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大学物理分子动理论

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大学物理(第三版)热学 第二章

大学物理(第三版)热学 第二章

一、 理想气体的微观图象
1. 质点 P nkT P 0
在 T 一定的情况下 n 值小 意味着分子间距大 2 .完全弹性碰撞
3. 除碰撞外 分子间无相互作用 f=0
范德瓦耳斯力(简称：范氏力)
f
斥力
合力
r0
O
s
10 -9m r
d
引力
分子力
气体之间的距离
r 8r0 引力可认为是零 可看做理想气体
第3步：dt时间内所有分子对dA的冲量
dI dIi ix 0
1 2
i
dIi
nimi2xdtdA
i
dIi
2ni mi2xdtdA
第4步：由压强的定义得出结果
P

dF dA

dI dtdA

i
ni
m
2 ix
i dA
ixdt
P

dF dA

dI dtdA
2. 气体分子的自由度
单原子分子 双原子分子 多原子分子
i3 i5 i6
二、 能量按自由度均分原理 条件：在温度为T 的平衡态下 1.每一平动自由度具有相同的平均动能
1 2
kT

1 3

3 2
kT

1 2
m
1
3
2

1 2
m
2 x

1 2
m
2 y

1 2
m
2 z
每一平动自由度的平均动能为 1 kT
2
2.平衡态 各自由度地位相等
每一转动自由度 每一振动自由度也具有 与平动自由度相同的平均动能 其值也为 1 kT

大学物理-气体分子动理论

大学物理-气体分子动理论

v
v１ v２ v３ … …
Ｎ ΔＮ１ ΔＮ２ ΔＮ３ … …
速率为 vi 的概率为：
Pi
Ni N
长时间“观测”理想气体分子的速率 v ：
v
0 ~ +∞ 连续分布
速率为 v → v + dv 的概率为：
Pv~vdv
dNv N
0
???
速率分布函数
Pv~vdv
dNv N
f (v)dv
f (v) dNv Ndv
刚性双原子分子的动能
分子动能
平动动能
t x
t y
t z
转动动能
r
r
t x
t y
t z
r
r
1 kT 2
t x
t y
t z
r
r
5 kT 2
温度较高时，双原子气体分子不能看作刚性分子，分子
平均能量更大，因为振动能量也参与能量均分
理想气体分子的平均能量
分子模型 刚性单原子分子 刚性双原子分子 刚性多原子分子
每个分子频繁地发生碰撞，速度也因此不断变化；
二、压强形成的微观解释
单个分子与器壁碰撞 冲力作用瞬间完成，大小、位置具有 偶然性；
大量分子（整个气体系统）与器壁碰撞 气体作用在器壁上是一个持续的、不 变的压力；
压强是气体分子给容器壁冲量的 统计平均量
三、理想气体的压强公式
建立三维直角坐标系 Oxyz
vz i N
气体处于平衡态时，气体分子沿各个方向运动的机会均等。
vx vy vz
气体分子速率平方的平均值
v v1 v2 v3 … …
Ｎ ΔＮ１ ΔＮ２ ΔＮ３ … …
v

5.分子动理论 大学物理习题答案

5.分子动理论 大学物理习题答案
当 v vp 解：(1) 速率分布曲线如右图。

vp
.099v p时，x 0.99 ； v v p
vp
(2) 由归一化条件

0
v0
1 f (v) d v 1 ， c d v cv 0 1 ，得 c v0 0
v0
f (v)
C


(3) v vf (v) d v v c d v
大学物理练习册—分子动理论
理想气体状态方程 5-1 一容器内储有氧气，其压强为 1.01105Pa，温度为 270C，求： （1）气体分子的数密度； （2）氧气的质 量密度； （3）氧分子的质量； （4）分子间的平均距离（设分子均匀等距分布） 。 解：(1) p nkT ， n
p 1.01 105 2.44 1025 /m 3 kT 1.38 1023 (273 27)
5-4 体积 V 10 3 m 3 ，压强 p 10 5 Pa 的气体分子平均平动动能的总和为多少？ 解： t N
N 3 pV kT ，其中 N 为总分子数。 p nkT kT ， N 2 kT V pV 3 3 3 t kT pV 105 103 150 J kT 2 2 2
m M pV RT ，T mol M mol mR
t
3 3 M pV 3 2 10 3 3.9 105 4.0 103 kT k mol 1.38 10 23 3.88 1022 J 2 2 mR 2 2 102 8.31
2 RT 可知，在相同温度下， M mol 大的气体 v p 小， M mol
f(v) I II
所以曲线 对应氢气的分布，即 v p H 2000 m/s

大学物理第16章气体动理论

大学物理第16章气体动理论
N2
pA
lim N
NA N

1 2
抛硬币的 统计规律
2020/1/15
DUT 余 虹
4
16.1 理想气体的压强
一、分子的作用力与压强
总数N 个，分子质量m ，摩尔质量，
体积V，温度T。
F
气体分子频繁碰撞 容器壁——给容器
壁冲量。大量分子在t 时间内给予I
的冲量，宏观上表现为对器壁的平均
vf
v
d
v

0
f
vd v


0
vf
v d
v
麦克斯韦分布律
v 1.60 RT

2020/1/15
DUT 余 虹
21
（3）方均根速率 v 2
一段速率区间v1~v2的方均速率
f v
v122
v2 v 2 d N N v v2 2 f v d v
v1 v2 d N
作用力
F I t
气体对容器壁的压强
P F I S S t
2020/1/15
DUT 余 虹
5
二、P 与微观量 的关系
分子按速度区 间分组
第i 组: 速度 近vi 似~ 认vi 为 都dv是i v i
分子数N
i ，分子数密度
ni

Ni V
考察这组分子给面元A的冲量
一 碰壁前速度 vix viy viz
一、速率分布函数
处于平衡态的气体，每个分子 朝各个方向运动的概率均等。
可是大量分子速度分 量的方均值相等。
一个分子，某一时刻速度
v
通常 v xv y v z

v

大学物理(第三版)热学-第一章

大学物理(第三版)热学-第一章

从实验归纳总结
定律
热力学第一定律 ---能量转化 热力学第二定律 ---过程方向性 基础定律
地位： 相当于力学中的牛顿定律
2021/6/7
12
三、 本课程中研究对象的理想特征
1.对象 理想气体
宏观定义：
严格遵守玻意耳定律
实际气体理想化：
P 不太高 T 不太低
若高压 低温？
2021/6/7
1) 在理想气体理论基础上加以修正
每一时刻系统都处于平衡态 实际过程的理想化---无限缓慢(准) “无限缓慢”：系统变化的过程时间>>驰豫时 间 例1 气体的准静态压缩
2021/6/7
过程时间 ~ 1 秒
驰豫 时间
<
103 16
s
实际过程太迅速了 怎么办？ 1)修正原理论 2)更普遍的理论或经验
本课介绍 • 气体分子动理论
平衡态下 理想气体的状态量与微观量的关系 •热力学基础 实验的总结---必定涉及过程
3.5 4190/m 3 十亿
大量、无规则
统计方法
数学基础---概率论
2021/6/7
23
讨论 1.理气状态方程
PV M RT PV RT NkT
P nkT
2.不漏气系统 各状态的关系
PV C T
2021/6/7
24
3. P-V 图
P
P.V.T P.V.T
V
P V 图上一个点代表一个平衡态 一条线代表一个准静态过程
2021/6/7
5
解决问题的一般思路 •从单个粒子的行为出发
统计的方法
•大量粒子的行为--- 统计规律 例如：微观认为宏观量P
是大量粒子碰壁的平均作用力

大学物理热力学基础.

大学物理热力学基础.

11.01310522.4103
22.7102(J)
Qacb Acb
V(l)
7-3 气体的摩尔热容量
一、热容与摩尔热容的定义： 热容量：系统在某一无限小过程中吸收热量dQ与温
度变化dT的比值称为系统在该过程的热容量（C）
dQ
C dT
表示升高1K所吸收的热量
J K1
单位质量的热容量叫比热容。 CMC比 JK1kg1
摩尔热容量：1 mol 物质的热容量（Cm）
M C Mmol Cm
1mol 物质温度升高1K时所吸收的热量。
JK1mo1
二、理想气体的摩尔热容量
1、理想气体的定容摩尔热容：
dQ CV ( dT )V
( dE dT
)V
理想气体 dE i RdT
2 3
单原子理想气体 CV 2 R
双原子理想气体
1、理想气体的绝热准静态过程的过程方程
dA PdV dE M M moC lVdT (1)
理想气体状态方程
PV M RT Mmol
对其微分得:
M
PdVVdP RdT Mmol
(2)
联立（1）（2）得：
dP dV0 PV
PV con. s(3t)
（泊松公式）
将 PV cons.与t PV M RT联立得:
准静态过程是一种理想的极限。
三、准静态过程的功和热量
1、体积功的计算
dl
➢当活塞移动微小位移dl 时， 系统对外界所作的元功为：
p F S
➢系统体积由V1变为V2，系统对外界作总功为：
A dA V2pdV V1
dV0, 系统对外作正功；
dV0, 系统对外作负功；
例：有1mol理想气体 （1）a b等温，

大学物理06分子动理论

热物理学
组成物质的分子或粒子都在作永不停息的无规则 运动，称为热运动。大量分子热运动的集体效应在宏 观上表现为物体的热现象和热性质。
研究分子热运动，讨论热现象的规律、分析物体 热性质的理论称为热物理学。 热物理学包括宏观理论和微观理论。 • 宏观理论——热力学：以观察和实验为基础，通过归 纳和推理得出有关热现象的基本规律，因而其结论普 遍而且可靠。 • 微观理论——分子动理论：从分子结构和分子运动出 发，应用力学规律和统计方法，研究大量分子热运动 的集体效应，从微观本质上解释热现象和热性质。
热力学平衡态
三、平衡与涨落 一个与外界没有能量、质量交换的系统，经一定时间后 达到稳定的，不再有宏观状态的变化。此时，系统内各 部分的宏观性质均相同。
处在平衡态的系统的宏观量，如压强，不随时间改变， 但不能保证任何时刻大量分子撞击器壁的情况完全一样， 这称为涨落现象，分子数越多，涨落就越小。 N
t
热力学平衡态
二、温标
确定温度数值的表示方法——温标 （1）选定测温质 （2）选定与温度单调变化的属性
（3）假定测温属性与温度成线性关系
（4）选定温度标准点，将温度计分度 不同测温质或不同测温属性测量同一温度数 值可能不同。
上海交通大学物理系高景jgao@
热力学平衡态
三、理想气体温标和状态方程
LR R R R LR R RRLR RRRL 1 3 4
R R R R 0 4 1
C(n) 1
上海交通大学物理系高景jgao@
C n 某一宏观态出现的几率： pn N 2
热力学平衡态
1 2 3 4 n n’
L L L L 4 0
LLLR LLR L LR LL R LLL 3 1 4

大学物理第三章 分子动理论

子
乙
分子力的形成说明图
Epr
用分子力解释几个物理现象如物 质的三态等。
o
斥力 分子力
r0
r
引力
势能曲线
r
点评 相变与相变理论
物质的相态 固，液，气，等离子体
相变理论 相变温度 相变点 相变能 相变系数
第二节 理想气体的压强
气体对容器壁作用表现为气体的压强，此压强可以用气体动理 论加以微观解释。
本章研究内容：
1 宏观量 P,T与微观量间的统计关系.
2 微观量与微观量间的统计关系. 运用统计方法
名句赏析 小楼一夜听春雨， 深巷明朝卖杏花。
内容提要
宏观量压强和温度的微观解释 物质的内能 理想气体的速率分布规律 几个微观量的统计平均值
第一节 分子热运动的基本概念
一 分子运动论 1 宏观物体是由大量不停息地运动着的分子或原子组成的，称 为分子热运动。如在气体内部一分子一秒遭一百万次碰撞。1827年 被英国植物学家布朗证实：布朗运动，微粒受到周围分子的碰撞的 不平衡引起的。
第二编 热 学
返回
热学是研究热现象的规律。热现象是物质中大量分子热运 动的集体表现。本篇将介绍统计物理的基本概念和气体动理论的 基本内容以及热力学的基本规律。
气体动理论或称分子物理学的系统研究源于十八世纪以后， 伯努利，罗蒙罗索夫，道耳顿等开辟了奠基性的工作。十九世纪 六十年代，麦克斯韦，克劳修斯，玻耳兹曼等人在前人的基础上， 应用统计的方法，探索物质大量分子集体性质的一般统计规律， 从而阐明了热现象的本质。二十世纪初发展的量子理论，对上述 经典统计理论做了重要的修改和补充。
十八世纪初欧洲工业革命，尤其是蒸气机的应用，促进了热 力学的发展，建立了系统的计温学和量热学。经焦耳，迈尔，卡 诺等人系统的总结，建立了热力学第一定律。克劳修斯和开尔文 又独立的发现了热二律。形成了今天的热力学理论。

西南交通大学《大学物理》气体分子动理论


别为 CVO2
=
R, 2
CV H 2
=
R 2
由理想气体状态方程 pV = M R 和题意标准状态下（两气体压强、体积相同）有 Tµ
M
（ 两气体的摩尔数之比为 µ
) O2
=
p 1V1 T1
= V1 = 1
M ( µ ) He
p2V 2 V 2 2 T2
m 根据理想气体内能公式 E = M ⋅ i RT 得 µ2
本习题版权归物理与科学技术学院物理系所有，不得用于商业目的
《大学物理》作业 No.10 气体分子动理论 班级 ________ 学号 ________ 姓名 _________ 成绩 _______
一、选择题：
1. 在容积 V = 4×10 −3 m3 的容器中，装有压强 p = 5×10 2 P a 的理想气体，则容器中气体分子的平均平动
处的分子数密度。
n 若大气中空气的摩尔质量为 M mol ，温度为 T，且处处相同，并设重力场是均匀的，则空气分子数密度减少
a 到地面的一半时的高度为
。（符号 exp[α ]，即 e α ）
− Mmol gh
n 解：由玻尔兹曼粒子数按势能（高度）分布规律 n = n0e RT 得
i 空气分子数密度减少到地面的一半时的高度为
4. 在标准状态下, 若氧气（视为刚性双原子分子的理想气体）和氦气的体积比 V1 = 1 ，则其内能之比 V2 2
E1 / E2 为：
[
] (A) 1/2
(B) 5/3
(C) 5/6
(D) 3/10
解：氧气为双原子分子，其总自由度为 5，氦气为单原子分子，其总自由度为 3，故它们的摩尔热容量分
3

大学物理专业力学知识点

大学物理专业力学知识点大学物理专业力学知识点-总结质点运动学１．直角坐标下质点的位置、速度、加速度的矢量表示y某ijzkdrd某dydzijk质点的速度vdtdtdtdtdvd2rd2某d2yd2z2i2j2k 质点加速度adtdt2dtdtdtdrdvdrdv注意区分：与，与dtdtdtdt质点的位置矢量r问题：（1）如何从位置求速度、加速度？（求导）如何从加速度求速度，求位置？（积分）（2）位置、速度、加速度的大小怎么求？方向怎么表示？（3）如何从运动学方程求轨迹方程？（消去时间t，得到某,y,z之间的函数关系）2．自然坐标系下，速度、加速度的表达速率vdsdset，速度vdtdtd2sv2加速度aatetaneneen2tdt圆周运动角速度角线关系：vddt角加速度ddtR，atR问题：自然坐标系下，速度、加速度又怎样表示？切向加速度和法向加速度如何计算？3．速度合成法则：绝对速度等于相对速度与牵连速度的矢量和。

动量牛顿运动定律动量守恒定律1．牛顿定律及其应用Fma解题步骤：（1）确定研究对象（2）建立坐标系（3）分析研究对象的受力情况（4）在各方向上建立牛顿第二定律方程2．冲量动量t2冲量：恒力IFt，变力IF(t)dtt质点动量定理：Ipp0，质点所受冲量等于质点动量的增量质点系的动量定理：质点系所受外力的冲量等于质点系动量的增量注意：内力不会影响体系的动量3．质心质心定义：rcmriiim质心运动定理：质点系质量与质心加速度的乘积等于质点系所受一切外力的矢量合4．动量守恒定律质点系受合外力矢量合为零，则体系动量守恒。

要求：会用动量守恒定律求解问题！！动能和势能1．功功的定义：力在受力质点位移上的投影与位移的乘积Ar1Fr某1dr，对于一维情况AF(某)d某在一段有限路径上的功AFr0某02．质点及质点系动能定理质点动能定理：A质点系动能定理：EkEk0k1212mvmv0质点的动能增量等于作用于质点的合力所作的功22k0AEE 质点系的动能增量等于一切外力所作的功与一切内力所作功的代数和。

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6-2 理想气体压强公式
气体对器壁的压强是大量分子对容器不断碰撞的 统计平均效果。
每个分子对器壁的作用 f t
所有分子对器壁的作用 F f t
t
理想气体的压强公式
p F S
一、理想气体的分子模型 1、分子可以看作质点
本身的大小比起它们之间的平均距离可忽略不计。 2、除碰撞外，分子之间的作用可忽略不计。 3、分子间的碰撞是完全弹性的。
压强为1.3107 Pa，若每天用105 Pa的氧气400 l ，问此 瓶氧气可供多少天使用？设使用时温度不变。
解: 根据题意，可确定研究对象为原来气体、用去气 体和剩余气体，设这三部分气体的状态参量分别为
p 1V 1M 1 p 2V 2M 2 p 3V 3M 3使用时的温度为T 设可供 x 天使用
初
A
绝热板
A、B 两体系互不影响
态
B
各自达到平衡态
末
A
导热板
A、B 两体系达到共同
态
的热平衡状态
B
W
7
A
C
若 A 和 B、B 和 C 分别热平衡，
则 A 和 C 一定热平衡。(比如C
B
是测温计)
（热力学第零定律）
处在相互热平衡状态的系统拥有某一共同的宏
观物理性质——温度
温标：温度的数值表示方法。
热力学温标 T 与摄氏温标 t 的关系
例 就质量而言，空气是由76%的N2，23%的O2和 1%的Ar三种气体组成，它们的分子量分别为28、32、 40。空气的摩尔质量为28.910-3kg，试计算1mol空气
在标准状态下的内能。
解： 在空气中
N2质量 M 1 2 .9 8 1 3 0 7 % 6 2 .1 2 1 3 k 0g
数密度，NA为阿伏加得罗常量）
√
(A) 3m pV (B) 3M pV
2M
2 M mol
(C)
3 2
npV
(D) 3M 2MmolNApV
解：w 3kT 3R T
2
2NA
3 pVMmol 3 pVmNA 3pVm 2 MNA 2 MNA 2M
W
20
例:（1）在一个具有活塞的容器中盛有一定的气体。 如果压缩气体并对它加热，使它的温度从270C升到 1770C，体积减少一半，求气体压强变化多少？ （2）这时气体分子的平均平动动能变化多少？
（2）容器中气体分子的平均动能增加了多少？
解：设氢气的总质量为M
（1） 1M2 vM5RT v 5RT
2
22
2
（2） 对于H2 i=5
k
i 2
kTW 521.3810230.740
6-5 麦克斯韦分子速率分布定律
平衡态下，理想气体分子速度分布(distribution)是 有规律的，这个规律叫麦克斯韦速度分布律。若不 考虑分子速度的方向，则叫麦克斯韦速率分布律。
平衡条件: (1) 系统与外界在宏观上无能量和物质的交换， (2) 系统的宏观性质不随时间改变。
非平衡态: 不具备两个平衡条件之一的系统。
说明： •平衡态是一种热动平衡
处在平衡态的大量分子仍在作热运动，而且因 为碰撞， 每个分子的速度经常在变，但是系统的宏 观量不随时间 改变。
例如：粒子数
箱子假想分成两相同体积的部分， 达到平衡时，两侧粒子有的穿越 界线，但两侧粒子数相同。
原有x每天用量 剩余
p1V1 M1T
p2V2 M2T p3 V3 M3 T
分别对它们列出状态方程，有 p 1V 1M M m 1R ol T p 2V 2M M m 2R ol T p 3V 3M M m 3R ol T V 1V 3 M 1M 3xM 2
xM1M3 (p1p3)V1
M2
p2V2
(1301)0329.6(天 ) 1400
理想气体的分子模型是弹性的自由运动的质点。
W
13
二、理想气体的分子性质 平衡态下：
1、平均而言，沿各个方向运动的分子数相同。 2、气体的性质与方向无关，
即在各个方向上速率的各种平均值相等。
vxvyvz vx2vy2vz2
3、不因碰撞而丢失具有某一速度的分子。
W
14
三．理想气体的压强公式
y l1
(V,N,m )
系统分类（按系统与外界交换特点）：
孤立系统：与外界既无能量又无物质交换 封闭系统：与外界只有能量交换而无物质交换 开放系统：与外界既有能量交换又有物质交换
平衡态系统 系统分类（按系统所处状态）：
非平衡态系统 热平衡态: 在无外界的影响下，不论系统初始状态如 何，经过足够长的时间后，系统的宏观性质不随时间 改变的稳定状态。
W
24
二、气体分子的方均根速率
w1mv2 3kT
2
2
v2
大量分子速率的平方平均值的平方根
v2 3kT 3RT mM
mol
v2 T v2 1/ Mmol
气体分子的方均根速率与气体的热力学温度的
平方根成正比，与气体的摩尔质量的平方根成反比。
W
25
例题6：一瓶氮气和一瓶氦气密度相同， 分子平均平动动能相同，且处于平衡态， 则
一、气体分子的速率分布 分布函数 研究气体分子的速率分布 •把速率分成若干相等区间 •求气体在平衡态下分布在各区间内的分子数 •各区间的分子数占气体分子总数的百分比
t 2l /vix
单位时间内i分子对A1面的冲量 2mivxvix/2l1
则 i分子对A1面的平均冲力 Fix2mixvvix/2l1
W
16
所有分子对A1面的平均作用力
压强
Fx iN 1Fixm l1 iN 1vix2
N
pFx
l2l3
m l1l2l3
N
vix2
i1
mN vix2 i1
l1l2l3N
A2
O v iy v iz
A1 l2
vi
v ix
l3 x
z viviix vi y j vik z
平衡态 下器壁各 处压强相 同，选A1 面求其所 受压强。
y
A2
O
i 分子动量增量
mv ix
pix2mivx
mvix A 1 i分子对器壁的冲量 2mv ix
i分子相继与A1面碰撞的时间间隔
x
l1
解： (1) p1V1 p2V2
T1
T2
由已 :V 1知 2V 2,T 127 2 3 730 K ,0
T227 1 374 75 K0
p2V V 1 2T T 2 1p12 V V 22 3405 00 3p1
(2) w 3kT 2
ww2w123k(T2T1)
31.381 023(45030)03.1 11 021J 2
N
v ix 2
i1
N
v ix 2
N n
l1l2l3
p n mvix2
平衡态下
vx2
vy2
vz2
1v2 3
pnm vx2
1nm v2 3
w 1 mv 2 ——分子的平均平动动能 2
p 2 nw 3
气体动理论第一基本方程
6-3 温度的统计解释
一、温度的统计解释
pV M RT Mmol
1N
R
M3 Mmo3l
0.2890.0 40
07
1mol空气在标准状态下的内能
E
i1 2
n1RT
i2 2
n2RT
i3 2
n3RT
1 2(i1n1 i2n2 i3n3 )RT
1(50.78590.20380.00)7 8.3 1273 2
5.6 8130J
总结几个容易混淆的慨念：
1.分子的平均平动动能：
摩尔数
n1
M1 Mmo1l
22.10.789 28
O2质量 M 2 2 .9 8 1 3 0 2 % 3 6 .6 1 5 3 k 02
08
Ar质量 M 3 2.9 8 1 3 0 1 % 0 .2 8 1 3 9 k 0g
摩尔数
n3
N n V k P V T 1 .3 8 1 1 .3 2 0 3 3 30 10 6 0
3.211016个 W
23
每个分子平均平动动能为：
___
w
3 kT
2
故N个分子总动能：
Ek
__
wN
3kTN 2
3kT 2
PV kT
3 P V 3 1 .3 3 1 6 0 2 1 6 0 (J ) 22
p RTn T
VNA
NA
kRNA1.3 81 023 JK1玻尔兹曼
p nkT
2 p nw
3
w 1mv2 3kT 气体动理论第二基本方程
2
2
温度是气体分子平均平动动能大小的量度
例题:下列各式中哪一式表示气体分子的平均
平动动能？（式中M为气体的质量，m为气体
分子质量，N为气体分子总数目，n为气体分子
i kT
k2
三、理想气体的内能
分子间相互作用 可以忽略不计
分子间相互作用的势能=0
理想气体的内能=所有分子的热运动动能之总和
1mol理想气体的内能 (摩尔内能)为
E0NA(2i kT)2i RT
一定质量理想气体的内能为 E M i RT Mmol 2
温度改变，内能改变量为 E M i RT
Mm o l2
itr5
z
三原子分子
C(x, y,z)
y
平动自由度t=3 转动自由度r=3
i tr 6
x
W
29
y
zy
o z