行列式按一行或一列展开及行列式的计算

03. 行列式的展开法则 一、按一行(列)展开法则定义3.1 (,)i j 元素或(,)i j 位置的余子式ij M 、代数余子式(1)i j ij ij A M +=- 例3.1 3111112121313111112121313||ij a a M a M a M a A a A a A =-+=++. 定理3.1 1)按一行展开法则 1122||(1,2,,)A i i i i in in a A a A a A i n =+++= ； 2)按一列展开法则 1122||(1,2,,)A j j j j nj nj a A a A a A j n =+++= . 按第一行的展开公式就是n 阶行列式(2)n ≥的降阶定义. 例3.2 计算下列n 阶行列式1)xy x yyx； 2)111111121n n----； 3)121111n n na a xD a xa x---=-.解 1)按1c 展开得原式1111111(1)(1)n n n n n n n xA yA xxy y x y -+-+=+=+-=+-. 2)原式121(1)(12)2n n nn n c c c c n n n A c -++++++++=按展开. 3)法1 按1r 展开得()112112121223121211(,,,)(,,)(,,).()n n n n n n n n n n n n n n n D a a a a x D a a a x a x D a a a x a x a x a D a a --------=+=++==++++=法2 在n D 中，元素(21)i a i n ≤≤-的余子式为11111(1)11i n i i x x M x x x x-----==---.将n D 按1c 展开得11211211(1)ni n n n i i n n i D a M a x a x a x a +---==-=++++∑ .法3 1121212112121101,1,,210i i nn n n n n n na a x a r xr D i n n a x a x a a x a x a x a --------+-+=-+++-++++12121n n n n a x a x a x a ---=++++ . ()11111(1)(1)(1)1n n n n n A M ++-=-=--=法4 按n r 展开得111212121.n n n nn n n n n n n n n n D a A xA a xD a a x xD a x a x a x a ------=+=+=++==++++定理3.2 当i j ≠时， 11220i j i j in jn a A a A a A +++= ；11220i j i j ni nj a A a A a A +++= . 注 1122||A i j i j in jn ij a A a A a A +++= δ， 1122||A i j i j ni nj ij a A a A a A +++= δ，其中1,;0,ij i j i j=⎧=⎨≠⎩当当δ为克罗内克(Kronecker )符号.例3.3 1)二元(实)函数1,;(,)0,.x y f x y x y =⎧=⎨≠⎩当当 显然(,)xy f x y =δ.2)diag(1,1,,1)[]ij n n ⨯= δ.例3.4 设四阶行列式1212211220211234D =. 1)求代数余子式12A ； 2)求1121314123A A A A +++； 3)求41424344A A A A +++.行列式的完全展开定义、公理化定义、降阶定义可以互相推证. 以降阶定义为原始定义做理论推导时，可以引入仿克罗内克符号1,;0,.ij i j i j <⎧=⎨>⎩当当ρ 例3.5 1)若正整数i j ≠，则1.ij ji +=ρρ2)仿克罗内克符号有缺项定位功能. 在序列124567,,,,,a a a a a a 中，(17,3)i a i i ≤≤≠位于第3i i -ρ位. 在序列12467,,,,a a a a a中，(17,3,5)i a i i ≤≤≠位于第35i i i --ρρ位.3)仿克罗内克符号有描述逆序功能.s t j j 构成逆序01s t t s j j j j ⇔=⇔=ρρ，121()t sn j j s t nj j j ≤<≤=∑τρ.例3.6 n 阶范德蒙(Vandermonde )矩阵1[]i j n n a -⨯的行列式122131121(,,,)()()()(,,)().n n n j i i j nV a a a a a a a a a V a a a a ≤<≤=---=-∏例3.7 填空11112345_____49162582764125----=----.例3.8 设0abcd ≠，求证222211(,,,)11a a bcd b b acdV a b c d c c abd d d abc=-.例3.9 计算n 阶三对角行列式111n a b ab a b ab D a b aba b++=++ .二、按多行(列)展开法则定义3.2 矩阵A m n ⨯的k l ⨯子矩阵1212A k l i i i j j j ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 及其余子阵，k 阶子方阵、k 阶子式；n 阶方阵或其行列式中k 阶子式的n k -阶余子式M 、代数余子式1212()()(1)k k i i i j j j A M +++++++=- ，k 阶(顺序)主子阵、k 阶(顺序)主子式. 主子式的代数余子式就是余子式.例3.10 设55[]A ij a ⨯=.1)25135A ⎛⎫⎪⎝⎭是A 的一个23⨯子矩阵，13424A ⎛⎫⎪⎝⎭为其余子阵；2)1325A ⎛⎫⎪⎝⎭是A 的一个2阶子方阵，1325A ⎛⎫ ⎪⎝⎭是A 的一个2阶子式，245134A ⎛⎫⎪⎝⎭为对应余子式，而对应代数余子式为(13)(25)245245(1)134134A A +++⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；3)235235A ⎛⎫ ⎪⎝⎭是A 的一个3阶主子阵，235235A ⎛⎫⎪⎝⎭是A 的一个3阶主子式，其代数余子式就是余子式1414A ⎛⎫⎪⎝⎭，是A 的一个2阶主子式；4)A 共有五个顺序主子阵(式).定理3.3 按多行(列)展开法则——拉普拉斯(Laplace )定理1122C C ||A k k nnN A N A N A =+++ .例3.11 计算四阶行列式1234500112365112D -=--.例3.12 计算六阶行列式111000234000310161111101112411243161139D =---.例3.13 计算六阶行列式120000350000635475124583240064270034D -=-.例3.14 计算叉形行列式1)11211n n n nna b a b D c d c d =；2)112111nn n nna b a b D e c d c d +=.。

行列式的几种计算方法行列式是线性代数中的重要知识点，它广泛应用于数学、物理等领域。

行列式的计算有多种方法，每种方法都有其特点和适用的场合。

下面我们就来介绍一下几种行列式的计算方法。

一、拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法是一种矩阵求解行列式的方法，通过选取某一行或某一列的元素展开，将行列式转化为较小规模的行列式相乘的和的形式。

具体步骤如下：1. 选择任意一行或一列，假设选择第i行，i列的元素进行展开。

2. 对于第i行第j列的元素A[i,j]，计算其代数余子式M[i,j]。

这种方法的优点是可以将较大的行列式转化为多个规模较小的行列式相乘的形式，简化了计算的难度。

但是这种方法并不适合于计算较大规模的行列式，因为会产生大量的中间结果需要计算。

二、按行（列）展开法按行（列）展开法的计算比较直观，适合用于小规模行列式的计算。

但是对于较大规模的行列式，计算量会相当大，不够高效。

三、三角形式计算法1. 利用初等变换将方阵化为上三角形或下三角形形式。

2. 上三角形形式的行列式等于对角线元素的乘积。

比较适用于计算较大规模行列式，但是需要进行大量的初等变换操作，计算复杂度较高。

四、行列式性质法行列式性质法是一种基于行列式性质推导的计算方法，通过运用多项式代数的性质，将行列式转化为一些易于计算的形式。

行列式性质包括奇偶性、行列式的性质、对称性质等。

具体步骤如下：1. 利用行列式性质将行列式进行转化，使其具有更加易于计算的形式。

2. 依次计算每一项的值，得出行列式的结果。

行列式性质法适用于各种规模的行列式，但需要熟练掌握行列式的性质和多项式代数的运算规则。

行列式的计算有多种方法，每种方法都有其适用的场合。

选择合适的计算方法可以提高计算效率，简化计算流程。

在实际运用中，根据行列式的规模和具体情况选择合适的计算方法是非常重要的。

希望本文介绍的几种行列式的计算方法能够帮助大家更好地理解和运用行列式知识。

行列式的计算方法总结行列式是矩阵的一个重要的数值性质，它将一个矩阵映射为一个数。

行列式的计算方法有多种，包括按定义展开、按行（列）展开、按特定行（列）展开、按相似行变化展开、按行列变换展开等等。

下面将总结行列式的计算方法。

1. 按定义展开法：行列式的定义是通过求和的形式给出的，具体计算步骤如下：a. 对于1×1的矩阵，直接返回矩阵元素的值。

b. 对于n×n的矩阵A，选择第一行或第一列，如第一行，则有det(A) = a_{11} * det(A_{11}) - a_{12} * det(A_{12}) + ... + (-1)^(1+n) * a_{1n} * det(A_{1n})，其中A_{ij}表示删去第i行第j列后的（n-1）×（n-1）的矩阵。

c. 迭代调用行列式计算函数，直到矩阵规模变为1×1，然后返回最终的计算结果。

2. 按行（列）展开法：选择任意一行（列），对于这一行（列）的每个元素aij，计算aij*（-1）^(i+j)*Det(Aij)，其中Det(Aij)表示矩阵A删去第i行第j列后的（n-1）×（n-1）的矩阵的行列式。

将所有结果相加即可获得行列式的值。

3. 按特定行（列）展开法：对于任意一行（列）i，选择元素a_{ik}，其中k≤n。

根据特定行（列）展开的性质，行列式的值可以表示为det(A) =a_{ik} * C_{ik}，其中C_{ik}表示A中删去第i行第k列后的（n-1）×（n-1）的矩阵的行列式。

简而言之，即选取矩阵中的某个元素，用这个元素乘以它的代数余子式（或称余子式）再相加。

4. 按相似行变化展开法：相似行是指行向量的倍数，对于具有相似行的矩阵A，其行列式的值为零。

因此，可以选择特定的行对矩阵进行行变换，使得相似行变成0，从而简化计算。

这需要根据具体的矩阵进行分析，选择合适的行变换方式。

5. 按行列变换展开法：行列变换可以通过交换两行（列）或某行（列）乘以一个非零数加到另外一行（列）上进行。

行列式的几种计算方法行列式是线性代数中的基本概念，在数学、工程、物理、经济学等众多领域中都有广泛的应用。

行列式的计算方法有多种，下面将介绍其中的几种方法。

1.按行（列）展开法按照行或列来展开行列式是一种基本的计算方法。

假设行列式为：$$D=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}$$按第1行展开，得到：按照任意一行或一列展开，都可以得到同样的结果。

展开的过程中，每个元素前面加上正负号的符号与其对应的行数和列数有关。

这种方法适用于$3\times 3$的行列式，对于更高维的行列式，效率会大大降低。

2.三角行列式求法如果一个$n\times n$的行列式中有某一行或某一列的元素都是0，那么通过消元可以化简为一个更小的$n-1$阶行列式，然后递归地运用同样的方法求解，最终可以化简为一阶行列式。

这种方法叫做三角行列式求法。

例如，对于$3\times 3$的行列式：将第1列乘以$a_{23}$，再将第2列乘以$a_{11}$，用第2行减去第1行，用第3行加上第1行，得到：继续化简：3.性质计算法行列式有一些性质，可以通过这些性质来计算行列式。

其中最基本的性质是行列式的行列互换性质：将行列式的一行或一列互换，行列式的值反号。

例如：$$\begin{vmatrix}1 &2 &3 \\4 &5 &6 \\7 & 8 & 9\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}4 &5 &6 \\1 &2 &3 \\7 & 8 & 9\end{vmatrix}=0$$如果行列式某一行可以表示为其他行的线性组合，那么行列式的值为0。