机器人的数学基础齐次变换矩阵及其运算ppt课件

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CAT ABT CBT
A B
R
0
A
pB0 1
B C
R
0
B
pC 1
0
复合变换可解释为： (1)CAT 和 CBT 分别代表同一坐标系{C}相对于{A}和{B}的描述。则
ABT 表示坐标系{C}从 CBT 映射为 CAT 的变换。
(2)坐标系{C}相对于{A}的描述 CAT 是这样得到的：最初{C} 与{A}重合，首先相对于{A}作运动 ABT ，到达{B},然后相 对{B}作运动 CBT ，到达最终位置{C}。
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5.变换矩阵求逆
如果知道坐标系｛B｝相对于｛A｝的描述。希望得到｛A｝相对 于｛B｝的描述，这是个齐次变换求逆问题。 求逆问题可以描述为：已知 ABT ，求解 BAT 。
•对4*4矩阵直接求逆； •利用齐次变换矩阵的特点，简化矩阵求逆运算。
ABT
A B
R
0
A
pB 1
0
BAT
B A
R
0
0
0
1 0
0
0
1
1
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❖ 平移变换和旋转变换可以组合在一个齐次变换中。上例 中点U若还要作4i-3j+7k的平移，则只要左乘上平移变换 算子即可得到最后的列阵表达式。
E Trans(4,3,7)Rot(y,90)Rot(z,90)u
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齐次变换矩阵 ABT 的数学意义： （1）同一点在不同坐标系{B}和{A}中的变换； （2）描述坐标系{B}相对于坐标系{A}的位置和方位； （3）点的运动算子。
0
利用旋转矩阵正交性
A B
R
1
BART
B
pA0 1
利用复合变换公式(2.13) ,求出 A pB0 在{B}中描述。
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B ( ApB0 ) ABR ApB0 BpA0 0
B pA0 ABR ApB0 BART ApB0
❖ ② 算子右乘: 表示点的平移是相对动坐标系进行的坐标变换。
❖ ③ 该公式亦适用于坐标系的平移变换、 物体的平移变换, 如机 器人手部的平移变换。
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❖ 例 动坐标系{A}相对于固定坐标系的X0、Y0、Z0轴作
❖ (-1,2,2)平移后到{A’}；动坐标系{A}相对于自身坐标系(即动系) 的X、Y、Z轴分别作(-1,2,2)平移后到{A’’}。已知A,写出坐标系 {A’}、 {A’’}
A p ABT Bp
0 0 1 1
ABT
1 0
0 1
0 0
3 4
0 0 0
1
1 Trans(x, y, z) 0
0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
x
y
z
1
cos
Rot(
z,
)
sin 0
0
sin cos
0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
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CAT ABT CBT
4．变换矩阵相乘
相对于固定坐标系
算子左乘
相对于动坐标系
算子右乘
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❖ 已知坐标系中点U的位置矢量 u 7 3 2 1，T 将此点绕Z轴 旋转90°，再绕Y轴旋转90°，如图所示，求旋转变换后 所得的点W。
W Rot(Y,90)Rot(Z,90)U
0 0 1 0 0 1 0 0 7
0
1
0
0
1
0
0
0
3
1 0 0 0 0 0 1 0 2
0
0 0 1
同理，绕x轴、Y轴旋转算子内容为：
Hale Waihona Puke 1 00 0cos 0 sin 0
Rot(x, ) 0
0
c os s in
sin c os
0 0
Rot( y, )
0
sin
1 0
0
c os
0 0
0 0
0 1
0
0 0 1
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如图所示单操作手臂，并且手腕 也具有一个旋转自由度。已知手 部的起始位姿矩阵为G1.
机器人学基础
——齐次变换矩阵及其运算
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齐次变换矩阵及其运算
由于各种原因，变换矩 阵应写成方型形式，3*3 或4*4均可.
为保证所表示的矩阵为 方阵，如果在同一矩阵 中既表示姿态又表示位 置，那么可在矩阵中加 入比例因子使之成为4*4 矩阵。
nx ox ax px
F
n
y
oy
ay
p
y
nz 0
oz 0
az 0
pz 1
2
变换可定义为空间的一个运动。 已知一直角坐标系中的某点坐标，那么该点在另一直角坐标系中的 坐标可通过齐次坐标变换来求得。 变换可分为如下形式：
纯平移 纯旋转 平移与旋转的结合
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❖ 1.平移的齐次变换
❖ 空间某一点在直角坐标系中的平移,由 A(x, y, z)平移至A′(x′, y′, z′), 即
x' x x y' y y z' z z
x' 1 0 0 x x
y'
0
1
0
y
y
z' 0 0 1 z z
1
0 0 0
1
1
a′=Trans(Δx, Δy, Δz)a
4
平移算子
1 0 0 x
Trans(x, y, z) 0 1 0 y 0 0 1 z
0 0 0
1
❖ ① 算子左乘: 表示点的平移是相对固定坐标系进行的坐标变换。
若手臂绕Z0轴旋转90°，则手臂 到达G2；若手臂不动，仅手部绕 手腕Z1轴转90°，则手部到达 G3.写出手部坐标系G2、G3表达 式。
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3．复合齐次变换
复合变换是由固 定参考坐标系或 当前运动坐标系 的一系列沿轴平 移和绕轴旋转变 换所组成的。任 何变换都可以分 解为按一定顺序 的一组平移和旋 转变换。
x' x cos y sin
y'
x
sin
y
c os
z' z
x' cos sin 0 0 x
y'
sin
cos
0
0
y
z' 0
0 1 0 z
1
0
0
0
1
1
记为: a′=Rot(z, θ)a
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旋转算子
绕Z轴旋转算子内容为：
cos sin 0 0
Rot(z,
)
sin
0
cos
0
0 0 1 0
0 1 0 1
A
1 0
0 0
0 1 1 1
0
0
0 1
0 1 0 0
A' 1 0 0 3 0 0 1 3
0
0
0 1
6
0 1 0 1
A'' 1 0
0
2
0 0 1 1
0
0
0
1
❖ 2．旋转的齐次变换
❖ 点在空间直角坐标系中的旋转如图所示。A(x, y, z)绕Z轴旋 转θ角后至A’(x’, y’, z’),则A与A’之间的关系为 ：
对于给定的坐标系｛A｝、｛B｝、｛C｝，已知｛B｝相对 ｛A｝的描述为 ABT ，｛C｝相对｛B｝的描述为 CBT ，则
B pCBT Cp
A p ABT Bp ABT CBT Cp
从而定义复合变换
。
CAT ABT CBT
表示｛C｝相对于｛A｝的描述，是两变换矩阵的乘积。
注意：变换矩阵相乘不满足“交换律”，变换矩阵的左乘 和右乘的运动解释不同。