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§3.3 多元线性回归模型的统计检验 一、拟合优度检验1、可决系数与调整的可决系数在一元线性回归模型中，使用可决系数2R 来衡量样本回归线对样本观测值的拟合程度。
在多元线性回归模型中，我们也可用该统计量来衡量样本回归线对样本观测值的拟合程度。
记∑-=2)(Y Y TSS i 为总离差平方和，∑-=2)ˆ(Y Y ESS i 为回归平方和，∑-=2)ˆ(ii Y Y RSS 为剩余平方和，则 2222)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ())ˆ()ˆ(()(Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y TSS ii i i i i ii i i -∑+--∑+-∑=-+-∑=-∑= 由于∑∑-=--)ˆ()ˆ)(ˆ(Y Y e Y Y Y Y iiii∑∑∑∑++++=i ki i k i i i e Y X e X e e βββˆˆˆ110=0 所以有：ESS RSS Y Y Y Y TSS ii i +=-+-=∑∑22)ˆ()ˆ( （3.3.1） 即总离差平方和可分解为回归平方和与剩余平方和两部分。
回归平方和反映了总离差平方和中可由样本回归线解释的部分，它越大，剩余平方和越小，表明样本回归线与样本观测值的拟合程度越高。
因此，可用回归平方和占总离差平方和的比重来衡量样本回归线对样本观测值的拟合程度：TSSRSSTSS ESS R -==12 (3.3.2)该统计量越接近于1，模型的拟合优度越高。
在应用过程中发现，如果在模型中增加一个解释变量，2R 往往增大。
这是因为残差平方和往往随着解释变量个数的增加而减少，至少不会增加。
这就给人一个错觉：要使得模型拟合得好，只要增加解释变量即可。
但是，现实情况往往是，由增加解释变量个数引起的2R 的增大与拟合好坏无关，因此在多元回归模型之间比较拟合优度，2R 就不是一个适合的指标，必须加以调整。
在样本容量一定的情况下，增加解释变量必定使得自由度减少，所以调整的思路是将残差平方和与总离差平方和分别除以各自的自由度，以剔除变量个数对拟合优度的影响。
f检验表完整版一、F检验的概述1.F检验的定义F检验，又称F分布检验，是一种用于比较两个样本均值是否显著不同的统计方法。
它是由英国统计学家威廉·戈塞特（William Gosset）在20世纪初发现的，主要用于方差分析、独立性检验和拟合优度检验等。
2.F检验的应用场景F检验广泛应用于以下场景：（1）方差分析：在实验设计中，比较多个实验组与对照组的均值差异是否显著。
（2）独立性检验：检验两个分类变量之间是否存在显著关联。
（3）拟合优度检验：评估线性回归模型的拟合效果，检验观测值与预测值之间的差异是否显著。
二、F检验的计算过程1.总体方差的计算总体方差（σ）表示所有观测值与总体均值之间的差异平方和的平均值。
计算公式为：σ= Σ（xi - μ）/ n其中，xi为每个观测值，μ为总体均值，n为样本数量。
2.样本方差的计算样本方差（S）表示样本中每个观测值与样本均值之间的差异平方和的平均值。
计算公式为：S = Σ（xi - x）/ (n - 1)其中，xi为每个观测值，x为样本均值，n为样本数量。
3.F值的计算F值是用来比较总体方差与样本方差的比值。
计算公式为：F = (Σ（xi - μ）/ σ) / (Σ（xi - x）/ S)4.F检验的判断标准当F值大于临界值时，认为两个样本的均值存在显著差异。
临界值的确定取决于显著性水平和自由度。
自由度等于样本数量减去1。
三、F检验的优缺点1.优点（1）F检验具有较强的推断能力，可以较为准确地判断均值差异。
（2）适用范围广泛，可以应用于多种统计分析场景。
2.缺点（1）对样本数量有一定要求，当样本数量较小（如n < 30）时，F检验的准确性降低。
（2）对总体分布有一定要求，当总体分布与假设不符时，F检验的结果可能出现偏差。
四、F检验在实际应用中的案例分析1.案例介绍某研究者想要探究不同教学方法对学生数学成绩的影响，随机抽取了两个班级进行实验。
实验结束后，分别计算出两个班级的数学成绩均值，分别为70和80。
第一章导论1、截面数据：截面数据是许多不同的观察对象在同一时间点上的取值的统计数据集合，可理解为对一个随机变量重复抽样获得的数据。
2、时间序列数据:时间序列数据是同一观察对象在不同时间点上的取值的统计序列，可理解为随时间变化而生成的数据。
3、虚变量数据:虚拟变量数据是人为设定的虚拟变量的取值。
是表征政策、条件等影响研究对象的定性因素的人工变量，其取值一般只取“0”或“1”。
4、内生变量与外生变量:。
内生变量是由模型系统决定同时可能也对模型系统产生影响的变量，是具有某种概率分布的随机变量,外生变量是不由模型系统决定但对模型系统产生影响的变量，是确定性的变量。
第二章一元线性回归模型1、总体回归函数：是指在给定X i下Y分布的总体均值与X i所形成的函数关系（或者说将总体被解释变量的条件期望表示为解释变量的某种函数）2、最大似然估计法（ML): 又叫最大或然法,指用产生该样本概率最大的原则去确定样本回归函数的方法。
3、OLS估计法：指根据使估计的剩余平方和最小的原则来确定样本回归函数的方法。
4、残差平方和：用RSS表示,用以度量实际值与拟合值之间的差异，是由除解释变量之外的其他因素引起的被解释变量变化的部分。
5、拟合优度检验：指检验模型对样本观测值的拟合程度，用表示,该值越接近1表示拟合程度越好。
第三章多元线性回归模型1、多元线性回归模型:在现实经济活动中往往存在一个变量受到其他多个变量影响的现象，表现在线性回归模型中有多个解释变量,这样的模型被称做多元线性回归模型，多元是指多个解释变量2、调整的可决系数：又叫调整的决定系数，是一个用于描述多个解释变量对被解释变量的联合影响程度的统计量，克服了随解释变量的增加而增大的缺陷，与的关系为。
3、偏回归系数：在多元回归模型中，每一个解释变量前的参数即为偏回归系数，它测度了当其他解释变量保持不变时，该变量增加1单位对被解释变量带来的平均影响程度。
4、正规方程组:采用OLS方法估计线性回归模型时，对残差平方和关于各参数求偏导,并令偏导数为0后得到的方程组,其矩阵形式为。
回归分析中的线性模型选择与评估回归分析是统计学中一种重要的数据分析方法，用于探索自变量与因变量之间的关系。
在回归分析中，线性模型的选择与评估是非常关键的环节。
本文将介绍回归分析中的线性模型选择与评估的方法和步骤。
一、线性模型选择在线性回归分析中，线性模型的选择是基于变量之间的关系和模型的拟合程度。
常见的线性模型选择方法有以下几种：1. 前向选择法（Forward Selection）：从一个空模型开始，逐步添加自变量，每次添加一个最相关的自变量，直到满足一定的准则为止。
2. 后向消元法（Backward Elimination）：从一个包含所有自变量的完全模型开始，逐步剔除最不相关的自变量，直到满足一定的准则为止。
3. 逐步回归法（Stepwise Regression）：结合前向选择法和后向消元法，既可以添加自变量，也可以剔除不相关的自变量。
4. 最优子集选择（Best Subset Selection）：遍历所有可能的子集模型，通过比较其拟合优度和准则选择最优的子集模型。
在选择线性模型时，需要考虑以下几个因素：1. 自变量与因变量之间的相关性：选择与因变量相关性较高、影响较大的自变量。
2. 自变量之间的共线性：避免选择存在共线性问题的自变量，以免降低模型的稳定性和可靠性。
3. 模型的解释力：选择能够提供较好解释因变量变化的自变量。
二、线性模型评估在选择线性模型后，需要对模型进行评估，判断其拟合程度和可靠性。
常用的线性模型评估方法有以下几种：1. 残差分析：通过分析模型的残差（观测值与模型预测值之间的差异）来评估模型的拟合程度和误差。
2. 拟合优度检验：利用F检验或多重判定系数R^2来判断模型是否能够解释因变量的变异。
3. 参数估计与显著性检验：对模型的系数进行估计，并进行显著性检验，判断模型中的自变量是否对因变量有统计显著影响。
4. 多重共线性检验：通过计算VIF（方差膨胀因子）来评估模型中自变量之间的共线性程度。
北理工_数据分析_实验5_数据拟合引言概述：数据拟合是数据分析中常用的一种方法，通过将实际观测数据与数学模型进行拟合，可以得到模型的参数估计值，从而对未观测数据进行预测和判断。
本文将介绍北理工数据分析实验5中的数据拟合方法及其应用。
一、线性回归拟合1.1 最小二乘法最小二乘法是一种常用的线性回归拟合方法，它通过最小化观测值与拟合值之间的残差平方和来确定最佳拟合直线。
具体步骤包括：计算样本均值、计算样本方差、计算相关系数、计算回归系数、计算拟合直线方程。
1.2 判定系数判定系数是评估线性回归拟合效果的指标，它表示回归模型能够解释因变量变异程度的比例。
判定系数的取值范围为0到1，越接近1表示拟合效果越好。
计算判定系数的公式为：R^2 = 1 - (残差平方和 / 总平方和)。
1.3 拟合诊断拟合诊断是判断线性回归拟合效果的重要步骤，它通过分析残差图、QQ图和杠杆值等指标来评估拟合模型的合理性和可靠性。
合理的拟合模型应该满足残差呈正态分布、残差与拟合值无明显相关、杠杆值在合理范围内等条件。
二、非线性回归拟合2.1 指数拟合指数拟合是一种常见的非线性回归拟合方法，它适合于自变量与因变量之间呈指数关系的情况。
通过对数据进行对数变换，可以将指数拟合问题转化为线性回归问题，然后应用最小二乘法进行拟合。
2.2 对数拟合对数拟合是一种常用的非线性回归拟合方法，它适合于自变量与因变量之间呈对数关系的情况。
通过对数据进行对数变换，可以将对数拟合问题转化为线性回归问题，然后应用最小二乘法进行拟合。
2.3 多项式拟合多项式拟合是一种常见的非线性回归拟合方法，它通过将自变量的高次幂作为新的自变量，将拟合问题转化为线性回归问题。
多项式拟合可以拟合出更为复杂的曲线，但需要注意过拟合的问题。
三、曲线拟合评估3.1 残差分析残差分析是评估曲线拟合效果的重要方法，它通过分析残差的分布、残差的自相关性、残差的异方差性等指标来判断拟合模型的合理性。
卡方拟合优度检验spss卡方拟合优度检验（Chi-Squaregoodnessoffittest）是统计学上一种用于检验变量之间某特定关系是否正确的统计检验方法，或者检验一组数据是否符合某特定分布的检验。
在数据分析当中，SPSS 软件提供了大量的统计分析工具，它可以方便的实现卡方拟合优度检验的操作，使得研究人员可以更加高效的对数据进行分析检验。
本文主要介绍了卡方拟合优度检验及SPSS软件如何实现其过程。
1、方拟合优度检验介绍卡方拟合优度检验，又称卡方`拟合试验，是统计学当中一种检验变量之间某特定关系是否正确的统计检验方法。
卡方拟合优度检验也可以用来检验一组数据是否符合某特定分布。
它可以用来比较实际观察到的结果与理论分布的差异。
一般来说，在卡方拟合优度检验中，首先事先假设，某一组数据服从某特定的分布，在某一置信水平下，然后计算出实际观测到的结果与理论分布之间的差异，如果这个差异太大，则说明这个假设不符合实际，即该分布不是这个组数据数据的真实分布。
2、 SPSS中卡方拟合优度检验SPSS软件提供了大量的统计分析工具，也可以用来实现卡方拟合优度检验的操作，下面就结合一个例子，介绍一下SPSS如何实现这一过程。
首先，打开SPSS软件，建立档案，并输入数据，例如有10个人，分别有不同的性别，男为1，女为2：编号别1 12 23 24 25 16 27 18 19 210 1然后，点击“分析-非参数检验-自由度卡方拟合优度检验”，在出现的窗口中，将“性别”作为处理变量，选择“描述性统计”和“拟合优度检验”，并点击“确定”按钮，如图1所示：图1 SPSS中的卡方拟合优度检验窗口最后，点击“OK”按钮，结果如下：表1 SPSS卡方拟合优度检验结果拟合优度检验方差由度方值性别 1 3.2 0.48 0.50由表1可得，P=0.48< 0.05，说明拟合优度不太好，可以拒绝原假设，即性别为1、2分别代表男性、女性，从而说明拟合优度检验可以检验变量之间某特定关系是否正确。
