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新建变尺度法1概论

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变尺度法ppt课件

变尺度法ppt课件
牛顿法特点
|| ||
xk1 x xk x*
* || ||2
,
0.
▪ 收敛速度快，为二阶收敛。 ▪ 初始点要选在最优点附近。
存在缺点及修正 (1) f ( xk1 ) f ( xk ) ?
xk 1
xk
Gk1
g
，
k
g
为梯度，
k
Gk1海塞阵的逆
(2) 初始点的选取困难，甚至无法实施。 (3) G1的存在性和计算量问题。
按照校正公式Hk 1 Hk Hk , 计算Hk 1使得Hk 1满足 拟Newton 条件 或拟Newton 方程：Hk 1gk xk 。 令 k : k 1，转step 2.
问题 : 如何确定一个合适的H ? k 8
DFP算法
一、DFP法的提出
（1） 1959年Davidon首次提出 （2） 1963年Fletcher和Powell做了改进 （3） 多变量无约束优化问题的一个重要工作
如 果 对Newton法 稍 作 修 正 ：
xk1 xk kd k tk : f ( xk kd k ) min f ( xk d k )
t
则有：f ( xk1 ) f ( xk )。
广义牛顿法
2
问 题 二 ： 如 何 克 服 缺 点 （2） 和 （3）? 4.5 拟牛顿法(变尺度法)
解得 0 0.13, 所以 x1 00.7.034864166。
x0
x1
x0
10..0246611564
,
14
g0
f
(
x1)
f
(x0
)
g1
g0
80..3562932038。
按 照DFP的 校 正 公 式 ：

第七节变尺度法

第七节变尺度法
3）每次搜索产生的方向都是共轭的。
4）计算公式具有递推性，便于迭代。只要给出 ， ，即可往下计算。
5）计算方便，无需计算二阶导数矩阵及其逆矩阵。
六、BFGS法
本章学习要点
1）首先要抓住并理解各种优化方法的基本思想、具体的迭代步骤，读懂计算程序框图；其次是较复杂的数学推导。对于工程技术人员来说，主要是应用。因此，对每种优化方法书中都有较简单的数学模型的例题，用手算的迭代过程，读者将例题与计算程序框图结合起来，认真地阅读理解。有条件最好再上机运算，在实践中进一步理解每种优化方法的迭代逻辑。
5）检查迭代次数，若k=n(完成一轮迭代仍未能满足精度要求)，则令 = 进行下一轮迭代计算；若k n,则进行下一步；
6）构造新的迭代方向
五、DFP法的特点
1）DFP法具有牛顿法的二阶收敛速度，因变尺度矩阵 最终逼近 。
2）对任意给定的初始点 ，都具有最速下降方向 =-▽f( f( )=-▽f( )。
第七节
变尺度法是在克服了梯度法收敛速度慢和牛顿法计算量、存储量大的特点基础上而发展起来的，被公认为是求解无约束优化问题最有效的算法之一，现已在工程优化设计中得到了广泛的应用。变尺度法的种类较多，这里只介绍其中最常用的两种方法：DFP法和BFGS法。DFP变尺度法先由戴维顿（Davidon）于1959年提出，后经费莱彻（Fletcher）和鲍威尔（Powell）于1963年改进而来，故又称DFP法。
一、基本思想
二、构造变尺度矩阵 的基本要求
三、校正矩阵 de推导
四、变尺度法的迭代步骤
1）给定初始点 、收敛精度ε和维数n;
2）置k=0, = =I（n×n阶单位阵），计算梯度 =▽f( ),搜索方向 =- ▽f( )=- ；

DPF变尺度法理论证明

DPF变尺度法理论证明
( j)
H k +1 Ap
( j)
( j)
= H k Ap
(k )
( j)
+
p p p p( j )
(k )
( k )T
Ap
(k )
( j)
( k )T
q
−
Hkq q q
( k ) ( k )T ( k )T
H k q( k )
=p
−
Hkq
( Ap
(k ) T (k )
)
q
( k )T
Hkq
= p( j )
(k ) ( k )T (k )
∆x ∆x H k ∆g ∆g H k H k +1 = H k + ( k ) T ( k ) − ( k )T (k ) ∆x ∆g ∆g H k ∆g
(k ) ( k )T (k ) ( k )T
p p H k q q H k (k ) H k +1q = H k + ( k )T ( k ) − ( k )T q (k ) p q q Hkq ( k ) ( k )T ( k ) ( k ) ( k )T (k ) p p q Hkq q Hkq (k ) =H k q + − =p ( k ) ( k )T ( k ) ( k )T (k ) p q q Hkq
( i )T
p
( k )T
Ap
( j)
= λk d
( k )T
Ap
( j)
= −λk ( H k g k ) Ap
T
( j)
T T T = −λk g k H k Ap ( j ) = −λk g k p ( j ) = −λk λ j g k d ( j ) = 0.

建筑设计尺度常识ppt课件

建筑设计尺度常识ppt课件
阳台： ➢多层建筑阳台栏杆不低于1m ➢高层建筑一般不设阳台或者将阳台封闭，高层建筑阳台栏杆不低 于1.1m
女儿墙： ➢多层建筑：墙高1~1.2m ➢高层建筑：墙高至少1.2m；为避免发生危险通常高度超过胸肩甚
至高过头部达1.5m~1.8m；设有裙房或屋顶网球场之类设施的墙 高可超过 3m，为使平顶视野开阔，可在1m实墙上加做金属网栏 以策安全看全
单人宽 双人宽
0.6m 不小于1.2m
餐饮建筑
PPT学习交流
11
办公楼
办公室净高：一般不低于2.6m，设空调室可不低于2.4m。 走道宽度：单面布置走道1.3~2.2m；双面布置走道1.6~2.2m 走道净高：≥2.1m
办公室常用开间、进深、层高
办公楼
PPT学习交流
12
旅馆客房
旅馆客房
PPT学习交流
电梯、自动扶梯
PPT学习交流
8
浴厕
厕所蹲位隔板（宽*深）
外开门 内开门
0.9m*1.2m 0.9m*1.4m
厕所间隔高度
1.5m~1.8m
淋浴间隔高度
1.8m
并列洗脸盆中心距
不小于0.7m
单侧洗脸盆外沿至对面墙净距
不小于1.25m
双侧洗脸盆外沿之间净距
不小于1.8m
浴盆长边与对面墙净距
不小于0.65m
➢设备管井检查门：一般上框高于普通门齐或低一些，下边留有与踢脚线同高的门槛， 净高1.5m即可
门宽：
➢一般住宅：分户门0.9~1m；分室门0.8~0.9m；厨房门0.8m；卫生间门0.7~0.8m。 为便于现代家具搬入，多取上限尺寸。
➢公共建筑：单扇门1m；双扇门1.2~1.8m。双扇门或多扇门的门扇宽以0.6~1m为宜 ➢太平门：根据计算和规范规定设置。 ➢管道、检修门：一般0.6m ➢车辆或设备：除自身宽度外，没边留出0.3~0.5m空隙。 ➢检修“人孔”：不宜小于0.6m*0.6m。

变尺度法课程设计

变尺度法课程设计

变尺度法课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能理解“变尺度法”的概念及其在数学问题中的应用。

2. 学生掌握运用变尺度法解决实际问题的步骤和方法。

3. 学生能运用变尺度法进行数值计算，并理解其结果的意义。

技能目标：1. 学生能够通过变尺度法简化复杂问题，提高解题效率。

2. 学生培养运用数学模型解决实际问题的能力。

3. 学生通过小组讨论和问题解决，提升合作和沟通技巧。

情感态度价值观目标：1. 学生培养对数学学科的兴趣，认识到数学在实际生活中的应用价值。

2. 学生在学习过程中，形成积极向上的学习态度，勇于面对和解决问题。

3. 学生通过变尺度法的学习，培养探究精神和创新意识，增强对科学研究的信心。

课程性质分析：本课程为数学学科的教学内容，以实际问题为背景，通过引入变尺度法，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

学生特点分析：考虑到学生所在年级的特点，他们对数学基础知识和基本技能已有一定掌握，具备初步的问题分析和解决能力，但对复杂问题仍需指导。

教学要求：1. 教学内容与课本紧密关联，注重培养学生的实际操作能力。

2. 教学过程中，关注学生的个体差异，提供有针对性的指导。

3. 教学评价以学生的实际操作和解决问题能力为主要标准，关注学生在学习过程中的成长和进步。

二、教学内容本章节教学内容主要包括以下三个方面：1. 变尺度法基本概念- 引导学生理解变尺度法的定义，掌握其基本原理。

- 介绍变尺度法在数学和物理学中的应用。

2. 变尺度法的应用实例- 通过具体案例，讲解如何运用变尺度法解决实际问题。

- 分析案例中变尺度法的操作步骤，引导学生学会在实际问题中运用。

教材章节：第三章第五节“变尺度法及其应用”3. 变尺度法实践操作- 布置具有代表性的练习题，让学生动手操作，巩固所学知识。

- 组织学生进行小组讨论，共同解决实践操作中遇到的问题。

教材章节：第三章第六节“变尺度法的实践与应用”教学内容安排与进度：第一课时：导入变尺度法基本概念，介绍其在数学和物理学中的应用。

新建变尺度法1

新建变尺度法1

yes: 则停止，其最小点为 x* : x k 1 No : 转 step 5 。
Step 5. 令 g k 1 f ( x k 1 ) , g k f ( x k ) ,
g k f ( x k 1 ) - f ( x k ) g k 1 - g k , xk x k 1 - x k 。
变尺度法的迭代公式为：
式中 是人为构造的一个n阶对称矩阵，它在迭代过程中 随迭代点的位置变化而变化。若在初始点取 为单位矩 阵E，则公式变为梯度法的迭代公式，搜索方向为负梯度 方向。随着迭代过程不断地修正构造矩阵，使它在整个迭 代过程中逐步地逼近目标函数在极小点处的海森矩阵的逆 矩阵,当 时，公式变为牛顿法的迭代公式，当 迭代点逼近最优点时，搜索方向就趋于牛顿方向。如能实 现这种构想，那就综合了梯度法和牛顿法的优点。 实现上述变尺度法的基本思想，关键在于如何产生合乎要 求的变尺度矩阵 。
2 1 2 2
解：
T 1）取初始点x 0 [1 1]，为了按 DFP法构造第 一次搜寻方向d0，需计算初始点处的梯度
2 x1 - 2 x2 - 4 -4 g 0 f ( x ) 4 x2 - 2 x1 x0 2
0
取初始变尺度矩阵为单位矩阵H0=I，则第一次 搜寻方向为
用矩阵表示为： 变尺度矩阵 必须是对称正定矩阵才能保证变尺度算法拟 牛顿搜索方向是函数值下降方向。 2.为使逐次构造的变尺度矩阵 逐渐逼近海森矩阵的 逆矩阵 ， 须满足拟牛顿条件：

将目标函数展开为Taylor的二次近似式 取其梯度，得
取
为极值点附近第k+1次迭代点，则有：
称为拟牛顿条件或DFP条件，在这个关系式中，只 含有两个迭代点的向量差以及梯度向量差的信息， 也就是说，应通过这两者信息来构造矩阵。

变尺度法ppt课件


满 足 上 述 方 程 的 解 很 多， 我 们 可 以 如 下 确 定 一组 解 ：
k uk uTk gk xk kvkvTk gk Hk gk
这样，我们可以取：
uk xk ,
k uTk gk 1,
vk Hk gk , kvTk gk 1。
10
即：
uk xk , vk Hk gk ,
H I时 梯度法, k
最速下降方向 d k f ( xk ) , 度量为 x xT I x
Hk Gk1时 Newton法 最 速下 降 方 向d k Gk1f ( xk ), 度 量为 x xTGk1 x
也称拟Newton法为变尺度算法。
4
3. 如何对H 附加某些条件使得： k （1）迭代公式具有下降性质 Hk （ 0 正定）
牛顿法特点
|| ||
xk1 x xk x*
* || ||2
,
0.
▪ 收敛速度快，为二阶收敛。 ▪ 初始点要选在最优点附近。
存在缺点及修正 (1) f ( xk1 ) f ( xk ) ?
xk 1
xk
Gk1
g
，
k
g
为梯度，
k
Gk1海塞阵的逆
(2) 初始点的选取困难，甚至无法实施。 (3) G1的存在性和计算量问题。
k
Step3. 令 xk 1 xk kd k , 其中tk : f ( xk kd k ) min f ( xk d k )。
7
Step 4. 判断 xk 1 是否满足终止准则： yes: 计算 stop, 则x* : xk1
No : 转 step 5 。
Step5. 令 gk1 f ( xk1), gk f ( xk ), gk f ( xk1) f ( xk ) gk1 gk , xk xk1 xk 。

第一章 建筑概论


自然的灵感
人类模仿自然
来自日本Age Design工作室的创 意，陶瓷材质的蘸碟。 当往其中倒入酱油之类的有色蘸料， 妙到巅毫的樱花瓣，便会浮现。 充满情趣与地域特色的设计产品。
01
自然的灵感
人类模仿自然
日本 MIYAMA 出品的睡莲陶瓷酱油 味壶碟设计。 碟子摆在桌面有如 睡莲 漂浮在水面 上，调味壶的托碟被设计成 水波的 涟漪。 三圈涟漪的刻度大约分别可装 5 、 15、30毫升酱油等调味品容量，方 便酱油调味配比。
德国维特拉消防站
（二）均衡
2．不对称均衡
02
（2）建筑主体与翼部交汇处高 起并设门廊、雨篷入口，以实为 主，或设垂直要素为中心，而侧 面偏长，多体量，加入水平元素， 以虚为主，使入口中心进一步加 强，形成整体平衡稳定，构成不 对称均衡。
南京丁山宾馆
（二）均衡
2．不对称均衡
03
（3）建筑主体突起实多，翼部 长而低平虚多，突起最容易引人 注意，再加设入口为构图中心， 由于主体实多而重与翼部虚多而 轻，形成整体平衡稳定，构成不 对称均衡。
3．起伏的韵律
起伏的韵律是由 连续重复的元素 在渐变中形成一种 有规律的增减， 而且增减可大可小、可高可低， 从而产生时高时低、时大时小、 似波浪式的起伏变化的韵律。起 伏的韵律与渐变的韵律区别在于， 渐变是组成元素单一增加或减少， 而起伏则是同时增减。
悉尼歌剧院
04
（五）韵律
4．交错的韵律
交错的韵律是指建筑组成的形体、 空间或构件的元素 进行有规律的 纵横穿插或交错 而产生的一种韵 律。和前面提到的 3 种韵律的区 别在于：前三者都是在水平的或 垂直的某一方面上的变化，而交 错的韵律则常是按 纵横两个方向 或多方向 进行的，它的各组成元 素之间的关系更着重于彼此联系 和相互牵制，因而是一种比较复 杂的韵律形式。

变尺度法——精选推荐

§3.5 变尺度法DEF 变尺度法: 1. 变尺度的定义：每确定一次搜索方向，调整一次模（尺度）的大小，称为变尺度。

2. 基本思想：发扬梯度法和牛顿法各自的优点，避免两者各自的缺点，将两者结合起来，形成变尺度法。

3. 变尺度矩阵的构造：原则：使目标函数值有下降性，则变尺度矩阵应为实对称矩阵（请证明）； 使算法有二次收敛性，则 S(k) (k=1,2,…)应关于 H(k) 是共轭的；构造变尺度矩阵的递推公式：4. 修正矩阵:了牛顿法的优点。

矩阵的逆矩阵，而利用及这样避免计算二阶导数即为牛顿法。

最终迭代时，时接近当不断修正尺度，逼近，中间的迭代即为梯度法，，首次迭代时，为拟牛顿方向。

的矩阵一个为变尺度矩阵，是：其中：迭代公式Hesse x f x H S x f x H S x H H x x x H H x f S I H x f H S n n H x f H x x k K k k K k K k k k k k k k k k k k k k k k ,)()]([,,)()]([,)]([*,)]([,)(,)(][,),(][)(1)()()(1)()(1)()()(1)()()()()0()()()()()()()()()1(∇-=∇-→→-∇==∇-=⨯∇-=----+α。

即：件）变尺度条件（拟牛顿条)()]()([,)()1()()1()1()()()1(k k k k k k k k x x x f x f Hx g H -=∇-∇∆=∆⋅∙++++次迭代时的修正矩阵。

为第其中：k E E H H k k k k )()()()1(,+=+5.步骤：（略）6. 方法评价：DEF 变尺度法以逐次逼近的方法实现 H-1 的计算，当目标函数的一阶导数易求时，以一阶代替二阶导数的计算是有效的方法。

算法的第一步是梯度法，最速下降；接近 x* 时，又采用二次收敛的共轭方向，总的收敛速度较快。

CAD尺度调整与单位转换技巧

CAD尺度调整与单位转换技巧在CAD软件中，尺度的调整和单位的转换是设计过程中常会面临的问题之一。

正确的尺度和单位选择直接关系到设计的精确性和工作效率。

本文将介绍一些常见的CAD尺度调整与单位转换技巧，帮助读者更好地处理这些问题。

1. 尺度调整在CAD软件中，尺度调整是指将实际尺寸比例缩放到适合绘制的比例。

常见的尺度调整方法有两种：全局尺度调整和个体尺度调整。

全局尺度调整是指同时对绘图中的所有实体进行比例缩放。

可以通过以下步骤实现：1) 选择所有需要缩放的实体。

2) 进入缩放命令，选择缩放比例。

3) 执行缩放操作，即可完成全局尺度调整。

个体尺度调整是指对绘图中的某个实体进行比例缩放。

可以通过以下步骤实现：1) 选择需要缩放的实体。

2) 进入缩放命令，在命令选项中选择“基点”。

3) 指定缩放基点，确定缩放中心。

4) 指定缩放比例，执行缩放操作。

尺度调整后，需要确保绘图中的所有实体都按照相同的尺度进行绘制，以保证设计的准确性。

2. 单位转换在CAD软件中，单位转换是指将设计中使用的单位转换为另一种单位。

例如，将英制单位转换为公制单位或反之。

常见的单位转换方法有两种：全局单位转换和个体单位转换。

全局单位转换是指将绘图中的所有实体的单位同时进行转换。

可以通过以下步骤实现：1) 进入单位转换命令。

2) 在命令选项中选择需要进行的单位转换。

3) 执行单位转换操作。

个体单位转换是指对绘图中的某个实体的单位进行转换。

可以通过以下步骤实现：1) 选择需要转换单位的实体。

2) 进入单位转换命令，在命令选项中选择需要进行的单位转换。

3) 执行单位转换操作。

单位转换后，需要确保绘图中的所有实体都按照相同的单位进行设计，以保证设计的准确性。

在进行尺度调整和单位转换时，需要注意以下几点：1) 在进行全局尺度调整或单位转换前，最好备份原始设计文件，防止操作错误或不满意后无法找回。

2) 在进行个体尺度调整或单位转换时，需要明确选择需要操作的实体，确保只对需要调整的实体进行操作，并避免对其他实体造成影响。

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d0
-H0 g0
-
1 0
0 1
-4 2
4 -2
x1
x0
0d 0
1 1
0
4 -2
1 1 -
40
2
0
0 为一维搜索最佳步长，应满足
f (x1) min f ( x0 d 0) min(40 2 - 20 - 3)
得:
0 0.25 ,
x1
2 0.5
2）再按DFP法构造点x1处的搜寻方向d1，需计算
例 用DFP算法求下列问题的极值：
f
(x1,
x2 )
x2 1
2
x2 2
-
4x1
-
2x1x2
解： 1）取初始点x0 [1 1]，T 为了按DFP法构造第 一次搜寻方向d0，需计算初始点处的梯度
g0
f
(x0)
2x1 - 2x2 -
4x2 - 2x1
4 x0
-4 2
取初始变尺度矩阵为单位矩阵H0=I，则第一次 搜寻方向为
Step 5. 令 gk1 f (xk1) , gk f (xk ) , gk f (xk1) - f (xk ) gk1 - gk , xk xk1 - xk 。
按照校正公式Hk1 Hk Hk , 计算Hk1使得Hk1满足 拟Newton条件 或拟Newton方程：Hk1gk xk 。 令 k k 1，转step 2.
迭代点逼近最优点时，搜索方向就趋于牛顿方向。如能实
现这种构想，那就综合了梯度法和牛顿法的优点。
实现上述变尺度法的基本思想，关键在于如何产生合乎要
求的变尺度矩阵 。
构造变尺度矩阵的基本要求
根据变尺度法的基本思想，需要构造一个矩阵 ，
使其得到的搜索方向
具有下降性、收
敛性和计算的简便性—为了保证所构造的近似矩阵具有
变尺度法
PPT制作：冯希光 李明勇 演讲人：陈若愚 资料收集者：刘昊 问题收集人：刘庆同 回答问题：李彩军
变尺度的发展
❖ 变尺度法是近几十年来无约束优化方法发展中最重 要的研究成果；
❖ 是基于牛顿法和最速下降法的思想而又作了重要改 进的一类方法；
❖ DFP变尺度法首先有戴维顿（Davidon）与1959年 提出，又于1963年由弗莱彻（Fletcher）和鲍维尔 加以发展和完善，故称DFP变尺度法，简称DFP法。 至今仍被公认为是求解无约束优化问题的最有效的 算法之一。
3.为适应迭代计算的需要，希望变尺度矩阵有如 下递推形式：
式中， 称为第k次校正矩阵，它只依赖于当前的已知量。
从而的DFP公式：
DFP变尺度法算法步骤
Step 1. 给定初始点 x0 ,正定矩阵 A0 E,误差 0，k 0 Step 2. 计算搜索方向 s k - A f ( xk ) ;
-1 -4 3
y0
g1
-
g0
-2
-
2
-4
s0
x1
-
x0
2 0.5
-
1 1
1 -0.5
代入校正公式
E0
1 -0.5
1
-0.5
1
-0.5
3 -4
-
3 -4
3
-4
3
-4
3 -4
梯度为零向量,海赛矩阵正定。可见点满足极值充要 条件，因此为极小点。
x* x2 4 2T
f ( x*) -8
变尺度法的主要特点
⑴只需用到函数的一阶梯度；（Newton法 用到二阶Hesse阵） ⑵收敛速度介于梯度法和牛顿法之间； ⑶不需求矩阵逆；（计算量小）
谢谢！
这些特点，必须：
1.为了使拟牛顿搜索方向
Hale Waihona Puke 朝着目标函数值下降的方向， 必须为对称正定矩阵。
若有目标函数由 点沿 方向具有下降的性质，可知
搜索方向 与负梯度方向
之间的夹角应成锐角，
即两者的点积应大于零：
将
代入上式，则有
用矩阵表示为：
变尺度矩阵 必须是对称正定矩阵才能保证变尺度算法拟 牛顿搜索方向是函数值下降方向。
变尺度法的迭代公式为：
式中 是人为构造的一个n阶对称矩阵，它在迭代过程中
随迭代点的位置变化而变化。若在初始点取 为单位矩
阵E，则公式变为梯度法的迭代公式，搜索方向为负梯度
方向。随着迭代过程不断地修正构造矩阵，使它在整个迭
代过程中逐步地逼近目标函数在极小点处的海森矩阵的逆
矩阵,当
时，公式变为牛顿法的迭代公式，当
0
Step3 : 进行一维搜索 k f (xk k sk ) min f (xk k sk ) 得 k 于是xk1 xk k sk
Step 4. 判断 是否满足终止准则 计算▽ƒ(xk+1)，若
x(k 1) - x(k ) ?
yes:
则停止，其最小点为x* : xk 1
No : 转 step 5 。
2.为使逐次构造的变尺度矩阵 逐渐逼近海森矩阵的
逆矩阵
， 须满足拟牛顿条件：
将目标函数展开为Taylor的二次近似式
取其梯度，得
取 为极值点附近第k+1次迭代点，则有：
称为拟牛顿条件或DFP条件，在这个关系式中，只 含有两个迭代点的向量差以及梯度向量差的信息， 也就是说，应通过这两者信息来构造矩阵。
变尺度法的基本思想
变尺度法的基本思想与梯度法和牛顿法有着密 切的联系。观察梯度法和牛顿法迭代公式：
分析比较这两种方法可知：前者只需计算函数的一阶偏导数，计 算工作量小，但是当迭代点接近最优点时收敛速度很慢。后者不仅 需要计算一阶偏导数而且要计算二阶偏导数矩阵及其逆矩阵，计算 量很大，但牛顿法具有二次收敛性，当迭代点接近最优点时收敛速 度很快。对这两种方法取其优，去其劣，迭代过程先用梯度法，后 用牛顿法并避开牛顿法的海森矩阵的逆矩阵的繁琐计算，这就是萌 生建立“变尺度法”的基本构想。