哈尔滨初中数学知识点

《等腰三角形》重点解析1等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为A．16B．18C．20D．16或20【解析】先利用等腰三角形的性质:两腰相等；再由三角形的任意两边和大于第三边,确定三角形的第三边长,最后求得其周长.【答案】C【点评】本题将两个简易的知识点:等腰三角形的两腰相等和三角形的三边关系组合在一起.难度较小.2等腰三角形的两边长是3和5，它的周长是．【解析】解：题中给出了等腰三角形的两边长，因没给出具体谁是底长，故需分类讨论：①当3是底边长时，周长为5+5+3=13；②当5是底边长时，周长为3+3+5=11．【答案】11或13．【点评】本题考查了等腰三角形中的常见分类讨论思想，已知两边求第三边长或周长面积等，解决本题的关键是注意要分类讨论，但注意有时其中一种情况不能构造出三角形，考生稍不留神也会写出这种不合题意的答案．难度中等．3△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E式垂足，连接CD，若BD=1，则AC的长是（）3 B.2 3 D.4解析：求出∠ACB，根据线段垂直平分线求出AD=CD，求出∠ACD、∠DCB，求出CD、AD、AB，由勾股定理求出BC，再求出AC即可．解答：解：∵∠A=30°，∠B=90°，∴∠ACB=180°-30°-90°=60°，∵DE 垂直平分斜边AC ，∴AD=CD ，∴∠A=∠ACD=30°，∴∠DCB=60°-30°=30°， ∵BD=1，∴CD=2=AD ，∴AB=1+2=3，在△BCD 中，由勾股定理得：CB=3，在△ABC 中，由勾股定理得：AC=22BC AB +=32，故选A ．点评：本题考查了线段垂直平分线，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点的应用，主要考查学生运用这些定理进行推理的能力，题目综合性比较强，难度适中．4已知等腰△ABC 中，AD⊥BC 于点D ，且AD=21BC ，则△ABC 底角的度数为（ ） A ．45o B ．75o C ．45o 或15o D ．60o 答案:C思路导引：结合题意画出图形，有助于解题，注意分类讨论解析：分类讨论，①当BC 为底边时，AB=AC,AD⊥BC,AD=12BC,而BD=DC=12BC,所以AD=BD=DC ，又 ∠ADB=90°,所以△ABC 底角∠ABC=45°,②当BC 为腰长时，如图所示，BC=AB, AD⊥BC,AD=12BC, AD=12AB,所以 ∠BAC=30°,因此△ABC 底角∠ACB=75°,点评：等腰三角形的边、角的计算问题，如果题目无图形，注意画图，运用数形结合解答问题，再等腰三角形问题往往有两种情况，应当分类讨论.5如图，在菱形ABCD 中，∠A =60°，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，DE ，BF 相交于点G ，连接BD ，CG ，有下列结论：①∠BGD =120° ；②BG +DG =CG ；③△BDF ≌△CGB ；④23ABD S △．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解析】根据题意，△ABD是等边三角形，由此可推得BG=DG=∠EBG，∠GCB=30° ，∠GBC=90° ；因为直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，所以BG=12GC；显然CG>BD，△BDF和△CGB不可能全等；故①，②，④正确．【答案】C【点评】考查菱形的性质和轴对称及等边三角形等知识的综合应用．根据∠A=60°得到等边三角形△ABD是解本题的关键．6如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AC=2，则AD的长是（）A．512-B．512+C．51-D．51+【解析】根据三角形特点，先求出角的度数，从而得到三角形相似，再根据相似三角形对应边成比例即可求得．在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°∵BD平∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=36°，∴BD=AD=BC，∠BDC=72°∴△ABC∽△BCD故：AB︰BC=BC︰CD设AD=x，则BC=x，CD=2-x，∴2︰x = x ︰(2-x )解得x =51-或x =51+＞AC （舍去）错误！未找到引用源。

2020-2021哈尔滨中考数学——初中数学旋转的综合压轴题专题复习一、旋转1．阅读材料：小胖同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组旋转全等的三角形．小胖把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小胖发现若∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，则BD＝CE．(1)在图1中证明小胖的发现；借助小胖同学总结规律，构造“手拉手”图形来解答下面的问题：(2)如图2，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，求证：AD+CD＝BD；(3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝m°，点E为△ABC外一点，点D为BC中点，∠EBC＝∠ACF，ED⊥FD，求∠EAF的度数（用含有m的式子表示）．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠EAF =12 m°.【解析】分析：（1）如图1中，欲证明BD=EC，只要证明△DAB≌△EAC即可；（2）如图2中，延长DC到E，使得DB=DE．首先证明△BDE是等边三角形，再证明△ABD≌△CBE即可解决问题；（3）如图3中，将AE绕点E逆时针旋转m°得到AG，连接CG、EG、EF、FG，延长ED到M，使得DM=DE，连接FM、CM．想办法证明△AFE≌△AFG，可得∠EAF=∠FAG=12 m°.详（1）证明：如图1中，∵∠BAC=∠DAE，∴∠DAB=∠EAC，在△DAB和△EAC中，AD AE DAB EAC AB AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△DAB ≌△EAC ，∴BD=EC ．（2）证明：如图2中，延长DC 到E ，使得DB=DE ．∵DB=DE ，∠BDC=60°，∴△BDE 是等边三角形，∴∠BD=BE ，∠DBE=∠ABC=60°，∴∠ABD=∠CBE ，∵AB=BC ，∴△ABD ≌△CBE ，∴AD=EC ，∴BD=DE=DC+CE=DC+AD ．∴AD+CD=BD ．（3）如图3中，将AE 绕点E 逆时针旋转m°得到AG ，连接CG 、EG 、EF 、FG ，延长ED 到M ，使得DM=DE ，连接FM 、CM ．由（1）可知△EAB ≌△GAC ，∴∠1=∠2，BE=CG ，∵BD=DC ，∠BDE=∠CDM ，DE=DM ，∴△EDB ≌△MDC ，∴EM=CM=CG ，∠EBC=∠MCD ，∵∠EBC=∠ACF，∴∠MCD=∠ACF，∴∠FCM=∠ACB=∠ABC，∴∠1=3=∠2，∴∠FCG=∠ACB=∠MCF，∵CF=CF，CG=CM，∴△CFG≌△CFM，∴FG=FM，∵ED=DM，DF⊥EM，∴FE=FM=FG，∵AE=AG，AF=AF，∴△AFE≌△AFG，∴∠EAF=∠FAG=12 m°．点睛：本题考查几何变换综合题、旋转变换、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用“手拉手”图形中的全等三角形解决问题，学会构造“手拉手”模型，解决实际问题，属于中考压轴题．2．已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）请问EG与CG存在怎样的数量关系，并证明你的结论；（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（请直接写出结果，不必写出理由）【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）结论仍然成立【解析】【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG．（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再证明△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后证出CG=EG．（3）结论依然成立．【详解】（1）CG=EG．理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCF=90°．在Rt△FCD中，∵G为DF的中点，∴CG=12FD，同理．在Rt△DEF中，EG=12FD，∴CG=EG．（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG．证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．在△DAG与△DCG中，∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，∴△DAG≌△DCG（SAS），∴AG=CG；在△DMG与△FNG中，∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，∴△DMG≌△FNG （ASA），∴MG=NG．∵∠EAM=∠AEN=∠AMN=90°，∴四边形AENM是矩形，在矩形AENM中，AM=EN．在△AMG与△ENG中，∵AM=EN，∠AMG=∠ENG，MG=NG，∴△AMG≌△ENG（SAS），∴AG=EG，∴EG=CG．证法二：延长CG至M，使MG=CG，连接MF，ME，EC．在△DCG与△FMG中，∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，∴△DCG≌△FMG，∴MF=CD，∠FMG=∠DCG，∴MF∥CD∥AB，∴EF⊥MF．在Rt△MFE与Rt△CBE中，∵MF=CB，∠MFE=∠EBC=90°，EF=BE，∴△MFE≌△CBE∴∠MEF=∠CEB，∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°，∴△MEC为直角三角形．∵MG=CG，∴EG=12MC，∴EG=CG．（3）（1）中的结论仍然成立．理由如下：过F作CD的平行线并延长CG交于M点，连接EM、EC，过F作FN垂直于AB于N．由于G为FD中点，易证△CDG≌△MFG，得到CD=FM，又因为BE=EF，易证∠EFM=∠EBC，则△EFM≌△EBC，∠FEM=∠BEC，EM=EC∵∠FEC+∠BEC=90°，∴∠FEC+∠FEM=90°，即∠MEC=90°，∴△MEC是等腰直角三角形．∵G为CM中点，∴EG=CG，EG⊥CG【点睛】本题是四边形的综合题．（1）关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答；（2）关键是利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、全等三角形的判定和性质解答．3．如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ．点D 、E 分别在AC 、BC 边上，DC ＝EC ，连接DE 、AE 、BD ．点M 、N 、P 分别是AE 、BD 、AB 的中点，连接PM 、PN 、MN ．（1）PM 与BE 的数量关系是 ，BE 与MN 的数量关系是 ．（2）将△DEC 绕点C 逆时针旋转到如图2的位置，判断（1）中BE 与MN 的数量关系结论是否仍然成立，如果成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）若CB ＝6．CE ＝2，在将图1中的△DEC 绕点C 逆时针旋转一周的过程中，当B 、E 、D 三点在一条直线上时，求MN 的长度．【答案】（1）1,22PM BE BE MN ==；（2）成立，理由见解析；（3）MN 17﹣117【解析】【分析】（1）如图1中，只要证明PMN V 的等腰直角三角形，再利用三角形的中位线定理即可解决问题；（2）如图2中，结论仍然成立，连接AD 、延长BE 交AD 于点H .由ECB DCA ≅V V ，推出BE AD =，DAC EBC ∠=∠，即可推出BH AD ⊥，由M 、N 、P 分别AE 、BD 、AB 的中点，推出//PM BE ，12PM BE =，//PN AD ，12PN AD =，推出PM PN =，90MPN ∠=︒，可得22222BE PM MN MN ==⨯=； （3）有两种情形分别求解即可.【详解】（1）如图1中，∵AM ＝ME ，AP ＝PB ，∴PM ∥BE ，12PM BE =， ∵BN ＝DN ，AP ＝PB ， ∴PN ∥AD ，12PN AD =， ∵AC ＝BC ，CD ＝CE ，∴AD ＝BE ，∴PM ＝PN ，∵∠ACB ＝90°，∴AC ⊥BC ，∴∵PM ∥BC ，PN ∥AC ，∴PM ⊥PN ， ∴△PMN 的等腰直角三角形，∴2MN PM =， ∴122MN BE =⋅， ∴2BE MN =，故答案为12PM BE =，2BE MN =． （2）如图2中，结论仍然成立．理由：连接AD 、延长BE 交AD 于点H ．∵△ABC 和△CDE 是等腰直角三角形，∴CD ＝CE ，CA ＝CB ，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∵∠ACB ﹣∠ACE ＝∠DCE ﹣∠ACE ，∴∠ACD ＝∠ECB ，∴△ECB ≌△DCA ，∴BE ＝AD ，∠DAC ＝∠EBC ，∵∠AHB ＝180°﹣（∠HAB +∠ABH ）＝180°﹣（45°+∠HAC +∠ABH ）＝∠180°﹣（45°+∠HBC +∠ABH ）＝180°﹣90°＝90°，∴BH ⊥AD ，∵M 、N 、P 分别为AE 、BD 、AB 的中点，∴PM ∥BE ，12PM BE =，PN ∥AD ，12PN AD =， ∴PM ＝PN ，∠MPN ＝90°， ∴2222BE PM MN MN ==⨯=． （3）①如图3中，作CG ⊥BD 于G ，则2CG GE DG ===，当D 、E 、B 共线时，在Rt △BCG 中，()22226234BG BC CG =-=-= ∴342BE BG GE =-=∴21712MN BE ==． ②如图4中，作CG ⊥BD 于G ，则2CG GE DG ===当D 、E 、B 共线时，在Rt △BCG 中，()22226234BG BC CG =-=-=， ∴342BE BG GE =+=+，∴2171MN BE ==+． 综上所述，MN ＝17﹣1或17+1．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.4．已知正方形 ABCD 中，E 为对角线 BD 上一点，过 E 点作 EF ⊥BD 交 BC 于 F ，连接 DF ，G 为 DF 中点，连接 EG ，CG .(1) 求证：EG =CG ；(2) 将图①中△BEF 绕 B 点逆时针旋转 45∘,如图②所示,取 DF 中点 G ,连接 EG ,CG .问(1)中的结论是否仍然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(3) 将图①中△BEF 绕 B 点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论(均不要求证明).【答案】解：（1）CG=EG（2）（1）中结论没有发生变化，即EG=CG ．证明：连接AG ，过G 点作MN ⊥AD 于M ，与EF 的延长线交于N 点．在△DAG与△DCG中，∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，∴△DAG≌△DCG．∴ AG=CG．在△DMG与△FNG中，∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，∴△DMG≌△FNG．∴ MG=NG在矩形AENM中，AM=EN．在Rt△AMG 与Rt△ENG中，∵ AM=EN， MG=NG，∴△AMG≌△ENG．∴ AG=EG∴ EG=CG．（3）（1）中的结论仍然成立．【解析】试题分析：（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG．（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再证明△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后证出CG=EG．（3）结论依然成立．还知道EG⊥CG;试题解析：解：（1）证明：在Rt△FCD中，∵G为DF的中点，∴，同理，在Rt△DEF中，，∴CG=EG；（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG；连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点，如图所示：在△DAG与△DCG中，∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DC=DC，∴△DAG≌△DCG，∴AG=CG，在△DMG与△FNG中，∵∠DGM=∠FGN，DG=FG，∠MDG=∠NFG，∴△DMG≌△FNG，∴MG=NG，在矩形AENM中，AM=EN.，在Rt△AMG与Rt△ENG中，∵AM=EN，MG=NG，∴△AMG≌△ENG，∴AG=EG，∴EG=CG，（3）（1）中的结论仍然成立，即EG=CG且EG⊥CG。

2021哈尔滨中考数学知识点2021哈尔滨中考数学知识一二次函数概念二次函数的概念：一般地，形如ax^2+bx+c = 0的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b,c可以为零.二次函数的定义域是全体实数。

二次函数图像与性质口诀二次函数抛物线，图象对称是关键;开口、顶点和交点，它们确定图象限;开口、大小由a断，c与Y轴来相见，b的符号较特别，符号与a相关联;顶点位置先找见，Y轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱;顶点坐标最重要，一般式配方它就现，横标即为对称轴，纵标函数最值见。

若求对称轴位置，符号反，一般、顶点、交点式，不同表达能互换。

2021哈尔滨中考数学知识二一次函数的定义一次函数，也作线性函数，在x，y坐标轴中可以用一条直线表示，当一次函数中的一个变量的值确定时，可以用一元一次方程确定另一个变量的值。

函数的表示方法列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。

解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。

图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。

一次函数的性质一般地，形如y=kx+bk,b是常数，且k≠0，那么y叫做x的一次函数，当b=0时，y=kx+b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数注：一次函数一般形式y=kx+bk不为0a.k不为0b.x的指数是1c.b取任意实数一次函数y=kx+b的图像是经过0，b和-b/k,0两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看做直线y=kx平移|b|个单位长度得到。

当b>0时，向上平移;b<0时，向下平移确定函数定义域的方法1关系式为整式时，函数定义域为全体实数;2关系式含有分式时，分式的分母不等于零;3关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零;4关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零;5实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

1 过两点有且‎只有一条直‎线2 两点之间线‎段最短3 同角或等角‎的补角相等‎4 同角或等角‎的余角相等‎5 过一点有且‎只有一条直‎线和已知直‎线垂直6 直线外一点‎与直线上各‎点连接的所‎有线段中,垂线段最短‎7 平行公理经过直线外‎一点,有且只有一‎条直线与这‎条直线平行‎8 如果两条直‎线都和第三‎条直线平行‎,这两条直线‎也互相平行‎9 同位角相等‎,两直线平行‎10 内错角相等‎,两直线平行‎11 同旁内角互‎补,两直线平行‎12两直线‎平行,同位角相等‎13 两直线平行‎,内错角相等‎14 两直线平行‎,同旁内角互‎补15 定理三角形两边‎的和大于第‎三边16 推论三角形两边‎的差小于第‎三边17 三角形内角‎和定理三角形三个‎内角的和等‎于180°18 推论1 直角三角形‎的两个锐角‎互余19 推论2 三角形的一‎个外角等于‎和它不相邻‎的两个内角‎的和20 推论3 三角形的一‎个外角大于‎任何一个和‎它不相邻的‎内角21 全等三角形‎的对应边、对应角相等‎22边角边‎公理(SAS) 有两边和它‎们的夹角对‎应相等的两‎个三角形全‎等23 角边角公理‎( ASA)有两角和它‎们的夹边对‎应相等的两‎个三角形全‎等24 推论(AAS) 有两角和其‎中一角的对‎边对应相等‎的两个三角‎形全等25 边边边公理‎(SSS) 有三边对应‎相等的两个‎三角形全等‎26 斜边、直角边公理‎(HL) 有斜边和一‎条直角边对‎应相等的两‎个直角三角‎形全等27 定理1 在角的平分‎线上的点到‎这个角的两‎边的距离相‎等28 定理2 到一个角的‎两边的距离‎相同的点,在这个角的‎平分线上29 角的平分线‎是到角的两‎边距离相等‎的所有点的‎集合30 等腰三角形‎的性质定理‎等腰三角形‎的两个底角‎相等(即等边对等‎角）31 推论1 等腰三角形‎顶角的平分‎线平分底边‎并且垂直于‎底边32 等腰三角形‎的顶角平分‎线、底边上的中‎线和底边上‎的高互相重‎合33 推论3 等边三角形‎的各角都相‎等,并且每一个‎角都等于6‎0°34 等腰三角形‎的判定定理‎如果一个三‎角形有两个‎角相等,那么这两个‎角所对的边‎也相等（等角对等边‎）35 推论1 三个角都相‎等的三角形‎是等边三角‎形36 推论2 有一个角等‎于60°的等腰三角‎形是等边三‎角形37 在直角三角‎形中,如果一个锐‎角等于30‎°那么它所对‎的直角边等‎于斜边的一‎半38 直角三角形‎斜边上的中‎线等于斜边‎上的一半39 定理线段垂直平‎分线上的点‎和这条线段‎两个端点的‎距离相等40 逆定理和一条线段‎两个端点距‎离相等的点‎,在这条线段‎的垂直平分‎线上41 线段的垂直‎平分线可看‎作和线段两‎端点距离相‎等的所有点‎的集合42 定理1 关于某条直‎线对称的两‎个图形是全‎等形43 定理2 如果两个图‎形关于某直‎线对称,那么对称轴‎是对应点连‎线的垂直平‎分线44定理3‎两个图形关‎于某直线对‎称,如果它们的‎对应线段或‎延长线相交‎,那么交点在‎对称轴上45逆定理‎如果两个图‎形的对应点‎连线被同一‎条直线垂直‎平分,那么这两个‎图形关于这‎条直线对称‎46勾股定‎理直角三角形‎两直角边a‎、b的平方和‎、等于斜边c‎的平方,即a^2+b^2=c^247勾股定‎理的逆定理‎如果三角形‎的三边长a‎、b、c有关系a‎^2+b^2=c^2 ,那么这个三‎角形是直角‎三角形48定理四边形的内‎角和等于3‎60°49四边形‎的外角和等‎于360°50多边形‎内角和定理‎n边形的内‎角的和等于‎（n-2）×180°51推论任意多边的‎外角和等于‎360°52平行四‎边形性质定‎理1 平行四边形‎的对角相等‎53平行四‎边形性质定‎理2 平行四边形‎的对边相等‎54推论夹在两条平‎行线间的平‎行线段相等‎55平行四‎边形性质定‎理3 平行四边形‎的对角线互‎相平分56平行四‎边形判定定‎理1 两组对角分‎别相等的四‎边形是平行‎四边形57平行四‎边形判定定‎理2 两组对边分‎别相等的四‎边形是平行‎四边形58平行四‎边形判定定‎理3 对角线互相‎平分的四边‎形是平行四‎边形59平行四‎边形判定定‎理4 一组对边平‎行相等的四‎边形是平行‎四边形60矩形性‎质定理1 矩形的四个‎角都是直角‎61矩形性‎质定理2 矩形的对角‎线相等62矩形判‎定定理1 有三个角是‎直角的四边‎形是矩形63矩形判‎定定理2 对角线相等‎的平行四边‎形是矩形64菱形性‎质定理1 菱形的四条‎边都相等65菱形性‎质定理2 菱形的对角‎线互相垂直‎,并且每一条‎对角线平分‎一组对角66菱形面‎积=对角线乘积‎的一半,即S=（a×b）÷267菱形判‎定定理1 四边都相等‎的四边形是‎菱形68菱形判‎定定理2 对角线互相‎垂直的平行‎四边形是菱‎形69正方形‎性质定理1‎正方形的四‎个角都是直‎角,四条边都相‎等70正方形‎性质定理2‎正方形的两‎条对角线相‎等,并且互相垂‎直平分,每条对角线‎平分一组对‎角71定理1‎关于中心对‎称的两个图‎形是全等的‎72定理2‎关于中心对‎称的两个图‎形,对称点连线‎都经过对称‎中心,并且被对称‎中心平分73逆定理‎如果两个图‎形的对应点‎连线都经过‎某一点,并且被这一‎点平分,那么这两个‎图形关于这‎一点对称74等腰梯‎形性质定理‎等腰梯形在‎同一底上的‎两个角相等‎75等腰梯‎形的两条对‎角线相等76等腰梯‎形判定定理‎在同一底上‎的两个角相‎等的梯形是‎等腰梯形77对角线‎相等的梯形‎是等腰梯形‎78平行线‎等分线段定‎理如果一组平‎行线在一条‎直线上截得‎的线段相等,那么在其他‎直线上截得‎的线段也相‎等79 推论1 经过梯形一‎腰的中点与‎底平行的直‎线,必平分另一‎腰80 推论2 经过三角形‎一边的中点‎与另一边平‎行的直线,必平分第三边81 三角形中位‎线定理三角形的中‎位线平行于‎第三边,并且等于它‎的一半82 梯形中位线‎定理梯形的中位‎线平行于两‎底,并且等于两‎底和的一半L=（a+b）÷2 S=L×h83 (1)比例的基本‎性质如果a:b=c:d,那么ad=bc如果ad=bc,那么a:b=c:d84 (2)合比性质如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d85 (3)等比性质如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b86 平行线分线‎段成比例定‎理三条平行线‎截两条直线‎,所得的对应‎线段成比例‎87 推论平行于三角‎形一边的直‎线截其他两‎边（或两边的延‎长线）,所得的对应‎线段成比例‎88 定理如果一条直‎线截三角形‎的两边（或两边的延‎长线）所得的对应‎线段成比例‎,那么这条直‎线平行于三‎角形的第三‎边89 平行于三角‎形的一边,并且和其他‎两边相交的‎直线,所截得的三‎角形的三边‎与原三角形‎三边对应成‎比例90 定理平行于三角‎形一边的直‎线和其他两‎边（或两边的延‎长线）相交,所构成的三‎角形与原三‎角形相似91 相似三角形‎判定定理1‎两角对应相‎等,两三角形相‎似（ASA）92 直角三角形‎被斜边上的‎高分成的两‎个直角三角‎形和原三角‎形相似93 判定定理2‎两边对应成‎比例且夹角‎相等,两三角形相‎似（SAS）94 判定定理3‎三边对应成‎比例,两三角形相‎似（SSS）95 定理如果一个直‎角三角形的‎斜边和一条‎直角边与另‎一个直角三‎角形的斜边‎和一条直角‎边对应成比‎例,那么这两个‎直角三角形‎相似96 性质定理1‎相似三角形‎对应高的比‎,对应中线的‎比与对应角‎平分线的比都‎等于相似比‎97 性质定理2‎相似三角形‎周长的比等‎于相似比98 性质定理3‎相似三角形‎面积的比等‎于相似比的‎平方99 任意锐角的‎正弦值等于‎它的余角的‎余弦值,任意锐角的‎余弦值等于它的余角‎的正弦值100任意‎锐角的正切‎值等于它的‎余角的余切‎值,任意锐角的‎余切值等于它的余角‎的正切值101圆是‎定点的距离‎等于定长的‎点的集合102圆的‎内部可以看‎作是圆心的‎距离小于半‎径的点的集‎合103圆的‎外部可以看‎作是圆心的‎距离大于半‎径的点的集‎合104同圆‎或等圆的半‎径相等105到定‎点的距离等‎于定长的点‎的轨迹,是以定点为‎圆心,定长为半径的圆106和已‎知线段两个‎端点的距离‎相等的点的‎轨迹,是着条线段‎的垂直平分线107到已‎知角的两边‎距离相等的‎点的轨迹,是这个角的‎平分线108到两‎条平行线距‎离相等的点‎的轨迹,是和这两条‎平。

2021黑龙江中考数学考点归纳数学的演进大约可以看成是抽象化的持续发展，或是题材的延展，而东西方文化也采用了不同的角度，欧洲文明发展出来几何学，而中国则发展出算术。

今天小编在这给大家整理了一些黑龙江中考数学考点归纳，我们一起来看看吧!黑龙江中考数学考点归纳考点1：用待定系数法求二次函数的解析式考核要求：(1)掌握求函数解析式的方法;(2)在求函数解析式中熟练运用待定系数法.注意求函数解析式的步骤：一设、二代、三列、四还原.考点2：画二次函数的图像考核要求：(1)知道函数图像的意义，会在平面直角坐标系中用描点法画函数图像;(2)理解二次函数的图像，体会数形结合思想;(3)会画二次函数的大致图像.考点3：二次函数的图像及其基本性质考核要求：(1)借助图像的直观、认识和掌握一次函数的性质，建立一次函数、二元一次方程、直线之间的联系;(2)会用配方法求二次函数的顶点坐标，并说出二次函数的有关性质.注意：(1)解题时要数形结合;(2)二次函数的平移要化成顶点式.考点4：圆心角、弦、弦心距的概念考核要求：清楚地认识圆心角、弦、弦心距的概念，并会用这些概念作出正确的判断.考点5：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系考核要求：认清圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，在理解有关圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系的定理及其推论的基础上，运用定理进行初步的几何计算和几何证明.考点6：垂径定理及其推论垂径定理及其推论是圆这一板块中最重要的知识点之一.考点7：直线与圆、圆与圆的位置关系及其相应的数量关系直线与圆的位置关系可从与之间的关系和交点的个数这两个侧面来反映.在圆与圆的位置关系中，常需要分类讨论求解.考点8：正多边形的有关概念和基本性质考核要求：熟悉正多边形的有关概念(如半径、边心距、中心角、外角和)，并能熟练地运用正多边形的基本性质进行推理和计算，在正多边形的计算中，常常利用正多边形的半径、边心距和边长的一半构成的直角三角形，将正多边形的计算问题转化为直角三角形的计算问题.考点9：画正三、四、六边形.考核要求：能用基本作图工具，正确作出正三、四、六边形.中考数学考点归纳1、正方形的概念有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

哈尔滨初中数学知识点总结一、数与代数1. 有理数- 有理数的定义：整数和分数统称为有理数。

- 有理数的分类：正有理数、负有理数和零。

- 有理数的运算：加法、减法、乘法、除法和乘方。

2. 整数- 整数的性质：奇数与偶数、质数与合数。

- 整数的运算：加法、减法、乘法和除法。

3. 分数与小数- 分数的基本性质：分数的通分与约分。

- 小数与分数的互化：小数转化为分数的方法。

- 四则运算：分数与小数的加、减、乘、除运算。

4. 代数表达式- 代数式的概念：用字母表示数的表达式。

- 单项式与多项式：单项式是字母和数的乘积，多项式是若干个单项式的和。

- 代数式的运算：合并同类项、分配律、结合律和交换律。

5. 一元一次方程- 方程的概念：含有未知数的等式。

- 解方程的方法：移项、合并同类项、系数化为1。

- 实际问题中的一元一次方程：列方程解应用题。

6. 二元一次方程组- 方程组的概念：含有两个未知数的一元一次方程组成的一组方程。

- 解方程组的方法：代入法、消元法。

- 二元一次方程组的应用：解实际问题中的方程组。

7. 不等式与不等式组- 不等式的概念：表示不等关系的式子。

- 不等式的解法：移项、合并同类项。

- 不等式组的解集：求解集的公共部分。

二、几何1. 平面图形- 点、线、面的基本性质。

- 角的概念：邻角、对顶角、同位角。

- 三角形的分类：按边分类（等边、等腰、不等边）和按角分类（锐角、直角、钝角）。

- 四边形的分类：梯形、平行四边形、矩形、菱形、正方形。

2. 图形的性质- 三角形的性质：内角和定理、三角形的中位线定理。

- 四边形的性质：平行四边形的对角线性质、矩形的角性质。

- 圆的性质：圆周角定理、垂径定理、圆的面积和周长公式。

3. 图形的变换- 平移：图形沿直线移动。

- 旋转：图形绕一点旋转一定角度。

- 轴对称：图形关于某条直线对称。

4. 相似与全等- 全等三角形的判定：SSS、SAS、ASA、AAS。

- 相似三角形的判定：SAS、SSS、AAA。

哈尔滨初中数学知识点在咱哈尔滨，初中数学那可是一门让同学们又爱又恨的学科。

要说这初中数学的知识点，那可真是像一张密密麻麻的大网。

就拿函数来说吧，刚开始接触的时候，简直就像在迷雾中摸索。

比如说一次函数，y ＝ kx ＋ b 这个式子，k 代表斜率，b 代表截距。

我记得当时老师在黑板上画了好多直线，给我们讲解斜率的正负决定直线是上升还是下降。

那时候我就在想，这线怎么就这么神奇，几个数字一组合就能描绘出它的走势。

还有三角形，全等三角形和相似三角形的判定定理，那也是要牢记在心的。

什么“边角边”“角边角”“边边边”，做题的时候得瞪大眼睛，仔细比对条件。

有一次做作业，我愣是因为一个角度看岔了，结果整道题都做错了，被老师狠狠地批了一顿，说我是“小马虎”。

再说说方程，一元一次方程、二元一次方程组，那都是解决实际问题的好帮手。

记得有一次和妈妈去菜市场买菜，妈妈想买一些苹果和香蕉。

苹果 5 块钱一斤，香蕉 3 块钱一斤，妈妈一共花了 25 块钱，买了 7 斤水果。

我就立马想到可以设买了 x 斤苹果，y 斤香蕉，然后列出方程组：x ＋ y ＝ 7 ，5x ＋ 3y ＝ 25 。

解出来后告诉妈妈买了 4 斤苹果，3 斤香蕉，妈妈当时那惊讶又欣慰的表情，我到现在都还记得，直夸我学以致用。

还有几何图形中的圆，圆的周长、面积公式那可得背得滚瓜烂熟。

记得有一次上手工课，老师让我们用硬纸板做一个圆形的扇子。

这可就用到圆的知识啦，得先算出圆的面积，再合理剪裁。

我做得特别认真，量尺寸、算面积，最后做出的扇子又好看又实用，心里那叫一个美。

概率问题也很有趣呢。

比如说抛硬币，正面朝上和反面朝上的概率都是 05 。

有一次班级里搞抽奖活动，我就在心里默默计算自己中奖的概率，虽然最后没中，但那种期待和计算的过程还是很有意思的。

初中数学的知识点啊，就像是生活中的小密码，解开一道题，就像打开了一扇通往新知识的门。

虽然有时候会被难题难住，急得抓耳挠腮，但当突然灵光一闪，找到解题方法的时候，那种成就感简直无与伦比。

初中数学知识点总结哈尔滨一、数与代数1. 有理数- 整数与分数- 正数、负数、零- 有理数的加法、减法、乘法、除法- 绝对值与有理数的比较2. 整数的性质- 素数与合数- 奇数与偶数- 整数的因数与倍数- 质因数分解3. 代数表达式- 单项式与多项式- 合并同类项- 代数式的简化与变形4. 一元一次方程与不等式- 方程与方程的解- 解一元一次方程- 用方程解决实际问题- 不等式及其解集- 一元一次不等式的解法5. 二元一次方程组- 方程组的解- 代入法与消元法- 三元一次方程组的解法6. 函数- 函数的概念- 函数的表示方法：表格、图像、解析式- 线性函数与二次函数的图像和性质- 函数的应用问题二、几何1. 平面图形- 点、线、面的基本性质- 角的概念及分类：邻角、对角、同位角等- 直线与射线- 角的度量与比较2. 三角形- 三角形的基本性质- 等边三角形、等腰三角形、直角三角形的性质 - 三角形的内角和外角- 三角形的中线、高线、角平分线3. 四边形- 四边形的基本性质- 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质- 四边形的面积计算4. 圆- 圆的基本性质- 圆的半径、直径、弦、弧、切线- 圆的周长与面积公式- 扇形与圆锥的面积计算5. 几何图形的变换- 平移、旋转、对称（轴对称与中心对称）- 几何变换的性质与作图6. 相似与全等- 全等三角形的判定条件- 相似三角形的判定条件- 相似多边形与相似比三、统计与概率1. 统计- 数据的收集与整理- 频数与频率- 统计图表的绘制与解读：条形图、折线图、饼图2. 概率- 随机事件的概念- 概率的计算与表示- 简单事件与组合事件的概率四、应用题1. 数的应用- 利用数学知识解决生活中的实际问题- 利率、比例、利润等问题的计算2. 几何应用- 利用几何知识解决实际问题- 面积、体积的计算在实际生活中的应用3. 统计与概率应用- 利用统计与概率知识解决相关问题- 预测、估计与实际生活的联系以上是初中数学的主要知识点总结，涵盖了数与代数、几何、统计与概率以及应用题等关键领域。

1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短7 平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行9 同位角相等,两直线平行10 内错角相等,两直线平行11 同旁内角互补,两直线平行12两直线平行,同位角相等13 两直线平行,内错角相等14 两直线平行,同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21 全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角）31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33 推论3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理2 如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3 两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方,即a^2+b^2=c^247勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ,那么这个三角形是直角三角形48定理四边形的内角和等于360°49四边形的外角和等于360°50多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n-2）×180°51推论任意多边的外角和等于360°52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54推论夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61矩形性质定理2 矩形的对角线相等62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积=对角线乘积的一半,即S=（a×b）÷267菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角,四条边都相等70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72定理2 关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边81 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半82 梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半L=（a+b）÷2 S=L×h83 (1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc如果ad=bc,那么a:b=c:d84 (2)合比性质如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d85 (3)等比性质如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b86 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例87 推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）,所得的对应线段成比例88 定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边89 平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90 定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形相似91 相似三角形判定定理1 两角对应相等,两三角形相似（ASA）92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似（SAS）94 判定定理3 三边对应成比例,两三角形相似（SSS）95 定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似96 性质定理1 相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值,任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101圆是定点的距离等于定长的点的集合102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是着条线段的垂直平分线107到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹,是和这两条平。

哈尔滨九年级数学知识点一、整数与有理数1. 整数的概念与性质2. 整数的加法与减法3. 整数的乘法与除法4. 有理数的概念与性质5. 有理数的加法与减法6. 有理数的乘法与除法二、代数式与方程式1. 代数式的概念与性质2. 代数式的加减运算3. 代数式的乘除运算4. 方程式的概念与解法5. 一元一次方程的解法6. 一元一次方程的应用三、图形的性质与变换1. 点、线、面的概念与性质2. 平行线与相交线3. 直角与垂直4. 三角形的性质与分类5. 四边形的性质与分类6. 图形的平移、旋转和翻转四、比例与相似1. 比例的概念与性质2. 比例的应用3. 百分数与比例4. 直角三角形的相似性质5. 三角形的相似性质6. 相似三角形的应用五、平面直角坐标系与图形的位置关系1. 平面直角坐标系的概念与性质2. 点与直线的位置关系3. 图形的位置关系与坐标计算六、数据的搜集、整理与统计1. 数据的搜集与整理2. 统计图的表示与分析3. 平均数与中位数4. 极差与频数分布图5. 折线图与柱状图的制作与分析6. 数据的应用与推理七、几何体与空间判断1. 空间的概念与性质2. 立体图形的名称与性质3. 立体图形的展开与投影4. 空间图形的位置关系5. 判断立体图形的相等与全等6. 空间图形的应用与推理以上是哈尔滨九年级数学的主要知识点，通过学习这些内容，同学们将能够更好地掌握数学基础知识，并在解题过程中灵活运用，提高数学解题能力。

希望同学们能够认真学习，勤加练习，取得优异的成绩！。