形ABMD为正方形，设∠CDE=α，则CBM=∠CDE=α，则tan∠CDE=13=tanα，则sinα=√10，cosα=√10，在Rt△AMB中，EM=BEsin∠CBM=10⋅sinα=√10，MB=BEcosα=3√10，则正方形ABMD的边长为3√10，则MD=3√10，则DE=MD−EM=3√10=√10=2√10，在Rt△EDC中，DE=2√10，tan∠EDC=13=tanα，同理可得：CE=2，CD=6，过点F作FN⊥CD于点N，∵∠ACD=45°，则FN=NC=√22FC，设FN=NC=x，FC=√2x，则tan∠EDN=13=ENDN，则DN=3FN=3x，则CD=CN+DN=x+3x=6，解得x=32，则CF=3√22，∵BC+CD=18=√2AC，故AC=9√2，∴AF=AC−FC=9√2−3√22=15√22．【知识点】圆的综合【解析】(1)连接AC，则∠ACB=∠ADB，证明∠BCD=ACB+∠ACD=2∠ADB=2∠ACB，即可求解；(2)证明△AGB≌△ACD(SAS)，由BC+CD=√2AC得到即CG=√2AC，进而求解；(3)证明四边形ABMD为正方形，求出DE=MD−EM=3√10=√10=2√10，在Rt△EDC 中，DE =2√10，则tan∠EDN =13=EN DN ，则DN =3FN =3x ，则CD =CN +DN =x +3x =6，解得x =32，则CF =3√22，BC +CD =18=√2AC ，故AC =9√2，即可求解． 本题是圆的综合题，主要考查了特殊四边形的性质、三角形全等、解直角三角形等，综合性强，难度较大．27.【答案】解：(1)在y =−x +5中，令x =0，得y =5，令y =0，得x =5， ∴A(5,0)，B(0,5)，∵直线y =52x +b 经过点B ，∴b =5，∴y =52x +5，令y =0，得52x +5=0，解得：x =−2，∴C(−2,0)；(2)如图1，延长FE 交x 轴于点P ，∵DE//x 轴，∴∠OCD =∠FDE ，∠EDO =∠COD =∠DEP =∠DOP =90°，∴四边形OPED 是矩形，tan∠OCD =tan∠FDE ，∴PE =OD =t ，DE =OP ，∠OPE =90°，∵OA =OB ，∠AOB =90°，∴∠OAB =∠OBA =45°，∴∠AEP =∠PAE =45°，∴PA =PE =t ，∴DE =OP =OA −PA =5−t ，在Rt △DEF 中，tan∠EDF =EF DE =d 5−t ，在Rt △COD 中，tan∠OCD =OD OC =t 2， ∴d 5−t =t 2， ∴d =−12t 2+52t ；(3)如图2，过点F 作FR ⊥EG ，垂足为点R ，过点F 作FQ ⊥OB ，垂足为点Q ，过点B 作BT ⊥CF ，垂足为T ，过点N 作NK ⊥OB ，垂足为K ，连接FM ，∵EF 2−FG 2=(FR 2+ER 2)−(FR 2−GR 2)=ER 2−GR 2=(ER +GR)(ER −GR)=EG ⋅(ER −GR)，∴EF2=EG⋅(ER−GR)+FG2，∵EF2=EM⋅EG+FG2，∴EM=ER−GR，∴GR=ER−EM=RM，∴FG=FM，∴∠FMG=∠FGM，∵OM//CF，∴∠OMG=∠FGM=∠FMG，∵∠OMG+∠EMH=180°，∠FMG+∠EMF=180°，∴∠EMH=∠EMF，∵DE//x轴，∴∠HEM=∠OAB=45°=∠FEM，∵EM=EM，∴△EHM≌△EFM(ASA)，∴EH=EF=d，∵DH//OC，CD//OH，∴四边形COHD是平行四边形，∴DH=CO=2，∴EH=DE−DH=5−t−2=3−t=d，∴3−t=−12t2+52t，解得：t1=1，t2=6(舍去)，∴OD=1，DE=4，EF=2，BD=4，∴DF=√DE2+EF2=2√5，∵∠DEF=∠EDQ=∠DQF=90°，∴四边形DEFQ为矩形，∴DQ=EF=2=BQ，FQ=DE=4，∴FB=FD，∴∠DBF=∠BDF，∴∠BNC=2∠DBF=∠DBF+∠BDF，∵∠DBF+∠BDF+∠BFD=180°，∴∠BNC+∠BFD=180°，∵∠BNC+∠BNF=180°，∴∠BND =∠BNF ，∴BN =BF =DF =2√5，∵S △BDF =12⋅BD ⋅FQ =12⋅DF ⋅BT ，∴12×4×4=12×2√5×BT ， ∴BT =8√55， 在Rt △BDT 中，DT =√BD 2−BT 2=(8√55)=4√55， 在Rt △BNT 中，NT =√BN 2−BT 2=(√5)=6√55， ∴DN =NT −DT =6√55−4√55=2√55， ∵tan∠NDK =tan∠CDO =OC OD =2，∴DK =25，NK =45，∴OK =35， ∴点N 的坐标为(−45,35)， 设直线BN 的解析式为y =mx +n ，∴{n =5−45m +n =35，解得：{m =112n =5， ∴直线BN 的解析式为y =112x +5．【知识点】一次函数综合【解析】(1)由y =−x +5求得点A 、B 坐标，再将B 点坐标代入y =52x +b 中，便可求得b ；(2)延长FE 交x 轴于点P ，先证明四边形OPED 是矩形，在Rt △DEF 和Rt △COD 中，运用三角函数定义即可得到答案．(3)过点F 作FR ⊥EG ，垂足为点R ，过点F 作FQ ⊥OB ，垂足为点Q ，过点B 作BT ⊥CF ，垂足为T ，过点N 作NK ⊥OB ，垂足为K ，连接FM ，先证明△EHM≌△EFM ，再证明四边形COHD 是平行四边形，建立方程求解得t 的值，再证明四边形DEFQ 为矩形，利用勾股定理和三角函数定义求得点N 的坐标，再运用待定系数法可求得直线BN 的解析式．本题是一次函数的综合题，主要考查了一次函数的图象与性质，待定系数法，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，平行四边形的判定与性质，矩形的性质与判定，综合性强，难度较大．添加辅助线构造直角三角形，运用方程思想是解题关键．。
黑龙江省哈尔滨市2019-2020学年九年级数学中考模拟试卷考生须知：1.本试卷满分120分，时间为120分钟2.答题前,考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚,将“条形码”准确粘贴在条形码区域内3.请按照题号顺序在答题卡各题目的区域内作答,超出答题区域的答案无效，在草稿纸上,试题纸上答案无效4.选择题必领使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚5.保持卡面整洁,不要折叠、不要弄脏、弄皱,不准使用涂改液、刮纸刀 一、选择题:(每小题3分,共计30分) 1.下列各数中,小于-2的数是（） A. B.-π C.-1 D.1 2.下列运算中,正确的是()A. B. C. D.3.下列四个图形中既是轴对称图形,又是中心称图形的是()A B C D 4.如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形,则它的俯视图为()21-623a a a =∙()633xx=1055x x x =+448-a a a -=÷5.关于二次函数y=-2(x-3)+5的最大值,下列说法正确的是()A.最大值是3B.最大值是-3C.最大值是5D.最大值是-56.反比例函数y=图象上的两个点为()、(),且,则下列式子一定成立的是()A. B. C. D.不能确定7.如图,从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°,如果此时热气球C处的高度CD为100m,点A、D、B在同一直线上,CD⊥AB,则A、B两点的距离是(）A.200mB.200mC.mD.8.如图,点F是矩形ABCD的边CD上一点,射线BF交AD的延长线于点E,则下列结论错误的是（）第7题第8题第9题A. B. C. D.9.如图,四边形ABCD内接于⊙0,ABCO是平行四边形,则∠ADC=(）A.45°B.50°C.60°D.75°40.小颖家到学校1200米,其中有一段为上坡路,另一段为下坡路，她去学校共用了16分钟。
