2022届上海市浦东区九年级数学一模Word版(附解析)

上海市浦东新区2024届初三一模数学试卷（考试时间100分钟，满分150分）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.下列函数中，是二次函数的是（）.A 21y x ；.B 21y x ；.C 221y x x ；.D 21y x．2.已知在Rt ABC 中，90C ，3AC ，4BC ，那么下列等式正确的是（）.A 3sin 3333.已知a .A a4..A 1:45..A .C 6..A .B .C .D 7.如果34x y ，那么x y y．8.计算：43a a b．9.已知线段2MN cm ，P 是线段MN 的黄金分割点，MP NP ，那么线段MP 的长度等于cm ．10.如果点G 是ABC 的重心，且6AG ，那么边BC 上的中线长为．11.已知在Rt ABC 中，90C ，6BC ，3sin 4A，那么AB 的长为．12.如图，ABC 是边长为3的等边三角形，D 、E 分别是边BC 、AC 上的点，60ADE ，如果1BD ，那么CE．13.小明沿着坡度1:2.4i 的斜坡向上行走了130米，那么他距离地面的垂直高度升高了米．14.在一个边长为3的正方形中挖去一个边长为x （03x ）的小正方形，如果设剩余部分的面积为y ，那么y 关于x 的函数解析式是．15.已知点 2,A m ， 3,B n 都在二次函数 21y x 的图像上，那么m 、n的大小关系是：mn ．（填“ ”“ ”或“ ”）16.如图，正方形CDEF 的边CD 在Rt ABC 的直角边BC 上，顶点E 、F 分别在边AB 、AC 上．已知两条直角边BC 、AC 的长分别为5和12，那么正方形CDEF 的边长为．17.平行于梯形两底的直线与梯形的两腰相交，当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时，我们称这条线段是梯形的“比例中线”．在梯形ABCD 中，//AD BC ，AD 18.在菱形落在点19.计算：20.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，已知在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且2AD ，4DB ，3AE ，6EC ．（1）求DEBC的值；（2）联结DC ，如果DE a ，DA b ，试用a 、b 表示向量CD．21.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，已知在四边形ABCD 中，//AD BC ，90ABC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，2AD ，3AB ，4BC ．（1）求BOC 的面积；（2）求ACD 的正弦值．第20题图第21题图221第22题图322.（本题满分10分）上海教育出版社九年级第一学期《练习部分》第48页复习题B 组第2题及参考答案．的代数式表示，以下同），2BD t ；某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究：如图1然后延长（1）（2）（3）如图2然后延长【拓展应用】如图3，在Rt ABC 中，90C ，18AC ，25BC ，点D 、E 分别在边AC 、BC 上，且5DC ，12EC ，联结AE 、BD 交于点P ．求证：tan 1BPE ．第23题图第24题图23.（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）已知：如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，对角线AC 、BD 相交于点E ，且DEC DCB ．（1）求证：AD ACCE CB；（2）点F 在DB 的延长线上，联结AF ，2AF AE AC ．求证：EC AF BC AE ．24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）题4分，第（3）题4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:M y x bx c 过点 2,2A 、点 0,2B ，顶点为点C ，抛物线M 的对称轴交x 轴于点D ．（1）求抛物线M 的表达式和点C 的坐标；（2）点P 在x 轴上，当AOP 与ACD 相似时，求点P 坐标；（3）将抛物线M 向下平移t （0t ）个单位，得到抛物线N ，抛物线N 的顶点为点E ，再把点C 绕点E 顺时针旋转135 得到点F ．当点F 在抛物线N 上时，求t 的值．第25题图备用图备用图25.（本题满分14分，第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（2）小题4分）如图，已知正方形ABCD 的边长为6，点E 是射线BC 上一点（点E 不与点B 、C 重合），过点A 作AF AE ，交边CD 的延长线于点F ，直线EF 分别交射线AC 、射线AD 于点M 、N ．（1）当点E 在边BC 上时，如果15ND AN ，求BAE 的余切值；（2）当点E 在边BC 延长线上时，设线段BE x ，y EN MF ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域；（3）当3CE 时，求EMC 的面积．浦东新区2023学年度第一学期期末练习卷初三数学参考答案及评分说明一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．B ；2．D ；3．D ；4．A ；5．C ；6．B ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．74；8．3a b ；91 ；10．9；11．8；12．23；13．50；14．29y x ；15．<；16．6017；17．23；18．34．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）1922+121222……………………（5分）（每个三角比的值各1分）112…………………………………（3分）（后3个数据，各1分）=12．………………………………………（2分）（每个数据，各1分）20．解：（1）∵AD =2，DB =4，AE =3，EC =6，∴12 AD DB ，12 AE EC ．∴ AD AEDB EC．……………………………………（1分）∴DE//BC ．……………………………………………………………………（1分）∴ DE ADBC AB ．………………………………………………………………（1分）∵12 AD DB ，∴13 AD AB ．……………………………………………………（1分）∴13DE BC ．…………………………………………………………………（1分）（2）∵13 DE BC ，∴BC =3DE ．∵ BC 和 DE 方向相同，∴3 BC DE ．（1分）∵ DE a ，∴3BC a ．…………………………………………………（1分）∵12 AD DB ，∴DB =2AD ．∵ BD 和 DA 方向相同，∴2 BD DA ．……（1分）∵ DA b ，∴2BD b ．…………………………………………………（1分）∵ CD BD BC ，∴23CD b a ．………………………………………（1分）21．解：（1）∵AD//BC ，∴AD AOBC OC．…………………………………………（1分）∵AD =2，BC =4，∴1=2AO OC ．∴23OC AC ．………………………………（1分）∵△BOC 和△ABC 同高，∴2=3BOC ABC S OC S AC ．……………………………（1分）在Rt △ABC 中,∠ABC=90°，AB=3，BC =4，∴1=34=62ABC S ．…（1分）∴=4 OBC S ．……………………………………………………………………（1分）（2）过点D 作DM ⊥BC ，垂足为点M ，过点D 作DH ⊥AC ，垂足为点H ．在Rt △ABC 中,∠ABC=90°，AB=3，BC =4，∴AC =5．∵AD ∥BC ，AB ⊥BC ，DM ⊥BC ，∴AB =DM ．∴△ADC 和△ABC 等高．∴1==2ADC ABC S AD S BC ．∴=3 ACD S ．……………（1分）∴1=32 AC DH ．∴6=5DH ．………………………………………………（1分）∵DM ⊥BC ，∴∠DMC=90°．∵∠ABC =90°，∴∠ABC=∠DMC ．∴AB ∥DM ．∵AD ∥BC ，∴四边形ABMD 是平行四边形．∴BM=AD=2，DM=AB=3．∵BC =4，∴MC=2．…………………………（1分）在Rt △DMC 中,∠DMC=90°，DM=3，MC =2，∴ DC ．………（1分）在Rt △DHC 中,∵∠DHC=90°，6=5DH， DC，∴sin 65DH ACD CD ．…（1分）22．解：【问题探究】∠D=22.5°，BD，tan 22.51 ．……………（各1分）【知识迁移】∵BD=AB ，∴∠D =∠BAD ．∵∠ABC =∠D+∠BAD ，∴1=2D ABC ．………………………………（1分）在Rt △ABC 中,2tan 3ABC ，设AC=2k ，BC=3k，则 AB BD ．（1分）∴13tan tan 22AC ABC D DC ．……………………（1分）【拓展应用】联结DE ．………………………………………………………（1分）在Rt △EDC 中,∠ECD=90°，CD=5，CE =12，∴DE =13．∵CE =12，BC=25，∴BE =13．∴BE =DE ．∴∠EBD =∠EDB ．∵∠DEC =∠EBD+∠EDB ，∴1=2 DBE DEC ．∵CD =5，AC=18，∴AD =13．∴AD =DE ．∴∠DAE =∠DEA ．∵∠EDC =∠DAE+∠DEA ，∴1=2DAE EDC ．…………………………（1分）在Rt △EDC 中,∠ECD=90°，∴∠DEC +∠EDC=90°．∴∠DBE +∠DAE=45°．……………………………………………………（1分）在Rt △ABC 中,∠ACB=90°，∴∠ABC +∠BAC=90°．∴∠ABP +∠BAP=45°．∴∠BPE =∠ABP +∠BAP=45°．………………（1分）∴tan 1BPE ．23．证明：（1）∵AD ∥BC ，∴∠ADC +∠DCB=180°．……………………………（1分）又∵∠CEB +∠DEC=180°，∠DEC =∠DCB ，∴∠ADC =∠CEB ．……（1分）∵AD ∥BC ，∴∠DAC =∠ECB ．……………………………………………（1分）∴△ADC ∽△CEB ．…………………………………………………………（2分）∴ AD AC CE CB．……………………………………………………………（1分）（2）∵∠AED =∠CEB ，∠ADC =∠CEB ，∴∠AED =∠ADC ．…………（1分）∵∠EAD =∠DAC ，∴△AED ∽△ADC ．……………………………………（1分）∴ AE AD AD AC．即2 AD AE AC ．…………………………………………（1分）∵2 AF AE AC ，∴22 AD AF ．∴AD =AF ．…………………………（1分）∵AD ∥BC ，∴AE ADEC BC．……………………………………………（1分）∴ AE AF EC BC．即 EC AF BC AE ．………………………………………………………（1分）24．解：（1）抛物线M ：2y x bx c 过点A （2，2）、点B （0，2），∴4222.，b c c ………………………………………………………（2分）∴2 b ，2 c ．∴抛物线M 的表达式是222 y x x ．………………………………（1分）∴点C 的坐标为（1，3）．…………………………………………………（1分）（2）由（1）得抛物线的对称轴是直线1 x ．……………………………（1分）过点A 作AH 垂直直线1 x ，垂足为点H ．∴点H 的坐标为（1，2）．过点A 作AG 垂直x 轴，垂足为点G ．∴点G 的坐标为（2，0）．在Rt △ACH 与Rt △AOG 中，根据题意可得tan 1 AH ACH CH ，tan 1 AGAOG OG．∴tan tan ACH AOP ，∴∠ACH =∠AOP ．……………………………（1分）∴当△AOP 与△ACD 相似时，有 CA CD OA OP 或CA CDOP OA．○1 CA CDOA OP 3 OP，OP =6．点P 的坐标是（6，0）．……………（1分）○2CA CDOP OA ， OP 43 OP ．点P 的坐标是（43，0）．………（1分）∴综上所述，点P 的坐标是（6，0）或（43，0）．（3）过点F 作FQ 垂直直线1 x ，垂足为点Q ．根据题意可得∠FEQ =45°，FE =CE =t ．……………………………………（1分）在Rt △EFQ 中,∵∠EQF=90°，∠FEQ =45°，FE =t ，∴EQ=FQ =2t ．∴点F 的坐标是（1+2t ，32t ）．………………………………（1分）∵当点F 在平移后的抛物线N ：21)3（y x t 上时，可得231)322（1+t t t ．……………………………（1分）解得10 t （舍），2 t 1分）25．解：（1）根据题意可得∠ABC =∠BAD=∠ADC=90°，AB =BC =CD =AD =6，AD ∥BC ．∴∠BAE +∠EAD=90°，∠ADF=∠ABC =90°．∵AF ⊥AE ，∴∠DAF +∠EAD=90°．∴∠BAE=∠DAF ．∴△BAE ≌△DAF ．∴DF =BE ．……………………………………………（1分）设BE=x ，则DF =BE =x ，EC =6－x ，FC =6＋x ．∵正方形ABCD 的边长为6，15ND AN ，∴ND=1，AN =5．………………（1分）∵AD ∥BC ，∴ ND FD EC FC ．即166xx x．……………………………（1分）整理得2560 x x ．解得12 x ，23 x ．……………………………（1分）当2 x 时，6cot 32 BE BAE AB ；当3 x 时，6cot 23BE BAE AB ．∴∠BAE 的余切值为2或3．………………………………………………（1分）（2）当点E 在边BC 延长线上时，根据条件可证△BAE ≌△DAF ．∴AE =AF ．∴∠AEF ＝∠AFE ．∵AF ⊥AE ，∴∠EAF=90°．∵∠EAF ＋∠AEF ＋∠AFE ＝180°，∴∠AEF ＝∠AFE=45°．∴∠ANE ＝∠AFE ＋∠FAD =45°＋∠FAD ．∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DAC=45°．∴∠MAF ＝∠DAC ＋∠FAD =45°＋∠FAD ．∴∠ANE ＝∠MAF ．∴△ANE ∽△MAF ．…………………………………………………………（2分）∴ EN AE FA MF．∴2== y EN MF AE FA AE ．…………………………（1分）在Rt △ABE 中,∠ABE=90°，AB =6，BE=x ，∴22=36 AE x ．即2=36 y x ．（x ＞6）…………………………………………………（2分）（3）有两种情况：点E 在边BC 上，点E 在边BC 延长线上．（i ）当点E 在边BC 上时．易证△EMC ∽△AMF ，△AMF ∽△AFC ．∴△EMC ∽△AFC ．∴2= （EMC AFC S EC S AC．…………………………………………………………（１分）∵EC =3，AC=1=96=272 AFC S ，∴27=8EMC S ．……………（1分）（ii ）当点E 在边BC 延长线上时．易证△EMC ∽△AMF ，△AMF ∽△AFC ．∴△EMC ∽△AFC ．∴2= （EMC AFC S EC S AC．…………………………………………………………（１分）∵EC =3，AC=1=156=452AFC S ，∴45=8EMC S ．……………（1分）综上所述，△EMC 的面积为278或458．。

2022年上海市中考数学第一次模拟试题 考试时间：90分钟；命题人：教研组 考生注意： 1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列分数中，最简分数是（ ）A ．69B ．24C ．46D ．292、下列说法中，正确的是（ ） A ．整数包括正整数和负整数 B ．自然数都是正整数C ．一个数能同时被2、3整除，也一定能被6整除D ．若0.3m n ÷=，则n 一定能整除m3、下列四条线段为成比例线段的是 （ ）A ．a ＝10，b ＝5，c ＝4，d ＝7B ．a ＝1，bc，dC ．a ＝8，b ＝5，c ＝4，d ＝3D ．a ＝9，bc ＝3，d4、关于x 的方程5264x a a x -=+-的解是非负数，则a 的取值范围是（ ） A ．1a ≥ B ．1a ≤- C ．1a ≥- D ．0a ≥ ·线○封○密○外5、二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y＝ax+c在同一坐标系中的图象大致为（）A．B．C．D．6、下列说法中正确的是（）A．符号相反的两个数互为相反数B．0是最小的有理数C．规定了原点、方向和单位长度的射线叫做数轴D．0既不是正数，也不是负数〈〉=，不超过7的素数有2、3、5、7共4 7、x是正整数，x〈〉表示不超过x的素数的个数．如：74〈〈〉+〈〉+〈〉⨯〈〉⨯〈〉〉的值是（）个，那么2395134188A．9 B．10 C．11 D．128、下列命题正确的有几个（）①如果整数a能被整数b（不为0）除尽，那么就说a能被b整除；②任何素数加上1都成为偶数；③一个合数一定可以写成几个素数相乘的形式；④连续的两个正整数，它们的公因数是1．A．0 B．1 C．2 D．39、下列哪个数不能和2，3，4组成比例（）A ．1B ．1.5C ．223D ．6 10、下面分数中可以化为有限小数的是（ ） A ．764 B ．730 C ．7172 D ．1272 第Ⅱ卷（非选择题 70分） 二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分） 1、若3423x =，则x =______． 2、一个扇形面积等于这个扇形所在圆面积的25，则这个扇形的圆心角是______． 3、若23a b =，则a a b =+________． 4、13小时=________分钟． 5、求比值：125克：0.5千克=_______________ 三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分） 1、已知：:2:3a b =，(5):()2:3a b x ++=，求x 的值 2、计算：1743.51 1.252 3.84105⨯+⨯-÷． 3、一条公路长1500米，已修好900米，还需修全长的几分之几？ 4、将6本相同厚度的书叠起来，它们的高度为14厘米，再将15本这样相同厚度的书叠在上面，那么这叠书的总高度是多少厘米？ 5、求19962的末三位是多少．-参考答案- 一、单选题·线○封○密○外1、D【分析】根据最简分数是分子，分母只有公因数1的分数即可得出答案．【详解】∵622142=== 934263，，，∴29是最简分数，故选：D．【点睛】本题主要考查最简分数，掌握最简分数的定义是解题的关键．2、C【分析】根据整数的分类，自然数的定义，倍数与约数，可得答案．【详解】解：A、整数包括正整数、零和负整数，故A错误；B、自然数都是非负整数，故B错误；C、一个数能同时被2、3整除，也一定能被6整除，故C正确；D、m÷n=整数，则n一定能整除m，故D错误；故选：C．【点睛】本题考查了有理数，整数包括正整数、零和负整数，注意自然数都是非负整数．3、B【详解】A ．从小到大排列，由于5×7≠4×10，所以不成比例，不符合题意； B1=，所以成比例，符合题意； C ．从小到大排列，由于4×5≠3×8，所以不成比例，不符合题意； D故选B ． 【点睛】 本题考查线段成比例的知识．解决本类问题只要计算最大最小数的积以及中间两个数的积，判断是否相等即可，相等即成比例，不相等不成比例． 4、C 【分析】 先求出方程的解，然后根据题意得到含参数的不等式求解即可． 【详解】 解：由5264x a a x -=+-，方程的解为1x a =+， ∴10a +≥，即1a ≥-． 故选C ． 【点睛】 本题主要考查一元一次方程的解及一元一次不等式的解，熟练掌握运算方法是解题的关键． 5、D 【分析】 观察两图象，分别确定,a c 的取值范围，即可求解． 【详解】·线○封○密○外解：A 、抛物线图象，开口向下，即0a < ，而一次函数图象自左向右呈上升趋势，则0a > ，相矛盾，故本选项错误，不符合题意；B 、抛物线图象与y 轴交于负半轴，即0c < ，而一次函数图象与y 轴交于正半轴，0c > ，相矛盾，故本选项错误，不符合题意；C 、抛物线图象，开口向上，即0a > ，而一次函数图象自左向右呈下降趋势，即0a < ，相矛盾，故本选项错误，不符合题意；D 、抛物线图象，开口向下，即0a < ，一次函数图象自左向右呈下降趋势，即0a < ，两图象与y 轴交于同一点，即c 相同，故本选项正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题主要考查了二次函数、一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数20y ax bx c a ++≠＝（） a 决定抛物线的开口方向，c 决定抛物线与y 轴的交点位置是解题的关键．6、D【分析】根据有理数的相关概念直接进行排除选项即可．【详解】A 、符号相反的两个数不一定是相反数，如4和-3，故错误；B 、0不是最小的有理数，还有负数比它小，故错误；C 、规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，故错误；D 、0既不是正数也不是负数，故正确．故选D ．【点睛】本题主要考查相反数、数轴及零的意义，熟练掌握各个知识点是解题的关键．7、C【分析】根据题意所给定义新运算及素数与合数的概念直接进行求解．【详解】解：23〈〉表示不超过23的素数有2、3、5、7、11、13、17、19、23共九个，则23=9〈〉；95〈〉表示不超过95的素数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89共24个，则有95=24〈〉， 由1=0〈〉可得134188=0〈〉⨯〈〉⨯〈〉； 2395134188=33=11∴〈〈〉+〈〉+〈〉⨯〈〉⨯〈〉〉〈〉； 故选C ． 【点睛】 本题主要考查素数与合数，熟练掌握素数与合数的概念是解题的关键． 8、C 【分析】 ①除尽是指被除数除以除数（除数≠0），除到最后没有余数，就说一个数能被另一个数除尽；而整除是指一个整数除以一个非0整数，得到的商是整数还没有余数，就说一个数能被另一个数整除； ②根据质数的定义，2为最小的质数，但是2+1=3，3为质数； ③根据合数的定义：一个数除了1和它本身以外还有别的因数，这样的数叫做合数，分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，所以任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式； ④相邻的两个正整数是互质数，互质数的公因数是1，由此即可解答． 【详解】 ①根据“整除”和“除尽”概念的不同，可知能被b 除尽的数不一定能被b 整除． 如：15÷2=7.5，15能被2除尽，但不能被2整除，故①错误； ②由于2为最小的质数，2+1=3，3为奇数，所以任何质数加1都成为偶数的说法是错误的，故②错误；·线○封○密○外③任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式，故③正确；④根据相邻的两个自然数是互质数，互质数的公因数是1，故④正确；综上，正确的是③和④，共2个．故选：C．【点睛】本题考查了数的整除，合数的定义以及分解质因数的意义，因数、公因数的概念，解题的关键是理解“整除”和“除尽”的意义以及两个数互质，最大公因数是1，最小公倍数是它们的积．9、A【分析】根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积逐一分析即可．【详解】解：根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，则：A．1423⨯≠⨯，不可以组成比例；B．1.5423⨯=⨯，可以组成比例；C．223243⨯=⨯，可以组成比例；D．2634⨯=⨯，可以组成比例；故选：A．【点睛】本题考查比例，掌握比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积是解题的关键．10、A【分析】根据题意可直接进行分数化简小数，然后排除选项即可．【详解】A 、7=0.10937564，故符合题意；B 、7=0.2330，故不符合题意； C 、71=1.097272，故不符合题意； D 、72=2.58312，故不符合题意； 故选A ．【点睛】 本题主要考查分数化小数，熟练掌握分数化小数是解题的关键． 二、填空题 1、89 【分析】 根据等式的基本性质解方程即可． 【详解】 解：3423x = 34232233x ⨯=⨯ 89x = 故答案为：89． 【点睛】 此题考查的是解方程，掌握等式的基本性质是解题关键． ·线○封○密○外2、144°【分析】由题意可知：扇形面积占圆面积的25，则其圆心角也占圆的度数的25，而整圆是360°，所以就能求出圆心角是多少度．【详解】解：360°×25=144°故答案为：144°．【点睛】此题主要考查圆的面积的计算方法以及在同圆或等圆中，扇形面积与圆面积的比等于扇形圆心角与圆周角度数的比．3、2 5【分析】根据23ab=，得到23a b=，代入式子计算即可．【详解】解：∵23ab=，∴23a b =，∴2233232553aa b b bb bb+===+，故答案为：25．【点睛】此题考查分式的求值以及比例式恒等变形能力，掌握等式的性质变形得到23a b =是解题的关键． 4、20 【分析】 根据1小时等于60分钟换算即可．【详解】 13小时=160=203⨯分钟， 故答案为：20． 【点睛】 本题主要考查单位的换算，掌握小时和分钟之间的换算是解题的关键． 5、14 【分析】 先统一单位，再用比的前项除以比的后项，据此解答． 【详解】 解：125克：0.5千克 =125克：500克 =125÷500 =14 故答案为：14． 【点睛】 本题主要考查了求比值方法的掌握情况，注意要先统一单位． ·线○封○密○外三、解答题1、152【分析】根据:2:3a b =可用a 表示b 并代入(5):()2:3a b x ++=中化简即可抵消a ，解出x ．【详解】解：因为:2:3a b =， 所以32b a =， 所以3(5):()2:32a a x ++=， 即33(5)2()2a a x +=⋅+ 31532a a x +=+ 解得152x =． 【点睛】本题考查比的性质．化简过程中注意内项之积等于外项之积．2、3【分析】把分数统一成小数，除法运算转化成乘法运算，再利用乘法分配律计算．【详解】1743.51 1.252 3.84105⨯+⨯-÷ 3.5 1.25 1.25 2.7 3.8 1.25=⨯+⨯-⨯1.25(3.52.73.8)=⨯+-1.252.4=⨯3=． 【点睛】 本题考查了有理数的加减乘除混合运算，运用乘法分配律能使计算简便． 3、25 【分析】 先求出剩下的米数，再用剩下的米数除以公路的总长度即可． 【详解】 解：（1500-900）÷1500， =600÷1500， =25， 答：还需修全长的25． 【点睛】 本题属于求一个数是另一个数几分之几，只要找准对应量，用除法计算即可．4、49厘米【分析】先算出每本书的厚度，再乘以书的总本数即可得到解答．【详解】 解：由题意得：()14615496⨯+=，∴这叠书的总高度是49厘米， 答：这叠书的总高度是49厘米． 【点睛】 ·线○封○密·○外本题考查乘除法的综合应用，根据不同的问题情境采用不同的列式计算方法是解题关键．5、336．【分析】末三位从2的一次方开始：002，004，008，016，032，064，128，256，512，024，048，096，192,，384，768，536，072，144，288，576，152，304，608，216，432，……504，008，因此找到一个规律就是：末位数有008的循环，即从2的3次方开始，到2的103次方，每100次出现末三位008的循环．因此199631993-=，1993/100余93，因此从008向前找7个即为336，依此即可求解．【详解】解：末三位从2的一次方开始：002，004，008，016，032，064，128，256，512，024，048，096，192,，384，768，536，072，144，288，576，152，304，608，216，432，……504，008，因此找到一个规律就是：末位数有008的循环，即从2的3次方开始，到2的103次方，每100次出现末三位008的循环．因此199631993-=，1993/100余93，因此从008向前找7个即为336．故答案为：336．【点睛】本题主要考查了数字类规律探索，解题的关键是从简单的乘方运算开始，通过运算找出规律解决问题．。

2022年上海市浦东新区中考数学一模试卷一.选择题〔本大题共6题，每题4分，共24分〕1．在以下y关于x的函数中，一定是二次函数的是〔〕A．y=2x2B．y=2x﹣2 C．y=ax2D．2．如果向量、、满足+=〔﹣〕，那么用、表示正确的选项是〔〕A．B．C．D．3．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，BC=2，那么AB的长等于〔〕A．B．2sinαC．D．2cosα4．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD=2，BD=4，那么由以下条件能够判断DE∥BC 的是〔〕A．B．C．D．5．如图，△ABC的两条中线AD、CE交于点G，且AD⊥CE，联结BG并延长与AC交于点F，如果AD=9，CE=12，那么以下结论不正确的选项是〔〕A．AC=10 B．AB=15 C．BG=10 D．BF=156．如果抛物线A：y=x2﹣1通过左右平移得到抛物线B，再通过上下平移抛物线B得到抛物线C：y=x2﹣2x+2，那么抛物线B的表达式为〔〕A．y=x2+2 B．y=x2﹣2x﹣1 C．y=x2﹣2x D．y=x2﹣2x+1二.填空题〔本大题共12题，每题4分，共48分〕7．线段a=3cm，b=4cm，那么线段a、b的比例中项等于cm．8．点P是线段AB上的黄金分割点，PB＞PA，PB=2，那么PA= ．9．||=2，||=4，且和反向，用向量表示向量= ．10．如果抛物线y=mx2+〔m﹣3〕x﹣m+2经过原点，那么m= ．11．如果抛物线y=〔a﹣3〕x2﹣2有最低点，那么a的取值范围是．12．在一个边长为2的正方形中挖去一个边长为x〔0＜x＜2〕的小正方形，如果设剩余局部的面积为y，那么y关于x的函数解析式是．13．如果抛物线y=ax2﹣2ax+1经过点A〔﹣1，7〕、B〔x，7〕，那么x= ．14．二次函数y=〔x﹣1〕2的图象上有两个点〔3，y1〕、〔，y2〕，那么y1y2〔填“＞〞、“=〞或“＜〞〕15．如图，小鱼同学的身高〔CD〕是1.6米，她与树〔AB〕在同一时刻的影子长分别为DE=2米，BE=5米，那么树的高度AB= 米．16．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线BD与中位线EF交于点G，假设AD=2，EF=5，那么FG= ．17．如图，点M是△ABC的角平分线AT的中点，点D、E分别在AB、AC边上，线段DE过点M，且∠ADE=∠C，那么△ADE和△ABC的面积比是．18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，点B、C分别落在点B'、C'处，联结BC'与AC边交于点D，那么= ．三.解答题〔本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14=78分〕19．计算：2cos230°﹣sin30°+．20．如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD上一点，且DE=2，CE=3，射线AE与射线BC相交于点F；〔1〕求的值；〔2〕如果=， =，求向量；〔用向量、表示〕21．如图，在△ABC中，AC=4，D为BC上一点，CD=2，且△ADC与△ABD的面积比为1：3；〔1〕求证：△ADC∽△BAC；〔2〕当AB=8时，求sinB．22．如图，是某广场台阶〔结合轮椅专用坡道〕景观设计的模型，以及该设计第一层的截面图，第一层有十级台阶，每级台阶的高为0.15米，宽为0.4米，轮椅专用坡道AB的顶端有一个宽2米的水平面BC；?城市道路与建筑物无障碍设计标准?第17条，新建轮椅专用坡道在不同坡度的情况下，坡道高度应符合以下表中的规定：坡度1：20 1：16 1：12最大高度〔米〕 1.50 1.00 0.75〔1〕选择哪个坡度建设轮椅专用坡道AB是符合要求的？说明理由；〔2〕求斜坡底部点A与台阶底部点D的水平距离AD．23．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E是边BC上的两个点，且BD=DE=EC，过点C作CF∥AB交AE延长线于点F，连接FD并延长与AB交于点G；〔1〕求证：AC=2CF；〔2〕连接AD，如果∠ADG=∠B，求证：CD2=AC•CF．24．顶点为A〔2，﹣1〕的抛物线经过点B〔0，3〕，与x轴交于C、D两点〔点C在点D的左侧〕；〔1〕求这条抛物线的表达式；〔2〕联结AB、BD、DA，求△ABD的面积；〔3〕点P在x轴正半轴上，如果∠APB=45°，求点P的坐标．25．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是射线CB上的动点，点F是射线CD上一点，且AF⊥AE，射线EF与对角线BD交于点G，与射线AD交于点M；〔1〕当点E在线段BC上时，求证：△AEF∽△ABD；〔2〕在〔1〕的条件下，联结AG，设BE=x，tan∠MAG=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；〔3〕当△AGM与△ADF相似时，求BE的长．2022年上海市浦东新区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一.选择题〔本大题共6题，每题4分，共24分〕1．在以下y关于x的函数中，一定是二次函数的是〔〕A．y=2x2B．y=2x﹣2 C．y=ax2D．【考点】二次函数的定义．【分析】根据二次函数的定义形如y=ax2+bx+c 〔a≠0〕是二次函数．【解答】解：A、是二次函数，故A符合题意；B、是一次函数，故B错误；C、a=0时，不是二次函数，故C错误；D、a≠0时是分式方程，故D错误；应选：A．【点评】此题考查二次函数的定义，形如y=ax2+bx+c 〔a≠0〕是二次函数．2．如果向量、、满足+=〔﹣〕，那么用、表示正确的选项是〔〕A．B．C．D．【考点】*平面向量．【分析】利用一元一次方程的求解方法，求解此题即可求得答案．【解答】解：∵ +=〔﹣〕，∴2〔+〕=3〔﹣〕，∴2+2=3﹣2，∴2=﹣2，解得： =﹣．应选D．【点评】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握一元一次方程的求解方法是解此题的关键．3．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，BC=2，那么AB的长等于〔〕A．B．2sinαC．D．2cosα【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据锐角三角函数的定义得出sinA=，代入求出即可．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，BC=2，∴sinA=，∴AB==，应选A．【点评】此题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键，注意：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，那么sinA=，cosA=，tanA=．4．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD=2，BD=4，那么由以下条件能够判断DE∥BC 的是〔〕A．B．C．D．【考点】平行线分线段成比例；平行线的判定；相似三角形的判定与性质．【分析】先求出比例式，再根据相似三角形的判定得出△ADE∽△ABC，根据相似推出∠ADE=∠B，根据平行线的判定得出即可．【解答】解：只有选项C正确，理由是：∵AD=2，BD=4， =，∴==，∵∠DAE=∠BAC，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE=∠B，∴DE∥BC，根据选项A、B、D的条件都不能推出DE∥BC，应选C．【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．5．如图，△ABC的两条中线AD、CE交于点G，且AD⊥CE，联结BG并延长与AC交于点F，如果AD=9，CE=12，那么以下结论不正确的选项是〔〕A．AC=10 B．AB=15 C．BG=10 D．BF=15【考点】三角形的重心．【分析】根据题意得到点G是△ABC的重心，根据重心的性质得到AG=AD=6，CG=CE=8，EG=CE=4，根据勾股定理求出AC、AE，判断即可．【解答】解：∵△ABC的两条中线AD、CE交于点G，∴点G是△ABC的重心，∴AG=AD=6，CG=CE=8，EG=CE=4，∵AD⊥CE，∴AC==10，A正确；AE==2，∴AB=2AE=4，B错误；∵AD⊥CE，F是AC的中点，∴GF=AC=5，∴BG=10，C正确；BF=15，D正确，应选：B．【点评】此题考查的是三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．6．如果抛物线A：y=x2﹣1通过左右平移得到抛物线B，再通过上下平移抛物线B得到抛物线C：y=x2﹣2x+2，那么抛物线B的表达式为〔〕A．y=x2+2 B．y=x2﹣2x﹣1 C．y=x2﹣2x D．y=x2﹣2x+1【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】平移不改变抛物线的开口方向与开口大小，即解析式的二次项系数不变，根据抛物线的顶点式可求抛物线解析式．【解答】解：抛物线A：y=x2﹣1的顶点坐标是〔0，﹣1〕，抛物线C：y=x2﹣2x+2=〔x﹣1〕2+1的顶点坐标是〔1，1〕．那么将抛物线A向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到抛物线C．所以抛物线B是将抛物线A向右平移1个单位得到的，其解析式为y=〔x﹣1〕2﹣1=x2﹣2x．应选：C．【点评】此题考查了抛物线的平移与解析式变化的关系．关键是明确抛物线的平移实质上是顶点的平移，能用顶点式表示平移后的抛物线解析式．二.填空题〔本大题共12题，每题4分，共48分〕7．线段a=3cm，b=4cm，那么线段a、b的比例中项等于2cm．【考点】比例线段．【分析】根据线段的比例中项的定义列式计算即可得解．【解答】解：∵线段a=3cm，b=4cm，∴线段a、b的比例中项==2cm．故答案为：2．【点评】此题考查了比例线段，熟记线段比例中项的求解方法是解题的关键，要注意线段的比例中项是正数．8．点P是线段AB上的黄金分割点，PB＞PA，PB=2，那么PA= ﹣1 ．【考点】黄金分割．【分析】根据黄金分割的概念和黄金比值是计算即可．【解答】解：∵点P是线段AB上的黄金分割点，PB＞PA，∴PB=AB，解得，AB=+1，∴PA=AB﹣PB=+1﹣2=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】此题考查的是黄金分割的概念和性质，把线段AB分成两条线段AC和BC〔AC＞BC〕，且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割．9．||=2，||=4，且和反向，用向量表示向量= ﹣2．【考点】*平面向量．【分析】根据向量b向量的模是a向量模的2倍，且和反向，即可得出答案．【解答】解：||=2，||=4，且和反向，故可得： =﹣2．故答案为：﹣2．【点评】此题考查了平面向量的知识，关键是得出向量b向量的模是a向量模的2倍．10．如果抛物线y=mx2+〔m﹣3〕x﹣m+2经过原点，那么m= 2 ．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】根据图象上的点满足函数解析式，可得答案．【解答】解：由抛物线y=mx2+〔m﹣3〕x﹣m+2经过原点，得﹣m+2=0．解得m=2，故答案为：2．【点评】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，把原点代入函数解析式是解题关键．11．如果抛物线y=〔a﹣3〕x2﹣2有最低点，那么a的取值范围是a＞3 ．【考点】二次函数的最值．【分析】由于原点是抛物线y=〔a+3〕x2的最低点，这要求抛物线必须开口向上，由此可以确定a的范围．【解答】解：∵原点是抛物线y=〔a﹣3〕x2﹣2的最低点，∴a﹣3＞0，即a＞3．故答案为a＞3．【点评】此题主要考查二次函数的最值的知识点，解答此题要掌握二次函数图象的特点，此题比拟根底．12．在一个边长为2的正方形中挖去一个边长为x〔0＜x＜2〕的小正方形，如果设剩余局部的面积为y，那么y关于x的函数解析式是y=﹣x2+4〔0＜x＜2〕．【考点】函数关系式．【分析】根据剩下局部的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积得出y与x的函数关系式即可．【解答】解：设剩下局部的面积为y，那么：y=﹣x2+4〔0＜x＜2〕，故答案为：y=﹣x2+4〔0＜x＜2〕．【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用剩下局部的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积得出是解题关键．13．如果抛物线y=ax2﹣2ax+1经过点A〔﹣1，7〕、B〔x，7〕，那么x= 3 ．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】首先求出抛物线的对称轴方程，进而求出x的值．【解答】解：∵抛物线的解析式为y=ax2﹣2ax+1，∴抛物线的对称轴方程为x=1，∵图象经过点A〔﹣1，7〕、B〔x，7〕，∴=1，∴x=3，故答案为3．【点评】此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出抛物线的对称轴，此题难度不大．14．二次函数y=〔x﹣1〕2的图象上有两个点〔3，y1〕、〔，y2〕，那么y1＜y2〔填“＞〞、“=〞或“＜〞〕【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】把两点的横坐标代入函数解析式分别求出函数值即可得解．【解答】解：当x=3时，y1=〔3﹣1〕2=4，当x=时，y2=〔﹣1〕2=，y1＜y2，故答案为＜．【点评】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据函数图象上的点满足函数解析式求出相应的函数值是解题的关键．15．如图，小鱼同学的身高〔CD〕是1.6米，她与树〔AB〕在同一时刻的影子长分别为DE=2米，BE=5米，那么树的高度AB= 4 米．【考点】相似三角形的应用．【分析】由CD⊥BE、AB⊥BE知CD∥AB，从而得△CDE∽△ABE，由相似三角形的性质有=，将相关数据代入计算可得．【解答】解：由题意知CD⊥BE、AB⊥BE，∴CD∥AB，∴△CDE∽△ABE，∴=，即=，解得：AB=4，故答案为：4．【点评】此题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．16．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线BD与中位线EF交于点G，假设AD=2，EF=5，那么FG= 4 ．【考点】梯形中位线定理．【分析】根据梯形中位线性质得出EF∥AD∥BC，推出DG=BG，那么EG是△ABD的中位线，即可求得EG的长，那么FG即可求得．【解答】解：∵EF是梯形ABCD的中位线，∴EF∥AD∥BC，∴DG=BG，∴EG=AD=×2=1，∴FG=EF﹣EG=5﹣1=4．故答案是：4．【点评】此题考查了梯形的中位线，三角形的中位线的应用，主要考查学生的推理能力和计算能力．17．如图，点M是△ABC的角平分线AT的中点，点D、E分别在AB、AC边上，线段DE过点M，且∠ADE=∠C，那么△ADE和△ABC的面积比是1：4 ．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】解：∵AT是△ABC的角平分线，∵点M是△ABC的角平分线AT的中点，∴AM=AT，∵∠ADE=∠C，∠BAC=∠BAC，∴△ADE∽△ACB，∴=〔〕2=〔〕2=1：4，故答案为：1：4．【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，点B、C分别落在点B'、C'处，联结BC'与AC边交于点D，那么= ．【考点】旋转的性质．【分析】根据直角三角形的性质得到BC=AB，根据旋转的性质和平行线的判定得到AB∥B′C′，根据平行线分线段成比例定理计算即可．【解答】解：∵∠C=90°，∠B=60°，∴∠BAC=30°，∴BC=AB，由旋转的性质可知，∠CAC′=60°，AB′=A B，B′C′=BC，∠C′=∠C=90°，∴∠BAC′=90°，∴AB∥B′C′，∴===，∴=，∵∠BAC=∠B′AC，∴==，又=，∴=，故答案为：．【点评】此题考查的是旋转变换的性质，掌握对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角、旋转前、后的图形全等是解题的关键．三.解答题〔本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14=78分〕19．计算：2cos230°﹣sin30°+．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：原式=2×〔〕2﹣+=1++．【点评】此题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．20．如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD上一点，且DE=2，CE=3，射线AE与射线BC相交于点F；〔1〕求的值；〔2〕如果=， =，求向量；〔用向量、表示〕【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质；*平面向量．【分析】〔1〕根据平行四边形的性质得出AB=5、AB∥EC，证△FEC∽△FAB得==；〔2〕由△FEC∽△FAB得=，从而知FC=BC，EC=AB，再由平行四边形性质及向量可得==， ==，最后根据向量的运算得出答案．【解答】解：〔1〕∵四边形ABCD是平行四边形，DE=2，CE=3，∴AB=DC=DE+CE=5，且AB∥EC，∴△FEC∽△FAB，∴==；〔2〕∵△FEC∽△FAB，∴=，∴FC=BC，EC=AB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，EC∥AB，∴==，∴==， ==，那么=+=．【点评】此题主要考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质及向量的运算，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．21．如图，在△ABC中，AC=4，D为BC上一点，CD=2，且△ADC与△ABD的面积比为1：3；〔1〕求证：△ADC∽△BAC；〔2〕当AB=8时，求sinB．【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形．【分析】〔1〕作AE⊥BC，根据△ADC与△ABD的面积比为1：3且CD=2可得BD=6，即BC=8，从而得，结合∠C=∠C，可证得△ADC∽△BAC；〔2〕由△ADC∽△BAC得，求出AD的长，根据AE⊥BC得DE=CD=1，由勾股定理求得AE 的长，最后根据正弦函数的定义可得．【解答】解：〔1〕如图，作AE⊥BC于点E，∵===，∴BD=3CD=6，∴CB=CD+BD=8，那么=，，∴，∵∠C=∠C，∴△ADC∽△BAC；〔2〕∵△ADC∽△BAC，∴，即，∴AD=AC=4，∵AE⊥BC，∴DE=CD=1，∴AE==，∴sinB==．【点评】此题主要考查相似三角形的判定与性质及勾股定理、等腰三角形的性质、三角函数的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．22．如图，是某广场台阶〔结合轮椅专用坡道〕景观设计的模型，以及该设计第一层的截面图，第一层有十级台阶，每级台阶的高为0.15米，宽为0.4米，轮椅专用坡道AB的顶端有一个宽2米的水平面BC；?城市道路与建筑物无障碍设计标准?第17条，新建轮椅专用坡道在不同坡度的情况下，坡道高度应符合以下表中的规定：坡度1：20 1：16 1：12最大高度〔米〕 1.50 1.00 0.75〔1〕选择哪个坡度建设轮椅专用坡道AB是符合要求的？说明理由；〔2〕求斜坡底部点A与台阶底部点D的水平距离AD．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】〔1〕计算最大高度为：0.15×10=1.5〔米〕，由表格查对应的坡度为：1：20；〔2〕作梯形的高BE、CF，由坡度计算AE和DF的长，相加可得AD的长．【解答】解：〔1〕∵第一层有十级台阶，每级台阶的高为0.15米，∴最大高度为0.15×10=1.5〔米〕，由表知建设轮椅专用坡道AB选择符合要求的坡度是1：20；〔2〕如图，过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F，∴BE=CF=1.5，EF=BC=2，∵=，∴=，∴AE=DF=30，∴AD=AE+EF+DF=60+2=62，答：斜坡底部点A与台阶底部点D的水平距离AD为62米．【点评】此题考查了坡度坡角问题，在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，利用三角函数的定义列等式即可．23．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E是边BC上的两个点，且BD=DE=EC，过点C作CF∥AB交AE 延长线于点F，连接FD并延长与AB交于点G；〔1〕求证：AC=2CF；〔2〕连接AD，如果∠ADG=∠B，求证：CD2=AC•CF．【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．【分析】〔1〕由BD=DE=EC知BE=2CE，由CF∥AB证△ABE∽△FCE得=2，即AB=2FC，根据AB=AC即可得证；〔2〕由∠1=∠B证△DAG∽△BAD得∠AGD=∠ADB，即∠B+∠2=∠5+∠6，结合∠B=∠5、∠2=∠3得∠3=∠6，再由CF∥AB得∠4=∠B，继而知∠4=∠5，即可证△ACD∽△DCF得CD2=AC•CF．【解答】证明：〔1〕∵BD=DE=EC，∴BE=2CE，∵CF∥AB，∴△ABE∽△FCE，∴=2，即AB=2FC，又∵AB=AC，∴AC=2CF；〔2〕如图，∵∠1=∠B，∠DAG=∠BAD，∴△DAG∽△BAD，∴∠AGD=∠ADB，∴∠B+∠2=∠5+∠6，又∵AB=AC，∠2=∠3，∴∠B=∠5，∴∠3=∠6，∵CF∥AB，∴∠4=∠B，∴∠4=∠5，那么△ACD∽△DCF，∴，即CD2=AC•CF．【点评】此题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握三角形外角性质和平行线的性质得出三角形相似所需要的条件是解题的关键．24．顶点为A〔2，﹣1〕的抛物线经过点B〔0，3〕，与x轴交于C、D两点〔点C在点D的左侧〕；〔1〕求这条抛物线的表达式；〔2〕联结AB、BD、DA，求△ABD的面积；〔3〕点P在x轴正半轴上，如果∠APB=45°，求点P的坐标．【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式．【分析】〔1〕设抛物线的解析式为y=a〔x﹣2〕2﹣1，把〔0，3〕代入可得a=1，即可解决问题．〔2〕首先证明∠ADB=90°，求出BD、AD的长即可解决问题．〔3〕由△PDB∽△ADP，推出PD2=BD•AD=3=6，由此即可解决问题．【解答】解：〔1〕∵顶点为A〔2，﹣1〕的抛物线经过点B〔0，3〕，∴可以假设抛物线的解析式为y=a〔x﹣2〕2﹣1，把〔0，3〕代入可得a=1，∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3．〔2〕令y=0，x2﹣4x+3=0，解得x=1或3，∴C〔1，0〕，D〔3，0〕，∵OB=OD=3，∴∠BDO=45°，∵A〔2，﹣1〕，D〔3，0〕，∴∠ADO=45°，∴∠BDA=90°，∵BD=3，AD=，∴S△ABD=•BD•AD=3．〔3〕∵∠BDO=∠DPB+∠DBP=45°，∠APB=∠DPB+∠DPA=45°，∴∠DBP=∠APD，∵∠PDB=∠ADP=135°，∴△PDB∽△ADP，∴PD2=BD•AD=3=6，∴PD=，∴OP=3+，∴点P〔3+，0〕．【点评】此题考查二次函数与x轴的交点、待定系数法．三角形的面积、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．25．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是射线CB上的动点，点F是射线CD上一点，且AF⊥AE，射线EF与对角线BD交于点G，与射线AD交于点M；〔1〕当点E在线段BC上时，求证：△AEF∽△ABD；〔2〕在〔1〕的条件下，联结AG，设BE=x，tan∠MAG=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；〔3〕当△AGM与△ADF相似时，求BE的长．【考点】相似形综合题．【分析】〔1〕首先证明△ABE∽△ADF，推出=，推出=，因为∠BAD=∠EAF，即可证明△AEF∽△ABD．〔2〕如图连接AG．由△AEF∽△ABD，推出∠ABG=∠AEG，推出A、B、E、G四点共圆，推出∠ABE+∠AGE=180°，由∠ABE=90°，推出∠AGE=90°，推出∠AGM=∠MDF，推出∠AMG=∠FMD，推出∠MAG=∠EFC，推出y=tan∠MAG=tan∠EFC=，由△ABE∽△ADF，得=，得DF=x，由此即可解决问题．〔3〕分两种情形①如图2中，当点E在线段CB上时，②如图3中，当点E在CB的延长线上时，分别列出方程求解即可．【解答】〔1〕证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ADC=∠ADF=90°，∵AF⊥AE，∴∠EAF=90°，∴∠BAD=∠EAF，∴∠BAE=∠DAF，∵∠ABE=∠ADF=90°，∴△ABE∽△ADF，∴=，∴=，∵∠BAD=∠EAF，∴△AEF∽△ABD．〔2〕解：如图连接AG．∵△AEF∽△ABD，∴∠ABG=∠AEG，∴A、B、E、G四点共圆，∴∠ABE+∠AGE=180°，∵∠ABE=90°，∴∠AGE=90°，∴∠AGM=∠MDF，∴∠AMG=∠FMD，∴∠MAG=∠EFC，∴y=tan∠MAG=tan∠EFC=，∵△ABE∽△ADF，∴=，∴DF=x，∴y=，即y=〔0≤x≤4〕．〔3〕解：①如图2中，当点E在线段CB上时，∵△AGM∽ADF，∴tan∠MAG==，∴=，解得x=．②如图3中，当点E在CB的延长线上时，由△MAG∽△AFD∽△EFC，∴=，∴=，解得x=1，∴BE的长为或1．【点评】此题考查相似形综合题、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、四点共圆等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．。

2021-2022学年上海市浦东新区九年级上学期期末数学试卷(一模)一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1. 已知a b =c d ，则下列等式中不成立的是( ) A. a c =b dB. a−2b b =c−2d dC.b−a a =d−c c D. a+b b+c =c d 2. 如图，在△ABC 中，若∠C =Rt∠，则( )A. sinA =acB. sinA =b cC. cosB =b cD. cosB =b a3. 下列函数中，y 关于x 的二次函数的是( ) A. y =x 3+2x 2+3B. y =−1x 2C. y =x 2+xD. y =mx 2+x +1 4. 下列等式一定正确的是( )A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗B. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ C. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗D. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 5. 如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，且点C 是弧BD 的中点．过点C 作AD 的垂线EF 交直线AD 于点E.若⊙O 的半径为2.5，AC 的长度为4，则CE 的长度为( )A. 3B. 203C. 125D. 1656.如图，OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛物线(a<0)的图象上，则a的值为()A.B.C.D.二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.如果地图上A，B两处的图距是4cm，表示这两地实际的距离是20km，那么实际距离500km的两地在地图上的图距是______ cm．8.设计人体雕像时，使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比，等于下部与全部(全身)的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m，那么上部应设计为多高？设雕像的上部高x m，列方程，并化成一般形式是______．9.计算：√12+√13−sin60°=______ ．10.如图1是两扇推拉门，AB是门槛，AD，BC是可转动门宽，现将两扇门推到如图2的位置(平面示意图)，其中tan∠DAB=512，tan∠CBA=34，测得C，D间的距离为4√130dm，则门槛AB的长为______dm．11.已知点A、B都在反比例函数y=6x(x>0)的图象上，其横坐标分别是m、n(m<n).过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别是C、D；过点B分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别是E、F，AC与BF交于点P.当点P在线段DE上，且m(n−2)=3时，m的值等于______．12.平行四边形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，对边AD和BC之间的距离是4cm，则对边AB和CD间的距离是______cm．13.若二次函数y=−(x+1)2+ℎ的图象与线段y=x+2(−3≤x≤1)没有交点，则ℎ的取值范围是______ ．14.y=x2+kx+1与y=x2−x−k的图象相交，若有一个交点在x轴上，则k为______．15.如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB=3，BC=5，则tan∠DAE的值为______．16.如图，已知梯形ABCD中，AB//CD，AB=12，CD=9，过对角线的交点O作底边平行线与两腰交于点E，F，则OE的长为______．17.如果A(−1,y1)，B(−2,y2)是二次函数y=x2+m图象上的两个点，那么y1______ y2(填“<”或者“>”)18.如图，一组等距的平行线，点A、B、C分别在直线l1、l6、l4上，AB交l3于点D，AC交l3于点E，BC交于l5点F，若△DEF的面积为1，则△ABC的面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）19.如图，已知两个不平行的向量a⃗、b⃗ ．(1)化简：2(3a⃗−b⃗ )−(a⃗+b⃗ )；a⃗ .(不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量)．(2)求作c⃗，使得c⃗=b⃗ −1220.在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2−2mx+1图象与y轴的交点为A，将点A向右平移4个单位长度，向上平移1个单位长度得到点B．(1)直接写出点A的坐标为______ ，点B的坐标为______ ；(2)若函数y=x2−2mx+1的图象与线段AB恰有一个公共点，求m的取值范围．21.如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且DE//BC．(1)若AD=3，BD=6，AE=2.8，求EC的长；(2)若AB=12，BD=8，CE=7，求AE的长．22.如图，广场上空有一个气球A，地面上点B，C，D在一条直线上，BC=20m，在点B，C处分别测得气球A的仰角∠ABD为30°，∠ACD为45°.求气球A离地面的高度AD(结果保留根号)．23.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE//AC，EF//AB．(1)求证：△BDE∽△EFC；(2)若BC=12，AFFC =12，求线段BE的长．24.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0,3)，且抛物线的顶点坐标为(1,4)．(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，点D是第一象限抛物线上的一点，AD交y轴于点E，设点D的横坐标为m，设△CDE的面积为S，求S与m的函数关系式(不必写出自变量的取值范围)；(3)在(2)的条件下，连接AC，是否存在这样的点D，使得∠DAB=2∠ACO，若存在，求点D的坐标及相应的S的值，若不存在，请说明理由．25.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2.动点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿A→C→B的方向向终点B运动(点P不与△ABC的顶点重合).点P关于点C的对称点为点D，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PD、PQ为边作▱PDEQ.设▱PDEQ与△ABC.重叠部分的面积为S，点P的运动时间为t(s)(1)当点P在AC上运动时，用含t的代数式表示PD的长；(2)当点E落在△ABC的直角边上时，求t的值；(3)当▱PDEQ与△ABC重叠部分的图形是四边形时，求S与t之间的函数关系式．参考答案及解析1.答案：D解析：解：A、∵ab =cd，∴ac =bd，成立；B、∵a−2bb =c−2dd，∴ad−2bd=cb−2bd，∴ab=bc，∴等式成立；C、∵b−aa =d−cc，cb−ca=ad−ac，∴bc=ad，∴等式成立；D、∵a+bb+c =cd，∴ad+bd=bc+c2，∴等式不成立；故选：D．直接利用比例的性质以及等式的性质将各选项化简进而得出答案．此题主要考查了比例的性质，正确将原式变形是解题关键．2.答案：A解析：解：在△ABC中，若∠C=Rt∠，sinA=ac ，cosB=ac，故选：A．根据三角函数的定义即可得到结论．本题考查了三角函数的定义，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．3.答案：C解析：本题考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义是解题关键．根据二次函数的定义求解即可．解：A.是三次函数，故A 不符合题意；B .此函数关系的右边不是整式，故B 不符合题意；C .是二次函数，故C 符合题意；D .m =0时是一次函数，故D 不符合题意．故选C ．4.答案：D解析：解：A 、AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB⃗⃗⃗⃗⃗ ，故不符合题意． B 、AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，故不符合题意． C 、AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故不符合题意． D 、AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，故符合题意． 故选：D ．根据相等向量、平行向量以及三角形法则解答．本题主要考查了平面向量的知识，解题时需要注意：平面向量既有大小，又有方向．5.答案：C解析：解：连接BC ，∵点C 是弧BD 的中点，∴∠EAC =∠CAB ，又∵AB 为直径，AE ⊥EF ，∴∠AEC =∠ACB =90°，∴△EAC∽△CAB ，∴AC AB =EC BC ，∴EC =AC⋅BC AB =4×√52−425=125．故选：C ．根据直径所对的角是90°和等弧对等角判定相似，然后根据相似三角形的性质结合勾股定理求出CE 的长度．本题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定和性质和圆心角、弧、弦的关系，关键是在圆中寻找相等的角判定相似．6.答案：C解析：解析：试题分析：连接0B，如图，OABC是边长为1的正方形，由勾股定理得OB=，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在y轴上的投影为=；OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在x轴上的投影为=，由图知，点B在第四象限，所以点B坐标为(，−)；点B在抛物线(a<0)的图象上，所以，解得a=，所以选C考点：正方形，抛物线，三角函数点评：本题考查正方形，抛物线，三角函数，解答本题需要考生熟悉正方形的性质，掌握抛物线的概念和性质，掌握三角函数的概念7.答案：100解析：先设实际距离500km的两地在地图上的图距是xcm，根据图上距离比上实际距离等于比例尺，可得关于x的方程，解即可．本题考查了比例线段，解题的关键是根据比例尺不变得出等式．解：设实际距离500km的两地在地图上的图距是xcm，则4：2000000=x：50000000，解得x=100．故答案是100．8.答案：x2−6x+4=0解析：解：设雕像的上部高x m，则题意得：x 2−x =2−x2，整理得：x2−6x+4=0，故答案为：x2−6x+4=0设雕像的上部高x m ，则下部长为(2−x)m ，然后根据题意列出方程即可．本题考查了黄金分割，解题的关键在于读懂题目信息并列出比例式，难度不大．9.答案：76√3 解析：解：原式=2√3+√33−√32=76√3．故答案为：76√3．直接利用二次根式的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 10.答案：260解析：解：过D 作DF ⊥AB 于F ，过C 点作CG ⊥AB 于G ，过点D 作DE ⊥CG 于E ，则四边形DFGE 为矩形，∴DE =FG ，EG =DF ，∠DEC =90°，设AD =BC =x ，则AB =2x ，∵tan∠DAB =512，tan∠CBA =34， ∴sin∠A =513，sin∠B =35，∴DF =513x ，AF =1213x ，CG =35x ，BG =45x ，∴CE =CG −EG =CG −DF =35x −513x =1465x ， DE =FG =AB −AF −BG =2a −1213x −45x =1865x ，在Rt △CDE 中，DC =4√130dm ，DE 2+CE 2=DC 2，即(1865x)2+(1465x)2=(4√130)2，解得x =130，∴AB =2x =260dm ．过D 作DF ⊥AB 于F ，过C 点作CG ⊥AB 于G ，过点D 作DE ⊥CG 于E ，则四边形DFGE 为矩形，进而可得DE =FG ，EG =DF ，设AD =BC =x ，则AB =2x ，通过解直角三角形可求得CE =1465x ，DE =1865x ，利用勾股定理列式计算可求解x 值，进而求解AB 的值．本题主要考查解直角三角形的应用，构造直角△CDE 是解题的关键．11.答案：1+√72 解析：本题考查了反比例函数的性质：反比例函数y =kx (k ≠0)的图象是双曲线；当k >0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小；当k <0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大．解：如图，A(m,6m )，B(n,6n )，则P(m,6n)， ∵点P 在线段DE 上，AD//CE ，∴△ADP∽△CEP ，∴ADCE =AP PC ，即mn−m =6m −6n 6n ，∴m 2=(n −m)2，而n >m >0， ∴m =n −m ，即n =2m ，把n =2m 代入m(n −2)=2得m(2m −2)=3，整理得2m 2−2m −3=0，解得m 1=1+√72，m 2=1−√72(舍去)， 即m 的值为1+√72．故答案为1+√72．如图，A(m,6m )，B(n,6n)，则P(m,6n)，通过证明△ADP∽△CEP得到ADCE=APPC，即mn−m=6m−6n6n，从而得到n=2m，所以m(2m−2)=3，然后解关于m的方程即可．12.答案：8解析：解：设对边AB和CD间的距离是xcm，根据平行四边形的面积公式可得：6x=12×4，可得x=8．故答案为8．根据平行四边形的面积公式求解即可．“等面积法”是数学中的重要解题方法．在三角形和四边形中，以不同的边为底其高也不相同，但面积是定值，从而可以得到不同底的高的关系．13.答案：ℎ>7或ℎ<34解析：解：x=1时，y=x+2=3，将(1,3)代入y=−(x+1)2+ℎ并解得：ℎ=7，联立y=−(x+1)2+ℎ和y=x+2并整理得：x2+3x+(3−ℎ)=0，∵△=3−4(3−ℎ)<0，∴ℎ<34，故答案为ℎ>7或ℎ<34．将(1,3)代入y=−(x+1)2+ℎ并解得：ℎ=7，再根据△=3−4(3−ℎ)<0，即可求解．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．14.答案：2解析：解：根据题意可知，x2+kx+1=0，x2−x−k=0，即x2+kx+1=x2−x−k，(k+1)x=−(k+1)，解得x=−1，把x=−1代入x2+kx+1=0中，解得k=2．故答案为：2．根据题意可知交点在x轴上，即x2+kx+1=x2−x−k=0，解方程得x=−1，再把x=−1代入x2+kx+1=x2−x−k=0中即可得出答案．本题主要考查了二次函数的性质及二次函数图像上点的坐标特征，合理利用二次函数的性质进行计算是解决本题的关键．15.答案：13解析：解：由翻折变换可知，AD=AF=5，在Rt△ABF中，由勾股定理得，BF=√AF2−AB2=√52−32=4，∴FC=BC−BF=5=4=1，设DE=x，则EF=x，EC=3−x，在Rt△EFC中，由勾股定理得，12+(3−x)2=x2，解得x=53，即DE=53，在Rt△ADE中，tan∠DAE=DEAD =535=13，故答案为：13．根据翻折变换和勾股定理可求出FC=1，再在Rt△EFC中，由勾股定理求出DE，最后根据锐角三角函数的定义求解即可．本题考查翻折变换，直角三角形的边角关系，理解翻折变换的性质和勾股定理是解决问题的关键．16.答案：367解析：解：∵AB//CD，AB=12，CD=9，∴DOOB =DCAB=34，∴DODB =COCA=37，∵EF//AB，∴EOAB =DODB=37，FOAB=COCA=37，∴EO=FO=37AB=37×12=367．由AB//CD，AB=12，CD=9，EF//AB，根据平行线分线段成比例即可求解；本题考查了梯形及平行线分线段成比例，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17.答案：<解析：解：∵二次函数y=x2+m中a=1>0，∴抛物线开口向上．∵x=−b2a=0，−1<−2，∴A(−1,y1)，B(−2,y2)在对称轴的左侧，且y随x的增大而减小，∴y1<y2.故答案为：<．根据函数解析式的特点，其对称轴为x=0，图象开口向上；利用对称轴左侧y随x的增大而减小，可判断y1<y2．本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，熟知二次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．18.答案：154解析：解：连接DC，设平行线间的距离为ℎ，AD=2a，如图所示：∵S△DEF=12DE⋅2ℎ=DE⋅ℎ，S△ADE=12DE⋅2ℎ=DE⋅ℎ，∴S△DEF=S△DEA，又∵S△DEF=1，∴S△DEA=1，同理可得：S△DEC=12，又∵S △ADC =S △ADE +S △DEC ，∴S △ADC =32， 又∵平行线是一组等距的，AD =2a ， ∴BD =3a ，又∵S △ADC =12AD ⋅k =ak ，S △BDC =12BD ⋅k =32ak ，∴S △BDC =32×32=94， 又∵S △ABC =S △ADC +S △BDC ，∴S △ABC =94+32=154， 故答案为154．在三角形中由同底等高，同底倍高求出S △ADC =32，根据三角形相似的判定与性质的运用，等距平行线间的对应线段相等求出S △BDC =94，最后由三角形的面积的和差法求得S △ABC =154．本题综合考查了相似三角形的判定与性质，平行线间的距离相等，三角形的面积求法等知识，重点掌握三角形相似的判定与性质的运用，等距平行线间的对应线段相等，难点是作辅助线求三角形的面积．19.答案：解：(1)2(3a ⃗ −b ⃗ )−(a ⃗ +b ⃗ )=6a ⃗ −2b ⃗ −a ⃗ −b ⃗ =5a ⃗ −3b ⃗ ；(2)如图，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a ⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ =b ⃗ −12a ⃗ ． ∴CA⃗⃗⃗⃗⃗ 即为所求． 解析：(1)直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得，注意去括号时的符号变化；(2)利用三角形法则求解即可求得答案．此题考查了平面向量的运算与作法．此题难度不大，注意掌握三角形法则的应用，注意掌握数形结合思想的应用．20.答案：(0,1) (4,2)解析：解：(1)当x =0时，y =1，因此点A 的坐标为(0,1)，将点A 向右平移4个单位长度，向上平移1个单位长度得到点B ，因此点B 坐标为(4,2)，故答案为：(0,1)，(4,2)；(2)抛物线y =x 2−2mx +1的对称轴为x =−b 2a =−−2m 2=m ，抛物线恒过点A(0,1)， 当函数y =x 2−2mx +1的图象与线段AB 恰有一个公共点，就是抛物线与线段AB 除点A 以外没有其它的公共点，设线段AB 的关系式为y =kx +b ，把A(0,1)B(4,2)代入得，{b =14k +b =1， 解得{k =14b =1， ∴线段AB 的关系式为y =14x +1(0≤x ≤4)，当函数y =x 2−2mx +1的图象与线段AB 有两个公共点时，即方程x 2−2mx +1=14x +1有两个不相等的实数根， 解得x 1=0，x 2=2m +14，∵函数y =x 2−2mx +1的图象与线段AB 的交点在0到4之间，∴0<2m +14≤4，解得−18<m ≤158， 即当−18<m ≤158，函数y =x 2−2mx +1的图象与线段AB 有两个公共点， ∴当m ≤−18或m >158时，函数y =x 2−2mx +1的图象与线段AB 恰有一个公共点时，综上所述，当m ≤−180或m >158时，函数y =x 2−2mx +1的图象与线段AB 恰有一个公共点． (1)根据关系式可求出抛物线与y 轴的交点坐标，即点A 的坐标，再根据平移可得点B 坐标；(2)求出线段AB的关系式，而抛物线过点A，因此当函数y=x2−2mx+1的图象与线段AB有两个公共点时，就是抛物线与线段AB的关系式组成的方程组有两个不相等的实数根，进而求得m的取值范围，再得出函数y=x2−2mx+1的图象与线段AB恰有一个公共点时m的取值范围即可．本题考查二次函数的图象和性质，掌握抛物线的位置与系数a、b、c的关系是正确判断的前提．21.答案：解：(1)∵DE//BC，∴ADBD =AEEC，∵AD=3，BD=6，AE=2.8，∴36=2.8EC，解得：EC=5.6；(2)∵DE//BC，∴ABBD =ACEC，∵AB=12，BD=8，CE=7，∴128=AC7，解得：AC=212，∴AE=AC−EC=212−7=72．解析：(1)根据平行线分线段成比例定理得到ADBD =AEEC，代入计算即可；(2)根据平行线分线段成比例定理求出AC，结合图形计算，得到答案．本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．22.答案：解：设AD=x，∵AD⊥CD，∠ACD=45°，∴CD=AD=x，∵AD⊥BD，∠ABD=30°，∴BD=√3AD=√3x，∵BC=BD−CD=20，∴√3x−x=20，解得：x=10√3+10；答：气球A离地面的高度AD为(10√3+10)m．解析：本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，属于基础题．设AD =x ，由题意得出CD =AD =x ，BD =√3AD =√3x ，由BC =BD −CD =20，得出方程√3x −x =20，解方程即可．23.答案：证明：(1)∵DE//AC ，∴∠DEB =∠FCE ，∵EF//AB ，∴∠DBE =∠FEC ，∴△BDE∽△EFC ；(2)∵EF//AB ，∴BE EC =AF FC =12， ∵EC =BC −BE =12−BE ，∴BE 12−BE =12，解得：BE =4．解析：(1)由平行线的性质可得∠DEB =∠FCE ，∠DBE =∠FEC ，可得结论；(2)由平行线分线段成比例可得BE EC =AF FC =12，即可求解．本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，掌握相似三角形的判定是本题的关键． 24.答案：解：(1)设抛物线的表达式为：y =a(x −ℎ)2+k =a(x −1)2+4，将点C 的坐标代入上式并解得：a =−1，故抛物线的表达式为：y =−(x −1)2+4=−x 2+2x +3①；(2)点D 的横坐标为m ，则点D 的坐标为(m,−m 2+2m +3)，设直线AD 的表达式为：y =kx +t ，则{−m 2+2m +3=km +t 0=−k +t，解得{k =3−m t =3−m ， 故直线AD 的表达式为：y =−(m −3)x +3−m ，故点E(0,3−m)，则CE =3−(3−m)=m ，则S =S △CED +S △CEA =12CE ×(x D −x A )=12m(m +1)=12m 2+12m ；(3)存在，理由：在OB 上截取OM =OA =1，故点M(1,0)，则∠MCO =∠ACO ，∵∠DAB =2∠ACO ，∴∠ACM =∠DAB ，在△ACM 中，设CM 边上的高为ℎ，AC =MC =√32+12=√10，则S △AMC =12AM ×CO =12×CM ×ℎ，即2×3=√10ℎ，解得：ℎ=√10，在△ACM 中，sin∠ACM =ℎAC =6√10√10=35=sin∠DAB ，则tan∠DAB =34， 在Rt △AOE 中，OA =1，tan∠DAB =34，则OE =34，故点E(0,34)，由点A 、E 的坐标得，直线AE 的表达式为：y =34x +34②， 联立①②并解得：x =94或−1(舍去−1)，故x =94=m ，故点D(94,3916) 由(2)知，S =12m 2+12m =11732， ∴点D 的坐标为(94,3916)，相应的S 的值为11732．解析：(1)设抛物线的表达式为：y =a(x −ℎ)2+k =a(x −1)2+4，将C 的坐标代入上式，即可求解；(2)S =S △CED +S △CEA =12CE ×(x D −x A )=12m(m +1)=12m 2+12m ；(3)求出sin∠ACM =ℎAC =sin∠DAB ，则tan∠DAB =34，得到直线AE 的表达式，即可求解．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、解直角三角形、面积的计算等，综合性强，难度适中．25.答案：解：(1)由题意，得AP =2t ，CP =2−2t ， ∴PD =2CP =4−4t ；(2)①如图2−1，当点E 落在BC 边上时，过点Q 作QH ⊥AD 于H ， 由题意知，△AQP 和△CED 为等腰直角三角形， ∴CE =HQ =12AP ，CE =CD ， ∵HQ =12AP =t ，CD =PC =2−2t ，∴t =2−2t ，∴t =23；②如图2−2，当点E 落在AC 边上时，过点Q 作QG ⊥BC 于G ， 由题意知，△BQP 和△CED 为等腰直角三角形， ∴CE =GQ =12BP ，CE =CD ，∵GQ =12BP =12(4−2t)=2−t ，CD =PC =2t −2， ∴2−t =2t −2，∴t =43，综上所述，点E 落在△ABC 的直角边上时，t 的值为23或43；(3)如图3−1，当0<t ≤23时，S =S 梯形PQMC=12t(2−2t +2−t)=−32t 2+2t ；如图3−2，当43≤t ≤2时，S =S 梯形PQNC=12(2−t)(2t −2+t)=−32t 2+4t −2， 综上所述，S ={−32t 2+2t(0<t ≤23)−32t 2+4t −2(43≤t <2)． 解析：(1)由题意，可先写出AP 的长，再写出CP 的长，由对称的性质即可写出PD 的长；(2)①如图2−1，当点E 落在BC 边上时，过点Q 作QH ⊥AD 于H ，证明CE =HQ =12AP =CD ，即可列出关于t 方程，求出t 的值；②如图2−2，当点E 落在AC 边上时，过点Q 作QG ⊥BC 于G ，证明CE =GQ =12BP =CD ，即可列出关于t 的方程，求出t 的值即可； (3)如图3−1，当0<t ≤23时，求出梯形PQMC 的面积即可；如图3−2，当43≤t ≤2时，求出梯形PQCN 的面积即可．本题考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，四边形的面积等，解题关键是能够根据题意画出图形，并注意分类讨论思想的运用．。

一、选择题1．﹣的绝对值是（）A．﹣B．C．﹣D．2．预计到2025年，中国5G用户将达到460000000．将460000000科学记数法表示成a×10n（1≤a＜10，n是整数）的形式，则n 的值应为（）A．9B．8C．7D．63．如图，由四个正方体组成的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．4．下列计算：①；②（x﹣2y）2＝x2﹣4y2；③（﹣a）4•a3＝﹣a7；④x10÷x5＝x2，其中错误的个数是（）A．1B．2C．3D．45．给定一组数据，那么这组数据的（）可以有多个．A．平均数B．中位数C．方差D．众数6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．若关于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜4B．k＞4C．k＜1D．k＞18．学校决定从甲、乙、丙三名学生中随机抽取两名介绍学习经验，则同时抽到乙、丙两名同学的概率为（）A．B．C．D．9．如图，已知∠1＝39°，∠2＝39°，∠3＝54°，则∠4的度数是（）A．39°B．51°C．54°D．126°10．如图，已知点A1（1，1），将点A1向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度得到点A2；将点A2向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度得到点A3；将点A3向上平移4个单位长度，再向右平移8个单位长度得到点A4，…按这个规律平移下去得到点An（n为正整数），则点An的坐标是（）A．（2n，2n﹣1）B．（2n﹣1，2n）C．（2n﹣1，2n+1）D．（2n﹣1，2n﹣1）二、填空题（每小题3分，共15分）11．计算：（﹣1）0﹣（）﹣1＝．12．已知抛物线y＝x2+mx+9的顶点在x轴上，则m的值为．13．如图，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB、x 轴于点C、D；②分别以点C、D为圆心，以大于CD长为半径作弧，两弧在∠OAB内交于点M，③作射线AM，交y轴于点E，则点E的坐标为．14．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C在，＝2，OA＝3，CD⊥OB于点D，则图中阴影部分的面积为．15．如图，在边长为3的等边△ABC中，点D在AC上，且CD＝1，点E在AB上（不与点A、B重合），连接DE，把△ADE沿DE折叠，当点A的对应点F落在等边△ABC的边上时，AE的长为．三、解答题（本大题8个小题，共75分）16．先化简，再求值：（﹣2）÷，其中x＝﹣1．17．某学校为了解九年级男同学1000米跑步的成绩，随机抽取了部分男生进行测试，并将测试成绩分为A、B、C、D四个等级，绘制了不完整的成绩等级频数表和扇形统计图．成绩等级频数A 24B 10C bD 2合计 a（1）表中a＝，b＝；（2）扇形图中C的圆心角度数是；（3）若该校共有九年级男生600人，请估计没有获得A等级的学生人数．18．已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，OD∥AC，AD＝OC．（1）求证：四边形OCAD是平行四边形；（2）若AD与⊙O相切，求∠B．19．如图，某海监船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业的渔船D在南偏西45°方向，海监船航行到B处时，望见渔船D在南偏东45°方向，又航行半小时到达C处望见渔船D在南偏东62°方向，若海监船的速度为40海里/小时，求A、B之间的距离．（精确到0.1海里，参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan62°≈1.88）20．某兴趣小组对函数y＝的图象和性质进行探究，请你帮助解决下面问题：（1）函数y＝中自变量x的取值范围是；（2）如表是x、y的几组对应值，则m＝；x …﹣2 ﹣1 0 1 2 4 5 6 7 8 …y …m 0 ﹣1 3 2 …（3）如图，已经画出了该函数图象的一部分，请你画出函数图象的另一部分；（4）该函数图象两个分支关于一个点成中心对称，这个点的坐标是；（5）若函数y＝的图象上有三点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）且x1＜x2＜3＜x3，则y1、y2、y3的大小关系是（用“＜”连接）．21．在2020年新冠肺炎疫情期间，我市某企业为支援湖北，准备将购买的70吨蔬菜运往武汉，现有甲、乙两种货车可以租用，已知2辆甲货车和3辆乙货车一次可运44吨蔬菜；3辆甲货车和1辆乙货车一次可运38吨蔬菜．（1）求每辆甲种货车和每辆乙种货车一次分别能运多少吨蔬菜？（2）已知甲种货车每辆租金500元，乙种货车每辆租金450元，该企业共租用甲、乙两种货车8辆，设租甲种货车a辆，求租车总费用w（元）与a之间的函数关系式，并求出自变量a的取值范围；（3）在（2）的条件下，请你为该企业设计出费用最少的方案，并求出最少的租车费用．22．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝α，点D为直线BC上一动点，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，将AD绕点D顺时针旋转α得到ED，ED交直线AB于点O，连接BE．（1）问题发现：如图1，α＝90°，点D在边BC上，猜想：①AF与BE的数量关系是；②∠ABE＝度．（2）拓展探究：如图2，0°＜α＜90°，点D在边BC上，请判断AF与BE的数量关系及∠ABE的度数，并给予证明．（3）解决问题如图3，90°＜α＜180°，点D在射线BC上，且BD＝3CD，若AB＝8，请直接写出BE的长．23．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴交于点C，且OC＝2OA．（1）该抛物线的解析式为；（2）直线y＝kx+l（k＞0）与y轴交于点D，与直线BC交于点M，与抛物线上直线BC上方部分交于点P，设m＝，求m的最大值及此时点P的坐标；（3）若点D、P为（2）中求出的点，点Q为x轴的一个动点，点N为坐标平面内一点，当以点P、D、Q、N为顶点的四边形为矩形时，直接写出点N的坐标．参考答案一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．1．﹣的绝对值是（）A．﹣B．C．﹣D．【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．解：|﹣|＝．故选：B．2．预计到2025年，中国5G用户将达到460000000．将460000000科学记数法表示成a×10n（1≤a＜10，n是整数）的形式，则n 的值应为（）A．9B．8C．7D．6【分析】利用科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1，进而得出答案．解：把460000000表示成a×10n（其中，1≤a＜10，n为整数）的形式，故460000000＝4.6×108，则n为8．故选：B．3．如图，由四个正方体组成的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】找出几何体的俯视图即可．解：如图，由四个正方体组成的几何体的俯视图是，故选：C．4．下列计算：①；②（x﹣2y）2＝x2﹣4y2；③（﹣a）4•a3＝﹣a7；④x10÷x5＝x2，其中错误的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】分别按照积的乘方的运算法则、完全平方公式、同底数幂的乘法和同底数幂的除法的运算法则进行判断即可．解：①按照积的乘方的运算法则，积的乘方等于乘方的积，①正确；②（x﹣2y）2＝x2﹣4xy+4y2，②错误；③（﹣a）4•a3＝a4•a3＝a7，③错误；④x10÷x5＝x10﹣5＝x5，④错误．综上，错误的有②③④，共3个．故选：C．5．给定一组数据，那么这组数据的（）可以有多个．A．平均数B．中位数C．方差D．众数【分析】根据平均数、中位数、方差和众数的概念求解可得．解：一组数据的平均数、中位数和方差一定只有1个，而众数可以有多个，故选：D．6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式组的解集表示在数轴上即可．解：，解不等式①，得x＞﹣3，解不等式②，得x≤1，所以原不等式组的解集为：﹣3＜x≤1，在数轴上表示为：故选：D．7．若关于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜4B．k＞4C．k＜1D．k＞1【分析】根据根的判别式即可求出答案．解：由题意可知：△＝16﹣4k＞0，∴k＜4，故选：A．8．学校决定从甲、乙、丙三名学生中随机抽取两名介绍学习经验，则同时抽到乙、丙两名同学的概率为（）A．B．C．D．【分析】先画出树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得．解：画树状图如下：由树状图知，共有6种等可能结果，其中同时抽到乙、丙两名同学的有2种结果，∴同时抽到乙、丙两名同学的概率为＝，故选：B．9．如图，已知∠1＝39°，∠2＝39°，∠3＝54°，则∠4的度数是（）A．39°B．51°C．54°D．126°【分析】根据平行线的判定得出AB∥CD，根据平行线的性质得出∠3+∠4＝180°，代入求出即可．解：∵∠1＝39°，∠2＝39°，∴∠1＝∠2，∴AB∥CD，∴∠3+∠4＝180°，∵∠3＝54°，∴∠4＝126°，故选：D．10．如图，已知点A1（1，1），将点A1向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度得到点A2；将点A2向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度得到点A3；将点A3向上平移4个单位长度，再向右平移8个单位长度得到点A4，…按这个规律平移下去得到点An（n为正整数），则点An的坐标是（）A．（2n，2n﹣1）B．（2n﹣1，2n）C．（2n﹣1，2n+1）D．（2n﹣1，2n﹣1）【分析】探究规律，利用根据解决问题即可．解：由题意知，A1（1，1），A2（3，2），A3（7，4），A4（15，8），…An（2n﹣1，2n﹣1）．故选：D．二、填空题（每小题3分，共15分）11．计算：（﹣1）0﹣（）﹣1＝﹣2 ．【分析】直接利用零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．解：原式＝1﹣3＝﹣2．故答案为：﹣2．12．已知抛物线y＝x2+mx+9的顶点在x轴上，则m的值为±6 ．【分析】抛物线的顶点在x轴上时，抛物线与x轴的交点只有一个，因此根的判别式△＝0，可据此求出m的值．解：∵抛物线y＝x2+mx+9的顶点在x轴上，∴b2﹣4ac＝0，即m2﹣36＝0，解得m＝±6．故答案为：±6．13．如图，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB、x 轴于点C、D；②分别以点C、D为圆心，以大于CD长为半径作弧，两弧在∠OAB内交于点M，③作射线AM，交y轴于点E，则点E的坐标为（0，）．【分析】过E作EH⊥AB于H，如图，利用基本作图得到AE平分∠OAB，则OE＝EH，再利用一次函数解析式得到B（0，4），A（3，0），所以AB＝5，设E（0，t），利用面积法得到×t×3+×t×5＝×3×4，解方程求出t即可得到E点坐标．解：过E作EH⊥AB于H，如图，由作法得AE平分∠OAB，∴OE＝EH，当x＝0时，y＝﹣x+4＝4，则B（0，4），当y＝0时，﹣x+4＝0，解得x＝3，则A（3，0），∴AB＝＝5，设E（0，t），∵S△AOE+S△ABE＝S△OAB，∴×t×3+×t×5＝×3×4，解得t＝，∴E点坐标为（0，）．故答案为：（0，）．14．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C在，＝2，OA＝3，CD⊥OB于点D，则图中阴影部分的面积为π﹣．【分析】连接OC，AC，由点C为的三等分点，∠AOB＝90°，得到∠COD＝30°，∠AOC＝60°，根据CD⊥OB，得到S△OCD＝S△ACD，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．解：连接OC，AC，∵点C为的三等分点，∠AOB＝90°，∴∠COD＝30°，∠AOC＝60°，∵CD⊥OB，∴S△OCD＝S△ACD，∵∠CDO＝90°，∠DOC＝30°，OC＝OA＝3，∴CD＝，OD＝，∴图中阴影部分的面积＝S△ACD+S弓形AC＝+××+﹣×3×＝﹣，故答案为：π﹣．15．如图，在边长为3的等边△ABC中，点D在AC上，且CD＝1，点E在AB上（不与点A、B重合），连接DE，把△ADE沿DE折叠，当点A的对应点F落在等边△ABC的边上时，AE的长为1或5﹣．【分析】分两种情况：当F点落在边BC上时，利用翻折的性质和等边三角形的性质可得∠DFC＝∠BEF，可证△DFC∽△FEB，可得，可求AE；F点落在边AB上时，利用30°所对的直角边等于斜边的一半即可求出AE．解：①当F点落在边BC上时，∵把△ADE沿DE折叠，∴∠A＝∠EFD＝60°，∵∠EFC＝∠B+∠BEF，∴∠EFD+∠DFC＝∠B+∠BEF∵∠EFD＝∠A＝∠B＝60°，∴∠DFC＝∠BEF，∴△DFC∽△FEB，∴，而EF+BE＝EA+BE＝AB＝3，DF＝DA＝AC﹣CD＝2，∴，解得AE＝5﹣，或AE＝5+（舍去）；②F点落在边AB上时，∵把△ADE沿DE折叠，∴∠A＝∠DFE＝60°，∠DEA＝90°，∠ADE＝∠FDE，∴∠ADE＝30°，∴AE＝AD＝（AC﹣CD）＝×2＝1．所以AE的长为1或5﹣．三、解答题（本大题8个小题，共75分）16．先化简，再求值：（﹣2）÷，其中x＝﹣1．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x 的值代入计算可得．解：原式＝（﹣）÷＝•＝，当x＝﹣1时，原式＝＝＝1﹣．17．某学校为了解九年级男同学1000米跑步的成绩，随机抽取了部分男生进行测试，并将测试成绩分为A、B、C、D四个等级，绘制了不完整的成绩等级频数表和扇形统计图．成绩等级频数A 24B 10C bD 2合计 a（1）表中a＝40 ，b＝ 4 ；（2）扇形图中C的圆心角度数是36°；（3）若该校共有九年级男生600人，请估计没有获得A等级的学生人数．【分析】（1）根据B等级的人数和所占的百分比求出总人数，再用总人数减去其它等级的人数，求出b即可；（2）用360°乘以C等级的人数所占的百分比即可得出答案；（3）用该校的男生人数乘以没有获得A等级的学生所占的百分比即可．解：（1）抽取的学生数是：10÷25%＝40（人），即a＝40；则b＝40﹣24﹣10﹣2＝4（人）；故答案为：40，4；（2）扇形图中C的圆心角度数是：360°×＝36°；故答案为：36°；（3）根据题意得：600×＝240（人），答：没有获得A等级的学生人数是240人．18．已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，OD∥AC，AD＝OC．（1）求证：四边形OCAD是平行四边形；（2）若AD与⊙O相切，求∠B．【分析】（1）根据平行四边形的判定方法即可证明四边形OCAD 是平行四边形；（2）根据AD与⊙O相切，和OD∥AC，证明∠OAC＝∠AOD＝45°，进而可求∠B．解：（1）证明：∵OA＝OC＝AD，∴∠OCA＝∠OAC，∠AOD＝∠ADO，∵OD∥AC，∴∠OAC＝∠AOD，∴180°﹣∠OCA﹣∠OAC＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO，即∠AOC＝∠OAD，∴OC∥AD，∵OD∥AC，∴四边形OCAD是平行四边形；（2）∵AD与⊙O相切，OA是半径，∴∠OAD＝90°，∵OA＝OC＝AD，∴∠AOD＝∠ADO＝45°，∵OD∥AC，∴∠OAC＝∠AOD＝45°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝45°．19．如图，某海监船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业的渔船D在南偏西45°方向，海监船航行到B处时，望见渔船D在南偏东45°方向，又航行半小时到达C处望见渔船D在南偏东62°方向，若海监船的速度为40海里/小时，求A、B之间的距离．（精确到0.1海里，参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan62°≈1.88）【分析】过点D作DE⊥AB于点E，设DE＝x海里，在Rt△CDE 中表示出CE，在Rt△BDE中表示出BE，再由CB＝20海里，可得出关于x的方程，解出后即可计算AB的长度．解：过点D作DE⊥AB于点E，∵∠ADE＝∠BDE＝45°，∴AE＝BE＝DE，设BE＝x海里，则DE＝x海里，∵BC＝，∴CE＝x+20，在Rt△CDE中，∠CDE＝62°，，∴，∴x＝≈22.73，∴AB＝2x＝2×22.73≈45.5，答：A、B之间的距离为45.5海里．20．某兴趣小组对函数y＝的图象和性质进行探究，请你帮助解决下面问题：（1）函数y＝中自变量x的取值范围是x≠3 ；（2）如表是x、y的几组对应值，则m＝；x …﹣2 ﹣1 0 1 2 4 5 6 7 8 …y …m 0 ﹣1 3 2 …（3）如图，已经画出了该函数图象的一部分，请你画出函数图象的另一部分；（4）该函数图象两个分支关于一个点成中心对称，这个点的坐标是（3，1）；（5）若函数y＝的图象上有三点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）且x1＜x2＜3＜x3，则y1、y2、y3的大小关系是y2＜y1＜y3（用“＜”连接）．【分析】（1）由分母不能为零，即可得出自变量x的取值范围；（2）把x＝﹣1代入函数关系式即可；（3）描点、连线，画出函数图象即可；（4）观察函数图象即可解答；（5）观察函数图象即可解答．解：（1）∵x在分母上，∴自变量x的取值范围是x﹣3≠0，解得x≠3；（2）当x＝﹣1时，，即；（3）画出函数图象，如图所示：（4）该函数图象两个分支关于一个点成中心对称，这个点的坐标是（3，1）；（5）由图象可知，当x＜3时，y＜0且y随x的增大而减小；当x＞3时，y＞0，∵x1＜x2＜3＜x3，∴y2＜y1＜y3．故答案为：（1）x≠3；（2）；（4）（3，1）；（5）y2＜y1＜y3．21．在2020年新冠肺炎疫情期间，我市某企业为支援湖北，准备将购买的70吨蔬菜运往武汉，现有甲、乙两种货车可以租用，已知2辆甲货车和3辆乙货车一次可运44吨蔬菜；3辆甲货车和1辆乙货车一次可运38吨蔬菜．（1）求每辆甲种货车和每辆乙种货车一次分别能运多少吨蔬菜？（2）已知甲种货车每辆租金500元，乙种货车每辆租金450元，该企业共租用甲、乙两种货车8辆，设租甲种货车a辆，求租车总费用w（元）与a之间的函数关系式，并求出自变量a的取值范围；（3）在（2）的条件下，请你为该企业设计出费用最少的方案，并求出最少的租车费用．【分析】（1）设每辆甲种货车和每辆乙种货车一次分别能运x吨和y吨蔬菜，根据题意列出方程组求解即可；（2）根据题意即可得总费用w（元）与a之间的函数关系式，再根据题意列不等式即可得出自变量a的取值范围；（3）结合（2）的结论，根据一次函数的性质解答即可．解：（1）设每辆甲种货车和每辆乙种货车一次分别能运x吨和y 吨蔬菜，根据题意得：，解得，答：每辆甲种货车和每辆乙种货车一次分别能运10吨和8吨蔬菜；（2）根据题意得：w＝500a+450（8﹣a）＝50a+3600；∵10a+8（8﹣a）≥70，∴a≥3，又∵a≤8，∴自变量a的取值范围是3≤a≤8，且为整数．（3）由（2）知w＝50a+3600，∵50＞0，∴w随a的增大而增大，∴当a＝3时，w最小＝50×3+3600＝3750，此时8﹣a＝5．即租用3辆甲种货车，5辆乙种货车时租车费用最少，最少的租车费用为3750元．22．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝α，点D为直线BC上一动点，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，将AD绕点D顺时针旋转α得到ED，ED交直线AB于点O，连接BE．（1）问题发现：如图1，α＝90°，点D在边BC上，猜想：①AF与BE的数量关系是AF＝BE；②∠ABE＝90 度．（2）拓展探究：如图2，0°＜α＜90°，点D在边BC上，请判断AF与BE的数量关系及∠ABE的度数，并给予证明．（3）解决问题如图3，90°＜α＜180°，点D在射线BC上，且BD＝3CD，若AB＝8，请直接写出BE的长．【分析】（1）问题发现：由“SAS”△ADF≌△EDB，可得AF＝BE，再利用“8字型”字母∠OBE＝∠ADO＝90°即可解决问题；（2）拓展探究：结论：AF＝BF，∠ABE＝a．由“SAS”△ADF≌△EDB，即可解决问题；（3）解决问题：分当点D在线段BC上和当点D在BC的延长线上两种情形讨论，利用平行线分线段成比例可求解．解：（1）问题发现：如图1中，设AB交DE于O．∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝45°，∵DF∥AC，∴∠FDB＝∠C＝90°，∴∠DFB＝∠DBF＝45°，∴DF＝DB，∵∠ADE＝∠FDB＝90°，∴∠ADF＝∠EDB，∵DA＝DE，DF＝DB∴△ADF≌△EDB（SAS），∴AF＝BE，∠DAF＝∠E，∵∠AOD＝∠EOB，∴∠ABE＝∠ADO＝90°故答案为：AF＝BE，90°．（2）拓展探究：结论：AF＝BE，∠ABE＝α．理由如下：∵DF‖AC∴∠ACB＝∠FDB＝α，∠CAB＝∠DFB，∵AC＝BC，∴∠ABC＝∠CAB，∴∠ABC＝∠DFB，∴DB＝DF，∵∠ADF＝∠ADE﹣∠FDE，∠EDB＝∠FDB﹣∠FDE，∴∠ADF＝∠EDB，∵AD＝DE，DB＝DF∴△ADF≌△EDB（SAS），∴AF＝BE，∠AFD＝∠EBD∵∠AFD＝∠ABC+∠FDB，∠DBE＝∠ABD+∠ABE，∴∠ABE＝∠FDB＝α．（3）解决问题①如图（3）中，当点D在BC上时，由（2）可知：BE＝AF，∵DF∥AC，∴，∵AB＝8，∴AF＝2，∴BE＝AF＝2，②如图（4）中，当点D在BC的延长线上时，∵AC∥DF，∴，∵AB＝8，∴BE＝AF＝4，故BE的长为2或4．23．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴交于点C，且OC＝2OA．（1）该抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4 ；（2）直线y＝kx+l（k＞0）与y轴交于点D，与直线BC交于点M，与抛物线上直线BC上方部分交于点P，设m＝，求m的最大值及此时点P的坐标；（3）若点D、P为（2）中求出的点，点Q为x轴的一个动点，点N为坐标平面内一点，当以点P、D、Q、N为顶点的四边形为矩形时，直接写出点N的坐标．【分析】（1）因为抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点，所以可以假设y＝a（x+2）（x﹣4），求出点C坐标代入求出a即可；（2）由△CMD∽△FMP，可得m＝，根据关于m关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；（3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形．分两种情形讨论：①当DP是矩形的边时，有两种情形；②当DP是对角线时，利用相似三角形的性质和勾股定理可求解．解：（1）因为抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点，所以可以假设y＝a（x+2）（x﹣4），∵OC＝2OA，OA＝2，∴C（0，4），代入抛物线的解析式得到a＝﹣，∴y＝﹣（x+2）（x﹣4）＝﹣x2+x+4，故答案为：y＝﹣x2+x+4；（2）如图1中，由题意，点P在y轴的右侧，作PE⊥x轴于E，交BC于F．∵CD∥PE，∴△CMD∽△FMP，∴m＝，∵直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，则D（0，1），∵BC的解析式为y＝﹣x+4，设P（n，﹣n2+n+4），则F（n，﹣n+4），∴PF＝﹣n2+n+4﹣（﹣n+4）＝﹣（n﹣2）2+2，∴m＝＝﹣（n﹣2）2+，∵﹣＜0，∴当n＝2时，m有最大值，最大值为，此时P（2，4）；（3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形．①当DP是矩形的边时，有两种情形，a、如图2﹣1中，四边形DQNP是矩形时，有（2）可知P（2，4），代入y＝kx+1中，得到k＝，∴直线DP的解析式为y＝x+1，可得D（0，1），E（﹣，0），由△DOE∽△QOD可得，∴OD2＝OE•OQ，∴1＝•OQ，∴OQ＝，∴Q（，0）．根据矩形的性质，将点P向右平移个单位，向下平移1个单位得到点N，∴N（2+，4﹣1），即N（，3）b、如图2﹣2中，四边形PDNQ是矩形时，∵直线PD的解析式为y＝x+1，PQ⊥PD，∴直线PQ的解析式为y＝﹣x+，∴Q（8，0），根据矩形的性质可知，将点D向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N，∴N（0+6，1﹣4），即N（6，﹣3）．②当DP是对角线时，设Q（x，0），则QD2＝x2+1，QP2＝（x ﹣2）2+42，PD2＝13，∵Q是直角顶点，∴QD2+QP2＝PD2，∴x2+1+（x﹣2）2+16＝13，整理得x2﹣2x+4＝0，方程无解，此种情形不存在，综上所述，满足条件的点N坐标为（，3）或（6，﹣3）．。

2022年上海浦东新区中考数学真题模拟测评 （A ）卷 考试时间：90分钟；命题人：教研组 考生注意： 1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、一个自然数，含有因数6，能被8整除，还是9的倍数，它最小是（ ）A ．48B ．54C ．6D ．72 2、修建一项工程，甲队单独承包要80天完成，乙队单独承包要120天完成，如果甲、乙两队合作30天后，因甲队另有任务，剩下工程由乙队完成，则修建这一项工程共用（ ） A ．63天 B ．66天 C ．72天 D ．75天 3、如图，如果BAD CAE ∠=∠，那么添加下列一个条件后，仍不能确定ABC ADE 的是（ ） A ．B D ∠=∠ B ．AB DE AD BC = C ．C AED ∠=∠ D ．AB AC AD AE = 4、若a b a ->，a b b +<，则有（ ） A ．0ab < B ．0a b > C ．0a b +> D ．0a b -<·线○封○密○外5、扇形的半径扩大为原来的2倍，圆心角缩小为原来的12，那么扇形的面积（）A．不变B．扩大为原来的2倍C．缩小为原来的12D．扩大为原来的4倍6、现调查六（1）班暑期旅游意向，班长把全班48名同学对旅游地点的意向绘制成了扇形统计图，其中“想去蒲松龄故居参观的学生数”的扇形圆心角为60°，则下列说法正确的是（）A．想去蒲松龄故居参观的学生占全班学生的60%B．想去蒲松龄故居参观的学生有12人C．想去蒲松龄故居参观的学生肯定最多D．想去蒲松龄故居参观的学生占全班学生的1 67、圆周率是（）A．圆的周长÷直径B．圆的周长÷半径C．圆的面积÷直径D．圆的面积÷半径8、三个数的和是98，第一个数与第二个数之比是2:3，第二个数与第三个数之比是5:8，则第二个数是（）A．15 B．20 C．25 D．309、下面分数中可以化为有限小数的是（）A．764B．730C．7172D．127210、下列分数中，不能化为有限小数的是（）A．12B．13C．14D．15第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1x 的取值范围是_________． 2、12与18的最小公倍数是________． 3、一个圆形花坛，它的直径约为4米，那么它的面积约是________平方米． 4、一瓶饮料，连瓶重364千克，将饮料倒出14，此时连瓶重255千克．则瓶重________千克． 5、已知ABC 中，,120,AB AC BAC FE =∠=︒垂直平分AB 交BC 于F ，垂足为E ，若2EF cm =，则BC =_______cm． 三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分） 1、已知：如图，将一个直径AB 等于12厘米的半圆绕着点A 逆时针旋转60︒后，点B 落到点C 位置，半圆扫过部分的图形如阴影部分所示．求：（1）阴影部分的周长； （2）阴影部分的面积．2、解方程：已知15:31:54x =，求x 的值3、化简求值：[（x ＋2y ）2－（x ＋y ）（3x －y ）－5y 2]÷（2x ），其中x ＝－2，y ＝12． ·线○封○密○外4、求x 的值：12:1.51:23x =． 5、已知：:3:4a b =，:3:5b c =，求::a b c ．-参考答案-一、单选题1、D【分析】根据题意这个数是6、8、9的最小公倍数，然后求解即可．【详解】由6=23,8222,933⨯=⨯⨯=⨯，则它们的最小公倍数为22233=72⨯⨯⨯⨯；故选D ．【点睛】本题主要考查最小公倍数，熟练掌握最小公倍数的求法是解题的关键．2、D【分析】设剩下的工程乙队完成用了x 天，用甲乙合作的效率乘以30天加上乙单独的效率乘以x 天等于总工程量单位“1”，列方程求解．【详解】解： 设剩下的工程乙队完成用了x 天，甲的效率= 180，乙的效率= 1120，甲乙合作效率= 1118012048+=， 1130148120x ⨯+=131208x = 45x = ∴剩下的工程乙队完成用了45天，修建整个工程用了304575+=天． 故选：D ． 【点睛】 本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据工程问题的等量关系列方程求解未知数． 3、B 【分析】 根据题意可得EAD CAB ∠=∠，然后根据相似三角形的判定定理逐项判断，即可求解． 【详解】 解：∵BAD CAE ∠=∠， ∴EAD CAB ∠=∠， A 、若添加B D ∠=∠，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明△AAA ∼△AAA ，故本选项不符合题意； B 、若添加AB DE AD BC =，不能证明ABC ADE ，故本选项符合题意； C 、若添加C AED ∠=∠，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明ABC ADE ，故本选项不符合题意； D 、若添加AB AC AD AE=，可用两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，证明△AAA ∼△AAA ，故本选项不符合题意； 故选：B 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． ·线○封○密○外4、B【分析】根据不等式的基本性质，由题意得到0b <，0a <，再去判断下列选项的正确性．【详解】解：∵a b a ->，a b b +<，∴0b <，0a <，∴0a b>． 故选：B ．【点睛】本题考查不等式的基本性质，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质．5、B【分析】 扇形的面积＝2360r π⨯圆心角度数，由此设原来扇形的半径为1，圆心角为2°，则变化后的扇形的半径为2，圆心角为1°，由此利用扇形的面积公式即可计算得出它们的面积，从而进行比较选择．【详解】设原来扇形的半径为1，圆心角为2°，则变化后的扇形的半径为2，圆心角为1°，根据扇形的面积公式可得： 原来扇形的面积为：2211360180ππ⨯⨯=； 变化后扇形面积为：211236090ππ⨯⨯=； 原来扇形面积：变化后扇形面积＝11:18090ππ＝1：2； 故选：B ．【点睛】此题考查了扇形面积公式，解题的关键是熟知公式的灵活应用．6、D【分析】根据扇形统计图的相关知识，“想去蒲松龄故居参观的学生数”的扇形圆心角为60°，而一个圆的圆心角是360°，因而，“想去蒲松龄故居参观的学生数”就是总人数的601=3606，据此即可求解． 【详解】 解：A 、想去蒲松龄故居参观的学生数占全班学生的百分比为60÷360=116.7%6 ，故选项错误； B 、想去蒲松龄故居参观的学生数有48×60360=8人，故选项错误；C 、想去蒲松龄故居参观的学生数肯定最多，没有其它去处的数据，不能确定为最多，故选项错误；D 、想去蒲松龄故居参观的学生数占全班学生的601=3606，故选项正确． 故选：D 【点睛】 本题考查的是扇形统计图的综合运用，读懂题意，从题意中得到必要的信息是解决问题的关键．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比． 7、A 【分析】 根据圆周率的定义即可得出结论． 【详解】 解：圆周率是圆的周长÷直径 故选A ． 【点睛】 此题考查的是圆周率，掌握圆周率是圆的周长与该圆直径的比是解题关键． ·线○封○密○外8、D【分析】先求出三个数的比，然后运用比例的性质，即可求出答案．【详解】解：由题意可得，∵第一个数与第二个数之比是2:3，第二个数与第三个数之比是5:8，∴三个数之比为10:15:24，设三个数分别为10x 、15x 、24x ，则10152498x x x ++=，解得：2x =，∴第二个数为1530x =．故选：D ．【点睛】本题考查了比例的性质，解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握题意，运用比例的性质进行解题．9、A【分析】根据题意可直接进行分数化简小数，然后排除选项即可．【详解】A 、7=0.10937564，故符合题意； B 、7=0.2330，故不符合题意； C 、71=1.097272，故不符合题意；D 、72=2.58312，故不符合题意； 故选A ． 【点睛】 本题主要考查分数化小数，熟练掌握分数化小数是解题的关键．10、B【分析】一个最简分数，如果分母中只含有质因数2或5，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2或5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数，据此判断即可． 【详解】 解：A ．12的分母的质因数只有2，故能化为有限小数，故不符合题意； B ．13的分母含质因数3，故不能化为有限小数，故符合题意； C ．14的分母的质因数只有2，故能化为有限小数，故不符合题意； D ．15的分母的质因数只有5，故能化为有限小数，故不符合题意． 故选B ． 【点睛】本题考查了小数与分数互化的方法的应用，解题的关键是要明确：一个最简分数，如果分母中只含有质因数2或5，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2或5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数． 二、填空题 1、2x ≥-且0x ≠ 【分析】 ·线○封○密○外根据二次根式中的被开方数是非负数、分式分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【详解】解：由题意得，x+2≥0，x≠0，解得，x≥-2且x≠0，故答案为：x≥-2且x≠0．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数、分式分母不为0是解题的关键．2、36【分析】根据最小公倍数的意义可知：最小公倍数是两个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积，据此解答．【详解】12=2×2×3，18=2×3×3，12和18公有的质因数是：2和3，12独有的质因数是2，18独有的质因数是3，所以12和18的最小公倍数是：2×3×2×3=36；故答案为：36．【点睛】本题主要考查了两个数的最小公倍数的求法，注意先把两个数分别分解质因数，再找准公有的质因数和独有的质因数．3、12.56【分析】根据圆的面积=πr2即可求出结论．【详解】解：3.14×（4÷2）2=3.14×4=12.56（平方米）故答案为：12.56．【点睛】此题考查的是求圆的面积，掌握圆的面积公式是解决此题的关键．4、7120 【分析】 根据题意可直接列式进行求解． 【详解】 解：由题意得： 倒出的饮料重为3276514520-=（千克），则饮料重为71271=2045÷（千克）， ∴瓶重为3277614520-=（千克）； 故答案为7120． 【点睛】 本题主要考查分数运算的应用，熟练掌握分数的运算是解题的关键． 5、12 【分析】首先连接AF ，由EF 垂直平分AB ，可得AF =BF ，由△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =120°，可求得∠B =∠C =∠BAF =30°，继而求得AF 与BF 的长，则可求得CF 的长，继而求得答案． 【详解】 如图，连接AF ， ·线○封○密·○外△ABC 中，AB = AC ，∠BAC = 120°，∴∠B = ∠C = 30°，EF 垂直平分AB ，∴AF =BF ，∴∠BAF =∠B =30°，∴AF =BF = 2EF = 2 × 2 = 4cm ，∠CAF = ∠BAC -∠BAF = 90°，∴CF = 2AF = 8cm ，∴BC = BF + CF = 12 cm故答案为：12．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及含30°角的直角三角形的性质，此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．三、解答题1、（1）50.24厘米；（2）75.36平方厘米【分析】（1）根据2C C C =+半圆弧周长弧长，将数值代入计算即可；（2）根据S S S S S =+-=扇阴影半圆半圆形扇形，将数值代入计算即可．【详解】解：（1）160π12222π616π50.242180C C C ⨯=+=⨯⨯⨯+==弧长半圆弧周长（厘米） （2）260π1224π75.36360S S S S S ⨯⨯=+-====阴影半圆半圆扇形扇形（平方厘米） 【点睛】 本题考查了扇形的周长和面积，熟记公式是解题的关键． 2、320x = 【分析】 先根据比例的性质改写成乘法，然后根据等式的性质解方程即可． 【详解】 15:31:54x = 155314x ⨯=⨯ 15254x = 320x = 【点睛】本题主要考查了解比例式，熟练掌握比例式的性质是解题的关键．3、-+x y ，52【分析】 原式中括号中利用完全平方公式，多项式乘多项式法则计算，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x 与y 的值代入计算即可求出值． 【详解】·线○封○密·○外解：原式= 22222(44325)2x xy y x xy y y x ++--+-÷＝2(22)2x xy x -+÷＝-+x y ， 当12,2x y =-=时，原式=52【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．4、12x = 【分析】（2）根据比例基本性质，两内项之积等于两外项之积，化简方程，再依据等式的性质解方程即可【详解】 解：12:1.51:23x = 4x=212x = 【点睛】题主要考查学生依据等式的性质以及比例的基本性质解方程的能力，解方程时注意对齐等号；知识点：比例基本的性质是：两内项之积等于两外项之积．5、9:12:20【分析】已知中两个比都与b 有关，且两个比中b 的值不同，可以根据比的基本性质，把其中一个比的前、后项都乘一个合适的数，使两个比中比的值相同，然后即可写出a 、b 、c 的比．【详解】解： :3:4=9:12a b =:3:5=12:20b c = 所以::a b c =9:12:20． 【点睛】 本题考查比的性质，解答此题的关键是根据比的基本性质，把两个比中b 的值化成相等的值． ·线○封○密○外。

2022-2023学年上海市浦东新区九年级（上）期末（一模）数学试卷一、选择题：（本大题共6题）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．下列各组中的图形一定相似的是（）A．两个等腰三角形B．两个直角三角形C．两个等边三角形D．两个菱形2．已知抛物线y＝2（x﹣1）2+3，那么它的顶点坐标是（）A．（﹣1，3）B．（1，3）C．（2.1）D．（2，3）3．在Rt△ABC中，∠B＝90°，如果∠A＝α，BC＝a，那么AC的长是（）A．a•tanαB．a•cotαC．D．4．小杰在一个高为h的建筑物顶端，测得一根高出此建筑物的旗杆顶端的仰角为30°，旗杆与地面接触点的俯角为60°，那么该旗杆的高度是（）A．B．C．D．5．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图像如图所示，那么点P（a，b）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．如图，DF∥AC，DE∥BC，下列各式中正确的是（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共12题）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．已知，那么代数式的值是．8．如果两个相似三角形的面积比是4：9，那么它们对应高的比是．9．已知点P是线段MN的黄金分割点，MP＞PN，如果MN＝8，那么PM的长是．10．如果在比例尺为1：1000000的地图上，A、B两地的图上距离是3.4厘米，那么A、B 两地的实际距离是千米．11．两个相似三角形的对应边的中线之比是2：3，周长之和是20，那么这两个三角形中较小三角形的周长是．12．将抛物线y＝x2+4x﹣1向右平移3个单位后，所得抛物线的表达式是．13．如图，已知AD∥BE∥CF，如果AB＝4.8，DE＝3.6，EF＝1.2，那么AC的长是．14．已知一条斜坡的长度为10米，高度为6米，那么坡角的度数约为（备用数据：tan31°＝cot59°≈0.6，sin37°＝cos53°≈0.6）．15．在Rt△ABC中，∠A＝90°，已知AB＝1，AC＝2，AD是∠BAC的平分线，那么AD 的长是．16．如图，点E、F分别在边长为1的正方形ABCD的边AB、AD上，BE＝2AE、AF＝2FD，正方形A'B'C'D'的四边分别经过正方形ABCD的四个顶点，已知A'D'∥EF，那么正方形A'B'C'D'的边长是．17．在△ABC中，∠A＝2∠B，如果AC＝4，AB＝5，那么BC的长是．18．如图，正方形ABCD的边长为5，点E是边CD上的一点，将正方形ABCD沿直线AE 翻折后，点D的对应点是点D'，联结CD'交正方形ABCD的边AD于点F，如果AF＝CE，那么AF的长是．三、解答题：（本大题共7题）19．计算：4sin45°﹣2tan30°cos30°+．20．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC，AD＝3，DE＝2．（1）求AE：AC的值；（2）设，求向量（用向量、表示）．21．如图，在Rt△EAC中，∠EAC＝90°，∠E＝45°，点B在边EC上，BD⊥AC，垂足为D，点F在BD延长线上，∠FAC＝∠EAB，BF＝5，tan∠AFB＝．求：（1）AD的长；（2）cot∠DCF的值．22．某地一段长为50米的混泥土堤坝，堤坝的横断面ABCD是等腰梯形（如图所示），坝顶AD宽为8米，坝高为4米，斜坡AB的坡度为1：1.5．（1）求横断面ABCD的面积；（2）为了提高堤坝的防洪能力，现需将原堤坝按原堤坝要求和坡度加高1米，求加高堤坝需要多少立方米的混泥土？（堤坝的体积＝横断面的面积×堤坝的长度）23．如图，在△ABC中，点D、F分别是边BC、AB上的点，AD和CF交于点E．（1）如果BF•AB＝BD•BC，求证：EF•CE＝DE•AE；（2）如果AE•BF＝2AF•DE，求证：AD是△ABC的中线．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3x轴的正、负半轴分别交于点B、A，与y轴交于点C，已知AB＝5，tan∠CAB＝3，OC：OB＝3：4．（1）求该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的对称轴分别与x轴、BC交于点E、F，求EF的长；（3）在（2）的条件下，联结CE，如果点P在该抛物线的对称轴上，当△CEP和△CEB 相似时，求点P的坐标．25．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，tan C＝，点D是斜边AC上的动点，联结BD，EF垂直平分BD交射线BA于点F，交边BC于点E．（1）如图，当点D是斜边AC上的中点时，求EF的长；（2）联结DE，如果△DEC和△ABC相似，求CE的长；（3）当点F在边BA的延长线上，且AF＝2时，求AD的长．。

一、选择题1. 下列选项中，绝对值最小的数是（）A. -2B. -1C. 0D. 1答案：C解析：绝对值表示一个数与0的距离，0的绝对值最小，故选C。

2. 已知一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0（a ≠ 0）的判别式为Δ = b^2 - 4ac，则以下说法正确的是（）A. Δ > 0，方程有两个不相等的实数根B. Δ = 0，方程有两个相等的实数根C. Δ < 0，方程无实数根D. Δ 可以是任意实数答案：A解析：当Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根；当Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根；当Δ < 0 时，方程无实数根。

故选A。

3. 在等腰三角形ABC中，AB = AC，∠BAC = 40°，则∠ABC的度数是（）A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°答案：B解析：等腰三角形的底角相等，所以∠ABC = ∠ACB = (180° - ∠BAC) / 2 = (180° - 40°) / 2 = 70°。

故选B。

4. 已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，若OA = 4cm，OB = 6cm，则OC的长度是（）A. 4cmB. 6cmC. 8cmD. 10cm答案：C解析：平行四边形的对角线互相平分，所以OC = OA = 4cm。

故选C。

5. 下列函数中，y = kx（k ≠ 0）的图象经过第一、二、三象限的是（）A. y = 2xB. y = -3xC. y = 0.5xD. y = -0.5x答案：A解析：当k > 0时，函数图象经过第一、二、三象限；当k < 0时，函数图象经过第二、三、四象限。

故选A。

二、填空题6. 若方程 2x - 3 = 5 的解为 x = 4，则方程 3x - 7 = 2 的解为 x =__________。

--浦东新区2017学年第一学期初三教学质量检测数 学 试 卷（完卷时间:100分钟,满分:150分）２０18.1一、选择题：（本大题共6题,每题4分，满分24分)１．如果把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍,那么锐角A 的余切值（Ａ）扩大为原来的两倍; ﻩ(Ｂ)缩小为原来的21； (Ｃ)不变； ﻩ(D)不能确定． 2．下列函数中，二次函数是(A)54+-=x y ； （Ｂ）)32(-=x x y ； （Ｃ）22)4(x x y -+=;(D ）21xy =. 3．已知在Rt △A ＢC 中,∠C =90°,A Ｂ＝7，ＢC =5,那么下列式子中正确的是(A)75sin =A ; (B ）75cos =A ; ﻩ（Ｃ)75tan =A ; (D ）75cot =A . 4．已知非零向量a ，b ,c ，下列条件中，不能判定向量a与向量b 平行的是（A ）c a //，c b //； （=; ﻩ(Ｃ)c a =，c b 2=； (D)0=+b a ． 5.如果二次函数2y ax bx c =++的图像全部在ｘ轴的下方,那么下列判断中正确的是 (Ａ）0<a ，0<b ; ﻩﻩ ﻩ （B)0>a ,0<b ； （C)0<a ,0>c ;ﻩﻩ（D)0<a ,0<c ．6．如图，已知点D 、Ｆ在△A ＢC 的边AB 上,点E 在边ＡC 上,且ＤE ∥BC ，要使得ＥＦ∥CD ,还需添加一个条件,这个条件可以是（A)EF ADCD AB=； ﻩ (B)AE AD AC AB =； (C)AF AD AD AB =； ﻩﻩﻩ(D ）AF AD AD DB =．二、填空题：（本大题共1２题，每题４分，满分4８分)7．已知23=y x ,则yx y x +-的值是 . 8.已知线段ＭN 的长是４ｃm ，点P 是线段MN 的黄金分割点,则较长线段MP 的长是 c ｍ. ９.已知△ABC ∽△A 1B 1C 1,△A ＢC 的周长与△A 1B １Ｃ１的周长的比值是23，BE 、B 1Ｅ１分别是它 们对应边上的中线，且BE =6,则B 1E 1= .BA F E CD （第6题图）--10．计算：132()2a ab +-= ． 11.计算:3tan30sin45︒+︒= .12．抛物线432-=x y 的最低点坐标是 .13．将抛物线22x y =向下平移3个单位，所得的抛物线的表达式是 . １4．如图，已知直线l 1、ｌ2、l 3分别交直线l 4于点A 、Ｂ、C ，交直线ｌ５于点D 、E 、F ,且ｌ１∥l 2∥l 3，ＡB =4，A Ｃ＝6，ＤF =9，则ＤE ＝ ．１5．如图,用长为10米的篱笆,一面靠墙(墙的长度超过10米)，围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为ｘ米,花圃面积为S 平方米，则S 关于x 的函数解析式是 . （不写定义域).16.如图，湖心岛上有一凉亭B ，在凉亭Ｂ的正东湖边有一棵大树A ,在湖边的C 处测得Ｂ在北偏西４5°方向上,测得Ａ在北偏东30°方向上，又测得Ａ、C 之间的距离为100米，则A 、B 之间的距离是 米(结果保留根号形式）．17.已知点(-1，m ）、（2，n )在二次函数122--=ax ax y 的图像上,如果m >n ,那么a 0(用“＞”或“＜”连接）．１８.如图，已知在Rt △A ＢC 中,∠A ＣB =９0°,54cos =B ,BC=８，点D 在边ＢC 上，将 △ABC 沿着过点D 的一条直线翻折,使点B 落在AB 边上的点E 处,联结CE 、D Ｅ，当∠ＢDE =∠A ＥC 时，则BE 的长是 ．三、解答题：（本大题共7题,满分78分） 1９.（本题满分１０分)将抛物线542+-=x x y 向左平移4个单位,求平移后抛物线的表达式、顶点坐标 和对称轴.（第15题图） A DEB CFl 1 l 2 l 3l 4（第14题图）l 5 （第16题图）CB A45° 30° CBA（第18题图）2０.（本题满分10分，每小题5分）如图,已知△AB Ｃ中,点D 、E 分别在边AB 和AC 上,D Ｅ∥BC ， 且DE 经过△ABC 的重心,设BC a =.(1)=DE ．(用向量a 表示）； （2)设AB b =,在图中求作12b a +.(不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量.）2１．（本题满分1０分，其中第（１）小题4分,第(２）小题6分）ﻩ如图，已知G 、H 分别是□ABCD 对边ＡD 、ＢC 上的点,直线ＧＨ 分别交BA 和DC 的延长线于点E 、Ｆ.(１)当81=∆CDGHCFH S S 四边形时，求DGCH 的值； (２）联结BD 交ＥF 于点M ,求证：MG ME MF MH ⋅=⋅.22．(本题满分10分，其中第（1）小题4分,第（2)小题6分)如图,为测量学校旗杆A Ｂ的高度,小明从旗杆正前方3米处的点C 出发,沿坡度为3:1=i 的斜坡C Ｄ前进32米到达点Ｄ，在点Ｄ处放置测角仪，测得旗杆顶部A 的仰角为3７°,量得测角仪DE 的高为1．5米．Ａ、B 、C 、D 、E 在同一平面内,且旗杆和测角仪都与地面垂直. (1）求点D 的铅垂高度(结果保留根号）; (2)求旗杆ＡB 的高度(精确到0.1）.（参考数据:ｓin ３7°≈0.60,ｃos37°≈0.8０,t ａn37°≈0.75,73.13≈．）（第20题图）ABC DE（第22题图）（第21题图）AHF EC G D23．(本题满分１2分，其中第(1)小题6分,第（2)小题6分)如图，已知,在锐角△ＡB Ｃ中，C Ｅ⊥AB 于点E ，点Ｄ在边AC 上， 联结B Ｄ交ＣE 于点F ，且DF FB FC EF ⋅=⋅. （1)求证：BD ⊥AC ；（2）联结AF ，求证:AF BE BC EF ⋅=⋅.24.（本题满分12分，每小题4分)已知抛物线ｙ＝ａx 2＋b ｘ+5与x 轴交于点A (1,０)和点B (5，0），顶点为M .点Ｃ在x 轴的负半轴上,且AC =ＡB ,点Ｄ的坐标为(０，3),直线l 经过点C 、D ． (1）求抛物线的表达式；(2）点P 是直线ｌ在第三象限上的点,联结AP ，且线段CP 是线段CA 、C Ｂ的比例中项,求tan ∠C ＰA 的值;（3)在（2)的条件下,联结AM 、BM ，在直线ＰM 上是否存在点Ｅ,使得∠ＡE Ｍ=∠ＡM Ｂ.若存在，求出点E 的坐标;若不存在，请说明理由.A （第23题图）DEFBC（第24题图）25．(本题满分1４分,其中第（1）小题4分,第(2)小题5分，第（3）小题5分）如图,已知在△A ＢＣ中，∠ＡC Ｂ=90°,ＢＣ=2，AC ＝4,点Ｄ在射线ＢC 上,以点D 为圆心,B Ｄ为半径画弧交边ＡB 于点E ,过点Ｅ作ＥF ⊥AB 交边AC 于点F ,射线ED 交射线A Ｃ于点G . （１)求证：△ＥFG ∽△AE Ｇ；(2）设FG =x ,△EFG 的面积为y ,求ｙ关于x 的函数解析式并写出定义域； （3)联结D Ｆ，当△ＥFD 是等腰三角形时,请直接．．写出FG 的长度.（第25题备用图）ABC（第25题备用图）ABC浦东新区2０1７学年度第一学期初三教学质量检测数学试卷参考答案及评分标准一、选择题：(本大题共6题,每题4分，满分24分） １.C; 2.B ； 3．A ； ４．B ； ５.Ｄ; ６．Ｃ.二、填空题：(本大题共1２题,每题４分,满分48分)7.51；8．252-； 9.4；１０．5a b -;１１.223+；1２．（０,－４);13.322-=x y ； 14．6； 1５．x x S 1022+-=;１6.50350+;17.＞；18．539．三、解答题：（本大题共7题,满分７8分)19．解：∵54442+-+-=x x y =1)2(2+-x ．…………………………………（3分） ∴平移后的函数解析式是1)2(2++=x y .………………………………（3分)顶点坐标是(-2，1)．……………………………………………………(2分） 对称轴是直线2x =-.………………………………………………… (2分）２0.解：(1)=23a ．……………………………(5分）(2）图正确得４分，结论:AF 就是所要求作的向量. …（１分)．21．(1）解：∵81=∆CDGH CFHS S 四边形， ∴ 91=∆∆DFG CFH S S ．……………………………………………………(1分）∵ □ＡＢCD 中,AD ／／BC ,∴ △CFH ∽△ＤFG . ………………………………………………(1分)∴ 91)(2==∆∆DG CH S S DFG CFH ．…………………………………………… (1分）∴ 31=DG CH ． …………………………………………………………（1分）（2)证明:∵ □ＡB ＣD 中，AD //BC , ∴ MGMH MD MB =. ……………………………………(2分） ∵ □AB ＣD中，ＡＢ//C Ｄ， ∴ MD MB MF ME =．……………………………………（2分） ∴ MG MH MF ME =．……………………………………(1分） ∴ MH MF ME MG ⋅=⋅. ……………………………（１分) ２2.解:(1)延长ED 交射线BC 于点H .由题意得DH ⊥BC .（第21题图） A BHFEC GD M（第20题图）B在Rt △CD Ｈ中，∠DHC ＝90°,tan ∠ＤＣＨ=1:i =……………（1分） ∴ ∠DCH =30°.∴ ＣD =2DH ．……………………………(1分) ∵ CD＝∴ DHＣH =3 .……………………（１分） 答：点D 的铅垂高度是3米.…………(1分)(2）过点E 作EF ⊥AB 于Ｆ.由题意得,∠AE Ｆ即为点E 观察点Ａ时的仰角,∴ ∠AEF =３7°. ∵ ＥF ⊥AB ，ＡB ⊥ＢC ，ED ⊥B Ｃ, ∴ ∠BFE =∠B =∠B ＨE ＝90°. ∴ 四边形FBHE 为矩形.∴ EF =BH ＝ＢC ＋C Ｈ=6. ……………………………………………（1分)F Ｂ=EH =ED +DH ＝１.5+3. ……………………………………(1分) 在Ｒt △ＡEF 中,∠AFE =90°,5.475.06tan ≈⨯≈∠⋅=AEF EF AF ．(1分) ∴ ＡB ＝AF +FB =6+3 ………………………………………………(1分) 7.773.16≈+≈． ……………………………………………（1分) 答:旗杆ＡB 的高度约为7．7米. …………………………………（1分)23．证明:（1）∵ DF FB FC EF ⋅=⋅,∴FCFBDF EF =. ………………………（１分） ∵ ∠EF Ｂ=∠DFC , …………………(1分）∴ △E ＦB ∽△ＤF Ｃ. …………………(1分) ∴ ∠ＦEB =∠FDC . ………………… （1分） ∵ CE ⊥AB ， ∴ ∠FEB ＝ 90°.……………………… (１分) ∴ ∠ＦＤＣ= 90°. ∴ BD ⊥ＡＣ. ………………………… （1分) (２）∵ △ＥＦB ∽△DFC ，∴ ∠ABD =∠ACE . …………………………………………… (1分）∵ CE ⊥A Ｂ，∴ ∠FEB = ∠A ＥC= 90°．∴ △ＡE Ｃ∽△FEB . ……………………………………………(1分）∴ EBECFE AE =.……………………………………………………(1分） （第22题图）A （第23题图） D EF B C∴EBFEEC AE =． …………………………………………………(１分) ∵ ∠AEC =∠FEB ＝ ９0°，∴ △AEF ∽△CEB .………………………………………………(1分）∴ EBEFCB AF =,∴ AF BE BC EF ⋅=⋅． ………………………(1分) 2４．解：(1）∵ 抛物线52++=bx ax y 与x 轴交于点A (1,0）,B （５，0）,∴ ⎩⎨⎧=++=++.0552505b a b a ；………………………解得⎩⎨⎧-==.61b a ；∴ 抛物线的解析式为562+-=x x y .……（1 （2）∵ A （1,0),Ｂ(５，0),∴ OA=1,A Ｂ＝4．∵ ＡC ＝AB 且点C 在点A 的左侧，∴ A Ｃ＝4 .∴ CB ＝CA+A Ｂ=8. ………………………………………………（1分） ∵ 线段CP 是线段ＣA 、CB 的比例中项,∴CBCPCP CA =. ∴ CP ＝24. ……………………………………………………(１分)又 ∵ ∠PCB 是公共角,∴ △CP A ∽△C ＢP .∴ ∠ＣＰA= ∠CB Ｐ． ………………………………………………(1分)过P 作PH ⊥x 轴于H .∵ O Ｃ=OD=３，∠D ＯC=９0°,∴ ∠ＤC Ｏ＝45°.∴ ∠PC Ｈ=45°∴ PH=C Ｈ=C Ｐ 45sin ＝4,∴ Ｈ(-7,0),BH=12. ∴ P (-７，-4）.∴ 31tan ==∠BH PH CBP ，31tan =∠CPA ． ………………………（1分） （３） ∵ 抛物线的顶点是M (３，－4),………………………………… (１分） 又 ∵ P (-7,-4）,∴ P Ｍ∥ｘ轴 .当点E 在M 左侧， 则∠B ＡM ＝∠A ＭE . ∵ ∠AEM=∠AMB ,∴ △ＡＥM ∽△B ＭA .…………………………………………………（１分）∴BA AM AM ME =. ∴45252=ME . （第24题图）∴ ME=5，∴ Ｅ(-2,-４). …………………………………(１分） 过点Ａ作ＡN ⊥PM 于点N ，则N (１,-４）.当点Ｅ在M 右侧时，记为点E ', ∵ ∠A E 'N=∠AE Ｎ,∴ 点E '与Ｅ 关于直线ＡN 对称,则E '（4，-4).………………(1分） 综上所述,Ｅ的坐标为（-２，-４）或（４，-４).２5.解：(1)∵ ED ＝B Ｄ，∴ ∠B ＝∠ＢED ．………………………………(1∵ ∠ACB =9０°, ∴ ∠B ＋∠Ａ=90°． ∵ EF ⊥AB ,∴ ∠B ＥF ＝9０°． ∴ ∠BED +∠GEF =90°．∴ ∠A =∠G ＥF ． ………………………………（1分∵ ∠Ｇ是公共角, ……………………………（1分） ∴ △EFG ∽△A ＥG ． （2）作ＥＨ⊥ＡF 于点Ｈ.∵ 在Ｒt △ABC 中，∠ACB ＝90°,ＢＣ=2,AC =4, ∴ 21tan ==AC BC A . ∴ 在Rt △AEF 中，∠AEF =90°，21tan ==AE EF A . ∵ △EFG ∽△ＡＥＧ, ∴21===AE EF GA GE EG FG .……………………………………………(1分) ∵ FG =x ,∴ EG =2ｘ，AG =４x .∴ A Ｆ=3x . ……………………………………………………………（1分） ∵ ＥH ⊥AF ，∴ ∠A ＨE =∠ＥHF =9０°. ∴ ∠ＥF Ａ+∠ＦEH ＝90°. ∵ ∠AEF =90°， ∴ ∠A +∠EF A ＝90°． ∴ ∠A =∠F ＥH ．∴ tan Ａ =tan ∠F ＥH ．∴ 在Rt △ＥH Ｆ中,∠EH Ｆ＝90°，21tan ==∠EH HF FEH .∴ ＥH =２ＨＦ．∵ 在R ｔ△ＡEH 中,∠AHE ＝90°，21tan ==AH EH A ．∴ AH ＝２EH ． ∴ AH ＝4HF ． ∴ ＡＦ=5HF ．∴ ＨF ＝x 53.∴ x EH 56=．…………………………………………………………(１分）∴ 253562121x x x EH FG y =⋅⋅=⋅⋅=.………………………………（1分) 定义域:（340≤<x ).……………………………………………（1分）(３）当△E ＦD 为等腰三角形时，ＦＧ的长度是:254,273．……（5分)。

2022年上海市15区中考数学一模考点分类汇编专题09 几何证明一．解答题（共15小题）1．（普陀区）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、BC上，BD＝DC，BD•BC＝BE•AC．（1）求证：∠ABE＝∠DEB；（2）延长BA、ED交于点F，求证：．【分析】（1）由BD•BC＝BE•AC得出＝，BD＝DC得出∠DBC＝∠C，从而得出结论；（2）根据（1）的结论和已知证明△FAD∽△FDB即可．【解答】证明：（1）∵BD＝DC，∴∠DBC＝∠C，∵BD•BC＝BE•AC，∴＝，∴△ABC∽△DEB，∴∠ABC＝∠DEB，即∠ABE＝∠DEB；（2）如图所示：∵△ABC∽△DEB，∴∠CAB＝∠BDE，∴∠FAD＝∠FDB，∵∠F＝∠F，∴△FAD∽△FDB，∴＝，∵∠ABE＝∠DEB，∴FB＝FE，又∵BD＝DC，∴＝．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，关键是找到相似的三角形．2．（崇明区）已知：如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，E为边AC上一点，联结BE交CD于点F，并满足BC2＝CD•BE．求证：（1）△BCE∽△ACB；（2）过点C作CM⊥BE，交BE于点G，交AB于点M，求证：BE•CM＝AB•CF．【分析】（1）通过证明△BCD∽△EBC，可得∠CEB＝∠CBD，可得结论；（2）通过证明△BCE∽△ACB，△ACB∽△CDB，△CDM∽△BDF，可得，，，可得结论．【解答】证明：（1）∵BC2＝CD•BE，∴，设＝k，则BC＝k•CD，BE＝k•BC，∴CE＝＝×BC，BD＝＝×CD，∴＝，又∵∠ACB＝∠CDB＝90°，∴△BCD∽△EBC，∴∠CEB＝∠CBD，又∵∠ACB＝∠BCE＝90°，∴△BCE∽△ACB；（2）如图，∵△BCE∽△ACB，∴，∵∠CEB＝∠CBA，∴∠A＝∠CBE，∵∠A+∠ABC＝90°＝∠DCB+∠CBD，∴∠A＝∠DCB，∴∠DCB＝∠EBC，∴CF＝BF，∵∠A＝∠DCB，∠CDB＝∠ACB＝90°，∴△ACB∽△CDB，∴，∵CM⊥BE，∴∠ABE+∠CMD＝90°＝∠CMD+∠MCD，∴∠MCD＝∠ABE，又∵∠CDB＝∠CDM＝90°，∴△CDM∽△BDF，∴，∴，∴BE•CM＝AB•CF．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，灵活运用相似三角形的性质是解题的关键．3．（嘉定区）如图，已知正方形ABCD和正方形BEFG，点E在边BC上，点G在边AB的延长线上，联结AE，并延长AE交CG于点K．（1）求证：△ABE∽△CKE；（2）如果CG与EF交于点H，求证：BE2＝FH•AB．【分析】（1）由“SAS”可证△ABE≌△CBG，可得∠BAE＝∠ECK，可得结论；（2）通过证明△ABE∽△GFH，可得，可得结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠ABC＝90°，∵四边形BEFG是正方形，∴FG＝BG＝BE，∠CBG＝90°，∴∠ABE＝∠CBG＝90°，在△ABE和△CBG中，，∴△ABE≌△CBG（SAS），∴∠BAE＝∠ECK，又∵∠AEB＝∠CEK，∴△ABE∽△CKE；（2）由题意，得∠CEF＝∠F＝∠ABE＝90°，∴FG∥BC，∴∠ECK＝∠FGH，∵∠BAE＝∠ECK，∴∠BAE＝∠FGH，∴△ABE∽△GFH，∴，∵FG＝BE，∴，∴BE2＝FH•AB．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．4．（宝山区）如图，已知△ABC和△DCE都是等边三角形，点B、C、E在同一直线上，联结BD交AC边于点F．（1）如果∠ABD＝∠CAD，求证：BF2＝DF•DB；（2）如果AF＝2FC，S四边形ABCD＝18，求S△DCE的值．【分析】（1）证明△ABF≌△CAD（ASA），由全等三角形的性质可得出BF＝AD，证明△ADF∽△BDA，由相似三角形的性质得出，则可得出结论；（2）证明△DCF∽△BAF，由相似三角形的性质得出＝，设S△DCF＝x，则S△ADF＝S△BCF＝2x，S△ABF＝4x，由四边形ABCD的面积可得出x+2x+2x+4x＝18，求出x＝2，求出三角形ABC的面积，证明△ABC∽△DCE，由相似三角形的性质得出＝，则可得出结论．【解答】（1）证明：∵△ABC和△DCE都是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠DCE＝∠ACB＝60°，又∵∠ABD＝∠CAD，∴△ABF≌△CAD（ASA），∴BF＝AD，∵∠ADF＝∠BDA，∠ABD＝∠CAD，∴△ADF∽△BDA，∴，∴AD2＝DF•BD，∴BF2＝DF•BD；（2）解：∵∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝60°，∴∠ACD＝∠BAC，∴AB∥CD，∴△DCF∽△BAF，∴＝，∴，，，设S△DCF＝x，则S△ADF＝S△BCF＝2x，S△ABF＝4x，∵S四边形ABCD＝18，∴x+2x+2x+4x＝18，解得x＝2，∴S△ABF＝8，S△BCF＝4，∴S△ABC＝S△ABF+S△BCF＝8+4＝12，∵△ABC和△DCE都是等边三角形，∴△ABC∽△DCE，∴＝，∴S△DCE＝＝×12＝3．【点评】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明△DCF∽△BAF是解题的关键．5．（杨浦区）已知，如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，点E在边BC上，AE∥CD，DE ∥AB，过点C作CF∥AD，交线段AE于点F，联结BF．（1）求证：△ABF≌△EAD；（2）如果射线BF经过点D，求证：BE2＝EC•BC．【分析】（1）先证AB＝AE，DE＝DC，再证四边形ADCF是平行四边形，得出AF＝CD，进而得出AF＝DE，再由平行线性质得∠AED＝∠BAF，进而证得结论；（2）通过证明△BEF∽△BCD，△DEF∽△BAF，可得，即可得结论．【解答】证明：（1）∵AE∥CD，∴∠AEB＝∠BCD，∵∠ABC＝∠BCD，∴∠ABC＝∠AEB，∴AB＝AE，∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠ABC，∠AED＝∠BAF，∵∠ABC＝∠BCD，∴∠DEC＝∠BCD，∴DE＝DC，∵CF∥AD，AE∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∴AF＝CD，∴AF＝DE，在△ABF和△EAD中，，∴△ABF≌△EAD（SAS）；（2）如图，连接FD，∵射线BF经过点D，∴点B，点F，点D三点共线，∵AE∥DC，∴△BEF∽△BCD，∴，，∵DE∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴，∴，∵CD＝AF，∴，∴BE2＝EC•BC．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，利用相似三角形的性质得到线段的关系是解题的关键．6．（松江区）已知：如图，梯形ABCD中，DC∥AB，AC＝AB，过点D作BC的平行线交AC于点E．（1）如果∠DEC＝∠BEC，求证：CE2＝ED•CB；（2）如果AD2＝AE•AC，求证：AD＝BC．【分析】（1）通过证明△DEC∽△CEB，可得，可得结论；（2）通过证明△BCE∽△ACB，可得，由相似三角形的性质可得，可得，通过证明△ADE∽△ACD，可得＝，可得结论．【解答】证明：（1）∵AC＝AB，∴∠ACB＝∠ABC，∵DC∥AB，∴∠DCE＝∠CAB，∵DE∥BC，∴∠DEC＝∠BCE，∵∠DEC＝∠BEC，∴∠DEC＝∠BCE＝∠BEC＝∠ABC，∴∠BAC＝∠CBE＝∠DCE，BE＝BC，∴△DEC∽△CEB，∴，∴CE2＝DE•BE＝DE•CB；（2）∵∠BAC＝∠CBE，∠ACB＝∠BCE，∴△BCE∽△ACB，∴，∵△DEC∽△CEB，∴，∠CDE＝∠BCE＝∠CED＝∠BEC，∴，CD＝CE，∵AD2＝AE•AC，∴，又∵∠DAE＝∠DAC，∴△ADE∽△ACD，∴＝，∴，∴AD＝BC．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的判定是解题的关键．7．（浦东新区）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝∠ADE＝30°，AC 与DE相交于点F，联结CE，点D在边BC上．（1）求证：△ABD∽△ACE；（2）若＝，求的值．【分析】（1）根据相似三角形的判定定理得到△BAC∽△DAE，根据相似三角形的性质得到，求得∠BAD＝∠CAE，根据相似三角形的判定定理得到结论；（2）根据相似三角形的性质和直角三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：∵∠ADE＝∠DAE，∠B＝∠ADE，∴△BAC∽△DAE，∴，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE；（2）解：∵△ABD∽△ACE，∴，∵∠DAE＝90°，∠ADE＝30°，∴＝，∴＝•＝＝3，∵△ADF∽△ECF，∴＝＝3．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．8．（徐汇区）如图，已知△ADE的顶点E在△ABC的边BC上，DE与AB相交于点F，∠FEA＝∠B，∠DAF＝∠EAC．（1）求证：AE2＝AF•AB；（2）求证：＝．【分析】（1）利用两个角相等证明△BAE∽△EAF，得，即可证明结论；（2）首先证明△DAE∽△CAB，得，∠D＝∠C，再证明△DAF∽△CAE，得，等量代换即可．【解答】证明：（1）∵∠FEA＝∠B，∠BAE＝∠EAF，∴△BAE∽△EAF，∴，∴AE2＝AF•AB，（2）∵∠DAF＝∠CAE，∠FAE＝∠FAE，∴∠DAE＝∠CAF，∵∠FEA＝∠B，∴△DAE∽△CAB，∴，∠D＝∠C，∵∠DAF＝∠EAC，∴△DAF∽△CAE，∴，∴，∴．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．9．（金山区）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝6，E是对角线BD上一点，DE＝4，∠BCE＝∠ABD．（1）求证：△ABD∽△ECB；（2）如果AD：BC＝3：5，求AD的长．【分析】（1）先由AD∥BC得到∠ADB＝∠EBC，然后由∠ABD＝∠ECB得证△ABD∽△ECB；（2）先由AB＝DC得到∠ABC＝∠BCD，再由∠∠ABD＝∠BCE得到∠DBC＝∠DCE，从而得到△DBC∽△DCE，然后利用相似三角形的性质求得BD的长，进而得到BE的长，再由△ABD∽△ECB得到AD的长．【解答】解：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠EBC，又∵∠BCE＝∠ABD，∴△ABD∽△ECB．（2）∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝6，∴∠ABC＝∠BCD，又∵∠BCE＝∠ABD，∴∠DBC＝∠DCE∵∠BDC＝∠CDE，∴△BDC∽△CDE，∴，∵DC＝6，DE＝4，∴BD＝9，∴BE＝5，∵△ABD∽△ECB，∴，由AD：BC＝3：5，设AD＝3x，BC＝5x，∴，解得：x＝或x＝﹣（舍），∴AD＝．【点评】本题考查了梯形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的性质，解题的关键是熟练应用等量代换得证∠DBC＝∠DCE．10．（静安区）如图，边长为1的正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点Q、R分别在边AD、DC上，BR交线段OC于点P，QP⊥BP，QP交BD于点E．（1）求证：△APQ∽△DBR；（2）当∠QED等于60°时，求的值．【分析】（1）利用正方形的性质可得∠QAP＝∠BDR＝45°，AC⊥BD，根据已知QP⊥BP，利用同角的余角相等可得∠APQ＝∠DBR，即可解答；（2）由（1）可得△APQ∽△DBR，从而可得＝，根据已知可得∠BEP＝60°，设OE 为a，然后在Rt△OEP中，表示出OP＝a，EP＝2a，从而在Rt△BEP中求出BE＝4a，进而求出OB，然后进行计算即可解答．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD，∠QAP＝∠BDR＝45°，∴∠BOC＝∠DOC＝90°，OA＝OB，∴∠OBP+∠OPB＝90°，∵QP⊥BP，∴∠QPB＝90°，∴∠OPB+∠QPA＝90°，∴∠APQ＝∠DBR，∴△APQ∽△DBR；（2）解：由（1）可得△APQ∽△DBR，∴＝，∵∠QED＝60°，∴∠BEP＝∠QED＝60°，∴∠OPE＝90°﹣∠BEP＝30°，∴PE＝2OE，OP＝OE，设OE为a，则EP＝2a，OP＝a，在Rt△BEP中，BE＝＝＝4a，∴OB＝BE﹣OE＝4a﹣a＝3a，∴BD＝2OB＝6a，∵OA＝3a，OP＝a，∴AP＝OA+OP＝3a+a，∴＝＝，∴＝．【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．11．（虹口区）如图，在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，BC＝2AD，对角线AC与BD交于点E．点F是线段EC上一点，且∠BDF＝∠BAC．（1）求证：EB2＝EF•EC；（2）如果BC＝6，sin∠BAC＝，求FC的长．【分析】（1）先由AD∥BC得到△EAD∽△ECB，从而得到，然后由∠BDF＝∠BAC、∠AEB＝∠DEF得证△EAB∽△EDF，进而得到，最后得到结果；（2）先利用条件得到AC、AB的长，然后利用BC＝2AD得到AD、BD的长，再结合相似三角形的性质得到EB、EC的长，进而得到EF的长和FC的长．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴△EAD∽△ECB，∴，即，∵∠BDF＝∠BAC，∠AEB＝∠DEF，∴△EAB∽△EDF，∴，∴，∴EB2＝EF•EC．（2）解：∵BC＝6，sin∠BAC＝＝，BC＝2AD∴AC＝9，AD＝3，∵∠ABC＝90°，AD∥BC，∴∠BAD＝90°，∴AB＝＝＝3，∴BD＝＝＝3，∵△EAD∽△ECB，∴，∴EC＝AC＝×9＝6，EB＝BD＝×3＝2，∵EB2＝EF•EC，即（2）2＝6EF，∴EF＝4，∴FC＝EC﹣EF＝6﹣4＝2．【点评】本题考查了直角梯形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是熟知“8”字模型相似三角形的判定与性质．12．（奉贤区）根据相似形的定义可以知道，如果一个四边形的四个角与另一个四边形的四个角对应相等，且它们各有的四边对应成比例，那么这两个四边形叫做相似四边形．对应相等的角的顶点叫做这两个相似四边形的对应顶点，以对应顶点为端点的边是这两个相似四边形的对应边，对应边的比叫做这两个相似多边形的相似比．（我们研究的四边形都是指凸四边形）（1）某学习小组在探究相似四边形的判定时，得到如下两个命题，请判断它们是真命题还是假命题（直接在横线上填写“真”或“假”）①梯形的中位线将原梯形分成的两个小的梯形相似；假命题；②有一个内角对应相等的两个菱形相似；真命题．（2）已知：如图1，△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，以BC为直角边作等腰直角三角形BCD，再以BD为直角边作等腰直角三角形BDE求证：四边形ABDC与四边形CBED相似．（3）已知：如图2，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，BE、CD相交于点F，点G在AF的延长线上，联结BG、CG．如果四边形ADFE与四边形ABGC相似，且点A、D、F、E分别对应A、B、G、C．求证：AF•BF＝AG•EF．【分析】（1）根据相似多边形的定义，分别从对应边和对应角两个方面判断即可；（2）由等腰直角三角形的性质可知，两个四边形符合相似四边形的定义；（3）根据相似四边形对应角相等得，∠ADF＝∠ABG，∠AEF＝∠ACG，则CD∥BG，BE∥CG，从而证明四边形BGCF是平行四边形，有BF＝CG，再证明△EAF∽△CAG，则，等量代换即可证明结论．【解答】（1）解：①梯形的中位线将原梯形分成的两个小的梯形满足四个角对应线段，但边不是对应成比例，所以原命题是假命题；②有一个内角对应相等的两个菱形满足四个角线段，对应边成比例，所以是真命题，故答案为：假，真；（2）证明：由题意知，∠A＝∠CBE＝90°，∠ACD＝∠CDE＝135°，∠ABD＝∠BCD＝90°．∠CDB＝∠E＝45°，∴四边形ABDC与四边形CBED的四个角对应相等，设AB＝AC＝x，则CD＝x，BD＝DE＝2x，BE＝2x，∴，∴四边形ABDC与四边形CBED的四边对应成比例，∴四边形ABDC与四边形CBED相似；（3）证明：∵四边形ADFE与四边形ABGC相似，且点A、D、F、E分别对应A、B、G、C．∴∠ADF＝∠ABG，∠AEF＝∠ACG，∴CD∥BG，BE∥CG，∴四边形BGCF是平行四边形，∴BF＝CG，∵∠AEF＝∠ACG，∠EAF＝∠CAG，∴△EAF∽△CAG，∴，∴，∴AF•BF＝AG•EF．【点评】本题是相似形综合题，主要考查了相似四边形的定义，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，读懂定义，紧扣定义中从边和角两个方面进行考虑是解题的关键．13．（青浦区）已知：如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点E，∠ABD＝∠CBD，DC2＝DE•DB．（1）求证：△AEB∽△DEC；（2）求证：BC•AD＝CE•BD．【分析】（1）根据已知条件先证明△DCE∽△DBC，可得∠DCE＝∠DBC，进而可以证明结论；（2）结合（1）的结论证明△AED∽△BEC，可得∠ADE＝∠BCE，再证明△BDA∽△BCE，进而可得结论．【解答】证明：（1）∵DC2＝DE⋅DB，∴，∵∠CDE＝∠BDC，∴△DCE∽△DBC，∴∠DCE＝∠DBC，∵∠ABD＝∠DBC，∴∠DCE＝∠ABD，∵∠AEB＝∠DEC，∴△AEB∽△DEC；（2）∵△AEB∽△DEC，∴，∵∠AED＝∠BEC，∴△AED∽△BEC，∴∠ADE＝∠BCE，∵∠ABD＝∠DBC，∴△BDA∽△BCE，∴，∴BC•AD＝CE•BD．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△BDA∽△BCE．14．（徐汇区）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，射线CD交AB于点D，点E是CD上一点，且∠AEC＝∠ABC，联结BE．（1）求证：△ACD∽△EBD；（2）如果CD平分∠ACB，求证：AB2＝2ED•EC．【分析】（1）根据已知条件先证明△ADE∽△CDB，可得，因为∠ADC＝∠EDB，即可得证；（2）结合（1）证明△EAB是等腰直角三角形，进而可得结论．【解答】证明：（1）∵∠AEC＝∠ABC，∠ADE＝∠BDC，∴△ADE∽△CDB，∴，又∵∠ADC＝∠EDB，∴△ACD∽△EBD；（2）∵△ADE∽△CDB，∴∠DCB＝∠EAB，∵△ACD∽△EBD，∴∠ACD＝∠EBD，∵∠ACB＝90°，∴∠EAB+∠EBD＝∠DCB+∠ACD＝90°，∴∠AEB＝90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∴∠EBD＝∠EAB＝45°，∴EA＝EB，∴△EAB是等腰直角三角形，∴∠EAD＝∠ACE，∠AED＝∠CEA，∵△AED∽△CEA，∴＝，∴AE2＝ED•EC，∵AE2+EB2＝AB2，∴2AE2＝AB2，∴AE2＝AB2，∴AB2＝ED•EC，∴AB2＝2ED•EC．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是得到△EAB是等腰直角三角形．15．（黄浦区）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，过点D作DF∥CB，分别交AC、AB点E、F，且满足AB•AF＝DF•BC．（1）求证：∠AEF＝∠DAF；（2）求证：＝．【分析】（1）根据DF∥CB，可得∠B＝∠AFD，根据AB•AF＝DF•BC．证明△ABC∽△DAF，进而可以解决问题；（2）由△DCE∽△FAE，可得＝，所以＝，再由△AFE∽△DFA，可得AF2＝EF•DF，由△AEF∽△ACB，得＝，进而可得结论．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，DF∥CB，∴四边形FBCD是平行四边形，∴DC＝FB，DF＝CB，∵AB•AF＝DF•BC．∴＝，∵DF∥CB，∴∠B＝∠AFD，∴△ABC∽△DAF，∴∠ACB＝∠DAF，∵DF∥CB，∴∠AEF＝∠ACB，∴∠AEF＝∠DAF；（2）证明：∵AB∥CD，∴△DCE∽△FAE，∴＝，∴＝，∴＝，∵∠AEF＝∠DAF，∠AFE＝∠DFA，∴△AFE∽△DFA，∴＝，∴AF2＝EF•DF，∴＝＝＝＝，∵DF∥CB，∴△AEF∽△ACB，∴＝，∴＝．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质，得到△AEF∽△ACB．。