带有积分边界条件的三阶边值问题正解的存在性摘要：在这篇文章中，利用一个新的锥不动点定理和Green 函数的性质，研究了带有积分边界条件的三阶边值问题至少有一个正解存在。
''''1''0()(,(),())0,(0)0,(0)0,(1)()()x t f t x t x t t J x x x g t x t dt ⎧+=∈⎪⎨===⎪⎩⎰ 其中f 是一个非负连续函数，[0,1]J =，[0,1],()0g L g t ∈≥。
这篇文章的重点是非线性项f 中的一阶导数。
关键词：三阶，边值问题，正解，积分边界条件。
1 引言由于三阶微分方程边值问题在应用数学和物理的不同领域有着很重要的应用。
近些年来，三阶边值问题已经成为许多学者的研究对象。
例如：热传导、化学工程、地下水流、热力弹性和等离子物理中的很多问题都可以归结为对带有积分边界条件的边值问题的研究，参看文献[1-3]。
由于许多学者评论带有积分边界条件的边值问题的重要性，我们参阅了相关学者的文章Gallardo [4], Karakostas 和 Tsamatos [5], Lomtatidze 和 Malaguti [6]，并且参考在其中。
更重要的是关于积分方程的一般理论，我们参考的书有Corduneanu [7] 以及 Agarwal 和O’Regan [8]。
此外，带有积分边界条件的边值问题构造的一类很有意义而且重要的问题，它们包括两点、三点、多点以及非局部的边值问题并且作为特殊的例子。
一类在巴拿赫空间中的边值问题已经被一些学者研究过。
参看文献[9，15-16]。
利用锥[11]上的不动点指数定理，张在文献[10]中，研究了一类在巴拿赫空间中带积分边界条件的非线性四阶边值问题解的多样性。
冯在文献[12]中，研究了一类在巴拿赫空间中带积分边界条件的非线性二阶边值问题解存在的多样性。
然而，赵军方在文献[13]中，研究了一类在巴拿赫空间中带积分边界条件的三阶边值问题正解的存在性。
''''1''0()(,(),()),(0),(0),(1)()()x t f t x t x t t J x x x g t x t dt θθθ⎧+=∈⎪⎨===⎪⎩⎰ 其中，θ，J ，f ，g 满足以下条件，（H 1）[0,1]J =，θ是R 中的一个0元素； （H 2）:([0,1],)f C P P ⨯，[0,1],()0g L g t ∈≥。
以上作者的研究中，非线性项f 中没有涉及到一阶导数'x 。
在这篇文章中，我们考虑以下含有导数的带有积分边界条件下的三阶边值问题''''1''0()(,(),())0,(0)0,(0)0,(1)()()x t f t x t x t t J x x x g t x t dt ⎧+=∈⎪⎨===⎪⎩⎰ （1.1） 其中，（H 1）[0,1]J =，2:[0,1]f R R +⨯→是连续的，[0,1],()0g L g t ∈≥。
在这篇文章中，主要说明边值问题(1.1)有正解存在，我们定义了两个连续的凸泛函。
然后，利用一个新的锥不动点定理[14]，以及非局部三阶边值问题的格林函数的性质，给出了边值问题(1.1)有正解存在的一些新的条件。
2、预备知识假设[0,1]Y C =是一个Banach 空间，其范数0[0,1]max ()t x x t ∈=。
引理2.1[13]：假设（H 1）成立，那么，对[0,1]y C ∈，BVP'''1''0()()0,(0)0,(0)0,(1)()()x t y t t J x x x g t x t dt ⎧+=∈⎪⎨===⎪⎩⎰ （2.1） 有唯一的解：1()(,)()x t H t s y s ds =⎰ （2.2）其中：1(,)(,)(,)()1tH t s G t s G s y d τττσ=+-⎰221122212(1)(),01(,)(1),01t s t s s t G t s t s t s ⎧---≤≤≤=⎨-≤≤≤⎩ 1(),[0,1)sg s ds σσ=∈⎰证明：对t J ∈，我们有：'212()(0)()()tx t tx t s y s ds =--⎰（2.3）设1t =，因此，1'201(1)(0)(1)()2x x s y s ds =--⎰ (2.4)11'2001(0)()()(1)()2x g s x s ds s y s ds =+-⎰⎰ (2.5)则有：11'2001(0)()()(1)()2x g s x s ds s y s ds =+-⎰⎰将(2.5)代入到(2.3)有：112200011()[()()(1)()]()()22t x t t g s x s ds s y s ds t s y s ds =+---⎰⎰⎰1122200111()()[(1)()]()(1)()222t t t g s x s ds t s t s y s ds t s y s ds =+---+-⎰⎰⎰11()()(,)()t g s x s ds G t s y s ds =+⎰⎰因此，11111()()()()()[()(,)()]g s x s ds sg s ds g s x s ds g s G s y d ds τττ=+⎰⎰⎰⎰⎰我们得到：111101()()[()(,)()]1()g s x s ds g s G s y d ds sg s dsτττ=-⎰⎰⎰⎰则有：11110()[()(,)()](,)()1()t x t g s G s y d ds G t s y s ds sg s dsτττ=+-⎰⎰⎰⎰1111(,)()(()(,))()1()tG t s y s ds g G s d y s ds sg s dsτττ=+-⎰⎰⎰⎰1(,)()H t s y s ds =⎰引理2.2[13]：180,1,[0,1],0(,)max (,)t s t s G t s G t s ≤≤∀∈≤≤≤证明：若01t s ≤≤≤，很容易得到：(,)0G t s ≥；若01s t ≤≤≤，(,)G t s 是一个关于t 的凹函数，(,)0G s s ≥，2211(1,)1(1)(1)022G s s s =⨯⨯---=，则：(,)0G t s ≥；此外，,[0,1],t s ∀∈222220,1011111max (,)max (1)(),(1)42228t s s s s s G t s s s s ≤≤≤≤⎧⎫++≤----≤⎨⎬⎩⎭。
注2.2：,(0,1)t s ∀∈，很容易得到(,)0G t s ≥；另外，若01s t ≤≤≤，当212s t +=时，(,)G t s 有最大值。
引理2.3[13]：取1(0,)2δ∈，并且，令[,1]J δδδ=-；那么，对,,[0,1]t J v s δ∈∈，我们有：(,)(,)G t s G v s ρ≥。
其中：24(1)ρδδ=-。
证明：显然，{},,0,1,(,)(,)t J v s G t s G v s δρ∀∈∈≥成立。
对,(0,1)v s ∈，我们有以下四种情况： 情况一：{}max ,v t s ≤，那么：212212(1)(,)(,)(1)t s G t s t G v s v s vδρ-==≥≥-； 情况二：{}min ,s v t ≤，那么：2221122222111224(1)()(,)(1)4(1)(,)(1)()t s t s G t s G v s v s v s δδδδρ----=≥=-=---； 情况三：t s v ≤≤，那么：22122221122(1)(,)(1)(,)(1)()(1)t s G t s t s t G v s v s v s v s vδρ--=≥=≥≥---- 情况四；v s t ≤≤，那么：2221122221124(1)()(,)(1)4(1)(,)(1)t s t s G t s G v s v s δδδδρ----=≥=-=- 注 2.3：对01s t ∀≤≤≤，定义1(,)(,)G t s G t s =，1(,)G t s 是一个关于t 的凹函数，我们有：{}2111,01min (,)min (,),(1,)(1)2t J s t G t s G s G s δδδδδ∈≤≤=-=-。
引理2.4：假设（H 1）成立，那么：（i ）1(,),[0,1]2H t s t γ≤∈；（ii ）(,)(,),,,[0,1]H t s H v s t J v s δρ≥∈∈； （iii ）[0,1](,)max (,),,,[0,1]v H t s H v s t J v s δρ∈≥∈∈。
其中：111(1)(),()1s g s dssg s ds γσσ+-==-⎰⎰。
证明：[0,1]t ∀∈1(,)(,)(,)()1t H t s G t s G s g d τττσ=+-⎰122011(1)(1)()212t s s g s ds σ≤-+--⎰ 1201(1)(1())21t s g s ds σ=-+-⎰ 12011(1)(1())21s g s ds σ≤-+-⎰ 1201()1(1)21g s ds s σσ-+=--⎰ 1201(1)()1(1)21s g s ds s σ+-=--⎰12γ≤ t J δ∀∈，根据引理2.3，我们有；1(,)(,)(,)()1tH t s G t s G s g d τττσ=+-⎰1(,)(,)()1G v s G s g d δρτττσ≥+-⎰ 1(,)(,)()1vG v s G s g d ρρτττσ≥+-⎰(,)H v s ρ=对任意的,[0,1]v s ∈，我们有(,)(,)H t s H v s ρ≥，因此， [0,1](,)max (,)v H t s H v s ρ∈≥。
引理 2.5：若[0,1],()0y y t ∈≥，那么BVP （2.1）的唯一解()x t 满足： 0min ()t J x t x δρ∈≥。
证明：根据引理2.3和2.4及（2.2）式，我们得到：1min ()min (,)()t J t J x t H t s y s ds δδ∈∈=⎰1(,)()H v s y s ds ρ≥⎰()x v ρ≥因为，对[0,1],min ()()t J v x t x v δρ∈∀∈≥，所以我们得到，0min ()t J x t x δρ∈≥。
