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离散数学必备知识点总结资料离散数学是指离散的数学概念和结构，独立于连续的数学。
它是在计算机科学、信息科学、数学基础研究、工程技术等领域中的基础课程之一。
以下是离散数学必备的一些知识点总结。
一、逻辑与集合1. 命题与谓词：命题是一个陈述，可以被判断为真或假，而谓词是一种用来描述命题所涉及实体之间关系的语句。
2. 命题逻辑：重点关注命题真假和与或非等运算关系，包括真值表和主范式。
3. 一阶谓词逻辑：注意包含全称量词和存在量词，也包括a|b, a//b等符号的理解。
4. 集合与运算：集合是指不同元素组成的一个整体。
基本的集合运算包括并、交、差等。
5. 关系与函数：关系是一种元素之间的对应关系，而函数是一种具有确定性的关系，即每一个自变量都对应唯一的函数值。
6. 等价关系与划分：等价关系是指满足自反性、对称性和传递性的关系。
划分是指将一个集合分成若干个不相交的子集，每个子集称为一个等价类。
二、图论1. 图的定义和基本概念：图由节点和边构成，节点间的连线称为边。
包括度、路径、连通性等概念。
2. 图的表示方法：邻接矩阵和邻接表。
3. 欧拉图与哈密顿图：欧拉图是指能够一笔画出的图，哈密顿图是指含有一条经过每个节点恰好一次的路径的图。
4. 最短路径与最小生成树：最短路径问题是指在图中找出从一个节点到另一个节点的最短路径。
最小生成树问题是指在图中找出一棵覆盖所有节点的树，使得边权之和最小。
三、代数系统1. 代数结构：包括群、环、域等概念。
2. 群的定义和基本概念：群是在一个集合中定义一种二元运算满足结合律、单位元存在和逆元存在的代数结构。
四、组合数学1. 排列、组合和二项式系数：排列是指从n个元素中任选r个进行排序，组合是指从n个元素中任选r个但不考虑排序，二项式系数是指组合数。
2. 生成函数：将组合数与多项式联系起来的一种工具，用于求出某种算法或结构的某些特定函数。
3. 容斥原理：一个集合的容斥原理指在集合的并、交、补之间的关系。
离散数学复习要点离散数学是数学的一个分支领域，主要研究离散的结构和离散情形下的数学对象及其相关性质。
它与连续数学不同，离散数学的对象是离散的，如集合、图、布尔代数等。
在计算机科学、信息科学、通信工程等领域中，离散数学的理论和方法被广泛应用。
以下是离散数学的一些重要的复习要点：1.集合论：集合是离散数学的基础，集合的基本运算如交、并、差等，以及集合的基本性质如并集和交集的结合律、分配律等，都是需要复习的内容。
此外，还需要了解集合的基数和幂集等概念。
2.命题逻辑：命题是一个可以判断真假的陈述句，命题逻辑是研究命题及其逻辑关系的数学体系。
需要复习的内容包括命题的逻辑运算，如非、与、或、异或等，以及逻辑等价、逻辑推理等。
3.谓词逻辑：谓词逻辑是对自然语言中的谓词进行形式化表示和推理的系统。
复习重点包括一阶谓词逻辑的基本概念，如谓词、量词、域、项等，以及谓词的合取、析取、全称量词和存在量词等逻辑联结词的语义。
4.图论：图论是研究图及其性质的数学分支。
需要复习的内容包括图的基本概念，如顶点、边、路径、圈等，以及图的表示方法、图的遍历算法、连通图、树等。
5. 网络流模型：网络流模型是研究流动网络的数学方法，主要包括最大流、最小割等问题。
需要复习的内容包括网络的基本概念，如容量、割、流等，以及Ford-Fulkerson算法等解决网络流问题的方法。
6.布尔代数：布尔代数是一种关于逻辑运算的代数系统，常用于电路设计和逻辑推理。
需要复习的内容包括布尔代数的基本运算，如与、或、非等，以及布尔函数的最小项与最大项表示、卡诺图等。
7.组合数学：组合数学是研究离散中的计数问题的数学分支。
需要复习的内容包括排列、组合、多元排列组合等的计数方法，如乘法原理、加法原理、排列组合的顺序问题等。
8.代数系统：代数系统是研究代数结构及其性质的数学分支，包括群、环、域等。
需要复习的内容包括群的基本概念和性质，如封闭性、结合律、单位元、逆元等。
离散数学知识点整理离散数学是现代数学的一个重要分支，它在计算机科学、信息科学、数理逻辑等领域都有着广泛的应用。
下面为您整理了一些离散数学的关键知识点。
一、集合论集合是离散数学中最基本的概念之一。
集合是由一些确定的、彼此不同的对象组成的整体。
比如，｛1, 2, 3}就是一个集合。
集合的运算包括并集、交集、差集和补集。
并集是将两个集合中的所有元素合并在一起组成的新集合；交集则是两个集合中共同拥有的元素组成的集合；差集是从一个集合中去掉另一个集合中的元素所剩下的元素组成的集合；补集是在给定的全集范围内，某个集合的补集是全集中不属于该集合的元素组成的集合。
集合之间的关系有包含、相等、真包含等。
如果集合 A 的所有元素都属于集合 B，那么 A 包含于 B；如果 A 和 B 的元素完全相同，则 A和 B 相等；如果 A 包含于 B 且 A 不等于 B，那么 A 真包含于 B。
二、关系关系是集合中元素之间的某种联系。
比如在集合{1, 2, 3}中，“小于”就是一种关系。
关系可以用矩阵和图来表示。
矩阵表示法通过 0 和 1 来表示元素之间是否存在关系；图表示法则用节点代表元素，用边表示关系。
关系的性质包括自反性、对称性、反对称性和传递性。
自反性是指每个元素都与自身有关系；对称性是指如果 a 与 b 有关系，那么 b 与 a 也有关系；反对称性是指如果 a 与 b 有关系且 b 与 a 有关系，那么 a ＝b；传递性是指如果 a 与 b 有关系，b 与 c 有关系，那么 a 与 c 有关系。
三、函数函数是一种特殊的关系，对于定义域中的每个元素，在值域中都有唯一的元素与之对应。
函数的类型有单射、满射和双射。
单射是指不同的自变量对应不同的函数值；满射是指函数的值域等于其到达的集合；双射则是既单射又满射。
四、数理逻辑数理逻辑包括命题逻辑和谓词逻辑。
命题是可以判断真假的陈述句。
命题逻辑中的基本运算有与（并且）、或、非、蕴含和等价。
《计算机数学基础(上)》离散数学部分期末复习中央电大基础部数理教研室《计算机数学基础》是中央广播电视大学本科开放教育计算机科学与技术专业学生必修的一门专业基础课程，是学习专业理论必不可少的数学工具。
本课程分两个学期学习，本学期的教学内容是“计算机数学基础(上)−−离散数学”部分，共计72学时，4学分。
本学期使用的教材是由任现淼主编、吴裕树副主编的《计算机数学基础(上)−−离散数学》，由中央广播电视大学出版社出版。
一、期末考试题型试题类型及分数分别为单项选择题和填空题各有5题，分数约占25％；化简解答题与计算题，分数约占56％；证明题，分数约占19％。
各章分数的比例大致与其所用课时比例相同。
单项选择题和填空题主要涉及基本概念、基本理论、重要性质和结论、公式及其简单计算。
单项选择题给出四个备选答案，其一正确。
填空题只需填写正确结论，不写计算、推论过程或理由。
化简解答题与计算题主要考核学员的基本运算技能和速度，要求写出计算过程。
证明题主要考查应用概念、性质、定理及重要结论进行逻辑推理的能力，要求写出推理过程。
本学期期末复习应以中央电大考试处编发的《计算机数学基础(上)离散数学部分考核说明》为依据。
二、各章复习要求和重点第1章命题逻辑复习要求1. 理解命题概念，掌握判断语句是不是命题的方法。
判断一个语句是否为命题，应首先判断它是否为陈述句。
再判断它是否有唯一的真值。
因此，命题必须具备二个条件：其一，语句是陈述句；其二，语句有唯一确定的真假意义。
2. 了解六个联结词概念，掌握由它们构成的公式及真值表：①⌝P(否定式); ②P∧Q(合取式);③P∨Q(析取式);④P→ Q (蕴含式);⑤P↔ Q (等价式)；⑥P⎺∨ Q (不可兼析取式)。
会将命题符号化。
熟练掌握求给定公式真值表的方法。
3. 理解公式、公式解释、永真式(重言式)、永假式(矛盾式)和可满足式等概念。
掌握基本等值式以及用真值表法和等值演算法判别公式类型和公式等值的方法。
离散数学复习提纲离散数学是一门关于离散对象的数学分支，它主要研究离散结构及其性质，广泛应用于计算机科学、信息技术、密码学等领域。
下面是一个离散数学的复习提纲，包括离散数学的基本概念、离散结构、图论、关系、逻辑以及集合论等内容。
一、离散数学的基本概念1.数学基础：集合、函数、关系、证明方法（数学归纳法、反证法、递归法等）；2.命题逻辑：命题、命题连接词、真值表、逻辑运算、逻辑等价、推理规则等；3.谓词逻辑：谓词、量词、公式、合取范式和析取范式、蕴含、等价、量词的否定规则等；4.证明方法：直接证明、间接证明、归谬证明、证明策略等。
二、离散结构1.图论：图的基本概念、图的表示方法、连通性、路径和回路、图的着色、最小生成树等；2.代数结构：群、环、域的定义、性质及基本例子；3.组合数学：组合基本原理、二项式系数、排列组合、生成函数、递归关系、容斥原理等；4.有限状态自动机：确定性有限状态自动机、非确定性有限状态自动机、正则表达式等。
1.图的基本概念：顶点、边、路径、回路、度等；2.图的表示：邻接矩阵、邻接表、关联矩阵等；3.图的遍历：深度优先、广度优先；4. 最短路径问题：Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法；5. 最小生成树问题：Prim算法、Kruskal算法；6.匹配问题：最大匹配、二分图匹配等。
四、关系1.关系的基本概念：关系矩阵、关系的性质（反自反性、对称性、传递性等）；2.等价关系：等价关系的性质、等价类等；3.偏序关系：偏序关系的性质、偏序集合、哈斯图等；4.传递闭包：传递闭包的定义、传递闭包的计算方法等。
五、逻辑1.命题逻辑：命题的定义、逻辑运算、真值表、逻辑等价、推理规则等；2.谓词逻辑：量词的定义、公式的定义、量词的否定规则、等价变换等；3.命题逻辑与谓词逻辑的转换；4.形式化推理：前向链式推理、后向链式推理、消解法等。
1.集合的基本概念：子集、并集、交集、差集、补集等；2.集合运算：集合的并、交、差、补等运算的性质；3.集合的关系：包含关系、相等关系、等价关系等；4.集合的表示方法：列举法、描述法、元祖法等；5.集合的基数：有限集合的基数、无穷集合的基数、基数的性质。
《离散数学》期末复习提要课程的主要内容1、集合论部分（集合的基本概念和运算、二元关系和函数）；2、数理逻辑部分（命题逻辑、谓词逻辑）；3、图论部分（图的基本概念、特殊的图，树及其性质）。
一、各章复习要求与重点第一章命题逻辑[复习知识点]１、命题与联结词（否定、析取、合取、蕴涵、等价），复合命题２、命题公式与解释，真值表，公式分类（永真、矛盾、可满足），公式的等价３、析取范式、合取范式，极小（大）项，主析取范式、主合取范式４、公式类别的判别方法（真值表法、等值演算法、主析取/合取范式法）５、全功能集６、推理理论本章重点内容：命题与联结词、公式与解释、析取范式与合取范式、公式恒真性的判定、推理理论[复习要求]１、理解命题的概念；了解命题联结词的概念；理解用联结词产生复合命题的方法。
２、理解公式与解释的概念；掌握求给定公式真值表的方法，用基本等价式化简其他公式，公式在解释下的真值。
３、了解析取（合取）范式的概念；理解极大（小）项的概念和主析取（合取）范式的概念；掌握用基本等价式或真值表将公式化为主析取（合取）范式的方法。
４、掌握利用真值表、等值演算法和主析取/合取范式的唯一性判别公式类型和公式等价的方法。
掌握24个重要等值式。
５、掌握推理理论，会写出推理的证明，掌握附加前提证明法和归谬发。
[本章重点习题]习题P31-36: 1.1,1.7-1.9,1.12,1.18,1.19，1.15 [疑难解析]1、公式恒真性的判定判定公式的恒真性，包括判定公式是恒真的或是恒假的。
具体方法有两种，一是真值表法，对于任给一个公式，主要列出该公式的真值表，观察真值表的最后一列是否全为1（或全为0），就可以判定该公式是否恒真（或恒假），若不全为0，则为可满足的。
二是推导法，即利用基本等价式推导出结果为1，或者利用恒真（恒假）判定定理：公式G 是恒真的（恒假的）当且仅当等价于它的合取范式（析取范式）中，每个子句（短语）均至少包含一个原子及其否定。
《计算机数学基础》(一)――离散数学期末复习参考一、关于期末考试1.本学期的结业考核由形成性考核和期末考核构成。
形成性考核由平时作业成绩构成，占结业考核成绩的20%, 期末考核成绩占结业考核成绩的80%。
2.期末考核实行全国统一考核，根据本课程考试说明，由中央电大统一命题，统一考核时间，制定统一评分标准。
开办试点的地方电大组织考核。
期末考核的考核内容和要求以考核说明为准；采用闭卷笔试，试卷满分100分；时限120分钟。
试题类型及分数：单项选择题和填空题，分数约占25％。
解答与计算题，分数约占56％；证明题，分数约占19％。
3, 考核试卷分数分布：第1编数理逻辑约30分，第2编集合论约30分，第3编图论约25分，第4编代数系统约15。
4. 易、中、较难题目在试卷中占的比例是4：4：2。
二、各章重点考核内容第1章命题逻辑1．命题联结词真值真值表简单命题符号化2. 命题公式永真式永假式可满足式3. 公式等值演算(必须掌握公式基本等值式)4. 求范式（用各种方法求合取范式、析取范式，尤其是主析取范式，主合取范式等）5. 掌握逻辑推理的方法。
第2章谓词逻辑1. 谓词量词个体词个体域变元(约束变元、自由变元) 简单命题符号化2. 判别简单谓词公式的类型(永真式、永假式、可满足式)3. 求前束范式4. 有限个体域中，求给定解释下的公式真值。
第3章集合及其运算1.集合元素全集空集幂集2. 集合的关系与运算3. 有序对和笛卡儿积第4章关系与函数1. 二元关系及其表示方法――集合方法、矩阵和图2.关系的运算和复合关系、逆关系3.二元关系的性质 (5条性质)4. 等价关系(等价类)与偏序关系 (哈斯图极大(小)元最大(小 )元5. 函数复合函数单射满射和双射，求反函数第5章图的基本概念1. 图结点边有向图无向图简单图多重图完全图子图与生成子图结点度数握手定理及其推论2. 通路通路的长度初级(简单)通路回路初级(简单)回路点割集与割点边割集与桥连通图强(单测、弱)连通3. 关联矩阵邻接矩阵第6章几种特殊图1. 欧拉通路(回路) 欧拉图哈密顿通路(回路) 哈密顿图2. 平面图面的次数平面图相关定理(定理6～8)3. 树无向树有向树最小生成树根树最优树二叉树第7章群1. 代数运算以及运算性质单位元、逆元, 代数系统，2. 半群群及其性质子群3. 循环群交换群n元置换及置换群4. 群的同态与同构第8章其它代数系统1. 环与域，环. 2. 格有界格有余格分配格3. 布尔代数三、各章基本问题第1章命题逻辑1. 命题符号化，是否命题判断或求真值。
离散数学的基础知识点总结离散数学是研究离散结构和离散对象的数学分支。
它以集合论、图论和逻辑等为基础，涉及了许多重要的基础知识点。
下面是对离散数学的基础知识点进行的总结。
1. 集合论（Set theory）：集合论是离散数学的基础，涉及了集合的概念、运算和恒等关系，以及集合的分类、子集、幂集和笛卡尔积等基本概念和性质。
2. 逻辑（Logic）：逻辑是离散数学的重要组成部分，涉及了命题逻辑和谓词逻辑的基本概念和推理规则，包括命题的真值表、谓词的量化、逻辑等价和逻辑蕴含等概念。
3. 函数（Functions）：函数是离散数学中的核心概念之一，涉及了函数的定义、域和值域、函数的性质、特殊的函数（如恒等函数、常值函数、单射函数和满射函数等）以及函数的复合和逆函数等。
4. 关系（Relations）：关系是离散数学中的另一个核心概念，涉及了关系的定义、关系的特性（如自反性、对称性、传递性和等价关系等）、关系的闭包和自反闭包、关系的图示表示和矩阵表示、等价关系和偏序关系等。
5. 图论（Graph theory）：图论是离散数学的重要分支，涉及了图的基本概念（如顶点、边、路径和圈等）、图的表示方法（如邻接矩阵和邻接表等）、图的遍历算法（如深度优先和广度优先等）、图的连通性和可达性、最小生成树和最短路径等基础知识。
7. 代数结构（Algebraic structures）：代数结构是离散数学的一个重要方向，涉及了群、环、域和格等基本代数结构的定义、性质和分类，以及同态映射和同构等概念。
8. 数论（Number theory）：数论是离散数学的一个重要分支，涉及了自然数的性质和结构，包括质数和素数、最大公因数和最小公倍数、同余和模运算、欧几里得算法和扩展欧几里得算法、费马小定理和欧拉函数等。
9. 排序和选择（Sorting and selection）：排序和选择是离散数学中的一类重要问题，涉及了各种排序算法（如冒泡排序、插入排序、快速排序和归并排序等）和选择算法（如选择排序和堆排序等），以及它们的复杂度分析和应用。
四川大学离散期末考试题附标准答案本文档记录了四川大学离散数学期末考试相关的题目，并提供了每个问题的标准答案。
离散数学作为一门重要的数学基础课程，为计算机科学、信息技术以及其他相关学科提供了重要的理论支持。
通过解析这些题目和答案，可以加深对离散数学的理解，提升解题能力。
1. 题目1问题：设A、B、C三个集合满足：A={1,2,3,4,5}，B={3,4,5,6,7}，C={4,5,6,7,8}。
求(A∪B)∩C。
答案：集合A∪B表示将集合A和集合B中的元素合并，去重得到的结果集合。
∩表示求两个集合的交集。
因此，(A∪B)∩C表示先将集合A和集合B合并去重，然后再和集合C求交集。
具体操作如下： 1. 将集合A和集合B的元素合并：A∪B = {1,2,3,4,5,6,7}。
2. 将(A∪B)与集合C求交集：(A∪B)∩C = {4,5}。
所以，(A∪B)∩C = {4,5}。
2. 题目2问题：对于一个图G=(V, E)，其中V={a, b, c, d, e}表示节点集合，E表示边集合。
给定边集E = {(a, b), (b, c), (c, d), (d, e), (e, a)}，请问该图是否是欧拉图？答案：欧拉图是指一类特殊的连通图，可以经过每条边且每条边只经过一次的路径称为欧拉路径。
具有欧拉路径的图称为欧拉图或半欧拉图。
欧拉图有以下两个性质： - 每个顶点的度数都是偶数，或者只有两个顶点的度数是奇数，其余顶点的度数都是偶数。
- 图是连通的。
对于给定的图G=(V, E)，需要满足以上两个性质才能判断该图是否是欧拉图。
具体操作如下： 1. 统计每个顶点的度数： - a的度数为2 -b的度数为2 - c的度数为2 - d的度数为2 - e的度数为2由此可知，每个顶点的度数都是偶数，满足欧拉图的第一个性质。
2. 判断图是否是连通的：通过观察边集E = {(a, b), (b, c), (c, d), (d, e), (e, a)}，可以看出这个图是一个环，即从任意一个顶点出发，可以经过每条边且每条边只经过一次返回原点。
《离散数学》课后习题答案《离散数学》简介1、集合论部分：集合及其运算、二元关系与函数、自然数及自然数集、集合的基数2、图论部分：图的基本概念、欧拉图与哈密顿图、树、图的矩阵表示、平面图、图着色、支配集、覆盖集、独立集与匹配、带权图及其应用3、代数结构部分：代数系统的基本概念、半群与独异点、群、环与域、格与布尔代数4、组合数学部分：组合存在性定理、基本的计数公式、组合计数方法、组合计数定理5、数理逻辑部分：命题逻辑、一阶谓词演算、消解原理离散数学被分成三门课程进行教学，即集合论与图论、代数结构与组合数学、数理逻辑。
教学方式以课堂讲授为主，课后有书面作业、通过学校网络教学平台发布课件并进行师生交流。
《离散数学》学科内容随着信息时代的到来，工业革命时代以微积分为代表的连续数学占主流的地位已经发生了变化，离散数学的重要性逐渐被人们认识。
离散数学课程所传授的思想和方法，广泛地体现在计算机科学技术及相关专业的诸领域，从科学计算到信息处理，从理论计算机科学到计算机应用技术，从计算机软件到计算机硬件，从人工智能到认知系统，无不与离散数学密切相关。
由于数字电子计算机是一个离散结构，它只能处理离散的或离散化了的数量关系，因此，无论计算机科学本身，还是与计算机科学及其应用密切相关的现代科学研究领域，都面临着如何对离散结构建立相应的数学模型;又如何将已用连续数量关系建立起来的数学模型离散化，从而可由计算机加以处理。
离散数学是传统的逻辑学，集合论(包括函数)，数论基础，算法设计，组合分析，离散概率，关系理论，图论与树，抽象代数(包括代数系统，群、环、域等)，布尔代数，计算模型(语言与自动机)等汇集起来的一门综合学科。
离散数学的应用遍及现代科学技术的诸多领域。
离散数学也可以说是计算机科学的基础核心学科，在离散数学中的有一个著名的典型例子-四色定理又称四色猜想，这是世界近代三大数学难题之一，它是在1852年，由英国的一名绘图员弗南西斯格思里提出的，他在进行地图着色时，发现了一个现象，“每幅地图都可以仅用四种颜色着色，并且共同边界的国家都可以被着上不同的颜色”。
离散数学一、选择题┐△○→⊆⊂∃∧∈φ∪∩⊕↔∨1.设：P：张三可以作这件事，Q：李四可以作这件事，命题“张三或李四都可以做这件事”的符号化为（）A、P∨QB、P∨┐QC、P↔QD、2. 谓词公式∀x(P(x)∨∃yR(y))→Q(x)中量词∀x 的作用域是（）A. ∀x(P(x)∨∃yR(y))B.P(x)C. (P(x)∨∃yR(y))D.P(x)，Q(x)3. 若个体域为整体域，下列公式中哪个值为真？（）A. ∀x ∃y(x+y=0)B. ∃y ∀x(x+y=0)C. ∀x ∀y(x+y=0)D. ⌝∃x ∃y(x+y=0)4. 空集Φ的幂集P（Φ）的基数是（）A．1 B.2 C.3 D.45. 设R、S是集合A上的任意关系，则下面命题是真命题的是( )。
A．若R、S是自反的，则R・S是自反的B．若R、S是反自反的，则R・S是反自反的C．若R、S是对称的，则R・S是对称的D．若R、S是传递的，则R・S是传递的6. 集合A={1，2，…，10}上的关系R={(x，y)|x+y=10且x，y∈A}，则R的性质为 ( )A．自反的B．对称的 C．传递的，对称的D．非自反的，传递的7.含有5个结点，3条边的不同构的简单图有（）A.2个B.3个C.4个D.5个8.设G（n，m），且G中每个结点的度数不是K就是K+1，则G中度数为K的结点数（）A.2/nB.n(n+1)C.nkD.n(k+1)-2m9. 设谓词P(x) :x是奇数，Q(x):x是偶数，谓词公式∃(x) (P(x) ∧Q(x))在下面哪个论域中是可满足的。
( )A自然数集B整数集C实数集D以上均不成立10. 设C(x)：x 是运动员，G(x)：x 是强壮的。
命题“没有一个运动员不是强壮的”可符号化为（）A. ⌝∀x(C(x)∧⌝G(x))B. ⌝∀x(C(x)→⌝G(x))C. ⌝∃x(C(x)∧⌝G(x))D. ⌝∃x(C(x)→⌝G(x))11. 设集合M={x|f（x）=0}，N={x|g（x）=0}，则方程f（x）•g（x）=0的解集是（）A.M∩NB.M∪NC.M⊕ND.M-N12. 设A={a,{a}}，下列选项错误的是（）A．{a}∈p(A) B．{a}⊆p(A) C．{{a}}∈p(A) D．{{a}}∈p(A)13.设A={1,2,3,4,5},p{<i,j>|i<j,i,j∈A}则p逆的性质是（）A.对称的B.自反的C.反对称的D.反自反，反对称，传递的14.设R和S是集合A上的等级关系，则RUS的对称性（）A.一定成立B.一定不成立C.不一定成立D.不可能成立15. K4中含有3条边的不同构生成子图有（）A.1个B.3个C.4个D.2个16. 设G=<V,E>为无向图，u,v ∈V ，若u,v 连通，则（）A.d(u,v)>0B.d(u,v)=0C.d(u,v)<0D.d(u,v)≥0二、填空题1. 命题公式┐(P→Q)的主析取范式为（），主合取式的编码表示为（）.2. 设Q(x)：x 是奇数，Z(x)：x 是整数，则语句“不是所有整数都是奇数”所对应的谓词公式为（）。
计算机数学基础习题答案计算机数学基础是计算机科学与技术专业的核心课程之一，它涵盖了离散数学、概率论、数理逻辑、集合论、图论等重要数学分支。
以下是一些计算机数学基础习题的答案示例：1. 集合论习题答案：- 集合A和集合B的并集表示为A∪B，包含所有属于A或B的元素。
- 集合A和集合B的交集表示为A∩B，包含同时属于A和B的元素。
- 集合A的补集表示为A'，包含不属于A的所有元素。
2. 数理逻辑习题答案：- 命题逻辑中的真值表可以用来确定复合命题的真值。
- 一个命题的否定是其逻辑上的对立面，例如，如果命题P为真，则¬P为假。
3. 图论习题答案：- 有向图中的路径是从顶点v1到顶点vn的一系列顶点，其中每对相邻顶点之间都有一条边。
- 无向图中的环是一个闭合路径，即起点和终点是同一个顶点。
4. 概率论习题答案：- 事件A的概率表示为P(A)，是事件发生的可能性。
- 两个事件A和B的独立性意味着P(A∩B) = P(A)P(B)。
5. 离散数学习题答案：- 函数f: X → Y是一个规则，它将集合X中的每个元素映射到集合Y中的一个元素。
- 一个关系R在集合A上是自反的，如果对于所有a属于A，(a, a)属于R。
6. 组合数学习题答案：- 排列是指从n个不同元素中取出r个元素的所有可能的序列，不考虑元素的顺序。
- 组合是指从n个不同元素中取出r个元素的所有可能的集合，不考虑元素的顺序。
7. 递归关系习题答案：- 递归关系定义了一个序列的当前项与之前项的关系，例如，F(n) = F(n-1) + F(n-2)。
8. 算法复杂度习题答案：- 时间复杂度O(n)表示算法的运行时间与输入规模n成正比。
- 空间复杂度O(1)表示算法使用的额外空间不随输入规模n的变化而变化。
结束语：计算机数学基础习题的答案需要根据具体的题目和要求来确定。
上述答案仅为示例，实际问题可能需要更详细的解答和证明。
掌握这些基础数学概念对于理解和设计计算机算法至关重要。
离散数学知识点摘要：离散数学是计算机科学和数学的一个分支，它专注于非连续结构的研究。
本文旨在概述离散数学的核心知识点，包括集合论、逻辑、关系、函数、图论、组合数学和递归等。
1. 集合论- 集合的基本概念：集合是离散数学的基础，它是一组明确的、无重复的对象的集合。
- 集合运算：包括并集、交集、差集、补集等。
- 幂集：一个集合所有子集的集合。
- 笛卡尔积：两个集合所有可能的有序对的集合。
2. 逻辑- 命题逻辑：研究命题（声明的真值）和它们之间的关系，如合取、析取、否定等。
- 谓词逻辑：使用量词（如全称量词和存在量词）来表达更复杂的逻辑关系。
- 逻辑推理：包括直接证明、间接证明和归谬法等。
3. 关系- 关系的定义：一个集合到另一个集合的有序对的集合。
- 关系的类型：自反性、对称性和传递性等。
- 关系的闭包：在给定关系下，集合的最小闭包。
4. 函数- 函数的定义：一个集合到另一个集合的映射，每个元素有唯一的像。
- 函数的类型：单射、满射和双射。
- 复合函数：两个函数可以组合成一个新的函数。
5. 图论- 图的基本概念：由顶点（节点）和边组成的结构。
- 图的类型：无向图、有向图、连通图、树等。
- 图的算法：如最短路径、最小生成树、图的着色等。
6. 组合数学- 排列和组合：从n个不同元素中取出r个元素的不同排列和组合的数量。
- 二项式定理：描述了二项式的幂展开的系数。
- 生成函数：一种编码序列的方法，用于解决复杂的计数问题。
7. 递归- 递归定义：一个对象通过引用比自己更小的版本来定义。
- 递归函数：在计算机程序中，一个函数调用自身来解决问题。
结论：离散数学为理解和设计计算机系统提供了基础工具和理论。
它的知识点广泛应用于算法设计、数据结构、编程语言理论和数据库等领域。
掌握离散数学对于任何希望在计算机科学领域取得进展的人来说都是至关重要的。
本文提供了一个简洁的离散数学知识点概述，每个部分都直接针对一个主题，避免了不必要的背景信息和解释。
大学《离散数学》期末考试试卷及答案(1)一、选择题1. 离散数学的主要研究对象是（）。
A. 连续的数学结构B. 有限的数学结构C. 数学的综合应用D. 数学的哲学思考2. 命题逻辑是离散数学的一个重要组成部分，它主要研究（）。
A. 命题之间的真假关系B. 变量之间的关系C. 函数之间的关系D. 集合之间的关系3. 集合的基本运算包括（）。
A. 并、交、差、补B. 加、减、乘、除C. 包含、相等、不等、自反D. 大于、小于、等于、不等于二、填空题1. 若集合A={m|2m-1>3}，则A中的元素为______。
2. 有一个集合A={1，2，3}，则集合A的幂集为______。
3. 若命题p为真，命题q为假，则复合命题“p∧q”的真值为______。
三、解答题1. 请写出离散数学中常用的数学符号及其含义。
2. 请解释命题逻辑中的充分必要条件及其符号表示，并给出一个例子。
3. 请定义集合的笛卡尔积，并给出两个集合进行笛卡尔积运算的例子。
四、问答题1. 离散数学在计算机科学中有着重要的应用，请列举三个与计算机科学相关的离散数学应用领域并简要介绍。
2. 请简要解释归纳法在离散数学中的作用，并给出一个使用归纳法证明的例子。
3. 什么是有向图？请给出一个有向图的例子，并解释该图中的关系。
参考答案：一、选择题1. B2. A3. A二、填空题1. A={m|2m-1>3}2. {{}, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}3. 假三、解答题1. 常用数学符号及含义：- ∪：并，表示集合的合并操作。
- ∩：交，表示集合的交集操作。
- ∖：差，表示减去一个集合中的元素。
- ⊆：包含，表示一个集合包含于另一个集合。
- =：相等，表示两个集合具有相同的元素。
2. 充分必要条件是指一个命题的成立与另一个命题的成立互为必要条件，若A是B的充分必要条件，那么当A成立时B一定成立，且当A不成立时B也一定不成立。
计算机数学基础试题及答案尊敬的读者，本文将为您提供一份计算机数学基础试题及答案。
希望通过这些试题的讨论和答案的解析，能够帮助您更好地理解和应用计算机数学基础知识。
试题一：离散数学1. 什么是二进制数？2. 请举例说明二进制数的运算规则。
3. 什么是排列组合？4. 请计算C(5,2)的值。
5. 请计算5!的值。
答案一：1. 二进制数是由0和1组成的数字系统，是计算机中常用的表示方式。
2. 以两个二进制数的加法为例，对应的运算规则如下：0 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 11 + 1 = 10 （进位）3. 排列组合是离散数学中的一个重要概念，用于计算某个集合中元素的排列或组合方式的总数。
4. C(5,2)表示从5个元素中选出2个元素的组合数。
计算公式为C(5,2) = 5! / (2! * (5-2)!) = 10。
5. 5!表示5的阶乘，计算公式为5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120。
试题二：线性代数1. 什么是向量？2. 请说明向量的加法和数乘规则。
3. 什么是矩阵？4. 请计算矩阵相乘的规则。
5. 请计算以下矩阵相乘的结果：A = [[1, 2], [3, 4]]B = [[5, 6], [7, 8]]答案二：1. 向量是有方向和大小的量，由一组按照特定顺序排列的数值表示。
2. 向量的加法规则是对应位置上的数值相加，数乘规则是将向量的每一个分量与一个数相乘。
3. 矩阵是由一组按行和列排列的数值组成的矩形阵列。
4. 矩阵相乘的规则是：若矩阵A的列数等于矩阵B的行数，那么它们可以进行相乘运算。
结果矩阵的行数等于矩阵A的行数，列数等于矩阵B的列数。
5. 输入矩阵A和B的计算机执行矩阵相乘运算，结果为：AB = [[19, 22], [43, 50]]试题三：概率论与统计学1. 什么是概率？2. 请说明条件概率和贝叶斯公式。
3. 什么是均值和标准差？4. 请计算以下数据集的均值和标准差：[2, 4, 6, 8, 10]5. 请计算以下数据集的方差：[1, 3, 5, 7, 9]答案三：1. 概率是用来描述某个事件发生的可能性的数值。
离散数学期末考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B=（）。
A. {1,2,3}B. {2,3}C. {2,4}D. {1,4}答案：B2. 命题“若x>0，则x>1”的逆否命题是（）。
A. 若x≤0，则x≤1B. 若x≤1，则x≤0C. 若x>1，则x>0D. 若x≤1，则x≤0答案：B3. 函数f: A→B的定义域是集合A，值域是集合B，则（）。
A. A⊆BB. A⊂BC. A⊇BD. A⊃B答案：A4. 集合{1,2,3}与集合{3,2,1}是否相等？（）。
A. 是B. 否C. 无法确定D. 以上都不对答案：A5. 命题p:“x>0”，则￢p为（）。
A. x≤0B. x<0C. x=0D. x<0或x=0答案：A6. 命题“若x>0，则x>1”的逆命题是（）。
A. 若x>0，则x>1B. 若x≤1，则x≤0C. 若x>1，则x>0D. 若x≤0，则x≤1答案：C7. 函数f: A→B的定义域是集合A，值域是集合B，则（）。
A. A⊆BB. A⊂BC. A⊇BD. A⊃B答案：A8. 集合{1,2,3}与集合{3,2,1}是否相等？（）。
A. 是B. 否C. 无法确定D. 以上都不对答案：A9. 命题p:“x>0”，则￢p为（）。
A. x≤0B. x<0C. x=0D. x<0或x=0答案：A10. 命题“若x>0，则x>1”的逆命题是（）。
A. 若x>0，则x>1B. 若x≤1，则x≤0C. 若x>1，则x>0D. 若x≤0，则x≤1答案：C二、填空题（每题2分，共20分）1. 集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∪B=______。
答案：{1,2,3,4}2. 命题“若x>0，则x>1”的逆否命题是：若x≤1，则x≤0。
《计算机数学基础》(一)――离散数学期末复习参考一、关于期末考试1.本学期的结业考核由形成性考核和期末考核构成。
形成性考核由平时作业成绩构成，占结业考核成绩的20%, 期末考核成绩占结业考核成绩的80%。
2.期末考核实行全国统一考核，根据本课程考试说明，由中央电大统一命题，统一考核时间，制定统一评分标准。
开办试点的地方电大组织考核。
期末考核的考核内容和要求以考核说明为准；采用闭卷笔试，试卷满分100分；时限120分钟。
试题类型及分数：单项选择题和填空题，分数约占25％。
解答与计算题，分数约占56％；证明题，分数约占19％。
3, 考核试卷分数分布：第1编数理逻辑约30分，第2编集合论约30分，第3编图论约25分，第4编代数系统约15。
4. 易、中、较难题目在试卷中占的比例是4：4：2。
二、各章重点考核内容第1章命题逻辑1．命题联结词真值真值表简单命题符号化2. 命题公式永真式永假式可满足式3. 公式等值演算(必须掌握公式基本等值式)4. 求范式（用各种方法求合取范式、析取范式，尤其是主析取范式，主合取范式等）5. 掌握逻辑推理的方法。
第2章谓词逻辑1. 谓词量词个体词个体域变元(约束变元、自由变元) 简单命题符号化2. 判别简单谓词公式的类型(永真式、永假式、可满足式)3. 求前束范式4. 有限个体域中，求给定解释下的公式真值。
第3章集合及其运算1.集合元素全集空集幂集2. 集合的关系与运算3. 有序对和笛卡儿积第4章关系与函数1. 二元关系及其表示方法――集合方法、矩阵和图2.关系的运算和复合关系、逆关系3.二元关系的性质 (5条性质)4. 等价关系(等价类)与偏序关系 (哈斯图极大(小)元最大(小 )元5. 函数复合函数单射满射和双射，求反函数第5章图的基本概念1. 图结点边有向图无向图简单图多重图完全图子图与生成子图结点度数握手定理及其推论2. 通路通路的长度初级(简单)通路回路初级(简单)回路点割集与割点边割集与桥连通图强(单测、弱)连通3. 关联矩阵邻接矩阵第6章几种特殊图1. 欧拉通路(回路) 欧拉图哈密顿通路(回路) 哈密顿图2. 平面图面的次数平面图相关定理(定理6～8)3. 树无向树有向树最小生成树根树最优树二叉树第7章群1. 代数运算以及运算性质单位元、逆元, 代数系统，2. 半群群及其性质子群3. 循环群交换群n元置换及置换群4. 群的同态与同构第8章其它代数系统1. 环与域，环. 2. 格有界格有余格分配格3. 布尔代数三、各章基本问题第1章命题逻辑1. 命题符号化，是否命题判断或求真值。
2. 命题公式赋值，及类型判别。
3. 命题公式等值判别或证明。
方法有真值表法、等值演算法和主范式法.4. 求范式和主范式。
5. 蕴含式(推理理论)证明：方法有：真值表法、等值演算法、主析取范式法、构造证明法――直接法、附加前提证明法和反证法。
第2章谓词逻辑1. 命题符号化。
2. 求辖域、约束变元、自由变元。
3. 给定解释求谓词公式的真值(多为个体域有限的情形)。
4. 判断谓词公式是否重言式(用代换实例)、永假式？5. 求前束范式。
第3章集合及其运算1. 求集合表达式(列举法或描述法)。
2. 判断集合与元素、集合与集合的关系，用∈，∉，⊂，⊆，⊄？3. 求幂集。
4. 包含或相等的化简或证明。
5. 求笛卡儿积，或某些等式证明。
第4章二元关系与函数1. 求关系的表达式，关系矩阵、关系图，Dom(R),Ran(R).2. 验证或证明关系的性质。
3. 关系计算：求⋃，⋂，－，～，⊕4. 求复合关系、逆关系及其矩阵。
5. 求自反闭包或对称闭包。
6. 验证或证明关系R是等价关系或偏序关系。
7. 作偏序关系的哈斯图，求极大(小)元、最大(小)元。
8. 验证是否是函数，是满射、单射、双射？第5章图的基本概念1. 图G与G＝<V，E>互求。
2. 判断简单图、多重图、完全图。
3. 求子图或生成子图。
4. 求结点度数或用握手定理求结点数，或判断是否度数序列。
5. 判断是否同构，主要用必要条件判断不同构。
会作2或3个结点非同构的生成子图。
6. 用定理1(握手定理)或2以及推理进行推理或计算。
7. 求图中通路、回路、长度或通路、回路的数目(主要用定理8)8.判断是否连通、强连通、单侧连通或弱连通。
9. 求点割集、割点和边割集、割边(比较简单的图)。
10. 求有向图的邻接矩阵和可达矩阵。
第6章几种特殊的图1.判断或作欧拉图，求欧拉通路、回路。
2. 判断或作哈密顿图，求哈密顿通路、回路，说明不是哈密顿图。
3. 判断是否可平面图，将可平面图改画为平面图。
4. 求连通平面图的面、边界和次数。
5. 用定理6，7作某些证明或计算。
如求二元完全树中树叶个数与分支点数之关系。
6. 判断是否树。
7. 求树的结点与边的关系。
8. 求最小生成树和权。
第7章群1. 验证代数运算f在A上封闭，即<A,f>是代数系统。
2. 验证代数运算有结合律，交换律等。
3. 验证代数运算f，g有无分配律，吸收律等。
4. 求运算的单位元，逆元.。
5. 判断是否半群、群、交换群、循环群，求生成元和循环群的子群。
.7. 在群中进行计算、化简等。
8. 求复合置换、逆置换等。
9. 证明群同态、同构，找同态(同构)映射。
第8章 其它代数系统1. 验证是否为环？2. 给出偏序集，判断是否为格？3. 在格中进行计算、化简或证明等。
4. 布尔代数式的化简、求值或证明.四、自我练习题一、单项选择题1. 给定无向图如图1所示，下面给出的顶点 集的子集中，不是点割集的为（ ） (A) {b ,d } (B) {d } (C) {a ,c } (D) {e ,g }2. 无向完全图K 3的不同构的生成子图有（ ）个． (A) 6 (B) 5 (C) 4 (D) 33. 在自然数集合N 上，下列运算可结合的是（ ） A.),max(y x y x =* B.y x y x +=*2 C.22y x y x +=* D. y x y x -=*4. 设N 为自然数集合，<N ，ο>在下面4种运算下不构成代数系统的是（ ）(A) x οy = x +y －2xy (B) x οy = x +y (C) x οy = x •y (D) x οy = |x |+|y | (其中，+、—分别为普通加法和减法)5.2所示，是格的为( )图2二、填空题6. 若命题变元P ，Q ，R 赋值为(1,0,1)，则命题公式G ＝)())((Q P R Q P ∨⌝∨→∧的真值是7. 设N (x )：x 是自然数，Z (y )；y 是整数，则命题“自然数都是整数，而有的整数不是自然数”符号化为8. 设A ,，B 为任意集合，命题A -B =∅⇔A=B 的真值为 ．9. 设A ，B 为有限集，且|A|=m ,|B|=n ,那末A 与B 间存在双射，当且仅当 ．10. 在有向图的邻接矩阵中，第i 行元素之和,第j 列元素之和分别为 ．三、化简解答题11. 做命题公式))(()(P Q P Q P ∨∧→→的真值表，并判断该公式的类型．12.化简集合表达式：((A ⋃B ⋃C )⋂(A ⋃C ))－((C ⋃(C －B )－A )13. （1）将命题公式)(P R Q P →⌝∧∨⌝化为只含⌝和∧的尽可能简单的等值式．(2) 求谓词公式))(())((a f R x Q P x ∨→∀的真值．其中P ：4>3，Q （x ）：x >1，R （x ）：x ≤2，f (0)=0，f (4)=4．a ：4．个体域D ={0，4}．四、计算解答题14. (1) 设R 和S 是集合A ＝{1,2,3}上的二元关系，f b图1R ＝{<1,2>,<3,1>} S ={<1,2>,<2,1>,<3,3>}求R •S ，写出它的矩阵M R •S ．(2) 求布尔表达式c b c b a c b a E ++•+=)(),,(的对偶式，并求当a ,b ,c 取值0,0,1时，E (a ,b ,c )以及其对偶式的真值。
15. 指出谓词公式)(),())(),()((x S y x xH x P z x G x F x ∧∃∧∨→∀中∀x 和∃x 的辖域，16. 已知带权图G ，如图3所示．试求图G 的 最小生成树，并计算该生成树的权．17. 设简单连通无向图G 有12条边，G 中有1度 结点2个，2度结点2个，4度结点3个，其余结点度 数不超过3．求G 中至少有多少个结点．试作一个满足 该条件的简单无向图． 图3五、证明题18. 证明如果R 和S 是非空集合A 上的等价关系，则S R ⋂也是A 上的等价关系．19. 设R *是非0实数集，在R *上定义集合S 为},00{*R b a b a S ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡= 证明 (S ，*)是代数系统，满足结合律，交换律，存在单位元，S 的每个元素有逆元。
其中*是矩阵的乘法运算．五、自我练习题解答一、单项选择题1. B2. C3. A4. A5. D二、填空题6. 17. ∀x (N (x )→Z (x ))∧∃x (Z (x )∧⌝N (x ))8. 09. m =n ．10. 结点v i 的出度和结点v j 的入度三、化简解答题11. . 命题公式的真值表12. ((A ⋃B ⋃C )⋂(A ⋃C ))－((C ⋃(C －B )⋂～A )＝(A ⋃C )－（C ⋂～A ）(两次用吸收律)=((A ⋃C )⋂(～C ⋃A )=(A ⋂～C )⋃(C ⋂～C)⋃A ⋃(A ⋂C )=(A ⋂～C )⋃∅⋃A =A13. (1))(P R Q P →⌝∧∨⌝)()(P R Q P ∨∧⌝∧⌝⇔)()(R P Q P ⌝∧⌝⌝∧⌝∧⌝⇔不惟一.(2) ))(())((a f R x Q P x ∨→∀=))4(()))4(())0(((f R Q P Q P ∨→∧→=00)11()01(⇔∨→∧→四、计算解答题14. (1) R •S = {<1,2>,<3,1>}•{<1,2>,<2,1>,<3,3>}=}2,3,1,1{><><⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=•010000001S R M (2) 110)11(10)100()1,0,0(=++•=++•+=Ec b c b a c b a E ++•+=)(),,(的对偶式为c b c b a ••+•)(， 其真值是010110)100(=••=••+•15. ∀x 的辖域为：F (x )→G (x ，z )∨P (x )∃x 的辖域为：H(x ，y )x 既是约束变元，也是自由变元，约束出现4次，自由出现1次．y 是自由变元，自由出现1次．. z 是自由变元，自由出现1次．)()))),(((x xP y x f Q y x ∃→∃∀))3()2())),3((())),2(((P P y f yQ y f yQ ∨→∃∧∃⇔10))3,2()2,2(())3,3()2,3((∨→∨∧∨⇔Q Q Q Q11)10()10(⇔→∨∧∨⇔16. 做法如下：①选边1； ②选边2；③选边3； ④选边5； ⑤选边7最小生成树为{1,2,3,5,7}．如图4 中粗线所示．权数为18． 图417. 设图G 有x 个结点，有握手定理2⨯1+2⨯2+3⨯4＋3⨯（x -2-2-3）≥12⨯2271821243≥-+=xx ≥9图G 至少有9个结点． 图５ 满足条件的图如图5所示．五、证明题18. ① S R x x S x x R x x A x ⋂>∈⇒<>∈<>∈<∈∀,,,,,，所以S R ⋂有自反性； ②,,A y x ∈∀因为R ，S 是对称的，S y x R y x S R y x >∈<∧>∈⇔<⋂><,,,S x y R x y S R >∈<∧>∈<⇔,,,对称的S R x y ⋂>∈⇔<,所以，R ⋂S 是对称的．③ A z y x ∈∀,,，因为R ，S 是传递的，S R z y S R y x ⋂>∈<∧⋂>∈<,,S z y R z y S y x R y x >∈<∧>∈<∧>∈<∧>∈⇔<,,,, S z y S y x R z y R y x >∈<∧>∈<∧>∈<∧>∈⇔<,,,,S R z x S z x R z x S R ⋂>∈⇔<>∈<∧>∈<⇒,,,,传递所以，S R ⋂是传递的．总之，R ⋂S 是等价关系.19. 首先证*在S 上封闭．任取S 中的元素⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x b a 00,00，其中a ,b ,x ,y ∈R *．S by ax y x b a ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡*⎥⎦⎤⎢⎣⎡000000，因为ax ,by ∈R *．即*在S 上封闭．且有 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡*⎥⎦⎤⎢⎣⎡by ax y x b a 000000＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡*⎥⎦⎤⎢⎣⎡b a y x 0000 即运算*满足交换律。
