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完整版)☆排列组合解题技巧归纳总结分类计数原理(加法原理)指完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法。
在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+。
+mn种不同的方法。
分步计数原理（乘法原理）指完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法。
做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×。
×mn种不同的方法。
分类计数原理和分步计数原理的区别在于，分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事；分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件。
解决排列组合综合性问题的一般过程如下：1.认真审题弄清要做什么事。
2.确定采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题，元素总数是多少及取出多少个元素。
4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略。
一种常用的解题策略是特殊元素和特殊位置优先策略。
例如，由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数，可以先排末位共有C3^1种方法，然后排首位共有C4^3种方法，最后排其它位置共有A4^1 * 3!种方法，根据分步计数原理得到共有C4^1 * 3^1 * A4^1 * 3.= 288种不同的方法。
另一种常用的解题策略是相邻元素捆绑策略。
例如，7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法，可以先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有A5^2 * A2^2 = 480种不同的方法。
还有一种常用的解题策略是不相邻问题插空策略。
例如，一个晚会的节目有4个舞蹈、2个相声、3个独唱，舞蹈节目不能连续出场，则节目的出场顺序有多少种，可以先将三种不同的节目分别排列，然后在舞蹈节目之间插入一个相声节目，再在相声节目之间插入一个独唱节目，根据分步计数原理可得共有A4^4 * A2^1 * A3^1 = 种不同的方法。
排列组合的基本原理尊敬的读者：在数学中，排列组合是一种重要的概念，它用于计算可能性和确定事件发生的方式。
本文将介绍排列组合的基本原理，包括排列和组合的定义、计算方法以及应用。
希望通过本文的阐述，您能够更好地理解和运用排列组合的基本原理。
1. 排列的定义和计算方法在数学中，排列指的是从一个集合中选取若干个元素，按照一定顺序排列的方式。
排列通常用P(n,m)表示，其中n为集合的元素个数，m 为选取的元素个数。
排列的计算方法可分为两种情况：1.1 当选取的元素个数m小于或等于集合的元素个数n时，排列的计算公式为：P(n,m) = n! / (n-m)!1.2 当选取的元素个数m大于集合的元素个数n时，排列的计算公式为0，即不存在这种情况。
2. 组合的定义和计算方法组合指的是从一个集合中选取若干个元素，不考虑顺序的方式。
组合通常用C(n,m)表示，其计算方法可分为两种情况：2.1 当选取的元素个数m小于或等于集合的元素个数n时，组合的计算公式为：C(n,m) = n! / (m! * (n-m)!)2.2 当选取的元素个数m大于集合的元素个数n时，组合的计算公式为0，即不存在这种情况。
3. 排列组合的应用排列组合在实际问题中的应用非常广泛，下面举几个例子来说明：3.1 生日排列问题：假设有5个人，每个人的生日在一年中任意选择。
我们可以用排列来计算不考虑年份的情况下，5个人生日的所有可能排列数量。
根据排列的计算公式，可知P(365,5)即为所求。
3.2 钥匙排列问题：某人有5把钥匙，但只有其中一把能打开家门。
每次进门都尝试一把钥匙，直到能够打开为止。
这个过程中，我们可以用排列来计算需要尝试的所有可能方式的数量。
根据排列的计算公式，可知P(5,5)即为所求。
3.3 选课组合问题：某学校的学生需要选择4门选修课，而学校提供了8门选修课供选择。
我们可以用组合来计算学生选择的所有可能组合的数量。
根据组合的计算公式，可知C(8,4)即为所求。
有序和无序排列组合公式好的，以下是为您生成的关于“有序和无序排列组合公式”的文章：咱先来说说啥是有序和无序排列组合公式哈。
打个比方，你去超市买水果，苹果、香蕉、橙子摆在那，你要是规定了先拿苹果再拿香蕉最后拿橙子，这就是有序；要是不管顺序，随便拿，这就是无序。
咱先瞅瞅有序排列，也就是排列公式。
比如说从 5 个不同的东西里选 3 个，按照一定顺序排好，这就可以用排列公式 A(5, 3) 来算。
就像学校组织活动，选 3 个同学分别当主持人、表演节目和后勤服务，这就得考虑顺序，谁先谁后作用可不一样。
再讲讲无序组合，也就是组合公式。
还是那 5 个东西，这次不考虑顺序，只要选出 3 个就行，那就用组合公式 C(5, 3) 。
比如说选 3 个人参加知识竞赛，不管谁在前谁在后，只要选出来就行。
我记得之前给学生讲这个的时候，有个小同学特别可爱。
他瞪着大眼睛问我：“老师，这和我搭积木有啥关系？”我笑着跟他说：“你搭积木的时候，要是规定了先放红色的再放蓝色的，这就是有序；要是随便拿随便放，不讲究顺序，那就是无序呀。
”这小家伙一听，好像恍然大悟了。
在生活中，有序和无序排列组合公式的应用可多了去了。
比如你安排假期出去玩，有 5 个景点，你计划 3 天逛完，每天去一个，这就得用有序排列来算算有多少种安排方法。
要是你只是想挑 3 个景点去，不管先后顺序，那就是无序组合的问题啦。
还有啊，咱过年包饺子，准备了 3 种馅，韭菜鸡蛋、猪肉大葱和虾仁三鲜。
要是规定了第一顿吃韭菜鸡蛋的，第二顿吃猪肉大葱的，第三顿吃虾仁三鲜的，这就是有序；要是不管顺序，反正这三顿就吃这三种馅，这就是无序组合。
再比如说抽奖，从 10 个号码里抽 3 个中奖号码，这就不管顺序，是无序组合。
但要是颁奖，先颁三等奖，再颁二等奖，最后颁一等奖，这就得考虑顺序，是有序排列。
所以说，这有序和无序排列组合公式啊，就藏在咱们生活的角角落落里，等着咱们去发现，去用它们解决问题。
选择排序法的基本思路
选择排序法是一种简单直观的排序算法，基本思路如下：
1. 首先，在序列中找到最小（或最大）的元素，将其放在序列的起始位置。
2. 然后，从剩余的未排序序列中继续寻找最小（或最大）的元素，将其放在已排序序列的末尾。
3. 重复上述步骤，直到所有元素都排好序。
具体步骤如下：
1. 设定一个初始索引为0的位置，表示已排序序列的末尾。
2. 从剩余的未排序序列中，遍历查找最小元素的索引。
将该最小元素与已排序序列的末尾元素交换位置，并更新已排序序列的末尾索引。
3. 重复上述步骤，直到遍历完整个序列。
选择排序的特点是每次只需要找到剩余序列中的最小元素，并进行交换，因此时间复杂度为O(n^2)。
虽然效率较低，但对于小规模的序列来说，它的实现简单且不占用额外的内存空间。
数据结构实验报告八种排序算法实验报告一、实验内容编写关于八种排序算法的C语言程序，要求包含直接插入排序、希尔排序、简单项选择择排序、堆排序、冒泡排序、快速排序、归并排序和基数排序。
二、实验步骤各种内部排序算法的比较：1.八种排序算法的复杂度分析〔时间与空间〕。
2.八种排序算法的C语言编程实现。
3.八种排序算法的比较，包括比较次数、移动次数。
三、稳定性，时间复杂度和空间复杂度分析比较时间复杂度函数的情况：时间复杂度函数O(n)的增长情况所以对n较大的排序记录。
一般的选择都是时间复杂度为O(nlog2n)的排序方法。
时间复杂度来说：(1)平方阶(O(n2))排序各类简单排序:直接插入、直接选择和冒泡排序；(2)线性对数阶(O(nlog2n))排序快速排序、堆排序和归并排序；(3)O(n1+§))排序,§是介于0和1之间的常数。
希尔排序(4)线性阶(O(n))排序基数排序，此外还有桶、箱排序。
说明：当原表有序或基本有序时，直接插入排序和冒泡排序将大大减少比较次数和移动记录的次数，时间复杂度可降至O〔n〕；而快速排序则相反，当原表基本有序时，将蜕化为冒泡排序，时间复杂度提高为O〔n2〕；原表是否有序，对简单项选择择排序、堆排序、归并排序和基数排序的时间复杂度影响不大。
稳定性：排序算法的稳定性:假设待排序的序列中，存在多个具有相同关键字的记录，经过排序，这些记录的相对次序保持不变，则称该算法是稳定的；假设经排序后，记录的相对次序发生了改变，则称该算法是不稳定的。
稳定性的好处：排序算法如果是稳定的，那么从一个键上排序，然后再从另一个键上排序，第一个键排序的结果可以为第二个键排序所用。
基数排序就是这样，先按低位排序，逐次按高位排序，低位相同的元素其顺序再高位也相同时是不会改变的。
另外，如果排序算法稳定，可以防止多余的比较；稳定的排序算法：冒泡排序、插入排序、归并排序和基数排序不是稳定的排序算法：选择排序、快速排序、希尔排序、堆排序四、设计细节排序有内部排序和外部排序，内部排序是数据记录在内存中进行排序，而外部排序是因排序的数据很大，一次不能容纳全部的排序记录，在排序过程中需要访问外存。
数据构造试卷〔一〕三、计算题〔每题6 分，共24分〕1.在如下数组A中链接存储了一个线性表，表头指针为A [0].next，试写出该线性表。
A 0 1 2 3 4 5 6 7data 60 50 78 90 34 40next 3 5 7 2 0 4 12.请画出以下列图的邻接矩阵和邻接表。
3.一个图的顶点集V和边集E分别为：V={1,2,3,4,5,6,7};E={(1,2)3,(1,3)5,(1,4)8,(2,5)10,(2,3)6,(3,4)15,(3,5)12,(3,6)9,(4,6)4,(4,7)20,(5,6)18,(6,7)25};用克鲁斯卡尔算法得到最小生成树，试写出在最小生成树中依次得到的各条边。
4.画出向小根堆中参加数据4, 2, 5, 8, 3时，每参加一个数据后堆的变化。
四、阅读算法〔每题7分，共14分〕1.LinkList mynote(LinkList L){//L是不带头结点的单链表的头指针if(L&&L->next){q=L；L=L－>next；p=L；S1：while(p－>next) p=p－>next；S2：p－>next=q；q－>next=NULL；}return L；}请答复以下问题：〔1〕说明语句S1的功能；〔2〕说明语句组S2的功能；〔3〕设链表表示的线性表为〔a1,a2, …,a n〕,写出算法执行后的返回值所表示的线性表。
2.void ABC(BTNode * BT){if BT {ABC (BT->left);ABC (BT->right);cout<<BT->data<<' ';}}该算法的功能是：五、算法填空〔共8分〕二叉搜索树的查找——递归算法:bool Find(BTreeNode* BST,ElemType& item){if (BST==NULL)return false; //查找失败else {if (item==BST->data){item=BST->data;//查找成功return ___________;}else if(item<BST->data)return Find(______________,item);else return Find(_______________,item);}//if}六、编写算法〔共8分〕统计出单链表HL中结点的值等于给定值X的结点数。
各种排序算法的原理、Java实现与比较分析（二）三、交换排序3.1 冒泡排序（1）基本思想在要排序的一组数中，对当前还未排好序的范围内的全部数，自上而下对相邻的两个数依次进行比较和调整，让较大的数往下沉，较小的往上冒。
即：每当两相邻的数比较后发现它们的排序与排序要求相反时，就将它们互换。
（2）特点冒泡排序是一种稳定的排序方法冒泡排序是最慢的排序算法。
在实际运用中它是效率最低的算法起泡排序平均时间复杂度为O(n2)（3）Java实现package com.sort;public class bubble {public static void main(String[] args) {int[] a={49,38,65,97,76,13,27,49,78,34,12,64,1,8};System.out.println("排序之前：");for (int i = 0; i a.length; i++) {System.out.print(a[i]+" ");--冒泡排序for (int i = 0; i a.length; i++) {for(int j = 0; ja.length-i-1; j++){--这里-i主要是每遍历一次都把最大的i个数沉到最底下去了，没有必要再替换了if(a[j]a[j+1]){int temp = a[j];a[j] = a[j+1];a[j+1] = temp;System.out.println();System.out.println("排序之后：");for (int i = 0; i a.length; i++) {System.out.print(a[i]+" ");3.2 快速排序（1）基本思想选择一个基准元素，通常选择第一个元素或者最后一个元素，通过一趟扫描，将待排序列分成两部分，一部分比基准元素小，一部分大于等于基准元素，此时基准元素在其排好序后的正确位置，然后再用同样的方法递归地排序划分的两部分。
（2）特点快速排序是不稳定的排序。
快速排序的时间复杂度为O(nlogn)。
当n较大时使用快排比较好，当序列基本有序时用快排反而不好。
快速排序比大部分排序算法都要快。
尽管我们可以在某些特殊的情况下写出比快速排序快的算法，但是就通常情况而言，没有比它更快的了。
快速排序是递归的，对于内存非常有限的机器来说，它不是一个好的选择。
（3）Java实现package com.sort;public class quick {public static void main(String[] args) {int[] a={49,38,65,97,76,13,27,49,78,34,12,64,1,8};System.out.println("排序之前：");for (int i = 0; i a.length; i++) {System.out.print(a[i]+" ");--快速排序quick(a);System.out.println();System.out.println("排序之后：");for (int i = 0; i a.length; i++) {System.out.print(a[i]+" ");private static void quick(int[] a) {if(a.length0){quickSort(a,0,a.length-1);private static void quickSort(int[] a, int low, int high) { if(lowhigh){ --如果不加这个判断递归会无法退出导致堆栈溢出异常int middle = getMiddle(a,low,high);quickSort(a, 0, middle-1);quickSort(a, middle+1, high);private static int getMiddle(int[] a, int low, int high) { int temp = a[low];--基准元素while(lowhigh){--找到比基准元素小的元素位置while(lowhigh a[high]=temp){a[low] = a[high];while(lowhigh a[low]=temp){a[high] = a[low];a[low] = temp;return low;四、归并排序（1）基本思想归并（Merge）排序法是将两个（或两个以上）有序表合并成一个新的有序表，即把待排序序列分为若干个子序列，每个子序列是有序的。
然后再把有序子序列合并为整体有序序列。
（2）特点归并排序是稳定的排序方法。
归并排序的时间复杂度为O(nlogn)。
速度仅次于快速排序，一般用于对总体无序，但是各子项相对有序的数列。
合并排序比堆排序稍微快一点，但是需要比堆排序多一倍的内存空间，因为它需要一个额外的数组。
（3）Java实现package com.sort;public class merge {public static void main(String[] args) {int[] a={49,38,65,97,76,13,27,49,78,34,12,64,1,8};System.out.println("排序之前：");for (int i = 0; i a.length; i++) {System.out.print(a[i]+" ");--归并排序mergeSort(a,0,a.length-1);System.out.println();System.out.println("排序之后：");for (int i = 0; i a.length; i++) {System.out.print(a[i]+" ");private static void mergeSort(int[] a, int left, int right) { if(leftright){int middle = (left+right)-2;--对左边进行递归mergeSort(a, left, middle);--对右边进行递归mergeSort(a, middle+1, right);merge(a,left,middle,right);private static void merge(int[] a, int left, int middle, int right) {int[] tmpArr = new int[a.length];int mid = middle+1; --右边的起始位置int tmp = left;int third = left;while(left=middle mid=right){--从两个数组中选取较小的数放入中间数组if(a[left]=a[mid]){tmpArr[third++] = a[left++];tmpArr[third++] = a[mid++];--将剩余的部分放入中间数组while(left=middle){tmpArr[third++] = a[left++];while(mid=right){tmpArr[third++] = a[mid++];--将中间数组复制回原数组while(tmp=right){a[tmp] = tmpArr[tmp++];五、基数排序（1）基本思想将所有待比较数值（正整数）统一为同样的数位长度，数位较短的数前面补零。
然后，从最低位开始，依次进行一次排序。
这样从最低位排序一直到最高位排序完成以后,数列就变成一个有序序列。
（2）特点基数排序是稳定的排序算法。
基数排序的时间复杂度为O(d(n+r))，d为位数，r为基数。
只能用于整数的排序，如果我们要把同样的办法运用到浮点数上，我们必须了解浮点数的存储格式，并通过特殊的方式将浮点数映射到整数上，然后再映射回去，这是非常麻烦的事情（3）Java实现package com.sort;import java.util.ArrayList;import java.util.List;public class radix {public static void main(String[] args) {int[] a={49,38,65,97,176,213,227,49,78,34,12,164,11,18,1};System.out.println("排序之前：");for (int i = 0; i a.length; i++) {System.out.print(a[i]+" ");--基数排序sort(a);System.out.println();System.out.println("排序之后：");for (int i = 0; i a.length; i++) {System.out.print(a[i]+" ");private static void sort(int[] array) {--找到最大数，确定要排序几趟int max = 0;for (int i = 0; i array.length; i++) {if(maxarray[i]){max = array[i];--判断位数int times = 0;while(max0){max = max-10;times++;--建立十个队列ListArrayList queue = new ArrayListArrayList(); for (int i = 0; i 10; i++) {ArrayList queue1 = new ArrayList();queue.add(queue1);--进行times次分配和收集for (int i = 0; i times; i++) {for (int j = 0; j array.length; j++) {int x = array[j]%(int)Math.pow(10, i+1)-(int)Math.pow(10, i);ArrayList queue2 = queue.get(x);queue2.add(array[j]);queue.set(x,queue2);int count = 0;for (int j = 0; j 10; j++) {while(queue.get(j).size()0){ArrayListInteger queue3 = queue.get(j);array[count] = queue3.get(0);queue3.remove(0);count++;for (; 2 * i + 1 len; i = child)place data[i] in its proper position;public static void mergeSortRecur(int[] arr, int left, int right)minValue=min(a(1,i:end)); %找到剩余序列的最大值tree[(i-1)-2] = ((Comparable)tree[i-1]).compareTo(tree[i]) 0 ? tree[i-1]:tree[i];System.out.print( a[i] + “t” );public static void selectSort(int[] a)public static void sort(int a[],int min,int max) { void insertSort(int *arr,int n){void Sort::TreeMidRetrival(T *array, T* temp, int pos, T* lChild, T* rChild)?。
