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随机矩阵理论
随机矩阵理论是描述复杂系统中结构的一种理论，它经常用于衡量社会结构，研究遗传学和投资等复杂系统中的模式。
该理论可以提供对系统运行状况的有益洞察，并可以用于解决社会科学、工程、金融和经济学等领域中的问题。
随机矩阵理论的基本思想是，当系统复杂时，其结构可以用一个随机矩阵来描述。
这个矩阵可以用来表示系统中不同部件之间的关系，以及系统中复杂结构的稳定性等。
随机矩阵理论的应用很广泛，它可以帮助研究人员更好地理解社会、环境、生物和投资等复杂系统的运行机制。
例如，它可以用来分析社会网络中不同社会群体之间的关系，以及这些群体之间的稳定性。
此外，它还可以用来研究遗传学中基因的互作性，以及金融市场中股票和债券的风险规避策略。
随机矩阵理论的另一个重要应用是，它可以用来估计复杂系统的可靠性。
这是因为它可以用来识别出系统中可能出现的故障模式，从而可以更好地预测系统的可靠性。
因此，随机矩阵理论是一种非常有用的理论，它可以帮助研究人员更好地理解复杂系统的运行状况，从而可以更好地解决社会科学、工程、金融和经济学等领域中的问题。
随机矩阵（Random/Stochastic Matrix）定义1：如果矩阵中至少有一个元素为随机量,那么该矩阵称为随机矩阵.实际上,正是由于随机参数的引入,使得原来确定性的矩阵元素变为随机的定义：一般地，如果一个矩阵的元素是非负的，且每一列元素的和为1，则这个矩阵称为随机的。
随机矩阵的列可以看成是概率向量。
要了解随机矩阵的话可以去看非负矩阵的书，有问题也可以拿上来讨论。
粗略一点的话直接用圆盘定理，然后取分量全为1的向量证明1是特征值。
精细一点的话去看Perron-Frobenius定理。
左特征向量一般有两种定义，对于实矩阵的实特征向量来讲可以不用区别。
基本的性质就是“双正交性”，直接从PAQ=J,PQ=I来获取，只是需要注意亏损的特征值对应的左右特征向量可能无法满足内积非零。
网络上系统性的材料并不太多，所以最好还是找书看，就你的情况而言可以找以下几种名字的书：随机矩阵非负矩阵矩阵论1.利用Perron-Frobenius定理证明：随机矩阵的主特征值为1。
2.左右特征向量之间的关系是什么，以及提出这种概念的现实意义：如有利于更加便捷地进行数值计算和求解？你既然这样问了就说明你还不知道Perron-Frobenius定理的内容，自己先去看书。
至于左右特征向量，理论上讲特征子空间的结构需要同时用左右特征向量来描述。
从计算的角度讲单纯知道某一个右特征向量对计算同一个特征值的左特征向量没有任何帮助。
我估计你想算稳态分布，去看一下GTH算法。
随机矩阵问题的核心是它的极限行为。
我想随机矩阵重要的不是它有一个特征值为1.而是其它特征值（模长都小于1）与1 之差的最小模长。
这个又叫做“谱隙”，这个值反映了随机矩阵所决定的Markov链的收敛速度。
至于特征向量，则对应Markov链在极限状态下的“平稳分布”。
因此谱隙和特征向量都是很重要的量。
它们都刻画了系统的极限行为。
非负矩阵理论和普通的高代中的Jordan型之类的理论有根本的不同，这个不同在于，随机矩阵有明显的“图论”甚至组合的意义，很多时候我们不关心非负矩阵的元素大小是多少，而是关心非零元在矩阵中的“位置”。
随机矩阵理论在数据挖掘方法中的应用效果随机矩阵理论是一种数学工具，用于分析复杂系统中的随机性。
它在物理学、金融学和统计学等领域中得到了广泛的应用。
近年来，随机矩阵理论也逐渐引起了数据挖掘领域的关注，并且取得了显著的应用效果。
一、随机矩阵理论概述随机矩阵理论主要研究矩阵中的元素是随机变量的情况。
在随机矩阵理论中，矩阵的维度通常是非常大的，因此可以用来分析大规模数据集的特征。
随机矩阵理论中的一些重要概念包括特征值和特征向量，并且这些概念在数据挖掘中有着重要的应用。
二、随机矩阵理论在数据挖掘中的应用1. 特征值分析随机矩阵理论可以用来分析数据集中的特征值。
通过对特征值的分析，可以获取数据集的一些重要信息，比如数据集的维度、数据的规律性等。
这对于数据挖掘任务如分类和聚类等是非常有帮助的。
2. 数据降维数据降维是数据挖掘中的一个常见问题。
通过随机矩阵理论的方法，可以对数据集进行降维操作，从而减少数据的维度，提高数据挖掘的效率。
随机矩阵理论在数据降维中的应用效果已经得到了广泛的验证。
3. 图像处理在图像处理领域，随机矩阵理论也有着重要的应用。
图像可以看作是一个矩阵，通过对图像矩阵进行随机矩阵分析，可以提取图像的特征，比如纹理、边缘等。
这对于图像识别和图像检索等任务具有重要意义。
4. 异常检测随机矩阵理论在异常检测中也有着广泛的应用。
通过对数据集的随机矩阵分析，可以识别出数据集中的异常点。
这对于识别网络攻击、金融欺诈等异常行为具有重要的作用。
三、随机矩阵理论的应用案例1. 基于随机矩阵理论的图像分类算法研究者们提出了一种基于随机矩阵理论的图像分类算法。
该算法首先将图像表示为矩阵形式，然后通过随机矩阵分析，提取图像的特征。
最后，利用这些特征进行图像分类。
实验结果表明，该算法的分类准确率明显高于传统方法。
2. 基于随机矩阵理论的异常检测方法研究者们提出了一种基于随机矩阵理论的异常检测方法。
该方法通过对数据集的随机矩阵分析，识别出数据集中的异常点。
随机矩阵理论在物理系统中的应用随机矩阵理论是现代数学中的一个重要分支，其在物理系统中的应用也逐渐受到广泛关注。
本文将探讨随机矩阵理论在物理系统中的应用，并分析其重要性和前景。
一、随机矩阵理论简介随机矩阵理论是研究由随机分布生成的矩阵性质的数学理论。
随机矩阵的特点是其元素服从一定的概率分布，而非具有确定性的数值。
随机矩阵理论起源于20世纪中期，经过数学家们的不断研究和发展，已经成为一个独立的、重要的数学分支。
二、随机矩阵在物理系统中的应用1. 随机矩阵与量子力学量子力学是现代物理学的基础理论之一，描述微观粒子的运动和相互作用。
在量子力学中，系统的能量本征态可以用随机矩阵进行描述。
通过随机矩阵理论的分析，可以揭示量子系统复杂动力学行为的统计规律，进一步了解系统的性质。
2. 随机矩阵与统计物理学统计物理学是研究大量粒子集合行为的科学，应用于宏观系统的热力学和微观系统的动力学。
随机矩阵理论提供了一种概率性的分析工具，可以帮助理解复杂物理系统的统计规律，揭示系统中的变化规律和相互关系。
3. 随机矩阵与凝聚态物理学凝聚态物理学是研究固体和液体物质性质的科学，涉及材料的结构、性质和相变等方面。
随机矩阵理论在凝聚态物理学中的应用日益广泛，通过随机矩阵的方法可以对凝聚态系统的结构和动力学行为进行深入研究，为材料设计和性能优化提供重要参考。
三、随机矩阵理论的重要性和前景随机矩阵理论在物理系统中的应用具有重要的理论和实际意义。
随机矩阵方法可以为物理学家提供一种全新的视角，帮助他们理解和解释复杂系统的统计行为，揭示系统内在的规律性。
随机矩阵理论的发展也将为物理学研究带来新的思路和方法，推动物理科学的不断发展和进步。
综上所述，随机矩阵理论在物理系统中的应用具有重要的理论和实际意义，其研究将为物理学领域带来新的突破和成就。
随着随机矩阵理论的不断深入和发展，相信其在物理系统中的应用前景将更加广阔和光明。
【中文评论：文章通过介绍随机矩阵理论的基本概念和物理应用，展示了其在物理学领域中的重要性和前景，结构清晰，层次分明，逻辑严谨，是一篇优秀的科普文章。
随机矩阵理论及其应用研究随机矩阵在数学、物理、统计学等领域具有重要的应用价值，而随机矩阵理论则是研究随机矩阵统计性质的一个重要分支。
如今，随机矩阵理论在金融、信号处理、无线通信等领域也有了广泛的应用。
本文将从随机矩阵的基础知识、应用场景等方面进行探究。
一、随机矩阵的概念和分类随机矩阵，是指矩阵中的元素是随机变量，元素值服从某个给定的分布。
按照特征值的性质，随机矩阵可分为正定矩阵、Hermitian 矩阵、反对称矩阵和正交矩阵等。
正定矩阵，是指所有特征值均为正数的矩阵，是一类特殊的随机矩阵。
正定矩阵在奇异值分解、信号处理、机器学习等领域有广泛应用。
Hermitian 矩阵，是指矩阵与其伴随矩阵的转置相等，是一类特殊的随机矩阵。
Hermitian 矩阵在量子力学、信号处理、统计学等领域有着广泛的应用。
反对称矩阵，是指其每个元素与其转置矩阵中对应元素取相反数后相等的矩阵，是一类特殊的随机矩阵。
正交矩阵，是指其每一行（或列）都是单位向量，且任意两个行（或列）之间的内积为零的矩阵，也是一类特殊的随机矩阵。
正交矩阵在信号处理、图像识别、流形学习等领域有重要的应用。
二、随机矩阵的统计性质和应用1. Wigner 随机矩阵模型Wigner 随机矩阵模型是随机矩阵理论中最为重要的模型之一。
它最早由数学家 Wigner 提出，可以用于研究原子核、量子色动力学、随机谱分析等领域。
Wigner 随机矩阵具有通用性、适用性广、现代化等特点，是目前随机矩阵理论研究的重要领域之一。
在 Wigner 随机矩阵模型中，随机矩阵 $A$ 由一个实数序列$a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}$ 生成，用 $A_{n}$ 表示其 $n$ 阶阶矩阵，若序列$\{a_{i}\}$ 满足以下条件：（1）$a_{i}$ 独立同分布；（2）$E(a_{i})=0$，$E(|a_{i}|^{2})=1$；（3）序列的自协方差满足 $\lim_{|i-j|\to\infty}E(a_{i}\bar{a_{j}})=0$；则称 $A_{n}$ 为 Wigner 随机矩阵。
随机矩阵理论在信号处理中的应用研究随机矩阵理论是概率论和函数分析的交叉领域，在信号处理、统计学、物理学、金融学等领域有着广泛的应用。
随机矩阵的数学分析和应用，是由美国数学家Wigner于1955年开始的，他提出了半圆分布，并建立起了随机矩阵理论的基本框架。
在信号处理中，信号通常被视为随机过程，可以通过对信号进行随机矩阵分析来获得更好的信号处理效果。
一、随机矩阵理论的基本概念随机矩阵是指其中的元素是随机变量的矩阵，一般考虑元素是独立同分布的情况，并且矩阵的维数比较大。
随机矩阵在信号处理中的应用主要包括以下两个方面：1. 随机矩阵的谱分析：谱是指矩阵的特征值，通过对随机矩阵的谱进行分析，可以得到夸克色壳模型、对称群等多个领域的成果。
2. 随机矩阵的噪声分析：随机矩阵的噪声分析在信号处理中应用非常广泛，可以通过去除噪声来提高信号的质量。
二、随机矩阵在无线通信系统中的应用无线通信系统中，由于无线信道的复杂性和不确定性，我们无法直接通过传统的方法对信道进行建模。
而随机矩阵分析可以通过建立随机矩阵模型，对信道进行分析，为信道估计和信号检测提供了新的思路和方法。
1. 多天线系统中的随机矩阵分析多天线系统中，接收端的输出信号可以表示为：Y=HX+W，其中H是信道矩阵，W是加性高斯白噪声，X是发送信号。
由于H是随机矩阵，因此我们可以利用随机矩阵分析来对信道进行建模和分析，以提高多天线系统的性能。
2. 随机矩阵分析在传感器网络中的应用在传感器网络中，传感器节点通常不能直接与中心节点进行通信。
因此，网络的成功运行依赖于节点之间的通信和协调。
由于节点之间的距离和部署情况不同，节点之间的信道也存在复杂的随机性。
因此，随机矩阵分析可以通过对节点之间的信道进行建模和分析，提高传感器网络的通信和协调能力。
三、随机矩阵在人脸识别中的应用在人脸识别中，我们通常将人脸图像转换为特征向量，并通过对特征向量进行建模和分析来实现人脸识别。
随机矩阵的理论及应用随机矩阵是指由随机变量构成的矩阵，它是概率论、统计学、物理学、工程学等许多领域中的重要概念。
随机矩阵是随机过程、随机信号、混沌等问题中的基本工具，被广泛应用于无线通信、人工智能、金融风险分析、图像处理等各种领域。
一、随机矩阵的定义及基本性质随机矩阵是随机变量构成的矩阵，通常表示为 $A = [a_{ij}]_{n \times m}$，其中 $a_{ij}$ 是一个随机变量。
随机矩阵与普通矩阵有本质区别，其元素是随机的，因此矩阵可看作随机载体。
随机矩阵的元素可能是实数、复数或矩阵。
对于一个随机矩阵 $A$，其期望矩阵为 $\mathbb{E}(A)$，即元素 $a_{ij}$ 的期望。
由于随机矩阵的元素是随机的，其取值并不是唯一的，因此我们需要用概率分布来描述随机矩阵的性质。
常见的概率分布有高斯分布、伯努利分布、泊松分布等。
由于随机矩阵具有随机性和复杂性，因此它具有许多特殊的性质和规律。
例如，随机矩阵的元素与矩阵的尺寸相关联，当矩阵的尺寸趋近于无穷大时，随机矩阵的性质会发生显著变化。
此外，随机矩阵还具有矩阵奇异值、矩阵特征值、矩阵行列式、矩阵秩等基本特性。
二、随机矩阵的应用随机矩阵理论及其应用涉及许多领域，如概率论、统计学、物理学、工程学等。
在通信、图像处理等领域，随机矩阵广泛应用于信号处理、无线通信等方面。
1. 信号处理随机矩阵可用于信号处理中的谱分析、滤波等问题。
例如，通过随机矩阵的特征值分析，可以分析时域信号的频谱性质，从而得到更准确的频谱形态和频谱密度估计。
此外，随机矩阵还可以应用于信号去噪、图像处理等问题中，具有很好的效果。
2. 无线通信在无线通信领域，随机矩阵应用广泛，如信道估计、信号检测等方面。
利用随机矩阵的性质，可以有效提高无线通信系统的可靠性和稳定性。
例如，通过生成随机矩阵，可以产生具有一定特性的码本，从而提高误码率和信道容量。
3. 金融风险分析随机矩阵在金融风险分析中也有着广泛的应用。
随机矩阵理论在通信电子中的应用随机矩阵理论是一种数学工具，在信息通信、统计物理、网络等领域有着广泛的应用。
在通信电子领域中，随机矩阵理论也有着重要的应用。
本文将从随机矩阵理论的基本概念和应用入手，介绍它在通信电子中的应用情况。
一、随机矩阵理论的基本概念随机矩阵是指由随机变量构成的矩阵，具有随机性质。
随机矩阵理论是研究随机矩阵的方法和性质的学科。
在随机矩阵理论中，最常用的概念是矩阵的谱。
矩阵的谱是指矩阵的特征值及其对应的特征向量。
随机矩阵理论有着广泛的应用，特别是在统计物理和量子力学中。
在统计物理中，随机矩阵理论被广泛应用于描述自由度数很高的大系统的行为。
在量子力学中，随机矩阵理论被用于描述粒子间的相互作用。
随机矩阵理论在信号处理、通信电子中也有着重要的应用。
二、1、MIMO通信系统MIMO（Multiple-Input Multiple-Output，多输入多输出）系统是现代通信系统中的一种重要技术，它通过多个天线进行发送和接收信号，可以大大提高通信系统的性能。
随机矩阵理论可以用于描述MIMO通信系统中的信道矩阵。
通过对信道矩阵的特征值分析，可以优化MIMO通信系统的性能。
另外，随机矩阵理论还可以用于对MIMO天线的位置和数量进行优化计算，以达到更好的通信效果。
2、信号处理随机矩阵理论在信号处理中也有广泛的应用。
例如在复杂环境下进行信号识别和分离，可以利用随机矩阵理论对信号进行降维处理，以减少计算和存储量。
此外，在非线性系统和图像处理中，也可以使用随机矩阵理论对信号进行处理和提取，以达到更好的处理效果。
3、物联网中的传感器网络物联网中的传感器网络通常由大量的传感器节点组成，节点之间的通信往往是通过无线信道进行的。
随机矩阵理论可以用于描述传感器节点间的无线信道矩阵。
通过对信道矩阵的分析，可以优化网络的拓扑结构和传输协议，提高网络的稳定性和传输效率。
三、随机矩阵理论的未来发展方向随着通信技术和电子技术的不断发展，随机矩阵理论在通信电子中的应用也会越来越广泛。
基础数学中的随机矩阵理论随机矩阵理论是数学领域研究概率矩阵性质的分支之一，它在大数据、统计学、计算机科学、物理学、通信工程等领域中有着广泛应用。
本文将着重探讨随机矩阵理论在基础数学中的应用和意义。
一、引言随机矩阵理论的发展始于20世纪50年代，之后经过不断地发展和完善，已经成为现代数学、统计学和物理学等诸多领域的重要工具和基础。
随机矩阵理论主要研究矩阵的直接随机化或间接随机化所得到的随机矩阵的性质，即矩阵中的元素服从某一概率分布。
二、基础数学中的随机矩阵理论在基础数学中，随机矩阵理论主要应用于矩阵分析、线性代数和函数分析等领域。
其中，最重要的是矩阵分析，因为在矩阵分析中，随机矩阵理论经常被用来研究矩阵的奇异值、特征值和矩阵的秩等性质。
举例来说，假设我们需要对一个$n×n$的矩阵$A$进行奇异值分解，我们可以使用随机矩阵理论中的谱分布理论来确定奇异值分布的极限行为。
利用谱分布理论，我们可以了解到，在$n$很大的情况下，奇异值的分布将是一个连续的概率分布，并且该分布可以通过一些解析函数来表示。
另一个例子是，假设我们需要解决一个线性方程组$Ax=b$，其中$A$是一个随机矩阵，这时可以利用随机矩阵理论中的矩阵求逆的性质，来求解线性方程组。
利用这些性质，我们可以构造一个随机区间估计，并且可以得到区间估计的宽度的上限。
除此之外，随机矩阵理论还可以为线性模型和多元分析提供基础，这在实际应用中是十分重要的。
例如，在分析统计数据时，我们可以使用随机矩阵理论来识别和处理与观察数据相关的模式，从而更准确地分析数据。
三、意义和应用随机矩阵理论的发展和应用，为解决实际问题提供了强有力的工具。
例如，在物理学领域中，随机矩阵理论在量子力学、凝聚态物理、量子场论和弦论等领域中有着广泛应用。
具体来说，它可以被用来描述量子系统的自然演化过程和统计规律，从而有助于解决物理学中的许多难题。
此外，在计算机科学领域中，随机矩阵理论被广泛应用于数据科学、机器学习、信息检索和图像处理等领域中。
随机矩阵理论及统计应用随机矩阵理论是一门研究矩阵的随机性质和统计特征的数学分支。
它在各个领域中都有广泛的应用，包括统计学、物理学、金融学等。
本文将介绍随机矩阵理论的基本概念和原理，并探讨其在统计学中的应用。
一、随机矩阵理论的基本概念随机矩阵是指其中的元素具有一定的概率分布的矩阵。
在随机矩阵理论中，主要研究矩阵的本征值、本征向量以及它们之间的统计性质。
在实际应用中，我们通常将随机矩阵表示为M = (m_{ij})，其中m_{ij}为具有某种概率分布的随机变量。
二、随机矩阵理论的原理1. 随机矩阵的本征值分布随机矩阵的本征值分布是随机矩阵理论中的一个重要问题。
根据气体统计物理学中的中心极限定理，当矩阵的维度趋于无穷大时，其本征值的分布趋近于某个统计分布。
常见的本征值分布有圆形定理、强随机矩阵定理等。
2. 随机矩阵的本征向量性质随机矩阵的本征向量也是随机矩阵理论研究的一个重要内容。
根据中心极限定理，矩阵的本征向量在维度趋于无穷大时，呈现出无关性和正交性的特点。
这一性质在统计学中的应用非常广泛。
三、随机矩阵理论在统计学中的应用1. 随机矩阵在统计假设检验中的应用统计假设检验是统计学中常用的一种方法。
随机矩阵理论通过研究随机矩阵的性质，可以提供一种新的检验方法。
例如，可以利用随机矩阵的本征值分布来检验某个假设的有效性。
2. 随机矩阵在数据降维中的应用在大数据时代，数据降维是一种重要的数据处理方法。
随机矩阵理论提供了一种有效的降维方法，可以通过研究随机矩阵的本征向量来实现数据的降维和特征提取。
3. 随机矩阵在金融学中的应用金融学中存在很多与风险相关的问题，如资产定价、投资组合优化等。
随机矩阵理论通过研究随机矩阵的本征值和本征向量分布，可以提供一种新的方法来分析和评估金融风险。
四、结语随机矩阵理论是一门重要的数学理论，它在统计学中有着广泛的应用。
通过研究随机矩阵的本征值和本征向量的统计性质，我们可以得到很多有关数据分析、金融风险评估等方面的有用结果。
随机矩阵理论
身为理论物理学家的Freeman Dyson 如何会研究起随机矩阵理论来的呢？这当然还得从物理学说起。
我们知道在物理学上可以严格求解的问题是少之又少的。
而且物理理论越发展，可以严格求解的问题就越少。
举个例子来说，在Newton 引力理论中二体问题可以严格求解，但一般的三体问题就不行[注二]；到了广义相对论中连一般的二体问题也解不出了，只有单体问题还可以严格求解；而到了量子场论中更是连单体问题也解不成了。
另一方面，现实物理中的体系往往既不是单体，也不是二体或三体，而是多体，少则十几、几十(比如大一点的原子、分子)，多则1023或更多(比如宏观体系)。
很明显，对现实物理体系的研究离不开各种近似方法。
这其中很重要的一类方法就是统计方法，由此形成了物理学的一个重要分支：统计物理。
在统计物理中，人们不再着眼于对物理体系的微观状态进行细致描述(因为这种细致描述不仅无法做到，而且对于确定体系的宏观行为来说是完全不必要的)，取而代之的是“系综” 的概念。
所谓“系综”，指的是满足一定宏观约束条件的大量全同体系的集合，这些体系的微观状态具有一定的统计分布，我们感兴趣的体系的宏观状态就由相应物理量的系综平均值所给出。
在传统的统计物理中，组成系综的那些全同体系具有相同的哈密顿量(Hamiltonian)，只有它们的微观状态才是随机的。
但是随着研究的深入，物理学家们开始接触到一些连这种方法也无法处理的物理体系，其中一个典型的例子就是由大量质子中子组成的原子核。
这种体系的相互作用具备了所有可以想象得到的“坏品质” (比如耦合常数很大，不是二体相互作用，不是有心相互作用等)，简直是“五毒俱全”。
对于这种体系，我们甚至连它的哈密顿量是什么都无法确定。
这样的体系该如何处理呢？很显然还是离不开统计的方法。
只不过以前在系综中只有各体系的微观状态是随机的，现在却连哈密顿量也不知道了，既然如此，那就一不做二不休，干脆把哈密顿量也一并随机化了。
由于哈密顿量可以用矩阵来表示，因此这种带有随机哈密顿量的量子统计系综可以用随机矩阵理论来描述。
这一点最早是由Eugene Wigner (1902-1995) 于1951 年提出的[注三]。
把哈密顿量随机化不等于说对哈密顿量的结构就没有任何限制了。
二十世纪六十年代初，与Montgomery 在茶室里偶遇的这位Dyson 对随机矩阵理论进行了深入的研究，并在1962 年一连发表了五篇非常漂亮的论文。
这些论文在随机矩阵理论的发展中具有奠基性的作用。
在这些论文中Dyson 证明了随机矩阵理论可以按照体系在时间反演变换T 下的性质分为三种类型：
▪如果体系不具有时间反演不变性，则演化算符为幺正矩阵(Unitary Matrices)。
▪如果体系具有时间反演不变性，且T2=I，则演化算符为正交矩阵(Orthogonal Matrices)。
▪如果体系具有时间反演不变性，且T2=-I，则演化算符为辛矩阵(Symplectic Matrices)。
这里Dyson 用演化算符U 取代了哈密顿量H，这两者之间由U=exp(-iHt) 相联系。
用演化算符的好处是它的参数空间是紧致的。
除了按照对称性对演化算符的结构进行分类外，还有一个需要解决的问题就是哈密顿量的分布函数。
Dyson 引进的是Gauss 型分布，这是数学物理中比较常见的一种分布。
在这种分布下具有上述三种对称性的系综分别被称为：Gaussian Unitary Ensemble (GUE), Gaussian Orthogonal Ensemble (GOE) 和Gaussian Symplectic Ensemble (GSE)。
Dyson 在得知了Montgomery 的密度函数时猛然想起的“随机厄密矩阵” 所描述的正是这三种系综中的一种- Gaussian Unitary Ensemble - 的哈密顿量(幺正演化算符对应的哈密顿量是厄密的)，它的几率测度定义为Gauss 型分布：
P(H) dH = C exp[-tr(H2)/2σ2] dH
其中 C 为归一化常数，H 为体系的哈密顿量，σ 为标准差，通常取为2-1/2。
对于一个量子体系，能级分布是在理论与观测上都极其重要的性质。
这也是随机矩阵理论中物理学家们最感兴趣的东西之一。
物理学家所说的能级用数学术语来说就是哈密顿量的本征值。
那么随机厄密矩阵的本征值是怎样分布的呢？分析表明，一个N 阶随机厄密矩阵的本征值分布密度为：
P(λ1, ... , λN) = C exp[-Σiλi2] Πj>k(λj-λk)2
其中λ1, ... , λN为本征值，C 为归一化常数。
通过对这一分布密度的积分，我们可以计算出随机厄密矩阵本征值的各种关联函数。
但是这些关联函数的表观复杂程度与本征值的平均间距有很大关系，因此我们要先对本征值做一点处理，以便简化结果。
这一处理所依据的是Wigner 曾经证明过的一个结果，那就是当矩阵阶数N→∞ 时，n 阶随机厄密矩阵的本征值趋向于区间[-2(2n)1/2, 2(2n)1/2] 上的半圆状分布，即：
P(λ) dλ = (8n-λ2)1/2dλ/4π
其中P(λ) dλ 为区间(λ, λ+dλ) 上的本征值个数。
这一规律被称为Wigner 半圆律(Wigner Semicircle Law)。
利用这一规律，我们可以对本征值做一个标度变换，引进：
μ = λ(8n-λ2)1/2/4π
可以证明(请读者自己证明)，这一变换就象我们在第十六节中对Riema nn ζ 函数零点虚部所做的处理那样，将本征值的间距归一化为：Δμ~1。
在这种间距归一化的本征值下，关联函数的形式变得相对简单，其中对关联函数的计算结果为：
P2(μ1, μ2) = 1 - [sin(π|μ2-μ1|)/π|μ2-μ1|]2
看到这里，大家想必也和Dyson 一样看出来了，随机厄密矩阵本征值的对关联函数正是我们在第十六节中介绍过的，Montgomery 所猜测的Riemann ζ 函数非平凡零点
的对关联函数！当然那时候Montgomery 用的不是象“对关联函数” 这样摩登的术语，事实上“对关联函数” 这一术语Montgomery 在和Dyson 交谈前连听都没听说过，他自己用的是象“我正在研究零点间距” 这样土得掉渣的“白话文”。
有的读者可能会提出这样一个问题，那就是哈密顿量的分布为什么要选择成Gauss 型分布？对于这个问题，实用主义的回答是：Gauss 型分布是数学上比较容易处理的(不要小看这样的理由，当问题复杂到一定程度时这种理由有时是最具压倒性的)；稍为深刻一点的回答则是：Gauss 型分布在固定的|H|2系综平均值下具有最大的熵，换句话说它描述的是在一定约束下具有最大随机性的体系；但是最深刻的回答却是：我们其实并不需要特意选择Gauss 型分布！随机矩阵理论的一个非常引人注目的特点便是：在矩阵阶数N→∞ 的极限下它的本征值分布具有普适性(即不依赖于哈密顿量的特定分布)。
正是这种普适性使得随机矩阵理论在从复杂量子体系的能级分布到无序介质中的波动现象，从神经网络系统到量子混沌，从N c→∞ 的QCD 到二维量子引力的极为广阔的领域中都得到了应用。
但是把随机矩阵理论的所有这些不同尺度、不同维度的应用加在一起，也比不上它与Riemann ζ 函数非平凡零点分布之间的关联来得神奇。
Montgomery 曾经为不知道自己的结果预示着什么而苦恼，现在他知道了那样的结果也出现在由随机矩阵理论所描述的一系列物理现象中。
但这与其说是解惑，不如说是一种更大的困惑。
象Riemann ζ 函数非平凡零点分布这样最纯粹的数学性质，怎么会与象复杂量子体系、无序介质那样最现实的物理现象扯上关系的呢？这种神奇的关联本身又预示着什么呢？。
