2002年考研数学三真题
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考研数学三(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编15(题后含答案及解析)题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.[2002年] 设X1和X2是两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为f1(x)和.f2(x),分布函数分别为F1(x)和F2(x),则( ).A.f1(x)+f2(x)必为某一随机变量的概率密度B.F1(x)F2(x)必为某一随机变量的分布函数C.F1(x)+F2(x)必为某一随机变量的分布函数D.f1(x)f2(x)必为某一随机变量的概率密度正确答案:B解析:解一由命题3.2.1.2知,仅(B)入选.解二F1(x)F2(x)=P(X1≤x)P(X2≤x)=P(X1≤x,X2≤x).取X=max{X1,X2),并由于P(X1≤x,X2≤x)=P(max{X1,X2)≤x),则由定义可知,F1(x)F2(x)必为随机变量X=max{X1,X2}的分布函数.仅(B)入选.解三因故(A)不正确.又故(C)错误.取Xi在区间[0,2]上服从均匀分布,则于是有因而(D)也不成立.仅(B)入选.注:命题3.2.1.2 若F1(x),F2(x),…,Fn(x)分别是随机变量X1,X2,…,Xn的分布函数,则也是分布函数,且是随机变量max{X1,X2,…,X2)的分布函数.知识模块:概率论与数理统计2.[2011年] 设F1(x)与F2(x)为两个分布函数,其相应的概率密度f1(x)与f2(x)是连续函数,则必为概率密度的是( ).A.f1(x)f2(x)B.2f2(x)F1(x)C.f1(x)F2(x)D.f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)正确答案:D解析:解一因f1(x),f2(x),F1(x),F2(x)分别为随机变量的密度函数与分布函数,故f1(x)≥0,f2(x)≥0,0≤F1(x)≤1,0≤F2(x)≤1,所以f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)≥0.而故f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)为概率密度.仅(D)入选.解二由题设有则f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)=F1’(x)F2(x)+F1(x)F2’(x)=(F1(x)F2(x))’.因F1(x)F2(x)为随机变量max{X1,X2)的分布函数(见命题3.2.1.2),故其导数f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)必为随机变量max{X1,X2}的概率密度.仅(D)入选.注:命题3.2.1.2 若F1(x),F2(x),…,Fn(x)分别是随机变量X1,X2,…,Xn的分布函数,则也是分布函数,且是随机变量max{X1,X2,…,X2)的分布函数.知识模块:概率论与数理统计3.[2018年] 设随机变量X的概率密度f(x)满足f(1+x)=f(1-x),且则P{X ≤0}=( ).A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5正确答案:A解析:因为f(1+x)=f(1-x),所以f(x)的图形关于x=1对称,因此P(x≤0)=P(x≥2).又因为所以P(x≤0)+P(x≥2)=2P(x≤0)=1-0.6=0.4,从而P(x≤0)=0.2,故选(A).知识模块:概率论与数理统计4.[2010年] 设随机变量X的分布函数则P(X=1)=( ).A.0B.1/2C.1/2-e-1D.1-e-1正确答案:C解析:因P(X=1)=P(X≤1)-P(X<1)=F(1)-F(1-0),而故P(X=1)=1-e-1-1/2=1/2-e-1.仅(C)入选.知识模块:概率论与数理统计5.[2013年] 设X1,X2,X3是随机变量,且X1~N(0,1),X2~N(0,22),X3~N(5,32),pi=P{-2≤Xi≤2)(i=1,2,3),则( ).A.p1>p2>p3B.p2>p1>p3。
2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上)(1) 设常数12a ≠,则21lim ln .(12)nn n na n a →∞⎡⎤-+=⎢⎥-⎣⎦(2)交换积分次序:111422104(,)(,)yydy f x y dx dy f x y dx +=⎰⎰⎰.(3) 设三阶矩阵122212304A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,三维列向量(),1,1T a α=.已知A α与α线性相关,则 a =.(4)则2X 和2Y 的协方差22cov(,)X Y =.(5) 设总体X 的概率密度为(),,(;)0,x e x f x x θθθθ--⎧≥=⎨<⎩若若而12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本,则未知参数θ的矩估计量为二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上有定义,在开区间(,)a b 内可导,则 ( )(A)当()()0f a f b <时,存在(,)a b ξ∈,使()0f ξ=. (B)对任何(,)a b ξ∈,有lim[()()]0x f x f ξξ→-=.(C)当()()f a f b =时,存在(,)a b ξ∈,使()0f ξ'=. (D)存在(,)a b ξ∈,使()()()()f b f a f b a ξ'-=-.(2) 设幂级数1nn n a x ∞=∑与1nn n b x ∞=∑13,则幂级数221nn i na xb ∞=∑的收敛半径为 ( ) (A) 5 (B)(C) 13 (D)15(3) 设A 是m n ⨯矩阵,B 是n m ⨯矩阵,则线性方程组()0AB x = ( )(A)当n m >时仅有零解 (B)当n m >时必有非零解(C)当m n >时仅有零解 (D)当m n >时必有非零解(4) 设A 是n 阶实对称矩阵,P 是n 阶可逆矩阵,已知n 维列向量α是A 的属于特征值λ的 特征向量,则矩阵()1TP AP-属于特征值λ的特征向量是 ( )(A) 1P α- (B) TP α (C)P α (D)()1TP α-(5) 设随机变量X 和Y 都服从标准正态分布,则 ( )(A)X Y +服从正态分布 (B)22X Y +服从2χ分布(C)2X 和2Y 都服从2χ分布 (D)22/X Y 服从F 分布三、(本题满分5分)求极限 200arctan(1)lim(1cos )xu x t dt du x x →⎡⎤+⎢⎥⎣⎦-⎰⎰四、(本题满分7分)设函数(,,)u f x y z =有连续偏导数,且(,)z z x y =由方程xyzxe ye ze -=所确定,求du . 五、(本题满分6分)设2(sin ),sin x f x x =求()x dx . 六、(本题满分7分)设1D 是由抛物线22y x =和直线,2x a x ==及0y =所围成的平面区域;2D 是由抛物线22y x =和直线0y =,x a =所围成的平面区域,其中02a <<.(1)试求1D 绕x 轴旋转而成的旋转体体积1V ;2D 绕y 轴旋转而成的旋转体体积2V ; (2)问当a 为何值时,12V V +取得最大值?试求此最大值.七、(本题满分7分)(1)验证函数()()3693()13!6!9!3!nx x x x y x x n =+++++++-∞<<+∞满足微分方程x y y y e '''++=(2)利用(1)的结果求幂级数()303!nn x n ∞=∑的和函数.八、(本题满分6分)设函数(),()f x g x 在[,]a b 上连续,且()0g x >.利用闭区间上连续函数性质,证明存在一点[,]a b ξ∈,使()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰.九、(本题满分8分)设齐次线性方程组1231231230,0,0,n n n ax bx bx bx bx ax bx bx bx bx bx ax ++++=⎧⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩其中0,0,2a b n ≠≠≥,试讨论,a b 为何值时,方程组仅有零解、有无穷多组解?在有无穷多组解时,求出全部解,并用基础解系表示全部解.十、(本题满分8分)设A 为三阶实对称矩阵,且满足条件220A A +=,已知A 的秩()2r A = (1)求A 的全部特征值(2)当k 为何值时,矩阵A kE +为正定矩阵,其中E 为三阶单位矩阵. 十一、(本题满分8分)假设随机变量U 在区间[]2,2-上服从均匀分布,随机变量1,1-1,11,1;1,1;U U X Y U U -≤-≤⎧⎧==⎨⎨>->⎩⎩若若若若试求:(1)X 和Y 的联合概率分布;(2)()D X Y +. 十二、(本题满分8分)假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从指数分布,平均无故障工作的时间()E X 为5小时.设备定时开机,出现故障时自动关机,而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数()F y .2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题 (1)【答案】112a- 【详解】ln “”里面为1∞“”型,通过凑成重要极限形式来求极限, 1(12)12211limln limln 1(12)(12)nn a an n n na n a n a -⋅-→∞→∞⎡⎤⎡⎤-+=+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦(12)11lim ln 112(12)n a n a n a -→∞⎡⎤=+⎢⎥--⎣⎦11ln 1212e a a==--.(2)【答案】2120(,)xxdx f x y dy ⎰⎰【详解】画出与原题中二次积分的限所对应的积分区域1D 与2D ,将它们的并集记为D . 于是111422104(,)(,)yydy f x y dx dy f x y dx +⎰⎰⎰(,)Df x y d σ=⎰⎰.再将后者根据积分定义化为如下形式,即2102x y x x →→从,从,所以2120(,)(,).xxDf x y d dx f x y dy σ=⎰⎰⎰⎰(3)【答案】1- 【详解】122212123,304134a a A a a α-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪==+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭由于A α与α线性相关,(两个非零向量线性相关,则对应分量成比例),所以有233411a a a a ++==,得 2334, 1.a a a +=+=- 或,(0)A k k αα=≠(两个非零向量线性相关,则其中一个可以由另一个线性表出)即 231341a a a k a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭,得2334a ka a k a k =⎧⎪+=⎨⎪+=⎩,得 1.(1)a k =-=(4)【答案】0.02-.【详解】2X 、2Y 和2X 2Y 都是01-分布,而01-分布的期望值恰为取1时的概率p .由离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布表可得2X 的可能取值为0和1,且2Y 的可能取值也为0和1,且X 和Y 的边缘分布为{}00.070.180.150.4P X ==++=;{}10.080.320.200.6P X ==++=; {}10.070.080.15P Y =-=+=;{}00.180.320.5P Y ==+=; {}10.150.200.35P Y ==+=;故有{}{}220,00,00.18,P X Y P X Y ======X0 10.4 0.6Y 1- 0 10.15 0.5 0.35{}{}{}220,10,10,10.070.150.22,P X Y P X Y P X Y =====-+===+= {}{}221,01,00.32,P X Y P X Y ======{}{}{}221,11,11,10.080.200.28,P X Y P X Y P X Y =====-+===+=而边缘分布律:{}{}2000.4P X P X ====,{}{}2110.6P X P X ====, {}{}2000.5P Y P Y ====,{}{}{}21110.150.350.5P Y P Y P Y ===-+==+=所以,22(,)X Y 的联合分布及其边缘分布为由上表同理可求得22X Y 的分布律为所以由01-分布的期望值恰为取1时的概率p 得到:2222222222()0.5()0.60,(0.28cov ()()0.280.60.50.02E X E Y E X Y X Y E X Y E X E Y ====-=-⨯=-,)(,)()(5)【答案】1X -.【详解】矩估计的实质在于用样本矩来估计相应的总体矩,此题中被估参数只有一个,故只需要用样本一阶原点矩(样本均值)来估计总体的一阶原点矩(期望) 期望 ()()()1x E X xf x dx xe dx θθθ+∞+∞---∞===+⎰⎰样本均值 11ni i X X n ==∑用样本均值估计期望有 EX X =,即 111ni i X n θ=+=∑,解得未知参数θ的矩估计量为 11ˆ11n i i X X n θ==-=-∑.二、选择题 (1)【答案】(B)【详解】方法1:论证法.由题设()f x 在开区间(,)a b 内可导,所以()f x 在(,)a b 内连续,因此,对于(,)a b 内的任意一点ξ,必有lim ()().x f x f ξξ→= 即有lim[()()]0x f x f ξξ→-=.故选(B).方法2:排除法.(A)的反例:1(,]()1x a b f x x a ∈⎧=⎨-=⎩,有()1,()1,()()10f a f b f a f b =-==-<,但()f x 在(,)a b 内无零点.(C)与(D)的反例,(1,1]()11xx f x x ∈-⎧=⎨=-⎩ (1)(1)1f f -==,但()1f x '=(当(1,1)x ∈-),不满足罗尔中值定理,当然也不满足拉格朗日中值定理的结论.故选(B).(2)【答案】(D)【详解】方法1:A 是m n ⨯矩阵,B 是n m ⨯矩阵,则AB 是m 阶方阵,因()min((),())r AB r A r B ≤.当m n >时,有()min((),())r AB r A r B n m ≤≤<.(系数矩阵的秩小于未知数的个数)方程组()0AB x =必有非零解,故应选(D).方法2:B 是n m ⨯矩阵, 当m n >时,,则()r B n =,(系数矩阵的秩小于未知数的个数)方程组0Bx =必有非零解,即存在00x ≠,使得00Bx =,两边左乘A ,得00ABx =,即0ABx =有非零解,故选(D).(3)【答案】(B)【详解】方法1:由题设根据特征值和特征向量的定义,A αλα=,A 是n 阶实对称矩阵,故TA A =.设()1TP APB -=,则111()TTT T T T T B P A P P AP P A P ---===上式左乘1T P-,右乘TP ,得111()()()T T T T T T P BP P P A P P ---=,即1T T A P BP -=,所以 1()T T A P BP ααλα-==两边左乘T P ,得 1()()T T T T P P BP P αλα-=得()T TB P P αλα=根据特征值和特征向量的定义,知1()TB P AP -=的对应于特征值λ的特征向量为T P α,即应选(B).方法2:逐个验算(A),(B),(C),(D)中哪个选项满足,由题设根据特征值和特征向量的定义,A αλα=,A 是n 阶实对称矩阵,故T A A =.设()1TP AP -属于特征值λ的特征向量为ξ,即()1TP APξλξ-=,其中()111TTTT T T P AP P A P P AP ---==对(A),即令1P ξα-=,代入111()TT P AP P P αλα---≠对(B),1()TT T P AP P α-1()TT T P A P P α-=1[())]T T TP A P P α-=TP A α=()T P λα=成立.故应选(B).(4)【答案】C【分析】(i)2χ变量的典型模式是:222212n X X X χ=+++,其中i X 要求满足:i X 相互独立,(0,1)iX N .称2χ为参数为n 的2χ变量.(ii) F 变量的典型模式是:12//X n F Y n =,其中,X Y 要求满足:X 与Y 相互独立,2212(),()Xn Yn χχ,称F 为参数为()12,n n 的F 变量.【详解】方法1:根据题设条件,X 和Y 均服从(0,1)N .故2X 和2Y 都服从2(1)χ分布,答案应选(C).方法2:题设条件只有X 和Y 服从(0,1)N ,没有X 与Y 的相互独立条件.因此,2X 与2Y的独立条件不存在,选(B)、(D)项均不正确.题中条件既没有X 与Y 独立,也没有(,)X Y 正态,这样就不能推出X Y +服从正态分布的选项(A).根据排除法,正确选项必为(C).三【详解】22000003arctan(1)arctan(1)limlim 1(1cos )2xu x u x x t dt du t dt du x x x→→⎡⎤⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎰⎰⎰⎰等 22arctan(1)lim32x x t dt x →+⎰洛洛20arctan(1)2lim 3x x x x →+⋅2346ππ=⋅=.四【详解】方法1:用一阶微分形式不变性求全微分.123du f dx f dy f dz '''=++(,)z z x y =由x y z xe ye ze -=所确定,两边求全微分,有()()()()()x y z x y z d xe ye d ze d xe d ye d ze -=⇒-= x x y y z z xe dx e dx ye dy e dy ze dz e dz ⇒+--=+,解出 (1)(1),(10).(1)x y z e x dx e y dydz z e z +-+=+≠+设 所以 du =123(1)(1)(1)x y z e x dx e y dyf dx f dy f e z +-+'''++⨯+1323(1)(1)(1)(1)x yz ze x e yf f dx f f dy e z e z ⎡⎤⎡⎤++''''=++-⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦ 方法2:1323,u z u zf f f f x x y y∂∂∂∂''''=+=+∂∂∂∂(根据多元函数偏导数的链式法则) 下面通过隐函数求导得到z x ∂∂,z y∂∂.由x y zxe ye ze -=两边对x 求偏导数,有 (),x x z z z xe e ze e x∂+=+∂ 得x xz zz xe e x ze e∂+=∂+,(10)z +≠设.类似可得,y y z z z ye e y ze e ∂+=-∂+,代入,u u x y ∂∂∂∂表达式 1323(),()x xy yz zz zu xe e u ye e f f f f x ze e y ze e ∂+∂+''''=+⋅=-⋅∂+∂+, 再代入 u udu dx dy x y∂∂=+∂∂中,得du 1323(1)(1)(1)(1)x yz ze x e yf f dx f f dy e z e z ⎡⎤⎡⎤++''''=++-⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦.五【详解】首先要从2(sin )sin xf x x=求出()f x . 命2sin u x =,则有sin x =x =()f u =(通过换元求出函数的表达式)arcsin ()x f x dxx == sin 2sin cos cos ttt tdt t⎰(换元积分法) sin t tdt =2⎰[]2cossin t t t C=-++(分部积分法)2C ⎡=+⎣.六【分析】旋转体的体积公式:设有连续曲线:()()y f x a x b Γ=≤≤,()0f x ≥与直线,x a x b ==及x 轴围成平面图形绕x 轴旋转一周产生旋转体的体积2()baV f x dx π=⎰.【详解】(1) ()2225142(32)5aV xdx a ππ==-⎰22222420202a V a a x dy a a πππ=-=<<⎰.(2) 54124(32)5V V V a a ππ=+=-+ 根据一元函数最值的求法要求驻点,令34(1)0dVa a daπ=-=, 得1a =. 当01a <<时0dV da >,当12a <<时0dVda<,因此1a =是V 的唯一极值点且是极大值点,所以是V 的最大值点,129max 5V π=.七【解】(1) 369331()113(3)!(3)!nnn x x x x x y x n n ∞==+++++=+∑+!6!9!,由收敛半径的求法知收敛半径为∞,故由幂级数在收敛区间上逐项可导公式得3311()(1)(3)!(3)!nn n n x x y x n n ∞∞=='⎛⎫''=+= ⎪⎝⎭∑∑3113(3)!n n nx n -∞==∑311(31)!n n x n -∞==-∑,同理得 321(32)!n n x y n -∞=''=-∑从而 ()()()y x y x y x '''++32313111()()(1)(32)!(31)!(3)!n n nn n n x x x n n n --∞∞∞====+++--∑∑∑ 11!nn x n ∞==+∑(由x e 的麦克劳林展开式)x e =这说明,30()(3)!n n x y x n ∞==∑是微分方程xy y y e '''++=的解,并且满足初始条件310(0)1(3)!n n y n ∞==+∑1=,3110(0)(31)!n n y n -∞='=-∑0=. (2)微分方程xy y y e '''++=对应的齐次线性方程为0y y y '''++=,其特征方程为210λλ++=,其特征根为12-±,所以其通解为212[cossin ]22xy e C x C x -=+. 另外,该非齐次方程的特解形式为xy ce =,代入原非齐次方程得x x x xce ce ce e ++=,所以13c =.故微分方程xy y y e '''++=的通解为2121[sin ]3x x y e C x C x e -=++. 故22121211[cossin ][sin cos ]2222223x xx y e C x C x e C x x e --'=-⨯++-⨯++222112111(2(22222223x x x e C C x e C C x e --=-⨯-⨯-⨯-⨯+由初始条件(0)1,(0)0y y '==得0212100022211212111[00]331110(20(2022311223e C C e C e C C e C C e C C ---⎧=++=+⎪⎪⎪=-⨯--⨯-+⎨⎪⎪⎪=-++⎩解得11211311023C C ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩, 于是得到惟一的一组解:122,0.3C C ==从而得到满足微分方程x y y y e '''++=及初始条件(0)1,(0)0y y '==的解,只有一个,为221cos 323x x y e x e -=+另一方面,由(1)已知30()(3)!n n x y x n ∞==∑也是微分方程xy y y e '''++=及初始条件(0)1,(0)0y y '==的解,由微分方程解的唯一性,知321211cos ().(3)!323xn x n x e x e x n ∞-=+=+-∞<<+∞∑八【详解】方法1:因为()f x 与()g x 在[],a b 上连续,所以存在1x 2x 使得1[,]()max ()x a b f x M f x ∈==,2[,]()min ()x a b f x m f x ∈==,满足()m f x M ≤≤.又()0g x >,故根据不等式的性质()()()()mg x f x g x Mg x ≤≤根据定积分的不等式性质有()()()(),b b baaam g x dx f x g x dx M g x dx ≤≤⎰⎰⎰所以 ()().()babaf xg x dxm M g x dx≤≤⎰⎰由连续函数的介值定理知,存在[,]a b ξ∈,使()()()()babaf xg x dxf g x dxξ=⎰⎰即有()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰.方法2:因为()f x 与()g x 在[],a b 上连续,且()0g x >,故()()baf xg x dx ⎰与()bag x dx ⎰都存在,且()0.bag x dx >⎰记()()()babaf xg x dxh g x dx=⎰⎰,于是()()()(),bbbaaaf xg x dxh g x dx hg x dx ==⎰⎰⎰即(())()0baf x hg x dx -=⎰因此必存在(,)a b ξ∈使()f h ξ=.不然,则在(,)a b 内由连续函数的零点定理知要么()f x h -恒为正,从而根据积分的基本性质得(())()0ba f x h g x dx ->⎰;要么()f x h -恒为负,同理得(())()0baf x hg x dx -<⎰,均与(())()0baf x hg x dx -=⎰不符.由此推知存在(,)a b ξ∈使()f h ξ=,从而()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰.九【详解】方法1:对系数矩阵记为A 作初等行变换21311000000n a b b b a b b b b a b b b a a b A bb a b b a a b b b ba b a a b -- -⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭行行行行行行当(0)a b =≠时,()1,0r A AX ==的同解方程组为120n x x x +++=,基础解系中含有1n -个(未知数的个数-系数矩阵的秩)线性无关的解向量,取23,,...,n x x x 为自由未知量,分别取231,0,...,0n x x x ===,230,1,...,0n x x x ===,…,230,0,...,1n x x x ===得方程组1n -个线性无关的解[][][]1211,1,0,,0,1,0,1,0,,0,,1,0,,0,1T T Tn ξξξ-=-=-=-,为基础解系,方程组0AX =的全部解为112211n n X k k k ξξξ--=+++,其中(1,2,1)i k i n =-是任意常数.当a b ≠时,000000ab b b b a a bA b a a bb a a b ⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪→-- ⎪⎪⎪--⎝⎭23110010101001a b a b n a b a b bb ---⎛⎫⎪- ⎪ ⎪→- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭行/()行/()行/() 12131(1)000110010101001bb n ba n b-⨯-⨯-⨯+-⎛⎫⎪-⎪ ⎪→- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭行行行行行行 当a b ≠且(1)a n b ≠--时,(1)0A a n b =+-≠,(),0r A n AX ==仅有零解. 当(1)a n b =--时,()1,0r A n AX =-=的同解方程组是121310,0,0,n x x x x x x -+=⎧⎪-+=⎪⎨⎪⎪-+=⎩…… 基础解系中含有1个线性无关的解向量,取1x 为自由未知量,取11x =,得方程组1个非零解[]1,1,,1Tξ=,即其基础解系,故方程组的全部解为X k ξ=,其中k 是任意常数.方法2:方程组的系数行列式a b b bb a b b A b b abb b ba=(1)(1)2...(1)1(1)a n b b bb a n ba b b n a n b b ab a n b b ba+-+-+-+-把第,,列加到第列111[(1)]11b bb a bb an b b ab b ba +-提取第列的公因子 1210003-1[(1)]000-1000bbb a b an ba bna b--+---第行第行第行第行第行第行1[(1)]()n a n b a b -=+--(1)当a b ≠且(1)a n b ≠--时,0A ≠,()r A n =方程组只有零解. (2)当(0)a b =≠时,a a a a a a a a A a a a a a a aa ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦21000031000010000a a aa n ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦第行第行第行第行第行第行111100001100000000a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第行 方程组的同解方程组为120n x x x +++=基础解系中含有1n -个(未知数的个数-系数矩阵的秩)线性无关的解向量,取23,,...,n x x x 为自由未知量,分别取231,0,...,0n x x x ===,230,1,...,0n x x x ===,…, 230,0,...,1n x x x ===得方程组1n -个线性无关的解[][][]1211,1,0,,0,1,0,1,0,,0,,1,0,,0,1T T Tn ξξξ-=-=-=-,为基础解系,方程组0AX =的全部解为112211n n X k k k ξξξ--=+++,其中(1,2,1)i k i n =-是任意常数.(1)当(1)(0)a n b b =--≠时,(1)(1)(1)(1)n bb b bbn b b b A b b n bb b b b n b -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭1,2,...,11111111111111111n bn n nn ⨯-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪→- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭行分别111121003100100n n n n nn n n -⎛⎫-⎪-⎪- ⎪- ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭行行行行行行 111111002,...,101011001n n n -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⨯⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭行分别000011002,...,10101001n ⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭把第行都依次加到第1行 ()1r A n =-,其同解方程组是121310,0,0,n x x x x x x -=⎧⎪-=⎪⎨⎪⎪-=⎩…… 基础解系中含有1个线性无关的解向量,取1x 为自由未知量,取11x =,得方程组1个非零解[]1,1,,1Tξ=,即其基础解系,故方程组的全部解为X k ξ=,其中k 是任意常数.十【详解】(1) 设λ是A 的任意特征值,α是A 的属于λ的特征向量,根据特征值、特征向量的定义,有 ,0,A αλαα=≠ ①两边左乘A ,得 2A αA λαλλα==2λα= ②②+2*①得 ()()2222A Aαλλα+=+因220A A +=,0α≠,从而上式()()22220A Aαλλα+=+=,所以有220λλ+=,故A 的特征值λ的取值范围为0,2-.因为A 是实对称矩阵,所以必相似于对角阵Λ,且Λ的主对角线上元素由A 的特征值组成,且()()2r A r =Λ=,故A 的特征值中有且只有一个0.(若没有0,则222-⎡⎤⎢⎥Λ=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,故()()3r A r =Λ=与已知矛盾;若有两个0,则200-⎡⎤⎢⎥Λ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,故()()1r A r =Λ=与已知矛盾;若三个全为0,则000⎡⎤⎢⎥Λ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,故()()0r A r =Λ=与已知矛盾). 故220A -⎡⎤⎢⎥Λ=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦即A 有特征值1232,0λλλ==-=.(2)A kE +是实对称矩阵,A 有特征值1232,0λλλ==-=,知A kE +的特征值为2,2,k k k --.因为矩阵正定的充要条件是它的所有的特征值均大于零,故A kE +正定200k k ->⎧⇔⎨>⎩2k k >⎧⇔⎨>⎩2k ⇔> 故2k >时A kE +是正定矩阵.十一【分析】(,)X Y 有四个可能值,可以逐个求出.在计算过程中要注意到取值与U 的值有关.U 的分布为均匀分布,计算概率不用积分都行,可以直接看所占区间的长度比例即可.【详解】(,)X Y 只有四个可能值(1,1),(1,1),(1,1)(1,1)----和.依照题意,有{}{}{}1(2)11,11,11;2(2)4P X Y P U U P U ---=-=-=≤-≤=≤-==--{}{}{}1,11,10;P X Y P U U P =-==≤->=∅= {}{}{}11,11,111;2P X Y P U U P U ==-=>-≤=-<≤={}{}{}11,11,11.4P X Y P U U P U ===>->=>=于是,(,)X Y 分布为(2) 因为22()()[()]D X Y E X Y E X Y +=+-+,所以我们应该知道X Y +和2()X Y +的分布律.对离散型随机变量,X Y +的取值可能有2,0,2;-2()X Y +的取值可能有0和4;{}{}121,1,4P X Y P X Y +=-==-=-={}{}{}1101,11,10,22P X Y P X Y P X Y +====-+=-==+= {}{}121,1,4P X Y P X Y +=====(){}{}2100,2P X Y P X Y +==+==(){}{}{}214222P X Y P X Y P X Y +==+=-++==.X Y +和2()X Y +的分布律分别为和所以由离散型随机变量的数学期望计算公式有:{}1()nk k k E X x P X x ==⋅=∑所以有,2224()0,()2442E X Y E X Y +=-+=+==. 22()()[()]2D X Y E X Y E X Y +=+-+=十二【详解】首先找出随机变量Y 的表达式. Y 由X 和2(小时)来确定,所以min(,2)Y X =.指数分布的X 的分布参数为 11,()5E X λ==其密度函数为:1510()500x X ex f x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩其中0λ>是参数由分布函数的定义:{}{}()min(,2)F y P Y y P X y =≤=≤(1) 当0y <时,()0Y F y =(因为{}min ,2Y X =,其中X 和2都大于0,那么小于0是不可能事件)(2) 当2y ≥时,()1Y F y =(因为{}min ,2Y X =最大也就取到2,所以小于等于2是一定发生的,是必然事件)(3) 当02y ≤<时, {}{}{}()min(,2)F y P Y y P X y P X y =≤=≤=≤115501()15x y yyX f x dx e dx e ---∞===-⎰⎰所以1500()10212y Y y F y e y y -<⎧⎪⎪=-≤<⎨⎪≥⎪⎩。
2000年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题二、选择题2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(1) 设生产函数为Q AL K αβ=, 其中Q 是产出量, L 是劳动投入量, K 是资本投入量,而A , α, β均为大于零的参数,则当Q =1时K 关于L 的弹性为(2) 某公司每年的工资总额比上一年增加20%的基础上再追加2 百万.若以t W 表示第t 年的工资总额(单位:百万元),则t W 满足的差分方程是___(3) 设矩阵111111,111111k k A k k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦且秩(A )=3,则k = (4) 设随机变量X ,Y 的数学期望都是2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5.则根据切比雪夫不等式{}-6P X Y ≥≤ .(5) 设总体X 服从正态分布2(0,0.2),N 而1215,,X X X 是来自总体X 的简单随机样本,则随机变量()221102211152X X Y X X ++=++服从___分布,参数为_______二、选择题(1) 设函数f (x )的导数在x =a 处连续,又'()lim1,x af x x a→=--则( ) (A) x = a 是f (x )的极小值点. (B) x = a 是f (x )的极大值点.(C) (a , f (a ))是曲线y = f (x )的拐点.(D) x =a 不是f (x )的极值点, (a , f (a ))也不是曲线y =f (x )的拐点.(2) 设函数0()(),xg x f u du =⎰其中21(1),012(),1(1),123x x f x x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩则g (x )在区间(0,2) 内( )(A)无界 (B)递减 (C) 不连续 (D) 连续(3) 设1112131414131211212223242423222113132333434333231414243444443424100010100,,,00101000a a a a a a a a a a a a a a a a A B P a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 210000010,01000001P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中A 可逆,则1B -等于( ) (A)112A P P - (B)112P A P - (C)112P P A - (D)121P A P -.(4) 设A 是n 阶矩阵,α是n 维列向量.若秩0TAαα⎛⎫= ⎪⎝⎭秩(A),则线性方程组( )(A)AX =α必有无穷多解 ()B AX =α 必有惟一解.()C 00T A X y αα⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭仅有零解 ()D 00T A X y αα⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭必有非零解.(5) 将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数,则X 和Y 的相关系数等于( )(A) -1 (B) 0 (C)12(D) 1三 、(本题满分5 分)设u = f (x ,y ,z )有连续的一阶偏导数,又函数y =y (x )及z =z (x )分别由下列两式确定:2xy e xy -=和0sin ,x zxt e dt t -=⎰求dudx四 、(本题满分6 分)已知f (x )在(−∞,+∞)内可导,且lim '(),x f x e →∞=lim()lim[()(1)],xx x x c f x f x x c→∞→∞+=---求c 的值.五 、(本题满分6 分)求二重积分221()2[1]x y Dy xedxdy ++⎰⎰的值,其中D 是由直线y =x , y = −1及x =1围成的平面区域六、(本题满分7 分)已知抛物线2y px qx =+(其中p <0,q >0)在第一象限与直线x +y =5相切,且此抛物线与x 轴所围成的平面图形的面积为S.(1) 问p 和q 为何值时,S 达到最大? (2)求出此最大值.七、(本题满分6 分)设f (x )在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足1130(1)(),(1).x f k xe f x dx k -=>⎰证明:存在ξ∈(0,1), 使得1'() 2(1)().f f ξξξ-=-八、(本题满分7 分)已知()n f x 满足'1()()n x n n f x f x x e -=+(n 为正整数)且(1),n ef n=求函数项级数1()ni fx ∞=∑之和.九、(本题满分9 分)设矩阵11111,1.112a A a a β⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦已知线性方程组AX =β有解但不唯一,试求: (1) a 的值;(2) 正交矩阵Q,使T Q AQ 为对角矩阵.十、(本题满分8 分)设A 为n 阶实对称矩阵,秩(A)=n ,ij A 是()ijn nA a ⨯=中元素ij a 的代数余子式(i ,j=1,2,…,n ),二次型1211(,,).n nij n i j i j A f x x x x x A===∑∑(1) 记12(,,),n A x x x =把1211(,,).nnij n i j i j A f x x x x x A===∑∑写成矩阵形式,并证明二次型()f X 的矩阵为1A -;(2) 二次型()T g X X AX =与()f X 的规范形是否相同?说明理由.十一、(本题满分8 分)生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的,假设每箱平均重50 千克,标准差为5千克.若用最大载重量为5 吨的汽车承运,试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱,才能保障不超载的概率大于0.977. (Φ(2)=0.977,其中Φ(x ) 是标准正态分布函数).十二、(本题满分8 分)设随机变量X 和Y 对联和分布是正方形G={(x,y)|1≤x≤3,1≤y≤3}上的均匀分布,试求随机变量U={X−Y} 的概率密度().p u2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上)(1) 设常数12a≠,则21lim ln.(12)nnn nan a→∞⎡⎤-+=⎢⎥-⎣⎦(2)交换积分次序:11142214(,)(,)y ydy f x y dx dy f x y dx+=⎰⎰⎰.(3) 设三阶矩阵122212304A-⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭,三维列向量(),1,1Taα=.已知Aα与α线性相关,则a=.(4)则X和Y的协方差cov(,)X Y=.(5) 设总体X的概率密度为(),,(;)0,x e x f x x θθθθ--⎧≥=⎨<⎩若若而12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本,则未知参数θ的矩估计量为二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上有定义,在开区间(,)a b 内可导,则 ( )(A)当()()0f a f b <时,存在(,)a b ξ∈,使()0f ξ=.(B)对任何(,)a b ξ∈,有lim[()()]0x f x f ξξ→-=.(C)当()()f a f b =时,存在(,)a b ξ∈,使()0f ξ'=. (D)存在(,)a b ξ∈,使()()()()f b f a f b a ξ'-=-.(2) 设幂级数1nn n a x ∞=∑与1nn n b x ∞=∑的收敛半径分别为3与13,则幂级数221n n i na xb ∞=∑的收敛半径为 ( )13 (D)15(3) 设A 是m n ⨯矩阵,B 是n m ⨯矩阵,则线性方程组()0AB x = ( )(A)当n m >时仅有零解 (B)当n m >时必有非零解 (C)当m n >时仅有零解 (D)当m n >时必有非零解(4) 设A 是n 阶实对称矩阵,P 是n 阶可逆矩阵,已知n 维列向量α是A 的属于特征值λ的特征向量,则矩阵()1TP AP-属于特征值λ的特征向量是 ( )(A) 1P α- (B) T P α (C)P α (D)()1TP α-(5) 设随机变量X 和Y 都服从标准正态分布,则 ( )(A)X Y +服从正态分布 (B)22X Y +服从2χ分布 (C)2X 和2Y 都服从2χ分布 (D)22/X Y 服从F 分布 三、(本题满分5分)求极限 200arctan(1)lim(1cos )xu x t dt du x x →⎡⎤+⎢⎥⎣⎦-⎰⎰四、(本题满分7分)设函数(,,)u f x y z =有连续偏导数,且(,)z z x y =由方程x y z xe ye ze -=所确定,求du .五、(本题满分6分)设2(sin ),sin xf x x =求()x dx .六、(本题满分7分)设1D 是由抛物线22y x =和直线,2x a x ==及0y =所围成的平面区域;2D 是由抛物线22y x =和直线0y =,x a =所围成的平面区域,其中02a <<.(1)试求1D 绕x 轴旋转而成的旋转体体积1V ;2D 绕y 轴旋转而成的旋转体体积2V ;(2)问当a 为何值时,12V V +取得最大值?试求此最大值.七、(本题满分7分)(1)验证函数()()3693()13!6!9!3!nx x x x y x x n =+++++++-∞<<+∞满足微分方程x y y y e '''++=(2)利用(1)的结果求幂级数()303!nn x n ∞=∑的和函数.八、(本题满分6分)设函数(),()f x g x 在[,]a b 上连续,且()0g x >.利用闭区间上连续函数性质,证明存在一点[,]a b ξ∈,使 ()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰.九、(本题满分8分)设齐次线性方程组1231231230,0,0,n nn ax bx bx bx bx ax bx bx bx bx bx ax ++++=⎧⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩ 其中0,0,2a b n ≠≠≥,试讨论,a b 为何值时,方程组仅有零解、有无穷多组解?在有无穷多组解时,求出全部解,并用基础解系表示全部解.十、(本题满分8分)设A 为三阶实对称矩阵,且满足条件220A A +=,已知A 的秩()2r A = (1)求A 的全部特征值(2)当k 为何值时,矩阵A kE +为正定矩阵,其中E 为三阶单位矩阵.十一、(本题满分8分)假设随机变量U 在区间[]2,2-上服从均匀分布,随机变量1,1-1,11,1;1,1;U U X Y U U -≤-≤⎧⎧==⎨⎨>->⎩⎩若若若若试求:(1)X 和Y 的联合概率分布;(2)()D X Y +.十二、(本题满分8分)假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从指数分布,平均无故障工作的时间()E X 为5小时.设备定时开机,出现故障时自动关机,而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数()F y .2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、 填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上)(1)设,0,0,0,1cos )(=≠⎪⎩⎪⎨⎧=x x xx x f 若若λ其导函数在x=0处连续,则λ的取值范围是_____.(2)已知曲线b x a x y +-=233与x 轴相切,则2b 可以通过a 表示为=2b ________.(3)设a>0,,x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧==而D 表示全平面,则⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(=_______.(4)设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a T α;E 为n 阶单位矩阵,矩阵 T E A αα-=, T aE B αα1+=, 其中A 的逆矩阵为B ,则a=______.(5)设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9, 若4.0-=X Z ,则Y 与Z 的相关系数为________.(6)设总体X 服从参数为2的指数分布,n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本,则当∞→n 时,∑==ni i n X n Y 121依概率收敛于______.二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设f(x)为不恒等于零的奇函数,且)0(f '存在,则函数xx f x g )()(=(A) 在x=0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x=0.(C) 在x=0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x=0. [ ](2)设可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值,则下列结论正确的是(A) ),(0y x f 在0y y =处的导数等于零. (B )),(0y x f 在0y y =处的导数大于零.(C) ),(0y x f 在0y y =处的导数小于零. (D) ),(0y x f 在0y y =处的导数不存在.[ ](3)设2n n n a a p +=,2nn n a a q -=, ,2,1=n ,则下列命题正确的是(A) 若∑∞=1n n a 条件收敛,则∑∞=1n n p 与∑∞=1n n q 都收敛.(B) 若∑∞=1n n a 绝对收敛,则∑∞=1n n p 与∑∞=1n n q 都收敛.(C) 若∑∞=1n n a 条件收敛,则∑∞=1n n p 与∑∞=1n n q 敛散性都不定.(D) 若∑∞=1n n a 绝对收敛,则∑∞=1n n p 与∑∞=1n n q 敛散性都不定.[ ](4)设三阶矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a b b b a b b b a A ,若A 的伴随矩阵的秩为1,则必有 (A) a=b 或a+2b=0. (B) a=b 或a+2b ≠0.(C) a ≠b 且a+2b=0. (D) a ≠b 且a+2b ≠0. [ ](5)设s ααα,,,21 均为n 维向量,下列结论不正确的是 (A) 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有02211≠+++s s k k k ααα ,则s ααα,,,21 线性无关.(B) 若s ααα,,,21 线性相关,则对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有.02211=+++s s k k k ααα(C) s ααα,,,21 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D) s ααα,,,21 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. [ ](6)将一枚硬币独立地掷两次,引进事件:1A ={掷第一次出现正面},2A ={掷第二次出现正面},3A ={正、反面各出现一次},4A ={正面出现两次},则事件(A) 321,,A A A 相互独立. (B) 432,,A A A 相互独立. (C) 321,,A A A 两两独立. (D) 432,,A A A 两两独立. [ ]三、(本题满分8分) 设).1,21[,)1(1sin 11)(∈--+=x x x x x f πππ 试补充定义f(1)使得f(x)在]1,21[上连续.四 、(本题满分8分)设f(u,v)具有二阶连续偏导数,且满足12222=∂∂+∂∂v fu f ,又)](21,[),(22y x xy f y x g -=,求.2222yg x g ∂∂+∂∂五、(本题满分8分) 计算二重积分 .)sin(22)(22dxdy y x e I Dy x+=⎰⎰-+-π其中积分区域D=}.),{(22π≤+y x y x六、(本题满分9分)求幂级数∑∞=<-+12)1(2)1(1n nnx n x 的和函数f(x)及其极值.七、(本题满分9分)设F(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在),(+∞-∞内满足以下条件:)()(x g x f =',)()(x f x g =',且f(0)=0, .2)()(x e x g x f =+ (1) 求F(x)所满足的一阶微分方程; (2) 求出F(x)的表达式.八、(本题满分8分)设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在)3,0(∈ξ,使.0)(='ξf九、(本题满分13分) 已知齐次线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++++=+++++=+++++=+++++,0)(,0)(,0)(,0)(332211332211332211332211nn nn n n n n x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a 其中.01≠∑=n i i a 试讨论n a a a ,,,21 和b 满足何种关系时,(1) 方程组仅有零解;(2) 方程组有非零解. 在有非零解时,求此方程组的一个基础解系.十、(本题满分13分) 设二次型)0(222),,(31232221321>+-+==b x bx x x ax AX X x x x f T ,中二次型的矩阵A 的特征值之和为1,特征值之积为-12. (1) 求a,b 的值; (2) 利用正交变换将二次型f 化为标准形,并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.十一、(本题满分13分) 设随机变量X 的概率密度为;],8,1[,0,31)(32其他若∈⎪⎩⎪⎨⎧=x x x fF(x)是X 的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.十二、(本题满分13分)设随机变量X 与Y 独立,其中X 的概率分布为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7.03.021~X ,而Y 的概率密度为f(y),求随机变量U=X+Y 的概率密度g(u).2004年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、 填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上)(1) 若5)(cos sin lim 0=--→b x ae xx x ,则a =______,b =______. (2) 设函数f (u , v )由关系式f [xg (y ) , y ] = x + g (y )确定,其中函数g (y )可微,且g (y ) ≠ 0,则2fu v∂=∂∂.(3) 设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x ,则212(1)f x dx -=⎰.(4) 二次型213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 .(5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=>}{DX X P _______.(6) 设总体X 服从正态分布),(21σμN , 总体Y 服从正态分布),(22σμN ,1,,21n X X X 和 2,,21n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 则12221112()()2n n i j i j X X Y Y E n n ==⎡⎤-+-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑.二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (7) 函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. (A) (-1 , 0). (B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 ,3). [ ](8) 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义,且a x f x =∞→)(lim , ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)1()(x x x f x g ,则(A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点.(C) x = 0必是g (x )的连续点.(D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关.[ ](9) 设f (x ) = |x (1 - x )|,则(A) x = 0是f (x )的极值点,但(0 , 0)不是曲线y = f (x )的拐点. (B) x = 0不是f (x )的极值点,但(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (C) x = 0是f (x )的极值点,且(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.(D) x = 0不是f (x )的极值点,(0 , 0)也不是曲线y = f (x )的拐点. [ ] (10) 设有下列命题: (1) 若∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛,则∑∞=1n n u 收敛. (2) 若∑∞=1n n u 收敛,则∑∞=+11000n n u 收敛.(3) 若1lim 1>+∞→nn n u u ,则∑∞=1n n u 发散.(4) 若∑∞=+1)(n n n v u 收敛,则∑∞=1n n u ,∑∞=1n n v 都收敛.则以上命题中正确的是(A) (1) (2). (B) (2) (3). (C) (3) (4). (D) (1) (4). [ ](11) 设)(x f '在[a , b]上连续,且0)(,0)(<'>'b f a f ,则下列结论中错误的是 (A) 至少存在一点),(0b a x ∈,使得)(0x f > f (a ). (B) 至少存在一点),(0b a x ∈,使得)(0x f > f (b ). (C) 至少存在一点),(0b a x ∈,使得0)(0='x f .(D) 至少存在一点),(0b a x ∈,使得)(0x f = 0.[ D ](12) 设n 阶矩阵A 与B 等价, 则必有(A) 当)0(||≠=a a A 时, a B =||. (B) 当)0(||≠=a a A 时, a B -=||.(C) 当0||≠A 时, 0||=B . (D) 当0||=A 时, 0||=B . [ ] (13) 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵,0*≠A 若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组 b Ax =的 互不相等的解,则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系 (A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量. [ ](14) 设随机变量X 服从正态分布)1,0(N , 对给定的)1,0(∈α, 数αu 满足αu X P α=>}{,若αx X P =<}|{|, 则x 等于(A) 2αu . (B) 21αu -. (C) 21αu -. (D) αu -1.[ ]三、解答题(本题共9小题,满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15) (本题满分8分)求)cos sin 1(lim 2220xxx x -→.(16) (本题满分8分)求⎰⎰++Dd y y x σ)(22,其中D 是由圆422=+y x 和1)1(22=++y x 所围成的平面区域(如图).(17) (本题满分8分) 设f (x ) , g (x )在[a , b ]上连续,且满足⎰⎰≥xaxa dt t g dt t f )()(,x ∈ [a ,b ),⎰⎰=babadt t g dt t f )()(.证明:⎰⎰≤babadx x xg dx x xf )()(.(18) (本题满分9分) 设某商品的需求函数为Q = 100 - 5P ,其中价格P ∈ (0 , 20),Q 为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性d E (d E > 0);(II) 推导)1(d E Q dPdR-=(其中R 为收益),并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时,降低价格反而使收益增加.(19) (本题满分9分) 设级数)(864264242864+∞<<-∞+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅x x x x 的和函数为S (x ). 求:(I) S (x )所满足的一阶微分方程; (II) S (x )的表达式.(20)(本题满分13分)设T α)0,2,1(1=, T ααα)3,2,1(2-+=, T b αb α)2,2,1(3+---=, T β)3,3,1(-=, 试讨论当b a ,为何值时,(Ⅰ) β不能由321,,ααα线性表示;(Ⅱ) β可由321,,ααα唯一地线性表示, 并求出表示式;(Ⅲ) β可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式. (21) (本题满分13分) 设n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111b b b b b b A . (Ⅰ) 求A 的特征值和特征向量;(Ⅱ) 求可逆矩阵P , 使得AP P 1-为对角矩阵.(22) (本题满分13分)设A ,B 为两个随机事件,且41)(=A P , 31)|(=AB P , 21)|(=B A P , 令 ⎩⎨⎧=不发生,,发生,A A X 0,1 ⎩⎨⎧=.0,1不发生,发生,B B Y 求(Ⅰ) 二维随机变量),(Y X 的概率分布; (Ⅱ) X 与Y 的相关系数 XY ρ;(Ⅲ) 22Y X Z +=的概率分布.(23) (本题满分13分)设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>⎪⎭⎫ ⎝⎛-=,,,αx αx x αβαx F β0,1),,( 其中参数1,0>>βα. 设n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本,(Ⅰ) 当1=α时, 求未知参数β的矩估计量;(Ⅱ) 当1=α时, 求未知参数β的最大似然估计量; (Ⅲ) 当2=β时, 求未知参数α的最大似然估计量.2005年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上)(1)极限12sinlim 2+∞→x xx x = .(2) 微分方程0=+'y y x 满足初始条件2)1(=y 的特解为______.(3)设二元函数)1ln()1(y x xe z y x +++=+,则=)0,1(dz________.(4)设行向量组)1,1,1,2(,),,1,2(a a ,),1,2,3(a ,)1,2,3,4(线性相关,且1≠a ,则a=_____.(5)从数1,2,3,4中任取一个数,记为X, 再从X ,,2,1 中任取一个数,记为Y, 则}2{=Y P =______.(6)设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立,则a= , b= .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)当a 取下列哪个值时,函数a x x x x f -+-=1292)(23恰好有两个不同的零点.(A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. [ ](8)设σd y x I D⎰⎰+=221cos ,σd y x I D⎰⎰+=)cos(222,σd y x I D⎰⎰+=2223)cos(,其中}1),{(22≤+=y x y x D ,则(A) 123I I I >>. (B )321I I I >>.(C) 312I I I >>. (D) 213I I I >>. [ ] (9)设,,2,1,0 =>n a n 若∑∞=1n n a 发散,∑∞=--11)1(n n n a 收敛,则下列结论正确的是(A) ∑∞=-112n n a 收敛,∑∞=12n n a 发散 . (B ) ∑∞=12n n a 收敛,∑∞=-112n n a 发散.(C) )(1212∑∞=-+n n n a a 收敛. (D) )(1212∑∞=--n n n a a 收敛.[ ](10)设x x x x f cos sin )(+=,下列命题中正确的是 (A)f(0)是极大值,)2(πf 是极小值. (B ) f(0)是极小值,)2(πf 是极大值.(C ) f(0)是极大值,)2(πf 也是极大值. (D) f(0)是极小值,)2(πf 也是极小值.[ ](11)以下四个命题中,正确的是(A) 若)(x f '在(0,1)内连续,则f(x)在(0,1)内有界.(B )若)(x f 在(0,1)内连续,则f(x)在(0,1)内有界. (C )若)(x f '在(0,1)内有界,则f(x)在(0,1)内有界.(D) 若)(x f 在(0,1)内有界,则)(x f '在(0,1)内有界. [ ] (12)设矩阵A=33)(⨯ij a 满足T A A =*,其中*A 是A 的伴随矩阵,T A 为A 的转置矩阵. 若131211,,a a a 为三个相等的正数,则11a 为(A)33. (B) 3. (C) 31. (D) 3.[ ](13)设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为21,αα,则1α,)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是(A) 01=λ. (B) 02=λ. (C) 01≠λ. (D) 02≠λ.[ ](14) 设一批零件的长度服从正态分布),(2σμN ,其中2,σμ均未知. 现从中随机抽取16个零件,测得样本均值)(20cm x =,样本标准差)(1cm s =,则μ的置信度为0.90的置信区间是(A) )).16(4120),16(4120(05.005.0t t +- (B) )).16(4120),16(4120(1.01.0t t +-(C))).15(4120),15(4120(05.005.0t t +-(D))).15(4120),15(4120(1.01.0t t +- [ ]三 、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分8分)求).111(lim 0x ex xx --+-→(16)(本题满分8分)设f(u)具有二阶连续导数,且)()(),(y x yf x y f y x g +=,求.222222yg y x g x ∂∂-∂∂(17)(本题满分9分)计算二重积分σd y x D⎰⎰-+122,其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D .(18)(本题满分9分)求幂级数∑∞=-+12)1121(n n x n 在区间(-1,1)内的和函数S(x).(19)(本题满分8分)设f(x),g(x)在[0,1]上的导数连续,且f(0)=0,0)(≥'x f ,0)(≥'x g .证明:对任何a ]1,0[∈,有⎰⎰≥'+'ag a f dx x g x f dx x f x g 01).1()()()()()((20)(本题满分13分) 已知齐次线性方程组(i ) ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,0,0532,032321321321ax x x x x x x x x和(ii ) ⎩⎨⎧=+++=++,0)1(2,03221321x c x b x cx bx x 同解,求a,b, c 的值.(21)(本题满分13分)设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=B C C A D T 为正定矩阵,其中A,B 分别为m 阶,n 阶对称矩阵,C 为n m ⨯矩阵.(I) 计算DP P T,其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-n m E oC A E P 1;(II )利用(I)的结果判断矩阵C A C B T 1--是否为正定矩阵,并证明你的结论.(22)(本题满分13分)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 .,20,10,0,1),(其他x y x y x f <<<<⎩⎨⎧=求:(I ) (X,Y)的边缘概率密度)(),(y f x f Y X ; (II ) Y X Z -=2的概率密度).(z f Z ( III ) }.2121{≤≤X Y P(23)(本题满分13分)设)2(,,,21>n X X X n 为来自总体N(0,2σ)的简单随机样本,X 为样本均值,记.,,2,1,n i X X Y i i =-=求:(I ) i Y 的方差n i DY i ,,2,1, =; (II )1Y 与n Y 的协方差).,(1n Y Y Cov(III )若21)(n Y Y c +是2σ的无偏估计量,求常数c.2006年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、 填空题:1-6小题,每小题4分,共24分. 把答案填在题中横线上. (1)()11lim ______.nn n n -→∞+⎛⎫=⎪⎝⎭(2)设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()e f x f x '=,()21f =,则()2____.f '''=(3)设函数()f u 可微,且()102f '=,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分()1,2d _____.z=(4)设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满足2BA B E =+,则=B .(5)设随机变量X Y 与相互独立,且均服从区间[]0,3上的均匀分布,则{}{}max ,1P X Y ≤=_______.(6)设总体X 的概率密度为()()121,,,,2xn f x e x X X X -=-∞<<+∞为总体X 的简单随机样本,其样本方差为2S ,则2____.ES =二、选择题:7-14小题,每小题4分,共32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.(7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''>>,x ∆为自变量x 在点0x 处的增量,d y y ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ∆>,则 (A) 0d y y <<∆. (B) 0d y y <∆<.(C) d 0y y ∆<<. (D) d 0y y <∆< . [ ](8)设函数()f x 在0x =处连续,且()22lim1h f h h →=,则(A) ()()000f f -'=且存在 (B) ()()010f f -'=且存在(C) ()()000f f +'=且存在 (D)()()010f f +'=且存在 [ ] (9)若级数1n n a ∞=∑收敛,则级数(A) 1n n a ∞=∑收敛 . (B )1(1)n n n a ∞=-∑收敛.(C) 11n n n a a ∞+=∑收敛. (D) 112n n n a a ∞+=+∑收敛. [ ] (10)设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常数,则该方程的通解是(A)[]12()()C y x y x -. (B)[]112()()()y x C y x y x +-.(C)[]12()()C y x y x +. (D)[]112()()()y x C y x y x ++ [ ] (11)设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数,且(,)0y x y ϕ'≠,已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点,下列选项正确的是(A) 若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '≠.(C) 若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '=.(D) 若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '≠. [ ](12)设12,,,s ααα均为n 维列向量,A 为m n ⨯矩阵,下列选项正确的是(A) 若12,,,s ααα线性相关,则12,,,s A A A ααα线性相关. (B)若12,,,s ααα线性相关,则12,,,s A A A ααα线性无关.(C) 若12,,,s ααα线性无关,则12,,,s A A A ααα线性相关.(D) 若12,,,s ααα线性无关,则12,,,s A A A ααα线性无关. [ ] (13)设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ,记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则(A)1C P AP -=. (B)1C PAP -=.(C)T C P AP =. (D)T C PAP =. [ ](14)设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ,Y 服从正态分布222(,)N μσ,且{}{}1211P X P Y μμ-<>-<则必有 (A) 12σσ< (B) 12σσ>(C) 12μμ< (D) 12μμ> [ ]三 、解答题:15-23小题,共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分7分)设()1sin ,,0,01arctan xy y yf x y x y xy xπ-=->>+,求(Ⅰ) ()()lim ,y g x f x y →+∞=;(Ⅱ) ()0lim x g x +→.(16)(本题满分7分)计算二重积分d Dx y ,其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区域.(17)(本题满分10分)证明:当0a b π<<<时,sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.(18)(本题满分8分)在xOy 坐标平面上,连续曲线L 过点()1,0M ,其上任意点()(),0P x y x ≠处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于ax (常数>0a ).(Ⅰ) 求L 的方程;(Ⅱ) 当L 与直线y ax =所围成平面图形的面积为83时,确定a 的值. (19)(本题满分10分)求幂级数()()1211121n n n x n n -+∞=--∑的收敛域及和函数()s x .(20)(本题满分13分)设4维向量组()()()TTT1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,a a a ααα=+=+=+()T44,4,4,4a α=+,问a 为何值时1234,,,αααα线性相关?当1234,,,αααα线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.(21)(本题满分13分)设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()TT121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解. (Ⅰ)求A 的特征值与特征向量;(Ⅱ)求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得T Q AQ =Λ;(Ⅲ)求A 及632A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭,其中E 为3阶单位矩阵.(22)(本题满分13分)设随机变量X 的概率密度为()1,1021,0240,X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩ 其他,令()2,,Y X F x y =为二维随机变量(,)X Y 的分布函数.(Ⅰ)求Y 的概率密度()Y f y ; (Ⅱ)Cov(,)X Y ;(Ⅲ)1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭.(23)(本题满分13分)设总体X 的概率密度为(),01,;1,12,0,x f x x θθθ<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他,其中θ是未知参数()01θ<<,12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本,记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1的个数. (Ⅰ)求θ的矩估计;(Ⅱ)求θ的最大似然估计2007年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一. 选择题(本题共10分小题,每小题4分,满分40分,在每小题给的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在后边的括号内) (1) 当0x +→)A.1-.ln(1B +1C -.1D -(2) 设函数()f x 在0x =处连续,下列命题错误的是: ( )A .若0()limx f x x →存在,则(0)0f = .B 若0()()lim x f x f x x→+-存在,则(0)0f =.C .若0()limx f x x →存在,则'(0)f 存在 .D 若0()()lim x f x f x x→--存在,则'(0)f 存在(3) 如图.连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间[][]2,0,0,2-上图形分别是直径为2的上、下半圆周,设()(),xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是:( ).A .(3)F 3(2)4F =-- .B (3)F 5(2)4F =.C (3)F - 3(2)4F =- .D (3)F -5(2)4F =--(4) 设函数(,)f x y 连续,则二次积分1sin 2(,)xdx f x y dy ππ⎰⎰等于( ).A1arcsin (,)xdy f x y dx ππ+⎰⎰.B 1arcsin (,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰.C 1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ+⎰⎰ .D 1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰(5) 设某商品的需求函数为1602Q ρ=-,其中Q ,ρ分别表示需要量和价格,如果该商品需求弹性的绝对值等于1,则商品的价格是( ) .A 10 .B 20 .C 30 .D 40 (6) 曲线1ln(1),x y e x=++渐近线的条数为( ) .A 0 .B 1 .C 2 .D 3 (7)设向量组线性无关,则下列向量组线相关的是( )(A )12αα-2131,,αααα-- (B)21αα-2331,,αααα++(C )1223312,2,2αααααα--- (D)1223312,2,2αααααα+++(8)设矩阵211121112A --⎧⎫⎪⎪=--⎨⎬⎪⎪--⎩⎭,100010000B ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭则A 与B ( )(A )合同,且相似 (B) 合同,但不相似(C) 不合同,但相似 (D) 既不合同,也不相似(9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为,则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 ( )2()3(1)A p p - 2()6(1)B p p -22()3(1)C p p - 22()6(1)D p p -(10) 设随机变量(,)X Y 服从二维正态分布,且X 与Y 不相关,(),()x y f x f y 分别表示X, Y 的概率密度,则在Y y =条件下,X 的条件概率密度()X Y x y f 为( ) (A )()X f x (B)()y f y (C)()()x y f x f y (D)()()x y f x f y 二、填空题:11-16小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上(11)3231lim (sin cos )________2x x x x x x x →∞+++=+.(12)设函数123y x =+,则()(0)_________n y =.(13)设(,)f u v 是二元可微函数,(,),y x z f x y =则z zy x y∂∂-=∂∂________. (14)微分方程31()2dy y y dx x x =-满足11x y ==的特解为__________. (15)设距阵01000010,00010000A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则3A 的秩为_______. (16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于12的概率为________.三、解答题:17-24小题,共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17)(本题满分10分)设函数()y y x =由方程ln 0y y x y -+=确定,试判断曲线()y y x =在点(1,1)附近的凹凸性.(18)(本题满分11分) 设二元函数2. 1.(,)1 2.x x y f x y x y ⎧+≤⎪=≤+≤计算二重积分(,).Df x y d σ⎰⎰其中{}(,)2D x y x y =+≤(19)(本题满分11分)设函数()f x ,()g x 在[],a b 上内二阶可导且存在相等的最大值,又()f a =()g a ,()f b =()g b ,证明:(Ⅰ)存在(,),a b η∈使得()()f g ηη=; (Ⅱ)存在(,),a b ξ∈使得''()''().f g ξξ= (20)(本题满分10分)将函数21()34f x x x =--展开成1x -的幂级数,并指出其收敛区间.1231232123123(21)(11)020(1)4021(2)x x x x x ax x x a x x x x a a ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩++=-本题满分分设线性方程组与方程有公共解,求的值及所有公共解(22)(本题满分11分)设3阶实对称矩阵A 的特征值12311,2,2,(1,1,1)T λλλα===-=-是A 的属于1λ的一个特征向量.记534B A A E =-+,其中E 为3阶单位矩阵.(Ⅰ)验证1α是矩阵B 的特征向量,并求B 的全部特征值与特征向量; (Ⅱ)求矩阵B.(23)(本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2,01,0 1.(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他 (Ⅰ)求{}2P X Y >;(Ⅱ)求Z X Y =+的概率密度()Z f z . (24)(本题满分11分)设总体X 的概率密度为1,0,21(;),1,2(1)0,x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他.其中参数(01)θθ<<未知,12,,...n X X X 是来自总体X 的简单随机样本,X 是样本均值.(Ⅰ)求参数θ的矩估计量θ;(Ⅱ)判断24X 是否为2θ的无偏估计量,并说明理由.2008年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.(1)设函数()f x 在区间[1,1]-上连续,则0x =是函数0()()xf t dtg x x=⎰的( )()A 跳跃间断点.()B 可去间断点.()C 无穷间断点.()D 振荡间断点.(2)曲线段方程为()y f x =,函数()f x 在区间[0,]a 上有连续的导数,则定积分()at af x dx ⎰等于( )()A 曲边梯形ABCD 面积.()B 梯形ABCD 面积. ()C 曲边三角形ACD 面积.()D 三角形ACD 面积.(3)已知(,)f x y =,则(A )(0,0)x f ',(0,0)y f '都存在 (B )(0,0)x f '不存在,(0,0)y f '存在 (C )(0,0)x f '不存在,(0,0)y f '不存在 (D )(0,0)x f ',(0,0)y f '都不存在 (4)设函数f连续,若22(,)uvD f u v =⎰⎰,其中uv D 为图中阴影部分,则Fu∂=∂( ) (A )2()vf u (B )2()v f u u (C )()vf u (D )()vf u u(5)设A 为阶非0矩阵E 为阶单位矩阵若30A =,则( ) ()A E A -不可逆,E A +不可逆. ()B E A -不可逆,E A+可逆. ()C E A -可逆,E A +可逆.()D E A -可逆,E A +不可逆.(6)设1221A ⎛⎫= ⎪⎝⎭则在实数域上域与A 合同矩阵为( )()A 2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭. ()B 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.()C 2112⎛⎫⎪⎝⎭. ()D 1221-⎛⎫ ⎪-⎝⎭. (7)随机变量,X Y 独立同分布且X 分布函数为()F x ,则{}max ,Z X Y =分布函数为( ) ()A ()2F x .()B ()()F x F y .()C ()211F x --⎡⎤⎣⎦. ()D ()()11F x F y --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦. (8)随机变量()~0,1X N ,()~1,4Y N 且相关系数1XY ρ=,则( )()A {}211P Y X =--=. ()B {}211P Y X =-=.()C {}211P Y X =-+=. ()D {}211P Y X =+=. 二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.(9)设函数21,()2,x x cf x x c x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在(,)-∞+∞内连续,则c = .(10)设341()1x x f x x x ++=+,则2()______f x dx =⎰.(11)设22{(,)1}D x y x y =+≤,则2()Dx y dxdy -=⎰⎰ .(12)微分方程0xy y '+=满足条件(1)1y =的解y = .(13)设3阶矩阵A 的特征值为1,2,2,E 为3阶单位矩阵,则14_____A E --=. (14)设随机变量X 服从参数为1的泊松分布,则{}2P X EX == . 三、解答题:15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) (本题满分10分)求极限201sin lim ln x xx x→.(16) (本题满分10分)设(,)z z x y =是由方程()22x y z x y z ϕ+-=++所确定的函数,其中ϕ具有2阶导数且1ϕ'≠-时.(1)求dz(2)记()1,z z u x y x y x y ⎛⎫∂∂=- ⎪-∂∂⎝⎭,求u x ∂∂. (17) (本题满分11分)计算max(,1),Dxy dxdy ⎰⎰其中{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤.(18) (本题满分10分)设()f x 是周期为2的连续函数, (1)证明对任意实数t ,有()()22t tf x dx f x dx +=⎰⎰;(2)证明()()()202x t t G x f t f s ds dt +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰是周期为2的周期函数.(19) (本题满分10分)设银行存款的年利率为0.05r =,并依年复利计算,某基金会希望通过存款A 万元,实现第一年提取19万元,第二年提取28万元,…,第n 年提取(10+9n )万元,并能按此规律一直提取下去,问A 至少应为多少万元? (20) (本题满分12分)设矩阵2221212n na a aA a a ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭,现矩阵A 满足方程AX B =,其中()1,,Tn X x x =,()1,0,,0B =,(1)求证()1n A n a =+;(2)a 为何值,方程组有唯一解; (3)a 为何值,方程组有无穷多解. (21)(本题满分10分)设A 为3阶矩阵,12,a a 为A 的分别属于特征值1,1-特征向量,向量3a 满足323Aa a a =+,证明(1)123,,a a a 线性无关;(2)令()123,,P a a a =,求1P AP -. (22)(本题满分11分)设随机变量X 与Y 相互独立,X 的概率分布为{}()11,0,13P X i i ===-,Y 的概率密度为()1010Y y f y ≤≤⎧=⎨⎩其它,记Z X Y =+(1)求102P Z X ⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭;(2)求Z 的概率密度. (23) (本题满分11分)12,,,n X X X 是总体为2(,)N μσ的简单随机样本.记11ni i X X n ==∑,2211()1n ii S X X n ==--∑,221T X S n =-. (1)证 T 是2μ的无偏估计量. (2)当0,1μσ==时 ,求DT .2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的,请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)函数3()sin x x f x xπ-=的可去间断点的个数为(A)1. (B)2. (C)3. (D)无穷多个.(2)当0x →时,()sin f x x ax =-与2()ln(1)g x x bx =-是等价无穷小,则(A)1a =,16b =-. (B )1a =,16b =.(C)1a =-,16b =-. (D )1a =-,16b =.(3)使不等式1sin ln x tdt x t>⎰成立的x 的范围是(A)(0,1). (B)(1,)2π. (C)(,)2ππ.(D)(,)π+∞.(4)设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为则函数()()0F x f t dt =⎰的图形为(A)(B)(C) (D) (5)设,A B 均为2阶矩阵,*,A B *分别为,A B 的伴随矩阵,若||2,||3A B ==,则分块矩阵O A B O ⎛⎫ ⎪⎝⎭的伴随矩阵为(A)**32OB AO ⎛⎫⎪⎝⎭.(B)**23O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭.(C)**32O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭.(D)**23O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭. (6)设,A P 均为3阶矩阵,T P 为P 的转置矩阵,且100010002T P AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,若1231223(,,),(,,)P Q ααααααα==+,则T Q AQ 为 (A)210110002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(B)110120002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.(C)200010002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(D)100020002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (7)设事件A 与事件B 互不相容,则(A)()0P AB =. (B)()()()P AB P A P B =.(C)()1()P A P B =-. (D)()1P A B ⋃=.(8)设随机变量X 与Y 相互独立,且X 服从标准正态分布(0,1)N ,Y 的概率分布为1{0}{1}2P Y P Y ====,记()z F Z 为随机变量Z XY =的分布函数,则函数()z F Z 的间断点个数为(A) 0. (B)1. (C)2 . (D)3.二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.(9)cos 0xx →= .(10)设()y x z x e =+,则(1,0)zx ∂=∂ .(11)幂级数21(1)n n nn e x n ∞=--∑的收敛半径为 . (12)设某产品的需求函数为()Q Q P =,其对应价格P 的弹性0.2p ξ=,则当需求量为10000件时,价格增加1元会使产品收益增加 元.(13)设(1,1,1)T α=,(1,0,)T k β=,若矩阵T αβ相似于300000000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,则k = .(14)设1X ,2X ,…,n X 为来自二项分布总体(,)B n p 的简单随机样本,X 和2S 分别为样本均值和样本方差,记统计量2T X S =-,则ET = .三、解答题:15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分9分)求二元函数()22(,)2ln f x y x y y y =++的极值. (16)(本题满分10 分)。
2002 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) ⑴ 设常数12a ≠,则21lim ln[]________(12)n n n na n a →∞-+=-. 【分析】将所求极限转换为1ln[1](12)lim1n n a n→∞+-,利用等价无穷小代换化简求解,或利用重要极限。
【详解】法一:11ln[1]211(12)(12)lim ln[]limlim 11(12)12nn n n n na n a n a n a an n→∞→∞→∞+-+--===-- 法二:11(12)12122111lim ln[]lim ln[1]lim ln (12)(12)12n a n aa n n n n na e n a n a a-⨯--→∞→∞→∞-+=+==---⑵ 交换积分次序:111422104(,)(,)________yyydy f x y dx dy f x y dx +=⎰⎰⎰⎰.【分析】写出对应的二重积分积分域D 的不等式,画出D 的草图后,便可写出先对y 后对x 的二次积分【详解】对应的积分区域12D D D =+,其中11(,)0,4D x y y y x y ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭2111(,),422D x y y y x ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭画出D 的草图如右图所示,则D 也可表示为 21(,)0,2D x y x x y x ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭故211114222104(,)(,)(,)yxyyxdy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy +=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⑶ 设三阶矩阵122212304A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,三维列向量(,1,1)Ta α=。
已知A α与α线性相关,则______a =。
【分析】由A α与α线性相关知,存在常数k 使得A k αα=,及对应坐标成比例,由此求出a【详解】由于122212123304134a a A a a α-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦由A α与α线性相关可得:233411a a a a ++==,从而1a =-。
2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题 (1)【答案】112a- 【详解】ln “”里面为1∞“”型,通过凑成重要极限形式来求极限, 1(12)12211limln limln 1(12)(12)nn a an n n na n a n a -⋅-→∞→∞⎡⎤⎡⎤-+=+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦(12)11lim ln 112(12)n a n a n a -→∞⎡⎤=+⎢⎥--⎣⎦11ln 1212e a a==--.(2)【答案】2120(,)xxdx f x y dy ⎰⎰【详解】画出与原题中二次积分的限所对应的积分区域1D 与2D ,将它们的并集记为D . 于是111422104(,)(,)yydy f x y dx dy f x y dx +⎰⎰⎰(,)Df x y d σ=⎰⎰.再将后者根据积分定义化为如下形式,即2102x y x x →→从,从,所以2120(,)(,).xxDf x y d dx f x y dy σ=⎰⎰⎰⎰(3)【答案】1- 【详解】122212123,304134a a A a a α-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪==+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭由于A α与α线性相关,(两个非零向量线性相关,则对应分量成比例),所以有233411a a aa++==,得2334, 1.a a a+=+=-或,(0)A k kαα=≠(两个非零向量线性相关,则其中一个可以由另一个线性表出)即231341a aa ka⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+=⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭,得2334a kaa ka k=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩,得 1.(1)a k=-=(4)【答案】0.02-.【详解】2X、2Y和2X2Y都是01-分布,而01-分布的期望值恰为取1时的概率p.由离散型随机变量X和Y的联合概率分布表可得2X的可能取值为0和1,且2Y的可能取值也为0和1,且X和Y的边缘分布为{}00.070.180.150.4P X==++=;{}10.080.320.200.6P X==++=;{}10.070.080.15P Y=-=+=;{}00.180.320.5P Y==+=;{}10.150.200.35P Y==+=;故有{}{}220,00,00.18,P X Y P X Y======{}{}{}220,10,10,10.070.150.22, P X Y P X Y P X Y=====-+===+= {}{}221,01,00.32,P X Y P X Y======{}{}{}221,11,11,10.080.200.28, P X Y P X Y P X Y=====-+===+=而边缘分布律:{}{}2000.4P X P X====,{}{}2110.6P X P X====,{}{}2000.5P Y P Y====,{}{}{}21110.150.350.5P Y P Y P Y===-+==+=所以,22(,)X Y的联合分布及其边缘分布为由上表同理可求得22X Y 的分布律为所以由01-分布的期望值恰为取1时的概率p 得到:2222222222()0.5()0.60,(0.28cov ()()0.280.60.50.02E X E Y E X Y X Y E X Y E X E Y ====-=-⨯=-,)(,)()(5)【答案】1X -.【详解】矩估计的实质在于用样本矩来估计相应的总体矩,此题中被估参数只有一个,故只需要用样本一阶原点矩(样本均值)来估计总体的一阶原点矩(期望) 期望 ()()()1x E X xf x dx xe dx θθθ+∞+∞---∞===+⎰⎰样本均值 11ni i X X n ==∑用样本均值估计期望有 EX X =,即 111ni i X n θ=+=∑,解得未知参数θ的矩估计量为 11ˆ11n i i X X n θ==-=-∑.二、选择题 (1)【答案】(B)【详解】方法1:论证法.由题设()f x 在开区间(,)a b 内可导,所以()f x 在(,)a b 内连续,因此,对于(,)a b 内的任意一点ξ,必有lim ()().x f x f ξξ→= 即有lim[()()]0x f x f ξξ→-=.故选(B).方法2:排除法.(A)的反例:1(,]()1x a b f x x a ∈⎧=⎨-=⎩,有()1,()1,()()10f a f b f a f b =-==-<,但()f x 在(,)a b 内无零点.(C)与(D)的反例,(1,1]()11x x f x x ∈-⎧=⎨=-⎩ (1)(1)1f f -==,但()1f x '= (当(1,1)x ∈-),不满足罗尔中值定理,当然也不满足拉格朗日中值定理的结论.故选(B).(2)【答案】(D)【详解】方法1:A 是m n ⨯矩阵,B 是n m ⨯矩阵,则AB 是m 阶方阵,因()min((),())r AB r A r B ≤.当m n >时,有()min((),())r AB r A r B n m ≤≤<.(系数矩阵的秩小于未知数的个数)方程组()0AB x =必有非零解,故应选(D).方法2:B 是n m ⨯矩阵, 当m n >时,,则()r B n =,(系数矩阵的秩小于未知数的个数)方程组0Bx =必有非零解,即存在00x ≠,使得00Bx =,两边左乘A ,得00ABx =,即0ABx =有非零解,故选(D).(3)【答案】(B) 【详解】方法1:由题设根据特征值和特征向量的定义,A αλα=,A 是n 阶实对称矩阵,故TA A =.设()1TP APB -=,则111()TTT T T T T B P A P P AP P A P ---===上式左乘1T P-,右乘TP ,得111()()()T T T T T T P BP P P A P P ---=,即1T T A P BP -=,所以 1()T T A P BP ααλα-==两边左乘TP ,得 1()()T T T T P P BP P αλα-=得()T TB P P αλα=根据特征值和特征向量的定义,知1()TB P AP -=的对应于特征值λ的特征向量为T P α,即应选(B).方法2:逐个验算(A),(B),(C),(D)中哪个选项满足,由题设根据特征值和特征向量的定义,A αλα=,A 是n 阶实对称矩阵,故TA A =.设()1TP AP-属于特征值λ的特征向量为ξ,即()1TP APξλξ-=,其中()111TTTT T T P AP P A P P AP ---==对(A),即令1P ξα-=,代入111()TT P AP P P αλα---≠对(B),1()TT T P AP P α-1()TT T P A P P α-=1[())]T T TP A P P α-=TP A α=()T P λα=成立.故应选(B).(4)【答案】C【分析】(i)2χ变量的典型模式是:222212n X X X χ=+++,其中i X 要求满足:i X 相互独立,(0,1)iX N .称2χ为参数为n 的2χ变量.(ii) F 变量的典型模式是:12//X n F Y n =,其中,X Y 要求满足:X 与Y 相互独立,2212(),()Xn Yn χχ,称F 为参数为()12,n n 的F 变量.【详解】方法1:根据题设条件,X 和Y 均服从(0,1)N .故2X 和2Y 都服从2(1)χ分布,答案应选(C).方法2:题设条件只有X 和Y 服从(0,1)N ,没有X 与Y 的相互独立条件.因此,2X 与2Y的独立条件不存在,选(B)、(D)项均不正确.题中条件既没有X 与Y 独立,也没有(,)X Y 正态,这样就不能推出X Y +服从正态分布的选项(A).根据排除法,正确选项必为(C).三【详解】22000003arctan(1)arctan(1)limlim 1(1cos )2xu x u x x t dt du t dt du x x x→→⎡⎤⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎰⎰⎰⎰等 22arctan(1)lim32x x t dt x →+⎰洛洛20arctan(1)2lim 3x x x x →+⋅2346ππ=⋅=.四【详解】方法1:用一阶微分形式不变性求全微分.123du f dx f dy f dz '''=++(,)z z x y =由x y z xe ye ze -=所确定,两边求全微分,有()()()()()x y z x y z d xe ye d ze d xe d ye d ze -=⇒-=x x y y z z xe dx e dx ye dy e dy ze dz e dz ⇒+--=+,解出 (1)(1),(10).(1)x y ze x dx e y dydz z e z +-+=+≠+设 所以 du =123(1)(1)(1)x y z e x dx e y dyf dx f dy f e z +-+'''++⨯+1323(1)(1)(1)(1)x yz ze x e yf f dx f f dy e z e z ⎡⎤⎡⎤++''''=++-⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦ 方法2:1323,u z u zf f f f x x y y∂∂∂∂''''=+=+∂∂∂∂(根据多元函数偏导数的链式法则) 下面通过隐函数求导得到z x ∂∂,z y∂∂.由x y zxe ye ze -=两边对x 求偏导数,有 (),x x z z z xe e ze e x∂+=+∂ 得x xz zz xe e x ze e ∂+=∂+,(10)z +≠设.类似可得,y y z z z ye e y ze e ∂+=-∂+,代入,u u x y ∂∂∂∂表达式 1323(),()x xy yz z z z u xe e u ye e f f f f x ze ey ze e∂+∂+''''=+⋅=-⋅∂+∂+, 再代入 u udu dx dy x y∂∂=+∂∂中,得 du 1323(1)(1)(1)(1)x y z ze x e yf f dx f f dy e z e z ⎡⎤⎡⎤++''''=++-⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦.五【详解】首先要从2(sin )sin xf x x=求出()f x .命2sin u x =,则有sin x =x =()f u=(通过换元求出函数的表达式)arcsin ()x f x dx x ==sin 2sin cos cos ttt tdt t⎰(换元积分法)sin t tdt =2⎰[]2cos sin t t t C =-++(分部积分法)2C ⎡=+⎣.六【分析】旋转体的体积公式:设有连续曲线:()()y f x a x b Γ=≤≤,()0f x ≥与直线,x a x b ==及x 轴围成平面图形绕x 轴旋转一周产生旋转体的体积2()baV f x dx π=⎰.【详解】(1) ()2225142(32)5aV xdx a ππ==-⎰22222420202a V a a x dy a a πππ=-=<<⎰.(2) 54124(32)5V V V a a ππ=+=-+ 根据一元函数最值的求法要求驻点,令34(1)0dVa a daπ=-=, 得1a = . 当01a <<时0dV da >,当12a <<时0dVda<,因此1a =是V 的唯一极值点且是极大值点,所以是V 的最大值点,129max 5V π=.七【解】(1) 369331()113(3)!(3)!nnn x x x x x y x n n ∞==+++++=+∑+!6!9!,由收敛半径的求法知收敛半径为∞,故由幂级数在收敛区间上逐项可导公式得3311()(1)(3)!(3)!nn n n x x y x n n ∞∞=='⎛⎫''=+= ⎪⎝⎭∑∑3113(3)!n n nx n -∞==∑311(31)!n n x n -∞==-∑,同理得 321(32)!n n x y n -∞=''=-∑从而 ()()()y x y x y x '''++32313111()()(1)(32)!(31)!(3)!n n nn n n x x x n n n --∞∞∞====+++--∑∑∑ 11!nn x n ∞==+∑(由x e 的麦克劳林展开式)x e =这说明,30()(3)!n n x y x n ∞==∑是微分方程xy y y e '''++=的解,并且满足初始条件310(0)1(3)!n n y n ∞==+∑1=,3110(0)(31)!n n y n -∞='=-∑0=. (2)微分方程xy y y e '''++=对应的齐次线性方程为0y y y '''++=,其特征方程为210λλ++=,其特征根为122-±,所以其通解为212[cossin ]22xy e C x C x -=+. 另外,该非齐次方程的特解形式为xy ce =,代入原非齐次方程得x x x xce ce ce e ++=,所以13c =.故微分方程xy y y e '''++=的通解为2121[cossin ]223x x y e C x C x e -=++. 故22121211[cossin ][sin cos ]2222223x xx y e C x C x e C x x e --'=-⨯++-⨯++222112111(2(22222223x x x e C C x e C C x e --=-⨯-⨯-⨯-⨯+由初始条件(0)1,(0)0y y '==得0212100022*********[cos 0sin 0]22331110(20(2022222231123e C C e C e C C e C C e C C ---⎧=++=+⎪⎪⎪=-⨯--⨯-⨯+⎨⎪⎪⎪=-+⎩解得11211311023C C ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩, 于是得到惟一的一组解:122,0.3C C ==从而得到满足微分方程x y y y e '''++=及初始条件(0)1,(0)0y y '==的解,只有一个,为221cos 323x x y e x e -=+另一方面,由(1)已知30()(3)!n n x y x n ∞==∑也是微分方程xy y y e '''++=及初始条件(0)1,(0)0y y '==的解,由微分方程解的唯一性,知321211cos ().(3)!323xn x n x e x e x n ∞-=+=+-∞<<+∞∑八【详解】方法1:因为()f x 与()g x 在[],a b 上连续,所以存在1x 2x 使得1[,]()max ()x a b f x M f x ∈==,2[,]()min ()x a b f x m f x ∈==,满足()m f x M ≤≤.又()0g x >,故根据不等式的性质()()()()mg x f x g x Mg x ≤≤根据定积分的不等式性质有()()()(),b b baaam g x dx f x g x dx M g x dx ≤≤⎰⎰⎰所以 ()().()babaf xg x dxm M g x dx≤≤⎰⎰由连续函数的介值定理知,存在[,]a b ξ∈,使()()()()babaf xg x dxf g x dxξ=⎰⎰即有()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰.方法2:因为()f x 与()g x 在[],a b 上连续,且()0g x >,故()()baf xg x dx ⎰与()bag x dx ⎰都存在,且()0.bag x dx >⎰记()()()babaf xg x dxh g x dx=⎰⎰,于是()()()(),bbbaaaf xg x dxh g x dx hg x dx ==⎰⎰⎰即(())()0baf x hg x dx -=⎰因此必存在(,)a b ξ∈使()f h ξ=.不然,则在(,)a b 内由连续函数的零点定理知要么()f x h -恒为正,从而根据积分的基本性质得(())()0ba f x h g x dx ->⎰;要么()f x h -恒为负,同理得(())()0baf x hg x dx -<⎰,均与(())()0baf x hg x dx -=⎰不符.由此推知存在(,)a b ξ∈使()f h ξ=,从而()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰.九【详解】方法1:对系数矩阵记为A 作初等行变换21311000000n a b b b a b b b b a b b b a a b A bb a b b a a b b b ba b a a b -- -⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭行行行行行行当(0)a b =≠时,()1,0r A AX ==的同解方程组为120n x x x +++=,基础解系中含有1n -个(未知数的个数-系数矩阵的秩)线性无关的解向量,取23,,...,n x x x 为自由未知量,分别取231,0,...,0n x x x ===,230,1,...,0n x x x ===,…,230,0,...,1n x x x ===得方程组1n -个线性无关的解[][][]1211,1,0,,0,1,0,1,0,,0,,1,0,,0,1T T Tn ξξξ-=-=-=-,为基础解系,方程组0AX =的全部解为112211n n X k k k ξξξ--=+++,其中(1,2,1)i k i n =-是任意常数.当a b ≠时,000000ab b b b a a bA b a a bb a a b ⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪→-- ⎪⎪⎪--⎝⎭23110010101001a b a b n a b a b bb ---⎛⎫⎪- ⎪ ⎪→- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭行/()行/()行/() 12131(1)000110010101001bb n ba n b-⨯-⨯-⨯+-⎛⎫⎪-⎪ ⎪→- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭行行行行行行 当a b ≠且(1)a n b ≠--时,(1)0A a n b =+-≠,(),0r A n AX ==仅有零解.当(1)a n b =--时,()1,0r A n AX =-=的同解方程组是121310,0,0,n x x x x x x -+=⎧⎪-+=⎪⎨⎪⎪-+=⎩…… 基础解系中含有1个线性无关的解向量,取1x 为自由未知量,取11x =,得方程组1个非零解[]1,1,,1Tξ=,即其基础解系,故方程组的全部解为X k ξ=,其中k 是任意常数.方法2:方程组的系数行列式a b b bb a b b A b b abb b ba=(1)(1)2...(1)1(1)a n b b bb a n b ab b n a n b b ab a n b b b a+-+-+-+-把第,,列加到第列111[(1)]11b bb a bba nb b ab b ba +-提取第列的公因子 1210003-1[(1)]000-1000bbb a b a n b a bn a b--+---第行第行第行第行第行第行1[(1)]()n a n b a b -=+--(1)当a b ≠且(1)a n b ≠--时,0A ≠,()r A n =方程组只有零解. (2)当(0)a b =≠时,a a a a a a aa A a a a a aa aa ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦21000031000010000a a aa n ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦第行第行第行第行第行第行111100001100000000a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第行方程组的同解方程组为120n x x x +++=基础解系中含有1n -个(未知数的个数-系数矩阵的秩)线性无关的解向量,取23,,...,n x x x 为自由未知量,分别取231,0,...,0n x x x ===,230,1,...,0n x x x ===,…, 230,0,...,1n x x x ===得方程组1n -个线性无关的解[][][]1211,1,0,,0,1,0,1,0,,0,,1,0,,0,1T T Tn ξξξ-=-=-=-,为基础解系,方程组0AX =的全部解为112211n n X k k k ξξξ--=+++,其中(1,2,1)i k i n =-是任意常数.(1)当(1)(0)a n b b =--≠时,(1)(1)(1)(1)n bb b bbn b b b A b b n bb b b b n b -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭1,2,...,11111111111111111n b n n nn ⨯-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪→- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭行分别111121003100100n n n n nn n n -⎛⎫-⎪- ⎪- ⎪- ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭行行行行行行 111111002,...,101011001n n n -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⨯⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭行分别000011002,...,10101001n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪-⎝⎭把第行都依次加到第1行 ()1r A n =-,其同解方程组是121310,0,0,n x x x x x x -=⎧⎪-=⎪⎨⎪⎪-=⎩…… 基础解系中含有1个线性无关的解向量,取1x 为自由未知量,取11x =,得方程组1个非零解[]1,1,,1Tξ=,即其基础解系,故方程组的全部解为X k ξ=,其中k 是任意常数.十【详解】(1) 设λ是A 的任意特征值,α是A 的属于λ的特征向量,根据特征值、特征向量的定义,有 ,0,A αλαα=≠ ①两边左乘A ,得 2A αA λαλλα==2λα= ②②+2*①得 ()()2222A Aαλλα+=+因220A A +=,0α≠,从而上式()()22220A Aαλλα+=+=,所以有220λλ+=,故A 的特征值λ的取值范围为0,2-.因为A 是实对称矩阵,所以必相似于对角阵Λ,且Λ的主对角线上元素由A 的特征值组成,且()()2r A r =Λ=,故A 的特征值中有且只有一个0.(若没有0,则222-⎡⎤⎢⎥Λ=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,故()()3r A r =Λ=与已知矛盾;若有两个0,则200-⎡⎤⎢⎥Λ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,故()()1r A r =Λ=与已知矛盾;若三个全为0,则000⎡⎤⎢⎥Λ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,故()()0r A r =Λ=与已知矛盾). 故220A -⎡⎤⎢⎥Λ=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦即A 有特征值1232,0λλλ==-=.(2)A kE +是实对称矩阵,A 有特征值1232,0λλλ==-=,知A kE +的特征值为2,2,k k k --.因为矩阵正定的充要条件是它的所有的特征值均大于零,故A kE +正定200k k ->⎧⇔⎨>⎩2k k >⎧⇔⎨>⎩2k ⇔> 故2k >时A kE +是正定矩阵.十一【分析】(,)X Y 有四个可能值,可以逐个求出.在计算过程中要注意到取值与U 的值有关.U 的分布为均匀分布,计算概率不用积分都行,可以直接看所占区间的长度比例即可.【详解】(,)X Y 只有四个可能值(1,1),(1,1),(1,1)(1,1)----和.依照题意,有{}{}{}1(2)11,11,11;2(2)4P X Y P U U P U ---=-=-=≤-≤=≤-==--{}{}{}1,11,10;P X Y P U U P =-==≤->=∅= {}{}{}11,11,111;2P X Y P U U P U ==-=>-≤=-<≤={}{}{}11,11,11.4P X Y P U U P U ===>->=>=于是,(,)X Y 分布为(2) 因为22()()[()]D X Y E X Y E X Y +=+-+,所以我们应该知道X Y +和2()X Y +的分布律.对离散型随机变量,X Y +的取值可能有2,0,2;-2()X Y +的取值可能有0和4;{}{}121,1,4P X Y P X Y +=-==-=-={}{}{}1101,11,10,22P X Y P X Y P X Y +====-+=-==+= {}{}121,1,4P X Y P X Y +=====(){}{}2100,2P X Y P X Y +==+==(){}{}{}214222P X Y P X Y P X Y +==+=-++==.X Y +和2()X Y +的分布律分别为和所以由离散型随机变量的数学期望计算公式有:{}1()nk k k E X x P X x ==⋅=∑所以有,2224()0,()2442E X Y E X Y +=-+=+==. 22()()[()]2D X Y E X Y E X Y +=+-+=十二【详解】首先找出随机变量Y 的表达式. Y 由X 和2(小时)来确定,所以min(,2)Y X =.指数分布的X 的分布参数为 11,()5E X λ==其密度函数为: 1510()500x X ex f x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩其中0λ>是参数由分布函数的定义:{}{}()min(,2)F y P Y y P X y =≤=≤(1) 当0y <时,()0Y F y =(因为{}min ,2Y X =,其中X 和2都大于0,那么小于0是不可能事件)(2) 当2y ≥时,()1Y F y =(因为{}min ,2Y X =最大也就取到2,所以小于等于2是一定发生的,是必然事件)(3) 当02y ≤<时, {}{}{}()min(,2)F y P Y y P X y P X y =≤=≤=≤115501()15x y yyX f x dx e dx e ---∞===-⎰⎰所以1500()10212y Y y F y e y y -<⎧⎪⎪=-≤<⎨⎪≥⎪⎩。
qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwert yuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiop asdfghjklzxcvbnmqwertyuiopas dfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg hjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjk lzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcv bnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwe rtyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuio pasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopa sdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdf ghjklzxcvbnmrtyuiopasdfghjklzx2013年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)当0x →时,用()o x 表示比x 高阶的无穷小,则下列式子中错误的是( )(A )23()()x o x o x ⋅= (B )23()()()o x o x o x ⋅= (C )222()()()o x o x o x += (D )22()()()o x o x o x +=(2)函数||1()(1)ln ||x x f x x x x -=+的可去间断点的个数为( ) (A )0 (B )1 (C )2 (D )3(3)设k D 是圆域22{(,)|1}D x y x y =+≤位于第k 象限的部分,记()kk D I y x dxdy=-⎰⎰()1,2,3,4k =,则( )(A )10I >(B )20I >(C )30I >(D )40I >(4)设{}n a 为正项数列,下列选项正确的是( )(A )若111,(1)n n n nn a a a ∞-+=>-∑则收敛(B )11(1)n nn a ∞-=-∑若收敛,则1n n a a +>(C )1nn a ∞=∑若收敛,则存在常数1P >,使lim P nn n a →∞存在(D )若存在常数1P >,使lim P nn n a →∞存在,则1nn a∞=∑收敛(5)设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵,若,B AB C =则可逆,则(A )矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 (B )矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 (C )矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 (D )矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价(6)矩阵1a 1a b a 1a 1⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与2000b 0000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为 (A )a 0,b 2==(B )为任意常数b a ,0= (C )0,2==b a (D )为任意常数b a ,2=(7)设123X X X ,,是随机变量,且22123~N(0,1)~N(~(5,3)X N ,X 0,2),X ,{22}(1,2,3),j j P P X j =-≤≤=则( )(A )123P P P >> (B )213P P P >> (C )312P P P >> (D )132P P P >>(8)设随机变量X 和Y 相互独立,则X 和Y 的概率分布分别为,则{2}P X Y +== ( )(A )112(B )18(C )16(D )12二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸...指定位置上. (9)设曲线)(x f y =和x x y -=2在点)1,0(处有公共的切线,则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→2lim n n nf n ________。
2002年考研答案解析2003年考研数学(三)真题解析一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上)(1)设,0,0,0,1cos )(=≠⎪⎩⎪⎨⎧=x x xx x f 若若λ其导函数在x=0处连续,则λ的取值范围是2>λ. 【分析】 当≠x 0可直接按公式求导,当x=0时要求用定义求导.【详解】 当1>λ时,有,0,0,0,1sin 1cos )(21=≠⎪⎩⎪⎨⎧+='--x x xx x x x f 若若λλλ 显然当2>λ时,有)0(0)(lim 0f x f x '=='→,即其导函数在x=0处连续.(2)已知曲线b x a x y +-=233与x 轴相切,则2b 可以通过a 表示为=2b 64a . 【分析】 曲线在切点的斜率为0,即0='y ,由此可确定切点的坐标应满足的条件,再根据在切点处纵坐标为零,即可找到2b 与a 的关系. 【详解】 由题设,在切点处有03322=-='a x y ,有 .220a x =又在此点y 坐标为0,于是有0300230=+-=b x a x ,故 .44)3(6422202202a a a x a x b =⋅=-=【评注】 有关切线问题应注意斜率所满足的条件,同时切点还应满足曲线方程. (3)设a>0,,x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧==而D 表示全平面,则⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(= 2a .【分析】 本题积分区域为全平面,但只有当10,10≤-≤≤≤x y x 时,被积函数才不为零,因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可. 【详解】 ⎰⎰-=D dxdy x y g x f I )()(=dxdy a x y x ⎰⎰≤-≤≤≤10,102=.])1[(212112a dx x x a dy dx ax x=-+=⎰⎰⎰+【评注】 若被积函数只在某区域内不为零,则二重积分的计算只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分上积分即可.(4)设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a Tα;E 为n 阶单位矩阵,矩阵TE A αα-=, T aE B αα1+=, 其中A 的逆矩阵为B ,则a= -1 .【分析】 这里T αα为n 阶矩阵,而22a T =αα为数,直接通过E AB =进行计算并注意利用乘法的结合律即可. 【详解】 由题设,有)1)((T Ta E E AB αααα+-= =TT T T a a E αααααααα⋅-+-11=TT T T a a E αααααααα)(11-+-=TT T a a E αααααα21-+-=E aa E T=+--+αα)121(,于是有 0121=+--a a ,即 0122=-+a a ,解得 .1,21-==a a 由于A<0 ,故a=-1.(5)设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9, 若4.0-=X Z ,则Y 与Z 的相关系数为0.9 .【分析】 利用相关系数的计算公式即可. 【详解】 因为)4.0()()]4.0([()4.0,cov(),cov(---=-=X E Y E X Y E X Y Z Y =)(4.0)()()(4.0)(Y E X E Y E Y E XY E +-- =E(XY) – E(X)E(Y)=cov(X,Y),且.DX DZ = 于是有 cov(Y,Z)=DZDY Z Y ),cov(=.9.0),cov(==XY DYDX Y X ρ【评注】 注意以下运算公式:DX a X D =+)(,).,cov(),cov(Y X a Y X =+(6)设总体X 服从参数为2的指数分布,n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本,则当∞→n 时,∑==n i i n X n Y 121依概率收敛于 21 .【分析】 本题考查大数定律:一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量n X X X ,,,21 ,当方差一致有界时,其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值: ).(1111∞→→∑∑==n EX n X n ni i pn i i【详解】这里22221,,,nX X X 满足大数定律的条件,且22)(i i i EX DX EX +==21)21(412=+,因此根据大数定律有∑==n i i n X n Y 121依概率收敛于.21112=∑=n i i EX n二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设f(x)为不恒等于零的奇函数,且)0(f '存在,则函数xx f x g )()(=(A) 在x=0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x=0.(C) 在x=0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x=0. [ D ] 【分析】 由题设,可推出f(0)=0 , 再利用在点x=0处的导数定义进行讨论即可. 【详解】 显然x=0为g(x)的间断点,且由f(x)为不恒等于零的奇函数知,f(0)=0. 于是有 )0(0)0()(lim )(lim)(lim 00f x f x f x x f xg x x x '=--==→→→存在,故x=0为可去间断点. 【评注1】 本题也可用反例排除,例如f(x)=x, 则此时g(x)=,0,0,0,1=≠⎩⎨⎧=x x x x 可排除(A),(B),(C)三项,故应选(D).【评注2】 若f(x)在0x x =处连续,则.)(,0)()(lim000A x f x f A x x x f x x ='=⇔=-→.(2)设可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值,则下列结论正确的是(A) ),(0y x f 在0y y =处的导数等于零. (B )),(0y x f 在0y y =处的导数大于零. (C) ),(0y x f 在0y y =处的导数小于零. (D) ),(0y x f 在0y y =处的导数不存在. [ A ] 【分析】 可微必有偏导数存在,再根据取极值的必要条件即可得结论.【详解】 可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值,根据取极值的必要条件知0),(00='y x f y ,即),(0y x f 在0y y =处的导数等于零, 故应选(A).【评注1】 本题考查了偏导数的定义,),(0y x f 在0y y =处的导数即),(00y x f y ';而),(0y x f 在0x x =处的导数即).,(00y x f x '【评注2】 本题也可用排除法分析,取22),(y x y x f +=,在(0,0)处可微且取得极小值,并且有2),0(y y f =,可排除(B),(C),(D), 故正确选项为(A).(3)设2nn n a a p +=,2nn n a a q -=, ,2,1=n ,则下列命题正确的是(A) 若∑∞=1n na条件收敛,则∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛.(B) 若∑∞=1n na绝对收敛,则∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛.(C) 若∑∞=1n na条件收敛,则∑∞=1n np与∑∞=1n nq敛散性都不定.(D) 若∑∞=1n na绝对收敛,则∑∞=1n np与∑∞=1n nq敛散性都不定. [ B ]【分析】 根据绝对收敛与条件收敛的关系以及收敛级数的运算性质即可找出答案. 【详解】 若∑∞=1n na绝对收敛,即∑∞=1n na收敛,当然也有级数∑∞=1n na收敛,再根据2nn n a a p +=,2nn n a a q -=及收敛级数的运算性质知,∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛,故应选(B).(4)设三阶矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a b b b a b b b a A ,若A 的伴随矩阵的秩为1,则必有 (A) a=b 或a+2b=0. (B) a=b 或a+2b ≠0.(C) a ≠b 且a+2b=0. (D) a ≠b 且a+2b ≠0. [ C ] 【分析】 A 的伴随矩阵的秩为1, 说明A 的秩为2,由此可确定a,b 应满足的条件. 【详解】 根据A 与其伴随矩阵A*秩之间的关系知,秩(A)=2,故有0))(2(2=-+=b a b a ab b b a bbb a ,即有02=+b a 或a=b. 但当a=b 时,显然秩(A)2≠, 故必有 a ≠b 且a+2b=0. 应选(C). 【评注】 n (n )2≥阶矩阵A 与其伴随矩阵A*的秩之间有下列关系:.1)(,1)(,)(,0,1,*)(-<-==⎪⎩⎪⎨⎧=n A r n A r n A r n A r(5)设s ααα,,,21 均为n 维向量,下列结论不正确的是(A) 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有02211≠+++s s k k k ααα ,则s ααα,,,21 线性无关.(B) 若s ααα,,,21 线性相关,则对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有.02211=+++s s k k k ααα(C) s ααα,,,21 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D)s ααα,,,21 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. [ B ]【分析】 本题涉及到线性相关、线性无关概念的理解,以及线性相关、线性无关的等价表现形式. 应注意是寻找不正确的命题.【详解】(A): 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有 02211≠+++s s k k k ααα ,则s ααα,,,21 必线性无关,因为若s ααα,,,21 线性相关,则存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,使得 02211=+++s s k k k ααα ,矛盾. 可见(A )成立.(B): 若s ααα,,,21 线性相关,则存在一组,而不是对任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有.02211=+++s s k k k ααα (B)不成立. (C)s ααα,,,21 线性无关,则此向量组的秩为s ;反过来,若向量组s ααα,,,21 的秩为s ,则s ααα,,,21 线性无关,因此(C)成立. (D)s ααα,,,21 线性无关,则其任一部分组线性无关,当然其中任意两个向量线性无关,可见(D)也成立.综上所述,应选(B).【评注】 原命题与其逆否命题是等价的. 例如,原命题:若存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,使得02211=+++s s k k k ααα 成立,则s ααα,,,21 线性相关. 其逆否命题为:若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有02211≠+++s s k k k ααα ,则s ααα,,,21 线性无关. 在平时的学习过程中,应经常注意这种原命题与其逆否命题的等价性.(6)将一枚硬币独立地掷两次,引进事件:1A ={掷第一次出现正面},2A ={掷第二次出现正面},3A ={正、反面各出现一次},4A ={正面出现两次},则事件(A) 321,,A A A 相互独立. (B) 432,,A A A 相互独立.(C) 321,,A A A 两两独立. (D) 432,,A A A 两两独立. [ C ] 【分析】按照相互独立与两两独立的定义进行验算即可,注意应先检查两两独立,若成立,再检验是否相互独立. 【详解】 因为21)(1=A P ,21)(2=A P ,21)(3=A P ,41)(4=A P , 且 41)(21=A A P ,41)(31=A A P ,41)(32=A A P ,41)(42=A A P 0)(321=A A A P ,可见有)()()(2121A P A P A A P =,)()()(3131A P A P A A P =,)()()(3232A P A P A A P =,)()()()(321321A P A P A P A A A P ≠,)()()(4242A P A P A A P ≠.故321,,A A A 两两独立但不相互独立;432,,A A A 不两两独立更不相互独立,应选(C). 【评注】 本题严格地说应假定硬币是均匀的,否则结论不一定成立.三 、(本题满分8分) 设).1,21[,)1(1sin 11)(∈--+=x x x x x f πππ 试补充定义f(1)使得f(x)在]1,21[上连续.【分析】 只需求出极限)(lim 1x f x -→,然后定义f(1)为此极限值即可. 【详解】 因为)(lim 1x f x -→=])1(1sin 11[lim 1x x x x --+-→πππ =xx xx x πππππsin )1(sin )1(lim 111---+-→=xx x xx ππππππππcos )1(sin cos lim 111-+---+-→=xx x x xx ππππππππππsin )1(cos cos sin lim 11221----+-→=.1π由于f(x)在)1,21[上连续,因此定义 π1)1(=f ,使f(x)在]1,21[上连续.【评注】 本题实质上是一求极限问题,但以这种形式表现出来,还考查了连续的概念.在计算过程中,也可先作变量代换y=1-x ,转化为求+→0y 的极限,可以适当简化. 四 、(本题满分8分)设f(u,v)具有二阶连续偏导数,且满足12222=∂∂+∂∂vf u f ,又)](21,[),(22y x xy f y x g -=,求.2222ygx g ∂∂+∂∂ 【分析】 本题是典型的复合函数求偏导问题:),(v u f g =,)(21,22y x v xy u -==,直接利用复合函数求偏导公式即可,注意利用.22uv fv u f ∂∂∂=∂∂∂ 【详解】vf x u f y xg ∂∂+∂∂=∂∂, .vfy u f x y g ∂∂-∂∂=∂∂ 故 v f vf x v u f xy u f y xg ∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂2222222222, .2222222222v f vf y u v f xy u f x yg ∂∂-∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂ 所以 222222222222)()(vf y x u f y x yg x g ∂∂++∂∂+=∂∂+∂∂ =.22y x +【评注】 本题考查半抽象复合函数求二阶偏导.五 、(本题满分8分) 计算二重积分 .)sin(22)(22dxdy y x e I Dy x +=⎰⎰-+-π其中积分区域D=}.),{(22π≤+y x y x【分析】 从被积函数与积分区域可以看出,应该利用极坐标进行计算. 【详解】 作极坐标变换:θθsin ,cos r y r x ==,有dxdy y x e eI Dy x )sin(22)(22+=⎰⎰+-π=.sin 2022dr r re d e r ⎰⎰-πππθ令2r t =,则tdt e e I t sin 0⎰-=πππ.记 t d te A t s i n 0⎰-=π,则 t t de e A --⎰-=int 0π=]cos sin [0⎰----ππtdt e t e t t=⎰--πcos t tde=]sin cos [0tdt e t e t t⎰--+-ππ=.1A e-+-π因此 )1(21π-+=e A , ).1(2)1(2πππππe e e I +=+=-【评注】 本题属常规题型,明显地应该选用极坐标进行计算,在将二重积分化为定积分后,再通过换元与分步积分(均为最基础的要求),即可得出结果,综合考查了二重积分、换元积分与分步积分等多个基础知识点. 六、(本题满分9分)求幂级数∑∞=<-+12)1(2)1(1n n nx n x 的和函数f(x)及其极值.【分析】 先通过逐项求导后求和,再积分即可得和函数,注意当x=0时和为1. 求出和函数后,再按通常方法求极值. 【详解】 .1)1()(1212∑∞=-+-=-='n n n x xx x f 上式两边从0到x 积分,得 ).1ln(211)0()(202x dt t t f x f x+-=+-=-⎰由f(0)=1, 得 ).1(),1ln(211)(2<+-=x x x f 令0)(='x f ,求得唯一驻点x=0. 由于,)1(1)(222x x x f +--=''01)0(<-=''f ,可见f(x)在x=0处取得极大值,且极大值为 f(0)=1.【评注】 求和函数一般都是先通过逐项求导、逐项积分等转化为可直接求和的几何级数情形,然后再通过逐项积分、逐项求导等逆运算最终确定和函数. 七、(本题满分9分) 设F(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在),(+∞-∞内满足以下条件: )()(x g x f =',)()(x f x g =',且f(0)=0, .2)()(x e x g x f =+(1) 求F(x)所满足的一阶微分方程;(2) 求出F(x)的表达式.【分析】 F(x)所满足的微分方程自然应含有其导函数,提示应先对F(x)求导,并将其余部分转化为用F(x)表示,导出相应的微分方程,然后再求解相应的微分方程. 【详解】 (1) 由)()()()()(x g x f x g x f x F '+'=' =)()(22x f x g +=)()(2)]()([2x g x f x g x f -+ =(22)x e -2F(x), 可见F(x)所满足的一阶微分方程为.4)(2)(2x e x F x F =+'(2) ]4[)(222C dx e e e x F dx xdx +⎰⋅⎰=⎰-=]4[42C dx e e x x+⎰-=.22x xCe e-+将F(0)=f(0)g(0)=0代入上式,得 C=-1. 于是.)(22x x e e x F --=【评注】 本题没有直接告知微分方程,要求先通过求导以及恒等变形引出微分方程的形式,从题型来说比较新颖,但具体到微分方程的求解则并不复杂,仍然是基本要求的范围. 八、(本题满分8分) 设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在)3,0(∈ξ,使.0)(='ξf【分析】 根据罗尔定理,只需再证明存在一点c )3,0[∈,使得)3(1)(f c f ==,然后在[c,3]上应用罗尔定理即可. 条件f(0)+f(1)+f(2)=3等价于13)2()1()0(=++f f f ,问题转化为1介于f(x)的最值之间,最终用介值定理可以达到目的.【详解】 因为f(x)在[0,3]上连续,所以f(x)在[0,2]上连续,且在[0,2]上必有最大值M 和最小值m ,于是M f m ≤≤)0(, M f m ≤≤)1(, M f m ≤≤)2(. 故.3)2()1()0(M f f f m ≤++≤由介值定理知,至少存在一点]2,0[∈c ,使.13)2()1()0()(=++=f f f c f因为f(c)=1=f(3), 且f(x)在[c,3]上连续,在(c,3)内可导,所以由罗尔定理知,必存在)3,0()3,(⊂∈c ξ,使.0)(='ξf【评注】 介值定理、微分中值定理与积分中值定理都是常考知识点,且一般是两两结合起来考. 本题是典型的结合介值定理与微分中值定理的情形. 九、(本题满分13分) 已知齐次线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++++=+++++=+++++=+++++,0)(,0)(,0)(,0)(332211332211332211332211nn nn n n n n x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a 其中.01≠∑=ni ia试讨论n a a a ,,,21 和b 满足何种关系时,(1) 方程组仅有零解;(2) 方程组有非零解. 在有非零解时,求此方程组的一个基础解系.【分析】方程的个数与未知量的个数相同,问题转化为系数矩阵行列式是否为零,而系数行列式的计算具有明显的特征:所有列对应元素相加后相等. 可先将所有列对应元素相加,然后提出公因式,再将第一行的(-1)倍加到其余各行,即可计算出行列式的值. 【详解】 方程组的系数行列式ba a a a ab a a a a a b a a a a a ba A n n n n ++++=321321321321=).(11∑=-+ni i n a b b(1) 当0≠b 时且01≠+∑=ni iab 时,秩(A)=n ,方程组仅有零解.(2) 当b=0 时,原方程组的同解方程组为 .02211=+++n n x a x a x a 由01≠∑=ni ia可知,),,2,1(n i a i =不全为零. 不妨设01≠a ,得原方程组的一个基础解系为T a a )0,,0,1,(121 -=α,T a a )0,,1,0,(132 -=α,.)1,,0,0,(,1T n n a a -=α 当∑=-=ni iab 1时,有0≠b ,原方程组的系数矩阵可化为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----∑∑∑∑====n i i n nni inni inni ia a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 1321132131213211(将第1行的-1倍加到其余各行,再从第2行到第n 行同乘以∑=-ni ia11倍)→ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----∑=1001010100113211 n ni ia a a a a( 将第n 行n a -倍到第2行的2a -倍加到第1行,再将第1行移到最后一行)→.0000100101010011⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---由此得原方程组的同解方程组为12x x =,13x x =,1,x x n = . 原方程组的一个基础解系为.)1,,1,1(T =α【评注】 本题的难点在∑=-=ni iab 1时的讨论,事实上也可这样分析:此时系数矩阵的秩为n-1(存在n-1阶子式不为零),且显然T)1,,1,1( =α为方程组的一个非零解,即可作为基础解系.十、(本题满分13分) 设二次型)0(222),,(31232221321>+-+==b x bx x x ax AX X x x x f T ,中二次型的矩阵A 的特征值之和为1,特征值之积为-12.(1) 求a,b 的值;(2) 利用正交变换将二次型f 化为标准形,并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵. 【分析】 特征值之和为A 的主对角线上元素之和,特征值之积为A 的行列式,由此可求出a,b 的值;进一步求出A 的特征值和特征向量,并将相同特征值的特征向量正交化(若有必要),然后将特征向量单位化并以此为列所构造的矩阵即为所求的正交矩阵. 【详解】 (1)二次型f 的矩阵为.200200⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=b b a A 设A 的特征值为).3,2,1(=i i λ 由题设,有1)2(2321=-++=++a λλλ,.12242002002321-=--=-=b a b ba λλλ解得 a=1,b= -2.(2) 由矩阵A 的特征多项式)3()2(22202012+-=+----=-λλλλλλA E ,得A 的特征值.3,2321-===λλλ对于,221==λλ解齐次线性方程组0)2(=-x A E ,得其基础解系T )1,0,2(1=ξ,.)0,1,0(2T =ξ对于33-=λ,解齐次线性方程组0)3(=--x A E ,得基础解系.)2,0,1(3T -=ξ由于321,,ξξξ已是正交向量组,为了得到规范正交向量组,只需将321,,ξξξ单位化,由此得T )51,0,52(1=η,T )0,1,0(2=η,.)52,0,51(3T -=η令矩阵[]⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-==5205101051052321ηηηQ ,则Q 为正交矩阵. 在正交变换X=QY 下,有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=300020002AQ Q T ,且二次型的标准形为.322232221y y y f -+=【评注】 本题求a,b ,也可先计算特征多项式,再利用根与系数的关系确定:二次型f 的矩阵A 对应特征多项式为)].2()2()[2(220022b a a bb aA E +----=+----=-λλλλλλλ设A 的特征值为321,,λλλ,则).2(,2,2232321b a a +-=-=+=λλλλλ由题设得1)2(2321=-+=++a λλλ,.12)2(22321-=+-=b a λλλ解得a=1,b=2. 十一、(本题满分13分) 设随机变量X 的概率密度为;],8,1[,0,31)(32其他若∈⎪⎩⎪⎨⎧=x x x fF(x)是X 的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.【分析】 先求出分布函数F(x) 的具体形式,从而可确定Y=F(X) ,然后按定义求Y 的分布函数即可.注意应先确定Y=F(X)的值域范围)1)(0(≤≤X F ,再对y 分段讨论. 【详解】 易见,当x<1时,F(x)=0; 当x>8 时,F(x)=1. 对于]8,1[∈x ,有 .131)(3132-==⎰x dt t x F x设G(y)是随机变量Y=F(X)的分布函数. 显然,当0<y 时,G(y)=0;当1≥y 时,G(y)=1. 对于)1,0[∈y ,有})({}{)(y X F P y Y P y G ≤=≤= =})1({}1{33+≤=≤-y X P y X P =.])1[(3y y F =+ 于是,Y=F(X)的分布函数为.1,10,0,1,,0)(≥<≤<⎪⎩⎪⎨⎧=y y y y y G 若若若【评注】 事实上,本题X 为任意连续型随机变量均可,此时Y=F(X)仍服从均匀分布:当y<0时,G(y)=0; 当 1≥y 时,G(y)=1;当 01<≤y 时,})({}{)(y X F P y Y P y G ≤=≤= =)}({1y F X P -≤ =.))((1y y F F =- 十二、(本题满分13分)设随机变量X 与Y 独立,其中X 的概率分布为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7.03.021~X , 而Y 的概率密度为f(y),求随机变量U=X+Y 的概率密度g(u).【分析】求二维随机变量函数的分布,一般用分布函数法转化为求相应的概率. 注意X 只有两个可能的取值,求概率时可用全概率公式进行计算.【详解】 设F(y)是Y 的分布函数,则由全概率公式,知U=X+Y 的分布函数为 }{)(u Y X P u G ≤+==}2{7.0}1{3.0=≤++=≤+X u Y X P X u Y X P =}22{7.0}11{3.0=-≤+=-≤X u Y P X u Y P . 由于X 和Y 独立,可见G(u)= }2{7.0}1{3.0-≤+-≤u Y P u Y P =).2(7.0)1(3.0-+-u F u F 由此,得U 的概率密度)2(7.0)1(3.0)()(-'+-'='=u F u F u G u g=).2(7.0)1(3.0-+-u f u f【评注】 本题属新题型,求两个随机变量和的分布,其中一个是连续型一个是离散型,要求用全概率公式进行计算,类似问题以前从未出现过,具有一定的难度和综合性.2003年考研数学(三)真题解析一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上)(1)设,0,0,0,1cos )(=≠⎪⎩⎪⎨⎧=x x xx x f 若若λ其导函数在x=0处连续,则λ的取值范围是2>λ. 【分析】 当≠x 0可直接按公式求导,当x=0时要求用定义求导.【详解】 当1>λ时,有,0,0,0,1sin 1cos )(21=≠⎪⎩⎪⎨⎧+='--x x xx x x x f 若若λλλ 显然当2>λ时,有)0(0)(lim 0f x f x '=='→,即其导函数在x=0处连续.(2)已知曲线b x a x y +-=233与x 轴相切,则2b 可以通过a 表示为=2b 64a . 【分析】 曲线在切点的斜率为0,即0='y ,由此可确定切点的坐标应满足的条件,再根据在切点处纵坐标为零,即可找到2b 与a 的关系. 【详解】 由题设,在切点处有03322=-='a x y ,有 .220a x =又在此点y 坐标为0,于是有0300230=+-=b x a x ,故 .44)3(6422202202a a a x a x b =⋅=-=【评注】 有关切线问题应注意斜率所满足的条件,同时切点还应满足曲线方程. (3)设a>0,,x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧==而D 表示全平面,则⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(= 2a .【分析】 本题积分区域为全平面,但只有当10,10≤-≤≤≤x y x 时,被积函数才不为零,因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可. 【详解】 ⎰⎰-=D dxdy x y g x f I )()(=dxdy a x y x ⎰⎰≤-≤≤≤10,102=.])1[(212112a dx x x a dy dx ax x=-+=⎰⎰⎰+【评注】 若被积函数只在某区域内不为零,则二重积分的计算只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分上积分即可.(4)设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a Tα;E 为n 阶单位矩阵,矩阵TE A αα-=, T aE B αα1+=, 其中A 的逆矩阵为B ,则a= -1 .【分析】 这里T αα为n 阶矩阵,而22a T =αα为数,直接通过E AB =进行计算并注意利用乘法的结合律即可. 【详解】 由题设,有)1)((T Ta E E AB αααα+-= =TT T T a a E αααααααα⋅-+-11=TT T T a a E αααααααα)(11-+-=TT T a a E αααααα21-+-=E aa E T=+--+αα)121(,于是有 0121=+--a a ,即 0122=-+a a ,解得 .1,21-==a a 由于A<0 ,故a=-1.(5)设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9, 若4.0-=X Z ,则Y 与Z 的相关系数为0.9 .【分析】 利用相关系数的计算公式即可. 【详解】 因为)4.0()()]4.0([()4.0,cov(),cov(---=-=X E Y E X Y E X Y Z Y =)(4.0)()()(4.0)(Y E X E Y E Y E XY E +-- =E(XY) – E(X)E(Y)=cov(X,Y),且.DX DZ = 于是有 cov(Y,Z)=DZDY Z Y ),cov(=.9.0),cov(==XY DYDX Y X ρ【评注】 注意以下运算公式:DX a X D =+)(,).,cov(),cov(Y X a Y X =+(6)设总体X 服从参数为2的指数分布,n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本,则当∞→n 时,∑==n i i n X n Y 121依概率收敛于 21 .【分析】 本题考查大数定律:一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量n X X X ,,,21 ,当方差一致有界时,其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值: ).(1111∞→→∑∑==n EX n X n ni i pn i i【详解】这里22221,,,nX X X 满足大数定律的条件,且22)(i i i EX DX EX +==21)21(412=+,因此根据大数定律有∑==n i i n X n Y 121依概率收敛于.21112=∑=n i i EX n二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设f(x)为不恒等于零的奇函数,且)0(f '存在,则函数xx f x g )()(=(A) 在x=0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x=0.(C) 在x=0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x=0. [ D ] 【分析】 由题设,可推出f(0)=0 , 再利用在点x=0处的导数定义进行讨论即可. 【详解】 显然x=0为g(x)的间断点,且由f(x)为不恒等于零的奇函数知,f(0)=0. 于是有 )0(0)0()(lim )(lim)(lim 00f x f x f x x f xg x x x '=--==→→→存在,故x=0为可去间断点. 【评注1】 本题也可用反例排除,例如f(x)=x, 则此时g(x)=,0,0,0,1=≠⎩⎨⎧=x x x x 可排除(A),(B),(C)三项,故应选(D).【评注2】 若f(x)在0x x =处连续,则.)(,0)()(lim000A x f x f A x x x f x x ='=⇔=-→.(2)设可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值,则下列结论正确的是(A) ),(0y x f 在0y y =处的导数等于零. (B )),(0y x f 在0y y =处的导数大于零. (C) ),(0y x f 在0y y =处的导数小于零. (D) ),(0y x f 在0y y =处的导数不存在. [ A ] 【分析】 可微必有偏导数存在,再根据取极值的必要条件即可得结论.【详解】 可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值,根据取极值的必要条件知0),(00='y x f y ,即),(0y x f 在0y y =处的导数等于零, 故应选(A).【评注1】 本题考查了偏导数的定义,),(0y x f 在0y y =处的导数即),(00y x f y ';而),(0y x f 在0x x =处的导数即).,(00y x f x '【评注2】 本题也可用排除法分析,取22),(y x y x f +=,在(0,0)处可微且取得极小值,并且有2),0(y y f =,可排除(B),(C),(D), 故正确选项为(A).(3)设2nn n a a p +=,2nn n a a q -=, ,2,1=n ,则下列命题正确的是(A) 若∑∞=1n na条件收敛,则∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛.(B) 若∑∞=1n na绝对收敛,则∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛.(C) 若∑∞=1n na条件收敛,则∑∞=1n np与∑∞=1n nq敛散性都不定.(D) 若∑∞=1n na绝对收敛,则∑∞=1n np与∑∞=1n nq敛散性都不定. [ B ]【分析】 根据绝对收敛与条件收敛的关系以及收敛级数的运算性质即可找出答案. 【详解】 若∑∞=1n na绝对收敛,即∑∞=1n na收敛,当然也有级数∑∞=1n na收敛,再根据2nn n a a p +=,2nn n a a q -=及收敛级数的运算性质知,∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛,故应选(B).(4)设三阶矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a b b b a b b b a A ,若A 的伴随矩阵的秩为1,则必有 (A) a=b 或a+2b=0. (B) a=b 或a+2b ≠0.(C) a ≠b 且a+2b=0. (D) a ≠b 且a+2b ≠0. [ C ] 【分析】 A 的伴随矩阵的秩为1, 说明A 的秩为2,由此可确定a,b 应满足的条件. 【详解】 根据A 与其伴随矩阵A*秩之间的关系知,秩(A)=2,故有0))(2(2=-+=b a b a ab b b a bbb a ,即有02=+b a 或a=b. 但当a=b 时,显然秩(A)2≠, 故必有 a ≠b 且a+2b=0. 应选(C). 【评注】 n (n )2≥阶矩阵A 与其伴随矩阵A*的秩之间有下列关系:.1)(,1)(,)(,0,1,*)(-<-==⎪⎩⎪⎨⎧=n A r n A r n A r n A r(5)设s ααα,,,21 均为n 维向量,下列结论不正确的是(A) 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有02211≠+++s s k k k ααα ,则s ααα,,,21 线性无关.(B) 若s ααα,,,21 线性相关,则对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有.02211=+++s s k k k ααα(C) s ααα,,,21 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D)s ααα,,,21 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. [ B ]【分析】 本题涉及到线性相关、线性无关概念的理解,以及线性相关、线性无关的等价表现形式. 应注意是寻找不正确的命题.【详解】(A): 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有 02211≠+++s s k k k ααα ,则s ααα,,,21 必线性无关,因为若s ααα,,,21 线性相关,则存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,使得 02211=+++s s k k k ααα ,矛盾. 可见(A )成立.(B): 若s ααα,,,21 线性相关,则存在一组,而不是对任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有.02211=+++s s k k k ααα (B)不成立. (C)s ααα,,,21 线性无关,则此向量组的秩为s ;反过来,若向量组s ααα,,,21 的秩为s ,则s ααα,,,21 线性无关,因此(C)成立. (D)s ααα,,,21 线性无关,则其任一部分组线性无关,当然其中任意两个向量线性无关,可见(D)也成立.综上所述,应选(B).【评注】 原命题与其逆否命题是等价的. 例如,原命题:若存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,使得02211=+++s s k k k ααα 成立,则s ααα,,,21 线性相关. 其逆否命题为:若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有02211≠+++s s k k k ααα ,则s ααα,,,21 线性无关. 在平时的学习过程中,应经常注意这种原命题与其逆否命题的等价性.(6)将一枚硬币独立地掷两次,引进事件:1A ={掷第一次出现正面},2A ={掷第二次出现正面},3A ={正、反面各出现一次},4A ={正面出现两次},则事件(A) 321,,A A A 相互独立. (B) 432,,A A A 相互独立.(C) 321,,A A A 两两独立. (D) 432,,A A A 两两独立. [ C ] 【分析】按照相互独立与两两独立的定义进行验算即可,注意应先检查两两独立,若成立,再检验是否相互独立. 【详解】 因为21)(1=A P ,21)(2=A P ,21)(3=A P ,41)(4=A P , 且 41)(21=A A P ,41)(31=A A P ,41)(32=A A P ,41)(42=A A P 0)(321=A A A P ,可见有)()()(2121A P A P A A P =,)()()(3131A P A P A A P =,)()()(3232A P A P A A P =,)()()()(321321A P A P A P A A A P ≠,)()()(4242A P A P A A P ≠.故321,,A A A 两两独立但不相互独立;432,,A A A 不两两独立更不相互独立,应选(C). 【评注】 本题严格地说应假定硬币是均匀的,否则结论不一定成立.三 、(本题满分8分) 设).1,21[,)1(1sin 11)(∈--+=x x x x x f πππ 试补充定义f(1)使得f(x)在]1,21[上连续.【分析】 只需求出极限)(lim 1x f x -→,然后定义f(1)为此极限值即可. 【详解】 因为)(lim 1x f x -→=])1(1sin 11[lim 1x x x x --+-→πππ =xx xx x πππππsin )1(sin )1(lim 111---+-→=xx x xx ππππππππcos )1(sin cos lim 111-+---+-→=xx x x xx ππππππππππsin )1(cos cos sin lim 11221----+-→=.1π由于f(x)在)1,21[上连续,因此定义 π1)1(=f ,使f(x)在]1,21[上连续.【评注】 本题实质上是一求极限问题,但以这种形式表现出来,还考查了连续的概念.在计算过程中,也可先作变量代换y=1-x ,转化为求+→0y 的极限,可以适当简化. 四 、(本题满分8分)设f(u,v)具有二阶连续偏导数,且满足12222=∂∂+∂∂vf u f ,又)](21,[),(22y x xy f y x g -=,求.2222ygx g ∂∂+∂∂ 【分析】 本题是典型的复合函数求偏导问题:),(v u f g =,)(21,22y x v xy u -==,直接利用复合函数求偏导公式即可,注意利用.22uv fv u f ∂∂∂=∂∂∂ 【详解】vf x u f y xg ∂∂+∂∂=∂∂, .vfy u f x y g ∂∂-∂∂=∂∂ 故 v f vf x v u f xy u f y xg ∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂2222222222, .2222222222v f vf y u v f xy u f x yg ∂∂-∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂ 所以 222222222222)()(vf y x u f y x yg x g ∂∂++∂∂+=∂∂+∂∂ =.22y x +【评注】 本题考查半抽象复合函数求二阶偏导.五 、(本题满分8分) 计算二重积分 .)sin(22)(22dxdy y x e I Dy x +=⎰⎰-+-π其中积分区域D=}.),{(22π≤+y x y x【分析】 从被积函数与积分区域可以看出,应该利用极坐标进行计算. 【详解】 作极坐标变换:θθsin ,cos r y r x ==,有dxdy y x e eI Dy x )sin(22)(22+=⎰⎰+-π=.sin 2022dr r re d e r ⎰⎰-πππθ令2r t =,则tdt e e I t sin 0⎰-=πππ.记 t d te A t s i n 0⎰-=π,则 t t de e A --⎰-=int 0π=]cos sin [0⎰----ππtdt e t e t t=⎰--πcos t tde=]sin cos [0tdt e t e t t⎰--+-ππ=.1A e-+-π因此 )1(21π-+=e A , ).1(2)1(2πππππe e e I +=+=-【评注】 本题属常规题型,明显地应该选用极坐标进行计算,在将二重积分化为定积分后,再通过换元与分步积分(均为最基础的要求),即可得出结果,综合考查了二重积分、换元积分与分步积分等多个基础知识点. 六、(本题满分9分)求幂级数∑∞=<-+12)1(2)1(1n n nx n x 的和函数f(x)及其极值.【分析】 先通过逐项求导后求和,再积分即可得和函数,注意当x=0时和为1. 求出和函数后,再按通常方法求极值. 【详解】 .1)1()(1212∑∞=-+-=-='n n n x xx x f 上式两边从0到x 积分,得 ).1ln(211)0()(202x dt t t f x f x+-=+-=-⎰由f(0)=1, 得 ).1(),1ln(211)(2<+-=x x x f 令0)(='x f ,求得唯一驻点x=0. 由于,)1(1)(222x x x f +--=''01)0(<-=''f ,可见f(x)在x=0处取得极大值,且极大值为 f(0)=1.【评注】 求和函数一般都是先通过逐项求导、逐项积分等转化为可直接求和的几何级数情形,然后再通过逐项积分、逐项求导等逆运算最终确定和函数. 七、(本题满分9分) 设F(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在),(+∞-∞内满足以下条件: )()(x g x f =',)()(x f x g =',且f(0)=0, .2)()(x e x g x f =+(1) 求F(x)所满足的一阶微分方程;(2) 求出F(x)的表达式.【分析】 F(x)所满足的微分方程自然应含有其导函数,提示应先对F(x)求导,并将其余部分转化为用F(x)表示,导出相应的微分方程,然后再求解相应的微分方程. 【详解】 (1) 由)()()()()(x g x f x g x f x F '+'=' =)()(22x f x g +=)()(2)]()([2x g x f x g x f -+ =(22)x e -2F(x), 可见F(x)所满足的一阶微分方程为.4)(2)(2x e x F x F =+'(2) ]4[)(222C dx e e e x F dx xdx +⎰⋅⎰=⎰-=]4[42C dx e e x x+⎰-=.22x xCe e-+将F(0)=f(0)g(0)=0代入上式,得 C=-1. 于是.)(22x x e e x F --=【评注】 本题没有直接告知微分方程,要求先通过求导以及恒等变形引出微分方程的形式,从题型来说比较新颖,但具体到微分方程的求解则并不复杂,仍然是基本要求的范围. 八、(本题满分8分) 设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在)3,0(∈ξ,使.0)(='ξf【分析】 根据罗尔定理,只需再证明存在一点c )3,0[∈,使得)3(1)(f c f ==,然后在[c,3]上应用罗尔定理即可. 条件f(0)+f(1)+f(2)=3等价于13)2()1()0(=++f f f ,问题转化为1介于f(x)的最值之间,最终用介值定理可以达到目的.【详解】 因为f(x)在[0,3]上连续,所以f(x)在[0,2]上连续,且在[0,2]上必有最大值M 和最小值m ,于是M f m ≤≤)0(, M f m ≤≤)1(, M f m ≤≤)2(. 故.3)2()1()0(M f f f m ≤++≤由介值定理知,至少存在一点]2,0[∈c ,使.13)2()1()0()(=++=f f f c f因为f(c)=1=f(3), 且f(x)在[c,3]上连续,在(c,3)内可导,所以由罗尔定理知,必存在)3,0()3,(⊂∈c ξ,使.0)(='ξf【评注】 介值定理、微分中值定理与积分中值定理都是常考知识点,且一般是两两结合起来考. 本题是典型的结合介值定理与微分中值定理的情形. 九、(本题满分13分) 已知齐次线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++++=+++++=+++++=+++++,0)(,0)(,0)(,0)(332211332211332211332211nn nn n n n n x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a 其中.01≠∑=ni ia试讨论n a a a ,,,21 和b 满足何种关系时,(1) 方程组仅有零解;(2) 方程组有非零解. 在有非零解时,求此方程组的一个基础解系.【分析】方程的个数与未知量的个数相同,问题转化为系数矩阵行列式是否为零,而系数行列式的计算具有明显的特征:所有列对应元素相加后相等. 可先将所有列对应元素相加,然后提出公因式,再将第一行的(-1)倍加到其余各行,即可计算出行列式的值. 【详解】 方程组的系数行列式ba a a a ab a a a a a b a a a a a ba A n n n n ++++=321321321321=).(11∑=-+ni i n a b b(1) 当0≠b 时且01≠+∑=ni iab 时,秩(A)=n ,方程组仅有零解.(2) 当b=0 时,原方程组的同解方程组为 .02211=+++n n x a x a x a 由01≠∑=ni ia可知,),,2,1(n i a i =不全为零. 不妨设01≠a ,得原方程组的一个基础解系为T a a )0,,0,1,(121 -=α,T a a )0,,1,0,(132 -=α,.)1,,0,0,(,1T n n a a -=α 当∑=-=ni iab 1时,有0≠b ,原方程组的系数矩阵可化为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----∑∑∑∑====n i i n nni inni inni ia a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 1321132131213211(将第1行的-1倍加到其余各行,再从第2行到第n 行同乘以∑=-ni ia11倍)→ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----∑=1001010100113211 n ni ia a a a a( 将第n 行n a -倍到第2行的2a -倍加到第1行,再将第1行移到最后一行)→.0000100101010011⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---由此得原方程组的同解方程组为12x x =,13x x =,1,x x n = . 原方程组的一个基础解系为.)1,,1,1(T =α【评注】 本题的难点在∑=-=ni iab 1时的讨论,事实上也可这样分析:此时系数矩阵的秩为n-1(存在n-1阶子式不为零),且显然T)1,,1,1( =α为方程组的一个非零解,即可作为基础解系.十、(本题满分13分) 设二次型)0(222),,(31232221321>+-+==b x bx x x ax AX X x x x f T ,中二次型的矩阵A 的特征值之和为1,特征值之积为-12.(1) 求a,b 的值;(2) 利用正交变换将二次型f 化为标准形,并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵. 【分析】 特征值之和为A 的主对角线上元素之和,特征值之积为A 的行列式,由此可求出a,b 的值;进一步求出A 的特征值和特征向量,并将相同特征值的特征向量正交化(若有必要),然后将特征向量单位化并以此为列所构造的矩阵即为所求的正交矩阵. 【详解】 (1)二次型f 的矩阵为.200200⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=b b a A 设A 的特征值为).3,2,1(=i i λ 由题设,有。