六年级奥数教程-第16讲 数的进制 通用版

六年级拔尖数学目录第1讲定义新运算第2讲简单的二元一次不定方程第3讲分数乘除法计算第4讲分数四那么混合运算第5讲估算第6讲分数乘除法的计算技巧第7讲简单的分数应用题〔1〕第8讲较复杂的分数应用题〔2〕第9讲阶段复习与测试〔略〕第10讲简单的工程问题第11讲圆和扇形第12讲简单的百分数应用题第13讲分数应用题复习第14讲综合复习〔略〕第15讲测试〔略〕第16讲复杂的利润问题〔2〕第一讲 定义新运算在加.减.乘.除四那么运算之外，还有其它许多种法那么的运算。

在这一讲里，我们学习的新运算就是用“ #〞“*〞“Δ〞等多种符号按照一定的关系“临时〞规定的一种运算法那么进展的运算。

例1：如果A*B=3A+2B ，那么7*5的值是多少？例2：如果A#B 表示3B A + 照这样的规定，6#〔8#5〕的结果是多少？例3：规定YX XY Y X +=∆ 求2Δ10Δ10的值。

例4：设M*N 表示M 的3倍减去N 的2倍，即M*N=3M-2N（1） 计算〔14 *10〕*6（2） 计算 〔58*43〕 *〔1 *21〕例5：如果任何数A 和B 有A ¤B=A ×B-〔A+B 〕求〔1〕10¤7〔2〕〔5¤3〕¤4〔3〕假设2¤X=1求X例6：设P ∞Q=5P+4Q ，当X ∞9=91时，1/5∞〔X ∞ 1/4〕的值是多少？例7：规定X*Y=XY Y AX +，且5*6=6*5那么〔3*2〕*〔1*10〕的值是多少？例8：▽表示一种运算符号，它的意义是））（（A Y A X XY Y X +++=∇11 3211212112=+++=∇））（（A 那么20218▽2021=？稳固练习1、2▽3=2+22+222=246； 3▽4=3+33+333+3333=3702；按此规那么类推（1） 3▽2 〔2〕5▽3〔3〕1▽X=123，求X 的值2、1△4=1×2×3×4；5△3=5×6×7计算〔1〕〔4△2〕+〔5△3〕 〔2〕〔3△5〕÷〔4△4〕3、如果A*B=3A+2B，那么〔1〕7*5的值是多少？〔2〕〔4*5〕*6 〔3〕〔1*5〕*〔2*4〕4、如果A>B，那么｛A，B｝=A；如果A<B，那么｛A，B｝=B；试求〔1〕｛8，0.8｝〔2〕｛｛1.9，1.901｝1.19｝5、N为自然数，规定F〔N〕=3N-2 例如F〔4〕=3×4-2=10试求：F〔1〕+F〔2〕+F〔3〕+F〔4〕+F〔5〕+……+F〔100〕的值6、如果1=1！1×2=2！1×2×3=3！……1×2×3×4×……×100=100!那么1！+2！+3！+……+100！的个位数字是几？〔第四届小学生“迎春杯〞数学决赛试题〕7、假设“+、-、×、÷、=、〔〕〞的意义是通常情况，而式子中的“5”却相当于“4”。

今日关键1. n 进制运算2. n 进制3. 位值原理【例 1】(63121)8-(1247)8-(16034)8-(26531)8-(1744)8=( )8。

【巩固】在八进制中，1234-456-322= 。

【例 2】⑴(101)2⨯(1011)2-(11011)2=( )2；⑵(11000111)2-(10101)2÷(11)2=( )2；⑶(3021)4+(605)7=( )10。

【巩固】⑴(1101)2⨯(1111)2-(101)2= ；⑵(4023)5+(542)8=( )10。

【例 3】在几进制中有125⨯125=16324？【巩固】算式1534⨯25=43214是几进制数的乘法？【例 4】有一个两位数，如果把数码3加写在它的前面，则可得到一个三位数，如果把数码3加写在它的后面，则可得到一个三位数，如果在它前后各加写一个数码3，则可得到一个四位数。

将这两个三位数和一个四位数相加等于3600。

求原的两位数。

【巩固】在一个两位质数的两个数字之间，添上数字6以后，所得三位数比原数大870，那么原质数是 。

进制与位值原理逢n 进1借1当n 位值原理 十进制 除n 取余法【例 5】(第五届希望杯培训试题)有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数，如果这6个三位数的和是1554，那么这3个数字分别是。

【巩固】(迎春杯决赛)有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求所有这样的6个三位数中最小的三位数。

〖答案〗【例 1】13121【巩固】234【例 2】⑴11100，⑵11000000，⑶500 【巩固】⑴10111110，⑵867【例 3】七进制【巩固】八进制【例 4】14【巩固】97【例 5】1，2，4【巩固】139。

1．和差倍问题【和差问题】【和倍问题】【差倍问题】已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数公式适用范围已知两个数的和，差，倍数关系公式①(和－差)÷2=较小数较小数＋差=较大数和－较小数=较大数②(和＋差)÷2=较大数较大数－差=较小数和－较大数=较小数和÷(倍数＋1)=小数小数×倍数=大数和－小数=大数差÷(倍数-1)=小数小数×倍数=大数小数＋差=大数关键问题求出同一条件下的和与差和与倍数差与倍数2．年龄问题的三个基本特征：①两个人的年龄差是不变的；②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；③两个人的年龄的倍数是发生变化的；3．归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。

关键问题根据题目中的条件确定并求出单一量；4．植树问题基本类型①在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树；②在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树；③在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树；④封闭曲线上植树。

基本公式棵数=段数＋1 棵距×段数=总长棵数=段数－1 棵距×段数=总长棵数=段数棵距×段数=总长关键问题确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系5．鸡兔同笼问题基本概念鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；基本思路①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。

基本公式①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数）②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）关键问题找出总量的差与单位量的差。

[键入文字]六年级拔尖数学目录第1讲定义新运算第2讲简单的二元一次不定方程第3讲分数乘除法计算第4讲分数四那么混合运算第5讲估算第6讲分数乘除法的计算技巧第7讲简单的分数应用题〔1〕第8讲较复杂的分数应用题〔2〕第9讲阶段复习与测试〔略〕第10讲简单的工程问题第11讲圆和扇形第12讲简单的百分数应用题第13讲分数应用题复习第14讲综合复习〔略〕第15讲测试〔略〕第16讲复杂的利润问题〔2〕第一讲 定义新运算在加.减.乘.除四那么运算之外，还有其它许多种法那么的运算。

在这一讲里，我们学习的新运算就是用“ #〞“*〞“Δ〞等多种符号按照一定的关系“临时〞规定的一种运算法那么进行的运算。

例1：如果A*B=3A+2B ，那么7*5的值是多少？例2：如果A#B 表示3B A + 照这样的规定，6#〔8#5〕的结果是多少？例3：规定YX XY Y X +=∆ 求2Δ10Δ10的值。

例4：设M*N 表示M 的3倍减去N 的2倍，即M*N=3M-2N（1） 计算〔14 *10〕*6（2） 计算 〔58*43〕 *〔1 *21〕例5：如果任何数A 和B 有A ¤B=A ×B-〔A+B 〕求〔1〕10¤7〔2〕〔5¤3〕¤4〔3〕假设2¤X=1求X例6：设P ∞Q=5P+4Q ，当X ∞9=91时，1/5∞〔X ∞ 1/4〕的值是多少？例7：规定X*Y=XY Y AX +，且5*6=6*5那么〔3*2〕*〔1*10〕的值是多少？例8：▽表示一种运算符号，它的意义是））（（A Y A X XY Y X +++=∇11 3211212112=+++=∇））（（A 那么20218▽2021=？稳固练习1、2▽3=2+22+222=246； 3▽4=3+33+333+3333=3702；按此规那么类推（1） 3▽2 〔2〕5▽3〔3〕1▽X=123，求X 的值2、1△4=1×2×3×4；5△3=5×6×7计算〔1〕〔4△2〕+〔5△3〕〔2〕〔3△5〕÷〔4△4〕3、如果A*B=3A+2B，那么〔1〕7*5的值是多少？〔2〕〔4*5〕*6 〔3〕〔1*5〕*〔2*4〕4、如果A>B，那么｛A，B｝=A；如果A<B，那么｛A，B｝=B；试求〔1〕｛8，0.8｝〔2〕｛｛1.9，1.901｝1.19｝5、N为自然数，规定F〔N〕=3N-2 例如F〔4〕=3×4-2=10试求：F〔1〕+F〔2〕+F〔3〕+F〔4〕+F〔5〕+……+F〔100〕的值6、如果1=1！1×2=2！1×2×3=3！……1×2×3×4×……×100=100!那么1！+2！+3！+……+100！的个位数字是几？〔第四届小学生“迎春杯〞数学决赛试题〕7、假设“+、-、×、÷、=、〔〕〞的意义是通常情况，而式子中的“5”却相当于“4”。

第十讲进制与进位我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。

在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。

比如二进制，八进制，十六进制等。

二进制：二进制的运算法则：注意：对于任意自然数n,我们有n0=1。

n进制：进制间的转换：1.掌握进制之间的转换方法。

2.能用进制互化的方法解题。

例1:① 222(101)(1011)(11011)⨯-=________；② 2222(11000111(10101(11(-÷=））） ）；③ 4710(3021)(605)()+= ；④ 88888(63121)(1247)(16034)(26531)(1744)----=________；⑤ 若(1030)140n =，则n =________．例2:在几进制中有413100⨯=？例3:将二进制数(11010.11)2 化为十进制数为多少？例4:现有1克，2克，4克，8克，16克的砝码各1枚，在天平上能称多少种不同重量的物体？例5:在6进制中有三位数abc ，化为9进制为cba ，求这个三位数在十进制中为多少?例6:试求(22006-1)除以992的余数是多少?例7:已知正整数N 的八进制表示为8(12345654321)N =，那么在十进制下，N 除以7的余数与N 除以9的余数之和是多少？A1.①852567(((=== ） ） ）；②在八进制中，1234456322--=________；③在九进制中，1443831237120117705766+--+=________．2.在几进制中有12512516324⨯=？3.二进制数10101011110011010101101转化为8进制数是多少？4.算式153********⨯=是几进制数的乘法？5.将二进制数11101001.1011转换为十六进制数。

B6.某数在三进制中为12120120110110121121，则将其改写为九进制，其从左向右数第l 位数字是几?7.在7进制中有三位数abc ，化为9进制为cba ，求这个三位数在十进制中为多少？8.一个人的年龄用十进制数和三进制数表示，若在十进制数末尾添个“0”就是三进制数，求此人的年龄．9.N 是整数，它的b 进制表示是777，求最小的正整数b ，使得N 是十进制整数的四次方．10.计算2003(31)-除以26的余数．C11.计算2003(21)-除以7的余数．12.在8进制中，一个多位数的数字和为十进制中的68，求除以7的余数为多少？13.现有1斤、2斤、4斤、8斤、16斤的白糖各一袋，白糖整袋地卖，问顾客可买的斤数有多少种？14.求证：1821-能被7整除.15.一个自然数的六进制与九进制均为三位数, 并且它们各位数字的排列顺序恰好相反, 请问这个自然数是几?1.计算下列结果（仍用二进制表示）：（1）()()221101101⨯（2）()()22100111110⨯2.把下列十进制的数写成数码与计数单位乘积的和的形式:(1)()10732 (2)()101869 (3)()10976553.请你制造一个7进制的乘法表。

⼩学奥数教程：进制的应⽤_全国通⽤（含答案）1. 了解进制；2. 会对进制进⾏相应的转换；3. 能够运⽤进制进⾏解题⼀、数的进制1.⼗进制：我们常⽤的进制为⼗进制，特点是“逢⼗进⼀”。

在实际⽣活中，除了⼗进制计数法外，还有其他的⼤于1的⾃然数进位制。

⽐如⼆进制，⼋进制，⼗六进制等。

2.⼆进制：在计算机中，所采⽤的计数法是⼆进制，即“逢⼆进⼀”。

因此，⼆进制中只⽤两个数字0和1。

⼆进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，⼆进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在⼆进制中表⽰为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。

⼆进制的运算法则：“满⼆进⼀”、“借⼀当⼆”，乘法⼝诀是：零零得零，⼀零得零，零⼀得零，⼀⼀得⼀。

注意：对于任意⾃然数n ,我们有n 0=1。

3.k 进制：⼀般地，对于k 进位制，每个数是由0，1，2，，1k -（）共k 个数码组成，且“逢k 进⼀”．1k k >（）进位制计数单位是0k ，1k ，2k ，．如⼆进位制的计数单位是02，12，22，，⼋进位制的计数单位是08，18，28，．4.k 进位制数可以写成不同计数单位的数之和的形式1110110n n n n k n n a a a a a k a ka k a ---=?+?++?+（）⼗进制表⽰形式：1010101010n n n n N a a a --=+++；⼆进制表⽰形式：1010222n n n n N a a a --=+++；为了区别各进位制中的数，在给出数的右下⽅写上k ，表⽰是k 进位制的数如：8352（），21010（），123145（）,分别表⽰⼋进位制，⼆进位制，⼗⼆进位制中的数．5.k 进制的四则混合运算和⼗进制⼀样先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。

⼆、进制间的转换：⼀般地，⼗进制整数化为k 进制数的⽅法是：除以k 取余数，⼀直除到被除数⼩于k 为⽌，余数由下到上按从左到右顺序排列即为k 进制数．反过来，k 进制数化为⼗进制数的⼀般⽅法是：⾸先将k 进制数按k的次幂形式展开，然后按⼗进制数相加即可得结果．如右图所⽰:知识点拨教学⽬标5-8-2.进制的应⽤模块⼀、进制在⽣活中的运⽤【例 1】有个吝啬的⽼财主，总是不想付钱给长⼯。

进位制与位值原理（奥数拓展）知识点进位制进制也就是进位计数制，是人为定义的带进位的计数方法（有不带进位的计数方法，比如原始的结绳计数法，唱票时常用的“正”字计数法，以及类似的tally mark计数）。

对于任何一种进制---X 进制，就表示每一位置上的数运算时都是逢X进一位。

十进制是逢十进一，十六进制是逢十六进一，二进制就是逢二进一，以此类推，x进制就是逢x进位。

1)二进制二进制有两个特点：它由两个数码0，1组成，二进制数运算规律是逢二进一。

为区别于其它进制，二进制数的书写通常在数的右下方注上基数2，或在后面加B表示，其中B是英文二进制Binary的首字母。

例如：二进制数10110011可以写成（10110011）2，或写成10110011B。

对于十进制数可以不加标注，或加后缀D，其中D是英文十进制Decimal的首字母D。

计算机领域我们之所以采用二进制进行计数，是因为二进制具有以下优点：1）二进制数中只有两个数码0和1，可用具有两个不同稳定状态的元器件来表示一位数码。

例如，电路中某一通路的电流的有无，某一节点电压的高低，晶体管的导通和截止等。

2）二进制数运算简单，大大简化了计算中运算部件的结构。

二进制数的加法和乘法基本运算法则各有四条，如下：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=100×0=0，0×1=0，1×0=0，1×1=12)八进制由于二进制数据的基数R较小，所以二进制数据的书写和阅读不方便，为此，在小型机中引入了八进制。

八进制的基数R=8=2^3，有数码0、1、2、3、4、5、6、7，并且每个数码正好对应三位二进制数，所以八进制能很好地反映二进制。

八进制用下标8或数据后面加O表示例如：二进制数据（ 11 101 010 . 010 110 100 ）2 对应八进制数据 (352.264)8或352.264O。

3)十六进制由于二进制数在使用中位数太长，不容易记忆，所以又提出了十六进制数。

小学奥数基础教程(六年级)第1讲比较分数的大小第2讲巧求分数第3讲分数运算的技巧第4讲循环小数与分数第5讲工程问题(一)第6讲工程问题(二)第7讲巧用单位“1”第8讲比和比例第9讲百分数第10讲商业中的数学第11讲圆与扇形第12讲圆柱与圆锥第13讲立体图形(一)第14讲立体图形(二)第15讲棋盘的覆盖第16讲找规律第17讲操作问题第18讲取整计算第19讲近似值与估算第20讲数值代入法第21讲枚举法第22讲列表法第23讲图解法第24讲时钟问题第25讲时间问题第26讲牛吃草问题第27讲运筹学初步（一）第28讲运筹学初步（二）第29讲运筹学初步（三）第30讲趣题巧解第一讲比较分数的大小同学们从一开始接触数学，就有比较数的大小问题。

比较整数、小数的大小的方法比较简单，而比较分数的大小就不那么简单了，因此也就产生了多种多样的方法。

对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三种情况，其中前两种情况判别大小的方法是：分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大；分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。

第三种情况，即分子、分母都不同的两个分数，通常是采用通分的方法，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。

由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。

下面我们介绍另外几种方法。

1.“通分子”。

当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小时，可以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的方法简便。

如果我们把课本里的通分称为“通分母”，那么这里讲的方法可以称为“通分子”。

2.化为小数。

这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。

但在比较大小时是否简便，就要看具体情况了。

3.先约分，后比较。

有时已知分数不是最简分数，可以先约分。

4.根据倒数比较大小。

5.若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母（子）大的分数较大；若两个假分数的分子与分母的差相等，则分母（子）小的分数较大。

教学对象：小学四年级学生教学目标：1. 让学生理解十进制、二进制和十六进制的基本概念。

2. 通过实例教学，使学生掌握十进制与二进制之间的转换方法。

3. 培养学生的逻辑思维能力和动手操作能力。

教学重点：1. 十进制与二进制之间的转换。

2. 十六进制的基本概念。

教学难点：1. 十进制与二进制之间的转换方法。

2. 十六进制与二进制之间的转换。

教学准备：1. 多媒体课件2. 教学卡片3. 二进制转十进制转换表4. 十六进制转十进制转换表教学过程：一、导入1. 引导学生回顾之前学习的十进制知识，提出问题：“同学们，我们日常生活中使用的数字都是十进制，那么还有其他进制吗？”2. 引导学生思考进制转换的必要性。

二、新课讲解1. 介绍二进制的基本概念，通过多媒体课件展示二进制的表示方法，如0和1。

2. 以实例讲解十进制与二进制之间的转换方法，如将十进制数10转换为二进制数。

3. 引导学生动手操作，将几个十进制数转换为二进制数，巩固所学知识。

4. 介绍十六进制的基本概念，讲解十六进制与二进制之间的转换方法。

5. 以实例讲解十六进制与十进制之间的转换方法，如将十六进制数A转换为十进制数。

三、巩固练习1. 出示一些十进制与二进制、十六进制之间的转换题目，让学生独立完成。

2. 教师巡视指导，解答学生疑问。

四、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，强调十进制与二进制、十六进制之间的转换方法。

2. 鼓励学生在日常生活中发现进制转换的实例。

五、课后作业1. 完成课后练习题，巩固所学知识。

2. 搜集生活中进制转换的实例，下节课分享。

教学反思：本节课通过实例教学，使学生掌握了十进制与二进制、十六进制之间的转换方法。

在教学过程中，注重培养学生的逻辑思维能力和动手操作能力。

在今后的教学中，我将进一步改进教学方法，提高学生的学习兴趣，使学生在轻松愉快的氛围中掌握知识。

六年级奥数专题16：加法原理十六加法原理(1)年级班姓名得分一、填空题1.有3个工厂共订300份辽宁日报,每个工厂最少订99份,最多订101份.一共有种不同的订法.2.数字和是4的三位数有个.3.有许多1分、2分、5分的硬币,要从这些硬币中取出0.10元,有种取法.4.用1995四个数字卡片,可以组成个不同的四位数.5.从8个班选12个三好学生,每班至少1名,共有种选法.6.从1~9这九个数中,每次取2个数,这两个数的和必须大于10,能有种取法.7.从2、3、5、7、9五个数字中,选出四个数字组成被3和5除都余2的四位数,这样的四位数共有个.8.用0、1、2、3、8、7六个数字可以组成个能被9整除而又没有重复数字的四位数.9.有一批长度分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10和11厘米的细木条,它们的数量都足够多,从中适当选取3根木条作为三条边,可能围成个不同的三角形.10.从学校到少年宫有4条东西的马路和3条南北的马路相通(如图),李楠从学校出发,步行到少年宫(只许向东或向南行进),最多有种走法.二、解答题北少年宫学校11.小明为了练习加法,做了分别写着1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这十个数的卡片放在右边的抽屉里,又做了同样的十张放在左边的抽屉里,然后每次从两个抽屉各取一张卡片做加法,这样一共可以组成多少个不同的算式,其中和为偶数的情况有几种?(1+2和2+1算作同一种算式)12.长方形四周有14个点,相邻两点之间的距离都是1cm ,以这些点连成三角形,面积是3cm 2的三角形有几个?13.在1001,1002,…2000这1000个自然数中,可以找到多少对相邻的自然数,使它们相加时不进位.14.小格纸(如图)上有一只小虫,从直线AB 上一点O 出发,沿方格纸上的横线或竖线爬行.方格纸上每小段的长为1厘米.小虫爬过若干小段后仍回到直线AB 上,但不一定回到O 点.如果小虫一共爬过3厘米,那么小虫爬行路线有多少种?A OB • • • • • •• • • • • •••———————————————答 案——————————————————————1. 7三个工厂都订100份,有1种情况;三个工厂分别订99、100、101份报纸,有6种情况,所以三个工厂共有1+6=7(种)不同订法.2. 10三个数字和是4的有以下几种情况:(1)4=4+0+0,只有1个三位数;(2)4=1+1+2,有3个三位数;(3)4=2+2+0,有2个三位数;(4)4=3+1+0,有4个三位数.一共存1+3+2+4=10(个)数字和为4的三位数.3. 10只用一种硬币的,有3种方法;用1分和2分两种硬币的,有4种方法;用1分和5分两种硬币的,有1种方法;三种硬币都用的,有2种方法.一共有3+4+1+2=10(种)方法.4. 12卡片1在首位的,有3个四位数;卡片5在首位的,也有3个四位数;卡片9在首位的,有6个四位数,共有3+3+6=12(个)四位数.5. 330每班至少1名,就有8名三好学生,现在只考虑12-8=4(名)的选举情况就可以了.(1)四名同学在一个班,有8种选法;(2)四名同学在两个班,若每班有2个,有28278=⨯(种)选法,若一个班1个,另一个班3个,有8⨯7=56(种)选法.共计28+56=84(种)选法.(3)四名同学在三个班,有一班有2人,另两个班各一人.共有1683216783=⨯⨯⨯⨯⨯(种)选法. (4)四名同学在4个班,有743215678=⨯⨯⨯⨯⨯⨯0(种)选法. 所以共有8+84+168+70=330(种)选法.6. 16较大数为9时,另一数有7种选法;较大数为8时,另一数有5种选法;较大数为7时,另一数有3种选法;较大数为6时,另一数有1种选法.一共有7+5+3+1=16(种)选法.7. 24能被5除余2的四位数,个位数必定是2或7;被3除余2的四位数,4个数字之和除以3余2.(1)若个位为2,前三位应是3、5、7或5、7、9的一个排列,共有(3⨯2⨯1)⨯2=12(个).(2)若个位为7,前三位应是2、3、5或2、5、9的一个排列,也有(3⨯2⨯1) ⨯2=12(个).总共有12+12=24(个)这样的四位数.8. 42从0、1、2、3、7、8、这六个数字中,四个数字之和是9的倍数的有1、2、7、8和3、7、8、0这两组数字.(1)由1、2、7、8可以组成4⨯3⨯2⨯1=24(个)不同的四位数.(2)由3、7、8、0可以组成3⨯3⨯2⨯1=18(个)不同的四位数.故一共可以组成24+18=24(个)能被9整除的四位数.9. 161最长边为11厘米,次长为11、10、9、8、7、6厘米的三角形分别有11、9、7、5、3、1个,共计有11+9+7+5+3+1=36(个);最长边为10厘米的三角形有10+8+6+4+2=30(个);最长边为9厘米的三角形有9+7+5+3+1=25(个);最长边为8厘米的三角形有8+6+4+2=20(个);最长边为7厘米的三角形有7+5+3+1=16(个);最长边为6厘米的三角形有6+4+2=12最长边为5厘米的三角形有5+3+1=9(个);最长边为4厘米的三角形有4+2=6(个);最长边为3厘米的三角形有3+1=4(个);最长边为2厘米的三角形有2个;最长边为1厘米的三角形有1个.合计有36+30+25+20+16+12+9+6+4+2+1=161(个).10. 10如图,用标数法累加得,共有10条路线.11. (1)当两加数中较大者为10时,有10个加法算式;而当加数中较大者为9,8,7,6,5,4,3,2,1时,分别有9,8,7,6,5,4,3,2,1个算式.故共有10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55(个)加法算式.(2)两个加数都是奇数的有5+4+3+2+1=15(个)算式;两个加数都是偶数的也有15个算式,共有15+15=30(个)算式.12. 底为3,高为2的三角形:当底在BC 或AD 边上时,有4⨯2=8(个);当底为AB 或CD 上时,有2⨯2=4(个);当底为MN 、PQ 时有2⨯2=4(个),当底为EF 时,有4⨯2=8(个).共计有8+4+4+8=24(个).1 1 1 1 123 34 6 10 • • • • • • • • • • • • • • A M E P D H L C Q F N B K G底为2,高为3的,当底在BC或AD边上时,有3⨯3⨯2=18(个).当底在AB或CD 上时,有4个(即三角形AKQ、GBP、DLN、EHC).共有26+4=30(个).此外还有4个面积为3的三角形:GMC、KND、LQA、PHB.所以面积为3的三角形一共有18+30+4=52(个).13. 相邻两数相加不需进位的数对中,前一个数可以分成四类:(1)1999,1个;1a,a可取0,1,2,3,4共5个;(2)991ab,a,b均可取0、1、2、3、4,共25个;(3)91,a,b,c均可取0,1,2,3,4共125个.(4)abc故由加法原理知,这样的数对共有156个.14. 当小虫第一步向上爬行时,第二步有三个可行的方向:向下、向左或向右.若第二步向下,则第三步有左、右两个方向;若第二步向左或向右,则第三步都只能向下.故共有2+1+1=4(种)路线.显然小虫第一步向下爬行也有4种路线.当小虫第一步向左爬行时,它的第二步可以有四个方向.当它第二步向上或向下时,第三步只能向下或向上一种选择;当它第二步向左或向右时,都还有向左向右两种选择.故一共有2+2⨯2=6(种)路线.显然当小它第一步向右爬行时,也有6种路线.综上所述,小虫可以选择路线一共有4⨯2+6⨯2=20(种).十六加法原理(2)年级班姓名得分一、填空题1.从1写到100,一共用了个“5”这个数字.2.从19,20,21,…，92,93,94这76个数中,选取两个不同的数,使其和为偶数的选法总数是 .3.用一个5分币、四个2分币，八个1分币买一张蛇年8分邮票，共有种付币方式.4.用0,1,2,3这四个数字,可以组成一位数,两位数,三位数,四位数,这样的很多自然数(在一个数里,每个数字只用1次),其中是3的倍数的自然数共有个.5.在所有四位数中,各位上的数之和等于34的数有种.6.从数字0、1、2、3、4、5中任意挑选出五个数字组成能被5整除而各个数位上数字不同的五位数，共有个.7.至少有一个数字是1,并且能被4整除的四位数共有个.8.在1,2,3,4,…,50这50个数中取出不同的两个数,要使取出的两个数相加的结果是3的倍数,有种不同的取法.9.小明全家五口人到郊外春游,由其中一人轮换给其他人拍照.如果单人照各一张,每两个人合影各一张,第三个人合影各一张,每四个人合影各一张,用36张的彩色胶卷拍照最后还剩张.10.光明小学六年级甲、乙、丙三个班组织了一次文艺晚会,共演出14个节目.如果每个班至少演出3个节目,那么,这三个班演出节目数的不同情况共有种.二、填空题11.14名乒乓球运动员进行男子单打比赛,先是进行淘汰赛,获胜的运动员进行循环赛,每两人都要赛一场,决出冠、亚军.整个比赛(包括淘汰赛和循环赛)共要进行多少场?1 9 9 5 四个数字卡片,可以组成多少个不同的四位数?(其中 9 可以倒过来当6用).13.数1447、1005、1231有一些共同特征,每个数都是以1开头的四位数,且每个数中恰好有两个数字相同,这样的数共有多少个?14.某城市的街道非常整齐(如图),从西南角A 处走到对角线DB 处,共有多少种不同的走法?AB C D———————————————答 案——————————————————————1. 20在十位上,5出现了10次;在个位上,5也出现了10次,共出现了10+10=20(次).2. 1236在这76个自然数中,奇数和偶数各有38个.选出两数都是奇数的方法有23738⨯种,选出的两数都是偶数的方法也有23738⨯种,共有23738⨯+23738⨯=38⨯37=1236(种). 3. 7种只用一种币值的方法有2种(都用1分或都用2分);只用1分和2分两种币值的方法有3种;只用1分和5分两种币值方法有1种;三种币值都用上的有1种.共有2+3+1+1=7(种).4. 33在一位数中,有两个3的倍数:0和3;在二位数中,数字和是3的倍数的有3个:12、21和30;在三位数中,三个数字可以是0,1,2或1,2,3,前者可组成4个三位数,后者可组成6个三位数.共可组成10个三位数;四位数中有3⨯(3⨯2⨯1)=18(个)三的倍数.故一共有2+3+10+18=33(个)3的倍数.5. 10当四位数码为9,9,8,8时,有3⨯2=6(种),当四位数码为7,9,9,9时,有4(种),故共有6+4=10(种).6. 216若五位数末位为0,共有5⨯4⨯3⨯2=120(个);若五位数的末位为5,共有4⨯4⨯3⨯2=96(个).故一共有120+96=216(个).7. 594后两位数是4的倍数时,其中含有1的只有12和16,此时前两位数有90种可能,共有2⨯90=180(个).后两位数是4的倍数且不含有1的,有23种可能,前两位含1的有18种,共有23⨯8=414(个).所以一共有180+414=549(个).8. 409在1~50这五十个自然数中,被3整除的数有16个,被3除余1的和被3除余2的数各有17个.当两个加数均为3的倍数时,有12021516=⨯(种)取法;当两个加数中一个被3除余1,另一个被3除余2时,有17⨯17=289(种)取法,共有120+289=409(种)不同取法.9. 6单人照有5张;两人合影有101245=⨯⨯(张),三人合影有10321345=⨯⨯⨯⨯(张),四人照有5张.故还剩下36-(5+10+10+5)=6(张).10. 21将14分成三个数之和,共有5组:(3、3、8),(4、4、6),(4、4、5), (3、4、7), (3、5、6).其中前3组,每组的三个数有3种排列方法;后2组,每组的三个数有6种排列方法.共有不同的排列方法3⨯3+6⨯2=21(种).每种排列方法对应三个班演出节目数的一种情况,故一共有21种不同情况.11. 解答:在淘汰赛时,14名运动员比赛7场后就有7人被淘汰,另7人进入循环赛.在7人进行的循环赛中要比赛7⨯6÷2=21(场).所以整个比赛一共进行7+21=28(场).12. (1)当两张 9 都作9用时,可以分成三种类型:首位为1的,有3个;首位为5的,有3个;首位为9的,有3⨯2⨯1=6(个).共计3+3+6=12(个). (2)当两张 9 都作6用时,同理也有12个.(3)当两张 9 一个作9用,一个作6用时,有4⨯3⨯2⨯1=24(个) 所以,可以组成12+12+24=48(个)不同的四位数. 13. 这样的数可以分成两大类:第一类,相同的数字是1,在后三位中,数字1可以有三种位置,另外两个是不同数字,这类数有3⨯9⨯8=216(个).第二类相同的数字不是1,此时相同的数字有9种情况,剩下的数有8种情况,注意到剩下的数有3种位置,故这类数有3⨯9⨯8=216(个)根据加法原理,这样的数共有216+216=432(个).14. 用标数法计算对对角线BD 上的每一个交叉点的走法总数,如图依次是1,8,28,56,70,56,28,8,1.由加法原理知,一共有1+8+28+56+70+56+28+8+1=256(种)不同的走法.1 1 111111 23 34 45 56 67 78 8 6 10 15 21 28 10 20 35 56 15 35 70 21 56 28 A B C D。

第十讲进制与进位我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。

在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。

比如二进制，八进制，十六进制等。

二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。

因此，二进制中只用两个数字0和1。

二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。

二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。

注意：对于任意自然数n,我们有n0=1。

n进制：n进制的运算法则是“逢n进一，借一当n”，n进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。

进制间的转换：如右图所示。

1.掌握进制之间的转换方法。

2.能用进制互化的方法解题。

例1:① 222(101)(1011)(11011)⨯-=________； ② 2222(11000111(10101(11(-÷=））） ）； ③ 4710(3021)(605)()+= ；④ 88888(63121)(1247)(16034)(26531)(1744)----=________； ⑤ 若(1030)140n =，则n =________．分析与解：① 对于这种进位制计算，一般先将其转化成我们熟悉的十进制，再将结果转化成相应的进制： 2221010101010(101)(1011)(11011)(5)(11)(27)(28)(11100)⨯-=⨯-==； ② 可转化成十进制来计算： 222101010102(11000111(10101(11(199)(21)(3)(192)(11000000-÷=-÷==））））； 如果对进制的知识较熟悉，可直接在二进制下对22(10101(11÷））进行除法计算，只是每次借位都是2，可得222222(11000111(10101(11(11000111(111(11000000-÷=-=））））））； ③ 本题涉及到3个不同的进位制，应统一到一个进制下．统一到十进制比较适宜： 32471010103021)(605)(34241)(675)(500)+=⨯+⨯++⨯+=(；④ 十进制中，两个数的和是整十整百整千的话，我们称为“互补数”，凑出“互补数”的这种方法叫“凑整法”，在n 进制中也有“凑整法”，要凑的就是整n ． 原式88888(63121)[(1247)(26531)][(16034)(1744)]=-+-+ 8888(63121)(30000)(20000)(13121)=--=；⑤若(1030)140n =，则33140n n +=，经试验可得5n =．例2:在几进制中有413100⨯=？分析与解：利用尾数分析来解决这个问题：由于101010(4)(3)(12)⨯=，由于式中为100，尾数为0，也就是说已经将12全部进到上一位． 所以说进位制n 为12的约数，也就是12，6，4，3，2中的一个． 但是式子中出现了4，所以n 要比4大，不可能是4，3，2进制． 另外，由于101010(4)(13)(52)⨯=，因为52100<，也就是说不到10就已经进位，才能是100，于是知道10n <，那么n 不能是12． 所以，n 只能是6．例3:将二进制数(11010.11)2 化为十进制数为多少？分析与解：根据二进制与十进制之间的转化方法，(11010.11)2 =1×24+1×23+0×22+1×21+0×20+1×2-1+1×2-2=16+8+0+2+0+0.5+0.25=26.75。