(完整版)等比数列的概念(教案)

等比数列的概念教案一、教学目标1. 掌握等比数列的概念；2. 能够判断一个数列是否为等比数列；3. 理解等比数列的特点和性质。

二、教学准备教师准备：黑板、白板、彩色粉笔、示意图、图片等；学生准备：课本、笔、作业本等。

三、教学过程1. 导入教师可以适当引入一些与数列相关的内容，如递增数列、递减数列等，让学生复习一下已学内容，并激发学生对等比数列的兴趣。

2. 概念讲解（教师在黑板上写下等比数列的定义）等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项都是前一项乘以同一个常数r得到的。

（教师通过示意图或实际例子，如1、2、4、8、16等，展示等比数列的特点）- 前一项与后一项的比值相等；- 从第二项开始，每一项都是前一项乘以同一个常数r得到。

（教师提示学生观察并总结等比数列的通项公式）设等比数列的首项为a，公比为r，第n项为an，则通项公式为an= a * r^(n-1)。

3. 案例分析（教师给出一些具体的等比数列，让学生判断其是否为等比数列，并求出公比和第n项等。

可以通过黑板、白板或提供作业题的形式进行）案例1：2，4，8，16，32，...案例2：3，6，12，24，48，...4. 练习与巩固（教师提供一些练习题，让学生巩固所学知识）练习1：判断以下数列是否为等比数列，并求出它的公比和第n项。

a) 1，3，9，27，...b) 2，5，10，20，...c) 4，12，36，108，...练习2：求以下等比数列的第n项。

a) 2，6，18，54，...，n=5b) 3，9，27，...，n=6c) 5，25，125，...，n=45. 拓展与应用（教师让学生在生活中找到一些实际应用等比数列的例子，并与同学分享）例如，银行定期存款的利率、细菌的繁殖等。

6. 总结与思考（教师进行小结，回顾本节课的学习内容，并进行思考指导，如如何判断一个数列是否为等比数列，如何求解等比数列的公比和第n项等）四、作业布置1. 完成课堂练习题；2. 预习下一课时的内容。

等比数列概念及通项公式经典教案等比数列的概念及通项公式【学习目标】1．准确理解等比数列、等比中项的概念，掌握等比数列通项公式的求解方法，能够熟练应用通项公式解决等比数列的相关问题.2．通项对等比数列概念的探究和通项公式的推导，体会数形结合思想、化归思想、归纳思想，培养学生对数学问题的观察、分析、概括和归纳的能力.3．激情参与、惜时高效，利用数列知识解决具体问题，感受数列的应用价值.【重点】：等比数列的概念及等比数列通项公式的推导和应用.【难点】：对等比数列中“等比”特征的理解、把握和应用.【学法指导】1. 阅读探究课本上的基础知识，初步掌握等比数列通项公式的求法; 2. 完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测；3. 将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑”处.一、知识温故1.数列有几种表示方法？2.数列的项与项数有什么关系？3函数与数列之间有什么关系？教材助读1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：1-n na a =q （q ≠0）。

注:1︒“从第二项起”与“前一项”之比为常数q ｛na ｝成等比数列⇔n n a a1+=q （+∈N n ,q ≠0） 2︒ 隐含：任一项00≠≠q a n 且3︒ q= 1时，{a n }为常数列.2.等比数列的通项公式① 111(0)n n a a q a q -=⋅⋅≠ ②1(0)n m n m a a q a q -=⋅⋅≠3．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．4.等比中项的定义：如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项.且2G ac =5．证明数列{}n a 为等比数列： ①定义：证明1n n a a +=常数， ②中项性质：212121n n n n n n n a a a a a a a +++++==或；6. 等比数列的性质：（1）n m n m a a q -=（,m n N +∈）； (2）对于k 、l 、m 、n ∈N*，若m n p q +=+，则a k a l =a m a n .； （3）每隔k 项（k N +∈）取出一项，按原来顺序排列，所得的新数列为等比数列；（4）在等比数列中，从第二项起，每一项都是与它等距离的前后两项的等比中项。

等比数列教学目标：灵活应用等比数列的定义及通项公式，深刻理解等比中项概念，掌握等比数列的性质；提高学生的数学素质，增强学生的应用意识. 教学重点：1.等比中项的理解与应用.2.等比数列定义及通项公式的应用. 教学难点：灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题. 教学过程： Ⅰ.复习回顾等比数列定义，等比数列通项公式 Ⅱ.讲授新课根据定义、通项公式，再与等差数列对照，看等比数列具有哪些性质?(1)若a ，A ，b 成等差数列⇔a ＝a ＋b2，A 为等差中项.那么，如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ,G ，b 成等比数列，…… 则即G a ＝b G，即G 2＝ab反之，若G 2＝ab ，则G a ＝b G，即a ，G ，b 成等比数列∴a ，G ，b 成等比数列⇔G 2＝ab (a ·b ≠0)总之，如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么称这个数G 为a与b 的等比中项.即G ＝±ab ，(a ，b 同号)另外，在等差数列中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，那么，在等比数列中呢？由通项公式可得：a m ＝a 1q m －1，a n ＝a 1q n －1，a p ＝a 1q p －1，a q ＝a 1·q q －1不难发现：a m ·a n ＝a 12q m +n －2，a p ·a q ＝a 12q p +q －2若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q下面看应用这些性质可以解决哪些问题?［例1］在等比数列{a n }中，若a 3·a 5＝100，求a 4.分析：由等比数列性质，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q 可得：解：∵在等比数列中，∴a 3·a 5＝a 42又∵a 3·a 5＝100，∴a 4＝±10.［例2］已知{a n }、{b n }是项数相同的等比数列，求证{a n ·b n }是等比数列. 分析：由等比数列定义及通项公式求得.解：设数列{a n }的首项是a 1，公比为p ；{b n }的首项为b 1，公比为q .则数列{a n }的第n 项与第n ＋1项分别为a 1p n －1，a 1p n数列{b n }的第n 项与第n ＋1项分别为b 1q n －1，b 1q n.数列{a n ·b n }的第n 项与第n ＋1项分别为a 1·p n －1·b 1·qn －1与a 1·p n ·b 1·q n，即为a 1b 1(pq )n －1与a 1b 1(pq )n∵a n +1a n ·b n +1b n ＝a 1b 1（pq ）n a 1b 1（pq ）n －1＝pq 它是一个与n 无关的常数，∴{a n ·b n }是一个以pq 为公比的等比数列.特别地，如果{a n }是等比数列，c 是不等于0的常数，那么数列{c ·a n }是等比数列. ［例3］三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，求这三个数. 解：设m ，G ，n 为此三数由已知得：m ＋n ＋G ＝14，m ·n ·G ＝64，又∵G 2＝m ·n ，∴G 3＝64，∴G ＝4，∴m ＋n ＝10 ∴⎩⎨⎧m ＝2n ＝8或⎩⎨⎧m ＝8n ＝2即这三个数为2，4，8或8，4，2.评述：结合已知条件与定义、通项公式、性质，选择解题捷径. Ⅲ.课堂练习课本P 50练习1，2，3，4，5. Ⅳ.课时小结本节主要内容为：(1)若a ，G ，b 成等比数列，则G 2＝ab ，G 叫做a 与b 的等比中项. (2)若在等比数列中，m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q Ⅴ.课后作业课本P 52习题 5，6，7，9等比数列(二)1．已知数列{a n }为等比数列，且a n ＞0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，那么a 3＋a 5的值等于（ ）A.5B.10C.15D.202．在等比数列中，a 1＝1，q ∈R 且|q |≠1，若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于 （ ）A.9B.10C.11D.12 3．非零实数x 、y 、z 成等差数列，x ＋1、y 、z 与x 、y 、z ＋2分别成等比数列，则y 等于（ ）A.10B.12C.14D.164．有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和为12，求此四数.5．在数列{a n }和{b n }中，a n ＞0，b n ＞0，且a n ，b n ，a n +1成等差数列，b n ，a n +1，b n +1成等比数列，a 1＝1，b 1＝2，a 2＝3，求a n ∶b n 的值.6．设x ＞y ＞2，且x ＋y ，x －y ，xy ，y x能按某种顺序构成等比数列，试求这个等比数列.7．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项的和为21，中间两项的和为18，求这四个数.等比数列(二)答案1．已知数列{a n }为等比数列，且a n ＞0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，那么a 3＋a 5的值等于（ ）A.5B.10C.15D.20分析：要确定一个等比数列，必须有两个独立条件，而这里只有一个条件，故用先确定基本量a 1和q ，再求a 3＋a 5的方法是不行的，而应寻求a 3＋a 5整体与已知条件之间的关系.解法一：设此等比数列的公比为q ，由条件得a 1q ·a 1q 3＋2a 1q 2·a 1q 4＋a 1q 3·a 1q 5＝25即a 12q 4(q 2＋1)2＝25，又a n ＞0，得q ＞0∴a 1q 2(q 2＋1）＝5a 3＋a 5＝a 1q 2＋a 1q 4＝a 1q 2(q 2＋1)＝5 解法二：∵a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25由等比数列性质得a 32＋2a 3a 5＋a 52＝25即(a 3＋a 5)2＝25，又a n ＞0，∴a 3＋a 5＝5评述：在运用方程思想方法的过程中，还要注意整体观念，善于利用等比数列的性质，以达到简化解题过程、快速求解的目的.2．在等比数列中，a 1＝1，q ∈R 且|q |≠1，若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于 （ ）A.9B.10C.11D.12解：∵a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 15q 1+2+3+4＝a 15q 10＝a 15q 11－1又∵a 1＝1，∴a m ＝q 11－1，∴m ＝11. 答案：C 3．非零实数x 、y 、z 成等差数列，x ＋1、y 、z 与x 、y 、z ＋2分别成等比数列，则y 等于（ ）A.10B.12C.14D.16解：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝x ＋z y 2＝（x ＋1）z y 2＝x （z ＋2） ⇒⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝x ＋z y 2＝（x ＋1）z z ＝2x ⇒⎩⎨⎧2y ＝3x y 2＝（x ＋1）2x ⇒y ＝12答案：B4．有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和为12，求此四数.解：设所求的四个数分别为a ，x －d ，x ，x ＋d则⎩⎪⎨⎪⎧（x －d ）2＝ax ①a ＋（x －d ）＋x ＝19 ②（x －d ）＋x ＋（x ＋d ）＝12③解得x ＝4，代入①、②得⎩⎨⎧（4－d ）2＝4a a －d ＝11解得⎩⎨⎧a ＝25d ＝14或⎩⎨⎧a ＝9d ＝－2故所求四个数为25，－10，4，18或9，6，4，2.5．在数列{a n }和{b n }中，a n ＞0，b n ＞0，且a n ，b n ，a n +1成等差数列，b n ，a n +1，b n +1成等比数列，a 1＝1，b 1＝2，a 2＝3，求a n ∶b n 的值.分析：关键是求出两个数列的通项公式.根据条件，应注意两个数列之间的联系及相互转换.解：由题意知：⎩⎨⎧2b n ＝a n ＋a n ＋1①a n ＋12＝b n b n ＋1②∴a n +1＝b n b n ＋1 ，a n ＝b n b n －1 (n ≥2) 代入①得2b n ＝b n b n ＋1 ＋b n b n －1 即2b n ＝b n ＋1 ＋b n －1 (n ≥2) ∴{b n }成等差数列，设公差为d又b 1＝2，b 2＝a 22b 1 ＝92 ，∴d ＝b 2 －b 1 ＝322－ 2 ＝22∴b n ＝ 2 ＋22（n －1）＝22（n ＋1），b n ＝12（n ＋1）2， 当n ≥2时，a n ＝b n b n －1 ＝n （n ＋1）2③ 且a 1＝1时适合于③式，故 a nb n＝nn ＋1.评述：对于通项公式有关系的两个数列的问题，一般采用消元法，先消去一个数列的项，并对只含另一个数列通项的关系进行恒等变形，构造一个新的数列.6．设x ＞y ＞2，且x ＋y ，x －y ，xy ，y x能按某种顺序构成等比数列，试求这个等比数列.分析：先由x ＞y ＞2，可知x －y ＜x ＋y ＜xy ，下来只需讨论 y x和x －y 的大小关系，分成两种情况讨论.解：∵x ＞y ＞2，x ＋y ＞x －y ，xy ＞x ＋y ，而 y x＜1＜x －y 当 y x ＜x －y 时，由 y x，x －y ，x ＋y ，xy 顺次构成等比数列.则有⎩⎪⎨⎪⎧y x ·xy ＝（x －y ）（x ＋y ）（x ＋y ）2＝（x －y ）xy解方程组得x ＝7＋5 2 ，y ＝5＋72 2∴所求等比数列为22，2＋32 2 ，12＋172 2 ，70＋9922 . 当 yx ＞x －y 时，由x －y ，y x，x ＋y ，xy 顺次构成等比数列则有⎩⎨⎧y x·xy ＝（x ＋y ）2yx （x ＋y ）＝（x －y ）xy解方程组得y ＝112，这与y ＞2矛盾，故这种情况不存在. 7．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项的和为21，中间两项的和为18，求这四个数. 分析一：从后三个数入手.解法一：设所求的四个数为 （x －d ）2x，x －d ，x ，x ＋d ，根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧（x －d ）2x ＋（x ＋d ）＝21（x －d ）＋x ＝18，解得⎩⎨⎧x ＝12d ＝6 或⎩⎨⎧x ＝274 d ＝92274 ∴所求四个数为3，6，12，18或754 ，454 ，274 ，94 .分析二：从前三数入手.解法二：设前三个数为 xq，x ，xq ，则第四个数为2xq －x .依题设有⎩⎪⎨⎪⎧x q ＋2xq －x ＝21x ＋xq ＝18，解得⎩⎨⎧x ＝6q ＝2 或⎩⎨⎧x ＝454 q ＝35故所求的四个数为3，6，12，18或754 ，454 ，274 ，94 .分析三：从首末两项的和与中间两项的和入手.解法三：设欲求的四数为x ，y ，18－y ，2－x ，由已知得： ⎩⎨⎧y 2＝x （18－y ）2（18－y ）＝y ＋（21－x ） ，解得⎩⎨⎧x ＝3y ＝6或⎩⎨⎧x ＝754 y ＝454∴所求四数为3，6，12，18或754 ，454 ，274 ，94 .。

等比数列教案一、教学目标1.理解等比数列的概念和性质；2.掌握等比数列的通项公式和求和公式；3.能够应用等比数列解决实际问题。

二、教学重点1.等比数列的概念和性质；2.等比数列的通项公式和求和公式。

三、教学难点1.等比数列的求和公式的推导；2.应用等比数列解决实际问题。

四、教学过程1. 导入教师可以通过提问的方式引入等比数列的概念，例如：“小明在银行存款，每年利率为5%，如果他连续存5年，每年的利息都加到本金里，最后一共有多少钱？”通过这个问题，引导学生思考连续增长的情况，从而引出等比数列的概念。

2. 概念讲解等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项都是前一项乘以同一个常数的结果。

这个常数称为公比，通常用字母q表示。

例如，1，2，4，8，16就是一个等比数列，公比为2。

3. 性质讲解等比数列有以下性质：1.任意一项与它的前一项的比值都相等，即an/an-1=q；2.任意一项与它的后一项的比值都相等，即an/an+1=q；3.等比数列的前n项和为a1(1-qn)/(1-q)。

4. 公式推导4.1 通项公式设等比数列的首项为a1，公比为q，第n项为an，则有：an=a1qn-1这个公式可以通过数学归纳法证明。

4.2 求和公式设等比数列的首项为a1，公比为q，前n项和为Sn，则有：Sn=a1(1-qn)/(1-q)这个公式可以通过以下方法推导：设Sn=a1+a2+…+an，则有：qSn=a1q+a2q+…+anq两式相减得：Sn-qSn=a1(1-qn)-an+1因为an+1=a1qn，所以有：Sn(1-q)=a1(1-qn)即：Sn=a1(1-qn)/(1-q)5. 应用实例教师可以通过一些实际问题，如利息计算、人口增长等，引导学生应用等比数列解决问题。

五、教学总结通过本节课的学习，学生应该掌握等比数列的概念和性质，能够使用等比数列的通项公式和求和公式解决实际问题。

同时，教师应该引导学生思考，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

等比数列教学案篇一：等比数列第一课时教案等比数列的定义教案内容：等比数列教学目标:1.理解和掌握等比数列的定义；2.理解和掌握等比数列的通项公式及其推导过程和方法；3.运用等比数列的通项公式解决一些简单的问题。

授课类型：课时安排：1教学重点：等比数列定义、通项公式的探求及运用。

教学难点：等比数列通项公式的探求。

教具准备：多媒体课件教学过程：（一）复习导入1．等差数列的定义2．等差数列的通项公式及其推导方法3.公差的确定方法.4.问题：给出一张书写纸，你能将它对折10次吗？为什么？（二）探索新知1．引入：观察下面几个数列，看其有何共同特点？（１）－2，1，4，7，10，13，16，19，（２）8，16，32，64，128，256，（３）1，1，1，1，1，1，1，（４）1，2，4，8，16，263请学生说出数列上述数列的特性，教师指出实际生活中也有许多类似的例子，如细胞分裂问题.假设每经过一个单位时间每个细胞都分裂为两个细胞，再假设开始有一个细胞，经过一个单位时间它分裂为两个细胞，经过两个单位时间就有了四个细胞，，一直进行下去，记录下每个单位时间的细胞个数得到了一列数这个数列也具有前面的几个数列的共同特性，这就是我们将要研究的另一类数列——等比数列.2．等比数列定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一．．．．项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列．．的公比；公比通常用字母q表示(q0)，3.递推公式：an1∶anq(q0)对定义再引导学生讨论并强调以下问题（1）等比数列的首项不为0；（2）等比数列的每一项都不为0；（3）公比不为0.（4）非零常数列既是等比数列也是等差数列；问题：一个数列各项均不为0是这个数列为等比数列的什么条件？3．等比数列的通项公式：【傻儿子的故事】古时候,有一个人不识字,他不希望儿子也像他这样,他就请了个教书先生来教他儿子认字，他儿子见老师第一天写“一”就是一划，第二天“二”就是二划，第三天“三”就是三划,他就跑去跟他父亲说:“爸爸,我会写字了,请你叫老师走吧!”这人听了很高兴,就给老师结算了工钱叫他走了。

§2.3 第8课时 等比数列的概念(1)教学目标（1）明确等比数列的概念及公比的概念；（2）掌握等比数列的通项公式。

教学重点，难点（1）等比数列定义和等比数列通项公式．教学过程一．问题情境1．情境：观察下面几个数列，（1）1，2，4，8，16，…632；（2）111,,,248--…，1()2n -；（3）某轿车的售价约为36万元，年折旧率约为10%，那么该车从购买当年算起，逐年的价值依次为 2336,360.9,360.9,360.9,⨯⨯⨯ ；（4）某人年初投资10000元，如果年收益率是5%，那么按复利，5年内各年末的本利和依次为 23510000 1.05,10000 1.05,10000 1.05,,10000 1.05⨯⨯⨯⨯2．问题：以上数列有何共同特点？二．学生活动数列（1），从第二项起，每一项与它的前一项的比等于2；数列（2），从第二项起，每一项与它的前一项的比等于12-；数列（3），从第二项起，每一项与它的前一项的比等于0.9；数列（4），从第二项起，每一项与它的前一项的比等于1.05．共同特点：从第二项起．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．．三．建构数学1．等比数列定义：一般地，如果一个数列从第二项起．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0)q ≠，（注意：等比数列的公比和项都不为零）．2．等比数列的通项公式：由定义式可得：(1)n -个等式21a q a =，32 a q a =，……，1n n a q a -=， 若将上述1n -个等式相乘，便可得：11342312--=⨯⨯⨯n n n q a a a a a a a a ， 即：11-⋅=n n q a a （n ≥2）当1n =时，左边=1a ，右边=1a ，所以等式成立，∴等比数列通项公式为：11n n a a q -=．说明：1．由等比数列的通项公式可以知道：当公比1q =时该数列既是等比数列也是等差数列；3．等比数列的图象：等比数列的通项公式11n n a a q -=是一个常数与指数式的乘积，表示这个数列的各点(,)n n a 均在函数11x y a q -=的图象上（图象略）．四．数学运用1．例题：例1．判断下列数列是否为等比数列：（1）1,1,1,1；（2）0,1,2,4,8；解：（1）所给的数列是首项为1，公比为1的等比数列．（2）因为0不能作除数，所以这个数列不是等比数列．例2．已知{},{}n n a b 是项数相同的等比数列，求证：{}n n a b ⋅是等比数列。

高中数学等比数列教案
一、教学目标：
1. 掌握等比数列的定义及判断方法；
2. 掌握等比数列的通项公式及前 n 项和公式；
3. 能够灵活应用等比数列解决实际问题。

二、教学重点：
1. 等比数列的定义及判断方法；
2. 等比数列的通项公式及前 n 项和公式。

三、教学难点：
1. 灵活运用等比数列解决复杂问题；
2. 培养学生数学思维和逻辑推理能力。

四、教学内容：
1. 等比数列的定义及性质；
2. 等比数列通项公式及前 n 项和公式的推导；
3. 等比数列的应用实例。

五、教学过程：
1. 引入：通过生活中的实例引入等比数列的概念，让学生了解等比数列的特点和应用场景。

2. 学习等比数列的性质和判断方法，让学生能够判断一个数列是否为等比数列。

3. 学习等比数列的通项公式及前 n 项和公式的推导，让学生掌握这两个公式的用法和计算
方法。

4. 练习与巩固：让学生通过练习题巩固所学知识，培养他们的解题能力和推理思维。

5. 应用实例：通过一些实际问题，让学生运用等比数列解决实际问题，培养他们的数学建
模能力。

六、作业布置：
1. 课后练习：布置一些等比数列相关的习题，巩固学生所学知识。

2. 探究性问题：布置一些拓展性问题，让学生能够进一步应用所学知识解决问题。

七、课堂反馈：
1. 通过课堂讨论和作业批改，及时纠正学生的错误，加深他们对等比数列的理解和掌握。

八、教学总结：
1. 总结本节课所学知识，梳理等比数列的性质和应用场景，巩固学生的学习成果。

2. 展望下一节课内容，引导学生进行自主学习和提前预习。

⽰范教案（等⽐数列概念及通项公式）2.4等⽐数列2.4.1等⽐数列的概念及通项公式从容说课本节内容先由师⽣共同分析⽇常⽣活中的实际问题来引出等⽐数列的概念，再由教师引导学⽣与等差数列类⽐探索等⽐数列的通项公式，并将等⽐数列的通项公式与指数函数进⾏联系，体会等⽐数列与指数函数的关系，既让学⽣感受到等⽐数列是现实⽣活中⼤量存在的数列模型，也让学⽣经历了从实际问题抽象出数列模型的过程.教学中应充分利⽤信息和多媒体技术，给学⽣以较多的感受，激发学⽣学习的积极性和思维的主动性.准备丰富的阅读材料，为学⽣提供⾃主学习的可能，进⽽达到更好的理解和巩固课堂所学知识的⽬的.教学重点1.等⽐数列的概念;2.等⽐数列的通项公式.教学难点1.在具体问题中抽象出数列的模型和数列的等⽐关系;2.等⽐数列与指数函数的关系.教具准备多媒体课件、投影胶⽚、投影仪等三维⽬标⼀、知识与技能1.了解现实⽣活中存在着⼀类特殊的数列;2.理解等⽐数列的概念，探索并掌握等⽐数列的通项公式;3.能在具体的问题情境中，发现数列的等⽐关系，并能⽤有关的知识解决相应的实际问题;4.体会等⽐数列与指数函数的关系.⼆、过程与⽅法1.采⽤观察、思考、类⽐、归纳、探究、得出结论的⽅法进⾏教学;2.发挥学⽣的主体作⽤，作好探究性活动;3.密切联系实际，激发学⽣学习的积极性.三、情感态度与价值观1.通过⽣活中的⼤量实例，⿎励学⽣积极思考，激发学⽣对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学⽣的类⽐、归纳的能⼒;2.通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际⽣活的密切联系，激发学⽣学习的兴趣.教学过程导⼊新课师现实⽣活中，有许多成倍增长的实例.如，将⼀张报纸对折、对折、再对折、…，对折了三次，⼿中的报纸的层数就成了8层，对折了5次就成了32层.你能举出类似的例⼦吗？⽣⼀粒种⼦繁殖出第⼆代120粒种⼦，⽤第⼆代的120粒种⼦可以繁殖出第三代120×120粒种⼦，⽤第三代的120×120粒种⼦可以繁殖出第四代120×120×120粒种⼦，…师⾮常好的⼀个例⼦！现实⽣活中，我们会遇到许多这类的事例.教师出⽰多媒体课件⼀：某种细胞分裂的模型.师细胞分裂的个数也是与我们上述提出的问题类似的实例.细胞分裂有什么规律，将每次分裂后细胞的个数写成⼀个数列，你能写出这个数列吗？⽣通过观察和画草图，发现细胞分裂的规律，并记录每次分裂所得到的细胞数，从⽽得到每次细胞分裂所得到的细胞数组成下⾯的数列：1，2，4，8，…①教师出⽰投影胶⽚1：“⼀尺之棰，⽇取其半，万世不竭.”师这是《庄⼦·天下篇》中的⼀个论述，能解释这个论述的含义吗？⽣思考、讨论，⽤现代语⾔叙述.师 (⽤现代语⾔叙述后)如果把“⼀尺之棰”看成单位“1”，那么得到的数列是什么样的呢？⽣发现等⽐关系，写出⼀个⽆穷等⽐数列：1，21，41，81，161，… ②教师出⽰投影胶⽚2：计算机病毒传播问题.⼀种计算机病毒，可以查找计算机中的地址簿，通过邮件进⾏传播.如果把病毒制造者发送病毒称为第⼀轮，邮件接收者发送病毒称为第⼆轮，依此类推.假设每⼀轮每⼀台计算机都感染20台计算机,那么在不重复的情况下,这种病毒感染的计算机数构成⼀个什么样的数列呢?师 (读题后)这种病毒每⼀轮传播的计算机数构成的数列是怎样的呢？引导学⽣发现“病毒制造者发送病毒称为第⼀轮”“每⼀轮感染20台计算机”中蕴涵的等⽐关系.⽣发现等⽐关系，写出⼀个⽆穷等⽐数列：1，20，202，203，204，… ③教师出⽰多媒体课件⼆：银⾏存款利息问题.师介绍“复利”的背景：“复利”是我国现⾏定期储蓄中的⼀种⽀付利息的⽅式，即把前⼀期的利息和本⾦加在⼀起算作本⾦，再计算下⼀期的利息，也就是通常说的“利滚利”.我国现⾏定期储蓄中的⾃动转存业务实际上就是按复利⽀付利息的.给出计算本利和的公式：本利和=本⾦×(1+本⾦)n ，这⾥n 为存期.⽣列出5年内各年末的本利和，并说明计算过程.师⽣合作讨论得出“时间”“年初本⾦”“年末本利和”三个量之间的对应关系，并写出：各年末本利和(单位：元)组成了下⾯数列：10 000×1.019 8，10 000×1.019 82，10 000×1.019 83，10 000×1.019 84，10 000×1.019 85. ④师回忆数列的等差关系和等差数列的定义，观察上⾯的数列①②③④，说说它们有什么共同特点？师引导学⽣类⽐等差关系和等差数列的概念，发现等⽐关系.引⼊课题：板书课题 2.4等⽐数列的概念及通项公式推进新课［合作探究］师从上⾯的数列①②③④中我们发现了它们的共同特点是：具有等⽐关系.如果我们将具有这样特点的数列称之为等⽐数列，那么你能给等⽐数列下⼀个什么样的定义呢？⽣回忆等差数列的定义，并进⾏类⽐，说出：⼀般地，如果把⼀个数列，从第2项起，每⼀项与它前⼀项的⽐等于同⼀个常数，那么这个数列叫做等⽐数列.［教师精讲］师同学们概括得很好，这就是等⽐数列( geometric seque n ce)的定义.有些书籍把等⽐数列的英⽂缩写记作G .P.(Geometric Progressio n ).我们今后也常⽤G.P.这个缩写表⽰等⽐数列.定义中的这个常数叫做等⽐数列的公⽐(commo n r a tio)，公⽐通常⽤字母q 表⽰(q≠0). 请同学们想⼀想，为什么q≠0呢？⽣独⽴思考、合作交流、⾃主探究.师假设q=0，数列的第⼆项就应该是0，那么作第⼀项后⾯的任⼀项与它的前⼀项的⽐时就出现什么了呢？⽣分母为0了.师对了，问题就出在这⾥了，所以，必须q≠0.师那么，等⽐数列的⾸项能不能为0呢？⽣等⽐数列的⾸项不能为0.师是的，等⽐数列的⾸项和公⽐都不能为0，等⽐数列中的任⼀项都不会是0. ［合作探究］师类⽐等差中项的概念，请同学们⾃⼰给出等⽐中项的概念.⽣如果在a 与b 中间插⼊⼀个数G ，使a 、G 、b 成等⽐数列，那么G 叫做a 、b 的等⽐中项.师想⼀想，这时a 、b 的符号有什么特点呢？你能⽤a 、b 表⽰G 吗？⽣⼀起探究,a 、b 是同号的Gb a G ，G=±ab ，G 2=ab . 师观察学⽣所得到的a 、b 、G 的关系式，并给予肯定.补充练习：与等差数列⼀样，等⽐数列也具有⼀定的对称性，对于等差数列来说，与数列中任⼀项等距离的两项之和等于该项的2倍，即a n -k +a n +k =2a n .对于等⽐数列来说，有什么类似的性质呢？⽣独⽴探究，得出：等⽐数列有类似的性质：a n -k ·a n +k =a n 2.［合作探究］探究：(1)⼀个数列a 1,a 2,a 3,…,a n ,…(a 1≠0)是等差数列，同时还能不能是等⽐数列呢？(2)写出两个⾸项为1的等⽐数列的前5项，⽐较这两个数列是否相同？写出两个公⽐为2的等⽐数列的前5项，⽐较这两个数列是否相同？(3)任⼀项a n 及公⽐q 相同，则这两个数列相同吗？(4)任意两项a m 、a n 相同，这两个数列相同吗？(5)若两个等⽐数列相同，需要什么条件？师引导学⽣探究，并给出(1)的答案，（2)(3)(4)可留给学⽣回答.⽣探究并分组讨论上述问题的解答办法，并交流(1)的解答.［教师精讲］概括总结对上述问题的探究，得出：(1)中，既是等差数列⼜是等⽐数列的数列是存在的，每⼀个⾮零常数列都是公差为0，公⽐为1的既是等差数列⼜是等⽐数列的数列.概括学⽣对(2)(3)(4)的解答.(2)中，⾸项为1，⽽公⽐不同的等⽐数列是不会相同的；公⽐为2，⽽⾸项不同的等⽐数列也是不会相同的.(3)中，是指两个数列中的任⼀对应项与公⽐都相同，可得出这两个数列相同；(4)中，是指两个数列中的任意两个对应项都相同，可以得出这两个数列相同；(5)中，结论是：若两个数列相同，需要“⾸项和公⽐都相同”.(探究的⽬的是为了说明⾸项和公⽐是决定⼀个等⽐数列的必要条件；为等⽐数列的通项公式的推导做准备)［合作探究］师回顾等差数列的通项公式的推导过程，你能推导出等⽐数列的通项公式吗？⽣推导等⽐数列的通项公式.［⽅法引导］师让学⽣与等差数列的推导过程类⽐，并引导学⽣采⽤不完全归纳法得出等⽐数列的通项公式.具体的，设等⽐数列{a n }⾸项为a 1，公⽐为q ，根据等⽐数列的定义，我们有： a 2=a 1q,a 3=a 2q=a 1q 2,…,a n =a n -1q=a 1q n -1，即a n =a 1q n -1.师根据等⽐数列的定义，我们还可以写出q a a a a a a a a n n =====-1342312..., 进⽽有a n =a n -1q=a n -2q 2=a n -3q 3=…=a 1q n -1.亦得a n =a 1q n -1.师观察⼀下上式，每⼀道式⼦⾥，项的下标与q 的指数，你能发现有什么共同的特征吗？⽣把a n 看成a n q 0，那么，每⼀道式⼦⾥，项的下标与q 的指数的和都是n .师⾮常正确，这⾥不仅给出了⼀个由a n 倒推到a n 与a 1，q 的关系，从⽽得出通项公式的过程，⽽且其中还蕴含了等⽐数列的基本性质，在后⾯我们研究等⽐数列的基本性质时将会再提到这组关系式.师请同学们围绕根据等⽐数列的定义写出的式⼦q a a a a a a a a n n =====-1342312...,再思考. 如果我们把上⾯的式⼦改写成q a a q a a q a a q a a n n ====-1342312,...,,,. 那么我们就有了n -1个等式，将这n -1个等式两边分别乘到⼀起(叠乘)，得到的结果是11-=n n q a a ,于是，得a n =a 1q n -1. 师这不⼜是⼀个推导等⽐数列通项公式的⽅法吗？师在上述⽅法中，前两种⽅法采⽤的是不完全归纳法，严格的，还需给出证明.第三种⽅法没有涉及不完全归纳法，是⼀个完美的推导过程，不再需要证明.师让学⽣说出公式中⾸项a 1和公⽐q 的限制条件.⽣ a 1，q 都不能为0.［知识拓展］师前⾯实例中也有“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的练习和习题，那⾥是⽤什么⽅法解决问题的呢？教师出⽰多媒体课件三：前⾯实例中关于“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的练习或习题.某种储蓄按复利计算成本利息，若本⾦为a 元，每期利率为r ，设存期是x,本利和为y 元.（1）写出本利和y 随存期x 变化的函数关系式；（2）如果存⼊本⾦1 000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和.师前⾯实例中关于“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的问题是⽤函数的知识和⽅法解决问题的.⽣⽐较两种⽅法，思考它们的异同.［教师精讲］通过⽤不同的数学知识解决类似的数学问题，从中发现等⽐数列和指数函数可以联系起来.(1)在同⼀平⾯直⾓坐标系中，画出通项公式为a n =2 n -1的数列的图象和函数y=2x-1的图象，你发现了什么？(2)在同⼀平⾯直⾓坐标系中，画出通项公式为1)21(-=n n a 的数列的图象和函数y=(21)x-1的图象，你⼜发现了什么？⽣借助信息技术或⽤描点作图画出上述两组图象，然后交流、讨论、归纳出⼆者之间的关系.师出⽰多媒体课件四：借助信息技术作出的上述两组图象.观察它们之间的关系，得出结论：等⽐数列是特殊的指数函数，等⽐数列的图象是⼀些孤⽴的点.师请同学们从定义、通项公式、与函数的联系3个⾓度类⽐等差数列与等⽐数列，并填充下列表格：【例1】某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过⼀年，剩留的这种物质是原来的84％，这种物质的半衰期为多长(精确到1年)？师从中能抽象出⼀个数列的模型，并且该数列具有等⽐关系.【例2】根据右图中的框图，写出所打印数列的前5项，并建⽴数列的递推公式，这个数列是等⽐数列吗？师将打印出来的数依次记为a 1(即A )，a 2，a 3，….可知a 1=1;a 2=a 1×21;a 3=a 2×21.于是，可得递推公式 ??==-)1(21,111＞n a a a n n . 由于211=-n n a a ，因此，这个数列是等⽐数列. ⽣算出这个数列的各项，求出这个数列的通项公式.练习：1.⼀个等⽐数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项.师启发、引导学⽣列⽅程求未知量.⽣探究、交流、列式、求解.2.课本第59页练习第1、2题.课堂⼩结本节学习了如下内容：1.等⽐数列的定义.2.等⽐数列的通项公式.3.等⽐数列与指数函数的联系.布置作业课本第60页习题2.4 A 组第1、2题.板书设计。

§2.4 等比数列第1课时等比数列的概念与通项公式一、教学内容《等比数列》是普通高中课程标准试验教科书《数学》必修5第二章《数列》第四节，内容较多，设置了两个课时，第1课时为等比数列的概念及通项公式.等比数列在我们的学习和生活中有着广泛的实际应用，例如：物理、化学、生物等均有涉及，通过该内容的学习，能够培养学生的多种数学能力。

而且它在教材中起着承前启后的作用，一方面，等比数列是一种特殊的数列，与等差数列既有区别，也有联系，另一方面，它又对进一步学习数列及其应用等内容作准备，且等比数列又是高考的考点之一。

所以本节内容比较重要，地位较突出.二、教学目标1.知识与技能：①通过学习，能说出等比数列的概念，并会使用符号语言表示；②初步掌握等比数列的通项公式及其推导过程和方法；③运用等比数列的通项公式解决一些简单的有关问题.2.过程与方法：通过慨念、公式和例题的教学，渗透类比思想、方程思想、函数思想以及从特殊到—般等数学思想，培养学生观察、比较、概括、归纳等数学能力及思想方法，增强应用意识.3.情感、态度与价值观：通过对等比数列概念的归纳,培养学生科学严谨的思维习惯以及合作探究的精神，体会类比思想.三、教学重难点1.重点：等比数列、等比中项的概念的形成，通项公式的推导及运用.2.难点：等比数列通项公式推导方法的获取.四、学情分析高一学生已经初步形成了自己的学习习惯，好奇心强，有着自主的探究能力和思考辨别能力.但通过考试成绩的分析可以看出，学生基础薄弱，知识的引入及理解都应多加强调，在教学中，需要多设计问题，化难为易，循序渐进，以问题串为载体引导学生分析问题，解决问题.五、教法与学法教法：1.直观演示法：利用多媒体课件直观的展示数列，便于学生观察，发现数列特征.2.活动探究法：引导学生通过创设生活情境获取知识，以学生为主体，使学生的独立探索性得到充分的发挥，培养学生的自学能力、思维能力、活动组织能力.3.集体讨论法：针对学生提出的问题，组织学生进行集体和分组讨论，促使学生在学习中解决问题，培养学生的团结协作的精神.学法：等差数列的概念及通项公式启发我们，使用类比的方法，学习等比数列的概念，通项公式的两种推导方法.六、教学用具多媒体，三角板，彩色粉笔，电子笔七、授课类型新授课八、教学过程（一）课前复习1.等差数列的概念2.通项公式.（二）新授课1.课堂探究1课本48页4个实例.①细胞分裂个数构成的数列②“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，将“一尺之锤”看成单位“1”，得到的数列③计算机每轮感染的数量构成的数列④银行存款中，每一年的本利和得到的数列思考：类比等差数列的定义，这4个数列项与项之间都有什么共同特征？试将共同特征用语言叙述出来，并用符号表示.【师生活动】教师引导学生从生活中的实例出发，借助等差数列的概念进行类比推理.【设计意图】以学生熟悉的等差数列的概念为背景，通过思考，引导学生进行分析，使学生形成“等比数列是后一项与前一项的比是同一常数的数列”的感知，从而流畅自然的引出等比数列的概念.2.等比数列的概念一般地，如果一个数列从第．．2．项起．．，每一项与它的前一项的比．等于同一常数．．．．，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，用字母q )0(≠q 来表示.用数学符号表示为：}{n a 是等比数列⇔),2,0(1+-∈≥≠=N n n q q a a n n 且 【师生活动】在上一个环节的基础上，教师引导学生给出等比数列的概念.【设计意图】流畅的引出等比数列的概念，使学生理解等比数列.3.对概念的再认识（1）公比是否能等于0？ 等比数列中有为0的项吗？（2）公比为1的数列是什么数列？（3）既是等差数列又是等比数列的数列存在吗？（4）公比q>0的等比数列有什么特征？公比q<0的等比数列有什么特征？【师生活动】教师引导学生，观察等比数列中的各项的要求.【设计意图】使学生很自然的对等差、等比数列的异同点进行初步认知. 例1.判断下列数列是否为等比数列?若是,找出公比；若不是,请说明理由．① 1, 4, 16, 32．② 0, 2, 4, 6, 8.③ 1,－10,100,－1000,10000．④ 81, 27, 9, 3, 1.⑤ a a a a a ,,,,【师生活动】学生根据等比数列的概念进行判断.【设计意图】1.让学生体会等比数列中公比可正可负，可以大于1，也可以小于1.2.让学生体会等比数列中不能出现0.3.体会非零常数列既是等差数列，又是等比数列.4.课堂探究2 等比数列的通项公式)(11+-∈=N n q a a n n方法：累乘法【师生活动】教师引导学生回顾等差数列的通项公式推导过程，引导学生类比推导等比数列的通项公式.【设计意图】培养学生小组合作，类比推理的学习能力.5.对通项公式的再认识① 等比数列通项公式11-=n n q a a 中，是公比的．．．1-n 次方．．. ② 写出通项公式需已知的量是首项．．与公比．．，它们均不为．．．0.【师生活动】教师引导学生从等比数列的定义，通项公式的形式，推导过程，对通项公式进行再认识.【设计意图】熟练掌握等比数列的通项公式以及常用变形式.（三）练习导学案上的练习题九、课堂小结1.等比数列的概念2.等比数列的通项公式及推导方法 11-=n n q a a3.本节课所运用的数学思想方法十、课后作业练习册2.4.1等比数列的概念和通项公式十一、板书设计十二、教学反思（附页）。

等比数列的概念、性质（优质课）教案教学目标：教学重点： 掌握并理解等比数列的概念及性质，通项公式的求解，等比数列与指数函数的关系 教学难点： 理解等比数例性质及与指数函数的关系教学过程：1. 等比数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用q ()0q ≠表示。

2. 等比数列的通项公式11n n a a q -=3. 等比中项如果三个数,,x G y 组成等比数列，那么G 叫做x 和y 的等比中项，其中2G xy = 4. 等比数列的性质（1）公比为q 的等比数列的各项同乘以一个不为零的数m ，所得数列仍是等比数列，公比仍为q（2）若,,,,m n p q m n p q N ++=+∈，则m n p q a a a a = （3）若等比数列{}n a 的公比为q ，则1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1q 为公比的等比数列 （4）等比数列{}n a 中，序号成等差数列的项构成等比数列 （5）若{}n a 与{}n b 均为等比数列，则{}n n a b 也为等比数列5. 等比数列与指数函数的关系等比数列{}n a 的通项公式111n nn a a a qq q-==当0q >且1q ≠时，x y q =是一个指数函数，设1a c q=则nn a cq =，等比数列{}n a 可以看成是函数x y cq =，因此，等比数列{}n a 各项所对应的点是函数xy cq =的图像上的一群孤立的点。

根据指数函数的性质，我们可以得到等比数列的增减性的下列结论： （1） 等比数列{}n a 递增⇔{101a q >> 或{1001a q <<< （2） 等比数列{}n a 递减⇔{1001a q ><< 或{101a q <>（3） 等比数列{}n a 为常数列⇔1q = （4） 等比数列{}n a 为摆动数列⇔0q <类型一： 等比数列的判定及通项公式的求解例1.（2014重庆）对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是（） A.数列{}1n a +不可能是等比数列B.数列{}n ka （k 为常数） 一定是等比数列C.若0n a >，则{}ln n a 一定是等差数列D.数列{}2n a 是等比数列，其公比与数列{}n a 的公比相等解析：A 项，若数列{}n a 为非-1的常数列，则{}1n a +是非零的常数列，显然是公比为1的等比数列，故该选项不正确；B 项，若0k =，则0n ka =，此时数列{}n ka 不是等比数列，所以该选项不正确；D 项，因为22112n n n n a a a a ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以若数列{}n a 为等比数列，则数列{}2n a 是等比数列，其公比为数列{}n a 的公比的平方，所以该选项不正确，所以选C 答案：C练习1.对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是（） A.139,,a a a 成等比数列 B.236,,a a a 成等比数列 C.248,,a a a 成等比数列 D.369,,a a a 成等比数列 答案：D练习2.已知数列{}n a 中，()111,212n n a a a n -==+≥ （1） 证明：数列{}1n a + 是等比数列 （2） 求n a答案：（1）数列{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列（2）21nn a =-例2.已知等比数列{}n a 中，0,n a >且1322,4a a a ==+，求 n a 解析：设等比数列{}n a 的公比为q0,0n a q >∴>由1322,4,a a a ==+得2224,q q =+即220,q q --= 解得2q = 或1q =-（舍去），因此2q =所以{}n a 的通项公式为()1222n n n a n N -+=⋅=∈答案：()1222n n n a n N -+=⋅=∈练习3.已知等比数列{}n a 中，3103,384a a ==，求7a 答案：748a =练习4.若等比数列{}n a 满足116,nn n a a += 则公比为 （）A.2B.4C.8D.16 答案：B类型二： 等比数列的性质例3.（2015广东梅州摸底）在等比数列{}n a 中，0,n a >且21431,9,a a a a =-=-则45a a += （） A.27 B.16 C.81 D.36解析：设公比为q 由已知得0q > 因为12341,9,a a a a +=+=所以234129,a a q a a +==+ 解得3q =或3-（舍），故 ()3451227a a a a q +=+⋅= 答案：A练习5.已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，1237895,10,a a a a a a == 则456a a a = （）A. B.7 C.6 D. 答案：A练习6.已知数列{}n a 为等比数列，若4610,a a += 则1737392a a a a a a ++ 的值为（） A.10 B.20 C.60 D.100 答案：D例4.若等比数列{}n a 的各项均为正数，且510119122,a a a a e += 则12320ln ln ln ...ln a a a a ++++=解析：因为等比数列{}n a 中，1011912a a a a = 所以由510119122a a a a e += 可解得51011a a e = 所以()()()1051220122010111011ln ln ...ln ln ...ln 10ln 10ln 50a a a a a a a a a a e +++=⋅⋅⋅=⋅=⋅==答案：50练习7.若等比数列{}n a 满足241,2a a = 则2135a a a = ________________ 答案：14练习8.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若28641,2,a a a a ==+ 则6a 的值是_________ 答案：4类型三：等比数列与指数函数的关系；等差数列与等比数列的结合 例5.已知等比数列{}n a 中，246,54,a a ==求5a解析：由24a a ≠知等比数列{}n a 的公比1q ≠，设其通项公式为nn a c q =⋅由已知得{2244654a c q a c q =⋅==⋅= 解得233c q ==⎧⎨⎩ 或233c q ==-⎧⎨⎩当3q =时()55231623a =⨯-=；当3q =-时()55231623a =⨯-=-；故5162a =或5162a =-答案：5162a =或5162a =- 练习9.已知{}n a 是等差数列，公差d ≠ 且139,,a a a 成等比数列，则1392410a a a a a a ++=++ （）A.716B.916C.1116D.1316答案：D 练习10.设{}n a 为公比的等比数列，若2012a 和2013a 是方程24830x x -+=的两根，则20142015a a +=______________答案：18例6.（2015山西太原质检）设等差数列{}n a 的公差不为0，19,a d =若ka 是1a 与2ka 的等比中项，则k =（）A.2B.4C.6D.8解析：由题意得()()()()12118,2128k k a a k d k d a a k d k d =+-=+=+-=+又212k k a a a =⋅所以()()228928k d d k d +=+即2280k k --=解得4k =或2k =-（舍）答案：B练习11.各项均为正数的等比数列{}n a 的公比1q ≠且2311,,2a a a 成等差数列，则234345a a a a a a ++++的值为（）A.12B.12C.12D.12或12答案：C练习12.已知,,a b c 成等比数列，如果,,a x b 和,,b y c 都成等差数列，则a cx y+= __________ 答案：21. 公差不为零的等差数列{a n }，a 2，a 3，a 7成等比数列，则它的公比为( ) A ．－4 B ．－14 C.14 D ．4答案：D2. 若2a ，b,2c 成等比数列，则函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴的交点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．0或2 答案：B3. 若等比数列的首项为98，末项为13，公比为23，则这个数列的项数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案：B4. 在等比数列{a n }中，a 4＋a 5＝10，a 6＋a 7＝20，则a 8＋a 9等于( )A ．90B ．30C ．70D ．40 答案：D5. 对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列 D ．a 3，a 6，a 9成等比数列 答案：D6. 等比数列{a n }各项为正数，且3是a 5和a 6的等比中项，则a 1·a 2·…·a 10＝( ) A ．39 B ．310 C ．311 D ．312 答案：B7. 在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a 29a 11的值为( )A ．9B ．1C ．2D ．3 答案：D_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1. 已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9等于( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 答案：C2. 在等比数列{a n }中，a n >a n ＋1，且a 7·a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 6a 16等于( )A.32B.23C.16 D ．6 答案： A3. 已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( )A ．－12B ．－2C ．2 D.12答案：D4. 已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝( )A ．64B ．81C ．128D ．243 答案：A5. 如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( )A ．b ＝3，ac ＝9B ．b ＝－3，ac ＝9C ．b ＝3，ac ＝－9D ．b ＝±3，ac ＝9 答案：B6. 已知等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则该数列的通项a n ＝__________. 答案： 3·2n －37. 已知等比数列前3项为12，－14，18，则其第8项是________．答案：－12568. 已知等比数{a n }中，a 1＝127，a 7＝27，求a n .答案：由a 7＝a 1q 6，得27＝127·q 6， ∴q 6＝272＝36，∴q ＝±3. 当q ＝3时，a n ＝a 1q n －1＝127×3n －1＝3n －4； 当q ＝－3时，a n ＝a 1q n －1＝127×(－3)n －1＝－(－3)－3·(－3)n －1＝－(－3)n －4. 故a n ＝3n －4或a n ＝－(－3)n －4.9. 在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________． 答案：410. 已知等比数列{a n }的公比q ＝－13，则a 1＋a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＋a 8等于________．答案：－311. 已知数列{a n }为等比数列．(1)若a 1＋a 2＋a 3＝21，a 1a 2a 3＝216，求a n ； (2)若a 3a 5＝18，a 4a 8＝72，求公比q . 答案：(1)∵a 1a 2a 3＝216，∴a 2＝6，∴a 1a 3＝36.又∵a 1＋a 3＝21－a 2＝15，∴a 1、a 3是方程x 2－15x ＋36＝0的两根3和12. 当a 1＝3时，q ＝a 2a 1＝2，a n ＝3·2n －1；当a 1＝12时，q ＝12，a n ＝12·(12)n －1.(2)∵a 4a 8＝a 3q ·a 5q 3＝a 3a 5q 4＝18q 4＝72， ∴q 4＝4，∴q ＝± 2.能力提升12. 设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，那么a 3·a 6·a 9·…·a 30等于( )A ．210B ．220C ．216D ．215 答案： B13. 如果数列{a n }是等比数列，那么( )A ．数列{a 2n}是等比数列 B ．数列{2a n }是等比数列C ．数列{lg a n }是等比数列D ．数列{na n }是等比数列 答案：A14. 在等比数列{a n }中，公比为q ，则下列结论正确的是( ) A ．当q >1时，{a n }为递增数列 B ．当0<q <1时，{a n }为递增数列 C ．当n ∈N ＋时，a n a n ＋2>0成立 D ．当n ∈N ＋时，a n a n ＋2a n ＋4>0成立 答案：C15. 等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2，a 5>a 2，则a n ＝( ) A ．(－2)n－1B ．－(－2)n－1C ．(－2)nD ．－(－2)n答案： A16. 各项都是正数的等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 3＋a 4a 4＋a 5的值为( )A.1－52B.5＋12C.5－12D.5＋12或5－12答案： C17. 在等比数列{a n }中，a n >0，且a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，则a 4＋a 5的值为( ) A ．16 B ．27 C ．36 D ．81答案：B18. 若正数a ，b ，c 依次成公比大于1的等比数列，则当x >1时，log a x ，log b x ，log c x ( ) A ．依次成等差数列 B ．依次成等比数列C ．各项的倒数依次成等差数列D ．各项的倒数依次成等比数列答案：C19. 在8和5 832之间插入5个数，使它们组成以8为首项的等比数列，则此数列的第5项是__________． 答案：64820. 从盛满20 L 纯酒精的容器里倒出1升后用水添满，再倒出1 L 混合溶液，再用水添满，这样连续进行，一共倒5次，这时容器里有纯酒精约__________L(结果保留3位有效数字)． 答案：15.521. 已知2a ＝3,2b ＝6,2c ＝12，则a ，b ，c ( ) A ．成等差数列不成等比数列B．成等比数列不成等差数列C．成等差数列又成等比数列D．既不成等差数列又不成等比数列答案：A22.公差不为零的等差数列{a n}中，2a3－a27＋2a11＝0，数列{b n}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝________.答案：1623.在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6则成等比数列，则此未知数是__________．答案：3或2724. {a n}为等比数列，且a1a9＝64，a3＋a7＝20，求a11.答案：∵{a n}为等比数列，∴a1·a9＝a3·a7＝64，又a3＋a7＝20，∴a3、a7是方程t2－20t＋64＝0的两个根．∴a3＝4，a7＝16或a3＝16，a7＝4，当a3＝4时，a3＋a7＝a3＋a3q4＝20，∴1＋q4＝5，∴q4＝4.当a3＝16时，a3＋a7＝a3(1＋q4)＝20，∴1＋q4＝54，∴q4＝14.∴a11＝a3q8＝64或1.25.设{a n}是各项均为正数的等比数列，b n＝log2a n，若b1＋b2＋b3＝3，b1·b2·b3＝－3，求此等比数列的通项公式a n.答案：由b1＋b2＋b3＝3，得log2(a1· a2·a3)＝3，∴a1·a2·a3＝23＝8，∵a22＝a1·a3，∴a2＝2，又b1·b2·b3＝－3，设等比数列{a n}的公比为q，得log2(2q)·log2(2q)＝－3.∴1－(log2q)2＝－3，∴log2q＝±2.解得q＝4或14，∴所求等比数列{a n }的通项公式为 a n ＝a 2·q n －2＝22n －3或a n ＝25－2n .26. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，求{a n }的通项公式． 答案：设{a n }的公差为d .由S 3＝a 22，得3a 2＝a 22，故a 2＝0或a 2＝3. 由S 1，S 2，S 4成等比数列得S 22＝S 1S 4. 又S 1＝a 2－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ， 故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d )．若a 2＝0，则d 2＝－2d 2，所以d ＝0，此时S n ＝0，不合题意； 若a 2＝3，则(6－d )2＝(3－d )(12＋2d )，解得d ＝0或d ＝2. 因此{a n }的通项公式为a n ＝3或a n ＝2n －1.27. 在等比数列{a n }中， (1)若a 4＝27，q ＝－3，求a 7； (2)若a 2＝18，a 4＝8，求a 1和q ； (3)若a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，求a 3. 答案：(1)∵a 4＝a 1q 3，∴a 1＝a 4q 3＝27－27＝－1.∴a 7＝a 1q 6＝－(－3)6＝－729.(2)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝18a 1q 3＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝27q ＝23，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－27q ＝－23. (3)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 4－a 1＝15， ①a 1q 3－a 1q ＝6. ②由①÷②，得q 2＋1q ＝52，所以q ＝12，或q ＝2. 当q ＝12时，a 1＝－16，a 3＝a 1q 2＝－4； 当q ＝2时，a 1＝1，a 3＝a 1q 2＝4.28. 在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81.(1)求a n ；(2)设b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 答案：(1)设{a n }的公比为q ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ＝3a 1q 4＝81， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1q ＝3. 因此，a n ＝3n －1.(2)因为b n ＝log 3a n ＝n －1，所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n (b 1＋b n )2＝n 2－n 2. 29. 设数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n (n ＝1,2,3…)． 求证：数列{S n n}是等比数列． 答案：∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n. ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )， 整理得nS n ＋1＝2(n ＋1)S n .∴S n ＋1n ＋1＝2S n n . 故{S n n}是以2为公比的等比数列．。

4.3.1等比数列的概念教学设计一、教学目标1.通过实例，理解等比数列的概念。

2.掌握等比中项的概念并会应用。

3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程。

4.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形。

二、教学重点、难点（一）教学重点1.探索并掌握等比数列的通项公式。

2.运用通项公式解决实际问题。

（二）教学难点1.等比数列的运算、等比数列的性质及应用。

2.掌握等比数列的判断与证明方法。

三、教学过程环节一创设情境，引入课题问题1：前面我们学习了等差数列，类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的？我们知道，等差数列的特征是“从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数”，类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的？【师生活动】学生独立思考、讨论交流。

教师提示，类比已有的学习经验是一个好方法，比如“等差数列”；然后指引学生回顾等差数列相邻两项的关系，确定新数列的研究问题：相邻两项比是固定常数。

【设计意图】意在引导学生从运算的角度，类比已有研究对象的主要特征，发现一个新的特殊数列作为研究对象，这样的过程有利于培养学生发现问题和提出问题的能力。

问题2：“请看下面几个问题中的数列”，类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？你发现了什么规律？【师生活动】学生独立观察，充分思考，交流讨论。

根据学生交流讨论情况，教师可以适时地选择以下问题进行追问。

【设计意图】该情境让学生从生活实例中发现各组数列在运算上的特点，目的在从而自然引出本节课的探究问题——等比数列的概念请看下面几个问题中的数列。

1．两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列：23109,9,9,,9；①2310100,100,100,,100；②23105,5,5,,5；③2．《庄子・天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是11111④,,,,,24816323．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20 min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是2,4,8,16,32,64,⑤4．某人存入银行a元，存期为5年，年利率为r，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是2345a r a r a r a r a r+++++⑥(1),(1),(1),(1),(1)追问：（1）你能用自然语言归纳每组数列的特征吗？（从相邻两项间的关系分析）（2）请归纳概括上述四个具体例子的共同特点。

等比数列教案(总10页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--编者：张变英本人声明：本文属本人原创作品，本文著作权授予“北京今日学易公司、中学学科网”独家所有，本人拥有署名权。

数列一．课标要求：1．通过实例，理解等比数列的概念；2．探索并掌握等比数列的通项公式与前n 项和的公式；3．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。

体会等比数列与指数函数的关系。

二．命题走向等比数列与等差数列同样在高考中占有重要的地位，是高考出题的重点。

客观性的试题考察等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等基础知识和基本性质的灵活应用，对基本的运算要求比较高，解答题大多以数列知识为工具。

预测09年高考对本讲的考察为：（1）题型以等比数列的公式、性质的灵活应用为主的1~2道客观题目； （2）关于等比数列的实际应用问题或知识交汇题的解答题也是重点； （3）解决问题时注意数学思想的应用，象通过逆推思想、函数与方程、归纳猜想、等价转化、分类讨论等，它将能灵活考察考生运用数学知识分析问题和解决问题的能力。

三．要点精讲 1．等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0)q ≠，即：1n a +：(0)n a q q =≠数列对于数列（1）（2）（3）都是等比数列，它们的公比依次是2，5，21-。

（注意：“从第二项起”、“常数”q 、等比数列的公比和项都不为零）2．等比数列通项公式为：)0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n 。

说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比1d =时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若{}n a 为等比数列，则m n mna q a -=。

3．等比中项如果在b a 与中间插入一个数G ，使b G a ,,成等比数列，那么G 叫做b a 与的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）。

等比数列的概念和通项公式教案一、教学目标：1. 理解等比数列的概念。

2. 掌握等比数列的通项公式。

3. 能够运用等比数列的概念和通项公式解决实际问题。

二、教学内容：1. 等比数列的概念。

2. 等比数列的通项公式。

三、教学重点：1. 等比数列的概念。

2. 等比数列的通项公式。

四、教学难点：1. 等比数列的概念的理解。

2. 等比数列的通项公式的应用。

五、教学方法：1. 采用讲授法，讲解等比数列的概念和通项公式。

2. 采用例题解析法，通过具体例题讲解等比数列的通项公式的应用。

3. 采用小组讨论法，让学生分组讨论等比数列的概念和通项公式的应用。

一、等比数列的概念：1. 引导学生回顾数列的概念，即一组按照一定顺序排列的数。

2. 引入等比数列的概念，即从第二项起，每一项都是前一项与一个常数（比）的乘积的数列。

3. 举例说明等比数列的特点，如每一项都可以表示为前一项乘以一个常数。

二、等比数列的通项公式：1. 引导学生回顾等差数列的通项公式，即第n项等于首项加上（n-1）乘以公差。

2. 引导学生发现等比数列的通项公式与等差数列的通项公式的相似之处，都是第n项等于首项加上（n-1）乘以一个常数。

3. 引入等比数列的通项公式，即第n项等于首项乘以比乘以（n-1）次方。

四、等比数列的通项公式的应用：1. 让学生运用等比数列的通项公式计算具体等比数列的第n项。

2. 让学生运用等比数列的通项公式解决实际问题，如计算等比数列的前n项和、求等比数列的平均数等。

六、课堂练习：1. 让学生完成一些有关等比数列的概念和通项公式的练习题。

2. 让学生解决一些实际问题，如计算等比数列的前n项和、求等比数列的平均数等。

1. 回顾等比数列的概念和通项公式。

2. 强调等比数列的通项公式的应用。

八、作业：1. 让学生完成一些有关等比数列的概念和通项公式的练习题。

2. 让学生解决一些实际问题，如计算等比数列的前n项和、求等比数列的平均数等。

九、板书设计：1. 等比数列的概念。

等比数列教案等比数列教案什么是教案？教案是教师为顺利而有效地开展教学活动，根据课程标准，教学大纲和教科书要求及学生的实际情况，以课时或课题为单位，对教学内容、教学步骤、教学方法等进行的具体设计和安排的一种实用性教学文书。

等比数列教案（精选7篇）作为一名辛苦耕耘的教育工作者，很有必要精心设计一份教案，教案是教学活动的总的组织纲领和行动方案。

那么优秀的教案是什么样的呢？下面是小编为大家收集的等比数列教案（精选7篇），希望能够帮助到大家。

等比数列教案1教学目标1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，并能运用公式解决简单的问题.(1)正确理解等比数列的定义，了解公比的概念，明确一个数列是等比数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等比数列，了解等比中项的概念;(2)正确认识使用等比数列的表示法，能灵活运用通项公式求等比数列的首项、公比、项数及指定的项;(3)通过通项公式认识等比数列的性质，能解决某些实际问题.2.通过对等比数列的研究，逐步培养学生观察、类比、归纳、猜想等思维品质.3.通过对等比数列概念的归纳，进一步培养学生严密的思维习惯，以及实事求是的科学态度.教材分析(1)知识结构等比数列是另一个简单常见的数列，研究内容可与等差数列类比，首先归纳出等比数列的定义，导出通项公式，进而研究图像，又给出等比中项的概念，最后是通项公式的应用.(2)重点、难点分析教学重点是等比数列的定义和对通项公式的认识与应用，教学难点在于等比数列通项公式的推导和运用.①与等差数列一样，等比数列也是特殊的数列，二者有许多相同的性质，但也有明显的区别，可根据定义与通项公式得出等比数列的特性，这些是教学的重点.②虽然在等差数列的学习中曾接触过不完全归纳法，但对学生来说仍然不熟悉;在推导过程中，需要学生有一定的观察分析猜想能力;第一项是否成立又须补充说明，所以通项公式的推导是难点.③对等差数列、等比数列的综合研究离不开通项公式，因而通项公式的灵活运用既是重点又是难点.教学建议(1)建议本节课分两课时，一节课为等比数列的概念，一节课为等比数列通项公式的应用.(2)等比数列概念的引入，可给出几个具体的例子，由学生概括这些数列的相同特征，从而得到等比数列的定义.也可将几个等差数列和几个等比数列混在一起给出，由学生将这些数列进行分类，有一种是按等差、等比来分的，由此对比地概括等比数列的定义.(3)根据定义让学生分析等比数列的公比不为0，以及每一项均不为0的特性，加深对概念的理解.(4)对比等差数列的表示法，由学生归纳等比数列的各种表示法. 启发学生用函数观点认识通项公式，由通项公式的结构特征画数列的图象.(5)由于有了等差数列的研究经验，等比数列的研究完全可以放手让学生自己解决，教师只需把握课堂的节奏，作为一节课的组织者出现.(6)可让学生相互出题，解题，讲题，充分发挥学生的主体作用. 等比数列教案2教学目标1.通过教学使学生理解等比数列的概念，推导并掌握通项公式.2.使学生进一步体会类比、归纳的思想，培养学生的观察、概括能力.3.培养学生勤于思考，实事求是的精神，及严谨的科学态度.教学重点，难点重点、难点是等比数列的定义的归纳及通项公式的推导.教学用具投影仪，多媒体软件，电脑.教学方法讨论、谈话法.教学过程一、提出问题给出以下几组数列，将它们分类，说出分类标准.(幻灯片)①-2，1，4，7，10，13，16，19，②8，16，32，64，128，256，③1，1，1，1，1，1，1，④-243，81，27，9，3，1，，，⑤31，29，27，25，23，21，19，⑥1，-1，1，-1，1，-1，1，-1，⑦1，-10，100，-1000，10000，-100000，⑧0，0，0，0，0，0，0，由学生发表意见(可能按项与项之间的关系分为递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列，也可能分为等差、等比两类)，统一一种分法，其中②③④⑥⑦为有共同性质的一类数列(学生看不出③的情况也无妨，得出定义后再考察③是否为等比数列).二、讲解新课请学生说出数列②③④⑥⑦的共同特性，教师指出实际生活中也有许多类似的例子，如变形虫分裂问题假设每经过一个单位时间每个变形虫都分裂为两个变形虫，再假设开始有一个变形虫，经过一个单位时间它分裂为两个变形虫，经过两个单位时间就有了四个变形虫，，一直进行下去，记录下每个单位时间的变形虫个数得到了一列数。