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12.2 证明例题讲解例1 有两条如图所示小路，这两条小路哪个长？这两条小路的面积怎样？观察、思考、说理．感受说理的必要性和重要性，从而激发学生追求真理的兴趣和欲望．例题讲解例2 小明和小林在研究代数式2－2m＋m2的值的情况时得出了两种不同的结论．小明填写表格：m －2 0 4 6 ……2－2m＋m210 2 10 26 ……小林填写表格：m －6 －4 2 0 ……2－2m＋m250 26 2 2 ……请你再取一些m的值代入代数式算一算，说明小明和小林的结论是否正确．你是否有新的发现？新的结论？思考：本题中，你用什么方法去说明别人的观点不正确？你又是怎么说明自己的观点是正确的？观察、操作、思考、独立完成．让学生通过观察、操作、猜想、探究得出结论．数学实验一（1）在提供的模板中取两个直角三角形和两个直角梯形，按图①拼成8×8的正方形，用胶带粘好．学生独立完成，说说自己的想法．让学生体会数学学习的方法．（2）根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证；（3）写出证明过程．例题学习例1 已知：如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，MG平分∠EMB，NH平分∠END．求证：MG∥NH．积极思考，尝试证明，同桌间交流书写规程，进一步体会证明要求．随堂练习1．已知：如图，AD∥BC，∠BAD＝∠DCB．求证：∠1＝∠3．2．已知：A、O、B在一直线上，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．求证：OM⊥ON．认真完成两条练习题．及时巩固证明的要求，初步树立言必有理，落笔有据的推理意识．A BC DEFMNHG。
初一数学单元复习讲义（证明）姓名_______________【知识点 1】定义与命题1、在说明判断正确性时，经常需要________。
2、定义：_______________________________.3、命题：____________________.每个命题都由_____和____组成。
题设是_______事项，结论是__________________ 事项。
4如果__________,那么____________,这样的命题称为真命题。
如果 ____ ,结论____________,这样的命题称为假命题。
5、真命题的正确性需要推理证明，而假命题的证明只需；6、如果一个命题的条件是第二个命题的_______,第一个命题的_______又是第二个命题的_______,那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做另一个命题的___________.【基础练习】1．判断下列语句是否是命题，填“是或否”．是命题的写出它的条件和结论。
（1）内错角等不等？（）（2）对顶角相等；（）（3）画一个60°的角．（）（4）等角的余角相等；（）2．写出下列命题的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假，填“真或假”(1)等腰三角形的两个底角相等；（）（2）如果a＞b，那么ac2＞bc2；（）（1）逆命题：（）；（2）逆命题：（）；3、命题“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”的条件是：_________________ ，结论是：____________________ ．4、计算n=-1,0，1,2,3时,代数式n2+n的值。
换几个n值试一试，你有何发现？证实你所发现的结论。
5、对于同一平面的三条直线，给出下列5个论断：①a∥b；②b∥c；③a⊥b；④a∥c；⑤a⊥c．以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题，画出图形并证明你的结论．已知：求证：证明：【知识点 2】证明1、几个基本公理：①关于平行线的两个公理：、；②线段公理：；③直线公理：④垂线（段）公理：；2、平行线的其它性质:；；3、平行线的其它判定：；；4、三角形的内角和定理： .5、三角形内角和定理的推理： .6、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线________；7、直角三角形的两个锐角；8、与图形有关的文字命题的证明步骤一般有：1）根据命题；2）根据命题的条件和结论，结合图形；3、写出。
自觉数学课堂——12.2 证明（1）教学设计1、教材分析《证明》是苏科版《数学》七年级下册第十二章第二节的内容，是引导学生由感性思维向理性分析的重要转折点。
教材分析结构图2、学情分析⑴已有基础：①已具备一定知识储备和一定认知能力;②有了初步的证明经验。
⑵身心发展：①处于从感性思维向理性思维转化的关键期；②初中生智力飞跃发展，个性逐步形成；③学生思维活跃，尝试欲望强烈。
⑶对策措施：①结合最近发展区建构学习支架；②创建自觉学习氛围，自主学习与合作学习相结合；③分层兼顾，多种教学方式助推突破。
3、教学目标教学目标制订依据图⑴能在观察、实验、操作的基础上，对所作的猜想加以证实(或证伪)；⑵通过积极参与，获得正确的数学推理方法，理解数学的严谨性、严密性及证明的必要性；⑶体会检验数学结论的常用方法：实验验证、举反例、推理，会用推理方法判断结论的正确性.4、重点难点重点：经历观察、归纳、验证等活动过程，在活动中体会到观察、实验、归纳所得到的结论未必可靠，初步感受证明的必要性。
难点：在学生现有知识储备的基础上初步理解证明的意义及证明的必要性。
关键点：与学生的智能水平相匹配的内容设计与思想方法的渗透。
５、课堂教学设计⑴课前引入潜移默化在本节课前让学生观察两张图片（如图），从生活与数学两个方面进行引导，一张是生活中的常见“水杯中的铅笔折断了吗？”的图片，一张是数学上”设计意图后续教学埋下的一个伏笔。
⑵课堂导入联系生活师：各位同学，今天非常高兴与大家一起来一次“数学证明”之旅，首先请大家猜一猜老师我有多重？生：学生猜测教师的体重（多位进行猜测）师：同学们想一想如何验证老师到底有多重呢？生：称一称师：取出体重称称一下，请学生拍照上传（使用希沃教学平台）师：同学们是依据什么进行猜测的?生：依据身高、体型等师：（板书）观察→猜想→验证（引导语：在刚才的过程中大家经历了“观察——猜想——验证”这样三个环节，其实数学中也经常需要大家通过“观察——猜想——验证”来分析解决问题．首先大家来看这样两个问题。
12.2证明教学目标1.知晓实验、观察、操作等是认识事物的有效手段,经历一些观察、操作活动,并能对获得的数学猜想进行验证。
2.体验直观判断不一定正确,从而能尝试从数学的角度运用已有的知识和方法寻求证据,给出证明,感受推理证明的必要性。
3.感受数学思考的合理性和严密性,在猜想和证实数学结论的过程中,增强理性精神和推理意识。
学情分析理性精神、推理意识是人类思维的典型特色,而数学证明则是提升这种逻辑思维的最佳手段。
《证明》这一章以及后续的“图形与几何”的内容是训练学生逻辑思维能力的有效载体。
本课内容虽然只是证明的前奏,但它对于帮助学生更深刻的理解推理证明的必要性,引发学生的推理意识,把握说理的基本方法,形成缜密的逻辑思维是非常重要的。
根据教学内容,结合七年级学生的偏向直观认知特点,采用“观察——探究——体验——实践”的导学方式,以感受证明的必要性为“主线”,以“比较线段长短”、“拼长方形”、“判断代数式值的特征”、“计算间隙大小”和“设计小路”等动手“做”数学活动为“路径”,让学生明确“生活中存在说理”、“数学中需要说理”、“说理是解决问题的一种方法”、“利用反例可以说明一个结论是错误的”、“而要说明一个结论是正确的需要借助已有知识和方法从正面进行推理”等。
并且让学生在参与观察、实验、猜想、证明等活动中体悟到探究问题的一般步骤,感悟到证实一个结论的逻辑推理的必要性,帮助学生养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑的学习习惯,形成严谨求实的科学态度数学,课中的德育也渗透其中.重点难点七年级学生没有机器人学习基础,他们对于紫光机器人还很陌生。
本节课设计主要是让学生基本上了解机器人的工作原理及能够简单设计机器人沿线直线行走程序,并能读懂机器人沿曲线行走的程序。
提高学生对机器人理解、编辑程序的能力。
教学过程情境1观察三幅图（课件展示），说说对用眼观察的想法。
结论：同一个事物，不同的人从不同的角度观察得到的结论可能不同，甚至无法得到结论。
证明【知识梳理】：1. 命题的概念判断一件事情的句子叫做命题。
正确利用命题的定义，来判断一语句是否为命题，关键看它是否为判断句。
如：（1）两点确定一条直线。
（2）过两点画一条直线。
（3）过两点能画一条直线吗？（1）是判断句，所以是命题，而（2）是描述句；（3）是疑问句，所以（2）、（3）都不是命题。
2. 命题的结构。
命题是由题设（已知事项）和结论（由已知事项推出的事项）组成的。
已知事项，常写为：“如果……”，由已知事项推出的事项，常写为：“那么……。
”所以，对于一般命题而言，“如果”后面是题设，“那么”后面是结论。
有的命题语言很简练，可以将其改写成：“如果……那么……”的形式。
3. 命题的真假性。
命题有真有假，正确的命题叫真命题；错误的命题叫做假命题，判定一个命题是真命题时，必须保证题设成立时，结论一定成立。
判断一个命题是假命题时，只需举出一个“反例”，说明不能保证结论一定成立即可。
4. 公理。
人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理，如“两点之间，线段最短”，“两直线平行，同位角相等”。
注意：（1）公理是通过长期实践反复试验证过的，不需再进行推理论证而都承认的命题。
（2）公理可以作为判定其他命题真假的根据。
5. 定理。
用推导的方法判为正确的命题叫做定理。
如“两直线平行，内错角相等”等。
定理是真命题，但真命题不一定都是定理，一般选择一些最常用最基本的真命题作为定理，可以以它们为根据推证其他命题，这些选作定理的真命题，在教材中用黑体字排印的。
6. 证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。
在几何题的研究上，必须经过证明，才能做出真实可靠的判断，如“对顶角相等”这个命题，如果只采用测量的方法，只能测量有限个对顶角是相等的，但采用推理方法证明了对顶角相等，那么就可以确信一切对顶角相等。
7. 证明的一般步骤：（1）根据题意，画出图形。
（2）根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证。
（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。
第12章《证明》班级姓名一、知识要点：1．叫做命题，_________叫真命题，___________ 叫假命题。
2．证明与图形有关的命题的一般步骤有（1）_________ （2）_________ (3) _________3. 三角形的内角和为，直角三角形的两个锐角，三角形的外角等于_____________4.______________ _________ 叫互逆命题二、基础练习：1．下面的句子中是命题的有___________________．（1）我是扬州人；（2）房间里的花；（3）你吃饭了吗？（4）内错角相等；（5）延长线段AB；（6）明天可能下雨；（7）若a2>b2 则a>b. （8）对顶角相等；2．写出下列命题的条件与结论，并判断真假。
（1）能被2整除的数也能被4整除；条件是_________结论是_________ 它是（）命题（2）相等的两个角是对顶角；条件是_________结论是_________ 它是（）命题3. （1）命题“内错角相等”的条件是_________，结论是________ ，这个命题的逆命题的条件是___________，结论是__________．（2）命题“如果a>0，b>0，那么ab>0”的条件是___________，结论是_________，•这个命题的逆命题是___________．4．如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠A=65°，则∠BEC=______°．(1) (2) (3)5．如图2，∠1、∠2、∠3分别是△ABC的3个外角，则∠1+∠2+∠3=_______°．6．如图3，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BD平分∠CBE，则∠ADB=______°．O E D C BA 7．•若一个三角形的3•个内角度数之比为4：•3：•2，•则这个三角形的最大内角为___°8．下面有3个命题：①同旁内角互补；②两直线平行，内错角相等；•③垂直于同一直线的两直线互相平行．其中真命题为_________（填序号）9．下面有3个判断：①一个三角形的3个内角中最多有1个直角；②一个三角形的3个内角中至少有两个锐角；③一个三角形的3个内角中至少有1个钝角．•其中正确的有_________（填序号）三、典型例题：例1．请把下列证明过程补充完整：已知：如图，DE ∥BC ，BE 平分∠ABC ．求证：∠1=∠3．证明：因为BE 平分∠ABC （已知），所以∠1=______（ ）．又因为DE ∥BC （已知），所以∠2=_____（ ）． 所以∠1=∠3（ ）．例2． 如图，在△ABC 中，∠A ＝600，D 是AB 上一点，E 是AC 上一点，BE 、CD 相交于点O ，且∠BOD ＝550，∠ACD ＝300，求∠ABE 的度数。
课题证明主备人备课日期教学目标1. 了解证明的基本步骤和书写格式；2. 感受数学的严谨性，结论的确定性，初步养成言之有理，落笔有据的推理习惯，发展初步的演绎推理能力；3.回顾三角形的内角和定理及推论；学会用逻辑推理的方法对三角形的内角和定理及推论重新进行研究证明；教学重点体会到添加辅助线可以帮助我们把不会解的新问题转化为会解的问题，是常用的数学方法教学难点初步养成言之有理，落笔有据的推理习惯，发展初步的演绎推理能力教学方法教学过程个人主备课内容二次备课教师活动学生活动设计意图问题一：如何用推理的方法证实“垂直于同一条直线的两条直线平行．”的正确性呢？(1)这个命题的条件是什么？结论是什么？(2)你能根据命题的条件画出相应的图形吗？(3)要证明图1中的∠1与∠2相等，就需要知道它们有什么联系？你能说说它们之间的联系吗？图1说明：1.通过3个小问题的提问，引导学生逐步体会推理的思考方法.在讨论、交流中发展学生有条理的表达能力，然后教师示范推理的书写格式.2.由于学生在前面已经对证明有所了解，所以这里有所侧重地先介绍推理的书写格式.3.通过书写格式的规范化要求，使学生对证明的规范书写有所了解.归纳：用推理的方法证实真命题的过程叫做证明（proof）.经过证明的真命题称为定理（theorem）.已经证明的定理也可作为以后推理依据.例1、类型之一证明两直线平行已知：如图，∠C=∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于点G．求证：AB∥CD．学生思考并口答．可能学生不会解决此问题，也可能学生会阐述自己的一些想法，可能有正确的想法，也可能有错误的想法．（1）学生多角度思考，积极发言．（2）观察两组式子提出自己对))((dc ba++的想法．此问题情境富有较强的数学味和挑战性，直奔主题．此活动在于帮助学生解决“情境创设”中的问题，将问题赋予此背景较易激起学生解决问题的兴致．且此问题比较开放，没有限制学生的思维，学生从不同角度审视图形，再交流讨论，从而体会感受用多种方法表示同一图形的面积，从图形的直观感知多项式乘多项式的意义．通过观察组[解析]首先由BE⊥FD，得∠1和∠D互余，再由已知，∠C=∠1，∠2和∠D互余，所以得∠C=∠2，从而证得AB∥CD．类型之二证明角相等例2如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC，DE交AB于E，DF∥AB，DF交AC于F．求证：∠1=∠2．[解析]结合已知条件，根据平行线的性质及角平分线的定义，证明∠1=∠2．类型之三添加辅助线证明例3 如图，已知直线AB∥CD，求证：∠A+∠C=∠AEC．[解析]过E作EF∥AB，根据平行的传递性，则有EF∥CD，再根据两直线平行内错角相等的性质可求．问题二：1.如何证明三角形内角和等于180°？2.你有没有办法在平面图形中把三角形的三个内角“搬”到一起？分析：添加辅助线，实质是构造新图形，由于学生思考并回答，也许学生说不到位，可以相互补充完善．学生口答，教师板书．1．学生尝试解答，纠错．学生思考，交流得到注意点．合后得到的式子，让学生感悟数与形的关系，感悟数形结合的思想．在此例题书写完整解题步骤的过程中，巩固学生对法则的理解，教师的板书能即时给学生以示范作用．此例题的设置旨在训练学生思维，提高学生灵活运用法则的能力，第二问在法则运用的同时还体现了整体思想的渗透．最后由小组内互助纠错，学生没有接触过辅助线，实际教学中学生可能采用的方法有：(1)拼图中把一个角移动位置的活动，通过画一个角等于这个角来实现. (2)从已有的对图形的平移、旋转的认识出发，通过角的平移、旋转把三角形的3个内角“搬”到一起.3.你能想办法把∠A 、∠B “搬”到相应的位置上吗？已知：△ABC.求证：∠A+∠B+∠C=180°.证明：如图，作BC 的延长线CD ，过点C 作CE ∥AB,∵CE ∥AB,∴∠1=∠B(两直线平行，同位角相等), ∴∠2=∠A(两直线平行，内错角相等). ∵∠1+∠2+∠ACB=180°(平角的定义), ∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换).通过证明我们现在对三角形内角和等于180°不再产生怀疑了，于是得到：三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.说明：证明后可以让让学生知道三角形定理的可靠性与完备性，只有通过证明过的理论才是完美的，前面学过的很多正确的命题都可以通过用证明的方法来说明它们的正确性.如“等边对等角”、“平行四边形的对边相等”等.4. 画∠ACE=∠A 是否也可以证明: ∠A+∠B+∠ACB=180°？5. 你还有不同的证明方法吗？与同学交流. 例如：过点A 作EF ∥BC.学生思考后举手回答．1．小组内相互交流收获； 2．集体交流； 3．跟着教师体会多项式乘多项式的实质．能有效帮助后进生，培养学生的合作意识．在相互交流中总结本节课的收获，可以达到总结归纳本节知识的目的，形成完整的印象。
第12章《证明》
班级姓名
一、知识要点：
1．叫做命题，_________叫真命题，___________ 叫假命题。
2．证明与图形有关的命题的一般步骤有（1）_________ （2）_________ (3) _________
3. 三角形的内角和为，直角三角形的两个锐角，三角形的外角等于_____________
4.______________ _________ 叫互逆命题
二、基础练习：
1．下面的句子中是命题的有___________________．
（1）我是扬州人；（2）房间里的花；（3）你吃饭了吗？（4）内错角相等；
（5）延长线段AB；（6）明天可能下雨；（7）若a2>b2 则a>b. （8）对顶角相等；
2．写出下列命题的条件与结论，并判断真假。
（1）能被2整除的数也能被4整除；条件是_________
结论是_________ 它是（）命题
（2）相等的两个角是对顶角；条件是_________
结论是_________ 它是（）命题
3. （1）命题“内错角相等”的条件是_________，结论是________ ，这个命题的逆命题的条件是___________，结论是__________．
（2）命题“如果a>0，b>0，那么ab>0”的条件是___________，结论是_________，•这个命题的逆命题是___________．
4．如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠A=65°，则∠BEC=______°．
(1) (2) (3)
5．如图2，∠1、∠2、∠3分别是△ABC的3个外角，则∠1+∠2+∠3=_______°．
6．如图3，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BD平分∠CBE，则∠ADB=______°．
O E D C B
A 7．•若一个三角形的3•个内角度数之比为4：•3：•2，•则这个三角形的最大内角为___°
8．下面有3个命题：①同旁内角互补；②两直线平行，内错角相等；•③垂直于同一直线
的两直线互相平行．其中真命题为_________（填序号）
9．下面有3个判断：①一个三角形的3个内角中最多有1个直角；②一个三角形的3个
内角中至少有两个锐角；③一个三角形的3个内角中至少有1个钝角．•其中正确的有_________（填序号）
三、典型例题：
例1．请把下列证明过程补充完整：
已知：如图，DE ∥BC ，BE 平分∠ABC ．求证：∠1=∠3
．
证明：因为BE 平分∠ABC （已知），
所以∠1=______（ ）．
又因为DE ∥BC （已知），
所以∠2=_____（ ）． 所以∠1=∠3（ ）．
例2． 如图，在△ABC 中，∠A ＝600，D 是AB 上一点，E 是AC 上一点，BE 、CD 相交于点O ，
且∠BOD ＝550，∠ACD ＝300，求∠ABE 的度数。
例3．如图，在△AFD 和△CEB 中，点A 、E 、F 、C 在同一直线上，下面有4个判断：
（1）AD=CB ；（2）AE=FC ；（3）∠B=∠D ；（4）AD ∥BC ．
请用其中3个作为已知条件，余下1个作为结论，编一道数学问题，•并写出解答过程．
例3.如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线交于点I．根据下列条件求∠BIC的值．（1）若∠ABC=60°，∠ACB=40°，则∠BIC=______°；
（2）若∠ABC+∠ACB=100°，则∠BIC=______°；
（3）若∠A=80°，则∠BIC=______°；
（4）若∠A=n°，你能用含有n的代数式表示∠BIC吗？请写出推理过程．
例4.已知：如图，AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，交AB于G，交CA延长线于E，∠1=∠2．求证：AD平分∠BAC
四、课后作业：
1.下列语言是命题的是( )
A.画两条相等的线段
B.等于同一个角的两个角相等吗？
C.延长线段AO到C，使OC=OA
D.两直线平行，内错角相等.
2.下列命题是真命题的是 ( )
A.如果两个角不相等,那么这两个角不是对顶角;
B.锐角三角形中最大的角一定大于或等于60°
C.如果a 2=b 2
,那么a=b;
D.如果两角是同位角,那么这两角一定相等
3．把下列命题“同角的补角相等”改写成：如果 那么
4．举反例说明下列命题是假命题
（1）如果一个角的两边分别与另一个角的两边互相平行，那么这两个角相等
（2）如果a<b ，则ac<bc ；
5．写出下列命题的逆命题并判断原命题和逆命题的真假
（1）如果a=0，那么ab=0；
（2）直角都相等；
（3）如果│a │=│b │，那么a=b ；
6在△ABC 中，如果∠B =45°∠C =72°那么与∠A 相邻的外角等于_________度．
7.直角三角形中两个锐角的差为20°，则两个锐角的度数分别为_____＿度．
8．如图，在△ABC 中，CH 是外角∠ACD 的平分线，BH 是∠ABC 的平分线，∠A =58°，求∠H 的度数．
9. 已知：A 、O 、B 在一直线上，OM 平分∠AOC，ON 平分∠BOC.
求证：OM⊥ON.
A O
B
C M N 1 2。
