2020届安徽省皖南八校高三第三次联考数学(理)试题(解析版)

2020届安徽省皖南八校高三下学期第三次联考数学（文）试卷★祝考试顺利★ (解析版)一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|14}A x x =,{}2|23B x x x =-,则A B =( )A. {|14}x x -B. {|13}x xC. {|13}x x -D. {|14}x x【答案】B 【解析】化简集合,根据交集运算即可.【详解】 集合{}2|23={|13}B x x x x x =--,{|14}A x x =∴{|13}A B x x ⋂=. 故选：B2.已知复数z 满足262z z i +=-（i 是虚数单位）,则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】设(,)z a bi a b R =+∈,根据复数运算求出z ,即可求解. 【详解】设(,)z a bi a b R =+∈,则2()2()362z z a bi a bi a bi i +=++-=-=-,362a b =⎧∴⎨-=-⎩,22a b =⎧⎨=⎩, 即22z i =+,对应点为(2,2),在第一象限. 故选：A3.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线方程为0x ±=,则双曲线C 的离心率为( )C.【答案】A 【解析】由渐近线斜率可得,a b 的关系,进而得到,a c 的关系. 【详解】由题知b a =, 又222+=a bc ,解得c e a ==. 故选：A4.已知直线m ,n ,平面α,β,则//m α的充分条件是( ) A. n ⊂α,//m n B. αβ⊥,m β⊥ C. //n α,//m n D. //αβ,m β⊂【答案】D 【解析】根据线面平行的判定,逐项分析即可.【详解】∵n ⊂α,//m n ,有可能m α⊂,A 错误；,m αββ⊥⊥,有可能m α⊂,B 错误； //,//n m n α,有可能m α⊂,C 错误；//αβ,m β⊂,能推出//m α,D 正确.故选：D5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若888S a ==,则公差d 等于( )A. 14B.12C. 1D. 2【答案】D 【解析】由88S a =,可求出4707S a ==,进而可知40a =,结合88a =,可求出公差. 【详解】解：888S a ==,1288a a a a ∴+++=,()17747207a a a S ∴+===,40a ∴=. 又由844a a d =+,得8480244a a d --===. 故选:D.6.新高考方案规定,普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）.其中“选择考”成绩将计入高考总成绩,即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数,由高到低进行排序,评定为A ,B ,C ,D ,E 五个等级.某试点高中2019年参加“选择考”总人数是2017年参加“选择考”总人数的2倍,为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况,统计了该校2017年和2019年“选择考”成绩等级结果,得到如图表：针对该校“选择考”情况,2019年与2017年比较,下列说法正确的是( ) A. 获得A 等级的人数不变 B. 获得B 等级的人数增加了1倍 C. 获得C 等级的人数减少了 D. 获得E 等级的人数不变【答案】D 【解析】设2017年参加“选择考”总人数为a ,分别求出2017,2019年获得A ,B ,C ,E 等级的人数,进而可选出正确选项.【详解】解：设2017年参加“选择考”总人数为a ,则2019年参加“选择考”总人数为2a ； 则2017年获得A 等级有0.25a 人,2019年获得A 等级有0.2520.50.25a a a ⨯=≠,排除A ； 2017年获得B 等级有0.35a 人,2019年获得B 等级有0.420.820.35a a a ⨯=≠⨯,排除B ； 2017年获得C 等级有0.28a 人,2019年获得C 等级有0.2320.460.28a a a ⨯=>,排除C ；2017年获得E 等级有0.04a 人,2019年获得E 等级有0.0220.04a a ⨯=,人数不变, 故选:D.7.函数()cos x xy e e x -=-的部分图象大致是( )A. B.C. D.【答案】B 【解析】由函数的奇偶性可排除A,C.代入特殊值,如1x =,通过判断函数值的符号,可选出正确答案.【详解】解：由()()cos x x x e e y ---=-,可知函数()cos x xy x e e -=-为奇函数,由此排除A,C,又1x =时,()11cos1y e e -=-,因为1,012e π><<,则110,cos10e e -->>,即此时()cos 0x xy e e x -=->,排除D.故选:B.8.在ABC 中,5AC AD =,E 是直线BD 上一点,且2BE BD =,若AE mAB nAC =+则m n +=( ) A.25B. 25-C. 35D.35【答案】D 【解析】通过向量的线性运算,以,AB AC 为基底,表示出25AE AB AC =-+,进而求出m n +的值. 【详解】解：()2225AE AB BE AB BD AB AD AB AB AC =+=+=+-=-+,35m n ∴+=-. 故选:D.9.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若247a a =,423S S =,则5a =( ) A. 2B. C. 4D.【答案】C 【解析】根据等比数列的通项和求和公式列出方程组求解即可. 【详解】247a a =,177a a a ∴⋅=,11a ∴=,又424221311S q q S q -===+-,22q ∴=, 4514a a q ∴==,故选：C10.已知2()2()3f x f x x x =-++,则函数()f x 图象在点(1,(1))f 处的切线方程为( ) A. 1y x =-+ B. 1y x =+ C. 1y x =-- D. 1y x =-【答案】A 【解析】构造方程解方程组可得2()f x x x =-,利用导数求出切线斜率,写出切线方程即可. 【详解】∵2()2()3f x f x x x =-++, ∴2()2()3f x f x x x -=+-. ∴2()f x x x =-.∴(1)0f =,()12f x x '=-. ∴(1)1f '=-,∴过(1,(1))f 切线方程：1y x =-+.故选：A11.若函数()3sin cos f x x x =+在区间[],a b 上是增函数,且()2f a =-,()2f b =,则函数()cos 3sin x x g x =-在区间[],a b 上( ) A. 是增函数 B. 是减函数C. 可以取得最大值2D. 可以取得最小值2-【答案】C 【解析】由辅助角公式可求得()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,()2sin 3g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,由题意可知,不妨取2,33a b ππ=-=,令3t x π=-,结合()[]2sin ,,0g t t t π=-∈-的图像,可选出正确选项.【详解】解：()313sin cos 2sin cos 2sin 26f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()313cos sin 2cos sin 2sin 23g x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因为()f x 在区间[],a b 上是增函数,且()2f a =-,()2f b =, 则2,2,6262a kb k k Z ππππππ+=-++=+∈,即22,2,33a kb k k Z ππππ=-+=+∈,不妨取2,33a b ππ=-=,设3t x π=-,则()[]2sin ,,0g t t t π=-∈-,则图像为所以,()3sin x x g x =-在[],a b 先增后减,可取到最大值为2. 故选:C.12.在三棱锥P ABC -中,已知4APC π∠=,3BPC π∠=,PA AC ⊥,PB BC ⊥,且平面PAC ⊥平面PBC ,三棱锥P ABC -的体积为36,若点,,,P A B C 都在球O 的球面上,则球O 的表面积为( )A. 4πB. 8πC. 12πD. 16π【答案】A 【解析】取PC 中点O ,连接,AO BO ,设球半径为R ,由题意可知,AO BO R ==,由133P ABC PBCV S AO -=⋅=,可列出关于R 的方程,进而可求出球的半径,则可求球的表面积.【详解】解：取PC 中点O ,连接,AO BO ,设球半径为R ,因为3BPC π∠=,PA AC ⊥,PB BC ⊥,所以AO BO R ==,2PC R =,PB R =,3BC R =, 因为4APC π∠=,PA AC ⊥,所以PA AC =,则AO PC ⊥,因为平面PAC ⊥平面PBC ,所以AO ⊥平面PBC ,即133P ABC PBCV S AO -=⋅=, 所以33366R =,1R ∴=,∴球的表面积为244R ππ=.故选:A.二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13.设,x y满足约束条件1133x yx yx y--⎧⎪+⎨⎪-≥⎩,则2z x y=-的最小值为___________.【答案】1【解析】作出可行域,根据直线截距的几何意义求解即可.【详解】由约束条件1,1,33,x yx yx y--⎧⎪+⎨⎪-⎩作出可行域如图,由2z x y=-得：2y x z=-由图可知,当直线过点A时,z有最小值,联立133x yx y-=-⎧⎨-=⎩,解得(2,3)A.∴2z x y=-的最小值为2231⨯-=.故答案为：114.在平面直角坐标系中,若角α的始边是x轴非负半轴,终边经过点22sin,cos33Pππ⎛⎫⎪⎝⎭,则()cosπα+=________.【答案】3【解析】化简出P的坐标,从而可求出3cos2α=,根据诱导公式可求出()cosπα+的值.【详解】解：由题意知,221sin,cos,3322P Pππ⎛⎫⎛⎫=-⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则P到原点的距离为1,cosα∴=()cos cos2παα+=-=-.故答案为: .15.已知函数()f x是定义域为R的偶函数,x R∀∈,都有()()2f x f x+=-,当01x<≤时,()213log,02112x xf xx⎧-<<⎪⎪=≤≤,则()9114f f⎛⎫-+=⎪⎝⎭________.【答案】5【解析】由题意可知()f x周期为2,从而可求出91544f f⎛⎫⎛⎫-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()()1110f f==,进而可求出()9114f f⎛⎫-+⎪⎝⎭的值.【详解】解：由()()2f x f x+=-可知,()f x关于1x=对称,又因为()f x是偶函数, 所以()f x周期为2,则9915444f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫-===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,()()1110f f==()()9111150544f f f f⎛⎫⎛⎫∴-+=+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为:5.16.已知抛物线2:2(0)C y px p=>,其焦点为F,准线为l,过焦点F的直线交抛物线C于点A、B（其中A在x轴上方）,A,B两点在抛物线的准线上的投影分别为M,N,若||MF=,||2NF=,则||||AFBF=____________.【答案】3【解析】根据抛物线的的定义可得2MFN π∠=,利用直角三角形可求出||4MN =,由面积等积法求出p =求出直线AB 的倾斜角3πθ=,利用公式||1cos p AF θ=-,||1cos pBF θ=+计算.【详解】由抛物线的定义得：||||AF AM =,||||BF BN =,易证2MFN π∠=,∴222||||||16MN NF MF =+=, ∴||4MN =∵11||||||22MNFSp MN MF NF =⋅=⋅=∴p =.∴3MFO π∠=, ∵||||AF AM =,∴AMF 为等边三角形. ∴直线AB 的倾斜角3πθ=.∴||1cos p AF θ=-,||1cos pBF θ=+.∴||3||AF BF =. 故答案为：3三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22.23题为选考题,考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC 中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,满足2cos cos cos a A b C c B =+. （1）求A ；（2）若ABC 的面积为a =求ABC 的周长.【答案】（1）3π；（2）10+【解析】（1）由正弦定理对已知式子进行边角互化,结合三角形的内角和定理,化简后可得1cos 2A =,进而可求出A ； （2）由1sin 632ABCSbc A ==,可知24bc =,结合余弦定理可求出10b c +=,从而可求周长. 【详解】解：（1）由2cos cos cos a A b C c B =+知,2sin cos sin cos sin cos A A B C C B =+,()2sin cos sin sin A A B C A ∴=+=.0A π<<,1cos 2A ∴=,则3A π=. （2）1632sin ABCbc SA ==,24bc ∴=.由余弦定理知, 2222cos 28=+-=a b c bc A ,即()222283b c bc b c bc =+-=+-,()2283100b c bc +=+=∴,解得10b c +=,ABC ∴的周长为1027+. 18.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为长方形,PA ⊥底面ABCD ,4PA AB ==,3BC =,E 为PB 的中点,F 为线段BC 上靠近B 点的三等分点.（1）求证：AE ⊥平面PBC ； （2）求点B 到平面AEF 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（222. 【解析】（1）证明AE PB ⊥,AE BC ⊥,即可证明AE ⊥平面PBC ； （2）由B AEF E ABF V V --=,利用等体积法求出点B 到平而AEF 的距离. 【详解】（1）证明：∵PA AB =,E 为线段PB 中点, ∴AE PB ⊥.∵PA ⊥平面ABCD ,BC ⊂平面ABCD , ∴BC PA ⊥.又∵底面ABCD 是长方形, ∴BC AB ⊥.又PA AB A =, ∴BC ⊥平面PAB .∵AE ⊂平面PAB , ∴AE BC ⊥. 又PB BC B ⋂=, ∴AE ⊥平面PBC .（2）由（1）知,AE ⊥平面PBC ,又EF ⊂平面PBC , ∴AE EF ⊥,∴3EF ==.由题知PA ⊥平面ABCD ,E 为PB 中点,∴点E 到平面ABCD 的距离为122PA =,设点B 平面AEF 的距离为h ,则B AEF E ABF V V --=,即111134123232h ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯,解得3h =,∴点B 到平面AEF . 19.2019新型冠状病译（2019-nCoV ）于2020年1月12日被世界卫生组织命名.冠状病毒是一个大型病毒家族,可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS ）和严重急性呼吸综合征（SARS ）等较严重疾病.某医院对病患及家属是否带口罩进行了调查,统计人数得到如下列联表：（1）根据上表,判断是否有95%的把握认为未感染与戴口罩有关；（2）在上述感染者中,用分层抽样的方法抽取5人,再在这5人中随机抽取2人,求这2人都未戴口罩的概率.参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++.参考数据：2.072【答案】（1）有把握；（2）310. 【解析】（1）计算2K ,与临界值比较得出结论；（2）列出抽取2人的所有可能,根据古典概型计算概率即可.【详解】（1）2250(306410) 4.504 3.84134164010K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯.所以有95%的把握认为未感染与戴口罩有关.（2）由（1）知,感染者中有4人戴口罩,6人未戴口罩,用分层抽样的方法抽取5人,则2人戴口罩记为,A B ,3人未戴口罩记为1,2,3,从中随机抽取2人,共有AB ,1A ,2A ,3A ,1B ,2B ,3B ,12,13,23共10种可能,其中2人都未戴口罩的有12,13,23共3种,∴这2人都未戴口罩的概率310P =. 20.已知点1F ,2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>左,右焦点,椭圆上一点P 满足1PF x⊥轴,215PF PF =,12F F =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过2F 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点,当1ABF 的内切圆面积最大时,求直线l 的方程.【答案】（1）2213x y +=；（2）y x =y x =-+.【解析】（1）由1PF x ⊥轴,结合勾股定理可得2221122PF F F PF +=,从而可求出2PF =1PF =则可知a =结合122F F c ==可求出21b =,即可求出椭圆的标准方程. （2）设()11,A x y ,()22,B x y,:l x ty =+与椭圆方程联立,可得1223y y t +=-+,12213y y t =-+,从而可用t 表示出112122AF B F F A F F BSSS=+=,用内切圆半径表示出()11112AF BSAFF B AB r =++⋅=,即可知23r t =+,结合基本不等式,可求出当半径取最大时,t 的值,从而可求出直线的方程. 【详解】解：（1）因为1PF x ⊥轴,所以122PF F π∠=,则2221122PF FF PF +=,由215PF PF =,12F F =解得23PF=13PF =,122FF c ==由椭圆的定义知2a ==a ∴=即2221b a c =-=, ∴椭圆C 的标准方程为2213x y +=.（2）要使1AF B △的内切圆的面积最大,需且仅需其1AFB △的内切圆的半径r 最大. 因为()1F ,)2F ,设()11,Ax y ,()22,B x y ,易知,直线l 的斜率不为0,设直线:l x ty =+联立2213x ty x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩,整理得()22310t y ++-=, 故1223y y t +=-+,12213y y t =-+；所以11212121212AF B F F A F F BS S S F F yy=+=-=23t==+,又()1111114222AF BS AF FB AB r a r r=++⋅=⋅⋅=⋅=,=,即,12r==≤；=,即1t=±时等号成立,此时内切圆半径取最大值为12,∴直线l的方程为y x=y x=-+.21.已知函数2()()xf x e ax x R=-∈.（1）若函数()y f x=有两个极值点,试求实数a的取值范围；（2）若02ea且0x>,求证：()1f x>.【答案】（1）2ea>；（2）证明见解析.【解析】（1）求函数导数,有2个极值点转化为方程2xaex=有两解,利用导数分析()(0)xeg x xx=≠,得函数大致形状,即可求解；（2）不妨令2()(0)xG a e ax a e=-,利用单调性知2min()22xe eG a G e x⎛⎫==-⎪⎝⎭,构造函数2()2xeg x e x=-,利用导数求其最小值即可得证.【详解】（1）∵2()xf x e ax=-,∴()2xf x e ax'=-.令()20xf x e ax'=-=,函数()y f x=有两个极值点,即方程20xe ax-=有两个不相等根,显然0x =时,方程不成立,即0x =不是方程的根,所以原方程有两个不相等的根转化为2xa e x =有两个不相等的根,不妨令()(0)xe g x x x =≠.2(1)()x e x g x x '-=, ∴()g x 在(,0)-∞,(0,1]递减,在[1,)+∞递增,(1)g e =,且0x <时,()0<g x .∵方程2xa e x=有两个不等根,()(0)xe g x x x∴=≠图象与2y a =图象有两个不同交点,∴只需满足2,a e > 即2e a >. （2）不妨令2()(0)x G a e ax a e =-,∴2()x G a x a e =-+在0,2e a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦递减.2min ()22x e e G a G e x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭,不妨令：2()2x e g x e x =-,∴()x g x e ex '=-. 令()()x x g x e ex ϕ'==-, 则()x x e e ϕ'=-, 由()0x ϕ'>得1x >, 由()0x ϕ'<得1x <,∴()()x g x ϕ'=在(,1]-∞递减,在[1,)+∞递增. ∴min ()(1)0g x g ''==,∴()0g x ',∴()g x 在[0,)+∞递增. ∴min ()(0)1g x g ==, 当02ea且0x >时,()1f x >. （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系中,直线l 的参数方程为415315x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）,以直角坐标系的原点为极点,以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）已知直线l 与曲线C 交于,A B 两点,试求,A B 两点间的距离. 【答案】（1）3cos 4sin 10ρθρθ-+=,220x y x y +--=；（2）75. 【解析】（1）将直线参数方程通过消参得到普通直角坐标方程,结合cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ 可得其极坐标方程；结合两角差的余弦公式,可得2cos sin ρρθρθ=+,从而可求出曲线C 的普通方程.（2）联立直线参数方程和圆的方程,可求出12127,05t t t t +=-=,则1275AB t t =-=.【详解】解：（1）消参得,直线:3410l x y -+=,即3cos 4sin 10ρθρθ-+=；曲线:cos cos sin sin 444C πππρθθθ⎛⎫⎫=-=+ ⎪⎪⎝⎭⎭,即2cos sin ρρθρθ=+,则22x y x y +=+ ,所以曲线C 的普通方程为220x y x y +--=.（2）设,A B 两点在直线上对应的参数分别为12,t t ,将415315x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入220x y x y +--=,得2705t t +=,则12127,05t t t t +=-=,则1275AB t t =-==. 选修4-5：不等式选讲 23.已知0a >,0b >,1a b +=.（1（2）若不等式111x m x a b+-+≤+对任意x ∈R 及条件中的任意,a b 恒成立,求实数m 的取值范围.【答案】（1；（2）[]3,5-. 【解析】（1）求结合基本不等式可求出2的最大值为6,的最大值；（2）结合基本不等式中“1”的代换,可求出114a b+≥,结合11x m x m +-+≤-,可得14m -≤,从而可求出m 的取值范围. 【详解】解：（1）21111116a b a b a b =++++≤+++++++=,=即12a b ==时取等号,. （2）()111124b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭,当且仅当b aa b =,即a b =时取等号,11a b ∴+的最小值为4.又11x m x m +-+≤-,∴ 14m -≤,解得35m -≤≤, 即m 的取值范围为[]3,5-.。

2020届安徽省高三数学联考试题（理）及答案一、单选题1．复数z 满足()1243i z i -=+（i 为虚数单位），则复数z 的模等于（ ）AB C ．D ．【答案】B【解析】根据复数模的性质和求解直接解得结果即可. 【详解】4312i z i +===- 故选：B 【点睛】本题考查复数模长的求解，涉及到复数模的性质的应用，属于基础题.2．已知全集为R ，集合{}2,1,0,1,2A =--，102x B xx -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，则()U A C B ⋂的元素个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】解分式不等式求得集合B ，根据交集和补集的定义求得集合()U A C B ⋂，进而得到元素个数. 【详解】{}10212x B x x x x -⎧⎫=<=-<<⎨⎬+⎩⎭{2U C B x x ∴=≤-或}1x ≥(){}2,1,2U AC B ∴=-，有3个元素故选：C 【点睛】本题考查集合元素个数的求解，涉及到分式不等式的求解、交集和补集的混合运算，属于基础题.3．已知函数()f x 在区间(),a b 上可导，则“函数()f x 在区间(),a b 上有最小值”是“存在()0,x a b ∈，满足()00f x '=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由开区间最小值点必为极小值点可知极小值点导数值为0，充分性成立；利用()3f x x =可验证出必要性不成立，由此得到结论. 【详解】(),a b 为开区间 ∴最小值点一定是极小值点 ∴极小值点处的导数值为0∴充分性成立当()3f x x =，00x =时，()00f x '=，结合幂函数图象知()f x 无最小值，必要性不成立∴“函数()f x 在区间(),a b 上有最小值”是“存在()0,x a b ∈，满足()00f x '=”的充分不必要条件故选：A【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，涉及到导数极值与最值的相关知识；关键是能够明确极值点处的导数值为0，但导数值为0的点未必是极值点.4．2011年国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源于中国古代数学家祖冲之的圆周率。

“皖南八校”2020届高三摸底联考数学（理科）2019.8 考生注意：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两郜分。

满分150分，考试时间120分钟。

2. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。

第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．。

3. 本卷命题范围：必修①~⑤。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2|50A x x x =-<，{}2|40B x x =-≤，则A B =I （ ） A . {}|05x x ≤<B . {}|02x x ≤<C . {}|05x x <<D . {}|02x x <≤2. 《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古典小说四大名著.若在这四大名著中，任取2种进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为（ ） A .23B .12C .13D .143. 若71tan 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan α=（ ） A . 3B . -3C . 2D . -24. 已知()3,2AB =--uu u r ，(),1AC m =uu u r，3BC =uu u r ，则BA AC ⋅=uu r uuu r （ ）A . 7B . -7C . 15D . -155. 函数()()222cos x x x f x x-+=+的部分图象大致为（ ）A .B .C .D .6. 公元263年左右，我国数学家刘徽创立了“割圆术”，并利用“割圆术”得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.下图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 1.732≈，sin150.2588≈o ，sin 7.50.1305≈o ）A . 24B . 32C . 38D . 467. 下列函数中，以2π为周期且在区间3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减的是（ ） A . ()cos 2f x x =B . ()sin 2f x x =C . ()2sin cos f x x x =D . ()22sin 1f x x =-8. 已知5log 0.5a =，3log 0.3b =，0.30.5c =，则（ ） A . a b c <<B . b a c <<C . a c b <<D . b c a <<9. 某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）A . 82π-B . 8π-C . 122π-D . 12π-10. 数列{}n a 满足21112n n n a a a +++=，11a =，8115a =，1n n nb a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，则满足1123n S >的最小的n 的值为（ ） A . 9B . 10C . 11D . 121l . 在长方体1111ABCD A B C D -中，11BC CC ==，13AD B π∠=，则直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ） A .3B .6C .7D .1412. 设函数()f x 的定义域为R ，且满足()()12f x f x +=，当[)0,1x ∈时，()2f x x x =-.若(),x t ∈-∞时，()f x 的最大值为1，则实数t 的取值范围是（ ）A .514,24⎛ ⎝⎦B .514,24⎡-⎢⎣⎭C .⎛⎝⎦D .⎡⎢⎣⎭ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若x ，y 满足约束条件2311x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥-⎩，则2z x y =-的取值范围是______.14. 某校高三年级有400名学生，在一次数学测试中，成绩都在[]80,130（单位：分）内，其频率分布直方图如图，则这次测试数学成绩不低于100分的人数为______.15. 已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，2sin 2cos21αα=-，则sin α=______. 16. 已知点P 是函数32y x x=+的图象上的一点，则点P 到直线210x y ++=的距离的最小值为______.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17.（本小题满分10分）在等比数列{}n a 中，()3214a a a =-，且4a ，54a -，5a 成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2log n n n b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18.（本小题满分12分）在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知()cos sin sin cos b A c B B B =-. （1）求角C ；（2）若a =4c =，求b 的值. 19.（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，E ，F ，G 分别是棱BC ，AD ，PA 的中点.（1）求证：PE P 平面BFG ；（2）若1PD AD ==，2AB =，求点C 到平面BFG 的距离. 20.（本小题满分12分）影响消费水平的原因很多，其中重要的一项是工资收入.研究这两个变量的关系的一个方法是通过随机抽样的方法，在一定范围内收集被调查者的工资收入和他们的消费状况.下面的数据是某机构收集的某一年内上海、江苏、浙江、安徽、福建五个地区的职工平均工资与城镇居民消费水平（单位：万元）.y bx a =+$$$，其中()()()121n iii ni i x x y y b x x==--=-∑∑$1221ni ii ni i x y nx yx nx==-=-∑∑，a y bx =-$$；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过1万，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问所得的线性回归方程是否可靠？（b $的结果保留两位小数） （参考数据：6.9 4.6 6.4 4.4 6.2 3.984.08⨯+⨯+⨯=，2226.9 6.4 6.2127.01++=） 21.（本小题满分12分）已知圆C 的圆心C 的坐标为()1,2，且圆C 与直线l ：270x y --=相切，过点()2,0A 的动直线m 与圆C 相交于M ，N 两点，直线m 与直线l 的交点为B . （1）求圆C 的标准方程； （2）求MN 的最小值；（3）问：()AM AN AB +⋅uuu r uuu r uu u r是否是定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.22.（本小题满分12分） 已知函数()2k f x x k x =+-，当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的取值范围是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （1）求k 的值；（2）若不等式()22x x f m ≥⋅对x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围； （3）若函数()()221321x xtg x f t =-+--有3个零点，求实数t 的取值范围.“皖南八校”2020届高三摸底联考·数学（理科）参考答案一、选择题： 1-5：DBCBC 6-10：ADBAD11、12：DA7. D 周期为2π的有C 、D ，又在3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，选D . 8. B ()()5533log 1log 2log 3log 10a b -=---3535log 21log 10log 10log 100=--+=->. ∴a b >，∵0c >，0a <，∴b a c <<.9. A 该几何体是一个棱长为2的正方体左右两旁各去掉半径为1的半个圆柱得到的，体积为32282ππ-=-.11. D 长方体中，11BC CC ==，1BC 11AD BC ==13AD B π∠=，知AB =，∴在11AB D ∆中，111AB B D ==，11cos 14B AD ∠==.又∵11BC AD P ，∴11B AD ∠是1AB 与1BC 所成的角.二、填空题：13. []1,7- 14. 220 15..三、解答题：17. 解：（1）设{}n a 的公比为q ，由()1314a a a =-，得()21114a q a q a =-，∴2440a a -+=，∴2q =，∵4a ，54a -，5a 成等差数列，∴()45624a a a +=-，∴()1118162164a a a +=-， ∴11a =， ∴12n n a -=.（2）12log 21n n n n b a a n -=+=+-，123n n T b b b b =+++⋅⋅⋅+()()()()2110212221n n -=++++++⋅⋅⋅++-()()()2112220121n n -=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+-()112122n n n --=+- ()1212n n n -=-+. 18. 解：（1）在ABC ∆中，由()cos sin sin cos b A c B B B =-及正弦定理，得()sin cos sin sin sin cos B A C B B B =-.∵sin 0B >，()cos cos cos cos sin sin A B C B C B C =-+=-+， ∴cos cos sin sin sin sin cos sin B C B C B C B C -+=-. ∴cos cos cos sin B C B C =.∵B ，C 都是锐角，∴tan 1C =，∴4C π=.（2）法一：在ABC ∆中，由余弦定理，得2161822b b =+-⨯，∴2620b b -+=，∴3b =±.当3b =时，a ，b ，c 中，b 最大，222cos 02a c b B ac +-==>，B 是锐角，当3b =a ，b ，c 中，a 最大，222cos 02b c a A bc +-==<，A 是钝角，与A 是锐角不符.∴3b =+.法二：在ABC ∆中，由正弦定理，得sin 3sin sin 424a C A B ===.∵A 是锐角，∴cos 4A =，∵()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+34==.∴sin 3sin c Bb C== 19.（1）证明：连接DE ，∵在矩形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，AD 中点，∴DF BE =，DF BE P ，∴四边形BEDF 是平行四边形，∴DE BF P . ∵G 是PA 的中点，∴FG PD P .∵,PD DE ⊄平面BFG ，,FG BF ⊂平面BFG ， ∴PD P 平面BFG ，DE P 平面BFG . ∵PD DE D =I ，∴平面PDE P 平面BFG . ∵PE ⊂平面PDE ，∴PE P 平面BFG .（2）解：法一：∵PD ⊥平面ABCD ，FG PD P ，∴FG ⊥平面ABCD . 过C 在平面ABCD 内，作CM BF ⊥，垂足为M ，则FG CM ⊥.∵FG BF F =I ，∴CM ⊥平面BFG ，∴CM 长是点C 到平面BFG 的距离. 在矩形ABCD 中，F 是AD 中点，1AD =，2AB =，BCM FBA ∆∆:. ∴CM BCBA FB=.∵FB ==，1BC AD ==，∴CM =，即点C 到平面BFG . 法二：设C 到平面BFG 的距离为d ，在矩形ABCD 中，1122AF AD ==，2AB =，∴2BF ==. ∵PD ⊥平面ABCD ，BF ⊂平面ABCD ，∴PD BF ⊥，∵FG PD P ，∴FG BF ⊥，1122FG PD ==，∴BFG ∆的面积为128BF FG ⨯=. ∵BCF ∆的面积为112BC AB ⨯=，C BFG G BCF V V --=，∴11113832d ⨯=⨯⨯，∴17d =C 到平面BFG的距离为17. 20. 解：（1） 6.9 6.4 6.2 6.53x ++==， 4.6 4.4 3.94.33y ++==.284.083 6.5 4.30.230.88127.013 6.50.26b -⨯⨯==≈-⨯， 4.30.88 6.5 1.42a =-⨯=-，∴所求线性回归方程为0.88 1.42y x =-$.（2）当9.8x =时，0.889.8 1.427.204y =⨯-=$，7.204 6.60.6041-=<， 当 5.6x =时，0.88 5.6 1.42 3.508y =⨯-=$，3.8 3.5080.2921-=<， 所以得到的线性回归方程是可靠的.21. 解：（1）∵圆C 与直线l ：270x y --=相切，圆心为()1,2，∴半径r ==∴圆C 的方程为()()221220x y -+-=.（2）∵MN ==d 是圆心C 到直线m 的距离，∴d 最大时，MN 最小.∵当()2,0A 是弦MN 中点时，d 最大，且max d AC ===∴MN的最小值为=（3）设MN 中点为P ，则CP MN ⊥即CP AB ⊥，∴0CP AB ⋅=uu r uu u r， 且2AM AN AP +=uuu r uuu r uu u r ，∴()()22AM AN AB AP AB AC CP AB +⋅=⋅=+⋅uuu r uuu r uu u r uu u r uu u r uuu r uu r uu u r 222AC AB CP AB AC AB =⋅+⋅=⋅uuu r uu u r uu r uu u r uuu r uu u r .当m 与x 轴垂直时，m 方程为2x =，代入圆C 方程得2y =MN 中点P 的坐标为()2,2，直线2x =与直线l 的交点B 坐标为52,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴50,2AB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭uu u r .∵()1,2AC =-uu u r ，∴5AC AB ⋅=-uuu r uu u r ，∴()10AM AN AB +⋅=-uuu r uuu r uu u r ； 当MN 与x 轴不垂直时，设m 方程为()2y k x =-，由()2270y k x x y =-⎧⎪⎨--=⎪⎩，得475,2121k k B k k -⎛⎫- ⎪--⎝⎭， ∴55,2121k AB k k --⎛⎫= ⎪--⎝⎭uu u r ， ∴()551,2,2121k AC AB k k --⎛⎫⋅=-⋅ ⎪--⎝⎭uuu r uu u r ()5125105212121k k k k k -=-==----， ∴()10AM AN AB +⋅=-uuu r uuu r uu u r ， ∴()AM AN AB +⋅uuu r uuu r uu u r 是定值，定值为-10. 22. 解：（1）当0k ≤时，()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，11022f ⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭，与已知不符. 当0k >且0x >时，()2f x k ≥，当且仅当x =. ()f x在(是减函数，在)+∞上是增函数.1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，20f k =-=，1k =，此时()12f x x x =+-，()11222f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭符合题意.1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，由题意知102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()122f =或()20f =，1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求得43k =而1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，不合题意. ∴1k =.（2）()22x x f m ≥⋅可化为12222x x x m +-≥⋅， ∴2212111222x x x m ⎛⎫⎛⎫≤-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∵x R ∈，∴()10,2x∈+∞，∴0x =，112x =时，2112x ⎛⎫- ⎪⎝⎭取最小值0. ∴0m ≤即m 的取值范围是(],0-∞.（3）由题意知210x -≠，0x ≠， 令21x u -=，则()0,u ∈+∞，函数()g x 有3个零点，化为()232210u t u t -+++=有两个不等的实数解，且两解1u ，2u 满足101u <<，21u ≥， 设()()23221h u u t u t =-+++，则()()021010h t h t =+>⎧⎪⎨=-<⎪⎩或()()001032012h h t ⎧⎪>⎪=⎨⎪+⎪<<⎩， ∴0t >即t 的取值范围是()0,+∞.。

2020届安徽省高三数学联考试题（理）及答案一、单选题1．复数z 满足()1243i z i -=+（i 为虚数单位），则复数z 的模等于（ ）AB C ．D ．【答案】B【解析】根据复数模的性质和求解直接解得结果即可. 【详解】4312i z i +===- 故选：B 【点睛】本题考查复数模长的求解，涉及到复数模的性质的应用，属于基础题.2．已知全集为R ，集合{}2,1,0,1,2A =--，102x B xx -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，则()U A C B ⋂的元素个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】解分式不等式求得集合B ，根据交集和补集的定义求得集合()U A C B ⋂，进而得到元素个数. 【详解】{}10212x B x x x x -⎧⎫=<=-<<⎨⎬+⎩⎭{2U C B x x ∴=≤-或}1x ≥(){}2,1,2U AC B ∴=-，有3个元素故选：C 【点睛】本题考查集合元素个数的求解，涉及到分式不等式的求解、交集和补集的混合运算，属于基础题.3．已知函数()f x 在区间(),a b 上可导，则“函数()f x 在区间(),a b 上有最小值”是“存在()0,x a b ∈，满足()00f x '=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由开区间最小值点必为极小值点可知极小值点导数值为0，充分性成立；利用()3f x x =可验证出必要性不成立，由此得到结论. 【详解】(),a b 为开区间 ∴最小值点一定是极小值点 ∴极小值点处的导数值为0∴充分性成立当()3f x x =，00x =时，()00f x '=，结合幂函数图象知()f x 无最小值，必要性不成立∴“函数()f x 在区间(),a b 上有最小值”是“存在()0,x a b ∈，满足()00f x '=”的充分不必要条件故选：A【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，涉及到导数极值与最值的相关知识；关键是能够明确极值点处的导数值为0，但导数值为0的点未必是极值点.4．2011年国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源于中国古代数学家祖冲之的圆周率。

数学理科试卷参考答案和评分标准 说明： 1、本解答仅列出试题的一种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分。

2、评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。

一、选择题1．(C) 2．(D) 3．(A) 4．(B) 5．(D) 6．(B) 7．(C) 8．(B) 9．(C) 10．(A)部分题简解： 解9 ， . 考察函数的单调性，知(),解得. 选择(C). 解10 依据题意，可设，于是，可得 切线；切线.因点是两切线的公共点，故 换言之. 所以. 因此，选择(A). 二、填空题 11.;12.必要非充分;13.; 14. 15. (3),(4),(5). 三、解答题 16.(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分4分． 解(1)∵ ， ∴. 5分 ∴函数的图像可由的图像按如下方式变换得到： ①将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像； 6分 ②将函数的图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数的图像； 　7分 ③将函数的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数的图像． 8分 (说明：横坐标先放缩，再平移也可．即将函数的图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数，再将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，最后将函数的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数的图像．) (2)由(1)知，，故． 所以，函数的单调递增区间是； 10分 单调递减区间是． 12分 17.(本题满分12分) 解 ⑴随机取出3张卡片的所有可能结果为种,而取出的3张卡片中有2个数字和一个字母或1个数字和2个字母的可能结果为. 因此，所求概率为=. 4分 ⑵依据题意知，ξ的取值为0,2,4,5,6,7,8. …………………………6分 当ξ=0时，即三张卡片中有一个字母和二个不同数字，或二个字母一个数字，得 .同样可求出： ；； ；； ；. ∴ξ的分布列为： ----------------- -------10分 ∴E-------12分 18．(本题满分12分) （1）证明 取中点，连结．在△中，分别为的中点， 则∥，且．由已知∥，， 因此，∥，且．所以，四边形为平行四边形． 于是，∥．又因为平面，且平面， 所以∥平面． ………………………………………………………4分 （2）证明 在正方形中，．又平面平面，平面平面，知平面．所以． 在直角梯形中，，，算得． 在△中，，可得．故平面． 又因为平面，所以，平面平面．……………………………………8分 解（3）按如图建立空间直角坐标系，点与坐标原点重合.设，则，又设，则即.设是平面的法向量，则 . 取得即的一个法向量为. 10分 由题，是平面的一个法向量， 即点为中点此时，，为三棱锥的高， . 12分. 2分 ， ∴. ∴当时，；当时，；当时，. 所以，单调递增区间为和，单调递减区间为. 4分 且当时，有极小值，当时，有极大值. 6分 ⑵由(1)知，，令， 则. 7分 假设有“致点”为 则首先应是的极值点，即。

安徽省皖南八校2020届高三第三次联考数学（理科）一､选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|1≤x ≤4},B=*2{|23}x x x ∈-≤N ,则A ∩B=A. {x|1≤x ≤3}B. {x|0≤x ≤3}C. {1,2,3}D. {0,1,2,3} 2.已知i 为虚数单位,复数z 满足(1-i)z=2+2i,则z z ⋅=A.4B.2C.-4D.-23.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若888,S a ==则公差d 等于1.4A 1.2B C.1 D.24.新高考方案规定,普通高中学业水平考试分为合格性考试(合格考)和选择性考试(选择考).其中“选择考”成绩将计入高考总成绩,即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数,由高到低进行排序,评定为A,B,C,D,E 五个等级｡某试点高中2019年参加“选择考”总人数是2017年参加“选择考”总人数的2倍,为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况,统计了该校2017年和2019年“选择考”成绩等级结果,得到如下图表:针对该校“选择考”情况,2019年与2017年比较,下列说法正确的是A.获得A 等级的人数不变B.获得B 等级的人数增加了1倍C.获得C 等级的人数减少了D.获得E 等级的人数不变 5.函数()cos x x y e e x -=-的部分图象大致是6.已知双曲线2222:1(0,x y C a b a b-=>>0)的一条渐近线与圆22(2)1x y -+=相切,则双曲线C 的离心率为23.A .3B .22C .2D7.在△ABC 中5,AC AD E =u u u r u u u r 是直线BD 上一点,且2,BE BD =u u u r u u u r ,若,AE mAB nAC =+u u u r u u u r u u u r 则m+n= 2.5A 2.5B - 3.5C 3.5D - 8.若函数()3sin cos f x x x =+在区间[a,b]上是增函数,且f(a)=-2,f(b)=2,则函数()3cos sin g x x x =-在区间[a,b]上A.是增函数B.是减函数C.可以取得最大值2D.可以取得最小值-2 9.若曲线y=ln(x+a)的一条切线为y=ex-b(e 为自然对数的底数),其中a,b 为正实数,则11ea b +的取值范围是A. [2,e)B. (e,4]C. [2,+∞)D. [e,+∞)10.在三棱锥P- ABC 中,已知,,43APC BPC PA ππ∠=∠=⊥AC,PB ⊥BC,且平面PAC ⊥平面PBC,三棱锥P- ABC 的体积为3,若 点P,A,B,C 都在球O 的球面上,则球O 的表面积为A.4πB.8πC.12πD.16π11.已知函数22()3,()()f x x g x f x x =-+=+b,若函数y= f(g(x))有6个零点,则实数b 的取值范围为 A. (2,+∞)B. (-1,+∞)C. (-1,2)D.(-2,1) 12.已知抛物线2:2(0)C y px p =>,其焦点为F,准线为l,过焦点F 的直线交抛物线C 于点A ､B(其中A在x 轴上方),A,B 两点在抛物线的准线上的投影分别为M,N,若||3,MF =|NF|=2,则||||AF BF = .3A B.2 C.3 D.4二､填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡13.二项式6()x x展开式中的常数项为____ 14.在平面直角坐标系中,若角α的始边是x 轴非负半轴，终边经过点22(sin,cos ),33P ππ则cos(π+α)=____15.已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,∀x∈R,都有f(x+2)=f(-x),当0<x≤1时,213log,02 ()11,12x xf xx x⎧-<<⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩，则9()(11)4f f-+=____.16.已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n,满足333321232n n na a a a S S++++=+L,设,2nn nab=数列{b n}的前n项和为T n,则使得T n<m成立的最小的m的值为______.三､解答题:共70分｡解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答｡第22､23题为选考题,考生根据要求作答｡(一)必考题:共60分｡17. (12分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足2acos A=bcos C+ccos B.(1)求A;(2)若△ABC的面积为63,27,a=求△ABC的周长｡18. (12分)如图,在四棱锥P- ABCD中,底面ABCD为长方形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=4,BC=3,E为PB的中点,F 为线段BC上靠近B点的三等分点｡(1)求证:AE⊥平面PBC;(2)求平面AEF与平面PCD所成二面角的正弦值｡19. (12分)2019新型冠状病毒(2019- nCoV)于2020年1月12日被世界卫生组织命名,冠状病毒是一个大型病毒家族,可引起感冒以及中东呼吸综合征(MERS)和严重急性呼吸综合征(SARS)等较严重疾病｡某医院对病患及家属是否带口罩进行了调查,统计人数得到如下列联表:(2)从.上述感染者中随机抽取3人,记未戴口罩的人数为X,求X 的分布列和数学期望,参考公式:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ,其中n=a+b+c+d. 参考数据:20. (12分)已知点12,F F 是椭圆C 2222:1(0)x y a b a b+=>>)的左､右焦点,椭圆上一点P 满足1PF x ⊥轴,2112|5||,||PF PF F F ==(1)求椭圆C 的标准方程;(2)过2F 的直线l 交椭圆C 于A,B 两点,当△ABF 1的内切圆面积最大时,求直线l 的方程.21. (12分)已知函数2()ln(2)()f x x a x a =++∈R(1)当x ∈[-1,1]时,求函数f(x)的最大值;(2)若函数f(x)存在两个极值点12,,x x 求证12()() 2.f x f x +>(二)选考题:共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22. [选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系中,直线l 的参数方程为415315x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数),以直角坐标系的原点为极点,以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为).4πρθ=- (1)求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程;(2)已知直线l 与曲线C 交于A,B 两点,试求A,B 两点间的距离.23.[选修4- 5:不等式选讲](10分)已知a>0,b>0,a+b=1.(1);(2)若不等式11|||1|x m x a b+-+≤+对任意x ∈R 及条件中的任意a,b 恒成立,求实数m 的取值范围.。