分布拟合检验

数据分布拟合检验的数学模型摘 要假设检验的基本思想，讨论当总体分布为正态时，关于其中未知参数的假设检验问题，可能遇到这样的情形，总体服从何种理论分布并不知道，要求我们直接对总体分布提出一个假设 。

一般的各种检验法, 是在总体分布类型已知的情况下, 对其中的未知参数进行检验, 这类统计检验法统称为参数检验. 在实际问题中, 有时我们并不能确切预知总体服从何种分布, 这时就需要根据来自总体的样本对总体的分布进行推断, 以判断总体服从何种分布。

这类统计检验称为非参数检验. 解决这类问题的工具之一是英国统计学家K. 皮尔逊在1900年发表的一篇文章中引进的——2χ检验法。

关键词：数据检验 分布拟合 2χ检验法一、问题重述①、问题背景：自1965年1月1日至1971年2月9日共2231天中，全世界记录到里氏震级4级和4级以上地震计162次，统计如下：相继两次地震记录表：86681017263150403935343029252420191514109540出现的频率间隔天数--------x 试检验相继两次地震间隔的天数X 服从指数分布(=α0.05)。

在概率论中，大家对泊松分布产生的一般条件已有所了解，容易想到，每年的次数，可以用一个泊松随机变量来近似描述。

也就是说，我们可以假设每年爆发战争次数分布X 近似泊松分布。

现在的问题是：上面的数据能否证实X 具有泊松分布的假设是正确的？②、检验法的基本思想检验法是在总体X 的分布未知时, 根据来自总体的样本, 检验总体分布的假设的一2χ种检验方法。

具体进行检验时，先提出原假设:0H : 总体X 的分布函数为)(x F然后根据样本经验分布和所假设的理论分布之间的吻合程度来决定是否接受原假设。

这种检验通常称作拟合优度检验. 它是一种非参数检验. 一般地, 我们总是根据样本观察值用直方图和经验分布函数, 推断出总体可能服从的分布, 然后作检验.1、 通过提出的方案和计算来决定给出数据分布拟合检验的数学模型的的情况。

二项分布拟合优度检验
二项分布拟合优度检验是一种用于检验观察数据是否符合二项分布的统计方法。

二项分布拟合优度检验的步骤如下：
1. 假设检验：
- 零假设H0：观察数据符合二项分布。

- 备择假设H1：观察数据不符合二项分布。

2. 计算期望频数：
- 计算每个类别的期望频数，期望频数等于总样本量乘以对
应类别的理论概率。

3. 计算卡方统计量：
- 计算卡方统计量，公式为：X² = Σ((观察频数-期望频数)²/期望频数)，其中Σ表示对所有类别求和。

4. 查表计算P值：
- 根据类别数减去1和给定的显著性水平，查询卡方分布表，得到拒绝域的卡方值。

- 如果计算得到的卡方统计量大于表中的卡方值，则拒绝零
假设，否则不能拒绝零假设。

- 根据卡方分布表，还可以计算拒绝域的P值，如果计算得
到的P值小于给定的显著性水平，则拒绝零假设。

如果拒绝了零假设，则可以认为观察数据不符合二项分布；如果不能拒绝零假设，则可以认为观察数据符合二项分布。

%--------------------------------------------------------------------------% 分布的拟合与检验%--------------------------------------------------------------------------%--------------------------------------------------------------------------% 描述性统计量和统计图%--------------------------------------------------------------------------%读取文件中数据% 读取文件examp02_14.xls的第1个工作表中的G2G52中的数据,即总成绩数据score = xlsread('examp02_14.xls','Sheet1','G2G52';% 去掉总成绩中的0,即缺考成绩score = score(score 0;%计算描述性统计量score_mean = mean(score % 计算平均成绩s1 = std(score % 计算(5.1式的标准差s1 = std(score,0 % 也是计算(5.1式的标准差s2 = std(score,1 % 计算(5.2式的标准差score_max = max(score % 计算样本最大值score_min = min(score % 计算样本最小值score_range = range(score % 计算样本极差score_median = median(score % 计算样本中位数score_mode = mode(score % 计算样本众数score_cvar = std(scoremean(score % 计算变异系数score_skewness = skewness(score % 计算样本偏度score_kurtosis = kurtosis(score % 计算样本峰度%绘制箱线图figure; % 新建图形窗口boxlabel = {'考试成绩箱线图'}; % 箱线图的标签% 绘制带有刻槽的水平箱线图boxplot(score,boxlabel,'notch','on','orientation','horizontal' xlabel('考试成绩'; % 为X轴加标签%绘制频率直方图% 调用ecdf函数计算xc处的经验分布函数值f[f, xc] = ecdf(score;figure; % 新建图形窗口% 绘制频率直方图ecdfhist(f, xc, 7;xlabel('考试成绩'; % 为X轴加标签ylabel('f(x'; % 为Y轴加标签%绘制理论正态分布密度函数图% 产生一个新的横坐标向量xx = 400.5100;% 计算均值为mean(score,标准差为std(score的正态分布在向量x处的密度函数值y = normpdf(x,mean(score,std(score;hold onplot(x,y,'k','LineWidth',2 % 绘制正态分布的密度函数曲线,并设置线条为黑色实线,线宽为2% 添加标注框,并设置标注框的位置在图形窗口的左上角legend('频率直方图','正态分布密度曲线','Location','NorthWest';%绘制经验分布函数图figure; % 新建图形窗口% 绘制经验分布函数图,并返回图形句柄h和结构体变量stats,% 结构体变量stats有5个字段,分别对应最小值、最大值、平均值、中位数和标准差[h,stats] = cdfplot(scoreset(h,'color','k','LineWidth',2; % 设置线条颜色为黑色,线宽为2%绘制理论正态分布函数图x = 400.5100; % 产生一个新的横坐标向量x% 计算均值为stats.mean,标准差为stats.std的正态分布在向量x处的分布函数值y = normcdf(x,stats.mean,stats.std;hold on% 绘制正态分布的分布函数曲线,并设置线条为品红色虚线,线宽为2plot(x,y,'k','LineWidth',2;% 添加标注框,并设置标注框的位置在图形窗口的左上角legend('经验分布函数','理论正态分布','Location','NorthWest';%绘制正态概率图figure; % 新建图形窗口normplot(score; % 绘制正态概率图%--------------------------------------------------------------------------% 分布的检验%--------------------------------------------------------------------------%读取文件中数据% 读取文件examp02_14.xls的第1个工作表中的G2G52中的数据,即总成绩数据score = xlsread('examp02_14.xls','Sheet1','G2G52';% 去掉总成绩中的0,即缺考成绩score = score(score 0;%调用chi2gof函数进行卡方拟合优度检验% 进行卡方拟合优度检验[h,p,stats] = chi2gof(score% 指定各初始小区间的中点ctrs = [50 60 70 78 85 94];% 指定'ctrs'参数,进行卡方拟合优度检验[h,p,stats] = chi2gof(score,'ctrs',ctrs[h,p,stats] = chi2gof(score,'nbins',6 % 指定'nbins'参数,进行卡方拟合优度检验% 指定分布为默认的正态分布,分布参数由x进行估计[h,p,stats] = chi2gof(score,'nbins',6;% 求平均成绩ms和标准差ssms = mean(score;ss = std(score;% 参数'cdf'的值是由函数名字符串与函数中所含参数的参数值构成的元胞数组[h,p,stats] = chi2gof(score,'nbins',6,'cdf',{'normcdf', ms, ss};% 参数'cdf'的值是由函数句柄与函数中所含参数的参数值构成的元胞数组[h,p,stats] = chi2gof(score,'nbins',6,'cdf',{@normcdf, ms, ss};% 同时指定'cdf'和'nparams'参数[h,p,stats] = chi2gof(score,'nbins',6,'cdf',{@normcdf,ms,ss},'nparams',2[h,p] = chi2gof(score,'cdf',@normcdf % 调用chi2gof函数检验数据是否服从标准正态分布% 指定初始分组数为6,检验总成绩数据是否服从参数为ms = 79的泊松分布[h,p] = chi2gof(score,'nbins',6,'cdf',{@poisscdf, ms}% 指定初始分组数为6,最小理论频数为3,检验总成绩数据是否服从正态分布h = chi2gof(score,'nbins',6,'cdf',{@normcdf, ms, ss},'emin',3%调用jbtest函数进行正态性检验randn('seed',0 % 指定随机数生成器的初始种子为0x = randn(10000,1; % 生成10000个服从标准正态分布的随机数h = jbtest(x % 调用jbtest函数进行正态性检验x(end = 5; % 将向量x的最后一个元素改为5h = jbtest(x % 再次调用jbtest函数进行正态性检验% 调用jbtest函数进行Jarque-Bera检验[h,p,jbstat,critval] = jbtest(score%调用kstest函数进行正态性检验% 生成cdf矩阵,用来指定分布:均值为79,标准差为10.1489的正态分布cdf = [score, normcdf(score, 79, 10.1489];% 调用kstest函数,检验总成绩是否服从由cdf指定的分布[h,p,ksstat,cv] = kstest(score,cdf%调用kstest2函数检验两个班的总成绩是否服从相同的分布% 读取文件examp02_14.xls的第1个工作表中的B2B52中的数据,即班级数据banji = xlsread('examp02_14.xls','Sheet1','B2B52';% 读取文件examp02_14.xls的第1个工作表中的G2G52中的数据,即总成绩数据score = xlsread('examp02_14.xls','Sheet1','G2G52';% 去除缺考数据score = score(score 0;banji = banji(score 0;% 分别提取60101和60102班的总成绩score1 = score(banji == 60101;score2 = score(banji == 60102;% 调用kstest2函数检验两个班的总成绩是否服从相同的分布[h,p,ks2stat] = kstest2(score1,score2%分别绘制两个班的总成绩的经验分布图figure; % 新建图形窗口% 绘制60101班总成绩的经验分布函数图F1 = cdfplot(score1;% 设置线宽为2,颜色为红色set(F1,'LineWidth',2,'Color','r'hold on% 绘制60102班总成绩的经验分布函数图F2 = cdfplot(score2;% 设置线型为点划线,线宽为2,颜色为黑色set(F2,'LineStyle','-.','LineWidth',2,'Color','k'% 为图形加标注框,标注框的位置在坐标系的左上角legend('60101班总成绩的经验分布函数','60102班总成绩的经验分布函数',...'Location','NorthWest'%调用kstest2函数进行正态性检验randn('seed',0 % 指定随机数生成器的初始种子为0% 产生10000个服从均值为79,标准差为10.1489的正态分布的随机数,构成一个列向量xx = normrnd(mean(score,std(score,10000,1;% 调用kstest2函数检验总成绩数据score与随机数向量x是否服从相同的分布[h,p] = kstest2(score,x,0.05%调用lillietest函数进行分布的检验% 调用lillietest函数进行Lilliefors检验,检验总成绩数据是否服从正态分布[h,p,kstat,critval] = lillietest(score% 调用lillietest函数进行Lilliefors检验,检验总成绩数据是否服从指数分布[h, p] = lillietest(score,0.05,'exp'。

数据分布拟合检验的数学模型摘 要假设检验的基本思想，讨论当总体分布为正态时，关于其中未知参数的假设检验问题，可能遇到这样的情形，总体服从何种理论分布并不知道，要求我们直接对总体分布提出一个假设 。

一般的各种检验法, 是在总体分布类型已知的情况下, 对其中的未知参数进行检验, 这类统计检验法统称为参数检验. 在实际问题中, 有时我们并不能确切预知总体服从何种分布, 这时就需要根据来自总体的样本对总体的分布进行推断, 以判断总体服从何种分布。

这类统计检验称为非参数检验. 解决这类问题的工具之一是英国统计学家K. 皮尔逊在1900年发表的一篇文章中引进的——2χ检验法。

关键词：数据检验 分布拟合 2χ检验法一、问题重述①、问题背景：自1965年1月1日至1971年2月9日共2231天中，全世界记录到里氏震级4级和4级以上地震计162次，统计如下：相继两次地震记录表：86681017263150403935343029252420191514109540出现的频率间隔天数--------x 试检验相继两次地震间隔的天数X 服从指数分布(=α0.05)。

在概率论中，大家对泊松分布产生的一般条件已有所了解，容易想到，每年的次数，可以用一个泊松随机变量来近似描述。

也就是说，我们可以假设每年爆发战争次数分布X 近似泊松分布。

现在的问题是：上面的数据能否证实X 具有泊松分布的假设是正确的？②、检验法的基本思想检验法是在总体X 的分布未知时, 根据来自总体的样本, 检验总体分布的假设的一2χ种检验方法。

具体进行检验时，先提出原假设:0H : 总体X 的分布函数为)(x F然后根据样本经验分布和所假设的理论分布之间的吻合程度来决定是否接受原假设。

这种检验通常称作拟合优度检验. 它是一种非参数检验. 一般地, 我们总是根据样本观察值用直方图和经验分布函数, 推断出总体可能服从的分布, 然后作检验.1、 通过提出的方案和计算来决定给出数据分布拟合检验的数学模型的的情况。

常见的几种非参数检验方法非参数检验是一种不需要对数据进行假设检验的统计方法，它不需要满足正态分布等前提条件，因此被广泛应用于实际数据分析中。

在本文中，我们将介绍常见的几种非参数检验方法。

一、Wilcoxon符号秩检验Wilcoxon符号秩检验是一种用于比较两个相关样本之间差异的非参数检验方法。

它基于样本差异的符号和秩来计算统计量，并通过查表或使用软件进行显著性判断。

二、Mann-Whitney U检验Mann-Whitney U检验是一种用于比较两个独立样本之间差异的非参数检验方法。

它基于样本排名来计算统计量，并通过查表或使用软件进行显著性判断。

三、Kruskal-Wallis H检验Kruskal-Wallis H检验是一种用于比较多个独立样本之间差异的非参数检验方法。

它基于样本排名来计算统计量，并通过查表或使用软件进行显著性判断。

四、Friedman秩和检验Friedman秩和检验是一种用于比较多个相关样本之间差异的非参数检验方法。

它基于样本排名来计算统计量，并通过查表或使用软件进行显著性判断。

五、符号检验符号检验是一种用于比较两个相关样本之间差异的非参数检验方法。

它基于样本差异的符号来计算统计量，并通过查表或使用软件进行显著性判断。

六、秩相关检验秩相关检验是一种用于比较两个相关样本之间关系的非参数检验方法。

它基于样本排名来计算统计量，并通过查表或使用软件进行显著性判断。

七、分布拟合检验分布拟合检验是一种用于检验数据是否符合某个特定分布的非参数检验方法。

它基于样本数据与理论分布之间的差异来计算统计量，并通过查表或使用软件进行显著性判断。

八、重复测量ANOVA重复测量ANOVA是一种用于比较多个相关样本之间差异的非参数检验方法。

它基于样本方差和均值来计算统计量，并通过查表或使用软件进行显著性判断。

九、Bootstrap法Bootstrap法是一种用于估计总体参数和构建置信区间的非参数方法。

它基于自助重采样技术来生成大量虚拟样本，以此估计总体参数和构建置信区间。

分布拟合检验分布拟合检验是一种统计方法，用于验证一个随机变量是否符合某个特定的概率分布。

在许多实际问题中，我们常常需要根据观测数据来推断数据的分布情况，而分布拟合检验可以帮助我们判断观测数据是否与我们假设的分布相符合。

我们需要明确什么是分布拟合检验。

分布拟合检验通过计算观测数据与理论分布之间的差异程度，来判断观测数据是否服从某个特定的概率分布。

常用的分布拟合检验方法有卡方检验和Kolmogorov-Smirnov检验。

卡方检验是一种基于频数的检验方法，它将观测数据根据某个分布的概率密度函数进行分组，并计算观测频数与理论频数之间的差异。

通过比较观测频数和理论频数之间的差异程度，我们可以判断观测数据是否符合某个特定的概率分布。

Kolmogorov-Smirnov检验是一种基于累积分布函数的检验方法，它通过计算观测数据的经验分布函数与理论分布的累积分布函数之间的最大差异，来判断观测数据是否符合某个特定的概率分布。

下面以一个例子来说明分布拟合检验的具体步骤。

假设我们有一组观测数据，表示某种产品的寿命。

我们想要验证这些数据是否符合指数分布。

我们需要根据观测数据计算出经验分布函数。

经验分布函数是指在某个点上，小于或等于该点的观测值的比例。

通过计算观测数据的经验分布函数，我们可以得到一个累积分布函数的曲线。

然后，我们需要计算出指数分布的理论累积分布函数。

指数分布是一种常见的连续概率分布，它描述了独立随机事件发生的时间间隔的概率分布。

根据指数分布的参数估计，我们可以计算出理论累积分布函数的曲线。

接下来，我们使用Kolmogorov-Smirnov检验来比较观测数据的经验分布函数与指数分布的理论累积分布函数之间的差异。

具体来说，我们计算出两个分布函数之间的最大差异，并根据该差异值和显著性水平，来判断观测数据是否符合指数分布。

我们还可以使用卡方检验来验证观测数据是否符合指数分布。

卡方检验通过计算观测频数与理论频数之间的差异，来判断观测数据是否符合指数分布。

分布拟合检验1.检验数据是否服从正态分布一、图示法1、P-P图以样本的累计频率作为横坐标，以安装正态分布计算的相应累计概率作为纵坐标，把样本值表现为直角坐标系中的散点。

如果资料服从整体分布，则样本点应围绕第一象限的对角线分布。

2、Q-Q图以样本的分位数作为横坐标，以按照正态分布计算的相应分位点作为纵坐标，把样本表现为指教坐标系的散点。

如果资料服从正态分布，则样本点应该呈一条围绕第一象限对角线的直线。

以上两种方法以Q-Q图为佳，效率较高。

3、直方图判断方法：是否以钟形分布，同时可以选择输出正态性曲线。

4、箱式图判断方法：观测离群值和中位数。

5、茎叶图类似与直方图，但实质不同。

二、计算法1、偏度系数（Skewness）和峰度系数（Kurtosis）计算公式：g1表示偏度，g2表示峰度，通过计算g1和g2及其标准误σg1及σg2然后作U检验。

两种检验同时得出U<U0.05=1.96，即p>0.05的结论时，才可以认为该组资料服从正态分布。

由公式可见，部分文献中所说的“偏度和峰度都接近0……可以认为……近似服从正态分布”并不严谨。

2、非参数检验方法非参数检验方法包括Kolmogorov-Smirnov检验（D检验）和Shapiro- Wilk（W 检验）。

SAS中规定：当样本含量n≤2000时，结果以Shapiro – Wilk（W检验）为准，当样本含量n >2000时，结果以Kolmogorov – Smirnov（D检验）为准。

SPSS中则这样规定：（1）如果指定的是非整数权重，则在加权样本大小位于3和50之间时，计算Shapiro-Wilk统计量。

对于无权重或整数权重，在加权样本大小位于3和5000之间时，计算该统计量。

由此可见，部分SPSS教材里面关于“Shapiro –Wilk适用于样本量3-50之间的数据”的说法是在是理解片面，误人子弟。

（2）单样本Kolmogorov-Smirnov检验可用于检验变量（例如income）是否为正态分布。