山东省济南市章丘区2019-2020学年九年级上学期期末数学试题(解析版)

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，直线AC,DF 被三条平行线所截，若 DE:EF=1:2，AB=2，则AC 的值为（ ）A ．6B ．4C ．3D ．52【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式，求出BC ，计算即可．【详解】解：∵l 1∥l 2∥l 3， ∴12AB DE BC EF == ， 又∵AB=2，∴BC=4，∴AC=AB+BC=1．故选：A ．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．2．一元二次方程x 2-2x+1=0的根的情况是（ ）A ．只有一个实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．没有实数根 【答案】B【解析】△=b 2-4ac=（-2）2-4×1×1=0，∴原方程有两个相等的实数根．故选B ．【点睛】，本题考查根的判别式，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0，a ，b ，c 为常数）的根的判别式△=b 2-4ac ．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 3．在平面直角坐标系中，将抛物线253y x =-+向左平移1个单位，再向下平移1个单位后所得抛物线的表达式为( )A ．()2514y x =-++B ．()2512y x =-++C ．()2512y x =--+D ．()2514y x =--+ 【答案】B 【分析】直接关键二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”解答即可.【详解】将抛物线253y x =-+向左平移1个单位，再向下平移1个单位后所得抛物线的表达式为： ()2513-1=y x =-++()2512x -++故选：B【点睛】本题考查的是二次函数的平移，掌握其平移规律是关键，需注意：二次函数平移时必须化成顶点式. 4．抛物线2(1)2y x =+-的对称轴是直线（ ）A ．x=-2B ．x=-1C ．x=2D ．x=1 【答案】B【解析】令10,x += 解得x=-1,故选B.5．将抛物线y=2x 2向左平移1个单位,再向上平移3个单位得到的抛物线,其解析式是( )A ．y=2(x+1)2+3B ．y=2(x －1)2－3C ．y=2(x+1)2－3D ．y=2(x －1)2+3 【答案】A【分析】抛物线平移不改变a 的值．【详解】原抛物线的顶点为（0，0），向左平移1个单位，再向上平移1个单位，那么新抛物线的顶点为（-1，1）．可设新抛物线的解析式为y=2（x-h ）2+k ，代入得：y=2（x+1）2+1．故选：A ．6．若:3:4a b =，且14a b +=，则2a b -的值是（ ）A ．4B ．2C ．20D ．14 【答案】A【分析】根据比例的性质得到34b a =，结合14a b +=求得,a b 的值，代入求值即可．【详解】解：由a ：b ＝3：4:3:4a b =知34b a =， 所以43a b =． 所以由14a b +=得到：4143a a +=， 解得6a =．所以8b =．所以22684a b -=⨯-=．故选A ．【点睛】 考查了比例的性质，内项之积等于外项之积．若a c b d=，则ad bc =． 7．如图的几何体，它的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】从正面看所得到的图形，进行判断即可． 【详解】解：主视图就是从正面看到的图形，因此A 图形符合题意，故选：A ．【点睛】此题主要考查三视图，解题的关键是熟知三视图的定义．8．如图，ABC 与ADE 相似，且ADE B ∠=∠，则下列比例式中正确的是（ ）A ．AE AD BE DC =B ．AE AB AB AC = C ．AD AB AC AE = D ．AE DE AC BC= 【答案】D【分析】利用相似三角形性质：对应角相等、对应边成比例，可得结论.【详解】由题意可得，A ABC DE ∽△△，所以AE DE AC BC =， 故选D .【点睛】在书写两个三角形相似时，注意顶点的位置要对应，即若ABC A B C '''∽△△，则说明点A 的对应点为点'A ，点B 的对应点B '，点C 的对应点为点C '.9．一次会议上，每两个参加会议的人都握了一次手，有人统（总）计一共握了45次手，这次参加会议到会的人数是x 人，可列方程为：（ ）A ．(1)45x x +=B ．1(1)452x x -=C ．1(1)452x x +=D ．(1)45x x -=【答案】B【分析】设这次会议到会人数为x，根据每两个参加会议的人都相互握了一次手且整场会议一共握了45次手，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设这次会议到会人数为x，依题意，得：1(1)452x x-=．故选：B．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10．如图所示，CD∥AB，OE平分∠AOD，OF⊥OE，∠D=50°，则∠BOF为( )A．35°B．30°C．25°D．20°【答案】C【解析】试题分析：CD∥AB，∠D=50°则∠BOD=50°．则∠DOA=180°-50°=130°．则OE平分∠AOD，∠EOD=65°．∵OF⊥OE，所以∠BOF=90°-65°=25°．选C．考点：平行线性质点评：本题难度较低，主要考查学生对平行线性质及角平分线性质的掌握．11．如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD的中点，则下列结论：①∠AME=90°；②∠BAF=∠EDB；③∠BMO=90°；④MD=2AM=4EM；⑤23AM MF=．其中正确结论的是（）A．①③④B．②④⑤C．①③⑤D．①③④⑤【答案】D【解析】根据正方形的性质可得AB=BC=AD，∠ABC=∠BAD=90°，再根据中点定义求出AE=BF，然后利用“边角边”证明△ABF和△DAE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAF=∠ADE，然后求出∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°，从而求出∠AMD=90°，再根据邻补角的定义可得∠AME=90°，从而判断①正确；根据中线的定义判断出∠ADE≠∠EDB ，然后求出∠BAF≠∠EDB ，判断出②错误；根据直角三角形的性质判断出△AED 、△MAD 、△MEA 三个三角形相似，利用相似三角形对应边成比例可得2AM MD AD EM AM AE===，然后求出MD=2AM=4EM ，判断出④正确，设正方形ABCD 的边长为2a ，利用勾股定理列式求出AF ，再根据相似三角形对应边成比例求出AM ，然后求出MF ，消掉a 即可得到AM=23MF ，判断出⑤正确；过点M 作MN ⊥AB 于N ，求出MN 、NB ，然后利用勾股定理列式求出BM ，过点M 作GH ∥AB ，过点O 作OK ⊥GH 于K ，然后求出OK 、MK ，再利用勾股定理列式求出MO ，根据正方形的性质求出BO ，然后利用勾股定理逆定理判断出∠BMO=90°，从而判断出③正确．【详解】在正方形ABCD 中，AB=BC=AD ，∠ABC=∠BAD=90°，∵E 、F 分别为边AB ，BC 的中点，∴AE=BF=12BC ， 在△ABF 和△DAE 中，AE BF ABC BAD AB AD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△ABF ≌△DAE （SAS ），∴∠BAF=∠ADE ，∵∠BAF+∠DAF=∠BAD=90°，∴∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°，∴∠AMD=180°-（∠ADE+∠DAF ）=180°-90°=90°，∴∠AME=180°-∠AMD=180°-90°=90°，故①正确；∵DE 是△ABD 的中线，∴∠ADE≠∠EDB ，∴∠BAF≠∠EDB ，故②错误；∵∠BAD=90°，AM ⊥DE ，∴△AED ∽△MAD ∽△MEA ， ∴2AM MD AD EM AM AE=== ∴AM=2EM ，MD=2AM ，∴MD=2AM=4EM ，故④正确；设正方形ABCD 的边长为2a ，则BF=a ，在Rt △ABF 中，==∵∠BAF=∠MAE ，∠ABC=∠AME=90°，∴△AME ∽△ABF ，∴AM AE AB AF=，即25AMa a=，解得AM=255a∴MF=AF-AM=25355=a aa-，∴AM=23MF，故⑤正确；如图，过点M作MN⊥AB于N，则MN AN AMBF AB AF==即25525MN ANa a a==解得MN=a52，AN=45a，∴NB=AB-AN=2a-45a=65a，根据勾股定理，222262210555NB MN a a a⎛⎫⎛⎫+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭过点M作GH∥AB，过点O作OK⊥GH于K，则OK=a-a52=a53，MK=65a-a=15a，在Rt△MKO中，22221310555MK OK a a a⎛⎫⎛⎫+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭根据正方形的性质，BO=2a×222a=，∵BM2+MO2=222210102a⎫⎫+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭()22222BO a a==∴BM 2+MO2=BO2，∴△BMO是直角三角形，∠BMO=90°，故③正确；综上所述，正确的结论有①③④⑤共4个．故选：D【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，勾股定理逆定理的应用，综合性较强，难度较大，仔细分析图形并作出辅助线构造出直角三角形与相似三角形是解题的关键．12．把一个正六棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析：根据平行投影特点以及图中正六棱柱的摆放位置即可求解．把一个正六棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是正六边形．考点：平行投影．二、填空题（本题包括8个小题）13．公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们归纳出为“杠杆原理”.已知，手压压水井的阻力和阻力臂分别是90N和0.3m，则动力1F（单位：N）与动力臂1L（单位：m）之间的函数解析式是__________．【答案】1127FL=【分析】直接利用阻力×阻力臂=动力×动力臂，进而代入已知数据即可得解．【详解】解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂，∴11900.3F L⨯=⨯∴1127FL=故答案为：1127FL=．本题考查的知识点是用待定系数法求反比例函数解析式，解此题的关键是要知道阻力×阻力臂=动力×动力臂．14．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC于点E，连接BC过点O作OF⊥BC于点F，若BD＝12cm，AE＝4cm，则OF的长度是___cm．【答案】13.【分析】连接OB，根据垂径定理和勾股定理即可求出OB，从而求出EC，再根据勾股定理即可求出BC，根据三线合一即可求出BF，最后再利用勾股定理即可求出OF.【详解】连接OB，∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC，∴BE＝12BD＝6cm，在Rt△OEB中，OB2＝OE2+BE2，即OB2＝（OB﹣4）2+62，解得：OB＝132，∴AC=2OA=2OB=13cm则EC＝AC﹣AE＝9cm，BC＝22E BEC+＝2296+＝313cm，∵OF⊥BC，OB=OC∴BF＝12BC＝313cm，∴OF＝22BFOB-＝221331322⎛⎫⎛⎫-⎪⎪⎝⎭⎝⎭＝13cm，故答案为13．此题考查的是垂径定理和勾股定理，掌握垂径定理和勾股定理的结合是解决此题的关键.15．点（2，5）在反比例函数k y x =的图象上，那么k ＝_____． 【答案】1 【分析】直接把点（2，5）代入反比例函数k y x=求出k 的值即可． 【详解】∵点（2，5）在反比例函数k y x=的图象上， ∴5＝2k ， 解得k ＝1．故答案为：1．【点睛】此题考查求反比例函数的解析式，利用待定系数法求函数的解析式.16．一元二次方程的x 2+2x ﹣10＝0两根之和为_____．【答案】﹣2【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【详解】x 2+2x ﹣10＝0的两根之和为﹣2，故答案为：﹣2【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，属于基础题型.17．如图,点()()()111222,,,,,,n n n P x y P x y P x y 在函数()10y x x=>的图象上, 11212,,POA P A A 3231,,n n n P A A P A A -都是等腰直角三角形.斜边112231,,,,n n OA A A A A A A -都在x 轴上(n 是大于或等于2的正整数),点n P 的坐标是______．【答案】1,1()n n n n --【分析】过点P 1作P 1E ⊥x 轴于点E ，过点P 2作P 2F ⊥x 轴于点F ，过点P 3作P 3G ⊥x 轴于点G ，根据△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3都是等腰直角三角形，可求出P 1，P 2，P 3的坐标，从而总结出一般规律得出点P n 的坐标．【详解】解：过点P 1作P 1E ⊥x 轴于点E ，过点P 2作P 2F ⊥x 轴于点F ，过点P 3作P 3G ⊥x 轴于点G ， ∵△P 1OA 1是等腰直角三角形，∴P 1E=OE=A 1E=12OA 1， 设点P 1的坐标为（a ，a ），（a ＞0）， 将点P 1（a ，a ）代入1y x=，可得a=1， 故点P 1的坐标为（1，1），则OA 1=2，设点P 2的坐标为（b+2，b ），将点P 2（b+2，b ）代入1y x =，可得b=21-， 故点P 2的坐标为（21+，21-），则A 1F=A 2F=21-，OA 2=OA 1+A 1A 2=22，设点P 3的坐标为（c+22，c ），将点P 3（c+22，c ）代入1y x=， 可得c=32-，故点P 3的坐标为（32+，32-），综上可得：P 1的坐标为（1，1），P 2的坐标为（21+，21-），P 3的坐标为（21+，21-）， 总结规律可得：P n 坐标为1,1()n n n n +---；故答案为：1,1()n n n n +---. 【点睛】本题考查了反比例函数的综合，根据等腰三角形的性质结合反比例函数解析式求出P 1，P 2，P 3的坐标，从而总结出一般规律是解题的关键.18．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 都在格点上，过A ，B ，C 三点作一圆弧，则圆心的坐标是_____．【答案】（2，1）【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB 和BC 的垂直平分线，交点即为圆心．【详解】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB 和BC 的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，则圆心是（2，1）．故答案为：（2，1）．【点睛】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”．三、解答题（本题包括8个小题）19．计算：22sin30cos60cos 45︒+︒-︒；【答案】1【分析】根据特殊角的三角函数值代入即可求解.【详解】22sin30cos60cos 45︒+︒-︒21122222⎛⎫=⨯+- ⎪ ⎪⎝⎭ 11122=+- 1=【点睛】此题主要考查实数的计算，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值.20．如图，AB 是⊙O 的直径，BM 切⊙O 于点B ，点P 是⊙O 上的一个动点(点P 不与A ，B 两点重合)，连接AP ，过点O 作OQ ∥AP 交BM 于点Q ，过点P 作PE ⊥AB 于点C ，交QO 的延长线于点E ，连接PQ ，OP ．(1)求证：△BOQ ≌△POQ ；(2)若直径AB 的长为1．①当PE ＝ 时，四边形BOPQ 为正方形；②当PE ＝ 时，四边形AEOP 为菱形．【答案】（1）见解析；（2）①6，②3【分析】(1)根据切线的性质得∠OBQ ＝90°，再根据平行线的性质得∠APO ＝∠POQ ，∠OAP ＝∠BOQ ，加上∠OPA ＝∠OAP ，则∠POQ ＝∠BOQ ，于是根据“SAS”可判断△BOQ ≌△POQ ；(2)①利用△BOQ ≌△POQ 得到∠OPQ ＝∠OBQ ＝90°，由于OB ＝OP ，所以当∠BOP ＝90°，四边形OPQB 为正方形，此时点C 、点E 与点O 重合，于是PE ＝PO ＝6；②根据菱形的判定，当OC ＝AC ，PC ＝EC ，四边形AEOP 为菱形，则OC ＝12OA ＝3，然后利用勾股定理计算出PC ，从而得到PE 的长． 【详解】(1)证明：∵BM 切⊙O 于点B ，∴OB ⊥BQ ，∴∠OBQ ＝90°，∵PA ∥OQ ，∴∠APO ＝∠POQ ，∠OAP ＝∠BOQ ，而OA ＝OP ，∴∠OPA ＝∠OAP ，∴∠POQ ＝∠BOQ ，在△BOQ 和△POQ 中OB OP BOQ POQ OQ OQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BOQ ≌△POQ ；(2)解：①∵△BOQ ≌△POQ ，∴∠OPQ ＝∠OBQ ＝90°，当∠BOP ＝90°，四边形OPQB 为矩形，而OB ＝OP ，则四边形OPQB 为正方形，此时点C 、点E 与点O 重合，PE ＝PO ＝12AB ＝6； ②∵PE ⊥AB ，∴当OC ＝AC ，PC ＝EC ，四边形AEOP 为菱形，∵OC ＝12OA ＝3， ∴PC=∴PE ＝2PC ＝．故答案为6，【点睛】本题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质和菱形、正方形的判定方法；综合应用所学知识是解答本题的关键．21．如图，BC 是O 的弦，OD BC 于E ，交O 于D ，若8,2BC ED ==，求O 的半径.【答案】5.【分析】连接OB ，由垂径定理得BE=CE=4，在Rt OEB 中，根据勾股定理列方程求解.【详解】解：连接OB,8OD BC BC ⊥= 142BE CE BC ∴==＝ 设O 的半径为R ，则2OE OD DE R =-=-在Rt OEB 中，由勾股定理得222OE BE OB =＋，即()22242R R +=- 解得5R ＝O ∴的半径为5【点睛】本题考查了圆的垂径定理，利用勾股定理列方程求解是解答此题的关键.22．已知抛物线y ＝x 2+bx ﹣3经过点A （1，0），顶点为点M ．（1）求抛物线的表达式及顶点M 的坐标；（2）求∠OAM 的正弦值．【答案】（1）M 的坐标为（﹣1，﹣4）；（2）．【解析】（1）把A 坐标代入抛物线解析式求出b 的值，确定出抛物线表达式，并求出顶点坐标即可；（2）根据（1）确定出抛物线对称轴，求出抛物线与x 轴的交点B 坐标，根据题意得到三角形AMB 为直角三角形，由MB 与AB 的长，利用勾股定理求出AM 的长，再利用锐角三角函数定义求出所求即可．【详解】解：（1）由题意，得1＋b ﹣3＝0，解这个方程，得，b ＝2，所以，这个抛物线的表达式是y ＝x 2＋2x ﹣3，所以y ＝（x ＋1）2﹣4，则顶点M 的坐标为（﹣1，﹣4）；（2）由（1）得：这个抛物线的对称轴是直线x ＝﹣1，设直线x ＝-1与x 轴的交点为点B ，则点B 的坐标为（﹣1，0），且∠MBA ＝90°，在Rt △ABM 中，MB ＝4，AB ＝2，由勾股定理得：AM 2＝MB 2＋AB 2＝16＋4＝20，即AM ＝2， 所以sin ∠OAM ＝＝． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，以及解直角三角形，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．23．如图，在ABC ∆中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，DE BC ∥，:2:5AD AB =，4ADE S ∆=.求四边形BCED 的面积.【答案】21.【分析】利用平行判定ADE ABC ∆∆∽，然后利用相似三角形的性质求得425ADE ABC S S ∆∆=，从而求得25ABC S ∆=，使问题得解.【详解】解：∵DE BC ∥，∴ADE B ∠=∠，AED C ∠=∠.∴ADE ABC ∆∆∽. ∵25AD AB =， ∴425ADE ABC S S ∆∆=. ∵4ADE S ∆=，∴25ABC S ∆=.∴=21BCED S 四边形.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是本题的解题关键. 24．如图，在平行四边形ABCD 中，点A 、B 、C 的坐标分别是（1，0）、（3，1）、（3，3），双曲线y ＝k x（k≠0，x ＞0）过点D ．（1）写出D 点坐标；（2）求双曲线的解析式；（3）作直线AC 交y 轴于点E ，连结DE ，求△CDE 的面积．【答案】（1）点D 的坐标是（1，2）；（2）双曲线的解析式是：y ＝2x；（1）△CDE 的面积是1． 【分析】（1）根据平行四边形对边相等的性质，将线段长度转化为点的坐标即可；（2）求出点D 的坐标后代入反比例函数解析式求解即可；（1）观察图形，可用割补法将CDE ∆分成ADE ∆与ACD ∆两部分，以AD 为底，分别以E 到AD 的距离和C 到AD 的距离为高求解即可.【详解】解：（1）∵在平行四边形ABCD 中，点A 、B 、C 的坐标分别是（1，0）、（1，1）、（1，1）， ∴点D 的坐标是（1，2），（2）∵双曲线y ＝k x （k≠0，x ＞0）过点D （1，2）， ∴2＝1k ，得k ＝2， 即双曲线的解析式是：y ＝2x； （1）∵直线AC 交y 轴于点E ，点A 、B 、C 的坐标分别是（1，0）、（1，1）、（1，1），点D 的坐标是（1，2），∴AD＝2，点E到AD的距离为1，点C到AD的距离为2，∴S△CDE＝S△EDA+S△ADC＝212222⨯⨯+＝1+2＝1，即△CDE的面积是1．【点睛】本题主要考查反比例函数与平行四边形的性质，熟练掌握两知识点的性质是解答关键.25．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上，与x轴相交于A、B两点（点A在点B 的右侧），点A的坐标为（m，0），且AB＝1．（1）填空：点B的坐标为（用含m的代数式表示）；（2）把射线AB绕点A按顺时针方向旋转135°与抛物线交于点P，△ABP的面积为8：①求抛物线的解析式（用含m的代数式表示）；②当0≤x≤1，抛物线上的点到x轴距离的最大值为12时，求m的值．【答案】（1）（m﹣1，0）；（3）①y＝18（x﹣m）（x﹣m+1）；②m的值为：3+32或3﹣32或3≤m≤3．【分析】（1）A的坐标为（m，0），AB=1，则点B坐标为（m-1，0）；（3）①S△ABP=12•AB•y P=3y P=8，即：y P=1，求出点P的坐标为（1+m，1），即可求解；②抛物线对称轴为x=m-3．分x=m-3≥1、0≤x=m-3≤1、x=m-3≤0三种情况，讨论求解.【详解】解：（1）A的坐标为（m，0），AB＝1，则点B坐标为（m﹣1，0），故答案为（m﹣1，0）；（3）①S△ABP＝12AB•y P＝3y P＝8，∴y P＝1，把射线AB绕点A按顺时针方向旋转135°与抛物线交于点P，此时，直线AP表达式中的k值为1，设：直线AP的表达式为：y＝x+b，把点A坐标代入上式得：m+b＝0，即：b＝﹣m，则直线AP的表达式为：y＝x﹣m，则点P的坐标为（1+m，1），则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣m）（x﹣m+1），把点P坐标代入上式得：a（1+m﹣m）（1+m﹣m+1）＝1，解得：a＝18，则抛物线表达式为：y＝18（x﹣m）（x﹣m+1），②抛物线的对称轴为：x＝m﹣3，当x＝m﹣3≥1（即：m≥3）时，x＝0时，抛物线上的点到x轴距离为最大值，即：18（0﹣m）（0﹣m+1）＝12±，解得：m＝3或3±32，∵m≥3，故：m＝3+32；当0≤x＝m﹣3≤1（即：3≤m≤3）时，在顶点处，抛物线上的点到x轴距离为最大值，即：﹣18（m﹣3﹣m）（m﹣3﹣m+1）＝12，符合条件，故：3≤m≤3；当x＝m﹣3≤0（即：m≤3）时，x＝1时，抛物线上的点到x轴距离为最大值，即：18（1﹣m）（1﹣m+1）＝12±，解得：m＝3或3±32，∵m≤3，故：m＝3﹣32；综上所述，m的值为：3+32或3﹣32或3≤m≤3．【点睛】本题考查的是二次函数知识的综合运用，涉及到图象旋转、一次函数基本知识等相关内容，其中（3）中，讨论抛物线对称轴所处的位置与0，1的关系是本题的难点．26．如图，已知⊙O的半径为5 cm，弦AB的长为8 cm，P是AB延长线上一点，BP＝2 cm，求cosP的值．【答案】25【分析】作OC⊥AB于C点，根据垂径定理可得AC、CP的长度，在Rt△OCA和Rt△OCP中，运用勾股定理分别求出OC、OP的长度，即可算得cos P∠的值．【详解】解：作OC⊥AB于C点，根据垂径定理，AC＝BC＝4cm，∴CP＝4+2=6cm，在Rt△OCA中，根据勾股定理，得2222OC=OA CA=54=3cm--，在Rt△OCP中，根据勾股定理，得2222OP=OC CP=36=35cm++，故PC25 cos P===PO35∠．【点睛】本题主要考察了垂径定理、勾股定理、求角的余弦值，解题的关键在于运用勾股定理求出图形中部分线段的长度．27．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，过点B作直线BF，交AC的延长线于点F．（1）求证：BE＝CE；（2）若AB＝6，求弧DE的长；（3）当∠F的度数是多少时，BF与⊙O相切，证明你的结论．【答案】（1）证明见解析；（2）弧DE的长为910π；（3）当∠F的度数是36°时，BF与⊙O相切．理由见解析.【解析】(1)连接AE，求出AE⊥BC，根据等腰三角形性质求出即可；(2)根据圆周角定理求出∠DOE的度数，再根据弧长公式进行计算即可；(3)当∠F的度数是36°时，可以得到∠ABF=90°，由此即可得BF与⊙O相切. 【详解】(1)连接AE，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴AE⊥BC，∵AB=AC，∴BE=CE；(2)∵AB=AC，AE⊥BC，∴AE平分∠BAC，∴∠CAE=12∠BAC=12×54°=27°，∴∠DOE=2∠CAE=2×27°=54°，∴弧DE的长=5439 18010ππ⨯⨯=；(3)当∠F的度数是36°时，BF与⊙O相切，理由如下：∵∠BAC=54°，∴当∠F=36°时，∠ABF=90°，∴AB⊥BF，∴BF为⊙O的切线．【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的判定、弧长公式等，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．若270x y -=. 则下列式子正确的是（ ）A ．72x y = B ．27x y = C ．27x y = D ．27x y = 【答案】A 【分析】直接利用比例的性质分别判断即可得出答案．【详解】∵2x-7y=0，∴2x=7y ．A ．72x y =，则2x=7y ，故此选项正确； B ．27x y=，则xy=14，故此选项错误； C ．27x y =，则2y=7x ，故此选项错误； D ．27x y =，则7x=2y ，故此选项错误． 故选A ．【点睛】本题考查了比例的性质，正确将比例式变形是解题的关键．2． “2020年的6月21日是晴天”这个事件是（ ）A ．确定事件B ．不可能事件C ．必然事件D ．不确定事件 【答案】D【分析】在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．【详解】“2020年的6月21日是晴天”这个事件是随机事件，属于不确定事件，故选：D ．【点睛】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．3．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=，30B ∠=，AD 平分BAC ∠，E 是AD 的中点，若8AB =，则CE 的长为（ ）A ．4B 43C 3D 23 【答案】B 【分析】首先证明AD BD =，然后再根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即12CE AD =.【详解】解：90,30,ACB B ∠=︒∠=︒60.CAB ∴∠=︒AD CAB ∠又平分30CAD DAB ∴∠=∠=︒DAB B ∴∠=∠.AD BD ∴=1.2Rt ACD CD AD =在中，设,AD BD x == 则12CD x =, 142AC AB ==在Rt ACD 中，222AC CD AD += 即222142x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭解得833x = E 为AD 中点，14323CE AD ∴==故选B【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、直角三角形斜边上的中线，含30度角的直角三角形.4．Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，15b =4c =，则cos B 的值是（ ）A 15B．13C15D．14【答案】D【分析】根据勾股定理求出BC的长度，再根据cos函数的定义求解，即可得出答案. 【详解】∵15AB=4，∠C=90°∴221BC AC AB=-=∴14BC cosBAB==故答案选择D.【点睛】本题考查的是勾股定理和三角函数，比较简单，需要熟练掌握sin函数、cos函数和tan函数分别代表的意思.5．抛物线y=x2+2x﹣3的最小值是（）A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4【答案】D【解析】把y=x2+2x﹣3配方变成顶点式，求出顶点坐标即可得抛物线的最小值.【详解】∵y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣1，∴顶点坐标为（﹣1，﹣1），∵a=1＞0，∴开口向上，有最低点，有最小值为﹣1．故选：D．【点睛】本题考查二次函数最值的求法：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，熟练掌握并灵活运用适当方法是解题关键.6．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F．若23=ABBC，DE＝4，则EF的长是（）A ．83B ．203C ．6D ．10【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例可得ABDE BC EF =，代入计算即可解答．【详解】解：∵l 1∥l 2∥l 3，∴AB DEBC EF =，即243EF =，解得：EF ＝1．故选：C ．【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理，熟悉定理是解题的关键．7．如图，AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，∠ABD ＝60°，CD ＝23，则阴影部分的面积为（）A ．23π B ．π C ．2π D ．4π【答案】A【解析】试题解析：连接OD.∵CD ⊥AB ，132CE DE CD ∴===，故OCE ODE S S =，即可得阴影部分的面积等于扇形OBD 的面积，又60ABD ∠=，30CDB ∴∠=，60COB ∴∠=，∴OC=2，∴S 扇形OBD 260π22π.3603⨯== 即阴影部分的面积为2π.3 故选A. 点睛：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧.8．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 为AB 边上的高，CE 为AB 边上的中线，AD=2，CE=5，则CD=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．3【答案】C 【解析】分析：根据直角三角形的性质得出AE=CE=1，进而得出DE=3，利用勾股定理解答即可． 详解：∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CE 为AB 边上的中线，CE=1，∴AE=CE=1，∵AD=2，∴DE=3，∵CD 为AB 边上的高，∴在Rt △CDE 中，2222=53=4CE DE --，故选C ．点睛：此题考查直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的性质得出AE=CE=1．9．在二次函数2y x 2x 1=-++的图像中，若y 随x 的增大而增大，则x 的取值范围是A ．x 1<B ．x 1>C ．x 1<-D ．x 1>-【答案】A【解析】∵二次函数2y x 2x 1=-++的开口向下，∴所以在对称轴的左侧y 随x 的增大而增大．∵二次函数2y x2x1=-++的对称轴是b2x12a2(1)=-=-=⨯-，∴x1<．故选A．10．下列计算，正确的是（）A．a2·a3=a6B．3a2-a2=2 C．a8÷a2=a4D．(a2)3=a6【答案】D【分析】按照整式乘法、合并同类项、整式除法、幂的乘方依次化简即可得到答案.【详解】A. a2·a3=a5，故该项错误；B.3a2-a2=2a2，故该项错误；C. a8÷a2=a6，故该项错误；D.(a2)3=a6正确，故选：D.【点睛】此题考查整式的化简计算，熟记整式乘法、合并同类项、整式除法、幂的乘方的计算方法即可正确解答. 11．如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为13，点A，B，E在x轴上．若正方形ABCD的边长为2，则点F坐标为（）A．（8，6）B．（9，6）C．19,62⎛⎫⎪⎝⎭D．（10，6）【答案】B【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出EF的长，进而得出△OBC∽△OEF，进而得出EO的长，即可得出答案．【详解】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为13，∴13 BC OBEF EO==，∵BC＝2，∴EF＝BE＝6，∵BC∥EF，∴△OBC∽△OEF，∴136BOBO=+，解得：OB＝3，∴EO＝9，∴F点坐标为：（9，6），故选：B．【点睛】此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出OB的长是解题关键．12．如图，⊙O的圆周角∠A =40°，则∠OBC的度数为（）A．80°B．50°C．40°D．30°【答案】B【分析】然后根据圆周角定理即可得到∠OBC的度数，由OB=OC，得到∠OBC=∠OCB，根据三角形内角和定理计算出∠OBC．【详解】∵∠A=40°．∴∠BOC=80°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=50°，故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理：一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半；也考查了等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理．二、填空题（本题包括8个小题）13．若抛物线y＝2x2+6x+m与x轴有两个交点，则m的取值范围是_____．【答案】92 m【分析】由抛物线与x轴有两个交点，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．【详解】∵抛物线y=2x2+6x+m与x轴有两个交点，∴△=62﹣4×2m=36﹣8m＞0，∴m92＜．故答案为：m92＜．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，牢记“当△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点”是解答本题的关键．14．如图，抛物线y＝﹣13（x+1）（x﹣9）与坐标轴交于A、B、C三点，D为顶点，连结AC，BC．点P是该抛物线在第一象限内上的一点．过点P作y轴的平行线交BC于点E，连结AP交BC于点F，则PF AF的最大值为_______．【答案】81 40【分析】根据抛物线的解析式求得A、B、C的坐标，进而求得AB、BC、AC的长，根据待定系数法求得直线BC的解析式，作PN⊥BC，垂足为N．先证明△PNE∽△BOC，由相似三角形的性质可知PN 310，然后再证明△PFN∽△AFC，由相似三角形的性质可得到PF:AF与m的函数关系式，从而可求得PFAF的最大值．【详解】∵抛物线y=﹣13(x+1)(x﹣9)与坐标轴交于A、B、C三点，∴A(﹣1，0)，B(9，0)，令x=0，则y=1，∴C(0，1)，∴BC222293310 OB OC+=+=设直线BC的解析式为y=kx+b．∵将B、C的坐标代入得：903k bb+=⎧⎨=⎩，解得k=﹣13，b=1，∴直线BC的解析式为y=﹣13x+1．设点P的横坐标为m，则纵坐标为﹣13(m+1)(m﹣9)，点E(m，﹣13m+1)，∴PE=﹣13(m+1)(m﹣9)﹣(﹣13m+1)=﹣13m2+1m．作PN⊥BC，垂足为N．∵PE∥y轴，PN⊥BC，∴∠PNE=∠COB=90°，∠PEN=∠BCO．∴△PNE∽△BOC．∴PNPE=OBBC=310=310．∴PN=310PE=310(-13m2+1m)．∵AB2=(9+1)2=100，AC2=12+12=10，BC2=90，∴AC2+BC2=AB2．∴∠BCA=90°，又∵∠PFN=∠CFA，∴△PFN∽△AFC．∴PFAF=PNAC=23101(3)10310m m-+﹣110m2+910m=﹣110(m﹣92)2+8140．∵110a=-<，∴当m92=时，PFAF的最大值为8140．故答案为：8140．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的解析式、等腰三角形的性质、勾股定理的应用以及相似三角形的证明与性质，求得PFAF与m的函数关系式是解题的关键．15．如图，点p是∠a的边OA上的一点，点p的坐标为（12,5），则tanα=_____．【答案】512【分析】根据题意过P作PE⊥x轴于E，根据P（12，5）得出PE=5，OE=12，根据锐角三角函数定义得出PEtanOEα=，代入进行计算求出即可．【详解】解：过P作PE⊥x轴于E，∵P（12，5），∴PE=5，OE=12，∴512PEtanOEα==．故答案为：512．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义的应用，注意掌握在Rt△ACB中，∠C=90°，则AC BC ACsinB cosB tanBAB AB BC===，，．16．如图，在平面直角坐标系中，点()3,0A，点()0,1B，作第一个正方形111OA C B且点1A在OA上，点1B在OB上，点1C在AB上；作第二个正方形1222A A C B且点2A在1A A上，点2B在12A C上，点2C在AB 上…，如此下去，其中1C纵坐标为______，点nC的纵坐标为______．33-33n-⎝⎭【分析】先确定直线AB的解析式，然后再利用正方形的性质得出点C1和C2的纵坐标，归纳规律，然后按规律求解即可．【详解】解：设直线AB的解析式y=kx+b则有：301k bb⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得：31kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩所以直线仍的解析式是：3y=1x-+设C1的横坐标为x，则纵坐标为3y=13x-+∵正方形OA1C1B1∴x=y，即313x x=-+，解得33313x-==+∴点C1的纵坐标为33-同理可得：点C2的纵坐标为6232-=233⎛⎫-⎪⎝⎭∴点C n的纵坐标为33n⎛⎫-⎪⎝⎭．故答案为：33-，332n⎛⎫-⎪⎝⎭．【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了运用待定系数法求一次函数的解析式、正方形的性质、一次函数图象上点的坐标特点等知识，掌握数形结合思想是解答本题的关键．17．如图，已知点A，C在反比例函数(0)ay ax=>的图象上，点B，D在反比例函(0)by bx=<的图象上，AB∥CD∥x轴，AB，CD在x轴的两侧，AB=5，CD=4，AB与CD的距离为6，则a−b的值是_______.【答案】403【分析】利用反比例函数k的几何意义得出a-b=4•OE，a-b=5•OF，求出45a b a b--+=6，即可求出答案．【详解】如图，∵由题意知：a-b=4•OE ，a-b=5•OF ， ∴OE=4a b-，OF=5a b -， 又∵OE+OF=6，∴45a b a b --+=6， ∴a-b=403，故答案为：403．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，能求出方程45a b a b--+=6是解此题的关键． 18．如图，45AOB ∠=，点P 、Q 都在射线OA 上，2OP =，6OQ =，M 是射线OB 上的一个动点，过P 、Q 、M 三点作圆，当该圆与OB 相切时，其半径的长为__________．【答案】4223-【分析】圆C 过点P 、Q ，且与OB 相切于点M ，连接CM ，CP ，过点C 作CN ⊥PQ 于N 并反向延长，交OB 于D ，根据等腰直角三角形的性质和垂径定理，即可求出ON 、ND 、PN ，设圆C 的半径为r ，再根据等腰直角三角形的性质即可用r 表示出CD 、NC ，最后根据勾股定理列方程即可求出r ．【详解】解：如图所示，圆C 过点P 、Q ，且与OB 相切于点M ，连接CM ，CP ，过点C 作CN ⊥PQ 于N 并反向延长，交OB 于D∵2OP =，6OQ =，。

2019～2020学年度第一学期期末检测九年级数学评分标准（其他解法参照给分）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）9．12； 10．1:4； 11．2； 12．>； 13．110；14．不具有； 15． 16．4； 17．16； 18．2+三、解答题（本大题共10小题，共86分．）19．（本题共2小题，每题5分，共10分）（1）(1)计算：1032sin302020-+︒-解：原式11=2132+⨯-…………………………………………………3分 1113=+-……………………………………………………4分 13=…………………………………………………………5分 （2）解方程：2340x x +-=（解法不唯一）解：()()410x x +-=，……………………………………………………7分40x +=，10x -=…………………………………………………9分 1241x x =-=，………………………………………………………10分20．（本小题7分）解：………………………………………………………………………………………5分 P (两次取球得分的总分不小于5分)=13…………………………………………7分21．（本小题7分）（1）816%=50÷，5010148612m =----=；…………………………2分（2）本次抽查的学生文章阅读篇数的中位数为5，众数为4；………………4分（3）14120033650⨯=，………………………………………………………6分 答：估计该校学生在这一周内文章阅读的篇数为4篇的人数为336人．………7分22．(本小题8分）（1）△ABC 的面积是 12 ；…2分（2）如图所示………6分（3）若P （a ，b ）为线段BC 上的任一 点，则变换后点P 的对应点'P 的坐标为 (,)22a b ．………8分23．（本小题8分）解：设市政府从2017年到2019年对校舍建设投入资金的年平均增长率为x ．…1分 根据题意得，28(1)11.52x +=．…………………………………………………4分解这个方程，得 1220% 2.2x x ==-，（不合题意，舍去）……………………7分答：市政府从2017年到2019年对校舍建设投入资金的年平均增长率为20%…8分24．(本小题8分）解：（1）分别过点E 作EF ⊥AC ，EG ⊥AO,垂足为F 、G.∵至DE 处，测得顶点A 的仰角为75°, ∴∠AEG=75°……………1分∵在BC 处测得直立于地面的AO 顶点A 的仰角为30°,∴∠ACE=30°, ……2分 ∴∠CAE=∠AEG -∠ACE=45°……………………………………………3分（2）在Rt △CFE 中，CE=40，∴1sin 3040202EF CE =︒=⨯=………4分 在Rt △AFE 中，∠CAE =45°，AF=FE=20………5分∴sin 452EF AE ===︒…………………………………………6分(第24题)（3）20AC AF CF =+=在Rt △AFE 中，1sin 3020272AG AC =︒=⨯≈（）……7分 ∴27 1.529AO AG OG =+=+≈……………………………8分25．(本小题9分）26．(本小题9分)m.…1分解：（1）设矩形生物园的长为xm,则宽为（8-x）m,小兔的活动范围的面积为y227．(本小题10分）（1）证明：如图1中，AE AD ⊥ ，90DAE ∴∠=︒，90E ADE ∠=︒-∠，…………1分AD 平分BAC ∠，12BAD BAC ∴∠=∠，同理12ABD ABC ∠=∠，…………………2分 ADE BAD DBA ∠=∠+∠ ，180BAC ABC C ∠+∠=︒-∠，11()9022ADE ABC BAC C ∴∠=∠+∠=︒-∠，（2）延长AD 交BC 于点F ．AB AE = ，ABE E ∴∠=∠，BE 平分ABC ∠，ABE EBC ∴∠=∠，………………………4分E CBE ∴∠=∠，//AE BC ∴，……………………………………5分90AFB EAD ∴∠=∠=︒，BF BD AF DE=， :2:3BD DE = ，（3）ABC 与ADE 相似，90DAE ∠=︒，ABC ∴∠中必有一个内角为90︒ABC ∠ 是锐角，90ABC ∴∠≠︒．………………………………………………………7分 ①当90BAC DAE ∠=∠=︒时，12E C ∠=∠ ， 12ABC E C ∴∠=∠=∠， 90ABC C ∠+∠=︒ ，30ABC ∴∠=︒，此时2ABC ADES S =V V ．………………………………………8分 ②当90C DAE ∠=∠=︒时，1452E C ∠=∠=︒， 45EDA ∴∠=︒，ABC 与ADE 相似，45ABC ∴∠=︒，此时ABC ADE S S =V V ．………………………………………9分28．(本小题10分） 解：（1）由抛物线2y ax bx c =++交x 轴于A 、B 两点，OA =1，OB =3,得点A 坐标为(1,0)-，点B 的坐标为(3,0)；…………………………………2分 Q。

山东省济南市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分，每小题只有一个选项符合题意）1．（4分）如图所示的工件，其俯视图是（）2．（4分）若反比例函数y＝的图象经过点A（2，m），则m的值（）A．2B．C．﹣D．﹣23．（4分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan A＝（）A．B．C．D．4．（4分）一个不透明的布袋中，放有3个白球，5个红球，它们除颜色外完全相同，从中随机摸取1个，摸到红球的概率是（）A．B．C．D．5．（4分）抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是（）A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣2，﹣3）6．（4分）在△ABC中，D、E为边AB、AC的中点，已知△ADE的面积为4，那么△ABC的面积是（）A．8B．12C．16D．207．（4分）用配方法解方程x2+10x+9＝0，配方正确的是（）A．（x+5）2＝16B．（x+5）2＝34C．（x﹣5）2＝16D．（x+5）2＝258．（4分）把抛物线y＝﹣2x2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（）A．y＝﹣2（x+1）2+1B．y＝﹣2（x﹣1）2+1C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣1D．y＝﹣2（x+1）2﹣19．（4分）关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜B．k＞C．k＜且k≠0D．k＞且k≠010．（4分）在反比例函数y＝﹣图象上有三个点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），若x1＜0＜x2＜x3，则下列结论正确的是（）A．y3＜y2＜y1B．y1＜y3＜y2C．y2＜y3＜y1D．y3＜y1＜y211．（4分）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，CH⊥AF于点H，那么CH 的长是（）A．B．C．D．12．（4分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，直线x＝﹣1是对称轴，有下列判断：①b﹣2a＝0；②4a﹣2b+c＜0；③a﹣b+c＝﹣9a；④若（﹣3，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2，其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（共6小题，每小题4分：满分分24分）13．（4分）如果4x＝5y，那么x：y＝．14．（4分）Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2.5，sin A＝，则AB＝．15．（4分）如图，点P是反比例函数（x＜0）图象的一点，P A垂直于y轴，垂足为点A，PB垂直于x轴，垂足为点B．若矩形PBOA的面积为6，则k的值为．16．（4分）如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB＝7米，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝4米，在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6米，则DE的长为米．17．（4分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（3，0），对称轴是直线x＝1，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是．18．（4分）如图，平行四边形ABCD的顶点C在y轴正半轴上，CD平行于x轴，直线AC交x轴于点E，BC⊥AC，连接BE，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点D，已知S△BCE＝2，则k的值是．三、解答题（本大题共9个小题，共78分．）19．（6分）解方程：x2﹣3x+2＝0．20．（6分）计算：﹣cos30°+﹣（﹣1）0﹣2﹣1．21．（6分）已知二次函数的图象如图所示，求该抛物线的解析式．22．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，以AC为边作△ACE，∠ACE＝90°，AC＝CE，延长BC至点D，使CD＝5，连接DE．求证：△ABC∽△CED．23．（8分）有3个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，放在一个口袋中，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球．（Ⅰ）采用树形图法（或列表法）列出两次摸球出现的所有可能结果．（Ⅱ）求摸出的两个球号码之和等于5的概率．24．（10分）济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”．某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量．如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60m至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计，则该楼的高度CD多少米？（结果保留根号）25．（10分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A（﹣2，1），B（1，n）两点．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b＜的解集．26．（12分）如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，△BPE和△CQE的形状有什么关系，请证明；（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，△BPE和△CQE有什么关系，说明理由；（3）当BP＝1，CQ＝时，求P、Q两点间的距离．27．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分，每小题只有一个选项符合题意）1．【解答】解：从上边看是一个同心圆，外圆是实线，內圆是虚线，故选：B．2．【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点A（2，m），∴1＝2m∴m＝故选：B．3．【解答】解：在直角△ABC中，∵∠ABC＝90°，∴tan A＝＝．故选：D．4．【解答】解：根据题意可得：一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的3个白球和5个红球，从中随机摸出一个，则摸到红球的概率是＝．故选：A．5．【解答】解：y＝（x﹣2）2+3是抛物线的顶点式方程，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）．故选：A．6．【解答】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，，∴△ADE∽△ABC，∴，∵△ADE的面积为4，∴，∴S△ABC＝16．故选：C．7．【解答】解：x2+10x+9＝0，x2+10x＝﹣9，x2+10x+52＝﹣9+52，（x+5）2＝16．故选：A．8．【解答】解：∵函数y＝﹣2x2的顶点为（0，0），∴向上平移1个单位，再向右平移1个单位的顶点为（1，1），∴将函数y＝﹣2x2的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣1）2+1，故选：B．9．【解答】解：根据题意得k≠0且△＝（﹣1）2﹣4k＞0，解得k＜且k≠0．故选：C．10．【解答】解：∵A（x1，y1）在反比例函数y＝﹣图象上，x1＜0，∴y1＞0，对于反比例函数y＝﹣，在第二象限，y随x的增大而增大，∵0＜x2＜x3，∴y2＜y3＜0，∴y2＜y3＜y1故选：C．11．【解答】解：∵CD＝BC＝1，∴GD＝3﹣1＝2，∵△ADK∽△FGK，∴，即，∴DK＝DG，∴DK＝2×＝，GK＝2×＝，∴KF＝，∵△CHK∽△FGK，∴，∴，∴CH＝．方法二：连接AC、CF，利用面积法：CH＝；故选：A．12．【解答】解：①∵直线x＝﹣1是对称轴，∴﹣＝﹣1，即b﹣2a＝0，①正确；②x＝﹣2时，y＞0，∴4a﹣2b+c＞0，②错误；∵x＝﹣4时，y＝0，∴16a﹣4b+c＝0，又b＝2a，∴a﹣b+c＝﹣9a，③正确；④根据抛物线的对称性，得到x＝﹣3与x＝1时的函数值相等，∴y1＞y2，④正确，故选：C．二、填空题（共6小题，每小题4分：满分分24分）13．【解答】解：∵4x＝5y，∴＝，∴x：y＝5：4．故答案为：5：4．14．【解答】解：如图所示：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2.5，sin A＝，∴＝＝，∴AB＝6.5．故答案为：6.5．15．【解答】解：∵矩形PBOA的面积为6，∴|k|＝6，∵反比例函数（x＜0）的图象过第二象限，∴k＜0，∴k＝﹣6；故答案为：﹣6．16．【解答】解：如图，在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长EF为6m，∵△ABC∽△DEF，AB＝5m，BC＝3m，EF＝6m∴＝，∴＝，∴DE＝（m）故答案为．17．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（3，0），对称轴是直线x＝1，∴图象与x轴的另一个交点为：（﹣1，0），故当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是：﹣1＜x＜3．故答案为：﹣1＜x＜3．18．【解答】解：过点D作DF⊥x轴于点F，如图所示．∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，BC＝AD．又∵BC⊥AC，∴DA⊥AC．∵CD平行于x轴，∴∠ACD＝∠CEO．∵CO⊥OE，DA⊥AC，∴∠ECO＝∠D．设点D的坐标为（m，）（m＞0），则CD＝m，OC＝DF＝．在Rt△CAD中，CD＝m，∠CAD＝90°，AD＝m•cos∠D．在Rt△COE中，OC＝，∠COE＝90°，CE＝＝．S△BCE＝CE•BC＝•m•cos∠D＝k＝2，解得：k＝4．故答案为：4．三、解答题（本大题共9个小题，共78分．）19．【解答】解：∵x2﹣3x+2＝0，∴（x﹣1）（x﹣2）＝0，∴x﹣1＝0或x﹣2＝0，∴x1＝1，x2＝2．20．【解答】解：原式＝﹣+2﹣1﹣＝+2﹣．21．【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0）设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），把（0，3）代入得a×1×（﹣3）＝3，解得a＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3．22．【解答】证明：∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，∴AC＝＝2，∵CE＝AC，∴CE＝2，∵CD＝5，∵＝＝，＝，∴＝，∵∠B＝90°，∠ACE＝90°，∴∠BAC+∠BCA＝90°，∠BCA+∠DCE＝90°．∴∠BAC＝∠DCE．∴△ABC∽△CED．23．【解答】解：（Ⅰ）方法一：，摸出两球出现的所有可能结果共有6种；方法二：根据题意，可以列出下表：从上表中可以看出，摸出两球出现的所有可能结果共有6种．（Ⅱ）设两个球号码之和等于5为事件A，摸出的两个球号码之和等于5的结果有2种，它们是：（2，3）（3，2），∴P（A）＝．24．【解答】解：根据题意得：∠A＝30°，∠DBC＝60°，DC⊥AC，∴∠ADB＝∠DBC﹣∠A＝30°，∴∠ADB＝∠A＝30°，∴BD＝AB＝60m，∴CD＝BD•sin60°＝60×＝30（m）25．【解答】解：（1）把点A（﹣2，1）代入反比例函数y＝得：1＝，解得：m＝﹣2，即反比例函数的解析式为：y＝﹣，把点B（1，n）代入反比例函数y＝﹣得：n＝﹣2，即点A的坐标为：（﹣2，1），点B的坐标为：（1，﹣2），把点A（﹣2，1）和点B（1，﹣2）代入一次函数y＝kx+b得：，解得：，即一次函数的表达式为：y＝﹣x﹣1，（2）把y＝0代入一次函数y＝﹣x﹣1得：﹣x﹣1＝0，解得：x＝﹣1，即点C的坐标为：（﹣1，0），OC的长为1，点A到OC的距离为1，点B到OC的距离为2，S△AOB＝S△OAC+S△OBC＝+＝，（3）如图可知：kx+b＜的解集为：﹣2＜x＜0，x＞1．26．【解答】解：（1）△BPE≌△CQE．理由∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝45°，AB＝AC，∵AP＝AQ，∴BP＝CQ，∵E是BC的中点，∴BE＝CE，在△BPE和△CQE中，，∴△BPE≌△CQE（SAS）；（2）△BPE∽△CEQ．理由：∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝∠DEF＝45°，∵∠BEQ＝∠EQC+∠C，即∠BEP+∠DEF＝∠EQC+∠C，∴∠BEP+45°＝∠EQC+45°，∴∠BEP＝∠EQC，∵∠B＝∠C，∴△BPE∽△CEQ；（3）如图②，连结PQ，∵△BPE∽△CEQ，∴＝，∵BP＝1，CQ＝，BE＝CE，∴＝，∴BE＝CE＝，∴BC＝3，在Rt△ABC中，AB＝AC，∴AB＝AC＝3，∴AQ＝CQ﹣AC＝，P A＝AB﹣BP＝2，在Rt△APQ中，PQ＝＝．27．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），C（0，2）代入y＝﹣x2+mx+n得，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）存在．抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝，则D（，0），∴CD＝＝＝，如图1，当CP＝CD时，则P1（，4）；当DP＝DC时，则P2（，），P3（，﹣），综上所述，满足条件的P点坐标为（，4）或（，）或（，﹣）；（3）当y＝0时，﹣x2+x+2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，则B（4，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B（4，0），C（0，2）代入得，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，设E（x，﹣x+2）（0≤x≤4），则F（x，﹣x2+x+2），∴FE＝﹣x2+x+2﹣（﹣x+2）＝﹣x2+2x，∵S△BCF＝S△BEF+S△CEF＝•4•EF＝2（﹣x2+2x）＝﹣x2+4x，而S△BCD＝×2×（4﹣）＝，∴S四边形CDBF＝S△BCF+S△BCD＝﹣x2+4x+（0≤x≤4），＝﹣（x﹣2）2+当x＝2时，S四边形CDBF有最大值，最大值为，此时E点坐标为（2，1）．。

山东省济南市章丘区2019-2020学年九年级上学期期末数学试题一．选择题1.﹣3﹣（﹣2）的值是（）A. ﹣1B. 1C. 5D. ﹣5【答案】A【解析】【分析】利用有理数的减法的运算法则进行计算即可得出答案．【详解】﹣3﹣﹣﹣2﹣=﹣3+2=﹣1﹣故选A﹣【点睛】本题主要考查了有理数的减法运算，正确掌握运算法则是解题关键．2.下列立体图形中，主视图是三角形的是（﹣.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得图形的主视图．【详解】A﹣C﹣D主视图是矩形，故A﹣C﹣D不符合题意；B、主视图是三角形，故B正确；故选B﹣【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，圆锥的主视图是三角形．3.将6497.1亿用科学记数法表示为（）A. 6.4971×1012B. 64.971×1010C. 6.5×1011D. 6.4971×1011【答案】D【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：6497.1亿＝649710000000＝6.4971×1011．故选：D．【点睛】此题主要考查科学记数法，解题的关键是熟知科学记数法的表示方法.4.如图，把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝50°，则∠2＝（）A. 20°B. 30°C. 40°D. 50°【答案】C【解析】【分析】由两直线平行，同位角相等，可求得∠3的度数，然后求得∠2的度数．【详解】∵∠1=50°，∴∠3=∠1=50°，∴∠2=90°−50°=40°.故选C.【点睛】本题主要考查平行线的性质，熟悉掌握性质是关键.5.+1的值在（）A. 2和3之间B. 3和4之间C. 4和5之间D. 5和6之间【答案】B【解析】分析：直接利用﹣3，进而得出答案．详解：∵﹣3﹣∴故选B﹣的取值范围是解题关键．6.下列四个图案中，不是轴对称图案的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】根据轴对称的概念对各选项分析判断利用排除法求解．【详解】A、是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项正确;D、是轴对称图形，故本选项错误．故选：C ．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．7.计算：x （1﹣21x ）÷221x x x++的结果是（ ） A. 11x + B. x+1 C. 11x x -+ D. 1x x+ 【答案】C【解析】【分析】直接利用分式的性质化简进而得出答案．【详解】解：原式＝()()()2111x x x x x +-⋅+ ＝11x x -+． 故选：C ．【点睛】此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知分式的运算法则.8.某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：下列结论不正确的是（ ）A. 众数是8B. 中位数是8C. 平均数是8.2D. 方差是1.2【答案】D【解析】【分析】首先根据图形数出各环数出现的次数，在进行计算众数、中位数、平均数、方差.【详解】根据图表可得10环的2次，9环的2次，8环的3次，7环的2次，6环的1次.所以可得众数是8，中位数是8，平均数是102+92+83+72+61=8.210⨯⨯⨯⨯⨯方差是222222(108.2)2(98.2)3(88.2)2(78.2)(68.2)1.5610⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+-=故选D【点睛】本题主要考查统计的基本知识，关键在于众数、中位数、平均数和方差的概念.特别是方差的公式.9.如图，点A﹣B在反比例函数1(0)y xx=>的图象上，点C﹣D在反比例函数(0)ky kx=>的图象上，AC//BD//y轴，已知点A﹣B的横坐标分别为1﹣2﹣△OAC与△ABD的面积之和为32，则k的值为（﹣A. 4B. 3C. 2D. 3 2【答案】B【解析】【分析】首先根据A,B两点的横坐标，求出A,B两点的坐标，进而根据AC//BD// y 轴,及反比例函数图像上的点的坐标特点得出C,D两点的坐标，从而得出AC,BD的长，根据三角形的面积公式表示出S△OAC,S△ABD的面积，再根据△OAC与△ABD的面积之和为32，列出方程，求解得出答案.【详解】把x=1代入1yx=得：y=1,∴A(1,1),把x=2代入1yx=得：y=12,∴B(2, 12 ),∵AC//BD// y轴,∴C(1,K),D(2,k 2 )∴AC=k-1,BD=k2-12，∴S△OAC=12（k-1）×1,S△ABD=12(k2-12)×1,又∵△OAC与△ABD的面积之和为32，∴12（k-1）×1＋12(k2-12)×1=32，解得：k=3;故答案为B.【点睛】:此题考查了反比例函数系数k的几何意义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解本题的关键.10.如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则BD 的最小值是（）A. B. C. D. 10【答案】B【解析】【分析】如图，作DH﹣AB于H，CM﹣AB于M．由tanA＝BEAE＝2，设AE＝a，BE＝2a，利用勾股定理构建方程求出a，再证明DH BD，推出BD＝CD+DH，由垂线段最短即可解决问题．详解】解：如图，作DH﹣AB于H，CM﹣AB于M．﹣BE﹣AC ，﹣﹣AEB ＝90°，﹣tanA ＝BE AE＝2，设AE ＝a ，BE ＝2a ， 则有：100＝a 2+4a 2，﹣a 2＝20，﹣a ＝，﹣BE ＝2a ＝﹣AB ＝AC ，BE﹣AC ，CM﹣AB ，﹣CM ＝BE ＝）﹣﹣DBH ＝﹣ABE ，﹣BHD ＝﹣BEA ，﹣sin﹣DBH ＝DH AE BD AB ，﹣DH BD ，＝CD+DH ， ﹣CD+DH≥CM ，的最小值为 【点睛】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是熟知等腰三角形的性质及解直角三角形的应用. 11.如图，AB 是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B 出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C ，再经过一段坡度（或坡比）为i=1﹣0.75、坡长为10米的斜坡CD 到达点D ，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E﹣A﹣B﹣C﹣D﹣E 均在同一平面内）．在E 处测得建筑物顶端A 的仰角为24°，则建筑物AB 的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41﹣cos24°≈0.91﹣tan24°=0.45﹣﹣ ﹣A. 21.7米B. 22.4米C. 27.4米D. 28.8米【答案】A【解析】【分析】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．首先解直角三角形Rt△CDN，求出CN，DN，再根据tan24°=AMEM，构建方程即可解决问题.【详解】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．在Rt△CDN中，∵140.753CNDN==，设CN=4k，DN=3k，∴CD=10，∴（3k）2+（4k）2=100，∴k=2，∴CN=8，DN=6，∵四边形BMNC是矩形，∴BM=CN=8，BC=MN=20，EM=MN+DN+DE=66，在Rt△AEM中，tan24°=AM EM，∴0.45=866AB +，∴AB=21.7（米），故选A．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．12.如图，一段抛物线y=﹣x2+4﹣﹣2≤x≤2）为C1，与x轴交于A0﹣A1两点，顶点为D1；将C1绕点A1旋转180°得到C2，顶点为D2﹣C1与C2组成一个新的图象，垂直于y轴的直线l与新图象交于点P1﹣x1﹣y1﹣﹣P2﹣x2﹣y2），与线段D1D2交于点P3﹣x3﹣y3），设x1﹣x2﹣x3均为正数，t=x1+x2+x3，则t的取值范围是（）A. 6﹣t≤8B. 6≤t≤8C. 10﹣t≤12D. 10≤t≤12【答案】D【解析】【分析】首先证明x1+x2=8，由2≤x3≤4，推出10≤x1+x2+x3≤12即可解决问题.【详解】翻折后的抛物线的解析式为y=﹣x﹣4﹣2﹣4=x2﹣8x+12﹣∵设x1﹣x2﹣x3均为正数，∴点P1﹣x1﹣y1﹣﹣P2﹣x2﹣y2）在第四象限，根据对称性可知：x1+x2=8﹣∵2≤x3≤4﹣∴10≤x1+x2+x3≤12﹣即10≤t≤12﹣故选D﹣【点睛】本题考查二次函数与x轴的交点，二次函数的性质，抛物线的旋转等知识，熟练掌握和灵活应用二次函数的相关性质以及旋转的性质是解题的关键.二．填空题13.因式分解：(a-b)2-(b-a)=___________.【答案】﹣a﹣b﹣﹣a﹣b+1﹣【解析】【分析】先提取后边项的负号,再提取公因式（a-b ）即可.【详解】解:（a ﹣b ）2﹣（b ﹣a ）=（a ﹣b ）2+（a ﹣b ）=（a ﹣b ）（a ﹣b+1）.故答案为（a ﹣b ）（a ﹣b+1）.【点睛】本题主要考查了因式分解这一知识点，其步骤为：有公因式的先提公因式，没有公因式的考虑运用公式法，分解因式必须分解到每一步都不能再分解为止.14.如图，随机闭合开关123,,S S S 中的两个，能让灯泡发光的概率是_______．【答案】23【解析】【分析】先列出所有可能的情况数，再判断能让灯泡发光的的情况数，然后利用概率公式计算即可.【详解】解：随机闭合开关123,,S S S 中的两个，共有三种情况，分别是：S 1、S 2，S 1、S 3，S 2、S 3，其中能让灯泡发光的有：S 1、S 2，S 1、S 3﹣﹣﹣﹣.所以能让灯泡发光的概率=23. 故答案为：23. 【点睛】本题是与物理中的电学相结合的题目，主要考查了简单事件的概率求解，难度不大，掌握求解的方法是解题关键.15.若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为__________．【解析】【分析】根据题意画出草图，可得OG=2，60OAB ∠=︒，因此利用三角函数便可计算的外接圆半径OA.【详解】解：如图，连接OA 、OB ，作OG AB ⊥于G ；则2OG =，∵六边形ABCDEF 正六边形，∴OAB V 是等边三角形，∴60OAB ∠=︒，∴sin 60OG OA ===︒， ∴正六边形的内切圆半径为2．故答案3． 【点睛】本题主要考查多边形的内接圆和外接圆，关键在于根据题意画出草图，再根据三角函数求解，这是多边形问题的解题思路.16.若m ﹣1m ＝3，则m 2+21m＝_____． 【答案】11【解析】【分析】根据完全平方公式，把已知式子变形，然后整体代入求值计算即可得出答案．【详解】解：﹣21m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝m 2﹣2+21m ＝9，﹣m 2+21m＝11， 故答案为11．【点睛】此题主要考查完全平方公式的应用，解题的关键是熟知完全平方公式的变形.17.某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民用水价格．图中1l 、2l 分别表示去年、今年水费y （元）与用水量x （3m ）之间的关系．小雨家去年用水量为1503m ，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多_____元．【答案】210．【解析】【分析】根据函数图象中的数据可以求得120x >时，2l 对应的函数解析式，从而可以求得150x =时对应的函数值，由1l 的的图象可以求得150x =时对应的函数值，从而可以计算出题目中所求问题的答案，本题得以解决．【详解】设当120x >时，2l 对应的函数解析式为y kx b =+，120480160720k b k b +=⎧⎨+=⎩，得6240k b =⎧⎨=-⎩， 即当120x >时，2l 对应的函数解析式为6240y x =-，当150x =时，6150240660y =⨯-=，由图象可知，去年的水价是4801603÷=（元/3m ），故小雨家去年用水量为1503m ，需要缴费：1503450⨯=（元），660450210-=（元）， 即小雨家去年用水量为1503m ，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多210元，故答案210．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．18.如图，BC⊥y轴，BC＜OA，点A、点C分别在x轴、y轴的正半轴上，D是线段BC上一点，BD＝14 OA＝2，AB＝3，∠OAB＝45°，E、F分别是线段OA、AB上的两动点，且始终保持∠DEF＝45°，将△AEF沿一条边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形，则线段OE的值为_____．【答案】6﹣2或6或9﹣【解析】【分析】可得到﹣DOE＝﹣EAF，﹣OED＝﹣AFE，即可判定﹣DOE﹣﹣EAF，分情况进行讨论：﹣当EF＝AF时，﹣AEF 沿AE翻折，所得四边形为菱形，进而得到OE的长；﹣当AE＝AF时，﹣AEF沿EF翻折，所得四边形为菱形，进而得到OE的长；﹣当AE＝EF时，﹣AEF沿AF翻折，所得四边形为菱形，进而得到OE的长．【详解】解：连接OD，过点BH﹣x轴，﹣沿着EA翻折，如图1：﹣﹣OAB＝45°，AB＝3，﹣AH＝BH＝，﹣CO＝2，﹣BD＝12OA＝2，﹣BD＝2，OA＝8，﹣BC＝8，﹣CD＝6﹣2；﹣四边形FENA是菱形，﹣﹣FAN＝90°，﹣四边形EFAN是正方形，﹣﹣AEF是等腰直角三角形，﹣﹣DEF＝45°，﹣DE﹣OA，﹣OE＝CD＝6﹣2；﹣沿着AF翻折，如图2：﹣AE＝EF，﹣B与F重合，﹣﹣BDE＝45°，﹣四边形ABDE是平行四边形﹣AE＝BD＝2，﹣OE＝OA﹣AE＝8﹣2＝6；﹣沿着EF翻折，如图3：﹣AE＝AF，﹣﹣EAF＝45°，﹣﹣AEF是等腰三角形，过点F作FM﹣x轴，过点D作DN﹣x轴，﹣﹣EFM﹣﹣DNE，﹣FM EMDN NE=，22AE AENE=，﹣NE＝3﹣2，﹣OE＝6﹣2+3﹣2＝9﹣；综上所述：OE的长为6﹣2或6或9﹣，故答案为6或6或9﹣．【点睛】此题主要考查函数与几何综合，解题的关键是熟知等腰三角形的性质、平行四边形、菱形及正方形的性质，利用三角函数、勾股定理及相似三角形的性质进行求解.三．解答题19.计算：﹣012﹣﹣1【答案】【解析】分析：直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质和负指数幂的性质分别化简得出答案．详解：原式=2×12--1+2点睛：此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20.解不等式组1(1)222323xx x⎧+≤⎪⎪⎨++⎪≥⎪⎩，并求出不等式组的整数解之和．【答案】6.【解析】分析：分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出解集，找出整数解即可．详解：解不等式12﹣x+1﹣≤2，得：x≤3﹣解不等式2323x x++≥，得：x≥0﹣则不等式组的解集为0≤x≤3﹣所以不等式组的整数解之和为0+1+2+3=6﹣点睛：此题考查了解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点C作AC的垂线，过点D作BD的垂线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE＝1，DE＝2，求四边形的ABCD面积．【答案】（1）见解析；（2）4【解析】【分析】（1）欲证明四边形OCED是矩形，只需推知四边形OCED是平行四边形，且有一内角为90度即可；（2）由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答．【详解】（1）证明：﹣四边形ABCD是菱形，﹣AC﹣BD，﹣﹣COD＝90°．﹣CE﹣AC，DE﹣BD，﹣平行四边形OCED是矩形；（2）解：由（1）知，四边形OCED是菱形，则CE＝OD＝1，DE＝OC＝2．﹣四边形ABCD是菱形，﹣AC＝2OC＝4，BD＝2OD＝2，﹣菱形ABCD的面积为：12AC•BD＝12×4×2＝4．【点睛】此题主要考查特殊平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟知菱形的性质及矩形的判定定理. 22.建设中的大外环路是我市的一项重点民生工程.某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量为120万立方，原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工150天完成.由于特殊情况需要，公司抽调甲队外援施工，由乙队先单独施工40天后甲队返回，两队又共同施工了110天，这时甲乙两队共完成土方量103.2万立方.﹣1）问甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为多少万立方？﹣2）在抽调甲队外援施工的情况下，为了保证150天完成任务，公司为乙队新购进了一批机械来提高效率，那么乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高多少万立方才能保证按时完成任务？【答案】（1）甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为0.42万立方和0.38万立方.﹣2﹣乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高0.112万立方才能保证按时完成任务.【解析】分析: （1）设甲队原计划平均每天的施工土方量为x 万立方，乙队原计划平均每天的施工土方量为y 万立方，根据“甲乙两队合作150天完成土方量120万立方，甲队施工110天、乙队施工150天完成土方量103.2万立方”，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设乙队平均每天的施工土方量比原来提高a 万立方才能保证按时完成任务，根据完成工作的总量=甲队完成的土方量+乙队完成的土方量，即可得出关于a 的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论.详解:（1）设甲队原计划平均每天的施工土方量为x 万立方，乙队原计划平均每天的施工土方量为y 万立方.根据题意，得()15015012040110103.2x y y x y +=⎧⎨++=⎩解之，得0.420.38x y =⎧⎨=⎩答：甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为0.42万立方和0.38万立方.﹣2）设乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高z 万立方.根据题意，得40﹣0.38+z﹣+110(0.38+z+0.42≥120﹣解之，得z≥0.112﹣答：乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高0.112万立方才能保证按时完成任务.点睛：本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于a 的一元一次不等式.23.如图，AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 是⊙O 的两条切线，E 为⊙O 上一点，过点E 作直线DC 分别交AM﹣BN 于点D﹣C ，且CB=CE﹣﹣1）求证：DA=DE﹣﹣2）若【答案】（1）证明见解析；（2）3π【解析】【分析】﹣1﹣连接OE﹣BE，根据已知条件证明CD为⊙O的切线，然后再根据切线长定理即可证明DA=DE﹣﹣2﹣ 如图，连接OC，过点D作DF⊥BC于点F，根据S阴影部分=S四边形BCEO﹣S扇形OBE﹣利用分割法即可求得阴影部分的面积．【详解】﹣1﹣如图，连接OE﹣BE﹣∵OB=OE﹣∴∠OBE=∠OEB﹣∵BC=EC﹣∴∠CBE=∠CEB﹣∴∠OBC=∠OEC﹣∵BC为⊙O的切线，∴∠OEC=∠OBC=90°﹣∵OE为半径，∴CD为⊙O的切线，∵AD切⊙O于点A﹣∴DA=DE﹣﹣2）如图，连接OC﹣过点D作DF⊥BC于点F，则四边形ABFD是矩形，∴AD=BF﹣DF=AB=6﹣∴∵=∴∴在直角△OBC 中，tan ∠BOC=BC OB﹣ ∴∠BOC=60°﹣在△OEC 与△OBC 中， OE OB OC OC CE CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩﹣∴△OEC ≌△OBC﹣SSS﹣﹣∴∠BOE=2∠BOC=120°﹣∴S 阴影部分=S 四边形BCEO ﹣S 扇形OBE =2×12BC•OB﹣2120?·360OB π =﹣3π﹣【点睛】本题考查了切线的判定与性质、切线长定理，扇形的面积等，正确添加辅助线，熟练运用相关知识是解题的关键.24.某体育老师统计了七年级甲、乙两个班女生的身高，并绘制了以下不完整的统计图．请根据图中信息，解决下列问题：（1）两个班共有女生多少人？（2）将频数分布直方图补充完整；（3）求扇形统计图中E 部分所对应的扇形圆心角度数；（4）身高在()170175x cm ≤<的5人中，甲班有3人，乙班有2人，现从中随机抽取两人补充到学校国旗队．请用列表法或画树状图法，求这两人来自同一班级的概率．【答案】（1）50；（2）详见解析；（3）72︒；（4）25【解析】【分析】（1）根据D 的人数除以所占的百分比即可的总人数;（2）根据C 的百分比乘以总人数，可得C 的人数，再根据总人数减去A 、B 、C 、D 、F ，便可计算的E 的人数，分别在直方图上表示即可.（3）根据直方图上E 的人数比总人数即可求得的E 百分比，再计算出圆心角即可.（4）画树状图统计总数和来自同一班级的情况，再计算概率即可.【详解】解：（1）总人数为1326%50÷=人，答：两个班共有女生50人；（2）C 部分对应的人数为5028%14⨯=人，E 部分所对应的人数为50261314510-----=； 频数分布直方图补充如下：（3）扇形统计图中E 部分所对应扇形圆心角度数为103607250⨯︒=︒； （4）画树状图：共有20种等可能的结果数，其中这两人来自同一班级的情况占8种，所以这两人来自同一班级的概率是82 205．【点睛】本题是一道数据统计的综合性题目，难度不大，这类题目，往往容易得分，应当熟练的掌握. 25.如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC﹣∠ABC=90°，顶点A在第一象限，B﹣C在x轴的正半轴上（C在B的右侧），△ADC与△ABC关于AC所在的直线对称．﹣1）当OB=2时，求点D的坐标；﹣2）若点A和点D在同一个反比例函数的图象上，求OB的长；﹣3）如图2，将第（2）题中的四边形ABCD向右平移，记平移后的四边形为A1B1C1D1，过点D1的反比例函数y=kx﹣k≠0）的图象与BA的延长线交于点P．问：在平移过程中，是否存在这样的k，使得以点P﹣A1﹣D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的k的值；若不存在，请说明理由．【答案】﹣1）点D坐标为（【解析】分析：﹣1）如图1中，作DE⊥x轴于E，解直角三角形清楚DE﹣CE即可解决问题；﹣2）设OB=a，则点A的坐标（），由题意），点A﹣D在同一反比例函数图象上，可得﹣3+a﹣﹣求出a的值即可；﹣3）分两种情形：①如图2中，当∠PA1D=90°时．②如图3中，当∠PDA1=90°时．分别构建方程解决问题即可；详解：（1）如图1中，作DE⊥x轴于E﹣∵∠ABC=90°﹣∴tan ∠ACB=AB BC∴∠ACB=60°﹣根据对称性可知：DC=BC=2﹣∠ACD=∠ACB=60°﹣∴∠DCE=60°﹣∴∠CDE=90°-60°=30°﹣∴∴OE=OB+BC+CE=5﹣∴点D 坐标为（﹣2）设OB=a ，则点A 的坐标（﹣﹣由题意∵点A﹣D 在同一反比例函数图象上，∴﹣3+a﹣﹣∴a=3﹣∴OB=3﹣﹣3）存在．理由如下：①如图2中，当∠PA 1D=90°时．∵AD ∥PA 1﹣∴∠ADA 1=180°-∠PA 1D=90°﹣在Rt △ADA 1中，∵∠DAA 1∴AA 1=30AD cos=4﹣ 在Rt △APA 1中，∵∠APA 1=60°﹣∴∴﹣设P﹣m﹣3），则D 1 ∵P﹣A 1在同一反比例函数图象上，∴3m=﹣m+7﹣﹣ 解得m=3﹣∴∴﹣②如图3中，当∠PDA 1=90°时．∵∠PAK=∠KDA 1=90°﹣∠AKP=∠DKA 1﹣∴△AKP ∽△DKA 1﹣ ∴1AK PK KD KA =﹣ ∴1KA PK AK DK=﹣ ∵∠AKD=∠PKA 1﹣∴△KAD ∽△KPA 1﹣∴∠KPA 1=∠KAD=30°﹣∠ADK=∠KA 1P=30°﹣∴∠APD=∠ADP=30°﹣∴﹣AA 1=6﹣设，则D 1∵P﹣A 1在同一反比例函数图象上，∴解得m=3﹣∴∴﹣点睛：本题考查反比例函数综合题、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、解直角三角形、待定系数法等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会了可以参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．26.已知等边△ABC 的边长为2，（1）如图1，在边BC 上有一个动点P ，在边AC 上有一个动点D ，满足∠APD ＝60°，求证：△ABP ～△PCD （2）如图2，若点P 在射线BC 上运动，点D 在直线AC 上，满足∠APD ＝120°，当PC ＝1时，求AD 的长（3）在（2）的条件下，将点D 绕点C 逆时针旋转120°到点D'，如图3，求△D′AP 的面积．【答案】（1）见解析；（2）72；（3）8【解析】【分析】 （1）先利用三角形的内角和得出﹣BAP+﹣APB ＝120°，再用平角得出﹣APB+﹣CPD ＝120°，进而得出﹣BAP ＝﹣CPD ，即可得出结论；（2）先构造出含30°角的直角三角形，求出PE ，再用勾股定理求出PE ，进而求出AP ，再判断出﹣ACP﹣﹣APD ，得出比例式即可得出结论；（3）先求出CD ，进而得出CD'，再构造出直角三角形求出D'H ，进而得出D'G ，再求出AM ，最后用面积差即可得出结论．【详解】解：（1）﹣﹣ABC 是等边三角形，﹣﹣B ＝﹣C ＝60°，在﹣ABP 中，﹣B+﹣APB+﹣BAP ＝180°，﹣﹣BAP+﹣APB ＝120°，﹣﹣APB+﹣CPD ＝180°﹣﹣APD ＝120°，﹣﹣BAP ＝﹣CPD ，﹣﹣ABP﹣﹣PCD ；（2）如图2，过点P 作PE﹣AC 于E ，﹣﹣AEP＝90°，﹣﹣ABC是等边三角形，﹣AC＝2，﹣ACB＝60°，﹣﹣PCE＝60°，在Rt﹣CPE中，CP＝1，﹣CPE＝90°﹣﹣PCE＝30°，﹣CE＝12CP＝12，根据勾股定理得，PE2=，在Rt﹣APE中，AE＝AC+CE＝2+12＝52，根据勾股定理得，AP2＝AE2+PE2＝7，﹣﹣ACB＝60°，﹣﹣ACP＝120°＝﹣APD，﹣﹣CAP＝﹣PAD，﹣﹣ACP﹣﹣APD，﹣AP AC AD AP=，﹣AD＝2APAC＝72；（3）如图3，由（2）知，AD＝72，﹣AC ＝2，﹣CD ＝AD ﹣AC ＝32， 由旋转知，﹣DCD'＝120°，CD'＝CD ＝32， ﹣﹣DCP ＝60°，﹣﹣ACD'＝﹣DCP ＝60°，过点D'作D'H﹣CP 于H ，在Rt﹣CHD'中，CH ＝12CD'＝34，根据勾股定理得，D'H ， 过点D'作D'G﹣AC 于G ，﹣﹣ACD'＝﹣PCD'，﹣D'G ＝D'H （角平分线定理），﹣S 四边形ACPD '＝S ﹣ACD '+S ﹣PCD '＝12AC•D'G+12CP•DH'＝12×2×4+12×1×4， 过点A 作AM﹣BC 于M ，﹣AB ＝AC ，﹣BM ＝12BC ＝1，在Rt﹣ABM 中，根据勾股定理得，AM﹣S ﹣ACP ＝12CP•AM ＝1212，﹣S﹣D'AP＝S四边形ACPD'﹣S﹣ACP．【点睛】此题主要考查四边形综合，解题的关键是熟知等边三角形的性质、旋转的特点及相似三角形的判定与性质、勾股定理的应用.27.已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A(﹣2，0)，B(3，0)，与y轴负半轴交于点C，且OC＝OB．（1）求抛物线的解析式；（2）在y轴负半轴上存在一点D，使∠CBD＝∠ADC，求点D的坐标；（3）点D关于直线BC的对称点为D′，将抛物线y＝ax2+bx+c向下平移h个单位，与线段DD′只有一个交点，直接写出h的取值范围．【答案】（1）y＝12x2﹣12x﹣3；（2）D(0，﹣6)；（3）3≤h≤15【解析】【分析】（1）OC＝OB，则点C（0，﹣3），抛物线的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣3）＝a（x2﹣x﹣6），﹣6a＝﹣3，解得：a＝12，即可求解；（2）CH＝HD，tan﹣ADC＝23m+＝tan﹣DBC＝HDBH=，解得：m＝3或﹣4（舍去﹣4），即可求解；（3）过点C作x轴的平行线交DH的延长线于点D′，则D′（﹣3，﹣3）；当平移后的抛物线过点C时，抛物线与线段DD′有一个公共点，此时，h＝3；当平移后的抛物线过点D′时，抛物线与线段DD′有一个公共点，即可求解．【详解】解：（1）OC＝OB，则点C（0，﹣3），抛物线的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣3）＝a（x2﹣x﹣6），﹣6a＝﹣3，解得：a＝12，故抛物线的表达式为：y＝12x2﹣12x﹣3；（2）设CD＝m，过点D作DH﹣BC交BC的延长线于点H，则CH＝HD＝2m，tan﹣ADC＝23m+＝tan﹣DBC＝mHDBH=，解得：m＝3或﹣4（舍去﹣4），故点D（0，﹣6）；（3）过点C作x轴的平行线交DH的延长线于点D′，则D′（﹣3，﹣3）；平移后抛物线的表达式为：y＝12x2﹣12x﹣3﹣h，当平移后的抛物线过点C时，抛物线与线段DD′有一个公共点，此时，h＝3；当平移后的抛物线过点D′时，抛物线与线段DD′有一个公共点，即﹣3＝12×9+32﹣h，解得：h＝15，故3≤h≤15．【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知待定系数法求解析式、三角函数的定义及二次函数平移的特点.。

山东省济南市章丘市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共15个小题，每小题4分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. （4分）如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体，它的主视图是（）2.（4分）一元二次方程x2-2x+m=0总有实数根，则m应满足的条件是（）A. m> 1B. m=1 C m v 1 D. m< 13. （4分）下列图形中，是轴对称图形，不是中心对称图形的是（）4.（4分）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（）A. （3+x）（4 -0.5x）=15B. （x+3）（4+0.5x）=15C. （x+4）（3 -0.5x）=15D. （x+1）（4 - 0.5x）"=155. （4分）小明和小华玩石头、剪子、布”的游戏，若随机出手一次，则小华获胜的概率是（）2 o1 1 2AA. ；B. ： C D..6.（4分）如图，AB是。

O的直径，CD是。

O的弦，/ ACD=30,则/ BAD为（）增大而增大.其中结论正确的是（)7. （4分）如图，点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB BC CD DA 的中点，则关于四边形EFGH下列说法正确的为（）A. 一定不是平行四边形B.可能是轴对称图形C•一定不是中心对称图形D.当AC=BD时它是矩形8. （4分）一次函数y=ax+b和反比例函数y「在同一个平面直角坐标系中的图A. 30°B. 50°C. 60D.70 D象上，则y l , y2, y3的大小关系是（）A. y i v y2<y3B. y v y3<y iC. y3<y2<y iD. y2<y i v y310. （4分）已知抛物线y=a«+bx+c （a^0）的对称轴为直线x=2,与x轴的一个交点坐标为（4, 0）,其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②4a+b+c=0;③a- b+c v0;④抛物线的顶点坐标为（2, b）;⑤当x v2时，y随x增大而增大.其中结论正确的是（ )11. （4分）如图，在△ ABC 中，AC 丄BC, / ABC=30,点D 是CB 延长线上的一 点，且BD=BA 则tan / DAC 的值为（）A . 2+ 二B . 2 二 C. 3+ 二 D. 3 二12. （4分）如图，矩形 ABCD 中，AB=3 BC=4,动点P 从A 点出发，按A -B -C 的方向在AB 和BC 上移动，记PA=x 点D 到直线PA 的距离为y ,则y 关于x 的 函数图象大致是（）13. （4分）如图，将正方形ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的一点H 重合（H 不与端点C ，D 重合），折痕交AD 于点E,交BC 于点F ,边AB 折叠后与边BC 交于点G •设正方形ABCD 的周长为□,△ CHG 的周长为n ,贝『的值为（）inC.①④⑤ D .③④⑤C .xD.A .■- B. 2 2C.厶丄 D .随H 点位置的变化而变化14. （4分）如图，矩形EFGH 的四个顶点分别在菱形 ABCD 的四条边上，BE=BF 将△ AEH, △ CFG 分别沿边EH, FG 折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形 ABCD 面 积的一7时，则三7为（ ）£5A . 一 B. 2 C.D . 415. （4分）如图放置的两个正方形，大正方形 ABCD 边长为a ,小正方形CEFG 边长为b （a > b ），M 在BC 边上，且BM=b ，连接AM ，MF ，MF 交CG 于点P ， 将厶ABM 绕点A 旋转至△ ADN,将厶MEF 绕点F 旋转至△ NGF,给出以下五个结 2 论：①/ MAD=Z AND ;②CP=b-上一：③厶 ABM ^A NGF ;④S 四边形 AMFN =a 2+b 2;a ⑤A ，M ，P ，D 四点共圆，其中正确的个数是（D增大而增大.其中结论正确的是（)D. 5、填空题（每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上）16. _______________________________ （4分）方程x 2 - 3x=0的根为 . 17. （4分）已知 a B 均为锐角，且满足|sin 込0-1严=0，则a + B =18. （4分）如图，在直角坐标系中，点 A 在函数y=" （x >0）的图象上，AB 丄x 轴于点B, AB 的垂直平分线与y 轴交于点C,与函数y=" （x > 0）的图象交20. （4分）如图，在平面直角坐标系中，直线 I : y^—，—与x 轴交于点B i ， 以OB i 为边长作等边三角形 A i OBi ，M 点A i 作A i B ，平行于x 轴，交直线I 于点 B 2，以A i B 2为边长作等边三角形 A 2A i B 2,过点A ,作A 2B 3平行于x 轴，交直线I21. (4分)一个整数的所有正约数之和可以按如下方法求得，如：ABC 的面6=2X 3,贝U 6 的所有正约数之和(1+3)+(2+6) =(1+2)x( 1+3) =12;12=22X 3, J贝12 的所有正约数之和(1+3) + (2+6) +(4+12) = (1+2+22) X (1+3) =28;36=22X 32,则36 的所有正约数之和(1+3+9) +(2 +6+18) + (4+12+36) =( 1+2+22) x( 1+3+32) =91.参照上述方法，那么200的所有正约数之和为_________ 三、简答题(笨大童共7个小题，共66分-解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)22. (4 分)计算：| 1 - |+ ( - ■ ) 3- 2cos30° (n- 3) 023. (4 分)解方程：2-x= (x-2) 224. (8分)如图，AB为。

2019-2020学年山东省济南市章丘区九年级（上）期中数学试卷一、单选题第I 卷（选择题）1．（3分）如图所示某几何体的三视图，则这个几何体是( )A ．三棱锥B ．圆柱C ．球D ．圆锥2．（3分）下列方程一定是一元二次方程的是( )A ．20ax bx c ++=B 235x =C ．25(1)512x x x +=-D ．21132x x -=--3．（3分）两个人的影子在两个相反的方向，这说明( ) A ．他们站在阳光下 B ．他们站在路灯下 C ．他们站在路灯的两侧 D ．他们站在月光下4．（3分）若234a b c ==，则a bb c+-的值为( ) A ．5B ．15C ．5-D ．15-5．（3分）若2240x x c -+=的一个根，则c 的值是( )A ．1B ．3C ．1+D ．26．（3分）如图，下列四个三角形中，与ABC ∆相似的是( )A ．B ．C ．D ．7．（3分）用配方法解下列方程时，配方错误的是( ) A ．22990x x +-=化为2(1)100x += B ．22740x x --=化为2781()416x -=C ．2890x x ++=化为2(4)25x +=D ．23420x x --=化为2210()39x -=8．（3分）在同一直角坐标平面内，如果1y k x =与2k y x=没有交点，那么1k 和2k 的关系一定是( ) A ．10k <，20k >B ．10k >，20k <C ．1k 、2k 同号D ．1k 、2k 异号9．（3分）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x 米，则可列方程为( )A ．10080100807644x x ⨯--=B ．2(100)(80)7644x x x --+=C ．(100)(80)7644x x --=D ．10080356x x +=10．（3分）如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，60ABC ∠=︒，2BC cm =，D 为BC 的中点，若动点E 以1/cm s 的速度从A 点出发，沿着A B →的方向运动，设E 点的运动时间为t 秒(04)t <…，连接DE ，当以B 、D 、E 为顶点的三角形与ABC ∆相似时，t 的值为()A ．2B ．2.5或3.5C ．2或3.5D ．2或2.511．（3分）如图，在ABC ∆中，中线BE ，CD 相交于点O ，连接DE ，下列结论： ①12DE BC =；②12DOE COB S S ∆∆=；③AD OEAB OB=；④13ODE ADE S S ∆∆= 其中正确的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．（3分）如图，在x 轴正半轴上依次截取112231(n n OA A A A A A A n -===⋯=为正整数），过点1A 、2A 、3A 、⋯、n A 分别作x 轴的垂线，与反比例函数2(0)y x x =>交于点1P 、2P 、3P 、⋯、n P ，连接12P P 、23P P 、⋯、1n n P P -，过点2P 、3P 、⋯、n P 分别向11PA 、22P A 、⋯、11n n P A --作垂线段，构成的一系列直角三角形（见图中阴影部分）的面积和是( )A ．1n n- B ．1n n + C ．12nD ．14n二、填空题13．（3分）方程(2)2(2)x x x +=+的根是 ．14．（3分）在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黄色兵乓球和若干个白色兵乓球，从盒子里随机摸出一个兵乓球，摸到黄色兵乓球的概率为13，那么盒子内白色兵乓球的个数为 ．15．（3分）如图，在ABC ∆中，:2:3AD DB =，E 为CD 的中点，AE 的延长线交BC 于点F ，则:BF FC = ．16．（3分）一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的侧面积为 ．17．（3分）如图，ABC ∆中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(1,0)-．以点C 为位似中心，在x 轴的下方作ABC ∆的位似图形△A B C ''，并把ABC ∆放大到原来的2倍．设点B 的对应点B '的横坐标是a ，则点B 的横坐标是 ．18．（3分）如图，已知点A 是一次函数1(0)2y x x =…图象上一点，过点A 作x 轴的垂线l ，B 是l 上一点(B 在A 上方），在AB 的右侧以AB 为斜边作等腰直角三角形ABC ，反比例函数(0)ky x x=>的图象过点B ，C ，若O A B ∆的面积为6，则ABC ∆的面积是 ．三、解答题 19．解方程：（1）2(3)2(3)0x x x -+-=； （2）24810x x --=（用配方法解）．20．如图，BD ，CE 是ABC ∆的高．求证：BA AE AC AD =．21．已知关于x 的一元二次方程2(1)10mx m x -++=． （1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若m 为整数，当此方程的两个实数根都是整数时，求m 的值．22．已知，如图在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，6AB cm =，8BC cm =，点P 由点A 出发沿AB 方向向终点点B 匀速移动，速度为1/cm s ，点Q 由点B 出发沿BC 方向向终点点C 匀速移动，速度为2/cm s ．如果动点P ，Q 同时从A ，B 出发，当P 或Q 到达终点时运动停止．几秒后，以Q ，B ，P 为顶点的三角形与ABC ∆相似？23．某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000，（1）若商场连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率；（2）市场调研表明：当每台售价为2900元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，若商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，则每台冰箱的定价应为多少元？24．如图所示，网格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的ABC ∆是格点三角形．在建立平面直角坐标系后，点B 的坐标为(1,1)--．（1）把ABC ∆向下平移5格后得到△111A B C ，写出点1A ，1B ，1C 的坐标，并画出△111A B C ； （2）把ABC ∆绕点O 按顺时针方向旋转180︒后得到△222A B C ，写出点2A ，2B ，2C 的坐标，并画出△222A B C ；（3）把ABC ∆以点O 为位似中心放大得到△333A B C ，使放大前后对应线段的比为1:2，写出点3A ，3B ，3C 的坐标，并画出△333A B C ．25．某中学为了解学生对新闻、 体育、 娱乐、 动画四类电视节目的喜爱情况， 进行了统计调查 ． 随机调查了某班所有同学最喜欢的节目 （每 名学生必选且只能选择四类节目中的一类） 并将调查结果绘成如下不完整的统计图 ． 根据两图提供的信息， 回答下列问题： （1） 最喜欢娱乐类节目的有 人， 图中x = ； （2） 请补全条形统计图；（3） 根据抽样调查结果， 若该校有 1800 名学生， 请你估计该校有多少名学生最喜欢娱乐类节目；（4） 在全班同学中， 有甲、 乙、 丙、 丁等同学最喜欢体育类节目， 班主任打算从甲、 乙、 丙、 丁 4 名同学中选取 2 人参加学校组织的体育知识竞赛， 请用列表法或树状图求同时选中甲、 乙两同学的概率 ．26．【提出问题】（1）如图1，在等边ABC ∆中，点M 是BC 上的任意一点（不含端点B 、)C ，连结AM ，以AM 为边作等边AMN ∆，连结CN ．求证：ABC ACN ∠=∠． 【类比探究】（2）如图2，在等边ABC ∆中，点M 是BC 延长线上的任意一点（不含端点)C ，其它条件不变，（1）中结论ABC ACN ∠=∠还成立吗？请说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，在等腰ABC ∆中，BA BC =，点M 是BC 上的任意一点（不含端点B 、)C ，连结AM ，以AM 为边作等腰AMN ∆，使顶角AMN ABC ∠=∠．连结CN ．试探究ABC ∠与ACN ∠的数量关系，并说明理由．27．如图1，已知直线3y x =分别与双曲线12y x =、(0)ky x x=>交于P 、Q 两点，且2OP OQ =．（1）求k 的值．（2）如图2，若点A 是双曲线12y x=上的动点，//AB x 轴，//AC y 轴，分别交双曲线(0)ky x x=>于点B 、C ，连接BC ．请你探索在点A 运动过程中，ABC ∆的面积是否变化？若不变，请求出ABC ∆的面积；若改变，请说明理由；（3）如图3，若点D 是直线3y x =上的一点，请你进一步探索在点A 运动过程中，以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出此时点A 的坐标；若不能，请说明理由．2019-2020学年山东省济南市章丘区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题第I 卷（选择题）1．（3分）如图所示某几何体的三视图，则这个几何体是( )A ．三棱锥B ．圆柱C ．球D ．圆锥【分析】根据一个空间几何体的主视图和俯视图都是三角形，可判断该几何体是锥体，再根据左视图的形状，即可得出答案．【解答】解：几何体的主视图和俯视图都是三角形，∴该几何体是一个锥体，俯视图是一个圆，∴该几何体是一个圆锥；故选：D ．【点评】本题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定． 2．（3分）下列方程一定是一元二次方程的是( )A ．20ax bx c ++=B 235x =C ．25(1)512x x x +=-D ．21132x x -=--【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【解答】解：A 、20ax bx c ++=，0a =时不是一元二次方程，故选项A 不合题意；B 235x =不是一元二次方程，故选项B 不合题意；C 、25(1)512x x x +=-化简为5120x +=，是一元一次方程，故选项C 不合题意；D 、21132x x -=--是一元二次方程，故选项D 符合题意； 故选：D ．【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 3．（3分）两个人的影子在两个相反的方向，这说明( ) A ．他们站在阳光下 B ．他们站在路灯下 C ．他们站在路灯的两侧D ．他们站在月光下【分析】本题考查中心投影的特点．【解答】解：根据两个人的影子在两个相反的方向，则一定是中心投影；且两人同在光源两侧．故选C ．【点评】本题考查中心投影的特点：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短． 4．（3分）若234a b c ==，则a bb c+-的值为( ) A ．5 B ．15C ．5-D ．15-【分析】设234a b ck ===，则2a k =，3b k =，4c k =，然后代入求值即可． 【解答】解：设234a b ck ===， 则2a k =，3b k =，4c k =， 235534a b k k kb c k k k++===----， 故选：C ．【点评】本题考查了比例的性质，正确理解比例的性质是解题的关键．5．（3分）若2240x x c -+=的一个根，则c 的值是( )A ．1B ．3C ．1+D ．2【分析】把2代入方程240x x c -+=就得到关于c 的方程，就可以解得c 的值．【解答】解：把2240x x c -+=，得2(24(20c +-++=， 解得1c =； 故选：A ．【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 6．（3分）如图，下列四个三角形中，与ABC ∆相似的是( )A ．B ．C ．D ．【分析】ABC ∆是等腰三角形，底角是75︒，则顶角是30︒，结合各选项是否符合相似的条件即可．【解答】解：由图可知，6AB AC ==，75B ∠=︒， 75C ∴∠=︒，30A ∠=︒，A 、三角形各角的度数分别为75︒，52.5︒，52.5︒，B 、三角形各角的度数都是60︒，C 、三角形各角的度数分别为75︒，30︒，75︒，D 、三角形各角的度数分别为40︒，70︒，70︒，∴只有C 选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等，故选：C ．【点评】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理和相似三角形的判定的理解和掌握，此题难度不大，但综合性较强．7．（3分）用配方法解下列方程时，配方错误的是( ) A ．22990x x +-=化为2(1)100x += B ．22740x x --=化为2781()416x -=C ．2890x x ++=化为2(4)25x +=D ．23420x x --=化为2210()39x -=【分析】根据配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方分别进行配方，即可求出答案．【解答】解：A 、由原方程，得2299x x +=， 等式的两边同时加上一次项系数2的一半的平方1，得2(1)100x +=； 故本选项正确；B 、由原方程，得2274x x -=，等式的两边同时加上一次项系数7-的一半的平方，得， 2781()416x -=，故本选项正确； C 、由原方程，得289x x +=-，等式的两边同时加上一次项系数8的一半的平方16，得2(4)7x +=； 故本选项错误；D 、由原方程，得2342x x -=，化二次项系数为1，得 24233x x -=等式的两边同时加上一次项系数43-的一半的平方169，得2210()39x -=；故本选项正确． 故选：C ．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 8．（3分）在同一直角坐标平面内，如果1y k x =与2k y x=没有交点，那么1k 和2k 的关系一定是( ) A ．10k <，20k >B ．10k >，20k <C ．1k 、2k 同号D ．1k 、2k 异号【分析】如果直线1y k x =与双曲线2k y x =没有交点，则21kk x x =无解，即210k k <．【解答】解：直线1y k x =与双曲线2k y x=没有交点， 21k k x x ∴=无解， 221kx k ∴=无解，∴210k k <．即1k 和2k 异号． 故选：D ．【点评】本题综合考查反比例函数与方程组的相关知识点，以及不等式的有关内容． 9．（3分）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x 米，则可列方程为( )A ．10080100807644x x ⨯--=B ．2(100)(80)7644x x x --+=C ．(100)(80)7644x x --=D ．10080356x x +=【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．【解答】解：设道路的宽应为x 米，由题意有 (100)(80)7644x x --=，故选：C ．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．10．（3分）如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，60ABC ∠=︒，2BC cm =，D 为BC 的中点，若动点E 以1/cm s 的速度从A 点出发，沿着A B →的方向运动，设E 点的运动时间为t 秒(04)t <…，连接DE ，当以B 、D 、E 为顶点的三角形与ABC ∆相似时，t 的值为()A ．2B ．2.5或3.5C ．2或3.5D ．2或2.5【分析】求出24AB BC cm ==，分两种情况：①当90EDB ACB ∠=∠=︒时，//DE AC ，EBD ABC ∆∆∽，得出122AE BE AB cm ===，即可得出2t s =；②当90DEB ACB ∠=∠=︒时，证出D B E A B C ∆∆∽，得出30BDE A ∠=∠=︒，因此1122BE BD cm ==，得出3.5AE cm =， 3.5t s =；即可得出结果．【解答】解：，90ACB ∠=︒，60ABC ∠=︒， 30A ∴∠=︒， 24AB BC cm ∴==，分两种情况：①当90EDB ACB ∠=∠=︒时， //DE AC ，EBD ABC ∆∆∽，D 为BC 的中点，112BD CD BC cm ∴===，E 为AB 的中点，122AE BE AB cm ===， 2t s ∴=；②当90DEB ACB ∠=∠=︒时，B B ∠=∠，DBE ABC ∴∆∆∽， 30BDE A ∴∠=∠=︒， 1122BE BD cm ∴==， 3.5AE cm ∴=， 3.5t s ∴=；综上所述：当以B 、D 、E 为顶点的三角形与ABC ∆相似时，t 的值为2或3.5； 故选：C ．【点评】本题考查了相似三角形的判定、平行线的性质、含30︒角的直角三角形的性质等知识；熟记相似三角形的判定方法是解决问题的关键，注意分类讨论．11．（3分）如图，在ABC ∆中，中线BE ，CD 相交于点O ，连接DE ，下列结论： ①12DE BC =；②12DOE COB S S ∆∆=；③AD OEAB OB=；④13ODE ADE S S ∆∆= 其中正确的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】①DE 是ABC ∆的中位线，根据三角形的中位线等于第三边长度的一半可判断；②利用相似三角形面积的比等于相似比的平方可判定；③利用相似三角形的性质可判断；④利用相似三角形面积的比等于相似比的平方可判定．【解答】解：①BE 、CD 是ABC ∆的中线，即D 、E 是AB 和AC 的中点，DE ∴是ABC ∆的中位线，12DE BC ∴=，即12DE BC =， 故①正确；②DE 是ABC ∆的中位线， //DE BC ∴， DOE COB ∴∆∆∽，∴2211()()24DOE COB S DE S BC ∆∆===， 故②错误； ③//DE BCAD DEADE ABC AB BC∴∆∆∴=∽ OE DEDOE COB OB BC∆∆∴=∽ ∴AD OEAB OB=， 故③正确；④ABC ∆的中线BE 与CD 交于点O ．∴点O 是ABC ∆的重心，根据重心性质，2BO OE =，ABC ∆的高3BOC =∆的高， 且ABC ∆与BOC ∆同底()BC 3ABC BOC S S ∆∆∴=，由②和③知，14ODE COB S S ∆∆=，14ADE BOC S S ∆∆=， ∴13ODE ADE S S ∆∆=． 故④正确． 综上，①③④正确． 故选：C ．【点评】本题考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，要熟知：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边长度的一半；相似三角形面积的比等于相似比的平方． 12．（3分）如图，在x 轴正半轴上依次截取112231(n n OA A A A A A A n -===⋯=为正整数），过点1A 、2A 、3A 、⋯、n A 分别作x 轴的垂线，与反比例函数2(0)y x x =>交于点1P 、2P 、3P 、⋯、n P ，连接12P P 、23P P 、⋯、1n n P P -，过点2P 、3P 、⋯、n P 分别向11PA 、22P A 、⋯、11n n P A --作垂线段，构成的一系列直角三角形（见图中阴影部分）的面积和是( )A ．1n n- B ．1n n + C ．12n D ．14n 【分析】由1122311n n OA A A A A A A -===⋯==可知1P 点的坐标为1(1,)y ，2P 点的坐标为2(2,)y ，3P 点的坐标为3(3,)n y P ⋯点的坐标为(,)n n y ，把1x =，2x =，3x =代入反比例函数的解析式即可求出1y 、2y 、3y 的值，再由三角形的面积公式可得出1S 、2S 、31n S S -⋯的值，故可得出结论．【解答】解：（1）设1122311n n OA A A A A A A -===⋯==，∴设11(1,)P y ，22(2,)P y ，33(3,)P y ，4(,)n P n y ⋯，1P ，2P ，3P Bn ⋯在反比例函数2(0)y x x =>的图象上， 12y ∴=，21y =，3223n y y n =⋯=，1121111()11222S y y ∴=⨯⨯-=⨯⨯=；112S ∴=；（3）11211211()1(2)12222S y y =⨯⨯-=⨯⨯-=-；2231111()223S y y ∴=⨯⨯-=-；3341122111()()223434S y y =⨯⨯-=⨯-=-；⋯1111n S n n-∴=--， 1231111111111223341n n S S S S n n n--∴+++⋯+==-+-+-+⋯-=-． 故选：A ．【点评】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 二、填空题13．（3分）方程(2)2(2)x x x +=+的根是 12x =-，22x = ．【分析】利用提取公因式法，将原式因式分解为(2)(2)0x x -+=，求出即可．【解答】解：(2)2(2)x x x+=+，(2)(2)0x x-+=，20x-=或20x+=，12x∴=，22x=-；故答案为：12x=-，22x=．【点评】此题主要考查了因式分解法解方程，熟练利用因式分解法将原式分解为(2)(2)0x x-+=是解题关键．14．（3分）在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黄色兵乓球和若干个白色兵乓球，从盒子里随机摸出一个兵乓球，摸到黄色兵乓球的概率为13，那么盒子内白色兵乓球的个数为4．【分析】先求出盒子内乒乓球的总个数为，然后用总个数减去黄球个数得到据摸到白色乒乓球的个数．【解答】解：盒子内乒乓球的个数为1263÷=（个)，白色兵乓球的个数624-=（个)故答案为4．【点评】此题主要考查了概率公式，关键是掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数：所有可能出现的结果数．15．（3分）如图，在ABC∆中，:2:3AD DB=，E为CD的中点，AE的延长线交BC于点F，则:BF FC=52．【分析】根据题意作辅助线，根据已知条件可证明DGE CFE∆≅∆，所以DG FC=，根据比例关系得知//DG FC，最后根据三角形平行线段成比例关系即可得出答案．【解答】解：在AE上取点G，使EG EF=，E为CD的中点，DE CE∴=，又EG EF=，DEG CEF∠=∠，DGE CFE ∴∆≅∆， DG FC ∴=，根据比例关系可知：//DG FC ， :2:3AD DB =，∴52BF BF AB FC DG AD ===． 故答案为52．【点评】本题主要考查了全等三角形的证明及性质、平行线分线段成比例关系，难度适中． 16．（3分）一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的侧面积为 24cm π ．【分析】俯视图为圆的只有圆锥，圆柱，球，根据主视图和左视图都是三角形可得到此几何体为圆锥，那么侧面积=底面周长⨯母线长2÷． 【解答】解：此几何体为圆锥； 直径为2cm ，母线长为4cm ，∴侧面积22424()cm ππ=⨯÷=．故答案为24cm π．【点评】本题考查了由三视图判断几何体，圆锥的有关计算，由该三视图中的数据确定圆锥的底面直径和母线长是解本题的关键；本题体现了数形结合的数学思想，熟记圆锥的侧面积公式是解题的关键．17．（3分）如图，ABC ∆中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(1,0)-．以点C 为位似中心，在x 轴的下方作ABC ∆的位似图形△A B C ''，并把ABC ∆放大到原来的2倍．设点B 的对应点B '的横坐标是a ，则点B 的横坐标是 1(3)2a -+ ．【分析】设点B 的横坐标为x ，然后表示出BC 、B C '的横坐标的距离，再根据位似比列式计算即可得解．【解答】解：设点B 的横坐标为x ，则B 、C 间的横坐标的长度为1x --，B '、C 间的横坐标的长度为1a +， ABC ∆放大到原来的2倍得到△A B C ''，2(1)1x a ∴--=+， 解得1(3)2x a =-+．故答案为：1(3)2a -+．【点评】本题考查了位似变换，坐标与图形的性质，根据位似比的定义，利用两点间的横坐标的距离等于对应边的比列出方程是解题的关键．18．（3分）如图，已知点A 是一次函数1(0)2y x x =…图象上一点，过点A 作x 轴的垂线l ，B 是l 上一点(B 在A 上方），在AB 的右侧以AB 为斜边作等腰直角三角形ABC ，反比例函数(0)ky x x=>的图象过点B ，C ，若O A B ∆的面积为6，则ABC ∆的面积是 3 ．【分析】本题介绍两种解法：解法一：设(,)2t A t 、(,)k B t t ，根据反比例函数关于y x =对称可得(kC t，)t ，得：2tCE =，则2DE t CE ==，则发现ABC ∆和ABO ∆两个三角形是同底边，根据高的倍数可得：2ABO ABC S S ∆∆=，可得结论；解法二：作辅助线，构建直角三角形，设2AB a =，根据直角三角形斜边中线是斜边一半得：BE AE CE a ===，设1(,)2A x x ，则1(,2)2B x x a +，1(,)2C x a x a ++，因为B 、C 都在反比例函数的图象上，列方程可得结论．【解答】解：解法一：设(,)2t A t 、(,)kB t t，ABC ∆是等腰直角三角形，且AB x ⊥轴，∴直线BC 与y 轴夹角为45度角，所以根据双曲线的对称性可得，(kC t，)t ，过C 作CE 垂直AB 于E ，交y 轴于D ，1122C A AE y y t t t ∴=-=-=，AEC ∆是等腰直角三角形，2tCE AE ∴==，则2DE t CE ==， 则2ABO ABC S S ∆∆=，OAB ∆的面积为6，3ABC S ∆∴=；解法二：如图，过C 作CD y ⊥轴于D ，交AB 于E ，AB x ⊥轴， CD AB ∴⊥，ABC ∆是等腰直角三角形， BE AE CE ∴==，设2AB a =，则BE AE CE a ===，设1(,)2A x x ，则1(,2)2B x x a +，1(,)2C x a x a ++，B ，C 在反比例函数的图象上，11(2)()()22x x a x a x a ∴+=++，2x a =，112622OAB S AB DE a x ∆===， 6ax ∴=，226a ∴=，23a =，2112322ABC S AB CE a a a ∆====． 故答案为：3．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质、三角形面积，熟练掌握反比例函数上的点符合反比例函数的关系式是关键．三、解答题 19．解方程：（1）2(3)2(3)0x x x -+-=； （2）24810x x --=（用配方法解）． 【分析】（1）因式分解法求解可得； （2）配方法求解可得．【解答】解：（1）(3)(32)0x x x --+=， 即(3)(33)0x x --=， 30x ∴-=或330x -=，解得：3x =或1x =；（2）2481x x -=，2124x x -=， 212114x x -+=+，即25(1)4x -=，1x ∴-=，1x ∴=． 【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 20．如图，BD ，CE 是ABC ∆的高．求证：BA AE AC AD =．【分析】根据有两个角相等的三角形是相似三角形，判定ADB AEC ∆∆∽，再根据相似三角形的性质得出比例式，再将比例式写成乘积形式即可得证． 【解答】解：BD ，CE 是ABC ∆的高 90ADB AEC ∴∠=∠=︒又A A ∠=∠ ADB AEC ∴∆∆∽∴AD ABAE AC=AD AC AE AB ∴=即BA AE AC AD =．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，明确相似三角形的判定方法及其性质，是解题的关键．21．已知关于x 的一元二次方程2(1)10mx m x -++=． （1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若m 为整数，当此方程的两个实数根都是整数时，求m 的值．【分析】（1）表示出一元二次方程根的判别式，利用配方化成完全平方式，可判定其不小于0，可得出结论；（2）可先用求根公式表示出两根，再根据方程的根都是整数，可求得m 的值． 【解答】（1）证明：△22[(1)]4(1)m m m =-+-=-．2(1)0m -…，∴△0…．∴该方程总有两个实数根；（2）解：x11x ∴=，21x m=． 当m 为整数1或1-时，2x 为整数，即该方程的两个实数根都是整数， m ∴的值为1或1-．【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的情况是解题的关键，即△0>⇔方程有两个不相等的实数根，△0=⇔方程有两个相等的实数根，△0<⇔方程无实数根．22．已知，如图在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，6AB cm =，8BC cm =，点P 由点A 出发沿AB 方向向终点点B 匀速移动，速度为1/cm s ，点Q 由点B 出发沿BC 方向向终点点C 匀速移动，速度为2/cm s ．如果动点P ，Q 同时从A ，B 出发，当P 或Q 到达终点时运动停止．几秒后，以Q ，B ，P 为顶点的三角形与ABC ∆相似？【分析】设t 秒后，以Q ，B ，P 为顶点的三角形与ABC ∆相似；则(6)PB t cm =-，2BQ tcm =，分两种情况：①当PB BQ AB BC =时；②当PB BQBC AB=时；分别解方程即可得出结果． 【解答】解：设t 秒后，以Q ，B ，P 为顶点的三角形与ABC ∆相似； 则(6)PB t cm =-，2BQ tcm =， 90B ∠=︒，∴分两种情况：①当PB BQAB BC=时， 即6268t t-=， 解得： 2.4t =； ②当PB BQBC AB=时， 即6286t t-=， 解得：1811t =； 综上所述：2.4秒或1811秒时，以Q ，B ，P 为顶点的三角形与ABC ∆相似． 【点评】本题考查了相似三角形的判定方法、解方程；熟练掌握相似三角形的判定方法，分两种情况进行讨论是解决问题的关键．23．某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000，（1）若商场连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率；（2）市场调研表明：当每台售价为2900元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，若商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，则每台冰箱的定价应为多少元？【分析】（1）设每次降价的百分率为x ，根据降价后的价格=降价前的价格(1-降价的百分率），则第一次降价后的价格是60(1)x -元，第二次后的价格是260(1)x -元，据此即可列方程求解；（2）假设下调a 个50元，销售利润=一台冰箱的利润⨯销售冰箱数量，一台冰箱的利润=售价-进价，降低售价的同时，销售量就会提高，“一减一加”，根据每台的盈利⨯销售的件数5000=元，即可列方程求解．【解答】解：（1）设每次降价的百分率为x ， 依题意得：2300(1)2430x -=，解得10.110%x ==，2 1.9x =（不合题意，舍去） 答：每次降价的百分率是10%；（2）假设下调a 个50元，依题意得：5000(40050)(84)a a =-+． 解得3a =．所以下调150元，因此定价为2750元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．24．如图所示，网格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的ABC ∆是格点三角形．在建立平面直角坐标系后，点B 的坐标为(1,1)--．（1）把ABC ∆向下平移5格后得到△111A B C ，写出点1A ，1B ，1C 的坐标，并画出△111A B C ； （2）把ABC ∆绕点O 按顺时针方向旋转180︒后得到△222A B C ，写出点2A ，2B ，2C 的坐标，并画出△222A B C ；（3）把ABC ∆以点O 为位似中心放大得到△333A B C ，使放大前后对应线段的比为1:2，写出点3A ，3B ，3C 的坐标，并画出△333A B C ．【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案； （3）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案． 【解答】解：（1）如图所示，△111A B C 即为所求： 点1A ，1B ，1C 的坐标分别为(3,-，(1,6)--，(5,6)-（2）如图所示△222A B C 即为所求：点2A ，2B ，2C 的坐标分别为(3,3)--，(1,1)，(5,1)-； （3）如图所示△333A B C 即为所求：点3A ，3B ，3C 的坐标分别为(6,6)，(2,2)--，(10,2)-或(6,6)--，(2,2)，(10,2)-． 【点评】此题主要考查了平移变换以及位似变换，正确得出对应点位置是解题关键．25．某中学为了解学生对新闻、 体育、 娱乐、 动画四类电视节目的喜爱情况， 进行了统计调查 ． 随机调查了某班所有同学最喜欢的节目 （每 名学生必选且只能选择四类节目中的一类） 并将调查结果绘成如下不完整的统计图 ． 根据两图提供的信息， 回答下列问题：（1） 最喜欢娱乐类节目的有 20 人， 图中x = ； （2） 请补全条形统计图；（3） 根据抽样调查结果， 若该校有 1800 名学生， 请你估计该校有多少名学生最喜欢娱乐类节目；（4） 在全班同学中， 有甲、 乙、 丙、 丁等同学最喜欢体育类节目， 班主任打算从甲、 乙、 丙、 丁 4 名同学中选取 2 人参加学校组织的体育知识竞赛， 请用列表法或树状图求同时选中甲、 乙两同学的概率 ．【分析】（1） 先根据“新闻”类人数及其所占百分比求得总人数， 再用总人数减去其他三个类型人数即可求得“娱乐”类人数， 用“动画”类人数除以总人数可得x 的值；（2） 根据 （1） 中所求结果即可补全条形图； （3） 总人数乘以样本中“娱乐”类节目人数所占比例；（4） 首先根据题意画出树状图， 然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好同时选中甲、 乙两位同学的情况， 然后利用概率公式求解即可求得答案 ． 【解答】解： （1）被调查的总人数为612%50÷=人，∴最喜欢娱乐类节目的有50(6159)20-++=，9%100%18%50x =⨯=，即18x =， 故答案为： 20 、 18 ；（2） 补全条形图如下：（3） 估计该校最喜欢娱乐类节目的学生有20180072050⨯=人；（4） 画树状图得：共有12 种等可能的结果，恰好同时选中甲、乙两位同学的有 2 种情况，∴恰好同时选中甲、乙两位同学的概率为21 126=．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及扇形统计图与条形统计图的知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．26．【提出问题】（1）如图1，在等边ABC∆中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、)C，连结AM，以AM为边作等边AMN∆，连结CN．求证：ABC ACN∠=∠．【类比探究】（2）如图2，在等边ABC∆中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点)C，其它条件不变，（1）中结论ABC ACN∠=∠还成立吗？请说明理由．【拓展延伸】（3）如图3，在等腰ABC∆中，BA BC=，点M是BC上的任意一点（不含端点B、)C，连结AM，以AM为边作等腰AMN∆，使顶角AMN ABC∠=∠．连结CN．试探究ABC∠与ACN∠的数量关系，并说明理由．【分析】（1）利用SAS可证明BAM CAN∆≅∆，继而得出结论；（2）也可以通过证明BAM CAN∆≅∆，得出结论，和（1）的思路完全一样．（3）首先得出BAC MAN∠=∠，从而判定ABC AMN∆∆∽，得到A B A CA M A N=，根据BAM BAC MAC∠=∠-∠，CAN MAN MAC∠=∠-∠，得到BAM CAN∠=∠，从而判定。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，PA 是⊙O 的切线，OP 交⊙O 于点B ，如果1sin 2P =，OB=1，那么BP 的长是（ ）A ．4B ．2C ．1D ．3【答案】C 【分析】根据题意连接OA 由切线定义可知OA 垂直AP 且OA 为半径，以此进行分析求解即可.【详解】解：连接OA ，已知PA 是⊙O 的切线，OP 交⊙O 于点B ，可知OA 垂直AP 且OA 为半径，所以三角形OAP 为直角三角形，∵1sin 2P =，OB=1， ∴1sin 2OA P OP ==，OA=OB=1， ∴OP=2，BP=OP-OB=2-1=1.故选C.【点睛】本题结合圆的切线定义考查解直角三角形，熟练掌握圆的切线定义以及解直角三角形相关概念是解题关键.2．若一元二次方程2220x kx k -+=的一个根为1x =-，则其另一根是（ ）A ．0B ．1C ．1-D ．2【答案】C【分析】把1x =-代入方程求出k 的值，再解方程即可．【详解】∵一元二次方程2220x kx k -+=的一个根为1x =-∴212(1)0k k -⨯-+=解得1k =-∴原方程为2210x x ++=解得121x x ==-故选C【点睛】本题考查一元二次方程的解，把方程的解代入方程即可求出参数的值.3．如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转一定角度，得到△ADE ，若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD ⊥BC ，∠BAC 的度数为（ ）．A ．60 °B ．75°C ．85°D ．90°【答案】C 【解析】试题分析：根据旋转的性质知，∠EAC=∠BAD=65°，∠C=∠E=70°．如图，设AD ⊥BC 于点F ．则∠AFB=90°，∴在Rt △ABF 中，∠B=90°-∠BAD=25°，∴在△ABC 中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-25°-70°=85°，即∠BAC 的度数为85°．故选C ．考点: 旋转的性质.4．如图，正方形ABCD 的边长为3cm ，动点P 从B 点出发以3cm/s 的速度沿着边BC ﹣CD ﹣DA 运动，到达A 点停止运动；另一动点Q 同时从B 点出发，以1cm/s 的速度沿着边BA 向A 点运动，到达A 点停止运动．设P 点运动时间为x （s ），△BPQ 的面积为y （cm 2），则y 关于x 的函数图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】试题分析：由题意可得BQ=x ．①0≤x≤1时，P 点在BC 边上，BP=3x ，则△BPQ 的面积=12BP•BQ ，解y=12•3x•x=232x ；故A 选项错误； ②1＜x≤2时，P 点在CD 边上，则△BPQ 的面积=12BQ•BC ，解y=12•x•3=32x ；故B 选项错误； ③2＜x≤3时，P 点在AD 边上，AP=9﹣3x ，则△BPQ 的面积=12AP•BQ ，解y=12•（9﹣3x ）•x=29322x x -；故D 选项错误．故选C ．考点：动点问题的函数图象． 5．如图，在△ABC 中，BC ＝4，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于点E ，交AC 于点F.P 是⊙A 上一点，且∠EPF ＝40°，则图中阴影部分的面积是( )A ．4－9πB ．4－89πC ．8－49πD ．8－89π 【答案】B【解析】试题解析：连接AD ，∵BC 是切线，点D 是切点，∴AD ⊥BC ，∴∠EAF=2∠EPF=80°，∴S 扇形AEF =280?283609ππ=， S △ABC =12AD•BC=12×2×4=4，∴S 阴影部分=S △ABC -S 扇形AEF =4-89π． 6．若反比例函数()110a y a x x-=><，图象上有两个点()()1122,,x y x y ，，设()1212()m x x y y =--，则 y mx m =-不经过第( )象限．A ．一B ．二C ．三D ．四 【答案】C【分析】利用反比例函数的性质判断出m 的正负，再根据一次函数的性质即可判断．【详解】解：∵()110a y a x x -=><，， ∴a-1＞0， ∴()110a y a x x-=><，图象在三象限，且y 随x 的增大而减小， ∵图象上有两个点（x 1，y 1），（x 2，y 2），x 1与y 1同负，x 2与y 2同负，∴m=（x 1-x 2）（y 1-y 2）＜0，∴y=mx-m 的图象经过一，二、四象限，不经过三象限，故选：C ．【点睛】本题考查反比例函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．下列说法正确的是( )A ．等弧所对的圆心角相等B ．平分弦的直径垂直于这条弦C ．经过三点可以作一个圆D ．相等的圆心角所对的弧相等【答案】A【分析】根据圆心角、弧、弦的关系、确定圆的条件、垂径定理的知识进行判断即可．【详解】等弧所对的圆心角相等，A 正确；平分弦的直径垂直于这条弦(此弦不能是直径)，B 错误；经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，C 错误；相等的圆心角所对的弧不一定相等，故选A.【点睛】此题考查圆心角、弧、弦的关系，解题关键在于掌握以及圆心角、弧、弦的关系8．如图，矩形ABCD 中，连接AC ，延长BC 至点E ，使BE AC =，连接DE ，若40BAC ∠=︒，则∠E 的度数是（ ）A ．65°B ．60°C ．50°D ．40°【答案】A 【分析】连接BD ，与AC 相交于点O ，则BD=AC=BE ，得△BDE 是等腰三角形，由OB=OC ，得∠OBC=50°，即可求出∠E 的度数.【详解】解：如图，连接BD ，与AC 相交于点O ，∴BD=AC=BE ，OB=OC ，∴△BDE 是等腰三角形，∠OBC=∠OCB ，∵40BAC ∠=︒，∠ABC=90°，∴∠OBC=904050︒-︒=︒， ∴11(18050)1306522E ∠=⨯︒-︒=⨯︒=︒； 故选择：A.【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，以及直角三角形两个锐角互余，解题的关键是正确作出辅助线，构造等腰三角形进行解题.9．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，31A ∠=︒，将ABC ∆绕点C 按顺时针旋转后得到EDC ∆．此时点D 在AB 边上，则旋转角的大小为( )A ．62︒B ．61︒C ．60︒D ．59︒【答案】A 【分析】根据旋转的性质和三角形的内角和进行角的运算即可得出结果．【详解】解：∵在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，31A ∠=︒，∴∠B=59°，∵将ABC ∆绕点C 按顺时针旋转后得到EDC ∆，∴∠BCD 是旋转角，ABC ∆≅EDC ∆，∴BC=DC ，∴∠CDB=∠B=59°，∴∠BCD=180°−∠CDB−∠B=62°，故选A ．【点睛】本题考查了旋转的性质和三角形的内角和，解题的关键是找到旋转角并熟练运用旋转的性质求解． 10．如图，将左边正方形剪成四块，恰能拼成右边的矩形，若a ＝2，则b 的值是（ ）A 5B 3C 5D 3【答案】C 【分析】从图中可以看出，正方形的边长＝a+b ，所以面积＝（a+b ）2，矩形的长和宽分别是2b+a ，b ，面积＝b （a+2b ），两图形面积相等，列出方程得＝（a+b ）2＝b （a+2b ），其中a ＝2，求b 的值，即可．【详解】解：根据图形和题意可得：（a+b ）2＝b （a+2b ），其中a ＝2，则方程是（2+b ）2＝b （2+2b ） 解得：51b =+，故选：C ．【点睛】此题主要考查了图形的剪拼，本题的关键是从两图形中，找到两图形的边长的值，然后利用面积相等列出等式求方程，解得b 的值．11．设计一个摸球游戏，先在一个不透明的盒子中放入2个白球，如果希望从中任意摸出1个球是白球的概率为13，那么应该向盒子中再放入多少个其他颜色的球．（游戏用球除颜色外均相同）（ ） A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A【分析】利用概率公式，根据白球个数和摸出1个球是白球的概率可求得盒子中应有的球的个数，再减去白球的个数即可求得结果．【详解】解：∵盒子中放入了2个白球，从盒子中任意摸出1个球是白球的概率为13， ∴盒子中球的总数=1263÷=， ∴其他颜色的球的个数为6−2=4，故选：A ．【点睛】本题考查了概率公式的应用，灵活运用概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．12．已知圆心O 到直线l 的距离为d ，⊙O 的半径r=6，若d 是方程x 2–x –6=0的一个根，则直线l 与圆O 的位置关系为（ ）A ．相切B ．相交C ．相离D ．不能确定 【答案】B【分析】先解方程求得d ，根据圆心到直线的距离d 与圆的半径r 之间的关系即可解题．【详解】解方程：x 2–x –6=0，即：()()320x x -+=,解得3x ＝，或2x -＝(不合题意，舍去)， 当36d r ＝，＝时，d r ＜，则直线与圆的位置关系是相交；故选：B【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，只要比较圆心到直线的距离d 和半径r 的大小关系．没有交点，则d r >；一个交点，则d r =；两个交点，则d r <．二、填空题（本题包括8个小题）13．如图，已知等边ABC ∆的边长为4，BD AB ⊥，且23BD =.连结AB ，CD 并延长交于点E ，则线段BE 的长度为__________.【答案】1【分析】作CF ⊥AB ，根据等边三角形的性质求出CF ，再由BD ⊥AB ，由CF ∥BD ，得到△BDE ∽△FCE ，设BE 为x ，再根据对应线段成比例即可求解.【详解】作CF ⊥AB ，垂足为F ，∵△ABC 为等边三角形，∴AF=12AB=2,∴CF=2223 AC AF-=又∵BD⊥AB，∴CF∥BD，∴△BDE∽△FCE，设BE为x，∴EF EBCF DB=,即2323=解得x=1故填：1.【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的根据是根据题意构造相似三角形进行求解.14．观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有_____个〇．【答案】1【解析】根据题目中的图形，可以发现〇的变化规律，从而可以得到第2019个图形中〇的个数．【详解】由图可得，第1个图象中〇的个数为：1314+⨯=，第2个图象中〇的个数为：1327+⨯=，第3个图象中〇的个数为：13310+⨯=，第4个图象中〇的个数为：13413+⨯=，……∴第2019个图形中共有：132019160576058+⨯=+=个〇，故答案为：1．【点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现图形中〇的变化规律，利用数形结合的思想解答．15．如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形边长为6cm ，则该莱洛三角形的周长为_____cm ．【答案】6π【分析】直接利用弧长公式计算即可. 【详解】利用弧长公式计算：该莱洛三角形的周长6063=6180⨯⨯=⨯ππ（cm ） 故答案为6π【点睛】 本题考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式180n r π是解题关键. 16．小华在距离路灯6米的地方，发现自己在地面上的影长是2米，若小华的身高为1.6米，那么路灯离地面的高度是_____米． 【答案】6.1【解析】解：设路灯离地面的高度为x 米，根据题意得：261.62x +=，解得：x=6.1．故答案为6.1．17．已知扇形的半径为3，圆心角为60︒，则该扇形的弧长为_______.（结果保留π）【答案】π【分析】根据弧长公式是180n R l π=弧长，代入就可以求出弧长． 【详解】∵扇形的半径是30cm ，圆心角是60°，∴该扇形的弧长是：60π3180180n R l ππ⨯⨯===弧长． 故答案为：π． 【点睛】本题考查的是扇形的弧长公式的运用，正确记忆弧长公式是解题的关键．18．如图，在□ABCD 中，AC 与BD 交于点M ，点F 在AD 上，AF ＝6cm ，BF ＝12cm ，∠FBM ＝∠CBM ，点E 是BC 的中点，若点P 以1cm/秒的速度从点A 出发，沿AD 向点F 运动；点Q 同时以2cm/秒的速度从点C 出发，沿CB 向点B 运动．点P 运动到F 点时停止运动，点Q 也同时停止运动．当点P 运动_____秒时，以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形．【答案】3或1【分析】由四边形ABCD是平行四边形得出：AD∥BC，AD=BC，∠ADB=∠CBD，又由∠FBM=∠CBM，即可证得FB=FD，求出AD的长，得出CE的长，设当点P运动t秒时，点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，根据题意列出方程并解方程即可得出结果．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠ADB=∠CBD，∵∠FBM=∠CBM，∴∠FBD=∠FDB，∴FB=FD=12cm，∵AF=6cm，∴AD=18cm，∵点E是BC的中点，∴CE=12BC=12AD=9cm，要使点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则PF=EQ即可，设当点P运动t秒时，点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，根据题意得：6-t=9-2t或6-t=2t-9，解得：t=3或t=1．故答案为3或1．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及一元一次方程的应用等知识．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，P是正方形ABCD的边CD上一点，∠BAP的平分线交BC于点Q，求证：AP＝DP＋BQ.【答案】证明见解析.【解析】试题分析：根据旋转的性质得出∠E=∠AQB ，∠EAD=∠QAB ，进而得出∠PAE=∠E ，即可得出AP=PE=DP+DE=DP+BQ ．试题解析：证明：将△ABQ 绕A 逆时针旋转90°得到△ADE ，由旋转的性质可得出∠E=∠AQB ，∠EAD=∠QAB ，又∵∠PAE=90°﹣∠PAQ=90°﹣∠BAQ=∠DAQ=∠AQB=∠E ，在△PAE 中，得AP=PE=DP+DE=DP+BQ ．点睛：此题主要考查了旋转的性质，根据已知得出PE=DP+DE 是解题关键．20．在平面直角坐标系xOy 中，直线y x =与反比例函数k y x=的图象的两个交点分别为点P (m ，1)和点Q ．（1）求k 的值和点Q 的坐标；（2）如果点A 为x 轴上的一点，且∠90PAQ ︒=直接写出点A 的坐标． 【答案】（1）k=1,Q （-1，-1）．（2）12(2,0),(2,0)A A - 【分析】（1）将点P 代入直线y x =中即可求出m 的值，再将P 点代入反比例函数k y x =中即可得出k 的值，通过直线与反比例函数联立即可求出Q 的坐标；（2）先求出PQ 之间的距离，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求出点A 的坐标.【详解】解：（1）∵点P (m ，1)在直线y x =上，∴1m =．∵点P (1，1)在k y x =上， ∴1k =．∴ 1y x= ∵点Q 为直线y x =与1y x =的交点， ∴1y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩解得1x =± ∴点Q 坐标为(1-，1-)．（2）由勾股定理得2222[1(1)][1(1)]2222PQ =--+--=+=∵∠90PAQ ︒= ∴1122222OA PQ ==⨯= ∴1A (2,0) , 2A (2-,0)．【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合,掌握待定系数法，勾股定理是解题的关键.21．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程2y ax bx c =++的两个根；（2）若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；（3）若抛物线与直线22y x =-相交于1,0A ，()2,2B 两点，写出抛物线在直线下方时x 的取值范围．【答案】（1）11x =，23x =；（2）2k <；（3）1x <或2x >【分析】（1）根据图象可知x ＝1和3是方程的两根；（2）若方程ax 2＋bx ＋c ＝k 有两个不相等的实数根，则k 必须小于y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的最大值，据此求出k 的取值范围；（3）根据题意作图，由图象即可得到抛物线在直线下方时x 的取值范围．【详解】（1）∵函数图象与x 轴的两个交点坐标为(1，0)(3，0)，∴方程的两个根为11x =，23x =；（2）∵二次函数的顶点坐标为(2，2)，∴若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为2k <．（3）∵抛物线与直线22y x =-相交于()0A 1，，()22B ，两点， 由图象可知，抛物线在直线下方时x 的取值范围为：1x <或2x >．【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式以及抛物线与x轴的交点的知识，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及图象的特点，此题难度不大．22．某商店代销一批季节性服装，每套代销成本40元，第一个月每套销售定价为52元时，可售出180套；应市场变化调整第一个月的销售价，预计销售定价每增加1元，销售量将减少10套．（1）若设第二个月的销售定价每套增加x元，填写下表．时间第一个月第二个月每套销售定价（元）销售量（套）（2）若商店预计要在这两个月的代销中获利4160元，则第二个月销售定价每套多少；（3）求当4≤x≤6时第二个月销售利润的最大值．【答案】（1）52；52+x；180；180-10x；（2）1元；（3）2240元【分析】（1）本题先设第二个月的销售定价每套增加x元，再分别求出销售量即可；（2）本题先设第二个月的销售定价每套增加x元，根据题意找出等量关系列出方程，再把解得的x代入即可．（3）根据利润的表达式化为二次函数的顶点式，即可解答本题．【详解】解：（1）若设第二个月的销售定价每套增加x元，填写下表：时间第一个月第二个月销售定价（元）52 52+x销售量（套）180 180-10x故答案为：52；52+x；180；180-10x（2）若设第二个月的销售定价每套增加x元，根据题意得：（52-40）×180+（52+x-40）（180-10x）=411，解得：x1=-2（舍去），x2=8，当x=-2时，52+x=50（舍去），当x=8时，52+x=1．答：第二个月销售定价每套应为1元．（3）设第二个月利润为y 元．由题意得到：y=（52+x-40）（180-10x ）=-10x 2+1x+211=-10（x-3）2+2250∵-10＜0∴当4≤x≤6时，y 随x 的增大而减小，∴当x=4时，y 取最大值，此时y=2240，∴52+x=52+4=56，即要使第二个月利润达到最大，应定价为56元，此时第二个月的最大利润是2240元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的关系式，找出所求问题需要的条件． 23．先化简，再求值：21(1)x x x x -⎛⎫-÷-⎪⎝⎭，其中x ＝1． 【答案】1x x -，54． 【分析】直接将括号里面通分运算，进而利用分式的性质化简得出答案．【详解】解：原式＝()()211x x x --÷ ＝()()211xx x --＝1x x -， 当x ＝1时，原式＝55514=-． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，比较简单，记住先化简再求值.24．如图，无人机在空中C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为60〫、45〫，如果无人机距地面高度CD =米，点A 、D 、B 在同水平直线上，求A 、B 两点间的距离．（结果保留根号）【答案】A 、B 两点间的距离为100（3【分析】如图，利用平行线的性质得∠A=60°，∠B=45°，在Rt △ACD 中利用正切定义可计算出AD=100，在Rt △BCD 中利用等腰直角三角形的性质得3，然后计算AD+BD 即可．【详解】∵无人机在空中C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为60°、45°，∴∠A =60°，∠B =45°，在Rt ACD 中，∵tanA =CD AD， ∴AD =10031003tan 603=100， 在Rt BCD 中，BD =CD =3，∴AB =AD+BD =3100(3．答：A 、B 两点间的距离为100(3)米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．25．某地2016年为做好“精准扶贫”，投入资金1000万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2018年在2016年的基础上增加投入资金1250万元．（1）从2016年到2018年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？（2）在2018年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于400万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？【答案】（1）从2016年到2018年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%；（2）今年该地至少有1400户享受到优先搬迁租房奖励．【分析】（1）根据”2016年投入资金⨯212018+=（年增长率）年投入资金”列方程求解即可;（2）根据题意，享受奖励的搬迁户分为前1000户和1000户之后的部分，可以设搬迁户总数为a ，则有前1000户享受奖励总额+1000户之后享受奖励综合≥400万元，据此可解.【详解】解：（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x ，根据题意，得：1000（1+x）2＝1250+1000，解得：x＝0.5或x＝﹣2.5（舍），答：从2016年到2018年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%；（2）设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意，得：1000×8×400+（a﹣1000）×5×400≥4000000，解得：a≥1400，答：今年该地至少有1400户享受到优先搬迁租房奖励．【点睛】本题主要考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，认真审题，找准数量关系列出方程是解答关键.26．如图，已知抛物线y＝﹣14x2+32x+4，且与x轴相交于A，B两点（B点在A点右侧）与y轴交于C点．（1）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由．（2）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN＝3时，求M点的坐标．【答案】（1）存在点P，使△PBC的面积最大，最大面积是2；（2）M点的坐标为（1﹣77﹣1）、（2，6）、（6，1）或（77﹣1）．【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，由点B、C的坐标，利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，假设存在，设点P的坐标为（x，﹣14x2+32x+1），过点P作PD//y轴，交直线BC于点D，则点D的坐标为（x，﹣12x+1），PD＝﹣14x2+2x，利用三角形的面积公式即可得出S△PBC关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；（2）设点M的坐标为（m，﹣14m2+32m+1），则点N的坐标为（m，﹣12m+1），进而可得出MN＝|﹣14m2+2m|，结合MN＝3即可得出关于m的含绝对值符号的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】解：（1）当x＝0时，y＝﹣14x2+32x+1＝1，∴点C 的坐标为（0，1）．设直线BC 的解析式为y ＝kx+b （k ≠0）．将B （8，0）、C （0，1）代入y ＝kx+b ，．804k b b +=⎧⎨=⎩，解得：124k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC 的解析式为y ＝﹣12x+1． 假设存在，设点P 的坐标为（x ，﹣14x 2+32x+1）（0＜x ＜8），过点P 作PD//y 轴，交直线BC 于点D ，则点D 的坐标为（x ，﹣12x+1），如图所示． ∴PD ＝﹣14x 2+32x+1﹣（﹣12x+1）＝﹣14x 2+2x ， ∴S △PBC ＝12PD •OB ＝12×8•（﹣14x 2+2x ）＝﹣x 2+8x ＝﹣（x ﹣1）2+2． ∵﹣1＜0，∴当x ＝1时，△PBC 的面积最大，最大面积是2．∵0＜x ＜8，∴存在点P ，使△PBC 的面积最大，最大面积是2．（2）设点M 的坐标为（m ，﹣14m 2+32m+1），则点N 的坐标为（m ，﹣12m+1）， ∴MN ＝|﹣14m 2+32m+1﹣（﹣12m+1）|＝|﹣14m 2+2m|． 又∵MN ＝3，∴|﹣14m 2+2m|＝3． 当0＜m ＜8时，有﹣14m 2+2m ﹣3＝0， 解得：m 1＝2，m 2＝6，∴点M 的坐标为（2，6）或（6，1）；当m ＜0或m ＞8时，有﹣14m 2+2m+3＝0， 解得：m 3＝1﹣，m 1＝，∴点M 的坐标为（1﹣﹣1）或（﹣1）．综上所述：M 点的坐标为（1﹣﹣1）、（2，6）、（6，1）或（﹣1）．【点睛】本题考查了二次函数的应用，综合性比较强，结合图形掌握二次函数的性质是解题的关键．27．对任意一个三位数n ，如果n 满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”.将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为()F n .例如123n =，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和213321132666++=，6661116÷=，所以()1236F =.（1）计算：()253F ，()417F ；（2）小明在计算()F n 时发现几个结果都为正整数，小明猜想所有的()F n 均为正整数，你觉得这个猜想正确吗？请判断并说明理由；（3）若s ，t 都是“相异数”，其中10045s x =+，150t y =+（19x ≤≤，19y ≤≤，x 、y 都是正整数），当()()20F s F t +=时，求()()F s F t 的最大值. 【答案】（1）10；12.（2）猜想正确.理由见解析；（3）32. 【分析】（1）根据“相异数”的定义即可求解；（2）设n 的三个数位数字分别为x ，y ，z ，根据“相异数”的定义列出()F n 即可求解；（3）根据s ，t 都是“相异数”，得到9F s x =+（），()6F t y =+，根据()()20F s F t +=求出x ，y 的值即可求解.【详解】（1）()()25323535252311110F =++÷=； ()()41747171414711112F =++÷=.（2）猜想正确.设n 的三个数位数字分别为x ，y ，z ，即10010n x y z =++，()(1001010010F n x z y z y =+++++)10010111x y x z x y z +++÷=++.因为x ，y ，z 均为正整数，所以任意()F n 为正整数.（3）∵s ，t 都是“相异数”，∴10054540405101119F s x x x x =+++++÷=+（）（）；()()10510100515101116F t y y y y =+++++÷=+.∵()()20F s F t +=，∴9620x y +++=，∴5x y +=，∵19x ≤≤，19y ≤≤，且x ，y 都是正整数，∴14x y =⎧⎨=⎩或23x y =⎧⎨=⎩或32x y =⎧⎨=⎩或41x y =⎧⎨=⎩， ∵s 是“相异数”，∴4x ≠；∵t 是“相异数”，∴1y ≠，∴满足条件的有14x y =⎧⎨=⎩，或23x y =⎧⎨=⎩，或32x y =⎧⎨=⎩， ∴ ()()1F s k F t ==或()()119F s k F t ==或()()12382F s k F t ===， ∴k 的最大值为32. 【点睛】本题考查因式分解的应用；理解题意，从题目中获取信息，列出正确的代数式，再由数的特点求解是解题的关键．九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．给出下列函数，其中y 随x 的增大而减小的函数是（ ）①y ＝2x ；②y ＝﹣2x+1；③y ＝2x （x ＜0）；④y ＝x 2（x ＜1）． A ．①③④B ．②③④C ．②④D ．②③ 【答案】D【解析】分别根据一次函数、二次函数及反比例函数的增减性进行解答即可【详解】解：①∵y=2x 中k=2＞0，∴y 随x 的增大而增大，故本小题错误；②∵y=-2x+1中k=-2＜0，∴y 随x 的增大而减小，故本小题正确；③∵y=2x（x ＜0）中k=2＞0，∴x ＜0时，y 随x 的增大而减小，故本小题正确； ④∵y=x 2（x ＜1）中x ＜1，∴当0＜x ＜1时，y 随x 的增大而增大，故本小题错误．故选D ．【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知一次函数、二次函数及反比例函数的增减性是解答此题的关键． 2．如图，⊙O 是ABC ∆的外接圆，20BCO ∠=，则A ∠的度数为( )A ．60°B ．65°C ．70°D ．75°【答案】C 【分析】连接OB ，根据等腰三角形的性质和圆周角定理即可得到结论．【详解】连接OB ，∵OC ＝OB ，∠BCO ＝20 ︒，∴∠OBC ＝20 ︒，∴∠BOC ＝180 ︒−20 ︒−20 ︒＝140 ︒，∴∠A ＝140 ︒×12＝70 ︒， 故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理，要知道，同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．3．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB=（）A．30°B．35°C．45°D．60°【答案】A【解析】试题分析：连接OA，根据直线PA为切线可得∠OAP=90°，根据正六边形的性质可得∠OAB=60°，则∠PAB=∠OAP－∠OAB=90°－60°=30°．考点：切线的性质4．如图，用菱形纸片按规律依次拼成如图图案，第1个图案有5个菱形纸片，第2个图案有个9菱形纸片，第3个图案有13个菱形纸片，按此规律，第7个图案中菱形纸片数量为（）A．17B．21C．25D．29【答案】D【解析】观察图形发现：每增加一个图形，菱形纸片增加4个，从而得到通项公式，代入n=7求解即可．【详解】观察图形发现：第1个图案中有5=4×1+1个菱形纸片；第2个图案中有9=4×2+1个菱形纸片；第3个图形中有13=4×3+1个菱形纸片，…第n个图形中有4n+1个菱形纸片，当n=7时，4×7+1=29个菱形纸片，故选:D.【点睛】属于规律型：图形的变化类，找出图中菱形纸片个数的变化规律是解题的关键.5．二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ）A ．a ＞0，b ＞0，c ＞0B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0D ．a ＜0，b ＜0，c ＞0【答案】B【分析】利用抛物线开口方向确定a 的符号，利用对称轴方程可确定b 的符号，利用抛物线与y 轴的交点位置可确定c 的符号．【详解】∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y 轴的右侧， ∴x＝﹣2b a＞0， ∴b＞0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c＞0，故选B ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△＝b 2﹣4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△＝b 2﹣4ac ＝0时，抛物线与x 轴有1个交点；△＝b 2﹣4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．6．甲、乙、丙、丁四人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是22221.2, 1.1,0.6,0.9S S S S ====甲乙丁丙则射击成绩最稳定的是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】C【分析】根据方差的意义，即可得到答案．【详解】∵丙的方差最小，∴射击成绩最稳定的是丙，故选C ．【点睛】本题主要考查方差的意义，掌握方差越小，一组数据越稳定，是解题的关键．7．半径为10的⊙O 和直线l 上一点A ，且OA=10，则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ）A ．相切B ．相交C ．相离D ．相切或相交 【答案】D【分析】根据直线和圆的位置关系来判断.【详解】设圆心到直线l 的距离为d ，则d≤10，当d ＝10时，d ＝r ，直线与圆相切；当r ＜10时，d ＜r ，直线与圆相交，所以直线与圆相切或相交.故选D点睛：本题考查了直线与圆的位置关系，①直线和圆相离时，d>r ；②直线和圆相交时，d<r ；③直线和圆相切时，d ＝r(d 为圆心到直线的距离)，反之也成立.8．在同一直角坐标系中，一次函数y kx k =-与反比例函数(0)k y k x=≠的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】C【分析】由于本题不确定k 的符号，所以应分k ＞0和k ＜0两种情况分类讨论，针对每种情况分别画出相应的图象，然后与各选择比较，从而确定答案．【详解】（1）当k ＞0时，一次函数y=kx-k 经过一、三、四象限，反比例函数经过一、三象限，如图所示：（2）当k ＜0时，一次函数y=kx-k 经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限．如图所示：故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数、一次函数的图象．灵活掌握反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质是解决问题的关键，在思想方法方面，本题考查了数形结合思想、分类讨论思想．9．如图，CD是⊙O的直径，已知∠1＝30°，则∠2等于( )A．30°B．45°C．60°D．70°【答案】C【解析】试题分析：如图，连接AD．∵CD是⊙O的直径，∴∠CAD=90°（直径所对的圆周角是90°）；在Rt△ABC中，∠CAD=90°，∠1=30°，∴∠DAB=60°；又∵∠DAB=∠2（同弧所对的圆周角相等），∴∠2=60°考点：圆周角定理10．如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为13，点A，B，E在x轴上．若正方形ABCD的边长为2，则点F坐标为（）A．（8，6）B．（9，6）C．19,62⎛⎫⎪⎝⎭D．（10，6）【答案】B【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出EF的长，进而得出△OBC∽△OEF，进而得出EO的长，即可得出答案．【详解】解：∵正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为13， ∴13BC OB EF EO ==， ∵BC ＝2，∴EF ＝BE ＝6，∵BC ∥EF ，∴△OBC ∽△OEF ，∴136BO BO =+， 解得：OB ＝3，∴EO ＝9，∴F 点坐标为：（9，6），故选：B ．【点睛】此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出OB 的长是解题关键．11．若二次函数221y kx x =+-的图象与 x 轴仅有一个公共点，则常数k 的为（ ）A ．1B ．±1C ．-1D ．12- 【答案】C【分析】函数为二次函数与x 轴仅有一个公共点，所以根据△=0即可求出k 的值．【详解】解：当224(1)0k ∆=-⋅-=时，二次函数y=kx 2+2x-1的图象与x 轴仅有一个公共点， 解得k=-1．故选：C ．【点睛】本题考查二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点与一元二次方程ax 2+bx+c=0根之间的关系．△=b 2-4ac 决定抛物线与x 轴的交点个数．△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．12．如图，圆桌面正上方的灯泡发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）．已知灯泡距离地面2.4m ，桌面距离地面0.8m （桌面厚度忽略不计），若桌面的面积是1.2m²，则地面上的阴影面积是（ ）。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，点,,A B C 在O 上，6,30BC BAC =∠=︒，则O 的半径为（ ）A ．3B ．6C ．63D ．12【答案】B 【分析】连接OB 、OC ，如图，根据圆周角定理可得60BOC ∠=︒，进一步即可判断△OCB 是等边三角形，进而可得答案.【详解】解：连接OB 、OC ，如图，则OB=OC ，∵30BAC ∠=︒，∴60BOC ∠=︒，∴△OCB 是等边三角形，∴OB=BC=6. 故选：B.【点睛】本题考查了圆周角定理和等边三角形的判定和性质，属于基础题型，熟练掌握上述性质是解题关键. 2．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，2BC =．将ABC 绕点C 按顺时针方向旋转n 度后得到EDC △，此时点D 在AB 边上，斜边DE 交AC 边于点F ，则n 的大小和图中阴影部分的面积分别为（ ）A ．302，B ．602，C ．3602，D ．603， 【答案】C【解析】试题分析：∵△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，∴∠B=60°，AC=BC×cot ∠A=2×3=23，AB=2BC=4，∵△EDC 是△ABC 旋转而成，∴BC=CD=BD=12AB=2， ∵∠B=60°，∴△BCD 是等边三角形，∴∠BCD=60°，∴∠DCF=30°，∠DFC=90°，即DE ⊥AC ，∴DE ∥BC ，∵BD=12AB=2， ∴DF 是△ABC 的中位线， ∴DF=12BC=12×2=1，CF=12AC=12×23=3， ∴S 阴影=12DF×CF=12×3=3． 故选C ．考点：1.旋转的性质2.含30度角的直角三角形．3．用min{a ，b}表示a ，b 两数中的最小数，若函数{}22min 1,1y x x =+-，则y 的图象为( ) A ． B ． C ．D ．【答案】C【分析】根据题意，把问题转化为二次函数问题.【详解】根据题意，min{x 2+1，1-x 2}表示x 2+1与1-x 2中的最小数，不论x 取何值，都有x 2+1≥1-x 2，所以y=1-x 2；可知，当x=0时，y=1；当y=0时，x=±1；则函数图象与x 轴的交点坐标为（1，0），（-1，0）；与y 轴的交点坐标为（0，1）．故选C ．【点睛】考核知识点：二次函数的性质.4．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，tan ∠BAC=2，A （0，a ），B （b ，0），点C 在第二象限，BC 与y 轴交于点D （0，c ），若y 轴平分∠BAC ，则点C 的坐标不能表示为（ ）A ．（b+2a ，2b ）B ．（﹣b ﹣2c ，2b ）C ．（﹣b ﹣c ，﹣2a ﹣2c ）D ．（a ﹣c ，﹣2a ﹣2c ）【答案】C 【分析】作CH ⊥x 轴于H ，AC 交OH 于F ．由△CBH ∽△BAO ，推出2BH CH BC AO BO AB===，推出BH=﹣2a ，CH=2b ，推出C （b+2a ，2b ），由题意可证△CHF ∽△BOD ，可得CH HF BO OD =,推出2b FH b c =，推出FH=2c ，可得C （﹣b ﹣2c ，2b ），因为2c+2b=﹣2a ，推出2b=﹣2a ﹣2c ，b=﹣a ﹣c ，可得C （a ﹣c ，﹣2a ﹣2c ），由此即可判断；【详解】解：作CH ⊥x 轴于H ，AC 交OH 于F ．∵tan ∠BAC=BC AB =2， ∵∠CBH+∠ABH=90°，∠ABH+∠OAB=90°， ∴∠CBH=∠BAO ，∵∠CHB=∠AOB=90°，∴△CBH ∽△BAO ，∴2BH CH BC AO BO AB===， ∴BH=﹣2a ，CH=2b ，∴C （b+2a ，2b ），由题意可证△CHF ∽△BOD ，∴CH HF BO OD=， ∴2b FH b c =， ∴FH=2c ，∴C （﹣b ﹣2c ，2b ），∵2c+2b=﹣2a ，∴2b=﹣2a ﹣2c ，b=﹣a ﹣c ，∴C （a ﹣c ，﹣2a ﹣2c ），故选C ．【点睛】本题考查解直角三角形、坐标与图形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．5．用直角三角板检查半圆形的工件，下列工件合格的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据直径所对的圆周角是直角逐一判断即可．【详解】解：A 、直角未在工件上，故该工件不是半圆，不合格，故A 错误；B 、直角边未落在工件上，故该工件不是半圆，不合格，故B 错误；C 、直角及直角边均落在工件上，故该工件是半圆，合格，故C 正确；D 、直角边未落在工件上，故该工件不是半圆，不合格，故D 错误，故答案为： C ．本题考查了直径所对的圆周角是直角的实际应用，熟知直径所对的圆周角是直角是解题的关键．6．下列四个物体的俯视图与右边给出视图一致的是（）A． B．C．D．【答案】C【详解】解：几何体的俯视图为，故选C【点睛】本题考查由三视图判断几何体，难度不大．7．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列五个条件中：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③ADAC＝AEAB；④AD·BC＝DE·AC；⑤∠ADE＝∠C，能满足△ADE∽△ACB的条件有( )A．1个B．2 C．3个D．4个【答案】D【分析】根据相似三角形的判定定理判断即可．【详解】解：①由∠AED=∠B，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB；②DE∥BC，则有∠AED=∠C，∠ADE=∠B，则可判断△ADE∽△ACB；③ADAC＝AEAB，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB；④AD·BC＝DE·AC，可化为AD DEAC BC，此时不确定∠ADE=∠ACB，故不能确定△ADE∽△ACB；⑤由∠ADE=∠C，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB；所以能满足△ADE∽△ACB的条件是：①②③⑤，共4个，【点睛】此题考查了相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的三种判定定理．8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且E是CD的中点，∠CDB=30°，CD=63，则阴影部分面积为（）A．πB．3πC．6πD．12π【答案】D【解析】根据题意得出△COB是等边三角形，进而得出CD⊥AB，再利用垂径定理以及锐角三角函数关系得出CO的长，进而结合扇形面积求出答案．【详解】解：连接BC，∵∠CDB=30°，∴∠COB=60°，∴∠AOC=120°，又∵CO=BO，∴△COB是等边三角形，∵E为OB的中点，∴CD⊥AB，∵3∴3∴sin60°×3解得：CO=6，故阴影部分的面积为：21206360π⨯=12π．故选：D．此题主要考查了垂径定理以及锐角三角函数和扇形面积求法等知识，正确得出CO的长是解题关键．9．若△ABC∽△DEF，相似比为2：3，则对应面积的比为（）A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．4：9【答案】D【解析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答．【详解】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为2：3，∴对应面积的比为（23）2＝49，故选：D．【点睛】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质定理是解题的关键.10．已知四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA OB OC OD===，则下列关于四边形ABCD的结论一定成立的是（）A．四边形ABCD是正方形B．四边形ABCD是菱形C．四边形ABCD是矩形D．12ABCDS AC BD=⋅四边形【答案】C【分析】根据OA=OB=OC=OD，判断四边形ABCD是平行四边形．然后根据AC=BD，判定四边形ABCD 是矩形．【详解】OA OB OC OD===，∴四边形ABCD是平行四边形且AC BD=，ABCD∴是矩形，题目没有条件说明对角线相互垂直，∴A、B、D都不正确；故选：C【点睛】本题是考查矩形的判定方法，常见的又3种：①一个角是直角的四边形是矩形；②三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形．11．下图中，最能清楚地显示每组数据在总数中所占百分比的统计图是( )A．B．C．D．【答案】A【分析】根据统计图的特点进行分析可得：扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目．【详解】解：在进行数据描述时，要显示部分在总体中所占的百分比，应采用扇形统计图．故选：A．【点睛】本题考查统计图的选择，解决本题的关键是明确：扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目；频率分布直方图，清楚显示在各个不同区间内取值，各组频率分布情况，易于显示各组之间频率的差别．12．如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为1．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（）A．4233π-B．833π-C．8233π-D．843π-【答案】C【解析】连接OD，根据勾股定理求出CD，根据直角三角形的性质求出∠AOD，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算，得到答案．【详解】解：连接OD，在Rt△OCD中，OC＝12OD＝2，∴∠ODC＝30°，CD2223OD OC+∴∠COD＝60°，∴阴影部分的面积＝260418223=23 36023π⨯-⨯⨯π-，故选：C．【点睛】本题考查的是扇形面积计算、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．二、填空题（本题包括8个小题）13．如图，一组等距的平行线，点A 、B 、C 分别在直线l 1、l 6、l 4上，AB 交l 3于点D ，AC 交l 3于点E ，BC 交于l 5点F ，若△DEF 的面积为1，则△ABC 的面积为_____．【答案】154 【分析】在三角形中由同底等高，同底倍高求出32ADC S=，根据平行线分线段成比例定理，求出94BDC S =，最后由三角形的面积的和差法求得154ABC S =． 【详解】连接DC ，设平行线间的距离为h ，AD=2a ，如图所示：∵122DEF S DE h DE h =⋅=⋅， 122ADE S DE h DE h =⋅=⋅， ∴S △DEF =S △DEA ，又∵S △DEF =1，∴S △DEA =1，同理可得：12DEC S =，又∵S △ADC =S △ADE +S △DEC ， ∴32ADC S =， 又∵平行线是一组等距的，AD=2a ， ∴23AD h BD h=， ∴BD=3a ， 设C 到AB 的距离为k ，∴12ADC S AD k =⋅=ak ， 1322BDC S BD k ak =⋅=， ∴339224BDC S =⨯=， 又∵S △ABC =S △ADC +S △BDC ， ∴9315424ABC S =+=． 故答案为：154． 【点睛】本题综合考查了平行线分线段成比例定理，平行线间的距离相等，三角形的面积求法等知识，重点掌握平行线分线段成比例定理，难点是作辅助线求三角形的面积．14．如图，根据图示，求得x 和y 的值分别为____________.【答案】4.5，101【分析】证明ADC BDE ∆∆∽，然后根据相似三角形的性质可解.【详解】解：∵7.232.4AD BD ==， 4.831.6CD DE ==， ∴AD CD BD DE=， ∵ADC BDE ∠=，∴ADC BDE ∆∆∽，∴3AC BE=，ACD BED ∠=∠， ∴AC=4.5，y=101.故答案是：x=4.5，y=101.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，要熟悉相似三角形的各种判定方法，关键在找角相等以及边的比例关键.15．如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，AD AB ＝AE AC，AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12，则AD 的长为_____．【答案】1【分析】把AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12代入已知比例式，即可求出答案．【详解】解：∵AD AB＝AE AC ，AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12， ∴12AD ＝226+， 解得：AD ＝1，故答案为：1．【点睛】本题考查了成比例线段，灵活的将已知线段的长度代入比例式是解题的关键.16．分解因式：x 2﹣2x ＝_____．【答案】x(x ﹣2)【分析】提取公因式x ，整理即可．【详解】解：x 2﹣2x ＝x(x ﹣2)．故答案为：x(x ﹣2)．【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，因式分解的第一步：有公因式的首先提取公因式．17．将抛物线22y x =先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线的函数解析式是____．【答案】224y x x =-【分析】根据题意先确定出原抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出新图象的顶点坐标，然后写出即可．【详解】解：抛物线22y x =的顶点坐标为（0，0）， 向右平移1个单位，再向下平移2个单位后的图象的顶点坐标为（1，-2），所以得到图象的解析式为222(1)224y x x x =--=-.故答案为：224y x x =-.【点睛】本题主要考查的是函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”利用顶点的变化确定图形的变化是解题的关键．18．圆内接正六边形的边长为6，则该正六边形的边心距为_____．【答案】33 【分析】根据题意画出图形，利用等边三角形的性质及锐角三角函数的定义直接计算即可．【详解】如图所示，连接OB 、OC ，过O 作OG ⊥BC 于G ．∵此多边形是正六边形，∴△OBC 是等边三角形，∴∠OBG=60°，∴边心距OG=OB •sin ∠OBG=63⨯=33(cm)． 故答案为：33．【点睛】本题考查了正多边形与圆、锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，熟知正六边形的性质是解答本题的关键．三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，点D ，E 分别是不等边△ABC(即AB ，BC ，AC 互不相等)的边AB ，AC 的中点．点O 是△ABC 所在平面上的动点，连接OB ，OC ，点G ，F 分别是OB ，OC 的中点，顺次连接点D ，G ，F ，E.(1)如图，当点O 在△ABC 的内部时，求证：四边形DGFE 是平行四边形；(2)若四边形DGFE 是菱形，则OA 与BC 应满足怎样的数量关系？(直接写出答案，不需要说明理由)【答案】（1）见详解；（2）点O 的位置满足两个要求：AO ＝BC ，且点O 不在射线CD 、射线BE 上．理由见详解【分析】（1）根据三角形的中位线定理可证得DE∥GF，DE＝GF，即可证得结论；（2）根据三角形的中位线定理结合菱形的判定方法分析即可.【详解】（1）∵D、E分别是边AB、AC的中点．∴DE∥BC，DE＝12BC．同理，GF∥BC，GF＝12 BC．∴DE∥GF，DE＝GF．∴四边形DEFG是平行四边形；（2）点O的位置满足两个要求：AO＝BC，且点O不在射线CD、射线BE上．连接AO，由（1）得四边形DEFG是平行四边形，∵点D，G，F分别是AB，OB，OC的中点，∴12GF BC=，12DF AO=，当AO＝BC时，GF=DF，∴四边形DGFE是菱形．【点睛】本题主要考查三角形的中位线定理，平行四边形、菱形的判定，平行四边形的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.20．如图，在等边△ABC中，把△ABC沿直线MN翻折，点A落在线段BC上的D点位置（D不与B、C重合），设∠AMN＝α．（1）用含α的代数式表示∠MDB和∠NDC，并确定的α取值范围；（2）若α＝45°，求BD：DC的值；（3）求证：AM•CN＝AN•BD．【答案】（1）∠MDB＝＝2α﹣60°，∠NDC＝180°﹣2α，（30°＜α＜90°）；（2；（3）见解析【分析】（1）利用翻折不变性，三角形内角和定理求解即可解决问题．（2）设BM＝x．解直角三角形用x表示BD，CD即可解决问题．（3）证明△BDM∽△CND，推出DMND＝BDCN，推出DM•CN＝DN•BD可得结论．【详解】（1）由翻折的性质可知∠AMN＝∠DMN＝α，∵∠AMB＝∠B+∠MDB，∠B＝60°，∴∠MDB＝2α﹣60°，∠NDC＝180°﹣∠MDB﹣∠MDN＝180°﹣（2α﹣60°）﹣60°＝180°﹣2α，（30°＜α＜90°）（2）设BM＝x．∵α＝45°，∴∠AMD＝90°，∴∠BMD＝90°，∵∠B＝60°，∴∠BDM＝30°，∴BD＝2x，DN＝BD•cos30°，∴MA＝MD，∴BC＝AB＝x，∴CD＝BC﹣BD﹣x，∴BD：CD＝2x：﹣x．（3）∵∠BDN＝∠BDM+∠MDN＝∠C+∠DNC，∠MDN＝∠A＝∠C＝60°，∴∠BDM＝∠DNC，∵∠B＝∠C，∴△BDM∽△CND，∴DMND＝BDCN，∴DM•CN＝DN•BD，∵DM＝AM，ND＝AN，∴A M•CN＝AN•BD．【点睛】本题考查了翻折变换、解直角三角形以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键. 21．如图，王华同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行12 m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部．已知王华同学的身高是1.6 m，两个路灯的高度都是9.6 m(1)求两个路灯之间的距离；(2)当王华同学走到路灯BD处时，他在路灯AC下的影子长是多少？【答案】（1）18；（2）3.6【分析】（1）依题意得到△APM∽△ABD，得到MP APBD AB=再由它可以求出AB；（2）设王华走到路灯BD处头的顶部为E，连接CE并延长交AB的延长线于点F则BF即为此时他在路灯AC的影子长，容易知道△EBF∽△CAF，再利用它们对应边成比例求出现在的影子．【详解】解：(1)由对称性可知AP＝BQ，设AP＝BQ＝x m，∵MP∥BD，∴△APM∽△ABD，∴MP APBD AB=，∴1.69.6＝212xx+，解得x＝3，∴AB＝2x＋12＝18(m)，即两个路灯之间的距离为18米(2)设王华走到路灯BD处头的顶部为E，连接CE并延长交AB的延长线于点F，则BF即为此时他在路灯AC下的影子长，设BF ＝y m ，∵BE ∥AC ，∴△FEB ∽△FCA ， ∴BE BF AC FA = ，即1.69.6＝18y y +， 解得y ＝3.6，当王华同学走到路灯BD 处时，他在路灯AC 下的影子长3.6米．【点睛】此题主要考查相似三角形的应用，两个问题都主要利用了相似三角形的性质：对应边成比例． 22．如图，点()5,2A ，()()5B m n m <,在反比例函数k y x=的图象上，作AC y ⊥轴于点C ．⑴求反比例函数的表达式；⑵若ABC ∆的面积为10，求点B 的坐标.【答案】（1）10y x =；（2）5,63⎛⎫ ⎪⎝⎭B 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）利用三角形的面积公式构建方程求出n ，再利用待定系数法求出m 的值即可；【详解】解：（1）∵点()5,2A 在反比例函数k y x=图象上， 10k ∴=，∴反比例函数的解析式为：10y x =． （2）由题意：15(2)102n ⨯⨯-=， 6n ∴=，5(,6)3B ∴. 【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．23．小红想利用阳光下的影长测量学校旗杆AB 的高度．如图，她在地面上竖直立一根2米长的标杆CD ，某一时刻测得其影长DE＝1.2米，此时旗杆AB在阳光下的投影BF＝4.8米，AB⊥BD，CD⊥BD．请你根据相关信息，求旗杆AB的高．【答案】旗杆AB的高为8m．【分析】证明△ABF∽△CDE，然后利用相似比计算AB的长．【详解】∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠AFB＝∠CED，而∠ABF＝∠CDE＝90°，∴△ABF∽△CDE，∴ABCD＝BFDE，即4.82 1.2AB，∴AB＝8（m）．答：旗杆AB的高为8m．【点睛】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1），B（4，0），C（4，4）．（1）按下列要求作图：①将△ABC向左平移4个单位，得到△A1B1C1；②将△A1B1C1绕点B1逆时针旋转90°，得到△A1B1C1．（1）求点C1在旋转过程中所经过的路径长．【答案】（1）①见解析；②见解析；（1）1π．【分析】（1）①利用点平移的坐标规律，分别画出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点可得△A1B1C1；②利用网格特点和旋转的性质，分别画出点A 1、B 1、C 1的对应点A 1、B 1、C 1即可；（1）根据弧长公式计算．【详解】（1）①如图，△A 1B 1C 1为所作；②如图，△A 1B 1C 1为所作；（1）点C 1在旋转过程中所经过的路径长＝9042180ππ⨯= 【点睛】 本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移的性质．25．（1）若正整数x 、y ，满足2224x y -=，求x 、y 的值；（2）已知如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，点D 在边BC 上移动（不与点B ，点C 重合），将BDE 沿着直线DE 翻折，点B 落在射线BC 上点F 处，当AEF 为一个含30内角的直角三角形时，试求BD 的长度．【答案】（1）75x y =⎧⎨=⎩或51x y =⎧⎨=⎩；（2）232BD =或623-． 【分析】（1）根据平方差公式因式分解，根据题意可得122x y x y +=⎧⎨-=⎩或64x y x y +=⎧⎨-=⎩； （2）根据翻折性质可证∠AEF=180°-∠BEF =90°，分两种情况：①如图a ，当∠EAF=30°时，设BD=x ，根据勾股定理222AE EF AF +=，即2222)(422)(22)x x x +=；②如图b ，当∠AFE=30°时，设BD=x ，根据勾股定理，222AE EF AF +=，222(2)(422)(8222)x x x +=；【详解】（1）解：∵22()()24x y x y x y -=+-=>0，且x ，y 均为正整数，∴x y +与x y -均为正整数，且x y +>x y -，x y +与x y -奇偶性相同．又∵24=124=212=38=46⨯⨯⨯⨯ ∴122x y x y +=⎧⎨-=⎩或64x y x y +=⎧⎨-=⎩解得：75x y =⎧⎨=⎩或51x y =⎧⎨=⎩． （2）解：∵∠ACB=90°，AC=BC ∴∠B=∠BAC=45°又∵将△BDE 沿着直线DE 翻折，点B 落在射线BC 上点F 处∴∠BDE=∠EDF=90°，且△BDE ≌△FDE∴∠BED=∠DEF=45°，∠BEF=90°，BE=EF∴∠AEF=180°-∠BEF =90°①如图a ，当∠EAF=30°时，设BD=x ，则：BD=DF=DE=x ，2BE EF x ==，422AE x =-，∵∠EAF=30°，∴AF=22x ，在Rt △AEF 中，222AE EF AF +=，∴222(2)(422)(22)x x x +-=，解得232x =-．∴232BD =-．②如图b ，当∠AFE=30°时，设BD=x ，则：同理①可得：2BE EF x ==，422AE x =∵∠AFE =30°，∴AF=在Rt △AEF 中，222AE EF AF +=，∴222)))+=，解得6x =-．∴BD =6-．综上所述，2BD =或6-．【点睛】考核知识点：因式分解运用，轴对称，勾股定理.分析翻折过程，分类讨论情况是关键；运用因式分解降次是要点.26．时下正是海南百香果丰收的季节，张阿姨到“海南爱心扶贫网”上选购百香果，若购买2千克“红土”百香果和1千克“黄金”百香果需付80元，若购买1千克“红土”百香果和3千克“黄金”百香果需付115元．请问这两种百香果每千克各是多少元？【答案】红土”百香果每千克25元，“黄金”百香果每千克30元【解析】设“红土”百香果每千克x 元，“黄金”百香果每千克y 元，由题意列出方程组，解方程组即可．【详解】解：设“红土”百香果每千克x 元，“黄金”百香果每千克y 元，由题意得：2803115x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：2530x y =⎧⎨=⎩； 答：“红土”百香果每千克25元，“黄金”百香果每千克30元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程组的解法；根据题意列出方程组是解题的关键． 27．解方程：22710x x -+=（公式法）【答案】12x x == 【分析】先确定a,b,c 的值和判别式，再利用求根公式求解即可.【详解】解：这里2a =，7b =-，1c =，49841∆=-=，∴74x ±=.即127744x x +== 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握公式法解方程是本题的关键.九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．下列各式中属于最简二次根式的是（ ）A B C D 【答案】A【分析】根据最简二次根式的定义解答即可.【详解】A.是最简二次根式；B. =不是最简二次根式；C.D. =，∴不是最简二次根式；故选A.【点睛】本题考查了最简二次根式的识别，如果二次根式的被开方式中都不含分母，并且也都不含有能开的尽方的因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式.2．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．2481x =B ．2213x y -=C ．2112x x +=，D ．20ax bx c ++= 【答案】A【分析】根据一元二次方程的定义解答．【详解】A 、是一元二次方程，故A 正确；B 、有两个未知数，不是一元二次方程，故B 错误；C 、是分式方程，不是一元二次方程，故C 正确；D 、a=0时不是一元二次方程，故D 错误；故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是1．3．如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，弦AD 平分BAC ∠，交BC 于点E ，6AB =，5AD =，则DE 的长为（ ）A ．2.2B ．2.5C ．2D ．1.8【答案】A 【分析】连接BD 、CD ，由勾股定理先求出BD 的长，再利用△ABD ∽△BED ，得出DE DB DB AD=，可解得DE 的长．【详解】连接BD 、CD ，如图所示：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB=90°，∴22226511BD AB AD -=-∵弦AD 平分∠BAC ，∴11，∴∠CBD=∠DAB ，在△ABD 和△BED 中， ∠BAD=∠EBD ，∠ADB=∠BDE ，∴△ABD ∽△BED ， ∴DE DB DB AD =，即22111155DB DE AD ===，解得DE=1.1．故选：A ．【点睛】此题主要考查了三角形相似的判定和性质及圆周角定理，解答此题的关键是得出△ABD ∽△BED ． 4．下表是一组二次函数235y x x =+-的自变量x 与函数值y 的对应值：1 1.1 1.2 1.3 1.4-1 -0.49 0.04 0.59 1.16那么方程2350x x +-=的一个近似根是( )A ．1B ．1.1C ．1.2D ．1.3 【答案】C【详解】解：观察表格得：方程x 2+3x ﹣5=0的一个近似根为1.2，故选C考点：图象法求一元二次方程的近似根．5．若关于x 的一元二次方程方程（k ﹣1）x 2+2x ﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．k≥0B ．k ＞0且k≠1C ．k≤0且k≠﹣1D ．k ＞0【答案】B【解析】根据一元二次方程定义，首先要求20ax bx c ++=的二次项系数不为零,再根据已知条件,方程有两个不相等的实数根,令根的判别式大于零即可.【详解】解:由题意得, 10k -≠解得, 1k ≠;且240b ac ∆=->,即()22410k +->, 解得0k >.综上所述, 0k >且1k ≠.【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义和根的判别式,理解掌握定义,熟练运用根的判别式是解答关键. 6．如图，△ABC 的三个顶点分别为A(1，2)、B(4，2)、C(4，4)．若反比例函数y ＝k x在第一象限内的图象与△ABC 有交点，则k 的取值范围是( )A ．1≤k≤4B ．2≤k≤8C ．2≤k≤16D ．8≤k≤16【答案】C【解析】试题解析：由于△ABC 是直角三角形，所以当反比例函数k y x =经过点A 时k 最小，进过点C 时k 最大，据此可得出结论．∵△ABC 是直角三角形，∴当反比例函数k y x=经过点A 时k 最小，经过点C 时k 最大， ∴k 最小=1×2=2，k 最大=4×4=1，∴2≤k≤1．故选C ．7．如图，BC 是O 的直径，A ，D 是O 上的两点，连接AB ，AD ，BD ，若70ADB ︒∠=，则ABC ∠的度数是（ ）A ．20︒B ．70︒C ．30︒D ．90︒【答案】A 【分析】连接AC ，如图，根据圆周角定理得到90BAC ︒∠=，70ACB ADB ︒∠=∠=，然后利用互余计算ABC ∠的度数．【详解】连接AC ，如图，∵BC 是O 的直径，∴90BAC ︒∠=，∵70ACB ADB ︒∠=∠=，∴907020ABC ︒︒︒∠=-=．故答案为20︒．故选A ．【点睛】本题考查圆周角定理和推论，解题的关键是掌握圆周角定理和推论．8．如图，有一圆锥形粮堆，其侧面展开图是半径为6m 的半圆，粮堆母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程长为（ ）A ．3mB ．33mC ．35mD ．4m【答案】C 【详解】如图，由题意得：AP=3，AB=6，90.BAP ∠=∴在圆锥侧面展开图中223635.BP m =+=故小猫经过的最短距离是35.m故选C.9．若关于x 的方程kx 2﹣2x ﹣1＝0有实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．k ＞﹣1B ．k ＜1且k≠0C ．k≥﹣1且k≠0D ．k≥﹣1【答案】C【分析】根据根的判别式（240b ac =-≥△ ）即可求出答案．【详解】由题意可知：440k +≥△＝∴1k ≥-∵0k ≠∴1k ≥- 且0k ≠ ，故选：C ．【点睛】本题考查了根的判别式的应用，因为存在实数根，所以根的判别式成立，以此求出实数k 的取值范围． 10．二次函数2()y x m n =++的图象与x 轴的交点的横坐标分别为﹣1和3，则2(2)=+-+y x m n 的图象与x 轴的交点的横坐标分别为（ ）A ．1和5B ．﹣3和1C ．﹣3和5D ．3和5 【答案】A【分析】根据二次函数图象的平移规律可得交点的横坐标．【详解】解：∵二次函数y ＝（x+m ）2+n 的图象与x 轴的交点的横坐标分别为﹣1和3，∴y ＝（x+m ﹣2）2+n 的图象与x 轴的交点的横坐标分别为：﹣1+2＝1和3+2＝5，故选：A ．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用平移的性质和点的坐标平移的性质解答． 11．将二次函数y ＝x 2的图象向右平移一个单位长度，再向下平移3个单位长度所得的图象解析式为（ ） A ．y ＝（x ﹣1）2+3B ．y ＝（x+1）2+3C ．y ＝（x ﹣1）2﹣3D ．y ＝（x+1）2﹣3【答案】C【分析】根据平移原则：上→加，下→减，左→加，右→减写出解析式．【详解】解：将二次函数y ＝x 2的图象向右平移一个单位长度，再向下平移1个单位长度所得的图象解析式为：y ＝（x ﹣1）2﹣1．故选：C ．【点睛】主要考查了函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．12．把抛物线22y x =-向右平移l 个单位，然后向下平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ） A ．22(1)3y x =-+-B ．22(1)3y x =--+C ．22(1)3y x =-++D ．22(1)3y x =--- 【答案】D【分析】根据题意原抛物线的顶点坐标为（0，0），根据平移规律得平移后抛物线顶点坐标为（1，-3），根据抛物线的顶点式求解析式．【详解】解：抛物线形平移不改变解析式的二次项系数，平移后顶点坐标为（1，-3），∴平移后抛物线解析式为22(1)3y x =---．故选：D ．【点睛】本题考查抛物线的平移与抛物线解析式的联系，关键是把抛物线的平移转化为顶点的平移，利用顶点式求解析式．二、填空题（本题包括8个小题）13．如图，在四边形ABCD 中，90ABC ADC ∠=∠=︒，72ABD ∠=︒，则CAD ∠的度数为______．【分析】根据题意可知A 、B 、C 、D 四点共圆，由余角性质求出∠DBC 的度数,再由同弧所对的圆周角相等，即为所求 ．【详解】解：∵在四边形ABCD 中，90ABC ADC ∠=∠=︒，∴A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上,∵∠ABC=90°，72ABD ∠=︒,∴∠CBD=18°,∴∠CAD=∠CBD=18°故答案为：18°【点睛】本题考查的是四点共圆、互为余角的概念和同圆中同弧所对的圆周角相等．14．周末小明到商场购物，付款时想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，则选择“微信”支付方式的概率为____________. 【答案】13 【分析】利用概率公式直接写出答案即可．【详解】∵共“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式，∴选择“微信”支付方式的概率为13， 故答案为：13． 【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）＝m n． 15．如图，在▱ABCD 中，AB ＝10，AD ＝6，AC ⊥BC ．则BD ＝_____．【答案】13【分析】由BC ⊥AC ，AB ＝10，BC ＝AD ＝6，由勾股定理求得AC 的长，得出OA 长，然后由勾股定理求得OB 的长即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC ＝AD ＝6，OB ＝OD ，OA ＝OC ，∴AC ＝22AB BC -＝8，∴OC ＝4，∴OB ＝22OC BC +＝213，∴BD ＝2OB ＝413故答案为：413．【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 16．75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm ，则此弧所在圆的半径是_____cm ．【答案】1【分析】由弧长公式：180n R l π=计算． 【详解】解：由题意得：圆的半径()180 2.5756R cm ππ=⨯÷=．故本题答案为：1．【点睛】本题考查了弧长公式．17．二次函数y ＝x 2－2x ＋2图像的顶点坐标是______．【答案】（1，1）【解析】分析：把二次函数解析式转化成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可．详解：∵22222(21)1(1) 1.y x x x x x =-+=-++=-+∴顶点坐标为(1,1).故答案为：(1,1).点睛：考查二次函数的性质，熟练掌握配方法是解题的关键.18．如图，在矩形ABCD 中，∠ABC 的角平分线BE 与AD 交于点E ，∠BED 的角平分线EF 与DC 交于点F ，若AB=8，DF=3FC ，则BC=__________.【答案】2+1．【分析】先延长EF 和BC ，交于点G ，再根据条件可以判断三角形ABE 为等腰直角三角形，并求得其斜边BE 的长，然后根据条件判断三角形BEG 为等腰三角形，最后根据△EFD ∽△GFC 得出比例式，DF=3FC 计算。

2019届山东省九年级上学期期末考试数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 方程的根是A．B．C．D．2. 二次函数图象的顶点坐标是A．（1，－2） B．（－1，－2） C．（－1，2） D．（1，2）3. 若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：14. 已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0，则该方程根的情况是A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定根的情况5. 计算：A．1 B． C．2 D．6. 将两个长方体如图放置，则所构成的几何体的左视图可能是7. 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD的度数为A．50° B．80° C．100° D．130°8. 如图，铁路道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m．当短臂端点下降0．5m时，长臂端点升高（杆的宽度忽略不计）A．12m B．8m C．6m D．4m9. 如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点A的坐标是（﹣1，0）．现将△ABC绕点A顺时针旋转90°，则旋转后点C的坐标是A．（2，1） B．（1，2） C．（-2，-1） D．（-2，1）10. 边长为2的正六边形的边心距是A．1 B．2 C． D．11. 如图，已知△ABC，则下列四个三角形中，与△ABC相似的是12. 如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA＝，BE=2，则的值A． B． C． D．13. 已知函数的图象如图所示，以下结论：①；②在每个分支上y随x的增大而增大；③若点、点在图象上，则；④若点在此函数图象上，则点也在此图象上．其中正确的个数是A．4个 B．3个 C．2个 D．1个14. 如图，边长为1的正方形ABCD中，点E在CB延长线上，连接ED交AB于点F，AF＝，EC＝．则在下面函数图象中，大致能反应与之间函数关系的是二、填空题15. 平面直角坐标系内一点，关于原点对称的点的坐标为____________．16. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则sinB的值等于_______．17. 某校开展“文明小卫士”活动，从学生会“督查部”的3名学生（2男1女）中随机选2名进行督查，恰好选中2名男学生的概率是________．三、解答题18. 从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（米）与运动时间t（秒）之间的关系式为，那么小球抛出秒后达到最高点．四、填空题19. 如图1，正方形纸片ABCD的边长为2，翻折∠B、∠D，使得两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P，EF、GH分别是折痕（如图2）．设AE＝x（0＜x＜2），给出下列判断：①当x＝1时，点P是正方形ABCD的中心；②当x＝时，EF＋GH＞AC；③当0＜x＜2时，六边形AEFCHG面积的最大值是；④当0＜x＜2时，六边形AEFCHG周长的值不变．其中正确的是________（填序号）．五、解答题20. 已知是关于x的方程的一个根，求a的值．21. 经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同，现有两辆汽车经过这个十字路口．（1）请用“树形图”或“列表法”列举出这两辆汽车行驶方向所有可能的结果；（2）求这两辆汽车都向左转的概率．22. 如图是一次“测量旗杆高度”的活动场景抽象出的平面几何图形．活动中测得的数据如下：①小明的身高DC=1．5m②小明的影长CE=1．7m③小明的脚到旗杆底部的距离BC=9m④旗杆的影长BF=7．6m⑤从D点看A点的仰角为30°你可以根据需要选出其中某几个数据，求出旗杆的高度．（计算结果保留到0．1，参考数据≈1．414，≈1．732）【解析】要想求旗杆的高度，你准备选择上面所给数据__________________（填序号）；并写出求解过程．23. 在平面直角坐标系中，已知反比例函数y=的图象经过点A，点O是坐标原点，OA=2且OA与x轴的夹角是．（1）试确定此反比例函数的解析式；（2）将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB，判断点B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由．24. 为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为40元的可控温杯，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y=﹣10x+1200．（1）求利润S（元）与销售单价x（元）之间的关系式；（2）当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？最大利润是多少元？25. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若⊙O的半径为8，∠CDF=22．5°，求阴影部分的面积．26. 如图，直线与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P．（1）求该抛物线的解析式；（2）连接AC，在x轴上是否存在点Q，使以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】第25题【答案】第26题【答案】。