典型例题
例1 如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且，求：
（1）的度数；（2）对角线AC的长；（3）菱形ABCD的面积．
分析（1）由E为AB的中点，，可知DE是AB的垂直平分线，从而，且，则是等边三角形，从而菱形中各角都可以
求出．（2）而，利用勾股定理可以求出AC．（3）由菱形的对角线互相垂直，可知
解（1）连结BD，∵四边形ABCD是菱形，∴
是AB的中点，且，∴
∴是等边三角形，∴也是等边三角形．
∴
（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AC与BD互相垂直平分，
∴
∴，∴
（3）菱形ABCD的面积
说明：本题中的菱形有一个内角是60°的特殊的菱形，这个菱形有许多特点，通过解题应该逐步认识这些特点．
例2 已知：如图，在菱形ABCD中，于于F．
求证：
分析要证明，可以先证明，而根据菱形的有关性质不难证明，从而可以证得本题的结论．
证明∵四边形ABCD是菱形，∴，且
，∴，∴，
，
∴，
∴
例3 已知：如图，菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的一点，
，，求的度数.
解答：连结AC.
∵四边形ABCD为菱形，
∴，.
∴与为等边三角形.
∴
∵，
∴
∴
∴
∵，
∴为等边三角形.
∴
∵，
∴
∴
说明本题综合考查菱形和等边三角形的性质，解题关键是连AC，证
.
例4 如图，已知四边形和四边形都是矩形，且．
求证：垂直平分．
分析由已知条件可证明四边形是菱形，再根据菱形的对角线平分对角以及等腰三角形的“三线合一”可证明垂直平分．
证明：∵四边形、都是矩形
∴，，，
∴四边形是平行四边形
∵，∴
在△和△中
∴△≌△∴，
∵四边形是平行四边形
∴四边形是菱形
∴平分∴平分∵
∴垂直平分．
例5 如图，中，，、在直线上，且
．
求证：．
分析要证，关键是要证明四边形是菱形，然后利用菱形的性质证明结论．
证明∵四边形是平行四边形
∴，，，∴
∵，∴
在△和△中
∴△≌△∴
∵∴
同理：∴
∵
∴四边形是平行四边形
∵∴四边形是菱形∴．
