专题17 推理与证明-决胜一轮高考数学(理)专题卷 Word版含解析

【高中数学】数学高考《推理与证明》复习资料一、选择题1．幻方最早起源于我国，由正整数1，2，3，……，2n 这2n 个数填入n n ⨯方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形数阵就叫n 阶幻方．定义()f n 为n 阶幻方对角线上所有数的和，如(3)15f =，则(10)f =（ ）A ．55B ．500C ．505D ．5050【答案】C 【解析】 【分析】因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，可得2123()n f n n+++⋅⋅⋅+=，即得解. 【详解】因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，所以n 阶幻方对角线上数的和()f n 就等于每行（或每列）的数的和，又n 阶幻方有n 行（或n 列），因此，2123()n f n n+++⋅⋅⋅+=，于是12399100(10)50510f +++⋅⋅⋅++==．故选：C 【点睛】本题考查了数阵问题，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.2．二维空间中圆的一维测度(周长)2lr π=，二维测度(面积)2S r π=；三维空间中球的二维测度(表面积)24S r π=，三维测度(体积)343V r π=.若四维空间中“超球”的三维测度38V r π=，猜想其四维测度W =（ ）A ．42r πB ．43r πC ．44r πD ．46r π【答案】A 【解析】分析：由题意结合所给的性质进行类比推理即可确定四维测度W .详解：结合所给的测度定义可得：在同维空间中，1n +维测度关于r 求导可得n 维测度，结合“超球”的三维测度38V r π=，可得其四维测度42W r π=. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查类比推理，导数的简单应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．已知数列{}n a 满足132n n a -=⨯，*n N ∈，现将该数列按下图规律排成蛇形数阵（第i行有i 个数，*i N ∈），从左至右第i 行第j 个数记为(),i j a （*,i j N ∈且j i ≤），则()21,20a =（ ）A ．20932⨯B ．21032⨯C ．21132⨯D ．21232⨯【答案】C 【解析】 【分析】由题可观察得到第i 行有i 个数,当i 为奇数时,该行由右至左i 逐渐增大,()21,20a 表示第21行第20个数,即为第21行倒数第2个数,则先求得前20行的数的个数,再加2即为()21,20a 对应的数列的项,即可求解. 【详解】由题可知,第i 行有i 个数,当i 为奇数时,该行由右至左i 逐渐增大,()21,20a 表示第21行第20个数,即为第21行倒数第2个数,则前20行共有()1+2020=2102⨯个数,即第21行倒数第1个数为211a,所以()21121221,2032a a ==⨯,故选:C 【点睛】本题考查合情推理,考查归纳总结能力,考查等差数列求和公式的应用.4．观察2'()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -= A ．()f x B ．()f x -C ．()g xD ．()g x -【答案】D 【解析】由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为()f x 是偶函数，则()()g x f x '=是奇函数，所以()()g x g x -=-，应选答案D ．5．甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是（ ）A ．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民B ．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人C ．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民D ．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人 【答案】C 【解析】“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大”，可知甲是知识分子，故乙是工人，故选C.6．某游泳馆内的一个游泳池设有四个出水量不同的出水口a ，b ，c ，d ，当游泳池内装满水时，同时打开其中两个出水口，放完水所需时间如下表：则a ，b ，c ，d 四个出水口放水速度最快的是（ ） A ．d B ．bC ．cD ．a【答案】A 【解析】 【分析】利用所给数据，计算出每个出水口分别的放水时间，比较大小即可. 【详解】由题易解得a ，b ，c ，d 放水时间分别为70，100，90，50，所以d 出水速度最快. 故选：A. 【点睛】本题考查了方程的思想，属于基础题.7．甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完阄后，甲说：“我没抓到.”乙说：“丙抓到了.”丙说：“丁抓到了”丁说：“我没抓到."已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定值班的人是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】A【解析】【分析】可采用假设法进行讨论推理，即可得到结论.【详解】由题意，假设甲：我没有抓到是真的，乙：丙抓到了，则丙：丁抓到了是假的，丁：我没有抓到就是真的，与他们四人中只有一个人抓到是矛盾的；假设甲：我没有抓到是假的，那么丁：我没有抓到就是真的，乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立，所以可以断定值班人是甲.故选：A.【点睛】本题主要考查了合情推理及其应用，其中解答中合理采用假设法进行讨论推理是解答的关键，着重考查了推理与分析判断能力，属于基础题.8．2019年10月1日，为了庆祝中华人民共和国成立70周年，小明、小红、小金三人以国庆为主题各自独立完成一幅十字绣赠送给当地的村委会，这三幅十字绣分别命名为“鸿福齐天”、“国富民强”、“兴国之路”，为了弄清“国富民强”这一作品是谁制作的，村支书对三人进行了问话，得到回复如下：小明说：“鸿福齐天”是我制作的；小红说：“国富民强”不是小明制作的，就是我制作的；小金说：“兴国之路”不是我制作的，若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“鸿福齐天”的制作者是（）A．小明B．小红C．小金D．小金或小明【答案】B【解析】【分析】将三个人制作的所有情况列举出来，再一一论证.【详解】依题意，三个人制作的所有情况如下所示：若小明的说法正确，则均不满足；若小红的说法正确，则4满足；若小金的说法正确，则3满足.故“鸿福齐天”的制作者是小红，故选：B.【点睛】本题考查推理与证明，还考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于基础题.9．关于甲、乙、丙三人参加高考的结果有下列三个正确的判断：①若甲未被录取，则乙、丙都被录取；②乙与丙中必有一个未被录取；③或者甲未被录取，或者乙被录取.则三人中被录取的是（）A．甲B．丙C．甲与丙D．甲与乙【答案】D【解析】【分析】分别就三人各自被录取进行分类讨论，分析①②③能否同时成立，进而可得出结论.【详解】若甲被录取，对于命题①，其逆否命题成立，即若乙、丙未全被录取，则甲被录取，命题②成立，则乙、丙有且只有一人录取，命题③成立，则乙被录取，三个命题能同时成立；若乙被录取，命题②成立，则丙未被录取，命题③成立，命题①成立，其逆否命题成立，即若乙、丙未全被录取，则甲被录取，三个命题能同时成立；若丙被录取，命题②成立，则乙未被录取，命题③成立，则甲未被录取，那么命题①就不能成立，三个命题不能同时成立.综上所述，甲与乙被录取.故选：D.【点睛】本题考查合情推理，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.10．曾玉、刘云、李梦、张熙四人被北京大学、清华大学、武汉大学和复旦大学录取，他们分别被哪个学校录取，同学们做了如下的猜想甲同学猜：曾玉被武汉大学录取，李梦被复旦大学录取同学乙猜：刘云被清华大学录取，张熙被北京大学录取同学丙猜：曾玉被复旦大学录取，李梦被清华大学录取同学丁猜：刘云被清华大学录取，张熙被武汉大学录取结果，恰好有三位同学的猜想各对了一半，还有一位同学的猜想都不对那么曾玉、刘云、李梦、张熙四人被录取的大小可能是（）A．北京大学、清华大学、复旦大学、武汉大学B．武汉大学、清华大学、复旦大学、北京大学C．清华大学、北京大学、武汉大学、复旦大学D．武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学【答案】D【解析】【分析】推理得到甲对了前一半，乙对了后一半，丙对了后一半，丁全错，得到答案.【详解】根据题意：甲对了前一半，乙对了后一半，丙对了后一半，丁全错，曾玉、刘云、李梦、张熙被录取的大学为武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学（另外武汉大学、清华大学、北京大学、复旦大学也满足）.故选：D.【点睛】本题考查了逻辑推理，意在考查学生的推理能力.11．某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A层班级，生物在B层班级.该校周一上午选科走班的课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有（）A．8种B．10种C．12种D．14种【答案】B【解析】【分析】根据表格,利用分类讨论思想进行逻辑推理一一列举即可.【详解】张毅同学不同的选课方法如下:()1物理A层1班，生物B层3班,政治3班;()2物理A层1班,生物B层3班,政治2班;()3物理A层1班,生物B层2班,政治3班;()4物理A层3班,生物B层2班,政治3班;()5物理A层3班,生物B层2班,政治1班;()6物理A层2班,生物B层3班,政治1班;()7物理A层2班,生物B层3班,政治3班;()8物理A层4班,生物B层3班,政治2班;()9物理A层4班,生物B层3班,政治1班;()10物理A层4班,生物B层2班,政治1班;共10种.故选:B【点睛】本题以实际生活为背景,考查学生的逻辑推理能力和分类讨论的思想;属于中档题.12．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”。

第七章 推理与证明第1课时 合情推理与演绎推理(对应学生用书(文)、(理)93～94页)考点新知能用归纳和类比等方法进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理；了解合情推理和演绎推理的联系和区别．① 了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用.②了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.③了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．1. 已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，类比这些等式，若6＋a b ＝6ab(a 、b 均为正数)，则a ＋b ＝________． 答案：41解析：观察下列等式2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，第n 个应该是n ＋1＋n ＋1（n ＋1）2－1＝(n ＋1)n ＋1（n ＋1）2－1，则第5个等式中：a ＝6，b ＝a 2－1＝35，a ＋b ＝41.2. 在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体PABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝________.答案：127解析：正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故V 1V 2＝127.3. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若存在正整数m 、n(m<n)，使得S m ＝S n ，则S m ＋n ＝0.类比上述结论，设正项等比数列{b n }的前n 项积为T n .若存在正整数m 、n(m<n)，使T m ＝T n ，则T m ＋n ＝________.答案：1解析：因为T m ＝T n ，所以b m ＋1b m ＋2…b n ＝1，从而b m ＋1b n ＝1，T m ＋n ＝b 1b 2…b m b m ＋1…b n b n ＋1…b n ＋m －1b n ＋m ＝(b 1b n ＋m )·(b 2b n ＋m －1)…(b m b n ＋1)·(b m ＋1b n )＝1.4. (选修12P 29练习题3(2)改编)观察下列等式：21＋2＝4；21×2＝4；32＋3＝92；32×3＝92；43＋4＝163；43×4＝163；…，根据这些等式反映的结果，可以得出一个关于自然数n 的等式，这个等式可以表示为______________________．答案：n ＋1n ＋(n ＋1)＝n ＋1n×(n ＋1)(n∈N *)解析：由归纳推理得n ＋1n ＋(n ＋1)＝n ＋1＋（n 2＋n ）n ＝（n ＋1）2n ，n ＋1n ×(n ＋1)＝（n ＋1）2n ，所以得出结论n ＋1n ＋(n ＋1)＝n ＋1n×(n ＋1)(n∈N *)． 5. 设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2S a ＋b ＋c .类比这个结论可知：四面体PABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，四面体PABC 的体积为V ，则r ＝________．答案：3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4解析：由类比推理可知r ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.1. 归纳推理 (1) 归纳推理的定义从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理． (2) 归纳推理的思维过程大致如图实验、观察―→概括、推广―→猜测一般性结论 (3) 归纳推理的特点①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的X围．②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，它不能作为数学证明的工具．③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．2. 类比推理(1) 根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理．(2) 类比推理的思维过程观察、比较―→联想、类推―→猜测新的结论3. 演绎推理(1) 演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程．(2) 主要形式是三段论式推理．(3) 三段论的常用格式为M — P(M是P)①S－M(S是M)②S — P(S是P)③其中，①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般原理，对特殊情况作出的判断．[备课札记]题型1归纳推理例1 在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足.(1) 求a 1，a 2，a 3；(2) 由(1)猜想数列{a n }的通项公式； (3) 求S n .解：(1) 当n ＝1时，S 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1，即a 21－1＝0，解得a 1＝±1.∵ a 1>0，∴ a 1＝1；当n ＝2时，S 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2，即a 22＋2a 2－1＝0.∵ a 2>0, ∴ a 2＝2－1.同理可得，a 3＝3－ 2. (2) 由(1)猜想a n ＝n －n －1.(3) S n ＝1＋(2－1)＋(3－2)＋…＋(n －n －1)＝n. 变式训练已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n(n∈N *)，则a 3＝________，a 1·a 2·a 3·…·a 2 007＝________．答案：－123解析：(解法1)分别求出a 2＝－3，a 3＝－12，a 4＝13，a 5＝2，可以发现a 5＝a 1，且a 1·a 2·a 3·a 4＝1，故a 1·a 2·a 3·…·a 2 007＝a 2 005·a 2 006·a 2 007＝a 1·a 2·a 3＝3.(解法2)由a n ＋1＝1＋a n1－a n，联想到两角和的正切公式，设a 1＝2＝tan θ，则有a 2＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ，a 3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ，a 4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋θ，a 5＝tan(π＋θ)＝a 1，….则a 1·a 2·a 3·a 4＝1，故a 1·a 2·a 3·…·a 2 007＝a 2 005·a 2 006·a 2 007＝a 1·a 2·a 3＝3.题型2类比推理2 现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a24.类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．答案：a 38解析：在已知的平面图形中，中心O 到两边的距离相等(如图1)，即OM ＝ON.四边形OPAR 是圆内接四边形，Rt △OPN ≌Rt △ORM ，因此S 四边形OPAR ＝S 正方形OMAN ＝14a 2.同样地，类比到空间，如图2.两个棱长均为a 的正方体重叠部分的体积为18a 3.备选变式（教师专享）在Rt △ABC 中，两直角边的长分别为a ，b ，直角顶点C 到斜边的距离为h ，则易证1h 2＝1a 2＋1b2.在四面体SABC 中，侧棱SA ，SB ，SC 两两垂直，SA ＝a ，SB ＝b ，SC ＝c ，点S 到平面ABC 的距离为h ，类比上述结论，写出h 与a ，b ，c 之间的等式关系并证明．解：类比得到：1h 2＝1a 2＋1b 2＋1c2.证明：过S 作△ABC 所在平面的垂线，垂足为O ，连结CO 并延长交AB 于D ，连结SD ，∵ SO ⊥平面ABC ，∴ SO ⊥AB.∵ SC ⊥SA ，SC ⊥SB ，∴ SC ⊥平面ABS ，∴ SC ⊥AB ，SC ⊥SD ，∴ AB ⊥平面SCD ，∴ AB ⊥SD.在Rt △ABS 中，有1SD 2＝1a 2＋1b 2，在Rt △CDS 中，有1h 2＝1SD 2＋1c 2＝1a 2＋1b 2＋1c2. 题型3演绎推理, 3) 设同时满足条件：①b n ＋b n ＋22≤b n ＋1(n∈N *)；②b n ≤M (n∈N *，M 是与n 无关的常数)的无穷数列{b n }叫“特界” 数列．(1) 若数列{a n }为等差数列，S n 是其前n 项和，a 3＝4，S 3＝18，求S n ； (2) 判断(1)中的数列{S n }是否为“特界” 数列，并说明理由．解：(1) 设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1＋2d ＝4，3a 1＋3d ＝18，解得a 1＝8，d ＝－2，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－n 2＋9n.(2) 由S n ＋S n ＋22－S n ＋1＝（S n ＋2－S n ＋1）－（S n ＋1－S n ）2＝a n ＋2－a n ＋12＝d 2＝－1<0，得S n ＋S n ＋22<S n ＋1，故数列{S n }适合条件①，而S n ＝－n 2＋9n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －922＋814(n∈N *)，则当n ＝4或5时，S n 有最大值20.即S n ≤20，故数列{S n }适合条件②.综上，数列{S n }是“特界”数列． 备选变式（教师专享）设数列{}a n 满足a 1＝0且11－a n ＋ 1 －11－a n ＝ 1.(1) 求{}a n 的通项公式；(2) 设b n ＝1－a n ＋1n，记S n ＝k ＝1n b k ，证明：S n <1.(1)解： 由题设11－a n ＋1－11－a n＝1，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫11－a n 是公差为1的等差数列． 又11－a 1＝1，故11－a n ＝n.所以a n ＝1－1n. (2) 证明： 由(1)得b n ＝1－a n ＋1n ＝n ＋1－n n ＋1·n ＝1n －1n ＋1，1. 对一个边长为1的正方形进行如下操作：第一步，将它分割成3×3方格，接着用中心和四个角的5个小正方形，构成如图①所示的几何图形，其面积S 1＝59；第二步，将图①的5个小正方形中的每个小正方形都进行与第一步相同的操作，得到图②；依此类推，到第n 步，所得图形的面积S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫59n.若将以上操作类比推广到棱长为1的正方体中，则到第n 步，所得几何体的体积V n ＝________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13n解析：将棱长为1的正方体分割成3×3×3＝27个全等的小正方体，拿去分别与中间小正方体的六个面重合的6个小正方体和分别与中间小正方体有1条棱重合的12个小正方体，则余下的9个小正方体体积V 1＝13，第二步，将余下的9个小正方体作同样的操作，则余下的9×9个小正方体的体积V 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132，所以到第n 步，所得几何体的体积V n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n. 2. 对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式： 22＝1＋3，32＝1＋3＋5，42＝1＋3＋5＋7，…； 23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，….根据上述分解规律，若m 2＝1＋3＋5＋…＋11，p 3的分解中最小的正整数是21，则m ＋p ＝________．答案：11解析：由归纳推理可知，m ＝6，p ＝5，∴ m ＋p ＝11.3. (2014·某某期末)已知在等差数列{a n }中，若m ＋2n ＋p ＝s ＋2t ＋r ，m 、n 、p 、s 、t 、r∈N *，则a m ＋2a n ＋a p ＝a s ＋2a t ＋a r .仿此类比，可得到等比数列{b n }中的一个正确命题：若m ＋2n ＋p ＝s ＋2t ＋r ，m 、n 、p 、s 、t 、r∈N *，则________．答案：b m (b n )2b p ＝b s (b t )2b r解析：由类比推理将加法换成乘法，乘法换成乘方即得结论．4. 已知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，把数列{a n }的各项排成如下的三角形：a 1 a 2a 3a 4 a 5a 6a 7a 8a 9 ……记A(s ，t)表示第s 行的第t 个数，则A(11，12)＝________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13112解析：该三角形数阵每行所对应元素的个数为1，3，5…，那么第10行的最后一个数为a 100，第11行的第12个数为a 112，即A(11，12)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13112.5. 观察下列等式：(1＋1)＝2×1，(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5，…照此规律， 第n 个等式可为________．答案：(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n －1)解析：观察规律可知，左边为n 项的积，最小项和最大项依次为(n ＋1)，(n ＋n)，右边为连续奇数之积乘以2n，则第n 个等式为(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n －1)．1. 如图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，有11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则运用归纳推理得到第11行第2个数(从左往右数)为________． 11212 131613 1411211214 1512013012015… 答案：1110解析：由“莱布尼茨调和三角形”中数的排列规律，我们可以推断：第10行的第一个数为110，第11行的第一个数为111，则第11行的第二个数为110－111＝1110.2. 若等差数列{a n }的公差为d ，前n 项的和为S n ，则数列S n n 为等差数列，公差为d2.类似地，若各项均为正数的等比数列{b n }的公比为q ，前n 项的积为T n ，则数列{nT n }为等比数列，公比为________．答案：q解析：T n ＝b n 1q n （n －1）2，n T n ＝b 1(q)n －1.3. 已知结论：在正三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则AGGD ＝2.若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体ABCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等，则AOOM＝________．答案：3解析：由题意知，O 为正四面体的外接球，内切球球心，设正四面体的高为h ，由等体积法可求得内切球半径为14h ，外接球半径为34h ，所以AOOM＝3.4. 若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)外，过P 0作椭圆的两条切线的切点分别为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a2＋y 0yb 2＝1.那么对于双曲线则有如下命题：若P 0(x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)外，过P 0作双曲线的两条切线的切点分别为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2所在的直线方程是____________．答案：x 0x a 2－y 0y b2＝1解析：设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 0(x 0，y 0)，则过P 1、P 2的切线方程分别是x 1x a2－y 1yb 2＝1，x 2x a 2－y 2y b 2＝1.因为P 0(x 0，y 0)在这两条切线上，故有x 1x 0a2－y 1y 0b 2＝1，x 2x 0a 2－y 2y 0b2＝1. 这说明P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线x 0x a2－y 0y b 2＝1上，故切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0xa 2－y 0yb2＝1.1. 合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新的结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路和方法．2. 合情推理的过程概括为：从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想．3. 演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论，数学问题的证明主要通过演绎推理来进行．4. 合情推理仅是符合情理的推理，他得到的结论不一定真，而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．请使用课时训练(A)第1课时(见活页)．[备课札记]第2课时直接证明与间接证明(对应学生用书(文)、(理)95～96页)了解分析法、综合法、反证法，会用这些方法处理一些简单命题．① 了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.②了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点．1. 已知向量m ＝(1，1)与向量n ＝(x ，2－2x)垂直，则x ＝________． 答案：2解析：m ·n ＝x ＋(2－2x)＝2－x.∵ m ⊥n ，∴m ·n ＝0，即x ＝2.2. 用反证法证明命题“如果a>b ，那么3a>3b ”时，假设的内容应为______________． 答案：3a ＝3b 或3a<3b解析：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，即3a ＝3b 或3a<3b. 3. 6－22与5－7的大小关系是______________． 答案：6－22>5－7解析： 由分析法可得，要证6－22>5－7，只需证6＋7>5＋22，即证13＋242>13＋410，即42>210.因为42>40，所以6－22>5－7成立．4. 定义集合运算：A·B＝{Z|Z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B}，设集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{sin α，cos α}，则集合A·B 的所有元素之和为________．答案：0解析：依题意知α≠kπ＋π4，k ∈Z .①α＝kπ＋3π4(k∈Z )时，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫22，－22，A ·B＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫0，22，－22；②α＝2kπ或α＝2kπ＋π2(k∈Z )时，B ＝{0，1}，A ·B ＝{0，1，－1}；③α＝2kπ＋π或α＝2kπ－π2(k∈Z )时，B ＝{0，－1}，A ·B ＝{0，1，－1}；④α≠kπ2且α≠kπ＋3π4(k∈Z )时，B ＝{sinα，cos α}，A ·B ＝{0，sin α，cos α，－sinα，－cosα}．综上可知A·B 中的所有元素之和为0.5. 设a 、b 为两个正数，且a ＋b ＝1，则使得1a ＋1b≥μ恒成立的μ的取值X 围是________．答案：(－∞，4]解析：∵ a＋b ＝1，且a 、b 为两个正数，∴1a ＋1b ＝(a ＋b)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b＝4.要使得1a ＋1b≥μ恒成立，只要μ≤4.1. 直接证明(1) 定义：直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法． (2) 一般形式⎭⎪⎬⎪⎫本题条件已知定义已知公理已知定理A B C …本题结论．(3) 综合法①定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法称为综合法．②推证过程已知条件……结论(4) 分析法①定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止．这种证明方法称为分析法．②推证过程结论……已知条件 2. 间接证明(1) 常用的间接证明方法有反证法、正难则反等． (2) 反证法的基本步骤①反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真．②归谬——从反设和已知出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果．③存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立.题型1直接证明(综合法和分析法), 1) 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ＝1，2，3，…)，证明：(1) 数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2) S n ＋1＝4a n .证明：(1) ∵ a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n (n ＝1，2，3，…)，∴(n ＋2)S n ＝n(S n ＋1－S n )，整理得nS n ＋1＝2(n ＋1)S n ，∴S n ＋1n ＋1＝2·S nn ，即S n ＋1n ＋1S n n＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列．(2) 由(1)知：S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n≥2)，于是S n ＋1＝4·(n ＋1)·S n －1n －1＝4a n (n≥2)．又a 2＝3S 1＝3，∴ S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4a 1，∴对一切n∈N *，都有S n ＋1＝4a n ., 2) 设a 、b 、c 均为大于1的正数，且ab ＝10，求证：log a c ＋log b c ≥4lgc.证明：(分析法)由于a>1，b>1，c>1，故要证明log a c ＋log b c ≥4lgc ，只要证明lgc lga ＋lgclgb ≥4lgc ，即lga ＋lgb lga ·lgb ≥4，因为ab ＝10，故lga ＋lgb ＝1.只要证明1lgalgb ≥4，由于a>1，b>1，故lga>0，lgb>0，所以0<lgalgb ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫lga ＋lgb 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，即1lgalgb ≥4成立．所以原不等式成立．变式训练设首项为a 1的正项数列{a n }的前n 项和为S n ，q 为非零常数，已知对任意正整数n 、m ，S n ＋m ＝S m ＋q mS n 总成立．求证：数列{a n }是等比数列．证明：因为对任意正整数n 、m ，S n ＋m ＝S m ＋q mS n 总成立，令n ＝m ＝1，得S 2＝S 1＋qS 1，则a 2＝qa 1.令m ＝1，得S n ＋1＝S 1＋qS n ①，从而S n ＋2＝S 1＋qS n ＋1 ②，②－①得a n ＋2＝qa n ＋1(n≥1)．综上得a n ＋1＝qa n (n≥1)，所以数列{a n }是等比数列．题型2间接证明(反证法), 3) 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1) 求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2) 设b n ＝S n n(n∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解：(1) 由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴ d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n(n ＋2)．(2) 证明：由(1)得b n ＝S n n ＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r ∈N *，且互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r .即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)．∴ (q 2－pr)＋2(2q －p －r)＝0.∵ p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r)2＝0.∴ p＝r ，与p≠r 矛盾． ∴数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列． 备选变式（教师专享）求证：y ＝ax 2＋2bx ＋c ，y ＝bx 2＋2cx ＋a ，y ＝cx 2＋2ax ＋b(a ，b ，c 是互不相等的实数)，三条抛物线至少有一条与x 轴有两个交点．证明：假设这三条抛物线全部与x 轴只有一个交点或没有交点，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝4b 2－4ac≤0，Δ2＝4c 2－4ab≤0，Δ3＝4a 2－4bc≤0，三式相加，得a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc≤0.则(a －b)2＋(b －c)2＋(c －a)2≤0.∴ a ＝b ＝c 与已知a ，b ，c 是互不相等的实数矛盾，∴ 这三条抛物线至少有一条与x 轴有两个交点．1. (2014·某某)用反证法证明命题“设a 、b 为实数，则方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是________．答案：方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根解析：“方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”等价于“方程x 2＋ax ＋b ＝0有一个实根或两个实根”，所以该命题的否定是“方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根”．2. 已知a 、b 、c∈(0，＋∞)且a ＜c ，b ＜c ，1a ＋9b ＝1，若以a 、b 、c 为三边构造三角形，则c 的取值X 围是________．答案：(10，16)解析：要以a 、b 、c 为三边构造三角形，需要满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，而a<c ，b<c ，所以a ＋b>c 恒成立．而a ＋b ＝(a ＋b)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b ＝10＋b a ＋9a b ≥16，∴ c<16.又1a >1c ，1b >1c ，∴10c <1a ＋9b＝1，∴ c>10，∴ 10<c<16.3. (2014·)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同，数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有________人.答案：3解析：假设A ，B 两位学生的数学成绩一样，由题意知他们语文成绩不一样，这样他们的语文成绩总有人比另一个人高，语文成绩较高的学生比另一个学生“成绩好”，与已知条件“他们之中没有一个比另一个成绩好”相矛盾．因此，没有任意两位学生数学成绩是相同的．因为数学成绩只有3种，因而学生数量最大为3，即 3位学生的成绩分别为(优秀，不合格)，(合格，合格)，(不合格，优秀)时满足条件．4. 设函数f(x)＝2x ＋ax ＋1(a≠2)．(1) 用反证法证明：函数f(x)不可能为偶函数；(2) 求证：函数f(x)在(－∞，－1)上单调递减的充要条件是a>2.证明：(1) 假设函数f(x)是偶函数，则f(－2)＝f(2)，即－4＋a －1＝4＋a3，解得a ＝2，这与a≠2矛盾，所以函数f(x)不可能是偶函数．(2) 因为f(x)＝2x ＋a x ＋1，所以f′(x)＝2－a（x ＋1）2.①充分性：当a>2时，f ′(x)＝2－a（x ＋1）2<0，所以函数f(x)在(－∞，－1)上单调递减； ②必要性：当函数f(x)在(－∞，－1)上单调递减时，有f ′(x)＝2－a（x ＋1）2≤0，即a≥2，又a≠2，所以a>2.综合①②知，原命题成立．1. 已知点A n (n ，a n )为函数y ＝x 2＋1图象上的点，B n (n ，b n )为函数y ＝x 图象上的点，其中n∈N *，设＝a n －b n ，则与＋1的大小关系为________．答案：＋1＜解析：由条件得＝a n －b n ＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n，∴ 随n 的增大而减小．∴ ＋1＜.2. 一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”，封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周率”，下面四个平面区域(阴影部分)的周率从左到右依次记为τ1，τ2，τ3，τ4，则τ1，τ2，τ3，τ4的大小关系为________．答案：τ4＞τ2＞τ3＞τ1解析：在图(1)中，设图形所在的矩形长为a ，宽为b ，则其周率为2（a ＋b ）a 2＋b 2，由不等式的性质可知2（a ＋b ）a 2＋b 2≤22；在图(2)中设大圆的半径为R ，则易知外边界长为πR ，而内边界恰好为一个半径为R2的小圆的周长πR ，故整个边界长为2πR ，而封闭曲线的直径最大值为2R ，故周率为π；图(3)中周长为直径的三倍，故周率为3；图(4)中设各边长为a ，则整个边界的周长为12a ，直径为23a ，故周率为23，故四个周率大小τ4＞τ2＞τ3＞τ1.3. 定义：若存在常数k ，使得对定义域D 内的任意两个x 1，x 2(x 1≠x 2)，均有|f(x 1)－f(x 2)|≤k|x 1－x 2| 成立，则称函数f(x)在定义域D 上满足利普希茨条件．若函数f(x)＝x (x≥1)满足利普希茨条件，则常数k 的最小值为________．答案：12解析：若函数f(x)＝x (x≥1)满足利普希茨条件，则存在常数k ，使得对定义域[1，＋∞)内的任意两个x 1，x 2(x 1≠x 2)，均有|f(x 1)－f(x 2)|≤k|x 1－x 2| 成立，设x 1>x 2，则k≥x 1－x 2x 1－x 2＝1x 1＋x 2.而0<1x 1＋x 2<12，所以k 的最小值为12.4. 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ① sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°； ② sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°； ③ sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°；④ sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°； ⑤ sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°. (1) 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2) 根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解： (1) 选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝1－14＝34.(2) (解法1)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α(cos30°·cos α＋sin30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. (解法2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos2α2＋1＋cos （60°－2α）2－sin α(cos30°·cos α＋sin30°sin α)＝12－12cos2α＋12＋12(cos60°cos2α＋sin60°·sin2α)－32sin αcos α－12sin 2α＝12－12cos2α＋12＋14cos2α＋34sin2α－34sin2α－14(1－cos2α)＝1－14cos2α－14＋14cos2α＝34. 5. 如图，已知半径为r 的圆M 的内接四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相互垂直且交点为P.(1) 若四边形ABCD 中的一条对角线AC 的长度为d(0<d<2r)，求四边形ABCD 面积的最大值；(2) 当点P 运动到什么位置时，四边形ABCD 的面积取得最大值，最大值为多少？解：(1) 因为对角线互相垂直的四边形ABCD 面积S ＝|AC|·|BD|2，而|AC|＝d 为定长，则当|BD|最大时，S 取得最大值．由圆的性质，垂直于AC 的弦中，直径最长，故当且仅当BD 过圆心M 时，四边形ABCD 面积S 取得最大值，最大值为dr.(2) 设圆心M 到弦AC 的距离为d 1，到弦BD 的距离为d 2，MP ＝d.则|AC|＝2r 2－d 21，|BD|＝2r 2－d 22，且d 2＝d 21＋d 22.可得S ABCD ＝2r 2－d 21·r 2－d 22＝2r 4－（d 21＋d 22）r 2＋d 21d 22.又d 21d 22≤⎝ ⎛⎭⎪⎫d 21＋d 2222，当且仅当d 1＝d 2时等号成立． ∴ S ABCD ≤2r 4－d 2r 2＋d 44＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪r 2－d 22，当且仅当d 1＝d 2时等号成立．∵点P 在圆内运动，∴当点P 和圆心M 重合时d ＝0，此时d 1＝d 2，四边形的面积最大，且最大值S max ＝2r 2.1. 分析法的特点是从未知看已知，逐步靠拢已知，综合法的特点是从已知看未知，逐步推出未知．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较烦；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考，实际证明时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．2. 反证法是从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，说明结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法．适宜用反证法证明的数学命题：①结论本身是以否定形式出现的一类命题；②关于唯一性、存在性的命题；③结论以“至多”“至少”等形式出现的命题；④结论的反面比原结论更具体更容易研究的命题．请使用课时训练(B )第2课时(见活页)．[备课札记]第3课时 数学归纳法(对应学生用书(理)97～98页)理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．1. 用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n∈N *，n>1)时，第一步应验证________．答案：1＋12＋13<2解析：∵ n∈N *，n>1，∴ n 取的第一个数为2，左端分母最大的项为122－1＝13.2. (选修22P 88练习题3改编)用数学归纳法证明不等式“2n>n 2＋1对于n≥n 0的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取为________．答案：5解析：当n≤4时，2n≤n 2＋1；当n ＝5时，25＝32>52＋1＝26，所以n 0应取为5. 3. 设f(n)＝1＋12＋13＋14＋…＋13n －1(n∈N *)，则f(k ＋1)－f(k)＝________.答案：13k ＋13k ＋1＋13k ＋2解析：f(k ＋1)－f(k)＝1＋12＋13＋14＋…＋13（k ＋1）－1－(1＋12＋13＋14＋…＋13k －1)＝13k ＋13k ＋1＋13k ＋2. 4. 利用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1314时，由k 递推到k ＋1时左边应添加的因式是________．答案：12k ＋1－12（k ＋1）解析：f(k ＋1)－f(k)＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2－(1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k )＝12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝12k ＋1－12（k ＋1）. 5. 已知a 1＝12，a n ＋1＝3a n a n ＋3，则a 2，a 3，a 4，a 5的值分别为________________，由此猜想a n ＝________．答案：37、38、39、3103n ＋5解析：a 2＝3a 1a 1＋3＝3×1212＋3＝37＝32＋5，同理a 3＝3a 2a 2＋3＝38＝33＋5，a 4＝39＝34＋5，a 5＝310＝35＋5，猜想a n ＝3n ＋5.1. 由一系列有限的特殊现象得出一般性的结论的推理方法，通常叫做归纳法．2. 对某些与正整数有关的数学命题常采用下面的方法来证明它们的正确性：先证明当n 取第1个值n 0时，命题成立；然后假设当n ＝k(k∈N ，k≥n 0)时命题成立；证明当n ＝k ＋1时，命题也成立，这种证明方法叫做数学归纳法．3. 用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤为： (1) 归纳奠基：证明凡取第一个自然数n 0时命题成立；(2) 归纳递推：假设n ＝k(k∈N ，k ≥n 0)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时，命题成立； (3) 由(1)(2)得出结论．[备课札记]题型1证明等式1(2014·某某)设函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf ′(x)，x ≥0，其中f′(x)是f(x)的导函数．令g 1(x)＝g(x)，g n ＋1(x)＝g(g n (x))，n ∈N *，求证：g n (x)＝x 1＋nx.证明：(数学归纳法)① 当n ＝1时，g 1(x)＝x1＋x，结论成立．②假设n ＝k 时结论成立，即g k (x)＝x1＋kx .那么，当n ＝k ＋1时，g k ＋1(x)＝g(g k (x))＝g k （x ）1＋g k （x ）＝x 1＋kx 1＋x 1＋kx＝x1＋（k ＋1）x，即结论成立． 由①②可知，结论对所有n∈N *均成立． 变式训练用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n∈N )． 证明：① 当n ＝1时，等式左边＝1－12＝12＝右边，等式成立．②假设当n ＝k(k∈N )时，等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，那么，当n ＝k ＋1时，有1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2，上式表明当n ＝k ＋1时，等式也成立．由①②知，等式对任何n∈N 均成立．题型2证明不等式, 2) (2014·某某二模)各项均为正数的数列{x n }对一切n∈N *均满足x n＋1x n ＋1＜2.证明： (1) x n ＜x n ＋1； (2) 1－1n＜x n ＜1.证明：(1) ∵ x n ＞0，x n ＋1x n ＋1＜2，∴ 0＜1x n ＋1＜2－x n ，∴ x n ＋1＞12－x n，且2－x n ＞0.∵12－x n －x n ＝x 2n －2x n ＋12－x n ＝（x n －1）22－x n ≥0. ∴12－x n ≥x n ，∴ x n ≤12－x n＜x n ＋1，即x n ＜x n ＋1. (2) 下面用数学归纳法证明：x n ＞1－1n .①当n ＝1时，由题设x 1＞0可知结论成立； ②假设n ＝k 时，x k ＞1－1k ，当n ＝k ＋1时，由(1)得，x k ＋1＞12－x k ＞12－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ＝k k ＋1＝1－1k ＋1. 由①②可得，x n ＞1－1n .下面先证明x n ≤1.假设存在自然数k ，使得x k ＞1，则一定存在自然数m ，使得x k ＞1＋1m .因为x k ＋1x k ＋1＜2，x k ＋1＞12－x k＞12－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1m ＝m m －1，x k ＋2＞12－x k ＋1＞12－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1m －1＝m －1m －2，…，x k ＋m －1＞m －（m －2）m －（m －1）＝2，与题设x k ＋1x k ＋1＜2矛盾，所以x n ≤1.若x k ＝1，则x k＋1＞x k ＝1，根据上述证明可知存在矛盾．所以x n ＜1成立． 备选变式（教师专享）已知x 1，x 2，…，x n ∈R ＋，且x 1x 2…x n ＝1，求证： (2＋x 1)(2＋x 2)…(2＋x n )≥(2＋1)n.证明(数学归纳法)：(ⅰ) 当n ＝1时，2＋x 1＝2＋1，不等式成立．(ⅱ) 假设n ＝k 时不等式成立，即(2＋x 1)(2＋x 2)…(2＋x k )≥(2＋1)k成立． 则n ＝k ＋1时，若x k ＋1＝1，则命题成立；若x k ＋1>1，则x 1，x 2，…，x k 中必存在一个数小于1，不妨设这个数为x k ，从而(x k －1)(x k ＋1－1)<0，即x k ＋x k ＋1>1＋x k x k ＋1.x k ＋1<1同理可得，所以(2＋x 1)(2＋x 2)…(2＋x k )(2＋x k ＋1) ＝(2＋x 1)(2＋x 2)…[2＋2(x k ＋x k ＋1)＋x k x k ＋1] ≥(2＋x 1)(2＋x 2)…[2＋2(1＋x k x k ＋1)＋x k x k ＋1] ＝(2＋x 1)(2＋x 2)…(2＋x k x k ＋1)(2＋1) ≥(2＋1)n(2＋1)＝(2＋1)k ＋1.故n ＝k ＋1时，不等式也成立． 由(ⅰ)(ⅱ)知原不等式成立． 题型3数列问题3 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且方程x 2－a n x －a n ＝0有一根为S n －1，n ＝1，2，3，….(1) 求a 1，a 2；(2) 猜想数列{S n }的通项公式，并给出证明．解：(1) 当n ＝1时，x 2－a 1x －a 1＝0有一根为S 1－1＝a 1－1， 于是(a 1－1)2－a 1(a 1－1)－a 1＝0，解得a 1＝12；当n ＝2时，x 2－a 2x －a 2＝0有一根为S 2－1＝a 2－12，于是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－122－a 2⎝⎛⎭⎪⎫a 2－12－a 2＝0，解得a 2＝16. (2) 由题设(S n －1)2－a n (S n －1)－a n ＝0，即S 2n －2S n ＋1－a n S n ＝0. 当n≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入上式得S n －1S n －2S n ＋1＝0.① 由(1)得S 1＝a 1＝12，S 2＝a 1＋a 2＝12＋16＝23.由①可得S 3＝34.由此猜想S n ＝nn ＋1，n ＝1，2，3，….下面用数学归纳法证明这个结论． (ⅰ) n＝1时已知结论成立.(ⅱ) 假设n ＝k(k∈N *)时结论成立，即S k ＝k k ＋1，当n ＝k ＋1时，由①得S k ＋1＝12－S k，即S k ＋1＝k ＋1k ＋2，故n ＝k ＋1时结论也成立．综上，由(ⅰ)(ⅱ)可知S n ＝nn ＋1对所有正整数n 都成立． 备选变式（教师专享）(2014·某某期末)已知数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1·(1＋a n )＝1.(1) 试计算a 2，a 3，a 4，a 5的值；(2) 猜想|a n ＋1－a n |与115⎝ ⎛⎭⎪⎫25n －1(其中n∈N *)的大小关系，并证明你的猜想．解：(1) 由已知计算得a 2＝35，a 3＝58，a 4＝813，a 5＝1321.(2) 由(1)得|a 2－a 1|＝115，|a 3－a 2|＝140，|a 4－a 3|＝1104，|a 5－a 4|＝1273，而n 分别取1，2，3，4时，115⎝ ⎛⎭⎪⎫25n －1分别为115，275，4375，81 875，故猜想|a n ＋1－a n |≤115⎝ ⎛⎭⎪⎫25n －1.下面用数学归纳法证明以上猜想：①当n ＝1时，已证； ②当n ＝k≥1时，假设|a k ＋1－a k |≤115⎝ ⎛⎭⎪⎫25k －1，对n∈N *：由a 1＝23，a n ＋1＝11＋a n ，得a n >0，∴ 0<a n ＋1＝11＋a n<1，且0<a 1＝23<1，∴ 0<a n <1，∴12<a n ＋1＝11＋a n <1，且12<a 1＝23<1，∴12<a n <1.则当n ＝k ＋1时，∵(1＋a k ＋1)(1＋a k )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11＋a k (1＋a k )＝2＋a k >2＋12＝52， ∴ |a k ＋2－a k ＋1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪11＋a k ＋1－11＋a k ＝|a k ＋1－a k |（1＋a k ＋1）（1＋a k ）≤115⎝ ⎛⎭⎪⎫25k －1（1＋a k ＋1）（1＋a k ）≤115⎝ ⎛⎭⎪⎫25k －125＝115⎝ ⎛⎭⎪⎫25k.∴当n ＝k≥1时，结论成立．由①和②知，以上猜想成立． 题型4综合运用, 4) 若函数f(x)＝x 2－2x －3，定义数列{x n }如下：x 1＝2，x n ＋1是过点P(4，5)，Q n (x n ，f(x n ))的直线PQ n 与x 轴的交点的横坐标，试运用数学归纳法证明：2≤x n ＜x n ＋1<3.证明：① 当n ＝1时，x 1＝2，f(x 1)＝－3，Q 1(2，－3)．∴直线PQ 1的方程为y ＝4x －11，令y ＝0，得x 2＝114，因此，2≤x 1＜x 2＜3，即n ＝1时结论成立．②假设当n ＝k 时结论成立，即2≤x k ＜x k ＋1＜3.∴ 直线PQ k ＋1的方程为y －5＝f （x k ＋1）－5x k ＋1－4(x －4)．又f(x k ＋1)＝x 2k ＋1－2x k ＋1－3，代入上式，令y ＝0，得x k ＋2＝3＋4x k ＋12＋x k ＋1＝4－52＋x k ＋1.由归纳假设，2<x k ＋1<3，x k ＋2＝4－52＋x k ＋1<4－52＋3＝3；x k ＋2－x k ＋1＝（3－x k ＋1）（1＋x k ＋1）2＋x k ＋1>0，即x k ＋1<x k ＋2.∴ 2≤x k ＋1<x k ＋2<3，即当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②知对任意的正整数n ，2≤x n <x n ＋1<3. 备选变式（教师专享）(2014·某某期末)已知过一个凸多边形的不相邻的两个端点的连线段称为该凸多边形的对角线．(1) 分别求出凸四边形，凸五边形，凸六边形的对角线的条数； (2) 猜想凸n 边形的对角线条数f(n)，并用数学归纳法证明．解：(1) 凸四边形的对角线条数为2条；凸五边形的对角线条数为5条；凸六边形的对角线条数为9条．(2) 猜想f(n)＝n （n －3）2(n≥3，n ∈N *)．证明如下：当n ＝3时，f(3)＝0成立；设当n ＝k(k≥3)时猜想成立，即f(k)＝k （k －3）2，则当n ＝k ＋1时，考察k ＋1边形A 1A 2…A k A k ＋1，① k 边形A 1A 2…A k 中原来的对角线也都是k ＋1边形中的对角线，且边A 1A k 也成为k ＋1边形中的对角线；②在A k ＋1与A 1，A 2，…，A k 连结的k 条线段中，除A k ＋1A 1，A k ＋1A k 外，都是k ＋1边形中的对角线，共计有f(k ＋1)＝f(k)＋1＋(k －2)＝k （k －3）2＋1＋(k －2)＝k 2－3k ＋2k －22＝k 2－k －22＝（k ＋1）（k －2）2＝（k ＋1）（k ＋1－3）2，即猜想对n ＝k ＋1时也成立． 综上，得f(n)＝n （n －3）2对任何n≥3，n ∈N *都成立．1. 用数学归纳法证明“12＋22＋32＋…＋n 2＝16n(n ＋1)(2n ＋1)(n∈N *)”，当n ＝k ＋1时，应在n ＝k 时的等式左边添加的项是________．答案：(k ＋1)2解析：[12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2]－(12＋22＋…＋k 2)＝(k ＋1)2. 2. 用数学归纳法证明“2n ＋1≥n 2＋n ＋2(n∈N *)”时，第一步验证的表达式为________．答案：21＋1≥12＋1＋2(或22≥4或4≥4也算对)解析：当n ＝1时，21＋1≥12＋1＋2.3. 用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n＋y n能被x ＋y 整除”的第二步是____． 答案：假设n ＝2k －1(k∈N *)时正确，再推n ＝2k ＋1(k∈N *)正确解析：因为n 为正奇数，根据数学归纳法证题的步骤，第二步应先假设第k 个正奇数也成立，本题先假设n ＝2k －1(k∈N *)正确，再推第k ＋1个正奇数，即n ＝2k ＋1(k∈N *)正确．4. (2014·苏锡常镇二模)如图，圆周上有n 个固定点，分别为A 1，A 2，…，A n (n∈N *，n ≥2)，在每一个点上分别标上1，2，3中的某一个数字，但相邻的两个数字不相同，记所有的标法总数为a n .(1) 写出a 2，a 3，a 4的值；(2) 写出a n 的表达式，并用数学归纳法证明．解：(1) a 2＝6，a 3＝6，a 4＝18. (2) a n ＝2n＋2·(－1)n.(*)证明如下：① 当n ＝2时，a 2＝6，符合(*)式．②假设当n ＝k 时，(*)式成立，即a k ＝2k＋2·(－1)k成立，那么n ＝k ＋1时，因为A 1有3种标法，A 2有2种标法，…，A k 有2种标法，A k ＋1若仅与A k 不同，则有2种标法：一种与A 1数不同，符合要求，有a k ＋1种；一种与A 1数相同，不符合要求，但相当于k 个点的标法总数，有a k 种．则有3×2k＝a k ＋1＋a k .∴ a k ＋1＝－a k ＋3×2k＝－2k－2·(－1)k＋3×2k＝2k＋1＋2(－1)k ＋1.即n ＝k ＋1时，(*)式也成立．由①②知(*)式成立，即证．1. (2014·某某模拟)已知f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n (n∈N *)，用数学归纳法证明f(2n)>112时，则f(2k ＋1)－f(2k)等于________．答案：12k＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1 解析：∵ f(2k ＋1)＝1＋12＋13＋14＋…＋1k ＋1k ＋1＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1，f(2k)＝1＋12＋13＋14＋…＋1k ＋1k ＋1＋…＋12k ，∴ f(2k ＋1)－f(2k)＝12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1.2. 用数学归纳法证明不等式：1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2＞1(n∈N *且n ＞1)．证明：①当n ＝2时，左边＝12＋13＋14＝1312＞1，∴ n ＝2时不等式成立；②假设当n ＝k(k≥2)时不等式成立， 即1k ＋1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k 2＞1， 那么当n ＝k ＋1时， 左边＝1k ＋1＋…＋1k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋1＋…＋1（k ＋1）2＝1k ＋1k ＋1＋…＋1k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋1＋…＋1（k ＋1）2－1k＞1＋(2k ＋1)·1k 2＋1－1k ＝1＋k 2＋k －1k （k 2＋1）＞1. 综上，对于任意n∈N *，n>1不等式均成立，原命题得证． 3. 已知函数f(x)＝－x 3＋ax 在(－1，0)上是增函数． (1) 某某数a 的取值X 围A ；(2) 当a 为A 中最小值时，定义数列{a n }满足：a 1∈(－1，0)，且2a n ＋1＝f(a n )，用数。

2017 年高考数学理科真题汇编解析：第十四章推理与证明第十四章推理与证明第一节 合情推理与演绎推理1.（ 2017 全国 2 卷理科 7）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老 成 的成 ．老：你 四人中有2 位 秀， 2 位良好，我 在 甲看乙、丙的成 ， 乙看丙的成 ，丁看甲的成 ．看后甲 大家 ：我 是不知道我的成 ．根据以上信息， （ ）.A ．乙可以知道四人的成B ．丁可以知道四人的成C ．乙、丁可以知道 方的成D ．乙、丁可以知道自己的成1．解析 四人所知只有自己看到，老 所 及最后甲 的 ．甲不知道自己成→ 乙、丙中必有一 一良（若 两 ，甲会知道自己成 ；两良亦然） .乙看了丙成 ，知道自己的成→ 丁看甲，甲、丁中也 一 一良，丁知道自己的成 ．故D.2.（ 2017 全国 1 卷理科 12）几位大学生响 国家的 号召，开 了一款 用 件 . 激大家学 数学的 趣，他 推出了 “解数学 取 件激活”的活 . 款 件的激活下面数学 的答案：已知数列 1， 1， 2， 1， 2，4， 1， 2， 4， 8，1， 2， 4， 8， 16 ， ⋯ ，其中第一 是20 ，接下来的两 是20 ， 21 ，再接下来的三 是 20 ， 21 ， 22 ，依此 推 .求 足如下条件的最小整数 N ： N100 且 数列的前 N 和 2的整数 .那么 款 件的激活 是（ ） .A. 440B. 330C. 220D. 1102. 解析 首 第1 ，接下来两 第2 ，再接下来三 第3 ，以此 推．n 1 nn 1 n100第 n 的 数 n ， n的 数和2，由 意得，N100 ，令2，1 2nn1得 n ≥ 14 且 n N *13 之后，第 n 的和 122，即 N出 在第， n 共的和2 1 2n2n12 nNn 1n1 n，若要使前 N和 2 的整数 ， 2的和 2k12与2 n互相反数， 即2k12n kN *，n ≥ 14， k log2n 3 ，得 n 的最小 n 29 ，k 5 ，29129 N25 440则.故选 A.题型 149归纳推理——暂无题型150类比推理——暂无题型 151 演绎推理第二节证明。

高考数学I轮精品学案及其跟踪训练( 附详解)推理和证明推理和证明考纲导读（一）合情推理与演绎推理1、了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用。

2、了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。

3、了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。

（二）直接证明与间接证明1、了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。

2、了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。

（三）数学归纳法了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题、高考导航1、推理与证明的内容是高考的新增内容，主要以选择填空的形式出现。

2、推理与证明与数列、几何、等有关内容综合在一起的综合试题多。

第1课时合情推理与演绎推理基础过关1、推理一般包括合情推理和演绎推理；2、合情推理包括和；归纳推理：从个别事实中推演出，这样的推理通常称为归纳推理；归纳推理的思维过程是：、、、类比推理：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其它方面也或，这样的推理称为类比推理，类比推理的思维过程是：、、、3、演绎推理：演绎推理是，按照严格的逻辑法则得到的推理过程；三段论常用格式为：①M是P，② ，③S是P；其中①是，它提供了一个个一般性原理；②是，它指出了一个个特殊对象；③是，它根据一般原理，对特殊情况作出的判断、4、合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳和类比是合情推理常用的思维方法；在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有得于创新意识的培养。

演绎推理是根据已有的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到的新结论的推理过程、典型例题例1、已知：；通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：________________________________________=（ * ）并给出（ * ）式的证明、解：一般形式: 证明：左边 = = = = = （将一般形式写成等均正确。

高考数学大二轮复习刷题首选卷第一部分刷考点考点十七推理与证明理一、选择题1．(2019·河北衡水质检四)利用反证法证明：若x ＋y ＝0，则x ＝y ＝0，假设为( ) A ．x ，y 都不为0B ．x ，y 不都为0C ．x ，y 都不为0，且x ≠yD ．x ，y 至少有一个为0答案 B解析 x ＝y ＝0的否定为x ≠0或y ≠0，即x ，y 不都为0，故选B. 2．(2019·重庆巴蜀中学适应性月考七)某演绎推理的“三段”分解如下：①函数f (x )＝lg x 是对数函数；②对数函数y ＝log a x (a >1)是增函数；③函数f (x )＝lgx 是增函数，则按照演绎推理的三段论模式，排序正确的是( )A ．①→②→③B ．③→②→①C ．②→①→③D ．②→③→①答案 C解析 大前提是②，小前提是①，结论是③.故排列的次序应为②→①→③，故选C. 3．若P ＝a ＋2－a ，Q ＝a ＋6－a ＋4，a ≥0，则P ，Q 的大小关系是( ) A ．P >Q B ．P <Q C ．P ＝Q D ．以上都不对 答案 A解析 易知P >0，Q >0，1P＝1a ＋2－a＝a ＋2＋a2，1Q＝1a ＋6－a ＋4＝a ＋6＋a ＋42，所以1P <1Q，所以P >Q .4．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)时，第一步应验证不等式( )A ．1＋12<2B ．1＋12＋13<2C ．1＋12＋13<3D ．1＋12＋13＋14<3答案 B解析 依题意得，当n ＝2时，不等式为1＋12＋13<2，故选B.5．设x ，y ，z ∈(0，＋∞)，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x，则a ，b ，c 三数( )A ．至少有一个不大于2B ．都大于2C ．至少有一个不小于2D ．都小于2答案 C解析 a ＋b ＋c ＝x ＋1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z≥2＋2＋2＝6，当且仅当x ＝y ＝z 时，等号成立，所以a ，b ，c 三数至少有一个不小于2，故选C.6．如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，则照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( )答案 A解析 观察三个图案知，其规律是每次闪烁，三块黑色区域都顺时针旋转两个角．故选A.7．观察下列不等式：3＋1<22，2＋2<23，5＋3<4，6＋2<25，…据此可以归纳猜想出的一般结论为( )A ．n ＋3＋n ＋1<2n (n ∈N ) B.n ＋1＋n －1<2n (n ∈N )C ．n ＋3＋n ＋1<2n (n ≥2且n ∈N *) D.n ＋1＋n －1<2n (n ≥2且n ∈N *) 答案 D 解析3＋1<22即为3＋1<22，2＋2<23即为4＋2<23，5＋3<4即为5＋3<24，6＋2<25即为6＋4<25，故可以归纳猜想出的一般结论是：n ＋1＋n －1<2n (n ≥2且n ∈N *)，故选D.8．在△ABC 中，若AC ⊥BC ，AC ＝b ，BC ＝a ，则△ABC 的外接圆半径r ＝a 2＋b 22，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体S －ABC 中，若SA ，SB ，SC 两两互相垂直，SA ＝a ，SB ＝b ，SC ＝c ，则四面体S －ABC 的外接球半径R ＝( )A ．a 2＋b 2＋c 22B ．a 2＋b 2＋c 23C ．3a 3＋b 3＋c 33D ．3abc答案 A解析 在四面体S －ABC 中，三条棱SA ，SB ，SC 两两互相垂直，则可以把该四面体补成长方体，其中SA ＝a ，SB ＝b ，SC ＝c 是一个顶点处的三条棱长，所以外接球的直径就是长方体的体对角线，则半径R ＝a 2＋b 2＋c 22，故选A.二、填空题9．观察三角形数组，可以推测：该数组第八行的和为________．答案 1296解析 第一行的和为12，第二行的和为32＝(1＋2)2， 第三行的和为62＝(1＋2＋3)2， 第四行的和为(1＋2＋3＋4)2＝102， …第八行的和为(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8)2＝1296.10．所有真约数(除本身之外的正约数)的和等于它本身的正整数叫做完全数(也称为完备数、完美数)，如6＝1＋2＋3；28＝1＋2＋4＋7＋14；496＝1＋2＋4＋8＋16＋31＋62＋124＋248.此外，它们都可以表示为2的一些连续正整数次幂之和，如6＝21＋22,28＝22＋23＋24，…按此规律，8128可表示为________．答案 26＋27＋…＋212解析 因为6＝21＋22,28＝22＋23＋24，所以496＝16×31＝24×(25－1)＝24×25－12－1＝24＋25＋26＋27＋28，…，8128＝64×127＝26×(27－1)＝26×27－12－1＝26＋27＋…＋212.11．(2019·辽宁朝阳重点高中第四次模拟)甲、乙、丙、丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章．当它们被问到谁阅读了该篇文章时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了”；丙说：“甲和丁都没有阅读”；丁说：“乙阅读了”．假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该篇文章的学生是________．答案 乙解析 若甲阅读了语文老师推荐的文章，则甲、乙、丙、丁说的都不对，不满足题意；若乙阅读了语文老师推荐的文章，则甲、乙说的都不对，丙、丁说的都对，满足题意；若丙阅读了语文老师推荐的文章，则甲、乙、丙说的都对，丁说的不对，不满足题意；若丁阅读了语文老师推荐的文章，则甲说的对，乙、丙、丁说的都不对，不满足题意．12．已知数列{a n }为等差数列，若a m ＝a ，a n ＝b (n －m ≥1，m ，n ∈N *)，则a m ＋n ＝nb －man －m.类比上述结论，对于等比数列{b n }(b n >0，n ∈N *)，若b m ＝c ，b n ＝d (n －m ≥2，m ，n ∈N *)，则可以得到b m ＋n ＝________.答案 n －m d nc m解析 设等比数列的首项为b 1，公比为q ≠0.则b m ＝c ＝b 1q m －1，b n ＝d ＝b 1q n －1，d n c m ＝b n －m 1·q (n －m )(n ＋m －1)，所以n －m d ncm ＝b 1q n ＋m －1＝b m ＋n . 三、解答题13．设S n 为数列{a n }的前n 项和，给出如下数列： ①5,3,1，－1，－3，－5，－7，…； ②－14，－10，－6，－2,2,6,10,14,18，….(1)对于数列①，计算S 1，S 2，S 4，S 5；对于数列②，计算S 1，S 3，S 5，S 7；(2)根据上述结果，对于存在正整数k ，满足a k ＋a k ＋1＝0的这一类等差数列{a n }前n 项和的规律，猜想一个正确的结论，并加以证明．解 (1)对于数列①：S 1＝5，S 2＝8，S 4＝8，S 5＝5； 对于数列②：S 1＝－14，S 3＝－30，S 5＝－30，S 7＝－14. (2)∵a k ＋a k ＋1＝0，∴2a 1＝(1－2k )d ， ∴S 2k －n －S n ＝(2k －n )a 1＋2k －n2k －n －12d －na 1－n n －12d＝d 2[(2k －n )(1－2k )＋(2k －n )(2k －n －1)－(1－2k )n －n (n －1)]＝d 2[2k －4k 2－n ＋2nk ＋4k 2－2kn －2k －2nk ＋n 2＋n －n ＋2kn －n 2＋n ] ＝d2·0 ＝0.一、选择题1．(2019·甘肃静宁一中第三次模拟)用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上( )A ．k 2＋1 B ．(k ＋1)2C ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2D.k ＋14＋k ＋122答案 C解析 当n ＝k 时，等式左端＝1＋2＋…＋k 2，当n ＝k ＋1时，等式左端＝1＋2＋…＋k 2＋k 2＋1＋k 2＋2＋…＋(k ＋1)2，增加了(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2.故选C.2．(2019·安徽安庆6月模拟)大于1的自然数的三次幂可以分解成若干个奇数的和，比如23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19，…，按此规律，可得453的分解和式中一定不含有( )A ．2069B ．2039C ．2009D ．1979答案 D解析 根据题中规律，443可以分解成44个奇数的和，443的分解和式中最后一个奇数是44×45－1＝1979，所以453＝1981＋1983＋…＋2069.故选D.3．平面内直角三角形两直角边长分别为a ，b ，则斜边长为 a 2＋b 2，直角顶点到斜边的距离为aba 2＋b 2.空间中三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为S 1，S 2，S 3，类比推理可得底面积为 S 21＋S 22＋S 23，则三棱锥顶点到底面的距离为( )A ．3S 1S 2S 3S 21＋S 22＋S 23B ．S 1S 2S 3S 21＋S 22＋S 23C ．2S 1S 2S 3S 21＋S 22＋S 23D ．3S 1S 2S 3S 21＋S 22＋S 23答案 C解析 设三条棱长分别为x ，y ，z ，又因为三个侧面的面积分别为S 1，S 2，S 3，∴S 1＝12xy ，S 2＝12yz ，S 3＝12xz ，则S 2S 3＝12×12xyz 2＝12S 1z 2，∴z ＝2S 2S 3S 1.∵类比推理可得底面积为S 21＋S 22＋S 23，若三棱锥顶点到底面的距离为h ，可知三棱锥体积为V ＝13S 1×2S 2S 3S 1＝13h ×S 21＋S 22＋S 23，∴h ＝2S 1S 2S 3S 21＋S 22＋S 23＝2S 1S 2S 3S 21＋S 22＋S 23，故选C.4．(2019·北京通州一模)由正整数组成的数对按规律排列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，….若数对(m ，n )满足(m 2－1)(n 2－3)＝2019，其中m ，n ∈N *，则数对(m ，n )排在( )A ．第351位B ．第353位C ．第378位D ．第380位答案 B解析 2019＝3×673(673为质数)，故⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1＝3，n 2－3＝673或⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1＝673，n 2－3＝3(m ，n ∈N *)，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝26，m ＋n ＝28，在所有数对中，两数之和不超过27的有1＋2＋3＋ (26)1＋262×26＝351个，在两数之和为28的数对中，(2,26)为第二个[第一个是(1,27)]，故数对(2,26)排在第351＋2＝353位，故选B.答案 A解析6．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在 2＋2＋2＋…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程2＋x ＝x 确定x ＝2，则1＋11＋11＋…＝( )A ．－5－12B ．5－12C ．1＋52D ．1－52答案 C解析 设1＋11＋11＋…＝x ，则1＋1x ＝x ，即x 2－x －1＝0，解得x ＝1＋52⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝1－52舍去，故1＋11＋11＋…＝1＋52，故选C. 7．面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为a i (i ＝1,2,3,4)，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为h i (i ＝1,2,3,4)，若a 11＝a 22＝a 33＝a 44＝k ，则h 1＋2h 2＋3h 3＋4h 4＝2Sk.类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为S i (i ＝1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为H i (i ＝1,2,3,4)，若S 11＝S 22＝S 33＝S 44＝K ，则H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4＝( ) A ．2V KB ．3V KC ．V2K D ．V3K答案 B解析 根据三棱锥的体积公式V ＝13SH ，得13S 1H 1＋13S 2H 2＋13S 3H 3＋13S 4H 4＝V ，即KH 1＋2KH 2＋3KH 3＋4KH 4＝3V ，所以H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4＝3VK.8．下面推理过程中使用了类比推理方法，其中推理正确的个数是( ) ①“数轴上两点间距离公式为|AB |＝x 2－x 12，平面上两点间距离公式为|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12”，类比推出“空间内两点间的距离公式为|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＋z 2－z 12”；②“代数运算中的完全平方公式(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2”类比推出“向量中的运算(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2仍成立”；③“平面内两不重合的直线不平行就相交”类比到空间，“空间内两不重合的直线不平行就相交”也成立；④“圆x 2＋y 2＝1上点P (x 0，y 0)处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝1”，类比推出“椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上点P (x 0，y 0)处的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb 2＝1”． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 C解析 对于①，根据空间内两点间距离公式可知，类比正确；对于②，(a ＋b )2＝(a ＋。

【大高考】2017版高考数学一轮总复习第7章不等式、推理与证明第5节推理与证明高考AB卷理合情推理与演绎推理(2016·全国Ⅱ，15)有三X卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一X卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________.解析由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1和2”或“1和3”，又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，所以乙只可能为“2和3”，所以由甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，所以甲只能为“1和3”.答案1和3合情推理与演绎推理1.(2014·，8)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( )A.2人B.3人C.4人D.5人解析学生甲比学生乙成绩好，即学生甲两门成绩中一门高过学生乙，另一门不低于学生乙.一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且没有相同的成绩，则存在的情况是，最多有3人，其中一个语文最好，数学最差；另一个语文最差，数学最好；第三个人成绩均为中等.故选B.答案 B2.(2012·某某，6)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )A.28B.76C.123D.199解析 利用归纳法：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4＝3＋1，a 4＋b 4＝4＋3＝7，a 5＋b 5＝7＋4＝11，a 6＋b 6＝11＋7＝18，a 7＋b 7＝18＋11＝29，a 8＋b 8＝29＋18＝47，a 9＋b 9＝47＋29＝76，a 10＋b 10＝76＋47＝123. 答案 C3.(2015·某某，11)观察下列各式： C 01＝40； C 03＋C 13＝41;C 05＋C 15＋C 25＝42； C 07＋C 17＋C 27＋C 37＝43； ……照此规律，当n ∈N *时，C 02n －1＋C 12n －1＋ C 22n －1＋…＋ C n －12n －1＝________. 解析 观察等式，第1个等式右边为40＝41－1，第2个等式右边为41＝42－1，第3个等式右边为42＝43－1， 第4个等式右边为43＝44－1，所以第n 个等式右边为4n －1.答案 4n －14.(2015·某某，15)一个二元码是由0和1组成的数字串x 1x 2…x n (n ∈N *)，其中x k (k ＝1，2，…，n )称为第k 位码元.二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0).已知某种二元码x 1x 2…x 7的码元满足如下校验方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝0，x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝0，x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝0，其中运算⊕定义为0⊕0＝0，0⊕1＝1，1⊕0＝1，1⊕1＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于________.解析 (ⅰ)x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝1⊕1⊕0⊕1＝1，(ⅱ)x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝1⊕0⊕0⊕1＝0；(ⅲ)x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝1⊕0⊕1⊕1＝1.由(ⅰ)(ⅲ)知x 5，x 7有一个错误，(ⅱ)中没有错误，∴x 5错误，故k 等于5. 答案 55.(2013·某某，14)观察下列等式 12＝112－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 ……照此规律，第n 个等式可为________. 解析左边共n 项，每项的符号为(－1)n ＋1，通项为(－1)n ＋1·n 2.等式右边的值符号为(－1)n ＋1，各式为(－1)n ＋1(1＋2＋3＋…＋n )＝(－1)n ＋1n （n ＋1）2，∴第n 个等式为12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1·n 2＝(－1)n ＋1·n （n ＋1）2.答案 12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n （n ＋1）26.(2013·某某，14)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为n （n ＋1）2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式： 三角形数 N (n ，3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n ，4)＝n 2， 五边形数 N (n ，5)＝32n 2－12n ，六边形数 N (n ，6)＝2n 2－n ， …… ……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10，24)＝________.解析 由题中数据可猜想：含n 2项的系数为首项是12，公差是12的等差数列，含n 项的系数为首项是12，公差是－12的等差数列，因此N (n ，k )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋（k －3）12n 2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋（k －3）⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＝k －22n 2＋4－k 2n .故N (10，24)＝11n 2－10n ＝11×102－10×10＝1 000.答案 1 0007.(2014·某某，14)观察分析下表中的数据：解析三棱柱中5＋6－9＝2；五棱锥中6＋6－10＝2；立方体中6＋8－12＝2，由此归纳可得F＋V－E＝2.答案F＋V－E＝28.(2012·某某，11)观察下列不等式1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，……照此规律，第五个不等式为________________________________________.解析先观察左边，第一个不等式为2项相加，第二个不等式为3项相加，第三个不等式为4项相加，则第五个不等式应为6项相加，右边分子为分母的2倍减1，分母即为所对应项数，故应填1＋122＋132＋142＋152＋162<116.答案1＋122＋132＋142＋152＋162<1169.(2012·某某，13)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22，121，3 443，94 249等.显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99；3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.则(1)4位回文数有________个；(2)2n＋1(n∈N＋)位回文数有________个.解析(1)2位回文数均是不为0的自然数，故有9个；而对于3位回文数，首、末均相同且不为0，故有9种，而对于中间一数可含有0，故有10种，因此3位回文数有90种；对于4位回文数，首、末均相同且不为0，故有9种，对于中间两数则可含有0，故有10种，因此也有90种；(2)经归纳可得2n ＋1位回文数有9×10n个. 答案 (1)90 (2)9×10n10.(2013·某某，22)对正整数n ，记I n ＝{1，2，…，n }，P n ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎪⎪⎪m k m ∈I n ，k ∈I n . (1)求集合P 7中元素的个数；(2)若P n 的子集A 中任意两个元素之和不是．．整数的平方，则称A 为“稀疏集”.求n 的最大值，使P n 能分成两个不相交的稀疏集的并.解 (1)当k ＝4时，⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m k |m ∈I 7中有3个数与I 7中的3个数重复，因此P 7中元素的个数为7×7－3＝46.(2)先证：当n ≥15时，P n 不能分成两个不相交的稀疏集的并.若不然，设A ，B 为不相交的稀疏集，使A ∪B ＝P n ⊇I n ，不妨设1∈A ，则因1＋3＝22，故3∉A ，即3∈B .同理6∈A ，10∈B ，又推得15∈A ，但1＋15＝42，这与A 为稀疏集矛盾. 再证P 14符合要求，当k ＝1时，⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m k |m ∈I 14＝I 14可分成两个稀疏集之并，事实上，只要取A 1＝{1，2，4，6，9，11，13}，B 1＝{3，5，7，8，10，12，14}，则A 1，B 1为稀疏集，且A 1∪B 1＝I 14. 当k ＝4时，集⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m k |m ∈I 14中除整数外剩下的数组成集⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，32，52，…，132，可分解为下面两稀疏集的并：A 2＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，52，92，112，B 2＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫32，72，132.当k ＝9时，集⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m k |m ∈I 14中除正整数外剩下的数组成集⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，23，43，53…，133，143，可分解为下面两稀疏集的并：A 3＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，43，53，103，133，B 3＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，73，83，113，143.最后，集C ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m k |m ∈I 14，k ∈I 14，且k ≠1，4，9中的数的分母均为无理数，它与P 14中的任何其他数之和都不是整数，因此，令A ＝A 1∪A 2∪A 3∪C ，B ＝B 1∪B 2∪B 3，则A 和B 是不相交的稀疏集，且A ∪B ＝P 14. 综上，所求n 的最大值为14. 注：对P 14的分拆方法不是唯一的.直接证明与间接证明11.(2014·某某，4)用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( ) A.方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根 B.方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根 C.方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根 D.方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根解析 至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”. 答案 A12.(2013·某某，15)设P 1，P 2，…，P n 为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P 到点P 1，P 2，…，P n 的距离之和最小，则称点P 为点P 1，P 2，…，P n 的一个“中位点”，例如，线段AB 上的任意点都是端点A ，B 的中位点，现有下列命题： ①若三个点A ，B ，C 共线，C 在线段AB 上，则C 是A ，B ，C 的中位点； ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点A ，B ，C ，D 共线，则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点. 其中的真命题是________(写出所有真命题的序号).解析 由“中位点”可知，若C 在线段AB 上，则线段AB 上任一点都为“中位点”，C 也不例外，故①正确；对于②假设在等腰Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，如图所示，点P 为斜边AB 中点，设腰长为2，则|PA |＋|PB |＋|PC |＝32|AB |＝32，而若C 为“中位点”，则|CB |＋|CA |＝4<32，故②错；对于③，若B ，C 三等分AD ，若设|AB |＝|BC |＝|CD |＝1， 则|BA |＋|BC |＋|BD |＝4＝|CA |＋|CB |＋|CD |，故③错；对于④，在梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 的交点为O ，在梯形ABCD 内任取不同于点O 的一点M ，则在△MAC 中，|MA |＋|MC |>|AC |＝|OA |＋|OC |，同理在△MBD 中，|MB |＋|MD |>|BD |＝|OB |＋|OD |，则得，|MA |＋|MB |＋|MC |＋|MD |>|OA |＋|OB |＋|OC |＋|OD |，故O 为梯形内唯一中位点，④是正确的. 答案 ①④13.(2012·某某，17)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论. 解 (1)选择②式，计算如下： sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15° ＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－ sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α ＝34sin 2α＋34 cos 2α＝34. 数学归纳法14.(2015·某某，23)已知集合X ＝{1，2，3}，Y n ＝{1，2，3，…，n }(n ∈N *)，设S n ＝{(a ，b )|a 整除b 或b 整除a ，a ∈X ，b ∈Y n }，令f (n )表示集合S n 所含元素的个数.(1)写出f (6)的值；(2)当n ≥6时，写出f (n )的表达式，并用数学归纳法证明. 解 (1)f (6)＝13. (2)当n ≥6时，f (n )＝⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n 3，n ＝6t ，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n －13，n ＝6t ＋1，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n －23，n ＝6t ＋2，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n 3，n ＝6t ＋3，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n －13，n ＝6t ＋4，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n －23，n ＝6t ＋5(t ∈N *).下面用数学归纳法证明：①当n ＝6时，f (6)＝6＋2＋62＋63＝13，结论成立；②假设n ＝k (k ≥6)时结论成立，那么n ＝k ＋1时，S k ＋1在S k 的基础上新增加的元素在(1，k ＋1)，(2，k ＋1)，(3，k ＋1)中产生，分以下情形讨论：1)若k ＋1＝6t ，则k ＝6(t －1)＋5，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋3＝k ＋2＋k －12＋k －23＋3＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋k ＋13，结论成立；2)若k ＋1＝6t ＋1，则k ＝6t ，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k3＋1＝(k ＋1)＋2＋（k ＋1）－12＋（k ＋1）－13，结论成立；3)若k ＋1＝6t ＋2，则k ＝6t ＋1，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k －12＋k －13＋2＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋（k ＋1）－23，结论成立；4)若k ＋1＝6t ＋3，则k ＝6t ＋2，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k 2＋k －23＋2＝(k ＋1)＋2＋（k ＋1）－12＋k ＋13，结论成立；5)若k ＋1＝6t ＋4，则k ＝6t ＋3，此时有f (k ＋1)＝f (x )＋2＝k ＋2＋k －12＋k3＋2＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋（k ＋1）－13，结论成立；6)若k ＋1＝6t ＋5，则k ＝6t ＋4，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k －13＋1＝(k ＋1)＋2＋（k ＋1）－12＋（k ＋1）－23，结论成立.综上所述，结论对满足n ≥6的自然数n 均成立.15.(2014·某某，21)设函数f (x )＝ln (1＋x )，g (x )＝xf ′(x )，x ≥0，其中f ′(x )是f (x )的导函数.(1)令g 1(x )＝g (x )，g n ＋1(x )＝g (g n (x ))，n ∈N *，求g n (x )的表达式； (2)若f (x )≥ag (x )恒成立，某某数a 的取值X 围；(3)设n ∈N *，比较g (1)＋g (2)＋…＋g (n )与n －f (n )的大小，并加以证明. 解 由题设得，g (x )＝x1＋x(x ≥0). (1)由已知，g 1(x )＝x1＋x，g 2(x )＝g (g 1(x ))＝x1＋x 1＋x1＋x＝x1＋2x， g 3(x )＝x 1＋3x ，…，可得g n (x )＝x1＋nx. 下面用数学归纳法证明.①当n ＝1时，g 1(x )＝x1＋x，结论成立.②假设n ＝k 时结论成立，即g k (x )＝x1＋kx. 那么，当n ＝k ＋1时，g k ＋1(x )＝g (g k (x ))＝g k （x ）1＋g k （x ）＝x1＋kx 1＋x 1＋kx ＝x 1＋（k ＋1）x ，即结论成立.由①②可知，结论对n ∈N ＋成立. (2)已知f (x )≥ag (x )恒成立， 即ln (1＋x )≥ax1＋x 恒成立.设φ(x )＝ln (1＋x )－ax1＋x (x ≥0)，则φ′(x )＝11＋x －a （1＋x ）2＝x ＋1－a （1＋x ）2， 当a ≤1时，φ′(x )≥0(仅当x ＝0，a ＝1时等号成立)， ∴φ(x )在[0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0， ∴φ(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立，∴a ≤1时，ln (1＋x )≥ax1＋x恒成立(仅当x ＝0时等号成立).当a >1时，对x ∈(0，a －1]有φ′(x )＜0，∴φ(x )在(0，a －1]上单调递减，∴φ(a －1)<φ(0)＝0，即a >1时，存在x >0，使φ(x )<0， 故知ln (1＋x )≥ax1＋x不恒成立. 综上可知，a 的取值X 围是(－∞，1].(3)由题设知g (1)＋g (2)＋…＋g (n )＝12＋23＋…＋nn ＋1，n －f (n )＝n －ln (n ＋1)，比较结果为g (1)＋g (2)＋…＋g (n )>n －ln (n ＋1). 证明如下：法一 上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln (n ＋1)， 在(2)中取a ＝1，可得ln (1＋x )>x 1＋x，x >0. 令x ＝1n ，n ∈N ＋，则1n ＋1<ln n ＋1n. 下面用数学归纳法证明.①当n ＝1时，12<ln 2，结论成立. ②假设当n ＝k 时结论成立，即12＋13＋…＋1k ＋1<ln (k ＋1). 那么，当n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋1k ＋1＋1k ＋2<ln (k ＋1)＋1k ＋2<ln (k ＋1)＋ln k ＋2k ＋1＝ln (k ＋2)，即结论成立. 由①②可知，结论对n ∈N ＋成立.法二 上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln (n ＋1)， 在(2)中取a ＝1，可得ln (1＋x )>x1＋x，x >0. 令x ＝1n ，n ∈N ＋，则ln n ＋1n >1n ＋1. 故有ln 2－ln 1>12， ln 3－ln 2>13， ……ln(n ＋1)－ln n >1n ＋1， 上述各式相加可得ln (n ＋1)>12＋13＋…＋1n ＋1，结论得证. 法三 如图，⎠⎛0nxx ＋1d x 是由曲线y ＝x x ＋1，x ＝n 及x 轴所围成的曲边梯形的面积，而12＋23＋…＋n n ＋1是图中所示各矩形的面积和.∴12＋23＋…＋n n ＋1>⎠⎛0n x x ＋1d x ＝⎠⎛0n (1－1x ＋1)d x ＝n －ln (n ＋1)，结论得证. 16.(2014·某某，22)设a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋2＋b (n ∈N *).(1)若b ＝1，求a 2，a 3及数列{a n }的通项公式；(2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a 2n <c <a 2n ＋1对所有n ∈N *成立？证明你的结论. 解 (1)法一 a 2＝2，a 3＝2＋1，再由题设条件知(a n ＋1－1)2＝(a n －1)2＋1.从而{(a n －1)2}是首项为0公差为1的等差数列，故(a n －1)2＝n －1，即a n ＝n －1＋1(n ∈N *).法二 a 2＝2，a 3＝2＋1，可写为a 1＝1－1＋1，a 2＝2－1＋1， a 3＝3－1＋1.因此猜想a n ＝n －1＋1.下面用数学归纳法证明上式：当n ＝1时结论显然成立.假设n ＝k 时结论成立，即a k ＝k －1＋1.则a k ＋1＝（a k －1）2＋1＋1 ＝（k －1）＋1＋1＝（k ＋1）－1＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立.所以a n ＝n －1＋1(n ∈N *).(2)法一 设f (x )＝（x －1）2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n ).令c ＝f (c )，即c ＝（c －1）2＋1－1，解得c ＝14. 下面用数学归纳法证明加强命题a 2n <c <a 2n ＋1<1.当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (0)＝2－1，所以a 2<14<a 3<1，结论成立. 假设n ＝k 时结论成立，即a 2k <c <a 2k ＋1<1.易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而c ＝f (c )>f (a 2k ＋1)>f (1)＝a 2，即1>c >a 2k ＋2>a 2.再由f (x )在(－∞，1]上为减函数得c ＝f (c )<f (a 2k ＋2)<f (a 2)＝a 3<1.故c <a 2k ＋3<1， 因此a 2(k ＋1)<c <a 2(k ＋1)＋1<1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立.综上，符合条件的c 存在，其中一个值为c ＝14. 法二 设f (x )＝（x －1）2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n ).先证：0≤a n ≤1(n ∈N *).①当n ＝1时，结论明显成立.假设n ＝k 时结论成立，即0≤a k ≤1.易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而0＝f (1)≤f (a k )≤f (0)＝2－1<1.即0≤a k ＋1≤1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立，故①成立.再证：a 2n <a 2n ＋1(n ∈N *).② 当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (a 2)＝f (0)＝2－1，有a 2<a 3，即n ＝1时②成立. 假设n ＝k 时，结论成立，即a 2k <a 2k ＋1，由①及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得 a 2k ＋1＝f (a 2k )>f (a 2k ＋1)＝a 2k ＋2，a 2(k ＋1)＝f (a 2k ＋1)<f (a 2k ＋2)＝a 2(k ＋1)＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时②成立，所以②对一切n ∈N *成立.由②得a 2n <a 22n －2a 2n ＋2－1，即(a 2n ＋1)2<a 22n －2a 2n ＋2，因此a 2n <14.③ 又由①、②及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得f (a 2n )>f (a 2n ＋1)，即a 2n ＋1>a 2n ＋2，所以a 2n ＋1>a 22n ＋1－2a 2n ＋1＋2－1.解得a 2n ＋1>14.④ 综上，由②、③、④知存在c ＝14使a 2n <c <a 2n ＋1对一切n ∈N *成立.。

推理与证明一、选择题 (每题5分 ,共50分 )1、 以下表述正确的选项是 ( ).①归纳推理是由局部到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.A ．①②③；B ．②③④；C ．②④⑤；D ．①③⑤.2、下面使用类比推理正确的选项是 ( ).A. "假设33a b ⋅=⋅,那么a b =〞类推出 "假设00a b ⋅=⋅,那么a b =〞B. "假设()a b c ac bc +=+〞类推出 "()a b c ac bc ⋅=⋅〞C. "假设()a b c ac bc +=+〞 类推出 "a b a b c c c+=+ (c ≠0 )〞 D. "n n a a b =n （b ）〞 类推出 "n n a a b +=+n （b ）〞 3、 有一段演绎推理是这样的： "直线平行于平面,那么平行于平面内所有直线；直线b ⊆/平面α ,直线a ≠⊂平面α ,直线b ∥平面α ,那么直线b ∥直线a 〞的结论显然是错误的 ,这是因为 ( )4、用反证法证明命题： "三角形的内角中至|少有一个不大于60度〞时 ,反设正确的选项是( ) .(A)假设三内角都不大于60度； (B) 假设三内角都大于60度；(C) 假设三内角至|多有一个大于60度； (D) 假设三内角至|多有两个大于60度 .5、在十进制中01232004410010010210=⨯+⨯+⨯+⨯ ,那么在5进制中数码2004折合成十进制为 ( )A.29B. 254C. 602D. 20046．设S (n )＝1n ＋1n ＋1 ＋1n ＋2 ＋1n ＋3 ＋…＋1n 2 ,那么 ( ) A ．S (n )共有n 项 ,当n ＝2时 ,S (2 )＝12 ＋13B ．S (n )共有n ＋1项 ,当n ＝2时 ,S (2 )＝12 ＋13 ＋14C ．S (n )共有n 2－n 项 ,当n ＝2时 ,S (2 )＝12 ＋13 ＋14D ．S (n )共有n 2－n ＋1项 ,当n ＝2时 ,S (2 )＝12 ＋13 ＋147．在R 上定义运算⊙：x ⊙y ＝x 2－y,假设关于x 的不等式 (x －a )⊙ (x ＋1－a )＞0的解集是集合｛x ｜－2≤x ≤2 ,x ∈R ｝的子集 ,那么实数a 的取值范围是 ( )A ．－2≤a ≤2B ．－1≤a ≤1C ．－2≤a ≤1D ．1≤a ≤28．f (x )为偶函数 ,且f (2＋x )＝f (2－x ) ,当－2≤x ≤0时 ,f (x )＝2x ,假设n ∈N * ,a n ＝f (n ) ,那么a 2006＝ ( )A ．2006B ．4C ．14D ．－49．函数f (x )在［－1 ,1］上满足f (－x )＝－f (x )是减函数 ,α、β是锐角三角形的两个内角 ,且α≠β ,那么以下不等式中正确的选项是 ( )A ．f (sin α )＞f (sin β )B ． f (cos α )＞f (sin β )C ．f (cos α )＜f (cos β )D ．f (sin α )＜f (sin β )10．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛 ,其中只有一位获奖 ,有人走访了四位歌手 ,甲说： "是乙或丙获奖〞 ,乙说： "甲、丙都未获奖〞 ,丙说： "我获奖了〞 ,丁说： "是乙获奖〞 .四位歌手的话只有两名是对的 ,那么奖的歌手是 ( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁二、填空题 (每题4分 ,共16分.把答案填在题中的横线上 )11． "开心辞典〞中有这样的问题：给出一组数 ,要你根据规律填出后面的第几个数 ,现给出一组数：12 , -12 ,38 , -14 ,532,它的第8个数可以是 . 12．在平面几何里有射影定理：设△ABC 的两边AB ⊥AC ,D 是A 点在BC 边上的射影 ,那么AB 2 =BD .BC.拓展到空间,在四面体A -BCD 中 ,DA ⊥面ABC ,点O 是A 在面BCD 内的射影 ,且O 在面BCD 内 ,类比平面三角形射影定理 ,△ABC ,△BOC ,△BDC 三者面积之间关系为 .13．在数列｛a n ｝中 ,a 1＝1 ,a 2＝2 ,且a n ＋2－a n ＝1＋ (－1 )n ,n ∈N * ,S 10＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.14．当a 0 ,a 1 ,a 2成等差数时 ,有a 0－2a 1＋a 2＝0 ,当a 0 ,a 1 ,a 2 ,a 3成等差数列时 ,有a 0－3a 1＋3a 2－a 3＝0 ,当a 0 ,a 1 ,a 2 ,a 3 ,a 4成等差数列时 ,有a 0－4a 1＋6a 2－4a 3＋a 4＝0 ,由此归纳：当a 0 ,a 1 ,a 2 ,… ,a n 成等差数列时有C 0n a 0－C 1n a 1＋C 2n a 2－…＋C n n a n＝0. 如果a 0 ,a 1 ,a 2 ,… ,a n 成等差数列 ,类比上述方法归纳出的等式为＿＿＿ .三、解答题 (本大题共四个小题 ,15题11分 ,16题11分 ,17题12分 ,共24分.解容许写出文字说明 ,证明过程或演算过程 )15、设a ,b ,x ,y ∈R ,且(8分 ) 16、假设a,b,c 均为实数 ,且,,,求证：a ,b ,c 中至|少有一个大于0 . (8分 )17、用数学归纳法证明：(Ⅰ ))12(2)1()12)(12(532311222++=+-++⋅+⋅n n n n n n ； (7分 ) (Ⅱ ) n n ≤-+++++1214131211 ； (7分 )18、数列{a n }满足S n ＋a n ＝2n ＋1, (1) 写出a 1, a 2, a 3,并推测a n 的表达式；(2) 用数学归纳法证明所得的结论 . (12分 )参考答案一、 DCABB D ＣＣＢC二、 本大题共4小题 ,每题4分 ,共16分.13 -13214 (S △ABC )2 = S △BOC . S △BDC 15. 35 16 a 0C 0n ·a 1－C 1n ·a 2 C 2n ·…·a n (－1 )nC nn ＝1. 三、解答题：15、可以用综合法与分析法 - - -略16、可以用反证法 - - -略17、 (1 )可以用数学归纳法 - - -略(2 )当1+=k n 时 ,左边+≤-+++-+++=+k k k k )12121()121211(1 (k k k 212121+++ )1212+=⋅+=k k k k =右边 ,命题正确 18、解： (1) a 1＝23, a 2＝47, a 3＝815, 猜想 a n ＝2－n 21(2) ①由 (1 )已得当n ＝1时 ,命题成立；②假设n ＝k 时,命题成立 ,即 a k ＝2－k 21,当n ＝k ＋1时, a 1＋a 2＋……＋a k ＋a k ＋1＋a k ＋1＝2(k ＋1)＋1,且a 1＋a 2＋……＋a k ＝2k ＋1－a k∴2k ＋1－a k ＋2a k ＋1＝2(k ＋1)＋1＝2k ＋3,∴2a k ＋1＝2＋2－k 21, a k ＋1＝2－121+k ,即当n ＝k ＋1时,命题成立.根据①②得n ∈N + , a n ＝2－n 21都成立 2k 项。

数学《推理与证明》知识点一、选择题1．已知()sin cos f x x x =-，定义1()()f x f x '=，[]'21()()f x f x =，…[]1()()n n f x f x '+=，（*n N ∈），经计算，1()cos sin f x x x =+，2()sin cos f x x x =-+，3()cos sin f x x x =--，…，照此规律，2019()f x =（ ） A ．cos sin x x --B ．cos sin x x -C ．sin cos x x +D ．cos sin x x -+ 【答案】A【解析】【分析】根据归纳推理进行求解即可．【详解】解：由题意知：()sin cos f x x x =-， 1()()cos sin f x f x x x '==+，[]1'2()()sin cos f x f x x x ==-+，[]'23()()cos sin f x f x x x ==--，[]'34()()sin cos f x f x x x ==-，L照此规律，可知： []'201923()()co )s (s in f x f x x x f x ==--=，故选：A.【点睛】本题考查函数值的计算，利用归纳推理是解决本题的关键．2．观察下图：12343456745678910L L则第 行的各数之和等于22017（ ） A ．2017B ．1009C ．1010D ．1011 【答案】B【解析】【分析】由图可得：第n 行的第一个数为n ，有21n -个数，且这21n -个数成公差为1的等差数列，利用等差数列求和公式算出即可【详解】由图可得：第n 行的第一个数为n ，有21n -个数且这21n -个数成公差为1的等差数列所以第n 行的各数之和为：()()()()22122211212n n n n n ---+⨯=-令212017n -=，得1009n =故选：B【点睛】本题考查的是推理和等差数列的知识，较简单.3．已知函数()f x 的导函数为()f x '，记()()1f x f x '=，()()21f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=(n ∈N *). 若()sin f x x x =，则()()20192021f x f x += （ ）A ．2cos x -B ．2sin x -C ．2cos xD ．2sin x【答案】D【解析】【分析】 通过计算()()()()()12345,,,,f x f x f x f x f x ，可得()()()()4342414,,,k k k k f x f x f x f x ---，最后计算可得结果.【详解】由题可知：()sin f x x x =所以()()12sin cos ,2cos sin f x x x x f x x x x =+=-()()343sin cos ,4cos sin f x x x x f x x x x =--=-+()55sin cos ,f x x x x =+⋅⋅⋅所以猜想可知：()()4343sin cos k f x k x x x -=-+()()4242cos sin k f x k x x x -=--()()4141sin cos k f x k x x x -=---()44cos sin k f x k x x x =-+由201945051,202145063=⨯-=⨯-所以()20192019sin cos f x x x x =--()20212021sin cos f x x x x =+所以()()201920212sin f x f x x +=故选：D本题考查导数的计算以及不完全归纳法的应用，选择题、填空题可以使用取特殊值，归纳猜想等方法的使用，属中档题.4．已知0x >，不等式12x x +≥，243x x +≥，3274x x+≥，…，可推广为1n a x n x+≥+ ，则a 的值为( ) A ．2nB ．n nC ．2nD ．222n - 【答案】B【解析】【分析】由题意归纳推理得到a 的值即可.【详解】由题意，当分母的指数为1时，分子为111=；当分母的指数为2时，分子为224=；当分母的指数为3时，分子为3327=； 据此归纳可得：1n a x n x+≥+中，a 的值为n n . 本题选择B 选项.【点睛】归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．5．给出下面类比推理：①“若2a<2b ，则a<b”类比推出“若a 2<b 2，则a<b”；②“(a ＋b)c ＝ac ＋bc(c≠0)”类比推出“a b a b c c c+=+ (c≠0)”； ③“a ，b ∈R ，若a －b ＝0，则a ＝b”类比推出“a ，b ∈C ，若a －b ＝0，则a ＝b”； ④“a ，b ∈R ，若a －b>0，则a>b”类比推出“a ，b ∈C ，若a －b>0，则a>b(C 为复数集)”． 其中结论正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】【分析】在数集的扩展过程中，有些性质是可以传递的，但有些性质不能传递，因此，要判断类比的结果是否正确，关键是要在新的数集里进行论证，当然要想证明一个结论是错误的，也可以直接举一个反例，要想得到本题的正确答案，可对四个结论逐一进行分析，不难解答.①若“22a b <，则a b <”类比推出“若22a b <，则a b <”，不正确，比如1,2a b ==-； ②“()(0)a b c ac bc c +=+≠”类比推出“(0)a b a b c c c c+=+≠”，正确； ③在复数集C 中，若两个复数满足0a b -=，则它们的实部和虚部均相等，则,a b 相等，故正确；④若,a b C ∈，当1,a i b i =+=时，10a b -=>，但,a b 是两个虚数，不能比较大小，故错误；所以只有②③正确，即正确命题的个数是2个，故选B.【点睛】该题考查的是有关判断类比得到的结论的正确性的问题，涉及到的知识点有式子的运算法则，数相等的条件，复数不能比较大小等结论，属于简单题目.6．在《中华好诗词大学季》的决赛赛场上，由南京师范大学郦波老师、中南大学杨雨老师、著名历史学者纪连海和知名电视节目主持人赵忠祥四位大学士分别带领的四支大学生团队进行了角逐．将这四支大学生团队分别记作甲、乙、丙、丁，且比赛结果只有一支队伍获得冠军，现有小张、小王、小李、小赵四位同学对这四支参赛团队的获奖结果预测如下：小张说：“甲或乙团队获得冠军”；小王说：“丁团队获得冠军”；小李说“乙、丙两个团队均未获得冠军”；小赵说：“甲团队获得冠军”．若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得冠军的团队是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】D【解析】【分析】对甲、乙、丙、丁分别获得冠军进行分类讨论，结合四人的说法进行推理，进而可得出结论.【详解】若甲获得冠军，则小张、小李、小赵的预测都正确，与题意不符；若乙获得冠军，则小王、小李、小赵的预测不正确，与题意不符；若丙获得冠军，则四个人的预测都不正确，与题意不符；若丁获得冠军，则小王、小李的预测都正确，小张和小赵预测的都不正确，与题意相符． 故选：D ．【点睛】本题考查合情推理，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.7．小正方形按照下图中的规律排列，每个图形中的小正方形的个数构成数列{}n a 有以下结论:①515a =；②{}n a 是一个等差数列；③数列{}n a 是一个等比数列；④数列{}n a的递堆公式11(),n n a a n n N *+=++∈其中正确的是（ ）A ．①②④B ．①③④C ．①②D ．①④【答案】D【解析】 由图形可得：a 1=1,a 2=1+2，…∴()1122n n n a n +=++⋯+= .所以①a 5=15； 正确；②an −a n −1= n ,所以数列{a n }不是一个等差数列；故②错误；③数列{an }不是一个等比数列；③错误；④数列{a n }的递推关系是a n +1=a n +n +1(n ∈N ∗).正确；本题选择D 选项.点睛： 数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．8．将从1开始的连续奇数排成如图所示的塔形数表，表中位于第i 行，第j 列的数记为ij a ，例如329a =，4215a =，5423a =，若2019ij a =，则i j -=（ ）A ．71B ．72C ．20D ．19【答案】D【解析】【分析】 先确定奇数2019为第1010个奇数，根据规律可得从第1行到第i 行末共有()11+2+3++=2i i i +⋅⋅⋅个奇数，可确定2019位于第45行，进而确定2019所在的列，即可得解.【详解】奇数2019为第1010个奇数，由题意按照蛇形排列，从第1行到第i 行末共有()11+2+3++=2i i i +⋅⋅⋅个奇数，则从第1行到第44行末共有990个奇数，从第1行到第45行末共有1035个奇数， 则2019位于第45行，而第45行时从右往左递增，且共有45个奇数，故2019位于第45行，从右往左第20列，则45i =，26j =，故19i j -=.故选：D.【点睛】本题考查了归纳推理的应用，考查了逻辑思维能力和推理能力，属于中档题.9．设十人各拿一只水桶，同到水龙头前打水，设水龙头注满第i (i ＝1，2，…，10)个人的水桶需T i 分钟，假设T i 各不相同，当水龙头只有一个可用时，应如何安排他(她)们的接水次序，使他(她)们的总的花费时间(包括等待时间和自己接水所花费的时间)最少( ) A ．从T i 中最大的开始，按由大到小的顺序排队B ．从T i 中最小的开始，按由小到大的顺序排队C ．从靠近T i 平均数的一个开始，依次按取一个小的取一个大的的摆动顺序排队D ．任意顺序排队接水的总时间都不变【答案】B【解析】【分析】表示出拎小桶者先接水时等候的时间，然后加上拎大桶者一共等候者用的时间，用（2m+2T+t ）减去二者的和就是节省的时间；由此可推广到一般结论【详解】事实上，只要不按从小到大的顺序排队，就至少有紧挨着的两个人拎着大桶者排在拎小桶者之前，仍设大桶接满水需要T 分钟，小桶接满水需要t 分钟，并设拎大桶者开始接水时已等候了m 分钟，这样拎大桶者接满水一共等候了（m+T ）分钟，拎小桶者一共等候了（m+T+t ）分钟，两人一共等候了（2m+2T+t ）分钟，在其他人位置不变的前提下，让这两个人交还位置，即局部调整这两个人的位置，同样介意计算两个人接满水共等候了 22m t T ++ 2m+2t+T分钟，共节省了T t - T-t分钟，而其他人等候的时间未变，这说明只要存在有紧挨着的两个人是拎大桶者在拎小桶者之前都可以这样调整，从而使得总等候时间减少．这样经过一系列调整后，整个队伍都是从小打到排列，就打到最优状态，总的排队时间就最短．故选B.【点睛】一般的，对某些设计多个可变对象的数学问题，先对其少数对象进行调整，其他对象暂时保持不变，从而化难为易，取得问题的局部解决．经过若干次这种局部的调整，不断缩小范围，逐步逼近目标，最终使问题得到解决，这种数学思想就叫做局部调整法．10．已知2a b c ++=，则ab bc ca ++的值（ ）A ．大于2B ．小于2C ．不小于2D ．不大于2 【答案】B【解析】【分析】把已知变形得到a b c +=-，a c b +=-，b c a +=-，把2()ab bc ac ++拆开后提取公因式代入a b c +=-，a c b +=-，b c a +=-，则可判断2()ab bc ac ++的符号，从而得到ab bc ac ++的值的符号．【详解】解：2a b c ++=Q ，2a b c ∴+=-，2a c b +=-，2b c a +=-．则2()ab bc ac ++222ab ac bc =++ab ac bc ac ab bc =+++++()()()a b c c b a b a c =+++++(2)(2)(2)b b a a c c =-+-+-222222b b a a c c =-+-+-()()2222a b c a b c =-+++++()2224a b c =-+++，2a b c ++=Q ，()2220a b c ∴++>，即()2220a b c -++<，2()4ab bc ac ++<Q ，()2ab bc ac ∴++<即ab bc ac ++的值小于2．故选：B ．【点睛】本题考查不等式的应用，考查了学生的灵活处理问题和解决问题的能力．11．某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A 层班级，生物在B 层班级.该校周一上午选科走班的课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有（ ）A．8种B．10种C．12种D．14种【答案】B【解析】【分析】根据表格,利用分类讨论思想进行逻辑推理一一列举即可.【详解】张毅同学不同的选课方法如下:()1物理A层1班，生物B层3班,政治3班;()2物理A层1班,生物B层3班,政治2班;()3物理A层1班,生物B层2班,政治3班;()4物理A层3班,生物B层2班,政治3班;()5物理A层3班,生物B层2班,政治1班;()6物理A层2班,生物B层3班,政治1班;()7物理A层2班,生物B层3班,政治3班;()8物理A层4班,生物B层3班,政治2班;()9物理A层4班,生物B层3班,政治1班;()10物理A层4班,生物B层2班,政治1班;共10种.故选:B【点睛】本题以实际生活为背景,考查学生的逻辑推理能力和分类讨论的思想;属于中档题.12．比利时数学家Germinal Dandelin发现：在圆锥内放两个大小不同且不相切的球，使得它们分别与圆锥的侧面、底面相切，用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到的截面曲线是椭圆.这个结论在圆柱中也适用，如图所示，在一个高为10，底面半径为2的圆柱体内放球，球与圆柱底面及侧面均相切.若一个平面与两个球均相切，则此平面截圆柱边缘所得的图形为一个椭圆，该椭圆的离心率为（）A ．33B ．23C ．6513D ．53【答案】D【解析】【分析】如图，作出圆柱的轴截面，由于AOB OCD ∠=∠,所以sin sin AOB OCD ∠=∠，而由已知可求出,,OB AB OD 的长，从而可得3a OC ==，而椭圆短轴的长就等于圆柱的底面直径，得2b =，由此可求出离心率.【详解】对圆柱沿轴截面进行切割，如图所示，切点为A ，1A ，延长1AA 与圆柱面相交于C ，1C ，过点O 作OD DC ⊥，垂足为D .在直角三角形ABO 中，2AB =，102232BO -⨯==， 所以2sin 3AB AOB BO ∠==，又因为22sin sin 3r AOB OCD OC OC ∠=∠===， 所以3a OC ==. 由平面与圆柱所截可知椭圆短轴即为圆柱底面直径的长，即24b =，则可求得22945c a b =--=，所以5c e a ==， 故选：D.【点睛】此题考查了圆与圆的位置关系、直角三角形中正弦的定义和椭圆的基本概念等知识，属于基础题.13．曾玉、刘云、李梦、张熙四人被北京大学、清华大学、武汉大学和复旦大学录取，他们分别被哪个学校录取，同学们做了如下的猜想甲同学猜：曾玉被武汉大学录取，李梦被复旦大学录取同学乙猜：刘云被清华大学录取，张熙被北京大学录取同学丙猜：曾玉被复旦大学录取，李梦被清华大学录取同学丁猜：刘云被清华大学录取，张熙被武汉大学录取结果，恰好有三位同学的猜想各对了一半，还有一位同学的猜想都不对那么曾玉、刘云、李梦、张熙四人被录取的大小可能是（）A．北京大学、清华大学、复旦大学、武汉大学B．武汉大学、清华大学、复旦大学、北京大学C．清华大学、北京大学、武汉大学、复旦大学D．武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学【答案】D【解析】【分析】推理得到甲对了前一半，乙对了后一半，丙对了后一半，丁全错，得到答案.【详解】根据题意：甲对了前一半，乙对了后一半，丙对了后一半，丁全错，曾玉、刘云、李梦、张熙被录取的大学为武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学（另外武汉大学、清华大学、北京大学、复旦大学也满足）.故选：D.【点睛】本题考查了逻辑推理，意在考查学生的推理能力.14．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”。

6.5 合情推理与演绎推理一、选择题1．(2015·山东检测)下列推理是归纳推理的是( )A ．A ，B 为定点，动点P 满足|P A |＋|PB |＝2a ＞|AB |，则P 点的轨迹为椭圆B ．由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的面积S ＝πabD ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 2．如图是2015年元宵节灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一呈现出来的图形是( )3．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1n (n ≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如11＝12＋12，12＝13＋ ,11 12 12 13 16 13 14 112 112 14 15 120 130 120 15 16 130 160 160 130 16……16，13＝14＋112，…，则第7行第4个数(从左往右数)为( ) A.1140 B.1105 C.160 D.142 4．(2015·石景山期末) 在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即[k ]＝{5n ＋k |n ∈Z }，k ＝0，1，2，3，4.给出如下四个结论：①2 015∈[0]； ②－2∈[2]；③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是a －b ∈[0]． 其中，正确结论的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．(2015·西安五校联考)已知“整数对”按如下规律排成一列：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，…，则第60个“整数对”是导学号74780054( )A ．(7，5)B ．(5，7)C ．(2，10)D ．(10，1)答案：1．B 2.A 3.A 4.C 5. B二、填空题6．仔细观察下面○和●的排列规律：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○○○○○○●……若依此规律继续下去，得到一系列的○和●，那么在前120个○和●中，●的个数是________．7．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN ，如果用S 1，S 2，S 3表示三个侧面面积，S 4表示截面面积，那么类比得到的结论是________．8．分形几何学是数学家伯努瓦·曼得尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路，按照图甲所示的分形规律可得图乙所示的一个树形图．易知第三行有白圈5个，黑圈4个，我们采用“坐标”来表示各行中的白圈、黑圈的个数．比如第一行记为(1，0)，第二行记为(2，1)，第三行记为(5，4)．(1)第四行的白圈与黑圈的“坐标”为________；(2)照此规律，第n 行中的白圈、黑圈的“坐标”为________． 导学号74780055答案：6．14 7.S 21＋S 22＋S 23＝S 248．(1)(14，13) (2)⎝⎛⎭⎫3n －1＋12，3n －1－12(n ∈N *)三、解答题9．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论．解析：(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos (30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos (30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.10．对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512，请你根据这一发现，(1)求函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心；(2)计算f ⎝⎛⎭⎫12 017＋f ⎝⎛⎭⎫22 017＋f ⎝⎛⎭⎫32 017＋f ⎝⎛⎭⎫42 017＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 0162 017.解析：(1)f ′(x )＝x 2－x ＋3，f ″(x )＝2x －1，由f ″(x )＝0，即2x －1＝0，解得x ＝12.f ⎝⎛⎭⎫12＝13×⎝⎛⎭⎫123－12×⎝⎛⎭⎫122＋3×12－512＝1. 由题中给出的结论，可知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为⎝⎛⎭⎫12，1. (2)由(1)，知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为⎝⎛⎭⎫12，1， 所以f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2，即f (x )＋f (1－x )＝2.故f ⎝⎛⎭⎫12 017＋f ⎝⎛⎭⎫2 0162 017＝2，f ⎝⎛⎭⎫22 017＋f ⎝⎛⎭⎫2 0152 017＝2，f ⎝⎛⎭⎫32 017＋f ⎝⎛⎭⎫2 0142 017＝2， …f ⎝⎛⎭⎫2 0162 017＋f ⎝⎛⎭⎫12 017＝2.所以f ⎝⎛⎭⎫12 017＋f ⎝⎛⎭⎫22 017＋f ⎝⎛⎭⎫32 017＋f ⎝⎛⎭⎫42 017＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 0162 017＝12×2×2 016＝2 016.11．已知点M (k ，l )、P (m ，n )是曲线C 上的两点(klmn ≠0)，点M 、N 关于x 轴对称，直线MP 、NP 分别交x 轴于点E (x E ，0)和点F (x F ，0)，(1)用k 、l 、m 、n 分别表示x E 和x F ；(2)当曲线C 的方程分别为：x 2＋y 2＝R 2(R ＞0)，x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)时，探究x E ·x F 的值是否与点M 、N 、P 的位置相关；(3)类比(2)的探究过程，当曲线C 的方程为y 2＝2px (p ＞0)时，探究x E 与x F 经加、减、乘、除的某一种运算后为定值的一个正确结论(只要求写出你的探究结论，无须证明)．导学号74780056解析：(1)依题意N (k ，－l )，又由klmn ≠0及MP 、NP 与x 轴有交点知：M 、P 、N 为不同点，直线PM 的方程为y ＝n －l m －k (x －m )＋n ，则x E ＝nk －ml n －l ，同理可得x F ＝nk ＋ml n ＋l. (2)∵M ，P 在圆C ：x 2＋y 2＝R 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝R 2－n 2，k 2＝R 2－l 2， x E ·x F ＝n 2k 2－m 2l 2n 2－l 2＝n 2（R 2－l 2）－（R 2－n 2）l 2n 2－l2＝R 2(定值)． ∴x E ·x F 的值与点M 、N 、P 位置无关．同理由M 、P 在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上，得⎩⎨⎧m 2＝a 2－a 2n2b2，k 2＝a 2－a 2l2b2，x E ·x F ＝n 2k 2－m 2l 2n 2－l 2＝n 2⎝⎛⎭⎫a 2－a 2l 2b 2－⎝⎛⎭⎫a 2－a 2n 2b 2l2n 2－l2＝a 2(定值)． ∴x E ·x F 的值与点M 、N 、P 位置无关． (3)一个探究结论是：x E ＋x F ＝0.证明如下：依题意，x E ＝nk －ml n －l ，x F ＝nk ＋mln ＋l.∵M 、P 在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上，∴n 2＝2pm ，l 2＝2pk .x E ＋x F ＝2（n 2k －ml 2）n 2－l 2＝2（2pmk －2pmk ）n 2－l 2＝0.∴x E ＋x F 为定值．。

第十四章推理与证明高考导航考纲要求备考策略1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用；2.了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理的联系和差异；掌握演绎推理的基本模式：“三段论”；能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理.3.了解直接证明的两种基本方法：分析法与综合法；了解分析法与综合法的思考过程、特点.4.了解反证法的思考过程、特点.5.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.推理与证明是数学的基本思维过程，高考中一般以选择或填空的形式考查归纳推理和类比推理，有时也以解答题的形式考查演绎推理、反证法、数学归纳法等.复习时采用以下应对策略：1.归纳和类比是两种重要的合情推理模式，故在复习中，以掌握基础知识、基本方法为出发点，切不可盲目加大难度；要夯实基础，努力完善自己的认知结构.2.演绎推理是数学中严格证明的工具.在完成详细的证明之前，先要推测证明的思路.复习时要站在数学思想方法的高度，对多年来所学习的数学知识和数学方法做较为系统的梳理和提升，用推理方法培养自己解决问题的意识.3.养成良好思维习惯，要重视对合情推理的训练，加强合情推理与演绎推理的综合应用.4.结合立体几何证明深刻理解综合法的思考过程、特点和论证格式，通过不等式的证明领会分析法、数学归纳法的原理等.,知识网络14.1 合情推理与演绎推理考点诠释重点：利用归纳与类比进行推理，利用“三段论”进行推理与证明. 难点：利用归纳与类比推理来发现结论并形成猜想命题.典例精析题型一 运用归纳推理发现一般性结论【例1】观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10等于( )A.28B.76C.123D.199 【思路分析】先观察各等式的变化规律，再归纳出一般结论.【解析】C.记a n ＋b n ＝f (n )，则f (3)＝f (1)＋f (2)＝1＋3＝4；f (4)＝f (2)＋f (3)＝3＋4＝7； f (5)＝f (3)＋f (4)＝11.通过观察不难发现，f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)(n ∈N *，n ≥3)，则f (6)＝f (4)＋f (5)＝18；f (7)＝f (5)＋f (6)＝29；f (8)＝f (6)＋f (7)＝47；f (9)＝f (7)＋f (8)＝76； f (10)＝f (8)＋f (9)＝123.所以a 10＋b 10＝123.【方法归纳】归纳分为完全归纳和不完全归纳，由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对科学的发现是十分有用的.观察、实验，对有限的资料作归纳整理，提出带规律性的说法是科学研究的最基本的方法之一.归纳推理的一些常见形式：一是具有共同特征型，二是递推型，三是循环型(周期性).【举一反三】1.将正整数1,2,3，……，n ，……，排成数表如图所示，即第一行3个数，第二行6个数，且后一行比前一行多3个数，若第i 行、第j 列的数可用(i ，j )表示，则2 016可表示为 (37,18) .【解析】因为第一行有a 1＝3个数，第二行有a 2＝6个数， 所以每一行的数字个数组成以3为首项，3为公差的等差数列，所以第n 行有a n ＝3＋3(n －1)＝3n 个数，由求和公式可得前n 行共n (3＋3n )2个数，经检验可得第36行的第1个数为36×(3＋3×36)2＝1 998，按表中的规律可得第37行共3×37＝111个数，第一个为1999，所以2016为第37行的第18个数，故答案为(37,18).题型二 运用类比推理拓展新知识【例2】(1)给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)： ①若“a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”； ②若“a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“若a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③若“a ，b ∈R ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”.其中类比得到的结论正确的个数是( )A.0B.1C.2D.3(2)在平面上，设h a ，h b ，h c 是三角形ABC 三条边上的高，P 为三角形内任一点，P 到相应三边的距离分别为P a ，P b ，P c ，我们可以得到结论：P a h a ＋P b h b ＋P ch c＝1.把它类比到空间，写出三棱锥中的类似结论.【思路分析】(1)利用实数、复数、有理数的特点可作出判断；(2)三角形类比空间中的四面体(三棱锥)，三条边上的高类比四个面上的高，点到三边的距离类比点到平面的距离，根据此类比情况求解.【解析】(1)C.当a ，b ∈R 时，a －b ＝0得a ＝b ；当a ，b ∈C 时，a －b ＝0，即两个复数相等，故有a ＝b 成立，故①正确.对于②中，a ＋b i ＝c ＋d i 显然有实部相等，虚部也相等成立，当a ，b ∈Q 时，a ＋b 2＝c ＋d 2，则(a －c )＋(b －d )2＝0是有理数.故a －c ＝0同时b －d ＝0，即a ＝c ，b ＝d ，故②正确.③显然错误，因为两个复数如果不全是实数显然不能比较大小.(2)设h a ，h b ，h c ，h d 分别是三棱锥ABCD 四个面上的高，P 为三棱锥ABCD 内任一点，P 到相应四个面的距离分别为P a ，P b ，P c ，P d .于是我们可以得到结论：P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d＝1.【方法归纳】类比推理的关键是找到合适的类比对象.平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论.一般平面中的一些元素与空间中的一些元素的类比列表如下：【举一反三】2.椭圆中有如下结论：椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上斜率为1的弦的中点在直线x a 2＋y b 2＝0上.类比上述结论得到正确的结论：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b ＞0)上斜率为1的弦的中点在直线上.【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为双曲线上斜率为1的弦的两端点，则y 1－y 2x 1－x 2＝1，且x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b2＝1， 两式相减得：(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0，即x 1＋x 2a 2－y 1＋y 2b2＝0，设A ，B 的中点为(x ，y )，则x a 2－yb2＝0.题型三 运用“三段论”进行演绎推理【例3】(1)证明函数f (x )＝－x 2＋2x 在(－∞，1]上是增函数； (2)当x ∈[－5，－2]时，f (x )是增函数还是减函数？【思路分析】(1)证明本题的大前提是增函数的定义，即增函数f (x )满足：在给定区间内任取自变量的两个值x 1，x 2，且x 1< x 2，f (x 1)<f (x 2)，小前提是函数f (x )＝－x 2＋2x ，x ∈(－∞，1]，结论是满足增函数定义；(2)关键是[－5，－2]与f (x )的增区间或减区间的关系.【解析】(1)证明：任取x 1，x 2∈(－∞，1]，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝(x 2－x 1)(x 2＋x 1－2)， 因为x 1<x 2≤1，所以x 2＋x 1－2<0， 因为f (x 1)－f (x 2)<0，f (x 1)<f (x 2)， 于是，根据“三段论”可知， f (x )＝－x 2＋2x 在(－∞，1]上是增函数. (2)因为f (x )在(－∞，1]上是增函数， 而[－5，－2]是区间(－∞，1]的子区间， 所以f (x )在[－5，－2]上是增函数.【方法归纳】演绎推理是推理证明的主要途径，而“三段论”是演绎推理的一种重要的推理形式，在高考中以证明题出现的频率较大.用“三段论”进行证明的关键是找出正确的大前提与小前提.【举一反三】3.已知函数f (x )＝ln ax －x －a x(a ≠0).(1)求此函数的单调区间及最值；(2)求证：对于任意正整数n ，均有1＋12＋13＋…＋1n ≥ln e nn ！.【解析】(1)由题意f ′(x )＝x －ax 2. 当a ＞0时，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，此时函数在(0，a )上是减函数，在(a ，＋∞)上是增函数， f min (x )＝f (a )＝ln a 2，无最大值.当a ＜0时，函数f (x )的定义域为(－∞，0)，此时函数在(－∞，a )上是减函数，在(a,0)上是增函数， f min (x )＝f (a )＝ln a 2，无最大值.(2)证明：取a ＝1，由(1)知，f (x )＝ln x －x －1x ≥f (1)＝0，故1x ≥1－ln x ＝ln ex，取x ＝1,2,3，…，n ，则1＋12＋13＋…＋1n ≥ln e ＋ln e 2＋…＋ln e n ＝ln e nn ！.体验高考(2015山东)观察下列各式：C 01＝40； C 03＋C 13＝41； C 05＋C 15＋C 25＝42；C07＋C17＋C27＋C37＝43；……照此规律，当n∈N*时，＝.C02n－1＋C12n－1＋C22n－1＋…＋C n－12n－1【解析】4n－1.由题知C02n－1＋C12n－1＋C22n－1＋…＋C n－1＝4n－1.2n－1【举一反三】(2015福建)一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…x n(n∈N*)，其中x k(k＝1,2，…，n)称为第k位码元.二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0).已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组：其中运算定义为：00＝0,01＝1,10＝1,11＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1 101 101，那么利用上述校验方程组可判定k等于5.【解析】设a，b，c，d∈{0,1}，在规定运算法则下满足：a b c d＝0，可分为下列三类情形：①4个1：1111＝0，②2个1：1100＝0，③0个1：0000＝0，因此，错码1 101 101通过校验方程组可得：x5x6x7＝1101≠0；xx3x6x7＝1001＝0；xx 1x3x5x7＝1011≠0.所以错码可能出现在x1，x4，x5上.若x5＝0，则检验方程组都成立，故k＝5.若x1为错码，或x4为错码，经检验均不合题意.综上分析，x5为错码，故k＝5.14.2 直接证明与间接证明考点诠释重点：能运用直接证明(分析法、综合法)与间接证明(反证法)的方法证明一些简单的命题.难点：根据综合法、分析法及反证法的思维过程与特点选取适当的证明方法证明命题.典例精析题型一运用综合法证明【例1】证明不等式：x2＋y2＋z2≥xy＋yz＋xz.【思路分析】所要证明的不等式左右两边是和的形式，利用不等式a2＋b2≥2ab，然后再求和即可.【证明】因为x 2＋y 2≥2xy ，y 2＋z 2≥2yz ，x 2＋z 2≥2xz ， 所以2x 2＋2y 2＋2z 2≥2xy ＋2yz ＋2xz ， 所以x 2＋y 2＋z 2≥xy ＋yz ＋xz .【方法归纳】在用综合法证明命题时，必须首先找到正确的出发点，也就是能想到从哪里起步，我们一般的处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质，逐层推进，从已知逐渐引出结论.【举一反三】1.已知x ＋y ＋z ＝1，求证：x 2＋y 2＋z 2≥13.【证明】因为x 2＋y 2≥2xy ，x 2＋z 2≥2xz ，y 2＋z 2≥2yz ， 所以2x 2＋2y 2＋2z 2≥2xy ＋2xz ＋2yz .所以3x 2＋3y 2＋3z 2≥x 2＋y 2＋z 2＋2xy ＋2xz ＋2yz .所以3(x 2＋y 2＋z 2)≥(x ＋y ＋z )2＝1.所以x 2＋y 2＋z 2≥13.题型二 运用分析法证明【例2】已知函数f (x )＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且x 1≠x 2，求证：12[f (x 1)＋f (x 2)]＞f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22. 【思路分析】利用分析法.【证明】要证12[f (x 1)＋f (x 2)]＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22， 即证明12(tan x 1＋tan x 2)＞tan x 1＋x 22，只需证明12⎝⎛⎭⎫sin x 1cos x 1＋sin x 2cos x 2＞tan x 1＋x 22，只需证明sin(x 1＋x 2)2cos x 1cos x 2＞sin(x 1＋x 2)1＋cos(x 1＋x 2).由于x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，故x 1＋x 2∈(0，π). 所以cos x 1cos x 2＞0，sin(x 1＋x 2)＞0，1＋cos(x 1＋x 2)＞0， 故只需证明1＋cos(x 1＋x 2)＞2cos x 1cos x 2， 即证1＋cos x 1cos x 2－sin x 1sin x 2＞2cos x 1cos x 2， 即证cos(x 1－x 2)＜1. 由x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，x 1≠x 2，知上式显然成立， 因此，12[f (x 1)＋f (x 2)]＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22成立. 【方法归纳】(1)应用分析法易于找到思路的起始点，可探求解题途径；(2)应用分析法证明问题时要注意：严格按分析法的语言表达，下一步是上一步的充分条件. 【举一反三】2.设a ，b 为正数，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.【证明】要证a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2成立， 只需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )成立. 又因为a ＋b >0，只需证a 2－ab ＋b 2>ab 成立.只需证a 2－2ab ＋b 2>0成立， 即需证(a －b )2>0成立.而依题设a ≠b ，则(a －b )2>0显然成立，由此命题得证. 题型三 运用反证法证明【例3】已知a >0，b >0，a ＋b >2，求证：1＋a b ，b ＋1a 中至少有一个小于2.【思路分析】用反证法证明.【证明】假设1＋b a ，1＋a b 都不小于2，则1＋b a ≥2，1＋ab ≥2.因为a >0，b >0，所以1＋b ≥2a,1＋a ≥2b ， 所以1＋1＋a ＋b ≥2(a ＋b )，即2≥a ＋b . 这与已知a ＋b >2矛盾，故假设不成立. 即1＋b a ，1＋ab中至少有一个小于2. 【方法归纳】一般以下题型用反证法：①当“结论”的反面比“结论”本身更简单、更具体、更明确；②否定命题、唯一性命题、存在性命题、“至多”“至少”型命题；③有的肯定形式命题，由于已知或结论涉及无限个元素，用直接证明形式比较困难而往往用反证法.【举一反三】3.已知数列{a n }满足：a 1＝12，3(1＋a n ＋1)1－a n ＝2(1＋a n )1－a n ＋1，a n a n ＋1<0(n ≥1)；数列{b n }满足：b n ＝a 2n ＋1－a 2n (n ≥1).(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)证明：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列.【解析】(1)由题意可知，1－a 2n ＋1＝23(1－a 2n ).令c n ＝1－a 2n ，则c n ＋1＝23c n . 又c 1＝1－a 21＝34，则数列{c n }是首项为c 1＝34，公比为23的等比数列，即c n＝34·⎝⎛⎭⎫23n －1，故1－a 2n ＝34·⎝⎛⎭⎫23n －1⇒a 2n ＝1－34·⎝⎛⎭⎫23n －1. 又a 1＝12>0，a n a n ＋1<0，故b n ＝a 2n ＋1－a 2n ＝＝(2)证明：假设数列{b n }存在三项b r ，b s ，b t (r <s <t )按某种顺序成等差数列，由于数列{b n }是首项为14，公比为23的等比数列，于是有b r >b s >b t ，则只可能有2b s ＝b r ＋b t 成立.所以2·14·⎝⎛⎭⎫23s －1＝14·⎝⎛⎭⎫23r －1＋14·⎝⎛⎭⎫23t －1，两边同乘3t －121－r ，化简得3t －r ＋2t －r ＝2·2s －r 3t －s .由于r <s <t ，所以上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾. 故数列{b n }中任意三项不可能成等差数列.体验高考(2015福建)已知函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝kx (k ∈R ).(1)证明：当x ＞0时，f (x )＜x ；(2)证明：当k ＜1时，存在x 0＞0，使得对任意的x ∈(0，x 0)，恒有f (x )＞g (x )；(3)确定k 的所有可能取值，使得存在t ＞0，对任意的x ∈(0，t )，恒有|f (x )－g (x )|＜x 2. 【解析】(1)证明：令F (x )＝f (x )－x ＝ln(1＋x )－x ，x ∈[0，＋∞)， 则有F ′(x )＝11＋x －1＝－x x ＋1， 当x ∈(0，＋∞)时，F ′(x )＜0， 所以F (x )在(0，＋∞)上单调递减.故当x ＞0时，F (x )＜F (0)＝0，即当x ＞0时，f (x )＜x . (2)证明：令G (x )＝f (x )－g (x )＝ln(1＋x )－kx ，x ∈[0，＋∞)， 则有G ′(x )＝1x ＋1－k ＝－kx ＋(1－k )x ＋1. 当k ≤0时，G ′(x )＞0，故G (x )在(0，＋∞)上单调递增，G (x )＞G (0)＝0，故任意正实数x 0均满足题意.当0＜k ＜1时，令G ′(x )＝0，得x ＝1－k k ＝1k－1＞0，取x 0＝1k －1，对任意x ∈(0，x 0)，有G ′(x )＞0，从而G (x )在(0，x 0)上单调递增，所以G (x )＞G (0)＝0， 即f (x )＞g (x ).综上，当k ＜1时，总存在x 0＞0，使得对任意x ∈(0，x 0)， 恒有f (x )＞g (x ).(3)当k ＞1时，由(1)知，∀x ∈(0，＋∞)，g (x )＞x ＞f (x )， 故|f (x )－g (x )|＝g (x )－f (x )＝kx －ln(1＋x )＞kx －x ＝(k －1)x . 令(k －1)x ＞x 2，解得0＜x ＜k －1.从而得到，当k ＞1时，对于x ∈(0，k －1)，恒有|f (x )－g (x )|＞x 2，故满足题意的t 不存在.当k ＜1时，取k 1＝k ＋12，从而k ＜k 1＜1，由(2)知，存在x 0＞0，使得对任意的x ∈(0，x 0)，f (x )＞k 1x ＞kx ＝g (x )，此时|f (x )－g (x )|＝f (x )－g (x )＞(k 1－k )x ＝1－k2x .令1－k 2x ＞x 2，解得0＜x ＜1－k2，此时f (x )－g (x )＞x 2.记x 0与1－k 2中的较小者为x 1，当x ∈(0，x 1)时，恒有|f (x )－g (x )|＞x 2，故满足题意的t 不存在.当k ＝1时，由(1)知，x ＞0时，|f (x )－g (x )|＝g (x )－f (x )＝x －ln(1＋x )， 令M (x )＝x －ln(1＋x )－x 2，x ∈[0，＋∞)， 则有M ′(x )＝1－11＋x －2x ＝－2x 2－x x ＋1.当x ＞0时，M ′(x )＜0，所以M (x )在[0，＋∞)上单调递减，故M (x )＜M (0)＝0. 故当x ＞0时，恒有|f (x )－g (x )|＜x 2，此时，任意正实数t 均满足题意. 综上，k ＝1.【举一反三】(2015湖北)已知数列{a n }的各项均为正数，b n ＝n ⎝⎛⎭⎫1＋1n na n (n ∈N *)，e 为自然对数的底数.(1)求函数f (x )＝1＋x －e x 的单调区间，并比较⎝⎛⎭⎫1＋1n n与e 的大小； (2)计算b 1a 1，b 1b 2a 1a 2，b 1b 2b 3a 1a 2a 3，由此推测计算b 1b 2…b n a 1a 2…a n的公式，并给出证明；(3)令c n ＝(a 1a 2…a n )，数列{a n }，{c n }的前n 项和分别记为S n ，T n ，证明：T n ＜e S n . 【解析】(1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝1－e x . 当f ′(x )＞0，即x ＜0时，f (x )单调递增； 当f ′(x )＜0，即x ＞0时，f (x )单调递减.故f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞). 当x ＞0时，f (x )＜f (0)＝0，即1＋x ＜e x .令x ＝1n ，得1＋1n＜e ，即⎝⎛⎭⎫1＋1n n ＜e.① (2)b 1a 1＝1×⎝⎛⎭⎫1＋111＝1＋1＝2； b 1b 2a 1a 2＝b 1a 1·b 2a 2＝2×2×⎝⎛⎭⎫1＋122＝(2＋1)2＝32； b 1b 2b 3a 1a 2a 3＝b 1b 2a 1a 2·b 3a 3＝32×3×⎝⎛⎭⎫1＋133＝(3＋1)3＝43. 由此推测：b 1b 2…b na 1a 2…a n ＝(n ＋1)n .②下面用数学归纳法证明②.(Ⅰ)当n ＝1时，左边＝右边＝2，②成立.(Ⅱ)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，②成立，即b 1b 2…b ka 1a 2…a k＝(k ＋1)k .当n ＝k ＋1时，b k ＋1＝(k ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ＋1k ＋1a k ＋1，由归纳假设可得b 1b 2…b k b k ＋1a 1a 2…a k a k ＋1＝b 1b 2…b k a 1a 2…a k ·b k ＋1a k ＋1＝(k ＋1)k(k ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ＋1k ＋1＝(k ＋2)k ＋1， 所以当n ＝k ＋1时，②也成立.根据(Ⅰ)(Ⅱ)，可知②对一切正整数n 都成立.(3)证明：由c n 的定义，②，算术－几何平均不等式，b n 的定义及①得≤b 11×2＋b 1＋b 22×3＋b 1＋b 2＋b 33×4＋…＋b 1＋b 2＋…＋b n n (n ＋1)＝b 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)＋b 2⎣⎡12×3＋13×4＋…＋⎦⎥⎤1n (n ＋1)＋…＋b n ·1n (n ＋1)＝b 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n ＋1＋…＋b n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＜b 11＋b 22＋…＋b n n＝⎝⎛⎭⎫1＋111a 1＋⎝⎛⎭⎫1＋122a 2＋…＋⎝⎛⎭⎫1＋1n n a n ＜e a 1＋e a 2＋…＋e a n ＝e S n ，即T n ＜e S n .14.3 数学归纳法考点诠释重点：数学归纳法的基本思想与证明步骤；运用数学归纳法证明与自然数n (n ∈N *)有关的数学命题.难点：理解数学归纳法的思维实质，特别是第二个步骤要根据归纳假设进行推理与证明.典例精析题型一 用数学归纳法证明等式或不等式【例1】是否存在常数a ，b ，c ，使等式12＋22＋32＋…＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝an (bn 2＋c )对于一切n ∈N *都成立？若存在，求出a ，b ，c 并证明；若不存在，试说明理由.【思路分析】对于存在性问题，先假设存在，对n 取特殊数值1,2,3时得三个方程，解出a ，b ，c ，然后利用数学归纳法证明.【解析】假设存在a ，b ，c 使12＋22＋32＋…＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝an (bn 2＋c )对于一切n ∈N *都成立.当n ＝1时，a (b ＋c )＝1； 当n ＝2时，2a (4b ＋c )＝6；当n ＝3时，3a (9b ＋c )＝19.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a (b ＋c )＝1，a (4b ＋c )＝3，3a (9b ＋c )＝19，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝13，b ＝2，c ＝1.证明如下：当n ＝1时，显然成立； 假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时等式成立，即12＋22＋32＋…＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12＝13k (2k 2＋1)； 则当n ＝k ＋1时，12＋22＋32＋…＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12＝13k (2k 2＋1)＋(k ＋1)2＋k 2＝13k (2k 2＋3k ＋1)＋(k ＋1)2＝13k (2k ＋1)(k ＋1)＋(k ＋1)2＝13(k ＋1)(2k 2＋4k ＋3)＝13(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1].因此存在a ＝13，b ＝2，c ＝1，使等式对一切n ∈N *都成立. 【方法归纳】 用数学归纳法证明等式(或不等式)，关键点在于“先看项”，弄清等式(或不等式)两边各有多少项，初始值n 是多少.同时观察由n ＝k 到n ＝k ＋1，等式(或不等式)两边变化的项，并利用归纳假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明.【举一反三】1.函数f (x )＝x 2－2x －3.定义数列{x n }如下：x 1＝2，x n ＋1是过两点P (4,5)，Q n (x n ，f (x n ))的直线PQ n 与x 轴交点的横坐标.(1)证明：2≤x n ＜x n ＋1＜3；(2)求数列{x n }的通项公式.【解析】(1)用数学归纳法证明：2≤x n ＜x n ＋1＜3.①当n ＝1时，直线PQ 1的方程为y －5＝f (2)－52－4(x －4)，令y ＝0，解得x 2＝114，又x 1＝2，所以2≤x 1＜x 2＜3.②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，结论成立，即2≤x k ＜x k ＋1＜3.当n ＝k ＋1时，x k ＋1＝3＋4x k 2＋x k. 直线PQ k ＋1的方程为y －5＝f (x k ＋1)－5x k ＋1－4(x －4)，令y ＝0，解得x k ＋2＝3＋4x k ＋12＋x k ＋1. 由归纳假设知x k ＋2＝3＋4x k ＋12＋x k ＋1＝4－52＋x k ＋1＜4－52＋3＝3； x k ＋2－x k ＋1＝(3－x k ＋1)(1＋x k ＋1)2＋x k ＋1＞0，即x k ＋1＜x k ＋2. 所以2≤x k ＋1＜x k ＋2＜3，即当n ＝k ＋1时，结论成立.所以，对任意的正整数n,2≤x n ＜x n ＋1＜3.(2)由(1)及题意得x n ＋1＝3＋4x n 2＋x n. 设b n ＝x n －3，则1b n ＋1＝5b n ＋1，1b n ＋1＋14＝5⎝⎛⎭⎫1b n ＋14， 数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n ＋14是首项为－34，公比为5的等比数列. 因此1b n ＋14＝－34·5n －1，即b n ＝－43·5n －1＋1， 所以数列{x n }的通项公式为x n ＝3－43·5n －1＋1. 题型二 用数学归纳法证明整除性问题【例2】 已知f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9，是否存在自然数m ，使得对任意的n ∈N *，都有m 整除f (n )？若存在，求出最大的m 值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.【思路分析】首先取n ＝1,2,3，计算出f (1)，f (2)，f (3)，观察猜想出最大的m 值，然后利用数学归纳法证明.【解析】由f (1)＝36，f (2)＝108，f (3)＝360，猜想：f (n )能被36整除，下面用数学归纳法证明.①当n ＝1时，结论显然成立；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时结论成立，即f (k )＝(2k ＋7)·3k ＋9能被36整除.则当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝(2k ＋9)·3k ＋1＋9＝3[(2k ＋7)·3k ＋9]＋18(3k －1－1)，由假设知3[(2k ＋7)·3k ＋9]能被36 整除，又3k －1－1是偶数，故18(3k －1－1)也能被36 整除.即n ＝k ＋1时结论也成立.故由①②可知，对任意正整数n 都有f (n )能被36整除.由f (1)＝36知，36是整除f (n )的最大值，即存在自然数m ，使得对任意的n ∈N *，都有m 整除f (n )，且最大的m 值是36.【方法归纳】与正整数n 有关的整除性问题也可考虑用数学归纳法证明.在证明n ＝k ＋1结论也成立时，要注意“凑形”，即凑出归纳假设的形式，以便于充分利用归纳假设的条件.【举一反三】2.用数学归纳法证明：(3n ＋1)·7n －1(n ∈N *)能被9整除.【证明】(1)当n ＝1时，(3×1＋1)×7－1＝27能被9整除，命题成立；(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时命题成立，即(3k ＋1)·7k －1能被9整除，则当n ＝k ＋1时，[3(k ＋1)＋1]·7k ＋1－1＝(3k ＋1)·7k ＋1－1＋3·7k ＋1＝(3k ＋1)·7k －1＋6(3k ＋1)·7k ＋3·7k ＋1＝(3k ＋1)·7k －1＋9·(2k ＋3)·7k .由于(3k ＋1)·7k －1和9·(2k ＋3)·7k 都能被9整除，所以(3k ＋1)·7k －1＋9·(2k ＋3)·7k 能被9整除，即当n ＝k ＋1时，命题也成立，故(3n ＋1)·7n －1(n ∈N *)能被9整除.题型三 数学归纳法在函数、数列、不等式证明中的运用【例3】在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n . (1)求a 1，a 2，a 3；(2)由(1)猜想数列{a n }的通项公式，并且用数学归纳法证明你的猜想.【思路分析】(1)数列{a n }的各项均为正数，且S n ＝12⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n ，所以可根据解方程求出a 1，a 2，a 3；(2)观察a 1，a 2，a 3，猜想出{a n }的通项公式a n ，然后再证明.【解析】(1)由S 1＝a 1＝12⎝⎛⎭⎫a 1＋1a 1，得a 21＝1. 因为a n ＞0，所以a 1＝1，由S 2＝a 1＋a 2＝12⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2，得a 22＋2a 2－1＝0， 所以a 2＝2－1.又由S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12⎝⎛⎭⎫a 3＋1a 3， 得a 23＋22a 3－1＝0，所以a 3＝3－ 2.(2)猜想a n ＝n －n －1(n ∈N *).证明：①当n ＝1时，a 1＝1＝1－0，猜想成立.②假设当n ＝k (k ∈N *，且k ≥1)时猜想成立，即a k ＝k －k －1，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝⎛⎭⎫a k ＋1a k ， 即a k ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛ k －k －1＋ ⎭⎪⎫1k －k －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k ， 所以a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0，所以a k ＋1＝k ＋1－k . 即n ＝k ＋1时猜想成立.由①②知，a n ＝n －n －1(n ∈N *).【方法归纳】解“归纳—猜想—证明”题的关键环节(1)准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础；(2)通过观察、分析、比较、联想，猜想出一般结论；(3)对一般结论用数学归纳法进行证明.【举一反三】3.已知等差数列{a n }的公差d 大于0，且a 2，a 5是方程x 2－12x ＋27＝0的两根，数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ＝1－12b n . (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，试比较1b n与S n ＋1的大小，并说明理由.【解析】(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝12，a 2a 5＝27. 又因为{a n }的公差大于0，所以a 5>a 2，所以a 2＝3，a 5＝9.所以d ＝a 5－a 23＝9－33＝2，a 1＝1. 因为T n ＝1－12b n ，b 1＝23， 当n ≥2时，T n －1＝1－12b n －1， 因为b n ＝T n －T n －1＝1－12b n －⎝⎛⎭⎫1－12b n －1， 化简得b n ＝13b n －1， 所以{b n }是首项为23，公比为13的等比数列， 即b n ＝23·(13)n －1＝23n . 所以a n ＝2n －1，b n ＝23n . (2)因为S n ＝1＋(2n －1)2·n ＝n 2， 所以S n ＋1＝(n ＋1)2，以下比较1b n与S n ＋1的大小： 当n ＝1时，1b 1＝32，S 2＝4，所以1b 1<S 2； 当n ＝2时，1b 2＝92，S 3＝9，所以1b 2<S 3； 当n ＝3时，1b 3＝272，S 4＝16，则1b 3<S 4； 当n ＝4时，1b 4＝812，S 5＝25，得1b 4>S 5. 猜想：当n ≥4时，1b n>S n ＋1. 下面用数学归纳法证明：①当n ＝4时，不等式成立；②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥4)时，1b k>S k ＋1， 即3k 2>(k ＋1)2，那么，当n ＝k ＋1时， 1b k ＋1＝3k ＋12＝3·3k 2>3(k ＋1)2＝3k 2＋6k ＋3＝(k 2＋4k ＋4)＋2k 2＋2k －1>[(k ＋1)＋1]2＝S (k ＋1)＋1， 所以n ＝k ＋1时，1b n>S n ＋1也成立. 由①②可知，n ∈N *，n ≥4时，1b n>S n ＋1成立. 综上所述，当n ＝1,2,3时，1b n<S n ＋1； 当n ≥4时，1b n >S n ＋1.体验高考(2015江苏)已知集合X ＝{1,2,3}，Y n ＝{1,2,3，…，n }(n ∈N *)，设S n ＝{(a ，b )|a 整除b 或b 整除a ，a ∈X ，b ∈Y n }，令f (n )表示集合S n 所含元素的个数.(1)写出f (6)的值；(2)当n ≥6时，写出f (n )的表达式，并用数学归纳法证明.【解析】(1)f (6)＝13.(2)当n ≥6时，f (n )＝⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧ n ＋2＋⎝⎛⎭⎫n 2＋n 3，n ＝6t ，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n －13，n ＝6t ＋1，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n －23，n ＝6t ＋2，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n 3，n ＝6t ＋3，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n －13，n ＝6t ＋4，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n －23，n ＝6t ＋5(t ∈N *).下面用数学归纳法证明： ①当n ＝6时，f (6)＝6＋2＋62＋63＝13，结论成立； ②假设n ＝k (k ≥6)时结论成立，那么n ＝k ＋1时，S k ＋1在S k 的基础上新增加的元素在(1，k ＋1)，(2，k ＋1)，(3，k ＋1)中产生，分以下情形讨论：1)若k ＋1＝6t ，则k ＝6(t －1)＋5，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋3＝k ＋2＋k －12＋k －23＋3＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋k ＋13，结论成立； 2)若k ＋1＝6t ＋1，则k ＝6t ，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k 3＋1 ＝(k ＋1)＋2＋(k ＋1)－12＋(k ＋1)－13，结论成立； 3)若k ＋1＝6t ＋2，则k ＝6t ＋1，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k －12＋k －13＋2 ＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋(k ＋1)－23，结论成立； 4)若k ＋1＝6t ＋3，则k ＝6t ＋2，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k 2＋k －23＋2＝(k ＋1)＋2＋(k ＋1)－12＋k ＋13，结论成立； 5)若k ＋1＝6t ＋4，则k ＝6t ＋3，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k －12＋k 3＋2 ＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋(k ＋1)－13，结论成立； 6)若k ＋1＝6t ＋5，则k ＝6t ＋4，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k －13＋1 ＝(k ＋1)＋2＋(k ＋1)－12＋(k ＋1)－23，结论成立. 综上所述，结论对满足n ≥6的自然数n 均成立.【举一反三】(2015北京)已知数列{a n }满足：a 1∈N *，a 1≤36，且a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2a n ，a n ≤18，2a n －36，a n ＞18(n ＝1,2，…).记集合M ＝{a n |n ∈N *}.(1)若a 1＝6，写出集合M 的所有元素；(2)若集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数；(3)求集合M 的元素个数的最大值.【解析】(1)6,12,24.(2)证明：因为集合M 存在一个元素是3的倍数.所以不妨设a k 是3的倍数.由a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ，a n ≤18，2a n －36，a n ＞18(n ＝1,2，…)可归纳证明对任意n ≥k ，a n 是3的倍数. 如果k ＝1，则M 的所有元素都是3的倍数.如果k ＞1，因为a k ＝2a k －1或a k ＝2a k －1－36，所以2a k －1是3的倍数，于是a k －1是3的倍数.类似可得，a k －2，…，a 1都是3的倍数.从而对任意n ≥1，a n 是3的倍数，因此M 的所有元素都是3的倍数.综上，若集合M 存在一个元素是3的倍数，则M 的所有元素都是3的倍数. (3)由a 1≤36，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2a n －1，a n －1≤18，2a n －1－36，a n －1＞18，可归纳证明a n ≤36(n ＝2,3，…). 因为a 1是正整数，a 2＝⎩⎪⎨⎪⎧2a 1，a 1≤18，2a 1－36，a 1＞18，所以a 2是2的倍数， 从而当n ≥3时，a n 是4的倍数.如果a 1是3的倍数，由(2)知对所有正整数n ，a n 是3的倍数，因此，当n ≥3时，a n ∈{12,24,36}.这时M 的无素个数不超过5.如果a 1不是3的倍数，由(2)知对所有正整数n ，a n 不是3的倍数， 因此当n ≥3时，a n ∈{4,8,16,20,28,32}.这时M的元素个数不超过8.当a1＝1时，M＝{1,2,4,8,16,20,28,32}有8个元素.综上可知，集合M的元素个数的最大值为8.。