第01讲_第一章

第一讲 集合与计数原理一、基础知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ∉。

例如，通常用N ，Z ，Q ，B ，Q +分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用∅来表示。

集合分有限集和无限集两种。

集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。

例如{有理数}，}0{>x x 分别表示有理数集和正实数集。

定义2 子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，则A 叫做B 的子集，记为B A ⊆，例如Z N ⊆。

规定空集是任何集合的子集，如果A 是B 的子集，B 也是A 的子集，则称A 与B 相等。

如果A 是B 的子集，而且B 中存在元素不属于A ，则A 叫B 的真子集。

定义3 交集，}.{B x A x x B A ∈∈=且 定义4 并集，}.{B x A x x B A ∈∈=或定义5 补集，若},{,1A x I x x A C I A ∉∈=⊆且则称为A 在I 中的补集。

定义6 差集，},{\B x A x x B A ∉∈=且。

定义7 集合},,{b a R x b x a x <∈<<记作开区间),(b a ，集合},,{b a R x b x a x <∈≤≤记作闭区间],[b a ，R 记作).,(+∞-∞定理1 集合的性质：对任意集合A ，B ，C ，有：（1）);()()(C A B A C B A = （2）)()()(C A B A C B A =； （3）);(111B A C B C A C = （4）).(111B A C B C A C =定理2 加法原理：做一件事有n 类办法，第一类办法中有1m 种不同的方法，第二类办法中有2m 种不同的方法，…，第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事一共有n m m m N +++= 21种不同的方法。

实数完备性基本 定理之间的等价性
定义1
设闭区间列 {[an , bn ]} 满足如下条件 : 1. [an , bn ] ⊃ [an+1, bn+1] , n = 1, 2, ,
2. lni→m∞(bn − an ) = 0 , 则称 {[an , bn ]} 为闭区间套, 简称区间套.
定义1 中的条件1 实际上等价于条件 a1 ≤ a2 ≤ ≤ an ≤ ≤ bn ≤ ≤ b2 ≤ b1.
那么 ξ − ξ1 ≤ bn − an → 0.
即 ξ = ξ1, 唯一性得证.
实数完备性基本 定理之间的等价性
数学分析 第七章 实数的完备性
高等教育出版社
§1 关于实数集完备性的基本定理
区间套定理
聚点定理与有限覆盖定理
实数完备性基本 定理之间的等价性
推论
设 {[an ,bn]} 是一个区间套, ξ ∈[an , bn ], n = 1, 2, . 则任给ε > 0, 存在 N, 当 n ≥ N 时,
数学分析 第七章 实数的完备性
高等教育出版社
§1 关于实数集完备性的基本定理
区间套定理
聚点定理与有限覆盖定理
实数完备性基本 定理之间的等价性
定理7.1（区间套定理）
若 {[an , bn ]} 是一个区间套, 则存在唯一的实数 ξ , 使
ξ ∈[an , bn ],
n = 1, 2, ,
或者
∞
高等教育出版社
§1 关于实数集完备性的基本定理
区间套定理
聚点定理与有限覆盖定理
lim
n→∞
bn=
lni→m∞(bn
−
an
)
+

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（三）壮年期
从大量结实开始，到结实开始衰退为止，也称结 实盛期。 这一时期的林木结实量大，种子产量高、种粒饱 满、品质好，是采种的最佳时期。 营养生长也较旺盛,结果枝和根系生长都达到高峰， 冠幅充分扩大，林木对养分、水分和光照条件的 要求高，对不良环境件抗性强。 林木可塑性大大减弱，生物学特性稳定。
23
林木结实间隔期的一般表现
不同树种结实间隔期的有无、长短不同。生长慢的 较生长快的树种要长；种粒大的较小的长；乔木较 灌木长。如下表：
树种 落叶松
云杉 黄波罗
结实间隔期 3-5年 3-4年 2-3年
树种 杨树 胡枝子
结实间隔期 0-1年
不太明显
同一树种分布在不同的气候地区，结实间隔期也不 同，一般越向北分布，间隔期越明显。
21
三、林木结实周期性由于源自养生长和生殖生 长的不协调，导致林木 结实发生丰歉年交替出 现的现象，称为林木的 结实周期性。
林木林木进入结实阶段后， 由于树种、环境条件的不 同，各年的结实数量常常 有很大差异，常用下列术 语概括这种情况。
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⒈大年：指结实量很多的年份。也叫丰年或种子年。 ⒉平年：结实量中等的年份。 ⒊小年：结实量很少或没产量的年份。也叫歉年。 ⒋结实间隔期：指相邻两个大年之间的间隔年限。
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（二）青年期
从第一次开花结实开始，到结实3-5次为止。 青年期是林木由幼年期向壮年期的过度阶段。林木 仍以营养生长为主，生长较快，分枝快、冠幅扩展 快，根系生长快。并逐渐转入营养和生殖生长相平 衡的时期。 这其间的结实量不多，甚至由于授粉不良而多空粒， 但果实和种粒较大。由于母树年青，遗传性较不稳 定，种子可塑性大，是引种的好材料。
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（二）天气条件

第一章总论第一节会计概述一、会计的定义是以货币为主要计量单位，反映和监督一个单位经济活动的一种经济管理工作。

二、会计的作用三、企业会计准则的制定与企业会计准则体系中国现行企业会计准则体系由基本准则、具体准则、应用指南和解释组成。

第二节财务报告目标、会计基本假设和会计基础一、财务报告目标我国基本准则明确了财务报告的目标，规定财务报告的目标是向财务报告使用者提供与企业财务状况、经营成果和现金流量等有关的会计信息，反映企业管理层受托责任履行情况，有助于财务会计报告使用者作出经济决策。

二、会计基本假设1.会计主体会计主体，是指企业会计确认、计量和报告的空间范围。

会计主体不同于法律主体。

一般来说，法律主体就是会计主体，但会计主体不一定是法律主体。

会计主体界定了会计核算的空间范围。

2.持续经营持续经营，是指在可以预见的将来，企业将会按当前的规模和状态继续经营下去，不会停业，也不会大规模削减业务。

3.会计分期会计分期，是指将一个企业持续经营的生产经营活动期间划分为若干连续的、长短相同的期间。

在会计分期假设下，会计核算应划分会计期间，分期结算账目和编制财务报告。

会计期间分为年度和中期。

年度和中期均按公历起讫日期确定。

中期是指短于一个完整的会计年度的报告期间。

4.货币计量是指会计主体在财务会计确认、计量和报告时以货币计量，反映会计主体的财务状况、经营成果和现金流量。

三、会计基础企业会计的确认、计量和报告应当以权责发生制为基础。

第三节会计信息质量要求一、可靠性可靠性要求企业应当以实际发生的交易或者事项为依据的进行确认、计量和报告，如实反映符合确认和计量要求各项会计要素及其他相关信息，保证会计信息真实可靠、内容完整。

二、相关性相关性要求企业提供的会计信息应当与投资者等财务报告使用者的经济决策需要相关，有助于投资者等财务报告使用者对企业过去、现在或者未来的情况作出评价或者预测。

三、可理解性可理解性要求企业提供的会计信息应当清晰明了，便于投资者等财务报告使用者理解和使用四、可比性可比性要求企业提供的会计信息应当具有可比性。

第一章命题与命题公式第01讲命题与命题联结词(一)1.1命题与命题联结词选择题考点1.1.1命题与命题的表示推理：由一个或几个已知的前提，推导出一个未知结论的思维过程。

真值：表达这些前提的陈述句是否成立的一个属性。

＞＞当陈述句成立时，其真值为真，表示为T(TrUe)。

例：地球是行星。

＞＞当陈述句不成立时，其真值为假，表示为F(Fa1Se)。

例：2是无理数。

命题：具有唯一真值的陈述句称作命作，也称为语句。

*疑问句、句叹句、祈使句等都不能构成命题。

≥＞真值为真的命题一真血题»真值为假的命题一假命题例：判断下列句子中哪些构成命题。

①8不是素数；√②雪是黑的；√③到2049年世界人口将超过90亿；√④喜马拉雅山好高啊！X⑤x+1=2°X总结:.判断命题的两个条件»语句本身是个陈述句；＞＞它有唯一的真值。

命题的表示＞＞命题可用大小写英文字母或字母加数字的形式来表示。

例：P或p；P1或Ch»命题为真时，其真值用T或“1”表示。

＞＞命题为假时，其真值用“F”或“0”表示。

例：P：所有的素数都是奇数。

真值为FQ：6是一个合数。

真值为T【单选题】下列句子不是命题的是()。

A.中华人民共和国的首都是北京B.张三是学生C.雪是黑色的D.太好了「正确答案」D「答案解析」D选项不是陈述句，故不是命题。

参见教材PI8。

1.1.2复合命题与联结词原子命题/简单命题：不能再分解的命的。

例：张三是学生。

8不是素数。

复合命题：由原子命题通过联结词联结而成的命题。

例：如果今年有假期，我将去欧洲旅游。

尽管我在减肥，但是我还是想吃饭。

【单选题】下列语句是原子命题的为（）。

A.x÷y>xyB.请给我来点掌声吧C.小明既爱唱歌又爱跳舞D.火星上有生物『正确答案』D『答案解析J A、B选项不符合命题要求；C选项为复合命题，故选D。

参见教材P19。

数理逻辑中常用的联结词1.否定设P为命题,P的否定是一个复合命题，记作注。

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马驰 主讲
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第一章 Visual FoxPro 基础
数据模型
3.数据模型简介 数据模型是数据库管理系统用来表示实体间联系的 方法。一个具体的数据模型应当正确的反映出数据之间 存在的整体逻辑关系。 数据模型分为三种: 层次模型、网状模型、关系模型。 使用支持某种特定数据模型的数据库管理系统开发 出来的应用系统相应地称为层次数据库系统、网状数据 库系统、关系数据库系统。
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马驰 主讲
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第一章 Visual FoxPro 基础
关系数据库
④域:属性的取值范围,即不同元组对同一个属性的取 值所限定的范围。 ⑤关键字:属性或属性的组合,其值能够唯一地标识一 个元组。 ⑥外部关键字:表中的一个字段不是本表主关键字或 侯选关键字,是另一个表的主关键字或侯选关键字. 2.关系的特点 ①关系必须规范化,即表中的列不再可分;
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马驰 主讲
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第一章 Visual FoxPro 基础
数据库设计过程
5.设计求精。 ①是否遗忘了字段; ②是否保持大量空白字段; ③是否包含了同样字段的表; ④表中是否带有大量并不属于某实体的字段; ⑤是否某个表中输入了同样信息; ⑥是否为每个表选择了合适的关键字; ⑦是否有字段很多而记录却很少的表。
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马驰 主讲
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第一章 Visual FoxPro 基础
计算机数据处理
2.计算机数据处理: 数据处理的中心问题是数据管理。计算机对数据的 管理是指对数据的组织、分类、编码、存储、检索和维 护提供操作手段。 计算机在数据管理方面也经历了由低级到高级的发 展过程。计算机数据处理管理随着计算机硬件、软件技 术和计算机应用范围的发展而不断发展,多年来经历了人 工管理、文件系统、数据库系统、分布式数据库系统和 面向对象数据库系统等几个阶段。

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第一章 地球与地图
2．经纬网图中最短距离的确定 在地球表面上，两地间的最短距离即通过这两点的球面大圆的劣弧段(所谓 “劣弧”，即两点间的弧度小于 180°)。 (1)可以利用现成大圆，如经线圈、赤道、晨昏圈。处于不同经线但位于同 一经线圈的两点间的最短航线须经过两极点中的一个。赤道上的两点，沿赤道 向正东或正西走劣弧即可。晨昏圈上的两点，其最短航线就是沿晨昏圈走劣弧。
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第一章 地球与地图
对点检测 (2022·江西省七校联考)下图为世界某地区经纬网图。2021 年 6 月 21 日， 一架飞机途经该地区时发现飞机的正前正北是丁地，且此时飞机位于甲地东南， 乙地正东，丙地东北。据此完成 1～2 题。
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第一章 地球与地图
1．图中四条沿经纬线的短粗线中，实地距离相等的是( )
数字式
_线__段_式
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第一章 地球与地图
(4)图幅相同的两幅地图特点比较
比例尺大小
表示的实地范围
大__
小__
小__
大__
内容 详细 简略
精确度 高 低
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第一章 地球与地图
2．地图上的方向
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第一章 地球与地图
3．图例和注记 地图中，用以表示地理事物的各种符号为图例；用以说明地理事物的文字
A．①和②
B．②和③
C．③和④
D．①和④
2．此时，该飞机的位置和飞行方向是( )
A．a 向正东飞行
B．b 向正北飞行
C．c 向正西飞行

第一章数与式第1讲实数考纲要求命题趋势1．理解有理数、无理数和实数的概念，会用数轴上的点表示有理数．2．借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求一个数的相反数、倒数与绝对值．3．理解平方根、算术平方根、立方根的概念，会求一个数的算术平方根、平方根、立方根．4．理解科学记数法、近似数与有效数字的概念，能按要求用四舍五入法求一个数的近似值，能正确识别一个数的有效数字的个数，会用科学记数法表示一个数．5．熟练掌握实数的运算，会用各种方法比较两个实数的大小．实数是中学数学重要的基础知识，中考中多以选择题、填空题和简单的解答题的形式出现，主要考查基本概念、基本技能以及基本的数学思想方法．另外，命题者也会利用分析归纳、总结规律等题型考查考生发现问题、解决问题的能力．一、实数的分类1、按实数的定义分类：实数有限小数或无限循环数2、按实数的正负分类：二、实数的有关概念及性质1．数轴（1）规定了原点、单位长度、正方向的直线叫做数轴；（2）实数与数轴上的点是一一对应的．2．相反数（1）实数a 的相反数是-a ，零的相反数是零；（2）a 与b 互为相反数⇔a ＋b ＝0．3．倒数（1）实数a （a≠0）的倒数是1/a ；ìíîìíî正数正无理数零 负有理数负数⎪⎪⎪⎪î⎪⎪⎪⎪íìîíì⎪⎪⎪î⎪⎪⎪íìîíì⎪î⎪íì正无理数无理数负分数零正整数整数有理数（2）a与b互为倒数⇔ab=1．4．绝对值（1）数轴上表示数a的点与原点的距离，叫做数a的绝对值，记作|a|．（2）|a|a>0 ，a＝0 ，a<0 .5．平方根、算术平方根、立方根（1）平方根①定义：如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x叫做a的平方根（也叫二次方根），数a的平方根记作±a．②一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．（2）算术平方根①如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，a的算术平方根记作a．零的算术平方根是零，即0＝0．②算术平方根都是非负数，即a≥0（a≥0）．③（a）2＝a（a≥0），a2＝|a|a≥0 ，a a<0 .（3）立方根①定义：如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x叫做a的立方根（也叫三次方根），数a 的立方根记作3a．②任何数都有唯一一个立方根，一个数的立方根的符号与这个数的符号相同．6．科学记数法、近似数、有效数字（1）科学记数法把一个数N表示成a与10的幂相乘（1≤a＜10，n是整数）的形式叫做科学记数法．当N≥1时，n等于原数N的整数位数减1；当N＜1时，n是一个负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数（含整数位上的零）．（2）近似数与有效数字一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时从左边第1个不为0的数字起，到末位数字止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字．三、非负数的性质1．常见的三种非负数|a|≥0，a2≥0，a≥0（a≥0）．2．非负数的性质（1）非负数的最小值是零；（2）任意几个非负数的和仍为非负数；（3）几个非负数的和为0，则每个非负数都等于0．四、实数的运算1．运算律（1）加法交换律：a ＋b ＝b ＋a ．（2）加法结合律：（a ＋b ）＋c ＝a ＋（b ＋c ）．（3）乘法交换律：ab ＝ba ．（4）乘法结合律：（ab ）c ＝a （bc ）．（5）乘法分配律：a （b ＋c ）＝ab ＋ac ．2．运算顺序（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减；（2）同级运算，按照从左至右的顺序进行；（3）如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的．3．零指数幂和负整数指数幂（1）零指数幂的意义为：a 0＝1（a≠0）；（2）负整数指数幂的意义为：p a -＝pa 1（a≠0，p 为正整数）．五、实数的大小比较1．实数的大小关系在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大．正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小．2．作差比较法（1）a －b ＞0⇔a ＞b ；（2）a －b ＝0⇔a ＝b ；（3）a －b ＜0⇔a ＜b ．3．倒数比较法若1a ＞1b ，a ＞0，b ＞0，则a ＜b ．4．平方法因为由a ＞b ＞0，可得a ＞b ，所以我们可以把a 与b 的大小问题转化成比较a 和b 的大小问题．2．﹣2的绝对值是（）A ．2B ．﹣2C ．D ．A ．-1B ．1C ．D ．74．花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为0．000037毫克，已知1克=1000毫克，那么0．000037毫克可用科学记数法表示为（）A ．3．7×10-5克B ．3．7×10-6克C ．37×10-7克D ．3．7×10-8克5．已知实数a 在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是（）A ．3﹣aB ．﹣a ﹣5C ．3a +3D ．3a ﹣56．计算：．考点一、实数的分类A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个方法总结一个数是不是无理数，应先计算或者化简再判断．有理数都可以化成分数的形式．常见的无理数有四种形式：（1）含有π的式子；（2）根号内含开方开不尽的式子；（3）无限且不循环的小数；（4）某些三角函数式．举一反三在下列实数中，无理数是（）A ．0B ．14C D ．6考点二、相反数、倒数、绝对值与数轴【例2】1．－5的绝对值是2．-6的倒数是（）A ．16B ．-16C ．6D ．-63．如图，数轴上的点A 、B 分别对应实数a 、b ，下列结论中正确的是（）A ．a ＞bB ．|a|＞|b|C ．-a ＜bD ．a+b ＜0方法总结1．求一个数的相反数，直接在这个数的前面加上负号，有时需要化简得出．2．解有关绝对值和数轴的问题时常用到字母表示数的思想、分类讨论思想和数形结合思想．3．相反数是它本身的数只有0；绝对值是它本身的数是0和正数（即非负数）；倒数是它本身的数是±1．；-3的倒数是2．-2024的绝对值是（）A ．-2024B ．2024C ．20241D ．20241-3．如图，数轴上的A 、B 、C 三点所表示的数分别是a 、b 、c ，其中AB ＝BC ，如果|a |＞|c |＞|b |，那么该数轴的原点O 的位置应该在（）A ．点A 的左边B ．点A 与点B 之间C ．点B 与点C 之间D ．点B 与点C 之间或点C 的右边考点三、平方根、算术平方根与立方根【例3】1．实数0．5的算术平方根等于（）A ．2B C ．22D ．12．方法总结1．对于算术平方根，要注意：（1）一个正数只有一个算术平方根，它是一个正数；（2）0的算术平方根是0；（3）负数没有算术平方根；（4）算术平方根a 具有双重非负性：①被开方数a 是非负数，即a≥0；②算术平方根a 本身是非负数，即a≥0．2．（3a ）3＝a ，3a 3＝a ．．的平方根是．2．若a 是（﹣3）2的平方根，则3a 等于（）A ．﹣3B ．33C ．33或33-D ．3或﹣3考点四、科学记数法、近似数、有效数字【例4】2023年，我国财政性教育经费支出实现了占国内生产总值比例达4%的目标，其中在促进义务教育均衡方面，安排农村义务教育经费保障机制改革资金达865．4亿元，数据“865．4亿元”用科学记数法可表示为（）元．A ．865×108B ．8．65×109C ．8．65×1010D ．0．865×1011方法总结1．用科学记数法表示数，当原数的绝对值大于或等于1时，n 等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值小于1时，n 是负整数，它的绝对值等于原数中左起第一位非零数字前零的个数．2．取一个数精确到某一位的近似数时，应对“某一位”后的第一个数进行四舍五入，而之后的数不予考虑．3．用科学记数法表示的近似数，乘号前面的数（即a ）的有效数字即为该近似数的有效数字；而这个近似数精确到哪一位，应将用科学记数法表示的数还原成原来的数，再看最后一个有效数字处于哪一个数位上．举一反三2023年，我国上海和安徽首先发现“H8N9”禽流感，H8N9是一种新型禽流感，其病毒颗粒呈多形性，其中球形病毒的最大直径为0．00000012米，这一直径用科学记数法表示为（）A ．1．2×10-9米B ．1．2×10-8米C ．12×10-8米D ．1．2×10-7米考点五、非负数性质的应用A ．0B ．1C ．-1D ．±1方法总结常见的非负数的形式有三种：|a|，a （a≥0），a 2，若它们的和为零，则每一个式子都为0．举一反三设a 、b 、c 都是实数，且满足2)2(a -+c b a ++2+|8|+c =0，ax 2+bx+c=0，求代数式x 2+x+1的值．考点六、实数的运算点拨：（1）根据负整数指数幂的意义可把负整数指数幂转化为正整数指数幂运算，即a －p ＝1a p （a≠0）．（2）a 0＝1（a≠0）．方法总结提高实数的运算能力，首先要认真审题，理解有关概念；其次要正确、灵活地应用零指数、负整数指数的定义、特殊角的三角函数、绝对值、相反数、倒数等相关知识及实数的六种运算法则，根据运算律及顺序，选择合理、简捷的解题途径．要特别注意把好符号关．举一反三120100(60)(1)|2(301)cos tan -¸-+--- 考点七、实数的大小比较A ．1与2之间B ．2与3之间C ．3与4之间D ．4与5之间方法总结实数的各种比较方法，要明确应用条件及适用范围．如：“差值比较法”用于比较任意两数的大小，而“商值比较法”一般适用于比较符号相同的两个数的大小，还有“平方法”、“倒数法”等．要依据数值特点确定合适的方法．举一反三已知26,622,12-=-=-=c b a 那么a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b一、选择题1．据统计，某市去年接待国际旅游入境者共800160人次，800160用科学记数法表示是（）A ．8.0016×104B ．8.0016×105C ．8.0016×106D ．8.0016×1072．比较三个数10,,3---p 的大小，下列结论正确的是（）A ．103->->-pB ．310->->-p C ．p->->-310D ．103->->-p3．16的值等于（）A ．4B ．4±C ．2D ．2±4）A ．4B ．2C ．4±D ．2±5．若代数式M ＝3x 2+8，N ＝2x 2+4x ，则M 与N 的大小关系是（）A ．M ≥N B ．M ≤NC ．M ＞ND ．M ＜N二、填空题1．据统计，杭州市注册志愿者人数已达109万人，将109万人用科学记数法表示应为．2．若a 2﹣3a=4，则6a ﹣2a 2+8=．3．(1012p -æö-+-+ç÷èø4．计算221--=5．古时候，猎人通过结绳的方法来统计猎物的个数，如图，一位猎人在排列的绳子上从右到左依次打结，满八进一，用来记录一段时间内猎物的数量，由图可知，猎物的数量是．三、解答题1．一个数的算术平方根为2M﹣6，平方根为±（M﹣2），求这个数．2．计算6÷（﹣），方方同学的计算过程如下，原式=6+6=﹣12+18=6．请你判断方方的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程．3．（1）计算：3﹣[6﹣（2﹣3）2]（2）因式分解：4m2﹣16n2．1．下列各数中，最小的数是（）A．0B．1C．－1D．－22．4的算术平方根是（）±A．2B．±2C．2D．23．已知一个数的两个平方根分别是a+3与2a﹣15，这个数的值为（）A．4B．±7C．﹣7D．494．有下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④-是17的平方根．其中正确的有（）17A．0个B．1个C．2个D．3个5．我们知道，一元二次方程x 2=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数“i”，使其满足i 2=﹣1（即方程x 2=﹣1有一个根为i ）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i 1=i ，i 2=﹣1，i 3=i 2•i=（﹣1）•i=﹣i ，i 4=（i 2）2=（﹣1）2=1，从而对于任意正整数n ，我们可以得到i 4n+1=i 4n •i=（i 4）n •i=i ，同理可得i 4n+2=﹣1，i 4n+3=﹣i ，i 4n =1．那么i+i 2+i 3+i 4+…+i 2012+i 2013的值为（）A ．0B ．1C ．﹣1D ．i 6．若﹣2x m ﹣n y 2与3x 4y 2m+n 是同类项，则m ﹣3n 的立方根是．7．若两个连续整数x 、y 满足x ＜+1＜y ，则x+y 的值是．8．阅读下列材料：设 333.03.0==·x ①，则10x=3．333…②，则由②﹣①得：9x=3，即31=x ．所以31333.03.0==·．根据上述提供的方法把下列两个数化成分数．·7.0=，·3.1=．9．规定：log a b （a ＞0，a≠1，b ＞0）表示a ，b 之间的一种运算．现有如下的运算法则：n na a=log ,NnMnMNlog log log =（a ＞0，a≠1，N ＞0，N≠1，M ＞0）．例如：log 223=3，21051052log log log =，则log 1001000=．10．为了表述方便，本题取0．ba 表示小数．其中a 、b 只在1、2、3、…、9这9个数字中选取，例如当a 取2，b 取3时，0．ba 就表示0．32．我们知道无限循环小数可以化为分数，一般地，9.0aa =·，那么=·23.0，=·a b .0．11．已知a 、b 分别是6﹣的整数部分和小数部分．（1）分别写出a 、b 的值；（2）求3a ﹣b 2的值．12．阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i 2=﹣1，这个数i 叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为a+bi （a ，b 为实数），a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：（5+i）×（3﹣4i）=19﹣17i．（1）填空：i3=，i4=．（2）计算：（3+i）2；（3）试一试：请利用以前学习的有关知识将化简成a+bi的形式．第2讲整式与因式分解考纲要求命题趋势1．能求代数式的值；能根据特定问题找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算．2．了解整数指数幂的意义和基本性质；了解整式的概念和有关法则，会进行简单的整式加、减、乘、除运算．3．会推导平方差公式和完全平方公式，会进行简单的计算；会用提公因式法、公式法、十字相乘进行因式分解．整式及因式分解主要考查用代数式表示数量关系，单项式的系数及次数，多项式的项和次数，整式的运算，多项式的因式分解等内容．中考题型以选择题、填空题为主，同时也会设计一些新颖的探索型问题．一、整式的有关概念1．整式整式是单项式与多项式的统称．2．单项式单项式是指由数字或字母的乘积组成的式子；单项式中的数字因数叫做单项式的系数；单项式中所有3．多项式几个单项式的和叫做多项式；多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项；多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数．二、整数指数幂的运算正整数指数幂的运算法则：n m a n a m a +=，mn a n m a =)(，m b m a m ab =)(，n m a na ma -=（m ，n是正整数）．三、同类项与合并同类项1．所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项．2．把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项，合并的法则是系数相加，所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变．四、求代数式的值1．一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算关系计算出的结果就叫做代数式的值．2．求代数式的值的基本步骤：（1）代入：一般情况下，先对代数式进行化简，再将数值代入；（2）计算：按代数式指明的运算关系计算出结果．五、整式的运算1．整式的加减（1）整式的加减实质就是合并同类项；（2）整式加减的步骤：有括号，先去括号；有同类项，再合并同类项．注意去括号时，如果括号前面是负号，括号里各项的符号要变号．2．整式的乘除（1）整式的乘法①单项式与单项式相乘：把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．②单项式与多项式相乘：m（a＋b＋c）＝ma＋mb＋mc．③多项式与多项式相乘：（m＋n）（a＋b）＝ma＋mb＋na＋nb．（2）整式的除法①单项式除以单项式：把系数、同底数幂相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．②多项式除以单项式：（a＋b）÷m＝a÷m＋b÷m．3．乘法公式（1）平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2；（2）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab＋b2．六、因式分解1．因式分解的概念把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解．2．因式分解的方法（1）提公因式法公因式的确定：第一，确定系数（取各项整数系数的最大公约数）；第二，确定字母或因式底数（取各项的相同字母）；第三，确定字母或因式的指数（取各相同字母的最低次幂）．（2）运用公式法①运用平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）．②运用完全平方公式：a2±2ab＋b2＝（a±b）2．（3）十字相乘A．a=2，b=3B．a=1，b=2C．a=1，b=3D．a=2，b=22．下列运算正确的是（）A．a2•a3=a6B．﹣2（a﹣b）=﹣2a﹣2b C．2x2+3x2=5x4D．（﹣）﹣2=43．若（a m b n）3=a9b15，则m、n的值分别为（）A．9；5B．3；5C．5；3D．6；124．下列各式能用平方差公式分解因式的有（）①x2+y2；②x2﹣y2；③﹣x2﹣y2；④﹣x2+y2；⑤﹣x2+2xy﹣y2．A．1个B．2个C．3个D．4个5．下列从左到右边的变形，是因式分解的是（）A．（3﹣x）（3+x）=9﹣x2B．（y+1）（y﹣3）=﹣（3﹣y）（y+1）C．4yz﹣2y2z+z=2y（2z﹣yz）+z D．﹣8x2+8x﹣2=﹣2（2x﹣1）26．计算（a﹣b）（a+b）（a2+b2）（a4﹣b4）的结果是（）A．a8+2a4b4+b8B．a8﹣2a4b4+b8C．a8+b8D．a8﹣b87．多项式ax2﹣4ax﹣12a因式分解正确的是（）A．a（x﹣6）（x+2）B．a（x﹣3）（x+4）C．a（x2﹣4x﹣12）D．a（x+6）（x﹣2）8．若（x2+px﹣）（x2﹣3x+q）的积中不含x项与x3项，（1）求p、q的值；（2）求代数式（﹣2p2q）2+（3pq）﹣1+p2012q2014的值．考点一、整数指数幂的运算【例1】1．若2x+5y﹣3＝0，求4x•32y的值．2．已知a3m＝3，b3n＝2．求（a2m）3+（b n）3﹣a2m b n•a4m b2n的值．方法总结幂的运算问题除了注意底数不变外，还要弄清幂与幂之间的运算是乘、除还是乘方，以便确定结果的指数是相加、相减还是相乘．举一反三1．已知：x3m＝4，y3n＝5，求（x2m）3+（y n）6﹣x2m•y n•x4m•y5n的值；2．若x=2m﹣1，y=1+4m+1，用含x的代数式表示y为．考点二、整式的运算【例2】1．若a ﹣b=1，则代数式a 2﹣b 2﹣2b 的值为．2．7张如图1的长为a ，宽为b （a ＞b ）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD 内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S ，当BC 的长度变化时，按照同样的放置方式，S 始终保持不变，则a ，b 满足（）A ．a=52b B ．a=3b C ．a=72b D ．a=4b方法总结对于整式的运算主要把握好整式的乘法公式及因式分解等的应用举一反三1．已知a+b=2，ab=﹣1，则3a+ab+3b=；a 2+b 2=．2．将图（甲）中阴影部分的小长方形变换到图（乙）位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（）A ．（a+b ）2=a 2+2ab+b 2B ．（a ﹣b ）2=a 2﹣2ab+b 2C ．a 2﹣b 2=（a+b ）（a ﹣b ）D ．（a+2b ）（a ﹣b ）=a 2+ab ﹣2b 2考点三、乘法公式【例3】1．下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（）A ．（x+a ）（x ﹣a ）B ．（a+b ）（﹣a ﹣b ）C ．（﹣x ﹣b ）（x ﹣b ）D ．（b+m ）（m ﹣b ）2．若m 为正实数，且31=-m m ，则=-221mm ．方法总结本题考查了完全平方公式、平方差公式，求出m 的值代入前，一定要把代数式分解完全，可简化计算步骤．举一反三1．填空：（a ﹣b ）（a +b ）＝a 2﹣b 2；（a ﹣b ）（a 2+ab +b 2）＝a 3﹣b 3；（a ﹣b ）（a 3+a 2b +ab 2+b 3）＝a 4﹣b 4；……（1）（a ﹣b ）（a 2022+a 2021b +…+ab 2021+b 2022）＝a 2023﹣b 2023；（2）猜想：（a ﹣b ）（a n ﹣1+a n ﹣2b +⋯+ab n ﹣2+b n ﹣1）＝a n ﹣b n ；（其中n 为正整数，且n ≥2）（3）利用（2）中的猜想的结论计算：22023+22022+22021+⋯+22+2+1；2．如果41224|11|-++-=--++b a c b a ，那么a+2b ﹣3c=．3．已知（2008﹣a ）2+（2007﹣a ）2=1，则（2008﹣a ）•（2007﹣a ）=．考点四、因式分解【例4】分解因式：（1）20a 3x ﹣45ay 2x （2）1﹣9x 2（3）4x 2﹣12x+9（4）4x 2y 2﹣4xy+1（5）p 2﹣5p ﹣36方法总结因式分解的一般步骤：（1）“一提”：先考虑是否有公因式，如果有公因式，应先提公因式；（2）“二套”：再考虑能否运用公式法分解因式．一般根据多项式的项数选择公式，二项式考虑用平方差公式，三项式考虑用完全平方公式；（3）分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．举一反三分解因式（1）y 2﹣7y+12（2）3﹣6x+3x 2（3）﹣a+2a 2﹣a 3（4）m 3﹣m 2﹣20m一、选择题1．下列运算正确的是（）A ．2x 2+x ＝3x 3B ．2x 2﹣7x 2＝﹣5C ．﹣8x 3•4x 2＝﹣32x 6D ．＝x 22．下列计算正确的是（）A ．523mm m =+B ．623m m m =×C ．1)1)(1(2-=+-m m m D ．12)1(24-=--m m 3．在下列各式的变形中，正确的是（）A ．()()22x y y x x y---+=--B ．()413222--=--x x x C ．111x x-=-D ．()xy y x -=-1-4．将多项式4x 2+1再加上一项，使它能分解因式成（a +b ）2的形式，以下是四位学生所加的项，其中错误的是（）A ．2xB ．﹣4xC ．4x 4D ．4x5．下列运算正确的是（）A ．（a 4）3＝a 7B ．a 6÷a 3＝a 2C ．（2ab ）3＝6a 3b 3D ．﹣a 5•a 5＝﹣a 106．因式分解：a 2﹣4＝（）A ．（a ﹣2）（a +2）B ．（2﹣a ）（2÷a ）C ．（a ﹣2）2D ．（a ﹣2）（﹣a +2）7．下列运算正确的是（）A ．ba b a 33)(=B ．3a 3•2a 2=6a 6C ．4a 6÷2a 2=2a 3D ．（3a 2）3=27a 68．设a ，b 是实数，定义@的一种运算如下：a@b=（a+b ）2﹣（a ﹣b ）2，则下列结论：①若a@b=0，则a=0或b=0②a@（b+c ）=a@b+a@c③不存在实数a ，b ，满足a@b=a 2+5b 2④设a ，b 是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a=b 时，a@b 最大．其中正确的是（）A ．②③④B ．①③④C ．①②④D ．①②③9．（1+y ）（1﹣y ）＝（）A ．1+y 2B ．﹣1﹣y 2C ．1﹣y 2D ．﹣1+y 2二、填空题1．若整式x 2+ky 2（k 为不等于零的常数）能在有理数范围内因式分解，则k 的值可以是（写出一个即可）．2．在实数范围内分解因式：4424+-x x =．3．分解因式：2a 2﹣4a+2=．4．分解因式：a 3b ﹣2a 2b+ab=．5．因式分解：（a ﹣b ）2﹣（b ﹣a ）＝．6．在化简求（a +3b ）2+（2a +3b ）（2a ﹣3b ）+a （5a ﹣6b ）的值时，亮亮把a 的值看错后代入得结果为10，而小莉代入正确的a 的值得到正确的结果也是10，经探究后，发现所求代数式的值与b 无关，则他们俩代入的a 的值的和为．7．已知a ＝，则（4a +b ）2﹣（4a ﹣b ）2为．8．因式分解：a 3﹣4a ＝．三、解答题1．先化简，再求值：2)2()1)(1(++-+a a a ，其中41=a ．2．设m ＝2a ﹣1，n ＝﹣2a ﹣1，若41=a ，求mn +m +n +1的值．3．先化简，再求值：（2﹣a ）（3+a ）+（a ﹣5）2，其中a ＝4．1．要使二次三项式x 2﹣2x+m 在整数范围内能进行因式分解，那么整数m 的值可取（）A ．1B ．﹣3C ．1或﹣3D ．有无数个2．若多项式x 4+mx 3+nx ﹣16含有因式（x ﹣2）和（x ﹣1），则mn 的值是（）A ．100B ．0C ．﹣100D ．503．现有一列式子：①552﹣452；②5552﹣4452；③55552﹣44452…则第⑧个式子的计算结果用科学记数法可表示为（）A．1．1111111×1016B．1．1111111×1027C．1．111111×1056D．1．1111111×10174．下列从左到右的变形是因式分解的是（）A．4yz﹣2y2+z＝2y（2z﹣y）+zB．（3﹣x）（3+x）＝9﹣x2C．x（x﹣y）﹣y（x﹣y）＝（x﹣y）2D．x3﹣3x2+x＝x（x2﹣3x）5．已知a，b，c分别是△ABC的三边长，且满足2a4+2b4+c4=2a2c2+2b2c2，则△ABC是（）A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形6．已知a=2005x+2004，b=2005x+2005，c=2005x+2006，多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（）A．0B．1C．2D．37．如图所示，有三种卡片，其中边长为a的正方形1张，边长为a、b的矩形卡片4张，边长为b的正方形4张用这9张卡片刚好能拼成一个正方形，则这个正方形的面积为（）A．a2+4ab+4b2B．42+8ab+4b2C．4a2+4ab+b2D．a2+2ab+b28．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角”（a+b）0＝1（a+b）1＝a+b（a+b）2＝a2+2ab+b2（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5…则（a+b）9展开式中所有项的系数和是（）A．128B．256C．512D．10249．多项式x2+mx+5因式分解得（x+5）（x+n），则m=，n=．10．因式分解：x2﹣y2+6y﹣9=．11．计算（1﹣）（）﹣（1﹣﹣）（）的结果是．12．将多项式x2+4加上一个整式，使它成为完全平方式，试写出满足上述条件的三个整式：，，．13．若n满足（n﹣2019）2+（2020﹣n）2＝1，则（n﹣2019）（2020﹣n）＝．14．如果关于x的二次三项式x2﹣4x+m在实数范围内不能分解因式，那么m的取值范围是．15．因式分解：（1）4m2n﹣8mn2﹣2mn；（2）m2（m+1）﹣（m+1）；（3）4x2y+12xy+9y；（4）（x2﹣6）2+2（x2﹣6）﹣15．16．阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．例如：（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（x﹣2）2+x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+2三种不同形式的配方；（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）；（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．第3讲分式考纲要求命题趋势1．能确定分式有意义、无意义和分式的值为零时的条件．2．能熟练应用分式的基本性质进行分式的约分和通分．3．能熟练进行分式的四则运算及其混合运算，并会解决与之相关的化简、求值问题．命题反映在分式中主要涉及分式的概念、性质、运算法则及其应用，题型表现为填空题、选择题、化简求值题等形式．一、分式1．分式的概念形如AB （A ，B 是整式，且B 中含有字母，B≠0）的式子叫做分式．2．与分式有关的“三个条件”（1）分式AB 无意义的条件是B ＝0；（2）分式AB 有意义的条件是B≠0；（3）分式AB 值为零的条件是A ＝0且B≠0．二、分式的基本性质分式的分子与分母同乘（或除以）一个相同的整式，分式的值不变．用式子表示是：A B ＝A×M B×M ，A B ＝A÷M B÷M （其中M 是不等于0的整式）．三、分式的约分与通分1．约分根据分式的基本性质将分子、分母中的相同的整式约去，叫做分式的约分．2．通分根据分式的基本性质将几个异分母的分式化为分母相同的分式，这种变形叫分式的通分．四、分式的运算A．2个B．3个C．4个D．5个2．若把分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（）A．扩大3倍B．缩小3倍C．缩小6倍D．不变3．先化简再求值：，其中．4．已知：A＝xy﹣x2，B＝，C＝，若A÷B＝C×D，求D．5．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．（1）下列分式中，是和谐分式（填写序号即可）；（2）若分式为和谐分式，且a为整数，请写出所有a的值；（3）在化简时，小东和小强分别进行了如下三步变形：小东：原式＝＝＝小强：原式＝＝＝．显然，小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是：，请你接着小强的方法完成化简．考点一、分式有意义、无意义、值为零的条件为零且分母不为零．举一反三要使分式有意义，则x 的取值范围为．考点二、分式的基本性质【例2】若分式的x 和y 均扩大为原来各自的10倍，则分式的值（）A ．不变B ．缩小到原分式值的C ．缩小到原分式值的D ．缩小到原分式值的方法总结运用分式的基本性质解题必须理解和掌握分式的基本性质：A B ＝A·m B·m ，A B ＝A÷mB÷m （其中m ≠0）和分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变．举一反三已知﹣=3，则分式的值为．考点三、分式的约分与通分【例3】设=2，则=（）A ．B ．﹣C ．D ．﹣方法总结1．分式约分的步骤：（1）找出分式的分子与分母的公因式，当分子、分母是多项式时，要先把分式的分子与分母分解因式；（2）约去分子与分母的公因式．2．通分的关键是确定最简公分母．求最简公分母的方法是：（1）将各个分母分解因式；（2）找各分母系数的最小公倍数；（3）找出各分母中不同的因式，相同因式中取次数最高的，满足（2）（3）的因式之积即为各分式的最简公分母．举一反三先化简，再求值：（+2﹣x ）÷，其中x 满足x 2﹣4x+3=0．考点四、分式的运算【例4】计算：．方法总结在分式运算的过程中，要注意对分式的分子、分母进行因式分解，然后简化运算，再运用四则运算法则进行求值计算．分式混合运算的顺序是先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的，其乘除运算归根到底是乘法运算，实质是约分，分式加减实质是通分，结果要化简．关于化简求值，近年来出现了一种开放型问题，题目中给定几个数字，要考虑分母有意义的条件，不要盲目代入．举一反三先化简，然后从1、、﹣1中选取一个你认为合适的数作为a的值代入求值．一、选择题1．若241()142w a a+=-- ，则（）A ．2(2)a a +¹-B ．2(2)a a -+¹C ．2(2)a a -¹D ．2(2)a a --¹-2．将分式方程13)1(251+=++-x x x x 去分母，整理后得（）A ．018=+xB ．038=-xC ．0272=+-x x D ．0272=--x x 3．化简的结果是（）A ．x ﹣1B ．C ．x+1D ．4．下列变形正确的是（）A ．＝B ．C ．D ．二、填空题1．函数y ＝的自变量x 的取值范围．2．当2x =时，分式x mx m -+没有意义，则m =．3．当3=x 时，分式bx ax +-没有意义，则=b ．三、解答题1．已知îíì=+=+65316156y x y x ，求代数式222()x x xy x y x y x y-¸--++1的值．2．（1）将下列各式进行分解因式：①142++x x ；②22818b a -（2）先化简，再求值：（1－1212+-x x ）÷（122--x x －2），其中34=x ；完成对分式的化简求值后，填空：要使该分式有意义，x 的取值应满足．3．计算：aba bb a ---21，并求当3=a ，b=1时原式的值．4．先化简代数式（1+）÷，然后在0≤a ＜4范围选取一个适当的整数作为a 的值代入求值．5．计算﹣x+2，乐乐同学的计算过程如下：﹣x+2＝﹣＝﹣＝﹣请判断计算过程是否正确，若不正确，请写出正确的计算过程．6．化简：﹣﹣1圆圆的解答如下：﹣﹣1＝4x﹣2（x+2）﹣（x2﹣4）＝﹣x2+2x圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的答案．1．若分式不论x取何值总有意义，则m的取值范围是（）A．m≥1B．m＞1C．m≤1D．m＜12．若ab=1，m=+，则m2023=（）A．2013B．0C．1D．23．已知=﹣，其中A、B为常数，则4A﹣B的值为（）A．7B．9C．13D．54．若的值为，则的值为（）A．1B．﹣1C．﹣D．5．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且，则△ABC一定是（）A．等边三角形B．腰长为a的等腰三角形C．底边长为a的等腰三角形D．等腰直角三角形6．若恒成立，则A+B＝．7．若，则的值为．9．已知a，b，c是不为0的实数，且，那么的值是．10．已知关于x的方程的解是负数，则m的取值范围为．11．先化简分式（﹣）÷，再从不等式组的解集中取一个合适的值代入，求原分式的值．12．先化简分式，然后在0，1，2，3中选一个你认为合适的a值，代入求值．。

（1-2） am1 x1 am 2 x2 amn xn (, )bm
(如果取≥0)
x1 , x2 , , xn (, )0
约束条件 （1-3）
决策变量
30
非负约束条件
国防科技大学
第一节 线性规划的问题及其数学模型
标准形式
max Z c1 x1 c2 x2
cn xn
顶点同时得到最优解，则它们连线上的任意一点都是最
优解，即有无穷最优解。
28
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第一节 线性规划的问题及其数学模型
图解法的优缺点分析
• 直观、简便 • 变量数多于三个以上时，无能为力
通用普遍的 求解方法 （代数方法）
？
单纯形法
模型的标准形式
？
29
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第一节 线性规划的问题及其数学模型 线性规划的数学模型的一般形式：
2
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第一章 线性规划与单纯形法
在军事活动，以及生产、管理、经营等社 会活动中经常提出一类问题，即如何合理地利用 有限的人力、物力、财力等资源，以得到最好的 效果。
3
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第一节 线性规划的问题及其数学模型
例 兵力运送问题 设有A、B两种型号的直升机，每次A能运 载35人，需驾驶员2人，B能运载20人，需驾
目标函数取 最大值
j 1 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 n a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 简记做 aij x j bi (i 1, 2, , m) j 1 x 0 ( j 1, 2, , m) a x a x a x b j mn n m m1 1 m 2 2 约束条件为等式， x , x , , x 0 且右端项为非负 1 2 n 值

第一章血液系统总论血液学（hematology）是医学科学的一个独立分支。

它的主要研究对象是血液和造血组织，包括它们的生理、病理、基础、临床等各个方面。

血液病是指原发于或主要发生于造血系统并以血液学异常为主要表现的疾病。

包括各类贫血，红细胞及血红蛋白异常，各种良、恶性白细胞疾病，各类出凝血疾病，以及血浆中各种成分异常发生的疾病。

血液系统主要学习造血器官的起源和发育，造血干细胞及其微环境，各种造血细胞的产生和调控，各种血液细胞异常的病理生理学机制，出血和凝血异常的病理生理学机制，以及初步的血液系统诊断和治疗知识。

此外，输血也是血液系统的一项重要学习内容。

第一节血液学发展简史和未来趋势中国对血液的认识可以追溯到二千多年前的《黄帝内经》，“中焦受气取汁变化而赤，是谓血”。

尽管中国医学在血液病的的诊断和治疗上取得过惊人的成就，但由于过于宏观，无法深入到微观，无法深入到细胞，分子中去，在相当长的时间内，基本处于停滞状态。

西方医学在近百年的时间里，对血液及血液病的认识取得了飞跃。

而这种进步，主要来自于实验血液学，来自于技术和理论的创新。

一方面，由于电子显微镜，组织化学，同位素示踪等新技术的引入，对细胞形态学和病理生理学的研究发展到了超微水平和动态研究的新阶段；另一方面，血液学和其它学科的相互渗透，产生了一些新的研究领域，包括血细胞动力学、血液遗传学、血液流变学、免疫血液学、放射血液学等等。

可以说，没有实验血液学，就没有血液病学。

这是因为血液病的临床症状和体征缺乏特异性，难以通过症状和体征将血液病和非血液病区分开来，也不能将患有相同症状的血液疾病，细分为不同的类型或亚型。

临床血液学和基础血液学的相互转化，相互促进，阐明了不少血液疾病的发病机制，发展了许多新的诊断技术和有效的治疗方法。

早在数千年前，人们就已经知道血液是维持生命的要素。

但在相当漫长的时期内只能从象形推理的角度，对血液以及它与健康和疾病的关系提出一些朴素而带有神秘色彩的解释，如Polybos（公元前350-300年）的四液（火、水、土、血）说，Galenos（公元129-199年）的液体病理学说及四体液（粘液、血液、胆汁、黑胆汁）疾病等。

1.安全的必要性和普遍性 2.安全的随机性 3.安全的相对性 4.安全的局部稳定性 5.安全的经济性 6.安全的复杂性 7.安全的社会性 8.安全的潜隐性
1．安全的必要性和普遍性
安全是人类生存的必要前提。安全作为人的身心状态及其保障条件是绝对
必要的，而人和物遭遇到人为的或天然的危害或损坏又是常见的，因此，不 安全因素是客观存在的。人类生存的必要条件首先是安全，如果生命安全得 不到保障，生存就不能维持，繁衍也础进行。实现人的安全又是普遍需要的。 在人类活动的一切领域中，人们必须尽力减少失误降低风险，尽量使物趋向 本质安全化，使人能控制和减少灾害，维护人与物、人与人、物与物相互间 的协调运转，为生产活动提供必要的基础条件，发挥人和物的生产力作用。
安全科学导论
主要学习内容
安全科学概述、法律法规、原理和管理； 压力容器、消防、电气、信息、交通、工业 防毒、矿山和食品卫生等方面的安全技术和 知识。

第一章 安全科学概述
主要内容： 安全问题概述 安全科学的形成与发展 安全科学的学科体系
第一节 安全问题概述
一、安全问题的涵义 关键：1.什么是安全？ 2.什么是安全问题？ 二、安全问题的产生与发展 三、安全问题的研究
终使该系统成为安全系统。
7．安全的社会性
安全与社会的稳定直接相关。无论人为的或自然的灾害，如生产(人工)中出 现的伤亡事故，交通运输中的车祸、空难，家庭中的伤害及火灾，产品对消费 者的危害，药物与化学产品对人健康的影响，甚至旅行、娱乐中的意外伤害等 都给国计民生(包括个人、家庭、企事业单位或社团群体)带来心灵上和物质上 的社会睦危害，成为影响社会安全的重要因素。 国家制定了“安全第一，预防为主”的基本国策，反映了在国家的法令， 各部门的法规及职业安全与卫生的规范标准中，从而使社会和公众在安全方面 受益。

贫富分化，伪善和暴行。
第一讲 章
科学社会主义理论与实践
他认为，产生私有制的原因有两
个，一是存在家庭，二是愚昧无知。
因此，追求知识和消灭家庭是废除私
有制、建立公有制的主要途径。
第一讲 章
科学社会主义理论与实践
在太阳城，人人都把劳动看成是光荣的， 人们都服从集体的分配，尽力做好服务性工 作。太阳城居民每天在从事了4小时ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ体力劳 动后，再从事科学研究、阅读、讲故事等发 展智力的活动，因而工农之间、城乡之间、
• 政治民主，管理和谐
第一讲 章
科学社会主义理论与实践
莫尔对空想社会主义学说具有开创性功绩
• 第一，他最早揭露了资本主义原始积累的罪恶。
• 第二，他在人类思想史上第一次提出私有制是万 恶之源，坚决主张废除私有制的观点。 • 第三，他还描绘了一副没有剥削，没有压迫的理 想社会蓝图。
第一讲 章
科学社会主义理论与实践
第一讲 章
科学社会主义理论与实践
一、空想社会主义产生的历史渊源及历史背景
自私有制产生以来，人们在寻求摆脱自然奴役的奋斗中，感悟到劳动 人民遭受社会奴役的状况，这促使仁人志士开始探索一个没有剥削压迫 的理想社会，他们提出的理想社会成为空想社会主义的历史渊源
（一）古代社会的理想社会观
1、古代西方 人物：古希腊哲学家柏拉图(前 427—前347年) 代表作：《理想国》最具有影响力 的理想社会观 • 柏拉图描绘的理想国
美的国家制度和乌托邦新岛的既有
益又有趣的金书» 。严复按“信达 莫尔画像
第一讲 章
雅” 的原则，曾将其译为《乌托
科学社会主义理论与实践
«乌 托 邦 »运 用
虚 构的故 事体裁 ，

第01讲_等腰三角形与直角三角形知识图谱等腰三角形知识精讲一、等腰三角形二、思路点拨等腰三角形边或者周长的计算注意三边关系的隐含条件等腰、角平分线、平行（1）△ABC是等腰三角形，（2）AD∥BC（3）∠1=∠2以上三个结论知二推一（需简单证明）三角形中角的2倍关系三点剖析重难点12B CDA12AB CEDααβββ2αααβ2βα2ββ等腰三角形有两条边相等的三角形叫做等腰三角形性质1．两个底角相等，两条腰相等．2．三线合一：（1）顶角角平分线、（2）底边上的中线、（3）底边上的高（可直接使用）判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等三线合一逆定理：一个三角形（1）对角角平分线、（2）该边上的中线、（3）该边上的高有两条互相重合，则是等腰三角形（需简单证明）1．等腰三角形的三线合一及其逆定理2．角平分线、平行线、等腰三角形知二推一 3．等腰三角形与全等三角形综合问题 考点1．等腰三角形的性质和判定2．等腰三角形的三线合一及其逆定理3．角平分线、平行线、等腰三角形知二推一 4．等腰三角形与全等三角形综合问题易错点1．等腰三角形边或者周长的计算问题容易忽略“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”这个隐含的限制条件2．等腰三角形的三线合一及可以直接使用，但是三线合一的逆定理需要证明之后才能用3．角平分线、平行线、等腰三角形知二推一要非常熟练，在使用的时候是需要简单证明的，不可直接得出结论等边对等角例题1、 如图，ABC 中，,,18,12==∠=︒∠=︒AB AC AD DE BAD EDC ，则∠DAE 的度数为( )A.58︒B.52︒C.62︒D.60︒ 【答案】 C【解析】 暂无解析随练1、 如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，∠A=36°，则∠1的度数为（ ）A.36°B.60°C.72°D.108° 【答案】 C【解析】 ∵∠A=36°，AB=AC ， ∴∠ABC=∠C=72°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=36°， ∴∠1=∠A+∠ABD=72°随练2、 一个等腰三角形的两边长分别为4和9，则这个等腰三角形的周长是________． 【答案】 22【解析】 暂无解析等角对等边例题1、 如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ． 求证：AD=BC ．【答案】 见解析【解析】 ∵AB=AC ，∠A=36°， ∴∠ABC=C=72°，∵BD 平分∠ABC 交AC 于点D ， ∴∠ABD=∠DBC=36°，∠BDC=72°， ∴∠A=∠ABD ，∠BDC=∠C ， ∴AD=BD=BC ．例题2、 如图，在ABC ∆中，5BC cm =，BP 、CP 分别是ABC ∠和ACB ∠的角平分线，且PD AB ∥，PE AC ∥，则PED ∆的周长是_______cm【答案】 5【解析】 ∵BP 、CP 分别是ABC ∠和ACB ∠的角平分线， ABP PBD ∴∠=∠，ACP PCE ∠=∠．PD AB ∥，PE AC ∥，ABP BPD ∴∠=∠，ACP CPE ∠=∠， PBD BPD ∴∠=∠，PCE CPE ∠=∠，BD PD ∴=，CE PE =， ∴PDE ∆的周长5PD DE PE BD DE EC BC cm =++=++==．随练1、 如图，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE //AB 交AC 于点E ，若7DE =，5CE =，则AC =（ ）A.11B.12C.13D.14【答案】 B【解析】 该题考查的是等腰三角形的判定． ∵DE //AB ，∴BAD ADE ∠=∠，又∵BAD DAE ∠=∠ ∴DAE ADE ∠=∠ ∴7AE DE ==∴7512AC AE EC =+=+= ∴该题的答案是B ．三线合一例题1、 如图，△ABC 中，AB AC =，100BAC ∠=︒，AD 是BC 边上的中线，且BD BE =，则ADE ∠的度数为（ ）A.10︒B.20︒C.40︒D.70︒【答案】 B【解析】 该题考查的是三角形的性质． ∵AB AC =， ∴B C ∠=∠， ∵100BAC ∠=︒， ∴40B C ∠=∠=︒，∵AD 是BC 边上的中线， ∴AD BC ⊥， ∴90ADB ∠=︒， ∵BD BE =，∴70BDE BED ∠=∠=︒， ∴20ADE ∠=︒， 故该题答案为B ．例题2、 在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，CD ⊥AB 于D ，∠BAC 的平分线AF 交CD 于E ，交BC 于F ，CM ⊥AF 于M ，求证：EM FM =．【答案】 见解析【解析】 ∵90ACB ∠=︒，CD ⊥AB ， ∴90ADC ∠=︒，∴90AED DAE ∠+∠=︒，90CFE CAE ∠+∠=︒， 又∵∠BAC 的平分线AF 交CD 于E ， ∴DAE CAE ∠=∠， ∴AED CFE ∠=∠， 又∵AED CEF ∠=∠， ∴CEF CFE ∠=∠， 又∵CM ⊥AF ， ∴EM FM =．随练1、 如图，在△ABC 中，54B ∠=︒，72ACB ∠=︒，AD 平分BAC ∠，ME AD ⊥于G ，交AB 、AC 及BC 的延长线于E 、M 、F ，则BFE ∠=______________．ABC D E【答案】 9︒【解析】 该题考查的是等腰三角形三线合一． ∵54B ∠=︒，72ACB ∠=︒，AD 平分BAC ∠∴1805472272BAD CAD ︒-︒-︒∠=∠==︒又∵AD ⊥EF 即90AGM ∠=︒∴902763CMF AMG ∠=∠=︒-︒=︒ 又∵△CFM 的外角72ACB ∠=︒∴72639CFM ACB CMF ∠=∠-∠=︒-︒=︒角平分线，平行线，等腰三角形知二推一例题1、 如图，D 为ABC △内一点，CD 平分ACB ∠，BD CD ⊥，A ABD ∠=∠，若5AC =，3BC =，则BD 的长为（ ）A.2B.1C.52D.32【答案】 B【解析】 该题考查的是等腰三角形三线合一逆定理． 延长BD 与AC 交于点E ，∵A ABD ∠=∠， ∴BE AE =， ∵BD CD ⊥， ∴BE CD ⊥， ∵CD 平分ACB ∠， ∴BCD ECD ∠=∠， ∴EBC BEC ∠=∠，MAB CD（第6题）∴△BEC为等腰三角形，∴BC CE=，∵BE CD⊥，∴2BD BE=，∵5BC=，AC=，3∴3CE=，∴532=-=-=，AE AC EC∴2BE=，∴1BD=．所以答案选A例题2、(2013初二上期末怀柔区)如图所示，BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，过O作EF∥BC，若△AEF的周长为12，则AB+AC等于____．【答案】12【解析】该题考查的是平行线的性质．∵BO平分CBA∠，CO平分ACB∠，∴OBC OBA∠=∠，∠=∠，OCB OCA∵EF∥BC，∴OBA BOE∠=∠，OCA COF∠=∠，∴BE OE=，=，CF OF∴△AEF的周长AE OE OF AF AE BE CF AF AB AC=+++=+++=+，∵△AEF的周长为12，∴12+=．AB AC例题3、如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．（1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状．（只写结果）【答案】（1）见解析；（2）等腰直角三角形．【解析】（1）如图所示：（2）△ADF的形状是等腰直角三角形，理由是：∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD，∵AF平分∠EAC，∴∠EAF=∠FAC，∵∠FAD=∠FAC+∠DAC=12∠EAC+12∠BAC=12×180°=90°，即△ADF是直角三角形，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵∠EAC=2∠EAF=∠B+∠ACB，∴∠EAF=∠B，∴AF∥BC，∴∠AFD=∠FDC，∵DF平分∠ADC，∴∠ADF=∠FDC=∠AFD，∴AD=AF，即直角三角形ADF是等腰直角三角形．随练1、如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE=CF，BD=CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数；（3）△DEF可能是等腰直角三角形吗？为什么？【答案】（1）见解析（2）70°（3）△DEF不可能是等腰直角三角形，见解析【解析】（1）证明：∵AB=AC∴∠B=∠C，在△BDE与△CEF中BD CEB C BE CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE≌△CEF．∴DE=EF，即△DEF是等腰三角形．（2）解：由（1）知△BDE≌△CEF，∴∠BDE=∠CEF∵∠CEF+∠DEF=∠BDE+∠B ∴∠DEF=∠B∵AB=AC ，∠A=40°∴∠DEF=∠B=18040702︒︒︒-=（3）解：△DEF 不可能是等腰直角三角形． ∵AB=AC ，∴∠B=∠C ≠90° ∴∠DEF=∠B ≠90°，∴△DEF 不可能是等腰直角三角形等腰三角形与全等三角形综合例题1、 如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝2，∠B ＝∠C ＝40°．点D 在线段BC 上运动（点D 不与B 、C 重合），连接AD ，作∠ADE ＝40°，DE 交线段AC 于E ．（1）当∠BAD ＝20°时，∠EDC ＝________°；（2）当DC 等于多少时，△ABD ≌△DCE ？试说明理由；（3）△ADE 能成为等腰三角形吗？若能，请直接写出此时∠BAD 的度数；若不能，请说明理由．【答案】 （1）20（2）当DC ＝2时，△ABD ≌△DCE ，证明见解析 （3）∠BAD ＝30°或∠BAD ＝60°【解析】 （1）∵∠BAD ＝20°，∠B ＝40°， ∴∠ADC ＝60°， ∵∠ADE ＝40°，∴∠EDC ＝60°－40°＝20°（2）当DC ＝2时，△ABD ≌△DCE ； 理由：∵∠ADE ＝40°，∠B ＝40°，又∵∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ，∠ADC ＝∠ADE ＋∠EDC ． ∴∠BAD ＝∠EDC ． 在△ABD 和△DCE 中， B C AB DCBAD EDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩． ∴△ABD ≌△DCE （ASA ）； （3）当∠BAD ＝30°时，∵∠B ＝∠C ＝40°，∴∠BAC ＝100°， ∵∠ADE ＝40°，∠BAD ＝30°， ∴∠DAE ＝70°，∴∠AED ＝180°－40°－70°＝70°，∴DA ＝DE ，这时△ADE 为等腰三角形；当∠BAD ＝60°时，∵∠B ＝∠C ＝40°，∴∠BAC ＝100°， ∵∠ADE ＝40°，∠BAD ＝60°，∠DAE ＝40°， ∴EA ＝ED ，这时△ADE 为等腰三角形．例题2、 如图1，在ABC △中，2ACB B ∠=∠，BAC ∠的平分线AO 交BC 于点D ，点H 为AO 上一动点，过点H 作直线l AO ⊥于H ，分别交直线AB 、AC 、BC 于点N 、E 、M ．（1）当直线l 经过点C 时（如图2），证明：BN CD =；（2）当M 是BC 中点时，写出CE 和CD 之间的等量关系，并加以证明； （3）请直接写出BN 、CE 、CD 之间的等量关系．【答案】 （1）见解析（2）2CD CE =（3）当点M 在线段BC 上时，CD BN CE =+；当点M 在BC 的延长线上时，CD BN CE =-；当点M 在CB 的延长线上时，CD CE BN =-【解析】 该题考查的是等腰三角形的三线合一，全等三角形的判定和性质． （1）证明：连接ND ． ∵AO 平分∠BAC ， ∴12∠=∠， ∵直线l ⊥AO 于H ， ∴4590∠=∠=︒， ∴67∠=∠， ∴AN AC =， ∴NH CH =，∴AH 是线段NC 的中垂线， ∴DN DC =， ∴89∠=∠． ∴AND ACB ∠=∠，∵3AND B ∠=∠+∠，2ACB B ∠=∠， ∴3B ∠=∠， ∴BN DN =． ∴BN DC =；（2）如图，当M 是BC 中点时，CE 和CD 之间的等量关系为2CD CE = 证明：过点C 作CN '⊥AO 交AB 于N '．由（1）可得BN CD '=，AN AC '=，AN AC '=． ∴43∠=∠，NN CE '=． 过点C 作CG ∥AB 交直线l 于G ． ∴42∠=∠，1B ∠=∠． ∴23∠=∠．ABC M ElNHD O lNH A ABBC CD O O D 图1图2图3∴CG CE =． ∵M 是BC 中点， ∴BM CM =在△BNM 和△CGM 中， 1B BM CMNMB GMC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BNM ≌△CGM ．（ASA ） ∴BN CE =．∴2CD BN NN BN CE ''==+=．（3）BN 、CE 、CD 之间的等量关系： 当点M 在线段BC 上时，CD BN CE =+； 当点M 在BC 的延长线上时，CD BN CE =-； 当点M 在CB 的延长线上时，CD CE BN =-．随练1、 如图，已知线段AC ∥y 轴，点B 在第一象限，且AO 平分∠BAC ，AB 交y 轴于G ，连OB 、OC ． （1）判断△AOG 的形状，并予以证明；（2）若点B 、C 关于y 轴对称，求证：AO ⊥BO ．【答案】 （1）等腰三角形；证明见解析 （2）见解析【解析】 （1）△AOG 是等腰三角形； ∵AC ∥y 轴，∴∠CAO=∠AOG ， ∵AO 平分∠BAC ， ∴∠CAO=∠GAO ， ∴∠GAO=∠AOG ， ∴AG=GO ，∴△AOG 是等腰三角形；（2）连接BC 交y 轴于K ，过A 作AN ⊥y 轴于N ，∵AC ∥y 轴，点B 、C 关于y 轴对称， ∴AN=CK=BK ，在△ANG 和△BKG 中，AGN BGK ANG BKG AN BK ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ANG ≌△BKG ，（AAS ） ∴AG=BG ， ∵AG=OG ，（1）中已证， ∴AG=OG=BG ，∴∠BOG=∠OBG ，∠OAG=∠AOG ，∵∠OAG+∠AOG+∠BOG+∠OBG=180°， ∴∠AOG+∠BOG=90°， ∴AO ⊥BO ．等边三角形知识精讲等边三角形 （1）三条边都相等的三角形 （2）是一种特殊的等腰三角形性质三个内角都等于60︒判定判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形判定2：有一个角是60︒的等腰三角形是等边三角形直角三角形性质定理在直角三角形中，如果一个锐角等于30︒，那么它所对的直角边等于斜边的一半证明：延长BC 至'B 使'CB CB =∴AC 垂直平分'BB ，∴'AB AB =，60B ∠=︒，∴'ABB △是等边三角形，∴'2AB BB BC ==，∴12BC AB =二．思路点拨90°60°60°30°A BCDB'CBA三点剖析一．考点：1．等边三角形的性质与判定；2．直角三角形性质定理；3．等边三角形与全等三角形综合．二．重难点：1．等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的所有性质．做题时常作为隐藏条件考察．2．等边三角形的判定用定义判断的不多，一般都是利用有一个角是60︒的等腰三角形是等边三角形来判定，所以在构造全等是要注意同时兼顾边相等，并且可以推导出有一个角为60°．3．等边三角形的性质非常特殊，在证明或计算中要注意边角之间的转化，尤其是含30°角的直角三角形中边的关系．4．在解决建立在等边三角形基础上的全等综合问题时，关键是抓住边相等，角度都是特殊角．三．易错点：在利用直角三角形性质定理的过程中，需要注意两点：一是必须在直角三角形中才能运用，锐角三角形和钝角三角形均不存在上述关系；二是一定要注意是30︒所对的直角边等于斜边的一半．等边三角形的性质例题1、(2013初二上期末怀柔区)如图，等边△ABC的周长是9，D是AC边上的中点，E在BC的延长线上．若DE=DB，则CE的长为____．【答案】3 2【解析】该题考查的是∵△ABC为等边三角形，D为AC边上的中点，BD为ABC∠的平分线，∴60ABC∠=︒，30DBE∠=︒，又DE DB=，∴30E DBE∠=∠=︒，∴30CDE ACB E∠=∠-∠=︒，即CDE E∠=∠，∴CD CE=；∵等边△ABC的周长为9，∴3AC=，∴1322 CD CE AC===，即32 CE=．例题2、如图，在等边△ABC中，点D为BC边上的点，DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC于F，则∠EDF的度数为___________．【答案】60°．【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=60°．∵DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC于F，∴∠BDE=∠AFD=90°．∵∠AED是△BDE的外角，∴∠AED=∠B+∠BDE=60°+90°=150°，∴∠EDF=180°﹣∠A﹣∠AED﹣∠AFD=360°﹣60°﹣150°﹣90°=60°．例题3、在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC=5，BD=4．则下列结论错误的是（）A.AE∥BCB.∥ADE=∥BDCC.∥BDE是等边三角形D.∥ADE的周长是9【答案】B【解析】本题考查的是图形旋转的性质及等边三角形的判定与性质，平行线的判定，熟知旋转前、后的图形全等是解答此题的关键．首先由旋转的性质可知∥AED=∥ABC=60°，所以看得AE∥BC，先由∥ABC是等边三角形得出AC=AB=BC=5，根据图形旋转的性质得出AE=CD，BD=BE，故可得出AE+AD=AD+CD=AC=5，由∥EBD=60°，BE=BD即可判断出∥BDE是等边三角形，故DE=BD=4，故∥AED的周长=AE+AD+DE=AC+BD=9，问题得解．∥∥ABC是等边三角形，∥∥ABC=∥C=60°，∥将∥BCD绕点B逆时针旋转60°，得到∥BAE，∥∥EAB=∥C=∥ABC=60°，∥AE∥BC，故选项A正确；∥∥ABC是等边三角形，∥AC=AB=BC=5，∥∥BAE∥BCD逆时针旋旋转60°得出，∥AE=CD，BD=BE，∥EBD=60°，∥AE+AD=AD+CD=AC=5，∥∥EBD=60°，BE=BD，∥∥BDE是等边三角形，故选项C正确；∥DE=BD=4，∥∥AED的周长=AE+AD+DE=AC+BD=9，故选项D正确；而选项B没有条件证明∥ADE=∥BDC，∥结论错误的是B，故选：B．随练1、如图，在五边形ABCDE中，AB=AC=AD=AE，且AB∥ED，∠EAB=120°，则∠DCB=（）A.150°B.160°C.130°D.60°【答案】A【解析】∵AB∥ED，∴∠E=180°﹣∠EAB=180°﹣120°=60°，∵AD=AE，∴△ADE是等边三角形，∴∠EAD=60°，∴∠BAD=∠EAB﹣∠DAE=120°﹣60°=60°，∵AB=AC=AD，∴∠B=∠ACB，∠ACD=∠ADC，在四边形ABCD中，∠BCD=12（360°﹣∠BAD）=12（360°﹣60°）=150°．随练2、如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN 周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（）A.25°B.30°C.35°D.40°【答案】B【解析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；∵点P关于OB的对称点为C，∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，∴OC=OP=OD，∠AOB=12∠COD，∵△PMN周长的最小值是5cm，∴PM+PN+MN=5，∴DM+CN+MN=5，即CD=5=OP，∴OC=OD=CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°；随练3、 如图，△ABC 是等边三角形，BD 平分∠ABC ，点E 在BC 的延长线上，且CE=1，∠E=30°，则BC=___________．【答案】 2．【解析】 ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60°，BA=BC ， ∵BD 平分∠ABC ，∴∠DBC=∠E=30°，BD ⊥AC ， ∴∠BDC=90°， ∴BC=2DC ，∵∠ACB=∠E+∠CDE ， ∴∠CDE=∠E=30°， ∴CD=CE=1， ∴BC=2CD=2．等边的判定例题1、 △ABC 中，①若AB ＝BC ＝CA ，则△ABC 是等边三角形；②属于轴对称图形，且有一个角为60°的三角形是等边三角形；③有三条对称轴的三角形是等边三角形；④有两个角是60°的三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】 D【解析】 ①三边相等的三角形是等边三角形，正确；②属于轴对称图形，且有一个角为60°的三角形是等边三角形，正确； ③有三条对称轴的三角形是等边三角形，正确； ④有两个角是60°的三角形是等边三角形，正确； 则正确的有4个．例题2、 如图所示，AD 是ABC △的中线，60ADC ∠=°，8BC =，把ADC △沿直线AD 折叠后，点C 落在C '位置，则BC '的长为________.【答案】 4【解析】 本题考察的是等边三角形．由题意，60ADC ADC '∠=∠=︒，DC DC DB '==． 180606060BDC '∠=︒-︒-︒=︒，有一个角为60︒的等腰三角形为等边三角形，118422BC BD BC '===⋅=．故本题的答案是4．例题3、 已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆，CBN ∆都是等边三角形，AN 交MC 于点E ，BM 交CN 于点F ．（1）求证：AN BM =；（2）求证：CEF ∆为等边三角形．【答案】 见解析【解析】 （1）ACM ∆，CBN ∆是等边三角形， AC MC ∴=，BC NC =，60ACM NCB ∠=∠=︒，ACM MCN NCB MCN ∴∠+∠=∠+∠，即ACN MCB ∠=∠．在ACN ∆和MCB ∆中，AC MC =，ACN MCB ∠=∠，NC BC =， ACN MCB ∴∆≅∆，AN BM ∴=．（2）ACN MCB ∆≅∆，CAN CMB ∴∠=∠，又18060MCF ACM NCB ∠=︒-∠-∠=︒，MCF ACE ∴∠=∠，在CAE ∆和CMF ∆中，CAE CMF ∠=∠，CA CM =，ACE MCF ∠=∠， CAE CMF ∴∆≅∆，CE CF ∴=，CEF ∴∆为等腰三角形， 又60ECF ∠=︒，CEF ∴∆为等边三角形．随练1、 已知：如图，△AOB 的顶点O 在直线l 上，且AO AB =．（1）画出△AOB 关于直线l 成轴对称的图形△COD ，且使点A 的对称点为点C ； （2）在（1）的条件下，AC 与BD 的位置关系是_________； （3）在（1）、（2）的条件下，联结AD ，如果2ABD ADB ∠=∠，求∠AOC 的度数．【答案】 （1）如图1（2）平行（3）60AOC ∠=︒ 【解析】 该题考查的是轴对称与全等三角形． （1）如图1； （2）平行．AC DB∵AC与BD是对应点的连线，l为对称轴，∴AC l⊥，⊥，BD l∴AC∥BD．（3）如图2，∵由（1）可知，△AOB与△COD关于直线l对称，∴△AOB≌△COD．∴AO AB CO CD===，∵2∠=∠=∠，ABD CDB ADB而ADB DAC∠=∠，∴CDA CAD∠=∠，∴CD CA=，∴CA CO OA==，∴△COA为等边三角形，∴60∠=︒．AOC直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一边例题1、如图，已知ABC⊥，则下列关系式正确的为（）∠=︒，AB AD∆中，AB AC=，30CA.BD CDBD CD= D.4=BD CDBD CD= B.2= C.3【答案】B【解析】该题考查的是特殊的直角三角形．C CAD∠=∠=︒，30∴DAC∆为等腰三角形，∴CD AD=，在Rt BAD∆中，30∠=︒，B∴22==BD AD CD故选B．例题2、如图，30∥交OA于C.若10PC=，则OC=__________，⊥于D，PC OBAOB∠=︒，OP平分AOB∠，PD OBPD=__________.【答案】10；5【解析】该题考查的是角平分线的性质定理和含30°直角三角形的性质．∵OP平分AOB∠，∴AOP BOP ∠=∠， ∵PC OB ∥，∴CPO BOP ∠=∠， ∴CPO AOP ∠=∠， ∴PC OC =， ∵10PC =，∴10OC PC ==，过P 作PE OA ⊥于点E ，∵PD OB ⊥，OP 平分AOB ∠， ∴PD PE =，∵PC OB ∥，30AOB ∠=︒ ∴30ECP AOB ∠=∠=︒在Rt ECP ∆中，152PE PC ==∴5PE PD ==随练1、 如图，ABC △中，90A ∠=︒，30C ∠=︒，BD 是ABC ∠的平分线，12AC =，则BCD △中BC 边上的高是____【答案】 6【解析】 该题考察的是三角形的高． 过A 做BC 的高AE ， 在Rt △AEC 中，30C ∠=︒，由在直角三角形中30︒所对直角边等于斜角边的一半得：11=12622AE AC =⨯=．等边三角形与全等三角形综合例题1、 如图△ABC 为等边三角形，直线a ∥AB ，D 为直线BC 上任一动点，将一60°角的顶点置于点D 处，它的一边始终经过点A ，另一边与直线a 交于点E ．（1）若D 恰好在BC 的中点上（如图1）求证：△ADE 是等边三角形；ODB P CA E BA DCBA DCE（2）若D 为直线BC 上任一点（如图2），其他条件不变，上述（1）的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．【答案】 见解析【解析】 （1）证明：∵a ∥AB ，且△ABC 为等边三角形， ∴60ACE BAC ABD ∠=∠=∠=︒，AB AC =， ∵BD CD =，∴AD ⊥BC∵60ADE ∠=︒，∴30EDC ∠=︒，∴18090DOC EDC ACB ∠=︒-∠-∠=︒， ∴30DEC DOC ACE ∠=∠-∠=︒，∴EDC DEC ∠=∠，∴EC CD DB ==，∴△ABD ≌△ACE ．∴AD AE =，且60ADE ∠=︒， ∴△ADE 是等边三角形；（2）在AC 上取点F ，使CF CD =，连结DF ， ∵60ACB ∠=︒，∴△DCF 是等边三角形， ∵60ADF FDE EDC FDE ∠+∠=∠+∠=︒， ∴ADF EDC ∠=∠，∵DAF ADE DEC ACE ∠+∠=∠+∠，∴DAF DEC ∠=∠， ∴△ADF ≌△EDC （AAS ），∴AD ED =， 又∵60ADE ∠=︒，∴△ADE 是等边三角形．例题2、 在等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，AC=BC=10cm ，等腰直角三角形DEF 的顶点D 为AB 的中点．（1）如图（1）所示，DE ⊥AC 于M ，BC ⊥DF 于N ，则DM 与DN 在数量上有什么关系？两个三角形重叠部分的面积是多少？（2）在（1）的基础上，将三角形DEF 绕着点D 旋转一定的角度，且AC 与DE 相交于M ，BC 与DF 相交于N ，如图（2），则DM 与DN 在数量上有什么关系？两个三角形重叠部分的面积是多少？【答案】 （1）DM=DN ；25cm 2（2）DM=DN ；25cm 2【解析】 （1）连接DC ，∵AC=BC ，D 为AB 的中点，∠ACB=90°，∴CD ⊥AB ，∠ACD=∠BCD=45°，∠A=∠B=45°， ∴∠A=∠DCN ，AD=DC ， ∵DM ⊥AC ，DN ⊥BC ， ∴∠DMA=∠DNC ，∴△ADM ≌△CDN （AAS ）， ∴DM=DN ，则S 重叠=S △DNC +S △DMC =S △DMA +S △DMC =S △ADC =12S △ABC =12×12×10×10=25（cm 2）； （2）连接CD ，则CD ⊥AB ，∠A=∠DCB=45°，AD=CD ，∵∠ADM+∠MDC=∠MDC+∠CDF=90°， ∴∠ADM=∠CDN ，∴△AMD ≌△CND （ASA ）， ∴DM=DN ， 同（1）可得S 重叠=12S △ABC =12×12×10×10=25（cm 2）．随练1、 如图，已知∥ABC 为等边三角形，点D 、E 分别在BC 、AC 边上，且AE=CD ，AD 与BE 相交于点F ．（1）求证：∥ABE∥∥CAD ；（2）求∥BFD 的度数．【答案】 （1）见解析（2）60° 【解析】（1）证明：∥∥ABC 为等边三角形， ∥∥BAE=∥C=60°，AB=CA ， 在∥ABE 和∥CAD 中， AB CA BAE C AE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∥∥ABE∥∥CAD （SAS ）．（2）∥∥BFD=∥ABE+∥BAD ， 又∥∥ABE∥∥CAD ， ∥∥ABE=∥CAD ．∥∥BFD=∥CAD+∥BAD=∥BAC=60°．随练2、 如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 是三角形外一点，且60ABD ∠=︒，BD DC AB +=．求证：60ACD ∠=︒．【答案】 见解析 【解析】 延长BD 至E ，使CD DE =，连接AE ，AD ，BD CD AB +=，BE BD DE =+，BE AB ∴=，60ABD ∠=︒，ABE ∴∆是等边三角形，AE AB AC ∴==，60E ∠=︒，在ACD ∆和AED ∆中，AC AE CD DE AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()ACD AED SSS ∴∆≅∆，60ACD E ∴∠=∠=︒．随练3、 已知：90A ∠=︒，AB AC =，BD 平分ABC ∠，CE ⊥BD ，垂足为E ．求证：2BD CE =．【答案】 见解析【解析】 本题考查全等三角形的判定与性质． 证明：延长CE 、BA 交于点F ． ∵CE ⊥BD 于E ，90BAC ∠=︒， ∴ABD ACF ∠=∠．又∵AB AC =，90BAD CAF ∠=∠=︒， ∴△ABD ≌△ACF （AAS ）， ∴BD CF =．∵BD 平分ABC ∠， ∴CBE FBE ∠=∠． 有BE BE =， ∴CE EF =，∴12CE BD =，∴2BD CE =．勾股定理的证明知识精讲一．勾股定理定理如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么222a b c+=．举例如图，在Rt ABC△中，A B C∠∠∠、、的对边分别用字母a、b、c来表示，则有：222a b c+=其中，当34a b==，时，则有斜边222223425c a b=+=+=变形22c a b=+，22a c b=-，22b c a=-．二．勾股定理的证明证明方法一：（赵爽弦图）22 2222222214()214()222ABCDS c ab b a c ab b ac ab b a abc b a==⨯+-∴=⨯+-=++-=+正方形证明方法二：（等面积法）()2222222214222ABCDS a b ab ca b ab ab ca b c=+=⨯+∴++=+∴+=正方形cbaCBA cabAFDCBEHG证明方法三：（总统证法）()()222222211222222ABCD a b a b S ab c a ab b ab c a b c ++==⨯+∴++=+∴+=梯形三．易错点：1. 运用勾股定理求直角三角形边长时，注意分清直角边和斜边，采用正确的计算公式。

第01讲 等腰三角形的性质与判定(6类热点题型讲练)1.经历“探索一发现一猜想一证明”的过程，逐步掌握综合法证明的方法，发展推理能力.2.进一步了解作为证明基础的几条基本事实的内容，能证明等腰三角形的性质.3.有意识地培养学生对文字语言、符号语言和图形语言的转换能力，关注证明过程及其表达的合理性.知识点01 等腰三角形的性质（1）等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）（2）等腰三角形性质2：文字：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角的三线合一）图形：如下所示；符号：在ABC D 中，AB ＝AC ，1212,,;,,;,12.BD CD AD BC AD B BD CD AD BC C BD CD Ð=Ðìï=^Ð=Ð^Ð=Ðíï^î==若则若则若，则 知识点02 等腰三角形的判定（1）等腰三角形的判定方法1：（定义法）有两条边相等的三角形是等腰三角形；（2）等腰三角形的判定方法2：有两个角相等的三角形是等腰三角形；(简称：等角对等边)21D C B A题型01根据等腰三角形腰相等求第三边或周长【例题】（2023上·河南商丘·八年级商丘市实验中学校考阶段练习）一个等腰三角形的两条边长分别为8cm 和4cm，则第三边的长为cm．【答案】8【分析】本题考查等腰三角形的性质及三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，是解题的关键．【详解】解：①若一腰长为8cm，则底边为4cm，则第三边的长为8cm，488+>，故能组成三角形；②若一腰长为4cm，则底边为8cm，则第三边的长为4cm，+=，故不能组成三角形．448故答案为：8．【变式训练】解得：4a =，5b =，当4为等腰三角形的腰长，5为等腰三角形的底边时，则等腰三角形的周长为44513++=，当5为等腰三角形的腰长，4为等腰三角形的底边时，则等腰三角形的周长为55414++=，故答案为：13或14．题型02 根据等腰三角形等边对等角求角的度数题型03 根据等腰三角形三线合一进行求解【答案】25【详解】解：如图，作BE∵AB BC =，∴AE CE =，∵AC CD ^，90BAD Ð=°∴EBA BAE BAE Ð+Ð=Ð+Ð【答案】10【详解】解：AB Q 5BD CD \==，210BC BD \==，故答案为：10．(1)求AF 的长．(2)求CD 的长．【详解】（1）解：连接AF ，如下图，根据题意，90BAC Ð=°，AB ∴222(2)BC AB AC =+=+∴190452B ACB Ð=Ð=´°=°，∵F 为BC 中点，题型04 根据等腰三角形三线合一进行证明 (1)若106BAC DAE ÐÐ=°，(2)求证：BD EC =．【详解】（1）解：∵AB AC =(1∵,AB AC AD AE ==，∴,BF CF DF EF ==，∴BD CE =.【变式训练】1．（2023上·山东威海·七年级校联考期中）如图，已知AB AE ABC AED BC ED =Ð=Ð=，，，点F 是CD 的中点，连接AF ，请判断AF 与CD 的位置关系．【答案】垂直【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质：连接AC AD ，，证明ABC AED ≌△△，得到AC AD =，根据等腰三角形三线合一的性质得到AF CD ^，熟练掌握全等三角形的判定定理及等腰三角形的性质是解题的关键．【详解】答：AF CD^连接AC AD ，∵AB AE ABC AED BC ED =Ð=Ð=，，∴ABC AED≌△△∴AC AD=又∵点F 是CD 的中点∴AF CD ^．2．如图，在ABC V 中，AB AC =，40BAC а=，AD 是BC 边上的高．线段AC 的垂直平分线交AD 于点E ，交AC 于点F ，连接BE ．(1)试问：线段AE 与BE 的长相等吗？请说明理由；(2)求EBD Ð的度数．【详解】（1）解：线段AE 与BE 的长相等，理由如下：连接CE ，如图所示：=，AD∵AB AC=，∴BD CD∴AD为BC的垂直平分线，∵点E在AD上，=，∴BE CE又∵线段AC的垂直平分线交题型05根据等角对等边证明等腰三角形Ð，【例题】（2023上·广西玉林·八年级统考期中）如图，点E在BA的延长线上，已知AD平分CAE ∥．求证：ABCAD BCV是等腰三角形．【答案】证明见解析【分析】本题主要考查了等角对等边，平行线的性质与角平分线的定义，先根据平行线的性质得到EAD B CAD C Ð=ÐÐ=Ð，，再由角平分线的定义和等量代换得到B C Ð=Ð，即可证明ABC V 是等腰三角形．【详解】证明：∵AD BC ∥，∴EAD B CAD C Ð=ÐÐ=Ð，，∵AD 平分CAE Ð，∴EAD CAD Ð=Ð，∴B C Ð=Ð，∴ABC V 是等腰三角形．【变式训练】【答案】ABC V 是等腰三角形，理由见解析【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形外角的性质，角平分线的定义，设4ACD x Ð=，3ECD x =∠，由角平分线的定义得到1【答案】证明见解析【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，证明根据角平分线的定义可得，以及直线平行的性质证明题型06 等腰三角形的性质和判定综合应用【例题】如图，在ABC V 中，AB AC =，D 是BC 边的中点，连接AD ，BE 平分ABC Ð交AC 于点E ．(1)若40C Ð=°，求BAD Ð的度数；(2)过点E 作EF BC ∥交AB 于点F ，求证：BEF △是等腰三角形．(3)若BE 平分ABC V 的周长，AEF △的周长为15，求ABC V 的周长．【详解】（1）解：AB AC =Q ，C ABC \Ð=Ð，∵40C Ð=°，∴40ABC Ð=°，AB AC =Q ，D 为BC 的中点，AD BC \^，90BDA \Ð=°，∴90904050BAD ABC °°°°Ð=-Ð=-=；（2）证明：BE Q 平分ABC Ð，ABE EBC \Ð=Ð，又∵EF BC ∥，∴EBC BEF Ð=Ð，∴EBF FEB Ð=Ð，BF EF \=，BEF \V 是等腰三角形；（3）解：AEF QV 的周长为15，15AE AF EF \++=，BF EF =Q ，15AE AF BF \++=，即15AE AB +=，BE Q 平分ABC V 的周长，=15AE AB BC CE \++=，ABC \V 的周长+1515=30AE AB BC CE ++=+．【变式训练】1．如图，在ABC V 中，AB AC =，D 为CA 延长线上一点，DE BC ^于点E ，交AB 于点F ．(1)求证：ADF △是等腰三角形(1)试判断折叠后重叠部分△的面积．(2)求重叠部分AFC△【详解】（1）解：AFC∵四边形ABCD是长方形，∥，∴AD BC一、单选题1．（2023上·河南许昌·八年级统考期中）等腰三角形的一个底角为80°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）．A ．20°B ．80°C ．100°D ．20°或100°【答案】A【分析】本题主要查了等腰三角形的性质．根据“等腰三角形两底角相等”，即可求解．【详解】解：∵等腰三角形的一个底角为80°，∴等腰三角形的顶角为180808020°-°-°=°．故选：A2．（2024下·全国·七年级假期作业）如图，在ABC V 中，,AB AC AD =为BC 边上的中线，30B Ð=°，则CAD Ð的度数为（ ）A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°【答案】B【解析】略3．（2023上·广东珠海·八年级校考阶段练习）下列条件中，可以判定ABC V 是等腰三角形的是（ ）A ．40B Ð=°，80C Ð=°B ．123A BC ÐÐÐ=::::C ．2A B CÐ=Ð+ÐD ．三个角的度数之比是2:2:1【答案】D【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键．利A．16【答案】A【分析】此题考查的是全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题关键是掌握并会运用全等三角形的判定与性质、等腰三角形性质定理．二、填空题【答案】117°/117度【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理与外角的性质，根据等边对等角可得54BAC BCA °Ð=Ð=，CAE CEA Ð=Ð127CAE ACB Ð=Ð=°，1BAD Ð=Ð【答案】10°，80°，140°或20°【详解】本题考查了等腰三角形的性质，先利用三角形内角和定理可得：AP AB =时；当AP AB =时；当BA BP =解：∵130ABC Ð=°，30ACB Ð=°，+ ∵BAC Ð是ABP V 的一个外角，∴20BAC APB ABP Ð=Ð+Ð=°，∵AB AP =，∵AB AP =，20BAP Ð=°，∴180802BAP ABP APB °-ÐÐ=Ð==°；当BA BP =时，如图：∵BA BP =，∴20BAP BPA Ð=Ð=°，∴180140ABP BAP BPA Ð=°-Ð-Ð=°；当PA PB =时，如图：∵PA PB =，∴20BAP ABP Ð=Ð=°；综上所述：当ABP V 是等腰三角形时，故答案为：10°，80°，140°或20°．11．（2023上·广东汕尾·八年级校联考阶段练习）用一条长为21cm 的细绳围成一个等腰三角形．(1)如果腰长是底边长的3倍，那么各边的长是多少?(1)求BD的长．(2)求BE的长．【答案】(1)4 (2)5，AE CD ^Q ，AD AC =AE \平分CAD Ð，CAE DAE \Ð=Ð，在CAE V 和DAE V 中，当AD BC^时，Q AB AC=，\142BD CD BC===，Q DEFV的周长DE DF EF=++，\DEFV的周长CE EF CD=+++(1)若120BAC Ð=°，求BAD Ð(2)求证：ADF △是等腰三角形．【答案】(1)60度(2)见解析(1)求证：BD CE =；(2)若BD AD =，B DAE Ð=Ð，求【答案】(1)见解析(2)108BAC Ð=°∵,AB AC AD AE ==.∴,BF CF DF EF ==,∴BD CE =.（2）∵,AB AC AD AE ==，AF ^∴BAF CAF Ð=Ð，DAF EAF Ð=Ð【答案】（1）等腰；（2）3；（3）12；（4）30；（5）5cm【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，对角对等边．（1）平行线的性质结合角平分线平分角，得到B C Ð=Ð，即可得出结果；（2）平行线的性质结合角平分线平分角，得到A ABC CB =Ð∠，进而得到AB AC =即可；（3）同法（2）可得：BD DE =，利用AB AD BD =+，求解即可；（4）同法（2）得到,FD BD CE EF ==，推出ADE V 的周长等于+AB AC ，即可得出结果；（5）同法（2）得到,PD BD PE CE ==，推出PDE △的周长等于BC 的长即可．掌握平行线加角平分线往往存在等腰三角形，是解题的关键．【详解】解：（1）∵AE BC ∥，∴,DAE B CAE C Ð=ÐÐ=Ð，∵AE 平分DAC Ð，∴DAE CAE Ð=Ð，∴B C Ð=Ð，∴ABC V 是等腰三角形；故答案为：等腰；（2）∵BC 平分ABD Ð，AC BD ∥，∴,ABC DBC ACB DBC Ð=ÐÐ=Ð，∴A ABC CB =Ð∠，∴3AB AC ==；故答案为：3；（3）同法（2）可得：7BD DE ==，∴5712AB AD BD =+=+=；故答案为：12；（4）同法（2）可得：,FD BD CE EF ==，∴ADE V 的周长30AD AE DE AD AE DF EF AD AE BD CE AB AC =++=+++=+++=+=；故答案为：30；（5）同法（2）可得：,PD BD PE CE ==，∴PDE △的周长5cm PD PE DE BD CE DE BC =++=++==；故答案为：5cm ．理解概念：（1）如图1，在Rt ABC △中，90ACB Ð=°，CD AB ^，请写出图中两对概念应用：（2）如图2，在ABC V 中，CD 为角平分线，40A Ð=°，60B Ð=°．求证：动手操作：（3）当ACD V 是等腰三角形，DA DC =时，如图，则50ACD A Ð=Ð=°，BCD Ð=∴100ACB ACD BCD Ð=Ð+=°∠当ACD V 是等腰三角形，DA AC =则65ACD ADC Ð=Ð=°，BCD Ð∴5065115ACB Ð=°+°=°；当ACD V 是等腰三角形，CD AC =则1803ACD BCD B °-Ð=Ð=Ð=∴2603ACB ACD BCD Ð=+=∠∠当BCD △是等腰三角形，DB =则BDC BCD Ð=Ð，设BDC BCD x Ð=Ð=，则B Ð=则1802ACD B x Ð=Ð=°-，由题意得，180250x x °-+°=，230x °。

前 言第01讲 刑事诉讼法前言刑事诉讼法全局架构[讲义编号NODE50462200000100000101：针对本讲义提问]第一章刑事诉讼法概述第01讲 刑事诉讼法概述【本章重点】第一节 刑事诉讼法的概念一、刑事诉讼的渊源※刑事诉讼法的渊源是指刑事诉讼法律规范的存在形式。

我国刑事诉讼法的渊源包括： 1.宪法；2.刑事诉讼法典；3.有关法律规定：即其他法律的规定，如《律师法》，《刑法》，《检察官法》等；4.有关司法解释：即《最高法解释》、《高检规则》等；5.地方性法规：地方人大或常委会颁布的涉及刑诉法内容的法规；6.国际公约、条约。

[讲义编号NODE50462200010100000101：针对本讲义提问]二、刑事诉讼法与刑法的关系※※ 1.刑法是实体法，刑诉法是程序法。

2.刑诉法可以帮助刑法实现，具有工具价值。

3.刑诉法也有自己的独立价值，即程序正义。

实体正义离开了程序正义，最终的结局仍然是非正义的。

在一定情况下，程序正义甚至超越实体正义。

4.刑法更加倾向于惩罚 ，刑诉法更加倾向于保障 。

[讲义编号NODE50462200010100000102：针对本讲义提问]【例题·多选题】二审法院发现一审法院的审理违反《刑事诉讼法》关于公开审判、回避等规定的，应当裁定撤销原判、发回原审法院重新审判。

关于该规定，下列哪些说法是正确的？（ ）（2012-2-65）A.体现了分工负责、互相配合、互相制约的原则B.体现了严格遵守法定程序原则的要求C.表明违反法定程序严重的，应当承担相应法律后果D.表明程序公正具有独立的价值『正确答案』BCD『答案解析』本题考核程序公正。

本题，二审法院因第一审中存在程序违法而将案件发回重审，表明违反法定程序严重的，应当承担相应法律后果，也表明程序公正本身具有独立的价值，更体现了刑事诉讼法严格遵守法定程序原则的要求。

[讲义编号NODE50462200010100000103：针对本讲义提问]三、刑事诉讼法与法治国家※（一）基本概念（区分法制、法治、人治、宪法、宪政） 法制：制度、体系 法治：运行状态人治：宪法：宪政：（二）刑事诉讼法与法治国家的关系[讲义编号NODE50462200010100000104：针对本讲义提问]第二节 刑事诉讼法的制定目的与任务一、刑事诉讼法的制定目的《刑事诉讼法》第1条规定：“为了保证刑法的正确实施，惩罚犯罪，保护人民，保障国家安全和社会公共安全，维护社会主义社会秩序，根据宪法，制定本法。

必修1第一章集合与函数基础知识点整理第1讲 §1.1.1 集合的含义与表示¤知识要点：1. 把一些元素组成的总体叫作集合（set ），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性.2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，基本形式为123{,,,,}n a a a a ⋅⋅⋅，适用于有限集或元素间存在规律的无限集.描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为{|()x A P x ∈}，既要关注代表元素x ，也要把握其属性()P x ，适用于无限集.3. 通常用大写拉丁字母,,,A B C ⋅⋅⋅表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集N ，正整数集*N 或N +，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R .4. 元素与集合之间的关系是属于（belong to ）与不属于（not belong to ），分别用符号∈、∉表示，例如3N ∈，2N -∉.¤例题精讲：【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）由方程2(23)0x x x --=的所有实数根组成的集合；（2）大于2且小于7的整数.解：（1）用描述法表示为：2{|(23)0}x R x x x ∈--=；用列举法表示为{0,1,3}-.（2）用描述法表示为：{|27}x Z x ∈<<；用列举法表示为{3,4,5,6}.【例2】用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有：17 A ； －5 A ； 17 B .解：由3217k +=，解得5k Z =∈，所以17A ∈；由325k +=-，解得73k Z =∉，所以5A -∉；由6117m -=，解得3m Z =∈，所以17B ∈. 【例3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材P 6 练习题2， P 13 A 组题4）（1）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合； （2）二次函数24y x =-的函数值组成的集合；（3）反比例函数2y x=的自变量的值组成的集合. 解：（1）3{(,)|}{(1,4)}26y x x y y x =+⎧=⎨=-+⎩. （2）2{|4}{|4}y y x y y =-=≥-. （3）2{|}{|0}x y x x x ==≠.点评：以上代表元素，分别是点、函数值、自变量. 在解题中不能把点的坐标混淆为{1,4}，也注意对比（2）与（3）中的两个集合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不同，分析时一定要细心.*【例4】已知集合2{|1}2x a A a x +==-有唯一实数解，试用列举法表示集合A ．A B B A A B A B A ． B ． C ． D ． 解：化方程212x a x +=-为：2(2)0x x a --+=．应分以下三种情况： ⑴方程有等根且不是2±：由 △=0，得94a =-，此时的解为12x =，合． ⑵方程有一解为2，而另一解不是2-：将2x =代入得2a =-，此时另一解12x =-，合． ⑶方程有一解为2-，而另一解不是2：将2x =-代入得2a =，此时另一解为21x =+，合．综上可知，9{,2,2}4A =--．点评：运用分类讨论思想方法，研究出根的情况，从而列举法表示. 注意分式方程易造成增根的现象.第2讲 §1.1.2 集合间的基本关系¤知识要点：1. 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素，则说两个集合有包含关系，其中集合A 是集合B 的子集（subset ），记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 含于B ”（或“B 包含A ”）.2. 如果集合A 是集合B 的子集（A B ⊆），且集合B 是集合A 的子集（B A ⊇），即集合A 与集合B 的元素是一样的，因此集合A 与集合B 相等，记作A B =.3. 如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，且x A ∉，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ），记作A ≠⊂B （或B ≠⊃A ）.4. 不含任何元素的集合叫作空集（empty set ），记作∅，并规定空集是任何集合的子集.5. 性质：A A ⊆；若A B ⊆，B C ⊆，则A C ⊆；若A B A =，则A B ⊆；若A B A =，则B A ⊆.¤例题精讲：【例1】用适当的符号填空：（1）{菱形} {平行四边形}； {等腰三角形} {等边三角形}.（2）∅ 2{|20}x R x ∈+=； 0 {0}； ∅ {0}； N {0}. 解：（1）， ；（2）=， ∈， ，.【例2】设集合1,,}22{|,{|n n x n n A x x B x =∈=+∈==Z}Z ，则下列图形能表示A 与B 关系的是（ ）. 解：简单列举两个集合的一些元素，3113{,1,,0,,1,,}2222A =⋅⋅⋅---⋅⋅⋅，3113{,,,,,}2222B =⋅⋅⋅--⋅⋅⋅， 易知B ≠⊂A ，故答案选A ． 另解：由21,}2{|n x n B x +=∈=Z ，易知B ≠⊂A ，故答案选A ． 【例3】若集合{}{}2|60,|10M x x x N x ax =+-==-=，且N M ⊆，求实数a 的值. 解：由26023x x x +-=⇒=-或，因此，{}2,3M =-.（i ）若0a =时，得N =∅，此时，N M ⊆；（ii ）若0a ≠时，得1{}N a =. 若N M ⊆,满足1123a a==-或，解得1123a a ==-或. 故所求实数a 的值为0或12或13-. 点评：在考察“A B ⊆”这一关系时，不要忘记“∅” ，因为A =∅时存在A B ⊆. 从而需要分情况讨论. 题中讨论的主线是依据待定的元素进行.【例4】已知集合A ={a ,a +b ,a +2b }，B ={a ,ax ,ax 2}. 若A =B ，求实数x 的值.解：若22a b ax a b ax+=⎧⎨+=⎩⇒a +ax 2-2ax =0, 所以a (x -1)2=0，即a =0或x =1. 当a =0时，集合B 中的元素均为0，故舍去；当x =1时，集合B 中的元素均相同，故舍去.若22a b ax a b ax⎧+=⎨+=⎩⇒2ax 2-ax -a =0. 因为a ≠0，所以2x 2-x -1=0, 即(x -1)(2x +1)=0. 又x ≠1，所以只有12x =-.经检验，此时A =B 成立. 综上所述12x =-.点评：抓住集合相等的定义，分情况进行讨论. 融入方程组思想，结合元素的互异性确定集合.第3讲 §1.1.3 集合的基本运算（一）¤知识要点：集合的基本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解概念，并掌握符号等，再B （读作“B （读作“U A （读作“ ¤例题精讲：】设集合,{|15},{|39},,()U U R A x x B x x A B A B ==-≤≤=<<求解：在数轴上表示出集合A 、B ，如右图所示： {|35}A B x x =<≤，(){|1,9}U C A B x x x =<-≥或，【例2】设{|||6}A x Z x =∈≤，{}{}1,2,3,3,4,5,6B C ==，求：（1）()A B C ； （2）()A A B C .解：{}6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6A =------.（1）又{}3B C =，∴()A B C ={}3；（2）又{}1,2,3,4,5,6B C =，得{}()6,5,4,3,2,1,0A C B C =------. U∴ ()A A C B C {}6,5,4,3,2,1,0=------.【例3】已知集合{|24}A x x =-<<，{|}B x x m =≤，且A B A =，求实数m 的取值范围.解：由A B A =，可得A B ⊆.在数轴上表示集合A 与集合B ，如右图所示：由图形可知，4m ≥. 点评：研究不等式所表示的集合问题，常常由集合之间的关系，得到各端点之间的关系，特别要注意是否含端点的问题.【例4】已知全集*{|10,}U x x x N =<∈且，{2,4,5,8}A =，{1,3,5,8}B =，求()U C A B ，()U C A B ，()()U U C A C B ， ()()U U C A C B ，并比较它们的关系.解：由{1,2,3,4,5,8}A B =，则(){6,7,9}U C A B =.由{5,8}A B =，则(){1,2,3,4,6,7,9}U C A B =由{1,3,6,7,9}U C A =，{2,4,6,7,9}U C B =，则()(){6,7,9}U U C A C B =，()(){1,2,3,4,6,7,9}U U C A C B =.由计算结果可以知道，()()()U U U C A C B C A B =，()()()U U U C A C B C A B =.另解：作出Venn 图，如右图所示，由图形可以直接观察出来结果.点评：可用Venn 图研究()()()U U U C A C B C A B =与()()()U U U C A C B C A B = ，在理解的基础记住此结论，有助于今后迅速解决一些集合问题.第4讲 §1.1.3 集合的基本运算（二） ¤知识要点：1. 含两个集合的Venn 图有四个区域，分别对应着这两个集合运算的结果. 我们需通过Venn 图理解和掌握各区域的集合运算表示，解决一类可用列举法表示的集合运算. 通过图形，我们还可以发现一些集合性质：()()()U U U C A B C A C B =,()()()U U U C A B C A C B =.2. 集合元素个数公式：()()()()n A B n A n B n A B =+-.3. 在研究集合问题时，常常用到分类讨论思想、数形结合思想等. 也常由新的定义考查创新思维.¤例题精讲：【例1】设集合{}{}24,21,,9,5,1A a a B a a =--=--，若{}9A B =，求实数a 的值. 解：由于{}{}24,21,,9,5,1A a a B a a =--=--，且{}9A B =，则有：当219 a -＝时，解得5a ＝，此时={4, 9, 25}={9, 0, 4}A B －，－，不合题意，故舍去； 当29a ＝时，解得33a ＝或－.3 ={4,5,9} ={9,2,2}a A B ＝时，－，－－，不合题意，故舍去；3={4, 7 9}={9, 8, 4}a A B ＝－，－－，，－，合题意.所以，3a ＝－.【例2】设集合{|(3)()0,}A x x x a a R =--=∈，{|(4)(1)0}B x x x =--=，求A B , A B .（教材P 14 B 组题2）解：{1,4}B =.当3a =时，{3}A =，则{1,3,4}A B =，A B =∅；当1a =时，{1,3}A =，则{1,3,4}A B =，{1}A B =；当4a =时，{3,4}A =，则{1,3,4}A B =，{4}A B =；-2 4 m x B A当3a ≠且1a ≠且4a ≠时，{3,}A a =，则{1,3,4,}A B a =，A B =∅.点评：集合A 含有参数a ，需要对参数a 进行分情况讨论. 罗列参数a 的各种情况时，需依据集合的性质和影响运算结果的可能而进行分析，不多不少是分类的原则.【例3】设集合A ={x |240x x +=}， B ={x |222(1)10x a x a +++-=，a R ∈}，若A B =B ，求实数a 的值．解：先化简集合A ={4,0}-. 由A B =B ，则B ⊆A ，可知集合B 可为∅，或为{0}，或{－4}，或{4,0}-.(i )若B =∅，则224(1)4(1)0a a ∆=+--<，解得a ＜1-；(ii )若0∈B ，代入得2a 1-=0⇒a =1或a =1-，当a =1时，B =A ，符合题意；当a =1-时，B ={0}⊆A ，也符合题意．(iii )若－4∈B ，代入得2870a a -+=⇒a =7或a =1，当a =1时，已经讨论，符合题意；当a =7时，B ={－12，－4}，不符合题意．综上可得，a =1或a ≤1-．点评：此题考查分类讨论的思想，以及集合间的关系的应用. 通过深刻理解集合表示法的转换，及集合之间的关系，可以把相关问题化归为解方程的问题，这是数学中的化归思想，是重要数学思想方法．解该题时，特别容易出现的错误是遗漏了A =B 和B =∅的情形，从而造成错误．这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题.【例4】对集合A 与B ，若定义{|,}A B x x A x B -=∈∉且，当集合*{|8,}A x x x N =≤∈，集合{|(2)(5)(6)0}B x x x x x =---=时，有A B -= . （由教材P 12 补集定义“集合A 相对于全集U 的补集为{|,}U C A x x x A =∈∉且”而拓展）解：根据题意可知，{1,2,3,4,5,6,7,8}A =，{0,2,5,6}B =由定义{|,}A B x x A x B -=∈∉且，则{1,3,4,7,8}A B -=.点评：运用新定义解题是学习能力的发展，也是一种创新思维的训练，关键是理解定义的实质性内涵，这里新定义的含义是从A 中排除B 的元素. 如果再给定全集U ，则A B -也相当于()U A C B .第5讲 §1.2.1 函数的概念¤知识要点：1. 设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作y =()f x ，x A ∈．其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）.2. 设a 、b 是两个实数，且a <b ，则：{x |a ≤x ≤b }＝[a ,b ] 叫闭区间； {x |a <x <b }＝(a ,b ) 叫开区间；{x |a ≤x <b }＝[,)a b ， {x |a <x ≤b }＝(,]a b ，都叫半开半闭区间.符号：“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”. 则{|}(,)x x a a >=+∞，{|}[,)x x a a ≥=+∞，{|}(,)x x b b <=-∞，{|}(,]x x b b ≤=-∞，(,)R =-∞+∞.3. 决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数.¤例题精讲：【例1】求下列函数的定义域： （1）121y x =+-；（2）y =.解：（1）由210x +-≠，解得1x ≠-且3x ≠-，所以原函数定义域为(,3)(3,1)(1,)-∞----+∞.（2）由3020x -≥⎧⎪≠，解得3x ≥且9x ≠， 所以原函数定义域为[3,9)(9,)+∞.【例2】求下列函数的定义域与值域：（1）3254x y x+=-； （2）22y x x =-++. 解：（1）要使函数有意义，则540x -≠，解得54x ≠. 所以原函数的定义域是5{|}4x x ≠.32112813(45)233233305445445445444x x x y x x x x ++-+==⨯=⨯=-+≠-+=-----，所以值域为3{|}4y y ≠-. （2）22192()24y x x x =-++=--+. 所以原函数的定义域是R ，值域是9(,]4-∞. 【例3】已知函数1()1x f x x-=+. 求：（1）(2)f 的值； （2）()f x 的表达式 解：（1）由121x x -=+，解得13x =-，所以1(2)3f =-. （2）设11x t x -=+，解得11t x t -=+，所以1()1t f t t -=+，即1()1x f x x -=+. 点评：此题解法中突出了换元法的思想. 这类问题的函数式没有直接给出，称为抽象函数的研究，常常需要结合换元法、特值代入、方程思想等. 【例4】已知函数22(),1x f x x R x =∈+. （1）求1()()f x f x+的值；（2）计算：111(1)(2)(3)(4)()()()234f f f f f f f ++++++. 解：（1）由2222222221111()()1111111x x x x f x f x x x x x x ++=+=+==+++++. （2）原式11117(1)((2)())((3)())((4)())323422f f f f f f f =++++++=+= 点评：对规律的发现，能使我们实施巧算. 正确探索出前一问的结论，是解答后一问的关键.第6讲 §1.2.2 函数的表示法¤知识要点：1. 函数有三种表示方法：解析法（用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，优点：简明，给自变量可求函数值）；图象法（用图象表示两个变量的对应关系，优点：直观形象，反应变化趋势）；列表法（列出表格表示两个变量之间的对应关系，优点：不需计算就可看出函数值）.2. 分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的x ，对应法则不同）.3. 一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping ）．记作“:f A B →”. 判别一个对应是否映射的关键：A 中任意，B 中唯一；对应法则f . ¤例题精讲： 【例1】如图，有一块边长为a 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V 以x 为自变量的函数式是_____，这个函数的定义域为_______．解：盒子的高为x ，长、宽为2a x －，所以体积为V ＝2(2)x a x －.又由20a x >－，解得2a x <.所以，体积V 以x 为自变量的函数式是2(2)V x a x =－，定义域为{|0}2a x x <<.【例2】已知f (x )=333322x x x x-⎧++⎪⎨+⎪⎩ (,1)(1,)x x ∈-∞∈+∞，求f [f (0)]的值. 解：∵ 0(,1)∈-∞， ∴ f (0)=32. 又 ∵ 32>1，∴ f (32)=(32)3+(32)-3=2+12=52，即f [f (0)]=52.【例3】画出下列函数的图象：（1）|2|y x =-； （教材P 26 练习题3）（2）|1||24|y x x =-++.解：（1）由绝对值的概念，有2,2|2|2,2x x y x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩. 所以，函数|2|y x =-的图象如右图所示. （2）33,1|1||24|5,2133,2x x y x x x x x x +>⎧⎪=-++=+-≤≤⎨⎪--<-⎩，所以，函数|1||24|y x x =-++的图象如右图所示.点评：含有绝对值的函数式，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数，然后根据定义域的分段情况，选择相应的解析式作出函数图象.【例4】函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如[3.5]4-=-，[2.1]2=，当( 2.5,3]x ∈-时，写出()f x 的解析式，并作出函数的图象.解：3, 2.522,211,10()0,011,122,233,3x x x f x x x x x --<<-⎧⎪--≤<-⎪--≤<⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≤<⎪=⎩. 函数图象如右：点评：解题关键是理解符号[]m 的概念，抓住分段函数的对应函数式.第7讲 §1.3.1 函数的单调性 ¤知识要点： 1. 增函数：设函数y =f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说f (x )在区间D 上是增函数（increasingfunction ）. 仿照增函数的定义可定义减函数.2. 如果函数f (x )在某个区间D 上是增函数或减函数，就说f (x )在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫f(x )的单调区间. 在单调区间上，增函数的图象是从左向右是上升的（如右图1），减函数的图象从左向右是下降的（如右图2）. 由此，可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势，得到函数的单调区间及单调性.3. 判断单调性的步骤：设x 1、x 2∈给定区间，且x 1<x 2；→计算f (x 1)－f (x 2) →判断符号→下结论.¤例题精讲：【例1】试用函数单调性的定义判断函数2()1x f x x =-在区间（0，1）上的单调性. 解：任取12,x x ∈(0,1)，且12x x <. 则1221121212222()()()11(1)(1)x x x x f x f x x x x x --=-=----. 由于1201x x <<<，110x -<，210x -<，210x x ->，故12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >.所以，函数2()1x f x x =-在（0，1）上是减函数. 【例2】求二次函数2()(0)f x ax bx c a =++<的单调区间及单调性. 解：设任意12,x x R ∈，且12x x <. 则22121122()()()()f x f x ax bx c ax bx c -=++-++221212()()a x x b x x =-+-1212()[()]x x a x x b =-++.若0a <，当122b x x a <≤-时，有120x x -<，12b x x a+<-，即12()0a x x b ++>，从而12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，所以()f x 在(,]2b a-∞-上单调递增. 同理可得()f x 在[,)2b a-+∞上单调递减. 【例3】求下列函数的单调区间：（1）|1||24|y x x =-++；（2）22||3y x x =-++.解：（1）33,1|1||24|5,2133,2x x y x x x x x x +>⎧⎪=-++=+-≤≤⎨⎪--<-⎩，其图象如右.由图可知，函数在[2,)-+∞上是增函数，在(,2]-∞-上是减函数.（2）22223,02||323,0x x x y x x x x x ⎧-++≥⎪=-++=⎨--+<⎪⎩，其图象如右. 由图可知，函数在(,1]-∞-、[0,1]上是增函数，在[1,0]-、[1,)+∞上是减函数.点评：函数式中含有绝对值，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数. 第2小题也可以由偶函数的对称性，先作y 轴右侧的图象，并把y 轴右侧的图象对折到左侧，得到(||)f x 的图象. 由图象研究单调性，关键在于正确作出函数图象.第8讲 §1.3.1 函数最大（小）值 ¤知识要点： 1. 定义最大值：设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：对于任意的x ∈I ，都有()f x ≤M ；存在x 0∈I ，使得0()f x = M . 那么，称M 是函数()y f x =的最大值（Maximum Value ）. 仿照最大值定义，可以给出最小值（Minimum Value ）的定义.2. 配方法：研究二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最大（小）值，先配方成224()24b ac b y a x a a -=++后，当0a >时，函数取最小值为244ac b a-；当0a <时，函数取最大值244ac b a-. 3. 单调法：一些函数的单调性，比较容易观察出来，或者可以先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值.4. 图象法：先作出其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值. ¤例题精讲：【例1】求函数261y x x =++的最大值. 解：配方为2613()24y x =++，由2133()244x ++≥，得260813()24x <≤++. 所以函数的最大值为8.【例2】某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可售出100件. 现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件提价1元，其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚得的利润最大？并求出最大利润.解：设他将售出价定为x 元，则提高了(10)x -元，减少了10(10)x -件，所赚得的利润为(8)[10010(10)]y x x =---.即2210280160010(14)360y x x x =-+-=--+. 当14x =时，max 360y =.所以，他将售出价定为14元时，才能使每天所赚得的利润最大, 最大利润为360元.【例3】求函数21y x x =+-的最小值.解：此函数的定义域为[)1,+∞，且函数在定义域上是增函数，所以当1x =时，min 2112y =+-=，函数的最小值为2.点评：形如y ax b cx d =+±+的函数最大值或最小值，可以用单调性法研究，也可以用换元法研究.【另解】令1x t -=，则0t ≥，21x t =+，所以22115222()48y t t t =++=++，在0t ≥时是增函数，当0t =时，min 2y =，故函数的最小值为2.【例4】求下列函数的最大值和最小值：（1）25332,[,]22y x x x =--∈-； （2）|1||2|y x x =+--.解：（1）二次函数232y x x =--的对称轴为2b x a =-，即1x =-.画出函数的图象，由图可知，当1x =-时，max 4y =； 当32x =时，min 94y =-. 所以函数25332,[,]22y x x x =--∈-的最大值为4,最小值为94-. （2） 3 (2)|1||2|2 1 (12)3 (1)x y x x x x x ≥⎧⎪=+--=--<<⎨⎪-≤-⎩.作出函数的图象，由图可知，[3,3]y ∈-. 所以函数的最大值为3, 最小值为-3. 点评：二次函数在闭区间上的最大值或最小值，常根据闭区间与对称轴的关系，结合图象进行分析. 含绝对值的函数，常分零点讨论去绝对值，转化为分段函数进行研究. 分段函数的图象注意分段作出.第9讲 §1.3.2 函数的奇偶性¤知识要点：1. 定义：一般地，对于函数()f x 定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 叫偶函数（even function ）. 如果对于函数定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-），那么函数()f x 叫奇函数（odd function ）.2. 具有奇偶性的函数其定义域关于原点对称，奇函数的图象关于原点中心对称，偶函数图象关于y 轴轴对称.3. 判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比较法、计算和差、比商法等判别()f x -与()f x 的关系.¤例题精讲：【例1】判别下列函数的奇偶性：（1）31()f x x x=-； （2）()|1||1|f x x x =-++；（3）23()f x x x =-.解：（1）原函数定义域为{|0}x x ≠，对于定义域的每一个x ，都有3311()()()()f x x x f x x x -=--=--=--， 所以为奇函数. （2）原函数定义域为R ，对于定义域的每一个x ，都有()|1||1||1||1|()f x x x x x f x -=--+-+=-++=，所以为偶函数.（3）由于23()()f x x x f x -=+≠±，所以原函数为非奇非偶函数.【例2】已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且1()()1f x g x x -=+，求()f x 、()g x . 解：∵ ()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，∴ ()()f x f x -=-，()()g x g x -=.则1()()11()()1f x g x x f x g x x ⎧-=⎪⎪+⎨⎪---=⎪-+⎩，即1()()11()()1f x g x x f x g x x ⎧-=⎪⎪+⎨⎪--=⎪-+⎩. 两式相减，解得2()1x f x x =-；两式相加，解得21()1g x x =-.。

新石器时期的石镰
第二节 设计的分化
装饰物的设计
新石器时期的人们已经开始懂得选择合适美观的石料，如玉石，作为装饰物 ，或者通过磨制收集到的骨头、牛角、海贝等，雕刻出各种纹样、进行原始艺术 创作，美化各种工具，或者做成头饰、耳环等以便随身携带。
第二节 设计的分化
装饰物的设计
由于自然地理环境的差异，世界各地新石器时代的开始和结束的具体时间也 有很大差别。中国大约在公元前1万年就已进入新石器时代。由于地域辽阔，新 石器文化的面貌也有很大区别。距今约五、六千年的红山文化遗址，出土的细石 器工具发达，其中的刮削器、石刃、石镞 等器物，小巧玲珑、工艺精湛。如图是 红山文化出土的玉龙，也被称为中华第 一龙。可以看到，在新石器后期，器物 的设计制作已呈现出摆脱功能性约束、 作为独立艺术品类发展的趋势。
第一章 设计起源与分化
本章内容
第一节 设计的起源 第二节 设计的分化 第三节 设计产生的必然性与分化的意义
一部人类文明的发展史，就是人类为捍卫自身生存而与大自然抗争的历史。按 照达尔文适者生存的理论，人类作为自然物种之一，其生存取决于适应自然环境的 能力，这种“适应”也包括设计、制造有用的工具来保护自己的能力。可以说，设 计的萌芽就是在满足人类最基本的生存需求的基础上产生的。
新石器时期的古锥和古针
第一节 设计的起源
将实用和美观结合起来，是人类设计活动的一个基本特征。新石器时代对石 器的磨制，凸显出古人类卓越的美感以及对美的形态的控制能力。
从大量考古发现的遗存石制器物来看，新石器时期的古人类已经开始大规模 有目的地挑选、塑造一定形态的工具，使之既能够适用于生产、生活的需要，又 可以满足审美需求，达到一定的装饰效果，这体现了功能性与装饰性的统一。在 某种意义上，古人类审美意识的萌生的同时，也为设计的分化埋下了种子。