梯形的中位线[上学期]--华师大版

《九年级上第二十四章第四节 中位线》教案【教学课型】：新课◆课程目标导航：【教学目标】：1.理解三角形中位线定义与性质，会应用三角形中位线解决实际问题．2. 理解梯形的中位线概念及其性质，会应用梯形中位线定理来解决实际问题．【教学重点】：三角形及梯形的中位线定理．【教学难点】：三角形及梯形中位线定理的形成和应用． 【教学工具】：投影仪◆ 教学情景导入师:1.如何判定两三角形相似?你有几种方法?2.相似三角形有哪些性质? 生:1.三种判定方法:两角对应相等,两三角形相似;两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似; 三边成比例两三角形相似。

2.相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比;相似三角形的周长比等于相似比;相似三角形的面积比等于相似比的平方◆教学过程一、新授：已知：如图1，在△ABC 中，DE ∥BC ，求证：AD AE AB AC ==DEBC． E D CA EDC AED CA(1) (2) (3) 教师活动：操作投影仪，提出问题，引导学生解决课堂练题．学生活动：应用相似三角形判定方法，解决课堂练习，因为∠A=∠A ，∵DE ∥BC ，∴∠ADE=∠B ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AD AE AB AC ==DEBC． 猜想:教师提问：如果D 是AB 中点，点E 也是AC 的中点，其它条件不变，求DEBC的值．学生回答：DEBC=12，即DE=12BC．（如图2）教师提问：如果点D、E原来就是AB与AC的中点，那么能否得出DE∥BC？DE与BC•之间有怎样的数量关系呢？请同学们通过画图来猜想．学生活动：动手画图，并与同伴交流，猜想出：DE∥BC，DE=12BC．（如图24．4-3）教师提问：你能证明出你所猜想的结论呢？学生活动：动手证明，并与同伴交流．思路点拨：首先应弄清楚已知条件是什么？从图3可以看出，在△ABC中，•点D、E分别是AB与AC的中点，这就是条件，结论是求证DE∥BC，DE=12BC．•由中点定义可以推得AD AEAB AC==12，又因为∠A=∠A，应用“角等，夹边对应成比例”证出△ADE∽△ABC，•这样可得到∠ADE=∠ABC，DEBC=12，因此有DE∥BC且DE=12 BC．师生共识概括：（1）三角形中位线定义．（见课本P68）（2）三角形中位线定理．（见课本P68）例1：见课本P68例1．思路分析：对于文字题，首先应依题意，画出图形，写出已知、求证（见课本P68）．本题要证明AE、DF互相平分，可以从全等三角形或平行四边形的知识入手，•进行证明．以平行四边形为例，需构建一个与AE、DF有关的四边形，•然后再证明它是一个平行四边形，本题构建出四边形ADEF，利用三角形中位线定理，很容易证出DE∥AC，EF∥AB，这样就得到ADEF，从而有AE、DE互相平分．师生分析例题1，引导学生解题．例2：见课本P68例2．思路分析：上面我们得到一种经验的思想，那就是凡是中点问题都可以考虑用中位线定理，不妨我们试一试，本题D、E分别是BC、AB的中点，要应用中位线，首先要构建中位线，这种辅助线就自己引出，连结ED，利用中位线定理，DE∥AC，DEAC=12，由此可推得△ACG∽△DEG，GE GDGC AG==DEAC=12，因此有13GE GDCE AD==．证明见课本P68．师引导学生应用经验分析思想，来寻找思路．拓展延伸：教师通过例2，引入三角形重心定义．（见课本P69）注意：数学上的“重心”与物理上的“重心”是一致的，学习中应加以对照．师要求生观察下图:师：如果M、N是梯形两腰的中点，那么，连结MN的线段，我们称它为梯形的中位线．师提问：梯形的中位线具有哪些性质呢？请同学们想一想？生：画图猜测得到MN∥BC，MN=12（BC+AD）．师：刚才有些同学猜测到梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．现在请同学们来证明这个定理．生：联想到三角形中位线定理，而且回忆到“凡是梯形问题都可以通过三角形、平行四边形来解决”的这种化归思想．生：可以转化成三角形，用三角形中位线定理来解决！师：大家想得很好，现在的问题在于怎样转化？也就是如何做辅助线来达到转化的目的．师引导学生用如下做法：连接AN并延长交BC延长线于E，•这种写法的优点是避免了证明A、N、E三点一线的问题，如图．师：引导学生分析，并写出证明过程．学生活动：在正确作出辅助线之后，完成全部的证明．（板书）证明：连结AN并延长，交BC的延长线于点E．∵DN=NC，∠AND=∠CNE，∠NDA=∠NCE∴△ADN≌△ECN∴AN=EN，AD=EC．又∵AM=MB∴MN是△ABE的中位线∴MN∥BC，MN=12BC∵BE=BC+CE=BC+CD∴MN=12（BC+AD）思考:课本P70提出的问题学生活动，解决问题如下：图中L1，L2表示梯形的上、下底，h表示高，由小学学过的知识得到梯形面积公式为：S=12（L1+L2）h．根据梯形中位线定理可知：中位线L=12（L1+L2），因此，梯形面积公式也可以写成下面的形式：S=Lh．二、巩固练习P70练习三、小结1.三角形中位线定理，是三角形的一个重要性质定理，这个定理有一个特点：在同一个题设下，有两个结论，一个结论是表明位置关系的，另一个结论是表明数量关系的，在应用这个定理时，不一定同时需要两个结论，有时需要平行关系，有时要求倍分关系，可以根据具体情况，按需选用．2.梯形中位线定理是梯形的一个重要性质，它也像三角形中位线定理那样，在同一题设下有两个结论，应用时视其具体要求选用结论．◆课堂板书设计标题三角形中位线的定义三角形中位线定理例1例2梯形中位线定理课堂练习课堂总结◆练习作业设计（课堂作业设计、课下作业设计）课堂作业:1．如图，在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB中点E，连结CD和CE，求证：CD=2CE．2．梯形的上底8cm，下底长10cm，则中位线长为________．3．梯形的上底是8cm，中位线长10cm，则下底长为________．答案:1．提示：过B作BF∥AC，用三角形中位线；2． 9cm3．12cm课下作业:1.如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，如果测得MN=20m，那么A、B两点间的距离是多少？为什么？2.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC和∠BAD的平分线相交于点P，•且P在CD上，求证：AB=AD+BC．DCBAP答案:1.40m,利用三角形中位线定理2．提示：取AB中点E，连接EP，用梯形中位线。

等腰梯形 三角形中位线 梯形中位线1. 已知：如图所示，等腰梯形ABCD 中，AD//BC ，AD=3，AB=4，BC=7，求∠B 的度数。

A D2. 已知：如图所示，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AB=DC ，对角线AC BD ⊥，且AD=3cm ，BC=7cm ，求BD 的长。

3. 在等腰梯形ABCD 中，AD//BC ，点B 到CD 的距离等于8，E 是BC 的中点，EF AB F EG CD G ⊥⊥于，于，求：（1）E 到两腰距离之和。

（2）当E 在BC 上移动时，设EF=m ，EG=n ，x m n =+，则x 的值是否会发生变化？A DFGB E C4. 已知：如图所示，在△ABC 中，∠=∠⊥B C AD BC 2，于D ，M 是BC 的中点，求证：AB=2MD 。

5. 如图所示，在四边形ABCD 中，已知E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点。

（1）请判断四边形EFGH 是什么四边形？试说明理由。

（2）如果四边形EFGH 是菱形，那么对角线AC 、BD 满足什么条件？（3）当对角线AC 与BD 互相垂直时，四边形EFGH 是什么四边形？（4）根据上面的结论，你悟出了些什么？B F C6. 在梯形ABCD 中，AB//DC ，中位线EF=7cm ，对角线AC BD BDC ⊥∠=，°30，求梯形的高AH 。

D7. 在等腰△ABC 中，AH BC H D ⊥于，是BC 上的任意一点，过D 作BC 的垂线交AC 于M ，交BA 的延长线于N 。

求证：DM DN AH +=2B H D C试题答案1. 解：如图所示，过A 点作AE//CD ，有平行四边形AECD ，则△ABE 为等边三角形。

答案：∠=B 60°A DC2. 简解：作DE//AC 交BC 的延长线于E ，则CE=AD△BDE 是等腰直角三角形由勾股定理求得BD cm =523. 解：（1）过B 作BH CD ⊥于H ，过E 作EM BH ⊥于M ，则四边形EGHM 是矩形。