人口增长模型数学建模论文

基于双线性系统、差分方程的人口增长模型摘要社会经济的许多领域的规划都必须考虑人口这一重要因素。

而人口普查只能为我们提供某几个时间点的横截面数值，但在现实生活中，人们常常需要其他时间点的人口总数及其构成。

于是一个迫切的任务就是如何用少数的几个时点的信息比较准确的得到较详尽的其他时点的人口数据。

人口系统发展是一个动力学过程，为强惯性系统，人口死亡率和出生率构成人口增长的双线性系统。

针对中短期预测，基于统计理论，将5年的死亡出生率，死亡率求期望，建立了人口增长的定常差分方程模型，预测至2015的人口发展趋势，通过MATLAB求解得到2015年的总人口为14.17亿，乡村城镇化趋势明显；并且人口在2025左右出现峰值，约为15.1亿。

针对长期预测，根据动力学发展过程理论，当时间尺度接近惯性系统的时间常数（社会人口的平均寿命）时，人口状态将发生明显改变。

由此建立了人口增长的时变差分模型。

并通过MATLAB求解，预测2050年的人口总数为14.33亿，人口系统达稳定状态。

然后，利用Leslie矩阵分析模型的稳定性。

当时间t（年）充分大时人口增长也趋于稳定。

针对长期模型的检验，对不同的总和生育率做出了人口总数的变化曲线。

得出当总和生育率的更替水平临界值略大于2.0。

关键词：差分方程，强惯性系统，Leslie矩阵，总和生育率一.问题重述与分析1.1问题重述中国乃泱泱人口大国，人口规模是城市规划和土地利用总体规划中一项重要的控制性指标，人口规模是否合理，不仅影响到未来地区经济和社会发展，而且会影响到地区生态环境可持续发展。

因此准确地预测未来人口的发展趋势，制定合理的人口规划和人口布局方案具有重大的理论意义和现实意义。

根据国家人口报告，对短期、中期和长期人口预测作如下定义：十年内为短期，十到十五年为中期，五十年及其以上为长期。

人口发展过程是一个很缓慢的过程。

它的“时间常数”接近平均期望寿命约七、八十年的时间。

人口状态随时间变化的过程称为人口发展过程。

中国人口增长预测摘要当今社会，人口问题以及人口增长所带来的社会问题越来越受到人们的关注，如老龄化问题，城乡差异问题，以及由人口增长带来的环境问题和能源问题等等。

本文结合中国实际情况讨论了我国人口增长趋势，并建立模型分析了老龄化问题，城乡人口差异问题的原因。

首先我们假设题目所提供的调查数据有一定的代表性，而且我国人口的增长情况不受自然灾害以及突发事件等因素的影响，另外我们查阅了大量的资料，对题目附录中所给的数据做了恰当的处理。

然后我们参考了传统的“指数增长模型（Malthus模型）”，根据它可以比较准确的预测中短期内人口的增长情况，由于我国是世界上老龄化速度最快的国家之一，随着人口老龄化程度的加大，人口死亡率也会逐渐升高，“指数增长模型”不能用来预测我国长期人口增长情况，根据我国的特殊国情，我们想到以（老年人口数+死亡人口数）—（少年人口数+出生人口数）的差值来衡量我国老龄化的发展速率以及人口增长情况，即差值为负时，少年人口数与出生人口数的和大于老年人口数与死亡人口数的和，这时人口呈增长趋势，反之，少年人口数与出生人口数的和小于老年人口数与死亡人口数的和，人口出现负增长。

最后，我们利用MathLab软件计算得出中国人口将在2050年达到资源环境最大人口承载量16亿左右。

接着，为了分析城乡人口差异形成的原因，我们把题目所给数据根据城、镇、乡分开来计算，分别做出它们的（老年人口数+死亡人口数）—（少年人口数+出生人口数）的差值图，见图五、六、七。

进行分析比较，发现我国城市进入老龄化高峰期要比乡镇早10年左右，城市约在2030年左右达到老龄化高峰，而乡镇的老龄化高峰期将会在2040年左右到来。

也就是我国城市会比乡村提前10年进入人口负增长时期，由此可以判断我国计划生育政策在控制城市人口数量的工作中收到了良好的效果。

而且分析差值还可以发现同一时期乡村的差值要比城市大的多，说明了我国乡村育龄期妇女的总生育率要比城镇的高的多。

关于中国人口增长趋势的研究【摘要】本文从中国的实际情况和人口增长的特点出发，针对中国未来人口的老龄化、出生人口性别比以及乡村人口城镇化等，提出了Logistic、灰色预测、动态模拟等方法进行建模预测。

首先，本文建立了Logistic阻滞增长模型，在最简单的假设下，依照中国人口的历史数据，运用线形最小二乘法对其进行拟合，对2007至2020年的人口数目进行了预测，得出在2015年时，中国人口有13.59亿。

在此模型中，由于并没有考虑人口的年龄、出生人数男女比例等因素，只是粗略的进行了预测，所以只对中短期人口做了预测，理论上很好，实用性不强，有一定的局限性。

然后，为了减少人口的出生和死亡这些随机事件对预测的影响，本文建立了GM(1,1) 灰色预测模型，对2007至2050年的人口数目进行了预测，同时还用1990至2005年的人口数据对模型进行了误差检验，结果表明，此模型的精度较高，适合中长期的预测，得出2030年时，中国人口有14.135亿。

与阻滞增长模型相同，本模型也没有考虑年龄一类的因素，只是做出了人口总数的预测，没有进一步深入。

为了对人口结构、男女比例、人口老龄化等作深入研究，本文利用动态模拟的方法建立模型三，并对数据作了如下处理：取平均消除异常值、对死亡率拟合、求出2001年市镇乡男女各年龄人口数目、城镇化水平拟合。

在此基础上，预测出人口的峰值，适婚年龄的男女数量的差值，人口老龄化程度，城镇化水平，人口抚养比以及我国“人口红利”时期。

在模型求解的过程中，还对政府部门提出了一些有针对性的建议。

此模型可以对未来人口做出细致的预测，但是需要处理的数据量较大，并且对初始数据的准确性要求较高。

接着，我们对对模型三进行了改进，考虑人为因素的作用，加入控制因子，使得所预测的结果更具有实际意义。

在灵敏度分析中，首先针对死亡率发展因子θ进行了灵敏度分析，发现人口数量对于θ的灵敏度并不高，然后对男女出生比例进行灵敏度分析得出其灵敏度系数为0.8850，最后对妇女生育率进行了灵敏度分析，发现在生育率在由低到高的变化过程中，其灵敏度在不断增大。

数学建模论文题目：人口增长模型的确定专业、姓名：专业、姓名：专业、姓名：人口增长模型摘要随着人口的增加，人们越来越认识到资源的有限性，人口与资源之间的矛盾日渐突出，人口问题已成为世界上最被关注的问题之一。

问题给出了1790—1980年间美国的人口数据，通过分析近两百年的美国人口统计数据表，得知每10年的人口数的变化。

预测美国未来的人口。

对于问题我们选择建立Logistic模型(模型2)现实中，影响人口的因素很多，人口也不能无限的增长下去，Logistic 模型引进常数N 表示自然资源和环境所能承受的最大人口数，因而得到了一个贝努利方程的初值问题公式，从实际效果来看，这个公式较好的符合实际情况的发展，随着时间的递增，人口不是无限增长的，而是趋近于一个数，这个即为最大承受数。

我们还同时对数据作了深入的探讨，作数据分析预测，通过观测比较选择一个比较好的拟合模型（模型3）进行预测。

预测接下来的每隔十年五次人口数量，分别为251.4949， 273.5988 ， 293.4904 ， 310.9222 325.8466。

关键词：人口预测Logistic模型指数模型一、问题重述1790-1980年间美国每隔10年的人口记录如下表所示。

试用以上数据建立马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，并对接下来的每隔十年预测五次人口数量，并查阅实际数据进行比对分析。

如果数据不相符，再对以上模型进行改进，寻找更为合适的模型进行预测。

二、问题分析人口预测是一个相当复杂的问题，影响人口增长除了人口数与可利用资源外，还与医药卫生条件的改善，人们生育观念的变化等因素有关…….可以采取几套不同的假设，做出不同的预测方案，进行比较。

人口预测可按预测期长短分为短期预测 (5年以下)、中期预测(5～20年)和长期预测(20～50年)。

在参数的确定和结果讨论方面，必须对中短期和长期预测这两种情况分开讨论。

中短期预测中所用的各项参数以实际调查所得数据为基础，根据以往变动趋势可较准确加以估计，推算结果容易接近实际，现实意义较大。

中国人口增长的预测和人口结构的简析摘要本文根据过去数十年的人口数据，通过建立不同的数学模型，对中国人口的增长进行了短期和中长期的预测。

模型一：从中国统计年鉴—2008，查找得到2000-2007年的人口数据，然后用灰色模型进行人口的短期（2008-2017）预测。

这里，我们采用两种算法进行人口总数的预测。

一种是用灰色模型分别对城镇人口和乡村人口进行人口预测，然后求加和得到总的人口数；另一种是用灰色模型对实际的总人口数进行预测，预测未来10年的总人口数。

通过比较相对误差率知道第二种方法预测得到的数据误差较小，故采用第二种方法预测的未来10年的人口数为：模型二：对于中长期的预测我们采用Leslie模型进行预测。

我们利用题中所提供的人口数据的比例，将人分为6种类型，在考虑年龄结构的基础上，对各类人中的女性人数分别进行预测，然后根据男女的性别比例，求出男性的人口数，再将预测得到的各类人数进行汇总加和，最终得到总的人口数。

由于我们是根据年龄结构进行的预测，所以可以对人口进行简单的分析，得到老龄化变化趋势，乡镇市的人口所占比例的变化等。

关键词：人口预测；灰色模型；分类计算；Leslie模型一、模型假设模型一的假设：1、不考虑国际迁移，认为国家内部迁移不改变人口总量；2、不考虑自然灾害、疾病等因素对人口数量的影响；3、文中短期预测到2017年4、大面积自然灾害、疾病的发生以及人们的生育观念等因素会对当年的生育率和人口数量产生影响，认为这些因素在预测误差允许的范围内．模型二的假设：1、每一年龄组的女性在每一个时间段内有相同的生育率和死亡率；2、在预测的时间段内男女的性别比例保持现状不变；3、不考虑人口的迁入和迁出；4、不考虑空间等自然因素的影响，不考虑自然灾害对人口数量的影响。

二、问题分析中国是一个人口大国，随着经济的不断发展，生产力达到较高的水平，现在的问题已不是仅仅满足个人的需要，而是要考虑社会的需要。

中国未富先老，对经济的发展产生很大的影响。

2016年数学建模论文第一套论文题目：人口增长模型的确定组别：第35组姓名：耿晨闫思娜王强提交日期：2016年7月4日题目：美国人口增长预测模型摘要本文根据近两个世纪美国每十年一次的人口统计数据，建立了指数增长模型，即Malthus模型，并通过1790-1890年的数据验证了它的准确性。

但是，随着时间的推移，拟合函数与统计数据误差逐渐增大，所以，又建立了阻滞增长模型，即Logistic模型，这个模型的拟合函数与统计数据误差较小，并用该模型对美国未来几年的人口做出了预测。

总体来说，阻滞增长模型在预测准确度方面要明显优于原始的马尔萨斯人口指数增长模型。

关键词：指数增长模型，阻滞增长模型，人口预测一、问题重述1790-1980年间美国每隔10年的人口记录如下表所示。

表1：人口记录表1.试用以上数据建立马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，并对接下来的每隔十年预测五次人口数量，并查阅实际数据进行比对分析。

2.如果数据不相符，再对以上模型进行改进，寻找更为合适的模型进行预测，并对两次预测结果进行对比分析。

3.查阅资料找出中国人口与表1同时期的人口数量，用以上建立的两个模型进行人口预测与分析。

二、问题分析影响人口增长的因素很多，其中最主要的两个因素是出生率和死亡率。

出生率受到婴儿死亡率、对避孕的态度及措施效果、对堕胎的态度、怀孕期间的健康护理等因素的影响；死亡率则受到卫生设施与公共卫生状况、战争、污染、医疗水平、饮食习惯、心理压力和焦虑等因素的影响。

此外，影响人口在一个地区增长的因素还有迁入和迁出、生存空间的限制、水和食物、疾病等。

在这些因素中，有些是常态的或者有规律的，这些因素对人口的增长是恒定的；而有些因素是随机的，对人口的增长是没有规律的。

因此，当大范围、长时期研究人口增长问题时，对人口增长产生影响的随机因素就不在考虑了。

建立该模型的目的是要能通过模型预测美国后来每十年的人口数具体变化，并与实际的数据进行对比，看误差的大小。

关键字：人口数平衡点方程模型运动预测曲线稳定增长人口一题目：请在人口增长的简单模型的基础上。

" （1）找到现有的描述人口增长，与控制人口增长的模型；" （2）深入分析现有的数学模型，并通过计算机进行仿真验证；" （3）选择一个你们认为较好的数学模型，并应用该模型对未来20年的某一地区或国家的人口作出有关预测；" （4）就人口增长模型给报刊写一篇文章，对控制人口的策略进行论述。

二摘要：本次建模是依照已知普查数据，利用Logistic模型，对中国人口的增长进行预测。

首先假设人口增长符合Logistic模型，即引入常数，用来表示自然环境条件所能容许的最大人口数。

并假设净增长率为，即净增长率随着人口数N（t）增长而减小，当N(t) 时，净增长率趋于零。

按照这个假设，。

用参数＝3.0,r=0.0386, =1908, =14.5。

画出N=N(t)的图像，作为人口增长模型的一种近似。

做微分方程解的定性分析，求出N=N(t)的驻点和拐点，按照函数作图方法列出定性分析表，作出相轨迹的运动图。

当初始人口<时，方程的解单调递增到地趋向，这意味着如果使用Logistic模型描述人口增长，则人口发展地总趋势是渐增到最大人口数，因此可作为人口的预测值，也称谓平衡点。

用导数做稳定分析，为判断平衡点是否为稳定，可在平面上绘制f(x)的图象，然后像函数绘图那样，用导数进行定性分析，通过图看出人口数N(t)按时间是递增的，当人口数未达到饱和状态的时候，将逐渐地趋向，这意味着是稳定的平衡点。

按该模型，未来人口的数量将随着时间的演化，从初始状态出发达到极限状态，这样就给出了人口的未来预测。

三问题的提出1． Malthus模型英国统计学家Malthus（1766－1834）发现人口增长率是一个常数。

设t时刻人口为N（t），因为人口总数很大，可近似把N（t）当作连续变量处理。

Malthus的假设是：在人口的自然增长过程中，净相对增长率（出生率减去死亡率）是常数，即单位时间内人口的增长量与人口总数成正比。

中国人口增长模型论文中国人口增长预测模型代 伟，熊继鹏，余学超指导教师 严国义摘要对于我国人口的预测,我们作了如下工作:1.首先建立了混合型闭环差分方程和它的改进方程.记()i X t 和()i Y t 分别为t 年时年龄为i 的男性人数和女性人数,()i u t 和()i v t 分别为t 年时年龄为i 的男性死亡率和女性死亡率,()i t α为t 年i 岁女性的生育率,()i g t 和()i h t 分别为t 年i 岁的男性人口迁移率和女性人口迁移率;()t β为t 年出生婴儿中女婴所占比重.得到混合型闭环差分方程(1)以及由()()i i i X t k Y t =得到改进后的模型(2)11110110(1)()()()(1)(1)()()((0),()()(1())()()(1),(1)()()()(1)(0),()()()()()i i i i i i i i i i i i b i i i i i a i i i i i b i i i i i a X t X t u t X t g t k Y t k Y t u v Y t X X X t t t Y t t Y t Y t v t Y t h t Y Y Y t t t Y t t ϕβαφβα++++=++=+=-++⎧+=+-⎪⎪===-⎪⎨+=-++⎪⎪===⎪⎩∑∑00)(1)(0)(2)(1)()()0,1 (1)i i i i i i b i ii a g h k Y X Y k Y t Y t i m α=++⎧⎪+=+⎪⎪⎨+=⎪⎪=-⎪⎩∑2.把参数i u ,i v ,i α作为随机变量(事实上如此),求出它们的分布律,以它们的数学期望作为参数的估计,并用时间序列的自回归模型对()t β作出了拟合.对()i g t 和()i h t 的估计利用了统计年鉴的资料.3.由模型对农村、乡镇、城市分男性和女性按各年龄段得到人口状态向量()0()()()T m X t X t X t =,()0()()()T m Y t Y t Y t =,0,1,t =.由此建立了对各地区和全国的以下问题的预测模型.(1)男女人数及总人数;(2)性别比;(3)城市、城镇和农村的人口比重;(4)老年化问题;(5)抚养比问题.主要结果见附录.4..结论:(1) 我国总人口数从2001年的127627万人增加到2021年的139542万人左右.随后开始快速下降,到本世纪中叶锐减至119188万人左右;(2) 全国人口性别比在2001年到2025年出生婴儿、青少年甚至中年均为男性多于女性,最多高达120:100左右,性别比严重失衡,老年60岁左右则较为正常,大于70岁女性比率显著高于男性;(10)()i t α为t 年时年龄为i 的女性生育率;(11)()t β为t 年时出生的女婴儿数占总出生婴儿数的比例;(12)i k 为i 岁男性人数与女性人数之比.3.2 基本模型由于1t +年里1i +岁的人数是由t 年i 岁的人数减去t 年i 岁死去的人数加上迁入的1i +岁人数,因此我们有男性预测差分方程 11(1)()()()(1)i i i i i X t X t u t X t g t +++=-++ (3.1)初始条件为:(0)i i X X =,即基年i 岁男性的人数.边界条件为:0()()X t t ϕ=,即t 年0岁的男性人数(t 年出生的男婴儿数).综上有110(1)()()()(1)(0)()()i i i i i i i X t X t u t X t g t X X X t t ϕ+++=-++⎧⎪=⎨⎪=⎩ (3.2) 同理有女性预测差分方程110(1)()()()(1)(0)()()i i i i i i i Y t Y t v t Y t h t Y Y Y t t φ+++=-++⎧⎪=⎨⎪=⎩ (3.3) 其中1,, 1.i m =-,m 为人能活到的最大年龄数,本文取为90.下面求()t ϕ和()t φ,即t 年出生的男婴和女婴数.t 年i 岁女性生育孩子的个数为()()i i Y t t α.则t 年所有婴儿数为()()bi i i a Y t t α=∑,其中[,]a b 为育龄区间.对统计资料分析时我们取15,49.a b ==设()t β为t 年时0岁女婴占所有出生婴儿数的比例,则t 年所生的女婴数为()()()b i i i a t Y t t βα=∑,同理t 年所生的男婴数为(1())()()bi i i a t Y t t βα=-∑.即()(1())()()bi i i at t Y t t ϕβα==-∑ (3.4)()()()()b i i i at t Y t t φβα==∑ (3.5)由(3.1)~(3.4),我们得到一个地区分男女两种类型时的人口预测模型110110(1)()()()(1)(0)()()(1)()()()(1)(0)()()()(1())()()()()()()i i i i i i i i i i i i i i b i i i a b i i i a X t X t u t X t g t X X X t t Y t Y t v t Y t h t Y Y Y t t t t Y t t t t Y t t ϕφϕβαφβα++++==+=-++⎧⎪=⎪⎪=⎪+=-++⎪⎪=⎪⎨=⎪⎪⎪=-⎪⎪⎪=⎪⎩∑∑ (3.6) 其中1,2,, 1.i m =-以上方程是一个混合型闭合差分方程,在理论上是成立的.但是在实际应用中,我们还可以作适当简化.根据我国和世界各国的历史统计资料显示,人口死亡率的变化是很缓慢的,不可能在短暂的几年内出现突变.所以我们有()(),()i i i u t u i v t v ==,即i 岁男女的死亡率只与年龄i 有关,而与年份t 无关.同样有()i i t αα=,即i 岁女性生育率只与年龄有关,而与年份无关.经以上分析,我们得到一个市、镇、乡分男女,按年龄分类的人口预测模型110110(1)()()()(1)(0)()()(1)()()()(1)(0)()()()(1())()()()()i i i i i i i i i i i i i i b i i i a b i i i a X t X t u t X t g t X X X t t Y t Y t v t Y t h t Y Y Y t t t t Y t t t Y t ϕφϕβαφβα++++==+=-++⎧⎪=⎪⎪=⎪+=-++⎪⎪=⎪⎨=⎪⎪⎪=-⎪⎪⎪=⎪⎩∑∑ (3.7)下面我们对各参数进行估计,利用已知数据对()t α和()t β进行拟合.3.3 ,,i i i u v α的估计一般地,死亡率和生育率是随机变量,设,i i U V 分别为男女的死亡率,i A 为i 岁女性的生育率,则,,i i i i i i u EU v EV EA α===下面我们以i u 的估计为例给出估计算法.设i U 的分布列为表1 i U 的分布列 i U1i U 2i U … in U P 1P 2P … n P其中n 为考虑的U 的取值个数,且k k i p =年岁男性人数n 年i 岁男性总人数1,2,,k n = (3.8)从而 1n i i ik k k u EU U P ===∑在估计i u 时,取5n =,则有51i ik kk u U P ==∑对其它的参量用同样的方法估计.以乡村为例,我们用上述方法得到各估计量后作出了不同年龄生育率的散点图(图1)如下 (其他图像见附录一)图1从图1可以看出育龄妇女的生育水平随年龄的增大而逐渐增大,在25-29岁左右处于生育高峰期,随后逐渐递减至40岁后生育子女的可能性几乎降为零.所以本文所考虑的育龄妇女的生育年限为15-49岁.3.4 女婴性别比()t β的拟合根据题目中已知的1994~2005年的出生人口性别比.通过作散点图,我们提出三种回归方法:线性回归法、自回归法和曲线回归法.(1)线性回归法:以2005年为基年,则上表中所有年代均为负值,利用SPSS13.0软件作线性回归得回归方程为()()122.480.436()118.4790.0842005,1,2,3;112.5130.1053j S t t j ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (2)自回归法:考虑到各年龄生育率的关联性，以2005年为基年,利用SPSS13.0软件作自回归分析,得递归方程()()54.7170.5462()166.8160.422(1)88.8950.203j j S t S t ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (3)曲线回归法:在人口增长过程中,它的内部存在自我调节作用,即性别比不可能无限制的增长下去,我们构造如下形式的回归函数00()1j j j q b S t a t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭其中1,2,3,4;q =经过四次搜索,得到2q =时判定系数2R 最大,因此所得回归曲线为()()()1222320.0391120.2609119930.0512117.1491119930.0249111.467411993t t t S t S t S t ⎧⎛⎫⎪=⨯- ⎪ ⎪-⎪⎝⎭⎪⎛⎫⎪⎪=⨯+ ⎪⎨ ⎪-⎪⎝⎭⎪⎛⎫⎪=⨯+ ⎪⎪ ⎪-⎪⎝⎭⎩ 由上回归方程可见,城市的出生性别比随时间逐渐下降,并且作图知乡镇男性婴儿出生率高于城市. 又出生女婴的比例为:100()100()j j t S t β=+1,2,3j =取1,2,3时分别表示农村,乡镇和城市.利用上述三种方法得到的女婴性别比()t β有不同的含义,这一点我们将在模型结果讨论里面详细的分析研究.3.5 对()i g t 和()i h t 的估计由于乡镇上的人既有迁入又有迁出,这样考虑镇上的迁出与迁入就会变得复杂而不好把握,为了简化起见，假设乡镇里的人口不发生转移.从而可假定农村的人口仅向城市里转移.并且假设只有年龄段为15~49之间的人才转移,由于迁出原因主要是升学，故可认为年龄为19时,迁移率取最大值.故可近似地认为转移率在15~49区间内服从三角分布.我们就能求出每个年龄段的转移人数占转移总人数的比率,设i ω为i 岁迁出者所占比率. 这样就能设0()(1%)t t i i t g t a p ωλ-=+,其中a 为基年的农村总人口数的1%,%p为每年农村向城市转移人口的增长速度,我们取1p =,t λ为t 年的男性占全国人口的比率.这样,0()(1%)(1)t t i i t h t a p ωλ-=+-.i ω,t λ可用从<<2005中国统计年鉴>>(见附录二)上的数据通过计算得到,从而就能表示出(),()i i g t h t .可以计算出i ω.四.模型求解及对人口的预测分析由于对方程各参数进行了估计或者拟合,则方程(3.6)可解.给出解向量()01()()()()T m X t X t X t X t =()01()()()()T m Y t Y t Y t Y t = 0,1,.t =所以有00()(),()()m m i i i i M t X t W t Y t ====∑∑.根据所得数据,我们作了以下分析.4.1总人口预测与分析设t 年时农村、乡镇、城市的总人口数分别为123(),(),().N t N t N t 则有人口总量预测模型: ()()()i i i N t M t W t =+.全国总人口为: 31()()i j N t N t ==∑.求解模型,我们得到全国总人口预测图(图(2))与城镇乡总人口预测图(图(3)) 如下图(2)图(3)分析如下:a.从图(2)上可以看出,我国总人口数从2001年的127627万人增加到2021年的139542万人左右.随后开始快速下降,到本世纪中叶锐减至119188万人左右;b.从图(3)看出,城市人口逐年上升,农村人口略有下降,乡镇人口基本不变, 这可以理解为乡镇人口迁移和乡镇的生育率共同作用的结果,符合我国的城市化进程.4.2性别比预测与分析设t年时性别比为()()()M tr tW t,全国总人数的性别比接近100,符合自然状态下的生物规律,但是在不同年龄下性别比出现严重失衡,尤其在婴儿期.我们作了0、20、60、80岁性别比预测图(见附录三),并得到了2020年不同年龄下不同区域的性别比如下(女性人口以100计) 见表2年龄地区0 20 60 80农村120.26 117.20 96.46 80.64乡镇117.16 113.34 90.49 78.30城市111.47 109.59 102.42 71.41全国117.79 114.49 97.49 77.39分析:a.由附录三图象所示各年龄下(0岁,20岁,60岁,80岁)性别比随时间的变化规律可知:0岁婴儿性别比高于正常水平(103-107),在118左右,20岁婚育期性别比在110左右,以后年龄段逐渐下降,反映出我国新生婴儿性别比严重失调,这可能是由于人们重男轻女等原因引起的.b.从地区来看,农村婴儿性别比高于乡镇和城市.4.3老年化预测与分析根据题目已知数据附录1给出的对老年人的分类,我们将60岁以上的老人总人口数记为1C ,65岁以上的老年人口数记为2C .称12()()()G t G t G t ⎛⎫= ⎪⎝⎭为老年状态向量,其中122()()()()()()i C t G t N t C t G t N t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.为了便于分析,我们作了60岁以及65岁以上的老年化预测图,同时也作出了不同地区的60岁以上老年人与65岁以上老年人的对比图.其他曲线图见附录四.图(4)图(5)分析:a.从全国总人口中老年人预测图可以看出,我国老年人占总人口比例随着时间的推移呈上升趋势.以60岁以上的老年人G 值为例,在2005-2010年之间,虽呈上升趋势,但上升的幅度不是很大,随后上升的幅度有显著的提高,到2020年左右己达到16%.同时我们还发现,65岁以上的老年人比例上升的幅度一直较小,这是65岁以上的老年人死亡率上升的结果.b.从农村老年人占总人口比例可以看出,在2015年前后G 值急剧上升,这可以理解为农村社会养老保障制度不健全,青壮年人口大量流入城市,使农村老龄化形势更为严峻.c.结合农村,乡镇和城市的G 值随时间变化曲线图,可以看出我们现在己经进入老龄化社会,我国的人口老龄化问题随着时间的推移愈演愈烈并且还将持续增长相当长的时间.d.从市镇乡的60岁以上老年人占总人口比例可以看出,随时间的变化,城市的老年化比率较其它两个地区低,这也说明了农村人口向城市转移. 4.4人口抚养比预测与分析人口抚养比是指人口总体中非劳动年龄人口数与劳动年龄人口数之比.通常用百分比表示.用于从人口角度反映人口与经济发展的基本关系.根据我国劳动年龄人口的两种不同定义(15-59岁人口或15-64 岁人口),我们取15-59作为预测分析中的劳动人口年龄.记t 年人口抚养比为()d t ,根据人口抚养比的定义有140616015(()())(()())()(()())miiiii i iii X t Y t X t Y t d t X t Y t ===+++=+∑∑∑,由模型我们得到了如下的人口扶养比趋势图(6)图(6) 分析:a 从全国范围看,由于历史的原因,我国在70-80年代人口高峰期出生的人口较多,并且男婴的比重较大,在这一代人的成年期,抚养比在2010年左右达到最低谷.2010后以后,抚养比不断攀升,在2030年前后将超过50%,这对社会保障体系和公共服务体系的压力加大,并影响到社会代际关系的和谐.b 对不同地区进行对比可以得到,抚养比从大到小排序为乡、镇、城,表明农村的青壮年压力要大于其它地区的压力.这也是导致农村发展缓慢的重要原因之一.例如农村在2030年左右抚养将会达到60%,即每对夫妇要扶养2-3个非劳动者(老人和小孩). 4.5 总和生育率预测与分析总和生育率是一定时期（如某一年）各年龄组妇女生育率的合计数,是衡量生育水平最常用的指标之一.图(7)从图中可看出我国的总和生育率低于更替水平2.1,并且还有缓慢下降的趋势.这对我国是一个危险的信号,虽然我国人口基数大,但长期照此发展下去,我国人口会迅速的减少.五.模型的检验与改进5.1 出生性别比的修正.在求解过程中我们采用的性别比是线性回归得到的性别比,但是此时人口性别比随时间的推移而不断增加,这里忽略了人口内部的自我调节作用.因此改用自回归模型和曲线回归模型,得到的结果均比较理想. 5.2模型的改进利用已给数据中五年的男性与女性之比,通过加权平均的方法算出一个只与岁数i 有关而与时间t 无关的男女性别比i k ,从而就能建立一个关系男人总数与女人总数的关系式()()i i i X t k Y t =.那么方程(1)可以化简成如下的形式.1100(1)()()()0,1...1(1)(0)(1)()()i i i i i i i i i i i i ibi i i a k Y t k Y t u v Y t g h i m k Y X Y k Y t Y t α++=+=+-++⎧⎪⎪⎪=-+=+⎨⎪⎪+=⎪⎩∑ 这个模型计算总人口时,算出了男性的总人数,就能按照关系()()i i i X t k Y t =得出女性总人数,较之前一个模型,减少了一半的计算量.六.模型的评价本模型的优点有：1.采用的混合闭环差分方程模型具有自我控制作用.2.模型中的部分参数按年龄取离散化的值,然后利用多种方法进行拟合和回归,提高了模型的稳定性.3.本模型把人群按年龄,地区性别分类,对不同人群的关联进行了精确的描述.4.确定模型所需的参数和求知函数较少,计算量小,编程容易且易于实现算法.5.模型分别应用于各个简单总体,使之对参数的估计较为准确.6.模型充分运用了统计数据信息和较好的统计方法.7.本模型对人口各种信息的预测和分析比较满意.8.校正的模型提供了检验原模型合理性的一个途径.本模型的缺点有:1.初始值和边界值强烈影响差分方程模型的结果,因此本模型的稳健性受到限制,长期的预测精确度不高.2.起始年的选取对模型结果影响很大.3.由于题目所给出的数据较少,在对迁移率的估计中,没有找到针对性强的解决方法.4.本模型求解过程给出的数据较少,多数情况下只能作定性的分析.参考文献:[1].卢纹岱,SPSS for Windows 统计分析[M],北京:电子工业出版社,2006年[2].朱道元,数学建模精品案例[M],江苏:东南大学出版社,2002年[3].彭进,人口与人力资源概论[M],北京:中国劳动社会保障出版社,2005年[4].杨高波,精通MATLAB7.0混合编程[M],北京:电子工业出版社,2005年版[5].国务院人口普查办公室,转型期的中国人口[M],中国统计出版社,2005年.[6].胡健颖等,实用统计学[M],北京:北京大学出版社,1996年[7].王应洛等,系统工程(第2版)[M],北京:机械工业出版社,1994年[8].人口与发展论坛——中国第五次人口普查公报透视[J],人口研究,2001(5).[9].景跃军等21世纪中国可持续发展面临的人口困境与对策[J],人口学刊, 2001(1).[10].何书元,应用时间序列分析[M],北京:北京大学出版社,2004年第2版附录一:年龄(岁)平均妇女生育率附录二:附录三(1):附录三(2):附录三(3):附录四(1):附录四(2):。

中国人口预测模型摘要本文对人口预测的数学模型进行了研究。

首先，建立一次线性回归模型，灰色序列预测模型和逻辑斯蒂模型。

考虑到三种模型均具有各自的局限性，又用加权法建立了熵权组合模型，并给出了使预测误差最小的三个预测模型的加权系数，用该模型对人口数量进行预测，得到的结果如下：其次，建立Leslie人口模型，充分反映了生育率、死亡率、年龄结构、男女比例等影响人口增长的因素，并利用以1年为分组长度方式和以5年为负指数函数，并给出了反映城乡人口迁移的人口转移向量。

最后我们BP神经网络模型检验以上模型的正确性关键字：一次线性回归灰色序列预测逻辑斯蒂模型Leslie人口模型BP神经网络一、问题重述1. 背景人口增长预测是随着社会经济发展而提出来的。

在过去的几千年里，由于人类社会生产力水平低，生产发展缓慢，人口变动和增长也不明显，生产自给自足或进行简单的以货易货，因而对未来人口发展变化的研究并不重要，根本不用进行人口增长预测。

而当今社会，经济发展迅速，生产力达到空前水平，这时的生产不仅为了满足个人需求，还要面向社会的需求，所以必须了解供求关系的未来趋势。

而人口增长预测是对未来进行预测的各环节中的一个重要方面。

准确地预测未来人口的发展趋势，制定合理的人口规划和人口布局方案具有重大的理论意义和实用意义。

2. 问题人口增长预测有短期、中期、长期预测之分，而各个国家和地区要根据实际情况进行短期、中期、长期的人口预测。

例如，中国人口预期寿命约为70岁左右，因此，长期人口预测最好预测到70年以后，中期40—50年，短期可以是5年、10年或20年。

根据2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》（附录一）及《中国人口年鉴》收集的数据（附录二），再结合中国的国情特点，如老龄化进程加速，人口性别比升高，乡村人口城镇化等因素，建立合理的关于中国人口增长的数学模型，并利用此模型对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测，同时指出此模型的合理性和局限性。

2015年数学建模论文第二套题目：人口增长模型的确定专业、姓名：自动化强晓鹏提交日期：2015.7.3题目：人口增长模型的确定摘要人口预测是制定正确的人口政策的科学依据。

预测人口增长的数学模型通常采用 3 种函数 ,即指数函数、Logistic函数和双曲函数[5]。

3种模型的数学根源都在于二阶 Bernoulli 式微分方程。

文章用matlab等软件对美国1790-1980年的人口数据情况进行研究和处理，得到其人口增长所符合的不同模型结果，并探讨是否预测合理。

同时，根据走势预测了之后几十年的人口总数。

为控制人口发展提供了可靠依据。

关键词：美国人口模型matlab 马尔萨斯模型logistic模型一、问题重述：图表中给出的是1790-1980年间美国每隔10年的人口记录情况，从表中可以看出美国人口基本呈增长趋势。

由此，1.将表中的数据进行处理建立马尔萨斯（Malthus）人口指数增长模型。

2.进行分析预测接下来每隔十年的五次人口数量。

3.查阅实际数据与预测的数据进行对比。

4.马尔萨斯指数增长模型是否合理，尝试采用其他模型进行分析。

二、问题分析：首先，我们用matlab软件进行编程（见附录1），绘制出1790-1980年美国人口数据图，如图1。

图1. 1790-1890年美国人口增长数据图从图1可以看出1790年到1980年的人口是呈增长的趋势的，而且类似指数增长。

马尔萨斯生物总数增长定律指出：在孤立的生物群体中，生物总数N的变化率与生物总数成正比，其数学模型为dx（t）=rx(t)dt=x0（1）x（t0）其中r为常数。

则方程组（1）的的解为x t=x0e r（t−t0）（2）由此可看出，马尔萨斯生物总数增长定律指出任何生物都是随时间按指数方式增长的。

在此意义下，马尔萨斯方程（1）又称指数增长模型。

人作为特殊的生物总群，人口的增长也应满足马尔萨斯生物总数增长定律，此时的（1）式称为马尔萨斯人口方程。