2001年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．把答案填在题中横线上．） （1）设生产函数为βαK AL Q =，其中Q 是产出量，L 是劳动投入量，K 是资本投入量，而βα,,A 均为大于零的参数，则当1=Q 时K 关于L 的弹性为______． 【答案】αβ-【考点】导数的经济意义 【难易度】★★【详解】解析：当1Q =时,有1,K A L αββ=于是K 关于L 的弹性为111'().()A L K L LL K L A Lαββαββααβζβ----==⋅=-（2）某公司每年的工资总额在比上一年增加%20的基础上再追加2百万元．若以t W 表示第t 年的工资总额（单位：百万元），则t W 满足的差分方程是______． 【答案】11.22t W -+ 【考点】差分方程 【难易度】★【详解】解析：11(10.2)2 1.22t t t W W W --=++=+.（3）设矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=k k k kA 111111111111，且秩,3)(=A 则=k ______． 【答案】3-【考点】矩阵的秩、行列式的计算 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：若A 为n 阶方阵，且n A r <)(,则0=A ，反之也成立。
解析：方法1：由题设()3r A =,知必有3111+31111113112,3,41111311111311111111111110100(3)(3)111001011101=(3)(1)0,k k k k k A k k k k k kkk k k kk kk k k +=++-=+⨯+--+-=第列加到第列第1行（-1）加到第2,3,4行解得 1k =或3k =-.显然1k =时()1r A =,不符合题意,因此一定有3k =-.方法2：初等变换.不改变矩阵的秩，对A 作初等变换有1111113111111110001001111010001011110010001kkk k k k k A k kk k k k k k +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦故知3k =-时，()3r A =.（4）设随机变量X 和Y 的数学期望分别为2-和2，方差分别为1和4，而相关系数为5.0-，则根据切比雪夫不等式≤≥+}6{Y X P ______．【答案】112【考点】切比雪夫不等式 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点： 切比雪夫不等式：2}{εεDXEX X P ≤≥-或21}{εεDXEX X P -≥≤-解析：令Z X Y =+, 则()()()()220,E Z E X Y E X E Y =+=+=-+=()()()()2(,)D Z D X Y D X D Y Cov X Y =+=++()()2D X D Y ρ=++142(0.5)3,=++⋅-=于是有{}{}2()16()6.612D Z P X Y P ZE Z +≥=-≥≤= （5）设总体X 服从正态分布)2,0(2N ，而1521,,,X X X Λ是来自总体X 的简单随机样本，则随机变量)(221521121021X X X X Y ++++=ΛΛ 服从______分布，参数为______． 【答案】(10,5)F 【考点】F 分布 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：①2χ分布：若随机变量),,2,1(n i X i Λ=均服从标准正态分布，且相互独立，则)(~222221n X X X n χ+++Λ；②F 分布：若)(~),(~22n Y m X χχ且X 与Y 相互独立，则),(~)()(22n m F nn m m χχ； 解析：因为2(0,2)1,2,,15.i X N i =:L 于是(0,1),2i X N -:从而有 2222221015111(10),(5),2222X X X X χχ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L :L : 而且由样本的独立性可知，222101(10)22X X χ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L :与2221511(5)22X X χ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L :相互独立.故()2210122110222211151511/1022(10,5).2/522X X X X Y F X X X X ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++⎢⎥⎣⎦==⎡⎤++⎛⎫⎛⎫++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L L :L L 故Y 服从第一个自由度为10，第二个自由度为5的F 分布.二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．）（1）设)(x f 的导数在a x =处连续，又1)(lim -=-'→ax x f ax ，则（ ） （A ）a x =是)(x f 的极小值点． （B ）a x =是)(x f 的极大值点． （C ）))(,(a f a 是曲线)(x f y =的拐点．（D ）a x =不是)(x f 的极值点，))(,(a f a 也不是曲线)(x f y =的拐点． 【答案】B【考点】函数的极值、导数的概念 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：若0)(0='x f ，则))(,(00x f x 可能是极值点；又若0)(0<''x f ，为极大值点；0)(0>''x f ，为极限值点。
2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(1) 设生产函数为Q AL K αβ=, 其中Q 是产出量, L 是劳动投入量, K 是资本投入量,而A , α, β均为大于零的参数,则当Q =1时K 关于L 的弹性为(2) 某公司每年的工资总额比上一年增加20％的基础上再追加2 百万.若以t W 表示第t 年的 工资总额(单位：百万元)，则t W 满足的差分方程是___(3) 设矩阵111111,111111k k A k k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦且秩(A )=3,则k = (4) 设随机变量X ,Y 的数学期望都是2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5.则根据切比雪夫不 等式{}-6P X Y ≥≤ .(5) 设总体X 服从正态分布2(0,0.2),N 而1215,,X X X 是来自总体X 的简单随机样本，则随机变量()221102211152X X Y X X ++=++服从___分布，参数为_______二、选择题(1) 设函数f (x )的导数在x =a 处连续,又'()lim1,x af x x a→=--则( ) (A) x = a 是f (x )的极小值点. (B) x = a 是f (x )的极大值点. (C) (a , f (a ))是曲线y = f (x )的拐点.(D) x =a 不是f (x )的极值点, (a , f (a ))也不是曲线y =f (x )的拐点.(2) 设函数0()(),xg x f u du =⎰其中21(1),012(),1(1),123x x f x x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩则g (x )在区间(0,2) 内( ) (A)无界 (B)递减 (C) 不连续 (D) 连续(3) 设1112131414131211212223242423222113132333434333231414243444443424100010100,,,00101000a a a a a a a a a a a a a a a a A B P a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦210000010,01000001P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中A 可逆,则1B -等于( ) (A)112A P P - (B)112P A P - (C)112P P A - (D)121P A P -.(4) 设A 是n 阶矩阵，α是n 维列向量.若秩0TA αα⎛⎫=⎪⎝⎭秩(A)，则线性方程组( )(A)AX =α必有无穷多解 ()B AX =α 必有惟一解.()C 00TA X y αα⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭仅有零解 ()D 00T AX y αα⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭必有非零解.(5) 将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数,则X 和Y 的相关系数等于( )(A) -1 (B) 0 (C)12(D) 1三 、(本题满分5 分)设u = f (x ,y ,z )有连续的一阶偏导数,又函数y =y (x )及z =z (x )分别由下列两式确定:2xy e xy -=和0sin ,x zx t e dt t -=⎰求dudx四 、(本题满分6 分)已知f (x )在(−∞,+∞)内可导,且lim '(),x f x e →∞=lim()lim[()(1)],xx x x c f x f x x c→∞→∞+=--- 求c 的值.五 、(本题满分6 分)求二重积分221()2[1]x y Dy xedxdy ++⎰⎰的值,其中D 是由直线y =x , y = −1及x =1围成的平面区域六、(本题满分7 分)已知抛物线2y px qx =+(其中p <0,q >0)在第一象限与直线x +y =5相切，且此抛物线与x 轴所围成的平面图形的面积为S.(1) 问p 和q 为何值时，S 达到最大? (2)求出此最大值.七、(本题满分6 分)设f (x )在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足1130(1)(),(1).x f k xe f x dx k -=>⎰证明：存在ξ∈(0,1), 使得1'() 2(1)().f f ξξξ-=-八、(本题满分7 分)已知()n f x 满足'1()()n xn n f x f x x e -=+(n 为正整数)且(1),n ef n=求函数项级数 1()ni fx ∞=∑之和.九、(本题满分9 分)设矩阵11111,1.112a A a a β⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦已知线性方程组AX =β有解但不唯一,试求: (1) a 的值;(2) 正交矩阵Q,使TQ AQ 为对角矩阵.十、(本题满分8 分)设A 为n 阶实对称矩阵，秩(A)=n ，ij A 是()ijn nA a ⨯=中元素ij a 的代数余子式(i ,j=1,2,…,n )，二次型1211(,,).n nij n i j i j A f x x x x x A===∑∑(1) 记12(,,),n A x x x =把1211(,,).nnij n i j i j A f x x x x x A===∑∑写成矩阵形式，并证明二次型()f X 的矩阵为1A -;(2) 二次型()Tg X X AX =与()f X 的规范形是否相同？说明理由.十一、(本题满分8 分)生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的,假设每箱平均重50 千克,标准差为5千克.若用最大载重量为5 吨的汽车承运,试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱,才能保障不超载的概率大于0.977. (Φ(2)=0.977,其中Φ(x ) 是标准正态分布函数).十二、(本题满分8 分)设随机变量X 和Y 对联和分布是正方形G ={(x ,y )|1≤x ≤3,1≤y ≤3}上的均匀分布，试求随机变量U ={X −Y } 的概率密度().p u2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题 (1)【答案】αβ-【使用概念】设()y f x =在x 处可导，且()0f x ≠，则函数y 关于x 的弹性在x 处的值为()()Ey x x y f x Ex y f x ''== 【详解】由Q AL K αβ=，当1Q =时，即1AL K αβ=，有1,K AL αββ--=于是K 关于L 的弹性为：EK EL LK K'=11d A L L dLA Lαββαββ----⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=111A L L A Lαββαββααββ------=⋅=-(2)【答案】 11.22t W -+【详解】t W 表示第t 年的工资总额，则1t W -表示第1t -年的工资总额，再根据每年的工资总额比上一年增加20％的基础上再追加2百万，所以由差分的定义可得t W 满足的差分方程是：11(120)2 1.22t t t W W W --=+%+=+(3)【答案】-3【详解】方法1：由初等变换(既可作初等行变换，也可作初等列变换).不改变矩阵的秩，故对A 进行初等变换111111111111k k A k k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦11111001(1)2,3,410101001kk k k k k k ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⨯-⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦行分别加到行311101002,3,400100001k k k k +⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦列分别加到1列 可见只有当k =−3时，r (A )=3.故k =−3.方法2：由题设r (A )=3，故应有四阶矩阵行列式0A =.由111111111111k kA kk=11111001(1)2,3,41010101k k k k k kk --⨯-----行分别加到行311101002,3,4001001k k k k +---列分别加到1列3(3)(1)0,k k =+-=解得 k =1或k = −3. 当k =1时，1111111*********A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦111100001(1)23400000000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⨯-⎢⎥⎢⎥⎣⎦行分别加到，，行 可知，此时r (A )=1，不符合题意，因此一定有k =−3. (4)【答案】112【所用概念性质】切比雪夫不等式为：{}2()()D X P X E X εε-≥≤期望和方差的性质：()E X Y EX EY +=+；()2cov(,)D X Y DX X Y DY +=++ 【详解】 把X Y +看成是一个新的随机变量，则需要求出其期望和方差. 故 ()220E X Y EX EY +=+=-+=又相关系数的定义：(,)X Y ρ=则cov(,)(,(0.5)1X Y X Y ρ==-=-()2cov(,)12(1)43D X Y DX X Y DY +=++=+⨯-+=所以由切比雪夫不等式：{}{}2()316()663612D X Y P X Y P X YE X Y ++≥=+-+≥≤==(5)【答案】F ；(10,5)【所用概念】1. F 分布的定义：12Xn F Yn =其中21~()X n χ 22~()Y n χ2. 2χ分布的定义：若1,,n Z Z 相互独立，且都服从标准正态分布(0,1)N ，则221~()ni i Z n χ=∑3. 正态分布标准化的定义：若2~(,)Z N u σ，则~(0,1)Z uN σ- 【详解】因为2(0,2)1,2,,15i X N i =，将其标准化有0(0,1)22i iX X N -=，从而根据卡方分布的定义2222221015111(10),(5),2222X X X X χχ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由样本的独立性可知，2210122X X ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与22151122X X ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭相互独立. 故，根据F 分布的定义()22101221102222111515112210(10,5).2225X X X X Y F X X X X ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦++==⎡⎤++⎛⎫⎛⎫++⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦故Y 服从第一个自由度为10，第二个自由度为5的F 分布.二、选择题(1)【答案】 [ B] 【详解】 方法1：由'()lim1,x af x x a→=--知 lim '()x af x →()'()limx af x x a x a →=⋅--()'()lim lim x a x af x x a x a →→=⋅--10=-⋅0=又函数()f x 的导数在x a =处连续，根据函数在某点连续的定义，左极限等于右极限等于函数在这一点的值，所以()0f a '=，于是有'()'()'()"()limlim 1,x ax a f x f a f x f a x ax a →→-===--- 即()0f a '=，()10f a ''=-<，根据判定极值的第二充分条件：设函数()f x 在0x 处具有二阶导数且0()0f x '=，0()0f x ''≠，当0()0f x ''<时，函数()f x 在0x 处取得极大值. 知x a =是()f x 的极大值点，因此，正确选项为(B). 方法2：由'()lim1,x af x x a→=--及极限保号性定理：如果()0lim x x f x A →=，且0A >(或0A <)，那么存在常数0δ>，使得当00x x δ<-<时，有()0f x >(或()0f x <)，知存在x a =的去心邻域，在此去心邻域内'()0f x x a<-.于是推知，在此去心邻域内当x a <时()0f x '>；当x a >时()0.f x '<又由条件知()f x 在x a =处连续，由判定极值的第一充分条件：设函数()f x 在0x 处连续，且在0x 的某去心δ领域内可导，若()00,x x x δ∈- 时，()0f x '>，而()00,x x x δ∈ +时，()0f x '<，则()f x 在0x 处取得极大值，知()f a 为()f x 的极大值. 因此，选 (B).(2)【答案】(D)【详解】应先写出g (x )的表达式.当01x ≤<时， 21()(1)2f x x =+，有 ()g x ()0x f u du =⎰201(1)2x u du =+⎰3001162x x u u =+311,62x x =+当12x ≤≤时， 1()(1)3f x x =-，有0()()x g x f u du =⎰101()()x f u du f u du =+⎰⎰120111(1)(1)23x u du u du =++-⎰⎰1132010111116263x x u u u u =++-()221136x =+- 即 ()3211,0162()211,1236x x x g x x x ⎧+≤<⎪⎪=⎨⎪+-≤≤⎪⎩因为 311112lim ()lim 623x x g x x x --→→⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，()211212lim ()lim 1363x x g x x ++→→⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，且 ()2212(1)11363g =+-=， 所以由函数连续的定义，知()g x 在点1x =处连续，所以()g x 在区间[0,2]内连续，选(D).同样，可以验证(A)、(B)不正确，01x <<时，321111()06222g x x x x '⎛⎫'=+=+> ⎪⎝⎭，单调增，所以(B)递减错；同理可以验证当12x <<时，()()2211()110363g x x x '⎛⎫'=+-=-> ⎪⎝⎭，单调增，所以()()()02g g x g ≤≤，即()506g x ≤≤与选项(A)无界矛盾.(3)【答案】 (C)【详解】由所给矩阵,A B 观察，将A 的2,3列互换，再将A 的1,4列互换，可得B . 根据初等矩阵变换的性质，知将A 的2,3列互换相当于在矩阵A 的右侧乘以23E ，将A 的1,4列互换相当于在矩阵A 的右侧乘以14E ，即2314AE E B =，其中2310000010********E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，140001010000101000E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦由题设条件知114223,P E P E ==，因此21B AP P =.由于对初等矩阵ij E 有，1ij ij E E -=，故111122,P P P P --==.因此，由21B AP P =，及逆矩阵的运算规律，有()111111211212B AP P P P A PP A ------===.(4)【答案】 ()D【详解】由题设，A 是n 阶矩阵，α是n 维列向量，即Tα是一维行向量，可知0TA αα⎛⎫⎪⎝⎭是1n +阶矩阵. 显然有秩0TAαα⎛⎫= ⎪⎝⎭秩()A 1,n n ≤≤+ 即系数矩阵0T Aαα⎛⎫⎪⎝⎭非列满秩，由齐次线性方程组有非零解的充要条件：系数矩阵非列或行满秩，可知齐次线性方程组00T A X y αα⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭必有非零解.(5) 【答案】A【详解】 掷硬币结果不是正面向上就是反面向上，所以X Y n +=，从而Y n X =-， 故 ()DY D n X DX =-=由方差的定义：22()DX EX EX =-， 所以[]22()()()DY D n X E n X E n X =-=---222(2)()E n nX X n EX =-+--222222()n nEX EX n nEX EX =-+-+-22()EX EX DX =-=)由协方差的性质：cov(,)0X c = (c 为常数)；cov(,)cov(,)aX bY ab X Y =1212cov(,)cov(,)cov(,)X X Y X Y X Y +=+)所以 cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)0X Y X n X X n X X DX DX =-=-=-=- 由相关系数的定义，得 (,)1X Yρ===-三【变限积分求导公式】()[()][()]()f x x ag t dt g f x f x ''=⎰【详解】 根据复合函数求导公式，有.du f f dy f dz dx x y dx z dx∂∂∂=++∂∂∂ (*) 在2xye xy -=两边分别对x 求导，得()()0,xy dy dye y xy x dx dx+-+= 即.dy y dx x =- 在0sin x z xt e dt t-=⎰两边分别对x 求导，得 sin()(1),xx z dze x z dx-=⋅-- 即()1.sin()x dz e x z dx x z -=-- 将其代入(*)式，得du dx f f dy f dz x y dx z dx ∂∂∂=++∂∂∂()1.sin()x f y f e x z f x x y x z z⎛⎫∂∂-∂=-+- ⎪∂∂-∂⎝⎭四 【详解】因为1lim(1)xx e x→∞+=lim()x x x c x c →∞+-2lim()xx x c c x c→∞-+=- (把x c +写成2x c c -+)222lim()x c cx c x cx x c c x c-⋅-→∞-+=- (把x 写成22x c cx c x c -⋅-) 222lim (1)cx x cx ccx c x c --→∞⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦(利用幂函数的性质()mnm n aa =)222ln (1)lim cxx c x cc c x c x e--⎡⎤⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦→∞= (利用对数性质ln ()()f x ef x =)222ln (1)lim x c c cx c x c x c x e-⎡⎤⎢⎥+--⎢⎥⎣⎦→∞= (利用对数性质()ln ()()ln ()g x f x g x f x =)222limln (1)x cc x cx c x c x c e-→∞⎡⎤⎢⎥+--⎢⎥⎣⎦= (利用x y e =函数的连续性，lim ()()lim x f x f x x ee →∞→∞=)222lim lim ln (1)x c c x x cx c x c x c e-→∞→∞⎡⎤⎢⎥⋅+--⎢⎥⎣⎦=(当各部分极限均存在时，lim ()()lim ()lim ()x x x f x g x f x g x →∞→∞→∞⋅=⋅)222lim ln lim (1)x c c x x cx c x c x c e -→∞→∞⎡⎤⎢⎥⋅+--⎢⎥⎣⎦= (利用ln y x =函数的连续性，lim[ln ()]ln[lim ()]x x f x f x →∞→∞=)2ln c e e ⋅= (利用1lim(1)x x e x→∞+=)2c e = (ln 1e =)又因为()f x 在(),-∞+∞内可导，故在闭区间[1,]x x -上连续，在开区间(1,)x x -内可导，那么又由拉格朗日中值定理，有()(1)()[(1)](),1f x f x f x x f x x ξξξ''--=--=-<<左右两边同时求极限，于是lim[()(1)]lim '()x x f x f x f e ξ→∞→∞--==，因为1x x ξ-<<，x 趋于无穷大时，ξ也趋向于无穷大由题意，lim()lim[()(1)],x x x x c f x f x x c →∞→∞+=--- 从而2c e e =，故12c =五 【详解】 积分区域如图所示，可以写成11,1y y x -≤≤≤≤222211()()22[1],x y x y DDDy xedxdy ydxdy xyedxdy +++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中，111112(1);3y Dydxdy dy ydx y y dy --==-=-⎰⎰⎰⎰⎰ 221()2x y Dxyedxdy +⎰⎰22111()21x y yydy xedx +-=⎰⎰22111()2211()2x y yydy ed x +-=⎰⎰ 22111()22211[()]2x y yydy ed x y +-=+⎰⎰2211(1)21()y ye e dy +-=-⎰ 2211(1)2211()2y y e e dy +-=-⎰22111(1)222111122y y e dy e dy +--=-⎰⎰ 22111(1)2221111[(1)]22y y ed ye dy +--=+-⎰⎰22111(1)21112y y e e +--=-0=于是221()22[1]3x y Dy xedxdy ++=-⎰⎰六【详解】方法1：依题意知，抛物线如图所示，令2()0y px qx x px q =+=+=，求得它与x 轴交点的横坐标为：120,.q x x p==- 根据定积分的定义，面积S 为()3232203260q pq p q q p S px qx dx x x p --⎛⎫=+=+=⎪⎝⎭⎰(注：111n n x dx x C n +=++⎰) 因直线5x y +=与抛物线2y px qx =+相切，故它们有唯一公共点. 由方程组25x y y px qx +=⎧⎨=+⎩求其公共解，消去y ，得2(1)50px q x ++-=，因为其公共解唯一，则该一元二次方程只有唯一解，故其判别式必为零，即22(1)4(5)(1)200,q p q p ∆=+-⨯⨯-=++=解得 21(1).20p q =-+ 将p 代入S 中，得()S q 326q p =32216[(1)]20q q =-+34200.3(1)q q =+ 根据函数除法的求导公式，()S q '344342(200)[3(1)][3(1)](200)[3(1)]q q q q q ''⨯+-+⨯=+25200(3)3(1)q q q -=+ 根据驻点的定义，令()0S q '=，已知有0q >，得唯一驻点3q =.当13q <<时，()0S q '>；3q >时，()0S q '<. 故根据极值判定的第一充分条件知，3q =时，()S q 取唯一极大值，即最大值.从而最大值为225(3).32S S ==方法2：设抛物线2y px qx =+与直线5x y +=相切的切点坐标为00(,)x y ，切点既在抛物线上，也在直线上，于是满足方程有2000y px qx =+和005x y +=.抛物线与直线在切点处的切线斜率是相等的，即一阶导数值相等. 在2y px qx =+左右两边关于x 求导，得2y px q '=+，在5x y +=左右两边关于x 求导，得1y '=-，把切点坐标00(,)x y 代入，得021x x y px q ='=+=-⇒012q x p+=-由005x y +=⇒005y x =-，将两结果代入2000y px qx =+得22000011155()()()222q q q y x px qx p q p p p+++=-=--=+=-+- 整理得21(1).20p q =-+ 将p 代入S 中，得34200().3(1)q S q q =+根据函数除法的求导公式，()S q '344342(200)[3(1)][3(1)](200)[3(1)]q q q q q ''⨯+-+⨯=+25200(3)3(1)q q q -=+ 根据驻点(即使得一阶导数为零的点)的定义，令()0S q '=，已知有0q >，得唯一驻点3q =.当13q <<时，()0;S q '>3q >时，()0;S q '<故根据极值判定的第一充分条件知，3q =时， ()S q 取唯一极大值，即最大值.从而最大值为225(3).32S S ==七【详解】将要证的等式中的ξ换成x ，移项，并命1()()()x x f x f x xϕ-'=-问题转化为证在区间(0,1)内()x ϕ存在零点. 将1()()0x f x f x x-'-= 看成一个微分方程，用分离变量法求解. 由()1()df x x dx f x x-= 两边积分得()11(1)()df x x dx dx f x x x -==-⎰⎰⎰利用1ln dx x C x =+⎰及111nn x dx x C n +=++⎰，得 1ln ()ln f x x x C =-+⇒ln ()ln xCe f x x=⇒()x Ce f x x =， 即 ()xxef x C -=，命()()x F x xe f x -=. 由110(1)(),(1)x k f k xe f x dx k -=>⎰及积分中值定理(如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则在积分区间[,]a b 上至少存在一个点ξ，使得()()()()baf x dx f b a a b ξξ=-≤≤⎰)，知至少存在一点1(0,)[0,1]kη∈⊂，使1110(1)()()x k f k xe f x dx e f ηηη--==⎰且()()F ef ηηηη-=，1(1)(1)F e f -=. 把1(1)()f e f ηηη-=代入，则111(1)(1)()()()F e f e e f e f F ηηηηηηη----====那么()F x 在[,1]η上连续，在(,1)η内可导，由罗尔中值定理知，至少存在一点(,1)[0,1]ξη∈⊂，使得()()()0F e f e f ξξξξξξ--''=+=即 1() (1)().f f ξξξ-'=-八【详解】由已知条件可见1()()n x n n f x f x x e -'-=，这是以()n f x 为未知函数的一阶线性非齐次微分方程，其中1()1,()n xp x q x xe -=-=，代入通解公式()()()(())p x dx p x dxf x e q x e dx C -⎰⎰=+⎰得其通解为1(),ndxdx n x xn x f x e x e e dx C e C n --⎛⎫⎛⎫⎰⎰=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰由条件(1),n e f n =又1(1)n f e C n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得0C =， 故(),n x n x e f x n =111()n x n xn n n n x e x f x e n n∞∞∞=====∑∑∑记1(),nn x S x n ∞==∑则1na n =，111lim lim 11n n n na n a nρ+→∞→∞+===，则其收敛半径为11R ρ==，收敛区间为(1,1)-. 当(1,1)x ∈-时，根据幂级数的性质，可以逐项求导，11111()1n n n n n n x x S x x n n x ∞∞∞-===''⎛⎫⎛⎫'====⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑∑∑，其中2111n x x x x =+++++-故根据函数积分和求导的关系()()f x dx f x C '=+⎰，得00()()()(0)xxS x dx S x S x S '==-⎰又由于21000(0)012n n S n ∞===++=∑，所以01()(0)()0ln(1)1xxS x S S x dx dx x x'=+=+=---⎰⎰， 即有 1ln(1),(1,1)nn x x x n∞==--∈-∑ 当1x =-时， 1(1)ln 2nn n ∞=-=-∑. 级数在此点处收敛，而右边函数连续，因此成立的范围可扩大到1x =-处，即1ln(1),[1,1)nn x x x n∞==--∈-∑ 于是 1()ln(1),[1,1)x n n f x e x x ∞==--∈-∑九【详解】(1) 线性方程组AX β=有解但不唯一，即有无穷多解()()3r A r A n ⇔=<=，将增广矩阵作初等行变换，得111111112a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦21112131()01100112a a a a a aa ⎡⎤⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥----⎣⎦行行，行行倍 11123011000(1)(2)2a a a a a a ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--+-+⎣⎦行加到行（）因为方程组AX β=有解但不唯一，所以()()3r A r A =<，故a =−2.(2) 由(1)，有112121211A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦由112121211E A λλλλ---=-+---122,312111λλλλλ-+---列加到列 1121121111λλλ-+---提出列公因子1121(1)2,303303λλλ-⨯-+--行分别加到行(3)(3)0λλλ=+-=故A 的特征值为1230,3,3λλλ==-=.当10λ=时，112(0)121211E A --⎡⎤⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦1121(1),20332,3033--⎡⎤-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦行的倍分别加到行1122033000--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦行加到3行于是得方程组(0)0E A x -=的同解方程组为1232320330x x x x x +-=⎧⎨-=⎩ 可见，(0)2r E A -=，可知基础解系的个数为(0)321n r E A --=-=，故有1个自由未知量，选2x 为自由未知量，取21x =，解得对应的特征向量为1(1,1,1)Tξ=.当13λ=时，()2123151212E A -⎛⎫ ⎪-=-- ⎪ ⎪-⎝⎭1511,2212212--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦行互换 151212000--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦3行-2行151********--⎡⎤⎢⎥⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦1行加到行 于是得方程组(3)0E A x -=的同解方程组为12325090x x x x -+-=⎧⎨=⎩ 可见，(3)2r E A -=，可知基础解系的个数为(3)321n r E A --=-=，故有1个自由未知量，选1x 为自由未知量，取11x =，解得对应的特征向量为2(1,0,1)Tξ=-.当13λ=-时，()4123111214E A --⎛⎫ ⎪--=--- ⎪ ⎪--⎝⎭11112412214---⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭，行互换 1111(4),2036036---⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭行倍倍分别加到2,3行1112036000---⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭行加到3行 于是得方程组(3)0E A x --=的同解方程组为123230360x x x x x ---=⎧⎨+=⎩ 可见，(3)2r E A --=，可知基础解系的个数为(3)321n r E A ---=-=，故有1个自由未知量，选2x 为自由未知量，取22x =，解得对应的特征向量为3(1,2,1)Tξ=--.由于A 是实对称矩阵，其不同特征值的特征向量相互正交，故这三个不同特征值的特征向量相互正交，之需将123,,ξξξ单位化，3121231231111,0,2.111ξξξβββξξξ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎥⎢⎥======-⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥-⎣⎦⎦⎣⎦其中，123ξξξ======令[]123,,0Q βββ==则有 1300030.000T Q AQ Q AQ -⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦十【详解】(1)由题设条件，1211(,,)||n nijn i j i j A f x x x x x A ===∑∑111111n nn nij i j iijji j i j A x x x A xA A ======∑∑∑∑112211()nii i in n i x A x Ax A x A==+++∑121211(,,,)nii i in i n x x x A AA Ax =⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭∑121211(,,,)n i i i in i n x x x A A A A x =⎛⎫ ⎪⎡⎤ ⎪=⎢⎥⎪⎣⎦ ⎪⎝⎭∑ []12111121221222121(,,,)(,,,)(,,,)n n n n n nn n x x x A A A x A A A x A A A Ax ⎛⎫ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭11121121222212121(,,,)n n n n n nn n A A A x A A A x x x x AA A A x ⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥=⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭1212(,,,)T n n x x A x x x Ax *⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭TT A X X A *= 1()T X A X -*其中()*的理由：A 是可逆的实对称矩阵，故111()()TT A A A ---==，因此由实对称的定义知，1A -也是实对称矩阵，又由伴随矩阵的性质A A A E *=，知1A A A *-=，因此A *也是实对称矩阵，TAA **=，故()*成立.(2) 因为()()1111TTAAA AE A ----==，所以由合同的定义知A 与1A -合同.由实对称矩阵A B 与合同的充要条件：二次型Tx Ax 与Tx Bx 有相同的正、负惯性指数. 可知，()Tg X X AX =与()f X 有相同的正、负惯性指数，故它们有相同的规范形.十一【应用定理】(i) 期望的性质：()E X Y EX EY +=+；独立随机变量方差的性质：若随机变量X Y 和独立，则()D X Y DX DY +=+(ii)列维-林德伯格中心极限定理：设随机变量12,,,,n X X X 相互独立同分布，方差存在，记22(0)u σσ<<+∞与分别是它们共同的期望与方差，则对任意实数x ，恒有1lim )()ni n i P X nu x x →∞=⎫-≤=Φ⎬⎭∑ (通俗的说：独立同分布的随机变量，其期望方差存在，则只要随机变量足够的多，这些随机变量的和以正态分布为极限分布)(iii) 正态分布标准化：若2~(,)Z N u σ，则~(0,1)Z uN σ-【详解】设(1,2,)i X i n =是装运的第i 箱的重量(单位:千克)， n 是所求箱数. 由题设可以将1,,i n X X X 视为独立同分布的随机变量，而n 箱的总重量12n n S X X X =+++是独立同分布随机变量之和.由题设，有()5i E X ==(单位:千克) 所以 1212()()50n n n E S E X X X EX EX EX n =+++=+++= 1212()()25n n n D S D X X X DX DX DX n =+++=+++=则根据列维—林德柏格中心极限定理，知n S 近似服从正态分布(50,25)N n n ，箱数n 根据下述条件确定{}5000n P S P ≤=≤ (将n S 标准化)0.977(2)≈Φ>=Φ由此得2,> 从而98.0199n <， 即最多可以装98箱.十二【详解】由题设条件X 和Y 是正方形{}(,):13,13G x y x y =≤≤≤≤上的均匀分布，则X 和Y 的联合密度为：1,13,13,(,)40,x y f x y ⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 (二维均匀分布的概率密度为1面积) 由分布函数的定义：{}{}()F u P U u P X Y u =≤=-≤(1)当0u <时，()0F u =(因为X Y -是非负的，所以小于0是不可能事件)(2)当2u ≥时，()1F u =(因为X 和Y 最大为3，X 和Y 最小为1，所以X Y -最大也就只能为2，所以2X Y -≤是必然事件，概率为1)(3)当02u ≤<时，{}()F u P U u =≤相当于 阴影部分所占的概率大小. 如图所示：{}{}()F u P U u P X Y u =≤=-≤214(2)4S u S ⎡⎤==--⎣⎦阴影面积总面积 211(2)4u =--(二维均匀分布中各部分所占的概率，相当于用这部分的面积除以总面积，这里阴影部分面积是用总面积减去两个三角形的面积)于是随机变量U 的概率密度为：1(2),02,()'()20, u u p u F u ⎧-<<⎪==⎨⎪⎩其他。
国防科技大学研究生院2001年硕士生入学考试试题考试科目：操作系统考生注意：1．答案必须写在我校统一配发的专用答题纸上2．统考生做 一、二、三、四、五；3．单独考生做一、二、三、六、七；一．（58分）回答如下问题1．（6分）假定有一个支持实时、分时和批处理的操作系统，对该系统应如何设计进程调度策略？2．（5分）什么叫线程？为什么要引进线程？3．（6分）某计算机系统设计成只有一级中断(该级中有多个中断)的中断系统，简述当中断发生时，是如何进入该中断处理程序的？4．（5分）在文件系统中为什么要引进“Open”系统调用？操作系统是如何处理的？5．(5分)假定存储器空闲块有如下结构：请你构造一串内存请求序列，对该请求序列首次满足分配算法能满足，而最佳满足分配法则不能。
6．(6分)为什么要在设备管理中引入缓冲技术？操作系统如何实现缓冲技术？7．(6分)用什么办法可以破坏死锁的循环等待条件？为什么？8．(6分)进程的状态主要有哪些？当发生状态转换时，操作系统完成哪些工作？9．(6分)在文件系统中，为什么要设立“当前目录”？操作系统如何实现改变“当前目录”？10．(7分)举例说明P、V操作为什么要用原语实现？操作系统如何实现这种原语操作？ 二．(12分)设有四个进程P1，P2，P3，P4，它们到达就绪队列的时刻，运行时间及优先级如下表所示：运行时间(基本时间单位)优先级进程 到达就绪队列时间(基本时间单位)P1 0 9 1P2 1 4 2P3 2 8 3P4 3 10 4问：(1)若采用可剥夺的优先级调度算法，给出各进程的调度次序以及每个进程的等待时间。
(2)若采用时间片轮转调度算法，且时间片为2个基本时间单位，试给出各进程的调度次序及平均周围时间。
三．(8分)假设系统由相同类型的m个资源组成，有 n 个进程，每个进程至少请求一个资源。
证明：当n个进程最多需要的资源数之和小于m+n时，该系统无死锁。
四．(12分)在页式虚存系统中，一程序的页面走向(访问串)为 1，2，3，4，1，2，5，1，2，3，4，5 ，设分配给该程序的驻留集为m，试分别计算m=3和m=4时，FIFO和LRU两种算法的页故障次数。
2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(1) 设生产函数为Q AL K αβ=, 其中Q 是产出量, L 是劳动投入量, K 是资本投入量,而A , α, β均为大于零的参数,则当Q =1时K 关于L 的弹性为(2) 某公司每年的工资总额比上一年增加20％的基础上再追加2 百万.若以t W 表示第t 年的 工资总额(单位：百万元)，则t W 满足的差分方程是___(3) 设矩阵111111,111111k k A k k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦且秩(A )=3,则k = (4) 设随机变量X ,Y 的数学期望都是2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5.则根据切比雪夫不 等式{}-6P X Y ≥≤ .(5) 设总体X 服从正态分布2(0,0.2),N 而1215,,X X X 是来自总体X 的简单随机样本，则随机变量()221102211152X X Y X X ++=++服从___分布，参数为_______二、选择题(1) 设函数f (x )的导数在x =a 处连续,又'()lim1,x af x x a→=--则( ) (A) x = a 是f (x )的极小值点. (B) x = a 是f (x )的极大值点. (C) (a , f (a ))是曲线y = f (x )的拐点.(D) x =a 不是f (x )的极值点, (a , f (a ))也不是曲线y =f (x )的拐点.(2) 设函数0()(),xg x f u du =⎰其中21(1),012(),1(1),123x x f x x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩则g (x )在区间(0,2) 内( ) (A)无界 (B)递减 (C) 不连续 (D) 连续(3) 设1112131414131211212223242423222113132333434333231414243444443424100010100,,,00101000a a a a a a a a a a a a a a a a A B P a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦210000010,01000001P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中A 可逆,则1B -等于( ) (A)112A PP - (B)112P A P - (C)112PP A - (D)121P A P -.(4) 设A 是n 阶矩阵，α是n 维列向量.若秩0TA αα⎛⎫=⎪⎝⎭秩(A)，则线性方程组( )(A)AX =α必有无穷多解 ()B AX =α 必有惟一解.()C 00TA X y αα⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭仅有零解 ()D 00T AX y αα⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭必有非零解.(5) 将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数,则X 和Y 的相关系数等于( )(A) -1 (B) 0 (C)12(D) 1三 、(本题满分5 分)设u = f (x ,y ,z )有连续的一阶偏导数,又函数y =y (x )及z =z (x )分别由下列两式确定:2xy e xy -=和0sin ,x zxt e dt t -=⎰求dudx四 、(本题满分6 分)已知f (x )在(−∞,+∞)内可导,且lim '(),x f x e →∞=lim()lim[()(1)],xx x x c f x f x x c→∞→∞+=--- 求c 的值.五 、(本题满分6 分)求二重积分221()2[1]x y Dy xedxdy ++⎰⎰的值,其中D 是由直线y =x , y = −1及x =1围成的平面区域六、(本题满分7 分)已知抛物线2y px qx =+(其中p <0,q >0)在第一象限与直线x +y =5相切，且此抛物线与x 轴所围成的平面图形的面积为S.(1) 问p 和q 为何值时，S 达到最大? (2)求出此最大值.七、(本题满分6 分)设f (x )在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足1130(1)(),(1).x f k xe f x dx k -=>⎰证明：存在ξ∈(0,1), 使得1'() 2(1)().f f ξξξ-=-八、(本题满分7 分)已知()n f x 满足'1()()n x n n f x f x x e -=+(n 为正整数)且(1),n ef n=求函数项级数 1()ni fx ∞=∑之和.九、(本题满分9 分)设矩阵11111,1.112a A a a β⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦已知线性方程组AX =β有解但不唯一,试求: (1) a 的值;(2) 正交矩阵Q,使T Q AQ 为对角矩阵.十、(本题满分8 分)设A 为n 阶实对称矩阵，秩(A)=n ，ij A 是()ijn nA a ⨯=中元素ij a 的代数余子式(i ,j=1,2,…,n )，二次型1211(,,).n nij n i j i j A f x x x x x A===∑∑(1) 记12(,,),n A x x x =把1211(,,).nnij n i j i j A f x x x x x A===∑∑写成矩阵形式，并证明二次型()f X 的矩阵为1A -;(2) 二次型()Tg X X AX =与()f X 的规范形是否相同？说明理由.十一、(本题满分8 分)生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的,假设每箱平均重50 千克,标准差为5千克.若用最大载重量为5 吨的汽车承运,试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱,才能保障不超载的概率大于0.977. (Φ(2)=0.977,其中Φ(x ) 是标准正态分布函数).十二、(本题满分8 分)设随机变量X 和Y 对联和分布是正方形G ={(x ,y )|1≤x ≤3,1≤y ≤3}上的均匀分布，试求随机变量U ={X −Y } 的概率密度().p u2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题 (1)【答案】αβ-【使用概念】设()y f x =在x 处可导，且()0f x ≠，则函数y 关于x 的弹性在x 处的值为()()Ey x x y f x Ex y f x ''== 【详解】由Q AL K αβ=，当1Q =时，即1AL K αβ=，有1,K A Lαββ--=于是K 关于L 的弹性为：EK EL LK K'=11d A L L dLA Lαββββ----⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=111A L L A Lαββαββααββ------=⋅=-(2)【答案】 11.22t W -+【详解】t W 表示第t 年的工资总额，则1t W -表示第1t -年的工资总额，再根据每年的工资总额比上一年增加20％的基础上再追加2百万，所以由差分的定义可得t W 满足的差分方程是：11(120)2 1.22t t t W W W --=+%+=+(3)【答案】-3【详解】方法1：由初等变换(既可作初等行变换，也可作初等列变换).不改变矩阵的秩，故对A 进行初等变换111111111111k k A k k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦11111001(1)2,3,410101001kk k k k k k ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⨯-⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦行分别加到行311101002,3,400100001k k k k +⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦列分别加到1列 可见只有当k =−3时，r (A )=3.故k =−3.方法2：由题设r (A )=3，故应有四阶矩阵行列式0A =.由111111111111kk A k k =11111001(1)2,3,410101001k k k k k k k --⨯-----行分别加到行311101002,3,400100001k k k k +---列分别加到1列3(3)(1)0,k k =+-= 解得 k =1或k = −3. 当k =1时，1111111111111111A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦111100001(1)23400000000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⨯-⎢⎥⎢⎥⎣⎦行分别加到，，行 可知，此时r (A )=1，不符合题意，因此一定有k =−3.(4)【答案】112【所用概念性质】切比雪夫不等式为：{}2()()D X P X E X εε-≥≤期望和方差的性质：()E X Y EX EY +=+；()2cov(,)D X Y DX X Y DY +=++ 【详解】 把X Y +看成是一个新的随机变量，则需要求出其期望和方差. 故 ()220E X Y EX EY +=+=-+=又相关系数的定义：(,)X Y ρ=则cov(,)(,(0.5)1X Y X Y ρ==-=-()2cov(,)12(1)43D X Y DX X Y DY +=++=+⨯-+=所以由切比雪夫不等式：{}{}2()316()663612D X Y P X Y P X YE X Y ++≥=+-+≥≤==(5)【答案】F ；(10,5)【所用概念】1. F 分布的定义：12Xn F Yn =其中21~()X n χ 22~()Y n χ 2.2χ分布的定义：若1,,n Z Z 相互独立，且都服从标准正态分布(0,1)N ，则221~()ni i Z n χ=∑ 3. 正态分布标准化的定义：若2~(,)Z N u σ，则~(0,1)Z uN σ- 【详解】因为2(0,2)1,2,,15i X N i =，将其标准化有0(0,1)22i iX X N -=，从而根据卡方分布的定义2222221015111(10),(5),2222X X X X χχ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由样本的独立性可知，2210122X X ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与22151122X X ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭相互独立. 故，根据F 分布的定义()22101221102222111515112210(10,5).2225X X X X Y F X X X X ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦++==⎡⎤++⎛⎫⎛⎫++⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦故Y 服从第一个自由度为10，第二个自由度为5的F 分布.二、选择题(1)【答案】 [ B] 【详解】 方法1：由'()lim1,x af x x a→=--知 lim '()x af x →()'()limx af x x a x a→=⋅--()'()lim lim x a x a f x x a x a →→=⋅--10=-⋅0=又函数()f x 的导数在x a =处连续，根据函数在某点连续的定义，左极限等于右极限等于函数在这一点的值，所以()0f a '=，于是有'()'()'()"()limlim 1,x ax a f x f a f x f a x ax a →→-===--- 即()0f a '=，()10f a ''=-<，根据判定极值的第二充分条件：设函数()f x 在0x 处具有二阶导数且0()0f x '=，0()0f x ''≠，当0()0f x ''<时，函数()f x 在0x 处取得极大值. 知x a =是()f x 的极大值点，因此，正确选项为(B). 方法2：由'()lim1,x af x x a→=--及极限保号性定理：如果()0lim x x f x A →=，且0A >(或0A <)，那么存在常数0δ>，使得当00x x δ<-<时，有()0f x >(或()0f x <)，知存在x a =的去心邻域，在此去心邻域内'()0f x x a<-.于是推知，在此去心邻域内当x a <时()0f x '>；当x a >时()0.f x '<又由条件知()f x 在x a =处连续，由判定极值的第一充分条件：设函数()f x 在0x 处连续，且在0x 的某去心δ领域内可导，若()00,x x x δ∈- 时，()0f x '>，而()00,x x x δ∈ +时，()0f x '<，则()f x 在0x 处取得极大值，知()f a 为()f x 的极大值. 因此，选 (B).(2)【答案】(D)【详解】应先写出g (x )的表达式.当01x ≤<时， 21()(1)2f x x =+，有 ()g x ()0x f u du =⎰201(1)2x u du =+⎰3001162x x u u =+311,62x x =+当12x ≤≤时， 1()(1)3f x x =-，有0()()x g x f u du =⎰101()()xf u du f u du =+⎰⎰120111(1)(1)23x u du u du =++-⎰⎰1132010111116263x x u u u u =++-()221136x =+- 即 ()3211,0162()211,1236x x x g x x x ⎧+≤<⎪⎪=⎨⎪+-≤≤⎪⎩因为 311112lim ()lim 623x x g x x x --→→⎛⎫=+=⎪⎝⎭，()211212lim ()lim 1363x x g x x ++→→⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，且 ()2212(1)11363g =+-=， 所以由函数连续的定义，知()g x 在点1x =处连续，所以()g x 在区间[0,2]内连续，选(D).同样，可以验证(A)、(B)不正确，01x <<时，321111()06222g x x x x '⎛⎫'=+=+> ⎪⎝⎭，单调增，所以(B)递减错；同理可以验证当12x <<时，()()2211()110363g x x x '⎛⎫'=+-=-> ⎪⎝⎭，单调增，所以()()()02g g x g ≤≤，即()506g x ≤≤与选项(A)无界矛盾.(3)【答案】 (C)【详解】由所给矩阵,A B 观察，将A 的2,3列互换，再将A 的1,4列互换，可得B . 根据初等矩阵变换的性质，知将A 的2,3列互换相当于在矩阵A 的右侧乘以23E ，将A 的1,4列互换相当于在矩阵A 的右侧乘以14E ，即2314AE E B =，其中231000001001000001E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，140010********000E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦由题设条件知114223,P E P E ==，因此21B AP P =.由于对初等矩阵ij E 有，1ij ij E E -=，故111122,P P P P --==.因此，由21B AP P =，及逆矩阵的运算规律，有()111111211212B AP P P P A PP A ------===.(4)【答案】 ()D【详解】由题设，A 是n 阶矩阵，α是n 维列向量，即Tα是一维行向量，可知0TA αα⎛⎫⎪⎝⎭是1n +阶矩阵. 显然有秩0TAαα⎛⎫= ⎪⎝⎭秩()A 1,n n ≤≤+ 即系数矩阵0T Aαα⎛⎫⎪⎝⎭非列满秩，由齐次线性方程组有非零解的充要条件：系数矩阵非列或行满秩，可知齐次线性方程组00T A X y αα⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭必有非零解.(5) 【答案】A【详解】 掷硬币结果不是正面向上就是反面向上，所以X Y n +=，从而Y n X =-， 故 ()DY D n X DX =-=由方差的定义：22()DX EX EX =-， 所以[]22()()()DY D n X E n X E n X =-=---222(2)()E n nX X n EX =-+--222222()n nEX EX n nEX EX =-+-+-22()EX EX DX =-=)由协方差的性质：cov(,)0X c = (c 为常数)；cov(,)cov(,)aX bY ab X Y =1212cov(,)cov(,)cov(,)X X Y X Y X Y +=+)所以 cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)0X Y X n X X n X X DX DX =-=-=-=- 由相关系数的定义，得 (,)1X Yρ===-三【变限积分求导公式】()[()][()]()f x x ag t dt g f x f x ''=⎰【详解】 根据复合函数求导公式，有.du f f dy f dz dx x y dx z dx∂∂∂=++∂∂∂ (*) 在2xye xy -=两边分别对x 求导，得()()0,xy dy dye y xy x dx dx+-+= 即.dy y dx x =- 在0sin x z xt e dt t-=⎰两边分别对x 求导，得 sin()(1),xx z dz e x z dx -=⋅-- 即()1.sin()x dz e x z dx x z -=--将其代入(*)式，得du dx f f dy f dz x y dx z dx ∂∂∂=++∂∂∂()1.sin()x f y f e x z f x x y x z z⎛⎫∂∂-∂=-+- ⎪∂∂-∂⎝⎭四 【详解】因为1lim(1)xx e x→∞+=lim()x x x c x c →∞+-2lim()xx x c c x c→∞-+=- (把x c +写成2x c c -+)222lim()x c cx c x cx x c c x c-⋅-→∞-+=- (把x 写成22x c cx c x c -⋅-) 222lim (1)cx x cx ccx c x c --→∞⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦(利用幂函数的性质()mnm n aa =)222ln (1)lim cxx c x cc c x c x e--⎡⎤⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦→∞= (利用对数性质ln ()()f x ef x =)222ln (1)lim x c c cx c x c x c x e-⎡⎤⎢⎥+--⎢⎥⎣⎦→∞= (利用对数性质()ln ()()ln ()g x f x g x f x =)222limln (1)x cc x cx c x c x c e-→∞⎡⎤⎢⎥+--⎢⎥⎣⎦= (利用x y e =函数的连续性，lim ()()lim x f x f x x ee →∞→∞=)222lim lim ln (1)x c c x x cx c x c x c e-→∞→∞⎡⎤⎢⎥⋅+--⎢⎥⎣⎦=(当各部分极限均存在时，lim ()()lim ()lim ()x x x f x g x f x g x →∞→∞→∞⋅=⋅)222lim ln lim (1)x c c x x cx c x c x c e -→∞→∞⎡⎤⎢⎥⋅+--⎢⎥⎣⎦= (利用ln y x =函数的连续性，lim[ln ()]ln[lim ()]x x f x f x →∞→∞=) 2ln c e e ⋅= (利用1lim(1)x x e x→∞+=)2c e = (ln 1e =)又因为()f x 在(),-∞+∞内可导，故在闭区间[1,]x x -上连续，在开区间(1,)x x -内可导，那么又由拉格朗日中值定理，有()(1)()[(1)](),1f x f x f x x f x x ξξξ''--=--=-<<左右两边同时求极限，于是lim[()(1)]lim '()x x f x f x f e ξ→∞→∞--==，因为1x x ξ-<<，x 趋于无穷大时，ξ也趋向于无穷大由题意，lim()lim[()(1)],x x x x c f x f x x c →∞→∞+=--- 从而2c e e =，故12c =五 【详解】 积分区域如图所示，可以写成11,1y y x -≤≤≤≤222211()()22[1],x y x y DDDy xedxdy ydxdy xyedxdy +++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中，111112(1);3y Dydxdy dy ydx y y dy --==-=-⎰⎰⎰⎰⎰ 221()2x y Dxyedxdy +⎰⎰22111()21x y yydy xedx +-=⎰⎰22111()2211()2x y yydy ed x +-=⎰⎰ 22111()22211[()]2x y yydy ed x y +-=+⎰⎰2211(1)21()y y ee dy +-=-⎰ 2211(1)2211()2y y e e dy +-=-⎰22111(1)222111122y y e dy e dy +--=-⎰⎰ 22111(1)2221111[(1)]22y y ed ye dy +--=+-⎰⎰22111(1)21112y y e e +--=-0= 于是221()22[1]3x y Dy xedxdy ++=-⎰⎰六【详解】方法1：依题意知，抛物线如图所示，令2()0y px qx x px q =+=+=，求得它与x 轴交点的横坐标为：120,.q x x p==-根据定积分的定义，面积S 为()3232203260q pq p q q p S px qx dx x x p --⎛⎫=+=+=⎪⎝⎭⎰(注：111n n x dx x C n +=++⎰) 因直线5x y +=与抛物线2y px qx =+相切，故它们有唯一公共点. 由方程组25x y y px qx +=⎧⎨=+⎩求其公共解，消去y ，得2(1)50px q x ++-=，因为其公共解唯一，则该一元二次方程只有唯一解，故其判别式必为零，即22(1)4(5)(1)200,q p q p ∆=+-⨯⨯-=++=解得 21(1).20p q =-+ 将p 代入S 中，得()S q 326q p =32216[(1)]20q q =-+34200.3(1)q q =+ 根据函数除法的求导公式，()S q '344342(200)[3(1)][3(1)](200)[3(1)]q q q q q ''⨯+-+⨯=+25200(3)3(1)q q q -=+ 根据驻点的定义，令()0S q '=，已知有0q >，得唯一驻点3q =.当13q <<时，()0S q '>；3q >时，()0S q '<. 故根据极值判定的第一充分条件知，3q =时，()S q 取唯一极大值，即最大值.从而最大值为225(3).32S S ==方法2：设抛物线2y px qx =+与直线5x y +=相切的切点坐标为00(,)x y ，切点既在抛物线上，也在直线上，于是满足方程有2000y px qx =+和005x y +=.抛物线与直线在切点处的切线斜率是相等的，即一阶导数值相等. 在2y px qx =+左右两边关于x 求导，得2y px q '=+，在5x y +=左右两边关于x 求导，得1y '=-，把切点坐标00(,)x y 代入，得021x x y px q ='=+=-⇒012q x p+=-由005x y +=⇒005y x =-，将两结果代入2000y px qx =+得22000011155()()()222q q q y x px qx p q p p p+++=-=--=+=-+- 整理得21(1).20p q =-+ 将p 代入S 中，得34200().3(1)q S q q =+根据函数除法的求导公式，()S q '344342(200)[3(1)][3(1)](200)[3(1)]q q q q q ''⨯+-+⨯=+25200(3)3(1)q q q -=+ 根据驻点(即使得一阶导数为零的点)的定义，令()0S q '=，已知有0q >，得唯一驻点3q =.当13q <<时，()0;S q '>3q >时，()0;S q '<故根据极值判定的第一充分条件知，3q =时， ()S q 取唯一极大值，即最大值.从而最大值为225(3).32S S ==七【详解】将要证的等式中的ξ换成x ，移项，并命1()()()x x f x f x xϕ-'=-问题转化为证在区间(0,1)内()x ϕ存在零点. 将1()()0x f x f x x-'-= 看成一个微分方程，用分离变量法求解. 由()1()df x x dx f x x-= 两边积分得()11(1)()df x x dx dxf x x x -==-⎰⎰⎰利用1ln dx x C x =+⎰及111n n x dx x C n +=++⎰，得 1ln ()ln f x x x C =-+⇒ln ()ln xCe f x x=⇒()x Ce f x x =， 即 ()x xe f x C -=，命()()x F x xe f x -=. 由110(1)(),(1)x k f k xe f x dx k -=>⎰及积分中值定理(如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则在积分区间[,]a b 上至少存在一个点ξ，使得()()()()baf x dx f b a a b ξξ=-≤≤⎰)，知至少存在一点1(0,)[0,1]k η∈⊂，使1110(1)()()x k f k xe f x dx e f ηηη--==⎰且()()F e f ηηηη-=，1(1)(1)F e f -=. 把1(1)()f e f ηηη-=代入，则111(1)(1)()()()F e f e e f e f F ηηηηηηη----====那么()F x 在[,1]η上连续，在(,1)η内可导，由罗尔中值定理知，至少存在一点(,1)[0,1]ξη∈⊂，使得()()()0F e f e f ξξξξξξ--''=+=即 1() (1)().f f ξξξ-'=-八【详解】由已知条件可见1()()n x n n f x f x x e -'-=，这是以()n f x 为未知函数的一阶线性非齐次微分方程，其中1()1,()n xp x q x xe -=-=，代入通解公式()()()(())p x dx p x dxf x e q x e dx C -⎰⎰=+⎰得其通解为1(),ndx dx n x x n x f x e x e e dx C e C n --⎛⎫⎛⎫⎰⎰=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰由条件(1),n e f n =又1(1)n f e C n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得0C =， 故(),n x n x e f x n =111()n x n xn n n n x e x f x e n n ∞∞∞=====∑∑∑记1(),nn xS x n ∞==∑则1n a n =，111lim lim 11n n n na n a nρ+→∞→∞+===，则其收敛半径为11R ρ==，收敛区间为(1,1)-. 当(1,1)x ∈-时，根据幂级数的性质，可以逐项求导，11111()1n n n n n n x x S x x n n x ∞∞∞-===''⎛⎫⎛⎫'====⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑∑∑，其中2111n x x x x =+++++-故根据函数积分和求导的关系()()f x dx f x C '=+⎰，得00()()()(0)xxS x dx S x S x S '==-⎰又由于21000(0)012n n S n∞===++=∑，所以01()(0)()0ln(1)1xxS x S S x dx dx x x'=+=+=---⎰⎰， 即有 1ln(1),(1,1)nn x x x n∞==--∈-∑当1x =-时， 1(1)ln 2nn n ∞=-=-∑. 级数在此点处收敛，而右边函数连续，因此成立的范围可扩大到1x =-处，即1ln(1),[1,1)nn x x x n∞==--∈-∑ 于是 1()ln(1),[1,1)x nn fx e x x ∞==--∈-∑九【详解】(1) 线性方程组AX β=有解但不唯一，即有无穷多解()()3r A r A n ⇔=<=，将增广矩阵作初等行变换，得111111112a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦21112131()01100112a a a a a aa ⎡⎤⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥----⎣⎦行行，行行倍 11123011000(1)(2)2a a a a a a ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--+-+⎣⎦行加到行（）因为方程组AX β=有解但不唯一，所以()()3r A r A =<，故a =−2.(2) 由(1)，有112121211A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦由112121211E A λλλλ---=-+---122,312111λλλλλ-+---列加到列 1121121111λλλ-+---提出列公因子1121(1)2,303303λλλ-⨯-+--行分别加到行(3)(3)0λλλ=+-=故A 的特征值为1230,3,3λλλ==-=.当10λ=时，112(0)121211E A --⎡⎤⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦1121(1),20332,3033--⎡⎤-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦行的倍分别加到行1122033000--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦行加到3行于是得方程组(0)0E A x -=的同解方程组为1232320330x x x x x +-=⎧⎨-=⎩ 可见，(0)2r E A -=，可知基础解系的个数为(0)321n r E A --=-=，故有1个自由未知量，选2x 为自由未知量，取21x =，解得对应的特征向量为1(1,1,1)T ξ=.当13λ=时，()2123151212E A -⎛⎫ ⎪-=-- ⎪ ⎪-⎝⎭1511,2212212--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦行互换 151212000--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦3行-2行151********--⎡⎤⎢⎥⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦1行加到行 于是得方程组(3)0E A x -=的同解方程组为12325090x x x x -+-=⎧⎨=⎩ 可见，(3)2r E A -=，可知基础解系的个数为(3)321n r E A --=-=，故有1个自由未知量，选1x 为自由未知量，取11x =，解得对应的特征向量为2(1,0,1)T ξ=-.当13λ=-时，()4123111214E A --⎛⎫ ⎪--=--- ⎪ ⎪--⎝⎭11112412214---⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭，行互换 1111(4),2036036---⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭行倍倍分别加到2,3行1112036000---⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭行加到3行 于是得方程组(3)0E A x --=的同解方程组为123230360x x x x x ---=⎧⎨+=⎩ 可见，(3)2r E A --=，可知基础解系的个数为(3)321n r E A ---=-=，故有1个自由未知量，选2x 为自由未知量，取22x =，解得对应的特征向量为3(1,2,1)T ξ=--.由于A 是实对称矩阵，其不同特征值的特征向量相互正交，故这三个不同特征值的特征向量相互正交，之需将123,,ξξξ单位化，3121231231111,0,2.111ξξξβββξξξ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎥⎢⎥======-⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥-⎣⎦⎦⎣⎦其中，123ξξξ=====令[]123,,0Q βββ==则有 1300030.000T Q AQ Q AQ -⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦十【详解】(1)由题设条件，1211(,,)||n nijn i j i j A f x x x x x A ===∑∑111111n nn nij i jiijji j i j A x x x A xA A ======∑∑∑∑112211()nii i in n i x A x Ax A x A==+++∑121211(,,,)nii i in i n x x x A AA Ax =⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭∑121211(,,,)n i i i in i n x x x A A A A x =⎛⎫ ⎪⎡⎤ ⎪=⎢⎥ ⎪⎣⎦⎪⎝⎭∑[]12111121221222121(,,,)(,,,)(,,,)n n n n n nn n x x x A A A x A A A x A A A Ax ⎛⎫ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭11121121222212121(,,,)n n n n n nn n A A A x A A A x x x x AA A A x ⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥=⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭1212(,,,)T n n x x A x x x Ax *⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭TT A X X A *= 1()T X A X -*其中()*的理由：A 是可逆的实对称矩阵，故111()()T T A A A ---==，因此由实对称的定义知，1A -也是实对称矩阵，又由伴随矩阵的性质A A A E *=，知1A A A *-=，因此A *也是实对称矩阵，TAA **=，故()*成立.(2) 因为()()1111TTAAA AE A ----==，所以由合同的定义知A 与1A -合同.由实对称矩阵A B 与合同的充要条件：二次型Tx Ax 与Tx Bx 有相同的正、负惯性指数.可知，()Tg X X AX =与()f X 有相同的正、负惯性指数，故它们有相同的规范形.十一【应用定理】(i) 期望的性质：()E X Y EX EY +=+；独立随机变量方差的性质：若随机变量X Y 和独立，则()D X Y DX DY +=+(ii)列维-林德伯格中心极限定理：设随机变量12,,,,n X X X 相互独立同分布，方差存在，记22(0)u σσ<<+∞与分别是它们共同的期望与方差，则对任意实数x ，恒有1lim )()ni n i P X nu x x →∞=⎫-≤=Φ⎬⎭∑ (通俗的说：独立同分布的随机变量，其期望方差存在，则只要随机变量足够的多，这些随机变量的和以正态分布为极限分布)(iii) 正态分布标准化：若2~(,)Z N u σ，则~(0,1)Z uN σ-【详解】设(1,2,)i X i n =是装运的第i 箱的重量(单位:千克)， n 是所求箱数. 由题设可以将1,,i n X X X 视为独立同分布的随机变量，而n 箱的总重量12n n S X X X =+++是独立同分布随机变量之和.由题设，有()5i E X ==(单位:千克) 所以 1212()()50n n n E S E X X X EX EX EX n =+++=+++= 1212()()25n n n D S D X X X DX DX DX n =+++=+++=则根据列维—林德柏格中心极限定理，知n S 近似服从正态分布(50,25)N n n ，箱数n 根据下述条件确定{}5000n P S P ≤=≤ (将n S 标准化)0.977(2)≈Φ>=Φ由此得2,> 从而98.0199n <， 即最多可以装98箱.十二【详解】由题设条件X 和Y 是正方形{}(,):13,13G x y x y =≤≤≤≤上的均匀分布，则X 和Y 的联合密度为：1,13,13,(,)40,x y f x y ⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 (二维均匀分布的概率密度为1面积) 由分布函数的定义：{}{}()F u P U u P X Y u =≤=-≤(1)当0u <时，()0F u =(因为X Y -是非负的，所以小于0是不可能事件)(2)当2u ≥时，()1F u =(因为X 和Y 最大为3，X 和Y 最小为1，所以X Y -最大也就只能为2，所以2X Y -≤是必然事件，概率为1)(3)当02u ≤<时，{}()F u P U u =≤相当于 阴影部分所占的概率大小. 如图所示：{}{}()F u P U u P X Y u =≤=-≤214(2)4S u S ⎡⎤==--⎣⎦阴影面积总面积 211(2)4u =--(二维均匀分布中各部分所占的概率，相当于用这部分的面积除以总面积，这里阴影部分面积是用总面积减去两个三角形的面积)于是随机变量U 的概率密度为：1(2),02,()'()20, u u p u F u ⎧-<<⎪==⎨⎪⎩其他。
