拉格朗日乘数法

拉格朗日乘数法在数学最优化问题中，拉格朗日乘数法（以数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名）是一种寻找变量受一个或多个条件所限制的多元函数的极值的方法。

这种方法将一个有n 个变量与k 个约束条件的最优化问题转换为一个有n + k个变量的方程组的极值问题，其变量不受任何约束。

这种方法引入了一种新的标量未知数，即拉格朗日乘数：约束方程的梯度（gradient）的线性组合里每个向量的系数。

此方法的证明牵涉到偏微分，全微分或链法，从而找到能让设出的隐函数的微分为零的未知数的值。

目录定义用“拉格朗日乘数法”求极值条件极值点的必要条件解应用问题举例拉格朗日乘数法举例拉格朗日乘数法在消费者均衡原则中的应用定义用“拉格朗日乘数法”求极值条件极值点的必要条件解应用问题举例拉格朗日乘数法举例拉格朗日乘数法在消费者均衡原则中的应用展开定义设给定二元函数z=ƒ(x,y)和附加条件φ(x,y)=0，为寻找z=ƒ(x,y)在附加条件下的极值点，先做拉格朗日函数L(x,y)=ƒ(x,y)+λφ(x,y)，其中λ为参数。

求L(x,y)对x和y的一阶偏导数，令它们等于零，并与附加条件联立，即L＇x(x,y)=ƒ＇x(x,y)+λφ＇x(x,y)=0，L＇y(x,y)=ƒ＇y(x,y)+λφ＇y(x,y)=0，φ(x,y)=0由上述方程组解出x，y及λ，如此求得的(x,y)，就是函数z=ƒ(x,y)在附加条件φ(x,y)=0下的可能极值点。

用“拉格朗日乘数法”求极值求函数f(x,y,z)在条件φ(x,y,z)=0下的极值方法（步骤）是：1.做拉格朗日函数L=f(x,y,z)+λφ(x,y,z),λ称拉格朗日乘数2.求L分别对x,y,z,λ求偏导,得方程组,求出驻点P(x,y,z)如果这个实际问题的最大或最小值存在,一般说来驻点唯一,于是最值可求.条件极值问题也可以化为无条件极值求解,但有些条件关系比较复杂,代换和运算很繁,而相对来说,“拉格朗日乘数法”不需代换,运算简单一点.这就是优势.条件φ(x,y,z)一定是个等式，不妨设为φ(x,y,z)=m则再建一个函数g(x,y,z)=φ(x,y,z)-mg(x,y,z)=0,以g(x,y,z)代替φ(x,y,z)在许多极值问题中，函数的自变量往往要受到一些条件的限制，比如，要设计一个容积为 V的长方体形开口水箱，确定长、宽和高, 使水箱的表面积最小. 设水箱的长、宽、高分别为 x,y,z，则水箱容积V=xyz 焊制水箱用去的钢板面积为S=2xz+2yz+xy这实际上是求函数 S 在 V 限制下的最小值问题。

拉格朗日乘数法的完整证明拉格朗日乘数法是一种优化问题的解决方法，而它的核心思想就是将约束条件与目标函数融合在一起。

接下来，我们将深入探讨拉格朗日乘数法的证明，让我们一步步来看。

1. 拉格朗日乘数法的基本概念拉格朗日乘数法是一种优化方法，可以解决带约束条件的数学问题。

在具体的应用中，常常遇到要求函数在特定约束条件下的最优值。

比如说，在生产条件固定的情况下，如何使得产品利润最大化？这时候就需要我们运用拉格朗日乘数法来解决问题。

2. 拉格朗日乘数法的推导过程接下来我们来看拉格朗日乘数法的推导过程。

假设我们有一个带有n个变量的函数f(x)，需要满足m个约束条件g(x)≥ 0。

根据一般的函数极值的求法，我们需要使用偏导数来解求问题，而在满足条件的前提下，我们可以将目标函数和约束条件写成这样的形式：L(x) = f(x) - λg(x)。

其中，λ是所谓的拉格朗日乘数，可以看作对约束条件g(x)的权重。

在这个形式下，我们对目标函数求偏导数，并强制使其等于0，得到如下的式子：▽L(x) = ▽f(x) - λ▽g(x) = 0同时，我们也需要满足所有的约束条件，因此：g(x) ≥ 0我们可以将上述公式进一步变形为：▽f(x)/▽x = λ▽g(x)/▽x这个公式的意思就是，当目标函数的一阶偏导数的比值与拉格朗日乘数的一阶偏导数的比值相等时，函数达到了最优解，并且此时满足约束条件。

这样，我们就得到了拉格朗日乘数法的推导公式。

3. 拉格朗日乘数法的证明过程现在，我们可以开始拉格朗日乘数法的证明过程。

首先，我们有一个实函数f(x)，其中x是指所有的n个变量，可以看成：f(x) = f(x1, x2, ..., xn)定义一个实函数L(x1, x2, ..., xn, λ1, λ2, ..., λm)，其中λ1, λ2, ..., λm 是所谓的拉格朗日乘数，我们将一个m个条件的约束问题，变成了一个 (n+m) 维的函数。

拉格朗日乘数法解方程技巧
（最新版）
目录
一、拉格朗日乘数法简介
二、拉格朗日乘数法的应用
三、解方程技巧
四、总结
正文
一、拉格朗日乘数法简介
拉格朗日乘数法是一种数学优化方法，用于在给定约束条件下寻找多元函数的极值。

这种方法由数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日提出，其核心思想是将有约束条件的最优化问题转化为无约束条件的极值问题。

拉格朗日乘数法通过引入拉格朗日乘数，将约束方程的梯度与目标函数的梯度结合起来，从而构造出一个新的函数，称为拉格朗日函数。

求解拉格朗日函数的极值点，即可得到原问题的最优解。

二、拉格朗日乘数法的应用
拉格朗日乘数法广泛应用于各种最优化问题，如线性规划、非线性规划、动态规划等。

在实际问题中，我们通常需要解决带有约束条件的优化问题，例如在给定资源限制下最大化利润、在满足特定条件下最小化成本等。

这些问题可以借助拉格朗日乘数法来求解。

三、解方程技巧
在运用拉格朗日乘数法解方程时，我们需要遵循以下步骤：
1.构造拉格朗日函数：将目标函数和约束条件带入拉格朗日函数的定义式，得到拉格朗日函数。

2.求导：对拉格朗日函数分别对 x 和 y 求一阶偏导数，并令其等于零，得到方程组。

3.解方程组：求解方程组，得到极值点。

4.判断极值性：通过二阶导数检验或梯度检验，判断极值点是极大值、极小值还是鞍点。

5.应用极值点：将极值点代入原目标函数，得到最优解。

四、总结
拉格朗日乘数法是一种强大的数学工具，可以帮助我们在给定约束条件下解决最优化问题。

拉格朗⽇乘⼦法拉格朗⽇乘数法（Lagrange multiplier）有很直观的⼏何意义。

举个2维的例⼦来说明：假设有⾃变量x和y，给定约束条件g(x,y)=c，要求f(x,y)在约束g下的极值。

我们可以画出f的等⾼线图，如下图。

此时，约束g=c由于只有⼀个⾃由度，因此也是图中的⼀条曲线（红⾊曲线所⽰）。

显然地，当约束曲线g=c 与某⼀条等⾼线f=d1相切时，函数f取得极值。

两曲线相切等价于两曲线在切点处拥有共线的法向量。

因此可得函数f(x,y)与g(x,y)在切点处的梯度（gradient）成正⽐。

于是我们便可以列出⽅程组求解切点的坐标(x,y)，进⽽得到函数f的极值。

想法就是：能够碰到极⼤极⼩值点的必要条件是：梯度场与切空间垂直，也就是梯度场不能够有任何流形切空间上的分量，否则在切空间⽅向有分量，在流形上沿分量⽅向⾛，函数值会增加，沿反⽅向⾛，函数值会减少，不可能为局部极⼩或者极⼤值点。

⼀.⼀个基本的例⼦：假设你⽣活在三维欧⽒空间中，z⽅向的坐标数值上代表海拔⾼度。

如果你会飞，那么anyway，你想飞多⾼飞多⾼，所以你的海拔可以任意⾼也可以任意⼩，根本就没有最⼤值。

假定你是⼀个普通⼈类，你在⼀座⼭上，你的⽬标是爬到⼭顶，也就是说你希望⾃⼰的海拔⾜够⾼：当你真正到达⼭腰时，很容易“只缘⾝在此⼭中，不识此⼭真⾯⽬”，这时候如何判断是真的在往上爬呢，还是在往下⾛呢？在⾁眼所能看见的⼩范围内，你可以通过周边的局部地形来判断，假设它⼤概是这样：你就知道应该往⾼处（⼤概为红箭头⽅向）⾛，⽽不是绿箭头⽅向。

当然不⼀定⼀直沿这个⽅向直线式上升，可能还需要⾛到某个地⽅，再次做⼀下这种局部的考察，调整⼀下⽅向，保证⾃⼰能向⾼处⾛。

不过，什么是“⾼”的⼀边？这个概念究竟是如何形成的？我们知道，海拔，我们希望能够找到⼭⾯上的海拔最⾼点（⼭顶）。

梯度关于梯度⼀个很⾃然的结论就是：沿梯度⽅向是f增长最快的⽅向，反⽅向是下降最快的⽅向。

不等式约束的拉格朗日乘数法大家好！今天我们要聊聊一个看起来有点复杂但其实很有趣的数学工具——不等式约束的拉格朗日乘数法。

别担心，我会尽量用简单的语言把它讲清楚。

拿起你的咖啡，放松心情，我们一起深入了解吧！1. 什么是拉格朗日乘数法？拉格朗日乘数法，听上去是不是很高大上？其实它是用来解决一些带约束的最优化问题的工具。

简单来说，就是当你想最大化或最小化一个目标函数，而这个目标函数还受到某些限制时，拉格朗日乘数法就派上用场了。

1.1 拉格朗日乘数法的基本概念假设你在玩游戏，目标是赢得更多的分数，但游戏规则说你必须在一定的时间内完成任务。

这个时间限制就是你的不等式约束。

拉格朗日乘数法就是帮你找到在这些限制下的最佳得分策略。

1.2 如何应用想象一下，你在超市里选择购买不同的商品，你的预算是固定的。

你的目标是尽量买到更多的商品，同时预算又是你必须遵守的约束。

拉格朗日乘数法就像是你手上的神奇指南，告诉你如何在这些预算限制下，达到最大化你想买的商品的数量。

2. 拉格朗日乘数法的步骤要搞清楚这个方法，我们可以一步步来。

2.1 定义目标函数和约束条件首先，搞清楚你的目标函数是什么。

例如，假设你想最大化利润，而利润是你可以计算的函数。

然后，确定约束条件，比如你的预算或资源限制。

2.2 建立拉格朗日函数接下来，咱们需要建立一个拉格朗日函数。

这个函数不仅包括你的目标函数，还要加入一个新的变量，叫做“拉格朗日乘数”，它代表了约束对目标函数的影响。

把这些都结合起来，就形成了一个新的函数。

3. 求解拉格朗日函数现在，咱们得求解这个拉格朗日函数来找到最优解。

3.1 求偏导数为了找出最优解，你需要对拉格朗日函数的每一个变量求偏导数，并把这些偏导数设为零。

这一步就像是在解谜一样，寻找那些关键的点。

3.2 解方程组最后，把这些方程解开，得到的结果就是在你设定的约束下的最优解。

就像是找到了游戏中的隐藏宝藏，你可以根据这些解来调整你的策略，达到最佳效果。

拉格朗⽇乘数法 拉格朗⽇乘数法是⽤于求条件极值的⽅法。

对于条件极值，通常是将条件⽅程转换为单值函数，再代⼊待求极值的函数中，从⽽将问题转化为⽆条件极值问题进⾏求解。

但是如果条件很复杂不能转换，就要⽤到拉格朗⽇乘数法了。

拉格朗⽇乘数法使⽤条件极值的⼀组必要条件来求出⼀些可能的极值点（不是充要条件，说明求出的不⼀定是极值，还需要验证）。

如寻求函数z =f (x ,y ) 在条件φ(x ,y )=0 下取得极值的必要条件。

如果在(x 0,y 0)下取得z 的极值，则⾸先应该有：φ(x 0,y 0)=0 另外，假定在(x 0,y 0)的某⼀领域内f (x ,y )与φ(x ,y )均有连续的⼀阶偏导数（没有连续导数让导数为0求极值就没有意义了），并且φy (x 0,y 0)≠0。

由隐函数存在定理（对于z =φ(x ,y )若∃φy (x ,y )≠0与φx (x ,y )则d yd x =−φx (x ,y )φy (x ,y )）可知，条件⽅程φ(x ,y )=0在(x 0,y 0)某领域确定具有连续偏导数的函数y =ψ(x )，代⼊z 得：z =f [x ,ψ(x )] 于是这个极值可以直接由⼀个变量x 来确定，由⼀元可导函数取极值必要条件得：d zd xx =x 0=f x (x 0,y 0)+f y (x 0,y 0)d y d x x =x 0=0 即：f x (x 0,y 0)−f y (x 0,y 0)φx (x 0,y 0)φy (x 0,y 0)=0 设f y (x 0,y 0)φy (x 0,y 0)=−λ。

为什么要这么设呢？我觉得是因为它本⾝就是未知的，但⼜不是完全未知，是两个偏导数之商，在这⾥⾯⾸先不容易计算，其次这个偏导数商的条件也没什么⽤，因此就直接设为完全未知的参数λ了。

结合以上可以获得条件极值(x 0,y 0)应该满⾜的必要条件（第⼆⾏式⼦直接代⼊λ可以发现就等于0）：f x (x 0,y 0)+λφx (x 0,y 0)=0f y (x 0,y 0)+λφy (x 0,y 0)=0φ(x 0,y 0)=0 为了⽅便表达，引⼊辅助函数L (x ,y )=f (x ,y )+λφ(x ,y ) 必要条件就变成L x (x 0,y 0)=0L y (x 0,y 0)=0L λ(x 0,y 0)=0 于是通过这个联⽴式求得的(x ,y )就是可能的条件极值点。

拉格朗日乘数法专门用来解决带有限制条件的多元函数极值。

我们有连续可导二元函数z=f(x,y)并且有限制条件ϕ(x,y)=0那么我们要求的是z=f(x,y)在该限制条件下的极值。

首先构造函数gg(x,y)=f(x,y)+λϕ(x,y)现在问题变成了类似于我要对g(x,y)求极值，因此就变成了∂g(x,y)∂x=0∂g(x,y)∂y=0∂g(x,y)∂λ=0整理可得{Fx′=fx′(x,y)+λϕx′(x,y)=0Fy′=fy′(x,y)+λϕy′(x,y)=0Fλ′=ϕ(x,y)=0三个方程组联立，就得到了限制条件下的z的极值。

那么问题来了，为什么这种方法是奏效的？推导过程假设我们有函数f(x)，并且存在一个限制函数g(x)=0，我们要找f(x)的最大值。

这里x是D维向量。

x=[x1,x2,...,xD]那么限制方程g(x)=0，就是一个D-1维的限制曲面。

（很好理解吧？自由度少了1）考虑在限制曲面上的点x，以及同样位于这个限制曲面上的另一个临近点x+ϵ。

在x处对这个曲面上的临近点进行泰勒展开，则有g(x+ϵ)≈g(x)+ϵT∇g(x)* 一阶泰勒展开就简单理解为物理学的匀速运动方程，s1=s0+vt* ϵT：就是临近点的微小偏移，并且跟x一样是D维的，之所以有转置符号，是为了和后面的梯度做点乘，记住g是一个数* ∇ g(x)：我是对g(x)作泰勒展开，这个就是一阶导，即梯度那么我们首先应该注意到，g(x)=0，所以显然g(x)=g(x+ϵ)那么显然ϵT∇g(x)≈0在极限条件||ϵ||→0的情况下，我们有ϵT∇g(x)=0也就是说这俩向量垂直。

由于ϵ平行于限制曲面，那么∇g只能正交(垂直)于曲面。

接下来寻找限制曲面的一点x∗，使得f(x)最大。

那么我们假想一下，如果我们找到了这个x∗，在这个平面上f(x)是最大的，那么在这一点上，∇f(x)一定也正交于此限制曲面。

如果这个性质不满足，那么就余地让x∗稍微沿着梯度上升方向再挪那么一点，使得f(x)更大。

拉格朗日乘数法的
拉格朗日乘数法是一种数学优化方法，它可以用来找到满足约束条件的最优解。

它的原理是基于拉格朗日原理，即一个函数的全局最小值可以通过极大极小原理找到。

拉格朗日乘数法以及它的变体是运筹学和数学分析中最重要的算法之一，用于求解最优化问题。

拉格朗日乘数法可以用于求解线性规划问题。

它被用于求解非线性问题，例如多种旅行者问题、背包问题和QAP问题，当这些问题被约束条件所约束时。

约束条件可以很灵活地表示，比如可能有等式约束、不等式约束、二进制约束或者其他类型的约束等，都可以被拉格朗日乘数法求解。

拉格朗日乘数法的主要步骤：1）对一个给定的极值优化问题，写出它的最优化目标函数，再加上一些约束条件；2）引入一个拉格朗日乘数，将目标函数和约束条件构成一个新的原始问题，即拉格朗日乘数主问题；3）利用拉格朗日乘数主问题来求解极值优化问题，从而得到极值优化问题的最优解。

拉格朗日乘数法是一种非常有用的数学优化方法，它可以用来求解线性、非线性最优化问题，并可以满足复杂的约束条件。

它的步骤清晰，值得信赖，可以用于许多应用场合，如运输问题、交叉销售问题等。

拉格朗日乘数法原理
拉格朗日乘数法是一种用于求解约束最优化问题的方法。

它通过引入拉格朗日乘子，将约束条件融入目标函数，从而将原问题转化为不带约束的问题。

拉格朗日乘数法的基本思想是，在满足约束条件的前提下，寻找目标函数的最优解。

假设有一个目标函数f(x)和一组约束条件g(x)=0，其中x是待求解的自变量。

根据拉格朗日乘数法，我们可以构建一个拉格朗日函数L(x,λ)，它由目标函数和约束条件共同决定：
L(x,λ) = f(x) + λg(x)
在拉格朗日函数中，λ称为拉格朗日乘子，用于表示约束条件的重要程度。

通过求解拉格朗日函数的驻点，即对x和λ同时求导并令导数为0，可以得到原问题的最优解。

具体而言，拉格朗日乘数法的求解步骤如下：
1. 构建拉格朗日函数：根据目标函数和约束条件，构建拉格朗日函数L(x,λ)。

2. 对拉格朗日函数求偏导数：对拉格朗日函数L(x,λ)分别对x 和λ求偏导数，得到如下方程组：
∂L/∂x = ∂f/∂x + λ∂g/∂x = 0
∂L/∂λ = g(x) = 0
3. 解方程组：求解上述方程组，得到x和λ的值。

4. 检验解的有效性：根据解得的x和λ，验证解是否满足约束条件。

通过以上步骤，就可以求解约束最优化问题，得到目标函数的最优解。

拉格朗日乘数法的优势在于能够将约束条件与目标函数相结合，通过引入拉格朗日乘子，将约束条件转化为在优化过程中考虑的因素。

这样一来，原问题可以转化为简单的无约束优化问题，更容易求解。

拉格朗日乘数法消元技巧拉格朗日乘数法是一种用于求解约束最优化问题的方法，它的基本思想是将约束条件融入目标函数中，通过引入拉格朗日乘子来构建一个新的函数，从而将原问题转化为无约束最优化问题。

这种方法的优点在于可以将约束条件转化为等式约束，便于求解和分析。

我们来看一个简单的例子，假设有一个最优化问题，目标是求解函数f(x)的最大值或最小值，而约束条件为g(x)=0。

使用拉格朗日乘数法，我们可以将目标函数和约束条件构造为如下形式：L(x, λ) = f(x) + λg(x)其中，L(x, λ)称为拉格朗日函数，x为自变量，λ为拉格朗日乘子。

通过对拉格朗日函数求偏导，并令偏导数为0，我们可以得到一组方程：∂L/∂x = ∂f/∂x + λ∂g/∂x = 0g(x) = 0解这组方程可以得到最优解x*和对应的拉格朗日乘子λ*，从而求得最优值f(x*)。

现在，让我们看一个具体的例子来理解拉格朗日乘数法的应用。

假设我们要在给定周长的条件下，求解矩形的最大面积。

设矩形的长为x，宽为y，周长为C。

我们的目标是求解最大化的面积A。

我们可以通过周长条件得到一个等式约束：2x + 2y = C然后，我们构建拉格朗日函数：L(x, y, λ) = A(x, y) + λ(2x + 2y - C)其中，A(x, y)表示矩形的面积。

接下来，我们对拉格朗日函数进行求偏导，并令偏导数为0：∂L/∂x = ∂A/∂x + 2λ = 0∂L/∂y = ∂A/∂y + 2λ = 02x + 2y - C = 0解这组方程我们可以得到最优解x*、y*和对应的拉格朗日乘子λ*，从而求得最大面积A*。

通过这个例子，我们可以看到拉格朗日乘数法的消元技巧是将约束条件转化为等式约束的关键。

通过引入拉格朗日乘子，我们可以将约束条件融入目标函数，从而将原问题转化为无约束最优化问题。

这样一来，我们就可以利用无约束最优化问题的方法来求解原问题。

除了这个简单的例子，拉格朗日乘数法还可以应用于更复杂的问题，比如求解带有多个约束条件的最优化问题。