下载文档原格式
高中数学必修四第一章单元测试题《三角函数》（时间：120分钟 满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（ ）A. B. C. D.2．函数的一条对称轴可能是（ ）A. B. C. D.3．已知1sin 3θ=， ,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan θ= A. 2- B. 2- C. 24-D. 28- 4．已知，，则（ ）．A. B. C. D. ，5．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是（ ） A. 2 B.C.D.6．下列区间上函数cos 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭为增函数的是（ ）A. ,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. 2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 24,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 711,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．已知α为第二象限角，则222sin 1-sin cos 1-cos αααα+的值是（ ） A. -1 B. 1 C. -3 D. 3 8．如图，函数（，）的图象过点，则的函数解析式为（ ）A.B.C. D.9．将函数的图象向右平移个单位后关于轴对称，则的值可能为（ ）A. B. C. D.10．已知tan 4θ=，则2sin cos sin 17sin 4θθθθ++的值为（ ）A.1468 B. 2168 C. 6814 D. 682111．函数()()sin f x A x ωϕ=+的图象如下图所示，为了得到()cos g x A x ω=-的图像，可以将()f x 的图像（ ）A. 向右平移12π个单位长度 B. 向右平移512π个单位长度C. 向左平移12π个单位长度 D. 向左平移512π个单位长度 12．同时具有以下性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线3x π=对称；③在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数；④一个对称中心为,012π⎛⎫⎪⎝⎭”的一个函数是（ ） A. sin 26x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭B. sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C. sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D. sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若角α的终边经过点()1,2--，则2sin2cos αα+=____________. 14．函数()()π20,2f x sin x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象如图所示，则ω=__________， ϕ=__________．15．若()()sin 2cos 2,αππα-=-则()()()()sin 5cos 23cos sin παπαπαα-+----的值为____________.16．给出下列四个命题： ①函数2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的一条对称轴是512x π=； ②函数tan y x =的图象关于点(2π,0)对称； ③函数2cos sin y x x =+的最小值为1-；= 0，则12x x k π-=，其中k Z ∈； 以上四个命题中正确的有_____________（填写正确命题前面的序号）．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题10（1（2）2sin sin2αα+.18．（本小题12分）（1）已知角α终边上一点，求cos α和tan α的值．（2）已知α是第三象限的角，且简()f α；②若，求()f α19．（本小题12分）已知函数()()sin (0,24,)2f x A wx b A w πϕϕ=++><<<.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求()f x 的图象的对称中心及()2f x 的递减区间.20．（本小题12分）某同学用“五点法”画函数()()sin (0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：6π23π0 22-（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并求出函数()f x 的解析式； （Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动12π个单位长度，得到()y g x =图象，求()y g x =的图象离原点O 最近的对称中心. 21．（本小题12分）已知函数为偶函数，且函数图象的两相邻对称轴间的距离为.（1）求的值；（2）函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递减区间.22．（本小题12分）函数()()sin (0,)2f x x πωϕωϕ=+><在它的某一个周期内的单调减区间是511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （1）求()f x 的解析式；（2）将()y f x =的图象先向右平移6π个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），所得到的图象对应的函数记为()g x ，求函数()g x 在3,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.高中数学必修四第一章单元测试题《三角函数》参考答案（时间：120分钟 满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】,选D.2．函数的一条对称轴可能是（ ）A. B. C. D.【答案】B3．已知1sin 3θ=， ,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan θ= A. 2- B. 2- C. 24- D. 28- 【答案】C 【解析】∵1sin 3θ=， ,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴222cos 1sin 3θθ=--=-，则1sin 23tan cos 4223θθθ===--，故选C.4．已知，，则（ ）．A. B. C. D. ，【答案】D 【解析】 ∵，，∴，，∴．故选．5．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是（ ） A. 2 B. C.D.【答案】C【解析】6．下列区间上函数cos 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭为增函数的是（ ） A. ,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. 2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 24,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 711,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】当44x ππ-≤≤时，712312x πππ≤+≤， 函数不是增函数；当263x ππ≤≤时， 23x πππ≤+≤，函数是减函数；当2433x ππ≤≤时， 533x πππ≤+≤，函数是增函数；选C.7．已知α为第二象限角，则222sin 1-sin cos 1-cos αααα+的值是（ ） A. -1 B. 1 C. -3 D. 3 【答案】B8．如图，函数（，）的图象过点，则的函数解析式为（ ）A.B.C. D.【答案】B【解析】由题意可得A=2,f(0)=由所以，，选B.9．【2018届河南省天一大联考高三上测试二（10月】将函数的图象向右平移个单位后关于轴对称，则的值可能为（ ）A. B. C. D.【答案】D10．已知tan 4θ=，则2sin cos sin 17sin 4θθθθ++的值为（ ）A.1468 B. 2168 C. 6814 D. 6821【答案】B【解析】()2222sin cos sin 1sin 17sin 417tan 4sin cos tan θθθθθθθθθ+++=++ ()22141162117tan 68686841tan tan tan θθθθ++=+=+=+,故选B 11．函数()()sin f x A x ωϕ=+的图象如下图所示，为了得到()cos g x A x ω=-的图像，可以将()f x 的图像（ ）A. 向右平移12π个单位长度B. 向右平移512π个单位长度 C. 向左平移12π个单位长度 D. 向左平移512π个单位长度【答案】B【解析】试题分析:由题意可得,解之得,故,又可得,即,所以,而,即函数可由函数的图象向右平移512π个单位长度而得到,故应选B. 12．【2018届广西柳州市高三上摸底】同时具有以下性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线3x π=对称；③在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数；④一个对称中心为,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭”的一个函数是（ ）A. sin 26x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭B. sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C. sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D. sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】C第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【2018届福建省惠安惠南中学高三10月月考】若角α的终边经过点()1,2--，则2sin2cos αα+=____________.【答案】1【解析】由三角函数定义得2tan 21α-==∴- 2sin2cos αα+= 22222sin cos cos 2tan 1411sin cos 141tan ααααααα+++===+++14．函数()()π20,2f x sin x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象如图所示，则ω=__________， ϕ=__________．【答案】2π3 π615．若()()sin 2cos 2,αππα-=-则()()()()sin 5cos 23cos sin παπαπαα-+----的值为____________.【答案】35-【解析】因为()()sin 2cos 2sin 2cos ,αππααα-=-∴=-()()()()sin 5cos 2sin 5cos 3cos 33cos sin 3cos sin 5cos 5παπααααπααααα-+-+===-----+-故答案为35-.16．给出下列四个命题： ①函数2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的一条对称轴是512x π=； ②函数tan y x =的图象关于点(2π,0)对称； ③函数2cos sin y x x =+的最小值为1-；④若12sin 2sin 244x x ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ = 0，则12x x k π-=，其中k Z ∈； 以上四个命题中正确的有_____________（填写正确命题前面的序号）． 【答案】①②③ 【解析】把512x π=代入函数得1y =,为最大值，故正确； 结合函数tan y x =的图象可得点,02π⎛⎫⎪⎝⎭是函数tan y x =的图象的一个对称中心，故正确； 函数 22215cos sin sin 124y x x x sinx sinx ⎛⎫=+=-++=--+ ⎪⎝⎭ []1,1sinx ∈-Q 当sin 1x =-时，函数取得最小值为1-，故正确。
[学业水平训练]1．sin 330°等于________．解析：sin 330°＝sin(360°－30°)＝－sin 30°＝－12. 答案：－122．sin ⎝⎛⎭⎫－196π的值为________． 解析：sin ⎝⎛⎭⎫－196π＝－sin 19π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫2π＋7π6 ＝－sin 7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫π＋π6＝sin π6＝12. 答案：123．已知sin(45°＋α)＝513，则sin(225°＋α)＝________． 解析：sin(225°＋α)＝sin(180°＋45°＋α)＝－sin(45°＋α)＝－513. 答案：－5134．已知cos(α－π)＝－513，且α是第四象限角，则sin(－2π＋α)＝________． 解析：由cos(α－π)＝－513，易得cos α＝513， 又因为sin(－2π＋α)＝sin α，所以只需求出sin α即可．∵α是第四象限角，∴sin α＝－1－cos 2α＝－1213. 答案：－12135．在△ABC 中，若cos A ＝32，则sin(π－A )＝________；若sin A ＝12，则cos A ＝________． 解析：∵A 是△ABC 中的内角，∴sin(π－A )＝sin A ＝1－cos 2A ＝12， cos A ＝±1－sin 2A ＝±32. 答案：12 ±326．已知sin(π－α)＝log 814，且α∈(－π2，0)，则tan(2π－α)的值为________． 解析：∵sin(π－α)＝sin α＝log 814＝－23， ∴tan(2π－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝－－231－sin 2α＝255. 答案：2557．求下列三角函数式的值：(1)sin(－330°)·cos 210°；(2)3sin(－1 200°)·tan(－30°)－cos 585°·tan(－1 665°)．解：(1)sin(－330°)·cos 210°＝sin(30°－360°)cos(180°＋30°)＝sin 30°·(－cos 30°)＝12×(－32)＝－34. (2)3sin(－1 200°)·tan(－30°)－cos 585°·tan(－1 665°)＝－3sin 1 200°·(－33)－cos(720°－135°)·tan(－9×180°－45°) ＝sin(1 080°＋120°)－cos 135°·tan(－45°)＝32－(－22)×(－1)＝3－22. 8．化简下列各式．(1)sin [α＋（2n ＋1）π]＋sin [α－（2n ＋1）π]sin （α＋2n π）·cos （α－2n π）(n ∈Z )； (2)cos 190°·sin （－210°）cos （－350°）·tan （－585°）. 解：(1)原式＝sin （π＋α）＋sin （α－π）sin α·cos α＝－2sin αsin αcos α＝－2cos α. (2)原式＝cos （180°＋10°）[－sin （180°＋30°）]cos （360°－10°）[－tan （360°＋225°）]＝－cos 10°·sin 30°cos 10°·[－tan （180°＋45°）]＝－12－tan 45°＝12. [高考水平训练]1．已知tan(3π－α)＝2，则sin （α－3π）＋cos （π－α）sin （－α）－cos （π＋α）的值为________． 解析：∵tan(3π－α)＝2，∴tan α＝－2，原式可化为：－sin α－cos α－sin α＋cos α＝－tan α－1－tan α＋1＝2－12＋1＝13. 答案：132．(2014·抚州质检)若函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β都是非零实数，且满足f (2 013)＝2，则f (2 014)＝________．解析：∵f (2 013)＝a sin(2 013π＋α)＋b cos(2 013π＋β)＝2，∴f (2 014)＝a sin(2 014π＋α)＋b cos(2 014π＋β)＝a sin [π＋(2 013π＋α)]＋b cos [π＋(2 013π＋β)]＝－[a sin(2 013π＋α)＋b cos(2 013π＋β)]＝－2.答案：－23．化简：1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°. 解：原式＝1＋2sin （360°－70°）cos （360°＋70°）sin （180°＋70°）＋cos （2×360°＋70°）＝1＋2sin （－70°）cos 70°－sin 70°＋cos 70°＝（sin 70°－cos 70°）2cos 70°－sin 70°＝sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70°＝－1.4．已知tan(x ＋87π)＝a . 求证：sin （157π＋x ）＋3cos （x －137π）sin （207π－x ）－cos （x ＋227π）＝a ＋3a ＋1. 证明：sin （157π＋x ）＋3cos （x －137π）sin （207π－x ）－cos （x ＋227π） ＝sin [π＋（x ＋87π）]＋3cos （x ＋87π－3π）sin [4π－（x ＋87π）]－cos [2π＋（x ＋87π）] ＝－sin （x ＋87π）＋3cos [（x ＋87π）－π]sin [－（x ＋87π）]－cos （x ＋87π） ＝－sin （x ＋87π）－3cos （x ＋87π）－sin （x ＋87π）－cos （x ＋87π） ＝tan （x ＋87π）＋3tan （x ＋87π）＋1＝a ＋3a ＋1.。
必修四第一章 三角函数精选练习题一、选择题1．在0°～360°的范围内，与－510°终边相同的角是( ) A ．330° B ．210° C ．150° D ．30°B [因为－510°＝－360°×2＋210°，因此与－510°终边相同的角是210°.] 2．cos 420°的值为( ) A ．12 B ．－12C ．32D ．－32A [cos 420°＝cos(360°＋60°)＝cos 60°＝12，故选A.]3．已知角θ的终边上一点P (a ，－1)(a ≠0)，且tan θ＝－a ，则sin θ的值是( ) A ．±22 B ．－22 C ．22 D ．－12B [由题意得tan θ＝－1a ＝－a ， 所以a 2＝1， 所以sin θ＝－1a 2＋（－1）2＝－22.] 4．一个扇形的弧长与面积的数值都是6，这个扇形中心角的弧度数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4C [设扇形的半径为r ，中心角为α，根据扇形面积公式S ＝12lr 得6＝12×6×r ，所以r ＝2， 所以α＝l r ＝62＝3.]5．已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为( ) A ．23 B ．13 C ．－23 D ．－13 C [∵已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴1＋2sin θcos θ＝169，∴2sin θcos θ＝79，故sin θ－cos θ＝－（sin θ－cos θ）2 ＝－1－2sin θ·cos θ ＝－23，故选C.]6．函数y ＝tan(sin x )的值域是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22C ．[]－tan 1，tan 1D ．[]－1，1C [sin x ∈[－1，1]，又－π2＜－1＜1＜π2，且y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数，所以y min ＝tan(－1)＝－tan 1，y max ＝tan 1.]7．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移π3个单位，得到的图象对应的解析式为( )A ．y ＝sin 12xB ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π2C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 C [函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3，再将所得的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6.] 8．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π2C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，π2C [令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )得k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z )，k ＝0时，x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， ∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8，故选C.]9．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的一段图象如图所示，则函数的解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4或y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4 C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4C [由图可知A ＝2，4⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋π8＝2πω得ω＝2，且2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )∴φ＝2k π＋3π4(k ∈Z )， 又∵|φ|＜π， ∴φ＝3π4，故选C.]10．如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴的距离d 关于时间t 的函数图象大致为( )C [∵P 0(2，－2)，∴∠P 0Ox ＝π4.按逆时针转时间t 后得 ∠POP 0＝t ，∠POx ＝t －π4. 此时P 点纵坐标为2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －π4，∴d ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －π4.当t ＝0时，d ＝2，排除A ，D ； 当t ＝π4时，d ＝0，排除B.]11．设α是第三象限的角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则α2的终边所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 B [∵α是第三象限的角， ∴π＋2k π＜α＜3π2＋2k π，k ∈Z . ∴π2＋k π＜α2＜3π4＋k π，k ∈Z . ∴α2在第二或第四象限． 又∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，∴cos α2＜0.∴α2是第二象限的角．]12．化简1＋2sin （π－2）·cos （π－2）得( )A ．sin 2＋cos 2B ．cos 2－sin 2C ．sin 2－cos 2D ．±cos 2－sin 2 C [1＋2sin （π－2）·cos （π－2） ＝1＋2sin 2·（－cos 2） ＝（sin 2－cos 2）2， ∵π2＜2＜π，∴sin 2－cos 2＞0. ∴原式＝sin 2－cos 2.]13．同时具有下列性质的函数可以是( ) ①对任意x ∈R ，f (x ＋π)＝f (x )恒成立； ②图象关于直线x ＝π3对称； ③在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上是增函数．A ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6B ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3D ．f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B [依题意知，满足条件的函数的周期是π，图象以直线x ＝π3为对称轴，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上是增函数．对于A 选项，函数周期为4π，因此A 选项不符合；对于C 选项，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－1，但该函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上不是增函数，因此C 选项不符合；对于D 选项，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3≠±1，即函数图象不以直线x ＝π3为对称轴，因此D 选项不符合．综上可知，应选B.]14．已知函数f (x )＝－2tan(2x ＋φ)(|φ|＜π)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π16＝－2，则f (x )的一个单调递减区间是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3π16，11π16B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π16，9π16C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π16，5π16D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π16，5π16 A [由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π16＝－2得－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋φ＝－2，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋φ＝1，又|φ|＜π，所以φ＝π8，f (x )＝－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π8， 令k π－π2＜2x ＋π8＜k π＋π2，k ∈Z 得 k π2－5π16＜x ＜k π2＋3π16，k ∈Z .可得f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－5π16，k π2＋3π16，k ∈Z ，令k ＝1，可得f (x )的一个单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫3π16，11π16.]二、填空题15．对于锐角α，若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝________． 6425 [由题意可得：cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝6425.]16．已知sin α＝13，且α是第二象限角，那么cos(3π－α)的值为________． 223[cos(3π－α)＝－cos α＝－(－1－sin 2α)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223.] 17．函数y ＝3－tan x 的定义域是________．⎝ ⎛⎦⎥⎤k π－π2，k π＋π3(k ∈Z ) [作出三角数线如图，由函数可知3－tan x ≥0中tan x ≤3，而3对应角为π3，由图中阴影部分可得定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π－π2，k π＋π3(k ∈Z )．]18．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的定义域为________．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠3π8＋k π2，k ∈Z[2x －π4≠π2＋k π，即x ≠3π8＋k π2，k ∈Z .]19．若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图象如图所示，则ω＝________．4 [观察图象可知函数y ＝sin(ωx ＋φ)的半个周期为π4， 所以2πω＝π2，ω＝4.]20．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)，若将f (x )的图象向左平移π3个单位长度所得的图象与将f (x )的图象向右平移π6个单位长度所得的图象重合，则ω的最小值为________．4 [由条件可知，图象变换后的解析式分别为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋ωπ3＋φ和y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ6＋φ，由于两图象重合，所以ωπ3＋φ＝－ωπ6＋φ＋2k π(k ∈Z )． 即ω＝4k (k ∈Z )，由ω＞0，∴ωmin ＝4.]21．一扇形的圆心角为2弧度，记此扇形的周长为C ，面积为S ，则C －1S 的最大值为________．4 [由已知可得弧长l ＝2r ，周长C ＝4r ，面积S ＝12×lr ＝r 2，∴C －1S ＝4r －1r 2＝－1r 2＋4r ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1r －22＋4，故C －1S 的最大值为4.] 22．已知角α终边上一点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，则角α的最小正值是________．5π3 [角α终边上一点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32， tan α＝－3212＝－3，且α为第四象限角，所以角α的最小正值是5π3.]23．函数y ＝2＋cos x2－cos x(x ∈R )的最大值为________．3 [由题意有y ＝42－cos x－1，因为－1≤cos x ≤1，所以1≤2－cos x ≤3，则43≤42－cos x ≤4，由此可得13≤y ≤3，于是函数y ＝2＋cos x 2－cos x (x ∈R )的最大值为3.]24．对于函数f (x )＝⎩⎨⎧sin x ，sin x ≤cos x ，cos x ，sin x ＞cos x ，给出下列四个命题：①该函数是以π为最小正周期的周期函数；②当且仅当x ＝π＋k π(k ∈Z )时，该函数取得最小值－1； ③该函数的图象关于x ＝5π4＋2k π(k ∈Z )对称； ④当且仅当2k π＜x ＜π2＋2k π(k ∈Z )时，0＜f (x )≤22. 其中正确命题的序号是________． ③④ [作出函数f (x )的图象如图所示：由图象可知f (x )为周期函数，T ＝2π，①错误；当x ＝2k π＋π或x ＝2k π＋3π2时，取最小值－1，故②错误；x ＝π4＋2k π(k ∈Z )和x ＝5π4＋2k π(k ∈Z )都是该图象的对称轴，故③正确； 当2k π＜x ＜π2＋2k π(k ∈Z )时，f (x )图象在x 轴上方且f (x )max ＝22. 故0＜f (x )≤22.故④正确．]三、解答题25．已知sin(π－α)·cos(－8π－α)＝60169，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，求sin α与cos α的值．[解] 由已知条件可得sin αcos α＝60169，∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋120169＝289169， (sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－120169＝49169. ∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴sin α＞cos α， ∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝1713，sin α－cos α＝713，解方程组得sin α＝1213，cos α＝513.26．(1)已知角α的终边经过点P (4，－3)，求2sin α＋cos α的值； (2)已知角α的终边经过点P (4a ，－3a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值； (3)已知角α终边上一点P 到x 轴的距离与到y 轴的距离之比为3∶4，求2sin α＋cos α的值．[解] (1)∵α终边过点P (4，－3)，∴r ＝|OP |＝5，x ＝4，y ＝－3， ∴sin α＝y r ＝－35，cos α＝x r ＝45， ∴2sin α＋cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋45＝－25.(2)∵α终边过点P (4a ，－3a )(a ≠0)， ∴r ＝|OP |＝5|a |，x ＝4a ，y ＝－3a . 当a >0时，r ＝5a ，sin α＝y r ＝－35， cos α＝x r ＝45， ∴2sin α＋cos α＝－25；当a <0时，r ＝－5a ，∴sin α＝y r ＝35， cos α＝x r ＝－45， ∴2sin α＋cos α＝25.综上，2sin α＋cos α＝－25或25. (3)当点P 在第一象限时，sin α＝35， cos α＝45，2sin α＋cos α＝2； 当点P 在第二象限时，sin α＝35， cos α＝－45，2sin α＋cos α＝25；当点P 在第三象限时，sin α＝－35， cos α＝－45，2sin α＋cos α＝－2； 当点P 在第四象限时，sin α＝－35， cos α＝45，2sin α＋cos α＝－25.27．是否存在角α，β，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．[解] 假设存在角α，β满足条件，则{sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β， ② 由①2＋②2得sin 2α＋3cos 2α＝2. ∴cos 2α＝12， ∴cos α＝22.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α＝±π4.当α＝π4时，代入②得：cos β＝32， ∵0＜β＜π，∴β＝π6，代入①可知成立； 当α＝－π4时，代入②得cos β＝32，∵0＜β＜π，∴β＝π6，此时代入①式不成立，故舍去． ∴存在α＝π4，β＝π6满足条件．28．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1. (1)求函数f (x )的最大值，并求取得最大值时x 的值； (2)求函数f (x )的单调递增区间．[解] (1)当2x ＋π3＝2k π＋π2，则x ＝k π＋π12(k ∈Z )时，f (x )max ＝3. (2)当2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，即k π－5π12≤x ≤k π＋π12时，函数f (x )为增函数．故函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )． 29．如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的一段图象．(1)求此函数解析式；(2)分析一下该函数是如何通过y ＝sin x 变换得来的？ [解] (1)由图象知A ＝－12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝12，k ＝－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝－1，T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－π6＝π，∴ω＝2πT ＝2.∴y ＝12sin(2x ＋φ)－1. 当x ＝π6，2×π6＋φ＝π2，∴φ＝π6. ∴所求函数解析式为y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1.(2)把y ＝sin x 向左平移π6个单位得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的12倍，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12倍，得到y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，最后把函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向下平移1个单位，得到y＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1的图象．30．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图象在y 轴上的截距为1，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x 0，2)和(x 0＋3π，－2)．(1)求f (x )的解析式；(2)将f (x )的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)，然后再将所得的图象向右平移π3个单位，得到函数g (x )的图象，写出函数g (x )的解析式，并用五点作图的方法画出g (x )在长度为一个周期的闭区间上的图象．[解] (1)由f (x )＝A sin(ωx ＋φ)在y 轴上的截距为1，最大值为2，得1＝2sin φ，所以sin φ＝12.又|φ|＜π2，所以φ＝π6.由题意易知T ＝2[(x 0＋3π)－x 0]＝6π， 所以ω＝2πT ＝13， 所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π6.(2)将f (x )的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)，得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象；再把所得图象向右平移π3个单位，得到g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的图象．列表：。
苏教版必修四第一章三角函数1.6 三角函数的周期性（习题+解析）②从f （x ＋T ）＝f （x ）来看，应强调是自变量x 本身加的常数才是周期，如f （2x ＋T ）＝f （2x ）中，T 不是周期，而应写成(2)2()(2)2T f x T f x f x ⎡⎤+=+=⎢⎥⎣⎦，则2T 是f （x ）的周期。
③对于一个周期函数()f x ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做()f x 的最小正周期。
今后提到的三角函数的周期，如未特别指明，一般都是它的最小正周期。
④并不是所有的周期函数都存在最小正周期。
例如常数函数()(f x C C =为常数），其周期T 是任意实数，没有最小正数。
⑤周期函数的周期不是唯一的，如果T 是函数f （x ）的周期，那么kT （k ∈Z ，k ≠0）也一定是函数的周期。
【核心归纳】如何利用定义判断函数是不是周期函数？（1）首先看定义域若x 是定义域D 内的一个值，则且,(Z k kT x ∈+)0≠k 也一定属于定义域D ，因此周期函数的定义域D 一定是无限集，而且定义域D 一定无上界且无下界。
（2）其次看恒等式是否成立对于定义域D 内任意一个x ，是否有()()f x f x T =+恒成立。
如果成立，则是周期函数。
否则，不是周期函数。
二、sin()(0,0)y A x A ωϕω=+≠>的周期一般地，函数y ＝A sin （ωx ＋φ）和y ＝A cos （ωx ＋φ）（其中A ，ω，φ为常数，且A ≠0，ω＞0）的周期T ＝ωπ2。
【规律总结】求三角函数的周期，通常有三种方法。
（1）定义法；（2）公式法，对y ＝A sin （ωx ＋φ）或y ＝A cos （ωx ＋φ）（A ，ω，φ是常数，且A ≠0，ω≠0），T ＝||2ωπ； （3）图象法。
三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当方法求解，为了避免出现错误，求周期之前要尽可能将函数化为同名同角的三角函数，且函数的次数为1。
数学苏教必修4第1章三角函数单元检测(满分：100分 时间：60分钟)一、填空题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．若2弧度的圆心角所对的弧长为2 cm ，则这个圆心角所夹的扇形的面积是__________ cm 2.2．若4sin 5θ=-，tan θ＞0，则cos θ＝__________. 3．要得到函数y ＝sin x 的图象，只需将函数πcos 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向__________平移__________个单位．4．sin(－120°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)sin(－1 050°)＝__________.5．函数y ＝cos x ，ππ,62x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域是__________． 6．函数π2cos 3y x ω⎛⎫- ⎪⎝⎭＝的最小正周期是4π，则ω＝__________.7．若πsin 2x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π＜x ＜2π，则x ＝__________.8．已知tan θ＝2，则33sin sin cos θθθ-＝__________.9．设a 为常数，且a ＜0,0≤x ＜2π，则函数f (x )＝cos 2x －2a sin x －1的最小值是__________．10．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点4π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称，那么|φ|的最小值为__________．二、解答题(本大题共4小题，共50分)11．(12分)若sin αcos α＜0，sin αtan α＜0. 12．(12分)已知π3πsin cos 22αα⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝ππ32α⎫<<⎪⎝⎭，求sin 3(2π－α)＋cos 3(2π－α)的值．13．(12分)已知函数()πsin 262af x a x b ω⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝＋(x ∈R ，a ＞0，ω＞0)的最小正周期为π，函数f (x )的最大值是74，最小值是34. (1)求ω，a ，b 的值；(2)求f (x )的单调增区间．14．(14分)函数f 1(x )＝A sin(ωx ＋φ)π00||2A ωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭，，的一段图象过点(0,1)，如图所示．(1)求函数f1(x)的表达式；(2)将函数y＝f1(x)的图象向右平移π4个单位，得到函数y＝f2(x)的图象，求y＝f2(x)的最大值，并求出此时自变量x的取值．参考答案1.答案：1解析：由弧长公式l＝|α|R得2＝2R，∴R＝1 cm，则S＝12Rl＝12×1×2＝1(cm2)．2.答案：3 5 -解析：∵4sin5θ=-，tan θ＞0，∴cos θ＜0.∴3 cos5θ==-.3.答案：右π6解析：因为πsin cos2y x x⎛⎫-⎪⎝⎭＝＝＝πcos2x⎛⎫-⎪⎝⎭＝ππcos63x⎡⎤⎛⎫--⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以只需将函数πcos3y x⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位即可得到函数y＝sin x的图象．4.答案：1解析：原式＝－sin 120°cos 210°＋cos 60°sin 30°＝11=1 2222⎛--+⨯⎝⎭.5.答案：[0,1]解析：结合单位圆中的三角函数线或余弦函数图象知函数的值域为[0,1]．6.答案：1 2±解析：2π=4π||Tω=，∴12ω＝，12ω±＝.7.答案：7π6解析：∵πsin22x⎛⎫-=-⎪⎝⎭，∴cos x-＝又π＜x＜2π，∴7π6 x＝.8. 答案：107 解析：33sin sin cos θθθ-＝2233sin (sin cos )sin cos θθθθθ+-＝33tan tan tan 1θθθ+-＝332210217+=-. 9. 答案：2a －1 解析：f (x )＝cos 2x －2a sin x －1＝1－sin 2x －2a sin x －1＝－sin 2x －2a sin x ＝－(sin 2x ＋2a sin x ＋a 2－a 2)＝－(sin x ＋a )2＋a 2.∵a ＜0，∴当sin x ＝－1时，f (x )取得最小值． f (x )min ＝－(－1＋a )2＋a 2＝2a －1.10. 答案：π6解析：∵函数y ＝3cos(2x ＋φ)的对称中心为4π,03⎛⎫⎪⎝⎭， ∴2×4π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )． ∴φ＝k π＋π2－8π3(k ∈Z )．∴|φ|的最小值为π6.11. 解：∵sin αcos α＜0，sin αtan α＜0， ∴α是第二象限角，即2k π＋π2＜α＜2k π＋π(k ∈Z )， 故k π＋π4＜2α＜k π＋π2， 即2α是第一或第三象限角．2cos2α， ∴当2α是第一象限角时，原式＝2cos2α；当2α是第三象限角时，原式＝2cos2α-.12. 解：由π3πsin cos 22αα⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得cos sin αα＋. ∴1＋2sin αcos α＝29，2sin αcos α＝79-. ∵π2＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0.从而sin α－cos α43. 于是原式＝cos 3α－sin 3α＝(cos α－sin α)(cos 2α＋sin αcos α＋sin 2α)＝47221=31827⎛⎫-⨯--⎪⎝⎭. 13. 解：(1)由函数的最小正周期为π，得2π2ω＝π，∴ω＝1. 又f (x )的最大值是74，最小值是34， 则7=243=24a ab a a b ⎧++⎪⎪⎨⎪-++⎪⎩，，解得1=2a ，b ＝1.(2)由(1)知：1π5()=sin 2264f x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭.当2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，即k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )时，f (x )单调递增，∴f (x )的单调增区间为ππππ36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，(k ∈Z )．14. 解：(1)由图知，T ＝π，于是ω＝2πT ＝2.将y ＝A sin 2x 的图象向左平移π12个单位，得y ＝A sin(2x ＋φ)的图象，于是ππ=2=126ϕ⋅.将(0,1)代入πsin 26y A x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝，得A ＝2.故()1π2sin 26f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝.(2)依题意，()2ππ2sin 246f x x ⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝π2cos 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－.当2x ＋π6＝2k π＋π，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )时，y max ＝2.此时x 的取值为5π=π12x x k k ⎧⎫+∈⎨⎬⎩⎭Z ，.。
9.必修四第一章三角函数测试题、选择题11 .已知 cos a= — a€ (370 ° 520°，则 a 等于2 .若sin x tan x<0，则角x 的终边位于x 口3 .函数y = tan 2是 班别姓名 分数A . 390°B . 420°C . 450°D . 480°A .第一、二象限B .第二、三象限C .第二、四象限D .第三、四象限A .周期为2 n 的奇函数B .周期为扌的奇函数C .周期为n 的偶函数D .周期为 2n 的偶函数已知函数y = 2sin( «x+妨(3>0)在区间[0,2函数 f(x)= cos(3x +Q 的图象关于原点成中心对称，则 0等于nB . 2k n- 2(k € Z)C . k n ：k € Z)n D . k n+ 2(k € Z)若sin 0+ cos 0 = 2,贝y sin 0cos B 的值是 sin — cos 0C . ±3oD .37t将函数y = sin x 的图象上所有的点向右平行移动 石个单位长度, 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是_n- nA . y = sin 2x —石B . y = sin 2x — 5C . y = sinn—10 D . 1 x —x 3 n 在同一平面直角坐标系中，函数y = cos 2+y (x € [0,2n 的图象和直线1y = §的交点个数C . 2的图象如图，那么-亠人k n n已知集合M = x|x= - + 4, k€ Z , N= {x|x=〒+n k€ Z}.则C . N MD . M A N= ? 9.5 n . 2 n 丄 2 n 口订10.设 a = sin —, b = cos —, c = tan —，则二、填空题A . a<b<cB . a<c<bC . b<c<aD . b<a<c11.已知一扇形的弧所对的圆心角为54 °半径r = 20 cm ,则扇形的周长为12.方程sin1秋=4x 的解的个数是13.已知函数 f(x) = 2sin( cox+())的图象如图所示, … 7 n则 f@)=14.已知函数 y = sin ^在区间［0, t ］上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是3三、解答题15 .已知 f( a =.2sin n — a C OS 2 n — a tan — n+ asin — n+ a t an — a+ 3 n(1)化简 f (a ； 1 n n(2)若 f( a = 8，且 4< o<2，求 cos a — Sin a 的值;cm.⑶若a=—3|n求f(a的值.16. 求函数y = 3—4sin x—4cos2x的最大值和最小值，并写出函数取最值时对应的x的值.n17. 设函数f(x) = sin(2x+ ©( —n<(j)<0), y= f(x)图象的一条对称轴是直线x=⑴求購(2)求函数y= f(x)的单调增区间；⑶画出函数y= f(x)在区间［0，n上的图象.n18. 在已知函数f(x)= Asin(3x+$), x€ R(其中A>0, 3>O,O< 临)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为n，且图象上一个最低点为M牛一2.n n(1)求f(x)的解析式；(2)当x€ 12，2时，求f(x)的值域.n19. 如下图所示，函数尸2cos(»+ B)(X€ R , 3>0,0 w ㊁)的图象与丫轴交于点(0，-, 3),且该函数的最小正周期为⑵已知点A(n，0)，点P是该函数图象上一点，点Q(X o, y o)是PA的中点，当y o=¥，nx o€【2，n时，求X o的值.必修四第一章三角函数测试题(答案)1、 答案 B2、 答案 B3、 答案 A4、 答案 B2 n 解析 由图象知 2T = 2 n, T = n, ••• — = n, w= 2.w5、 解析 若函数f(x) = cos(3x +妨的图象关于原点成中心对称，贝Uf(0)= cos $= 0,n•- 0= k n+ ^(k € Z).答案 D6、答案 B 解析•/ sin 9+ cos 9=tan 9+ 1= 2 , sin 9— cos 9 tan 9— 1 • sin 6cos 9= sin 9cos 9=盘丄=A. sin 2 9+ cos 2 9 tan 2 9+ 1 107、答案 C.1 n ysin 2x 〔°9、答案 B得M N 选B.z2n时，sin a >cos a • a = sin y>cos ~ = b. 2 n 2 nsin a <tan a • c = tan y>sin 7 = a.「. c>a.「. c>a>b.向右平性希*单位长朋癮坐标仲丧到原来的2倍• --------------------------------- > xy = sin x —三 纵坐标不变解析函数y = sin x 3 n x函数 y = cos + y = sin 2 , x € [0,2,n]1y = 2与该图象有两个交点.7_vl2nx图象如图所示，直线 &答案 C 解析解析 M = x x =牛 n, k € Z , N =x x = x 4k + 2n k € Z比较两集合中分式的分子，知前者为奇数倍n 后者为整数倍n 再根据整数分类关系,10、答案 D 解析. .5 n-a = sin ~ = sin( n — 5 n 2 冗2 n n 7 ) =7.7 —4」28 28 8 n 7 n —二 >0.n 2 n n• ;<y<2.又 a€n又a€ 0, 2时,2 23 n11、答案 6n+ 40 解析 •••圆心角 a= 54° =和，：I =|a|r = 6 n ・「.周长为(6 n 40) cm.13、答案 0将(n 0)代入上式sin(¥+0)= 0.n _n=cos 3 • — sin 312、答案 7解析 在同一坐标系中作出1y = sin ＜与y = 4X 的图象观察易知两函数图象有7个交点，所以方程有 7个解.解析方法由图可知，|T = 5n — 4= n ， 即 T = 2n ，• 3= 2n= 3..・.y = 2sin(3x + 册, •- ¥+(f )= k n, k € Z ,贝U (= k n — 3 n ~4，k € Z. 方法由图可知，3T =5n —n= n,2 n即T =亍.又由正弦图象性质可知,f(X 0)= — f(x ° + T),14、答案 8 解析 T = 6，则 5T < t , • t > 竺，•• t min = 8.15、解(1)f( a=血I""atan a= sin—sin a — ta n aa C OS a1⑵由 f( a = sin a cos a=：可知(cos a — sin 8 2 2 a )2= cos 2 a — 2sin a cos a+ sin 2 a1 3=1 — 2sin a cos a= 1 — 2 x 8= 4.n n又 T 4< a <|， •- cos a <sin a,即 cosa — sin a <0. cos a — sin a=(3) •/ a=— 33-^=— 6X 25 n n +§，31 n~3 = cos31 n3 sin 31 n 3=cos — 6X 2 n+5 n 7 sin5 n 5 n —6X 2 n+ ~ = cos ~ sin5 n~ = cos(2 n — 3) sin(2 7tnn — 3)7 n 3 n=2si n(h + k n — R = °.16、解y= 3—4sin x—4cos2x= 4sin2x—4sin x —1=4 sin x— 2 2- 2,令t = sin x,则—1< t< 1, y= 4 t —2 2—2 (—1< t W 1).1 n 5 n•••当t= 2■，即卩x= 6 + 2k n或x = $+ 2k n(k€ Z)时，y min = —2;3 n当t =—1，即卩x= 2 + 2k 冗(k€ Z)时，y max = 7.n17、解（1）••• x = §是函数y= f（x）的图象的对称轴,n• sin 2 x ~+ $ = ±1.8n n…4 + $= k n+ ^，k€ 乙—n<(j<0 ,⑵由（1）知（=—号5,因此y= sin 2x—乎.由题意得2k n—2x —3j n< 2k n+ 才，k€ Z.3 n n 5 n•函数y = sin 2x —的单调增区间为k n+ ；, k n+ —, k€ Z.4 8 8(3)由y= sin 2x—节，知x0n83n"85 n~87_n~8ny 迄2—1010亚2故函数y = f（x）在区间［0, n上的图象是2 n18、解 ⑴由最低点为 M ㊁,-2得A = 2.n由x 轴上相邻两个交点之间的距离为 2，T n2 n2n得 2= 2，即 T = n ••• 3= T =_T =2. 2 2 I n2 n 2 n 由点M , - 2在图象上得 2si n2 x -3 +$=— 2,4 n, 4 n n即 sin & +=— 1，故—+ $= 2k n-^(k € Z),「小11 n--0= 2k n —百(k € Z).- n n 「 n又 $€ 0, 2 , •- 0= 6，故 f (x) = 2sin 2x + 6 ・n nn 厂⑵••• x € 12 2 , • 2x + 6€当2x + 6 = 2，即x = 6时，f(x)取得最大值2;n 7 n n当2x + 6 = S ，即x = 2时，f(x)取得最小值一1 , 故f(x)的值域为[—1,2].19、解 (1)将 x = 0, y = . 3 代入函数 y = 2cos(®x+ 9 中, 得cos 皓当，因为° w n ，所以9=n2 n 2 n由已知T = n 且3>0，得3=〒==2.I nn⑵因为点AQ , 0), Q(x °, y °)是PA 的中点, y °=¥，所以点P 的坐标为(2x °—n，V 3).nn 又因为点P 在y = 2cos(2x + 6)的图象上，且2^ x o w n,,,.5 n 11 n ,、 5 n 13 n 卄 2 n ,、3 n所以 cos(4x °—5 n 5P= _^3 2 ，且 H 4x ° —19 n 6，n 7 n 3，从而得4x0-石=g，或4x0-石=专，即x°= 7，或x0= 7.11。
三角函数全章测试测试卷（120分钟，满分150分）一、选择题（每题5分，共60分）1．若角α的终边落在直线y=-x 上，则ααααcos cos 1sin 1sin 22-+-的值等于（ ） A ．0 B ．2C ．-2D ．2tg α 2．设θ∈（0，2π），若sin θ＜0且cos2θ＜0，则θ的取值范围是（ ）A ．πθπ23<< B ．4745πθπ<<C ．πθπ223<<D ．πθπ434<<3．函数12cos 32sin -+=x x y 的定义域是（ ）A ．]1211,125[ππππ++k k （k ∈Z ） B ．]3,[πππ+k k （k ∈Z ） C ．]4,12[ππππ+-k k （k ∈Z ）D ．]2,6[ππππ+-k k （k ∈Z ）4．函数)4332(sin 4cos 412ππ≤≤--+=x x x y 的值域是（ ） A ．[0，8] B ．[-3，5] C ．]122,3[--D ．[-4，5]5．已知α，β∈),2(ππ，cos α+sin β＞0，则（ ）A ．α+β＜πB ．23πβα>+ C ．23πβα=+D ．23πβα<+6．已知tan α，tan β是方程04332=++x x 的两根，且α，β∈)2,2(ππ-，则α+β等于（ ）A ．3πB ．3π或π32-C ．3π-或π32D ．π32-7．有四个函数：①x y 2sin =②y=|sinx|③2cot 2tan x x y -=④y=sin|x|，其中周期是π，且在)2,0(π上是增函数的函数个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．函数)2tan tan 1(sin x x x y +=的最小正周期是（ ） A ．π B ．2π C ．2πD ．23π 9．22sin =x 是tanx=1成立的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分条件也非必要条件 10．设︒-︒=6sin 236cos 21a ，︒+︒=13tan 113tan 22b ，240sin 1︒-=c 则（ ） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜c ＜aD ．c ＜b ＜a11．把函数x x y sin 3cos -=的图象向左平移m 个单位，所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ）A ．6πB ．3π C ．32πD ．π12．已知函数)32sin(31π-=x y ，)32sin(42π+=x y ，那么函数21y y y +=的振幅A 的值是（ ）A ．5B ．7C ．13D ．13二、填空题（每题4分，共16分）13．函数xx y 2cos 1)4tan(-+=π的最小正周期是_____________。
1．2.2 同角三角函数关系 课时目标1．理解同角三角函数的基本关系式.2.会运用平方关系和商的关系进行化简、求值和证明．1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：________________.(2)商数关系：________________(α≠k π＋π2，k ∈Z ) 2．同角三角函数基本关系式的变形(1)sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式：sin 2α＝________；cos 2α＝________；(sin α＋cos α)2＝________________；(sin α－cos α)2＝________________；(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝________；sin α·cos α＝____________＝__________.(2)tan α＝sin αcos α的变形公式： sin α＝____________；cos α＝____________.一、填空题1．化简sin 2α＋cos 4α＋sin 2αcos 2α的结果是________．2．已知α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α＝______. 3．若sin α＋sin 2α＝1，，则cos 2α＋cos 4α＝________.4．若sin α＝45，且α是第二象限角，则tan α的值等于________． 5．已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值为________． 6．已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1tan α的值为________． 7．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝______.8．已知sin αcos α＝18且π4<α<π2，则cos α－sin α＝________. 9．若sin θ＝k ＋1k －3，cos θ＝k －1k －3，且θ的终边不落在坐标轴上，则tan θ的值为________． 10．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝____.二、解答题11．化简：1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α.12．求证：1－2sin 2x cos 2x cos 2 2x －sin 2 2x ＝1－tan 2x 1＋tan 2x.能力提升13．证明：(1)1－cos 2αsin α－cos α－sin α＋cos αtan 2α－1＝sin α＋cos α； (2)(2－cos 2α)(2＋tan 2α)＝(1＋2tan 2α)(2－sin 2α)．14．已知sin θ、cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0的两个根(a ∈R )．(1)求sin 3θ＋cos 3θ的值；(2)求tan θ＋1tan θ的值．般是先选用平方关系，再用商数关系．在应用平方关系求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在象限来决定，切不可不加分析，凭想象乱写公式．3．在进行三角函数式的求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当的选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系变形的出发点．1．2.2 同角三角函数关系知识梳理1．(1)sin 2α＋cos 2α＝1 (2)tan α＝sin αcos α2．(1)1－cos 2α 1－sin 2α 1＋2sin αcos α1－2sin αcos α 2 (sin α＋cos α)2－121－(sin α－cos α)22 cos αtan α sin αtan α作业设计1．1 2.－513 3.1 4.－435．－13解析 1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)(sin α－cos α)＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝－12＋1－12－1＝－13. 6．－8解析 tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α. ∵sin αcos α＝1－(sin α－cos α)22＝－18， ∴tan α＋1tan α＝－8. 7.45解析 sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1， 又tan θ＝2，故原式＝4＋2－24＋1＝45. 8．－32解析 (cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝34， ∵π4<α<π2，∴cos α<sin α.∴cos α－sin α＝－32. 9.34解析 ∵sin 2θ＋cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k －32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1k －32＝1， ∴k 2＋6k －7＝0，∴k 1＝1或k 2＝－7.当k ＝1时，cos θ不符合，舍去．当k ＝－7时，sin θ＝35，cos θ＝45，tan θ＝34. 10．2解析 方法一 由⎩⎨⎧cos α＋2sin α＝－5cos 2α＋sin 2α＝1联立消去cos α后得(－5－2sin α)2＋sin 2α＝1. 化简得5sin 2α＋45sin α＋4＝0∴(5sin α＋2)2＝0，∴sin α＝－255. ∴cos α＝－5－2sin α＝－55. ∴tan α＝sin αcos α＝2. 方法二 ∵cos α＋2sin α＝－5，∴cos 2α＋4sin αcos α＋4sin 2α＝5，∴cos 2α＋4sin αcos α＋4sin 2αcos 2α＋sin 2α＝5， ∴1＋4tan α＋4tan 2α1＋tan 2α＝5， ∴tan 2α－4tan α＋4＝0，∴(tan α－2)2＝0，∴tan α＝2.11．解 原式＝(1－cos 4α)－sin 4α(1－cos 6α)－sin 6α＝(1－cos 2α)(1＋cos 2α)－sin 4α(1－cos 2α)(1＋cos 2α＋cos 4α)－sin 6α＝sin 2α(1＋cos 2α)－sin 4αsin 2α(1＋cos 2α＋cos 4α)－sin 6α＝1＋cos 2α－sin 2α1＋cos 2α＋cos 4α－sin 4α＝2cos 2α1＋cos 2α＋(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α－sin 2α＝2cos 2α3cos 2α＝23. 12．证明 左边＝cos 2 2x ＋sin 2 2x －2sin 2x cos 2x cos 22x －sin 22x＝(cos 2x －sin 2x )2(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x )＝cos 2x －sin 2x cos 2x ＋sin 2x ＝1－tan 2x 1＋tan 2x＝右边． ∴原等式成立．13．证明 (1)左边＝sin 2αsin α－cos α－sin α＋cos αsin 2αcos 2α－1 ＝sin 2 αsin α－cos α－sin α＋cos αsin 2α－cos 2αcos 2α＝sin 2αsin α－cos α－cos 2α(sin α＋cos α)sin 2α－cos 2α＝sin 2αsin α－cos α－cos 2αsin α－cos α＝sin2α－cos2αsin α－cos α＝sin α＋cos α＝右边．∴原式成立．(2)∵左边＝4＋2tan2α－2cos2α－sin2α＝2＋2tan2α＋2sin2α－sin2α＝2＋2tan2α＋sin2α，右边＝(1＋2tan2α)(1＋cos2α)＝1＋2tan2α＋cos2α＋2sin2α＝2＋2tan2α＋sin2α∴左边＝右边，∴原式成立．14．解(1)由韦达定理知：sin θ＋cos θ＝a，sin θ·cos θ＝a. ∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴a2＝1＋2a.解得：a＝1－2或a＝1＋ 2∵sin θ≤1，cos θ≤1，∴sin θcos θ≤1，即a≤1，∴a＝1＋2舍去．∴sin3θ＋cos3θ＝(sin θ＋cos θ)(sin2θ－sin θcos θ＋cos2θ)＝(sin θ＋cos θ)(1－sin θcos θ)＝a(1－a)＝2－2.(2)tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝sin2θ＋cos2θsin θcos θ＝1sin θcos θ＝1a＝11－2＝－1－ 2.。
第一章 三角函数章末练测卷建议用时 实际用时满分 实际得分120分钟150分一、填空题（每小题5分，共80分）1. ⎪⎭⎫⎝⎛-π 623sin 的值等于 .2. 下列角中终边与 330°相同的角是 .3. 函数y =||x x sin sin +x x cos cos ||+||x x tan tan 的值域是 .4. 如果αα αα cos 5sin 3cos 2sin +-= - 5，那么tan α的值为 .5. 如果 sin α + cos α =43，那么 sin 3α – cos 3α 的值为 .6. 若 a 为常数，且a ＞1，0≤x ≤2π，则函数f (x )=cos 2x + 2a sin x - 1的最大值为 .7.函数y = sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 2 4π的单调增区间是 .8. 若函数y = f (x )的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍；再将整个图象沿x轴向左平移2π个单位；沿y 轴向下平移1个单位，得到函数y =21sin x 的图象，则函数y =f (x )是 .9. 如图是函数y =2sin(ωx + φ)，＜2π的图象，那么ω= ，φ= .10. 如果函数 f (x )是定义在(-3，3)上的奇函数，当0＜x ＜3时，函数 f (x )的图象如图所示，那么不等式f (x )cos x ＜0的解集是 .(第9题)11.若(cos )cos3f x x =，那么(sin30)f ︒的值为 .12. 若扇形的半径为R ，所对圆心角为α，扇形的周长为定值c ，则这个扇形的最大面积为_ _ _.13. 函数y =2sin(2x +6π)(x ∈[-π,0］)的单调递减区间是 .14. 若 cos(75° + α)=31，其中α为第三象限角，则cos(105° - α)+ sin(α - 105°)= __ _. 15. 函数y = lg (sin x ) +216x -的定义域为 .16. 关于函数f (x )= 4 sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3π2x (x ∈R )，有下列命题：①函数 y = f (x )的表达式可改写为y = 4cos(2x- π6)；②函数 y = f (x )是以2π为最小正周期的周期函数； ③函数 y = f (x )的图象关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛-0 6π，对称； ④函数 y = f (x )的图象关于直线x = - π6对称.其中正确的是__ _.二、解答题（共70分） 17. （12分）已知角α是第三象限角， 求：（1）角2α是第几象限的角；（2）角2α终边的位置.18.（16分）(1)已知角α的终边经过点P (4，- 3)，求2sin α + cos α的值；(2)已知角α的终边经过点P (4a ，- 3a )(a ≠0)，求 2sin α + cos α的值； (3)已知角α终边上一点P 到x 轴的距离与到y轴的距离之比为3 : 4，求2sin α + cos α的值.19.（12分）已知tan α，αtan 1是关于x 的方程x 2-kx+k 2-3=0的两实根，且3π＜α＜27π，求cos(3π +α)- sin(π + α)的值. (第10题)20.（14分）已知0≤x ≤2π，求函数y = cos 2x – 2a cos x 的最大值M (a )与最小值m (a ).21. （16分）已知N (2,2)是函数y =A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0)的图象的最高点，N 到相邻最低点的图象曲线与x 轴交于A 、B ，其中B 点的坐标(6,0),求此函数的解析表达式.第一章三角函数章末练测卷答题纸得分：一、填空题1． 2． 3． 4． 5．6． 7． 8． 9． 10．11． 12．13. 14. 15. 16.三、解答题17.18.19.20.21.第一章 三角函数章末练测卷答案一、选择题1. 解析：⎪⎭⎫ ⎝⎛-π623sin =216πsin 2π2π623sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+-. 2. -30° 解析：与 330° 终边相同的角为{α|α = 330° + k ∙ 360°，k ∈Z }. 当 k = - 1时，α = - 30°.3. {- 1，3} 解析：将x 分为第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限四种情况分别讨论，可知值域为{- 1，3}.4.- 1623 解析：∵ sin α - 2cos α = - 5(3sin α + 5cos α)，∴ 16sin α = - 23cos α，∴ tan α = -1623. 5. 2312825或-2312825 解析：由已知易得 sin α cos α = -327. ∴ |sin 3 α - cos 3 α| = |(sin α- cos α)(sin 2 α + cos 2α sin α cos α)|=ααcos sin 21- ∙ |1 + sin α cos α| = 1282325. ∴ sin 3α - cos 3α = ±1282325. 6. 12-a 解析：f (x )= 1 - sin 2 x + 2a sin x - 1= - sin 2x + 2a sin x . 令sin x = t ，∴ t ∈[-1，1].∴ f (t )= - t 2 + 2at = -(t - a )2 + a 2，t ∈[-1，1]. ∵a >1,∴ 当t = 1时，函数 f (t )取最大值为2a - 1.7. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++87ππ 83ππk k ，，k ∈Z 解析：∵ y = sin(4π- 2x )= - sin(2x -4π)，∴ 2π+ 2k π ≤ 2x -4π≤23π+ 2k π，∴ 83π+ k π ≤ x ≤87π+ k π. 8. y =12π2sin 21+⎪⎭⎫⎝⎛-x9. 2，6π解析：因为函数图象过（0，1），所以1=2sin φ，所以sin φ=.因为|φ|＜，所以φ=.故函数y=2sin （ωx+）. 又函数图象过点（，0），所以0=2sin （ω•+）.由五点法作图的过程知，ω•+=2π，所以ω=2.综上，φ=，ω=2.10. 1 2π⎪⎭⎫ ⎝⎛--，∪(0，1)∪ 3 2π⎪⎭⎫ ⎝⎛， 解析：由图象可知：0＜x ＜1时，f （x ）＜0；当1＜x ＜3时，f （x ）＞0．再由f （x ）是奇函数，知：当﹣1＜x ＜0时，f （x ）＞0；当﹣3＜x ＜﹣1时，f （x ）＜0． 又∵当﹣3＜x ＜，或＜x ＜3时，cosx ＜0；当＜x ＜时，cos x ＞0. ∴ 当x ∈（，1）∪（0，1）∪（，3）时，f （x ）•cos x ＜0. 11. -112. 162c 解析：设扇形面积为S ，弧长为 .∴ S = 21R = 21(c -2R )· R = -R 2+21cR . c - 2R ＞0， R ＞0，∵∴ 0＜R ＜2c .当 R = 4c 时，S max =162c .13. ［56π-,3π-］ 14.3122- 解析：cos(105°-α)+ sin(α -105°) = - cos(75°+α)- sin(α+75°). ∵ 180°＜α＜270°，∴ 255°＜α+75°＜345°. 又cos(α75°)=31，∴ sin(α75°)= -232. ∴ 原式 =312223231-=+-. 15.[-4，-π)∪(0，π)解析：由已知得∴ x ∈[- 4，- π)∪(0，π).16. ①③解析：① f (x )=4sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3π2x = 4cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛--3π22πx = 4cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-6π2x = 4cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6π2x .② T =22π= π，最小正周期为π.③ 令2x +3π= k π，当 k = 0时，x =6π-，∴ 函数 f (x )关于点⎪⎭⎫⎝⎛-0 6π，对称. ④ 令2x +3π= k π+2π，当 x = -6π时，k =21-，与 k ∈Z 矛盾.∴ ①③正确. 二、解答题17.解：(1)由2k π + π＜α＜2k π +23π，k ∈Z ，得k π +2π＜2α＜k π +43π，k ∈Z .将整数 k 分奇数和偶数进行讨论，易得角2α为第二象限或第四象限的角.(2)由2k π + π＜α＜2k π +23π，k ∈Z ，得4k π + 2π＜2α＜4k π + 3π，k ∈Z .∴ 2α终边位置可能在第一象限、第二象限或y 轴的非负半轴.18.解：(1)∵ 22y x r += = 5，∴ sin α =53-=r y ，cos α =54=r x ，∴ 2sin α + cos α =525456-=+-.(2)∵ a y x r 522=+=， ∴ 当＞0时，∴ r = 5a ，sin α =5353-=-a a ，cos α =54.∴ 2sin α + cos α =52-； sin x ＞0， 2k π＜x ＜2k π + π， 16 - x 2≥0， -4≤x ≤4. ∴当 a ＜0时，∴ r = -5a ，sin α =5353=--a a ，cos α = -54， ∴ 2sin α + cos α =52. (3)当点P 在第一象限时， sin α =53，cos α =54，2sin α + cos α = 2； 当点P 在第二象限时， sin α =53，cos α =54-，2sin α + cos α =52；当点P 在第三象限时，sin α =53-，cos α =54-，2sin α + cos α = - 2；当点P 在第四象限时，sin α =53-，cos α =54，2sin α + cos α =52-.19.解：由已知得 tan α· αtan 1= k 2- 3=1，∴ k =±2.又 ∵ 3π＜α＜27π，∴ tan α＞0，αtan 1＞0.∴ tan α +αtan 1= k = 2＞0 (k = -2舍去),∴ tan α= 1,∴ sin α = cos α = -22, ∴ cos(3π +α) - sin(π +α) = sin α - cos α = 0.20.解：y = cos 2 x - 2a cos x = (cos x -a )2 - a 2， 令 cos x = t ，∵ 0≤x ≤2π，∴ t ∈[0，1].∴ 原函数可化为f (t ) = (t - a )2 - a 2，t ∈[0，1].①当 a ＜0 时，M (a ) = f (1) = 1 – 2a ，m (a ) = f (0) = 0.②当 0≤a ＜21 时，M (a ) = f (1) = 1 – 2a ，m (a ) = f (a ) = –a 2.③当 21≤a ≤1 时，M (a ) = f (0) = 0，m (a ) = f (a ) = –a 2.④当 a ＞1 时，M (a ) = f (0) = 0，m (a ) = f (1) = 1–2a .21. 解：∵N （2，2）是函数y=Asin(ωx+φ)的图象的一个最高点 ， ∴A=2. ∵N 到相邻最低点的图象曲线与x 轴相交于A 、B ，B 点坐标为（6，0），∴4T=|x B －x N |=4，∴T=16.又∵T=ωπ2,∴ω=T π2=8π.∵x N =2B A x x +，∴x A =2x N －x B =－2，∴A(-2,0)，∴y=2sin 又∵ 图象过点N （2，∴ ∴ ∴。
