精英新课堂2017年春八年级数学下册18.1勾股定理课件

b
a
c b
a
c a
b
证明：∵S大正方形＝c2，
cb
S小正方形＝(b - a)2，
a b- a
赵爽弦图
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
∴c2 4 1 ab b a2 a2 b2.
2
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和
聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因此，这个图案
被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽.
分称为“勾”，下半部分称为“股”. 我国古代学者把 直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边 称为“股”，斜边称为“弦”.
勾股
勾2 + 股2 = 弦2
利用勾股定理进行计算
例1 如图，在 Rt△ABC 中， ∠C = 90°.
(1) 若 a = b = 5，求 c；
(2) 若 a = 1，c = 2，求 b.
问题1 试问正方形 A、B、 C 面积之间有什么样的数 量关系？
S正方形A S正方形B S正方形C
AB C
问题2 图中正方形 A、B、C 所围成的等腰直角三 角形三边之间有什么特殊关系？
AB C
一直角边2 + 另一直角边2 = 斜边2
问题3 在网格中一般的直角三角形，以它的三边为 边长的三个正方形 A、B、C 是否也有类似的面积关 系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位1)：
C A
B
C A
B
左图：SC
4
1 2
2
3
11
13
右图： SC
4
1 2
4
3
11
25
你还有其 他办法求C 的面积吗？
根据前面求出的 C 的面积直接填出下表：

c
股
b
┏
勾a
a2+b2=c2
勾股定理 (毕达哥拉斯定理)
直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方.
弦
c
股
b
┏
勾a
a2+b2=c2
勾股世界
两千两多千多年年前前，，古古希希腊有腊个有哥拉个毕达哥拉斯 学斯学派派，，他他们们首首先发先现发了勾现股了定勾理，股因定此 理，因此在 在国国外外人人们们通通常常称勾称股勾定理股为定毕理达哥为拉毕斯 达哥拉斯定 定理理。。为为了了纪纪念念毕达毕哥达拉斯哥学拉派斯，1学95派5 ，1955年 年希希腊腊曾曾经经发发行行了一了枚一纪念枚票纪。念邮票。
2
X=81+144 X=15
①
144
169
2
Y=169-144 Y=5
②
z
625 576
2
Z=625-576 Z=7
③
3.求下列直角三角形中未知边的长:
比
5
一
比8
17
看
x
16
x 12
看
x
谁
20
算
得
快 方法小结: 可用勾股定理建立方程.
！
１、本节课我们经历了怎样的过程？
经历了从实际问题引入数学问题然后发现定理，再到探 索定理，最后学会验证定理及应用定理解决实际问题的过程。
作业快餐! 教材第77页习题18.1第1、2、3题
直角三 角形三 边关系
两S直A角边+的S平B方和=直角三角形 三边为边关系
A
C
S正方形c
4 1 431 2
B
图3-1
C A
B
图3-2

B
图1-1
C A
B
图1-2
（3）你能发现图1-1中 三个正方形A，B，C的 面积之间有什么关系吗？ 图1-2中呢？
SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积
C A
B
C
图1-1 A
（1）你能用三角 形的边长表示正方 形的面积吗？
（2）你能发现直 角三角形三边长度 之间存在什么关系 吗？与同伴进行交 流。
勾股定理的历史：
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为 "勾"，下半部分称为"股"。我国古代学者把直角三角形 较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”， 斜边称为“弦”.
有趣的总统证法
美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话
人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明， 就把这一证法称为“总统”证法。
C A
B
图1-1
（1）观察图1-1 正方形A中含有 16 个
小方格，即A的面积是 16 个单位面积。 正方形B的面积是 9 个单位面积。 正方形C的面积是 25 个单位面积。
（图中每个小方格代表一个单位面积）
你是怎样得到正方形c 的面积。
C A
（2）在图1-2中，正方 形A，B，C中各含有多 少个小方格？它们的面 积各是多少？
18.1 勾股定理第一课时
教学目标
1、经历对图形的观察、分析，体验勾股定理的探索过程； 2、体验勾股定理的证明方法与过程，培养良好的思维习惯； 3、会用勾股定理解决简单问题； 4、介绍勾股定理历史，培养学生爱国主义的思想感情。
预学检测
1、你知道勾股定理的内容吗？ 2、勾股定理的应用条件是什么?

5 米
12米
解：∵ＢＣ⊥ＡC，
∴在Ｒt△ＡＢＣ中， ＡＣ＝１２，ＢＣ＝５,
AB AC BC AB 13
5 米
12米
B
5米
根据勾股定理， 2 2 2
即AB 2 122 52 169
∴电线杆折断之前的高度 =BC+AB=5米+１３米＝１８米
C
12米
A
１、如图,一个高3 米,宽4 米的大门,需在相 对角的顶点间加一个加固木条,则木条的长 为( ) C A.3米 B.4米 C.5米 D.6米
３
４
２、湖的两端有A、Ｂ两点，从与ＢA方向成直 角的BC方向上的点C测得CA=130米,CB=120米, A 则AB为( )
A.50米 B.120米 C.100米 D.130米
A
130
?
C
120
B
3、 等边三角形的边长为12，
6 3 则它的高为______
4、 在直角三角形中,如果有两边 5或 7 3,4,那么另一边为_________
A
B
这个图形有什么作用呢？丌要小看它哦！古 希腊的数学家毕达哥拉斯就是利用这个图形验证 了勾股定理．
B
C
A
勾 股 定 理
SA+SB=SC A
B 图甲 图甲 图乙 4 A的面积 4 B的面积 8 C的面积 1.观察图甲，小方格 的边长为1. ⑵正方形A、B、C的 ⑴正方形A、B、C的 面积有什么关系？ 面积各为多少？
6.已知：Rt△ＡBC中，AB＝４，AC＝３,则
5或 BC的长为
B
7
.
B 4
4
C
3
A
A
3
C

(122)中若，c(＝三28)个，你正∠A方能＝形3计的0°面算，积求有图b什；1么7关.1系3？中各个正方形的面积吗？
例∵∠3AE如(B3＝图)∠，探C四E究D边′，形S∠AABB＋＝CD∠S是DB′长＝与方90形S°C，，，把△SAAC′＋D沿SABC′折与叠S到C△′的AC关D′，系AD′，与B看C交看于点能E，得若A出D＝什4，么DC结＝3论，求？BE的长．
如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是(
)
1．教材P24练习第1，2题．
AE2＝AB2＋BE2，即(4－x)2＝32＋x2，
(2)你听说过“勾股定理”吗？
设BE＝x，则AE＝CE＝4－x.
2．利用勾股定理解决问题．
(1)请认识赵爽弦图；
(3)什么样的三角形是等腰直角三角形？等腰直角三角形的三边之间有什么关系？
四、作业布置与教学反思
例3 如图，四边形ABCD是长方形，把△ACD沿AC折叠到△ACD′，AD′与BC交于点E，若AD＝4，DC＝3，求BE的长．
1．勾股定理的概念和证明方法．
(3)什么样的三角形是等腰直角三角形？等腰直角三角形的三边之间有什么关系？
∴△ABE≌△CD′E(AAS)，∴AE＝CE.
解：∵a＋b＝ 2 3 ， ∴a2＋b2＋2ab＝12.由题知，a2＋b2＝c2＝9， ∴ab＝32， ∴S△ABC＝12ab＝34.
活动5 课堂小结
1．勾股定理的概念和证明方法． 2．利用勾股定理解决问题．
(1)你见四过这、个图作案业吗？布置与教学反思
(3)什么样的三角形是等腰直角三角形？等腰直角三角形的三边之间有什么关系？
四设、BE作＝(业4x，布)你则置A与能E教＝用学CE反＝不思4－同x.的方式证明命题1吗？由此你能得出什么定理？

国我家国之是一。最早早在三了千解多勾年前股，定理的 国国家家之之一。一早。在早三千在多三年前千，多年前，周 朝国家数之学一。家早商在高三千就多提年前出，，将一根直 尺国家折之成一。一早个在直三千角多，年前如，果勾等于三， 股国家等之于一。四早，在那三千么多弦年前就，等于五，即 “国家勾之三一。、早股在四三千、多弦年前五，”，它被记 载国家于之我一。国早古在代三千著多名年前的，数学著作 《国家周之髀一。算早经在》三千中多。年前
c a
b c
b
a
(b a)2 4 1 ab c2 2
b2 2ab a2 2ab c2 a2 b2 c2
a
b c
a
c
b
(a b)2 c2 4 1 ab 2
a2 b2 c2
• 1876年4月1日，伽菲尔 德在《新英格兰教育日 志》上发表了他对勾股 定理的这一证法。
• 1881年，伽菲尔德就任 美国第20任总统。后来， 人们为了纪念他对勾股 定理直观、简捷、易懂、 明了的证明，就把这一 证法称为“总统证法”。
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
C A
B
正方形B的面积是 9 个单位面积。 正方形C的面积是
图2-2
18 个单位面积。
（图中每个小方格代表一个单位面积） 你是怎样得到上面的结
果的？与同伴交流交流。
C A
S正方形c
B C
图2-1
A
4 1 3 3 18 2
B
（单位面积）
图2-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）