人教版七年级下册第五章讲义

课题：5.1.1 相交线学习目标：1、了解两条直线相交所构成的角，理解并掌握对顶角、邻补角的概念和性质。

2、理解对顶角性质的推导过程，并会用这个性质进行简单的计算。

3、通过辨别对顶角与邻补角，培养识图的能力。

学习重点：邻补角和对顶角的概念及对顶角相等的性质。

学习难点：在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角。

学习过程：一、学前准备填空：①两个角的和是，这样的两个角叫做互为补角，即其中一个角是另一个角的补角。

②同角或的补角。

二、探索与思考（一）邻补角、对顶角1、观察思考：剪刀剪开纸张的过程，随着两个把手之间的角逐渐变小，剪刀刃之间的角度也相应。

我们把剪刀的构成抽象为两条直线，就是我们要研究的两条相交直线所成的角的问题。

2、探索活动：①任意画两条相交直线，在形成的四个角（∠1，∠2，∠3，∠4）中，两两相配共能组成对角。

分别是。

②分别测量一下各个角的度数，是否发现规律？你能否把他们分类？完成教材中2页表格。

③再画两条相交直线比较。

图11、归纳：邻补角、对顶角定义邻补角。

两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点的两个角是对顶角。

2、总结：①两条直线相交所构成的四个角中，邻补角有对。

对顶角有对。

②对顶角形成的前提条件是两条直线相交．．．．．．。

5、对应练习：①下列各图中，哪个图有对顶角？B B B AC D C D C DA AB B B （A ）C D C A C D A D（二）邻补角、对顶角的性质1、邻补角的性质：邻补角 。

注意：邻补角是互补的一种特殊的情况，数量上 ，位置上有一条 。

2、对顶角的性质：完成推理过程如图，∵∠1+∠2 = ，∠2+∠3 = 。

（邻补角定义）∴∠1=180°－ ，∠3 =180°－ （等式性质）∴∠1=∠3 (等量代换)或者∵∠1与∠2互补，∠3与∠2互补（邻补角定义）， ∴∠l＝∠3（同角的补角相等）．由上面推理可知，对顶角的性质：对顶角 。

三、 应用（一）例 如图，已知直线a 、b 相交。

∠1＝40°，求∠2、∠3、∠4的度数解：∠3＝∠1＝40°（ ）。

∠2＝180°－∠1＝180°－40°＝140°（ ）。

∠4＝∠2＝140°（ ）。

你还有别的思路吗？试着写出来（二）变式训练：把例题中∠1＝40°这个条件换成其他条件，而结论不变，自编几道题．变式1：把∠l＝40°变为∠2－∠1＝40° 变式2：把∠1＝40°变为∠2是∠l 的3倍变式3：把∠1＝40°变为∠1 ：∠2＝2：9 四 自我检测： （一）选择题:1.如图所示,∠1和∠2是对顶角的图形有( )12121221A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图1所示,三条直线AB,CD,EF 相交于一点O,则∠AOE+∠DOB+∠COF 等于( • )A.150°B.180°C.210°D.120°O E C B A cb a 3412OFE D CB A O DCBA(1) (2) 3.下列说法正确的有( )①对顶角相等;②相等的角是对顶角;③若两个角不相等,则这两个角一定不是对顶角;④若两个角不是对顶角,则这两个角不相等. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4.如图2所示,直线AB 和CD 相交于点O,若∠AOD 与∠BOC 的和为236°,则∠AOC 的度数为( ) A.62° B.118° C.72° D.59° （二）填空题:1. 如图3所示,AB 与CD 相交所成的四个角中,∠1的邻补角是______,∠1的对顶角___.34D CBA 12OFE D CB A ODC BA12(3) (4) (5) 2.如图3所示,若∠1=25°,则∠2=_______,∠3=______,∠4=_______.3.如图4所示,直线AB,CD,EF 相交于点O,则∠AOD 的对顶角是_____,∠AOC 的邻补角是_______;若∠AOC=50°,则∠BOD=______,∠COB=_______.4.如图5所示,直线AB,CD 相交于点O,若∠1-∠2=70,则∠BOD=_____,∠2=____. 5、已知∠1与∠2是对顶角，∠1与∠3互为补角，则∠2+∠3= 。

五、拓展延伸1、如图所示,直线a,b,c 两两相交,∠1=2∠3,∠2=65°,求∠4的度数.3、如图所示, 直线AB,CD 相交于点O,OE 平分∠AOD,∠AOC=120°,求∠BOD,∠AOE 的 度数.变式训练:（1）直线AB,CD 相交于点O,OE 平分∠AOD, ∠BOD－∠BOC=50°，求∠EOC 的度数。

A BCDO （2）直线AB,CD 相交于点O,若∠AOD=40°，∠AOE:∠EOD=2:3,求∠EOD 的度数。

3、两条直线交于一点，有几对对顶角？ 三条直线交于一点，有几对对顶角？ 四条直线交于一点，有几对对顶角？ X 条直线交于一点，有几对对顶角？课题：5.1.2 垂线学习目标：1．理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线。

2．掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离。

3．掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理。

学习重点：垂线的定义及性质。

学习难点：垂线的画法 学习过程： 一、学前准备填空：①如果∠α与∠β互为余角，∠α＝37°，那么∠β＝ 。

②已知∠1与∠2互为余角，∠1与∠3互为余角，那么∠2与∠3的关系是 。

二、探索与思考 （一）垂线的定义1、观察思考：转动相交线模型，观察两条直线所成的夹角的变化。

当夹角变化到 °时，就是我们今天要研究的两条直线垂直。

2、定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是 时，这两条直线就互相垂直。

其中一条直线叫做另一条直线的 ，它们的交点叫做 。

3、符号表示：①如果直线AB 、CD 互相垂直，记作AB⊥CD，垂足为O 。

②由两条直线垂直，可知四个角为直角。

记为∵AB⊥CD（已知）∴∠AOD＝90°（垂C B A 直定义）由两条直线交角为直角，可知两条直线互相垂直。

记为∵∠AOD＝90°（已知）∴AB⊥CD （垂直定义）4、总结：①垂直是相交。

是相交的一种特殊情况。

②垂直是一种相互关系，即a⊥b，同时b⊥a③当提到线段与线段，线段与射线，射线与射线，射线与直线的垂直情况时，是指它们所在的直线互相垂直。

5、生活中的垂直关系：日常生活中，两条直线互相垂直很常见，你能举出几个例子吗？（二）垂线的性质一1、垂线的画法有两种：利用 或者 。

2、垂线性质： 。

（三）垂线的性质二1、思考：在灌溉时，要把河中的水引到农田P 处，如何挖渠能使渠道最短？2、探究：上面思考问题可以转化为数学问题：“已知直线l 和直线外一点P ，连接点P 到直线l 上各点O,A 1,A 2,A 3…，其中 PO⊥l（我们称PO 为点P 到直线l 的垂线段）。

请你比较线段PO ，PA 1，PA 2，PA 3…的长短，哪一条最短？结论： 。

简记为： 。

2、对应练习：①修一条公路将村庄A 、B 与公路MN 连接起来，怎样修才能使所修的公路最短？画出线路图，并说明理由。

NM（四）点到直线的距离： 1、定义：直线外一点到这条直线的 ，叫做点到直线的距离。

2、注意：定义中说的是“垂线段的长度．．”，而不是“垂线段”。

因为，距离是一个数量，而“垂线段”是指一个具体的几何图形。

3、对应练习：如图，∠BCA＝90°，CD⊥AB，垂足为D ，则下列结论中正确的个数为（ ）①AC 与BC 互相垂直；②CD 与BC 互相垂直；③点B 到AC 的垂线段是线段AC ；④点C 到AB 的距离是线段CD ；⑤线段AC的长度是点A 到BC 的距离；⑥线段AC 是点A 到BC 的距离。

A.2 B.3 C.4 D.5三、自我检测：A ●B ●ODCA （一）选择题:1.如图1所示,下列说法不正确的是( )A.点B 到AC 的垂线段是线段AB;B.点C 到AB 的垂线段是线段ACC.线段AD 是点D 到BC 的垂线段;D.线段BD 是点B 到AD 的垂线段DCBAD CBA(1) (2) 2.如图1所示,能表示点到直线(线段)的距离的线段有( ) A.2条 B.3条 C.4条 D.5条 3.下列说法正确的有( )①在平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线; ②在平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线; ③在平面内,过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线; ④在平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4.如图2所示,AD⊥BD,BC⊥CD,AB=a cm, BC=b cm ,则BD 的范围是( ) A.大于a cm B.小于b cmC.大于a cm 或小于b cmD.大于b cm 且小于a cm 5.到直线L 的距离等于2cm 的点有( )A.0个B.1个;C.无数个D.无法确定6.点P 为直线m 外一点,点A,B,C 为直线m 上三点,PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,则点P 到 直线m 的距离为( )A.4cmB.2cm;C.小于2cmD.不大于2cm（二）填空题:1、如图4所示,直线AB 与直线CD 的位置关系是_______,记作_______,此时, ∠AOD=∠_______=∠_______=∠_______=90°.2、如图5,AC⊥BC,C 为垂足,CD⊥AB,D 为垂足,BC=8,CD=4.8,BD=6.4,AD=3.6,AC= 6,那么点C 到AB 的距离是_______,点A 到BC 的距离是________,点B 到CD 的距离是_____,A 、B 两点的距离是_________.CBAFE D C B A(2)ODCBA E(3)ODCB A (4) (5) (6) (7) (8)B DOF D CB A 3、如图6,在线段AB 、AC 、AD 、AE 、AF 中AD 最短.小明说垂线段最短, 因此线段AD 的长是点A 到BF 的距离,对小明的说法,你认为_________________. 4、如图7,AO⊥BO,O 为垂足,直线CD 过点O,且∠BOD=2∠AOC,则∠BOD=________. 5、如图8,直线AB 、CD 相交于点O,若∠EOD=40°,∠BOC=130°,那么射线OE 与直线AB 的位置关系是_________.五、拓展延伸1、已知，如图，∠AOD 为钝角，OC⊥OA,OB⊥OD 求证：∠AOB＝∠COD证明：∵OC⊥OA，OB⊥OD（ ） ∴∠AOB＋∠1＝ ，∠COD+∠1=90°（垂直的定义）∴∠AOB=∠COD（ ）变式训练：如图OC⊥OA,OB⊥OD ,O 为垂足,若∠BOC=35°,则∠AOD=________.2、已知:如图,直线AB,射线OC 交于点O,OD 平分∠BOC,OE 平分∠AO C.试判断OD 与OE 的位置关系.E DC B3、如图,分别画出点A 、B 、C 到BC 、AC 、AB 的垂线段,再量出A 到BC 、点B 到AC 、 点C 到AB 的距离.CBA4、如图，直线AB,CD 相交于O,OE⊥CD，OF⊥AB，∠DOF＝65°，求∠BOE 和∠AOC 的度数。