东林离散大作业

离散数学集合论部分形成性考核书面作业离散数学作业集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]离散数学集合论部分形成性考核书面作业本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．本次形考书面作业是第一次作业，大家要认真及时地完成集合论部分的综合练习作业．要求：学生提交作业有以下三种方式可供选择：1. 可将此次作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成作业后交给辅导教师批阅．2. 在线提交word文档3. 自备答题纸张，将答题过程手工书写，并拍照上传．一、填空题1．设集合{1,2,3},{1,2}==，则P(A)-P(B )=A B{{1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3}} ，A B={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3,2>} ．2．设集合A有10个元素，那么A的幂集合P(A)的元素个数为 1024 ．3．设集合A={0, 1, 2, 3}，B={2, 3, 4, 5}，R是A到B的二元关系，则R的有序对集合为{<2,2>,<2,3>,<3,2>,<3,3>}．4．设集合A={1, 2, 3, 4 }，B={6, 8, 12}，A到B的二元关系R＝}x∈y∈y<>=2,,x,{ByAx那么R－1＝ {<6,3>,<8,4>} ．5．设集合A=｛a, b, c, d｝，A上的二元关系R={<a, b>, <b, a>, <b, c>, <c, d>}，则R具有的性质是反自反性．6．设集合A=｛a, b, c, d｝，A上的二元关系R={<a, a >, <b, b>, <b, c>, <c, d>}，若在R中再增加两个元素<c,b>,<d,c>，则新得到的关系就具有对称性．7．如果R1和R2是A上的自反关系，则R1∪R2，R1∩R2，R1-R2中自反关系有 2 个．8．设A={1, 2}上的二元关系为R={<x, y>|xA，yA, x+y =10}，则R的自反闭包为{<1,1>,<2,2>} ．9．设R是集合A上的等价关系，且1 , 2 , 3是A中的元素，则R中至少包含<1,1>,<2,2>,<3,3> 等元素．10．设A ={1，2}，B ={a ，b }，C ={3，4，5}，从A 到B 的函数f ={<1, a >, <2, b >}，从B 到C 的函数g ={< a ，4>, < b ，3>}，则Ran(g f )= {<1,a>,<2,b>}或{<1,b>,<2,a>} ．二、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）1．若集合A = {1，2，3}上的二元关系R ={<1, 1>，<2, 2>，<1, 2>}，则(1) R 是自反的关系； (2) R 是对称的关系．解：(1)结论不成立．因为关系R 要成为自反的，其中缺少元素<3,3>．(2)结论不成立．因为关系R 中缺少元素<2,1>2．设A ={1，2，3}，R ={<1，1>, <2，2>, <1，2> ，<2，1>}，则R 是等价关系．解：(1)结论不成立．因为关系R 要成为自反的，其中缺少元素<3,3>．(2)结论不成立．因为关系R 中缺少元素<2,1>3．若偏序集<A ，R >的哈斯图如图一所示， 则集合A 的最大元为a ，最小元不存在． 答： 错误，按照定义，图中不存在最大元和最小元。

离散数学作业及答案2011-2012学年第⼀学期离散数学作业及参考答案---信息安全10级5-1 1.利⽤素因⼦分解法求2545与360的最⼤公约数。

解：掌握两点：(1) 如何进⾏素因⼦分解从最⼩素数2的素数去除n。

(2) 求最⼤公约数的⽅法gcd(a,b) = p1min(a1,b1)p2min(a2,b2)pn min(an,bn)360=23325150902545=2030515091gcd(2545,360) =2030515090=52.求487与468的最⼩公倍数。

解：掌握两点：(1) 如何进⾏素因⼦分解从最⼩素数2的素数去除n。

(2) 求最⼩公倍数的⽅法lcm(a,b) = p1max(a1,b1)p2max(a2,b2)pn max(an,bn)ab=gcd(a, b)﹡lcm (a, b)487是质数，因此gcd(487,468)=1lcm(487,468)= (487*468)/1=487*468=2279163.设n是正整数，证明：6|n(n+1)(2n+1)证明：⽤数学归纳法：归纳基础：当n=1时，n(n+1)(2n+1)=1*2*3=6，6|6归纳假设：假设当n=m时，6|m(m+1)(2m+1)归纳推导：当n=m+1时，n(n+1)(2n+1)=(m+1)(m+1+1)[2(m+1)+1]=(m+1)(m+2)(2m+3)= m(m+1)(2m+3)+2(m+1)(2m+3)= m(m+1)(2m+1+2)+2(m+1)(2m+3)= m(m+1)(2m+1)+2 m(m+1)+ 2(m+1)(2m+3)= m(m+1)(2m+1)+ 2(m+1)(m+2m+3)= m(m+1)(2m+1)+ 2(m+1)(3m+3)= m(m+1)(2m+1)+ 6(m+1)2因为由假设6|m(m+1)(2m+1)成⽴。

⽽6|6(m+1)2所以6|m(m+1)(2m+1)+ 6(m+1)2故当n=m+1时，命题亦成⽴。

离散数学一、填空题(本大题共48分，共16小题，每小题3分)1.--公式为之充分必要条件是其合取范式之每一合取项中均必同时包含一命题变元及其否定2.无向图G具有是生成树，当且仅当的，若G为(n,m)连通图，要确定G的一棵生成树必删掉G的条边。

3.一个无向图的欧拉回路要求经过图中一次且仅一次，汉密顿图要求经过图中一次且仅一次。

4.设P：我生病，Q：我去学校(1)命题“我虽然生病但我仍去学校”符号化为o (2)命题“只有生病的时候，我才不去学校”符号化为o (3)命题"如果我生病，那么我不去学校”符号化为o5.设有33盏灯，拟公用一个电源，则至少需要5个插头的接线板数6.若HlAH2A-AHn是 ,则称Hl, H2, -Hn是相容的，若HlAH2A-AHn是 ,则称H1.H2, -Hn是不相容的7.设f,g,h 是N 到N上的函数(N 为自然数集合),f(n)=n+l;g(n)=2n;h(n)=0；贝lj(fdg)oh=8.K5的点连通度为 ,边连通度为o9.A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 24, 36}, R 是A 上的整除关系。

子B={1, 2, 3, 4},那么B的上界是； B的下界是；：6的上确界是; B的下确界为10.命题公式P-*QAR的对偶式为11.设入={1, {2}, <t>},则A的幕集有元素个。

12.设A={0, 1,2, 3}, B={4,6, 7}, C={8, 9, 12, 14}, R1 是由A 到B 的关系,R2 是由B到C原关系，分别定义为Rl={<2, 6>, <3, 4>, <0, 7>} ;R2={<4, 8>, <4, 12>, <6, 12>,〈7, 14〉},则复合关系RloR2 为：13.设A= {<i)}, B={<t>, (<!>}},贝i]P(A) nP(B)= 。

《离散数学》题库与答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？( A )(1)⌝Q=>Q→P (2)⌝Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：在第三章里面有公式（1）是附加律，（4）可以由第二章的蕴含等值式求出（注意与吸收律区别）2、下列公式中哪些是永真式？( )(1)(┐P∧Q)→(Q→⌝R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q)答：（2），（3），（4）可用蕴含等值式证明3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( )(1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q(4)P∧(P→Q)=>Q (5) ⌝(P→Q)=>P (6) ⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：（2）是第三章的化简律，（3）类似附加律，（4）是假言推理，（3），（5），（6）都可以用蕴含等值式来证明出是永真蕴含式4、公式∀x((A(x)→B(y，x))∧∃z C(y，z))→D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。

答：x,y, x,z（考察定义在公式∀x A和∃x A中，称x为指导变元，A为量词的辖域。

在∀x A和∃x A的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，即称x为约束变元，A中不是约束出现的其他变项则称为自由变元。

于是A(x)、B(y，x)和∃z C(y，z)中y为自由变元，x和z为约束变元，在D(x)中x为自由变元）5、判断下列语句是不是命题。

若是，给出命题的真值。

( )(1)北京是中华人民共和国的首都。

(2) 陕西师大是一座工厂。

(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。

(5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！答：（1） 是，T （2） 是，F （3） 不是 （4） 是，T （5） 不是 （6） 不是 （命题必须满足是陈述句，不能是疑问句或者祈使句。

离散数学大作业答案2022-2022学年第一学期期末《离散数学》大作业一、简要回答下列问题：（每小题3分，共30分）1．请给出集合的结合率。

答：结合律(AUB)UC=AU(BUC)某∈(AUB)UC，即某∈AUB或某∈C即某∈A或某∈B或某∈C即某∈A或某∈B∪C即某∈AU(BUC)说明(AUB)UC包含于AU(BUC)同理可证AU(BUC)包含于(AUB)UC所以(AUB)UC=AU(BUC) 2．请给出一个集合A，并给出A上既不具有自反性，又不具有反自反性的关系。

3．设A={1，2}，问A上共有多少个不同的对称关系？答：不同的对称关系有：8种R=ΦR={<1,1>}R={<2,2>}R={<1,1>,<2,2>}R={<1,2>,<2,1>}R={<1,1>,<1,2>,<2,1>}R={<1,2>,<2,1>,<2,2>}R={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>}4．设A={1，2，3，4，5，6}，R是A上的整除关系，M={2,3}，求M 的上界，下界。

5．关于P，Q，R请给出使极小项m0，m4为真的解释。

答：m0=┐p∧┐q∧┐rm4=p∧┐q∧┐r6．什么是图中的简单路？请举一例。

答：图的通路中，所有边e1,e2,…,ek互不相同，称为简单通路。

7．什么是交换群，请举一例。

答：如果群〈G，某〉中的运算某是可以交换的，则称该群为可交换群，或称阿贝尔群。

如〈I，+〉是交换群。

8．什么是群中右模H合同关系？答：设G是群，H是G的子群，a,b∈G，若有h∈H，使得a=bh，则称a合同于b（右模H），记为a≡b（右modH）。

9．什么是有壹环？请举一例。

答：幺元：如果A中的一个元素e，它既是左幺元又是右幺元，则称e为A中关于运算☆的幺元。

= {1，2，3，4，5，6}上关系R 的关系图，试画出R 的传递闭包t (R )的关系图,并用集合表示.2西南大学网络与继续教育学院课程考试试题卷类别：网教专业：计算机教育 2019年12月课程名称【编号】：离散数学【0004】B 卷大作业满分：100分一、大作业题目134563.请给出谓词逻辑的研究对象，并将“任何整数的平方均非负”使用谓词符号化.答：研究对象：个体词，谓词，量词，命题符号化；，1.请给出集合A 到集合B 的映射f 的定义.设R 是实数集合，f :R ×R →R ×R ,f (x ,，y ) = (x +y ,x -y ).证明f 是双射.答：A,B 是两个集合,如果按照某种对应法则f,对于集合A 中的任何一个元素x,在集合B 中都有唯4.利用真值表求命题公式(p →(q →r ))↔(r →(q →p ))的主析取范式和主合取范式.5.求叶赋权分别为2, 3, 5, 7, 8的最优2叉树.一的元素y 和它对应,那么这样的对应叫做集合A 到集合B 的映射.记做f:A →B.并称y 是x 的象,x 是y 答：的原象.对任意的（x,y))∈R*R,f((x,y))=(x+y,x-y),二、大作业要求假设存在另一(x1,y1,)满足f((x1,y1))=(x1+y1,x1-y1)=(x+y,x-y),大作业共需要完成三道题：第1题必做，满分30分；即:x1+y1=x+y,x1-y1=x-y第2-3题选作一题，满分30分；第4-5题选作一题，满分40分.解这个关于x1,y1的线性方程组x1=x,y1=y 对任意的(x,y)∈R*R 存在（a,b)∈R*R,( a=(x+y)/2,b=(x-y)/2 )满足f((a,b))=(x,y),所以f 是满射所以f 是双射2.设R 是集合A 上的关系，请给出R 的传递闭包t (R )的定义.下图给出的是集合A所以f 是入射。

《离散程度》作业设计方案（第一课时）一、作业目标通过本次作业，学生应理解离散程度的概念，掌握如何使用标准差和方差来衡量一组数据的离散程度，并能够在实际问题中应用这些统计量。

二、作业内容1. 概念理解a. 阅读教材相关内容，解释什么是平均数、中位数、众数以及标准差、方差。

b. 举例说明这些统计量的实际应用。

2. 计算练习a. 分别计算一组数据的标准差和方差，并解释结果的意义。

b. 针对实际问题（如考试成绩、销售数据等），计算其标准差和方差，并讨论离散程度。

c. 完成相关练习题。

3. 讨论与思考a. 小组内讨论各自对离散程度的理解，总结离散程度的衡量方法。

b. 结合实际案例，分析如何运用离散程度进行数据分析和决策。

三、作业要求1. 独立完成作业：请学生独立完成所有的作业内容，不要照抄他人答案或相互讨论。

2. 认真思考：在计算标准差和方差时，请认真理解公式的含义，不要盲目套用。

3. 实践应用：请学生将所学知识应用于实际问题中，加深对知识点的理解。

四、作业评价1. 评价标准：作业完成情况、答案的正确性、讨论的深入程度等。

2. 评价方式：教师评价与学生自评、小组互评相结合。

五、作业反馈1. 教师收集学生的作业，对作业中的问题进行反馈，对于普遍存在的问题进行集中讲解，对于个别学生存在的问题进行个别指导。

2. 学生根据教师的反馈，对自己的作业进行反思，对于存在的问题进行改进和提高。

通过本次作业，希望学生能够深入理解离散程度的概念，掌握标准差和方差的应用方法，并将这些知识应用于实际问题中。

同时，通过讨论与思考环节，培养学生的思考能力和团队协作能力，提高其数据分析能力和决策水平。

作业设计方案（第二课时）一、作业目标通过本次作业，学生应能够：1. 理解离散程度的概念；2. 掌握计算平均数、标准差和方差的方法；3. 能够根据数据合理选择计算方法，评估数据的离散程度；4. 培养运用数学知识解决实际问题的能力。

二、作业内容1. 阅读教材，理解离散程度的概念，并回答以下问题：* 什么是离散程度？* 离散程度反映的是数据的什么特征？* 如何计算数据的离散程度？2. 完成以下计算平均数的练习题：* 填空：一组数据的平均数 = _______；* 简答题：假设一组数据共有10个，分别为1，3，2，7，6，5，8，4，2，10，如何计算平均数？请写出你的步骤。

2020-2021学年第一学期期末考试《离散数学》大作业
一综合题 (共1题，总分值10分 )
1. 设I是如下一个解释：
D={3，2}
试求出下列公式在I下的真值：
（1）(a，f(a))∧P(b，f(b))；
（2）x∃yP(y，x)；
（3）x∀y(P(x，y)→P(f(x)，f(y)))；（10 分）
解：
二证明题 (共1题，总分值10分 )
2. 设K和H都是群G的子群，试证明：若H·K是G的子群，则K·H = H·K。

（10 分）
证明:首先，证明*对于H∩K是封闭的。

设a，b∈H∩K，于是有a∈H，b∈H和a∈K，b∈K；由于(H，*)和(K，*)都是群，所以a*b∈H和a*b ∈K，即a*b∈H∩K，由此证得*对于H∩K是封闭的。

其次，运算*满足结合律是继承的．幺元e∈H∩K是易见的。

如果a∈H∩K，则a∈H，a∈K，并且a-1∈H，a-1∈K，由此可得a-1∈H∩K。

综上证明，(H∩K，*)是(G，*)的子群。

三问答题 (共8题，总分值80分 )
3. 什么是图？（10 分）
答:图(意指离散数学中的图这一概念)中的基本(初级)回路均是简单回路。

祝清顺习题一(第1章集合)1.(1)A＝{0, 1, 2, 3};(2)A＝{(-2, 3), (-1, 0), (0, -1), (1, 0), (2, 3)};(3)A＝{-1, -2, -3};(4)A＝{1, 2, 3, 4, 5};(5) A＝{-6, 1}.2.(1) {x | x＝2k, k∈N+, k≤50};(2) {x | x＝6k, k∈Z};(3) {(x, y) | (x-x0)2+(y-y0)2＝r2};(4) {x | 15＜x＜40, x为素数}.3.(1)c＝a或c＝b;(2)a, b为任意值;(3)a＝c＝∅, b＝{∅};(4)b＝c＝d.4.当a=0时, 解得x=2/3满足题意; 当a≠0时, 由∆=9-8a≤0, 得a≥9/8.综上, 满足条件的a的范围是: {a | a≥9/8或a=0}.5.(1)∅, {a}, {{b}}, {c}, {a, {b}}, {a, c}, {{b}, c}, {a, {b}, c};(2)∅, {∅};(3)∅.6.(1) 2n;(2) 2n-1, n≥1, 当n＝0时不存在;(3) 没有. 因为集合只有n个元素, 其子集所含元素个数不可能比整个集合的元素个数多.7.(1) 成立; (2) 不成立; (3) 成立; (4) 成立.8.(1) 不正确, 例如A={a}, B={a, b}, C={{a}, {b}}, 从而A∈B且B∈C, 但A∈C.(2) 不正确, 例子同(1);(3) 不正确, 例如, A＝{1}, B＝{{1}, 2}, C＝{{1}, 3};(4) 不正确, 例如, A＝{1}, B＝{1, 2}, C＝{{1}, {1, 2}}.9.(1) 错误; (2) 正确; (3) 正确; (4) 错误; (5) 错误; (6) 错误; (7) 正确; (8) 正确; (9) 错误; (10) 错误.10.(1) {d }; (2) {a , c , e }; (3) {a , b , c , e }; (4) {b , d , e }. 11.各集合的文氏图如图所示(阴影部分).12.(a) B ∩(C -A );(b) (A -(B ∪C )∪(B ∩(C -A )); (c) C B A ∪(B ∩(C -A )). 13.A ∩B ＝{2, 3}; A ∪B ＝{1, 2, 3, 4, 5}; A -B ＝{1, 4}; B -A ＝{5}; A ⊕B ＝{1, 4, 5}. 14.(1) 不一定. 例如, A ={1, 2, 3}, B ={2, 3}, C ={1, 3}, 则A ∪B ＝A ∪C , 但是B ≠C . (2) 不一定; 例如, A ={1, 2, 3}, B ={2, 3}, C ={2, 3, 4}, 则A ∩B ＝A ∩C , 但是B ≠C . (3) 一定. 由条件有A ⊕(A ⊕B )＝A ⊕(A ⊕C ), 利用对称差的结合律, 有(A ⊕A )⊕B = (A ⊕A )⊕C ,因为A ⊕A = ∅, 有∅⊕B = ∅⊕C , 故有B =C .15.(1) 正确, 证明: 因为A ∩C ⊆ A ⊆ B , A ∩C ⊆ C ⊆ D , 故A ∩C ⊆ B ∩D . (2) 错误, 如A ＝C ＝{1}, B ＝{1, 2}, D ＝{1, 3}. 16.(1) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}; (2) {1, 2}; (3) {4, 5}; (4) N . 17.由于A ∪B ＝B , 故有A ⊆B , 而B ＝{x | x ＞3}, 故a ≥3. 18.由题意可得 x =3是x 2＋cx ＋15＝0的根, 故有9+3c +15=0, 解之得c = -8, x 2＋cx ＋15＝0即x 2-8x ＋15＝0, 解之得 x =3或x =5, 故B ={3, 5}.由已知条件可得A ={3}, 故有9+3a+b =0, 且 a 2-4b =0. 解之得a = -6, b = 9. 综上可得 a ＝-6, b ＝9, c ＝-8. 19.(1) 因为集合B ＝{x | x 2-5x ＋6＝0}={2, 3}. 又A ∩B ＝A ∪B , 故集合A ＝{x | x 2-ax ＋(A ∩B )∪C B EA BA B E A C C B A -⊕)( B A C B E A C )()(B C B A -a2-19＝0} ={2, 3}, 由根与系数的关系, 有2+3=a, 即a=5.(2) 因为集合C＝{x | x2＋2x-8＝0}={2, -4}, 而∅⊊A∩B, A∩C=∅, 所以3∈A, 2∉A. 故9-3a+a2-19=0, 4-2a+a2-19≠0; 解之得, a = -2.20.因为A∩B＝{-3}, 所以-3∈B, 而x2+1>-3, 所以只可能x-3= -3或2x-1= -3.若x-3 = -3, 则x=0, 此时A={-3, 0, 1}, B={-3, -1, 1}, 故A∩B={-3, 1}, 不合题意.若2x-1= -3, 则x = -1, 此时A={-3, 1, 0}, B={-4, -3, 2}, 故A∩B={-3}, 满足题意.综上所述, x = -1, 且A∪B={-4, -3, 0, 1, 2}.21.由于B=(A∩B)∪(A∩B), 故B={1}∪{3}={1, 3}, B={2, 4}. 由此知A∩B＝{3}, 3∈A, 1∉A; 由A∩B＝{2}知, 2∈A, 4∉A, 从而2∉A, 4∈A, 故A={3, 4}.22.A- (B-C)＝)A=)B(CAB(C=)A=(A-B)∪(A∩C).B()(CA23.(1) ((A∪(B-C))∩A)∪(B- (B-A)) = ((A∪(B∩C))∩A)∪(B∩)B )(A= A∪(B∩(B∪A))= A∪(∅∪(B∩A))=A.(2) ((A∪B)∩B)-(A∪B) = ((A∪B)∩B)∩)A(B= ((A∪B)∩B)∩(A∩B)= (A∪B)∩B∩A∩B=∅(3) ((A∪B∪C)-( B∪C))∪A = ((A∪B∪C) ∩)(CB )∪A= ((A∪B∪C) ∪A) ∩(CB ∪A)= (A∪B∪C) ∩()B )∪A)(C= A∪((B∪C) ∩)(CB )= A∪∅=A.24.将不超过100的正整数排列如下：1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 7071 72 73 74 75 76 77 78 79 8081 82 83 84 85 86 87 88 89 9091 92 93 94 95 96 97 98 99 100可以依次得到素数2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.25.由恒等式mq + np = (mn + pq) − (m− p)(n−q)及条件(m-p) | (mn+pq)可知, (m-p) | (mq+np).26.设n=2k+1, n2-1=(2k+1)2-1=4k(k+1). 因为k(k+1)是相邻两个自然数的乘积, 必然是2的倍数, 所以原式是8的倍数.27.101小于11的平方, 这样就可以只用2、3、5、7这四个质数来验证. 101无法被2、3、5、7整除, 所以101是质数.28.240=2⋅120=22⋅60=23⋅30=24⋅15=24⋅3⋅5.504=2⋅252=22⋅121=22⋅112.654=2⋅327=2⋅3⋅109=2⋅3⋅7⋅1751480 = 2⋅25740 = 22⋅12870 = 23⋅6435= 23⋅5⋅1287 = 23⋅5⋅3⋅429 = 23⋅5⋅32⋅143 = 23⋅32⋅5⋅11⋅13.29.(1) 因为258=21⨯12+6, 所以q=21, r=6.(2) 因为258=(-39)⨯( -15)+12, 所以q= -39, r=12.(3) 因为-367=(-16)⨯24+17, 所以q= -16, r=17.(4) 因为-334=26⨯(-13) +4, 所以q= 26, r=4.30.4475÷8=559⋅8+3559÷8=69⋅8+769÷8=8⋅8+58÷8=1⋅8+01÷8=0⋅8+1所以4475=(10573)8.31.(1) 运用辗转相除法可得934 = 4 ∙ 195 + 154195 = 1 ∙ 154 + 41 154 = 3 ∙ 41 + 31 41 = 1 ∙ 31 +10 31 = 3 ∙ 10 +1 10=10 ∙ 1 +0所以, gcd(934, 195) = 1. 代回去, 有gcd(540, 168) = 1 = 31 - 3 ∙ 10 = 31 - 3 ∙ (41 - 1∙31) = 4 ∙ 31 - 3 ∙ 41 = 4 ∙ (154 - 3 ∙ 41) - 3 ∙ 41 = 4 ∙ 154 - 15 ∙ 41= 4 ∙ 154 - 15 ∙ (195-1 ∙ 154) = 19 ∙ 154 - 15 ∙ 195 = 19 ∙ (934 - 4 ∙ 195) - 15 ∙ 195 = 19 ∙ 934 - 91 ∙ 195故gcd(540, 168) = 19 ∙ 934 - 91 ∙ 195, 其中m =19, n = - 91.(2) 方法同(1). 计算可得：gcd(369, 25) = 1, gcd(369, 25)= 4 ∙ 369 - 59 ∙ 25, 其中m =4, n = - 59. (3) 方法同(1). 计算可得：gcd(369, 25) = 33, gcd(369, 25)= 8 ∙ 165 - 1 ∙ 1287, 其中n =8, m = - 1. (4) 方法同(1). 计算可得：gcd(369, 25) = 2, gcd(369, 25)= 17 ∙ 42 - 2 ∙ 256, 其中n =8, m = - 1. 32.由定理1.3.8, 可得ab =lcm(a , b )⋅gcd(a , b )=24 ∙ 144. 由已知条件a +b =120, 根据根与系数的关系可构造一个一元二次方程x 2-120x +24 ∙ 144=0解之得, x 1=72, x 2=48. 由此可得a =72, b =48或a =48, b =72.33.(1) 运用辗转相除法可得10920 = 1 ∙ 8316 + 2604 8316 = 3 ∙ 2604 + 504 2604 = 5 ∙ 504 + 84 504 = 6 ∙ 84 +0所以, gcd(934, 195) = 84.(2) 对于(1)中各式回代过去, 有gcd(10920, 8316) = 84 = 2604 - 5 ∙ 504 = 2604 - 5 ∙ (8316 - 3 ∙ 2604)= 16 ∙ 2604 - 5 ∙ 8316= 16 ∙ (10920- 1 ∙ 8316) - 5 ∙ 8316 = 16 ∙ 10920- 21 ∙ 8316故gcd(10920, 8316) = - 21 ∙ 8316+16 ∙ 10920, 其中m = - 21, n =16.(3) 由最大公因子与最小公倍数的关系, 有84109208316),gcd(),(lcm ⨯==b a ab b a =1081080.34.记gcd(a , b )=d , 则有d | a 且d | b , 从而d | (ma+nb ), 即d | 1, 所以d =1. 35.由容斥原理, 得| A ∪B ∪C |＝| A |＋| B |＋| C |-| A ∩B |-| A ∩C |-| B ∩C |＋| A ∩B ∩C | | A ∩B ∩C |=| A ∪B ∪C |-(| A |＋| B |＋| C |-| A ∩B |-| A ∩C |-| B ∩C |)=11-(6+8+6-3-2-5) = 1.36.设A , B 分别表示在第一次和第二次考试中得5分的学生的集合, 那么有|S |=50, |A |=26, |B |=21, |)|B A =17. 由|)|B A = |S | – (|A | + |B |) + |A ∩B |, 得|A ∩B | =|)|B A – |S | + (|A | + |B |) = 17 – 50 + 26 + 21=14故有14人两次考试都得5分．37.令A ={修数学的学生}, B ={修物理的学生}, C={修化学的学生}, 则|A |=170, |B |=130, |C|=120, | A ∩B |=45, | A ∩C |=20, | B ∩C |=22, | A ∩B ∩C |=3, 故由容斥原理| A ∪B ∪C |＝| A |＋| B |＋| C |-| A ∩B |-| A ∩C |-| B ∩C |＋| A ∩B ∩C |=170+130+120-45-20-22+3=336.38.设A 3={被3整除的数}, A 5={被5整除的数}, 则|A 3|=166, |A 5|=100, |A 3∩A 5| = 33, 所以由容斥原理, 有| A 3∪A 5 |＝| A 3 |＋| A 5 |-| A 3∩A 5|=166+100-33=233. 39.(1) 取全集S = {1, 2,…, 1000}, 令A 1 = { i ︱i ∈S 且5整除i }, A 2 = { i ︱i ∈S 且6整除i }, A 3 ={ i ︱i ∈S 且8整除i }, 于是|A 1| =⎥⎦⎤⎢⎣⎡51000=200, |A 2| =⎥⎦⎤⎢⎣⎡61000=166, |A 3| =⎥⎦⎤⎢⎣⎡81000=125, |A 1∩A 2| =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯651000=33,|A 1∩A 3| =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯851000=25, |A 2∩A 3| =⎥⎦⎤⎢⎣⎡}8,6{lcm 1000=41, | A 1∩A 2∩A 3| =⎥⎦⎤⎢⎣⎡}8,6,5{lcm 1000=8, 则由容斥原理得| A 1∪A 2∪A 3 |＝|A 1|＋|A 2|＋|A 3|-|A 1∩A 2|-|A 1∩A 3|-|A 2∩A 3|＋|A 1∩A 2∩A 3 | = 200+166+125-33-25-41+8=400.(2) |1A ∩2A ∩3A |=|S |-| A 1∪A 2∪A 3 |=1000-400=600.即在1, 2, …, 1000中不能被5, 6和8中的任何一个数整除的数的个数为400个40.设U ={到游乐场去玩的儿童}, A ={骑旋转木马的儿童}, B ={坐滑行轨道的儿童}, C ={乘宇宙飞船的儿童}. 由题意得|U |=75, | A ∩B ∩C |=20, | A ∩B |+ |A ∩C |+ |B ∩C|-2| A ∩B ∩C |=55, 得| A∩B|+ A∩C|+ |B∩C|=55+2| A∩B∩C |=55+40=95,由700÷5=140知| A|+|B|+ |C|=140.| A∪B∪C |＝| A |＋| B |＋| C |-| A∩B |-| A∩C |-| B∩C |＋| A∩B∩C |=140-95+20=65.|A∩B∩C|=|U|-| A1∪A2∪A3|=75-65=10.因此有10名儿童没有玩过其中任何一种玩具.41.设U={被调查的大学生}, A={选修线性代数课程}, B={选修概率课程}, C={选修计算机科学课程}. 由题意得|U|=260, |A|=64, |B|=94, |C|=58, | A∩B|=26, |A∩C|=28, |B∩C|=22, | A∩B∩C |=14.利用容斥原理, 得(1) |A∩B∩C|=|U|-| A∪B∪C |=|U|-(| A |＋| B |＋| C |-| A∩B |-| A∩C |-| B∩C |＋| A∩B∩C|)=260-(64+94+58-26-28-22+14)=106.即三门课程都不选修的学生有106人.(2) |A∩B∩C|=|B|-| A∩B |-| B∩C |＋| A∩B∩C|)=94-26-22+14=60.即只选计算机科学课程的学生有60人.42.(1){∅, {a}, {{a}}, {a, {a}}}; (2){ ∅, {{1, {2, 3}}}};(3){∅, {∅}, {a}, {{b}}, {∅, a}, {∅, {b}}, {a, {b}}, {∅, a, {b}}}; (4){∅, {∅}};(5){∅, {∅}, {{∅}}, {∅, {∅}}}.43.A＝{m, n}.44.(1) C∈ρ(A)∩ρ(B) ⇔C∈P(A)∧C∈ρ(B)⇔C ⊆A∧C⊆B⇔C ⊆A∩B⇔C∈ρ(A∩B)所以, ρ(A)∩ρ(B)＝ρ(A∩B).(2) 由幂集的定义易知, B∈ρ(A) ⇔B⊆A. …..(*)必要性：对任意的C∈ρ(A), 则由(*)得C⊆A. 又A⊆B, 所以C ⊆ B. 再由(*)得B∈ρ(B). 所以, ρ(A) ⊆ρ(B).充分性：若ρ(A) ⊆ρ(B), 则由A∈ρ(A)得A∈ρ(B), 再由(*)得A⊆B.(3) 因为C∈ρ(A)∪ρ(B) ⇒C∈ρ(A) 或C∈ρ(B)⇒C ⊆A或C⊆B⇒C ⊆A∪B⇒C∈ρ(A∪B)所以, ρ(A)∪ρ(B) ⊆ρ(A∪B).例如, 设A={1}, B={2}, 则P(A)={∅, {1}}, ρ(B)={∅, {2}}, ρ(A)∪ρ(B)={∅, {1}, {2}}. 而A∪B={1, 2}, ρ (A∪B)={∅, {1}, {2}, {1, 2}}, 所以ρ(A)∪ρ(B) ≠ρ(A∪B).45.(1) A×B×C ={〈a, 1, α〉, 〈a, 1, β〉, 〈a, 2, α〉, 〈a, 2, β〉, 〈a, 4, α〉, 〈a, 4, β〉, 〈b, 1, α〉, 〈b, 1, β〉, 〈b, 2, α〉, 〈b, 2, β〉, 〈b, 4, α〉, 〈b, 4, β〉, 〈c, 1, α〉, 〈c, 1, β〉, 〈c, 2, α〉, 〈c, 2, β〉, 〈c, 4, α〉, 〈c, 4, β〉};(2) B×A ={〈1, a〉, 〈1, b〉, 〈1, c〉, 〈2, a〉, 〈2, b〉, 〈2, c〉, 〈4, a〉, 〈4, b〉, 〈4, c〉};(3)A×B2={〈a, 〈1, 1〉〉, 〈a, 〈1, 2〉〉, 〈a, 〈1, 4〉〉, 〈a, 〈2, 1〉〉, 〈a, 〈2, 2〉〉, 〈a, 〈2, 4〉〉, 〈a, 〈4, 1〉〉, 〈a, 〈4, 2〉〉, 〈a, 〈4, 4〉〉, 〈b, 〈1, 1〉〉, 〈b, 〈1, 2〉〉, 〈b, 〈1, 4〉〉, 〈b, 〈2, 1〉〉, 〈b, 〈2, 2〉〉, 〈b, 〈2, 4〉〉, 〈b, 〈4, 1〉〉, 〈b, 〈4, 2〉〉, 〈b, 〈4, 4〉〉, 〈c, 〈1, 1〉〉, 〈c, 〈1, 2〉〉, 〈c, 〈1, 4〉〉, 〈c, 〈2, 1〉〉, 〈c, 〈2, 2〉〉, 〈c, 〈2, 4〉〉, 〈c, 〈4, 1〉〉, 〈c, 〈4, 2〉〉, 〈c, 〈4, 4〉〉};(4)A×C={〈a, α〉, 〈b, α〉, 〈c, α〉, 〈a, β〉, 〈b, β〉, 〈c, β〉}×{〈a, α〉, 〈b, α〉, 〈c, α〉, 〈a, β〉, 〈b, β〉, 〈c, β〉}.(A×C)2={〈〈a, α〉, 〈a, α〉〉, 〈〈a, α〉, 〈b, α〉〉, 〈〈a, α〉, 〈c, α〉〉, 〈〈a, α〉, 〈a, β〉〉, 〈〈a, α〉, 〈b, β〉〉, 〈〈a, α〉, 〈c, β〉〉, 〈〈b, α〉, 〈a, α〉〉, 〈〈b, α〉, 〈b, α〉〉, 〈〈b, α〉, 〈c, α〉〉, 〈〈b, α〉, 〈a, β〉〉, 〈〈b, α〉, 〈b, β〉〉, 〈〈b, α〉, 〈c, β〉〉, 〈〈c, α〉, 〈a, α〉〉, 〈〈c, α〉, 〈b, α〉〉, 〈〈c, α〉, 〈c, α〉〉, 〈〈c, α〉, 〈a, β〉〉, 〈〈c, α〉, 〈b, β〉〉, 〈〈c, α〉, 〈c, β〉〉, 〈〈a, β〉, 〈a, α〉〉, 〈〈a, β〉, 〈b, α〉〉, 〈〈a, β〉, 〈c, α〉〉, 〈〈a, β〉, 〈a, β〉〉, 〈〈a, β〉, 〈b, β〉〉, 〈〈a, β〉, 〈c, β〉〉, 〈〈b, β〉, 〈a, α〉〉, 〈〈b, β〉, 〈b, α〉〉, 〈〈b, β〉, 〈c, α〉〉, 〈〈b, β〉, 〈a, β〉〉, 〈〈b, β〉, 〈b, β〉〉, 〈〈b, β〉, 〈c, β〉〉, 〈〈c, β〉, 〈a, α〉〉, 〈〈c, β〉, 〈b, α〉〉, 〈〈c, β〉, 〈c, α〉〉, 〈〈c, β〉, 〈a, β〉〉, 〈〈c, β〉, 〈b, β〉〉, 〈〈c, β〉, 〈c, β〉〉}46.(1) 对于任意a∈A, b∈B, 使得〈a, b〉∈A×B. 由于A ⊆C, B ⊆D, 故〈a, b〉∈ C×D, 即A×B ⊆C×D.(2) 对于任意a∈A, 因为〈a, a〉∈A×A, 而A×A＝B×B, 所以〈a, a〉∈B×B, 即a∈B, 从而有A⊆B. 反之, 类似地可以证明B ⊆ A, 因此A＝B.(3) 对于任意a∈A∪B, b∈A∩B, 使得〈a, b〉∈(A∪B)×(A∩B). 由于a∈A∪B, b∈A∩B, 而A∩B≠∅, 则有a∈A或a∈B, 从而〈a, b〉∈A×A或〈a, b〉∈B×B, 因此〈a, b〉∈(A×A)∪(B×B), 亦即(A∪B)×(A∩B) ⊆ (A×A)∪(B×B)成立.(4) 对于任意a∈ A∩B, b∈C∩D, 使得〈a, b〉∈(A∩B)×(C∩D). 由于a∈ A∩B, b∈C∩D,则有a∈A且a∈B, b∈C且b∈D, 从而〈a, b〉∈A×C且〈a, b〉∈B×D, 因此〈a, b〉∈(A×C)∩(B×D), 亦即(A∩B)×(C∩D)⊆ (A×C)∩(B×D)成立.类似地, 可以证明(A×C)∩(B×D)⊆(A∩B)×(C∩D)也成立. 故(A∩B)×(C∩D)＝(A×C)∩(B×D).习题 二 (第2章 关系)1.(1) R ={〈0, 0〉, 〈0, 2〉, 〈2, 0〉, 〈2, 2〉}; (2) R ={〈1, 1〉, 〈4, 2〉};(3) R ={〈5, 6〉, 〈5, 7〉, 〈5, 9〉, 〈4, 25〉, 〈4, 7〉, 〈4 9〉, 〈35, 6〉, 〈35, 9〉, 〈49, 6〉, 〈49, 25〉, 〈49, 9〉};(4) R ={〈2, 6〉, 〈4, 6〉, 〈5, 3〉, 〈5, 7〉, 〈11, 3〉, 〈11, 7〉}.2.dom(R )={a | a =2k , k ∈Z }, ran(R )={b | b =3k , k ∈Z }. 3.(1) 〈25, 5〉∈R ; (2) 〈1, 7〉∉R ; (3) 〈8, 2〉∈R ; (4) 〈3, 3〉∈R ; (5) 〈216, 6〉∈R . 4.(1) M R ＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0001100010000010, 关系图为: (2) M R ＝⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000011100111001110011100, 关系图为:(3) M R ＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡000000100000, 关系图为:(4) M R ＝⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000100000000000001110000111100000000000000000, 关系图为: 5.R ＝{〈x , y 〉 | x ∈R , y ∈R 且0≤x ≤3, 0≤y ≤2}. 6.R ＝{〈b , a 〉, 〈b , d 〉, 〈b , e 〉, 〈c , c 〉, 〈c , a 〉, 〈c , e 〉, 〈d , f 〉, 〈d , c 〉, 〈f , e 〉}. 关系矩阵为:3∙14562 ∙0 ∙∙∙∙∙4 ∙ ∙ 1 23 ∙ ∙ ∙∙∙∙1 2 34 ∙0∙ ∙ ∙ ∙ 3 5 27 ∙ 6 8 1 ∙ ∙M R ＝⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡010000000000100100010101011001000000.7.(1) 对于任意x ∈dom(R ∪S ), 有x ∈dom(R ∪S ) ⇔ 存在y 使得〈x , y 〉∈ R ∪S ⇔存在y 使得〈x , y 〉∈R 或〈x , y 〉∈S⇔ 存在y 使得〈x , y 〉∈R 或存在y 使得〈x , y 〉∈S ⇔ x ∈ dom(R ) 或 x ∈ dom(S ) ⇔ x ∈dom(R )∪dom(S ).(2) 设b ∈ ran (R ∩S ), 则必存在a ∈A , 使得〈a , b 〉 ∈ R ∩S , 于是〈a , b 〉 ∈ R 且〈a , b 〉 ∈ S , 因此b ∈ran(R )且b ∈ran(S ), 由交集的定义, b ∈ran(R )∩ran(S ), 故ran(R ∩S ) ⊆ ran(R )∩ ran(S ).但是ran (R )∩ran (S )⊄ran (R ∩S ).设A ={1, 2, 3}, B ={2, 4, 5}, 且令R ={〈1, 2〉, 〈1, 4〉}, S ={〈3, 2〉, 〈1, 4〉, 〈3, 5〉}, 则R ∩S ={〈1, 4〉}. 于是ran(R )={2, 4}, ran(S )={2, 4, 5}, 因此ran(R )∩ran (S )={2, 4}, 而ran(R ∩S ) ={4}, 所以ran (R )∩ran (S )⊄ran (R ∩S ).8.(1) R ∪S ＝{〈1, 2〉, 〈1, 3〉, 〈2, 4〉, 〈3, 4〉, 〈4, 4〉, 〈4, 2〉, 〈4, 3〉}; R ∩S ＝{〈2, 4〉};R -S ＝{〈1, 2〉, 〈3, 4〉, 〈4, 4〉}, R -1＝{〈1, 2〉, 〈2, 4〉, 〈3, 4〉, 〈4, 4〉}.(2) dom(R )＝{1, 2, 3, 4}, ran R ＝{2, 4}, dom(R S )＝{2}, ran(R S )＝{4}. 9．R S ＝{〈1, 3〉 〈1, 2〉, 〈2, 4〉, 〈3, 3〉, 〈3, 2〉}, S R ＝{〈1, 1〉, 〈1, 3〉, 〈2, 4〉, 〈3, 4〉},R 2={〈1, 1〉, 〈1, 2〉, 〈1, 4〉, 〈3, 1〉, 〈3, 2〉, 〈3, 4〉}, R -1={〈1, 1〉, 〈2, 1〉, 〈4, 2〉, 〈1, 3〉, 〈3, 3〉}, S -1＝{〈3, 1〉, 〈2, 2〉, 〈2, 3〉, 〈4, 4〉}, R -1 S -1＝{〈1, 1〉, 〈4, 2〉, 〈4, 3〉, 〈3, 1〉}. 各关系图如下:R S S RR 2 R -1∙∙∙∙3 2 4 1 ∙∙∙∙1 3 4 2 1 23 ∙∙4∙∙∙∙∙∙3 1 2 4∙ ∙ ∙ ∙1 32 4 ∙ ∙ ∙ ∙1 32 4 ∙ ∙ ∙ ∙1 3 42 R -1 S -1 S -1 10．由已知条件, 可得关系R 1={〈0, 0〉, 〈0, 1〉, 〈1, 2〉, 〈2, 3〉, 〈2, 1〉}, R 2＝{〈2, 0〉, 〈2, 1〉}. 经计算得:R 1R 2＝{〈1, 0〉, 〈2, 1〉};R 2R 1＝{〈2, 0〉, 〈2, 1〉, 〈3, 2〉}; R 1R 2R 1＝{〈1, 0〉, 〈1, 1〉, 〈2, 3〉};21R ＝{〈0, 0〉, 〈0, 1〉, 〈0, 2〉, 〈1, 3〉, 〈1, 1〉, 〈2, 2〉}; 22R ＝∅.11.(1) R 1R 2＝{〈b , a 〉, 〈b , d 〉}, R 2R 1={〈d , a 〉}.(2) 写出相应R 1, R 2的关系矩阵为: ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00000001011000001R M , ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=01001001000100002R M , 计算 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0000000101100000121R R R M ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0100100100010000⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000101100000=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000000000000= O . =21R M ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000101100000⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000101100000=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000001110000. =32R M ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0100100100010000⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0100100100010000⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0100100100010000=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0100100100000000 由此可得, R 1 R 2 R 1＝∅, 21R ＝{〈b , a 〉, 〈b , b 〉, 〈b , c 〉}, 32R ＝{〈c , a 〉, 〈c , d 〉, 〈d , c 〉}.(3) 由关系R 1, R 2可得其逆关系为: 1-1R ={〈b , b 〉, 〈c , b 〉, 〈a , c 〉}, 1-2R ={〈a , b 〉, 〈d , c 〉, 〈a , c 〉, 〈c , d 〉}, 由(1)得(R 1R 2)-1＝{〈a , b 〉, 〈d , b 〉}, 从而有关系矩阵:⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=000000100010010011-R M , ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010010000000011012-R M , ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-0010000000000010121)(R R M . 12.(1) R ＝{〈1, 3〉, 〈2, 2〉, 〈3, 1〉, 〈4, 4〉}, 关系图:︒︒︒︒︒︒︒(2) 依次计算出R 的各次幂.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10000001001001001R M , ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10000001001001002R M ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000000100100100=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000010000100001=E 4 (单位矩阵), =3R M ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000010000100001⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000000100100100=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000000100100100=M R , =4R M E 4. 故有⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1000010000100001nR M , n ＝2k , k ∈N ; ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1000000100100100n R M , n ＝2k +1, k ∈N . 13.(1) 设〈x , y 〉∈ R 1 R 3, 则存在z ∈A , 使得〈x , z 〉∈ R 1且〈z , y 〉∈R 3, 由于R 1 ⊆ R 2, 所以〈x , z 〉∈ R 2, 由关系复合的定义, 有〈x , y 〉∈ R 2 R 3, 从而有R 1 R 3⊆ R 2 R 3.(2) 类似于(1)的方法证明. 14.写出相应R , S 的关系矩阵为: ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0000000000010000001000010R M , ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0000000010000011000000010S M , 计算M R ∩S ＝⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000000000000000000010, M R ∪S ＝⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡000000010010011001000010, M R S ＝⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000000000101000010000.15.由R , S 可得R -1＝{〈x , x 〉, 〈z , x 〉, 〈x , y 〉, 〈y , y 〉, 〈x , z 〉, 〈y , z 〉, 〈z , z 〉}, S -1＝{〈a , x 〉, 〈d , x 〉, 〈a , y 〉, 〈c , y 〉, 〈e , y 〉, 〈b , z 〉, 〈d , z 〉}, (R S )-1={〈a , x 〉, 〈a , y 〉, 〈a , z 〉, 〈b , x 〉, 〈b , z 〉, 〈c , y 〉, 〈c , z 〉, 〈d , x 〉, 〈d , y 〉, 〈d , z 〉, 〈e , y 〉, 〈e , z 〉}.写出相应的矩阵为:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-1011101111R M , ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-011010101000111S M , ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-1101111101011111)(S R M ,o x y 11 o x y1 -1 o x y 11 -1 -1 而⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⨯--1101111101011111011101110110101010001111R S M M 所以111)(---⨯=R S S R M M M .16.R 是自反的; S 是反自反的; T 既不是自反的也不是反自反的. 17.R 既是对称的也是反对称的; S 是对称的但不是反对称的; T 是反对称的但不是对称的; U 既不是对称的也不是反对称的.18.对于任意a ∈A , (a -a )/2=0, 所以〈a , a 〉∈R , 即R 是自反的.对于任意〈a , b 〉∈R , 则(a -b )/2是整数, 因为整数的相反数也是整数, 所以(b -a )/2是整数, 即〈b , a 〉∈R , 亦即R 是对称的.对于任意〈a , b 〉∈R , 〈b , c 〉∈R , 则(a -b )/2, (b -c )/2都是整数. 设(a -b )/2=m , (b -c )/2=k , 则a -b =2m , b -c =2k , 从而有a -c =2(m -k ), 即(a -c )/2=m -k , 故〈a , c 〉∈R , 因此R 是传递的.19.(1) 例如, 〈1, 2〉, 〈2,1〉∈R , 但〈1,1〉∉R , 故R 是不可传递的.(2) 例如, R 1={〈1,1〉, 〈1, 2〉, 〈2, 1〉, 〈2, 2〉, 〈3, 1〉, 〈3, 2〉, 〈4, 1〉, 〈4, 2〉, 〈4, 3〉}, 是包含R 且具有传递性的关系.(3) 因为R 1并非全域关系(否则, 当R 1是全域关系时, 就找不到了), 所以只要取R 2=A ×A 是A 上的全域关系就可满足R 2⊇R , R 2≠R , 并且全域关系R 2显然是一个传递关系.当然这样的R 2可以构造多个, 如, R 2={〈1,1〉, 〈1, 2〉, 〈2,1〉, 〈2, 2〉, 〈3, 1〉, 〈3, 2〉, 〈3, 3〉, 〈4, 1〉, 〈4, 2〉, 〈4, 3〉}也是满足R 2⊇R , R 2≠R 是一个传递关系.20.(1) 如图(a), 满足: 自反性, 对称性, 反对称性, 传递性. (2) 如图(b), 满足: 反对称性和传递性. (3) 如图(c), 满足: 传递性.(a) (b) (c )21.(1) 满足: 自反性、对称性与传递性, 不满足: 反自反性与反对称性. (2) 满足: 反自反性、反对称性与传递性, 不满足: 自反性、对称性.∙ ∙∙b c a (3) 不满足: 自反性、反自反性、对称性、反对称性、传递性.(4) 满足: 自反性、对称性、反对称性与传递性, 不满足: 反自反性. (5) 不满足: 自反性、反自反性、对称性、反对称性、传递性. 22.图2.26满足: 反对称性与传递性, 不满足: 自反性、反自反性与对称性. 图2.27满足: 反自反性、反对称性与传递性, 不满足: 自反性与对称性. 23.R 是反自反的, 既不是自反的, 对称的, 也不是反对称的, 也不具有传递性. R 的关系图如图所示.24.(1) 如, R ={〈1, 2〉, 〈2, 1〉, 〈4, 2〉, 〈2, 4〉}∪I A . (2) 如, R ={〈2, 1〉, 〈4, 2〉, 〈4, 1〉}∪I A . (3) 如, R ={〈4, 1〉, 〈1, 2〉}∪I A .(4) 如, R ={〈1, 1〉, 〈1, 2〉, 〈1, 3〉, 〈1, 4〉, 〈2, 2〉, 〈2, 3〉, 〈2, 4〉, 〈3, 3〉, 〈3, 4〉, 〈4, 4〉}. 25.(1) 对于R 的关系矩阵M R , 由于对角线上全为0, R 是反自反的, 但不是自反的; 由于矩阵是对称的, 所以R 是对称的, 而M R 关于对角线对称位置上的元素不同时为1, 故R 是反对称的.经过计算可得, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10101101101111012R M , 故R 2⊄R , 因此R 不具有传递性. (2) 对于R 的关系矩阵, 由于对角线上不全为1, R 不是自反的; 由于对角线上元素全部非0元, R 不是反自反的; 由于矩阵是对称的, 所有R 是对称的; 因为R -1∩R =R ⊄ I A , 所以R 不是反对称的.经过计算可得, =2R M ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000010000110011=M R , 故R 2=R , 所以R 是传递的. 26.(1) 取最小集合A ＝{1, 2}, A 上关系R ＝{〈1, 1〉, 〈1, 2〉}, R 既不是自反的也不是反自反的.(2) 取最小集合A ＝{1, 2, 3}, A 上关系R ＝{〈1, 2〉, 〈2, 1〉, 〈2, 3〉}, R 既不是对称的也不是反对称的.(3) 空集合上的关系既是自反的, 又是反自反的; 既是对称的, 又是反对称的. 因此, 结果同(1), (2).(1) 设R 是自反的, 对任意的a ∈A , 〈a , a 〉∈R , 则〈a , a 〉∈R -1, 故R -1也是自反的.(2) 设R 是传递的. 对于任意〈a , b 〉∈R -1, 〈b , c 〉∈R -1. 所以〈c , b 〉∈R , 〈b , a 〉∈R ; 又因为R 是传递的, 所以〈c , a 〉∈R , 因此〈a , c 〉∈R -1, 故R -1也是传递的.(3) 设R 是反自反的, 对任意的a ∈A , 〈a, a 〉∉R , 则〈a, a 〉∉R -1, 故R -1也是自反的. (4) 对于任意的〈a, b 〉∈ R -1, 则〈b , a 〉∈R , 因为R 是对称的, 故〈a, b 〉∈R , 所以〈b , a 〉∈ R -1. 因此R -1是对称的.(5) 反证法证明. 设R -1不是反对称的, 则存在〈a , b 〉∈R -1, 〈b , a 〉∈R -1, a ≠b , 则〈a , b 〉∈ R , 〈b , a 〉∈R , 与R 是反对称的矛盾.28.(1) 因为R 和S 是自反的, 对任意的a ∈A , 〈a , a 〉∈R 并且〈a , a 〉∈S , 则〈a , a 〉∈R ∩S , 〈a , a 〉∈R ∪S , 故R ∩S 和R ∪S 也是自反的.(2) 对任意的a , b ∈A , a ≠b , 使得〈a , b 〉∈R ∩S . 因为〈a , b 〉∈R ∩S , 所以〈a , b 〉∈R 并且〈a , b 〉∈S ; 因为R 和S 是对称的, 所以〈b , a 〉∈R 并且〈b , a 〉∈S , 则〈b , a 〉∈R ∩S , 〈b , a 〉∈R ∪S , 故R ∪S 和R ∩S 也是对称的.(3) 任意的〈a, b 〉∈R ∩S , 〈b , c 〉∈R ∩S , 则〈a , b 〉∈ R , 〈a , b 〉∈S , 〈b , c 〉∈R , 〈b , c 〉∈S , 因为R 和S 是传递的, 因此〈a , c 〉∈R , 〈a , c 〉∈S , 所以〈a , c 〉∈ R ∩S , 即R ∩S 也是传递的.29.由关系R 可直接写出r (R )和s (R )r (R )＝{〈1, 1〉, 〈1, 2〉, 〈2, 2〉, 〈2, 3〉, 〈3, 1〉, 〈3, 3〉}. s (R )＝{〈1, 2〉, 〈2, 1〉, 〈2, 3〉, 〈3, 2〉, 〈3, 1〉, 〈1, 3〉}. 由关系R 写出关系矩阵M R , 并依次计算其幂为:M R =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001100010, 2R M =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡010001100, 3R M =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010001, M t (R )=M R +2R M +3R M =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111111111, 亦即t (R )为A 上的全域关系. 故t (R )＝{〈1, 1〉, 〈1, 2〉, 〈1, 3〉, 〈2, 1〉, 〈2, 2〉, 〈2, 3〉, 〈3, 1〉, 〈3, 2〉, 〈3, 3〉}. 30.由关系R 写出关系矩阵M R 并依次计算其幂为:M R =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000010000111001, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10000100101110012R M =3R M =4R M . M t (R )=M R +2R M +3R M +4R M =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000010010111001, 故 t (R )＝{〈1, 1〉, 〈1, 4〉, 〈2, 1〉, 〈2, 2〉, 〈2, 4〉, 〈3, 3〉, 〈4, 4〉}.由关系R 的关系矩阵M R , 经计算得M r (R )＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1101010111100101, M s (R )＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0111111111001101, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=01010101010101012R M =3R M ＝4R M , M t (R )=M R +2R M =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0101010101010101. 32.(a) 自反闭包为: ; 对称闭包 ; 传递闭包 .(b) 自反闭包为: ; 对称闭包为: ; 传递闭包为: .(c) 自反闭包为: ; 对称闭包为: ; 传递闭包为: . 33.由关系R 的关系矩阵M R , 可直接写出r (R )和s (R )r (R ) =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1010001110001111011011001, s (R ) =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1011100111111111110011101.依次计算关系矩阵M R 的各次幂得2R M =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1011110111111111011111111, 3R M =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1111111111111111111111111=4R M =5R M ,因此有M t (R )=M R +2R M +3R M +4R M +5R M =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1111111111111111111111111, 亦即t (R )为A 上的全域关系.34.∙ ∙ ∙∙ ∙∙∙∙∙∙∙ ∙∙∙∙ ∙ ∙ ∙∙∙∙(1) r (R ), s (R ), t (R )的关系图如图所示.R 的自反闭包 R 的对称闭包 R 的传递闭包(2) r (R )={〈a , c 〉, 〈b , d 〉}∪I A ;s (R )={〈a , a 〉, 〈a , c 〉, 〈c , a 〉, 〈b , d 〉, 〈d , b 〉}; t (R )={〈a , a 〉, 〈b , d 〉, 〈a , c 〉}. 35.(1) 因为R 自反, 得r (R )=R , 即R ∪I A =R ,r (s (R ))=s (R )∪I A =(R ∪R -1)∪I A = (R ∪I A )∪R -1=r (R )∪R -1 =R ∪R -1 =s (R ),所以s (R )自反的.类似可以证明t (R )也是自反的. (2) 证明t (R )对称:(t (R ))-1=(R ∪R 2∪…∪R n ∪…)-1= R -1∪(R 2)-1 ∪…∪(R n )-1∪… = R -1∪(R -1)2 ∪…∪(R -1)n ∪…=R ∪R 2∪…∪R n ∪… (∵R 对称，∴R -1 =R ) =t (R )所以t (R )是对称的. 类似可以证明r (R )也是对称的.(3) 证明r (R )传递: 先用归纳法证明下面结论:(R ∪I A )i = I A ∪R ∪R 2∪…∪R i .(i) 当i =1时, R ∪I A = I A ∪R , 结论成立. (ii) 假设i ≤k 时结论成立, 即(R ∪I A )k = I A ∪R ∪R 2∪…∪R k .(iii) 当i =k +1时(R ∪I A )k +1=(R ∪I A )k (R ∪I A )= (I A ∪R ∪R 2∪…∪R k )(I A ∪R )= (I A ∪R ∪R 2∪…∪R k )∪(R ∪R 2∪…∪R k +1) = I A ∪R ∪R 2∪…∪R k ∪R k +1所以结论成立.t (r (R ))=t (R ∪I A )= (R ∪I A )∪(R ∪I A )2∪(R ∪I A )3∪…=(I A ∪R )∪(I A ∪R ∪R 2)∪(I A ∪R ∪R 2∪R 3)∪… = I A ∪R ∪R 2∪R 3∪…= I A ∪t(R ) = I A ∪R (R 传递t(R )=R ) =r (R )所以r (R )是传递的.∙∙ ∙∙a c b d ∙∙a cb ∙ ∙d ∙∙ ∙∙a c b d36.(1) 左边= r (R 1∪R 2)=R 1∪R 2 ⋃I A右边= r (R 1)∪r (R 2) =R 1∪I A ∪R 2∪I A =R 1∪R 2∪I A(1)式得证.(2) 左边=s (R 1∪R 2)=(R 1∪R 2)∪(R 1∪R 2)-1= R 1∪R 2∪R 1-1∪R 2-1= (R 1∪R 1-1)∪(R 2∪R 2-1)=s (R 1)∪s (R 2)(2)式得证.(3) 证明t (R 1∪R 2)⊇t (R 1)∪t (R 2).t (R 1∪R 2)=(R 1∪R 2)∪(R 1∪R 2)2∪┄∪(R 1∪R 2)n而 (R 1∪R 2)2= (R 1∪R 2)o(R 1∪R 2)=((R 1∪R 2)o R 1)∪((R 1∪R 2)o R 2)= R 12∪R 2o R 1∪R 1o R 2∪R 22 ⊇R 12∪R 22 ………(R 1∪R 2)n ⊇R 1n ∪R 2n . 于是有(R 1∪R 2)∪(R 1∪R 2)2 ∪…∪(R 1∪R 2)n ⊇R 1∪R 12∪…∪R 1n ∪R 2∪R 22∪R 22…∪R 2n 即t (R 1∪R 2) ⊇ t (R 1)∪t (R 2), (3)式得证．37.(1) 不满足自反性、反对称性, 所以不是偏序关系; (2) 是偏序关系;(3) 不是偏序关系. 因为若取a =2, 则22|/2, 所以〈2, 2〉∉R , 即R 不具有自反性.38.(a) R={〈5, 2〉, 〈5, 3〉, 〈5, 4〉, 〈5, 1〉, 〈2, 3〉, 〈2, 4〉, 〈1, 3〉, 〈1, 4〉, 〈3, 4〉} I A ; 关系矩阵为：M R =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡11111010*******0111001101.(b) R={〈1, 2〉, 〈1, 3〉, 〈1, 4〉, 〈5, 2〉, 〈5, 3〉, 〈5, 4〉, 〈3, 4〉, 〈2, 4〉} I A ; 关系矩阵为: M R =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1111001000011000101001111.39. . 40. (a) ; (b) ; (c), 全序关系.∙∙∙∙∙12345∙∙∙∙1234∙∙∙∙1234∙∙∙∙123441. 哈斯图为：(1) ; (2) ; (3) ; (4) ,其中(2)、(3)是全序关系.42.因为R 1不满足自反性, 但满足反自反性和传递性, 因而R 1是拟序关系; 而R 2, R 3满足自反性, 反对称性和传递性, 故R 2, R 3是偏序关系.43.(1) 因为R 是S 上的偏序, 所以R 是自反的、反对称的、传递的. 因而对于任意x ∈S , 〈x , x 〉∈R , 又对于任意x ∈S ', 有〈x , x 〉∈ S '⨯S '. 所以对于任意x ∈S ', 有〈x , x 〉∈ R ', 所以R '是自反的.设〈x , y 〉∈ R ', 〈y , x 〉∈ R ', 则〈x , y 〉∈ R , 〈y , x 〉∈ R , 由R 是反对称的, 故x =y . 因而若R 是反对称的, 则R '也是反对称的.若R 在S 上是传递的, 则由〈a , b 〉∈ R ', 〈b , c 〉∈ R ', 有〈a , b 〉∈ R , 〈a , b 〉∈ S '⨯S ', 〈b , c 〉∈ R ', 〈b , c 〉∈ S '⨯S ', 故〈a , c 〉∈ R , 〈a , c 〉∈ S '⨯S ', 因此〈a , c 〉∈ R ', 即R '是传递的, 因此R 是也是传递的, 所以R '是偏序.(2) 因为R 是S 上的拟序, 所以R 是反自反的、传递的. 因而对于任意x ∈ S ', 〈x , x 〉∉R ,所以〈x , x 〉∉ R ', 因而R '也是反自反的. 由(1)的证明过程可以知道, R '是传递的, 因此R '是拟序.(3) 若R 是线序的, 则R 是偏序的, 且对于任意的a , b ∈S , 或者〈a , b 〉∈ R 或者〈b , a 〉∈ R .因而对于任意的x , y ∈ S ', 也有〈x , y 〉∈ R 或〈y , x 〉∈ R . 但〈x , y 〉∈ S '⨯S ', 〈y , x 〉∈ S '⨯S ', 所以, 或者〈x , y 〉∈ R '或者〈y , x 〉∈ R '. 因而S '上任一元素是可比较的, 又由(1)知R '也是偏序, 所以R '是S '上的线序.44.对于任意x ∈N , 则x 为自然数, 所以x ≥x , 所以〈x , x 〉∈ R ≥, 即为自反关系. 若〈x , y 〉∈ R ≥, 〈y , x 〉∈ R ≥, 则x ≥y 且y ≥x , 故x=y , 因此R ≥是反对称的. 若〈x , y 〉∈ R ≥, 〈y , z 〉∈ R ≥, 则x ≥y 且y ≥z , 故x ≥z , 因此R ≥是可传递的.综上所述, 关系R ≥是一种偏序关系. 又在N 上任意两个自然数都可以比较大小, 也就是在N 上关于关系R ≥都是可比较的, 因此R ≥是全序关系.45.由于包含关系R ⊆是一种偏序关系, 对于ρ的元素按照包含关系有：∅⊆{a }⊆{a , b }⊆{a , b , c }.由此可知ρ的元素按照包含关系存在一条链, 因此R ⊆是全序关系.46．在集合A ＝{x | x 是一个实数且-5≤x ≤20}中, 因为任意一个实数自身不会小于自身, 所以小于关系是反自反的; 又因为小于关系具有传递性; 所以小于关系是A 上的拟∙∙∙∙∙24816 32 ∙∙∙∙∙3612 36 72 ∙∙∙∙24 36 2 ∙ ∙ 36 12 ∙∙ 10 3 2 6 4 12∙ ∙ ∙ ∙ ∙130 ∙序关系.47.因为I A ⊆R , 所以R 具有自反性. R 的关系矩阵为:M R =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000000011000000001000000011000000101000001111000011101000000001. 由关系矩阵可知, r ij +r ji ≤1, 故R 是反对称的; 可计算对应的关系矩阵为:⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10000000110000000010000000110000001010000011110000111010000000012R M = M R 由以上矩阵可知R 是传递的. 所以, R 是偏序关系, 即〈A , R 〉是偏序集. 所对应的哈斯图如图所示:极大元：a , f , h ; 极小元：a , b , c , g.48.哈斯图为：(1) 上界12, 24, 36, 下界2; (2) 无上界, 下界2, 4, 6, 12. 49.(1) 哈斯图和关系图如图所示:∙ ∙ ∙∙ f c d b ∙ e ∙∙g h a∙∙∙ ∙ ∙ 24 2 4 8 ∙∙612 36 ∙(2) 没有最小元素 最大元素为a ; (3) 极小元为d , e , 极大元为a ;(4) 各子集的上界、下界, 最小上界、最大下界情况如下表:子集 上界 下界 最小上界最大下界{b , c , d } a , c d , c c d {c , d , e } a , c 不存在 c 不存在 {a , b , c }ab , dab50.最大元：9, 极大元：9, 上界：27, 18, 9, 最小上界：9, 最小元：3, 极小元：3, 下界：3, 最大下界：3.51.上界为f , 下界为a , b , 最大上界为f , 最小下界不存在. 52.B 的极大元为19, 极小元为2, 最大元为19, 最小元为2. 53.哈斯图如图所示. 对于集合B : 无最小元素, 最大元素, 下界和最大下界为1, 上界和最小上界不存在, 极大元不存在, 极小元为1.54.(1) 等价关系;(2) 不是等价关系; 因为〈2, 1〉, 〈1, 3〉∈R , 但〈2, 3〉∉R , 即传递性不成立. (3) 等价关系; (4) 等价关系; (5) 等价关系. 55.(1) 等价关系. 因为M R 主对角线上元素全为1, 所以R 是自反的; 又M R 是对称矩阵, 所以关系R 是对称的; 又⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1101100012R M=M R , 亦即R 2=R , 故R 具有传递性, 所以R ∙∙ ∙∙ a c b d e ∙ ∙ ∙ ∙ 5 13 6 ∙24∙∙ c ∙ ∙ ∙a eb d ∙是等价关系.(2) 不是等价关系. 因为M R不是对称矩阵, 所以关系R不具有对称性, 故R不是等价关系.56.(1) 不是A上等价关系. 因为A×A-R1不再满足自反性. 例如, A={a, b}, R1={〈a, a〉, 〈b, b〉}, 则A×A-R1={〈a, b〉, 〈b, a〉}, 显然A×A-R1不是A上等价关系.(2) 不是A上等价关系. 因为R1-R2不再满足自反性. 例如, A={a, b, c}, R1={〈a, b〉, 〈b, a〉, 〈b, c〉, 〈c, b〉, 〈a, c〉, 〈c, a〉, 〈a, a〉, 〈b, b〉, 〈c, c〉}, R2={〈b, c〉, 〈c, b〉, 〈a, a〉, 〈b, b〉, 〈c, c〉}, 则R1-R2={〈a, b〉, 〈b, a〉, 〈a, c〉, 〈c, a〉}, 显然R1-R2不是A上等价关系.(3) 21R是A上等价关系. (见67题证明)(4) r (R1-R2)不一定是A上等价关系. 例如, (2)中所设R1和R2是集合A上的等价关系, 但r (R1-R2)={〈a, b〉, 〈b, a〉, 〈a, c〉, 〈c, a〉, 〈a, a〉, 〈b, b〉, 〈c, c〉}不是A上等价关系.例如, A={a, b}, R1={〈a, b〉, 〈b, a〉, 〈a, a〉, 〈b, b〉}, R2={〈a, a〉, 〈b, b〉}, 则r (R1-R2)={〈a, b〉, 〈b, a〉, 〈a, a〉, 〈b, b〉}是A上等价关系.(5) 不是A上等价关系, 因为R1 R2不再满足对称性. 例如, A={a, b}, R1={〈a, b〉}, R2={〈b, a〉}, 则R1 R2={〈a, a〉}, 显然R1 R2不是A上等价关系.57.若任取〈x, y〉∈A, 因为|x-y|=|x-y|, 故〈x, y〉R〈x, y〉, 所以R是自反的;任取〈x, y〉,〈u, v〉∈A, 使得〈x, y〉R〈u, v〉, 则|x-y|=|u-v|, 故〈u, v〉 R〈x, y〉, 所以R是对称的;任取〈x, y〉, 〈u, v〉, 〈w, z〉∈A, 使得〈x, y〉R〈u, v〉, 〈u, v〉R〈w, z〉, 则有|x-y|=|u-v |, |u-v| = |w-z|, 从而有|x-y|= |w-z|, 即〈x, y〉R〈w, z〉, 所以R是传递的.综上, R是等价关系.A/R={{〈1, 1〉, 〈2, 2〉, 〈3, 3〉}, {〈1, 2〉, 〈2, 1〉, 〈2, 3〉, 〈3, 2〉, 〈3, 4〉}, {〈1, 3〉, 〈2, 4〉, 〈3, 1〉}, {〈1, 4〉}}.58.(1) 对于任意〈a, b〉∈A, 有a2+b2= a2+b2, 故〈a, b〉R〈a, b〉, 自反性成立.对于任意〈a, b〉∈A, 有a2+b2= a2+b2, 则有〈a, b〉R〈b, a〉, 对称性成立.若任意〈a, b〉, 〈c, d〉, 〈e, f〉∈A, 有〈a, b〉R〈c, d〉, 〈c, d〉R〈e, f〉, 即a2+b2= c2+d 2, c2+d 2= e2+f 2, 故a2+b2= e2+f 2, 则必有〈a, b〉R〈e, f〉, 传递性成立.综上R是A上等价关系.(2)A/R的等价类是以(0, 0)为中心的无穷多个同心圆, 包括半径为0的圆.59.(1) 由关系矩阵可知: 对角线元素全为1, 故R自反性成立; M R是对称矩阵, 故R是对称的; 又因为因为对于任意的a ij = 1, a jk = 1, 有a ik = 1, 故R传递性成立.综上R是等价关系.(2) 由等价关系可得其等价类为：[1]R= [2]R = [3]R =[5]R ={1, 2, 3, 5}, [4]R ={4}, 故A/R={{1, 2, 3, 5}, {4}}.(1)A上最大的等价关系是全域关系R=A×A={〈a, b〉 | a, b∈A}, 因此有n2个元素在A 上的最大的等价关系R中, 因为所有n2个二元组都在R=A×A中.(2) A上的最大的等价关系R的秩是1. 这是因为A中任何两个元素都有全域关系R= A×A, 因此R的等价块包含了A的所有元素, 即A的所有元素都在同一个等价块中. 所以商集只有一个等价块{A}, 它包含了A的所有元素.(3) A上的最小的等价关系是恒等关系I A={〈a, a〉 | a∈A }, 它中有n个元素, 即n个自反对.(4) A上的最小的等价关系的商集包含n个元素, 因为恒等关系的每一个元素都自成一个等价块, 每一等价块中也只有一个元素.61.等价关系R的等价类为[1]=[5]={1, 5}, [2]=[4]={2, 4}, [3]=[6]={3, 6}, 故R诱导的划分π={{1, 5}, {2, 4}, {3, 6}}.62.(1) 不是划分; 因为A≠{1, 3, 6}∪{2, 8, 10}∪{4, 5, 7}.(2) 不是划分; 因为{1, 5, 7}∩{3, 5, 6, 10}={5}≠∅.(3) 是划分, 它诱导的等价关系为：R={1, 2, 7}⨯{1, 2, 7}∪{3, 5, 10}⨯{3, 5, 10}∪{4, 6, 8}⨯{4, 6, 8}∪{9}⨯{9}={〈1, 1〉, 〈1, 2〉, 〈1, 7〉, 〈2, 1〉, 〈2, 2〉, 〈2, 7〉, 〈7, 1〉, 〈7, 2〉, 〈7, 7〉, 〈3, 3〉, 〈3, 5〉, 〈3, 10〉, 〈5, 3〉, 〈5, 5〉, 〈5, 10〉, 〈10, 3〉, 〈10, 5〉, 〈10, 10〉, 〈4, 4〉, 〈4, 6〉, 〈4, 8〉, 〈6, 4〉, 〈6, 6〉, 〈6, 8〉, 〈8, 4〉, 〈8, 6〉, 〈8, 8〉, 〈9, 9〉}.(4) 是划分, 它诱导的等价关系为：R={1, 2, 5}⨯{1, 2, 5}∪{3, 4}⨯{3, 4}∪{6, 7, 8}⨯{6, 7, 8}∪{9, 10}⨯{9, 10}={〈1, 1〉, 〈1, 2〉, 〈1, 5〉, 〈2, 1〉, 〈2, 2〉, 〈2, 5〉, 〈5, 1〉, 〈5, 2〉, 〈5, 5〉, 〈3, 3〉, 〈3, 4〉, 〈4, 3〉, 〈4, 4〉, 〈6, 6〉, 〈6, 7〉, 〈6, 8〉, 〈7, 6〉, 〈7, 7〉, 〈7, 8〉, 〈9, 9〉, 〈9, 10〉, 〈10, 9〉, 〈10, 10〉}.63.只要求出A上的全部划分, 即为等价关系.划分为一个块的情况: 1种, 即{a, b, c, d};划分为两个块的情况: 7种, 即{{a, b}, {c, d}}, {{a, c}, {b, d}}, {{a, d}, {b, c}}, {{a}, {b, c, d}}, {{b}, {a, c, d}}, {{c}, {a, b, d}}, {{d},{a, b, c}};划分为三个块的情况: 6种, 即{{a, b}, {c}, {d}}, {{a, c}, {b}, {d}}, {{a, d}, {b}, {c}}, {{a}, {b}, {c, d}}, {{a}, {c}, {b, d}}, {{a}, {d}, {b, c}};划分为四个块的情况: 1种, 即{{a}, {b}, {c}, {d}},因此, 共有15种不同的等价关系.。

东北林业大学机电工程学院智能控制大作业2智能控制导论大作业机电工程学院电气工程及其自动化_班**2010____设计神经网络控制系统基于单神经元自适应PID电加热炉炉温控制系统系统分析：用于力学性能实验的电加热炉主要用来测试合金钢在一定压力和温度下的力学性能。

把被测的合金钢放在一定温度的炉子中，然后通过杠杆和砝码给试样施加一定的压力，观察需要多长时间拉断。

拉断时间越长，说明试样力学性能越好，反之亦然。

这种设备称作高温力学试样机。

它由平台、杠杆、砝码、试样和电加热炉组成。

电加热炉本身由上下两组炉丝进行加热，炉温由改变上下段炉丝供热功率来调节，用上下两组热电偶检测炉内温度，因此，电加热炉为一双输入双输出的受控对象。

工业电加热炉的简化结构如图1所示。

图中（b），U1、U2为上下两组炉丝的输入电压，y1、y2为热电偶检测的温度值。

由于电加热炉内部的热量流动及工艺、结构等方面的原因，造成上部y1—U1与下部y2—U2之间具有较强的耦合作用。

该加热过程是一个2×2的带时间滞后的多变量强耦合系统，在某一工况下，经简化的模型可以表示为y1（k）=0.368y1（k—1）+0.1y1（k—2）+0.1U1（k—1）+0.632U1（k—2）+0.05U2（k—1）+0.2U2（k—2）y2（k）=0.368y2（k—1）+0.26y2（k—2）+0.1U2（k—1）+0.632U2（k—2）+0.03U2（k—1）+U1（k—2）图1 电热炉简化结构（a）结构（b）简化结构为消除给定值扰动时对其他回路被调量的影响，必须对系统进行解耦控制。

由前馈补偿解耦法原理（如图2所示）可得G21(s)+D2G22(s)=0G12(s)+D1G11(s)=0由以上两式可以分解出解耦补偿器的数学模型为图2前馈补偿器解耦原理图D2=—G21（s）/G22(s) D1=—G12(s)/G11（s）采用了前馈矩阵补偿以后，系统的传递矩阵变成了对角阵。

国开电大《离散数学》形考任务+大作业离散数学（本）·形考任务一1.若集合A＝{ a，{a}，{1，2}}，则下列表述正确的是( )．A.{a，{a}}ÎAB.{1，2}ÏAC.{a}ÍAD.ÆÎA正确答案：C2.若集合A＝{1, 2, 3, 4}，则下列表述正确的是 ()．A.{1, 2}ÎAB.{1, 2, 3 } Í AC.AÌ{1, 2, 3 }D.{1, 2, 3}ÎA正确答案：B3.若集合A＝{2，a，{ a }，4}，则下列表述正确的是( )．A.{a，{ a }}ÎAB.ÎAC.{2}ÎAD.{ a }ÍA正确答案：D4.若集合A={1，2}，B={1，2，{1，2}}，则下列表述正确的是( )．A.AÌB，且AÎBB.BÌA，且AÎBC.AÌB，且AÏBD.AËB，且AÎB正确答案：A5.若集合A={a，b}，B={a，{a，b}}，则下列表述正确的是( )．A.AÌBB.BÌAC.AÏBD.AÎB正确答案：D6.若集合A的元素个数为5，则其幂集的元素个数为（）．A.5B.16C.32D.64正确答案：C7.设集合A＝｛1, 2, 3, 4, 5, 6｝，B={1, 2, 3}，A到B的关系R＝{<x,y>| x A,yB且 x=y2}，则R=( )．A.{<1, 1>, <2, 4>}B.{<1, 1>, <4, 2>}C.{<1, 1>, <6, 3>}D.{<1, 1>, <2, 1>}正确答案：B8.设集合A={2, 4, 6, 8}，B={1, 3, 5, 7｝，A到B的关系R={<x,y>|xA, y B且y=x +1｝，则R= ()．A.{<2, 3>, <4,5>, <6, 7>}B.{<2, 1>, <4, 3>, <6, 5>}C.{<2, 1>, <3, 2>, <4, 3>}D.{<2, 2>, <3, 3>, <4, 6>}正确答案：A9.设A＝｛1, 2, 3｝，B={1, 2, 3, 4}，A到B的关系R＝｛〈x,y〉| xÎA,yÎB，x=y｝，则R= ( ) ．A.{<1, 2>, <2, 3>}B. {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <1, 4>, <1, 5>}C. {<1, 1>, <2, 1>}D.{<1, 1>, <2, 2>, <3, 3 >}正确答案：D10.设A={a，b，c}，B={1，2}，作f：A→B，则不同的函数个数为（）A.2B.3C.6D.8正确答案：D11.空集的幂集是空集．（）A.正确B.错误正确答案：B12.存在集合A与B，可以使得AÎB与AÍB同时成立．A.正确B.错误正确答案：A13.集合的元素可以是集合．A.正确B.错误正确答案：A14.如果A是集合B的元素，则A不可能是B的子集．A.正确B.错误正确答案：B15.设集合A＝{a}，那么集合A的幂集是{Æ, {a}}A.正确B.错误正确答案：A16.若集合A的元素个数为4，则其幂集的元素个数为16A.正确B.错误正确答案：A17.设A={1, 2, 3｝，B ={1, 2, 3, 4}，A到B的关系R ={<x,y> |xÎA,yÎB，x>y｝，则R ={<2, 1>, <3, 1>, <3, 2 >}A.正确B.错误正确答案：A18.设A＝｛1, 6,7｝，B={2, 4,8,10}，A到B的关系R＝｛〈x,y〉|xÎA,yÎB，且 x=y｝，则R={<2, 2>, <4, 4>, <8, 8>, <10, 10>}A.正确B.错误正确答案：B19.设A={a，b，c}，B={1，2，3}，作f：A→B，则共有9个不同的函数.A.正确B.错误正确答案：B20.设A={1，2}，B={ a,b,c }，则A´B的元素个数为8．（）A.正确B.错误正确答案：B离散数学（本）·形考任务二1.n阶无向完全图Kn的边数是（）．A.nB. n(n-1)/2C. n-1D.n(n-1)正确答案：B2.n阶无向完全图Kn每个结点的度数是（）．A.nB. n(n-1)/2C.n-1D.n(n-1)正确答案：C3.已知无向图G的结点度数之和为20，则图G的边数为（）．A.5B.15C.20D.10正确答案：D4.已知无向图G 有15条边，则G的结点度数之和为（）．A.10B.20C.30D.5正确答案：C5.图G如图所示，以下说法正确的是( ) ．A.{(a, e)}是割边B.{(a, e)}是边割集C.{(a, e) ,(b, c)}是边割集D.{(d,e)}是边割集正确答案：D6.若图G=<V,E>，其中V={ a,b,c,d }，E={ (a,b), (b,c) , (b,d)}，则该图中的割点为（）．A.aB.bC.cD.d正确答案：B7.设无向完全图K有n个结点(n≥2)，m条边，当（）时，K中存在欧拉回路．A.m为奇数B.n为偶数C.n为奇数D.m为偶数正确答案：C8.设G是欧拉图，则G的奇数度数的结点数为( )个．A.0B.1C.2D.4正确答案：A9.设G为连通无向图，则（）时，G中存在欧拉回路．A.G不存在奇数度数的结点B.G存在偶数度数的结点C.G存在一个奇数度数的结点D.G存在两个奇数度数的结点正确答案：A10.设连通平面图G有v个结点，e条边，r个面，则．A.v + e - r=2B.r +v - e =2C.v +e - r=4D.v +e – r = –4正确答案：B11.已知图G中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G的边数是15．( )A.正确B.错误正确答案：A12. 设G是一个无向图，结点集合为V，边集合为E，则G的结点度数之和为2|E|． ( )A.正确B.错误正确答案：A13. 若图G=<V,E>，其中V={ a,b,c,d }，E={ (a,b), (a,d),(b,c), (b,d)}，则该图中的割边为(b,c)．( )A.正确B.错误正确答案：A14. 边数相等与度数相同的结点数相等是两个图同构的必要条件.A.正确正确答案：A15. 若图G中存在欧拉路，则图G是一个欧拉图．A.正确B.错误正确答案：B16. 无向图G存在欧拉回路，当且仅当G连通且结点度数都是偶数．( )A.正确B.错误正确答案：A17. 设G是具有n个结点m条边k个面的连通平面图，则n-m=2-k.A.正确B.错误正确答案：A18.设G是一个有6个结点13条边的连通图，则G为平面图．A.正确B.错误正确答案：B19. 完全图K5是平面图．B.错误正确答案：B20. 设G是汉密尔顿图，S是其结点集的一个子集，若S的元素个数为6，则在G-S中的连通分支数不超过6A.正确B.错误正确答案：A离散数学（本）·形考任务三1.无向图G是棵树，边数为12，则G的结点数是（）．A.12B.24C.11D.13正确答案：D2.无向图G是棵树，边数是12，则G的结点度数之和是（）．A.12B.13D.6正确答案：C3.无向图G是棵树，结点数为10，则G的边数是（）．A.9B.10C.11D.12正确答案：A4.设G是有10个结点，边数为20的连通图，则可从G中删去（）条边后使之变成树.A.12B.9C.10D.11正确答案：D5.设G是有n个结点，m条边的连通图，必须删去G的( )条边，才能确定G的一棵生成树．A.m-n+1C.m+n+1D.n-m+1正确答案：A6.设A(x)：x是金属，B(x)：x是金子，则命题“有的金属是金子”可符号化为（）．A.(x)(A(x)∧B(x))B.┐("x)(A(x)→B(x))C.(x)(A(x)∧B(x))D.┐(x)(A(x)∧┐B(x))正确答案：C7.设A（x）：x是学生，B（x）：x去跑步，则命题“所有人都去跑步”可符号化为（）．A.($x)(A(x)∧B(x))B.("x)(A(x)→B(x))C.($x)(A(x)∧┐B(x))D.("x)(A(x)∧B(x))正确答案：B8.设A（x）：x是书，B（x）：x是数学书，则命题“不是所有书都是数学书”可符号化为（）．A.┐("x)(A(x)→B(x))B.┐($x)(A(x)∧B(x))C.("x)(A(x)∧B(x))D.┐($x)(A(x)∧┐B(x))正确答案：A9.("x)( P(x，y)∨Q(z))∧($y) (R(x,y) → ("z) Q(z))中量词“"”的辖域是()．A.P(x,y)B.P(x,y)∨Q(z)C.R(x,y)D.P(x,y)∧R(x,y)正确答案：B10.设个体域D={a,b,c}，那么谓词公式($x)A(x)∨("y)B(y)消去量词后的等值式为( )．A.(A(a)∨A(b)∨A(c))∨(B(a)∧B(b)∧B(c))B.(A(a)∧A(b)∧A(c))∨(B(a)∨B(b)∨B(c))C.(A(a)∨A(b)∨A(c))∨(B(a)∨B(b)∨B(c))D.(A(a)∧A(b)∧A(c))∨(B(a)∧B(b)∧B(c))正确答案：A11.若无向图G的边数比结点数少1，则G是树．A.正确B.错误正确答案：B12.无向图G是树当且仅当无向图G是连通图．A.正确B.错误正确答案：B13.无向图G是棵树，结点度数之和是20，则G的边数是9A.正确B.错误正确答案：B14.设G是有8个结点的连通图，结点的度数之和为24，则可从G中删去5条边后使之变成树．A.正确B.错误正确答案：A15.设个体域D＝{1,2,3}，则谓词公式("x)A(x)消去量词后的等值式为A(1)∧A(2)∧A(3)．B.错误正确答案：A16.设个体域D＝{1, 2, 3, 4}，则谓词公式($x)A(x)消去量词后的等值式为A(1 ) ∨A(2) ∨ A(3) ∨ A(4)A.正确B.错误正确答案：A17.设个体域D＝{1, 2}，则谓词公式("x)P(x) ∨（$x）Q（x）消去量词后的等值式为(P (1)∧P (2)) ∨(Q（1）∨Q（2)).A.正确B.错误正确答案：A18.("x)(P(x)∧Q(y)→R(x))中量词“"”的辖域为(P(x)∧Q(y))．A.正确B.错误正确答案：B19.("x)(P(x)∧Q(y))→R(x)中量词“"”的辖域为(P(x)∧Q(y))．A.正确正确答案：A20.设A（x）：x是人，B（x）：x是学生，则命题“有的人是学生”可符号化为┐(x)(A(x)∧┐B(x))A.正确B.错误正确答案：B大作业1. 在线提交word文档第一部分一、公式翻译题（每小题2分，共10分）1.将语句“我会英语，并且会德语．”翻译成命题公式．参考答案：设p.我学英语Q:我学法语则命题公式为:pΛQ2.将语句“如果今天是周三，则昨天是周二．”翻译成命题公式．参考答案：设P：今天是周三Q：昨天是周二则命题公式为：P→Q3.将语句“小王是个学生，小李是个职员．”翻译成命题公式．参考答案：设P：小王是个学生Q：小李是个职员则命题公式为：P∧Q4.将语句“如果明天下雨，我们就去图书馆.”翻译成命题公式．参考答案：设P：如果明天下雨Q：我们就去图书馆则命题公式为：P→Q5.将语句“当大家都进入教室后，讨论会开始进行．”翻译成命题公式．参考答案：设P：当大家都进入教室后Q：讨论会开始进行则命题公式为：P→Q二、计算题（每小题10分，共50分）1．设集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，C={2, {3}}，试计算（1）A-C；（2）A∩B；（3）(A∩B)×C．参考答案：（1）A-C={l,3}；（2）A∩B={2,3}；（3）(A∩B)×C= { <2,2>,<2, {3} > ,<3,2> ,<3, {3} >}.2. 设G=<V，E>，V={v1,v2,v3,v4,v5}，E={(v1,v3) , (v1,v5) , (v2,v3) , (v3,v4) , (v4,v5) }，试（1）给出G的图形表示；（2）求出每个结点的度数；（3）画出其补图的图形．参考答案：（1）关系图（2）deg(v1)=3deg(v2)=2deg(v3)=3deg(v4)=2deg(v5)=2（3）补图3．试画一棵带权为1, 2, 3, 3, 4的最优二叉树,并计算该最优二叉树的权．参考答案：权为1×3+2×3+3×2+3×2+4×2=294．求出如下所示赋权图中的最小生成树（要求写出求解步骤），并求此最小生成树的权．参考答案：解：用Kruskal 算法求产生的最小生成树,步骤为:w（v2,v6）=1 选(v2,v6)w（v4,v5）=1 选(v4,v5)w（v1,v6）=2 选(v1,v6)w（v3,v5）=2 选(v3,v5)w（v2,v3）=4 选(v2,v3)最小生成树如图所示:最小生成树的权w(T)=1+1+2+2+4=10.5. 求P→(Q∧R) 的析取范式与合取范式. 参考答案：解:(P∨Q)→R⇔┐(P∨Q)∨R⇔(┐P∧┐Q)∨R(析取范式)⇔(┐P∨R)∧(┐Q∨R)(合取范式)第二部分从下列选题中选择一个感兴趣的主题，自主查阅文献资料进行深入的研究和学习，并形成一份至少一千字的总结报告。

江南大学离散数学考卷A一、选择题（每题1分，共5分）A. 一个具有6个顶点的完全图B. 一个具有4个顶点的环C. 一个具有5个顶点的完全图D. 一个具有3个顶点的路径图A. 并集B. 交集C. 差集D. 补集A. ×B. ∪C. ∩D. –A. 2, 4, 6, 8, 10B. 3, 6, 12, 24, 48C. 5, 10, 15, 20, 25D. 1, 3, 6, 10, 15A. f是单射B. |A| ≤ |B|C. |A| = |B|D. |A| ≥ |B|二、判断题（每题1分，共5分）1. 离散数学中的图论部分只研究连通图。

（）2. 在集合论中，空集是任何集合的子集。

（）3. 所有的函数都是满射。

（）4. 在逻辑代数中，蕴含运算符“→”满足自反性。

（）5. 等差数列的通项公式一定是线性函数。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 若集合A={1, 2, 3}，则A的幂集P(A)中有______个元素。

2. 在图G中，如果顶点v的度是3，则该图至少有______个顶点。

3. 设命题p为“今天是星期五”，则命题¬p表示“______”。

4. 一个有n个元素的集合，其所有非空子集的个数是______。

5. 若数列{an}是等比数列，且a1=2，公比q=3，则a3=______。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述什么是鸽巢原理。

2. 请写出集合的交集和并集的定义。

3. 简述什么是哈密顿回路。

4. 请解释什么是偏序关系。

5. 简述如何使用递归方法求解汉诺塔问题。

五、应用题（每题2分，共10分）1. 给定集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，求A和B的笛卡尔积。

2. 设函数f(x)=3x+2，求f(5)的值。

4. 给定等差数列{an}，其中a1=1，公差d=2，求a5的值。

5. 证明对于任意的正整数n，都有2n > n。

六、分析题（每题5分，共10分）1. 分析并证明为什么在任意无向图中，奇数度顶点的个数一定是偶数。

离散数学试题与答案试卷一一、填空 20% （每小题2分）1．设 }7|{)},5()(|{<∈=<∈=+x E x x B x N x x A 且且（N ：自然数集，E + 正偶数） 则 =⋃B A 。

2．A ，B ，C 表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为 。

3．设P ，Q 的真值为0，R ，S 的真值为1，则)()))(((S R P R Q P ⌝∨→⌝∧→∨⌝的真值= 。

4．公式P R S R P ⌝∨∧∨∧)()(的主合取范式为 。

5．若解释I 的论域D 仅包含一个元素，则 )()(x xP x xP ∀→∃ 在I 下真值为 。

6．设A={1，2，3，4}，A 上关系图为则 R 2 = 。

7．设A={a ，b ，c ，d}，其上偏序关系R 的哈斯图为则 R= 。

8．图的补图为 。

9．设A={a ，b ，c ，d} ，A 上二元运算如下：那么代数系统<A ，*>的幺元是 ，有逆元的元素为 ，它们的逆元分别为 。

10．下图所示的偏序集中，是格的为 。

二、选择 20% （每小题 2分）1、下列是真命题的有（ ） A ． }}{{}{a a ⊆；B ．}}{,{}}{{ΦΦ∈Φ；C ． }},{{ΦΦ∈Φ；D ． }}{{}{Φ∈Φ。

2、下列集合中相等的有（ ）A ．{4，3}Φ⋃；B ．{Φ，3，4}；C ．{4，Φ，3，3}；D ． {3，4}。

3、设A={1，2，3}，则A 上的二元关系有（ ）个。

A ． 23 ； B ． 32 ； C ． 332⨯； D ． 223⨯。

4、设R ，S 是集合A 上的关系，则下列说法正确的是（） A ．若R ，S 是自反的， 则S R 是自反的； B ．若R ，S 是反自反的， 则S R 是反自反的； C ．若R ，S 是对称的， 则S R 是对称的； D ．若R ，S 是传递的， 则S R 是传递的。

5、设A={1，2，3，4}，P （A ）（A 的幂集）上规定二元系如下|}||(|)(,|,{t s A p t s t s R =∧∈><=则P （A ）/ R=（ ）A．A ；B．P(A) ；C．{{{1}}，{{1，2}}，{{1，2，3}}，{{1，2，3，4}}}；D．{{Φ}，{2}，{2，3}，{{2，3，4}}，{A}}6、设A={Φ，{1}，{1，3}，{1，2，3}}则A上包含关系“⊆”的哈斯图为（）7、下列函数是双射的为（）A．f : I→E , f (x) = 2x ；B．f : N→N⨯N, f (n) = <n , n+1> ；C．f : R→I , f (x) = [x] ；D．f :I→N, f (x) = | x | 。

度数序列Problem:ATime Limit:1000msMemory Limit:65536KDescr i pt ion由握手定理我们知道任意的一个图中，所有顶点的度数之和等于边数的2倍，那么给你一个无向图的度数序列，你能判定它能否构成无向图吗？(10分)I nput输入数据有多组，每组第一行有1个数为n(K=n<=100),接下来第二行有n个正整数，代表n个度数。

Output如果能构成图，则在一行内输出yes,否则输出no。

Samp Ie Input412 3 4Samp Ie OutputYes#incIude <iostream>#include<stdio. h>us i ng namespace std;i nt ma i n () {int n;whi le(scanf ("%d", &n) !=-1) {int s = 0;for (int i二0; i<n; i++) {irrt a;c i n»a;s +二a;)i nt b 二(s&1);if (b == 1) { cout«"no"«endI;平面图Problem:Time Limit:1000msMemory Limit:65536KDescr i pt i on已知n阶连通平面图G有r个面，请计算G的边数m.(10分)Input 输入数据有多组，每组有2个正整数n和r,分别代表顶点数和面数。

在一行内输出这个平面图的边数。

OutputSamp Ie Input7 6Samp Ie Output11#include <iostream>#include 〈stdio.h>us i ng namespace std;i nt ma i n 0 {int x, y ；whi le ("scanf ("%d%d", &x, &y)) { cout« (x+y-2) «end I ;树的边数Problem:CTime Limit:1000msMemory Limit:65536KDescr i pt i on设rn和t分别是2元正则树t的边数和树叶数，在给定树叶数t的前提下，请你计算m? 边数（10分）I nput输入数据有多组，每组有1个正整数t,代表正则树t的树叶数。

2021年江西省九江市东林中学高二数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 执行如图21－2所示的程序框图，如果输入p＝5，则输出的S＝()图21－2A． B．C． D．参考答案：C2. 设，若，则等于A．B．C．D．参考答案：A略3. 8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排列种数为（）A．B． C. D．参考答案：A4. 设是定义在上的奇函数，且，当时，有恒成立，则不等式的解集是（）A. B. C. D.参考答案：B5. 直线与圆的位置关系是A.相交B．相切C．相离D．与值有关参考答案：D略6. 若集合，则( )A．B．或C．D．参考答案：C略7. 若圆心在x轴上、半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x+2y=0相切，则圆O的方程是A．B．C．D．参考答案：D8. 等比数列{a n}的前n项和是S n，若,则公比q=（）A．2 B．1 C．D．－2参考答案：C9. 与椭圆共焦点，且过点的双曲线的标准方程是A．B．C．D．参考答案：D 略10. 若不等式的解集，则值是（ ）A ．0B ．－1C. 1D ．2参考答案：A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 曲线在点 处的切线倾斜角为__________；参考答案：略12. 下列命题：①若，则；②若，则；③若，，则；④若，则函数的最大值是；⑤若，则.其中正确的命题序号是_________参考答案：①④⑤13. 如图，P —ABCD 是正四棱锥，是正方体，其中，则到平面PAD的距离为.参考答案：314. 已知为定义在(0，+∞)上的可导函数，且，则不等式的解集为___________．参考答案：15. 若的展开式中常数项为－160，则展开式中的系数为__________.参考答案：－192 【分析】首先求出的展开式的通项公式，通过计算常数项求出a 的值，再利用通项公式求的系数.【详解】展开式的通项公式为，当时，常数项为，所以．当时，，展开式中的系数为．【点睛】本题考查二项式定理展开式的应用，考查二项式定理求特定项的系数，解题的关键是求出二项式的通项，属于基础题.16. 若直线ax+by ﹣1=0平分圆x 2+y 2﹣4x ﹣4y ﹣8=0的周长，则 ab 的最大值为 ．参考答案：【考点】直线与圆的位置关系．【分析】把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，把圆心坐标代入直线ax+by ﹣1=0，利用基本不等式求出ab 的最大值．【解答】解：圆x 2+y 2﹣4x ﹣4y ﹣8=0 即（x ﹣2）2 +（y ﹣2）2=16，表示圆心在（2，2），半径等于4的圆∵直线ax+by ﹣1=0平分圆x 2+y 2﹣4x ﹣4y ﹣8=0的周长，∴直线ax+by ﹣1=0过圆C 的圆心（2，2）， ∴有2a+2b=1，∴a，b 同为正时，2a+2b=1≥，∴ab≤，∴ab 的最大值为，故答案为．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，判断圆心（2，2）在直线ax+by ﹣1=0上是解题的关键，属于中档题．17. 已知函数则的值是．参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。