2016届南京盐城高三一模数学试题(无答案)

南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)参考公式锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 为底面积,h 为高. 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．已知集合{}210A x x =-=，{}1,2,5B =-，则AB = ▲ .2．已知复数21iz i+=-（i 是虚数单位），则||z = ▲ . 3．书架上有3本数学书，2本物理书，从中任意取出2本，则取出的两本书都是数学书的概率为 ▲ . 4．运行如图所示的伪代码，其结果为 ▲ .5．某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人， 现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出55人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽 取的人数为 ▲ .6．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，若曲线C 经过点(1,3)P ，则其焦点到准线的距离为 ▲ .7．已知实数,x y 满足50,220,0,x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则目标函数z x y =-的最小值为 ▲ .8．设一个正方体与底面边长为23，侧棱长为10的正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为 ▲ . 9．在ABC ∆中，设,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若5a =，4A π=，3cos 5B =，则边c = ▲ .10．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，0n a >，若6325S S -=，则96S S -的最小值为 ▲ .11．如图，在ABC ∆中，3AB AC ==，1cos 3BAC ∠=，2DC BD =，则AD BC ⋅的值为 ▲ .12．过点(4,0)P -的直线l 与圆22:(1)5C x y -+=相交于,A B 两点，若点A 恰好是线段PB 的中点，则直线l 的方程为 ▲ .13．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()22xx mf x =+，设(),1,()(),1,f x x g x f x x >⎧=⎨-≤⎩若函S ←1For I From 1 To 7 step 2 S ←S + I End For Print S第4题图AB CD第11题图数()y g x t =-有且只有一个零点，则实数t 的取值范围是 ▲ .14．设函数32,,ln ,x x x e y a x x e ⎧-+<=⎨≥⎩的图象上存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形（其中O 为坐标原点），且斜边的中点恰好在y 轴上，则实数a 的取值范围是 ▲ .二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)设函数()sin()(0,0,,)22f x A x A x R ππωϕωϕ=+>>-<<∈的部分图象如图所示.（1）求函数()y f x =的解析式； （2）当[,]22x ππ∈-时，求()f x 的取值范围.16．(本小题满分14分)如图，已知直三棱柱111ABC A B C -的侧面11ACC A 是正方形，点O 是侧面11ACC A 的中心，2ACB π∠=，M 是棱BC 的中点. （1）求证：//OM 平面11ABB A ； （2）求证：平面1ABC ⊥平面1A BC .17．(本小题满分14分)如图所示，,A B 是两个垃圾中转站，B 在A 的正东方向16千米处，AB 的南面为居民生活区. 为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB 的北面建一个垃圾发电厂P . 垃圾发电厂P 的选址拟满足以下两个要求（,,A B P 可看成三个点）：①垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民区（这里参考的指标是点P 到直线AB 的距离要尽可能大）. 现估测得,A B 两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30吨和50吨，问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？Oxy56π 第15题图2 3π A C B M OA 1 C 1B 1 第16题图18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，设点00(,)M x y 是椭圆22:14x C y +=上一点，从原点O 向圆22200:()()M x x y y r -+-=作两条切线分别与椭圆C 交于点,P Q ，直线,OP OQ 的斜率分别记为12,k k .（1）若圆M 与x 轴相切于椭圆C 的右焦点，求圆M 的方程；（2）若255r =. ①求证：1214k k =-；②求OP OQ ⋅的最大值.19．(本小题满分16分)已知函数()xaxf x e =在0x =处的切线方程为y x =. （1）求a 的值；（2）若对任意的(0,2)x ∈，都有21()2f x k x x <+-成立，求k 的取值范围；（3）若函数()ln ()g x f x b =-的两个零点为12,x x ，试判断12()2x x g +'的正负，并说明理由.B A ··居民生活区 第17题图北xO 第18题图·yM PQ20．(本小题满分16分)设数列{}n a 共有(3)m m ≥项，记该数列前i 项12,,,i a a a 中的最大项为i A ，该数列后m i -项12,,,i i m a a a ++中的最小项为i B ，(1,2,3,,1)i i i r A B i m =-=-.（1）若数列{}n a 的通项公式为2nn a =，求数列{}i r 的通项公式；（2）若数列{}n a 是单调数列，且满足11a =，2i r =-，求数列{}n a 的通项公式； （3）试构造一个数列{}n a ，满足n n n a b c =+，其中{}n b 是公差不为零的等差数列，{}n c 是等比数列，使得对于任意给定的正整数m ，数列{}i r 都是单调递增的，并说明理由.南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内）A .（选修4—1：几何证明选讲）如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于点D ，AC ⊥CD ，DE ⊥AB ，C 、E 为垂足，连接,AD BD . 若4AC =，3DE =，求BD 的长.B .（选修4—2：矩阵与变换）ABDEO第21(A )题图C·设矩阵 02 1a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的一个特征值为2，若曲线C 在矩阵M 变换下的方程为221x y +=，求曲线C 的方程.C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，已知点A 的极坐标为(22,)4π-，圆E 的极坐标方程为4cos 4sin ρθθ=+，试判断点A 和圆E 的位置关系.D ．(选修4—5：不等式选讲）已知正实数,,,a b c d 满足1a b c d +++=.求证：1212121226a b c d +++++++≤.[必做题]（第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分）直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，2AB =，4AC =，12AA =，BD DC λ=. （1）若1λ=，求直线1DB 与平面11AC D 所成角的正弦值； （2）若二面角111B A C D --的大小为60︒，求实数λ的值.23．（本小题满分10分）设集合{}1,2,3,,(3)M n n =≥，记M 的含有三个元素的子集个数为n S ，同时将每一BACDB 1A 1C 1第22题图个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为n T .（1）求33T S ，44TS ，55T S ，66T S 的值； （2）猜想n nTS 的表达式，并证明之.南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1. {}1- 2. 102 3. 310 4. 17 5. 340 6. 927. 3- 8. 29. 7 10. 20 11. 2- 12. 340x y ±+= 13. 33[,]22- 14.1(0,]1e + 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．解：（1）由图象知，2A =， …………2分又54632T πππ=-=，ω>，所以22T ππω==，得1ω=. …………4分所以()2sin()f x x ϕ=+，将点(,2)3π代入，得2()32k k Z ππϕπ+=+∈，即2()6k k Z πϕπ=+∈，又22ππϕ-<<，所以6πϕ=. …………6分所以()2sin()6f x x π=+. (8)分 （2）当[,]22x ππ∈-时，2[,]633x πππ+∈-， …………10分所以3s i n ()62x π+∈-，即()[3,2]f x ∈-. …………14分 16．证明：（1）在1A BC ∆中，因为O 是1A C 的中点，M 是BC 的中点，所以1//OM A B . (4)分又OM ⊄平面11ABB A ，1A B ⊂平面11ABB A ，所以//OM 平面11ABB A . ...............6分（2）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以1CC ⊥底面ABC ，所以1CC BC ⊥，又2ACB π∠=，即BC AC ⊥，而1,CC AC ⊂面11ACC A ，且1CC AC C =，所以BC ⊥面11ACC A . ...............8分而1AC ⊂面11ACC A ，所以BC ⊥1AC ，又11ACC A 是正方形，所以11A C AC ⊥，而,BC 1AC ⊂面1A BC ，且1BC AC C =， 所以1AC ⊥面1A BC . ...............12分又1AC ⊂面1ABC ，所以面1ABC ⊥面1A BC . ...............14分17．解法一：由条件①，得505303PA PB ==. ...............2分 设5,3PA x PB x==，则222(5)16cos 2165x x xPAB xx+-∠==+⨯⨯，...............6分 所以点P到直线AB的距离28s i n51()105xh P A P A B x x =∠=⋅-+42117644x x =-+-221(34)2254x =--+， ...............10分所以当234x =，即34x =时，h 取得最大值15千米.即选址应满足534PA =千米，334PB =千米. ...............14分解法二：以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系. ...............2分则(8,0),(8,0)A B -. 由条件①，得505303PA PB ==. ...............4分 设(,)(0)P x y y >，则22223(8)5(8)x y x y ++=-+， 化简得，222(17)15(0)x y y -+=>， (10)分即点P 的轨迹是以点（17,0）为圆心、15为半径的圆位于x 轴上方的半圆. 则当17x =时，点P 到直线AB 的距离最大，最大值为15千米.所以点P 的选址应满足在上述坐标系中其坐标为(17,15)即可. ...............14分18．解：（1）因为椭圆C 右焦点的坐标为(3,0)，所以圆心M 的坐标为1(3,)2±， ...............2分 从而圆M的方程为2211(3)()24x y -+±=. …………4分（2）①因为圆M 与直线1:OP y k x =相切，所以10021||2551k x y k -=+， 即222010010(45)10450x k x y k y -++-=， …………6分同理，有222020020(45)10450x k x y k y -++-=，B A ··yxOP所以12,k k 是方程2200(45)10450x k xy k y -++-=的两根， …………8分从而222000122220001545(1)1451444545454x x y k k x x x ---+-====----. (10)分 ②设点111(,),(,)P x y P x y ，联立12214y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得222111221144,1414k x y k k ==++， …………12分 同理，222222222244,1414k x y k k ==++，所以222212222211224444()()14141414k k OP OQ k k k k ⋅=+⋅+++++ 22221211222212114(1)4(1)4411614141414k k k k k k k k ++++=⋅=⋅++++ ……………14分221221520()252(14)4k k +≤=+， 当且仅当112k =±时取等号. 所以O P O Q ⋅的最大值为52. ……………16分 19. 解：（1）由题意得(1)()xa x f x e -'=，因函数在0x =处的切线方程为y x =， 所以(0)11af '==，得1a =. ……………4分（2）由（1）知21()2x x f x e k x x =<+-对任意(0,2)x ∈都成立，所以220k x x +->，即22k x x >-对任意(0,2x ∈都成立，从而0k ≥. ……………6分又不等式整理可得22x e k x x x <+-，令2()2x e g x x x x=+-， 所以22(1)()2(1)(1)(2)0x xe x e g x x x x x-'=+-=-+=，得1x =， ……………8分当(1,2)x ∈时，()0g x '>，函数()g x 在(1,2)上单调递增，同理，函数()g x 在(0,1)上单调递减，所以min ()(1)1k g x g e <==-， 综上所述，实数k的取值范围是[0,1)e -. ……………10分（3）结论是12()02x x g +'<. ……………11分 证明：由题意知函数()ln g x x x b =--，所以11()1xg x x x-'=-=，易得函数()g x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以只需证明1212x x +>即可. ……12分因为12,x x 是函数()g x 的两个零点，所以1122ln ln x b x x b x +=⎧⎨+=⎩，相减得2211ln xx x x -=，不妨令211x t x =>，则21x tx =，则11ln tx x t -=，所以11ln 1x t t =-，2ln 1tx t t =-， 即证1l n 21t t t +>-，即证1()ln 201t t t t ϕ-=->+， ……………14分因为22214(1)()0(1)(1)t t t t t t ϕ-'=-=>++，所以()t ϕ在(1,)+∞上单调递增，所以()(1)0t ϕϕ>=，综上所述，函数()g x 总满足12()02x xg +'<成立. ……………16分20．解：（1）因为2n n a =单调递增，所以2i i A =，12i i B +=，所以1222iiii r +=-=，11i m ≤≤-. ……………4分（2）若{}n a 单调递减，则11i A a ==，i m B a =，所以10i m r a a =->，不满足2i r =-，所以{}n a 单调递增. ……………6分则i i A a =，1i i B a +=，所以12i i i r a a +=-=-，即12i i a a +-=，11i m ≤≤-， 所以{}n a 是公差为2的等差数列，12(1)21n a n n =+-=-，11i m ≤≤-. ……………10分（3）构造1()2nn a n =-，其中n b n=，1()2n n c =-. ……………12分下证数列{}n a 满足题意.证明：因为1()2nn a n =-，所以数列{}n a 单调递增，所以1()2ii i A a i ==-，1111()2i i i B a i ++==+-， ……………14分所以1111()2i i i i r a a ++=-=--，11i m ≤≤-，因为2121111[1()][1()]()0222i i i i i r r ++++-=-----=>，所以数列{}i r 单调递增，满足题意. ……………16分（说明：等差数列{}n b 的首项1b 任意，公差d 为正数，同时等比数列{}n c 的首项1c 为负，公比(0,1)q ∈，这样构造的数列{}n a 都满足题意.）附加题答案21.A、解：因为CD 与O 相切于D ，所以C D A ∠=∠， …………2分又因为AB 为O 的直径，所以90ADB ∠=︒.又DE AB ⊥，所以EDA DBA ∆∆，所以EDA DBA ∠=∠，所以EDA CDA ∠=∠. …………4分又90ACD AED ∠=∠=︒，AD AD =，所以ACD AED ∆≅∆. 所以4A EA C ==，所以225AD AE DE =+=， ………… 6分又DE AEBD AD=，所以154DE BD AD AE =⋅=. …………10分B 、由题意，矩阵M 的特征多项式()()((1)f a λλλ=--，因矩阵M 有一个特征值为2，(2)0f =，所以2a =. …………4分所以 2 0M 2 1x x x y y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即22x x y x y '=⎧⎨'=+⎩，代入方程221x y +=，得22(2)(2)1x x y ++=，即曲线C 的方程为22841x xy y ++=. ………10分C、解：点A的直角坐标为(2,2)-， …………2分圆E的直角坐标方程为22(2)(2)8x y -+-=， …………6分则点A 到圆心E 的距离22(22)(22)422d r =-+--=>=，所以点A在圆E外. …………10分 D 、解：因2(12121212)4(12121212)a b c d a b c d +++++++≤+++++++， (6)分又1a b c d +++=，所以2(12121212)24a b c d +++++++≤，即1212121226a b c d +++++++≤. …………10分22．解：分别以1,,AB AC AA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,4,0)C ，1(0,0,2)A ，1(2,0,2)B ，1(0,4,2)C …………2分（1）当1λ=时，D 为BC 的中点，所以(1,2,0)D ，1(1,2,2)DB =-，11(0,4,0)AC =，1(1,2,2)A D =-，设平面11AC D 的法向量为1(,,)n x y z =则4020y x z =⎧⎨-=⎩，所以取1(2,0,1)n =，又11111144cos ,515||||35DB n DB n DB n ⋅<>===，所以直线1DB 与平面11AC D 所成角的正弦值为4515. …………6分 （2）BD DC λ=，24(,,0)11D λλλ∴++，11(0,4,0)AC ∴=，124(,,2)11A D λλλ=-++， 设平面11AC D 的法向量为1(,,)n x y z =，则402201y x z λ=⎧⎪⎨-=⎪+⎩， 所以取1(1,n λ=+. (8)分又平面111A B C 的一个法向量为2(0,0,1)n =，由题意得121|cos ,|2n n <>=， 所以2112(1)1λ=++，解得31λ=-或31λ=--（不合题意，舍去）， 所以实数λ的值为31-. …………10分23.解：（1）332T S =，4452T S =，553T S =，6672T S =. ……………4分 （2）猜想12n n T n S +=. ……………5分下用数学归纳法证明之.证明：①当3n =时，由（1）知猜想成立； ②假设当(3)n k k =≥时，猜想成立，即12k k T k S +=，而3k k S C =，所以得312k k k T C +=. ……6分则当1n k =+时，易知311k k S C ++=，而当集合M 从{}1,2,3,,k 变为{}1,2,3,,,1k k +时，1k T +在k T 的基础上增加了1个2，2个3，3个4，…，和(1)k -个k ， ……………8分所以1k k T T +=+2k k ⨯+⨯+⨯++-32122k k k C C C C C +=++++⋅⋅⋅+ 3322233412[]2k k k C C C C C +=++++⋅⋅⋅+3311222k k k C C ++-=+3122k k C ++=1(1)12k k S +++=，即11(1)12k k T k S ++++=. 所以当1n k =+时，猜想也成立.综上所述，猜想成立. ……………10分 （说明：未用数学归纳法证明，直接求出n T 来证明的，同样给分.）。

江苏省南京市、盐城市2016届高三第一次模拟考试1. {-1} 【解析】由题意知A={-1,1},所以A ∩B={x|x ∈A 且x ∈B }={-1}.2.102【解析】方法一:由题意知z=(2+i)(1+i)(1-i)(1+i)=1+3i 2=12+32i ,所以|z|= 122+ 32 2= 102.方法二:|z|=|2+i||1-i|= 52= 102. 3. 3【解析】从5本书中取出2本书,基本事件有10个.从3本数学书中取出2本书的事件有3个,故所求的概率为310. 4. 17【解析】由伪代码可知,I 的取值依次为1,3,5,7,相应的S 的值为2,5,10,17.故输出的S 的值为17. 5. 17【解析】因为高一年级400人中抽取20人,所以高二年级360人中应抽取18人,所以高三年级学生中应抽取的人数为55-20-18=17(人). 6. 92【解析】设抛物线的方程为y 2=2px.由题意知32=2×1×p ,解得p=92,故其焦点到准线的距离为92. 7. -3【解析】作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示,由图可知,当目标函数z=x-y 经过点(1,4)时,取得最小值,且最小值为1-4=-3.(第7题)8. 2【解析】由题意知正四棱锥的高为 ( 10)2-( 6)2=2,所以该正四棱锥的体积为1×2×(2 3)2=8,故原正方体的棱长为2. 9. 7【解析】在△ABC 中,因为cos B=35,所以sin B=45.又A=π4,所以sinC=sin (A+B )=sin A cos B+cos A sin B= 22×35+ 22×45=7 210.由正弦定理csin C =asin A ,得c=7.10. 20 【解析】设等比数列{a n }的公比为q ,若q=1,则S 6-2S 3=0,不符合题意,舍去,故q ≠1.因为S 6-2S 3=a 4+a 5+a 6-S 3=q 3S 3-S 3=(q 3-1)S 3=5,所以S 3=5q 3-1,且q 3-1>0,所以S 9-S 6=a 7+a 8+a 9=q 6·S 3=q 6·5q 3-1=5·(q 3-1+1)2q 3-1=5(q 3-1)+1q 3-1+2≥5×4=20.当且仅当q 3-1=1,即q= 23时取等号.故S 9-S 6的最小值为20. 11. -2【解析】方法一:由余弦定理得,BC 2=9+9-2×3×3×13=12,所以BC=2 所以cos ∠ABC= 33,所以AD ·BC =(BD -BA )·BC =13BC 2-BA ·BC =4-6=-2.方法二:如图,以BC所在直线为x轴、线段BC的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系xOy,由方法一知B(-3,0),C(3,0),D-3,0,A(0,6),所以AD=-3,-6,BC=(23,0),所以AD·BC=-33,-6·(23,0)=-2.(第11题)12.x±3y+4=0【解析】方法一:设点B的坐标为(x0,y0),因为A是线段PB的中点,所以点A的坐标为x0-42,y02,所以(x0-1)2+y02=5,x0-4 2-12+y022=5,解得x0=2,y0=±2,所以直线l的方程为y=±13(x+4),即x±3y+4=0.方法二:设圆心C到直线l的距离为d,则CA2=d2+AB22=5,又CP2=d2+3AB22=25,解得d=52.设直线l的方程为y=k(x+4),则k+1=52,解得k=±13,所以直线l的方程为x±3y+4=0.13.-32,32【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,所以m=-1,所以f(x)=2x-1x.作出函数f(x)的图象如图(1)所示,则由此得到函数g(x)的图象如图(2)所示.若函数y=g (x )-t 有且只有一个零点,根据图象知直线y=t 与函数g (x )的图象有且只有一个交点.因为g (1)=-32,所以g (-1)=32,所以实数t 的取值范围是-32,32.图(1) 图(2)(第13题)14. 0,1e+1【解析】作出函数的图象如图所示,由图设点P 的横坐标为x 0,则点Q 的横坐标为-x 0.①若点P ,Q 都在y=-x 3+x 2(x<e )上,由OP ⊥OQ ,知-x 03+x 02x 0·x 03+x 02-x 0=-1,即x 04-x 02+1=0,方程无解.②若点P ,Q 分别在函数y 的两段上,由OP ⊥OQ ,知a ln x 0x 0·x 03+x 02-x 0=-1,即a=1(x0+1)·ln x0.令函数f(x)=1(x+1)·ln x,当x≥e时,f(x)为减函数,所以f(x)的值域为0,1e+1,故实数a的取值范围是0,1e+1.(第14题)15.(1)由图象知,A=2.(2分)因为T4=5π6-π3=π2,且ω>0,所以T=2π=2πω,即ω=1,(4分)所以f(x)=2sin(x+φ).又函数f(x)=2sin(x+φ)过点π3,2,所以π+φ=π+2kπ,k∈Z,即φ=π6+2kπ,k∈Z.又-π2<φ<π2,所以φ=π6,(6分)所以f(x)=2sin x+π6.(8分)(2)当x∈-π2,π2时,x+π6∈-π3,2π3,(10分)所以sin x+π6∈-32,1,所以f(x)∈[-3,2],因此,当x∈-π,π时,函数f(x)的值域为[-3,2].(14分)16.(1)在△A1BC中,因为O是A1C的中点,M是BC的中点,所以OM∥A1B.(4分)又OM⊄平面ABB1A1,A1B⊂平面ABB1A1,所以OM∥平面ABB1A1.(6分)(2)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以CC1⊥底面ABC,所以CC1⊥BC.又∠ACB=π,所以BC ⊥AC.因为CC1⊂平面ACC1A1,AC⊂平面ACC1A1,且CC1∩AC=C,所以BC⊥平面ACC1A1.(8分)又AC1⊂平面ACC1A1,所以BC⊥AC1.因为四边形ACC1A1是正方形,所以A1C⊥AC1.又BC⊂平面A1BC,A1C⊂平面A1BC,且BC∩A1C=C,所以AC1⊥平面A1BC.(12分)因为AC1⊂平面ABC1,所以平面ABC1⊥平面A1BC.(14分)17. 方法一:由条件①得,PA PB =5030=53. (2分)设PA=5x ,PB=3x , 则cos ∠PAB=(5x )2+162-(3x )22×16×5x=x10+85x , (6分)所以点P 到直线AB 的距离h=PA ·sin ∠PAB=5x · 1-x 10+85x= -14x 4+17x 2-64 = -14(x 2-34)2+225,(10分)所以当x 2=34,即x= 34时,h 取得最大值15 km .即垃圾发电厂P 的选址应满足PA=5 34 km ,PB=3 34 km .(14分)方法二:如图,以AB 所在直线为x 轴、线段AB 的中垂线为y 轴,建立平面直角坐标系xOy , (2分)(第17题)则A (-8,0),B (8,0). 由条件①,得PA =50=5. (4分)设P (x ,y )(y>0),则3 (x +8)2+y 2=5 (x -8)2+y 2, 化简得,(x-17)2+y 2=152(y>0),(10分)即点P 的轨迹是以点(17,0)为圆心、15为半径的圆且位于x 轴上方的半圆,则当x=17时,点P 到直线AB 的距离最大,且最大值为15 km . 故点P 的选址应满足在上述坐标系中,其坐标为(17,15)即可. (14分)18. (1) 因为椭圆C 的右焦点坐标为( 3,0), 所以圆心M 的坐标为 ±12,(2分)所以圆M 的方程为(x- 3)2+ y ±12 2=14. (2) ①因为圆M 与直线OP :y=k 1x 相切, 所以100k 1+1=2 55, 即(4-5x 02)k 12+10x 0y 0k 1+4-5y 02=0.(6分)同理,有(4-5x 02)k 22+10x 0y 0k 2+4-5y 02=0,所以k 1,k 2是方程(4-5x 02)k 2+10x 0y 0k+4-5y 02=0的两个根,(8分)所以k 1k 2=4-5y 024-5x 02=4-5 1-14x 02 4-5x 02=-1+54x 024-5x 02=-1.(10分)②设点P 1的坐标为(x 1,y 1),点P 2的坐标为(x 2,y 2),联立 y =k 1x ,x 24+y 2=1,解得x 12=41+4k 12,y 12=4k 121+4k 12.(12分)同理,x 22=41+4k 22,y 22=4k 221+4k 22,所以OP 2·OQ 2=41+4k 12+4k 121+4k 12·41+4k 22+4k 221+4k 22=4(1+k 12)1+4k 12·4(1+k 22)1+4k 22=4+4k 121+4k 12·1+16k 121+4k 12(14分)≤5+20k 1222(1+4k 12)2=254,当且仅当k 1=±12时取等号,所以OP ·OQ 的最大值为5. (16分) 19. (1) 由题意得,f'(x )=a (1-x )e x, 因为函数f (x )在x=0处的切线方程为y=x , 所以f'(0)=a 1=1,得a=1. (2) 由(1)知f (x )=x e x <1k +2x -x 2对任意的x ∈(0,2)恒成立,所以k+2x-x 2>0,即k>x 2-2x 对任意的x ∈(0,2)恒成立,所以k ≥0. (6分)又不等式整理可得k<e x x +x 2-2x ,令g (x )=e x x +x 2-2x ,所以g'(x )=e x (x -1)x 2+2(x-1)=(x-1)e x x 2+2,令g'(x )=0,得x=1. (8分)当x ∈(1,2)时,g'(x )>0,函数g (x )在(1,2)上单调递增; 当x ∈(0,1)时,g'(x )<0,函数g (x )在(0,1)上单调递减. 所以k<g (x )min =g (1)=e -1.综上所述,实数k 的取值范围是[0,e -1). (10分)(3) 结论是g'x 1+x 22<0. (11分)证明:由题意知函数g (x )=ln x-x-b , 所以g'(x )=1x-1=1-xx(x>0), 易得函数g (x )在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以只需证明x 1+x 22>1即可. (12分)因为x 1,x 2是函数g (x )的两个零点,所以 x 1+b =ln x 1,x 2+b =ln x 2,两式相减得x 2-x 1=ln x 2x 1.不妨令x2x 1=t>1,则x 2=tx 1, 则tx 1-x 1=ln t ,所以x 1=1t -1ln t ,x 2=t t -1ln t , 即证t +1t -1ln t>2, 即证明φ(t )=ln t-2·t -1t +1>0. (14分)因为φ'(t )=1t -4(t +1)2=(t -1)2t (t +1)2>0,所以φ(t )在(1,+∞)上单调递增,所以φ(t )>φ(1)=0.综上所述,函数g (x )总满足g'x 1+x 22<0成立. (16分)20. (1) 因为a n =2n 是逐项递增的,所以A i =2i ,B i =2i+1, 所以r i =2i -2i+1=-2i ,1≤i ≤m-1. (4分) (2) 若{a n }是逐项递减的,则A 1=a 1=1,B i =a m , 所以r i =a 1-a m >0,不满足r i =-2, 所以{a n }是逐项递增的.(6分)则A i =a i ,B i =a i+1,所以r i =a i -a i+1=-2,即a i+1-a i =2,1≤i ≤m-1, 所以{a n }是公差为2的等差数列,a n =1+2(n-1)=2n-1,1≤i ≤m-1. (10分)(3) 构造a n =n- 12n ,其中b n =n ,c n =- 12n . (12分)下面证明数列{a n }满足题意:因为a n =n- 12n ,所以数列{a n }是逐项递增的, (14分) 所以A i =a i =i- 12i ,B i =a i+1=i+1- 12i +1, 所以r i =a i -a i+1=-1- 1 i +1,1≤i ≤m-1. 因为r i+1-r i = -1- 12i +2 - -1- 12 i +1 = 12i +2>0, 所以数列{r i }是逐项递增的,满足题意. (16分)(注:等差数列{b n }的首项b 1任意,公差d 为正数,同时等比数列{c n }的首项c 1为负,公比q ∈(0,1),这样构造的数列{a n }都满足题意)江苏省无锡市2016届高三第一次模拟考试1. -1 【解析】因为A ∩B={-1,0},所以a=-1.2. 22【解析】方法一:因为z=(1-2i)(3+i)(3-i)(3+i)=5-5i 10=12-12i ,所以|z|= 12+ -12 = 22.方法二:|z|=|1-2i||3-i|= 5 10= 22. 3. 5【解析】由流程图可知,在循环的过程中,S 与A 的值依次为3,2;7,3;15,4;31,5;63,6.故判断框中的条件应为A ≤5,即M=5. 4. 2【解析】设[50,60]年龄段应抽取x 人,则根据分层抽样得,x 8=0.0050.005+0.015,解得x=2.5. 2sin 2x -π3【解析】由题意知g (x )=f x -π6 =2sin 2 x -π6,整理得g (x )=2sin 2x -π.6. 2【解析】从四个数中随机取两个数,基本事件有6个.其中一奇一偶的事件有4个:(1,2),(1,4),(3,2),(3,4),故所求的概率为46=23. 7. 725【解析】方法一:由题意知-45°<α-45°<45°,则cos (α-45°)=7 210,所以cos 2α=-sin (2α-90°)=-2sin (α-45°)·cos (α-45°)=-2× - 210×7 210=725. 方法二:由sin (α-45°)=- 210,展开得sin α-cos α=-15,所以0°<α<45°,平方得sin 2α=2425,因为0°<2α<90°,所以cos 2α=7.8.33【解析】方法一:设点O到平面VAB的距离为h.由题意知V三棱锥VOAB =V三棱锥OVAB,所以13×12×1=13×32×h,解得h=33.方法二:取AB的中点M,连接OM,VM,在Rt△VOM中,点O到VM的距离即为点O到平面VAB的距离.因为VO=1,OM=22,VM=62,所以点O到VM1×2262=33,故点O到平面VAB的距离为33.9.2+1【解析】设双曲线的标准方程为x 2a2-y2b2=1,则由题意知,AB=2c,2a=CA-CB=2(2-1)c,所以c=12-1=2+1,即双曲线的离心率为2+1.10. 8【解析】由题意知,数列{b n}是公差为1的等差数列,且b3=-2,所以b n=b3+(n-3)×1=n-5,所以a n+1-a n=n-5,所以a n+1=(a n+1-a n)+(a n-a n-1)+…+(a2-a1)+a1=n(n+1)2-5n+a1.令n=2,则a3=3-10+a1=1,解得a1=8.11.0,233【解析】如图,由正弦定理得|α|sinθ=1sin60°,所以|α|=23sin θ∈0,233.(第11题)12.5【解析】由题意知y'=1+1x2(x>0),所以在点P处的切线斜率为1+1x02,切线方程为y- x0-1x0=1+1x02(x-x0),该切线与x轴交于点A2x01+x02,0,与y轴交于点B0,-2x0.因为S△OAB=12·2x0·2x01+x02=13(其中x0>0),所以解得x0=5.13.14【解析】若圆C上存在两点A,B,使得PA·PB≤0,则∠APB≥90°.如图,过点P作圆C的两条切线PA0,PB0(A0,B0为切点),则∠A0PB0≥90°,故在Rt△PCA0中,只要∠CPA0≥45°即可.由正弦定理PC=CA00,得PC=2.因为sin∠CPA0≥2,所以PC≤22.又圆心C(2,0)到直线l:y=x+1的距离d=2,点P在线段EF上,所以EF≤2PC2-d2≤28-92=14,故线段EF长度的最大值是14.(第13题)14. 1e,1 【解析】当t ≥1时,f (t )-kt=ln t-kt ≤0恒成立,即k ≥ln t t.设g (x )=ln x(x ≥1),则g'(x )=1-ln x2,当x ∈(1,e )时,g'(x )>0,g (x )在(1,e )上单调递增;当x ∈(e ,+∞)时,g'(x )<0,g (x )在(e ,+∞)上单调递减.因此,当x=e 时,g (x )取得最大值,且最大值为1e,所以k ≥1e. 当0<t<1时,f (t )-kt=-t (t-1)2-kt ≤0恒成立,即k ≥-(t-1)2,因为-(t-1)2∈(-1,0),所以k ≥0; 当t=0时,f (t )=0=kt ,所以k ∈R ;当t<0时,f (t )-kt=t (t-1)2-kt ≤0,则k ≤(t-1)2,因为(t-1)2∈(1,+∞), 所以k ≤1.综上,实数k 的取值范围为 1e,1 .15. (1) 因为a ⊥b ,所以sin 2B-sin 2C+sin A (sin C-sin A )=0, 即sin A sin C=sin 2A+sin 2C-sin 2B. (2分)由正弦定理得ac=a 2+c 2-b 2, 所以cos B=a 2+c 2-b 22ac=12.(4分) 因为B ∈(0,π),所以B=π. (6分)(2) 因为c ·cos A=b , 所以b c =b 2+c 2-a 22bc,即b 2=c 2-a 2. (8分)又ac=a 2+c 2-b 2,b=2R sin B= 3, (10分)解得a=1,c=2,(12分)所以S △ABC =1ac sin B= 3.(14分)16. (1) 因为平面PAC ⊥平面ABC ,AC 为两平面的交线, 且AC ⊥BC ,BC ⊂平面ABC , 所以BC ⊥平面PAC.(2分)又PE ∥CB ,M ,N 分别为AE ,AP 的中点,所以MN ∥PE , (3分)所以MN ∥BC ,所以MN ⊥平面PAC. (5分)又MN ⊂平面CMN ,所以平面CMN ⊥平面PAC. (7分)(2) 因为PE ∥CB ,BC ⊂平面ABC ,PE ⊄平面ABC , 所以PE ∥平面ABC.(9分)设平面PAE 与平面ABC 的交线为l ,则PE ∥l. (10分) 又MN ∥平面ABC ,MN ⊂平面PAE ,所以MN ∥l , (11分) 所以MN ∥PE.(12分)因为M 是AE 的中点, 所以N 为PA 的中点.(14分)17. 方案一:如图(1),过点Q 分别作QM ⊥AC 于点M ,QN ⊥BC 于点N ,(第17题(1))因为△PQR 为等腰直角三角形,且QP=QR , 所以△RMQ ≌△PNQ , 所以QM=QN , 所以Q 为AB 的中点, (2分)则QM=QN=5m . (3分) 设∠RQM=α, 则RQ=5,α∈[0°,45°), 所以S △PQR =12×RQ 2=252cos 2α, (4分)所以S △PQR 的最小值为252m 2.(6分)方案二:如图(2),设CQ=x ,∠RQC=β,β∈(0°,90°),(第17题(2))在△RCQ 中,RQ=x cos β, (8分)在△BPQ 中,∠PQB=90°-β,∠BPQ=45°+β, 所以QP sin B =BQsin ∠BPQ, 即x22cos β=10-x,化简得x cos β=10sin β+2cos β, (10分)所以S △PQR =1×RQ 2=50(sin β+2cos β)2.因为(sin β+2cos β)2≤5, (12分)所以S △PQR 的最小值为10m 2. (13分)综上,应选用方案二.(14分)18. (1) 由题意知 c =1,a 2c-c =3,解得 a =2,c =1,所以b= 3,(2分)所以椭圆M 的方程为x 24+y 23=1, (4分)圆N 的方程为(x-1)2+y 2=5. (5分)由直线l :y=kx+m 与椭圆M 只有一个公共点,联立x24+y23=1, y=kx+m,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,①(6分)所以Δ=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)=0,得m2=3+4k2.②(7分)由直线l:y=kx+m与圆N只有一个公共点,得|k+m|1+k=5,即k2+2km+m2=5+5k2,③(8分)将②代入③得km=1.④由②④且k>0,得k=1,m=2,(9分)所以直线l的方程为y=12x+2.(10分)(2)由(1)可知,点A的坐标为-1,32,(11分)点B的坐标为(0,2).(12分)设点P的坐标为(x0,y0),因为PBPA=22,则x02+(y0-2)2 (x0+1)2+y0-322=8,化简得7x02+7y02+16x0-20y0+22=0.⑤(13分)又点P(x0,y0)满足x02+y02-2x0=4,⑥将⑤-7×⑥得,3x0-2y0+5=0,即y0=3x0+52.⑦(14分)将⑦代入⑥得,13x02+22x0+9=0,解得x0=-1或x0=-9,代入⑦得,y0=1或y0=19,(15分)所以点P 的坐标为(-1,1)或 -913,1913 . (16分)19. (1) 当a=2时,函数f (x )=ln x+e , 则f'(x )=1x -e x2=x -ex 2(x>0), (2分)当x ∈(0,e )时,f'(x )<0,函数f (x )在(0,e )上单调递减; (3分) 当x ∈(e ,+∞)时,f'(x )>0,函数f (x )在(e ,+∞)上单调递增.(4分)所以函数f (x )的单调增区间为(e ,+∞),单调减区间为(0,e ). (2) 由题意知ln x+a +e-2x≥a 在(0,+∞)上恒成立,等价于x ln x+a+e -2-ax ≥0在(0,+∞)上恒成立. (6分) 令g (x )=x ln x+a+e -2-ax , 则g'(x )=ln x+1-a. 令g'(x )=0,得x=e a-1,(7分)所以g (x )的最小值为g (e a-1)=(a-1)e a-1+a+e -2-a e a-1=a+e -2-e a-1. (9分) 令t (x )=x+e -2-e x-1, 则t'(x )=1-e x-1. (10分)令t'(x )=0,得x=1,当x 变化时,t'(x ),t (x )(11分)所以当a ∈(0,1)时,g (x )的最小值 t (a )>t (0)=e -2-1e =e(e-2)-1e>0,所以a ∈(0,1); (12分)当a ∈[1,+∞)时,g (x )的最小值t (a )=a+e -2-e a-1≥0=t (2), (14分)所以a ∈[1,2]. (15分)综上,实数a 的取值范围为(0,2].(16分)20. (1) 由b n =2n-3且q=2,得a n+1-a n =4,所以数列{a n }为等差数列. (2分)又a 1=1,所以a n =4n-3.(4分)(2) 由条件可知a n -a n-1=q (b n -b n-1),所以a n =(a n -a n-1)+(a n-1-a n-2)+…+(a 2-a 1)+a 1=q (b n -b n-1)+q (b n-1-b n-2)+…+q (b 2-b 1)+a 1=qb n -qb 1+a 1=qb n -2q+1, (6分)不妨设{b n }的公比为λ(λ≠1),则a n =2qλn-1-2q+1.因为{a n }是等比数列,所以a 22=a 1a 3,解得q=12, (7分)经检验,a n =λn-1,此时{a n }是等比数列,所以q=12满足条件. (8分)(3) 由条件可知a n -a n-1=q (b n -b n-1),所以a n =(a n -a n-1)+(a n-1-a n-2)+…+(a 2-a 1)+a 1=q (b n -b n-1)+q (b n-1-b n-2)+…+q (b 2-b 1)+a 1=qb n -qb 1+a 1,即a n =q n+1-q 2+q , (10分)a 2n =q 2n+1-q 2+q.因为q ∈(-1,0),所以a 2n+2-a 2n =q 2n+3-q 2n+1=q 2n+1(q 2-1)>0,则数列{a 2n }逐项递增;(11分)a 2n+1-a 2n-1=q 2n+2-q 2n =q 2n (q 2-1)<0,则数列{a 2n-1}逐项递减.(12分)又a 2n -a 1=q 2n+1-q 2<0,所以数列{a n }的最大项为a 1=q=M , (13分)a 2n+1-a 2=q 2n+2-q 3=q 3(q 2n-1-1)>0,所以数列{a n }的最小项为a 2=q 3-q 2+q=m , (14分)所以M =q q 3-q 2+q =1q 2-q +1.因为q ∈(-1,0), 所以q 2-q+1∈(1,3), 所以M m∈ 13,1 ,所以M m的取值范围为 13,1 . (16分)江苏省苏州市2016届高三第一次模拟考试1. {2} 【解析】由题意知,集合A={x|x ≥ 5,x ∈N },则∁U A={x|2≤x< 5,x ∈N }={2}.2. -5 【解析】因为|z|=|a i||1+2i|=|a |5= 5,所以|a|=5,又a<0,所以a=-5.3. 3【解析】由题意知a=2,b= 5,所以c=3,所以双曲线的离心率为3. 4. 2【解析】由9+8+x +10+115=10,知x=12,所以方差为15×[(10-9)2+(10-8)2+(10-12)2+(10-10)2+(10-11)2]=2. 5. 9 【解析】由题意知a ·(a-b )=0,即a 2-a ·b=0,所以5-(x-4)=0,解得x=9.6. 53【解析】由流程图可知,在循环的过程中,x ,y ,z 的数据依次为1,2,3;2,3,5;3,5,8.故最后输出的y x的值是53. 7. (-∞,1] 【解析】当x ≤0时,0<2x ≤1;当x>0时,-x 2+1<1.所以函数f (x )的值域为(-∞,1]. 8. 1【解析】连续抛掷骰子两次,基本事件有36个.两次向上的数字之和等于7的事件有6个:(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1).故所求的概率为636=16. 9. 5【解析】半径为5的圆的周长是10π,由题意知2πr 1+2πr 2+2πr 3=10π,所以r 1+r 2+r 3=5. 10. -31【解析】由sin θ-2cos θ=-2,得sin θ=2cos θ-2,平方整理得125cos 2θ-40cos θ-21=0,解得cos θ=-725或cos θ=35(舍去),所以sin θ=-2425,所以sin θ+cos θ=-3125. 11. 5或6【解析】设等差数列{a n }的公差为d ,则 a 1+4d =15,a 1+9d =-10,解得 a 1=35,d =-5,所以数列{a n }的前n 项和为S n =-52n 2+752n ,则T n =S n+5-S n-1=-30n+165(n ≥2,n ∈N *).又T 1=S 6=135,所以对n ∈N *,总有|T n |=|-30n+165|,则当n=5或6时,|T 5|=|T 6|=15,此时|T n |取得最小值. 12. 18【解析】由题意知两平行线l 1,l 2将圆C 的周长四等分,所以相应弦所对的圆心角为90°,所以弦心距为 22×2 2=2.因为圆心C (1,2)到直线l 1:y=x+a 的距离为2=2,解得a=1±2 2,所以a=1+2 2,b=1-2 2或a=1-2 2,b=1+2 2,所以a 2+b 2=18. 13. 1【解析】令f (x )=0,得|sin x|=kx.当x ≥0时,如图,作出函数y 1=|sin x|和y 2=kx的图象.若函数f (x )有且只有三个零点,则当x ∈(π,2π)时,y 2=kx 与y 1=-sin x 相切,且x 0为切点的横坐标,即(-sin x )'|x =x 0=-sin x 0x 0,所以tan x 0=x 0,所以x 0(1+x 02)sin2x 0 =tan x 0(1+tan 2x 0)sin2x 0=sin x 0·cos x 0sin2x 0=12.(第13题)14. 4+4 23【解析】因为b=14a,a ∈(0,1),所以11-a +21-b =11-a +21-14a=11-a +24a -1+2=2a +1-4a 2+5a -1+2.令2a+1=t ,则a=t -12,原式=t -t 2+92t -92+2=192- t +92t+2≥192-2 t ·92t+2=4+4 23.当且仅当t=3 22,即a=3 2-24∈(0,1)时取等号.故原式的最小值为4+4 23. 15. (1) 由余弦定理知a cos B+b cos A=a ·a 2+c 2-b 22ac+b ·b 2+c 2-a 22bc=2c 22c =c ,(3分)所以a cos B +b cos Ac=1, 所以cos C=12. (5分)又C ∈(0,π),所以C=π3.(7分)(2) 因为S △ABC =1ab sin C=2 3, 所以ab=8. (10分)又因为a+b=6,所以c 2=a 2+b 2-2ab cos C=(a+b )2-3ab=12, (13分)所以c=2 3.(14分)16. (1) 如图,连接AC ,因为E ,F 分别是AB ,BC 的中点,所以EF 是△ABC 的中位线,所以EF ∥AC.(2分)由直棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1知AA 1CC 1, 所以四边形AA 1C 1C 为平行四边形, 所以AC ∥A 1C 1. (5分) 所以EF ∥A 1C 1,故A 1,C 1,F ,E 四点共面.(7分)(第16题)(2) 如图,连接BD ,在直棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,DD 1⊥平面A 1B 1C 1D 1,A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1,所以DD1⊥A1C1.(9分)因为底面A1B1C1D1是菱形,所以A1C1⊥B1D1.又DD1⊂平面BB1D1D,B1D1⊂平面BB1D1D,DD1∩B1D1=D1,所以A1C1⊥平面BB1D1D.(11分)因为OD⊂平面BB1D1D,所以OD⊥A1C1.又OD⊥A1E,A1C1∩A1E=A1,A1C1⊂平面A1C1FE,A1E⊂平面A1C1FE,所以OD⊥平面A1C1FE.(14分)17.(1)如图,以AB所在的直线为x轴、AB的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系xOy,因为AB=2 m,所以半圆O的半径为1 m,则半圆O的方程为x2+y2=1(-1≤x≤1,y≤0).(3分)因为水深CD=0.4 m,所以OD=0.6 m,在Rt△ODM中,DM=OM2-OD2=1-0.62=0.8(m),(5分)所以MN=2DM=1.6 m,故渠中水面的宽度为1.6 m.(6分)(第17题)(2)为使挖出的土最少,等腰梯形的两腰必须与半圆O相切.设切点为P(cos θ,sin θ)-π<θ<0是BC上的一点,如图,过点P作半圆的切线得直角梯形OCFE,则切线EF的方程为x cos θ+y sin θ=1.(8分),0,令y=0,得E1cosθ,-1.令y=-1,得F1+sinθcosθ设直角梯形OCFE的面积为S,则S=12(CF+OE )·OC=121cos θ+1+sin θcos θ×1=2+sin θ2cos θ-π2<θ<0. (10分)S'=cos θcos θ-(2+sin θ)(-sin θ)2cos 2θ=1+2sin θ2,令S'=0,解得θ=-π6.当-π2<θ<-π6时,S'<0,函数S 在 -π2,-π6上单调递减; 当-π6<θ<0时,S'>0,函数S 在 -π6,0 上单调递增. (12分)所以当θ=-π6时,面积S 取得最小值,且最小值为 32.此时CF=1+sin -π6 cos -π6= 33,即当渠底宽为2 33 m 时,所挖的土最少. (14分)18. (1) 由题意知B (0,1),C (0,-1),焦点F ( ,0),当直线PM 过椭圆O 的右焦点F 时,直线PM 的方程为 3+y -1=1,即y= 33x-1.联立 x 24+y 2=1,y = 33x -1,解得 x =837,y =17或 x =0,y =-1(舍去),即点M 的坐标为 8 3,1 . (2分)连接BF ,则直线BF 的方程为x 3+y 1=1, 即x+ 3y- 3=0. 又BF=a=2,点M 到直线BF 的距离为d=8 37+ 3×17- 3 1+( 3)=2 372= 37,(4分)故△FBM 的面积为S △MBF =12·BF ·d=12×2× 37= 37. (5分)(2) 方法一:①设P (m ,-2),且m ≠0,则直线PM 的斜率为k=-1-(-2)0-m=-1,则直线PM 的方程为y=-1x-1.联立 y =-1m x -1,x 24+y 2=1,消去y ,得1+4m 2x 2+8m x=0,解得点M 的坐标为-8mm 2+4,4-m 2m 2+4, (8分)所以k 1=4-m 2m 2+4-1-8m m 2+4=-2m 2-8m =14m ,k 2=1-(-2)0-m =-3m , 所以k 1·k 2=-3m ·14m=-34为定值.(10分)②由①知,PB =(-m ,3),PM=-8mm 2+4-m ,4-m 2m 2+4+2=-m 3-12m m 2+4,m 2+12m 2+4,所以PB ·PM =(-m ,3)·-m 3+12m m 2+4,m 2+12m 2+4=m 4+15m 2+36m 2+4.(13分)令m 2+4=t>4,则PB ·PM =(t -4)2+15(t -4)+36t=t 2+7t -8t =t-8t+7.因为y=t-8+7在t ∈(4,+∞)上单调递增,所以PB ·PM =t-8+7>4-8+7=9,故PB ·PM 的取值范围为(9,+∞).(16分)方法二:①设点M 的坐标为(x 0,y 0)(x 0≠0),则直线PM 的方程为y=y 0+1x 0x-1,令y=-2,得点P 的坐标为-x 0y0+1,-2, (7分)所以k 1=y 0-1x 0,k 2=-2-1-x 0y 0+1=3(y 0+1)x 0,所以k 1·k 2=y 0-1x 0·3(y 0+1)x 0=3(y 02-1)x 02=3(y 02-1)4(1-y 02)=-34为定值.(10分)②由①知,PB= x 0y 0+1,3 , PM = x 0+x 00,y 0+2 ,所以PB ·PM =x 0y 0+1x 0+x 0y 0+1 +3(y 0+2)=x 02(y 0+2)(y 0+1)2+3(y 0+2)=4(1-y 02)(y 0+2)(y 0+1)2+3(y 0+2)=(7-y 0)(y 0+2)y 0+1.(13分)令t=y 0+1∈(0,2), 则PB·PM =(8-t )(t +1)t =-t+8t+7. 因为y=-t+8t+7在t ∈(0,2)上单调递减, 所以PB ·PM =-t+8t +7>-2+82+7=9, 故PB·PM 的取值范围为(9,+∞). (16分)19. (1) 若q=0,则a n+1-a n =p ·3n-1, 所以a 2=a 1+p=12+p ,a 3=a 2+3p=12+4p.由数列{a n }为等比数列,得 1+p 2=1· 1+4p ,解得p=0或p=1. (3分) 当p=0时,a n+1=a n ,所以a n =12符合题意; (4分)当p=1时,a n+1-a n =3n-1, 所以a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n-1)=12+(1+3+…+3n-2)=12+1-3n -11-3=12·3n-1,所以a n +1n=3符合题意. (6分)(2) 方法一:若p=1,则a n+1-a n =3n-1-nq ,所以a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n-1)=12+(1+3+…+3n-2)-[1+2+…+(n-1)]q=12[3n-1-n (n-1)q ].(8分)因为数列{a n }的最小项为a 4,所以对任意的n ∈N *,有12[3n-1-n (n-1)q ]≥a 4=12(27-12q )恒成立,即3n-1-27≥(n 2-n-12)q 对任意的n ∈N *恒成立. (10分) 当n=1时,有-26≥-12q , 所以q ≥13;当n=2时,有-24≥-10q , 所以q ≥12;当n=3时,有-18≥-6q ,所以q ≥3; 当n=4时,有0≥0,所以q ∈R ; (12分)当n ≥5时,n 2-n-12>0, 所以有q ≤3n -1-27n 2-n -12恒成立. 令c n =3n -1-27n 2-n -12(n ≥5,n ∈N *), 则c n+1-c n =2(n 2-2n -12)3n -1+54n(n -16)(n -9)>0,即数列{c n }为逐项递增数列, 所以q ≤c 5=274.(15分)综上所述,q 的取值范围为 3,274. (16分)方法二:因为p=1,a n+1-a n =3n-1-nq , 又a 4为数列{a n }的最小项, 所以 a 4-a 3≤0,a 5-a 4≥0,即 9-3q ≤0,27-4q ≥0,所以3≤q ≤274.(8分)此时a 2-a 1=1-q<0,a 3-a 2=3-2q<0, 所以a 1>a 2>a 3≥a 4. (10分)当n ≥4时,令b n =a n+1-a n ,则b n+1-b n =2·3n-1-q ≥2·34-1-274>0, 所以b n+1>b n ,所以0≤b 4<b 5<b 6<…, 所以a 4≤a 5<a 6<a 7<….(14分)综上所述,当3≤q ≤274时,a 4为数列{a n }的最小项, 故所求q 的取值范围为 3,27 . (16分)20. (1) 当a=1时,f (x )=e x (2x-1)-x+1,f'(x )=e x (2x+1)-1, (1分)令f'(x )=0,则x=0.当x ∈(0,+∞)时,e x >1,2x+1>1,所以f'(x )>0,所以函数f (x )在(0,+∞)上单调递增; 当x ∈(-∞,0)时,0<e x <1,2x+1<1,所以f'(x )<0,所以函数f (x )在(-∞,0)上单调递减. (4分) 所以函数f (x )的单调增区间为(0,+∞),单调减区间为(-∞,0). (2) ①由f (x )<0得e x (2x-1)<a (x-1). 当x=1时,不等式显然不成立; 当x>1时,a>e x (2x -1)x -1; 当x<1时,a<e x (2x -1)x -1. (6分)记g (x )=e x (2x -1)x -1,g'(x )=e x (2x +1)(x -1)-e x (2x -1)(x -1)2=e x (2x 2-3x )(x -1)2,所以函数g (x )在(-∞,0)和 32,+∞ 上单调递增,在(0,1)和 1,32上单调递减. 所以当x>1时,a>g 32=4e 32;当x<1时,a<g (0)=1. (8分)综上所述,实数a 的取值范围为(-∞,1)∪(4e 32,+∞). (9分)②由①知,当a<1时,x 0∈(-∞,1), 由f (x 0)<0,得g (x 0)>a.又g (x )在(-∞,0)上单调递增,在(0,1)上单调递减,且g (0)=1>a ,所以g (-1)≤a ,即a ≥32e,所以3≤a<1;(12分)当a>4e 32时,x 0∈(1,+∞), 由f (x 0)<0,得g (x 0)<a.又g (x )在 1,3 上单调递减,在 3,+∞ 上单调递增,且g 3 =4e 32<a , 所以 g (2)<a ,g (3)≥a ,解得3e 2<a ≤5e 32.(15分)综上所述,实数a 的取值范围为 32e,1 ∪ 3e 2,5e 32. (16分)江苏省常州市2016届高三第一次模拟考试1. 2-2i 【解析】由题意知z=52+i-i =2-i -i =2-2i . 2. {2}【解析】由题意知∁U A={2,4},则B ∩∁U A={2}.3. 6 【解析】根据分层抽样应抽取初中学校20×3010+30+60=6(所).4. 5【解析】由题意知双曲线C 的渐近线y=-b x 过点P (1,-2),所以b =2,所以该双曲线的离心率e=c = 1+ b2= 5.5. -∞,32【解析】因为(-x 2+2 ∈(-∞,2 所以函数f (x )=log 2(-x 2+2 )的值域为-∞,32. 6. 910【解析】从5名学生中选出3名学生,基本事件有10个.只有选出的“3名学生全是女生”这1个事件不符合要求,故所求的概率为1-1=9. 7. 2【解析】由流程图可知,在循环的过程中,S 与k 的值依次为-1,2;2,3;3,4;-12,5;23,6;…,3,2 014;-12,2 015;23,2 016.故最后输出的S 的值是23.8. 3 【解析】由题意知V三棱锥MPAD=V三棱锥PADM=13× 12×2× 3 ×3= 3.9. 152【解析】作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,由图可知,当目标函数z=2x+y 经过点 54,5 时,取得最大值,且最大值为2×54+5=152.(第9题)10. 2【解析】由a ⊥b ,知a ·b=0,即4x +2x -2=0,解得2x =1,所以a=(1,1),b=(1,-1),所以a-b=(0,2),故|a-b|=2. 11. 117【解析】设等比数列{a n }的公比为q (q>0),由题意知49(q 2+q 4)=40,解得q=3,所以a 1=19,则原式=a 1(q 6+q 7+q 8)9=32+33+34=117. 12.7+4 34【解析】如图,建立平面直角坐标系,则AB=(4,0),AD =(0,4).设AP =(x ,y ),则BC 所在直线为4x+3y=16.由(x ,y )=m (4,0)+n (0,4),得x=4m ,y=4n (m ,n>0),所以16m+12n=16,即m+34n=1,那么1m +1n =1m +1nm+34n=74+3n 4m +m n ≥74+2 3n 4m ·m n =74+ 3=7+4 34.当且仅当3n 2=4m 2时取等号.(第12题)13.-203,4【解析】设点P的坐标为(x,y),则x+3y-b=0.若切线长PB=2PA,则(x-4)2+y2-4=4(x2+y2-1),即3x2+3y2+8x-16=0,即4x2+(8-2b)x+b2-16=0.由题意知Δ=(8-2b)2-16(b2-16)>0,即3b2+8b-80<0,解得-203<b<4,所以实数b的取值范围是-203,4.14.[-3,e2]【解析】当x≤0时,由f(x)≥kx恒成立,知2x2-3x≥kx恒成立,则k≥2x-3恒成立.令g(x)=2x-3,则k≥g(x)max=g(0)=-3,所以k≥-3;当x>0时,先求函数y=e x+e2(x>0)的图象的过坐标原点的切线.设切点为(x0,y0),由y'=e x,得e x0=y0x0,即x0·e x0=e x0+e2.当x0>2时,x0·e x0>e x0+e2;当0<x0<2时,x0·e x0<e x0+e2.故上述方程有唯一的解x0=2,即y=e x+e2过坐标原点的切线方程是y=e2·x.要使e x+e2≥kx恒成立,则k≤e2.综上,实数k的取值范围是[-3,e2].15.(1)因为A+B+C=π,所以A=π-(B+C).由cos(B-C)=1-cos A,得cos(B-C)=1+cos(B+C),展开,整理得sin B·sin C=12.(2分)(2)因为b,a,c成等比数列,所以a2=bc,由正弦定理得sin2A=sin B sin C,所以sin2A=1.(6分)因为A∈(0,π),所以sin A=2,又因为边a 不是最大边,所以A=π4. (8分) (3) 因为B+C=π-A=3π,所以cos (B+C )=cos B cos C-sin B sin C=- 2,sin (B+C )= 2,所以cos B cos C=1- 2, (10分)所以tan B+tan C=sin B cos B +sin C cos C =sin(B +C )cos B cos C = 221- 22=-2- 2.(14分)16. (1) 连接AC 1,BC 1,因为四边形AA 1C 1C 是矩形,D 是A 1C 的中点, 所以D 是AC 1的中点. (2分)在△ABC 1中,因为D ,E 分别是AC 1,AB 的中点, 所以DE ∥BC 1.(4分)又DE ⊄平面BB 1C 1C ,BC 1⊂平面BB 1C 1C , 所以ED ∥平面BB 1C 1C.(6分) (2) 因为△ABC 是正三角形,E 是AB 的中点,所以CE ⊥AB. 又因为在正三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中,平面ABC ⊥平面ABB 1A 1,平面ABC ∩平面ABB 1A 1=AB ,CE ⊂平面ABC , 所以CE ⊥平面ABB 1A 1. 又A 1B ⊂平面ABB 1A 1, 所以CE ⊥A 1B.(9分)在矩形ABB 1A 1中, 因为A 1B 11= 2=B 1B, 所以Rt △A 1B 1B ∽Rt △B 1BE , 所以∠B 1A 1B=∠BB 1E ,所以∠B 1A 1B+∠A 1B 1E=∠BB 1E+∠A 1B 1E=90°, 所以A 1B ⊥B 1E.(12分)又因为CE ⊂平面B 1CE ,B 1E ⊂平面B 1CE ,CE ∩B 1E=E ,所以A 1B ⊥平面B 1CE. (14分)17. (1) 由题意得dk +a 1-d =k 2+2, ①2dk +a 1-d =(k +2)2, ②(2分)②-①,得d=4+2k .因为k ∈N *,d 为整数,所以k=1或k=2. (4分)当k=1时,d=6,代入①,解得a 1=3, 所以a n =6n-3;当k=2时,d=5,代入①,解得a 1=1, 所以a n =5n-4.(6分)综上,k=1,a n =6n-3或k=2,a n =5n-4. (2) 因为a 1>1,所以a n =6n-3,所以S n =3n 2. (7分)由S 2S m=T 3,得123m 2=1+q+q 2, 整理,得q 2+q+1-4m 2=0. (9分)因为Δ=1-4 1-4m 2≥0, 所以m 2≤163.因为m ∈N *,所以m=1或m=2. (11分)当m=1时,q=- 13-12(舍去),q= 13-12; 当m=2时,q=0或q=-1(均舍去). 综上所述,q=13-12. (14分)18. (1) 在△COP 中,CP 2=CO 2+OP 2-2CO ·OP cos θ=10-6cos θ,所以△CDP 的面积S △CDP = 34CP 2= 32(5-3cos θ).又因为△COP 的面积S △COP =12OC ·OP ·sin θ=32sin θ,(6分)所以S=S△CDP+S△COP-S扇形OBP=1 23sinθ-33cosθ-θ +532,0<θ≤θ0<π,cos θ0=1-10512.(9分)注:定义域占2分.当DP所在直线与半圆相切时,设θ取得最大值θ0,此时在△COP中,OP=1,OC=3,∠CPO=30°,CP=10-6cos θ0,由正弦定理得10-6cos θ0=6sin θ0,cos θ0=1-10512或cos θ0=1+10512(舍去)(2)存在.由(1)知,S'=123cos θ+33sin θ-1=3sin θ+π6-12,(12分)当0<θ<θ0时,S'>0,所以当θ=θ0时,S取得最大值.(14分)另解:因为0<θ<π,所以存在唯一的θ0∈π2,π ,使得sin θ0+π6=16.当0<θ<θ0<π时,S'>0,所以当θ=θ0时,S取得最大值此时cos θ0+π6=-356,cos θ0=cosθ0+π6-π6=1-10512.(16分)19.(1)由题意知abc=23,a=2,又a2=b2+c2,解得b=3,c=1,(4分)所以椭圆C的方程为x 24+y23=1.(5分)(2)点A在椭圆C上.证明如下:设切点为Q(x0,y0),x0≠0,则x02+y02=3,切线l的方程为x0x+y0y-3=0.当y P =2 3时,x P =3-2 3y 0x 0, 即点P 的坐标为3-2 3y 0,2 3 , 则k OP =2 33-23y 0x 0=2x 03-2y ,(7分)所以k OA =2y 0- 30,则直线OA 的方程为y=2y 0- 30x. (9分)联立y =2y 0- 32x 0x ,x 0x +y 0y -3=0,解得 x =06- 3y 0y =0 3)6- 3y 即点A 的坐标为6x 06- 3y ,0 3)6- 3y . (11分)因为6-3y 024+0 3)6-3y 032=0202 3y 03y 2-123y +36=02 3y 03y 2-123y +36=1,所以点A 的坐标满足椭圆C 的方程. (14分)当y P =-2 时,同理可得点A 的坐标也满足椭圆C 的方程, 综上,点A 在椭圆C 上.(16分)20.(1)由题意知F(x)=|x2-ln x-b|+2b+1,记t(x)=x2-ln x,x∈12,2,则t'(x)=2x-1x,令t'(x)=0,得x=2.(1分)当1<x<2时,t'(x)<0,函数t(x)在1,2上单调递减;当22<x<2时,t'(x)>0,函数t(x)在22,2上单调递增.又t12=14+ln 2,t(2)=4-ln 2,t22=1+ln22且t(2)-t12=154-2ln 2>0,所以函数t(x)的值域为1+ln22,4-ln 2.(3分)当b∈[1,3]时,记v(t)=|t-b|+2b+1,则v(t)=-t+3b+1,1+ln22≤t≤b, t+b+1,b<t≤4-ln2.因为函数v(t)在1+ln22,b 上单调递减,在(b,4-ln 2]上单调递增,且v1+ln22=3b+1-ln22,v(4-ln 2)=b+5-ln 2,v1+ln22-v(4-ln 2)=2b+ln2-92,所以当b≤9-ln24时,最大值M(b)=v(4-ln 2)=b+5-ln 2;当b>9-ln24时,最大值M (b )=v1+ln22 =3b+1-ln22. 所以M (b )=b +5-ln2,1≤b ≤9-ln2,3b+1-ln22,9-ln24<b ≤3.(5分)(2) 由题意知h (x )=ln xx(x>0), ①h'(x )=1-ln x 2,h'(x 0)=1-ln x0x 02, 所以y (x )=1-ln x 0x 02(x-x 0)+y 0. g (x )=ln xx -y 0-1-ln x 0x 02(x-x 0),且g (x 0)=0, (7分)g'(x )=1-ln x x 2-1-ln x 0x 02,g'(x 0)=0. 令G (x )=g'(x )=1-ln x x 2-1-ln x 0x 02, G'(x )=-3+2ln x 3, 所以g'(x )在(0,e 32)上单调递减,在(e 32,+∞)上单调递增. 若x 0<e 32,则当x ∈(0,x 0)时,g'(x )>0,g (x )单调递增,g (x )<g (x 0)=0;当x ∈(x 0,e 32)时,g'(x )<0,g (x )单调递减,g (x )<g (x 0)=0,不符合题意;若x 0>e 32,则当x ∈(e 32,x 0)时,g'(x )<0,g (x )单调递减,g (x )>g (x 0)=0;当x ∈(x 0,+∞)时,g'(x )>0,g (x )单调递增,g (x )>g (x 0)=0,不符合题意; 若x 0=e 32,则当x ∈(0,e 32)时,g (x )<0;当x ∈(e 32,+∞)时,g (x )>0,符合题意.综上,存在x 0满足要求,且x 0的取值集合为{e 32}.(10分)。

盐城市､南京市2020届高三年级第一次模拟考试 数学参考答案及评分标准 2020.01说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．(－∞，0] 2．5 3．23 4．真 5．6 6．2 7．2 38．3 9．23 10．7 11．33 12．10 13．4 14．－12二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内． 15．(本小题满分14分)解：（1）由sin(B ＋π6)＝2cos B ，可知32sin B ＋12cos B ＝2cos B ，即sin B ＝3cos B ．因为cos B ≠0，所以tan B ＝3．又B ∈(0，π)，故B ＝π3． ……………………………………………2分由cos C ＝63，C ∈(0，π)， 可知sin C ＝1－cos 2C ＝33． ……………………………4分 在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝c sin C ，可得 AC sin π3＝ABsin C，所以AB ＝2． ………………………………………………………………7分 （2）由（1）知B ＝π3，所以A ∈(0，π3)时，π3－A ∈(0，π3)，由cos(B －A )＝45，即cos(π3－A )＝45，所以sin(π3－A )＝1－cos 2(π3－A )＝35，………………………10分所以sin A ＝sin[π3－(π3－A )]＝sin π3cos(π3－A )－cos π3sin(π3－A )＝32×45－12×35＝43－310． ………………14分 16．(本小题满分14分)证明：（1）连结AC 交BD 于点O ，连结OP ．因为AC 1//平面PBD ，AC 1⊂平面ACC 1， 平面ACC 1∩平面BDP ＝OP ，所以AC 1//OP ． ………………………3分 因为四边形ABCD 是正方形，对角线AC 交BD 于点O ， 所以点O 是AC 的中点，所以AO ＝OC ，所以在△ACC 1中，PC 1PC ＝AO OC ＝1． …………………6分（2）连结A 1C 1．因为ABCD －A 1B 1C 1D 1为长方体，所以侧棱C 1C ⊥平面ABCD ． 又BD ⊂平面ABCD ，所以CC 1⊥BD ． ………………………8分 因为底面ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD ．………………………10分 又AC ∩CC 1＝C ，AC ⊂面ACC 1A 1， CC 1⊂面ACC 1A 1，所以BD ⊥面ACC 1A 1． …………………………………………12分 又因为A 1P ⊂面ACC 1A 1，所以BD ⊥A 1P ． ……………………………14分17．(本小题满分14分)解：（1）设⊙P 半径为r ，则AB ＝4(2－r )，所以⊙P 的周长2πr ＝BC ≤216－4(2－r )2， …………………………………4分 解得 r ≤16π2＋4，故⊙P 半径的取值范围为(0，16π2＋4]． ……………………………………6分 （2）在（1）的条件下，油桶的体积V ＝πr 2·AB ＝4πr 2(2－r )．……………………………8分设函数f (x )＝x 2(2－x )，x ∈(0，16π2＋4]，所以f '(x )＝4x －3x 2，由于16π2＋4＜43，A 1（第16题图）所以f '(x )＞0在定义域上恒成立，故f (x )在定义域上单调递增，即当r ＝16π2＋4时，体积取到最大值．……………………………………………13分答：⊙P 半径的取值范围为(0，16π2＋4]．当r ＝16π2＋4米时，体积取到最大值．…………14分18．(本小题满分16分)解：（1）由当PF 2⊥x 轴时，x 0＝1，可知c ＝1． ………………………………2分将x 0＝1，y 0＝e 代入椭圆方程得1a 2＋e 2b2＝1．由e ＝c a ＝1a ，b 2＝a 2－c 2＝a 2－1，所以1a 2＋1a 2(a 2－1)＝1，解得a 2＝2，故b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1．…………………………………………………4分（2）方法一：设A (x 1，y 1)，由AF 1→＝λF 1P →，得⎩⎨⎧－1－x 1＝λ(x 0＋1)，－y 1＝λy 0，即⎩⎨⎧x 1＝－λx 0－λ－1， y 1＝－λy 0，代入椭圆方程，得(－λx 0－λ－1)22＋(－λy 0)2＝1． …………………………8分又由x 202＋y 0＝1，得(λx 0)22＋(λy 0)2＝λ2，两式相减得(λ＋1)(2λx 0＋λ＋1)2＝1－λ2．因为λ＋1≠0，所以2λx 0＋λ＋1＝2(1－λ)，故λ＝13＋2x 0． ……………………………………………………12分同理可得μ＝13－2x 0， ……………………………………………………14分故λ＋μ＝13＋2x 0＋13－2x 0＝69－4x 20≥23，当且仅当x 0＝0时取等号，故λ＋μ的最小值为23．………………………………16分方法二：由点A ，B 不重合可知直线P A 与x 轴不重合， 故可设直线P A 的方程为x ＝my －1，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 22＋y 2＝1， x ＝my －1，消去x ，得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0．设A (x 1，y 1)，则y 0y 1＝－1m 2＋2，所以y 1＝－1(m 2＋2)y 0． ……………………8分将点P (x 0，y 0)代入椭圆的方程得x 202＋y 02＝1，代入直线P A 的方程得x 0＝my 0－1，所以m ＝x 0＋1y 0．由AF 1→＝λF 1P → ，得－y 1＝λy 0，故λ＝－y 1y 0＝1(m 2＋2)y 20＝1(x 0＋1)2＋2y 20 ＝1(x 0＋1)2＋2(1－12x 20)＝13＋2x 0． …………………………………………12分 同理可得μ＝13－2x 0． …………………………………………14分故λ＋μ＝13＋2x 0＋13－2x 0＝69－4x 20≥23，当且仅当x 0＝0时取等号，故λ＋μ的最小值为23． ……………………………16分注：（1）也可设P (2cos θ，sin θ)得λ＝13＋22cos θ，其余同理．（2）也可由1λ＋1μ＝6，运用基本不等式求解λ＋μ的最小值．19．(本小题满分16分)解：（1）因为b 2＝4，且数列{b n }是“M (q )数列”，所以q ＝b 3－b 2b 2－b 1＝7－44－1＝1，所以b n ＋1－b nb n －b n －1＝1，n ≥2，即b n ＋1－b n ＝b n －b n －1 ，n ≥2， ………………………………2分 所以数列{b n }是等差数列，其公差为b 2－b 1＝3，所以数列{b n }通项公式为b n ＝1＋(n －1)×3，即b n ＝3n －2． …………………4分 （2）由b n ＋1＝2S n －12n ＋λ，得b 2＝32＋λ，b 3＝4＋3λ＝7，故λ＝1．方法一：由b n ＋1＝2S n －12n ＋1，得b n ＋2＝2S n ＋1－12(n ＋1)＋1，两式作差得b n ＋2－b n ＋1＝2b n ＋1－12，即b n ＋2＝3b n ＋1－12，n ∈N *．又b 2＝52，所以b 2＝3b 1－12，所以b n ＋1＝3b n －12对n ∈N *恒成立， ……………………6分则b n ＋1－14＝3(b n －14)．因为b 1－14＝34≠0，所以b n －14≠0，所以b n ＋1－14b n －14＝3，即{b n －14}是等比数列，……………………………………………………8分所以b n －14＝(1－14)×3n －1＝14×3n ，即b n ＝14×3n ＋14，所以b n ＋2－b n ＋1b n ＋1－b n＝(14×3n ＋2＋14)－(14×3n ＋1＋14)(14×3n ＋1＋14)－(14×3n ＋14)＝3，所以{b n ＋1－b n }是公比为3的等比数列，故数列{b n }是“M (q )数列”．………10分 方法二：同方法一得b n ＋1＝3b n －12对n ∈N *恒成立， ……………………6分则b n ＋2＝3b n ＋1－12，两式作差得b n ＋2－b n ＋1＝3(b n ＋1－b n )．……………………8分因为b 2－b 1＝32≠0，所以b n ＋1－b n ≠0，所以b n ＋2－b n ＋1b n ＋1－b n＝3，所以{b n ＋1－b n }是公比为3的等比数列，故数列{b n }是“M (q )数列”．………10分 （3）由数列{b n }是“M (2)数列”，得b n ＋1－b n ＝(b 2－b 1)×2n －1．又b 3－b 2b 2－b 1＝2，即7－b 2b 2－1＝2，所以b 2＝3，所以b 2－b 1＝2，所以b n ＋1－b n ＝2n ， 所以当n ≥2时，b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1＝2n －1．当n ＝1时上式也成立，所以b n ＝2n －1． ………………………………12分 假设存在正整数m ，n ，使得40392019＜b m b n ＜40402019，则40392019＜2m －12n －1＜40402019．由2m －12n －1＞40392019＞1，可知2m －1＞2n －1，所以m ＞n ． 又m ，n 为正整数，所以m －n ≥1．又2m －12n －1＝2m －n (2n －1)＋2m －n －12n －1＝2m －n ＋2m －n －12n －1＜40402019， 所以2m －n ＜40402019＜3，所以m －n ＝1， ………………………………14分所以2m －12n －1＝2＋12n －1，即40392019＜2＋12n －1＜40402019，所以20212＜2n＜2020，所以n ＝10，m ＝11，故存在满足条件的正整数m ，n ，其中m ＝11，n ＝10． ………………………16分20．(本小题满分16分)解：（1）由函数f (x )为奇函数，得f (x )＋f (－x )＝0在定义域上恒成立，所以 e x －a e －x －mx ＋e －x －a e x ＋mx ＝0，化简可得 (1－a )·(e x ＋e －x )＝0，所以a ＝1． ………………………………3分 （2）方法一：由（1）可得f (x )＝e x－e －x－mx ，所以f '(x )＝e x ＋e －x－m ＝e 2x －m e x ＋1e x．①当m ≤2时，由于e 2x －m e x ＋1≥0恒成立，即f '(x )≥0恒成立，故不存在极小值． …………………………………5分 ②当m ＞2时，令e x ＝t ，则方程t 2－mt ＋1＝0有两个不等的正根t 1，t 2 (t 1＜t 2)， 故可知函数f (x )＝e x －e －x －mx 在(－∞，ln t 1)，(ln t 2，＋∞)上单调递增， 在(ln t 1，ln t 2)上单调递减，即在ln t 2处取到极小值，所以，m 的取值范围是(2，＋∞)．……………………………………………9分 方法二：由（1）可得f (x )＝e x －e －x －mx ，令g (x )＝f '(x )＝e x ＋e －x －m ， 则g ′ (x )＝e x－e －x＝e 2x －1ex ．故当x ≥0时，g ′(x )≥0；当x ＜0时，g ′(x )＜0， …………………………………5分 故g (x )在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增，所以g (x )min ＝g (0)＝2－m ．①若2－m ≥0，则g (x )≥0恒成立，所以f (x )单调递增，此时f (x )无极值点．……6分 ②若2－m ＜0，即m ＞2时，g (0)＝2－m ＜0．取t ＝ln m ，则g (t )＝1m ＞0．又函数g (x )的图象在区间[0，t ]上不间断，所以存在x 0∈ (0，t )，使得 g (x 0)＝0． 又g (x )在(0，＋∞)上递增，所以x ∈(0，x 0)时，g (x )＜0，即f '(x )＜0；x ∈(x 0，＋∞)时，g (x )＞0，即f '(x )＞0， 所以f (x 0)为f (x )极小值，符合题意．所以，m 的取值范围是(2，＋∞)． …………………………………………9分（3）由x 0满足e x 0＋e－x 0＝m ，代入f (x )＝e x －e －x －mx ,消去m ，可得f (x 0)＝(1－x 0)e x 0－(1＋x 0)e －x 0． ……………………………11分 构造函数h (x )＝(1－x )e x －(1＋x )e －x ，所以h ′(x )＝x (e －x －e x )． 当x ≥0时，e －x－e x＝1－e 2xex ≤0，所以当x ≥0时，h ′(x )≤0恒成立，故h (x )在[0，＋∞)上为单调减函数，其中h (1)＝－2e , ………………13分则f (x 0)≥－2e 可转化为h (x 0)≥h (1)，故x 0≤1． ………………15分由e x 0＋e－x 0＝m ，设y ＝e x ＋e －x ，可得当x ≥0时，y’＝e x －e －x ≥0，所以y ＝e x ＋e －x 在(0，1]上递增，故m ≤e ＋1e ．综上，m 的取值范围是(2，e ＋1e]．…………………………………………16分盐城市、南京市2020届高三年级第一次模拟考试 数学附加题参考答案及评分标准 2020.01说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷纸指．．．定区域内．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换解：设圆C 上任一点(x ，y )，经矩阵M 变换后得到圆C’上一点(x’，y’)，所以⎣⎡⎦⎤a 33 －2 ⎣⎡⎦⎤ x y ＝⎣⎡⎦⎤ x ′ y ′，所以⎩⎨⎧ ax ＋3y ＝x ′， 3x －2y ＝y ′． ………………………5分又因为(x ′)2＋(y ′)2＝13，所以圆C 的方程为(ax ＋3y )2＋(3x －2y )2＝13, 化简得(a 2＋9)x 2＋(6a －12)xy ＋13y 2＝13，所以⎩⎨⎧ a 2＋9＝13， 6a －12＝0，解得a ＝2．所以，实数a 的值为2． …………………………………10分 B ．选修4—4：坐标系与参数方程解：以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴(单位长度相同)建立平面直角坐标系，由直线ρcos θ＋2ρsin θ＝m ，可得直角坐标方程为x ＋2y －m ＝0．又曲线ρ＝4sin θ，所以ρ2＝4ρsin θ，其直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，………………5分 所以曲线ρ＝4sin θ是以(0，2)为圆心，2为半径的圆．为使直线被曲线(圆)截得的弦AB 最长，所以直线过圆心(0，2)， 于是0＋2×2－m ＝0，解得m ＝4．所以，实数m 的值为4． ………………………………………10分 C ．选修4—5：不等式选讲解：因为1a ＋2b ＋3c ＝1，所以1a ＋42b ＋93c＝1．由柯西不等式得a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )(1a ＋42b ＋93c)≥(1＋2＋3)2，即a ＋2b ＋3c ≥36， ………………………………………………………………………5分 当且仅当1a a ＝42b 2b ＝93c3c，即a ＝b ＝c 时取等号，解得a ＝b ＝c ＝6，所以当且仅当a ＝b ＝c ＝6时，a ＋2b ＋3c 取最小值36． ………………………………10分 22．（本小题满分10分）解：（1）以CD ，AB ，OO 1所在直线建立如图所示空间直角坐标系O －xyz ．由CD ＝2，AA 1＝3，所以A (0，－1，0)，B (0，1，0)，C (－1，0，0)，D (1，0，0)， A 1(0，－1，3)，B 1(0，1，3)，从而A 1C →＝(－1，1，－3)，B 1D →＝(1，－1，－3)， 所以cos ＜A 1C →，B 1D →＞＝－1×1＋1×(－1)＋(－3)×(－3)(－1)2＋12＋(－3)2×12＋(－1)2＋(－3)2＝711，所以异面直线A 1C 与B 1D 所成角的余弦值为711．………………4分（2）设AA 1＝m ＞0，则A 1(0，－1，m )，B 1(0，1，m )，所以A 1C →＝(－1，1，－m )， B 1D →＝(1，－1，－m )，CD →＝(2，0，0)， 设平面A 1CD 的一个法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·CD →＝2x 1＝0，n 1·A 1C →＝－x 1＋y 1－mz 1＝0，所以x 1＝0，令z 1＝1，则y 1＝m ，所以平面A 1CD 的一个法向量n 1＝(0，m ，1)． 同理可得平面B 1CD 的一个法向量n 2＝(0，－m ，1)． 因为二面角A 1－CD －B 1的大小为π3，所以|cos ＜n 1，n 2＞|＝|m ×(－m )＋1×1m 2＋12×(－m )2＋12|＝12，解得m ＝3或m ＝33， 由图形可知当二面角A 1－CD －B 1的大小为π3时，m ＝3．……………………10分注：用传统方法也可，请参照评分． 23．（本小题满分10分）解：（1）令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2n ＝0．令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 2n －1＋a 2n ＝31＋32＋…＋32n ＝32(9n －1)．两式相加得2(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝32(9n －1)，所以S n ＝34(9n －1)．…………………………………3分（2）T n ＝－S 1C 1n ＋S 2C 2n －S 3C 3n ＋…＋(－1)n S n C nn＝34{[－91C 1n ＋92C 2n －93C 3n ＋…＋(－1)n 9n C n n ]－[－C 1n ＋C 2n －C 3n ＋…＋(－1)n C n n ]} ＝34{[90C 0n －91C 1n ＋92C 2n －93C 3n ＋…＋(－1)n 9n C n n ]－[C 0n －C 1n ＋C 2n －C 3n ＋…＋(－1)n C n n ]} ＝34[90C 0n －91C 1n ＋92C 2n －93C 3n ＋…＋(－1)n 9n C n n ] ＝34[C 0n (－9)0＋C 1n (－9)1＋C 2n (－9)2＋…＋C n n (－9)n ] ＝34[1＋(－9)]n ＝34×(－8)n ． …………………………………………7分 要证|T n |≥6n 3，即证34×8n ≥6n 3，只需证明8n －1≥n 3，即证2n －1≥n ．当n ＝1，2时，2n －1≥n 显然成立．当n ≥3时，2n －1＝C 0n －1＋C 1n －1＋…＋C n －1n －1≥C 0n －1＋C 1n －1＝1＋(n －1)＝n ，即2n －1≥n ， 所以2n －1≥n 对n ∈N *恒成立．综上，|T n |≥6n 3恒成立．………………………………………………………10分注：用数学归纳法或数列的单调性也可证明2n －1≥n 恒成立，请参照评分．。

2016年江苏南京市、盐城市高三一模数学试卷一、填空题（共14小题；共70分）1. 已知集合，，那么 ______．2. 已知复数，那么 ______．3. 已知书架上有本数学书，本物理书，若从中随机取出本，则取出的本书都是数学书的概率为______．4. 运行如图所示的伪代码，其输出的结果的值为______．S 1For I From 1 To 7 Step 2S S+IEed ForPrint S5. 某校高一年级有学生人，高二年级有学生人，现采用分层抽样的方法从全校学生抽取人，其中从高一年级学生中抽取人，则从高三年级学生中抽取的人数为______．6. 在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上．若曲线经过点，则其焦点到准线的距离为______．7. 设，满足约束条件则目标函数的最大值为______．8. 若某个正方体与底面边长为，侧棱长为的正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为______．9. 在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的值为______．10. 已知等比数列的前项和为，且．若，则的最小值为______．11. 如图，在中，若，，，则的值为______．12. 在平面直角坐标系中，已知过点的直线与圆相交于，两点．若恰好是线段的中点，则直线的方程为______．13. 已知是定义在上的奇函数，且，函数，若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是______．14. 若函数的图象上存在两点，，使得是以为直角顶点的直角三角形（其中为坐标原点），且斜边的中点恰好在轴上，则实数的取值范围是______．二、解答题（共6小题；共78分）15. 设函数的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）当时，求的取值范围．16. 如图，已知直三棱柱的侧面是正方形，点是侧面的中心，，是棱的中点．（1）求证： 平面；（2）求证：平面平面．17. 如图，，是两个垃圾中转站，在的正东方向处，直线的南面为居民生活区．为了妥善处理生活垃圾，政府决定在的北面建一个垃圾发电厂．垃圾发电厂的选址拟满足以下两个要求（，，可看成三个点）：①垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，且比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民生活区（这里参考的指标是点到直线的距离要尽可能大）．现估测得，两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为和，问：垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求?18. 如图，在平面直角坐标系中，设是椭圆上一点，从原点向圆作两条切线分别与椭圆交于点，，直线，的斜率分别记为，．（1）若圆与轴相切于椭圆的右焦点，求圆的方程．（2）若．①求证：；②求的最大值．19. 已知函数的图象在处的切线方程为．（1）求实数的值；（2）若对任意的，都有成立，求实数的取值范围；（3）若函数的两个零点为，，试判断的正负，并给出证明．20. 设数列共有项，记该数列前项，，，中的最大项为，该数列后项，，，中的最小项为，．（1）若数列的通项公式为，求数列的通项公式；（2）若数列是单调数列，且满足，，求数列的通项公式；（3）试构造一个数列，满足，其中是公差不为零的等差数列，是等比数列，使得对于任意给定的正整数，数列都是逐项递增的，并给出证明．答案第一部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.第二部分15. （1）由图象知，，又，，所以，得．所以，将点代入，得，即，又，所以．所以．（2）当时，，所以，即．16. （1）在中，因为是的中点，是的中点，所以．又平面，平面，所以 平面．（2）因为是直三棱柱，所以底面，所以，又，即，而面，且，所以面．而面，所以，又是正方形，所以，而面，且，所以面．又面，所以面面．17. 方法一：由条件①得，．设，，则，所以点到直线的距离所以当，即时，取得最大值．即垃圾发电厂的选址应满足，．方法二：如图，以所在直线为轴、线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，，．由条件①得，．设，则，化简得，，即点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆且位于轴上方的半圆，则当时，点到直线的距离最大，且最大值为．故点的选址应满足在上述坐标系中，其坐标为即可．18. （1）因为椭圆的右焦点坐标为，所以圆心的坐标为，所以圆的方程为．（2）①因为圆与直线相切，，即．同理，有，所以，时方程的两个根，所以．②设点的坐标为，点的坐标为，联立解得，．同理，，所以当且仅当时取等号，所以的最大值为．19. （1）由题意得，，因为函数在处的切线方程为，所以，得．（2）由（1）知对任意的恒成立，所以，即对任意的恒成立，所以．又不等式整理可得，令，所以．令，得．当时，，函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减．所以．综上所述，实数的取值范围是．（3）结论是 .证明：由题意知函数，所以，易得函数在上单调递增，在上单调递减，所以只需证明即可．因为，是函数的两个零点，所以两式相减得．不妨令，则，则，所以，，即证．即证明．因为．所以在上单调递增，所以．综上所述，函数总满足成立．20. （1）因为是逐项递增的，所以，，所以，．（2）若是逐项递减的，则，，所以，不满足，所以是逐项递增的．则，，所以，即，，所以是公差为的等差数列，，．（3）构造，其中，．下面证明数列满足题意：因为，所以数列是逐项递增的，所以，，所以，．因为，所以数列是逐项递增的，满足题意．。

江苏省南京市、盐城市2016届高三第一次模拟考试数学附加题注意事项:1. 附加题供选修物理的考生使用.2. 本试卷共40分,考试时间30分钟.3. 答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.21.【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-1:几何证明选讲如图,AB为圆O的直径,直线CD与圆O相切于点D,AC⊥CD,DE⊥AB,C,E分别为垂足,连接AD,BD.若AC=4,DE=3,求BD的长.(第21-A题) B.选修4-2:矩阵与变换已知矩阵M=a021(a∈R)的一个特征值为2,在平面直角坐标系xOy中,若曲线C在矩阵M对应的变换作用下得到的曲线的方程为x2+y2=1,求曲线C的方程.C.选修4-4:坐标系与参数方程在极坐标系中,已知点A的极坐标为2π4,圆E的极坐标方程为ρ=4cos θ+4sin θ,试判断点A和圆E的位置关系.D.选修4-5:不等式选讲已知正实数a,b,c,d满足a+b+c+d=1.求证:1+2a+1+2b+1+2c+1+2d≤26.【必做题】第22、23题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB⊥AC,AB=2,AC=4,AA1=2,设BD=λDC(λ∈R).(1)若λ=1,求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值;(2)若二面角B1-A1C1-D的大小为60°,求实数λ的值.(第22题)23.(本小题满分10分)已知集合M={1,2,3,…,n}(n∈N*,n≥3),记M的含有三个元素的子集的个数为S n,同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列,取出中间的数,所有这些中间的数的和记为T n.(1)分别求T3S3,T4S4,T5S5,T6S6的值;(2)猜想T nS n的表达式,并给出证明.江苏省无锡市2016届高三第一次模拟考试数学附加题注意事项:1. 附加题供选修物理的考生使用.2. 本试卷共40分,考试时间30分钟.3. 答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.21. A.选修4-2:矩阵与变换(本小题满分10分)已知矩阵A=1002,B=1201,若矩阵AB-1对应的变换把直线l变为直线l':x+y-2=0,求直线l的方程.B.选修4-4:坐标系与参数方程(本小题满分10分)已知极坐标系的极点与平面直角坐标系的原点重合,极轴与x轴的正半轴重合.若直线l的极坐标方程为ρsin θ-π4=32.(1)把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)已知P为曲线C:x=4cosθ,y=3sinθ(θ为参数)上一点,求点P到直线l的距离的最大值.【必做题】第22、23题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为12,a,a(0<a<1),三人各射击一次,击中目标的次数记为ξ.(1)求ξ的分布列及数学期望;(2)在概率P(ξ=i)(i=0,1,2,3)中,若P(ξ=1)的值最大,求实数a的取值范围.23.(本小题满分10分)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知AD=1,D1D=2,P为棱CC1的中点.(1)设二面角A-A1B-P的大小为θ,求sinθ的值;(2)设M为线段A1B上的一点,求AMMP的取值范围.(第23题)江苏省苏州市2016届高三第一次模拟考试数学附加题注意事项:1. 附加题供选修物理的考生使用.2. 本试卷共40分,考试时间30分钟.3. 答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.21.【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-1:几何证明选讲如图,四边形ABDC内接于圆,BD=CD,过点C的圆的切线与AB的延长线交于点E.(1)求证:∠EAC=2∠DCE;(2)若BD⊥AB,BC=BE,AE=2,求AB的长.(第21-A题) B.选修4-2:矩阵与变换已知二阶矩阵M有特征值λ=3及对应的一个特征向量e1=11,且点(1,-2)在矩阵M对应的变换作用下得到点(9,15),求矩阵M.C.选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C1的参数方程是x=t,y=3t3(t为参数),在以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2的极坐标方程是ρ=2,求曲线C1与C2的交点在平面直角坐标系中的直角坐标.D.选修4-5:不等式选讲已知函数f(x)= x+1a+|x-a|(a>0).(1) 求证:f (x )≥2;(2) 若f (3)<5,求实数a 的取值范围.【必做题】第22、23题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.22. (本小题满分10分)一位网民在网上光顾某网店,经过一番浏览后,对该店铺中的A ,B ,C 三种商品有购买意向.已知该网民购买A 种商品的概率为34,购买B 种商品的概率为23,购买C 种商品的概率为1.假设该网民是否购买这三种商品相互独立.(1) 求该网民至少购买2种商品的概率;(2) 用随机变量η表示该网民购买商品的种数,求η的概率分布和数学期望.23. (本小题满分10分)如图,是由若干个小正方形组成的k 层三角形图阵,第一层有1个小正方形,第二层有2个小正方形,依此类推,第k 层有k 个小正方形.除去最底下的一层,每个小正方形都放置在它下一层的两个小正方形之上.现对第k 层的每个小正方形用数字进行标注,从左到右依次记为x 1,x 2,…,x k ,其中x i ∈{0,1}(1≤i ≤k ),其他小正方形的数字是它下面两个小正方形标注的数字之和,依此规律,记第一层的小正方形标注的数字为x 0. (1) 当k=4时,若要求x 0为2的倍数,则有多少种不同的标注方法? (2) 当k=11时,若要求x 0为3的倍数,则有多少种不同的标注方法?(第23题)江苏省常州市2016届高三第一次模拟考试数学附加题注意事项:1. 附加题供选修物理的考生使用.2. 本试卷共40分,考试时间30分钟.3. 答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.21.【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-1:几何证明选讲如图,△ABC是圆O的内接三角形,且AB=AC,AP∥BC,弦CE的延长线交AP于点D.求证:AD2=DE·DC.(第21-A题)B.选修4-2:矩阵与变换已知矩阵M=a24b的属于特征值8的一个特征向量是e=11,点P(-1,2)在矩阵M对应的变换作用下得到点Q,求点Q的坐标.C.选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C:x=6cosα,y=2sinα(α为参数).以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,且直线l的极坐标方程为ρ(cos θ+3sin θ)+4=0.求曲线C上的点到直线l的最大距离.D.选修4-5:不等式选讲已知|x|<2,|y|<2,求证:|4-xy|>2|x-y|.【必做题】第22、23题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.22. (本小题满分10分)如图,在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,已知侧面ADD 1A 1⊥底面ABCD ,D 1A=D 1D= 底面ABCD 为直角梯形,其中BC ∥AD ,AB ⊥AD ,AD=2AB=2BC=2.(1) 在平面ABCD 内找一点F ,使得D 1F ⊥平面AB 1C ; (2) 求二面角C -B 1A -B 的平面角的余弦值.(第22题)23. (本小题满分10分)已知数列{a n }满足a n =a n +1-a -n -1a -a -1,a ≠-1,0,1.设b=a+1a.(1) 求证:a n+1=ba n -a n-1(n ≥2,n ∈N *);(2) 当n 为奇数时,a n =∑i =0n -12(-1)i C n -iib n-2i ,猜想当n 为偶数时,a n 关于b 的表达式,并用数学归纳法证明.江苏省镇江市2016届高三第一次模拟考试数学附加题注意事项:1. 附加题供选修物理的考生使用.2. 本试卷共40分,考试时间30分钟.3. 答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.21. 【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-1:几何证明选讲如图,在直径为AB的半圆上有两点M,N,已知AN与BM交于点P,求证:AP·AN+BP·BM=AB2.(第21-A题)B.选修4-2:矩阵与变换求矩阵3113的特征值及对应的特征向量.C.选修4-4:坐标系与参数方程已知直线l的极坐标方程为ρsin θ-π3=3,曲线C的参数方程为x=2cosθ,y=2sinθ(θ为参数),若点P是曲线C上的任意一点,求点P到直线l的距离的最大值.D.选修4-5:不等式选讲已知x,y均为正数,且x>y,求证:x+4x-2xy+y≥y+3.【必做题】第22、23题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)如图,在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知A1E=CF=1.(1)求两条异面直线AC1与BE所成角的余弦值;(2)求直线BB1与平面BED1F所成角的正弦值.(第22题)23.(本小题满分10分)求证:对一切正整数n,5n+2·3n-1+1能被8整除.江苏省扬州市2016届高三第一次模拟考试数学附加题注意事项:1. 附加题供选修物理的考生使用.2. 本试卷共40分,考试时间30分钟.3. 答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.21.(本小题满分10分)已知直线l:x+y=1在矩阵A=m n01对应的变换作用下得到直线l':x-y=1,求矩阵A.22.(本小题满分10分)在极坐标系中,求圆ρ=8sin θ上的点到直线θ=π3(ρ∈R)的距离的最大值.23.(本小题满分10分)某商场举办“迎新年摸球”活动,主办方准备了甲、乙两个箱子,其中甲箱中有四个球、乙箱中有三个球(每个球的大小、形状完全相同),每一个箱子中只有一个红球,其余都是黑球.若摸中甲箱中的红球,则可获奖金m元;若摸中乙箱中的红球,则可获奖金n元.活动规定:①参与者每个箱子只能摸一次,一次摸一个球;②可选择先摸甲箱,也可先摸乙箱;③如果在第一个箱子中摸到红球,则可继续在第二个箱子中摸球,否则活动终止.(1)如果参与者先在乙箱中摸球,求其恰好获得奖金n元的概率;(2)若要使得该参与者获奖金的期望值较大,请你帮他设计摸箱子的顺序,并说明理由. 24.(本小题满分10分)已知函数f(x)=2x-3x2,若数列{a n}满足:a1=14,a n+1=f(a n).(1)求证:对任意的n∈N*,都有0<a n<13;(2)求证:31-3a1+31-3a2+…+31-3a n≥4n+1-4.江苏省泰州市2016届高三第一次模拟考试数学附加题注意事项:1. 附加题供选修物理的考生使用.2. 本试卷共40分,考试时间30分钟.3. 答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.21. 【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-1:几何证明选讲如图,圆O是△ABC的外接圆,D是劣弧BC的中点,连接AD并延长,与以C为切点的切线交于点P,求证:PCPA =BDAC.(第21-A题)B.选修4-2:矩阵与变换已知矩阵M=-1252x的一个特征值为-2,求M2.C.选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中,已知直线C1:x=t+1,y=7-2t(t为参数)与椭圆C2:x=a cosθ,y=3sinθ(θ为参数,a>0)的一条准线的交点在y轴上,求实数a的值.D.选修4-5:不等式选讲已知正实数a,b,c满足a+b2+c3=1,求证:1a2+1b4+1c6≥27.【必做题】第22、23题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4. (1)设AD=λAB,异面直线AC1与CD所成角的余弦值为91050,求λ的值;(2)若D是AB的中点,求二面角D-CB1-B的余弦值.(第22题)23.(本小题满分10分)已知k,m∈N*,若存在互不相等的正整数a1,a2,…,a m,使得a1a2,a2a3,…,a m-1a m,a m a1同时小于k,则记f(k)为满足条件的m的最大值.(1)求f(6)的值.(2)对于给定的正整数n(n≥2):①当n(n+2)<k≤(n+1)(n+2)时,求f(k)的解析式;②当n(n+1)<k≤n(n+2)时,求f(k)的解析式.江苏省苏北四市2016届高三第一次模拟考试数学附加题注意事项:1. 附加题供选修物理的考生使用.2. 本试卷共40分,考试时间30分钟.3. 答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.21. 【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-1:几何证明选讲如图,∠PAQ是直角,圆O与射线AP相切于点T,与射线AQ相交于点B,C.求证:BT平分∠OBA.(第21-A题)B.选修4-2:矩阵与变换已知矩阵A=12-14,求矩阵A的特征值和特征向量.C.选修4-4:坐标系与参数方程在极坐标系中,圆C的极坐标方程为ρ2-8ρsin θ-π3+13=0,已知点A的极坐标为1,3π2,点B的极坐标为3,3π2,P为圆C上一点,求△PAB的面积的最小值.D.选修4-5:不等式选讲已知x,y均为正数,且x>y,求证:2x+1x2-2xy+y2≥2y+3.【必做题】第22、23题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知底面三角形ABC是直角三角形,AB=AC=1,AA1=2,P是棱BB1上一点,满足BP=λBB1(0≤λ≤1).(1)若λ=13,求直线PC与平面A1BC所成角的正弦值;(2)若二面角P-A1C-B的正弦值为23,求λ的值.(第22题)23.(本小题满分10分)已知数列{a n}满足a n=3n-2,f(n)=1a1+1a2+…+1a n,g(n)=f(n2)-f(n-1).(1)求证:g(2)>13;(2)求证:当n≥3时,g(n)>13.江苏省南通市2016届高三第一次模拟考试数学附加题注意事项:1. 附加题供选修物理的考生使用.2. 本试卷共40分,考试时间30分钟.3. 答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.21.【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-1:几何证明选讲如图,圆O的直径AB=10,C为圆O上一点,BC=6,过点C作圆O的切线l,AD⊥l于点D,且交圆O于点E,求DE的长.(第21-A题)B.选修4-2:矩阵与变换已知矩阵M=1022,求矩阵M的逆矩阵M-1的特征值.C.选修4-4:坐标系与参数方程,圆C的方程为ρ=42sin θ(圆心为点C),求直线在极坐标系中,已知点A的极坐标为2,π4AC的极坐标方程.D.选修4-5:不等式选讲已知a≥0,b≥0,求证:a6+b6≥ab(a4+b4).【必做题】第22、23题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)如图,在四棱锥S-ABCD中,已知底面ABCD为矩形,SA⊥平面ABCD,AB=1,AD=AS=2,P是棱SD上一点,且SP=1PD.2(1)求直线AB与CP所成角的余弦值;(2)求二面角A-PC-D的余弦值.(第22题)23.(本小题满分10分)已知函数f0(x)=x(sin x+cos x),设f n(x)为f n-1(x)的导数,n∈N*. (1)求f1(x),f2(x)的解析式;(2)写出f n(x)的解析式,并用数学归纳法证明.江苏省南京市2016届高三期初模拟考试数学附加题注意事项:1. 附加题供选修物理的考生使用.2. 本试卷共40分,考试时间30分钟.3. 答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.21.【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-1:几何证明选讲如图,在圆O中,AB,CD是互相平行的两条弦,直线AE与圆O相切于点A,且与CD的延长线交于点E,求证:AD2=AB·ED.(第21-A题)B.选修4-2:矩阵与变换已知点P(3,1)在矩阵A=a2b-1对应的变换作用下得到点P'(5,-1).试求矩阵A和它的逆矩阵A-1.C.选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为x=m+2cosα,y=2sinα(α为参数,m为常数).在以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为ρcos θ-π4=2.若直线l与圆C有两个公共点,求实数m的取值范围.D.选修4-5:不等式选讲已知实数x,y,z满足x+5y+z=9,求x2+y2+z2的最小值.【必做题】第22、23题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤..现有4发子弹,该射手一旦22.(本小题满分10分)假定某射手射击一次命中目标的概率为23射中目标,就停止射击,否则就一直独立地射击到子弹用完.设耗用子弹数为X.(1)求X的概率分布;(2)求数学期望E(X).23.(本小题满分10分)如图,在正方形ABCD和矩形ACEF中,已知AB=2,CE=1,CE⊥平面ABCD.(1)求异面直线DF与BE所成角的余弦值;(2)求二面角A-DF-B的大小.(第23题)江苏省南京市、盐城市、连云港市2016届高三第二次模拟考试数学附加题注意事项:1. 附加题供选修物理的考生使用.2. 本试卷共40分,考试时间30分钟.3. 答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.21.【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-1:几何证明选讲如图,在Rt△ABC中,AB=BC.以AB为直径的圆O交AC于点D,过D作DE⊥BC,垂足为E,连接AE交圆O于点F.求证:BE·CE=EF·EA.(第21-A题) B.选修4-2:矩阵与变换已知a,b是实数,若点(2,3)在矩阵A=3ab-2所对应的变换T作用下得到点(3,4).(1)求a,b的值;(2)若矩阵A的逆矩阵为B,求B2.C.选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.直线l的极坐标方程为ρsinπ3-θ =32,椭圆C的参数方程为x=2cos t,y=3sin t(t为参数).(1)求直线l的直角坐标方程与椭圆C的普通方程;(2)若直线l与椭圆C交于A,B两点,求线段AB的长.D.选修4-5:不等式选讲解不等式:|x-2|+x|x+2|>2.【必做题】第22、23题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.22. (本小题满分10分)甲、乙两人投篮命中的概率分别为23与12,各自相互独立.现两人做投篮游戏,共比赛3局,每局每人各投一球.(1) 求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率;(2) 设ξ表示比赛结束后甲、乙两人进球数的差的绝对值,求ξ的概率分布和数学期望E (ξ).23. (本小题满分10分)设(1-x )n =a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n ,n ∈N *,n ≥2. (1) 设n=11,求|a 6|+|a 7|+|a 8|+|a 9|+|a 10|+|a 11|的值; (2) 设b k =k +1n -k a k+1(k ∈N ,k ≤n-1),S m =b 0+b 1+b 2+…+b m (m ∈N ,m ≤n-1),求 S mC n -1m 的值.江苏省南通市、泰州市、扬州市、淮安市2016届高三第二次模拟考试 数学附加题注意事项:1. 附加题供选修物理的考生使用.2. 本试卷共40分,考试时间30分钟.3. 答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. A . 选修4-1:几何证明选讲如图,AB 是圆O 的直径,C 为圆O 外一点,且AB=AC ,BC 交圆O 于点D ,过D 作圆O 的切线交AC 于点E.求证:DE ⊥AC.(第21-A 题)B.选修4-2:矩阵与变换在平面直角坐标系xOy中,设点A(-1,2)在矩阵M=-1001对应的变换作用下得到点A',将点B(3,4)绕点A'逆时针旋转90°得到点B',求点B'的坐标.C.选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中,已知直线x=-1+55t,y=-1+255t(t为参数)与曲线x=sinθ,y=cos2θ(θ为参数)相交于A,B两点,求线段AB的长.D.选修4-5:不等式选讲已知a,b,c∈R,4a2+b2+2c2=4,求2a+b+c的最大值.【必做题】第22、23题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)一个摸球游戏,规则如下:在一不透明的纸盒中,装有6个大小相同、颜色各异的玻璃球.参加者交费1元可玩1次游戏,从中有放回地摸球3次.参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球,然后摸球:当所指定的玻璃球不出现时,游戏费被没收;当所指定的玻璃球出现1次、2次、3次时,参加者可相应获得游戏费的0倍、1倍、k倍的奖励(k∈N*),且游戏费仍退还给参加者.记参加者玩1次游戏的收益为X元.(1)求概率P(X=0)的值;(2)为使收益X的数学期望不小于0元,求k的最小值.23.(本小题满分10分)设S4k=a1+a2+…+a4k(k∈N*),其中a i∈{0,1}(i=1,2,…,4k).当S4k除以4的余数是b(b=0,1,2,3)时,数列a1,a2,…,a4k的个数记为m(b).(1)当k=2时,求m(1)的值;(2)求m(3)关于k的表达式,并化简.江苏省苏州市、无锡市、常州市、镇江市2016届高三第二次模拟考试数学附加题注意事项:1. 附加题供选修物理的考生使用.2. 本试卷共40分,考试时间30分钟.3. 答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.21.【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-1:几何证明选讲如图,直线AB与圆O相切于点B,直线AO交圆O于D,E两点,BC⊥DE,垂足为C,且AD=3DC,BC=2,求圆O的直径.(第21-A题)B.选修4-2:矩阵与变换设矩阵M=1012,N=1201,试求曲线y=sin x在矩阵MN对应的变换作用下得到的曲线方程.C.选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=3+12t,y=32t(t为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=23sin θ.设P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求点P的直角坐标.D.选修4-5:不等式选讲已知函数f(x)=3x+6,g(x)=14-x,若存在实数x,使得f(x)+g(x)>a成立,求实数a的取值范围.【必做题】第22、23题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AA1=AB=2AD=2,E为AB 的中点,F为D1E上的一点,D1F=2FE.(1)求证:平面DFC⊥平面D1EC;(2)求二面角A-DF-C的大小.(第22题)23.(本小题满分10分)在杨辉三角形中,从第3行开始,除1以外,其他每一个数值是它上面的两个数值之和,该三角形数阵的开头几行如图所示.(1)在杨辉三角形中是否存在某一行,该行中三个相邻的数之比为3∶4∶5?若存在,试求出是第几行;若不存在,请说明理由.(2)已知n,r为正整数,且n≥r+3,求证:任何四个相邻的组合数C n r,C n r+1,C n r+2,C n r+3不能构成等差数列.(第23题)江苏省南京市2016届高三第三次模拟考试数学附加题注意事项:1. 附加题供选修物理的考生使用.2. 本试卷共40分,考试时间30分钟.3. 答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.21.【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-1:几何证明选讲如图,已知半圆O的半径为2,P是直径BC延长线上的一点,PA与半圆O相切于点A,H是OC的中点,AH⊥BC.(1)求证:AC是∠PAH的平分线;(2)求PC的长.(第21-A题)B. 选修4-2:矩阵与变换已知曲线C:x2+2xy+2y2=1,矩阵A=1210所对应的变换T将曲线C变成曲线C1,求曲线C1的方程.C. 选修4-4:坐标系与参数方程设极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与x轴的正半轴重合.已知椭圆C的参数方程为x=2cosθ,y=sinθ(θ为参数),点M的极坐标为1,π2.若P是椭圆C上任意一点,试求PM的最大值,并求出此时点P的直角坐标.D. 选修4-5:不等式选讲求函数f(x)=5x+8-2x的最大值.【必做题】第22、23题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)从0,1,2,3,4这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数,记X为所组成的三位数各位数字之和.(1)求X是奇数的概率;(2)求X的概率分布列及数学期望.23.(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中,点P(x0,y0)在曲线y=x2(x>0)上.已知A(0,-1),P n(x0n,y0n),n∈N*.记直线AP n的斜率为k n.(1)若k1=2,求点P1的坐标;(2)若k1为偶数,求证:k n为偶数.江苏省苏北四市2016届高三第三次模拟考试数学附加题注意事项:1. 附加题供选修物理的考生使用.2. 本试卷共40分,考试时间30分钟.3. 答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.21.【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.A. 选修4-1:几何证明选讲如图,AB是圆O的直径,弦BD,CA的延长线相交于点E,过点E作BA的延长线的垂线,垂足为F.求证:AB2=BE·BD-AE·AC.(第21-A题)B. 选修4-2:矩阵与变换已知矩阵A=12-14,向量α=53,计算A5α.C. 选修4-4:坐标系与参数方程在极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=π3(ρ∈R),以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,曲线C的参数方程为x=2sinα,y=1-cos2α(α为参数),求直线l与曲线C的交点P的直角坐标.D. 选修4-5:不等式选讲已知a,b∈R,a>b>e,求证:b a>a b.【必做题】第22、23题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)已知甲箱中装有3个红球、3个黑球,乙箱中装有2个红球、2个黑球,这些球除颜色外完全相同.某商场举行有奖促销活动,设奖规则如下:每次分别从以上两个箱中各随机摸出2个球,共4个球.若摸出的4个球都是红球,则获得一等奖;若摸出的球中有3个红球,则获得二等奖;若摸出的球中有2个红球,则获得三等奖;其他情况不获奖.每次摸球结束后将球放回原箱中.(1)求在1次摸奖后,获得二等奖的概率;(2)若连续摸奖2次,求获奖次数X的分布列及数学期望E(X).23.(本小题满分10分)在集合A={1,2,3,4,…,2n}中,任取m(m≤n,m,n∈N*)个元素构成集合A m.若A m的所有元素之和为偶数,则称A m为A的偶子集,其个数记为f(m);若A m的所有元素之和为奇数,则称A m为A的奇子集,其个数记为g(m).令F(m)=f(m)-g(m).(1)当n=2时,求F(1),F(2),F(3)的值;(2)求F(m).江苏省南通市、扬州市、泰州市2016届高三第三次模拟考试数学附加题注意事项:1. 附加题供选修物理的考生使用.2. 本试卷共40分,考试时间30分钟.3. 答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.21.【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-1:几何证明选讲如图,在△ABC中,∠CAB=2∠B,∠ACB的平分线交AB于点D,∠CAB的平分线交CD于点E.求证:AD·BC=BD·AC.(第21-A题)B.选修4-2:矩阵与变换在平面直角坐标系xOy中,直线x+y-2=0在矩阵A=1a12对应的变换作用下得到直线x+y-b=0(a,b∈R),求a+b的值.C.选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=2cosα+3,y=2sinα(α为参数).以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为θ=π6.若直线l与曲线C交于A,B两点,求线段AB的长.D.选修4-5:不等式选讲已知x>0,y>0,z>0,且xyz=1,求证:x3+y3+z3≥xy+yz+zx.【必做题】第22、23题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y2=2px(p>0)上一点P34,m 到准线的距离与到原点O的距离相等,抛物线的焦点为F.(1)求抛物线的方程;(2)如图,若A为抛物线上一点(异于原点O),点A处的切线交x轴于点B,过点A作准线的垂线,垂足为E,试判断四边形AEBF的形状,并证明你的结论.(第22题(2))23.(本小题满分10分)甲、乙两人进行围棋比赛,共比赛2n(n∈N*)局.根据以往比赛胜负的情况知道,每局甲胜的概率和乙胜的概率均为12.如果某人获胜的局数多于另一人,则此人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为P(n).(1)求P(2)与P(3)的值;(2)试比较P(n)与P(n+1)的大小,并证明你的结论.。

专题7.2 二元一次不等式（组）与简单的线性规划【三年高考】1. 【2016高考江苏12】已知实数,x y满足240220330x yx yx y-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，，，则22x y+的取值范围是 .【答案】4 [,13] 5【考点】线性规划【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线（一般不涉及虚线），其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数最值或值域范围.2．【2016高考浙江理数改编】在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域20340xx yx y-≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB，则│AB│= ．【答案】32考点：线性规划．【思路点睛】先根据不等式组画出可行域，再根据题目中的定义确定AB 的值．画不等式组所表示的平面区域时要注意通过特殊点验证，防止出现错误．3.【2016年高考北京理数改编】若x ，y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值为 ．【答案】4 【解析】试题分析：作出如图可行域，则当y x z +=2经过点P 时，取最大值，而)2,1(P ，∴所求最大值为4．考点：线性规划.xy OP【名师点睛】可行域是封闭区域时，可以将端点代入目标函数，求出最大值与最小值，从而得到相应范围.若线性规划的可行域不是封闭区域时，不能简单的运用代入顶点的方法求最优解.如变式2，需先准确地画出可行域，再将目标函数对应直线在可行域上移动，观察z 的大小变化，得到最优解.4．【2016年高考四川理数改编】设p ：实数x ，y 满足22(1)(1)2x y -+-≤，q ：实数x ，y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则p 是q 的 ．（在必要不充分条件、充分不必要条件、充要条件、既不充分也不必要条件中选填）【答案】必要不充分条件 【解析】试题分析：画出可行域（如图所示），可知命题q 中不等式组表示的平面区域ABC ∆在命题p 中不等式表示的圆盘内，故是必要不充分条件.考点：1.充分条件、必要条件的判断；2.线性规划.【名师点睛】本题考查充分性与必要性的判断问题，首先是分清条件和结论，然后考察条件推结论，结论推条件是否成立.这类问题往往与函数、三角、不等式等数学知识结合起来考，本题条件与结论可以转化为平面区域的关系，利用充分性、必要性和集合的包含关系得结论．5．【2016高考浙江文数改编】若平面区域30,230,230x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是 . 352 3252考点：线性规划.【思路点睛】先根据不等式组画出可行域，再根据可行域的特点确定取得最值的最优解，代入计算．画不等式组所表示的平面区域时要注意通过特殊点验证，防止出现错误．6.【2016高考新课标3理数】若,x y 满足约束条件1020220x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则z x y =+的最大值为_____________.【答案】32【解析】试题分析：作出不等式组满足的平面区域，如图所示，由图知，当目标函数z x y =+经过点1(1,)2A 时取得最大值，即max 13122z =+=．考点：简单的线性规划问题．【技巧点拨】利用图解法解决线性规划问题的一般步骤：(1)作出可行域．将约束条件中的每一个不等式当作等式，作出相应的直线，并确定原不等式的区域，然后求出所有区域的交集；(2)作出目标函数的等值线(等值线是指目标函数过原点的直线)；(3)求出最终结果． 7.【2016高考山东理数改编】若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x 则22x y 的最大值是 ．【答案】10考点：简单线性规划【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题，是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.8.【2016高考天津理数】设变量x ，y 满足约束条件20,2360,3290.x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数25z x y =+的最小值为 ．【答案】6 【解析】试题分析：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中(0,2),(3,0),(1,3)A B C ，直线z 25x y =+过点B 时取最小值6．考点：线性规划【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.9.【2016高考新课标1卷】某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时．生产一件产品A 的利润为2100元,生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元． 【答案】216000 【解析】试题分析：设生产产品A 、产品B 分别为x 、y 件,利润之和为z 元,那么 1.50.5150,0.390,53600,0,0.x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩ ①目标函数2100900z x y =+.二元一次不等式组①等价于3300,103900,53600,0,0.x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩ ②作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图）,即可行域.将2100900z x y =+变形,得73900z y x =-+,平行直线73y x =-,当直线73900zy x =-+经过点M时,z 取得最大值. 解方程组10390053600x y x y +=⎧⎨+=⎩,得M 的坐标(60,100).所以当60x =,100y =时,max 210060900100216000z =⨯+⨯=. 故生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为216000元. 考点：线性规划的应用【名师点睛】线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现,基本题型是给出约束条件求目标函数的最值,常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离,解决此类问题常利用数形结合.本题运算量较大,失分的一个主要原因是运算失误.10【2015高考新课标1，文15】若x ,y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩,则z =3x +y 的最大值为 ．【答案】411.【2015高考重庆，文10】若不等式组2022020x y x y x y m +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩,表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为__________________. 【答案】1【解析】如图，由于不等式组2022020x y x y x y m +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩,表示的平面区域为ABC ∆，且其面积等于43，再注意到直线:20AB x y +-=与直线:20BC x y m -+=互相垂直，所以ABC ∆是直角三角形，易知，(2,0),(1,1)A B m m -+,2422(,)33m m C -+;从而112222122223ABC m S m m m ∆+=+⋅+-+⋅=43，化简得：2(1)4m +=，解得3m =-,或1m =，检验知当3m =-时，已知不等式组不能表示一个三角形区域，故舍去，所以1m =.12.【2015高考陕西，文11】某企业生产甲乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额表所示，如果生产1吨甲乙产品可获利润分别为3万元.4万元，则该企业每天可获得最大利润为____________________.甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128【答案】18万元13.【2015高考浙江，文14】已知实数x ，y 满足221x y +≤，则2463x y x y +-+--的最大值是 ． 【答案】1514.【2015高考四川，文9】设实数x ，y 满足2102146x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则xy 的最大值为_______________.【答案】252【解析】画出可行域如图 在△ABC 区域中结合图象可知 当动点在线段AC 上时xy 取得最大 此时2x ＋y ＝10xy ＝12(2x ·y )≤21225()222x y +=当且仅当x ＝52，y ＝5时取等号，对应点(52，5)落在线段AC 上，故最大值为252.15．【2014高考安徽卷文第13题】不等式组20240320x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域的面积为________.【答案】4A BCyx0 61410A【解析】不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分，则其表示的面积112222422ABCD ABD BCD S S S ∆∆=+=⨯⨯+⨯⨯=.16．【2014高考福建卷文第11题】已知圆()()22:1C x a y b -+-=，设平面区域70,30,0x y x y y +-≤⎧⎪Ω=-+≥⎨⎪≥⎩，若圆心C ∈Ω,且圆C 与x 轴相切，则22a b +的最大值为_________________.【答案】3717. 【2014高考全国1卷文第11题】设x ，y 满足约束条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7，则a =___.【答案】3【解析】根据题中约束条件可画出可行域如下图所示，两直线交点坐标为：11(,)22a a A -+，又由题中z x ay =+可知，当0a >时，z 有最小值：21121222a a a a z a -++-=+⨯=，则22172a a +-=，解得：3a =;当0a <时，z 无最小值18. 【2014高考浙江卷文第12题】若、y 满足和240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则y x +的取值范围是________.【答案】]3,1[【2017年高考命题预测】纵观2016各地高考试题，对二元一次不等式（组）与线性规划及简单应用这部分的考查，主要考查二元一次不等式（组）表示的平面区域、目标函数的最优解问题、与最优解相关的参数问题，高考中一般会以选填题形式考查．从近几年高考试题来看，试题难度较低，属于中低档试题，一般放在选择题的第5-7题或填空题的前两位．从近几年的高考试题来看，二元一次不等式(组)表示的平面区域(的面积)，求目标函数的最值，线性规划的应用问题等是高考的热点，题型既有选择题，也有填空题，难度为中、低档题．主要考查平面区域的画法，目标函数最值的求法，以及在取得最值时参数的取值范围．同时注重考查等价转化、数形结合思想．对二元一次不等式（组）表示的平面区域的考查，关键明确二元等式表示直线或曲线，而二元不等式表示直线或曲线一侧的平面区域，以小题形式出现.对目标函数的最优解问题的考查，首先要正确画出可行域，明确目标函数的几何意义，以小题形式出现．对与最优解相关的参数问题，在近几年的高考中频频出现，并且题型有所变化，体现“活”“变”“新”等特点，在备考中予以特别关注．故预测2017年高考仍将以目标函数的最值，特别是含参数的线性规划问题，线性规划的综合运用是主要考查点，重点考查学生分析问题、解决问题的能力．【2017年高考考点定位】高考对二元一次不等式（组）与线性规划及简单应用的考查有以下几种主要形式：一是不等式（组）表示的平面区域；二是线性目标函数最优解问题；三是非线性目标函数最优解问题；四是线性规划与其他知识的交汇．【考点1】不等式（组）表示的平面区域 【备考知识梳理】二元一次不等式所表示的平面区域：在平面直角坐标系中，直线:0l Ax By C ++=将平面分成两部分，平面内的点分为三类： ①直线l 上的点（x ，y ）的坐标满足：0=++C By Ax ；②直线l 一侧的平面区域内的点（x ，y ）的坐标满足：0>++C By Ax ； ③直线l 另一侧的平面区域内的点（x ，y ）的坐标满足：0Ax By C ++<.即二元一次不等式0Ax By C ++>或0Ax By C ++<在平面直角坐标系中表示直线0Ax By C ++=的某一侧所有点组成的平面区域，直线0Ax By C ++=叫做这两个区域的边界，（虚线表示区域不包括边界直线，实线表示区域包括边界直线）. 由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.【规律方法技巧】由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. 1. 判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧的方法：因为对在直线Ax+By+C =0同一侧的所有点(x ,y)，数Ax+By+C 的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x 0, y 0)（若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便），它的坐标代入Ax+By+c ，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧.2. 画二元一次不等式0(0)Ax By C ++>≥或0(0)Ax By C ++<≤表示的平面区域的基本步骤： ①画出直线:0l Ax By C ++=（有等号画实线，无等号画虚线）；②当0≠C 时，取原点作为特殊点，判断原点所在的平面区域；当0C =时，另取一特殊点判断； ③确定要画不等式所表示的平面区域. 【考点针对训练】1．【江苏省清江中学2016届高三上学期周练数学试题】若点(),x y P 满足约束条件022x x y a x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，且点(),x y P 所形成区域的面积为12，则实数a 的值为 ．【答案】8【解析】由题意作出其平面区域，∵点(),x y P 所形成区域的面积为12，∴0a >，由2x y a -=，令x =0得2a y =-， 由22x y a x y -=+=⎧⎨⎩解得44,212832312a a a x S a ++=∴=⨯+⨯=∴=（），.2．【2015届安徽省淮南一中等四校高三5月联考】设不等式组310060360x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩表示的平面区域为D ，若函数log a y x =（10≠>a a 且）的图象上存在区域D 上的点，则实数a 的取值范围是____________. 【答案】[)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛,321,0【考点2】线性目标函数最优解问题 【备考知识梳理】名称 意义约束条件 由变量x ，y 组成的不等式(组)线性约束条件 由x ，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式(组) 目标函数 关于x ，y 的函数解析式，如z ＝2x ＋3y 等 线性目标函数 关于x ，y 的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x ，y ) 可行域 所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解【规律方法技巧】线性目标函数z Ax By C =++（A,B 不全为0）中，当0B ≠时，A z Cy x B B-=-+，这样线性目标函数可看成斜率为AB-，且随z 变化的一组平行线，则把求z 的最大值和最小值的问题转化为直线与可行域有公共点，直线在y 轴上的截距的最大值最小值的问题.因此只需先作出直线Ay x B=-，再平行移动这条直线，最先通过或最后通过的可行域的顶点就是最优解.特别注意，当B>0时，z 的值随着直线在y 轴上的截距的增大而增大；当B<0时，z 的值随着直线在y 轴上的截距的增大而减小.通常情况可以利用可行域边界直线的斜率来判断.对于求整点最优解，如果作图非常准确可用平移求解法，也可以取出目标函数可能取得最值的可行域内的所有整点，依次代入目标函数验证，从而选出最优解，最优解一般在可行域的定点处取得，若要求最优整解，则必须满足x ，y 均为整数，一般在不是整解的最优解的附近找出所有可能取得最值的整点，然后将整点分别代入目标函数验证选出最优整解. 【考点针对训练】1. 【南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试数学】已知实数,x y 满足50,220,0,x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则目标函数z x y =-的最小值为 ▲ . 【答案】3-【解析】可行域为一个三角形及其内部，其三个顶点坐标分别为(1,0),(5,0),(1,4)A B C -,当目标函数过点(1,4)C 时z 取最小值3-．2. 【2015届浙江省宁波市高三下学期第二次模拟考试】已知点(x ，y)的坐标满足条件302602290x y a x y x y --<⎧⎪+->⎨-+>⎪⎩，且x ，y 均为正整数.若4x －y 取到最大值8，则整数a 的最大值为___________. 【答案】5【考点3】非线性规划问题 【备考知识梳理】1.距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2. 2.斜率型：形如z ＝y －bx －a. 【规律方法技巧】对于非线性目标函数的最优解问题，关键要搞清目标函数的几何意义，利用数形结合思想求解． 【考点针对训练】1. 【江苏歌风中学（如皋办学）高三数学九月月考】若变量,x y 满足202300x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2x y+的最大值为 . 【答案】8【解析】作出题设约束条件表示的可行域，如图OAB ∆内部（含边界），再作直线:0l x y +=，向上平移直线l ，z x y =+增大，当l 过点(1,2)B 时，z x y =+取得最大值3，因此2x y +的最大值为8．2. 【2015届湖南省怀化市中小学课改质量检测高三第一次模考】已知实数、x y 满足242y xx y y ⎧≤⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则22)2()1(-+-=y x z 的最小值为____________________.【答案】95 【考点4】线性规划问题与其他知识交汇 【备考知识梳理】线性规划问题与其他知识交叉融合，不仅体现了高中数学常用的数学思想方法，比如数形结合思想，转化与化归思想，而且体现了学生综合分析问题的能力，逻辑思维能力以及解决实际问题的能力． 【规律方法技巧】线性规划问题可以和概率、向量、解析几何等交汇考查，关键是通过转化，最终转化为线性规划问题处理． 【规律方法技巧】1．已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-≥+224x y x y x ，表示的平面区域为D ，点)0,1(),0,0(A O ．若点M 是D 上的动点，则||OM OM OA ⋅的最小值是____________________.【答案】1010 【解析】设点M 的坐标为(,)x y ，则22||OA OMx OM x y⋅=+，根据约束条件画出可行域可知0x >，故222221||1OA OMx yx yOM x⋅==++，而y x 的几何意义为可行域的点与原点所确定直线的斜率，数形结合可知yx 的最大值为3，则||OM OM OA ⋅的最小值为1010.2．定义,max{,},a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩，设实数x ，y 满足约束条件22x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，则max{4,3}z x y x y =+-的取值范围是_______________. 【答案】[7,10]-【两年模拟详解析】1. 【江苏省扬州中学高三数学月考试卷】已知点x ,y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥02x ＋y ≤2，若ax ＋y ≤3恒成立，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】(－∞,3]【解析】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥02x ＋y ≤2表示的平面区域是以(0,0),(0,2),(1,0)O A B 为顶点的三角形内部（含边界），由题意00302303a +≤⎧⎪+≤⎨⎪+≤⎩，所以3a ≤．2．【镇江市2016届高三年级第一次模拟考试】已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤2，x ＋y ≤8，x ≥1，则z ＝2x ＋y 的最小值是________． 【答案】1．【解析】作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y≤2，x ＋y≤8，x ≥1，，其是由点()1,7A ,()1,1B -,()5,3C 围成的三角形区域（包含边界），对于目标函数z ＝2x ＋y ，转化为直线2y x z =-+，过点()1,1B -时，z 最小，即2111z =⨯-=．3．【盐城市2016届高三年级第三次模拟考试】已知实数,x y 满足约束条件152x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤-⎩，则2123y x -+的最大值为 . 【答案】75【解析】可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中)27,23(),3,1(),4,1(C B A ，而2321321y 2+-=+-x y x 表示可行域的点),(y x P到点)21,23(-E 连线的斜率,因此其最大值为.57231214=+-=EA k 4．【江苏省苏北三市（徐州市、连云港市、宿迁市）2016届高三最后一次模拟考试】若实数,x y 满足约束条件1300x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则|3410|x y --的最大值为 .【答案】494【解析】1300x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩表示一个三角形ABC 及其内部，其中13(1,0),(0,0),(,)44A B C ，且可行域在直线上方34100x y --=，因此|3410|3410x y x y --=-++，过点13(,)44C 时取最大值，为494．5．【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】某工厂用A ，B 两种配件分别生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件、耗时1小时，每生产一件乙产品使用4个B 配件、耗时2小时，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，每天生产甲、乙两种产品总耗时不超过8小时．若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，那么该工厂每天可获取的最大利润为________万元． 【答案】146．【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】设不等式组204020xy xy y，，表示的平面区域为D ，若指数函数(0,1)xy a a a =>≠的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是_______. 【答案】(0,1)[3)+∞，【解析】可行域D 为一个开放的区域，如图（阴影部分）.当01a <<时，指数函数xy a =的图像与可行域D 恒有交点；当1a >时，需满足13a ≥，才能使指数函数x y a =的图像与可行域D 有交点；综上a 的取值范围是(0,1)[3)+∞，7．【江苏省扬州中学2015届高三4月双周测】若实数,a b 满足20101a b b a a +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则22a ba b ++的最大值为_________. 【答案】75【解析】作出约束条件表示的可行域，如图ABC ∆内部（含边界），13(,)22A ，(1,1)C ，设(,)P a b 是可行域内任一点，则OP b k a =的最大值为32312OA k ==，最小值为111OC k ==，23322222a b a b a b a b a +=-=-+++，可见当b a 取最大值3时，22a b a b ++也取最大值为75.8．【泰州市2015届高三第三次调研测试】已知实数x ，y 满足条件||1||1x y ⎧⎨⎩≤≤,,则z 2x +y 的最小值是 ▲ ．【答案】3-【解析】如下图所示，当直线2y x z =-+经过或行域||1||1x y ⎧⎨⎩≤≤,,的边界点(1,1)A --时，目标函数的最小值3-.9．【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(4)】设实数x ，y ，b 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，y ≥x ，y ≥－x ＋b ，若z ＝2x ＋y 的最小值为3， 则实数b 的值为 ． 【答案】94【解析】作出约束条件表示的可行域，如图射线OA ，OB 所夹区域且在直线AB 上方(含边界)(AB 待定)，作直线:20l x y +=，平移直线l ，可见当l 过点A 时，z 取得最小值，此时2y x =代入得223x x +=，34x =，故有33(,)42A ，因此3324b =-+，94b =.10．【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(6)】实数x ，y 满足121,y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩如果目标函数z=x —y的最小值为-2，则实数m 的值为______. 【答案】8【解析】如图，约束条件表示的可行域应该是ABC ∆内部（含边界）（否则可行域不存在），作直线:0l x y -=，当把直线l 向上平移时，z 减小，因此其最小值点是直线21y x =-与直线x y m +=的交点，由212y x x y =-⎧⎨-=-⎩得(3,5)B ，代入x y m +=得8m =.11．【南京市2015届高三年级第三次模拟考试】若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥1，y ≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值是 ． 【答案】4【解析】作出题中约束条件表示的可行域，如图ABC ∆内部（含边界），再作直线:20l x y +=，当直线l 过点(2,0)C 时，z 取最大值4.12．【徐州市2014～2015学年度高三第三次质量检测】已知实数y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤-,03,05,0y y x y x 若不等式222)()(y x y x m +≤+恒成立，则实数m 的最大值是 .【答案】2513a ≤【解析】画出由条件05030x y x y y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩决定的的可行域如下图所示，因为22222222()22()()11x y xy m x y x y m x y x y x y y x++≤+⇔≤=+=++++令y t x =，由线性规划知识可知312t ≤≤，则22111x y t y x t+=+++，令13(),(1)2f t t t t =+≤≤，由函数()f t 单调性可知，当32t =时，函数()f t 有最大值136，此时222()x y x y ++有最小值2513，所以2513a ≤及.13．【盐城市2015届高三年级第三次模拟考试】若,x y 满足约束条件+20020x y x y x y -≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩, 则目标函数z 2x y =+的最大值为 ．【答案】6【解析】不等式组+20020x y x y x y -≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩表示的区域如图阴影部分所示：当直线20x y z +-=经过点(4,2)B -时，z 取得最大值6.故答案为6.14．【2015届山东师大附中高三第九次模拟】若关于,x y 的不等式组0010x x y kx y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，表示的平面区域是直角三角形区域，则正数k 的值为_____________. 【答案】1【解析】由题意得：010x y kx y +=-+=与垂直，因此10, 1.k k -==15.【2015届吉林省东北师大附中高三第四次模拟】已知实数,x y 满足平面区域10:220220x y D x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则22x y +的最大值为_______________.【答案】816.【2015届浙江省桐乡一中高三下学期联盟学校高考仿真测试】设x y 、满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为10，则23a b+的最小值为_______________. 【答案】517.【2015届河南省南阳市一中高三下学期第三次模拟】设⎩⎨⎧<≥-=,2,,2,y x y y x y x z 若22,22≤≤-≤≤-y x ，则z 的最小值为______________. 【答案】-1【解析】符合22,22≤≤-≤≤-y x 的区域如图所示：当2x y ≥时，目标函数z x y =-在A 点取得最小值-1；当2x y <时，目标函数z y =在A 点处取得最小值-1，综上可得：z 的最小值为-1．18.【2015届甘肃省天水市一中高三高考信息卷一】已知不等式组220,22,22x y x y ⎧+-≥⎪⎪≤⎨⎪≤⎪⎩表示平面区域Ω，过区域Ω中的任意一个点P ，作圆221x y +=的两条切线且切点分别为,A B ，当APB ∠最大时，PA PB ⋅的值为_____________. 【答案】3219.【2015届浙江省余姚市高三第三次模拟考试】已知实数变量,x y 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤--≥-≥+,0121,0,1y mx y x y x 且目标函数3z x y =-的最大值为4，则实数m 的值为_____________.【答案】1拓展试题以及解析1.设不等式组204020x yx yy表示的平面区域为D，若指数函数xy a的图像上存在区域D上的点，则a的取值范围是__________________. 【答案】(1]3，【入选理由】本题主要考了简单的线性规划，以及指数函数的图像等相关概念,体现了分类讨论的数学思想,意在考查学生的数形结合能力和计算能力.本题考查线性规划与函数图象性质的交汇，通过研究函数xy a =的性质，来确定a 的取值范围，这是线性规划问题涉及不多，故选此题．2.执行如图的程序框图，如果输入,x y R ∈，那么输出的S 的的最小值是_______________.【答案】255121416182022243x+y-6=0x-y+1=0x+2y-2=0C 621A BOyx【入选理由】本题考查考查程序框图中的顺序结构，条件结构以及相应语句,线性规划的应用等基础知识知识，意在考查画图、用图,分析问题、解决问题、及基本运算能力.该题新颖独特，故选此题．3.已知不等式组202020x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩表示的平面区域，则231x y z x +-=-的最大值 .【答案】7【入选理由】本题主要考查线性规划的应用等基础知识知识，意在考查学生的画图、用图，以及数形结合能力和计算能力.此题给出的目标函数231x y z x +-=-，似乎不好入手，但整理后2311211x y y z x x +--==+--，转化为斜率，就转化为常规题，高考线性规划问题的命题越来多变灵活，故选此题.。

江苏省南京市、盐城市2016届高三第一次模拟考试21. A. 因为CD与圆O相切于点D,所以∠CDA=∠DBA.(2分)又因为AB为圆O的直径,所以∠ADB=90°.又DE⊥AB,所以△EDA∽△DBA,所以∠EDA=∠DBA,=,所以∠EDA=∠CDA.(4分)又∠ACD=∠AED=90°,AD=AD,所以△ACD≌△AED,所以AE=AC=4,所以AD==5.(6分)又=,所以BD=·AD=.(10分)B. 设曲线C上的点(x,y)在矩阵M对应的变换作用下得到点(x',y'),则(x')2+(y')2=1.由题意知,矩阵M的特征多项式为f(λ)=(λ-a)·(λ-1),因为矩阵M有一个特征值为2,即f(2)=0,所以a=2, (4分)所以M==,即所以(2x)2+(2x+y)2=1,即曲线C的方程为8x2+4xy+y2=1.(10分)C. 点A的直角坐标为(2,-2), (2分)圆E的直角坐标方程为(x-2)2+(y-2)2=8, (6分)则点A到圆心E的距离为d=---=4>r=2所以点A在圆E外.(10分)D. 因为(+++)2≤4(1+2a+1+2b+1+2c+1+2d), (6分) 又a+b+c+d=1,所以(+++)2≤24,即+++≤2.(10分)22.以A为坐标原点,分别以AB,AC,AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O-xyz,则A(0,0,0),B(2,0,0,),C(0,4,0),A1(0,0,2),B1(2,0,2),C1(0,4,2).(2分)(1) 当λ=1时,D为BC的中点,所以D(1,2,0),=(1,-2,2),=(0,4,0),=(1,2,-2).设平面A1C1D的法向量为n1=(x,y,z),所以可取n1=(2,0,1).则-又cos<,n1>===,故直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值为.(6分)(2) 因为=λ,所以D,所以=(0,4,0),=,,-2.设平面A1C1D的法向量为n2=(x,y,z),则-所以可取n2=(λ+1,0,1).(8分)又平面A1B1C1的一个法向量为n3=(0,0,1),由题意得|cos<n2,n3>|=,所以=,解得λ=-1或λ=--1(不合题意,舍去),所以实数λ的值为-1.(10分)23. (1) =2,=,=3,=.(4分)(2) 猜想=.(5分)下面用数学归纳法证明.证明:①当n=3时,由(1)知猜想成立;②假设当n=k(k∈N*,k≥3)时,猜想成立,即=.又S k=,所以得T k=.(6分)则当n=k+1时,易知S k+1=,当集合M从{1,2,3,…,k}变为{1,2,3,…,k,k+1}时,T k+1在T k的基础上增加了1个2,2个3,3个4,…,(k-1)个k, (8分)所以T k+1=T k+2×1+3×2+4×3+…+k(k-1)=+2[+++…+]=+2[+++…+]=-+2==S k+1,即=,所以当n=k+1时,猜想也成立.综上所述,猜想成立.(10分)(注:未用数学归纳法证明,直接求出T n来证明的,同样给分)江苏省无锡市2016届高三第一次模拟考试21. A. 因为B=,所以B-1=-,所以AB-1=-=-.(5分)设直线l上任意一点(x,y)在矩阵AB-1对应的变换作用下得到点(x',y'),则-=,-所以将其代入l'得(x-2y)+2y-2=0,化简得x=2,故直线l的方程为x=2.(10分)B. (1) 由直线l的极坐标方程为ρsinθ-=3,得ρsinθ-ρcosθ=3,即ρsinθ-ρcosθ=6,所以直线l的直角坐标方程为x-y+6=0.(5分)(2) 因为P为曲线上一点,则点P到直线l的距离为d=-=,所以当cos(θ+φ)=1时,d取得最大值为.(10分)22. (1) 由题意知,P(ξ)是“ξ个人命中,3-ξ个人未命中”的概率,其中ξ的可能取值为0,1,2,3. P(ξ=0)=-(1-a)2=(1-a)2,P(ξ=1)=·(1-a)2+-a(1-a)=(1-a2),P(ξ=2)=·a(1-a)+-a2=(2a-a2),P(ξ=3)=·a2=.(4分)所以ξ(5分) 故数学期望E(ξ)=0×(1-a)2+1×(1-a2)+2×(2a-a2)+3×=.(6分)(2) P(ξ=1)-P(ξ=0)=[(1-a2)-(1-a)2]=a(1-a),P(ξ=1)-P(ξ=2)=[(1-a2)-(2a-a2)]=-,P(ξ=1)-P(ξ=3)=[(1-a2)-a2]=-.由---及0<a<1,解得0<a≤,即实数a的取值范围为.(10分)23. (1) 以D为坐标原点O,分别以DA,DC,DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,则A(1,0,0),A1(1,0,2),P(0,1,1),B(1,1,0),(第23题)所以=(0,0,2),=(0,1,0).设平面AA1B的法向量为n=(x1,y1,z1), 则得n=(1,0,0).(1分)同理向量=(1,-1,1),=(1,0,-1).设平面PA1B的法向量为m=(x2,y2,z2),则--得m=(1,2,1).(3分)所以cos<n,m>==, (4分)则sinθ=.(5分)(2) 设点M的坐标为(x,y,z),因为=λ(0<λ<1),即(x-1,y-1,z)=λ(0,-1,2),所以点M的坐标为(1,1-λ,2λ), (6分) 则=(0,λ-1,-2λ),=(-1,λ,1-2λ),所以=--=--=--.(7分)令2λ-1=t∈[-1,1],=,则--当t∈[-1,0)时,∈-,0;当t∈(0,1]时,∈;当t=0时,=0.所以∈-,则∈,故的取值范围为.(10分)江苏省苏州市2016届高三第一次模拟考试21. A. (1) 因为BD=CD,所以∠BCD=∠CBD.又因为CE是圆的切线,所以∠ECD=∠CBD, (2分)所以∠ECD=∠BCD,所以∠BCE=2∠ECD.因为∠EAC=∠BCE,所以∠EAC=2∠ECD.(5分)(2) 因为BD⊥AB,所以AC⊥CD,AC=AB.(6分)因为BC=BE,所以∠BEC=∠BCE=∠EAC,所以AC=EC.(7分)由切割线定理得EC2=AE·BE,即AB2=AE·(AE-AB),即AB2+2AB-4=0,解得AB=-1.(10分) B.设M=,则=3=,故(3分)又因为-=,故--(6分)联立以上两方程组解得a=-1,b=4,c=-3,d=6,故M=--.(10分)C.由消去t得曲线C1的直角坐标方程为y=(x≥0).(3分) 由ρ=2,得ρ2=4,则曲线C2的直角坐标方程为x2+y2=4.(6分)联立解得故曲线C1与C2的交点坐标为(,1).(10分)D. (1) 因为a>0,所以f(x)=+|x-a|≥--=+a≥2,所以f(x)≥2.(4分)(2) 由题意知f(3)=+|3-a|.当a>3时,f(3)=a+,由f(3)<5,得3<a<; (6分)当0<a≤3时,f(3)=6-a+,由f(3)<5,得<a≤3.(8分)综上,实数a的取值范围为,.(10分) 22. (1) 记“该网民购买i种商品”为事件A i,i=2,3,则P(A3)=××=,P(A2)=××-+×-×+-××=, (3分)所以该网民至少购买2种商品的概率为P(A3)+P(A2)=+=.答:该网民至少购买2种商品的概率为.(5分)(2) 随机变量η的可能取值为0,1,2,3,P(η=0)=-×-×-=,又P(η=2)=P(A2)=,P(η=3)=P(A3)=,所以P(η=1)=1---=,所以随机变量η(8分)故数学期望E(η)=0×+1×+2×+3×=.(10分)23. (1) 当k=4时,第4层标注的数字依次为x1,x2,x3,x4,第3层标注的数字依次为x1+x2,x2+x3,x3+x4,第2层标注的数字依次为x1+2x2+x3,x2+2x3+x4,所以x0=x1+3x2+3x3+x4.(2分)因为x0为2的倍数,所以x1+x2+x3+x4是2的倍数,则x1,x2,x3,x4四个都取0或两个取0两个取1或四个都取1,所以共有1++1=8(种)标注方法.(4分)(2) 当k=11时,第11层标注的数字依次为x1,x2,…,x11,第10层标注的数字依次为x1+x2,x2+x3,…,x10+x11,第9层标注的数字依次为x1+2x2+x3,x2+2x3+x4,…,x9+2x10+x11,以此类推,可得x0=x1+x2+x3+…+x10+x11.(6分)因为==45,==120,==210,=252均为3的倍数,所以只要x1+x2+x10+x11是3的倍数,即只要x1+x2+x10+x11是3的倍数即可, (8分)所以x1,x2,x10,x11四个都取0或三个取1一个取0,而其余七个x3,x4,…,x9可以取0或1,这样共有(1+)×27=640(种)标注方法.(10分)江苏省常州市2016届高三第一次模拟考试21. A. 如图,连接AE,则∠AED=∠B.(2分)(第21-A题)因为AB=AC,所以∠ACB=∠B,所以∠ACB=∠AED.(4分)因为AP∥BC,所以∠ACB=∠CAD,所以∠CAD=∠AED.(6分)又因为∠ADE=∠CDA,所以△ACD∽△EAD, (8分)所以=,即AD2=DE·DC.(10分)B. 由题意知=8×,故解得(5分)所以-=-,所以点Q的坐标为(-2,4).(10分)C. 直线l的直角坐标方程为x+y+4=0.(3分)在曲线C上任取一点A(cos α,sin α),α∈[0,2π),则点A到直线l的距离为d===.(7分)当α=时,d取得最大值,且最大值为2+,此时点A的坐标为(,1).(10分)D. 因为|x|<2,|y|<2,所以|4-xy|2-4|x-y|2=(4-xy+2x-2y)(4-xy-2x+2y) (4分)=(2+x)(2-y)(2-x)(2+y)=(4-x2)(4-y2)>0, (8分)所以|4-xy|>2|x-y|. (10分)22. (1) 以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D1(0,1,1),B1(1,-1,1).设点F的坐标为(a,b,0),则=(a,b-1,-1), (3分)(第22题)由--解得a=b=, (5分)所以点F的坐标为,即F为AC的中点.(6分)(2) 由(1)可取平面B1AC的一个法向量n1==--.(7分) 设平面B1AB的法向量n2=(x,y,z),由-得取n2=(0,1,1).(8分)则cos<n1,n2>=-=-, (9分)所以二面角C-B1A-B的平面角的余弦值为.(10分)23. (1) ba n-a n-1=-----------=-----=a n+1.(3分)(2) 猜想当n为偶数时,a n=(-1)i-b n-2i.(4分)下面用数学归纳法证明这个猜想.①当n=2时,a2=----=a2+1+a-2=-1=b2-1,结论成立.(5分)②假设当n=k(k为偶数)时,结论成立,即a k=(-1)i-b k-2i=b k--b k-2+…+(-1)i-b k-2i+…+(-1,此时k+1为奇数,所以a k+1=(-1)i-b k+1-2i=b k+1-b k-1+…+(-1)i-b k+1-2i+…+(-1b, (6分) 则当n=k+2(k为偶数)时,a k+2=ba k+1-a k=[b k+2-b k+…+(-1)i-b k+2-2i+…+(-1b2]-[b k--b k-2+…+(-1)i-b k-2i+…+(-1]=b k+2-b k+…+(-1)i(-+---)b k+2-2i+…+(-1=b k+2-b k+…+(-1)i-b k+2-2i+…+(-1=(-1)i-b k+2-2i,结论也成立.(9分)综上,由①②可知当n为偶数时,均有a n=(-1)i-b n-2i. (10分)江苏省镇江市2016届高三第一次模拟考试21. A. 如图,过点P作PE⊥AB于点E,(第21-A题)因为AB为直径,所以∠ANB=∠AMB=90°, (2分)所以P,E,B,N四点共圆,P,E,A,M四点共圆.(6分)所以AE·AB=AP·AN,①BE·AB=BP·BM,②(8分)①+②,得AB(AE+BE)=AP·AN+BP·BM, (9分)所以AP·AN+BP·BM=AB2.(10分)B. 由题意知,特征多项式f(λ)=----=(λ-3)2-1=λ2-6λ+8, (3分)由f(λ)=0,解得λ1=2,λ2=4.(6分)将λ1=2代入特征方程组,得----⇒x+y=0,可取-为属于特征值λ1=2的一个特征向量.(8分)同理,当λ2=4时,由--⇒x-y=0,所以可取为属于特征值λ2=4的一个特征向量.综上,矩阵有两个特征值λ1=2,λ2=4;属于λ1=2的一个特征向量为-,属于λ2=4的一个特征向量为.(10分)C. 由ρsin-=3,可得ρsinθ-cosθ=3,所以y-x=6,即直线l的直角坐标方程为x-y+6=0.(3分)由得x2+y2=4,圆的半径为r=2, (6分)所以圆心到直线l的距离d==3, (8分)所以点P到直线l的距离的最大值为d+r=5.(10分)D. 因为x-y+-=(x-y)+-(3分)=-+-+-, (5分)又x>y>0,即x-y>0,所以-+-+-≥3---=3,当且仅当-=-=-时取等号,所以x+-≥y+3.(10分)22. (1) 以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(3,0,0),C1(0,3,3),=(-3,3,3),B(3,3,0),E(3,0,2),=(0,-3,2), (2分)(第22题)所以cos<,>===-,故两条异面直线AC1与BE所成角的余弦值为.(5分) (2) D1(0,0,3),=(0,-3,2),=(3,0,-1).设平面BED1F的法向量为n=(x,y,z),由得--所以则n=(x,2x,3x),不妨取n=(1,2,3).设直线BB1与平面BED1F所成的角为α,则sinα=|cos<,n>|==, (9分) 所以直线BB1与平面BED1F所成角的正弦值为.(10分)23.①当n=1时,能被8整除.(1分)②假设当n=k时(k≥1,k∈N*)结论成立, (2分)则5k+2·3k-1+1能被8整除.设5k+2·3k-1+1=8m,m∈N*,当n=k+1时,5k+1+2·3k+1=5(5k+2·3k-1+1)-4·3k-1-4=5(5k+2·3k-1+1)-4·(3k-1+1),(7分)又当k≥1,k∈N*时,3k-1+1显然为偶数,设为2t,t∈N*,故5(5k+2·3k-1+1)-4·(3k-1+1)=40m-8t(m,t∈N*)也能被8整除,故当n=k+1时结论也成立.综上,由①②可知对一切正整数n,5n+2·3n-1+1能被8整除.(10分)江苏省扬州市2016届高三第一次模拟考试21. (1) 设直线l:x+y=1上任意一点M(x,y)在矩阵A对应的变换作用下得到点M'(x',y').由==,得(5分)又点M'(x',y')在直线l'上,所以x'-y'=1,即(mx+ny)-y=1,由题意知-解得所以矩阵A=.(10分)22.由题意知,圆的直角坐标方程为x2+(y-4)2=16, (3分)直线的直角坐标方程为y=x, (6分)=2,故圆ρ=8sin θ上的点到直线θ=的距离的最大圆心(0,4)到直线的距离为d=--值为D=d+r=2+4=6.(10分)23. (1) 设参与者先在乙箱中摸球,且恰好获得奖金n元为事件M,则P(M)=×=,即参与者先在乙箱中摸球,且恰好获得奖金n元的概率为.(4分)(2) 参与者摸球的顺序有两种,分别讨论如下:①先在甲箱中摸球,参与者获奖金ξ可取0,m,m+n,则P(ξ=0)=,P(ξ=m)=×=,P(ξ=m+n)=×=,E(ξ)=0×+m×+(m+n)×=+; (6分)②先在乙箱中摸球,参与者获奖金η可取0,n,m+n,则P(η=0)=,P(η=n)=×=,P(η=m+n)=×=,E(η)=0×+n×+(m+n)×=+.(8分)E(ξ)-E(η)=-.当>时,先在甲箱中摸球,再在乙箱中摸球,参与者获奖金的期望值较大;当=时,两种顺序参与者获奖金的期望值相等;当<时,先在乙箱中摸球,再在甲箱中摸球,参与者获奖金的期望值较大.答:当>时,先在甲箱中摸球,再在乙箱中摸球,参与者获奖金的期望值较大;当=时,两种顺序参与者获奖金的期望值相等;当<时,先在乙箱中摸球,再在甲箱中摸球,参与者获奖金的期望值较大.(10分) 24. (1) ①当n=1时,a1=,有0<a1<,所以当n=1时,不等式成立. (1分)②假设当n=k(k∈N*)时,不等式成立,即0<a k<.则当n=k+1时,a k+1=f(a k)=2a k-3=-3-a k=-3-+, 所以-a k+1=3-.因为0<a k<,所以0<3-<,即0<-a k+1<,所以0<a k+1<,所以当n=k+1时,不等式也成立.综上,由①②可知,对任意的正整数n,都有0<a n<.(4分)(2) 由(1)可得-a n+1=3-a n2,两边同时取以3为底的对数,得log3-=1+2log3-,整理得1+log3-=2-,所以数列-是以log3为首项、2为公比的等比数列, (7分)所以1+log3-=2n-1log3,化简得-a n=·-,所以-=3·-.因为当n≥2时,2n-1=-+-+-+…+--≥1+n-1=n,当n=1时,2n-1=1,所以当n∈N*时,2n-1≥n.所以-=3·-≥3·4n,则-+-+…+-=3(++…+-)≥3(41+42+…+4n)=4n+1-4,所以-+-+…+-≥4n+1-4.(10分)江苏省泰州市2016届高三第一次模拟考试21. A. 连接CD,因为CP为圆O的切线, 所以∠PCD=∠PAC.又∠P是公共角,所以△PCD∽△PAC, (5分)所以=.因为D是劣弧BC的中点,所以CD=BD,即=.(10分)B. 将λ=-2代入矩阵M的特征多项式f(λ)=---=λ2-(x-1)λ-(x+5)=0,得x=3,所以矩阵M=-, (5分)所以M2=. (10分)C. 直线C1的直角坐标方程为2x+y=9,椭圆C2的直角坐标方程为+=1(0<a<3), (5分).则椭圆C2的准线方程为y=±-=9,解得a=2.(10分)由题意知-D. 因为正实数a,b,c满足a+b2+c3=1,所以1≥3,即ab2c3≤, (5分)所以≥27,所以++≥3≥27.(10分)22. (1) 由AC=3,BC=4,AB=5,得∠ACB=90°.(1分)以C为坐标原点,分别以CA,CB,CC1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz,则A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0).设点D的坐标为(x,y,z),则由=λ,得=(3-3λ,4λ,0),又=(-3,0,4),(第22题),解得λ=或λ=-.(5分)由=--(2) =,=(0,4,4),设平面CDB1的法向量为n1=(x1,y1,z1),则所以可取平面CDB1的一个法向量为n1=(4,-3,3).(7分) 又平面CBB1的一个法向量为n2=(1,0,0),所以二面角D-CB1-B的余弦值为cos<n1,n2>=.(10分)(注:第(1)问中少一解扣1分;没有交代建立直角坐标系过程扣1分.第(2)问如果结果相差符号扣1分)23. (1) 由题意知,取a1=1,a2=2,则a1a2<6,满足题意.若存在a3≥3,则必有a2a3≥6,不满足题意.综上所述,m的最大值为2,所以f(6)=2.(4分)(2) 由题意知,当n(n+1)<k≤(n+1)(n+2)时,设A1={1,2,…,n},A2={n+1,n+2,n+3,…},显然,任意的a i,a i+1∈A1时,满足a i a i+1≤n(n-1)<n(n+1)<k,所以从集合A1中选出的a i至多有n个.任意的a j,a j+1∈A2时,a j a j+1≥(n+1)(n+2)≥k,所以从集合A2中选出的a j必不相邻.又因为从集合A1中选出的a i至多有n个,所以从集合A2中选出的a j也至多有n个,且放置于从集合A1中选出的a i之间,所以f(k)≤2n.(6分)①当n(n+2)<k≤(n+1)(n+2)时,取一串数a i为1,2n,2,2n-1,3,2n-2,…,n-1,n+2,n,n+1,或写成a i=为奇数-为偶数(1≤i≤2n)此时a i a i+1≤n(n+2)<k(1≤i≤2n-1),a2n a1=n+1<k,满足题意,所以f(k)=2n.(8分)②当n(n+1)<k≤n(n+2)时,从A1中选出的n个a i为1,2,…,n,考虑数n的两侧的空位,填入集合A2的两个数a p,a q,不妨设na p>na q,则na p≥n(n+2)≥k,与题意不符,所以f(k)≤2n-1.取一串数a i为1,2n-1,2,2n-2,3,2n-3,…,n-2,n+2,n-1,n+1,n,或写成a i=为奇数-为偶数(1≤i≤2n-1)此时a i a i+1≤n(n+1)<k(1≤i≤2n-2),a2n-1a1=n<k,满足题意,所以f(k)=2n-1.(10分)(注:写出①②题的结论但没有证明的各给1分)江苏省苏北四市2016届高三第一次模拟考试21. A. 如图,连接OT.(第21-A题)因为AT是圆O的切线,所以OT⊥AP.(2分)又因为∠PAQ是直角,所以AQ⊥AP,所以AB∥OT,所以∠TBA=∠BTO.(5分)因为OT=OB,所以∠OTB=∠OBT, (8分)所以∠OBT=∠TBA,即BT平分∠OBA. (10分)B. 矩阵A的特征多项式为f(λ)=---=λ2-5λ+6, (2分)由f(λ)=0,解得λ1=2,λ2=3.(4分)当λ1=2时,特征方程组为--故属于特征值λ1=2的一个特征向量α1=;(7分)当λ2=3时,特征方程组为--故属于特征值λ2=3的一个特征向量α2=.(10分)综上,矩阵-有两个特征值λ1=2,λ2=3;属于λ1=2的一个特征向量为,属于λ2=3的一个特征向量为.C. 圆C的直角坐标方程为x2+y2+4x-4y+13=0,即+(y-2)2=3.(4分)又点A的直角坐标为(0,-1),点B的直角坐标为(0,-3),所以AB=2, (6分)点P到直线AB的距离的最小值为2-=,(8分)所以△PAB的面积的最小值为×2×=.(10分)D. 因为x>0,y>0,x-y>0,且2x+--2y=2(x-y)+-(4分)=(x-y)+(x-y)+-≥3--=3, (8分)当且仅当x-y=x-y=-时取等号,所以2x+-≥2y+3.(10分)22.以A为坐标原点,分别以AB,AC,AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系A-xyz.因为AB=AC=1,AA1=2,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,2),B1(1,0,2),P(1,0,2λ).(1分)(1) 由λ=,得=-,=(1,0,-2),=(0,1,-2).设平面A1BC的法向量为n1=(x1,y1,z1),由得--不妨取z1=1,则x1=y1=2,从而平面A1BC的一个法向量为n1=(2,2,1).(3分) 设直线PC与平面A1BC所成的角为θ,则sinθ=|cos<,n1>|==,所以直线PC与平面A1BC所成的角的正弦值为.(5分) (2) 设平面PA1C的法向量为n2=(x2,y2,z2),=(1,0,2λ-2),由得--不妨取z2=1,则x2=2-2λ,y2=2,所以平面PA1C的一个法向量为n2=(2-2λ,2,1),(7分)则cos<n1,n2>=--.又因为二面角P-A1C-B的正弦值为,所以--=, (9分)化简得λ2+8λ-9=0,解得λ=1或λ=-9(舍去),故λ的值为1.(10分)23. (1) 由题意知,a n=3n-2,g(n)=+++…+, (1分) 当n=2时,g(2)=++=++=>.(2分)(2) 用数学归纳法加以证明:①当n=3时,g(3)=+++…+=++++++=++++++>+ +=++>++>,所以当n=3时,结论成立.(4分)②假设当n=k(k∈N*,k≥3)时,结论成立,即g(k)>,则当n=k+1时,g(k+1)=g(k)+++…+-(6分)>+++…+->+---=+-----=+--,--由k≥3可知3k2-7k-3>0,即g(k+1)>,所以当n=k+1时,结论也成立.综合①②可得,当n≥3时,g(n)>.(10分)江苏省南通市2016届高三第一次模拟考试21. A. 因为圆O的直径为AB,C为圆O上一点,所以∠ACB=90°,AC=-=-=8.因为直线l为圆O的切线,所以∠DCA=∠CBA,所以Rt△ABC∽Rt△ACD,所以==.(5分)又因为AB=10,BC=6,AC=8,故AD==,DC==.由DC2=DE·DA,得DE===.(10分)B. 设M-1=,则MM-1==,所以=,所以解得-所以M-1=-. (5分)M-1的特征多项式f(λ)=--=(λ-1)-=0,所以λ=1或,所以矩阵M的逆矩阵M-1的特征值为1或.(10分)C. 方法一:以极点为原点,极轴所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xOy,圆C的直角坐标方程为x2+y2=4y,即x2+(y-22=8,圆心C的直角坐标为(0,2.因为点A的直角坐标为(,), (4分)直线AC的斜率k AC=--=-1,所以直线AC的直角坐标方程为y=-x+2, (8分)极坐标方程为ρ(cos θ+sin θ)=2,即ρsin=2. (10分)方法二:在直线AC上任取一点M(ρ,θ),不妨设点M在线段AC上.由于圆心为C,S△OAC=S△OAM+S△OCM, (4分)所以×2×2sin =×2×ρsinθ-+×ρ×2sin-θ,即ρ(cos θ+sin θ)=2,化简得直线AC的极坐标方程为ρsinθ+=2.(10分)D. 因为a6+b6-ab(a4+b4)=a5(a-b)-(a-b)b5(2分)=(a-b)(a5-b5) (4分)=(a-b)2(a4+a3b+a2b2+ab3+b4), (8分)又a≥0,b≥0,所以a6+b6-ab(a4+b4)≥0,即a6+b6≥ab(a4+b4).(10分)22. (1) 以A为坐标原点,分别以AB,AD,AS所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),S(0,0,2).(第22题)设点P的坐标为(x0,y0,z0),由=,得(x0,y0,z0-2)=(0,2,-2),所以x0=0,y0=,z0=,所以点P的坐标为0,,,=--,=(1,0,0).(2分)设直线AB与CP所成的角为α,则--=cos α=-,故直线AB与CP所成角的余弦值为. (4分)(2) 设平面APC的法向量为m=(x1,y1,z1),所以令y1=-2,则x1=4,z1=1,故m=(4,-2,1).(6分)设平面SCD的法向量为n=(x2,y2,z2),由于=(1,0,0),=(0,-2,2),令y2=1,则z2=1,故n=(0,1,1).(8分)所以-设二面角A-PC-D的大小为θ,因为cos<m,n>=-=-,又由向量m,n的方向,得cos θ=-cos<m,n>=,故二面角A-PC-D的余弦值为.(10分)23. (1) 因为f n(x)为f n-1(x)的导数,所以f1(x)=f'0(x)=(sin x+cos x)+x(cos x-sin x)=(x+1)cos x+(x-1)(-sin x).(2分)同理,f2(x)=-(x+2)sin x-(x-2)cos x.(4分)(2) 由(1)得f3(x)=f'2(x)=-(x+3)cos x+(x-3)sin x, (5分)把f1(x),f2(x),f3(x)分别改写为f1(x)=(x+1)sin+(x-1)cos,f2(x)=(x+2)sin+(x-2)cos,f3(x)=(x+3)sin+(x-3)cos,猜测f n(x)=(x+n)sin+(x-n)cos x+. (*) (7分)下面用数学归纳法证明上述等式.①当n=1时,由(1)知,等式(*)成立.②假设当n=k(k∈N*)时,等式(*)成立,即f k(x)=(x+k)sin+(x-k)cos.则当n=k+1时,f k+1(x)=f'k(x)=sin+(x+k)cos+cos x++(x-k) -sin x+=(x+k+1)cos+[x-(k+1)]-sin x+=[x+(k+1)]sin+[x-(k+1)]cos x+π, 即当n=k+1时,等式(*)也成立.综上所述,当n∈N*时,f n(x)=(x+n)sin x++(x-n)cos x+成立.(10分)江苏省南京市2016届高三期初模拟考试21. A. 如图,连接BD.(第21-A题)因为直线AE与圆O相切,所以∠EAD=∠ABD.(4分)又因为AB∥CD,所以∠BAD=∠ADE,所以△EAD∽△DBA,所以=,所以AD2=AB·ED.(10分)B. 由题意知-=-=-, (2分)所以--解得所以矩阵A=-.(6分)因为det(A)=-=1×(-1)-0×2=-1, (8分)所以逆矩阵A-1=-.(10分)C. 圆C的直角坐标方程为(x-m)2+y2=4.(2分)直线l的极坐标方程化为ρcos θ+sin θ=,即x+y=,所以直线l的直角坐标方程为x+y-2=0.(4分)因为圆C的圆心为C(m,0),半径为2,圆心C到直线l的距离d=,所以d=-<2, (8分)解得2-2<m<2+2,故实数m的取值范围为(2-2,2+2).(10分)D. 由柯西不等式得(x2+y2+z2)(12+52+12)≥(1·x+5·y+1·z)2.(6分)因为x+5y+z=9,所以x2+y2+z2≥3, (8分)当且仅当x=,y=,z=时取等号,所以x2+y2+z2的最小值为3.(10分)22. (1) 耗用子弹数X的所有可能取值为1,2,3,4.当X=1时,表示射击一次,命中目标,则P(X=1)=;当X=2时,表示射击两次,第一次未射中,第二次射中目标,则P(X=2)=-×=; (2分) 当X=3时,表示射击三次,第一次、第二次均未射中,第三次射中目标,则P(X=3)=-×-×=; (4分)当X=4时,表示射击四次,前三次均未射中、第四次射中目标或四次均未射中,则P(X=4)=-×-×-×+-×-×-×-=.故X的概率分布如下表:(7分) (2) E(X)=1×+2×+3×+4×=.(10分)23. (1) 以C为坐标原点,分别以CD,CB,CE所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz,则D(,0,0),F(,,1),E(0,0,1),B(0,,0),C(0,0,0),(第23题)所以=(0,,1),=(0,-,1), (2分)所以cos<,>==-, (4分)所以直线DF与BE所成角的余弦值为.(5分)(2) 平面ADF的一个法向量为m==(,0,0).(6分) 设平面BDF的法向量为n=(x,y,z),=(,0,1),由得取x=1,则y=1,z=-,所以n=(1,1,-(8分)所以cos<m,n>==.又因为<m,n>∈[0,π],所以<m,n>=,所以二面角A-DF-B的大小为.(10分)江苏省南京市、盐城市、连云港市2016届高三第二次模拟考试21. A. 连接BD,因为AB为直径,所以BD⊥AC.又因为AB=BC,所以AD=DC.(4分)因为DE⊥BC,AB⊥BC,所以DE∥AB, (6分)所以CE=EB.(8分)又因为AB是直径,AB⊥BC,所以BC是圆O的切线,所以BE2=EF·EA,即BE·CE=EF·EA.(10分)B. (1) 由题意-=,得6+3a=3,2b-6=4, (4分)所以a=-1,b=5.(6分)(2) 由(1)知A=--.由矩阵的逆矩阵公式得B=--, (8分)所以B2=--.(10分)C. (1) 由ρ sin-=,得ρcos θ-sin θ=,即x-y=,化简得y=x-所以直线l的直角坐标方程为y=x-.(2分) 由+=cos2t+sin2t=1,得椭圆C的普通方程为+=1.(4分)(2) 联立直线与椭圆的方程-消去y,得+(x-1)2=1,化简得5x2-8x=0,解得x1=0,x2=, (8分)所以A(0,-B,则AB==.(10分)D. 当x≤-2时,不等式化为(2-x)+x(-x-2)>2,解得-3<x≤-2; (3分)当-2<x<2时,不等式化为(2-x)+x(x+2)>2,解得-2<x<-1或0<x<2; (6分)当x≥2时,不等式化为(x-2)+x(x+2)>2,解得x≥2.(9分)综上,原不等式的解集为{x|-3<x<-1或x>0}.(10分)22. (1) 比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个有以下几种情况: 甲进1球,乙进0球;甲进2球,乙进1球;甲进3球,乙进2球.所以比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率为:P=·+·+·=.(4分) (2) ξ的取值可能为(8分)所以数学期望E (ξ)=0×+1×+2×+3×=1. (10分) 23. (1) 因为a k =(-1)k ,当n=11时,|a 6|+|a 7|+|a 8|+|a 9|+|a 10|+|a 11|= + + + + + = ( + +…+ + )=210=1 024.(3分)(2) b k =- a k+1=(-1)k+1 -=(-1)k+1 , (5分)当1≤k ≤n-1时,b k =(-1)k+1 =(-1)k+1( - + --)=(-1)k+1 - -+(-1)k+1 - =(-1)k-1 - --(-1)k - . (7分)当m=0时, -=-=1. (8分)当1≤m ≤n-1时,S m =-1+[(-1)k-1 - --(-1)k - ]=-1+1-(-1)m - =-(-1)m -, 所以- =1. 综上,-=1. (10分)江苏省南通市、泰州市、扬州市、淮安市2016届高三第二次模拟考试21. A. 连接OD ,因为AB=AC , 所以∠B=∠C.由圆O知,OB=OD,所以∠B=∠BDO.从而∠BDO=∠C,所以OD∥AC.(6分)又因为DE为圆O的切线,所以DE⊥OD.因为OD∥AC,所以DE⊥AC.(10分)B. 设点B'的坐标为(x,y),由题意知--=,得点A'的坐标为(1,2), (4分) 则=(2,2),=(x-1,y-2).记旋转矩阵N=-, (6分)则-=--,即-=--,解得-所以点B'的坐标为(-1,4).(10分)C. 将直线的参数方程化为普通方程,得y=2x+1. ①(3分)将曲线的参数方程化为普通方程,得y=1-2x2(-1≤x≤1). ②(6分)由①②,得--或 (8分)所以点A的坐标为(-1,-1),点B的坐标为(0,1),故AB=----=.(10分)D. 由柯西不等式,得[(2a)2+b2+(c)2]≥(2a+b+c)2.(6分)因为4a2+b2+2c2=4,所以(2a+b+c)2≤10,所以-≤2a+b+c≤.所以2a+b+c的最大值为,当且仅当a=,b=,c=时等号成立.(10分)22. (1) 事件X=0表示“有放回地摸球3回,所指定的玻璃球只出现1次”,则P(X=0)=3××=.(3分)(2) 由题意知,X的可能取值为k,-1,1,0,且P(X=k)==,P(X=-1)==,P(X=1)=3××=,P(X=0)=3××=, (6分)结合(1)知,参加游戏者的收益X的数学期望为E(X)=k×+(-1)×+1×+0×=-(元), (8分)为使收益X的数学期望不小于0元,所以k≥110,即k min=110.答:k的最小值为110.(10分)23. (1) 当k=2时,数列a1,a2,a3,…,a8中有1个1或5个1,其余为0,所以m=+=64.(3分)(2) 由题意知,数列a1,a2,…,a4k中有3个1,或7个1,或11个1,…,或(4k-1)个1,其余为0,所以m(3)=+++…+-.(5分)同理,得m(1)=+++…+-.因为=-(i=3,7,11,…,4k-1),所以m(1)=m(3).又m(1)+m(3)=++++…+-+-=24k-1,所以m(3)=24k-2=42k-1.(10分)江苏省苏州市、无锡市、常州市、镇江市2016届高三第二次模拟考试21. A. 因为DE是圆O的直径,则∠BED+∠EDB=90°.又BC⊥DE,所以∠CBD+∠EDB=90°, (3分)所以∠CBD=∠BED.又AB切圆O于点B,得∠ABD=∠BED,所以∠CBD=∠DBA, (5分)即BD平分∠CBA,则==3.因为BC=,所以AB=3,所以AC=-=4,所以AD=3.(8分)由切割线定理得AB2=AD·AE,即AE==6,故DE=AE-AD=3,即圆O的直径为3.(10分)B. 由题意知MN==.(4分)设(x,y)是曲线y=sin x上的任意一点,其在矩阵MN对应的变换作用下得到点为(x',y'),则=, (6分)所以x'=x,y'=2y,即x=2x',y=y', (8分)代入y=sin x,得y'=sin 2x',即y'=2sin 2x'.故曲线y=sin x在矩阵MN对应的变换作用下得到的曲线方程为y=2sin 2x.(10分) C. 由ρ=2sin θ,得ρ2=2ρsin θ,所以x2+y2=2y, (3分)所以圆C的方程为x2+(y-)2=3.(5分)设点P的坐标为,点C的坐标为(0,),PC=-=, (8分)故当t=0时,PC取得最小值,此时点P的坐标为(3,0).(10分)D. 存在实数x使得f(x)+g(x)>a成立,等价于f(x)+g(x)的最大值大于a.(2分)因为f(x)+g(x)=+-=×+1×-, (4分)由柯西不等式知(×+1×-)2≤(3+1)(x+2+14-x)=4×16=64, (7分)所以f(x)+g(x)=+-≤8,当且仅当x=10时取等号, (9分)故常数a的取值范围是(-∞,8).(10分)22. (1) 以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(1,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),D1(0,0,2).(第22题)因为E为AB的中点,所以点E的坐标为(1,1,0).因为D1F=2FE,所以==(1,1,-2)=-,=+=(0,0,2)+-=.(2分) 设n=(x,y,z)是平面DFC的法向量,则所以取x=1,得平面FDC的一个法向量n=(1,0,-1). (3分)设p=(x,y,z)是平面ED1C的法向量,则所以--取y=1,得平面D1EC的一个法向量p=(1,1,1). (4分)因为n·p=(1,0,-1)·(1,1,1)=0,所以平面DFC⊥平面D1EC.(5分)(2) 设q=(x,y,z)是平面ADF的法向量,则所以取y=1,得平面ADF的一个法向量q=(0,1,-1).(7分)设二面角A-DF-C的平面角为θ,由题中条件可知θ∈,则cos θ=-=-=-, (9分)所以二面角A-DF-C的大小为.(10分)23. (1) 由图可知,杨辉三角形的第n行由二项式系数(k=0,1,2,…,n)组成,如果第n行中有-=-=,=-=,那么3n-7k=-3,4n-9k=5, (2分)解得k=27,n=62.(3分)即在第62行中有三个相邻的数,,的比为3∶4∶5.(4分) (2) 若有n,r(n≥r+3),使得,,,成等差数列,则2=+,2=+,即--=-+--,--=--+--, (6分)所以--=---+,=+,----整理得n2-(4r+5)n+4r(r+2)+2=0,n2-(4r+9)n+4(r+1)(r+3)+2=0,两式相减可得n=2r+3,所以,,,成等差数列.(8分)又由二项式系数的性质可知=<=,这与等差数列的性质矛盾,所以要证明的结论成立.(10分)江苏省南京市2016届高三第三次模拟考试21. A. (1) 连接AB,因为PA是半圆O的切线,所以∠PAC=∠ABC.因为BC是圆O的直径,所以AB⊥AC.又因为AH⊥BC,所以∠CAH=∠ABC,所以∠PAC=∠CAH,所以AC是∠PAH的平分线.(5分)(2) 因为H是OC的中点,半圆O的半径为2,所以BH=3,CH=1.又因为AH⊥BC,所以AH2=BH·HC=3,所以AH=.在Rt△AHC中,AH=,CH=1,所以∠CAH=30°.由(1)可得∠PAH=2∠CAH=60°,所以PA=2.因为PA是半圆O的切线,所以PA2=PC·PB,所以PC·(PC+BC)=(2)2=12,所以PC=2.(10分)B. 设曲线C上的任意一点P(x,y),点P在矩阵A=对应的变换下得到点Q(x',y').则=,即x+2y=x',x=y',所以x=y',y=-.(5分)代入x2+2xy+2y2=1,得y'2+2y'·-+2-=1,即x'2+y'2=2,所以曲线C1的方程为x2+y2=2.(10分)C. M的极坐标为,故直角坐标为M(0,1),且P(2cos θ,sin θ),所以PM=-=--,sin θ∈[-1,1].(5分)当sin θ=-时,PM max=,此时cos θ=±.所以PM的最大值是,此时点P的坐标是-.(10分)D. 函数的定义域为[0,4],且f(x)≥0.由柯西不等式得[52+()2][()2+(-)2]≥(5·+·-)2, (5分)即27×4≥(5·+·-)2,所以5+-≤6.当且仅当·=5-,即x=时取等号.所以函数f(x)=5+-的最大值为6.(10分)22. (1) 记“X是奇数”为事件A,能组成的三位数的个数为48.(2分)X是奇数的个数为28,所以P(A)==.答:X是奇数的概率为.(4分)(2) X的可能取值为3,4,5,6,7,8,9.当X=3时,组成的三位数只能是由0,1,2三个数字组成,所以P(X=3)==;当X=4时,组成的三位数只能是由0,1,3三个数字组成,所以P(X=4)==;当X=5时,组成的三位数只能是由0,1,4或0,2,3三个数字组成, 所以P(X=5)==;当X=6时,组成的三位数只能是由0,2,4或1,2,3三个数字组成, 所以P(X=6)==;当X=7时,组成的三位数只能是由0,3,4或1,2,4三个数字组成, 所以P(X=7)==;当X=8时,组成的三位数只能是由1,3,4三个数字组成,所以P(X=8)==;当X=9时,组成的三位数只能是由2,3,4三个数字组成,所以P(X=9)==.(8分)所以XE(X)=3×+4×+5×+6×+7×+8×+9×=.(10分) 23. (1) 因为k1=2,所以==2,解得x0=1,y0=1,所以点P1的坐标为(1,1).(2分)(2) 设k1=2p(p∈N*),即==2p,所以-2px0+1=0,所以x0=p±-. (4分)因为y0=,所以k n===+,所以当x0=p+-时,=(p+-)n+(p--)n.(6分) k n=(p+-)n+-同理,当x0=p--时,k n=(p+-)n+(p--)n.①当n=2m(m∈N*)时,k n=2p n-2k(p2-1)k,所以k n为偶数;②当n=2m+1(m∈N)时,p n-2k(p2-1)k,所以k n为偶数.综上, k n为偶数.(10分)。

南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)参考公式锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 为底面积,h 为高. 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．已知集合{}210A x x =-=，{}1,2,5B =-，则AB = ▲ .2．已知复数21iz i+=-（i 是虚数单位），则||z = ▲ . 3．书架上有3本数学书，2本物理书，从中任意取出2本，则取出的两本书都是数学书的概率为 ▲ . 4．运行如图所示的伪代码，其结果为 ▲ .5．某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人， 现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出55人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽 取的人数为 ▲ .6．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，若曲线C 经过点(1,3)P ，则其焦点到准线的距离为 ▲ .7．已知实数,x y 满足50,220,0,x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则目标函数z x y =-的最小值为 ▲ .8．设一个正方体与底面边长为▲ .9．在ABC ∆中，设,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若5a =，4A π=，3cos 5B =，则边c = ▲ . 10．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，0n a >，若6325S S -=，则96S S -的最小值为 ▲ .11．如图，在ABC ∆中，3AB AC ==，1cos 3BAC ∠=，2DC BD =，则AD BC ⋅的值为 ▲ .S ←1For I From 1 To 7 step 2 S ←S + I End For Print S第4题图ABCD第11题12．过点(4,0)P -的直线l 与圆22:(1)5C x y -+=相交于,A B 两点，若点A 恰好是线段PB 的中点，则直线l 的方程为 ▲ .13．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()22xx mf x =+，设(),1,()(),1,f x xg x f x x >⎧=⎨-≤⎩若函数()y g x t =-有且只有一个零点，则实数t 的取值范围是 ▲ .14．设函数32,,ln ,x x x e y a x x e ⎧-+<=⎨≥⎩的图象上存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形（其中O 为坐标原点），且斜边的中点恰好在y 轴上，则实数a 的取值范围是 ▲ .二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)设函数()sin()(0,0,,)22f x A x A x R ππωϕωϕ=+>>-<<∈的部分图象如图所示.（1）求函数()y f x =的解析式； （2）当[,]22x ππ∈-时，求()f x 的取值范围16．(本小题满分14分)如图，已知直三棱柱111ABC A B C -的侧面11ACC A 是正方形，点O 是侧面11ACC A 的中心，2ACB π∠=，M 是棱BC 的中点.（1）求证：//OM 平面11ABB A ； （2）求证：平面1ABC ⊥平面1A BC .第15题图ACBM OA 1C 1B 1第16题图如图所示，,A B 是两个垃圾中转站，B 在A 的正东方向16千米处，AB 的南面为居民生活区. 为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB 的北面建一个垃圾发电厂P . 垃圾发电厂P 的选址拟满足以下两个要求（,,A B P 可看成三个点）：①垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民区（这里参考的指标是点P 到直线AB 的距离要尽可能大）. 现估测得,A B 两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30吨和50吨，问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，设点00(,)M x y 是椭圆22:14x C y +=上一点，从原点O 向圆22200:()()M x x y y r -+-=作两条切线分别与椭圆C 交于点,P Q ，直线,OP OQ 的斜率分别记为12,k k .（1）若圆M 与x 轴相切于椭圆C 的右焦点，求圆M 的方程；（2）若r =. ①求证：1214k k =-；②求OP OQ ⋅的最大值.B A · ·居民生活区第17题图 北第18题图已知函数()xaxf x e =在0x =处的切线方程为y x =. （1）求a 的值；（2）若对任意的(0,2)x ∈，都有21()2f x k x x<+-成立，求k 的取值范围； （3）若函数()ln ()g x f x b =-的两个零点为12,x x ，试判断12()2x x g +'的正负，并说明理由.20．(本小题满分16分)设数列{}n a 共有(3)m m ≥项，记该数列前i 项12,,,i a a a 中的最大项为i A ，该数列后m i -项12,,,i i m a a a ++中的最小项为i B ，(1,2,3,,1)i i i r A B i m =-=-.（1）若数列{}n a 的通项公式为2n n a =，求数列{}i r 的通项公式；（2）若数列{}n a 满足11a =，2i r =-，求数列{}n a 的通项公式；（3）试构造一个数列{}n a ，满足n n n a b c =+，其中{}n b 是公差不为零的等差数列，{}n c 是等比数列，使得对于任意给定的正整数m ，数列{}i r 都是单调递增的，并说明理由.南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内）A .（选修4—1：几何证明选讲）如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于点D ，AC ⊥CD ，DE ⊥AB ，C 、E 为垂足，连接,AD BD . 若4AC =，3DE =，求BD 的长.B .（选修4—2：矩阵与变换） 设矩阵 02 1a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的一个特征值为2，若曲线C 在矩阵M 变换下的方程为221x y +=，求曲线C 的方程.C ．（选修4—4：坐标系与参数方程） 在极坐标系中，已知点A的极坐标为)4π-，圆E 的极坐标方程为4cos 4sin ρθθ=+，试判断点A 和圆E 的位置关系.D ．(选修4—5：不等式选讲）已知正实数,,,a b c d 满足1a b c d +++=.≤ABDEO第21(A )题图C·[必做题]（第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分）直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，2AB =，4AC =，12AA =，BD DC λ=. （1）若1λ=，求直线1DB 与平面11AC D 所成角的正弦值； （2）若二面角111B AC D --的大小为60︒，求实数λ的值.23．（本小题满分10分）设集合{}1,2,3,,(3)M n n =≥，记M 的含有三个元素的子集个数为n S ，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为n T .（1）求33T S ，44TS ，55T S ，66T S 的值； （2）猜想n nTS 的表达式，并证明之.BACDB 1A 1C 1第22题图南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1. {}1-2.3. 3104. 175. 176. 927. 3-8.29. 7 10. 20 11. 2- 12. 340x y ±+= 13. 33[,]22-14. 1(0,]1e +14二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．解：（1）由图象知，2A =， …………2分又54632T πππ=-=，0ω>，所以22T ππω==，得1ω=. …………4分 所以()2sin()f x x ϕ=+，将点(,2)3π代入，得2()32k k Z ππϕπ+=+∈，即2()6k k Z πϕπ=+∈，又22ππϕ-<<，所以6πϕ=. …………6分所以()2sin()6f x x π=+. …………8分（2）当[,]22x ππ∈-时，2[,]633x πππ+∈-， …………10分所以sin()[6x π+∈，即()[f x ∈. …………14分16．证明：（1）在1A BC ∆中，因为O 是1AC 的中点，M 是BC 的中点， 所以1//OM A B . ..............4分又OM ⊄平面11ABB A ，1A B ⊂平面11ABB A ，所以//OM 平面11ABB A . ..............6分 （2）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以1CC ⊥底面ABC ，所以1CC BC ⊥，又2ACB π∠=，即BC AC ⊥，而1,CC AC ⊂面11ACC A ，且1CC AC C =，所以BC ⊥面11ACC A . ..............8分 而1AC ⊂面11ACC A ，所以BC ⊥1AC ，又11ACC A 是正方形，所以11AC AC ⊥，而,BC 1AC ⊂面1A BC ，且1BC AC C =， 所以1AC ⊥面1A BC . .............12分 又1AC ⊂面1ABC ，所以面1ABC ⊥面1A BC . ..............14分 17．解法一：由条件①，得505303PA PB ==. ...............2分 设5,3PA x PB x ==，则222(5)16(3)8cos 2165105x x x PAB x x+-∠==+⨯⨯， ..............6分所以点P 到直线AB 的距离sin 5h PA PAB x =∠=== ...............10分所以当234x =，即x 时，h 取得最大值15千米.即选址应满足PA =千米，PB =. ...............14分解法二：以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系. ........2分则(8,0),(8,0)A B -. 由条件①，得505303PA PB ==. ...............4分 设(,)(0)P x y y >，则化简得2(17)x y y-+=， ...............10分 即点P 的轨迹是以点（17,0）为圆心、15为半径的圆位于x 轴上方的半圆. 则当17x =时，点P 到直线AB 的距离最大，最大值为15千米.所以点P 的选址应满足在上述坐标系中其坐标为(17,15)即可. ...............14分 18．解：（1）因为椭圆C 右焦点的坐标为，所以圆心M 的坐标为1)2±，........2分从而圆M 的方程为2211(()24x y +±=. …………4分 （2）①因为圆M 与直线1:OP y k x ==， 即222010010(45)10450x k x y k y -++-=， …………6分 同理，有222020020(45)10450x k x y k y -++-=，所以12,k k 是方程2220000(45)10450x k x y k y -++-=的两根， …………8分 从而22200012222001545(1)1451444545454x x y k k x x x ---+-====----. …………10分 ②设点111222(,),(,)P x y P x y ，联立12214y k xx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得222111221144,1414k x y k k ==++， ……12分 同理，222222222244,1414k x y k k ==++，所以222212222211224444()()14141414k k OP OQ k k k k ⋅=+⋅+++++ 22221211222212114(1)4(1)4411614141414k k k k k k k k ++++=⋅=⋅++++ ……………14分 221221520()252(14)4k k +≤=+， 当且仅当112k =±时取等号. 所以OP OQ ⋅的最大值为52.……16分 19. 解：（1）由题意得(1)()xa x f x e -'=，因函数在0x =处的切线方程为y x =，所以(0)11af '==，得1a =. ……………4分（2）由（1）知21()2x x f x e k x x =<+-对任意(0,2)x ∈都成立，所以220k x x +->，即22k x x >-对任意(0,2)x ∈都成立，从而0k ≥. ……………6分又不等式整理可得22x e k x x x<+-，令2()2x e g x x x x =+-， 所以22(1)()2(1)(1)(2)0x xe x e g x x x x x-'=+-=-+=，得1x =， ……………8分 当(1,2)x ∈时，()0g x '>，函数()g x 在(1,2)上单调递增，同理，函数()g x 在(0,1)上单调递减，所以min ()(1)1k g x g e <==-，综上所述，实数k 的取值范围是[0,1)e -. ……………10分（3）结论是12()02x x g +'<. ……………11分 证明：由题意知函数()ln g x x x b =--，所以11()1xg x x x-'=-=，易得函数()g x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以只需证明1212x x +>即可. 12分 因为12,x x 是函数()g x 的两个零点，所以1122ln ln x b x x b x +=⎧⎨+=⎩，相减得2211ln xx x x -=，不妨令211xt x =>，则21x tx =，则11ln tx x t -=，所以11ln 1x t t =-，2ln 1t x t t =-， 即证1ln 21t t t +>-，即证1()ln 201t t t t ϕ-=->+， ………14分 因为22214(1)()0(1)(1)t t t t t t ϕ-'=-=>++，所以()t ϕ在(1,)+∞上单调递增，所以()(1)0t ϕϕ>=， 综上所述，函数()g x 总满足12()02x x g +'<成立. ……………16分20．解：（1）因为2n n a =单调递增，所以2i i A =，12i i B +=， 所以1222i i i i r +=-=-，11i m ≤≤-. ……………4分（2）根据题意可知，i i a A ≤，1i i B a +≤，因为20i i i r A B =-=-<，所以i i A B < 可得1i i i i a A B a +≤<≤即1i i a a +<，又因为1,2,3,,1i m =-，所以{}n a 单调递增，……7分则i i A a =，1i i B a +=，所以12i i i r a a +=-=-，即12i i a a +-=，11i m ≤≤-，所以{}n a 是公差为2的等差数列，12(1)21n a n n =+-=-，11i m ≤≤-. ………10分 （3）构造1()2nn a n =-，其中n b n =，1()2nn c =-. …………12分下证数列{}n a 满足题意.证明：因为1()2nn a n =-，所以数列{}n a 单调递增，所以1()2ii i A a i ==-，1111()2i i i B a i ++==+-， ……………14分所以1111()2i i i i r a a ++=-=--，11i m ≤≤-，因为2121111[1()][1()]()0222i i i i i r r ++++-=-----=>，所以数列{}i r 单调递增，满足题意. …………16分（说明：等差数列{}n b 的首项1b 任意，公差d 为正数，同时等比数列{}n c 的首项1c 为负，公比(0,1)q ∈，这样构造的数列{}n a 都满足题意.）附加题答案21. A 、解：因为CD 与O 相切于D ，所以CDA DBA ∠=∠， …………2分又因为AB 为O 的直径，所以90ADB ∠=︒.又DE AB ⊥，所以EDA DBA ∆∆，所以EDA DBA ∠=∠，所以EDA CDA ∠=∠.…4分 又90ACD AED ∠=∠=︒，AD AD =，所以ACD AED ∆≅∆.所以4AE AC ==，所以5AD ==， ……… 6分又DE AE BD AD =，所以154DE BD AD AE =⋅=. ………10分 B 、由题意，矩阵M 的特征多项式()()((1)f a λλλ=--，因矩阵M 有一个特征值为2，(2)0f =，所以2a =. …………4分所以 2 0M 2 1x x x y y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即22x x y x y '=⎧⎨'=+⎩，代入方程221x y +=，得22(2)(2)1x x y ++=，即曲线C 的方程为22841x xy y ++=.…10分C 、解：点A 的直角坐标为(2,2)-， ………2分圆E 的直角坐标方程为22(2)(2)8x y -+-=， …………6分 则点A 到圆心E的距离4d r ==>=所以点A 在圆E 外. …………10分D 、解：因24(12121212)a b c d ≤+++++++， …6分又1a b c d +++=，所以224≤，≤ ……10分 22．解：分别以1,,AB AC AA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,4,0)C ，1(0,0,2)A ，1(2,0,2)B ，1(0,4,2)C ………2分 （1）当1λ=时，D 为BC 的中点，所以(1,2,0)D ，1(1,2,2)DB =-，11(0,4,0)AC =，1(1,2,2)A D =-，设平面11AC D 的法向量为1(,,)n x y z =则4020y x z =⎧⎨-=⎩，所以取1(2,0,1)n =，又111111cos ,||||3DBn DB n DB n ⋅<>===所以直线1DB 与平面11AC D …………6分 （2）BD DC λ=，24(,,0)11D λλλ∴++，11(0,4,0)AC ∴=，124(,,2)11A D λλλ=-++， 设平面11AC D 的法向量为1(,,)n x y z =，则402201y x z λ=⎧⎪⎨-=⎪+⎩， 所以取1(1,0,1)n λ=+. …………8分 又平面111A BC 的一个法向量为2(0,0,1)n =，由题意得121|cos ,|2nn <>=，12=，解得1λ=或1λ=（不合题意，舍去）， 所以实数λ1. …………10分23.解：（1）332T S =，4452T S =，553T S =，6672T S =. ……………4分 （2）猜想12n n T n S +=. ……………5分下用数学归纳法证明之.证明：①当3n =时，由（1）知猜想成立； ②假设当(3)n k k =≥时，猜想成立，即12k k T k S +=，而3k k S C =，所以得312k k k T C +=. 6分 则当1n k =+时，易知311k k S C ++=，而当集合M 从{}1,2,3,,k 变为{}1,2,3,,,1k k +时，1k T +在k T 的基础上增加了1个2，2个3，3个4，…，和(1)k -个k ， ……………8分所以1k k T T +=+213243(1)k k ⨯+⨯+⨯++-3222223412[]2k k k C C C C C +=++++⋅⋅⋅+ 3322233412[]2k k k C C C C C +=++++⋅⋅⋅+3311222k k k C C ++-=+3122k k C ++=1(1)12k k S +++=，即11(1)12k k T k S ++++=. 所以当1n k =+时，猜想也成立.综上所述，猜想成立. ……………10分 （说明：未用数学归纳法证明，直接求出n T 来证明的，同样给分.）。

2016年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣1＝0}，B＝{﹣1，2，5}，则A∩B＝．2．（5分）已知复数z＝（i是虚数单位），则|z|＝．3．（5分）书架上有3本数学书，2本物理书，从中任意取出2本，则取出的两本书都是数学书的概率为．4．（5分）运行如图所示的伪代码，其结果为．5．（5分）某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出55人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为．6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，若曲线C经过点P（1，3），则其焦点到准线的距离为．7．（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z＝x﹣y的最小值为．8．（5分）设一个正方体与底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为．9．（5分）在△ABC中，设a，b，c分别为角A，B，C的对边，若a＝5，A＝，cos B＝，则边c＝．10．（5分）设S n是等比数列{a n}的前n项和，a n＞0，若S6﹣2S3＝5，则S9﹣S6的最小值为．11．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，cos∠BAC＝，＝2，则•的值为．12．（5分）过点P（﹣4，0）的直线l与圆C：（x﹣1）2+y2＝5相交于A，B两点，若点A恰好是线段PB的中点，则直线l的方程为．13．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）＝2x+，设g（x）＝．若函数y＝g（x）﹣t有且只有一个零点，则实数t的取值范围是．14．（5分）设函数y＝的图象上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（其中O为坐标原点），且斜边的中点恰好在y轴上，则实数a的取值范围是．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）设函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜，x∈R）的部分图象如图所示．（1）求函数y＝f（x）的解析式；（2）当x∈[﹣，]时，求f（x）的取值范围．16．（14分）如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面ACC1A1是正方形，点O 是侧面ACC1A1的中心，∠ACB＝，M是棱BC的中点．（1）求证：OM∥平面ABB1A1；（2）求证：平面ABC1⊥平面A1BC．17．（14分）如图所示，A，B是两个垃圾中转站，B在A的正东方向16千米处，AB的南面为居民生活区．为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB的北面建一个垃圾发电厂P．垃圾发电厂P的选址拟满足以下两个要求（A，B，P可看成三个点）：①垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民区（这里参考的指标是点P到直线AB的距离要尽可能大）．现估测得A，B两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30吨和50吨，问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，设点M（x0，y0）是椭圆C：+y2＝1上一点，从原点O向圆M：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2＝r2作两条切线分别与椭圆C交于点P，Q．直线OP，OQ的斜率分别记为k1，k2（1）若圆M与x轴相切于椭圆C的右焦点，求圆M的方程；（2）若r＝，①求证：k1k2＝﹣；②求OP•OQ的最大值．19．（16分）已知函数f（x）＝在x＝0处的切线方程为y＝x．（1）求a的值；（2）若对任意的x∈（0，2），都有f（x）＜成立，求k的取值范围；（3）若函数g（x）＝lnf（x）﹣b的两个零点为x1，x2，试判断g′（）的正负，并说明理由．20．（16分）设数列{a n}共有m（m≥3）项，记该数列前i项a1，a2，…a i中的最大项为A i，该数列后m﹣i项a i+1，a i+2，…，a m中的最小项为B i，r i＝A i﹣B i（i＝1，2，3，…，m﹣1）．（1）若数列{a n}的通项公式为a n＝2n，求数列{r i}的通项公式；（2）若数列{a n}满足a1＝1，r i＝﹣2，求数列{a n}的通项公式；（3）试构造一个数列{a n}，满足a n＝b n+c n，其中{b n}是公差不为零的等差数列，{c n}是等比数列，使得对于任意给定的正整数m，数列{r i}都是单调递增的，并说明理由．选作题：在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内选修4-1：几何证明选讲（满分10分）21．（10分）如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点D，AC⊥CD，DE⊥AB，C、E为垂足，连接AD，BD．若AC＝4，DE＝3，求BD的长．选修4-2：矩阵-变换22．（10分）设矩阵的一个特征值为2，若曲线C在矩阵M变换下的方程为x2+y2＝1，求曲线C的方程．选修：4-4:坐标系与参数方程23．在极坐标系中，已知点A的极坐标为（2，﹣），圆E的极坐标方程为ρ＝4cosθ+4sinθ，试判断点A和圆E的位置关系．选修：4-5：不等式选讲24．已知正实数a，b，c，d满足a+b+c+d＝1．求证：+++≤2．[必做题]（第25、26题，每小题10分，计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内）25．（10分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝2，AC＝4，AA1＝2，＝λ．（1）若λ＝1，求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；（2）若二面角B1﹣A1C1﹣D的大小为60°，求实数λ的值．26．（10分）设集合M＝{1，2，3，…，n}（n≥3），记M的含有三个元素的子集个数为S n，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为T n．（1）求，，，的值；（2）猜想的表达式，并证明之．2016年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣1＝0}，B＝{﹣1，2，5}，则A∩B＝{﹣1}．【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣1＝0}＝{﹣1，1}，B＝{﹣1，2，5}，∴A∩B＝{﹣1}．故答案为：{﹣1}．2．（5分）已知复数z＝（i是虚数单位），则|z|＝．【解答】解：复数z＝＝＝，则|z|＝＝．故答案为：．3．（5分）书架上有3本数学书，2本物理书，从中任意取出2本，则取出的两本书都是数学书的概率为．【解答】解：∵书架上有3本数学书，2本物理书，从中任意取出2本，基本事件总数n＝＝10，则取出的两本书都是数学书包含的基本事件个数m＝，∴取出的两本书都是数学书的概率p＝．故选为：．4．（5分）运行如图所示的伪代码，其结果为17．【解答】解：根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S＝1+1+3+5+7的值，所以S＝1+1+3+5+7＝17．故答案为：17．5．（5分）某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出55人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为17．【解答】解：设从高一年级学生中抽出x人，由题意得＝，解得x＝18，则从高三年级学生中抽取的人数为55﹣20﹣18＝17人，故答案为：17．6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，若曲线C经过点P（1，3），则其焦点到准线的距离为．【解答】解：由题意，可设抛物线的标准方程为y2＝2px，因为曲线C经过点P（1，3），所以p＝，所以其焦点到准线的距离为．故答案为：．7．（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z＝x﹣y的最小值为﹣3．【解答】解：作作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝x﹣y，得y＝x﹣z表示，斜率为1纵截距为﹣z的一组平行直线，平移直线y＝x﹣z，当直线经过点A时，此时直线y＝x﹣z截距最大，z最小．由，得，此时z min＝1﹣4＝﹣3．故答案为：﹣3．8．（5分）设一个正方体与底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为2．【解答】解：已知正四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，SB＝，过S作SE⊥底面ABCD，垂足为E，过E作EF⊥BC，交BC于F，连结SF，则EF＝BF＝，SF＝＝，SE＝＝2，＝＝＝8，∴V S﹣ABCD设该正方体的棱长为a，∵一个正方体与底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积相等，∴a3＝8，解得a＝2．故答案为：2．9．（5分）在△ABC中，设a，b，c分别为角A，B，C的对边，若a＝5，A＝，cos B＝，则边c＝7．【解答】解：∵cos B＝，a＝5，A＝，∴sin B＝＝，∴由正弦定理可得：b＝＝＝4，∴由余弦定理可得：b2＝a2+c2﹣2ac cos B，即：32＝25+c2﹣6c，解得：c＝7或﹣1（舍去）．故答案为：7．10．（5分）设S n是等比数列{a n}的前n项和，a n＞0，若S6﹣2S3＝5，则S9﹣S6的最小值为20．【解答】解：设等比数列{a n}的公比q＞0，q≠1．∵S6﹣2S3＝5，∴﹣＝5．∴＝5．∴q＞1．则S9﹣S6＝﹣＝•q6＝＝5+10≥5×+10＝20，当且仅当q3＝2，即q ＝时取等号．∴S9﹣S6的最小值为20．故答案为：20．11．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，cos∠BAC＝，＝2，则•的值为﹣2．【解答】解：∵＝﹣，∴•＝（+）•，＝（+）•，＝（+﹣）（﹣），＝（+）（﹣），＝（•+﹣2），＝（3×3×+32﹣2×32），＝﹣2，故答案为：﹣2．12．（5分）过点P（﹣4，0）的直线l与圆C：（x﹣1）2+y2＝5相交于A，B两点，若点A恰好是线段PB的中点，则直线l的方程为x±3y+4＝0．【解答】解：由割线定理，可得（PC﹣）（PC+）＝P A•PB，∴20＝2P A2，∴P A2＝10设A（x，y），则（x+4）2+y2＝10，与圆C：（x﹣1）2+y2＝5，联立可得x＝﹣1，y＝±1∴直线l的方程为x±3y+4＝0．故答案为：x±3y+4＝0．13．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）＝2x+，设g（x）＝．若函数y＝g（x）﹣t有且只有一个零点，则实数t的取值范围是[﹣，]．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）＝2x+，∴f（0）＝0，即f（0）＝1+m＝0，得m＝﹣1，则f（x）＝2x﹣，则g（x）＝，则当x＞1时，函数为增函数，且当x→1时，g（x）→＝2﹣＝，当x≤1时，函数为减函数，且g（x）≥g（1）＝﹣（）＝﹣2＝﹣，由y＝g（x）﹣t＝0得g（x）＝t，作出函数g（x）和y＝t的图象如图：要使函数y＝g（x）﹣t有且只有一个零点，则函数g（x）与y＝t只有一个交点，则﹣≤t≤，故答案为：[﹣，]14．（5分）设函数y＝的图象上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（其中O为坐标原点），且斜边的中点恰好在y轴上，则实数a的取值范围是（0，]．【解答】解：假设曲线y＝f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．不妨设P（t，f（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），∵△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，∴•＝0，即﹣t2+f（t）（t3+t2）＝0（*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q．若0＜t＜e，则f（t）＝﹣t3+t2代入（*）式得：﹣t2+（﹣t3+t2）（t3+t2）＝0即t4﹣t2+1＝0，而此方程无解，因此t≥e，此时f（t）＝alnt，代入（*）式得：﹣t2+（alnt）（t3+t2）＝0，即＝（t+1）lnt（**）令h（x）＝（x+1）lnx（x≥e），则h′（x）＝lnx+1+＞0，∴h（x）在[e，+∞）上单调递增，∵t≥e∴h（t）≥h（e）＝e+1，∴h（t）的取值范围是[e+1，+∞）．∴对于0＜a≤，方程（**）总有解，即方程（*）总有解．故答案为：（0，]．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）设函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜，x∈R）的部分图象如图所示．（1）求函数y＝f（x）的解析式；（2）当x∈[﹣，]时，求f（x）的取值范围．【解答】解：（1）由图象知，A＝2，…（2分）又＝＝，ω＞0，所以T＝2π＝，得ω＝1．…（4分）所以f（x）＝2sin（x+φ），将点（，2）代入，得+φ＝2k（k∈Z），即φ＝+2kπ（k∈Z），又﹣＜φ＜，所以，φ＝．…（6分）所以f（x）＝2sin（x+）．…（8分）（2）当x∈[﹣，]时，x+∈[﹣，]，…（10分）所以sin（x+）∈[﹣，1]，即f（x）∈[﹣，2]．…（14分）16．（14分）如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面ACC1A1是正方形，点O 是侧面ACC1A1的中心，∠ACB＝，M是棱BC的中点．（1）求证：OM∥平面ABB1A1；（2）求证：平面ABC1⊥平面A1BC．【解答】证明：（1）在△A1BC中，因为O是A1C的中点，M是BC的中点，所以OM∥A1B，…（4分）又OM⊄平面ABB1A1，A1B⊂平面ABB1A1，所以OM∥平面ABB1A1．…（6分）（2）因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥底面ABC，所以CC1⊥BC，又∠ACB＝，即BC⊥AC，而CC1，AC⊂面ACC1A1，且CC1∩AC＝C，所以BC⊥面ACC1A1，…（8分）而AC1⊂面ACC1A1，所以BC⊥AC1，又ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1，而BC，A1C⊂面A1BC，且BC∩A1C＝C，所以AC1⊥面A1BC，…（12分）又AC1⊂面ABC1，所以面ABC1⊥面A1BC．…（14分）17．（14分）如图所示，A，B是两个垃圾中转站，B在A的正东方向16千米处，AB的南面为居民生活区．为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB的北面建一个垃圾发电厂P．垃圾发电厂P的选址拟满足以下两个要求（A，B，P可看成三个点）：①垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民区（这里参考的指标是点P到直线AB的距离要尽可能大）．现估测得A，B两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30吨和50吨，问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？【解答】解：由条件①，得＝＝，∵P A＝5x，∴PB＝3x，则cos∠P AB＝＝+，由同角的平方关系可得sin∠P AB＝，所以点P到直线AB的距离h＝P A sin∠P AB＝5x•＝，∵cos∠P AB≤1，∴+≤1，∴2≤x≤8，所以当x2＝34，即x＝时，h取得最大值15千米．即选址应满足P A＝5千米，PB＝3千米．18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，设点M（x0，y0）是椭圆C：+y2＝1上一点，从原点O向圆M：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2＝r2作两条切线分别与椭圆C交于点P，Q．直线OP，OQ的斜率分别记为k1，k2（1）若圆M与x轴相切于椭圆C的右焦点，求圆M的方程；（2）若r＝，①求证：k1k2＝﹣；②求OP•OQ的最大值．【解答】解：（1）椭圆C的右焦点是（，0），x＝，代入+y2＝1，可得y ＝±，∴圆M的方程：（x﹣）2+（y）2＝；（2）因为直线OP：y＝k1x，OQ：y＝k2x，与圆R相切，所以直线OP：y＝k1x与圆M：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2＝联立，可得（1+k12）x2﹣（2x0+2k1y0）x+x02+y02﹣＝0同理（1+k22）x2﹣（2x0+2k2y0）x+x02+y02﹣＝0，由判别式为0，可得k1，k2是方程（x02﹣）k2﹣2x0y0k+y02﹣＝0的两个不相等的实数根，∴k1k2＝，因为点M（x0，y0）在椭圆C上，所以y2＝1﹣，所以k1k2＝＝﹣；（3）（i）当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），因为4k1k2+1＝0，所以+1＝0，即y12y22＝x12x22，因为P（x1，y1），Q（x2，y2）在椭圆C上，所以y12y22＝（1﹣）（1﹣）＝x12x22，整理得x12+x22＝4，所以y12+y22＝1所以OP2+OQ2＝5．（ii）当直线落在坐标轴上时，显然有OP2+OQ2＝5，综上：OP2+OQ2＝5所以OP•OQ≤（OP2+OQ2）＝2.5，所以OP•OQ的最大值为2.5．19．（16分）已知函数f（x）＝在x＝0处的切线方程为y＝x．（1）求a的值；（2）若对任意的x∈（0，2），都有f（x）＜成立，求k的取值范围；（3）若函数g（x）＝lnf（x）﹣b的两个零点为x1，x2，试判断g′（）的正负，并说明理由．【解答】解：（1）函数f（x）＝的导数为f′（x）＝，在x＝0处的切线斜率为，由切线的方程y＝x，可得a＝1；（2）由题意可得x2﹣2x＜k＜+x2﹣2x在x∈（0，2）恒成立，由x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1∈（﹣1，0），可得k≥0；由h（x）＝+x2﹣2x的导数为h′（x）＝（x﹣1）（2+），可得0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）递减；1＜x＜2时，h′（x）＞0，h（x）递增．即有h（x）在x＝1处取得最小值，且为e﹣1，则k＜e﹣1．综上可得k的范围是[0，e﹣1）；（3）函数g（x）＝lnf（x）﹣b的两个零点为x1，x2，即为b＝lnx﹣x有两个零点，y＝lnx﹣x的导数为y′＝﹣1，当x＞1时，y′＜0，函数递减；0＜x＜1时，y′＞0，函数递增．即有x＝1处取得最大值，且为﹣1．画出y＝b和y＝lnx﹣x的图象，可得＞1，g（x）＝lnx﹣x﹣b的导数为g′（x）＝﹣1，g′（）＝﹣1＜0，则g′（）为负的．另解：由题意可得g（x）＝lnx﹣x﹣b，g′（x）＝﹣1＝，可得g（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，只需证＞1即可．由x1，x2为g（x）的两个零点，可得x1+b＝lnx1，x2+b＝lnx2，相减可得，x2﹣x1＝ln，令t＝＞1，则x2＝tx1，tx1﹣x1＝lnt，则x1＝，x2＝，即证lnt＞2，即证φ（t）＝lnt﹣2•＞0，φ′（t）＝﹣＝＞0，φ（t）在（1，+∞）递增，可得φ（t）＞φ（1）＝0，综上可得，g（x）满足g′（）＜0．20．（16分）设数列{a n}共有m（m≥3）项，记该数列前i项a1，a2，…a i中的最大项为A i，该数列后m﹣i项a i+1，a i+2，…，a m中的最小项为B i，r i＝A i﹣B i（i＝1，2，3，…，m﹣1）．（1）若数列{a n}的通项公式为a n＝2n，求数列{r i}的通项公式；（2）若数列{a n}满足a1＝1，r i＝﹣2，求数列{a n}的通项公式；（3）试构造一个数列{a n}，满足a n＝b n+c n，其中{b n}是公差不为零的等差数列，{c n}是等比数列，使得对于任意给定的正整数m，数列{r i}都是单调递增的，并说明理由．【解答】解：（1）因为a n＝2n单调递增，所以A i＝2i，B i＝2i+1，所以r i＝A i﹣B i＝﹣2i，1≤i≤m﹣1；（2）根据题意可知，a i≤A i，B i≤a i+1，因为r i＝A i﹣B i＝﹣2＜0，所以A i＜B i，可得a i≤A i＜B i≤a i+1，即a i＜a i+1，又因为i＝1，2，3，…，m﹣1，所以{a n}单调递增，则A i＝a i，B i＝a i+1，所以r i＝a i﹣a i+1＝﹣2，即a i+1﹣a i＝2，1≤i≤m﹣1，所以{a n}是公差为2的等差数列，a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，1≤i≤m﹣1；（3）构造a n＝n﹣（）n，其中b n＝n，c n＝﹣（）n，下证数列{a n}满足题意．证明：因为a n＝n﹣（）n，所以数列{a n}单调递增，所以A i＝a i＝i﹣（）i，B i＝a i+1＝i+1﹣（）i+1，所以r i＝a i﹣a i+1＝﹣1﹣（）i+1，1≤i≤m﹣1，因为r i+1﹣r i＝[﹣1﹣（）i+2]﹣[﹣1﹣（）i+1]＝（）i+2＞0，所以数列{r i}单调递增，满足题意．（说明：等差数列{b n}的首项b1任意，公差d为正数，同时等比数列{c n}的首项c1为负，公比q∈（0，1），这样构造的数列{a n}都满足题意．）选作题：在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内选修4-1：几何证明选讲（满分10分）21．（10分）如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点D，AC⊥CD，DE⊥AB，C、E为垂足，连接AD，BD．若AC＝4，DE＝3，求BD的长．【解答】解：因为CD与⊙O相切于点D，所以∠CDA＝∠DBA，…（2分）又因为AB为⊙O的直径，所以∠ADB＝90°．又DE⊥AB，所以△EDA∽△DBA，所以∠EDA＝∠DBA，所以∠EDA＝∠CDA．…（4分）又∠ACD＝∠AED＝90°，AD＝AD，所以△ACD≌△AED．所以AE＝AC＝4，所以AD＝5，…（6分）又＝，所以BD＝．…（10分）选修4-2：矩阵-变换22．（10分）设矩阵的一个特征值为2，若曲线C在矩阵M变换下的方程为x2+y2＝1，求曲线C的方程．【解答】解：由题意，矩阵M的特征多项式f（λ）＝（λ﹣a）（λ﹣1），因矩阵M有一个特征值为2，f（2）＝0，所以a＝2．…（4分）所以M＝＝，即，代入方程x2+y2＝1，得（2x）2+（2x+y）2＝1，即曲线C的方程为8x2+4xy+y2＝1．…（10分）选修：4-4:坐标系与参数方程23．在极坐标系中，已知点A的极坐标为（2，﹣），圆E的极坐标方程为ρ＝4cosθ+4sinθ，试判断点A和圆E的位置关系．【解答】解：∵点A的极坐标为（2，﹣），∴点A的直角坐标为（2，﹣2），…（2分）∵圆E的极坐标方程为ρ＝4cosθ+4sinθ，∴圆E的直角坐标方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝8，…（6分）则点A（2，﹣2）到圆心E（2，2）的距离d＝＝4＞r＝2，所以点A在圆E外．…（10分）选修：4-5：不等式选讲24．已知正实数a，b，c，d满足a+b+c+d＝1．求证：+++≤2．【解答】证明：运用分析法证明．要证+++≤2，由正实数a，b，c，d满足a+b+c+d＝1，即证（+++）2≤24，即有（+++）2≤4（1+2a+1+2b+1+2c+1+2d），由柯西不等式可得，上式显然成立．则原不等式成立．[必做题]（第25、26题，每小题10分，计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内）25．（10分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝2，AC＝4，AA1＝2，＝λ．（1）若λ＝1，求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；（2）若二面角B1﹣A1C1﹣D的大小为60°，求实数λ的值．【解答】解：（1）分别以AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），A1（0，0，2），B1（2，0，2），C1（0，4，2），…（2分）当λ＝1时，D为BC的中点，∴D（1，2，0），＝（1，﹣2，2），＝（0，4，0），＝（1，2，﹣2），设平面A1C1D的法向量为＝（x，y，z），则，取x＝2，得＝（2，0，1），又cos＜＞＝＝＝，∴直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值为．…（6分）（2）∵＝，∴D（，，0），∴＝（0，4，0），＝（，，﹣2），设平面A1C1D的法向量为＝（x，y，z），则，取z＝1，得＝（λ+1，0，1）．…（8分）又平面A1B1C1的一个法向量为＝（0，0，1），∵二面角B1﹣A1C1﹣D的大小为60°，∴|cos＜＞|＝||＝＝，解得或（不合题意，舍去），∴实数λ的值为．…（10分）26．（10分）设集合M＝{1，2，3，…，n}（n≥3），记M的含有三个元素的子集个数为S n，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为T n．（1）求，，，的值；（2）猜想的表达式，并证明之．【解答】解：（1）当n＝3时，M＝{1，2，3），S3＝1，T3＝2，＝2，当n＝4时，M＝{1，2，3，4），S4＝4，T4＝2+2+3+3＝10，＝，＝3，＝（2）猜想＝．下用数学归纳法证明之．证明：①当n＝3时，由（1）知猜想成立；②假设当n＝k（k≥3）时，猜想成立，即＝，而S k＝∁k3，所以得T k＝∁k3，则当n＝k+1时，易知S k+1＝C k+13，而当集合M从{1，2，3，…，k}变为{1，2，3，…，k，k+1}时，T k+1在Tk的基础上增加了1个2，2个3，3个4，…，和（k﹣1）个k，所以T k+1＝T k+2×1+3×2+4×3+…+k（k﹣1），＝∁k3+2（C22+C32+C42+…+∁k2），＝∁k3+2（C33+C32+C42+…+∁k2），＝C k+13+2C k+13，＝C k+13，＝S k+1，即＝．即所以当n＝k+1时，猜想也成立．综上所述，猜想成立．。

盐城市2016届高三年级第一学期期中考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上. 1．若集合(,]A m =-∞，{}22B x x =-<≤，且B A ⊆，则实数m 的取值范围 是 ▲ . 2．命题“(0,)2x π∀∈，sin 1x <”的否定是 ▲ 命题.（填“真”或“假”）3.设点(P m 是角α终边上一点，若cos α=，则m = ▲ . 4．函数()x f x e x =-的单调递增区间为 ▲ .5．若函数()cos f x x x =-的零点在区间(1,)k k -（k Z ∈）内，则k = ▲ . 6．设函数()lg(f x x =+是奇函数，则实数m 的值为 ▲ . 7．已知直线3x π=过函数()sin(2)f x x ϕ=+（其中22ππϕ-<<）图象上的一个最高点，则5()6f π的值为 ▲ . 8．在锐角ABC ∆中，2AB =，3BC =，ABC ∆的面积为2则AC 的长为 ▲ . 9．设向量(5cos ,4sin )OA θθ=++ ，(2,0)OB = ，则||AB的取值范围是 ▲ .10．如图，在平行四边形ABCD 中，6AB =，4AD =，点P 是DC 边的中点，则PA PB ⋅的值为 ▲ .11．若函数2()ln (2)f x x ax a x =+-+在12x =处取得极 大值，则正数a 的取值范围是 ▲ .12．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，396,,S S S 成等差数列，且252m a a a +=，PBCD 第10题图则m = ▲ .13．已知数列{}n a 的前n 项和1(1)nn S n=-⋅，若存在正整数n ，使得1()()0n n a p a p +-⋅-<成立，则实数p 的取值范围是 ▲ .14. 设函数2()||x a f x e e =-，若()f x 在区间(1,3)a --内的图象上存在两点，在这两点处的切线相互垂直，则实数a 的取值范围是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15. (本小题满分14分)已知函数2()cos cos f x x x x =-. （1）求()f x 的最小正周期； （2）若()1f x =-，求2cos(2)3x π-的值.16．(本小题满分14分)设集合{}2|230A x x x =+-<，集合{}|||1B x x a =+<.（1）若3a =，求A B ；（2）设命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，已知4A π=，a =（1）若3sin 5B =，求边c 的长； （2）若||CA CB +=CA CB ⋅ 的值.18．(本小题满分16分)如图，河的两岸分别有生活小区ABC 和DEF ，其中AB BC ⊥，EF DF ⊥，DF AB ⊥，,,C E F 三点共线，FD 与BA 的延长线交于点O ，测得3AB km =，4BC km =，94DF km =，3FE km =，32EC km =. 若以,OA OD 所在直线分别为,x y 轴建立平面直角坐标系xOy ，则河岸DE 可看成是曲线x by x a+=+（其中,a b 为常数）的一部分，河岸AC 可看成是直线y k x m =+（其中,k m 为常数）的一部分.（1）求,,,a b k m 的值；（2）现准备建一座桥MN ，其中,M N 分别在,DE AC 上，且MN AC ⊥，设点M的横坐标为t .①请写出桥MN 的长l 关于t 的函数关系式()l f t =，并注明定义域；②当t 为何值时，l 取得最小值？最小值是多少？第18题图已知函数()ln f x x =.（1）求函数()f x 的图象在1x =处的切线方程；（2）若函数()k y f x x =+在21[,)e+∞上有两个不同的零点，求实数k 的取值范围； （3）是否存在实数k ，使得对任意的1(,)2x ∈+∞，都有函数()ky f x x=+的图象在()xe g x x=的图象的下方？若存在，请求出最大整数k 的值；若不存在，请说理由.（参考数据：ln 20.6931=，121.6487e =）.20. (本小题满分16分)设各项均为正数的数列{}n a 满足nnS pn r a =+（,p r 为常数），其中n S 为数列{}n a 的前n 项和.（1）若1p =，0r =，求证：{}n a 是等差数列；（2）若13p =，12a =，求数列{}n a 的通项公式； （3）若201512015a a =，求p r ⋅的值.盐城市2016届高三年级第一学期期中考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1. [2,)+∞2. 假3.4. (0,)+∞5. 16. 17. －18.9. [4,6] 10. 7 11. (0,2) 12. 8 13. 3(1,)2-14. 11(,)22-二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．解：（1）因为1cos 2()22xf x x +=-…………2分cos 2112sin(2)2262x x x π=--=--， …………6分 所以()f x 的最小正周期为22T ππ==. …………8分 （2）因为()f x =-，所以1s i n (2)162x π--=-，即1s i n (2)62x π-=-， …………10分所以21cos 2cos (2)sin(2)32662x x x ππππ⎛⎫⎛⎫-=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. …………14分16．解：（1）解不等式2230x x +-<，得31x -<<，即()3,1A =-， ..............2分 当3a =时，由31x +<，解得42x -<<-，即集合()4,2B =--， ..............4分所以()4,A B =- ；..............6分（2）因为p 是q 成立的必要不充分条件，所以集合B 是集合A 的真子集. ...............8分 又集合()3,A =-，(1,1)B a a =---+， ..............10分所以1311a a --≥-⎧⎨-+<⎩或1311a a -->-⎧⎨-+≤⎩， ..............12分 解得02a ≤≤，即实数a 的取值范围是02a ≤≤. ...............14分17．解：（1）在ABC ∆中，因为3sin sin 5B A =<=4B A π<=， 所以4co 5B =， (2)分所以s i 2C A =+...............4分由正弦定理s in s ina c A C=，得20=，所以c =. ...............6分 （2）因C A C B +=，得2323c b b C +=①， ...............8分由余弦定理，有223cos b C c +-= ②，①＋②，得c =， ...............10分再由余弦定理，有223b c +=，解得6b c = ...............12分 所以22a b c+=，即2C π=，所以0CA CB ⋅=. ……………14分（说明：其它方法类似给分）18．解：（1）将7(0,),(3,4)4D E 两点坐标代入到x by x a+=+中，得74343bab a ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪+⎩， ……………2分 解得47a b =-⎧⎨=-⎩. …………3分再将39(,0),(,4)22A C 两点坐标代入到y kx m=+中，得302942k m k m ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， …………5分解得432k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩. …………6分（2）①由（1）知直线AC的方程为423y x =-，即436x y --=. …………7分设点M 的坐标分别为7(,)4t M t t --，则利用点到直线的距离公式，得7|436|19|49|54t t l t t --⨯-==+--， …………9分又由点,D E 向直线AC 作垂线时，垂足都在线段AC 上，所以03t ≤≤，所以19()|49|54l f t t t ==+--，03t ≤≤. …………10分② 方法一：令9()49,034g t t t t =+-≤≤-，因为2(25)(211)()(4)t t g t t --'=-， 所以由()g t '=，解得52t =或112t =（舍）， …………12分所以当5(0,)2t ∈时，()0g t '>，()g t 单调递增；当5(,3)2t ∈时，()0g t '<，()g t 单调递减.从而当52t =时，()g t 取得最大值为5()52g =-， …………14分 即当52t =时，l 取得最小值，最小值为1km . …………16分 方法二：因为03t ≤≤，所以144t ≤-≤，则999494(4)77[4(4)]444t t t t t t+-=-++=--+--- …………12分77265≤-=-⨯=-， 当且仅当94(4)4t t-=-，即52t =时取等号， …………14分即当52t =时，l取得最小值，最小值为1km . …………16分方法三：因为点M 在直线AC 的上方，所以94904t t +-<-， 所以19()(49)54l f t t t ==-+--，03t ≤≤， …………12分以下用导数法或基本不等式求其最小值（此略，类似给分）. …………16分方法四：平移直线AC 至11AC ，使得11AC 与曲线DE 相切， 则切点即为l 取得最小值时的M点. …………12分由74x y x -=-，得23(4)y x '=-，则由234(4)3k t ==-，且03t ≤≤，解得52t =， …………14分 故当52t =时，l取得最小值，最小值为1km . …………16分19. 解：（1）因为1()f x x'=，所以(1)1f '=，则所求切线的斜率为1， ……………2分 又(1)ln10f ==，故所求切线的方程为1y x =-. ................4分（2）因为()ln k kf x x x x+=+，则由题意知方程ln 0k x x +=在21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有两个不同的根.由ln 0k x x+=，得ln k x x -=， ……………6分令()ln g x x x =，则()ln 1g x x '=+，由()0g x '=，解得1x e=.当211,x e e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以当1x e=时，()g x 取值为11()g e e =-. ……………8又2212()g e e=-，(1)0g =（图象如右图所示），所以212k e e-<-≤-，解得221k e e≤<. ……………10分 （3）假设存在实数k 满足题意，则不等式ln xk e x x x+<对1(,)2x ∈+∞恒成立.即ln xk e x x <-对1(,)2x ∈+∞恒成立.令()ln x h x e x x=-，则(x h x e x '=--， ……………12分 令()ln 1xr x e x =--，则1()x r x e x'=-，因为()r x '在1(,)2+∞上单调递增，121()202r e '=-<，(1)10r e '=->，且()r x '的图象在1(,1)2上不间断，所以存在01(,1)2x ∈，使得0()0r x '=，即0010xe x -=，则00ln x x =-，所以当01(,)2x x ∈时，()r x 单调递减；当0(,)x x ∈+∞时，()r x 单调递增，则()r x 取到最小值000001()ln 11x r x e x x x =--=+-110≥=>， ……………14分 所以()0h x '>，即()h x 在区间1(,)2+∞内单调递增.所以11221111()ln ln 2 1.995252222k h e e ≤=-=+=，所以存在实数k 满足题意，且最大整数k 的值为1. ……………16分 20．解：（1）证明：由1p =，0r =，得n n S na =，所以11(1)(2)n n S n a n --=-≥，两式相减，得10(2)n n a a n --=≥，所以{}n a 是等差数列. ……………4分（2）令1n =，得1p r +=，所以23r =， ……………5分 则12()33n n S n a =+，所以1111()(2)33n n S n a n --=+≥，两式相减，得11(2)1n n a n n a n -+=≥-， ……………7分所以324123134511231n n a a a a n a a a a n -+⋅⋅=⋅⋅- ，化简得1(1)(2)12n a n n n a +=≥⋅，所以2(2n a n =+， ……………9分又12a =适合2(2)n a n n n =+≥，所以2n a n n=+. ……………10分 （3）由（2）知1r p =-，所以(1)n n S pn p a =+-，得11(12)(2)n n S pn p a n --=+-≥，两式相减，得1(1)(12)(2)n n p n a pn p a n --=+-≥，易知0p ≠，所以1(2)12(1)n n a a n pn p p n -=≥+--. ……………12分高三数学试题第11页（共4页） ①当12p =时，得1(2)1n n a a n n n -=≥-，所以201520141201520141a a a === ， 满足22015a a =； (14)分 ②当12p >时，由1(1)(12)(2)n n p n a pn p a n --=+-≥，又0n a >， 所以1(1)(2)n n p n a pna n --<≥，即1(2)1n n a a n n n -<≥-，所以2015120151a a <，不满足201512015a a =； ③当12p <且0p ≠时，类似可以证明201512015a a =也不成立； 综上所述，12p =，12r =，所以14pr =. ……………16分。