高考试题——数学文辽宁卷解析版

绝密★启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项:1．答卷前,考生务必用黑色碳素笔将自己地姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上,并认真核准条形码上地准考证号、姓名、考场号、座位号及科目,在规定地位置贴好条形码.2．回答选择题时,选出每小题解析后,用铅笔把答题卡上对应题目地解析标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他解析标号.回答非选择题时,将解析写在答题卡上、写在本试卷上无效.3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1. 设集合5{2,1,0,1,2},02A B xx ⎧⎫=--=≤<⎨⎬⎩⎭∣,则A B = （ ）A. {}0,1,2 B. {2,1,0}-- C. {0,1}D. {1,2}【解析】A 【解析】【分析】根据集合地交集运算即可解出．【详解】因为{}2,1,0,1,2A =--,502B xx ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭∣,所以{}0,1,2A B = ．故选:A.2. 某社区通过公益讲座以普及社区居民地垃圾分类知识．为了解讲座效果,随机抽取10位社区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷,这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题地正确率如下图:则（ ）A. 讲座前问卷答题地正确率地中位数小于70%B. 讲座后问卷答题地正确率地平均数大于85%C. 讲座前问卷答题地正确率地标准差小于讲座后正确率地标准差D. 讲座后问卷答题地正确率地极差大于讲座前正确率地极差【解析】B 【解析】【分析】由图表信息,结合中位数、平均数、标准差、极差地概念,逐项判断即可得解.【详解】讲座前中位数为70%75%70%2+>,所以A 错；讲座后问卷答题地正确率只有一个是80%,4个85%,剩下全部大于等于90%,所以讲座后问卷答题地正确率地平均数大于85%,所以B 对；讲座前问卷答题地正确率更加分散,所以讲座前问卷答题地正确率地标准差大于讲座后正确率地标准差,所以C 错；讲座后问卷答题地正确率地极差为100%80%20%-=,讲座前问卷答题正确率地极差为95%60%35%20%-=>,所以D 错.故选:B3. 若1i z =+．则|i 3|z z +=（ ）A.B.C.D. 【解析】D的.【解析】【分析】根据复数代数形式地运算法则,共轭复数地概念以及复数模地计算公式即可求出．【详解】因为1i z =+,所以()()i 3i 1i 31i 22i z z +=++-=-,所以i 3z z +==故选:D.4. 如图,网格纸上绘制地是一个多面体地三视图,网格小正方形地边长为1,则该多面体地体积为（ ）A. 8B. 12C. 16D. 20【解析】B 【解析】【分析】由三视图还原几何体,再由棱柱地体积公式即可得解.【详解】由三视图还原几何体,如图,则该直四棱柱地体积2422122V +=⨯⨯=.故选:B.5. 将函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭地图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C ,若C 关于y 轴对称,则ω地最小值是（ ）A.16B.14C.13D.12【解析】C 【解析】【分析】先由平移求出曲线C 地解析式,再结合对称性得,232k k ωππππ+=+∈Z ,即可求出ω地最小值.【详解】由题意知:曲线C 为sin sin(2323y x x ππωππωω⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,又C 关于y 轴对称,则,232k k ωππππ+=+∈Z ,解得12,3k k ω=+∈Z ,又0>ω,故当0k =时,ω地最小值为13.故选:C.6. 从分别写有1,2,3,4,5,6地6张卡片中无放回随机抽取2张,则抽到地2张卡片上地数字之积是4地倍数地概率为（ ）A.15B.13C.25D.23【解析】C 【解析】【分析】先列举出所有情况,再从中挑出数字之积是4地倍数地情况,由古典概型求概率即可.【详解】从6张卡片中无放回抽取2张,共有()()()()()()()()()()()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,615种情况,其中数字之积为4地倍数地有()()()()()()1,4,2,4,2,6,3,4,4,5,4,66种情况,故概率为62155=.故选:C.7. 函数()33cos x xy x -=-在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦地图象大致为（ ）A. B.C. D.【解析】A 【解析】【分析】由函数地奇偶性结合指数函数、三角函数地性质逐项排除即可得解.【详解】令()()33cos ,,22xxf x x x ππ-⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦,则()()()()()33cos 33cos xx x x f x x x f x ---=--=--=-,所以()f x 为奇函数,排除BD ；又当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,330,cos 0x xx -->>,所以()0f x >,排除C.故选:A.8. 当1x =时,函数()ln bf x a x x=+取得最大值2-,则(2)f '=（ ）A. 1- B. 12-C.12D. 1【解析】B 【解析】【分析】根据题意可知()12f =-,()10f '=即可解得,a b ,再根据()f x '即可解出．【详解】因为函数()f x 定义域为()0,∞+,所以依题可知,()12f =-,()10f '=,而()2a b f x x x '=-,所以2,0b a b =--=,即2,2a b =-=-,所以()222f x x x '=-+,因此函数()f x 在()0,1上递增,在()1,+∞上递减,1x =时取最大值,满足题意,即有()112122f '=-+=-．故选:B.9. 在长方体1111ABCD A B C D -中,已知1B D 与平面ABCD 和平面11AA B B 所成地角均为30°,则（ ）A. 2AB AD= B. AB 与平面11AB C D 所成地角为30°C. 1AC CB =D. 1B D 与平面11BB C C 所成地角为45︒【解析】D 【解析】【分析】根据线面角地定义以及长方体地结构特征即可求出．【详解】如下图所示:不妨设1,,AB a AD b AA c ===,依题以及长方体地结构特征可知,1B D 与平面ABCD 所成角为1B DB ∠,1B D 与平面11AA B B 所成角为1DB A ∠,所以11sin 30c b B D B D==,即b c =,12B D c ==,解得a =．对于A ,AB a =,AD b =,AB =,A 错误；对于B ,过B 作1BE AB ⊥于E ,易知BE ⊥平面11AB C D ,所以AB 与平面11AB C D 所成角为BAE ∠,因为tan c BAE a ∠==所以30BAE ∠≠ ,B 错误；对于C,AC ==,1CB ==,1AC CB ≠,C 错误；对于D ,1B D 与平面11BB C C 所成角为1DB C ∠,11sin 2CD a DB C B D c ∠===,而1090DB C <∠<,所以145DB C ∠=．D 正确．故选:D ．10. 甲、乙两个圆锥地母线长相等,侧面展开图地圆心角之和为2π,侧面积分别为S 甲和S 乙,体积分别为V 甲和V 乙．若=2S S 甲乙,则=VV 甲乙（）A.B.C.D.【解析】C 【解析】【分析】设母线长为l ,甲圆锥底面半径为1r ,乙圆锥底面圆半径为2r ,根据圆锥地侧面积公式可得122r r =,再结合圆心角之和可将12,r r 分别用l 表示,再利用勾股定理分别求出两圆锥地高,再根据圆锥地体积公式即可得解.【详解】解:设母线长为l ,甲圆锥底面半径为1r ,乙圆锥底面圆半径为2r ,则11222S rl r S r l r ππ===甲乙,所以122r r =,又12222r r l l πππ+=,则121r rl+=,所以1221,33r l r l ==,所以甲圆锥地高1h ==,乙圆锥地高2h ==,所以2112221313r h V V r h ππ===甲乙.故选:C.11. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>地离心率为13,12,A A 分别为C 地左、右顶点,B 为C 地上顶点．若121BA BA ⋅=-,则C 地方程为（ ）A. 2211816x y += B. 22198x y += C. 22132x y += D. 2212x y +=【解析】B【分析】根据离心率及12=1⋅-BA BA ,解得关于22,a b 地等量关系式,即可得解.【详解】解:因为离心率13c e a ===,解得2289b a =,2289=b a ,12,A A 分别为C 左右顶点,则()()12,0,,0A a A a -,B 为上顶点,所以(0,)B b .所以12(,),(,)=--=- BA a b BA a b ,因为121BA BA ⋅=-所以221-+=-a b ,将2289=b a 代入,解得229,8a b ==,故椭圆地方程为22198x y +=.故选:B.12. 已知910,1011,89m m m a b ==-=-,则（ ）A. 0a b >> B. 0a b >> C. 0b a >> D. 0b a>>【解析】A 【解析】【分析】根据指对互化以及对数函数地单调性即可知9log 101m =>,再利用基本不等式,换底公式可得lg11m >,8log 9m >,然后由指数函数地单调性即可解出．【详解】由910m =可得9lg10log 101lg 9m ==>,而()222lg 9lg11lg 99lg 9lg111lg1022+⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以lg10lg11lg 9lg10>,即lg11m >,所以lg11101110110m a =->-=．又()222lg8lg10lg80lg8lg10lg 922+⎛⎫⎛⎫<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以lg 9lg10lg8lg 9>,即8log 9m >,所以8log 989890m b =-<-=．综上,0a b >>．故选:A.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13. 已知向量(,3),(1,1)a m b m ==+．若a b ⊥ ,则m =______________．【解析】34-##0.75-的【分析】直接由向量垂直地坐标表示求解即可.【详解】由题意知:3(1)0a b m m ⋅=++=,解得34m =-.故解析为:34-.14. 设点M 在直线210x y +-=上,点(3,0)和(0,1)均在M 上,则M 地方程为______________．【解析】22(1)(1)5x y -++=【解析】【分析】设出点M 地坐标,利用(3,0)和(0,1)均在M 上,求得圆心及半径,即可得圆地方程.【详解】解:∵点M 在直线210x y +-=上,∴设点M 为(,12)-a a ,又因为点(3,0)和(0,1)均在M 上,∴点M 到两点地距离相等且为半径R ,==R ,222694415-++-+=a a a a a ,解得1a =,∴(1,1)M -,R =M 地方程为22(1)(1)5x y -++=.故解析为:22(1)(1)5x y -++=15. 记双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>地离心率为e ,写出满足条件"直线2y x =与C 无公共点"地e 地一个值______________．【解析】2（满足1e <≤皆可）【解析】【分析】根据题干信息,只需双曲线渐近线by x a =±中02b a<≤即可求得满足要求地e 值.【详解】解:2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>,所以C 地渐近线方程为b y x a=±,结合渐近线地特点,只需02b a <≤,即224b a≤,可满足条件"直线2y x =与C 无公共点"所以==≤=c e a 又因为1e >,所以1e <≤,故解析为:2（满足1e <≤皆可）16. 已知ABC 中,点D 在边BC 上,120,2,2ADB AD CD BD ∠=︒==．当ACAB取得最小值时,BD =________．1-##-【解析】【分析】设220CD BD m ==>,利用余弦定理表示出22AC AB 后,结合基本不等式即可得解.【详解】设220CD BD m ==>,则在ABD △中,22222cos 42AB BD AD BD AD ADB m m =+-⋅∠=++,在ACD △中,22222cos 444AC CD AD CD AD ADC m m =+-⋅∠=+-,所以()()()2222224421214441243424211m m m AC m m AB m m m mm m ++-++-===-+++++++44≥=-,当且仅当311mm +=+即1m =-时,等号成立,所以当ACAB取最小值时,1m =.故解析为1-.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试卷考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.（一）必考题:共60分.17. 甲、乙两城之间地长途客车均由A和B两家公司运营,为了解这两家公司长途客车地运行情况,随机调查了甲、乙两城之间地500个班次,得到下面列联表:准点班次数未准点班次数A24020B21030（1）根据上表,分别估计这两家公司甲、乙两城之间地长途客车准点地概率；（2）能否有90%地把握认为甲、乙两城之间地长途客车是否准点与客车所属公司有关？附:22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++, ()2P K k…0.1000.0500.010 k 2.706 3.841 6.635【解析】（1）A,B两家公司长途客车准点地概率分别为12 13,78（2）有【解析】【分析】（1）根据表格中数据以及古典概型地概率公式可求得结果；（2）根据表格中数据及公式计算2K,再利用临界值表比较即可得结论.【小问1详解】根据表中数据,A共有班次260次,准点班次有240次,设A家公司长途客车准点事件为M,则24012 ()26013==P M；B共有班次240次,准点班次有210次,设B家公司长途客车准点事件为N,则210 ()27840==P N.A 家公司长途客车准点地概率为1213；B 家公司长途客车准点地概率为78.【小问2详解】列联表准点班次数未准点班次数合计A 24020260B 21030240合计4505050022()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++=2500(2403021020) 3.205 2.70626024045050⨯⨯-⨯≈>⨯⨯⨯,根据临界值表可知,有90%地把握认为甲、乙两城之间地长途客车是否准点与客车所属公司有关.18. 记n S 为数列{}n a 地前n 项和．已知221nn S n a n+=+．（1）证明:{}n a 是等差数列；（2）若479,,a a a 成等比数列,求n S 地最小值．【解析】（1）证明见解析； （2）78-．【解析】【分析】（1）依题意可得222n nS n na n +=+,根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩,作差即可得到11n n a a --=,从而得证；（2）由（1）及等比中项地性质求出1a ,即可得到{}n a 地通项公式与前n 项和,再根据二次函数地性质计算可得．【小问1详解】解:因为221nn S n a n+=+,即222n n S n na n +=+①,当2n ≥时,()()()21121211n n S n n a n --+-=-+-②,①-②得,()()()22112212211n n n n S n S n na n n a n --+---=+----,即()12212211n n n a n na n a -+-=--+,即()()()1212121n n n a n a n ----=-,所以11n n a a --=,2n ≥且N*n ∈,所以{}n a 是以1为公差地等差数列．【小问2详解】解:由（1）可得413a a =+,716a a =+,918a a =+,又4a ,7a ,9a 成等比数列,所以2749a a a =⋅,即()()()2111638a a a +=+⋅+,解得112a =-,所以13n a n =-,所以()22112512562512222228n n n S n n n n -⎛⎫=-+=-=--⎪⎝⎭,所以,当12n =或13n =时()min 78n S =-．19. 小明同学参加综合实践活动,设计了一个封闭地包装盒,包装盒如下图所示:底面ABCD 是边长为8（单位:cm ）地正方形,,,,EAB FBC GCD HDA 均为正三角形,且它们所在地平面都与平面ABCD 垂直．（1）证明://EF 平面ABCD ；（2）求该包装盒地容积（不计包装盒材料地厚度）．【解析】（1）证明见解析；（2【解析】【分析】（1）分别取,AB BC 地中点,M N ,连接MN ,由平面知识可知,EM AB FN BC ⊥⊥,EM FN =,依题从而可证EM ⊥平面ABCD ,FN ⊥平面ABCD ,根据线面垂直地性质定理可知//EM FN ,即可知四边形EMNF 为平行四边形,于是//EF MN ,最后根据线面平行地判定定理即可证出；（2）再分别取,AD DC 中点,K L ,由（1）知,该几何体地体积等于长方体KMNL EFGH -地体积加上四棱锥B MNFE -体积地4倍,即可解出．【小问1详解】如下图所示:,分别取,AB BC 地中点,M N ,连接MN ,因为,EAB FBC 为全等地正三角形,所以,EM AB FN BC ⊥⊥,EM FN =,又平面EAB ⊥平面ABCD ,平面EAB ⋂平面ABCD AB =,EM ⊂平面EAB ,所以EM ⊥平面ABCD ,同理可得FN ⊥平面ABCD ,根据线面垂直地性质定理可知//EM FN ,而EM FN =,所以四边形EMNF 为平行四边形,所以//EF MN ,又EF ⊄平面ABCD ,MN ⊂平面ABCD ,所以//EF 平面ABCD ．【小问2详解】如下图所示:,分别取,AD DC 中点,K L ,由（1）知,//EF MN 且EF MN =,同理有,//,HE KM HE KM =,//,HG KL HG KL =,//,GF LN GF LN =,由平面知识可知,BD MN ⊥,MN MK ⊥,KM MN NL LK ===,所以该几何体地体积等于长方体KMNL EFGH -地体积加上四棱锥B MNFE-体积地4倍．因为MN NL LK KM ====,8sin 60EM == 点B 到平面MNFE 地距离即为点B 到直线MN 地距离d ,d =,所以该几何体地体积(2143V =⨯+⨯⨯=+=20. 已知函数32(),()f x x x g x x a =-=+,曲线()y f x =在点()()11,x f x 处地切线也是曲线()y g x =地切线．（1）若11x =-,求a ；（2）求a 地取值范围．【解析】（1）3 （2）[)1,-+∞【解析】【分析】（1）先由()f x 上地切点求出切线方程,设出()g x 上地切点坐标,由斜率求出切点坐标,再由函数值求出a 即可；（2）设出()g x 上地切点坐标,分别由()f x 和()g x 及切点表示出切线方程,由切线重合表示出a ,构造函数,求导求出函数值域,即可求得a 地取值范围.【小问1详解】由题意知,(1)1(1)0f -=---=,2()31x f x '=-,(1)312f '-=-=,则()y f x =在点()1,0-处地切线方程为2(1)y x =+,即22y x =+,设该切线与()g x 切于点()22,()x g x ,()2g x x '=,则22()22g x x '==,解得21x =,则(1)122g a =+=+,解得3a =；【小问2详解】2()31x f x '=-,则()y f x =在点()11(),x f x 处地切线方程为()()32111131()y x x x x x --=--,整理得()2311312y x x x =--,设该切线与()g x 切于点()22,()x g x ,()2g x x '=,则22()2g x x '=,则切线方程为()22222()y x a x x x -+=-,整理得2222y x x x a =-+,则21232123122x x x x a ⎧-=⎨-=-+⎩,整理得2223343212111113193122222424x a x x x x x x ⎛⎫=-=--=--+ ⎪⎝⎭,令432931()2424h x x x x =--+,则32()9633(31)(1)h x x x x x x x '=--=+-,令()0h x '>,解得103x -<<或1x >,令()0h x '<,解得13x <-或01x <<,则x 变化时,(),()h x h x '地变化情况如下表:x1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭13-1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭()0,11()1,+∞()h x '-0+0-+()h x527141-则()h x 地值域为[)1,-+∞,故a 地取值范围为[)1,-+∞.21. 设抛物线2:2(0)C y px p =>地焦点为F ,点(),0D p ,过F 地直线交C 于M ,N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时,3MF =．（1）求C 地方程；（2）设直线,MD ND 与C 地另一个交点分别为A ,B ,记直线,MN AB 地倾斜角分别为,αβ．当αβ-取得最大值时,求直线AB 地方程．【解析】（1）24y x =； （2）:4AB x =+.【解析】【分析】（1）由抛物线地定义可得=2pMF p +,即可得解；（2）设点地坐标及直线:1MN x my =+,由韦达定理及斜率公式可得2MN AB k k =,再由差角地正切公式及基本不等式可得AB k =,设直线:AB x n =+,结合韦达定理可解.【小问1详解】抛物线地准线为2px =-,当MD 与x 轴垂直时,点M 地横坐标为p ,此时=32pMF p +=,所以2p =,所以抛物线C 地方程为24y x =；【小问2详解】设222231241234,,,,,,,4444y y y y M y N y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,直线:1MN x my =+,由214x my y x=+⎧⎨=⎩可得2440y my --=,120,4y y ∆>=-,由斜率公式可得12221212444MN y y k y y y y -==+-,34223434444AB y y k y y y y -==+-,直线112:2x MD x y y -=⋅+,代入抛物线方程可得()1214280x y y y --⋅-=,130,8y y ∆>=-,所以322y y =,同理可得412y y =,所以()34124422MNAB k k y y y y ===++又因为直线MN 、AB 地倾斜角分别为,αβ,所以tan tan 22MN AB k k αβ===,若要使αβ-最大,则0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,设220MN AB k k k ==>,则()2tan tan 1tan 11tan tan 122k k k k αβαβαβ--===≤=+++,当且仅当12k k =即k =,等号成立,所以当αβ-最大时,AB k =,设直线:AB x n =+,代入抛物线方程可得240y n --=,34120,4416y y n y y ∆>=-==-,所以4n =,所以直线:4AB x =+.【点睛】关键点点睛:解决本题地关键是利用抛物线方程对斜率进行化简,利用韦达定理得出坐标间地关系.（二）选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做地第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系xOy 中,曲线1C地参数方程为26t x y +⎧=⎪⎨⎪=⎩（t 为参数）,曲线2C地参数方程为26s x y +⎧=-⎪⎨⎪=⎩（s 为参数）．（1）写出1C 地普通方程；（2）以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线3C 地极坐标方程为2cos sin 0θθ-=,求3C 与1C 交点地直角坐标,及3C 与2C 交点地直角坐标．【解析】（1）()2620y x y =-≥；（2）31,C C 地交点坐标为1,12⎛⎫⎪⎝⎭,()1,2,32,C C 地交点坐标为1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭,()1,2--．【解析】【分析】(1)消去t ,即可得到1C 地普通方程；(2)将曲线23,C C 地方程化成普通方程,联立求解即解出．【小问1详解】因为26t x +=,y =,所以226y x +=,即1C 普通方程为()2620y x y =-≥．【小问2详解】因为2,6sx y +=-=,所以262x y =--,即2C 地普通方程为()2620y x y =--≤,由2cos sin 02cos sin 0θθρθρθ-=⇒-=,即3C 地普通方程为20x y -=．联立()262020y x y x y ⎧=-≥⎨-=⎩,解得:121x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或12x y =⎧⎨=⎩,即交点坐标为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭,()1,2；联立()262020y x y x y ⎧=--≤⎨-=⎩,解得:121x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩或12x y =-⎧⎨=-⎩,即交点坐标1,12⎛⎫--⎪⎝⎭,()1,2--．[选修4-5:不等式选讲]23. 已知a ,b ,c 均为正数,且22243a b c ++=,证明:（1）23a b c ++≤；（2）若2b c =,则113a c+≥．【解析】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）根据()22222242a b c a b c ++=++,利用柯西不等式即可得证；（2）由（1）结合已知可得043a c <+≤,即可得到1143a c ≥+,再根据权方和不等式即可得证.【小问1详解】证明:由柯西不等式有()()()222222221112a b c a b c ⎡⎤++++≥++⎣⎦,所以23a b c ++≤,当且仅当21a b c ===时,取等号,所以23a b c ++≤；【小问2详解】证明:因为2b c =,0a >,0b >,0c >,由（1）得243a b c a c ++=+≤,的为即043a c <+≤,所以1143a c ≥+,由权方和不等式知()22212111293444a c a c a c a c++=+≥=≥++,当且仅当124a c =,即1a =,12c =时取等号,所以113a c+≥.。

全国各地2022年数学高考真题及答案-(辽宁文)含详解2022年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供文科考生使用）第Ⅰ卷（选择题共60分）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

参考公式：如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B)S=4πR2如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径P(A·B)=P(A)·P(B)球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么V=43πR3n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径Pn(k)=CknPk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)已知集合M=｛某|-3＜某＜1|,N={某|某≤-3},则M=N(A)(B){某|某≥-3}(C){某|某≥1}(D){某|某＜1|(2)若函数y=(某+1)(某-a)为偶函数，则a=(A)-2(B)-2(C)1(D)2(3)圆某2+y2=1与直线y=k某+2没有公共点的充要条件是(A)2,2(-∈k)(B)3,3(-∈k)(C)k),2()2,(+∞--∞∈(D)k),3()3,(+∞--∞∈(4)已知0＜a＜1,某=loga2loga3,y=,5log21az=loga3,则(A)某＞y＞z(B)z＞y＞某(C)y＞某＞z(D)z＞某＞y(5)已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且2=,则顶点D的坐标为(A)(2,27)(B)(2,－21)(C)(3,2)(D)(1,3)(6)设P为曲线C:y=某2+2某+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为4,0π，则点P横坐标的取值范围为(A)--21,1(B)[-1,0](C)[0,1](D)1,21(7)4张卡片上分别写有数字1,2,3,4从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为(A)31(B)21(C)32(D)43(8)将函数y=2某+1的图象按向量a平移得到函数y=2某+1的图象，则(A)a=(-1,-1)(B)a=(1,-1)(C)a=(1,1)(D)a=(-1,1)(9)已知变量某、y满足约束条件≥+-≤--≤-+,01,013,01某y某y某y则z＝2某+y的最大值为第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.（13）函数23()某ye某+=-∞+∞的反函数是.（14）在体积为的球的表面上有A、B、C三点，AB=1,BCA、C两点的球面距离为3π，则球心到平面ABC的距离为.（15）3621(1)()某某某++展开式中的常数项为.（16）设(0,)2某π∈，则函数22in1in2某y 某+=的最小值为.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）在△ABC中，内角A，B,C，对边的边长分别是a,b,c.已知2,3cCπ== .（Ⅰ）若△ABCa,b;（Ⅱ）若in2inBA=，求△ABC的面积.（18）（本小题满分12分）某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：（Ⅱ）若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求（i）4周中该种商品至少有一周的销售量为4吨的概率;（ii）该种商品4周的销售量总和至少为15吨的概率.（19）（本小题满分12分）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A′B′C′D′中，AP=BQ=b（0＜b＜1），截面PQEF∥A′D，截面PQGH∥AD′.（Ⅰ）证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直;（Ⅱ）证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，并求出这个值;（Ⅲ）若12b=，求D′E与平面PQEF所成角的正弦值.（20）（本小题满分12分）已知数列{an},{bn}是各项均为正数的等比数列，设(N某)nnnbcna=∈.（Ⅰ）数列{cn}是否为等比数列？证明你的结论;（Ⅱ）设数列{tnan},{lnbn}的前n项和分别为Sn,Tn.若12,,21nnSnaTn==+求数列{cn}的前n项和.(21)（本小题满分12分）在平面直角坐标系某Oy中，点P到两点（0，－3）、（0，3）的距离之和等于4.设点P的轨迹为C.(Ⅰ)写出C的方程；(Ⅱ)设直线y=k某+1与C交于A、B两点.k为何值时OBOA⊥此时||的值是多少？(22)（本小题满分14分）设函数f(某)=a某3+b某2－3a2某+1(a、b∈R)在某=某1，某=某2处取得极值，且|某1－某2|=2.(Ⅰ)若a=1，求b的值，并求f(某)的单调区间；(Ⅱ)若a＞0，求b的取值范围.2022年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供文科考生使用）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题共60分）参考公式：如果事件AB，互斥，那么球的表面积公式()()()PABPAPB+=+2如果事件AB，相互独立，那么其中R表示球的半径()()()PABPAPB=球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么34π3VR=n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率(012)kknknnPkCPpkn-=-=，，，，其中R表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}31M某某=-<<，{}3N某某=-≤，则MN=（D）A．B．{}3某某-≥C．{}1某某≥D．{}1某某<解析：本小题主要考查集合的相关运算知识。

2006年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学（供文科考生使用）第I 卷（选择题 共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A +B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 、B 相互独立，那么 P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()(一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项. （1）函数)321sin(+=x y 的最小正周期是 （A ）2π （B ）π（C ）2π（D ）4π （2）设集合A ={1,2}，则满足A ∪B ={1,2,3}的集合B 的个数是（A ）1（B ）3（C ）4（D ）8（3）设)(x f 是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是 （A ）)(x f )(x f -是奇函数 （B ）)(x f |)(x f -| 是奇函数（C ）)(x f －)(x f -是偶函数 （D ）)(x f +)(x f -是偶函数（4）5646362616C C C C C ++++的值为（A ）61 （B ）62 （C ）63 （D ）64球的表面积公式24R S π=球的体积公式334R V π=球其中R 表示球的半径（5）方程02522=+-x x 的两个根可分别作为（A ）一椭圆和一双曲线的离心率 （B ）两抛物线的离心率（C ）一椭圆和一抛物线的离心率 （D ）两椭圆的离心率（6）给出下列四个命题： ①垂直于同一直线的两条直线互相平行. ②垂直于同一平面的两个平面互相平行.③若直线21,l l 与同一平面所成的角相等，则21,l l 互相平行. ④若直线21,l l 是异面直线，则与21,l l 都相交的两条直线是异面直线. 其中假．命题的个数是（A ）1 （B ）2（C ）3 （D ）4（7）双曲线422=-y x 的两条渐近线与直线3=x 围成一个三角形区域，表示该区域的不等式 组是（A ）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+≥-3000x y x y x （B ）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤+≥-3000x y x y x （C ）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤+≤-3000x y x y x （D ）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+≤-3030x y x y x（8）设○+是R 上的一个运算，A 是R 的非空子集. 若对任意A b a A b a ∈⊕∈有,,，则称A 对运 算○+封闭. 下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运算都封闭的是 （A ）自然数集 （B ）整数集 （C ）有理数集 （D ）无理数集（9）△ABC 的三内角A ，B ，C ，所对边的长分别为c b a ,,，设向量p ),(b c a +、q =).,(a c a b -- 若p ∥q ，，则角C 的大小为（A ）6π （B ）3π （C ）2π （D ）32π （10）已知等腰△ABC 的腰为底的2倍，顶角的正切值是（A ）23 （B ）3（C ）815 （D ）715 （11）与方程)0(22≥+-=x e e y x x的曲线关于直线x y =对称的曲线的方程为（A ）)1ln(x y += （B ）)1ln(x y -=（C ）)1ln(x y +-= （D ）)1ln(x y --=（12）曲线)6(161022<=-+-m m y m x 与曲线)95(19522<<=-+-n ny n x 的 （A ）离心率相等（B ）焦距相等（C ）焦点相同（D ）准线相同绝密★启用前2006年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供文科考生使用）第II 卷（非选择题 共90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.（13）方程)1(log 2)1(log 22--=-x x 的解为 .（14）设⎩⎨⎧>≤=,0,ln ,0,)(x x x e x g x 则=))21((g g .（15）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P —ABCDEF ， 则此正六棱锥的侧面积是 .（16）5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员，现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有 种.（以数作答）三．解答题：本大题共小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

【高三】辽宁2021年高考文科数学试题（带答案和解释）绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（可供文科学生采用）第i卷一、：本大题共12小题，每小题5分后，共40分后.在每小题得出的四个选项中，只有一项就是合乎题目建议的.（1）已知集合（a）（b）（c）（d）（2）复数的模为（a）（b）（c）（d）（3）已知点（a）（b）（c）（d）（4）下面就是关于公差的等差数列的四个命题：其中的真命题为（a）（b）（c）（d）（5）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（a）（b）（c）（d）（6）在，内角面元的边长分别为a．b．c．d．（7）未知函数a．b．c．d．（8）继续执行如图所示的程序框图，若输出a．b．c．d．（9）未知点a．b．c．d．（10）已知三棱柱a．b．c．d．（11）已知椭圆的左焦点为f（a）（b）（c）（d）（12）已知函数设表示中的较大值，表示中的较小值，记得最小值为得最小值为,则（a）（b）（c）（d）第ii卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题-第22题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22题-第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、题：本大题共4小题，每小题5分后.（13）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是.（14）未知等比数列.（15）未知为双曲线.（16）为了实地考察某校各班出席课外书法小组的人数，在全校随机提取5个班级，把每个班级出席该小组的指出做为样本数据.未知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分后）设向量（i）若（ii）设函数18．（本小题满分12分后）如图，（i）澄清：（ii）设19．（本小题满分12分后）现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取3道题解答.试求：（i）所出的2道题都就是甲类题的概率；（ii）所取的2道题不是同一类题的概率.20．（本小题满分12分后）如图，抛物线（i）；（ii）21．（本小题满分12分后）（i）证明：当（ii）若不等式值域范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。

2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】利用集合的交并补运算即可得解.【详解】因为全集，集合，所以，又，所以，故选：A.2.（ ）A. B. 1C. D. 【答案】C 【解析】【分析】利用复数的四则运算求解即可.【详解】故选：C.3. 已知向量，则（ ）{}1,2,3,4,5U ={}{}1,4,2,5M N ==U N M = ð{}2,3,5{}1,3,4{}1,2,4,5{}2,3,4,5{1,2,3,4,5}U ={1,4}M ={}2,3,5U M =ð{2,5}N ={2,3,5}U N M = ð()()()351i 2i 2i +=+-1-1i-1i+()()351i 51i 1i(2i)(2i)5+-==-+-()()3,1,2,2a b ==cos ,a b a b +-=A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解.【详解】因为，所以，则，所以.故选：B.4. 某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解.【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有件，其中这2名学生来自不同年级的基本事件有，所以这2名学生来自不同年级的概率为.故选：D.5. 记为等差数列的前项和．若，则（ ）A. 25 B. 22C. 20D. 15【答案】C 【解析】【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列的公差和首项，再根据前项和公式即可解出；方法二：根据等差数列的性质求出等差数列的公差，再根据前项和公式的性质即可解出．117()(),,a b a b a b a b +-+⋅-(3,1),(2,2)a b ==()()5,3,1,1a b a b +=-=- a b b +==== ()()()51312a b a b +⋅-=⨯+⨯-= ()()cos ,a b a b a b a b a b a b+⋅-+-===+- 1613122324C 6=1122C C 4=4263=n S {}n a n 264810,45a a a a +==5S ={}n a n {}n a n【详解】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得，，即,又，解得：，所以．故选：C.方法二：，，所以，，从而，于是，所以．故选：C.6. 执行下边的程序框图，则输出的（ ）A. 21B. 34C. 55D. 89【答案】B 【解析】【分析】根据程序框图模拟运行即可解出．【详解】当时，判断框条件满足，第一次执行循环体，，，；当时，判断框条件满足，第二次执行循环体，，，；当时，判断框条件满足，第三次执行循环体，，，；{}n a d 1a 2611510a a a d a d +=+++=135a d +=()()48113745a a a d a d =++=11,2d a ==515455210202S a d ⨯=+⨯=⨯+=264210a a a +==4845a a =45a =89a =84184a a d -==-34514a a d =-=-=53520S a ==B =1k =123A =+=325B =+=112k =+=2k =358A =+=8513B =+=213k =+=3k =81321A =+=211334B =+=314k =+=当时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出．故选：B.7. 设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ）A. 1B. 2C. 4D. 5【答案】B 【解析】【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可解出；方法二：根据椭圆定义以及勾股定理即可解出．【详解】方法一：因为，所以，从而，所以．故选：B.方法二：因为，所以，由椭圆方程可知，，所以，又，平方得：，所以．故选：B.8. 曲线在点处的切线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解.【详解】设曲线在点处的切线方程为，因为，的4k =34B =12,F F 22:15x C y +=P C 120PF PF ⋅= 12PF PF ⋅=12PF F △120PF PF ⋅= 1290FPF ∠=122121tan 4512FP F S b PF PF ===⨯⋅122PF PF ⋅=120PF PF ⋅= 1290FPF ∠= 25142c c =-=⇒=22221212416PF PF F F +===122PF PF a +==22121212216220PF PF PF PF PF PF ++=+=122PF PF ⋅=e 1=+x y x e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭e 4y x =e 2y x =e e 44y x =+e 3e24y x =+e 1xy x =+e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()e 12y k x -=-e 1xy x =+所以，所以所以所以曲线在点处的切线方程为.故选：C9. 已知双曲线交于A ，B 两点，则（ ）A. B. C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.【详解】由，则，解得，所以双曲线的一条渐近线不妨取，则圆心到渐近线的距离，所以弦长.故选：D10. 在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，为（ ）A. 1 B.C. 2D. 3【答案】A()()()22e 1e e 11x xxx x y x x +-'==++1e|4x k y ='==()e e124y x -=-e 1xy x =+e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭e e 44y x =+22221(0,0)x y a b a b -=>>22(2)(3)1x y -+-=||AB =e =222222215c a b b a a a+==+=2ba=2y x =(2,3)d ==||AB ===-P ABC ABC 2,PA PB PC ===【解析】【分析】证明平面，分割三棱锥为共底面两个小三棱锥，其高之和为AB 得解.【详解】取中点，连接，如图，是边长为2的等边三角形，，，又平面，，平面，又，，故，即，所以，故选：A11. 已知函数．记，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】利用作差法比较自变量大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.【详解】令，则开口向下，对称轴为，，而，由二次函数性质知，的AB ⊥PEC AB E ,PE CE ABC 2PA PB ==,PE AB CE AB ∴⊥⊥,PE CE ⊂PEC PE CE E = AB ∴⊥PEC 2PE CE ===PC =222PC PE CE =+PE CE ⊥11121332B PEC A PEC PEC V V V S AB --=+=⋅=⨯=△()2(1)e x f x --=,,a f b f c f ===b c a >>b a c>>c b a>>c a b>>2()(1)g x x =--()g x 1x =4112⎛---=- ⎝22491670-=+-=>41102⎛--=-> ⎝11->g g <，而，，所以，综上，，又为增函数，故，即.故选：A.12. 函数的图象由的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ）A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】先利用三角函数平移的性质求得，再作出与的部分大致图像，考虑特殊点处与的大小关系，从而精确图像，由此得解.【详解】因为向左平移个单位所得函数为，所以，而显然过与两点，作出与的部分大致图像如下，考虑，即处与的大小关系，4112⎛--=- ⎝22481682)0-=+=-=-<11-<-g g >g g g <<e x y =a c b <<b c a >>()y f x =cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭6π()y f x =1122y x =-()sin 2f x x =-()f x 1122y x =-()f x 1122y x =-πcos 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭π6πππcos 2cos 2sin 2662y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()sin 2f x x =-1122y x =-10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭()1,0()f x 1122y x =-3π3π7π2,2,2222x x x =-==3π3π7π,,444x x x =-==()f x 1122y x =-当时，，；当时，，；当时，，；所以由图可知，与的交点个数为.故选：C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 记为等比数列的前项和．若，则的公比为________．【答案】【解析】【分析】先分析，再由等比数列的前项和公式和平方差公式化简即可求出公比.【详解】若，则由得，则，不合题意.所以.当时，因为，所以，即，即，即，解得.故答案为：14. 若偶函数，则________．【答案】2【解析】【分析】根据常见函数的奇偶性直接求解即可.为3π4x =-3π3πsin 142f ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13π1π4284312y +⎛⎫=⨯--=-<- ⎪⎝⎭3π4x =3π3πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭13π13π412428y -=⨯-=<7π4x =7π7πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭17π17π412428y -=⨯-=>()f x 1122y x =-3n S {}n a n 6387S S ={}n a 12-1q ≠n q 1q =6387S S =118673a a ⋅=⋅10a =1q ≠1q ≠6387S S =()()6311118711a q a q qq--⋅=⋅--()()638171q q ⋅-=⋅-()()()33381171q q q ⋅+-=⋅-()3817q ⋅+=12q =-12-()2π(1)sin 2f x x ax x ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭=a【详解】，且函数为偶函数，，解得，故答案为：215. 若x ，y 满足约束条件，则的最大值为________．【答案】15【解析】【分析】由约束条件作出可行域，根据线性规划求最值即可.【详解】作出可行域，如图，由图可知，当目标函数过点时，有最大值，由可得，即,所以.故答案为：1516. 在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】当球是正方体的外接球时半径最大，当边长为的正方形是球的大圆的内接正方形时半径达到最小.【详解】设球的半径为.()()()222π1sin 1cos (2)1cos 2f x x ax x x ax x x a x x ⎛⎫=-+++=-++=+-++ ⎪⎝⎭20a ∴-=2a =323,2331,x y x y x y -≤⎧⎪-+≤⎨⎪+≥⎩32z x y =+322zy x =-+A z 233323x y x y -+=⎧⎨-=⎩33x y =⎧⎨=⎩(3,3)A max 332315z =⨯+⨯=1111ABCD A B C D -4,AB O =1AC OO 4R当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包含正方体，导致球面和棱没有交点，正方体的外接球直径为体对角线长，即，故；分别取侧棱的中点，显然四边形是边长为的正方形，且为正方形的对角线交点，连接，则的外接圆，球的半径达到最小，即的最小值为综上，.故答案为：三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 记的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若，求面积．【答案】（1） （2【解析】分析】（1）根据余弦定理即可解出；【2R '1AC ==2R R ''==max R =1111,,,AA BB CC DD ,,,M H G N MNGH 4O MNGH MG MG =MNGH R R ∈ABC ,,A B C ,,a b c 2222cos b c aA+-=bc cos cos 1cos cos a B b A ba Bb A c--=+ABC 1（2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出．【小问1详解】因为，所以，解得：．【小问2详解】由正弦定理可得，变形可得：，即，而，所以，又，所以，故的面积为．18. 如图，在三棱柱中，平面．（1）证明：平面平面；（2）设，求四棱锥的高．【答案】（1）证明见解析. （2）【解析】【分析】(1)由平面得，又因为，可证平面，从而证得平面平面；(2) 过点作，可证四棱锥的高为,由三角形全等可证，从而证得为中点，设，由勾股定理可求出，再由勾股定理即可求.sin A 2222cos a b c bc A =+-2222cos 22cos cos b c a bc Abc A A+-===1bc =cos cos sin cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin a B b A b A B B A B aB b A c A B B A C---=-++()()()()()sin sin sin sin 1sin sin sin A B A B B B A B A B A B ---=-==+++()()sin sin sin A B A B B --+=2cos sin sin A B B -=0sin 1B <≤1cos 2A =-0πA <<sin A =ABC 11sin 122ABC S bc A ==⨯=△111ABC A B C -1A C ⊥,90ABC ACB ∠=︒11ACC A ⊥11BB C C 11,2AB A B AA ==111A BB C C -11A C ⊥ABC 1A C BC ⊥AC BC ⊥BC ⊥11ACC A 11ACC A ⊥11BCC B 1A 11A O CC ⊥1AO 1A C AC =O 1CC 1A C AC x ==x 1AO【小问1详解】证明：因为平面，平面,所以,又因为，即，平面，,所以平面，又因为平面,所以平面平面.【小问2详解】如图，过点作，垂足为.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以四棱锥的高为.因为平面，平面,所以,,又因为，为公共边，所以与全等，所以.设，则，所以为中点，,1A C ⊥ABC BC ⊂ABC 1A C BC ⊥90ACB ∠= ACBC ⊥1,A C AC ⊂11ACC A 1AC AC C ⋂=BC⊥11ACC A BC ⊂11BCC B 11ACC A ⊥11BCC B 1A 11A O CC ⊥O 11ACC A ⊥11BCC B 11ACC A 111BCC B CC =1A O ⊂11ACC A 1A O ⊥11BCC B 111A BB C C -1AO 1A C ⊥ABC ,AC BC ⊂ABC 1A C BC ⊥1A C AC ⊥1A B AB =BC ABC 1A BC 1A C AC =1A C AC x ==11A C x =O 1CC 11112OC AA ==又因为,所以,即，解得，所以，所以四棱锥的高为．19. 一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g ）．试验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.132.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.219.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5（1）计算试验组的样本平均数；（2）（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m ，再分别统计两样本中小于m 与不小于m 的数据的个数，完成如下列联表对照组试验组（ⅱ）根据（i ）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？附：，0.1000.0500.0102.7063.8416.635【答案】（1）1A C AC ⊥22211AC AC AA +=2222x x +=x=11A O ===111A BB C C -1m<m≥()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k ≥k19.8（2）（i ）；列联表见解析，（ii ）能【解析】【分析】（1）直接根据均值定义求解；（2）（i ）根据中位数的定义即可求得，从而求得列联表；（ii ）利用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解.【小问1详解】试验组样本平均数为：【小问2详解】（i ）依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数，由原数据可得第11位数据为，后续依次为，故第20位为，第21位数据为，所以，故列联表为：合计对照组61420试验组14620合计202040（ii ）由（i ）可得，，所以能有的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异.20. 已知函数．（1）当时，讨论的单调性；23.4m =23.4m =1(7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.220+++++++++++39621.622.823.623.925.128.232.336.5)19.820++++++++==18.819.2,19.8,20.2,20.2,21.3,21.6,22.5,22.8,23.2,23.6, 23.223.623.223.623.42m +==m<m≥2240(661414) 6.400 3.84120202020K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯95%()2sin π,0,cos 2x f x ax x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭1a =()f x（2）若，求的取值范围．【答案】（1）在上单调递减（2）【解析】【分析】（1）代入后，再对求导，同时利用三角函数的平方关系化简，再利用换元法判断得其分子与分母的正负情况，从而得解；（2）法一：构造函数，从而得到，注意到，从而得到，进而得到，再分类讨论与两种情况即可得解；法二：先化简并判断得恒成立，再分类讨论，与三种情况，利用零点存在定理与隐零点的知识判断得时不满足题意，从而得解.【小问1详解】因为，所以，则，令，由于，所以，所以，因为，，，所以在上恒成立，所以在上单调递减.【小问2详解】法一：()sin 0f x x +<a ()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭0a ≤1a =()f x ()f x '()()sin g x f x x =+()0g x <()00g =()00g '≤0a ≤0a =a<02sin sin 0cos xx x-<0a =a<00a >0a >1a =()2sin π,0,cos 2x f x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭()()22432cos cos 2cos sin sin cos 2sin 11cos cos x x x x xx xf x xx--+'=-=-()3333222cos cos 21cos coscos 2cos cos x x xx x xx---+-==cos t x =π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()cos 0,1t x =∈()()()23233222cos cos 22221211x x t t t t t tt t t +-=+-=-+-=-++-()()2221t t t =++-()2222110t t t ++=++>10t -<33cos 0x t =>()233cos cos 20cos x x f x x +-'=<π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭构建，则，若，且，则，解得，当时，因为，又，所以，，则，所以，满足题意；当时，由于，显然，所以，满足题意；综上所述：若，等价于，所以的取值范围为.法二：因为，因为，所以，，故在上恒成立，所以当时，，满足题意；当时，由于，显然，所以，满足题意；()()2sin πsin sin 0cos 2x g x f x x ax x x x ⎛⎫=+=-+<< ⎪⎝⎭()231sin πcos 0cos 2x g x a x x x +⎛⎫'=-+<< ⎪⎝⎭()()sin 0g x f x x =+<()()00sin 00g f =+=()0110g a a '=-+=≤0a ≤0a =22sin 1sin sin 1cos cos x x x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭0sin 1x <<0cos 1x <<211cos x>()2sin sin sin 0cos xf x x x x+=-<a<0π02x <<0ax <()22sin sin sin sin sin 0cos cos x xf x x ax x x x x+=-+<-<()sin 0f x x +<0a ≤a (],0-∞()2232222sin cos 1sin sin cos sin sin sin cos cos cos cos x x x x x x x x x x x x---===-π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭0sin 1x <<0cos 1x <<2sin sin 0cos x x x-<π0,2⎛⎫⎪⎝⎭0a =()2sin sin sin 0cos xf x x x x+=-<a<0π02x <<0ax <()22sin sin sin sin sin 0cos cos x xf x x ax x x x x+=-+<-<当时，因为，令，则，注意到，若，，则在上单调递增，注意到，所以，即，不满足题意；若，，则，所以在上最靠近处必存在零点，使得，此时在上有，所以在上单调递增，则在上有，即，不满足题意；综上：.【点睛】关键点睛：本题方法二第2小问讨论这种情况的关键是，注意到，从而分类讨论在上的正负情况，得到总存在靠近处的一个区间，使得，从而推得存在，由此得解.21. 已知直线与抛物线交于两点，．（1）求；（2）设为的焦点，为上两点，且，求面积的最小值．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出；（2）设直线：，利用，找到的关系，以及0a >()322sin sin sin sin cos cos x xf x x ax x ax x x+=-+=-()32sin π0cos 2x g x ax x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭()22433sin cos 2sin cos x x xg x a x+'=-()22433sin 0cos 02sin 000cos 0g a a +'=-=>π02x ∀<<()0g x '>()g x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭()00g =()()00g x g >=()sin 0f x x +>0π02x ∃<<()00g x '<()()000g g x ''<π0,2⎛⎫⎪⎝⎭0x =1π20,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()10g x '=()g x '()10,x ()0g x '>()g x ()10,x ()10,x ()()00g x g >=()sin 0f x x +>0a ≤0a >()00g '>()g x 'π0,2⎛⎫⎪⎝⎭0x =()0g x '>()()00g x g >=210x y -+=2:2(0)C y px p =>,A B AB =p F C ,M N C 0FM FN ⋅=MFN △2p =12-p MN x my n =+()()1122,,,,M x y N x y 0MF NF ⋅=,m n MNF的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值．【小问1详解】设，由可得，，所以，所以即，因为，解得：．【小问2详解】因为，显然直线的斜率不可能为零，设直线：，，由可得，，所以，，，因为，所以，即，亦即，将代入得，，，所以，且，解得或．设点到直线的距离为，所以，所以的面积，而或，所以，()(),,,A A B B A x y B x y 22102x y y px-+=⎧⎨=⎩2420y py p -+=4,2A B A B y y p y y p +==B AB y ==-==2260p p --=0p >2p =()1,0F MN MN x my n =+()()1122,,,M x y N x y 24y x x my n⎧=⎨=+⎩2440y my n --=12124,4y y m y y n +==-22161600m n m n ∆=+>⇒+>0MF NF ⋅=()()1212110x x y y --+=()()1212110my n my n y y +-+-+=()()()()2212121110m y y m n y y n ++-++-=12124,4y y m y y n +==-22461m n n =-+()()22410m n n +=->1n ≠2610n n -+≥3n ≥+3n ≤-F MN d d 2MN y ==-=1==-MNF ()2111122S MN d n =⨯⨯=-=-3n ≥+3n ≤-当时，的面积【点睛】本题解题关键是根据向量的数量积为零找到的关系，一是为了减元，二是通过相互的制约关系找到各自的范围，为得到的三角形面积公式提供定义域支持，从而求出面积的最小值.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22. 已知点，直线（为参数），为的倾斜角，与轴正半轴、轴正半轴分别交于，且．（1）求；（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据的几何意义即可解出；（2）求出直线的普通方程，再根据直角坐标和极坐标互化公式即可解出．【小问1详解】因为与轴，轴正半轴交于两点，所以，令，，令，，所以，所以，即，解得，因为，所以．【小问2详解】由（1）可知，直线的斜率为，且过点，所以直线的普通方程为：，即，由可得直线的极坐标方程为．3n =-MNF (2min 212S =-=-,m n ()2,1P 2cos ,:1sin x t l y t αα=+⎧⎨=+⎩t αl l x y ,A B 4PA PB ⋅=αx l 3π4cos sin 30ραρα+-=t l l x y ,A B ππ2α<<0x =12cos t α=-0y =21sin t α=-21244sin cos sin 2PA PB t t ααα====sin 21α=±π2π2k α=+π1π,42k k α=+∈Z ππ2α<<3π4α=l tan 1α=-()2,1l ()12y x -=--30x y +-=cos ,sin x y ραρα==l cos sin 30ραρα+-=[选修4-5：不等式选讲]（10分）23. 已知．（1）求不等式的解集；（2）若曲线与坐标轴所围成的图形的面积为2，求．【答案】（1） （2【解析】【分析】（1）分和讨论即可;（2）写出分段函数,画出草图,表达面积解方程即可.【小问1详解】若,则,即,解得,即,若,则,解得,即,综上,不等式的解集为.【小问2详解】.画出的草图,则与坐标轴围成与的高为,所以所以解得,()2,0f x x a a a =-->()f x x <()y f x =a ,33a a ⎛⎫⎪⎝⎭x a ≤x a >x a ≤()22f x a x a x =--<3x a >3a x >3ax a <≤x a >()22f x x a a x =--<3x a <3a x a <<,33a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭2,()23,x a x af x x a x a -+≤⎧=⎨->⎩()f x ()f x ADO △ABCABC 3,(0,),,0,,022a a a D a A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭||=AB a21132224OAD ABC S S OA a AB a a +=⋅+⋅== a =三人行教育资源。

2008年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学（供文科考生使用） 第Ⅰ卷（选择题 共60分）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B) S =4πR 2如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径P(A ·B)=P(A) ·P(B) 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 V=43πR3n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 P n (k )=C k n P k (1-p )n-k (k =0,1,2,…,n )一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)已知集合M =｛x |-3＜x ＜1|,N={x |x ≤-3},则M =⋃N (A)∅ (B) {x|x ≥-3} (C){x|x ≥1}(D){x |x ＜1|(2)若函数y=(x +1)(x-a )为偶函数，则a = (A)-2 (B) -2 (C)1 (D)2(3)圆x 2+y 2=1与直线y=kx +2没有公共点的充要条件是 (A)2,2(-∈k )(B) 3,3(-∈k )(C)k ),2()2,(+∞⋃--∞∈(D) k ),3()3,(+∞⋃--∞∈(4)已知0＜a ＜1,x =log a 2log a 3,y =,5log 21a z =loga 3,则 (A)x ＞y ＞z(B)z ＞y ＞x(C)y ＞x ＞z(D)z ＞x ＞y(5)已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2),B (-1,-2),C (3,1),且AD BC 2=,则顶点D 的坐标为 (A)(2,27) (B)(2,－21) (C)(3,2) (D)(1,3)(6)设P 为曲线C :y =x 2+2x +3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π，则点P 横坐标的取值范围为 (A)⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21,1(B)[-1,0] (C)[0,1](D)⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21(7)4张卡片上分别写有数字1,2,3,4从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为 (A)31 (B)21 (C)32 (D)43 (8)将函数y=2x +1的图象按向量a 平移得到函数y =2x +1的图象，则 (A)a =(-1,-1) (B)a =(1,-1) (C)a =(1,1) (D)a=(-1,1)(9)已知变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+,01,013,01x y x y x y 则z ＝2x+y 的最大值为第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.（13）函数23()x y ex +=-∞+∞的反函数是 .（14）在体积为的球的表面上有A 、B 、C 三点，AB =1,BCA 、C 两点的球面距离为3π，则球心到平面ABC 的距离为 . （15）3621(1)()x x x++展开式中的常数项为 . （16）设(0,)2x π∈，则函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为 .三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）在△ABC 中，内角A ，B ,C ，对边的边长分别是a ,b ,c .已知2,3c C π==. （Ⅰ）若△ABC，求a ,b ;（Ⅱ）若sin 2sin B A =，求△ABC 的面积. （18）（本小题满分12分）某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：频数205030（Ⅱ）若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求 （i ）4周中该种商品至少有一周的销售量为4吨的概率; （ii ）该种商品4周的销售量总和至少为15吨的概率. （19）（本小题满分12分）如图，在棱长为1的正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，AP =BQ =b （0＜b ＜1），截面PQEF ∥A ′D ，截面PQGH ∥AD ′.（Ⅰ）证明：平面PQEF 和平面PQGH 互相垂直;（Ⅱ）证明：截面PQEF 和截面PQGH 面积之和是定值，并求出这个值; （Ⅲ）若12b =，求D ′E 与平面PQEF 所成角的正弦值. （20）（本小题满分12分）已知数列{a n },{b n }是各项均为正数的等比数列，设(N*)nn nb c n a =∈. （Ⅰ）数列{c n }是否为等比数列？证明你的结论;（Ⅱ）设数列{tna n },{lnb n }的前n 项和分别为S n ,T n .若12,,21n n S n a T n ==+求数列{c n }的前n 项和.(21)（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点（0，－3）、（0，3）的距离之和等于4.设点P 的轨迹为C .(Ⅰ)写出C 的方程；(Ⅱ)设直线y =kx +1与C 交于A 、B 两点.k 为何值时?⊥此时||的值是多少？(22)（本小题满分14分）设函数f (x )=ax 3+bx 2－3a 2x +1(a 、b ∈R )在x =x 1，x =x2处取得极值，且|x 1－x 2|=2. (Ⅰ)若a =1，求b 的值，并求f (x )的单调区间； (Ⅱ)若a ＞0，求b 的取值范围.2008年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供文科考生使用）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题共60分）参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(012)k kn k n n P k C P p k n -=-=，，，，其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}31M x x =-<<，{}3N x x =-≤，则M N =（ D ）A ．∅B ．{}3x x -≥C ．{}1x x ≥D ．{}1x x <答案：D解析：本小题主要考查集合的相关运算知识。

普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（辽宁卷，解析版）第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．（1）已知集合A={x 1x ＞}，B={x 2x 1-＜＜}}，则A B=（ ）（A ） {x 2x 1-＜＜}} （B ）{x 1-x ＞} （C ）{x 1x 1-＜＜}} （D ）{x 2x 1＜＜} 答案： D解析：利用数轴可以得到A B={x 1x 2＜＜}。

（2）i 为虚数单位，3571111i i i i+++=（ ） （A ）0 （B ）2i （C ）-2i （D ）4i（5）若等比数列{a n }满足a n a n+1=16n，则公比为（ ）（A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）16 答案： B解析：设公比是q ，根据题意a 1a 2=16 ①，a 2a 3=162 ②，②÷①，得q 2=16 .因为a 12q=16>0, a 12>0，则q>0，q=4.（6）若函数f （x ）=））（（a -x 1x 2x+为奇函数，则a =（ ）（A ）21 （B ）32 （C ）43（D ）1解析：设正三棱柱的侧棱长和底面边长为a ，则由23234a a ⋅=，解得a=2，正三棱柱的左视图与底面一边垂直的截面大小相同，故该矩形的面积是322232⋅⋅=。

（9）执行下面的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的P 是（ ） (A) 8 (B) 5 (C) 3 (D) 2答案：C解析：第一次执行结果：p=1,s=1,t=1,k=2;第二次执行结果：p=2,s=1,t=2,k=3;第三次执行结果：p=3,s=2,t=3,k=4;结束循环，输出p的值4.SDACB∈，f’（x）＞2，则f(x)＞2x+4(11)函数f（x）的定义域为R，f（-1）=2，对任意x R的解集为（）（A）(-1,1) (B)(-1，+∞) (C)(-∞,-1) (D)(-∞,+∞)解析：函数f(x)的周期是32882πππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故22πωπ==，由tan 1,3tan 20,8A A ϕπϕ=⎧⎪⎨⎛⎫⋅+= ⎪⎪⎝⎭⎩得,14A πϕ==.所以()tan 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故tan 2324244f πππ⎛⎫⎛⎫=⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

辽宁省2022年高考[数学卷]考试真题与答案解析一、选择题本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-≤A B = A. B. C. D. {1,2}-{1,2}{1,4}{1,4}-本题答案：B本题解析：，故，故选：B.{}|02B x x =≤≤{}1,2A B = 2. （ ）(22i)(12i)+-=A. B. C. D. 24i -+24i--62i+62i-本题答案：D本题解析：，故选：D.()()22i 12i 244i 2i 62i +-=+-+=-3. 中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现．如图是某古建筑物的剖面图，是举， 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为1111,,,DD CC BB AA 1111,,,OD DC CB BA，若是公差为0.1的等差数列，且直线的斜率111123111,0.5,DD CC BB k k k OD DC CB ====123,,k k k OA 为0.725，则（）3k =A. 0.75B. 0.8C. 0.85D. 0.9本题答案：D本题解析：设，则，11111OD DC CB BA ====111213,,CC k BB k AA k ===依题意，有，且，31320.2,0.1k k k k -=-=111111110.725DD CC BB AA OD DC CB BA +++=+++所以，故，故选：D30.530.30.7254k +-=30.9k =4. 已知，若，则（）(3,4),(1,0),t ===+ a b c a b ,,<>=<>a cbc t =A. B. C. 5D. 66-5-本题答案：C本题解析：解：,,即,解得,故选：C ()3,4c t =+ cos ,cos ,a c b c =931635t t c c+++= 5t =5. 有甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有多少种（ ）A. 12种 B. 24种C. 36种D. 48种本题答案：B本题解析：因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置3!插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，3!2224⨯⨯=故选：B6. 角满足，则（ ）,αβsin()cos()sin 4παβαβαβ⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭A. B. tan()1αβ+=tan()1αβ+=-C. D. tan()1αβ-=tan()1αβ-=-本题答案：D本题解析：由已知得：,()sin cos cos sin cos cos sin sin 2cos sin sin αβαβαβαβααβ++-=-即：，sin cos cos sin cos cos sin sin 0αβαβαβαβ-++=即：,所以，故选：D()()sin cos 0αβαβ-+-=()tan 1αβ-=-7. 正三棱台高为1，上下底边长分别为，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是（）A. B. 100π128πC. D. 144π192π本题答案：A本题解析：设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以12,r r 1222r r ==，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以123,4r r ==12,d d R 1d =，故或，2d =121d d -=121d d +=-1+=解得符合题意，所以球的表面积为．225R =24π100πS R ==故选：A ．8. 若函数的定义域为R ，且，则（）()f x ()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==221()k f k ==∑A. B. 3-2-C. 0 D. 1本题答案：A本题解析：因为，令可得，，所()()()()f x y f x y f x f y ++-=1,0x y ==()()()2110f f f =以，令可得，，即，所以函数为偶函数，()02f =0x =()()()2f y f y f y +-=()()f y f y =-()f x 令得，，即有，从而可知1y =()()()()()111f x f x f x f f x ++-==()()()21f x f x f x ++=+，，故，即，所()()21f x f x +=--()()14f x f x -=--()()24f x f x +=-()()6f x f x =+以函数的一个周期为．()f x 6因为，，()()()210121f f f =-=-=-()()()321112f f f =-=--=-，，，所以()()()4221f f f =-==-()()()5111f f f =-==()()602f f ==一个周期内的．由于22除以6余4，()()()1260f f f +++= 所以．故选：A ．()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑二、选择题本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 函数的图象以中心对称，则（）()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<2π,03⎛⎫⎪⎝⎭A. 在单调递减y =()f x 5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭B. 在有2个极值点y =()f x π11π,1212⎛⎫-⎪⎝⎭C. 直线是一条对称轴7π6x =D. 直线是一条切线y x =-本题答案：AD本题解析：由题意得：，所以，，2π4πsin 033f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4ππ3k ϕ+=k ∈Z 即，4ππ,3k k ϕ=-+∈Z又，所以时，，故．0πϕ<<2k =ϕ2π()sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对A ，当时，，由正弦函数图象知在上5π0,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2π2π3π2,332x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭sin y u =()y f x =5π0,12⎛⎫ ⎪⎝⎭是单调递减；对B ，当时，，由正弦函数图象知只有1个π11π,1212x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭2ππ5π2,322x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭sin y u =()y f x =极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点；2π3π232x +=5π12x =5π12x =对C ，当时，，，直线不是对称轴；7π6x =2π23π3x +=7π()06f =7π6x =对D ，由得：，2π2cos 213y x ⎛⎫'=+=- ⎪⎝⎭2π1cos 232x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭解得或,2π2π22π33x k +=+2π4π22π,33x k k +=+∈Z从而得：或,πx k =ππ,3x k k =+∈Z 所以函数在点处的切线斜率为，()y f x=⎛ ⎝2π2cos 13x k y =='==-切线方程为：即．故选：AD．(0)y x -=--y x =-10. 已知O 为坐标原点，过抛物线的焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，2:2(0)C y px p =>点A 在第一象限，点，若，则（ ）(,0)M p ||||AF AM =A. 直线的斜率为 B.AB ||||OB OF =C. D. ||4||AB OF >180OAM OBM ∠+∠<︒本题答案：ACD本题解析：对于A ，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为(,0)2p F AF AM =A FM A ，3224p pp +=代入抛物线可得，则，则直线A 2233242p y p p =⋅=3(4p AAB=正确；对于B ，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得AB 2p x y =+，220y py p -=设，则，则，代入抛物线得，解得11(,)B xy 1p y p +=1y =212p x ⎛=⋅ ⎝，则，13p x=(,3p B 则，B错误；2p OB OF ==≠=对于C ，由抛物线定义知：，C 正确；325244312p p pAB p p OF =++=>=对于D，，则为钝2333((,043434p p p p p OA OB ⎛⋅=⋅=⋅+=-< ⎝ AOB ∠角，又，则为2225((,043436p p p p p MA MB ⎛⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅-+=-< ⎪ ⎝⎭⎝ AMB ∠钝角，又，则，D 正确.故选：ACD.360AOB AMB OAM OBM ∠+∠+∠+∠= 180OAM OBM ∠+∠< 11. 如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥ABCD ED ⊥ABCD ,2FB ED AB ED FB ==∥，，的体积分别为，则（）E ACD -F ABC -F ACE-123,,V V V A. B. 322V V =312V V =C. D. 312V V V =+3123V V =本题答案：CD本题解析：设，因为平面，，则22AB ED FB a ===ED ⊥ABCD FB ED ，()2311114223323ACD V ED S a a a =⋅⋅=⋅⋅⋅= ，连接交于点，连接，易得()232111223323ABC V FB S a a a =⋅⋅=⋅⋅⋅= BD AC M ,EM FM ，BD AC ⊥又平面，平面，则，又，平面，ED ⊥ABCD AC ⊂ABCD ED AC ⊥ED BD D = ,ED BD ⊂BDEF 则平面，AC ⊥BDEF又，过作于，易得四边形为矩形，则12BM DM BD ===F FG DE ⊥G BDGF，,FG BD EG a ===则，，,EM FM ====3EF a ==，则，，，222EM FM EF +=EM FM ⊥212EFM S EM FM =⋅= AC =则，则，，，故A 、B 错误；33123A EFM C EFM EFM V V V AC S a --=+=⋅= 3123V V =323V V =312V V V =+C 、D 正确。

20１4年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁）数学（文科)第Ⅰ卷(共６0分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1)【2０１4年辽宁,文1，５分】已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，则集合U ()A B =( ）（A ）{|0}x x ≥ （B ）{|1}x x ≤ (C){|01}x x ≤≤ （D){|01}x x << 【答案】Ｄ【解析】{}10A B x x x =≥≤或，∴{}U ()01A B x x =<<，故选D ．【点评】本题考查了集合的并集、补集运算，利用数轴进行数集的交、并、补运算是常用方法. （２)【2０14年辽宁，文2,5分】设复数z 满足(2i)(2i)5z --=,则z =( )(A ）23i + (B ）23i - (C ）32i + （D)32i - 【答案】Ａ【解析】由(2i)(2i)5z --=,得:()()()52i 52i 2i 2i 2i 2i z +-===+--+,∴23i z =+，故选A ． 【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算,是基础的计算题．（３)【2014年辽宁，文3,５分】已知132a -=，21log 3b =，121log 3c =,则（ ）（A ）a b c >> (B)a c b >> （Ｃ)c b a >> （D)c a b >>【答案】D【解析】∵1030221a -<=<=,221log log 103b =<=，12221log log 3log 213c ==>=，∴c a b >>，故选D ．【点评】本题考查指数的运算性质和对数的运算性质,在涉及比较两个数的大小关系时,有时借助于０、１这样的特殊值能起到事半功倍的效果，是基础题.(4)【２0１4年辽宁，文4,5分】已知,m n 表示两条不同直线,α表示平面,下列说法正确的是( )ﻩ（A ）若//m α,//n α,则//m n （B ）若m α⊥,n α⊂,则m n ⊥ (C)若m α⊥,m n ⊥，则//n α （D)若//m α，m n ⊥，则n α⊥ 【答案】B【解析】A:若//m α，//n α,则m ,n 相交或平行或异面,故Ａ错；B.若m α⊥，n α⊂,则m n ⊥，故B 正确；Ｃ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n α⊂，故Ｃ错；D.若//m α，m n ⊥，则//n α或n α⊂或n α⊥,故Ｄ错，故选B ．【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质,记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型．（5)【2０１4年辽宁,文５，5分】设,,a b c 是非零向量，已知命题p :若0=a b ，0=b c ，则0=a c ;命题q :若a b ,b c ,则a c ，则下列命题中真命题是（ )(A)p q ∨ （B)p q ∧ (C)()()p q ⌝∧⌝ (D)()p q ∨⌝ 【答案】A 【解析】若0=a b ,0=b c ，则a b =b c ，即()0-=a c b ,则0a c =不一定成立，故命题p 为假命题，若a b ,b c ,则a c ,故命题ｑ为真命题，则p q ∨,为真命题，p q ∧，()()p q ⌝∧⌝，()p q ∨⌝都为假命题,故选A ． 【点评】本题主要考查复合命题之间的判断,利用向量的有关概念和性质分别判断p ,q 的真假是解决本题的关键． (6）【２0１4年辽宁，文6,5分】若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中,其中2AB =,1BC =,则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( )（Ａ)2π （Ｂ）4π （C ）6π （Ｄ)8π【答案】BA【解析】2112()124P A ππ⋅==⨯,故选Ｂ. 【点评】本题主要考查几何槪型的概率的计算，求出对应的图形的面积是解决本题的关键,比较基础. （７）【201４年辽宁,文７，5分】某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）（A)84π-(B)82π-(Ｃ)8π- (D)82π-【答案】C【解析】由三视图知：几何体是正方体切去两个14圆柱，正方体的棱长为2,切去的圆柱的底面半径为１，高为2,∴几何体的体积321221284V ππ=-⨯⨯⨯⨯=-,故选C.【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．（8)【2０14年辽宁，文8，５分】已知点(2,3)A -在抛物线C :22y px =的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF的斜率为( ）（A)43- (Ｂ)1- (Ｃ）34- (Ｄ）12-【答案】Ｃ【解析】∵点(2,3)A -在抛物线C :22y px =的准线上，∴22p =,∴()2,0F ，∴直线AF 的斜率为33224=---，故选C.【点评】本题考查抛物线的性质,考查直线斜率的计算，考查学生的计算能力，属于基础题.（9)【2０1４年辽宁,文９，5分】设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列{}12n a a 为递减数列，则( )（A ）0d > （B ）0d < (C)10a d > (Ｄ）10a d < 【答案】Ｄ【解析】∵等差数列{}n a 的公差为d ，∴1n n a a d +-=,又数列{}12na a 为递减数列，∴11112212n n a a a d a a +=<，∴10a d <,故选D ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、数列的单调性、指数函数的运算法则等基础知识与基本技能方法,属于中档题．(１0）【2０14年辽宁,文１0，５分】已知()f x 为偶函数，当0x ≥时,1cos ,[0,]2()121,(,)2x x f x x x π⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩，则不等式1(1)2f x -≤的解集为( ）(Ａ）1247[,][,]4334 （B)3112[,][,]4343-- (Ｃ)1347[,][,]3434 (Ｄ）3113[,][,]4334--【答案】A【解析】当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,由()12f x =，即1cos 2x π=，则3x ππ=，即13x =,当12x >时,由()12f x =，得1212x -=，解得34x =，则当0x ≥时，不等式()12f x ≤的解为1334x ≤≤，(如图）则由()f x 为偶函数，∴当0x <时，不等式()12f x ≤的解为3143x -≤≤-，即不等式()12f x ≤的解为1334x ≤≤或3143x -≤≤-，则由31143x -≤-≤-或13134x ≤-≤,解得1243x ≤≤或4734x ≤≤，即不等式1(1)2f x -≤的解集为1243x ≤≤或4734x ≤≤，故选Ａ．【点评】本题主要考查不等式的解法，利用分段函数的不等式求出0x ≥时，不等式()12f x ≤的解是解决本题的关键.（１1）【201４年辽宁，文11，5分】将函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度,所得图象对应的函数（ ）(A)在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 （B ）在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增（C ）在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 (D)在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】B【解析】把函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为:3sin 223y x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．即23sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．由2222232k x k πππππ-+≤-≤+, 得71212k x k ππππ+≤≤+，k ∈Z ．取0k =,得71212x ππ≤≤． ∴所得图象对应的函数在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故选B ．【点评】本题考查了函数图象的平移，考查了复合函数单调性的求法，复合函数的单调性满足“同增异减”原则,是中档题.（１2)【２０１4年辽宁，文12，5分】当[2,1]x ∈-时,不等式32430ax x x -++≥恒成立,则实数a 的取值范围是( ）（A)[5,3]-- (B)9[6,]8-- （C ）[6,2]-- （D)[4,3]--【答案】C【解析】当0x =时，不等式32430ax x x -++≥对任意a ∈R 恒成立；当01x <≤时,32430ax x x -++≥可化为23143a x x x ≥--，令()23143f x x x x=--,则()()()234491189x x f x x x x x -+'=-++=-(*），当01x <≤时,()0f x '>，()f x 在(]0,1上单调递增，()()max 16f x f ==-∴6a ≥-；当20x -≤<时，32430ax x x -++≥可化为23143a x x x≤--，由(*）式可知，当21x -≤≤-时，()0f x '<,()f x 单调递减，当10x -<<时,()0f x '>，()f x 单调递增，()()min 12f x f =-=-，∴2a ≤-;综上所述，实数a 的取值范围是62a -≤≤-，即实数a 的取值范围是[6,2]--,故选C ．【点评】本题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想,按照自变量讨论,最后要对参数范围取交集;若按照参数讨论则取并集．第ＩI 卷(共９０分）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分 (13）【2014年辽宁，文13,5分】执行右侧的程序框图,若输入3n =，则输出T = ． 【答案】20【解析】由程序框图知:算法的功能是求()()()112123123T i =+++++++++++的值,当输入3n =时,跳出循环的i 值为4，∴输出1361020T =+++=．【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键.(14)【2０14年辽宁，文14,5分】.已知x ，y 满足条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数34z x y =+的最大值为 ．【答案】18【解析】由约束条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩作出可行域如图,联立240330x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩,∴()2,3C ．化目标函数34z x y =+为直线方程的斜截式，得：344zy x =-+．由图可知,当直线344zy x =-+过点C 时，直线在y 轴上的截距最大，即z 最大.∴max 324318z =⨯+⨯=.【点评】本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题．(15）【2０14年辽宁,文１5,5分】已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ,线段MN 的中点在C 上,则||||AN BN += ．【答案】1２【解析】如图:MN 的中点为Q ，易得212QF NB =，112QF AN =,∵Q 在椭圆C 上,∴1226QF QF a +==，∴||||12AN BN +=.【点评】本题考查椭圆的定义，椭圆的基本性质的应用，基本知识的考查. (16）【20１4年辽宁，文１6,5分】对于0c >,当非零实数,a b 满足22420a ab b c -+-=,且使|2|a b +最大时,124a b c++的最小值为 . 【答案】1-【解析】∵22420a ab b c -+-=,∴22221342416c b a ab b a b ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭,由柯西不等式得，()22222233223223242b b a b a b a b ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎢⎥-++≥-+⋅=+ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎣⎦，故当2a b +最大时， 有344223b a b -=,∴12a b =，2c b =,∴22124224111142a b c b b b b ⎛⎫++=++=+- ⎪⎝⎭， 当2b =-时,取得最小值为1-．【点评】本题考查了柯西不等式，以及二次函数的最值问题,属于难题．三、解答题:解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17）【20１4年辽宁，文17，１2分】在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边,,a b c ,且a c >,已知2BA BC ⋅=，1cos 3B =，3b =，求:（1)a 和c 的值；（2）cos()B C -的值．解：（1)由2BA BC =得cos 2ac B ⋅=.又1cos 3B =，所以6ac =．由余弦定理得22a c +=22cos b ac B +⋅. 又因为3b =,所以22a c +=21326133+⨯⨯=.解22613ac a c =⎧⎨+=⎩得23a c =⎧⎨=⎩或32a c =⎧⎨=⎩.因为a c >,32a c =⎧∴⎨=⎩． (2）在ABC ∆中,2sin 1cos B B =-21221()3=-=．由正弦定理得sin sin b cB C=, 所以222sin 3sin 3c B C b⨯==42=．因为a c >,所以角C 为锐角．2cos 1sin C C =-24271()99=-=.cos()B C -cos cos sin sin B C B C =+17224239=⨯+⨯2327=． 【点评】此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算,以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．(１8）【2０14年辽宁,文18,1２分】某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查, 喜欢甜品 不喜欢甜品 合计南方学生 60 ２０ 80 北方学生 10 1０ 2０合计 ７０ 30 １00(1”;(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取３人,求至多有1人喜欢甜品的概率．附：21212211222112)(++++-=n n n n n n n n n χ，解:(1)由题意，()2210060102010 4.762 3.84170308020X ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯,∴有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．(２）从这5名学生中随机抽取3人，共有3510C =种情况，有2名喜欢甜品,有133C =种情况, ∴至多有1人喜欢甜品的概率710．【点评】本题考查独立性检验的应用，考查古典概型及其概率计算公式，考查学生的计算能力,属于中档题. (19）【２014年辽宁,文１９，１2分】如图,ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直,且AB BC =2BD ==,o 120ABC DBC ∠=∠=,E 、F 、G 分别为AC 、DC 、AD 的中点. （１）求证：EF ⊥平面BC Ｇ; （2)求三棱锥D ﹣BCG 的体积．附:椎体的体积公式13V Sh =,其中S 为底面面积，h 为高.解:（1)∵2AB BC BD ===．120ABC DBC ∠=∠=︒,∴ABC DBC ∆∆≌，∴AC DC =，∵G 为AD 的中点，∴CG AD ⊥．同理BG AD ⊥，∵CG BG G =,∴AD ⊥平面BGC ， ∵//EF AD ，∴EF ⊥平面BCG ．(2）在平面ABC 内，作AO CB ⊥，交CB 的延长线于O ，∵ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直,∴AO ⊥平面BCD ，∵G 为AD 的中点∴G 到平面BCD 的距离h 是AO 长度的一半.在AOB ∆中，sin 603AO AB =︒=,1111sin1203322D BCG D BCD DCB V V S h BD BC --∆===⋅⋅⋅⋅︒=.【点评】本题考查线面垂直,考查三棱锥体积的计算,正确转换底面是关键．(２０）【201４年辽宁,文20,1２分】圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P (如图)． (1）求点P 的坐标;(2）焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ,且与直线l :3y x =+交于A 、B 两点，若PAB ∆ 的面积为2，求C 的标准方程．解：（1）解法一：设圆半径r ，P 点上下两段线段长分别为2,,4m n r =，由射影定理得:2r mn =,三角形面积22422422421111444()168168162222s m n r m n r m n r r =++=+++≥++=++，仅当2m n ==时，s 取最大值,这时(2,2)P ．解法二：2()P k χ≥０.１00 0．050 0.0１0 k2.７06３.84１６．６35yxPO设切点P 的坐标为()00,x y ，且00x >,00y >．则切线的斜率为00x y -，故切线方程为()0000xy y x x y -=--， 即001x x y y +=．此时，切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成的三角形的面积000014482S x y x y =⋅⋅=⋅.再根据22004x y +=≥00x y ==故点P的坐标为．（2)设椭圆方程22221x y a b +=,11(,)A x y ，22(,)B x y .椭圆过点P 得:22221a b+=，则P到直线y x =+的距离d =．由题得:Δ122ABP S d AB =⋅⋅=，解得AB =.由弦长公式得()()()2222121212123214243AB k x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=++-=+-=⎣⎦⎣⎦，即2121216()-43x x x x +=．把点P 代入方程得:22221a b +=,由22221y x x y a b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得2210x a +-=，整理得2102x -=，12x x ∴+=，212232b x x b-=⋅,代入上式得2424831683b b b --⋅=，即4263103b b -+=，解得23b =，26a =，或26b =,23a =(舍)，所以椭圆方程为:22163x y +=.【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质,直线和圆锥曲线的位置关系，点到直线的距离公式、弦长公式的应用,属于难题．(21)【２０1４年辽宁，文２１,12分】已知函数()(cos )2sin 2f x x x x π=---,2()(1xg x x ππ=--.证 明:（１)存在唯一0(0,)2x π∈,使0()0f x =；（2）存在唯一1(,)2x ππ∈，使1()0g x =,且对(１）中的01x x π+<.解：（1）2ππ()π(cos )2sin 2(0)π20,()4022f x x x x f f =---∴=--<=->，()f x 在π(0)2，上有零点，()π(1sin )2osx πsin (π2osx)0f x x c x c '=+-=+->，()f x ∴在π(0)2，上单调递增.（2）()(21x g x x ππ=--,,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,()()cos 211sin x x g x x x ππ-∴=-⋅+-+cos π2π(π),(0,)1sin π2x x g x x x x -∴-=-+∈+,设cos π2()1sin πx x h x x x --=++,π(0,)2x ∈，则()g x 与()h x 的零点同.22cos sin (1sin )cos 2cos 2π(-cos )2(1sin )()1sin (1sin )π1sin 1sin ππ(1sin )x x x x x x x x x h x x x x x x x -++--+'=+-=+-=+++++()π(1sin )f x x =+,π(0,)2x ∈．由（１)知，()f x 在π(0,)2上只有一个零点0x ，且在点0x 左负右正. ()h x ∴在0x 点左侧递减，在0x 点右侧递增，且(0)10h =>，π()02h =,故0()0h x <，存在唯一20(0,)x x ∈,使得()20h x =，即2(π)0g x -=，12πx x ∴=-,即1210πx x x x +=<+，01πx x ∴+>，所以()g x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一零点1x ，且01πx x +>.【点评】本题考查零点的判定定理,涉及导数法证明函数的单调性,属中档题． 请考生在(22）、（23）、（24)三题中任选一题作答．注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做第一个题目计分，做答时，请用2Ｂ铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.--（２２）【2０1４年辽宁,文22,1０分】（选修４-1:几何证明选讲）如图,EP 交圆于E 、C 两点,PD 切圆于D ,G 为CE 上一点且PG PD =,连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F . （１）求证：AB 为圆的直径； (2)若AC BD =,求证:AB ED =.解:（1）PD PG PDG PGD PD =∴∠=∠为圆的切线,PDA DBA ∴∠=∠ 又PGD EGA DBA EGA DBA BAD EGA BAD ∠=∠∴∠=∠∴∠+∠=∠+∠, 9090BDA PFA AF EP PFA BDA AB ∴∠=∠⊥∴∠=︒∴∠=︒∴为直径． （2)连接,BC DC 90AB BDA ACB ∴∠=∠=︒是直径，在Rt BDA Rt ACB ∆∆与中，,AB BA AC BD ==,Rt BDA Rt ACB ∆≅∆,DAB CBA DCB DAB ∴∠=∠∠=∠ //DAB CBA DC AB ∴∠=∠∴,90AB EP DC EP DCE ⊥∴⊥∠=︒ED ∴为直径， 由（1）AB ED =．【点评】本题考查圆的切线的性质，考查三角形全等的证明,考查直径所对的圆周角为直角,属于中档题. (２3）【2014年辽宁，文２3，１0分】（选修４－4：坐标系与参数方程）将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍,得曲线C . (１）写出C 的参数方程;(2)设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解:（1)设11(,)x y 为圆221x y +=上任意一点,按题中要求变换后的点(,)x y .根据题意得112x x y y =⎧⎨=⎩，所以112x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩.由22111x y +=得2214y x +=.故C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)． （2）由2244220x y x y ⎧+=⎨+-=⎩解得10x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩．不妨设1(1,0)P ，2(0,2)P，则线段中点坐标1(,1)2． 所求直线的斜率为12k =，于是所求直线方程为111()22y x -=-,即2430x y -+=.化为极坐标方程为2cos 4sin 30ρθρθ-+=，即34sin 2cos ρθθ=-.ﻩ【点评】本题主要考查求点的轨迹方程的方法，极坐标和直角坐标的互化,用点斜式求直线的方程，属于中档题. (24）【２014年辽宁，文24，10分】(选修４-5：不等式选讲)设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+,记()1f x ≤的解集为M ,()4g x ≤的解集为N ． (1)求M ；(2)当x M N ∈时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤．解:（1)()2|1|1f x x x =-+-33,[1,)1,(,1)x x x x -∈+∞⎧=⎨-∈-∞⎩．当1x ≥时，()331f x x =-≤,解得413x ≤≤;当1x <时，()11f x x =-≤，解得01x ≤<．所以()1f x ≤的解集为4{|0}3M x x =≤≤.(2)2()16814g x x x =-+≤，解得13{|}44N x x =-≤≤．M N =3{|0}4x x ≤≤．当x M N ∈时,()1f x x =-.22()[()]x f x x f x +=22(1)(1)x x x x -+-2x x =-211()42x =--，3{|0}4x x x ∈≤≤．221()[()]4x f x x f x ∴+≤.【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论、等价转化的数学思想，属于中档题.。