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【新教材】人教统编版高中数学A版必修第一册第一章教案教学设计+课后练习及答案1.1 《集合的概念》教案教材分析集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础．许多重要的数学分支，都是建立在集合理论的基础上．此外，集合理论的应用也变得更加广泛．教学目标【知识与能力目标】1．通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；2．知道常用数集及其专用记号；3．了解集合中元素的确定性、互异性、无序性；4．会用集合语言表示有关数学对象；5．培养学生抽象概括的能力．【过程与方法目标】1．让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义．2．让学生归纳整理本节所学知识．【情感态度价值观目标】使学生感受学习集合的必要性和重要性，增加学生对数学学习的兴趣．教学重难点【教学重点】集合的含义与表示方法．【教学难点】对待不同问题，表示法的恰当选择．课前准备学生通过预习，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标．教学过程（一）创设情景，揭示课题请分析以下几个实例：1．正整数1，2，3，；2．中国古典四大名著；3．2018足球世界杯参赛队伍；4．《水浒》中梁山108 好汉；5．到线段两端距离相等的点．在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体．（二）研探新知1．集合的有关概念（1）一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称为集）．思考：上述5 个实例能否构成集合？如果是集合，那么它的元素分别是什么？练习1：下列指定的对象，是否能构成一个集合？①很小的数②不超过30 的非负实数③直角坐标平面的横坐标与纵坐标相等的点④ 的近似值⑤高一年级优秀的学生⑥所有无理数⑦大于2 的整数⑧正三角形全体（2）关于集合的元素的特征（a）确定性：设A一个给定的集合，对于一个具体对象a,则a或者是集合A 的元素，或者不是集合 A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立．（b）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素．一元素.（c）无序性：集合中的元素是没有顺序关系的，即只要构成两个集合的元素一样，我们称这两个集合是相等的，跟顺序无关．（3）思考1：列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题．答案：（a）把3-11内的每一个偶数作为元数，这些偶数全体就构成一个集合．(b)不能组成集合，因为组成它的元素是不确定的.( 4)元素与集合的关系；(a)如果a是集合A的元素，就说a属于(belongto) A,记作a € A(b)如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to) A,记作a A例如：A表示方程x2=1的解. 2 A, 1CA( 5)集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合．(a)列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号”。
第2课时量词[课程目标] 1.通过生活和教学中的实例，理解全称量词和存在量词；2.理解全称量词命题和存在量词命题；3.能判定全称量词命题和存在量词命题的真假.知识点一全称量词与全称量词命题[填一填](1)全称量词的定义一般地，短语“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词．(2)常见的全称量词“所有”“一切”“每一个”“任意一个”等，均表示所述事物的全体．(3)全称量词的记法全称量词用符号“∀”表示．(4)全称量词命题的定义含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．也可以理解为陈述某集合所有元素都具有某种性质的命题．(5)全称量词命题的形式一般地，设r(x)是某集合M的所有元素都具有的性质，那么全称量词命题就是形如“对集合M中的所有元素x，r(x)”的命题．用符号简记为∀x∈M，r(x)．[答一答]1．怎样判断一个全称量词命题的真假？提示：要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合中的每一个元素x验证p(x)成立，一般用代数推理给出证明．要判断一个全称量词命题是假命题，只需举出一个反例(满足命题的条件，但不满足命题结论的例子)．例如：命题p：∀x∈R，x2－4x≥0；当x＝1时，x2－4x＝－3，－3<0，故命题p为假命题．知识点二存在量词与存在量词命题[填一填](1)存在量词的定义短语“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词．(2)常见的存在量词常见的存在量词有“有一个”“有些”“至少有一个”“存在一个”“对某个”“有的”等．(3)存在量词的记法存在量词通常用符号“∃”表示．(4)存在量词命题的定义含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．也可理解为陈述在某集合中有(存在)一些元素具有某性质的命题．(5)存在量词命题的形式一般地，设s(x)是某集合M的有些元素x具有的某种性质，那么存在量词命题就是形如“存在集合M中的元素x，s(x)”的命题，用符号简记为∃x∈M，s(x)．[答一答]2．怎样判断一个存在量词命题的真假？提示：要判断一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x＝x0使q(x0)成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题．类型一全称量词命题和存在量词命题的判断[例1] 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出全称量词或存在量词．(1)所有同学都顺利通过了考试；(2)圆周上任意一点到圆心的距离都等于圆的半径；(3)有的整数是奇数；(4)至少有一个三角形没有外接圆．[解](1)全称量词命题，“所有”；(2)全称量词命题，“任意”；(3)存在量词命题，“有的”；(4)存在量词命题，“至少有一个”．判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看量词是全称量词还是存在量词.[变式训练1] 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题．(1)至少有一个素数不是奇数；(2)实数的绝对值是正数．解：命题(1)中含存在量词“至少有一个”，因而是存在量词命题；命题(2)中省略了全称量词“所有”，实际上是“所有实数的绝对值都是正数”，故是全称量词命题．类型二全称量词命题的真假判断[例2] 判断下列全称量词命题的真假．(1)∀x∈{x|x是无理数}，x2是无理数；(2)∀x∈Z，都有x∈Q；(3)∀x∈R，x2＋2>0；(4)∀x∈N，x4≥1.[解](1)假命题．因为x＝2是无理数，但x2＝2不是无理数，所以其为假命题．(2)真命题．由有理数包括整数和分数，知命题为真命题．(3)真命题．对∀x∈R，有x2≥0，所以x2＋2≥2>0.(4)假命题．由于x＝0∈N时，x4≥1不成立，所以“∀x∈N，x4≥1”为假命题．要判断一个全称量词命题“∀x∈M，p x”是真命题，需要对限定集合中的每一个元素x证明p x成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p x0不成立，那么这个全称量词命题就是假命题.所以，全称量词命题以反例否定.[变式训练2] 用全称量词把下列语句写成全称量词命题，并判断真假．(1)偶数是合数；(2)三角形有外接圆；(3)非负实数有两个偶次方根．解：(1)所有的偶数都是合数．偶数都能被2整除，2是偶数，但不是合数，是假命题．(2)任意三角形都有外接圆．真命题．(3)所有的非负实数都有两个偶次方根，假命题．类型三存在量词命题的真假判断[例3] 判断下列存在量词命题的真假：(1)∃x∈R，x2＋2x＋3＝0；(2)存在两个相似三角形面积相等；(3)有些整数只有两个正因数．[解](1)由于∀x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此，使x2＋2x＋3＝0的实根x 不存在，所以该命题为假命题．(2)全等三角形一定相似，面积肯定相等，所以是真命题．(3)由于存在整数3，只有两个正因数1和3，所以该命题为真命题．对于存在量词命题的真假判定，要证明其为真命题只要找到一个限定集合中的x0，使q x0成立即可.欲证其假，可结合全称量词命题，利用它们之间互为正反面的关系来说明.[变式训练3] 用存在量词将下列语句写成存在量词命题，并判断真假：(1)素数也可以是偶数；(2)不是每一个四边形都有外接圆．解：(1)存在一个素数是偶数.2既是素数又是偶数，真命题．(2)有的四边形没有外接圆．真命题．1．“经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”是( A )A．全称量词命题B．存在量词命题C．不是命题D．假命题解析：题目条件中含有“任意”的意思，所以是全称量词命题．2．在下列存在量词命题中假命题的个数是( A )①有的实数是无限不循环小数；②有些三角形不是等腰三角形；③有的菱形是正方形．A．0 B．1C．2 D．3解析：因为三个命题都是真命题，所以假命题的个数为0.3．给出下列四个命题：①有理数是实数；②有些平行四边形不是菱形；③对任意x∈R，x2－2>0；④有一个素数含有三个正因数．以上命题为真命题的序号是①②.解析：∵当x＝0时，x2－2＝－2<0，∴③是假命题．∵任何素数只有1和它本身是它的正因数，∴④是假命题．4．判断下列语句是全称量词命题还是存在量词命题，并用“∀”或“∃”符号表示．(1)对任意实数x，x2＋2x＋5>0；(2)存在整数x，x2＋1＝0；(3)至少有一个整数，既是3的倍数，又是5的倍数；(4)负数的平方是正数．解：(1)全称量词命题，表示为∀x∈R，x2＋2x＋5>0.(2)存在量词命题，表示为∃x∈Z，x2＋1＝0.(3)存在量词命题，表示为∃x∈Z，x既是3的倍数，又是5的倍数．(4)全称量词命题，表示为∀x<0，x2>0.。
1.2.1 命题与量词 1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否认最新课程标准：(1)全称量词与存在量词．通过的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义．(2)全称量词命题与存在量词命题的否认．①能正确使用存在量词对全称量词命题进展否认．②能正确使用全称量词对存在量词命题进展否认.知识点一命题1．用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题假设原命题为“假设p，那么q〞，那么其逆命题是假设q，那么p；否命题是假设綈p，那么綈q；逆否命题是假设綈q，那么綈p.(2)四种命题间的关系知识点二全称量词和全称量词命题全称量词所有的、任意一个、一切、任给符号∀全称量词命题含有全称量词的命题形式“对M中任意一个x，有p(x)成立〞，可简记为“∀x∈M，p(x)〞存在量词存在一个、至少有一个、有些、有的符号表示∃存在量词命题含有存在量词的命题形式“存在M中的一个x，使p(x)成立〞，可用符号记为“∃x∈M，p(x)〞状元随笔全称量词命题与存在量词命题的区别(1)全称量词命题中的全称量词说明给定范围内所有对象都具有某一性质，无一例外，强调“整体、全部〞．(2)存在量词命题中的存在量词那么说明给定范围内的对象有例外，强调“个别、局部〞．知识点四全称量词命题和存在量词命题的否认1．全称量词命题：∀x∈M，p(x)，它的否认：∃x∈M，綈p(x)．2．存在量词命题：∃x∈M，p(x)，它的否认：∀x∈M，綈p(x)．状元随笔全称量词命题的否认是存在量词命题，存在量词命题的否认是全称量词命题．[根底自测]1．以下命题中全称量词命题的个数是( )①任意一个自然数都是正整数；②所有的素数都是奇数；③有的正方形不是菱形；④三角形的内角和是180°.A．0 B．1C．2 D．3解析：命题①②含有全称量词，而命题④可以表达为“每一个三角形的内角和都是180°〞，③是存在量词命题，故有三个全称量词命题．答案：D2．以下命题中存在量词命题的个数是( )①至少有一个偶数是质数；②∃x∈R，x2≤0；③有的奇数能被2整除．A．0 B．1C．2 D．3解析：①中含有存在量词“至少〞，所以是存在量词命题；②中含有存在量词符号“∃〞，所以是存在量词命题；③中含有存在量词“有的〞，所以是存在量词命题．答案：D3．命题“存在实数x，使x>1”的否认是( )A．对任意实数x，都有x>1B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1D．存在实数x，使x≤1解析：命题“存在实数x，使x>1”的否认是“对任意实数x，都有x≤1”．答案：C4．“在△ABC中，假设∠C＝90°，那么∠A，∠B都是锐角〞的否命题为：________.解析：原命题的条件：在△ABC中，∠C＝90°，结论：∠A、∠B都是锐角. 否命题是否认条件和结论．即“在△ABC中，假设∠C≠90°，那么∠A，∠B不都是锐角〞．答案：“在△ABC中，假设∠C≠90°，那么∠A，∠B不都是锐角〞题型一全称量词命题与存在量词命题的判断与其真假[经典例题]例1 判断以下命题哪些是全称量词命题，并判断其真假．(1)对任意x∈R，x2>0；(2)有些无理数的平方也是无理数；(3)对顶角相等；(4)存在x＝1，使方程x2＋x－2＝0；(5)对任意x∈{x|x>－1}，使3x＋4>0；(6)存在a＝1且b＝2，使a＋b＝3成立．【解析】(1)(3)(5)是全称量词命题，(1)是假命题，∵x＝0时，x2＝0.(3)是真命题．(5)是真命题.正确地识别命题中的全称量词，是解决问题的关键．方法归纳(1)要判定全称量词命题是真命题，需要判断所有的情况都成立；如果有一种情况不成立，那么这个全称量词命题就是假命题．(2)要判定存在量词命题是真命题，只需找到一种情况成立即可；如果找不到使命题成立的特例，那么这个存在量词命题是假命题．跟踪训练1 指出以下命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断真假：(1)假设a>0，且a≠1，那么对任意实数x，a x>0；(2)对任意实数x1，x2，假设x1<x2，那么tan x1<tan x2；(3)存在一个x∈R，使x2＋1<0.解析：(1)(2)是全称量词命题，(3)是存在量词命题．(1)∵a x>0(a>0，a≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题．(2)存在x1＝0，x2＝π，x1<x2，但tan 0＝tan π，∴命题(2)是假命题．(3)对任意x∈R，x2＋1>0.∴命题(3)是假命题．状元随笔判断一个命题是否为全称量词命题或存在量词命题，就是判断这个命题中是否含有全称量词或存在量词，有些命题的量词可能隐含在命题之中，这时要根据命题含义判断形式．题型二含有一个量词的命题的否认[教材P29例2]例2 写出以下命题的否认，并判断所得命题的真假：(1)p：∃a∈R，一次函数y＝x＋a的图像经过原点；(2)q：∀x∈(－3，＋∞)，x2＞9.【解析】(1)綈p：∀a∈R，一次函数y＝x＋a的图像不经过原点．因为当a＝0时，一次函数y＝x＋a的图像经过原点，所以綈p是假命题．(2)綈q：∃x∈(－3，＋∞)，x2x＝0时，x2＝0＜9，所以綈q是真命题.先把命题否认，再判断真假．教材反思全称量词命题的否认是一个存在量词命题，存在量词命题的否认是一个全称量词命题，因此在书写他们的否认时，相应的全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词，同时否认结论．跟踪训练2 (1)命题“对于任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否认是( )x∈R，x3－x2＋1≤0B．存在x∈R，x3－x2＋1≥0C．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0D．存在x∈R，x3－x2＋1>0(2)命题“∃x∈R，x3－2x＋1＝0”的否认是( )A．∃x∈R，x3－2x＋1≠0B．不存在x∈R，x3－2x＋1≠0C．∀x∈R，x3－2x＋1＝0D．∀x∈R，x3－2x＋1≠0解析：(1)∵命题“对于任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”是全称量词命题，其否认是对应的存在量词命题，∴否认命题为：存在x∈R，x3－x2＋1>0.应选D.(2)存在量词命题的否认是全称量词命题，故排除A；由命题的否认要否认结论，故排除C；由存在量词“∃〞应改为全称量词“∀〞，故排除B.答案：(1)D (2)D∀x∈M，p(x)的否认为∃x∈M，綈p(x)．∃x∈M，p(x)的否认为∀x∈M，綈p(x)．课时作业 5一、选择题1．以下语句不是存在量词命题的是( )A．有的无理数的平方是有理数B．有的无理数的平方不是有理数C．对于任意x∈Z,2x是偶数D．存在x∈R,2x＋1是奇数解析：A、B、D中含有存在量词是存在量词命题，C中含有全称量词是全称量词命题．答案：C2．判断以下命题是存在量词命题的个数( )①每一个一次函数都是增函数；②至少有一个自然数小于1；③存在一个实数x，使得x2＋2x＋2＝0；④圆内接四边形，其对角互补．A．1个B．2个C．3个 D．4个解析：①④是全称量词命题，②③是存在量词命题．答案：B3．命题“∀x∈[1,2]，x2－3x＋2≤0”的否认为( )A．∀x∈[1,2]，x2－3x＋2>0B．∀x∉[1,2]，x2－3x＋2>0C．∃x∈[1,2]，x2－3x＋2>0D．∃x∉[1,2]，x2－3x＋2>0解析：由全称量词命题的否认为存在量词命题知，命题“∀x∈[1,2]，x2－3x＋2≤0”的否认为“∃x∈[1,2]，x2－3x＋2>0”，应选C.答案：C4．命题p：∃x>0，x＋a－1＝0，假设p为假命题，那么实数a的取值范围是( ) A．(－∞，1) B．(－∞，1]C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)解析：因为p为假命题，所以綈p为真命题，所以∀x>0，x＋a－1≠0，即x≠1－a，所以1－a≤0，即a≥1，选D.答案：D二、填空题5．以下命题，是全称量词命题的是____________；是存在量词命题的是____________．①正方形的四条边相等；②有些等腰三角形是正三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．解析：①③是全称量词命题，②④是存在量词命题．答案：①③②④6．给出以下四个命题：①有理数是实数；②有些平行四边形不是菱形；③对任意x∈R，x2－2x>0；④有一个素数含有三个正因数．以上命题的否认为真命题的序号是________．解析：写出命题的否认，易知③④的否认为真命题，或者根据命题①、②是真命题，③、④为假命题，再根据命题与它的否认一真一假，可得③④的否认为真命题．答案：③④7．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否认是________．解析：全称量词命题的否认为存在量词命题，所以命题的否认为“∃x∈R，|x|＋x2<0”．答案：∃x∈R，|x|＋x2<0三、解答题8．用量词符号表述以下命题：(1)任意一个实数乘以－1都等于它的相反数；(2)对任意实数x，都有x3>x2；(3)有些整数既能被2整除，又能被3整除；(4)某个四边形不是平行四边形．解析：(1)∀x∈R，x·(－1)＝－x.(2)∀x∈R，x3>x2.(3)∃x0∈Z，x0既能被2整除，又能被3整除．(4)∃x0∈{x|x是四边形}，x0不是平行四边形．9．判断以下语句是全称量词命题，还是存在量词命题：(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)有的梯形对角线相等；(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；(4)有一个函数，图像是直线；(5)假设一个四边形是菱形，那么这个四边形的对角线互相垂直．解析：(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°〞，故为全称量词命题．(2)含有存在量词“有的〞，故是存在量词命题．(3)含有全称量词“任意〞，故是全称量词命题．(4)含有存在量词“有一个〞，故为存在量词命题．(5)假设一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题．[尖子生题库]10．判断以下命题的真假，并写出它们的否认：(1)∀α，β∈R，sin(α＋β)≠sin α＋sin β；(2)∃x，y∈Z,3x－4y＝20；(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解；(4)正数的绝对值是它本身．解析：(1)由于α＝β＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，所以命题为假命题，否认为：∃α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β；(2)真命题，否认为：∀x，y∈Z,3x－4y≠20；(3)真命题，否认为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解；(4)是全称量词命题，省略了量词“所有〞，命题为真命题．否认为：有的正数的绝对值不是它本身.。
第一章集合与常用逻辑用语常用逻辑用语全称量词命题与存在量词命题的否定教学设计常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具，是逻辑思维的基本语言。
本单元的学习，可以帮助学生使用常用逻辑用语表达数学对象，进行数学推理，体会常用逻辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用，提升交流的严谨性与准确性。
【教学目标】1、辨析命题是全称量词命题还是存在量词命题2、掌握全称量词命题与存在量词命题的否定的方法3、正确地判断否定命题真假性【核心素养】1、数学抽象：判断命题是全称量词命题还是存在量词命题2、逻辑推理:全称量词与存在量词的否定3、数学运算:对否定命题判断真假4、数据分析:结合集合列举法来考察【教学重点】1、掌握全称量词命题与存在量词命题的否定的方法2、判断否定命题的真假【教学难点】1、辨析命题是全称量词命题还是存在量词命题2、正确地对命题进行否定教师通过复习上节的内容，回忆如何判断全称量词命题与存在量词命题的真假举例子,并引出本节内容一、命题【课前导读】“否定”是我们日常生活中经常使用的一个词2022年11月23日《人民日报》的《创新，从敢于否定开始》一文中有这样一段话：“培养一流创新人才，敢于否定的精神非常重要。
一旦下定决心进行研究，首先就要敢于否定别人的成果，并想一想：前人的成果有哪些是不对的，有什么方面可以改善，有什么地方可以加强。
”结合上述这段话，谈谈你对“否定”一词的认识，并由此猜想“命题的否定”是什么意思。
本小节我们要学习的是与命题的否定有关的知识。
一、命题的否定【尝试与发现】【新课讲授】 可以发现，命题s 是对命题t 的否定，命题t 也是对命题s 的否定。
而且，s 是真命题，t 是假命题。
-般地，对命题99∀,∀,∀∀∀,q （）”的否定是存在量词命题【典型例题】例1写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假：（1）p ：∀∈R ，2≥-1 （2）q ：∀∈{1,2,3,4,5}，x 1＜ 3 s:至少有一个直角三角形不是等腰三角形解 1p ：：∃∈R ，2＜-1，由p 是真命题可知p 是假命题 2q ：∃∈{1,2,3,4,5}，x 1≥将集合中的元素逐个验证，当=1时不等式成立，因此q 是真命题3s ：所有直角三角形都是等腰三角形，因为有一个内角为30°的直角三角形不是等腰三角形，所以s 是假命题例2 写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假：1p:∃a ∈R ，一次函数y=a 的图像经过原点2q ：∀∈（-3，∞），2>9解（1）p ：∀a ∈R ，一次函数y=a 的图像不经过原点，因为当a=0时，一次函数y=a 的图像经过原点，所以p 是 命题你能说出命题S ：“3的相反数是-3”和t ：“3的相反数不是-3”这两个命题之间的关系吗它们的真假性如何记r ：“每一个素数都是奇数”，用类似的方法，研究r 和r 的关系、符号表示以及真假性 ∃∈M,q （）（2）q：∃∈（-3， ），2≤=0时，2=0<9，所以q是真命题本节内容学生容易感到混淆,首先要判断该命题是全称量词命题还是存在量词命题,然后否定条件和结论,最后得出真假性的判断。
