费马大定理的证明

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论文题目：费马大定理的证明Paper topic：Proof of FLT papers

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【摘要】： 本文运用勾股定理，奇偶性质的讨论，整除性的对比及对等式有解的分析将费马大定理的证明由对N>2的情况转换到证明n=4,n=p 时方程n n n x

y z +=无解。

【关键字】：费马大定理（FLT ）证明

Abstract : Using the Pythagorean proposition, parity properties, division of the contrast and analysis of the solutions for the equations to proof of FLT in N > 2 by the situation to prove N = 4, N = p equation no solution.

Keywords: Proof of FLT (FLT)

引言：

1637年，费马提出：“将一个立方数分为两个立方数，一个四次幂分为两个四次幂，或者一般地将一个高于二次的幂分为两个同次的幂，这是不可能的。”即方程 n n n x y z +=无正整数解。

当正整数指数n ＞2时，没有正整数解。当然xyz=o 除外。这就是费马大定理（FLT ），于1670年正式发表。费马还写道：“关于此，我确信已发现一种奇妙的证法，可惜这里的空白太小，写不下”。[1]

1992年，蒋春暄用p 阶和4n 阶复双曲函数证明FLT 。

1994年，怀尔斯用模形式、谷山—志村猜想、伽罗瓦群等现代数学方法间接证明FLT ，但是他的证明明显与费马设想的证明不同。

据前人研究，任何一个大于2的正整数n ，或是4的倍数，或是一个奇素数的倍数，因此证明FLT ，只需证明两个指数n=4及n=p 时方程没有正整数解即可。方程 444x y z +=无正整数解已被费马本人及贝西、莱布尼茨、欧拉所证明。方程 n n n x y z +=无正整数解，n=3被欧拉、高斯所证明；n=5被勒让德、狄利克雷所证明；n=7被拉梅所证明；特定条件下的n 相继被数学家所证明；现在只需继续证明一般条件下方程n n n x y z +=没有正整数解，即证明FLT 。[2]

本文通过运用勾股定理，对奇偶性质的讨论，整除性的对比及对等式有解的分析证明4n =，n p =时n n n x y z +=无正整数解。

费马大定理的初等证明

（一）n=4时的证明

在x,y,z 彼此互素，x 为偶数时设方程

444

x y z += (1) 的解为(x,y,z)。这里，正整数解简称为解，以下也是如此。

根据勾股定理，式（1）的解为

22x mn = (2) 222y m n =- (3)

222z m n =+ (4)[3]

这里，m>n>0，(m,n)=1，m 为奇数，n 为偶数。于是，在（2）有解的同时，式（3）也同时有解。设是式（3）所有最小解。

根据勾股定理，式（3）的解为

22m a b =+ (5)

2n ab = (6)

22y a b =- (7)

这里，a>b>0，(a,b)=1，ab 为偶。由式（2），（5），（6）可有

22

4()x ab a b =+ (8)

因为22(4,)1ab a b +=，由式（8）可有 24c ab = (9)

24e ab = (10)

于是，从式（10）可以得出，(a,b,e)也是式（3）的解。由式（5），（10）可有

222m a b e e =+=>

m e >[4]

这与假设是式（3）的最小解相矛盾。因此，在式（2）有解的同时，式（3）无解，进而式

（1）无解。

（二）n=p 的证明

在x,y,z 彼此互素时，设方程

p p p x y z += (1)

的解为(x,y,z)。由式（1）可有，

222

222()()()p p p x y z += (2)

因此，(x,y,z)也为式（2）的解。这里，p 为奇素数。

根据勾股定理，由式（2）可知，z 只能为奇数。于是，在x 为偶数时式（2）的解为 2

2p x mn = (3)

222p

y m n =- (4) 222

p z m n =+ (5)

这里m>n>0，(m,n)=1，mn 为偶数，即为mn 一奇一偶

由式（3），（4），（5）可知，x,y,z 又只能都为平方数。设222,,x r y s z t ===，则式

（2）和式（1）为 222p p p r s t += (6)

（1） 方程（6）可为

222()()()p p p s t r =- (7)

方程（7）的解为

(,)(,)p r n g m n n g n m =或 (8)

222s m n =- (9)

(,)p t m f m n = (10)

这里，m>n>0，(m,n)=1,m 为奇数，n 为偶数；(,(,))1m f m n =或 ,p (,(,))1n g m n p =或;

0123232311(,)p p p p p p p p p p f m n C m C m n C m n C n ------=++++

(11)

113322231(,)p p p p p p p p p p g m n C m C m n C m n C n -----=++++

(12)

0123232311(,)p p p p p p p p p p g n m C n C n m C n m C m ------=++++

(13) 其中，(,)g n m 式子中的各项是分别是把(,)g n m 式子中的各项颠倒过来写的，并且

i

p i p p

C C -=(i=0,1,2,…,p -1,p)。于是，在式（9）有解的同时，式（8）也同时有解。[5] 由式（24），式（9）的解为