届北师大版高中数学必修二(高一)章节测试题：第一章§1.2知能演练轻松闯关

1．以下两点确定的直线的斜率不存在的是( )A ．(4,2)与(－4,1)B ．(0,3)与(3,0)C ．(3，－1)与(2，－1)D ．(－2,2)与(－2,5)解析：选D.选项D 中两点的横坐标相同，所以这两点确定的直线与x 轴垂直，因此直线的斜率不存在．2．下列叙述中不正确的是( )A ．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应B ．若直线的倾斜角为α，则必有斜率与之对应C ．每一条直线都有唯一的倾斜角与之对应D ．与x 轴垂直的直线的斜率不存在解析：选B.每一条直线都有倾斜角且倾斜角唯一，但并不是每条直线都有斜率；垂直于y 轴的直线的倾斜角为0°，垂直于x 轴的直线的倾斜角为90°；仅当倾斜角α不为90°时，直线的斜率存在，换句话说，当倾斜角为90°时，斜率不存在．故选B.3．直线l 的斜率为k ＝ln 12，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( ) A ．0°≤α≤90° B ．0°<α≤90°C ．90°≤α<180°D ．90°<α<180°解析：选D.由k ＝ln 12<0及直线倾斜角的范围是[0°，180°)，可知选D. 4．已知直线l 1的倾斜角为α，将直线l 1绕直线与x 轴的交点逆时针旋转45°，得直线l 2，则l 2的倾斜角为( )A ．α＋45°B ．α－45°C ．α－135°D ．α＋45°或α－135°解析：选D.当0°≤α＜135°时，l 2的倾斜角为α＋45°；当135°≤α＜180°时，l 2的倾斜角为：α－135°.5．如图所示，直线l 1、l 2、l 3的斜率分别是k 1、k 2、k 3，则( )A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 3＜k 1＜k 2C ．k 1＜k 3＜k 2D ．k 3＜k 2＜k 1解析：选C.由图知k 2＞k 3＞0＞k 1.6．已知直线l 的斜率k 满足－1≤k ＜1，则它的倾斜角α的取值范围是________． 解析：当0＞k ≥－1时，α∈[135°，180°)；当0≤k ＜1时，α∈[0°，45°)．答案：[0°，45°)∪[135°，180°)7．直线过l 过A ⎝⎛⎭⎫－2，⎝⎛⎭⎫t ＋1t 2，B ⎝⎛⎭⎫2，⎝⎛⎭⎫t －1t 2两点，其中t ≠0，则此直线的斜率为________，倾斜角为________．解析：k AB ＝⎝⎛⎭⎫t －1t 2－⎝⎛⎭⎫t ＋1t 22－(－2)＝－1，由tan α＝－1，得α＝135°.答案：－1 135° 8．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b的值等于________． 解析：三点共线，则k AB ＝k AC ，即22－a＝2－b 2， 整理知2a ＋2b ＝ab ，同除以ab ，有2b ＋2a＝1， ∴1a ＋1b ＝12. 答案：129．已知三点A (2,1)，B (－2，m )，C (6,8)在同一条直线上，求m 的值．解：k AB ＝m －1－2－2＝1－m 4，k AC ＝8－16－2＝74. ∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k AC ，即1－m 4＝74，∴m ＝－6. 10．已知M (2m ＋3，m )，N (m －2,1)．(1)当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为锐角？(2)当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为直角？(3)当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为钝角？解：当2m ＋3≠m －2，即m ≠－5时，k MN ＝m －1(2m ＋3)－(m －2)＝m －1m ＋5(m ≠－5)． (1)当k MN ＞0，即m －1m ＋5＞0时，解得m ＞1或m ＜－5，直线MN 的倾斜角为锐角． (2)当k MN 不存在，即m ＝－5时，直线MN 的倾斜角为直角．(3)当k MN ＜0时，解得－5＜m ＜1，直线MN 的倾斜角为钝角．1．(2013·九江同文中学期中测试)斜率为2的直线经过(3,5)、(a,7)、(－1，b )三点，则a 、b 的值是( )A ．a ＝4，b ＝0B ．a ＝－4，b ＝－3C ．a ＝4，b ＝－3D ．a ＝－4，b ＝3解析：选C.由斜率公式可得：⎩⎪⎨⎪⎧ 7－5a －3＝2b －5－1－3＝2，解得a ＝4，b ＝－3.2．已知实数x ，y 满足方程x ＋2y ＝6，当1≤x ≤3时，y －1x －2的取值范围是________． 解析：y －1x －2的几何意义是过M (x ，y )，N (2,1)两点的直线的斜率，因为点M 在函数x ＋2y ＝6的图像上，且1≤x ≤3，所以可设该线段为AB ，且A (1，52)，B ⎝⎛⎭⎫3，32，由于k NA ＝－32，k NB ＝12，所以y －1x －2的取值范围是(－∞，－32]∪[12，＋∞)． 答案：(－∞，－32]∪[12，＋∞) 3．在坐标轴上有一点B ，已知点A (3,4)，且k AB ＝2，求点B 的坐标．解：若点B 在x 轴上，设点B 的坐标为(x,0)，由题意可知4－03－x＝2，解得x ＝1，即B (1,0)． 若点B 在y 轴上，设点B 的坐标为(0，y )，由题意可知4－y 3－0＝2，解得y ＝－2，即B (0，－2)， 故点B 的坐标为(1,0)或(0，－2)．4．已知两点A (－3,4)，B (3,2)，过点P (1,0)的直线l 与线段AB 有公共点．(1)求直线l 的斜率k 的取值范围；(2)求直线l 的倾斜角α的取值范围(注：tan 135°＝－1)．解：如图所示，由题意可知k P A ＝4－0－3－1＝－1，k PB ＝2－03－1＝1. (1)要使直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．(2)由题意可知，直线l 的倾斜角介于直线PB 与P A 的倾斜角之间，又PB 的倾斜角是45°，P A 的倾斜角是135°，所以α的取值范围是[45°，135°]．。

1．(2013·焦作水平测试)经过平面外一点作与此平面垂直的平面，则这样的平面() A．只能作一个B．只能作两个C．可以作无数个D．可作一个或无数个解析：选C.过平面外一点作该平面的垂线，只能做一条，但过该直线的平面有无数个，这些平面与此平面都是垂直的，故选C.2．设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是() A．若a⊥b，a∥α，则b⊥αB．若α⊥β，a∥α，则a⊥βC．若α⊥β，a⊥β，则a∥αD．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β解析：选D.A错；B错；C错，可能aα.只有D正确．3．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β解析：选D.对于A，m∥α且m∥β而α∩β＝l，所以m∥l.因为AB∥l，所以AB∥m.对于B，因为AC⊥l，l∥m，所以AC⊥m.对于C，AB∥l，ABβ，所以AB∥β.对于D，当点C∉α时，AC不垂直于β.4．已知m、n是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面，下面说法正确的个数是()①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β②若m⊥α，n⊥α，则m∥n③若mα，nβ，且m⊥n，则α⊥βA．1 B．2C．3 D．0解析：选A.对于①，垂直于同一个平面的两平面相交或平行，故①错误；对于②，垂直于同一平面的两直线平行，故②正确；③错，故选A.5．在正四面体P-ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则下面四个结论中不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面P AEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面P AE⊥平面ABC解析：选C.可画出对应图形(图略)，则BC∥DF，又DF平面PDF，BC平面PDF，∴BC∥平面PDF，故A成立；由AE⊥BC，BC∥DF，知DF⊥AE，DF⊥PE，∴DF⊥平面P AE，故B成立；又DF平面ABC，∴平面ABC⊥平面P AE，故D成立．6．空间四边形ABCD中，若AB＝AD，BC＝CD，则AC与BD的位置关系是__________．解析：如图所示，取BD 的中点M ，连接AM ，CM ，因为AB ＝AD ，BC ＝CD ，所以AM⊥BD ，CM ⊥BD ，因此BD ⊥平面ACM ，又因为AC 平面ACM ，可得：AC ⊥BD .答案：AC ⊥BD7.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AH ⊥A 1C ，垂足为H ，则A 1H ∶HC ＝__________.解析：在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，连接AC.设AB ＝a ，则AC ＝2a ，A 1C ＝3a .∵AA 1⊥平面ABCD ，AC 平面ABCD ，∴AA 1⊥AC ，又AH ⊥A 1C ，∴A 1H AA 1＝AA 1A 1C. ∴A 1H ＝AA 21A 1C ＝a 23a ＝33a . ∴HC ＝A 1C －A 1H ＝3a －33a ＝233a ， ∴A 1H HC ＝33a 233a ＝12， 即A 1H ∶HC ＝1∶2.答案：1∶28．正四面体A -BCD 的侧面ABC 与底面BCD 所成的二面角的余弦值是__________． 解析：如图所示，设正四面体A BCD 的棱长为1，顶点A 在底面BCD 上的射影为O ，连接DO 并延长交BC 于点E ，连接AE ，则E 为BC 的中点，故AE ⊥BC ，DE ⊥BC ，所以∠AEO 为侧面ABC 与底面BCD 所成的二面角的平面角， 在Rt △AEO 中，AE ＝32， EO ＝13ED ＝13×32＝36， 则cos ∠AEO ＝EO AE ＝13. 答案：139.如图，二面角α-l -β的大小是60°，线段AB α，点B ∈l ，AB 与l 所成的角为30°，求AB 与平面β所成的角的正弦值．解：如图，作AO ⊥β于O ，AC ⊥l 于C ，连接OB 、OC ，则OC ⊥l ，设AB 与β所成的角为θ，则∠ABO ＝θ，由图得sin θ＝AO AB ＝AC AB ·AO AC ＝sin 30°·sin 60°＝34.10.如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ，点D 是AB 的中点，求证：平面CA 1D ⊥平面AA 1B 1B .证明：∵AC ＝BC ，点D 是AB 的中点，∴CD ⊥AB ，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，B 1B ⊥平面ABC ，∵CD 平面ABC ，∴CD ⊥B 1B ，又∵AB ∩B 1B ＝B ，∴CD ⊥平面AA 1B 1B ，∵CD 平面CA 1D ，∴平面CA 1D ⊥平面AA 1B 1B .1．把边长为a 的正三角形ABC 沿高线AD 折成60°的二面角，这时顶点A 到BC 的距离是( )A ．a B.32a C.34a D.154a 解析：选D.如图所示：取BC 的中点E ，连接AE ，DE ，∵BD ＝CD ＝a 2，且BD ⊥AD ，CD ⊥AD ，∴∠BDC ＝60°，且△BCD 为等边三角形，且边长为a 2，AD ⊥平面BCD . ∵△ABD ≌△ACD ，∴AB ＝AC ，∴AE ⊥BC ，∴AE 为A 到BC 的距离． ∵AD ＝32a ，DE ＝34a ，且AD ⊥DE ， ∴AE ＝AD 2＋DE 2＝ 3a 24＋316a 2＝15a 4. 即A 到BC 的距离为15a 4.2．如图所示，在五个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出l ⊥面MNP 的图形的序号是________．(写出所有符合要求的图形符号)解析：易判断①④正确．⑤中△PMN 是正三角形且AM ＝AP ＝AN ，因此三棱锥A －PMN是正三棱锥，故图⑤中l ⊥面MNP .同理可否定③，因为AM ≠AP ≠AN ，也易否定②.答案：①④⑤3.如图，在正方体ABCD A1B 1C 1D 1中，M ，N ，E 分别是棱B 1C 1，A 1D 1，D 1D 的中点．求证：A 1E ⊥平面ABMN .证明：在△AA 1N 与△A 1D 1E 中：AA 1A 1N ＝A 1D 1D 1E＝2，∠AA 1N ＝∠A 1D 1E ＝90°，所以△AA 1N ∽△A 1D 1E ，此时∠A 1AN ＝∠D 1A 1E ，∵∠A 1AN ＋∠A 1NA ＝90°，∴∠D 1A 1E ＋∠ANA 1＝90°，∴A 1E ⊥AN ，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ⊥平面A 1ADD 1，∵A 1E 平面A 1ADD 1，∴A 1E ⊥AB ，∵AN ∩AB ＝A ，AN 平面ABMN ，AB 平面ABMN ，∴A 1E ⊥平面ABMN .4．如图，P 是边长为a 的正方形所在平面ABCD 外一点，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝AB ，E 为AB 上的点．是否存在点E ，使平面PCE ⊥平面PCD ？若存在，指出点E 的位置；若不存在，请说明理由．解：存在．当E 为AB 的中点时满足要求．如图，分别取PC ，CD 的中点F ，G ，连接EF ，FG ，GE .∵CD ⊥AD ，P A ⊥CD ，P A ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面P AD ，∴CD ⊥PD .∵F ，G 分别为PC ，CD 的中点，∴FG ∥PD ，∴CD ⊥FG ，∵CD ⊥EG ，EG ∩FG ＝G ，∴CD ⊥平面EFG ，∴CD ⊥EF .∵P A＝AB＝BC，AE＝BE，∴Rt△P AE≌Rt△CBE，∴PE＝CE.又∵EF为△PEC的中线，∴EF⊥PC.∵PC∩CD＝C，∴EF⊥平面PCD.∵EF平面PCE，∴平面PCE⊥平面PCD.。

1．利用斜二测画法，下列叙述正确的是( ) A ．正三角形的直观图是正三角形 B ．平行四边形的直观图是平行四边形 C ．相等的线段在直观图中仍然相等 D ．全等三角形的直观图一定全等解析：选B.斜二测画法主要保留了原图的三个性质：①保平行；②保共点；③保平行线段的长度比，所以平行四边形的直观图是平行四边形．2．下列说法正确的个数是( ) ①三角形的直观图是三角形； ②正方形的直观图是正方形； ③菱形的直观图是菱形．A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B.斜二测画法保持平行性和相交性不变，即平行直线的直观图还是平行直线，相交直线的直观图还是相交直线，故①正确；但是斜二测画法中平行于y 轴的线段在直观图中长度为原来的一半，故正方形的直观图不是正方形，菱形的直观图也不是菱形，所以②③错．3．如图所示，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是图中的( )解析：选A.在斜二测画法所作出的图形中，O ′M ′＝2，因此在平面直角坐标系中相应的OM ＝22，选项中只有A 满足题意，故选A.4．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是( )A.1＋22B.2＋22C ．1＋ 2D ．2＋ 2解析：选D.根据平面图形斜二测直观图的画法，所求平面图形为四边形，由“横不变”知，四边形为梯形，且上底边长为1，依据直观图可求得下底边长为1＋2，由直观图的底角为45°知这个梯形为直角梯形，再由“竖取半”知，直腰长为2，∴S ＝1＋1＋22×2＝2＋ 2.5．如图所示的直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左下角而绘制的，其中正确的是( )解析：选A.由题意应看到正方体的上面、前面、和右面，由几何体直观图的画法及直观图中虚线的使用，可知A 正确．6．用斜二测画法画一个水平放置的正五边形的直观图，则得到的图形的各个角__________(填“相等”“不相等”“不全相等”)．解析：通过斜二测画法后，图形的各个角有的变大有的变小，得到的各个角不再全相等． 答案：不全相等7.如图所示，△A ′B ′C ′是△ABC 的直观图，且A ′B ′＝A ′C ′，那么△ABC 是________．解析：因为A ′B ′∥x 轴，A ′C ′∥y ′轴，所以AB ∥x 轴，AC ∥y 轴．所以在直角坐标系中，∠BAC ＝90°.又因为A ′B ′＝A ′C ′，所以AC ＝2AB . 所以△ABC 为直角三角形． 答案：直角三角形8．如图，△ O ′A ′B ′是水平放置的△OAB 的直观图，则△OAB 的面积是________．解析：按斜二测画法，将直观图中△O ′A ′B ′还原成原图形，即△OAB (如图)，则△OAB 的面积是S ＝12×6×4＝12.答案：129．画出如图中四边形OABC 的直观图(图中数据已给出)．解：以O 为原点，OB 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy ，如图所示：作∠C ′O ′B ′＝45°，其中O ′B ′是水平的，O ′B ′＝4，O ′D ′＝3，O ′C ′＝1，过D ′作∠B ′D ′A ′＝135°，使A ′D ′＝1，顺次连接O ′A ′，A ′B ′，B ′C ′，所得四边形即为四边形OABC 的直观图(如图所示)：10．画出底面边长为1.2 cm 的正方形，侧棱均相等且高为1.5 cm 的四棱锥的直观图．解：画法如下：(1)画轴，画x 轴、y 轴、z 轴，∠xOy ＝45°(或135°)，∠xOz ＝90°.(2)画底面，以O 为中心在xOy 平面内，画出正方形的直观图ABCD ，使AB ＝1.2 cm. (3)画顶点，在Oz 轴上截取OP ，使OP ＝1.5 cm.(4)成图，连结P A ，PB ，PC ，PD ，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，即得四棱锥的直观图．1.(2013·焦作水平测试)如图所示是水平放置的三角形的直观图，D 是△ABC 中BC 边的中点，那么AB ，AD ，AC 三条线段在原图形中( )A ．最长的是AB ，最短的是AC B ．最长的是AC ，最短的是AB C ．最长的是AB ，最短的是AD D ．最长的是AD ，最短的是AC解析：选C.由直观图易知AD ∥y ′轴，根据斜二测画法规则，在原图中应有AD ⊥BC ，又因为AD 为BC 边上的中线，所以△ABC 为等腰三角形，AD 为BC 边上的高，则有AB ，AC 相等且最长，AD 最短，比较各选项可知C 正确．2．如图，四边形OABC 是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，用斜二测画法，画出这个梯形的直观图O ′A ′B ′C ′，则在直观图中梯形的高为__________．解析：∵OA ＝6，CB ＝2， ∴OD ＝2.又∵∠COD ＝45°， ∴CD ＝2.梯形的直观图如图．则C ′D ′＝1，∴梯形的高C ′E ′＝22. 答案：223．画一个上、下底面边长分别为0.8 cm 、1.5 cm ，高为1.5 cm 的正三棱台的直观图． 解：(1)画轴．画x 轴、y 轴、z 轴三轴相交于O ，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°；(2)画下底面．以O 为中点，在x 轴上截取线段AB ，使AB ＝1.5 cm ，在y 轴上截取线段OC ，使OC ＝383cm ，连接BC ，CA ，则△ABC 为正三棱台的下底面；(3)画上底面．在z 轴上截取线段OO ′，使OO ′＝1.5 cm.过O ′点作O ′x ′∥Ox ，O ′y ′∥Oy .建立坐标系x ′O ′y ′，在x ′O ′y ′中，重复(2)的步骤得上底面A ′B ′C ′(取A ′B ′＝0.8 cm ，O ′C ′＝35cm)．(4)连线成图．连接AA ′，BB ′，CC ′，擦去辅助线，被遮线画为虚线，则三棱台ABC A ′B ′C ′为要求画的三棱台的直观图．4．已知如图，四边形ABCD 的面积为S ，用斜二测画法作出的直观图为四边形A ′B ′C ′D ′，面积为S ′.求S ∶S ′.解：过D ，C 分别作DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，以E 为坐标原点，AB 为x 轴，ED 为y 轴建立坐标系，如图所示：相应的直观图如下图所示：在图1中，四边形ABCD 的面积S ＝S △AOD ＋S 梯形DOFC ＋S △BFC ＝12OA ·OD ＋12(OD ＋CF )·OF＋12BF ·CF ， 在图2中，过D ′，C ′分别作D ′M ⊥A ′B ′，C ′N ⊥A ′B ′，则：D ′M ＝O ′D ′·sin 45°＝22·12OD ＝24OD ，C ′N ＝C ′F ′·sin 45°＝22·12CF ＝24CF ，此时S △A ′O ′D ′＝12A ′O ′·D ′M ′＝12A ′O ′·24OD＝28AO ·OD ， S △C ′F ′B ′＝12B ′F ′·C ′N ＝12BF ·24CF ＝28BF ·CF ，过F ′作F ′G ⊥O ′D ′于G ，则F ′G ＝O ′F ′·sin 45°＝OF ·22＝22OF ，因此：S 梯形D ′O ′F ′C ′＝12(D ′O ′＋C ′F ′)·F ′G ＝12⎝⎛⎭⎫12DO ＋12CF·22OF＝28(DO＋CF)·OF，∴四边形A′B′C′D′的面积S′＝S△A′O′D′＋S梯形D′O′F′C′＋S△C′F′B′＝28AO·OD＋28(DO＋CF)·OF＋28BF·CF＝24S，∴S∶S′＝S24S＝2 2.。

1．下列说法正确的是( ) A.y －y 1x －x 1＝k 是过点(x 1，y 1)且斜率为k 的直线 B ．在x 轴和y 轴上的截距分别是a 、b 的直线方程为x a ＋xb＝1C ．直线y ＝kx ＋b 与y 轴的交点到原点的距离为bD ．不与坐标轴平行或重合的直线方程一定可以写成两点式或斜截式解析：选D.对A ，∵y －y 1x －x 1＝k 表示的直线不包含(x 1，y 1)，∴A 错；对B ，当a 、b 为零时，不能写成x a ＋yb＝1，∴B 错；因为截距与距离不同，∴C 错；只有D 正确．2．若2x 1＋3y 1＝4,2x 2＋3y 2＝4，则过点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的直线方程为( ) A ．2x ＋3y ＝4 B ．2x －3y ＝4 C ．3x ＋2y ＝4 D ．不能确定解析：选A.由于(x 1，y 1)，(x 2，y 2)都满足2x ＋3y ＝4，故A 、B 两点都在直线2x ＋3y ＝4上，故选A.3．直线x a ＋yb＝1过一、二、三象限，则( )A ．a ＞0，b ＞0B ．a ＞0，b ＜0C ．a ＜0，b ＞0D ．a ＜0，b ＜0 解析：选C.根据截距的意义可知a ＜0，b ＞0.4．两直线x m －y n ＝1与x n －ym＝1的图像可能是( )解析：选B.两直线方程可化为y ＝n m x －n 及y ＝m n x －m ，两直线的斜率n m 与mn同号，故倾斜角同为锐角或钝角，因而A ，C ，D 不正确，选B.5．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足( ) A ．m ≠1B ．m ≠－32C ．m ≠0D ．m ≠1且m ≠－32且m ≠0解析：选A.由直线方程的一般式Ax ＋By ＋C ＝0要求A ，B 不同时为0，因此由2m 2＋m －3＝0且m 2－m ＝0，解得m ＝1，所以当m ≠1时，2m 2＋m －3与m 2－m 不同时为0，故选A.6．(2013·宜春高中质检)过点M (1,1)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是________．解析：若直线过原点，则方程为y ＝x .若直线不过原点，设x a ＋ya＝1，将M (1,1)代入得a ＝2，∴直线的方程为x ＋y ＝2.综上所述，所求直线的方程为y ＝x 或x ＋y ＝2. 答案：x －y ＝0或x ＋y －2＝07．过两点(5,7)、(1,3)的直线方程为________；若点(a,12)在此直线上，则a ＝________. 解析：由两点式求得直线方程为y ＝x ＋2，即为x －y ＋2＝0，把点(a,12)代入直线方程可求得a ＝10.答案：x －y ＋2＝0 10 8．(2013·西安交大附中月考)不论k 为何值时，直线(k －1)x ＋y －k ＋1＝0恒过定点________．解析：将直线方程整理得k (x －1)＋y －x ＋1＝0.∵k ∈R ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝0y －x ＋1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝0. 答案：(1,0)9．一条光线从点A (3,2)发出，经x 轴反射，通过点B (－1,6)，求入射光线和反射光线所在直线的方程．解：∵点A (3,2)关于x 轴的对称点为A ′(3，－2)， 由两点式，得直线A ′B 的方程为 y －6－2－6＝x ＋13－(－1) 即2x ＋y －4＝0，同理，点B 关于x 轴的对称点为B ′(－1，－6)，由两点式可得直线AB ′的方程为2x －y －4＝0，故入射光线所在直线的方程为2x －y －4＝0， 反射光线所在直线的方程为2x ＋y －4＝0.10．已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限．证明：法一：直线l 的方程可化为y －35＝a ⎝⎛⎭⎫x －15， ∴l 的斜率为a ，且过定点⎝⎛⎫15，35.而点⎝⎛⎭⎫15，35在第一象限，故l 总经过第一象限． 法二：直线l 的方程可化为(5x －1)a －(5y －3)＝0. ∵上式对任意的a 总成立，必有⎩⎪⎨⎪⎧5x －1＝05y －3＝0，即⎩⎨⎧x ＝15y ＝35，即l 过定点⎝⎛⎭⎫15，35.而点⎝⎛⎭⎫15，35在第一象限，故l 总经过第一象限．1．方程|x |＋|y |＝1所表示的图形在平面直角坐标系中所围成图形的面积是( ) A ．2 B ．1 C ．4 D. 2 解析：选A.原方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1x ≥0y ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1x ≥0y ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝1x ≤0y ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＝1，x ≤0，y ≤0.分别表示四条线段，如图，在坐标系中围成一个边长为2的正方形，故面积为2.2．在直线方程y ＝kx ＋b 中，当x ∈[－3,4]时，恰好y ∈[－8,13]，则此直线的方程为________．解析：由已知得k ≠0，当k ＞0时，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－8＝－3k ＋b ，13＝4k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3，b ＝1， 此时直线方程为y ＝3x ＋1，即3x －y ＋1＝0.当k ＜0时，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 13＝－3k ＋b ，－8＝4k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－3，b ＝4. 此时直线方程为y ＝－3x ＋4，即3x ＋y －4＝0. 综上，直线的方程为3x －y ＋1＝0或3x ＋y －4＝0. 答案：3x －y ＋1＝0或3x ＋y －4＝0.3．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．解：(1)当直线l 过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，显然相等，所以a ＝2，方程为3x ＋y ＝0；当a ≠2时，由a －2a ＋1＝a －2，解得a ＝0，所以直线l 的方程为x ＋y ＋2＝0.综上所述，所求直线l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)将直线l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，所以⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)≥0a －2≤0，解得a ≤－1，当a ＝2时，－(a ＋1)＝－3＜0，此时直线过第二象限． 综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，－1]．4．给定点B (3,2)，若A 是直线l ：y ＝3x 上位于第一象限内的一点，直线AB 与x 轴的正半轴相交于点C .试探究：△AOC 面积是否具有最小值？若有，求出点A 的坐标；若没有，请说明理由．若点A 为直线y ＝3x 上的任意一点，情况又会怎样呢？解：设A (m,3m )(m ＞0)，C (x,0)(x ＞0)，由A ，B ，C 三点共线得3m －2m －3＝2－03－x ，解得x ＝7m3m －2，∴△AOC 的面积：S ＝12x ·3m ＝21m 26m －4.即21m 2－6Sm ＋4S ＝0.若S 有最小值时，则关于m 的一元二次方程有唯一解， 故Δ＝(－6S )2－4×21×4S ＝0，解得S ＝283或S ＝0(舍去)，即△AOC 面积的最小值为283.此时m ＝43，点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，4. 若A 点是直线y ＝3x 上的任意一点，△AOC 面积不具有最小值． 因为当A 点无限地接近于原点O 时，△AOC 面积无限地接近于0.。

1．如果一个棱锥的各个侧面是等边三角形，那么这个棱锥不可能是()A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥解析：选D.若是六棱锥，各侧面顶角之和为6×60°＝360°，即各侧面就成为平面图形．2．由五个面围成的几何体是()A．三棱柱B．三棱台C．四棱锥D．不能确定解析：选D.可用排除法，三棱柱，三棱台，四棱锥都是由五个面围成的几何体，故选D.3.(2013·宜春高中质检)如图所示，在三棱台A′B′C′-ABC中，截去三棱锥A′-ABC，则剩余部分是()A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．组合体解析：选B.剩余部分是四棱锥A′BB′C′C，故选B.4．下列说法正确的是()A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥D．棱台各侧棱的延长线交于一点解析：选D.由棱柱、棱锥、棱台的定义可知D正确．5．下列四个平面图形中，每个小四边形都是正方形，其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的是()解析：选C.将四个选项的平面图形折叠，看哪一个可以复原为正方体，只有C选项中相应图形才能复原为正方体，故选C.6．用6根长度相等的木棒，最多可以搭成__________个三角形．解析：用三根木棒，摆成三角形，用另外3根木棒，分别从三角形的三个顶点向上搭起，搭成一个三棱锥，共有4个三角形．答案：47．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱的长为__________ cm.解析：由于棱柱共有10个顶点，所以该棱柱有5条侧棱，因此每条侧棱的长为60÷5＝12 cm.答案：128.如图，已知长方体ABCD A 1B 1C 1D 1，过BC 和AD 分别作一个平面交底面A 1B 1C 1D 1于EF 、PQ ，则长方体被分成的三个几何体中，棱柱的个数是________．解析：该长方体被分成的三个几何体都是棱柱，分别为三棱柱AA 1P DD 1Q ，三棱柱BB 1E CC 1F 和四棱柱ABEP DCFQ .答案：39．已知正三棱锥V ABC ，底面边长为8，侧棱长为26，计算它的高和斜高．解：如图所示，设O 是底面中心，则D 为BC 的中点．∴△VAO 和△VCD 是直角三角形． ∵底面边长为8，侧棱长为2 6.∴AO ＝33×8＝833，CD ＝4， ∴VO ＝VA 2－AO 2＝ (26)2－⎝⎛⎭⎫8332＝23 6.VD ＝VC 2－CD 2＝ (26)2－42＝2 2.即正三棱锥的高是236，斜高为2 2. 10.如图所示，在一个长方体的容器中，里面装有少量水，现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程中：(1)水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形，对吗？(2)水的形状也不断变化，可能是棱柱，也可能变为棱台或棱锥，对吗？(3)如果倾斜时，不是绕着底部的一条棱，而是绕着其底部的一个顶点，上面的第(1)和第(2)题对不对？解：(1)不对．水面的形状就是用一个与棱(将长方体倾斜时固定不动的棱)平行的平面截长方体时截面的形状，一定是矩形，不可能是其他非矩形的平行四边形．(2)不对．水的形状就是用与棱(将长方体倾斜时固定不动的棱)平行的平面将长方体截去一部分后，剩余部分的几何体，此几何体是棱柱，水比较少时，是三棱柱，水多时，可能是四棱柱或五棱柱，但不可能是棱台或棱锥．(3)用任意一个平面去截长方体，其截面形状可以是不是矩形的平行四边形，因而水面的形状可以是不是矩形的平行四边形；水的形状可以是棱锥、棱柱，但不可能是棱台．1．已知集合A ＝{棱柱}，集合B ＝{正棱柱}，集合C ＝{斜棱柱}，集合D ＝{直棱柱}，则( )A ．A CB B ．A D BC ．A CD D ．A D C解析：选B.棱柱的分类如下：．由以上分类知，应选B.2．有一枚正方体骰子，每一个面都有一个英文字母，如图所示的是从3种不同角度看同一枚骰子的情况，则与H相对的字母是__________．解析：由这三个图知，与标有S的面相邻的四个面分别标有字母H，E，O，F.翻转图(2)，使S面调整到正前面，则O为正下面，所以与H相对的字母是O.答案：O3.如图所示，有12个小正方体，每个正方体6个面上分别写着数字1、9、9、8、4、5，用这12个小正方体拼成一个长方体，那么图中看不见的那些小正方体的面有多少个，并求这些面上的数字和．解：这12个小正方体，共有面数6×12＝72个，图中看得见的面共有3＋4×4＝19个，故图中看不见的面有72－19＝53个，12个小正方体各个面的数字的和为(1＋9＋9＋8＋4＋5)×12＝432.而图中看得见的数字的和为131，所以看不见的那些小正方体的面上的数字的和为432－131＝301.4．(创新题)求函数f(x)＝x2＋4＋x2－10x＋34的最小值．解：将函数解析式化为f(x)＝x2＋22＋(x－5)2＋32，构造长方体ABCD A′B′C′D′，其中AB＝2，BC＝3，BB′＝5，E为BB′上一点，如图所示．设BE＝x，则AE＝x2＋22，EC′＝(5－x)2＋32，所以f(x)＝AE＋EC′.这样问题就转化为在长方体ABCD-A′B′C′D′的棱BB′上找一点E，使折线AEC′的长度最短，展开侧面，使AB与B′C′共面，连接AC′，可得f(x)min＝52，即函数f(x)＝x2＋4＋x2－10x＋34的最小值为5 2.。

1．若圆锥的主视图是正三角形，则它的侧面积是底面积的( ) A. 2 倍 B ．2倍 C ．3倍 D ．5倍解析：选B.设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则l ＝2r ，侧面积S 1＝πr ·l ＝2πr 2，而底面积S 2＝πr 2，故侧面积与底面积之比为S 1S 2＝2.2．(2013·吉林高一检测)已知圆锥的侧面展开图为半圆，半圆的面积为S ，则圆锥的底面面积是( )A ．2S B.S2C.2SD.22S解析：选B.设圆锥的母线长为l ，则侧面展开图半圆的半径R ＝l .∴S ＝12πR 2＝12πl 2，∴l ＝2Sπ，∴圆锥的底面周长C ＝πR ＝πl ＝2πS ，∴圆锥的底面半径r ＝C 2π＝2πS 2π＝S2π，∴圆锥的底面积为S ′＝πr 2＝S2，故选B.3.(2013·临沂高一检测)若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于( )A ．6B ．2 3 C. 3 D ．2解析：选A.由正视图可知底面边长为2，高为1，因为三棱柱底面为等边三角形，所以其侧面积S ＝6×1＝6.4．(2013·西安交大附中月考)正三棱锥的底面边长为a ，高为66a ，则三棱锥的侧面积等于( )A.34a 2B.32a 2C.334a 2D.332a 2 解析：选A.VO ＝66a ，OA ＝a 2·33＝36a ，∵VA ＝12a ，∴S 侧＝12·3a ·12a ＝34a 2，故选A.5．(2012·高考北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )A ．28＋6 5B ．30＋6 5C ．56＋12 5D ．60＋12 5解析：选B.由题中的三视图知，该三棱锥的直观图如图所示．由题中所给条件，可求得S △ABD ＝12×4×5＝10，S △ACD ＝S △BCD ＝12×4×5＝10，AC ＝BC＝41，AB ＝25，可求得△ABC 中AB 边上的高为41－5＝6，所以S △ABC ＝12×6×25＝6 5.综上可知，该三棱锥的表面积为S △ABD ＋S △ACD ＋S △BCD ＋S △ABC ＝30＋6 5. 6．若圆台的上、下底面半径和母线长的比为1∶4∶5，高为8，则其侧面积为__________． 解析：不妨设上、下底面半径和母线长分别为k 、4k 、5k (k >0)，高为8，如图：则母线l ＝(4k －k )2＋64＝9k 2＋64，可得：9k 2＋64＝5k ，解得k ＝2，∴上、下底面半径r 1＝2、r 2＝8，母线长l ＝10，因此S 圆台侧＝π(r 1＋r 2)l ＝π×10×10＝100π.答案：100π7．已知正四棱柱的高为 3 cm ，对角线长为17 cm ，则该正四棱柱的侧面积为__________．解析：设正四棱柱的底面边长为a cm ，则： 2a 2＋9＝17，∴a ＝2，∴侧面积S ＝4a ×3＝12×2＝24 cm 2. 答案：24 cm 28．长方体的高等于h ，底面积等于Q ，垂直于底面的对角面的面积等于M ，此长方体的侧面积等于________．解析：设底面两边长分别为x ，y ，则⎩⎨⎧xy ＝Qh ·x 2＋y 2＝M⇒(x ＋y )2＝x 2＋y 2＋2xy ＝(M h )2＋2Q ，S 侧＝2h (x ＋y )＝2h (Mh)2＋2Q ＝2M 2＋2h 2Q .答案：2M2＋2h2Q9．有一根长为3π cm、底面半径为1 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少？解：把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD(如图)，由题意知BC＝3πcm，AB＝4π cm，点A与点C分别是铁丝的起、止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度．AC＝AB2＋BC2＝5π cm，故铁丝的最短长度为5π cm.10．已知正三棱锥V ABC的主视图，俯视图如图所示，其中VA＝4，AC＝23，求该三棱锥的表面积．解：由主视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图，且VA＝VB＝VC＝4，AB＝BC＝AC＝23，取BC的中点D，连接VD，则VD＝VB2－BD2＝42－(3)2＝13.∴S△VBC＝12·VD·BC＝12×13×23＝39，S△ABC＝12×(23)2×32＝33，∴三棱锥V ABC的表面积为3S △VBC＋S△ABC＝339＋33＝3(39＋3)．1．底面是菱形的直棱柱，它的体对角线的长分别是9和15，高是5，则这个棱柱的侧面积是()A．130 B．140C．150 D．160解析：选D.如图，直棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1，AA 1＝BB 1＝CC 1＝DD 1＝5，BD 1＝9，A 1C ＝15，可求得AC ＝A 1C 2－AA 21＝152－52＝102，BD ＝BD 21－DD 21＝92－52＝214. 所以AB ＝BC ＝C 1B 1＝A 1B 1 ＝50＋14＝8.所以棱柱侧面积为4×5×8＝160.2．正四棱锥底面正方形边长为4 cm ，高与斜高的夹角为30°，则正四棱锥的侧面积为__________ cm 2.解析：由题意可得，高PO 与斜高PE 的夹角∠OPE ＝30°，在Rt △POE 中，OE ＝2 cm ，∠OPE ＝30°，则PE ＝OEsin 30°＝4 cm ，∴S △P AB ＝12AB ·PE ＝12×4×4＝8 cm 2，∴S 侧＝4S △P AB ＝32 cm 2. 答案：323．有一个蒙古包形状的帐篷，其形状是一个圆柱与圆锥的组合体，尺寸如下图所示，请你帮助算出要搭建这样的一个蒙古包至少需要多少平方米的篷布？(精确到0.01 m 2)解：上部分圆锥体的母线长为 1.22＋2.52，其侧面积为S 1＝π×52× 1.22＋2.52.下部分圆柱体的侧面积为S 2＝π×5×1.8. S ＝S 1＋S 2＝π×52× 1.22＋2.52＋π×5×1.8≈50.03(m 2)．所以，要搭建这样的一个蒙古包至少需要约50.03 m 2的篷布． 4．正四棱台的两底面边长分别是a 和b (a <b )．(1)若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积； (2)若正四棱台的侧面积等于两底面积之和，求它的高． 解：(1)如图所示，设O ′，O 分别为上、下底面的中心，过C 1作C 1E ⊥AC 于E ，过E 作EF ⊥BC 于F ， 连接C 1F ，则C 1F 为正四棱台的斜高． 由题意知，∠C 1CO ＝45°，所以CE ＝CO －EO ＝CO －C 1O ′＝22(b －a )．在Rt △C 1CE 中，C 1E ＝CE ＝22(b －a )，又EF ＝CE ·sin 45°＝12(b －a )，所以C 1F ＝C 1E 2＋EF 2＝32(b －a )，所以S 侧＝12(4a ＋4b )×32(b －a )＝3(b 2－a 2)，即棱台的侧面积为3(b 2－a 2)．(2)由S 侧＝a 2＋b 2，得12(4a ＋4b )·h 斜＝a 2＋b 2，所以h 斜＝a 2＋b 22(a ＋b ).又因为EF ＝b －a 2，所以h ＝h 2斜－EF 2＝ab a ＋b， 即棱台的高为aba ＋b .。

1．下列几何体是圆柱的是()解析：选B.由圆柱的结构特征：上、下底面为两个相等的圆面，可知选B.2．下列说法：①直线绕直线旋转形成柱面；②曲线平移一定形成曲面；③直角梯形绕一边旋转形成圆台；④半圆绕直径旋转形成球面．其中，正确的个数为()A．1 B．2C．3 D．0解析：选A.①错，当两直线相交时，不能形成柱面；②错，曲线平移并不一定能形成曲面；③错，若绕底边旋转，则形成的不是圆台；④对，据球面的定义知④是正确的，故选A.3．如图1所示的几何体是由图2中某个平面图形旋转得到的，则这个平面图形是()解析：选A.由旋转体的概念及结构特征可判断只有选项A中的平面图形，绕着轴线旋转才可形成图1的几何体，故选A.4．下列说法中正确的是()A．用一个平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台B．在圆锥的侧面上画出的线段只能是曲线段不能是直线段C．圆台的母线有无数条，它们都互相平行D．以一个等腰梯形上、下底的中点的连线为旋转轴，将各边旋转180°形成的曲面围成的几何体是圆台解析：选D.A不正确，因为截面与底面不一定平行；B不正确，因为所有母线都是直线段；C不正确，因为所有母线延长后相交于一点；D正确，符合圆台的结构特征．5．如图所示的平面结构，绕中间轴旋转180°，所形成几何体的形状为()A．一个球体B．一个球体中间挖去一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体解析：选B.由于外面圆旋转成球体，而中间矩形旋转形成一个圆柱．故选B.6．圆柱、圆锥和圆台过轴的截面分别是__________．解析：根据圆柱、圆锥、圆台的结构特征，得：圆柱、圆锥、圆台过轴的截面分别为矩形、等腰三角形和等腰梯形．答案：矩形、等腰三角形和等腰梯形7．球的半径有__________条，直径有__________条．解析：根据球的概念及结构特征得：球的半径、直径都有无数条．答案：无数无数8.如图所示的是某单位公章，这个几何体是由简单几何体中的__________组成的．解析：最上部为半球体，中间为圆柱，最下部为圆台．答案：半球、圆柱、圆台9．用一个平面去截一个几何体，如果截面形状是圆，你能想象出这个几何体是什么吗？解：这个几何体可能是圆柱或圆锥或圆台或球或是由这些几何体组成的简单组合体．10．如图所示的四个几何体中，哪些是圆柱与圆锥？哪些不是？并指出圆柱与圆锥的结构名称．解：由圆柱定义知③是圆柱，①不是圆柱．③圆柱OO′，其轴为OO′，底面为⊙O与⊙O′，母线为A′A、B′B等．由圆锥定义知②为圆锥，④不是圆锥．②圆锥SO，其轴为SO，底面为⊙O，母线为SA、SB等．1．(2013·焦作水平测试)有下列几种说法：①圆柱的轴是过圆柱上、下底面圆的圆心的直线；②矩形的任意一条边都可以作为轴，其他边绕其旋转围成圆柱；③矩形绕任意一条直线旋转，都可以围成圆柱．其中正确说法的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：选C.由圆柱的定义知①②均正确，③不一定围成圆柱．2．轴截面是直角三角形的圆锥的底面半径为r ，则其轴截面面积为__________．解析：由圆锥的结构特征，可知轴截面为等腰直角三角形，其高为r ，∴S ＝12×2r 2＝r 2. 答案：r 23．如图，底面直径为1，高为2的圆柱，在A 点有一只蚂蚁．现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A 点爬到B 点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？解：把圆柱的侧面沿AB 剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接AB ′，则AB ′即为蚂蚁爬行的最短距离．∵AB ＝A ′B ′＝2，AA ′为底面圆的周长，且AA ′＝π×1＝π， ∴AB ′＝A ′B ′2＋AA ′2＝4＋π2.即蚂蚁爬行的最短距离为4＋π2.4．用一张4×8(cm 2)的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，接头忽略不计，过这个圆柱的轴作一个轴截面，求这个轴截面的面积．解：设圆柱母线长为l ，底面半径为r ， 则轴截面的面积S ＝l ·2r ＝2lr ，当l ＝4 cm 时，2πr ＝8 cm ，即r ＝4πcm ， 此时S ＝2lr ＝32πcm 2； 当l ＝8 cm 时，2πr ＝4 cm ，即r ＝2πcm ， 此时S ＝2lr ＝32πcm 2， 综上可知，所得圆柱的轴截面积为32πcm 2.。

第一章 单元检测卷时间：120分钟 满分：150分一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列各角中，与26°角终边相同的角为( )A ．206°B ．－334°C .116°D ．－154°2．设a ＝sin 5π7 ，b ＝cos 2π7 ，c ＝tan 2π7，则( )A .a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC .b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜c3．定义运算a ⊗b ＝{a ，a≤b，b ，a ＞b ， 例如，1⊗2＝1，则函数f(x)＝sin x ⊗cos x 的值域为( )A .⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1 C .⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－224．已知tan α，1tan α是关于x 的方程x 2－kx ＋k 2－3＝0的两个实根，且3π＜α＜7π2，则cos α＋sin α＝( ) A . 3 B ． 2 C .－ 2 D ．－ 35．电流强度I(A )随时间t(s )变化的函数I ＝ A sin (ωt ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2 的图象如图所示，则当t ＝1100 s 时，电流强度是( ) A .－5 A B ．5 AC .5 3 AD ．10 A6．如图，已知扇形的周长为6，当该扇形的面积取最大值时，弦长AB ＝( )A .3sin 1B ．3sin 2C .3sin 1°D ．3sin 2°7．已知ω∈R ，函数f (x )＝(x －6)2·sin ωx ，存在常数a ∈R ，使得f (x ＋a )为偶函数，则ω的值可能为( )A.π2 B ．π3 C ．π4 D ．π58．设函数f (x )＝3 sin πx m，若存在x 0满足|f (x 0)|＝3 且x 20 ＋[f (x 0)]2＜m 2，则实数m 的取值范围是( )A.(－∞，－6)∪(6，＋∞)B.(－∞，－4)∪(4，＋∞)C.(－∞，－2)∪(2，＋∞)D.(－∞，－1)∪(1，＋∞)二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9．下列函数中，以π2 为周期且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2 上单调递减的是( ) A.f (x )＝|cos 2x | B ．f (x )＝|sin 2x |C.f (x )＝|tan 2x | D ．f (x )＝sin |x |10．已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π6 ，下列说法正确的是( )A.函数f (x )图象可由函数g (x )＝2cos (π3 x ＋π6 )的图象向右平移π3 个单位得到B.函数f (x )图象可由函数g (x )＝cos (π3 x －π6 )的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到C.函数f (x )图象可由函数g (x )＝2cos (πx －π6 )的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的3倍得到D.函数f (x )图象的对称轴为x ＝－1＋3k ，k ∈Z 11．下列四个结论正确的有( )A.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18 ＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10B.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π4 ＞cos ⎝⎛⎭⎪⎫－17π4 C.tan 5π9 ＞tan 17π18D.tan π5 ＞sin π512．函数f (x )＝A cos (ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )A.f (x )的最小正周期为2B.f (x )图象的一条对称轴为直线x ＝－12C.f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34 ，k ∈Z 上是减函数 D.f (x )的最大值为A三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．若点P (2m ，－3m )(m <0)在角α的终边上，则sin α＝________． 14．使得lg (cos α·sin α)有意义的角α是第________象限角． 15．声音是由物体振动而产生的声波通过介质(空气、固体或液体)传播并能被人的听觉器官所感知的波动现象．在现实生活中经常需要把两个不同的声波进行合成，这种技术被广泛运用在乐器的调音和耳机的主动降噪技术方面．(1)若甲声波的数学模型为f 1(t )＝sin 100πt ，乙声波的数学模型为f 2(t )＝cos (100πt ＋φ)(φ>0)，甲、乙声波合成后的数学模型为f (t )＝f 1(t )＋f 2(t ).要使f (t )＝0恒成立，则φ的最小值为________．(2)技术人员获取某种声波，其数学模型记为H (t )，其部分图象如图所示，对该声波进行逆向分析，发现它是由S 1，S 2两种不同的声波合成得到的，S 1，S 2的数学模型分别记为f (t )和g (t )，满足H (t )＝f (t )＋g (t ).已知S 1，S 2两种声波的数学模型源自于下列四个函数中的两个．①y ＝sin π2t; ②y ＝sin πt ；③y ＝cos 3πt; ④y ＝2cos 3πt .则S 1，S 2两种声波的数学模型分别是________．(填写序号)16．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧π2＋a |x |，x ≤－π2或x ≥π2，tan x ，－π2<x <π2， 若函数y ＝f [f (x )]－3π2有5个零点，则实数a 的取值范围是________． 四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(1)化简：sin （π＋α）·cos （π－α）·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2－αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α ；(2)求值：tan 7π4－tan2π31＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4 .18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝3sin (12 x －π4)，x ∈R .(1)列表并画出函数f (x )在一个周期内的简图；(2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到函数f (x )的图象？19．(本小题满分12分)已知函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2 )的部分图象如图所示．(1)求这个函数的解析式，并指出它的振幅和初相；(2)求函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12 上的最大值和最小值，并指出取得最值时的x 值．20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝A sin (ωx ＋π6 )(A ＞0，ω＞0)只能同时满足下列三个条件中的两个：①函数f (x )的最大值为2；②函数f (x )的图象可由y ＝2 sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4 的图象平移得到；③函数f (x )图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2 . (1)请写出这两个条件序号，并求出f (x )的解析式；(2)求方程f (x )＋1＝0在区间[－π，π]上所有解的和．21．(本小题满分12分)如图是半径为1 m 的水车截面图，在它的边缘圆周上有一动点P ，按逆时针方向以角速度π3 rad/s(每秒绕圆心转动π3 rad)做圆周运动，已知点P 的初始位置为P 0，且∠xOP 0＝π6，设点P 的纵坐标y 是转动时间t (单位：s)的函数，记为y ＝f (t ).(1)写出函数y ＝f (t )的解析式，并求f (0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 的值； (2)选用恰当的方法作出函数f (t )，0≤t ≤6的简图；(3)试比较f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫314 ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫315 的大小(直接给出大小关系，不用说明理由).22．(本小题满分12分)用“五点法”画函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)在一个周期内的图象时，列表如下：(1)求x 1，x 2，x 3的值及函数f (x )的解析式；(2)已知函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋π6 (a ＞0)，若函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，π6 上是增函数，求实数a 的最大值．第一章 单元检测卷1．答案：B解析：与26°角终边相同的角为θ＝360°·k ＋26°，k ∈Z ， 对选项A ：取θ＝360°·k ＋26°＝206°，不是整数解，排除； 对选项B ：取θ＝360°·k ＋26°＝－334°，k ＝－1，正确； 对选项C ：取θ＝360°·k ＋26°＝116°，不是整数解，排除；对选项D ：取θ＝360°·k ＋26°＝－154°，不是整数解，排除．故选B. 2．答案：D解析：a ＝sin 5π7 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π－5π7 ＝sin 2π7 .因为π4 <2π7 <π2 ，所以cos 2π7 <sin 2π7 <1<tan 2π7 ，所以b <a <c .故选D.3．答案：C 解析：根据题设中的新定义得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≤cos x ，cos x ，sin x >cos x ， 作出函数f (x )在一个周期内的图象(实线部分)，观察图象，可知函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22 .故选C.4．答案：C解析：因为tan α，1tan α是关于x 的方程x 2－kx ＋k 2－3＝0的两个实根，所以tan α＋1tan α ＝k ，tan α·1tan α ＝k 2－3＝1.又3π<α<7π2 ，所以k >0，所以k ＝2，所以tan α＝1，所以α＝3π＋π4 ，所以cos α＝－22 ，sin α＝－22，所以cos α＋sinα＝－2 .故选C.5．答案：A解析：由题图知A ＝10，T 2 ＝4300 －1300 ＝1100 ，所以T ＝150 ，所以ω＝2πT＝100π，所以I ＝10sin (100πt ＋φ).又⎝ ⎛⎭⎪⎫1300，10 在图象上，所以100π×1300 ＋φ＝π2 ＋2k π，k ∈Z .又0<φ<π2 ，所以φ＝π6 ，所以I ＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6 .当t ＝1100 s 时，I ＝－5 A ．故选A.6．答案：A解析：设扇形的圆心角为α，半径为r ，弧长为l ，则l ＋2r ＝6，l ＝6－2r ，由⎩⎪⎨⎪⎧r >0，l ＝6－2r >0， 可得0<r <3， 所以，扇形的面积为S ＝12 lr ＝(3－r )r ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫3－r ＋r 2 2 ＝94 ，当且仅当3－r ＝r ，即r ＝32时，扇形的面积S 最大，此时l ＝6－2r ＝3.因为l ＝αr ，则扇形的圆心角α＝l r ＝332＝2，取线段AB 的中点E ，由垂径定理可知OE ⊥AB ，因为OA ＝OB ，则∠AOE ＝12 ∠AOB ＝12×2＝1，所以AB ＝2AE ＝2OA sin 1＝3sin 1.故选A. 7．答案：C解析：解法一：依次代入选项的值，检验f (x ＋a )的奇偶性．故选C.解法二：f (x ＋a )＝(x ＋a －6)2·sin [ω(x ＋a )]，若f (x ＋a )为偶函数，则a ＝6且sin[ω(x ＋6)]也为偶函数(偶函数×偶函数＝偶函数)，所以6ω＝π2＋k π(k ∈Z )，当k ＝1时，ω＝π4.故选C.8．答案：C解析：x 20 ＋[f (x 0)]2＜m 2的几何意义是点(x 0，f (x 0))到原点的距离小于|m |.记函数f (x )的最小正周期为T ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫T 4 2 ＋3＜m 2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2|m |4 2 ＋3＜m 2，所以m 2＞4，所以m ＜－2或m ＞2.故选C.9．答案：BC解析：当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2 时，2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π ，由于f (x )＝cos 2x 在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2 时单调递减，且cos 2x ＜0，故f (x )＝|cos 2x |在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2 上单调递增．故A 不符合题意．而f (x )＝|sin 2x |以π2 为周期，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2 上单调递减；f (x )＝|tan 2x |的周期为π2 且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2 上单调递减，故B ，C 符合题意；f (x )＝sin |x |不是周期函数．故选BC. 10．答案：BC解析：对于A ，函数g (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6 的图象向右平移π3 个单位得到函数y ＝2cos⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋π6 ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π29＋π6 的图象，A 错误；对于B ，函数g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π6 的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π6 的图象，B 正确；对于C ，函数g (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx －π6 的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的3倍得到函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π6 的图象，C 正确；对于D ，由π3 x －π6 ＝k π，k ∈Z ，得x ＝12＋3k ，k ∈Z ，即函数f (x )图象的对称轴为x ＝12＋3k ，k ∈Z ，D 错误．故选BC. 11．答案：AD解析：函数y ＝sin x 是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0 上的增函数，0＞－π18 ＞－π10 >－π2 ，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18 ＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10 ，A 正确；cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π4 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π－π4 ＝cos π4 ，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π－π4 ＝cos π4 ，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π4 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4 ，B 不正确；函数y ＝tan x 是⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π 上的增函数，π2 ＜5π9 ＜17π18 ＜π，所以tan 5π9 ＜tan 17π18 ，C 不正确；易知在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2 上，tan x ＞x ＞sin x ，所以tan π5 ＞sin π5 ，D 正确．故选AD.12．答案：AC解析：由题图可知，函数f (x )的最小正周期T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14 ＝2，故A 正确；因为函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0 和⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0 ，所以函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝12 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋54 ＋kT 2 ＝34 ＋k (k ∈Z )，故直线x ＝－12 不是函数f (x )图象的对称轴，故B 不正确；由题图可知，当14 －T 4 ＋kT ≤x ≤14 ＋T 4 ＋kT (k ∈Z )，即2k －14 ≤x ≤2k ＋34(k ∈Z )时，f (x )是减函数，故C 正确；若A ＞0，则最大值是A ，若A ＜0，则最大值是－A ，故D 不正确．故选AC.13．答案：31313解析：如图，点P (2m ，－3m )(m <0)在第二象限，且r ＝－13 m ，故有sin α＝－3m r ＝－3m －13m＝31313 .14．答案：一或三解析：要使原式有意义，必须满足cos α·sin α＞0，即需cos α与sin α同号，所以α是第一或第三象限角．15．答案：(1)π2(2)②④解析：要使f (t )＝f 1(t )＋f 2(t )＝sin 100πt ＋cos (100πt ＋φ)＝0恒成立， 即(1－sin φ)sin 100πt ＋cos φcos 100πt ＝0对t ∈R 恒成立， 故⎩⎪⎨⎪⎧1－sin φ＝0cos φ＝0 ⇒φ＝π2 ＋2k π，又φ>0⇒φmin ＝π2 ；根据周期的计算公式，对于①②③④四个函数其周期分别为：4，2，23 ，23，由图象可知H (t )的最小正周期为2，故排除①，若③④组合，其周期为23不符合题意，故为②④组合．16．答案：(0，1]解析：设t ＝f (x )，则由y ＝f [f (x )]－3π2 ＝0得f (t )＝3π2，若a ≤0，作出函数f (x )的图象如图，当x ≥π2 或x ≤－π2 时，f (x )＝π2 ＋a |x |≤π2 ，此时f (t )＝3π2 ，无解；当－π2 <x <π2 时，由f (t )＝3π2 ，得t 只有一个解且0<t <π2，此时t ＝f (x )，最多有3个零点，不满足条件，故a ≤0，不成立；当a >0时，作出函数f (x )的图象如图，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧π2－ax ，x ≤－π2，π2＋ax ，x ≥π2，tan x ，－π2<x <π2， 则f (x )＝π2 ＋a |x |>π2，由f (t )＝3π2 ，得方程有3个不同的根，t 1<t 2<t 3，其中t 1<－π2 ，0<t 2<π2 ，t 3>π2 ，当0<t 2<π2 时，f (x )＝tan x ＝t 2，只有一个根，当t 1<－π2时，f (x )＝tan x ＝t 1，只有一个根，要使函数y ＝f [f (x )]－3π2 有5个零点，则必有f (x )＝t 3>π2，有3个零点，由π2 ＋ax ＝3π2 ，得x ＝πa ，即t 3＝πa ，此时只要π2 ＋π2 a ≤πa 即可， 得a 2＋a －2≤0，即(a ＋2)(a －1)≤0，得0<a ≤1， 则实数a 的取值范围是(0，1].17．解析：(1)原式＝－sin α·（－cos α）·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－1tan α·sin α＝sin αcos α·1tan α－1tan α·sin α ＝－cos α. (2)原式＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π4－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π31＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π3tan π4 ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋tan π31＋tan π3·tan π4＝－1＋31＋3 ＝2－3 .18．解析：(1)函数f (x )的最小正周期T ＝2π12＝4π. 列表如下：12 x －π4 0 π2 π 3π22π x π2 3π2 5π2 7π2 9π23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4 0 3 0 －3 0 描出五个关键点并用光滑的曲线连接，得到一个周期内的简图如下．(2)先把函数y ＝sin x 的图象向右平移π4个单位长度，然后把所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，即可得到函数f (x )的图象．19．解析：(1)由题图知，函数的最大值为2，最小值为－2，∴A ＝2.又∵T 4 ＝π6 －⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12 ，∴T ＝π，即2πω ＝π，∴ω＝2. ∴函数的解析式为y ＝2sin (2x ＋φ).∵函数的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2 ，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ ＝2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ ＝1.又∵0＜φ＜π2 ，∴φ＝π6 . 故函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 ，其振幅是2，初相是π6 . (2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12 ，∴2x ＋π6 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，0 .于是，当2x ＋π6 ＝0，即x ＝－π12 时，函数取得最大值，y max ＝0； 当2x ＋π6 ＝－π2 ，即x ＝－π3时，函数取得最小值，y min ＝－2. 20．解析：(1)函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6 满足的条件为①③. 理由如下：由题意可知条件①②互相矛盾，故③为函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6 满足的条件之一， 由③可知，T ＝π，所以ω＝2，故②不合题意．所以函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6 满足的条件为①③. 由①可知A ＝2，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 . (2)因为f (x )＋1＝0，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 ＝－12 ， 所以2x ＋π6 ＝－π6 ＋2k π，k ∈Z 或2x ＋π6 ＝7π6＋2k π，k ∈Z ， 即x ＝－π6 ＋k π，k ∈Z 或x ＝π2＋k π，k ∈Z ， 又x ∈[－π，π]，所以x 的取值为－π6 ，5π6 ，－π2 ，π2，所以方程f (x )＋1＝0 在区间[－π，π]上所有解的和为－π6 ＋5π6 －π2 ＋π2 ＝2π3. 21．解析：(1)由题意知函数y ＝f (t )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t ＋π6 ，t ≥0，所以f (0)＝sin π6 ＝12， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32×π3＋π6＝cos π6 ＝32. (2)根据题意列表：t0 1 52 4 112 6 π3 t ＋π6 π6 π2 π 3π2 2π 13π6y 121 0 －1 0 12 描点、连线，作出函数f (t )，0≤t ≤6的简图，如图所示．(3)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 ＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫314 ＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫315 . 22．解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧π6ω＋φ＝0，2π3ω＋φ＝π， 可得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝－π3， 由2x 1－π3 ＝π2 ，2x 2－π3 ＝3π2 ，2x 3－π3＝2π， 可得x 1＝5π12 ，x 2＝11π12 ，x 3＝7π6， 由题表知A ＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 . (2)g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋π6 ＝2sin ax (a ＞0)， 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，π6 时， ax ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2a π3，a π6 ， ∵g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，π6 上是增函数， ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2a π3，a π6 ⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π (k ∈Z )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－2a π3≥－π2＋2k π，a π6≤π2＋2k π (k ∈Z )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤34－3k ，a ≤3＋12k(k ∈Z ). ∵a ＞0，∴－14 ＜k ＜14，又k ∈Z ，∴k ＝0， ∴0＜a ≤34 ，∴实数a 的最大值为34.。

1．若两个平面互相垂直，在第一个平面内的一条直线a垂直于第二个平面内的一条直线b，那么()A．直线a垂直于第二个平面B．直线b垂直于第一个平面C．直线a不一定垂直于第二个平面D．过a的平面必垂直于过b的平面解析：选C.对于两平面，无论关系如何，在两平面内一定可以找到互相垂直的两条直线，因此直线a不一定是第二个平面的垂线，故选C.2．如果直线a与平面α不垂直，那么平面α内与直线a垂直的直线有()A．0条B．1条C．无数条D．任意条解析：选C.可构造图形，若a∥α，a′α，且a′∥a，则在平面α内有无数条直线垂直于a′，故平面α内有无数条直线垂直于直线a.3．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则()A．α∥γB．α⊥γC．α与γ相交但不垂直D．以上都有可能解析：选D.结合图形，可考虑出α与γ有以下几种情况：α∥γ或α⊥γ，也可以α与γ相交但不垂直，故选D.4．在三棱锥P ABC中，P A＝PB＝PC，且PO⊥平面ABC，O为垂足，则O是△ABC 的()A．外心B．内心C．垂心D．重心解析：选A.如图所示，可以证明Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，∴OA＝OB＝OC，即O为△ABC外接圆的圆心．故选A.5．如图(1)所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠DCB＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体A－BCD(如图(2)所示)，则在四面体A－BCD中，下列命题正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC解析：选D.因为∠BAD＝90°，所以AD⊥AB.又因为∠BCD＝45°，AB＝AD，∠BAD＝90°，AD∥BC，所以∠DBC＝45°，所以∠BDC＝90°，即BD⊥CD.而平面ABD⊥平面BCD，所以CD⊥平面ABD，所以CD⊥AB，所以AB⊥平面ACD，所以平面ABC⊥平面ADC.6.如图，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为__________．解析：△ACB，△ACO，△COB，△AOD，△BOD，△COD均为直角三角形．答案：67．已知α，β是两个平面，m，n是两条直线，给出如下四个论断：①m⊥α；②n∥β；③α⊥β；④m∥n.现以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，请写出一个正确的说法__________．解析：由m⊥α，m∥n可知n⊥α，结合n∥β可得α⊥β，应填①②④⇒③.答案：①②④⇒③8．已知P A垂直于平行四边形ABCD所在平面，若PC⊥BD，平行四边形ABCD一定是________．解析：易知，BD⊥平面P AC，∴BD⊥AC，又四边形ABCD是平行四边形，∴ABCD一定是菱形．答案：菱形9.(2013·吉林高一检测)如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，N是EC的中点，求证：平面DMN∥平面ABC.证明：∵M、N分别是EA与EC的中点，∴MN∥AC，又AC平面ABC，MN平面ABC，∴MN∥平面ABC.∵DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，∴BD∥EC，四边形BDEC为直角梯形．∵N为EC中点，EC＝2BD，∴NC BD，∴四边形BCND为矩形，∴DN∥BC，又∵DN平面ABC，BC平面ABC，∴DN∥平面ABC.又∵MN∩DN＝N，且MN、DN平面DMN，∴平面DMN∥平面ABC.10．已知：平面α⊥平面β，平面α⊥平面γ，且β∩γ＝l，求证：l⊥α.证明：法一：如图(1)，在α内任取一点P，过点P分别作β，γ与α交线的垂线，垂足分别为A，B.∵β⊥α，γ⊥α，∴P A⊥β，PB⊥γ.∴P A⊥l，PB⊥l.又∵P Aα，PBα，P A∩PB＝P，∴l⊥α.法二：如图(2)，在l上任取一点Q，作QC⊥α于C，∵β∩γ＝l，∴Q∈β.∵β⊥α，∴QCβ.同理可证QCγ.∴QC＝β∩γ.即QC与l重合，∴l⊥α.法三：如图(3)，在β，γ内分别取点M，N，过M，N分别作α，β的交线及α，γ的交线的垂线c，d，则c⊥α，d⊥α.∴c∥d.∴c∥γ.又β∩γ＝l，∴l∥c，∴l⊥α.1．(2011·高考浙江卷)下列命题中错误的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β解析：选D.两个平面α，β垂直时，设交线为l，则在平面α内与l平行的直线都平行于平面β，故A正确；如果平面α内存在直线垂直于平面β，那么由面面垂直的判定定理知α⊥β，故B正确；两个平面都与第三个平面垂直时，易证交线与第三个平面垂直，故C正确；两个平面α，β垂直时，平面α内与交线平行的直线与β平行，故D错误．2．已知a，b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a，b在α上的射影有可能是(1)两条平行直线，(2)两条互相垂直的直线，(3)同一条直线，(4)一条直线及其外一点．在上面的结论中，正确结论的编号是________．(写出所有正确结论的编号)．解析：(1)当且仅当直线垂直于平面时，直线在平面上的射影是一点．(2)当一条线在平面上的射影是一直线时，则该线必在以这条直线为交线的该平面的垂面内．对(3)，可得a、b共面，故不正确，对(1)、(2)、(3)、(4)均可想象出或画出以射影直线为交线的α的垂面或以射影点为垂足的α的垂线．(1)、(2)、(4)三种情况都有可能出现(如图)．答案：(1)(2)(4)3．如图，已知矩形ABCD，沿对角线AC将其折起，使B点在平面ACD上的射影O恰落在AD上．求证：AB⊥平面BCD.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC.∵BO⊥平面ACD，∴平面ABD⊥平面ACD.又∵CD⊥AD，∴CD ⊥平面ABD ，∴AB ⊥CD .∴由AB ⊥BC ，AB ⊥CD 可得AB ⊥平面BCD .4.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，Q为AD 的中点．(1)若P A ＝PD ，求证：平面PQB ⊥平面P AD ；(2)点M 在线段PC 上，PM ＝tPC ，试确定t 的值，使P A ∥平面MQB .解：(1)证明：连接BD ，如图．∵四边形ABCD 为菱形，∴AB ＝AD ，又∠BAD ＝60°，∴△ABD 为等边三角形．∵Q 为AD 中点，∴AD ⊥BQ .又P A ＝PD ，∴PQ ⊥AD .又BQ ∩PQ ＝Q ，∴AD ⊥平面PQB ，而AD 平面P AD ，∴平面PQB ⊥平面P AD .(2)当t ＝13时，P A ∥平面MQB . 连接AC 交BQ 于N ，由AQ ∥BC 可得，△ANQ ∽△BNC ，∴AQ BC ＝AN NC ＝12. ∵P A ∥平面MQB ，P A 平面P AC ，平面P AC ∩平面MQB ＝MN ， ∴P A ∥MN ，∴PM MC ＝12. ∴t ＝PM PC ＝13.。

1．(2013·西安交大附中月考)以点(－2，－2)为圆心，3为半径的圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋(y －2)2＝3B ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝3C ．(x －2)2＋(y －2)2＝ 3D ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝ 3解析：选B.根据圆的标准方程可得出圆的方程：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝3，故选B.2．圆(x ＋2)2＋(y －3)2＝2的圆心和半径分别是( )A ．(2，－3)， 2B ．(2，－3)，2C ．(－2,3)， 2D ．(－2,3)，2解析：选C.由圆的标准方程中a ，b ，r 的意义可知，圆心为(－2,3)，半径r ＝ 2.3．点(5a ＋1,12a )在圆(x －1)2＋y 2＝1的内部，则实数a 的取值范围是( )A ．|a |<1B ．a <113C ．|a |<15D ．|a |<113解析：选D.由(5a ＋1－1)2＋(12a )2<1，得|a |<113. 4．过点A (1，－1)，B (－1,1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4B ．(x －1)2＋(y －1)2＝4C ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4解析：选B.设圆心为(a ，b )，半径为r ，则圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －2＝0(1－a )2＋(－1－b )2＝r2(－1－a )2＋(1－b )2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1b ＝1r ＝2，故选B.5．已知动点M 到定点(8,0)的距离等于动点M 到定点(2,0)的距离的2倍，那么点M 的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2＝32B ．x 2＋y 2＝16C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．x 2＋(y －1)2＝16解析：选B.设M (x ，y )，则(x －8)2＋y 2＝2(x －2)2＋y 2，化简得x 2＋y 2＝16.6．与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝6同心且过点P (－1,1)的圆的方程是________．解析：可设方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝r 2.由点P (－1,1)在圆上得r 2＝(－1－2)2＋(1＋3)2＝25，∴所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25.答案：(x －2)2＋(y ＋3)2＝257．(2013·赣州一中质检)圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝5关于原点对称的圆的方程为________． 解析：圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝5的圆心是(2，－1)，(2，－1)关于原点对称的点的坐标是(－2,1)，故所求圆的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝5.答案：(x ＋2)2＋(y －1)2＝58．圆C ：(x －4)2＋(y －2)2＝5上各点到点P (2,2)距离的最小值为________，最大值为________．到点Q (－2,2)距离的最小值为________，最大值为________．解析：因为r ＝5，圆心坐标为C (4,2)，|PC |＝(4－2)2＋(2－2)2＝2<r ，所以点P 在圆内，圆上各点到点P 距离的最小值为5－2，最大值为5＋2；又|QC |＝(4＋2)2＋(2－2)2＝6>r ，所以点Q 在圆外，圆上各点到点Q 距离的最小值为6－5，最大值为6＋ 5.答案：5－2 5＋2 6－5 6＋ 59．已知直线l 与圆C 相交于点P (1,0)和点Q (0,1)．(1)求圆心所在的直线方程；(2)若圆C 的半径为1，求圆C 的方程．解：(1)PQ 的方程为x ＋y －1＝0.PQ 的中点为M (12，12)，k PQ ＝－1， 所以圆心所在的直线方程为y ＝x .(2)由条件设圆的方程为：(x －a )2＋(y －b )2＝1，由圆过P ，Q 点得：⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋b 2＝1(－a )2＋(1－b )2＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝1， 所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝1或(x －1)2＋(y －1)2＝1.10．如果实数x ，y 满足方程(x －3)2＋(y －4)2＝4，求x 2＋y 2的最大值与最小值． 解：设d 2＝x 2＋y 2，则x 2＋y 2的几何意义是圆上任意一点到原点距离的平方．如图所示，显然原点O 和圆心C 的连线与圆的交点到原点的距离的平方即为所求最值．又|OC |＝32＋42＝5，∴|OP 1|＝|OC |－|P 1C |＝5－2＝3，|OP 2|＝|OC |＋|CP 2|＝5＋2＝7，∴|OP 1|2＝9，|OP 2|2＝49.∴x 2＋y 2的最小值为9，最大值为49.1．设P (x ，y )是曲线x 2＋(y ＋4)2＝4上任意一点，则(x －1)2＋(y －1)2的最大值为( ) A.26＋2 B.26C ．5D ．6解析：选A.x 2＋(y ＋4)2＝4表示以C (0，－4)为圆心，2为半径的圆，式子(x －1)2＋(y －1)2表示圆上的点P (x ，y )到点A (1,1)的距离，即求P 点到A 点距离的最大值．∵A 点在圆C 外，∴|AC |＝1＋(1＋4)2＝26.∴最大值为26＋2.2．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．解析：由题意可知，圆心为(0,0)，半径为2.若圆上有四个点到直线的距离为1，则需圆心(0,0)到直线12x －5y ＋c ＝0的距离小于1，即d ＝|c |122＋52＝|c |13＜1， 得|c |＜13，所以c 的取值范围是(－13,13)．答案：(－13,13)3．求过点A (6,0)，B (1,5)，且圆心在直线l ：2x －7y ＋8＝0上的圆的方程．解：法一：直线AB 的斜率k ＝－1，所以AB 的垂直平分线m 的斜率为1，AB 的中点的横坐标和纵坐标分别为x ＝72，y ＝52. 因此直线m 的方程为y －52＝x －72，即x －y －1＝0. 又圆心在直线l 上，所以圆心是直线l 与直线m 的交点，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －1＝02x －7y ＋8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝2， 所以圆心的坐标是C (3,2)，半径r ＝|CA |＝13，所以圆的方程是(x －3)2＋(y －2)2＝13.法二：由于圆心在直线l ：2x －7y ＋8＝0上，所以可设圆心的坐标为(a ，2a ＋87)，由题意，得(a －6)2＋(2a ＋87－0)2＝(a －1)2＋(2a ＋87－5)2， 解得a ＝3，所以圆心的坐标为(3,2)，所以r 2＝(3－6)2＋(2－0)2＝13，所以所求圆的标准方程为(x －3)2＋(y －2)2＝13.4．如图，直角三角形ABC 的顶点坐标A (－2,0)，直角顶点B (0，－22)，顶点C 在x 轴上，点M 为线段AC 的中点，且M 为直角三角形ABC 外接圆的圆心．(1)求BC 边所在直线方程；(2)求圆M 的方程；(3)求圆M 关于直线l ：x －y －4＝0的对称圆M ′的方程．解：(1)∵A (－2,0)，B (0，－22)，∴k AB ＝22－2＝－ 2. ∵AB ⊥BC ，∴k BC ＝－1k AB ＝22. 又∵直线BC 过B (0，－22)，∴BC 所在直线方程为y －(－22)＝22(x －0)，即y ＝22x －2 2. (2)由(1)可得，直线BC 的方程为y ＝22x －22， 当y ＝0时，x ＝4，∴C (4,0)．∵M 为AC 中点，∴M (1,0)，∴r ＝|AM |＝3，∴圆M 的方程为(x －1)2＋y 2＝9.(3)设M ′(a ，b )，则M ′满足：⎩⎨⎧ a ＋12－b 2－4＝0b a －1×1＝－1，即：⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝7b ＝－(a －1)，解得：a ＝4，b ＝－3， ∴圆M 关于l ：x －y －4＝0的对称圆M ′为(x －4)2＋(y ＋3)2＝9.。

1．用一平面去截体积为43π的球，所得截面的面积为π，则球心到截面的距离为( ) A ．2 B. 3 C. 2 D ．1解析：选C.由已知得球的半径为R ＝3，又πr 2＝π，∴r ＝1，∴d ＝R 2－r 2＝ 2.2．(2012·高考课标全国卷)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( )A.6π B ．43πC ．46πD ．63π解析：选B.设球的半径为R ，由球的截面性质得R ＝(2)2＋12＝3，所以球的体积V ＝43πR 3＝43π. 3．(2011·高考陕西卷)某几何体的三视图如图所示，则它的体积为( )A ．8－2π3B ．8－π3C ．8－2π D.2π3解析：选A.主视图与左视图一样是边长为2的正方形，里面有两条虚线，俯视图是边长为2的正方形与直径为2的圆相切，其直观图为棱长为2的正方体中挖掉一个底面直径为2的圆锥．V 正方体＝23＝8，V 圆锥＝13πr 2·h ＝13π×2＝2π3， 由于该几何体的体积为正方体的体积与圆锥的体积之差，所以该几何体的体积为V 正方体－V 圆锥＝8－2π3，故选A. 4．如果两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( )A ．8∶27B ．2∶3C ．4∶9D ．2∶9 解析：选C.∵V 1V 2＝R 31R 32，∴⎝⎛⎭⎫R 1R 23＝827，∴R 1R 2＝23， ∴S 1S 2＝4πR 214πR 22＝⎝⎛⎭⎫R 1R 22＝⎝⎛⎭⎫232＝49，故选C. 5．已知半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为( )A.62π B.63π C.62 D.63解析：选A.设正方体棱长为a ，则球的半径R ＝a 2＋⎝⎛⎭⎫22a 2＝62a . ∴V 半球＝23π⎝⎛⎭⎫62a 3＝62πa 3， ∴V 半球∶V 正方体＝62πa 3∶a 3＝62π. 6．若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________． 解析：由题意可得球的直径d 即为正方体的体对角线，则d ＝32＋32＋32＝33，故球的表面积为S ＝4π(332)2＝27π. 答案：27π7．棱长为2的正方体内有一个球，并且该球与正方体的六个面相切，则球的体积是__________．解析：球的直径等于正方体的棱长，则球的半径为1，故球的体积为43π×13＝4π3. 答案：4π38．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为__________． 解析：设球的半径为R ，截面圆的半径为R 2－1， 截面圆的面积S ＝π(R 2－1)2＝(R 2－1)π＝π，∴R 2＝2⇒R ＝2，球的体积V ＝43πR 3＝82π3. 答案：82π39．某个几何体的三视图如图所示(单位：m)．(1)求该几何体的表面积(结果保留π)；(2)求该几何体的体积(结果保留π)．解：由三80视图可知，该几何体的下半部分是棱长为2 m 的正方体，上半部分是半径为1 m 的半球．(1)该几何体的表面积为S ＝12×4π×12＋6×22－π×12＝24＋π(m 2)． (2)该几何体的体积为V ＝23＋12×43×π×13＝8＋2π3(m 3)． 10.据说伟大的阿基米德死了以后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑．在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点是圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．试计算出图形中圆锥、球、圆柱的体积比．解：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则V 圆柱＝πr 2h .圆锥的底面半径为r ，高为h ，则V 圆锥＝13πr 2h .球的半径为r ， 所以V 球＝43πr 3.又h ＝2r ， 所以V 圆锥∶V 球∶V 圆柱＝⎝⎛⎭⎫13πr 2h ∶⎝⎛⎭⎫43πr 3∶(πr 2h ) ＝⎝⎛⎭⎫23πr 3∶⎝⎛⎭⎫43πr 3∶(2πr 3)＝1∶2∶3.1．(2011·高考湖北卷)设球的体积为V 1，它的内接正方体的体积为V 2，下列说法中最合适的是( )A ．V 1比V 2大约多一半B ．V 1比V 2大约多两倍半C ．V 1比V 2大约多一倍D ．V 1比V 2大约多一倍半解析：选D.设正方体的棱长为a ，则球的半径为32a ，得正方体的体积为a 3，球的体积为4π3⎝⎛⎭⎫32a 3＝3π2a 3.则3π2a 3－a 3≈1.7a 3.故选D. 2.圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.解析：设球的半径为r cm ，则由题意可得3V 球＋V 水＝V 柱，即3×43πr 3＋πr 2×8＝πr 2×6r ，解得r ＝4.答案：43．有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．解：设正方体的棱长为a .(1)正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面的中心，经过四个切点及球心作截面如图(1)，所以有2r 1＝a ，r 1＝a 2，所以S 1＝4πr 21＝πa 2.(2)球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图(2)，2r 2＝2a ，r 2＝22a ，所以S 2＝4πr 22＝2πa 2. (3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图(3)，所以有2r 3＝3a ，r 3＝32a ，所以S 3＝4πr 23＝3πa 2. 综上可得S 1∶S 2∶S 3＝1∶2∶3.4.高为24的四棱锥S ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S ，A ，B ，C ，D 均在半径为1的一个球面上(如图所示)，其中⊙O 1为正方形ABCD 的外接圆，⊙O 2所在的平面平行于⊙O 1所在平面．求：(1)SO 1的长度；(2)以O 为顶点，⊙O 2为底面的圆锥的表面积及体积．解：(1)由球的性质可得：O 1O ，O 2O 与⊙O 1，⊙O 2所在的平面都是垂直的． ∵四边形ABCD 为边长为1的正方形，∴BD ＝2，∴O 1B ＝12BD ＝22. 连接OB ，则△O 1OB 为Rt △，且OB ＝1，BO 1＝22，则OO 1＝OB 2－BO 21＝22.又∵四棱锥S －ABCD 的高为24，∴O 2O 1＝24，∴O 2为OO 1的中点， 连接OS ，O 2S ，∵O 2为OO 1的中点，且O 2S ⊥O 1O ，∴△O 1SO 为等腰三角形，且OS ＝SO 1，∴SO 1＝OS ＝1.(2)由(1)知OO 2＝12OO 1＝24，且OO 2⊥⊙O 2所在平面， 在Rt △OO 2S 中，OO 2＝24，OS ＝1，则O 2S ＝OS 2－OO 22＝1－216＝144，即⊙O 2的半径r ＝144.∴以O 为顶点，⊙O 2所在平面为底面的圆锥的表面积为： S ＝πrl ＋πr 2＝π×144×1＋π×78＝7＋2148π， 体积为：V ＝13πr 2·OO 2＝13π×78×24＝72π96.。

第一章 三角函数——2024-2025学年高一数学北师大版必修二单元测试一、选择题1．若角的终边上有一点,且,则( )A.4B. C.-C.-1 D.2．要得到函数的图象,只需要将函数的图象( )A.向左平移个单位长度 B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度 D.向右平移个单位长度3．函数在区间上的最小值为,则m 的最大值为( )A.B.C.D.4．已知一样本数据（如茎叶图所示）的中位数为12,若x,y 均小于4,则该样本的方差最小时,的值分别为( )A.1,3B.11,13C.2,2D.12,125．为了得到函数的图象，只需将函数的图象( )A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度6．设函数在的图象大致如图,则的最小正周期为( )α()2,P m -sin α=m =4±1±3πsin 34y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin 3y x =3π4π43π4π4()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭[]0,m 12-π6π32π3π,x y ()πsin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()cos2g x x =3π83π8π8π8()πsin (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭[]π,π-()f xA.B.C.D.7．函数的定义域是( )A. B.C. D.8．已知函数在上的大致图象如下所示，则的解析式可能为( )A. B.C. D.二、多项选择题9．要得到函数的图象,只要将函数图象上所有的点( )A.横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）,再将所得图象向左平移个单位B.横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）,再将所得图象向左平移个单位C.向左平移个单位,再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）D.向左平移个单位,再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）10π932π274π325π18()π3tan 24x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭π4x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭π2x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭π2π,2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ππ,4x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ()f x []4,4-()f x ()π31cos 42x x f x ⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭=()()21610x x f x ⋅-=()()4f x x x =⋅-()πsin4x f x x =⋅πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin y x =12π312π6π312π61210．要得到的图象，可以将函数的图象上所有的点( )A.向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍B.向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍C.横坐标缩短到原来的倍，再把所得各点向右平行移动个单位长度D.横坐标缩短到原来的倍，再把所得各点向右平行移动个单位长度12．已知则________.13．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（如图）.假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.现有一半径为2米的筒车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水筒M 距离水面的高度H（单位：米）与转动时间t （单位：秒）满足函数关系式，，且时，盛水筒M 与水面距离为2.25米，当筒车转动20秒后，盛水筒M 与水面距离为______米.sin 25y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭sin y x =5π1210π12125π1210π1sin ,3α=cos 2απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭52sin 6π04H t ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,ππ2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭0t =14．已知，则__________.四、解答题15．已知函数（1）若，，求的值域；（2）若，，都有恒成立，求a 的取值范围．16．已知函数.（1）若为偶函数,求函数的定义域;（2）若过点,设,若对任意的,,都有,求实数的取值范围.17．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图像时,列表并填入了部分数据,如表:x0200（1）请将上表数据补充完整,函数的解析式为______(直接写出结果即可);（2）求函数在区间上的最大值和最小值.()sin f x a x =0a =[]0,πx ∈()f x 0a >[]0,2x ∈π()1122f x a ≥+31cos π45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭πcos 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<()f x π1()lg 62g x fx ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()f x π,16⎛⎫ ⎪⎝⎭2()cos 2sin h x x a x =+1ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()123h x f x <+a ()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭x ωϕ+π2π3π22ππ62π3()()sin f x A x ωϕ=+()f x ()f x =()f x π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦18．已知函数.(1)求函数的单调增区间；(2)将的图像向左平移个单位得到函数，求在上的值域.19．已知函数（,且）为偶函数.（1）求a 的值;（2）若,使成立,求实数m 的取值范围.()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x ()f x 6π()g x ()g x 0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦()()2log 1x f x a x =+-0a >1a ≠[][]120,π,1,1x x ∀∈∃∈-()2112π11sin cos 24x m x f x m⎛⎫+-+-≥⎪⎝⎭参考答案1．答案：C解析：由已知,得,解得.因为所以,则.故选：C.2．答案：B解析：因为,所以要得到函数的图象,只需要将函数的图象向左平移个单位长度.3．答案：C 解析：令,,解得,,故的图象在y 轴右侧的第一条对称轴为,而,而在上的最小值为,故m 的最大值为,故选:C.4．答案：C解析：因为x,y 均小于4,由茎叶图可知,中位数为,所以,样本的平均值为,要使样本的方差最小,即使最小,又,当且仅当“”时,等号成立,所以x,y 均为2,选C.5．答案：Bsin α===1m =±sin α=0y <1m =-3ππsin 3sin 344y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦3πsin 34y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin 3y x =π4ππ2π62x k -=+k ∈Z ππ23k x =+k ∈Z ()f x π3x =()102f =-()f x []0,m 12-π2π2033⨯-=1010122x y+++=4x y +=12351010141516201010x y +++++++++++=2S 22x y +222()82x y x y ++≥=2x y ==解析：因为，所以，故为了得到的图象，只需将的图象向右平移个单位长度.故选:B.6．答案：C解析：由函数的图象,函数的最小正周期且,可排除A,D;又由,即,,若选B,则,此时,此时k 不为整数,排除B 项;若选C,则,此时,此时,排除C 项.故选：C.7．答案：C解析：由正切函数的定义域,令,,即,所以函数的定义域为.故选：C.8．答案：B解析：函数图象关于y 轴对称，函数为偶函数，选项D 中函数满足，为奇函数，排除D ；又选项C 中函数满足，与图象不符，排除C ；()3πcos 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x ()g x 3π8(2)4f =3ππ3πsin 2sin 2cos 24424πx x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()πsin (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭()f x 4π13ππ()99T <--=4π10π2(π99T <-=4π4ππ()sin()0993f ω-=--=4πππ93k ω--=k ∈Z 32π272π2716ω==4π27ππ9163k -⨯-=2π34π23ω==4π3ππ923k -⨯-=1k =-πππ242x k +≠+k ∈Z ()π2π2x k k ≠+∈Z ()π3tan 24x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭π2π,2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ππ()sin(sin ()44x xf x x x f x --=-=-=-选项A 中函数满足，与图象不符，排除A ，只有B 可选.故选：B.9．答案：BC解析：要得到函数的图象,只要将函数图象上所有的点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）,再将所得图象向左平移个单位;或者向左平移个单位,再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）.10．答案：AD解析：将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度得到，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍得到.也可以将函数的图象上所有的点横坐标缩短到原来的倍得到，再把所得各点向右平行移动个单位长度得到.故选：AD.sin y x =5πn 5si y x π-⎛⎫= ⎪⎝⎭1225sin y x π-⎛⎫= ⎪⎝⎭sin y x =2π32(1cos)4(2)32f ⨯⨯⨯+==πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin y x =12π6π31212sin2y x =10πsin210y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭5sin 2x π=-⎛⎫ ⎪⎝⎭12．答案：解析：由诱导公式可得：，故答案为：.13．答案：解析：因为时，盛水筒M 与水面距离为2.25米，所以，即，又，则，当时，.故答案为：.14．答案：解析：，故答案为：.15．答案：（1）；（2）13-1cos sin 23ααπ⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭13-140t =52.252sin 4ϕ=+1sin 2ϕ=π,π2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭5π6ϕ=t 20=5π512sin 2060644πH ⎛⎫=⨯++= ⎪⎝⎭1415-π331cos cos ππcos π4445ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦15-2⎤⎦01a <≤解析：（1）当时，，令，则，由，则，故，又，故，即的值域为；（2）令，则，当时，，，则，由，即，化简得，令，，由，故，故在上单调递增，故，解得；当时，，，故，则有，即，由，故有，，解得，综0a =()f x=t =>21cos 1cos 222sin t x xx =++-+=+=+[]0,πx ∈[]sin 0,1x∈[]22,4t ∈0t >2t ⎤∈⎦()f x 2⎤⎦0t =≥222sin t x =+[)0,πx ∈2t ⎤∈⎦22sin 2t x -=()22sin 2t f x a x a t ⎛⎫-==+ ⎪⎝⎭()1122f x a ≥+2211222t a t a ⎛⎫-+≥+ ⎪⎝⎭2310222a t t a +--≥()231222a t t g t a +--=2t ⎤∈⎦0a >10a-<()g t 2⎤⎦3120222aga ⨯-≥=1a ≤[]π,2πx ∈2t ⎤∈⎦22sin 2t x -=()22sin 2t f x a x a t ⎛⎫-==+ ⎪⎝⎭2211222t a t a ⎛⎫-+≥+ ⎪⎝⎭2110222a t t a -++-≥0a >2110222aa --≥()211220222a a -⨯++-≥1a ≤上所述，.16．答案：（1）（2）解析：（1）因为为偶函数,所以,即,因为,所以,解得:,,所以,,所以的定义域为.（2）因为过点,所以,因为,所以,所以,因为,所以,所以,又因为对任意的,,都有成立,所以,,,因为,所以,01a <≤ππππ,62x k x k k ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭Z 5544⎛⎫-⎪⎝⎭，()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<π2ϕ=()cos2f x x =π1062f x ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭π1cos 232x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭2ππ2π2π22π333k x k -<-<+k ∈Z ππππ62k x k -<<+k ∈Z ()g x ππππ,62x k x k k ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ()f x π,16⎛⎫ ⎪⎝⎭πsin 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭0πϕ<<π6ϕ=π()sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2ππ7π2666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，22π1()sin 2,162f x x ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()123h x f x <+()()12max min 3h x f x <+()1max15322h x <-+=()2222()cos 2sin sin 2sin 1sin 1h x x a x x a x x a a =+=-++=--++1ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦[]1sin 1,1x ∈-设,则有图象开口向下,对称轴为的抛物线,当时,在上单调递增,所以,所以,解得,所以;当时,在上单调递减,所以,所以,解得,故;当时,,故,解得所以,综上所述:实数a 的取值范围为.17．答案：（1）答案见解析;（2）最大值为1,最小值为.解析：（1）表格如下0200根据表格可得,,再根据五点法作图可得,,故解析式为:.[]sin ,1,1t x t =∈-()()221g t a t a =+--t a =1a ≥()g t [1,1]t ∈-()()max 12g t g a ==522a <54a <514a ≤<1a ≤-()g t [1,1]t ∈-()()max 12g t g a =-=-522a -<54a >-514a -<≤-11a -<<()()2max 1g t g a a ==+2512a +<a <<11a -<<5544⎛⎫-⎪⎝⎭，2-x ωϕ+π2π3π22πxπ12-π65π122π311π12()sin y A x ωϕ=+2-12π2ππ236ω⋅=-2ω∴=ππ262ϕ⨯+=π6ϕ∴=()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）因为,所以,得,所以,当即时,在区间上的最小值为,当即时,在区间上的最大值为1.18．答案：(1)(2)解析：(1)令，由的单调性可知，当时，即时此函数单调递增.所以函数的单调增区间为.(2)由题可得：，时，有，所以的值域为.19．答案：（1）（2）解析：（1）因为函数为偶函数,则,即,整理得,可得,结合x 的任意性可得,π02x -≤≤5πππ2666x -≤+≤π11sin 262x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭ππ262x +=-π3x =-()f x π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2-ππ266x +=0x =()f x π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,36k k ⎡⎤-++πππ⎢⎣π⎥⎦()k ∈Z 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦26z x π=+2sin y z =()2222k z k k -+≤≤+ππππ∈Z 36k x k ππ-+≤≤+ππ()k ∈Z ()f x ,36k k ⎡⎤-++πππ⎢⎣π⎥⎦()k ∈Z ()2sin 22sin 22cos 2662g x x x x ⎡⎤⎛⎫⎡⎤=++=+= ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦πππ0,3x ⎡π⎤∈⎢⎥⎣⎦2023x π≤≤()g x 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦4a =[)1,0-()f x ()()0f x f x --=()()22log 1log 10x x a x a x -⎡⎤⎡⎤+--++=⎣⎦⎣⎦222221log log log 2log 0142xxx x x x a a a a -+⎛⎫-== ⎪+⎝⎭-=14xa ⎛⎫= ⎪⎝⎭4a =此时,可得的定义域为R,符合题意,综上所述:.（2）因为,则,则,当且仅当,即时,等号成立,所以,由题意可得:,即,因为,令,则,设,可得,解得,若,可知的图象开口向上,对称轴,由题意可得,整理得,又因为,则,解得,所以实数m 的取值范围.()()()()2222log 41log 41log 2log 22x x x x x f x x -=+-=+-=+()f x 4a =[]21,1x ∈-212,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦22222x x -+≥=2222x x -=20x =()()22222log 22log 21x x f x -=+≥=211π11sin cos 124x m x m⎛⎫+-+-≥⎪⎝⎭2111sin sin 043x m x m +--≥[]10,πx ∀∈[]1sin 0,1t x =∈23104t mt m +--≥()[]21,0,143h t t mt t m =+--∈()10043h m =--≥403m -≤<403m -≤<()h t ()0,12mt =-∈223144304m m m m ⎛⎫∆=---=++≤ ⎪⎝⎭()()2140m m m +-+≥221154024m m m ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭10m +≥10m -≤<[)1,0-。

1．经过A (3,1)，B (－2,0)两点的直线与直线y ＝15x ＋1的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直C ．重合D ．不确定解析：选A.直线AB 的方程为：y －0＝1－03－(－2)·(x ＋2)，即y ＝15x ＋25.此时，两直线斜率相等，但在y 上的截距不等，故两直线平行．2．已知直线l 1的倾斜角为45°，直线l 2过点A (1,2)，B (－5，－4)，则l 1与l 2的位置关系是( )A ．平行B ．既不平行也不垂直C ．垂直D ．平行或重合解析：选D.∵kl 1＝tan 45°＝1，kl 2＝2－(－4)1－(－5)＝1， ∴kl 1＝kl 2，故选D.3．已知两条直线y ＝ax －2和y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直，则a 等于( )A ．2B ．1C ．0D ．－1解析：选D.由题意，知(a ＋2)a ＝－1⇒a 2＋2a ＋1＝(a ＋1)2＝0，∴a ＝－1.故选D.4．(2013·焦作水平测试)过点(－1,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( )A ．2x ＋y －1＝0B ．2x ＋y －5＝0C ．x ＋2y －5＝0D ．x －2y ＋7＝0解析：选A.设所求直线方程为2x ＋y ＋m ＝0，∵(－1,3)在2x ＋y ＋m ＝0上，∴－2＋3＋m ＝0，∴m ＝－1，∴所求直线为2x ＋y －1＝0，故选A.5．已知两点M (2,2)，N (5，－2)，点P 在x 轴上，且∠MPN ＝90°，则P 点的坐标为( )A ．(1,0)或(6,0)B ．(1,0)或(2,0)C ．(5,0)或(6,0)D ．(2,0)或(－2,0)解析：选A.设P (x,0)，则k PM ＝2－02－x ＝22－x， k PN ＝－2－05－x ＝2x －5， ∵PM ⊥PN ，∴22－x ·2x －5＝－1， 即x 2－7x ＋6＝0，∴x ＝1或6，即P (1,0)或(6,0)．6．已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2∶2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k ＝________. 解析：∵l 1∥l 2，∴－2(k －3)－2(k －3)(4－k )＝0，且(4－k )3＋2×1≠0，即－2(k －3)(5－k )＝0，且k ≠143，解得k ＝3或k ＝5.答案：3或57．已知矩形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A (0,1)，B (1,0)，C (3,2)，求第四个顶点D 的坐标为________．解析：设第四个顶点D 的坐标为(x ，y )，∵AD ⊥CD ，AD ∥BC ，∴k AD ·k AB ＝－1，且k AD ＝k BC .∴⎩⎪⎨⎪⎧ y －1x －0·0－11－0＝－1，y －1x －0＝2－03－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3. ∴第四个顶点D 的坐标为(2,3)．答案：(2,3)8．已知点A (0,1)，点B (x ，y )的坐标满足x ＋y ＝0，若AB ⊥OB (O 是原点)，则B 的坐标为________．解析：设B (x ，－x )，则k AB ＝1＋x －x，k OB ＝－1， ∵k AB ·k OB ＝－1，∴1＋x －x·(－1)＝－1，∴x ＝－12， ∴B (－12，12)． 答案：(－12，12) 9．求过点P (1，－1)，且与直线l 2：2x ＋3y ＋1＝0垂直的直线方程．解：设直线方程为3x －2y ＋m ＝0，将点P (1，－1)代入，得3×1－2×(－1)＋m ＝0，解得m ＝－5.所以所求直线方程为3x －2y －5＝0.10．已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0.(1)试判断l 1与l 2是否平行；(2)l 1⊥l 2时，求a 的值．解：(1)若l 1∥l 2，则⎩⎪⎨⎪⎧a (a －1)－2×1＝0，a (a 2－1)－6×1≠0. ∴a ＝－1.∴a ＝－1时，l 1∥l 2.(2)当l 2的斜率不存在时，a ＝1.则l 2：x ＝0，l 1：x ＋2y ＋6＝0.显然l 1与l 2不垂直．当l 2的斜率存在时，a ≠1.则k 2＝11－a，k 1＝－a 2. ∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝11－a·(－a 2)＝－1. ∴a ＝23.1．若点P (a ，b )与Q (b －1，a ＋1)关于直线l 对称，则l 的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．135°解析：选B.由题意知k PQ ·k l ＝－1，即k l ·a ＋1－b b －1－a ＝k l·(－1)＝－1， ∴k l ＝1，∴l 的倾斜角为45°.2．已知直线ax ＋4y －2＝0和2x －5y ＋b ＝0垂直，且同时过点A (1，m )，则a ＝________，b ＝________，m ＝________.解析：∵点A (1，m )在两直线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋4m －2＝0，①2－5m ＋b ＝0②又两直线垂直，得2a －4×5＝0，③由①②③得，a ＝10，m ＝－2，b ＝－12.答案：10 －12 －23．已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求直线l ′的方程，使l ′与l 垂直，且l ′与两坐标轴围成的三角形面积为4.解：因为l ′⊥l ，所以设直线l ′的方程为4x －3y ＋n ＝0，由y ＝0得x ＝－n 4，由x ＝0得y ＝n 3， 因为三角形的面积为4，所以12·|－n 4|·|n 3|＝4，得n 2＝96， 即n ＝±46，所以直线l ′的方程为4x －3y ±46＝0.4．点A 是x 轴上的动点，一条直线经过点M (2,3)且垂直于MA ，交y 轴于点B ，过A ，B 分别作x 轴，y 轴的垂线交于点P ，求点P 的坐标(x ，y )满足的关系式．解：如图，∵P A ⊥x 轴，点P 的坐标为(x ，y )，∴点A 的坐标为(x,0)．又∵PB ⊥y 轴，∴点B 的坐标是(0，y )．∵k MA ＝32－x(x ≠2)，k MB ＝3－y 2，且MA ⊥MB ， ∴k MA ·k MB ＝－1.∴32－x×3－y 2＝－1(x ≠2)． 化简，得2x ＋3y －13＝0(x ≠2)．当x ＝2时，根据题意易知，点P 与点M 重合，又∵M (2,3)，∴P (2,3)．经检验，(2,3)符合方程2x ＋3y －13＝0，即当x ＝2时，点P 与点M 重合，且在直线2x ＋3y －13＝0上．综上所述，点P 的坐标(x ，y )满足的条件是2x ＋3y －13＝0.。

1．直线x ＝tan 60°的倾斜角为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．不存在解析：选B.直线x ＝tan 60°＝3垂直于x 轴，故其倾斜角为90°.2．过点P (－2,0)，斜率为3的直线方程是( )A ．y ＝3x －2B ．y ＝3x ＋2C ．y ＝3(x －2)D ．y ＝3(x ＋2)解析：选D.由直线的点斜式方程得y ＝3(x ＋2)，故选D.3．直线y ＝mx －3m ＋2(m ∈R )必过定点( )A ．(3,2)B ．(－3,2)C ．(－3，－2)D ．(3，－2)解析：选A.由y ＝mx －3m ＋2可得：y －2＝m (x －3)，此直线斜率为m ，过定点(3,2)，故选A.4．直线y ＝kx ＋b (k ＋b ＝0，k ≠0)的图像是( )解析：选B.法一：因为直线方程为y ＝kx ＋b ，且k ≠0，k ＋b ＝0，即k ＝－b ，所以令y＝0时，x ＝－b k＝1，所以直线过点(1,0)． 法二：已知k ＋b ＝0，所以k ＝－b ，代入直线方程，可得y ＝－bx ＋b ，即y ＝－b (x －1)．又k ≠0，所以k ≠0，所以直线过点(1,0)．5．直线l 的斜率为k ，在x 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是( )A ．y ＝kx ＋bB ．y ＝k (x －b )C ．y ＝k (x ＋b )D ．y ＝kx －b解析：选B.由于直线l 在x 轴上的截距为b ，所以直线l 过点(b,0)，利用点斜式可得：y －0＝k (x －b )，即y ＝k (x －b )，故选B.6．若k ＞0，b ＜0，则直线y ＝kx ＋b 必不过第____象限．解析：根据直线的斜率k ＞0，直线在y 轴上的截距b ＜0，可作出如图直线，可知直线过第一、三、四象限．答案：二7．直线l 经过点P (1,2)，且与直线2x ＋3y －9＝0在y 轴上的截距相等，则直线l 的方程为________．解析：直线2x ＋3y －9＝0在y 轴上的截距等于3，即直线l 经过点M (0,3)，故直线l 的斜率k ＝3－20－1＝－1，故直线l 的方程为y ＝－x ＋3，即x ＋y －3＝0. 答案：x ＋y －3＝08．(2013·亳州调研)下列四个结论：①方程k ＝y －2x ＋1与方程y －2＝k (x ＋1)可表示同一直线； ②直线l 过点P (x 1，y 1)，倾斜角为90°，则其方程是x ＝x 1；③直线l 过点P (x 1，y 1)，斜率为0，则其方程是y ＝y 1；④所有的直线都有点斜式和斜截式方程．正确的为________．(填序号)解析：方程k ＝y －2x ＋1表示的是除去(－1,2)的直线，而y －2＝k (x ＋1)则表示了完整直线，故①错误；过P (x 1，y 1)且倾斜角为90°的直线为x ＝x 1，过P (x 1，y 1)且斜率为0的直线为y ＝y 1，故②③正确；当直线的斜率不存在时，无法写出其点斜式和斜截式方程，故④错误．答案：②③9．求经过点A (－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程．解：设直线方程为y －4＝k (x ＋3)(k ≠0)．当x ＝0时，y ＝4＋3k ；当y ＝0时，x ＝－4k－3. 由已知得4＋3k －4k－3＝12，即3k 2－11k －4＝0. 解得k ＝4或k ＝－13. ∴直线的方程为y －4＝4(x ＋3)或y －4＝－13(x ＋3)． 即4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0.10．直线l 的方程为x －2y ＋6＝0，求出直线l 的斜率以及它在x 轴、y 轴上的截距，并画出图形．解：将直线l 的方程化成斜截式为y ＝12x ＋3. 因此，直线l 的斜率k ＝12，它在y 轴上的截距是3. 在直线l 的方程x －2y ＋6＝0中，令y ＝0，得x ＝－6.即直线l 在x 轴上的截距是－6.由上面可得直线l 与x 轴、y 轴的交点分别为A (－6,0)、B (0,3)．如图，建立平面直角坐标系，过点A ，B 作直线，则得直线l 的图形．1．直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2,0)∪(0,2]D ．(－∞，＋∞)解析：选C.当x ＝0时，y ＝b 2；当y ＝0时，x ＝－b ，则三角形的面积S ＝12·|b 2|·|－b |＝b 24，由于S ≤1，所以b 24≤1，即b 2≤4，可得：－2≤b ≤2，当b ＝0时，直线与坐标轴构不成三角形，故选C.2．直线l 过点(－4，－1)，且横截距是纵截距的两倍，则直线l 的方程是________． 解析：设直线l 的方程为：y －(－1)＝k [x －(－4)](k ≠0)，即y ＝k (x ＋4)－1.当x ＝0时，y ＝4k －1.当y ＝0时，x ＝1k－4， 则有：1k －4＝2(4k －1)，解得：k ＝14或k ＝－12， ∴直线方程为y ＝14(x ＋4)－1或y ＝－12(x ＋4)－1， 即y ＝14x 或y ＝－12x －3. 答案：y ＝14x 或y ＝－12x －3 3．光线自点M (2,3)射到y 轴上的点N (0,1)后被y 轴反射，求反射光线所在直线的方程． 解：∵入射角等于反射角，入射光线经过点M 、N .且k MN ＝1，∴入射光线所在直线的倾斜角为45°.故反射光线所在直线的倾斜角为135°.因此斜率为－1，又反射光线过(0,1)点，故所求直线方程为y ＝－x ＋1.4．设k ，a 是实数，要使关于x 的方程|2x －1|＝k (x －a )＋a 对一切k ∈R 都有解，求实数a 的取值范围．解：在平面直角坐标系中分别画出y ＝|2x －1|和y ＝k (x －a )＋a 的图像，如图其中直线y ＝k (x －a )＋a 是过定点M (a ，a )，且斜率为k 的直线系，y ＝|2x －1|的图像是折线y ＝2x －1⎝⎛⎭⎫x ≥12和y ＝－2x ＋1⎝⎛⎭⎫x ＜12. 由图形的直观性可知：使原方程对于k 的一切值都有解的几何意义是直线y ＝k (x －a )＋a 绕点M (a ，a )旋转时，都与折线y ＝|2x －1|相交，点M (a ，a )必须位于过点⎝⎛⎭⎫12，0的两条射线上或射线上方．∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥2a －1，a ≥－2a ＋1， 解得13≤a ≤1. 故实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤13，1.。

1．(教材习题改编)已知两条直线m，n及平面α，则下列几个命题(1)若m∥α，n∥α，则m∥n；(2)若m∥α，m∥n，则n∥α；(3)若m∥α，则m平行于α内所有直线．其中真命题的个数是()A．0B．1C．2 D．3解析：选A.(1)中m与n相交、平行、异面均有可能；(2)中，n也可能在α内；(3)中，m也可能与α内的直线异面．故选A.2．(2013·汉中陕飞二中调研)已知b是平面α外的一条直线，下列条件可得出b∥α的是()A．b与α内的一条直线不相交B．b与α内的两条直线不相交C．b与α内的无数条直线不相交D．b与α内的所有直线不相交解析：选D.若b与α内的所有直线不相交，即b与α无公共点，故b∥α，故选D.3．已知直线a、直线b，平面α与平面β满足下列关系：a∥α，b∥α，aβ，bβ，则α与β的位置关系是()A．平行B．相交C．重合D．不能确定解析：选D.a∥α，b∥α，aβ，bβ，但是直线a与直线b的关系未确定，如果直线a 与直线b平行，那么α与β可能相交，也可能平行；如果直线a与直线b相交，那么α∥β.4．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，则能得出AB∥平面MNP的图形的序号是()A．①③B．①④C．②③D．②④解析：选B.利用线面平行的判定定理可知①④中AB∥平面MNP，易错点是误认为②中AB∥平面MNP.5．在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶2，则对角线AC和平面DEF的位置关系是()A．平行B．相交C．在平面内D．不能确定解析：选A.如图所示，由AE EB ＝CF FB，得AC ∥EF ，EF 平面DEF ，AC 平面DEF ，所以AC ∥平面DEF . 6．P 是两条异面直线a 、b 外一点，则过点P 可作__________个平面与a 、b 都平行． 解析：过点P 分别作直线a ′、b ′，使a ′∥a ，b ′∥b ，则过直线a ′和b ′有且只有一个平面α，使a ∥α且b ∥α.答案：17．已知a 、b 、c 为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，则下面三种说法①a ∥c ，b ∥c ⇒a ∥b ；②γ∥α，β∥α⇒γ∥β；③a ∥γ，α∥γ⇒a ∥α.其中正确说法的序号是__________．解析：①平行公理，故①正确．②由平面平行的传递性知②正确．③a α时，不正确． 答案：①②8．(2013·九江同文中学期中测试)完成下列证明．已知：a ∥b ，a ∩α＝A .求证：b α.证明：假设b α，因为a ∥b ，所以________或________，这与a ∩α＝A 矛盾，所以b α. 解析：在本题中，假设b α的反面成立，也即b α成立，再由a ∥b ，得到a ∥α或a α，与已知a ∩α＝A 矛盾，从而b α成立．答案：a ∥α a α9．如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，M 、N 分别为BB 1、A 1C 1的中点．求证：MN ∥平面ABC 1.证明：取AC 1的中点F ，连接BF 、NF ，在△AA 1C 1中，N 、F 是中点，∴NF 12AA 1. 又∵BM 12AA 1，∴NF BM ， 故四边形BMNF 是平行四边形，∴MN ∥BF ，而BF 平面ABC 1，MN 平面ABC 1，∴MN ∥平面ABC 1.10.如图所示，已知△ABC 和△A1B 1C 1分别在平面α和平面β内，线段AA 1，BB 1，CC 1相交于点O ，且点O 在α，β之间．若AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝60°，OA ∶OA 1＝3∶2，则当△A 1B 1C 1的面积为多少时，可以使平面α与平面β平行？解：若使平面α∥平面β，只需AC ∥A 1C 1，AB ∥A 1B 1.由空间等角定理可得∠B 1A 1C 1＝60°，且△OAC ∽△OA 1C 1，△OAB ∽△OA 1B 1.又∵OA ∶OA 1＝3∶2，∴A 1C 1＝23AC ＝23，A 1B 1＝23AB ＝43. ∵A 1C 1∶A 1B 1＝1∶2，∠B 1A 1C 1＝60°，∴△A 1C 1B 1为直角三角形，∴B 1C 1＝ ⎝⎛⎭⎫432－⎝⎛⎭⎫232＝233， ∴△A 1B 1C 1的面积为239.1．α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定α∥β的是( )A ．α，β都平行于直线aB ．α内有三个不共线的点到β的距离相等C ．l ，m 是α内的两条直线，且l ∥β，m ∥βD ．l ，m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β 解析：选D.A 显然错误；B 中的α与β可能相交，故B 错；而C 中的直线l 与m 不一定相交，故C 错．故选D.2．三棱锥S ABC 中，G 为△ABC 的重心，E 在棱SA 上，且AE ＝2ES ，则EG 与平面SBC 的关系为__________．解析：如图，取BC 中点F ，连接SF .∵G 为△ABC 的重心，∴A 、G 、F 共线且AG ＝2GF .又∵AE ＝2ES ，∴EG ∥SF .∵SF 平面SBC ，EG 平面SBC ，∴EG ∥平面SBC .答案：EG ∥平面SBC3.如图，已知正方形ABCD 和正方形ABEF 所在的平面相交于AB ，M 、N 分别是对角线AC 、BF 上的点，AM ＝FN ，且MP ∥AD 交AB 于P .求证：平面MPN ∥平面CBE .证明：∵四边形ABCD 与四边形ABEF 是正方形，AM ＝FN ，∴MC ＝NB .又∵MP ∥AD ，∴AM MC ＝AP PB ，∴BP P A ＝BN NF， ∴PN ∥AF .又∵AF ∥BE ，∴PN ∥BE .∵MP ∥BC ，MP ∩PN ＝P ，CB ∩BE ＝B ，∴平面MPN ∥平面CBE .4．已知在正方体ABCD A ′B ′C ′D ′中，M ，N 分别是A ′D ′，A ′B ′的中点，在该正方体中作出过顶点且与平面AMN 平行的平面，并证明你的结论．解：如图所示，与平面AMN 平行的平面有以下三种情况：下面以图(1)为例进行证明．∵四边形ABEM是平行四边形，∴BE∥AM.又BE平面BDE，AM平面BDE，∴AM∥平面BDE.∵MN是△A′B′D′的中位线，∴MN∥B′D′.∵四边形BDD′B′是平行四边形，∴BD∥B′D′，∴MN∥BD.又BD平面BDE，MN平面BDE，∴MN∥平面BDE.又AM、MN平面AMN，且MN∩AM＝M，∴由平面与平面平行的判定定理可得，平面AMN∥平面BDE.。

1．P∈α，P∈β，则平面α与平面β的位置关系是()A．平行B．异面C．相交D．不确定解析：选C.根据面面相交的概念可判断平面α与平面β是相交的，故选C.2．三个平面可把空间分成()A．4部分B．4或6部分C．4或6或8部分D．4或6或7或8部分解析：选D.由平面的无限延展性可知：图(1)中的三个平面把空间分成4部分；图(2)中的三个平面把空间分成6部分；图(3)中的三个平面把空间分成7部分；图(4)中的三个平面把空间分成8部分．3．异面直线是指()A．空间中两条不相交的直线B．分别位于两个不同平面内的两条直线C．平面内的一条直线与平面外的一条直线D．不同在任何一个平面内的两条直线解析：选D.对于A，空间两条不相交的直线有两种可能：一是平行(共面)，另一是异面．对于B，分别位于两个平面内的直线，既可平行也可相交也可异面，如图就是相交的情况．对于C，如图的a，b可看作是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b，显然它们是相交直线．故A、B、C错，只有D符合定义．4．以下四个命题中，正确说法的个数是()①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E 共面，则A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．A．0 B．1C．2 D．3解析：选B.①正确；②从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线，则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性；④不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上．5．在四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF与HG交于点M，则()A．M一定在直线AC上B．M一定在直线BD上C．M可能在AC上，也可能在BD上D．M不在AC上，也不在BD上解析：选A.因为E，F，G，H分别是四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上的点，EF与HG交于点M，所以点M为平面ABC与平面ACD的公共点，而两个平面的交线为AC，所以M一定在直线AC上．6.如图，点A∈α，B∉α，C∉α，则平面ABC与平面α的交点有__________个．解析：根据公理3可知平面ABC与平面α交于过A点的直线，因此平面ABC与平面α的交点有无数个．答案：无数7．(2013·宜春高中质检)给出了下列说法：(1)和直线a都相交的两条直线在同一个平面内；(2)三条两两相交的直线一定在同一个平面内；(3)有三个不同公共点的两个平面重合；(4)两两平行的三条直线确定三个平面；(5)两两相交且不过同一点的四条直线共面，其中正确说法的序号是__________．解析：和直线a都相交的两直线只要不过同一个点，所得两直线不一定相交，故(1)是错误的；当三条直线共点时，三条直线不一定在同一平面内，故(2)错误；当三个点共线时，即使两个平面有在同一条直线上三个公共点，这两个平面也不一定重合，故(3)错误；两两平行的三条直线也可以在同一平面内，故(4)错误；对于(5)可以证明，也只有(5)正确．答案：(5)8．读图①②，用符号语言表示下列图形中元素的位置关系．(1)图①可以用符号语言表示为________________________________________________________________________；(2)图②可以用符号语言表示为________________________________________________________________________．解析：结合图形语言，正确运用“∈，，∩”等符号，利用符号语言将其表示出即可．答案：(1)α∩β＝l，mα，nβ，l∩n＝P(2)α∩β＝l，m∩α＝A，m∩β＝B9．判断下列说法是否正确，并说明理由：(1)一点和一条直线确定一个平面；(2)经过同一点的两条直线确定一个平面；(3)首尾顺次相接的四条线段在同一平面内．解：(1)不正确．如果点在直线上，这时有无数个平面；如果点不在直线上，在已知直线上任取两个不同的点，由公理2知，有唯一一个平面．(2)正确．经过同一点的两条直线是相交直线，能确定一个平面．(3)不正确．四边形中三点可确定一个平面．而第四点不一定在此平面内(如图)，因此，这四条线段不一定在同一平面内．10.如图，E 、F 、G 、H 分别是空间四边形AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且直线EH 与直线FG 交于点O .求证：B 、D 、O 三点共线．证明：∵E ∈AB ，H ∈AD ，∴E ∈平面ABD ，H ∈平面ABD .∴EH 平面ABD .∵EH ∩FG ＝O ，∴O ∈平面ABD .同理O ∈平面BCD ，即O ∈平面ABD ∩平面BCD ，∴O ∈BD ，即B 、D 、O 三点共线．1．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，P 、Q 分别是棱AA 1与CC 1的中点，则经过P 、B 、Q 三点的截面是( )A ．邻边不相等的平行四边形B ．菱形但不是正方形C ．矩形D ．正方形解析：选B.如图所示，显然PB 綊D 1Q ，∴PBQD 1是平行四边形．设正方体的棱长为a ，则PB ＝BQ ＝52a ，AC ＝PQ ＝2a ， ∴PBQD 1是菱形且PB 2＋BQ 2≠PQ 2，故选B.2.如图所示是正方体的平面展开图，在这个正方体中：①BM 与ED 是异面直线；②CN 与BE 是异面直线；③DM 与AF 平行．以上三个命题中，正确的是__________(填序号)．解析：将展开图还原为正方体，易知①③正确．答案：①③ 3．如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为A 1B 1，BB 1的中点．(1)判断AM 所在的直线与平面ABCD 的位置关系；(2)判断CN 所在的直线与平面ABCD 的位置关系；(3)判断AM 所在的直线与平面CDD 1C 1的位置关系；(4)判断CN 所在的直线与平面CDD 1C 1的位置关系．解：(1)AM所在的直线与平面ABCD相交；(2)CN所在的直线与平面ABCD相交；(3)AM所在的直线与平面CDD1C1平行；(4)CN所在的直线与平面CDD1C1相交．4.如图，已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论．解：平面ABC与β的交线与l相交．证明如下：∵AB与l不平行，且ABα，lα，∴AB与l一定相交．设AB∩l＝P，则P∈AB，P∈l.又∵AB平面ABC，lβ，∴P∈平面ABC，P∈β.∴点P是平面ABC与β的一个公共点，而点C也是平面ABC与β的一个公共点，且P，C是不同的两点，∴直线PC就是平面ABC与β的交线．即平面ABC∩β＝PC，而PC∩l＝P，∴平面ABC与β的交线与l相交．。

1．在下列说法中，不正确的有( ) ①如果平面α∩平面β＝直线a ，直线b β且b 与a 没有公共点，则b ∥α；②一条直线和另一条直线平行，它就和经过另一条直线的任何平面都平行；③如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和这两个相交平面的交线平行．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选C.①正确，因为a ，b β，且a ∩b ＝∅，由平行线定义知a ∥b ，所以b ∥α；②不正确，当两条直线共面于α时，结论不成立；③正确．2．直线a ∥平面α，α内有n 条直线交于一点，那么这n 条直线中与直线a 平行的( )A ．至少有一条B ．至多有一条C ．有且只有一条D ．没有解析：选B.因为n 条直线交于一点，所以这n 条直线肯定不平行，因此至多有一条直线与a 平行．3.如图，若Ω是长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1被平面EFGH 截去几何体EFGHB 1C 1后得到的几何体，其中E 为线段A 1B 1上异于B 1的点，F 为线段BB 1上异于B 1的点，且EH ∥A 1D 1，则下列结论中不正确的是( )A ．EH ∥FGB ．四边形EFGH 是矩形C ．Ω是棱柱D ．Ω是棱台解析：选D.根据棱台的定义(侧棱延长之后，必交于一点，即棱台可以还原成棱锥)．因此，几何体Ω不是棱台，应选D.4．设m ，n 为两条不同的直线，α、β、γ为三个不同的平面，则下列四个命题中为真命题的是( )A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βC ．若m ∥α，n ∥β，m ∥n ，则α∥βD ．若α∥β，α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，则m ∥n解析：选D.A 错，m 与n 关系不确定；B 错，可能α与β相交；C 错，可能α与β相交，只有D 正确．5．两条不同的直线m ，n 和两个不同的平面α，β，给出下列命题：①⎭⎬⎫n ∥αm α⇒m ∥n ；②⎭⎬⎫m αnβ⇒m ，n 不共面；③⎭⎪⎬⎪⎫n ∥βm ∥α⇒m ∥n . 其中，错误的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．0解析：选C.①中m 与n 可能平行，也可能异面；②中可能m ∥n ；③中不知道α与β的位置关系，无法判断m 与n 的关系，故三个命题全不正确．6．已知m、n是不同的直线，α、β是不同的平面，给出下列结论：①若α∥β，mα，nβ，则m∥n；②若m、nα，m∥β，n∥β，则α∥β；③m、n是两条异面直线，若m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β.上面的结论中，正确的是__________(写出所有正确结论的序号)．解析：①m、n两条直线可能异面；②若m、n两条直线平行，则平面α、β可能相交；③正确．答案：③7．平面α∥平面β，△ABC和△A′B′C′分别在平面α和平面β内，若对应顶点的连线共点，则这两个三角形__________．解析：如图所示：根据面面平行的性质定理，可知：AB∥A′B′，BC∥B′C′，AC∥A′C′，因此△ABC∽△A′B′C′，故填“相似”．答案：相似8.空间四边形ABCD中，对角线AC＝BD＝4，E是AB中点，过E与AC、BD都平行的截面EFGH分别与BC、CD、DA交于F、G、H，则四边形EFGH的周长为________．解析：∵AC∥平面EFGH，AC平面ABC.平面ABC∩平面EFGH＝EF，∴AC∥EF，同理AC∥HG，∴EF∥HG.又∵BD∥平面EFGH，BD平面BCD，平面BCD∩平面EFGH＝FG，∴BD∥GF，同理EH∥BD，∴EH∥FG，∴EFGH为平行四边形．又∵E是AB中点，AC＝BD＝4，∴四边形EFGH为边长为2的菱形，∴四边形EFGH的周长为8.答案：89.(2013·亳州调研)如图，在四棱锥O ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，M为OA的中点，N为BC的中点．求证：直线MN∥平面OCD.证明：取OB中点E，连接ME，NE，∵ME∥AB，AB∥CD，∴ME∥CD，又∵NE∥OC，∴平面MNE∥平面OCD，又MN平面MNE，∴MN∥平面OCD.10.如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面AHGP 交平面BDM于GH .求证AP ∥GH .证明：连接AC 交BD 于O ，连接MO .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴O 是AC 的中点．又∵M 是PC 的中点，∴AP ∥OM .又∵AP 平面BDM ，OM 平面BDM ，∴AP ∥平面BDM .∵平面P AHG ∩平面BMD ＝GH ，∴根据直线和平面平行的性质定理可得AP ∥GH .1．若不在同一直线上的三点A 、B 、C 到平面α的距离相等，且A ∉α，则( )A ．α∥平面ABCB ．△ABC 中至少有一边平行于αC ．△ABC 中至多有两边平行于αD ．△ABC 中只可能有一边与α相交解析：选B.若三点在平面α的同侧，则α∥平面ABC ，有三边平行于α.若一点在平面α的一侧，另两点在平面α的另一侧，则有两边与平面α相交，有一边平行于α，故△ABC 中至少有一边平行于α.2．已知平面α∥β∥γ，两条直线l ，m 分别与平面α，β，γ相交于点A ，B ，C 和D ，E ，F ，已知AB ＝6，DE DF ＝25，则AC ＝__________. 解析：∵α∥β∥γ，∴AB BC ＝DE EF. 由DE DF ＝25，得DE EF ＝23，∴AB BC ＝23. 而AB ＝6，∴BC ＝9，∴AC ＝AB ＋BC ＝15.答案：153.如图，已知异面直线AB ，CD 都平行于平面α，且AB ，CD 在平面α的两侧，AC ∩α＝M ，BD ∩α＝N ，求证：AM MC ＝BN ND. 证明：连接AD ，设AD ∩α＝Q ，连接MQ ，NQ .因为CD ∥平面α，平面ACD ∩α＝MQ ，CD 平面ACD ，所以MQ ∥CD ，于是AM MC ＝AQ QD. 同理可证：AB ∥NQ ，则AQ QD ＝BN ND. 由AM MC ＝AQ QD ，AQ QD ＝BN ND ，得AM MC ＝BN ND.4.如图所示，α，β是两平行平面，A 、C ∈α，B 、D ∈β，且直线AC与BD 是异面直线，已知AB ＝CD ＝10，BD ＝8，AC ＝6，又直线AB ，CD 异面且成60°的角，求异面直线AC ，BD 所成的角的大小．解：设过A 、B 、C 确定的平面ABC ∩β＝BE ，则AC ∥BE ，过C 作CE ∥AB ，连接BE 、DE ，此时四边形ABEC 为平行四边形，且CE ＝AB ＝10，BE ＝AC ＝6，∵直线AB ，CD 异面且成60°的角，且CE ∥AB ，∴∠ECD ＝60°或120°，又∵AC ∥BE ，∴∠DBE 为异面直线AC ，BD 所成的角或其补角．(1)当∠ECD ＝60°时，∵CE ＝10，CD ＝10，且∠ECD ＝60°，∴△CDE 为等边三角形，∴DE ＝10.在△BDE 中，BE ＝AC ＝6，BD ＝8，DE ＝10，此时DE 2＝BE 2＋BD 2，所以∠DBE ＝90°，∴异面直线AC 、BD 所成的角为90°.(2)当∠ECD ＝120°时，在△CDE 中，CE ＝CD ＝10，∠ECD ＝120°，可求得：DE ＝10 3. 此时在△BDE 中，BE ＝6，BD ＝8，DE ＝103，但BE ＋BD <DE ，所以B 、D 、E 构不成三角形，因此，这种情况不存在．综上可得，异面直线AC ，BD 所成的角为90°.。

2021届北师大版高中数学必修二（高一）章节测试题：第二章§3知能演练轻松闯关----98108968-6ea1-11ec-95e9-7cb59b590d7d1.在空间直角坐标系中，点p(1，2，3)，过点p作平面xoy的垂线pq，则q的坐标为()a、（0,2,0）b.（0,2,3）c.（1,0,3）d.（1,2,0）解析：选d.过p作平面xoy的垂线pq，则q点的x坐标，y坐标与p点相同，q点的z坐标为0，所以q点的坐标为(1，2，0)．2.在空间直角坐标系中，点a（1，-1,1）与点B（-1，-1，-1）_______;对称（a.X轴B.Y轴C.Z轴D.原点）有关解析：选b.∵a、b两点的y坐标相同，其他两个坐标均互为相反数，∴a、b两点关于y轴对称．3.如果Z是任意实数，则点（2,2，Z）表示的图是（）A.Z轴b．与平面xoy平行的一直线c．平面xoyd、垂直于平面的直线解析：选d.(2,2，z)表示过点(2,2,0)且与z轴平行的直线，即与平面xoy垂直的直线．4．以a(1,2,1)，b(1,5,1)，c(1,2,7)为顶点的△abc的形状为()a．等腰三角形b．直角三角形c．正三角形d．等腰直角三角形解析：选b.由空间两点间的距离公式，得|ab|＝?1－1?2＋?2－5?2＋?1－1?2＝3，|bc|＝?1－1?2＋?2－5?2＋?7－1?2＝35，|ac|＝?1－1?2＋?2－2?2＋?7－1?2＝6.因为|bc|2＝|ab|2＋|ac|2，所以△ ABC是以BC为斜边的直角三角形。

5.（2022-2022）关于坐标平面YOZ对称的点m（3，-2,1）的坐标为（）A.（-3，-2,1）B.（-3,2，-1）C.（-3，-2，-1）d.（-3,2,1）解析：选a.关于yoz平面对称的两个点应该是x坐标互为相反数，y、z坐标不变，故选a.6.（赣州第一中学2022年质量检验）在空间直角坐标系中，如果a（1,0,2）、B（1，-3,1）点已知，点m在y轴上，且m到a和B的距离相等，则m的坐标为___解析：设m的坐标为(0，y,0)，由|ma|＝|mb|得(0－1)2＋(y－0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y＋3)2＋(0－1)2，整理得6y＋6＝0，∴y＝－1，即点m的坐标为(0，－1,0)．回答：（0，-1,0）7.如图所示，已知正方体abcda′b′c′d′的棱长为1，点m是棱aa′的中点，点o是对角线bd′的中点，则m点的坐标为________，点o的坐标为________．分析：根据问题建立的空间直角坐标系，立方体abcda′B′C′D′的顶点坐标分别为a（1,0,0）、B（1,1,0）、a′1,0,1和D′0,0,1。

1．(2012·高考湖南卷)某几何体的正视图和左视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是()解析：选D.对于选项A，两个圆柱的组合体符合要求；对于选项B，一个圆柱和一个正四棱柱的组合体符合要求；对于选项C，底面为等腰直角三角形的直三棱柱符合要求，故选D.2．下列说法正确的是()A．任何物体的三视图都与物体的摆放位置有关B．任何物体的三视图都与物体的摆放位置无关C．有的物体的三视图与物体的摆放位置无关D．正方体的三视图一定是三个全等的正方形解析：选C.对于A，球的三视图与物体的摆放位置无关，故A错；对于B，D，正方体的三视图与摆放位置有关，故B，D错；故选C.3．下图所示几何体的一个俯视图是下列选项中的()解析：选C.该几何体是由一个长方体和一个截去一个角的三棱柱组成的，结合轮廓线和交线知它的俯视图应为C.4．(2013·赣州一中质检)下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()A．①②B．①③C．①④D．②④解析：选D.利用排除法：正方体的三视图都是正方形，所以①不符合题意，可排除A、B、C，只能选D.5．(2011·高考江西卷)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为()解析：选D.被截去的四棱锥的三条可见侧棱中有两条为长方体的面对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面(正方形)的两条边重合，另一条为长方体的对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图及对角线方向，只有选项D符合．6．①若一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体一定是正方体；②若一个几何体的主视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体；③若一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体；④若一个几何体的主视图和左视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台．其中正确的说法是__________．解析：①不正确，因为球的三视图也完全相同．②不正确，因为一个横放在水平位置的圆柱，其主视图和俯视图都是矩形．④不正确，因为一个正四棱台的主视图和左视图也都是等腰梯形．③正确．答案：③7．如图①，直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，主视图和俯视图如图②所示，则其左视图的面积为__________．解析：左视图为矩形，边长如图，所以其面积为2 3.答案：2 38．如图所示，(1)(2)(3)是图(4)所表示的几何体的三视图，其中，图(1)是______，图(2)是________，图(3)是________．(说出视图的名称)解析：根据三视图的特点：主俯一样长，主左一样高，俯左一样宽可知．答案：主视图俯视图左视图9．根据图中所给出的一个物体的三视图，试画出它的形状．解：对应的几何体是一个正六棱锥，其所对应的空间几何体的图形为：10．根据如图所示的几何体的组合体，画出它的三视图．解：这个组合体的三视图如图所示：1．(2012·高考陕西卷)将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为()解析：选B.左视图中能够看到线段AD1，画为实线，看不到线段B1C，画为虚线，而且AD1与B1C不平行，投影为相交线，所以选择B.2.如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为________．解析：由三视图得到直观图(如图)，从而最长的棱长是2 3.答案：2 33．如图是一个几何体的三视图，试画出其直观图．解：由三视图的主视图、左视图与俯视图，容易想到该几何体可以由正方体切割而得到，连结正方体的三个顶点，切去一个角，则可得相应的几何体，也可以是切掉对应位置的两个角，如图所示：4．如图是底边为2 cm，侧棱长为4 cm的正四棱锥．(1)画出其三视图，并把其尺寸标注在图中；(2)求该正四棱锥的高及各侧面三角形的高(即斜高)．解：(1)三视图如图所示：(2)在等腰△SAC中，SA＝SC＝4 cm，AC＝22＋22＝2 2 cm，此时等腰△SAC底边AC 的高即为正四棱锥的高h，所以：h＝42－(2)2＝14 cm(如图)；在等腰△SAB中，SA＝SB＝4 cm，AB＝2，此时底边AB上的高即为各侧面三角形的高h′，所以：h′＝42－12＝15 cm.综上，该四棱锥的高为14 cm，各侧面三角形的高为15 cm.。