高中数学课件排列

淘汰制”决出冠军，若共有100名选手参赛，待冠军产生时，共需举
行多少场比赛．
在上述三个问题中，是排列问题的是________．
答案：(1)
题型二 简单的排列问题
例2 (1)某班上午要上语文、数学、体育和外语4门课，又体育老师
因故不能上第一节和第四节，则不同排课方案的种数是(
)
A．24
B．22
C．20
字母与顺序无关；D是排列问题，因为取出的两个数字还需要按顺序排成一
列．故选AD.
3．26 ＝(
A．30
)
B．24
答案：A
6！
解析：A26 ＝
4！
＝6×5＝30.故选A.
C．20
D．15
4．从1，2，3中任取两个数字组成不同的两位数有________个．
答案：6
解析：12，13，21，23，31，32共6个．
)
A．从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小
组
B．从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动
C．从a，b，c，d四个字母中取出2个字母
D．从1，2，3，4四个数字中取出2个数字组成一个两位数
答案：AD
解析：A是排列问题，因为两名同学参加的学习小组与顺序有关； B不是排列
问题，因为两名同学参加的活动与顺序无关；C不是排列问题，因为取出的两个
法？
方法归纳
判断一个具体问题是不是排列问题，就是从n个不同元素中取出m个
元素，判断在安排这m个元素的时候是否有序，有序就是排列，无序
就不是排列，而检验是否有序的根据就是交换元素的“位置”，看结
果是否有变化，有变化就是有序，无变化就是无序．
跟 踪 训 练 1 (1) 在 各 国 举 行 的 足 球 联 赛 中 ， 一 般 采 取 “ 主 客 场

解 (1)先考虑甲有 A13种站法，再考虑其余 6 人全排，故不同站法总数为：A13A66 ＝2 160(种)．
(2)2 名女生站在一起有站法 A22种，视为一种元素与其余 5 人全排，有 A66种排法， 故不同站法总数为：A22·A66＝1 440(种)．
(3)先站老师和女生，有站法 A33种，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插入 男生，每空一人，则插入方法 A44种，故不同站法总数为 A33·A44＝144(种)．
()
4．5本不同的课外读物分给5位同学，每人一本，则不同的分配方法有_____ 种．
答案 120
解析 利用排列的概念可知不同的分配方法有 A55＝120 种． 5．已知 A2n＝7A2n－4，则 n 的值为____________.
答案 7 解析 由排列数公式，得 n(n－1)＝7(n－4)(n－5)，n∈N*，∴3n2－31n＋70＝0， 解得 n＝7 或 n＝130(舍)．
第六章
6.2 排列与组合
6.2.2 排列数
计数原理
课程内容标准
学科素养凝练
1．会用排列数公式进行求值和证明． 2．掌握一些排列问题的常用解决方 法，能应用排列知识解决简单的实际 问题.
在学习排列数、排列数公式及应用的 过程中，强化数学抽象、数学建模、 数学运算的核心素养.
课前 预习案
排列数及排列数公式 1．排列数：从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的___所__有__不__同__排__列__的__个__数__，
(4)7 人全排列中，4 名男生不考虑身高顺序的站法有 A44种，而由高到低有从左到 右和从右到左的不同，故不同站法总数为：2·AA7744＝420(种)．
[方法总结] 解决排队问题时的方法 (1)位置分析法：以位置为主，特殊(受限)的位置优先考虑．有两个以上的束缚 条件时，往往根据其中的一个条件分类处理． (2)元素分析法：以元素为主，先满足特殊(受限)元素的要求，再处理其他元 素．有两个以上的束缚条件时，往往考虑一个元素的同时，兼顾其他元素． (3)对于相邻问题可以采用捆绑的方法，将要相邻的元素捆绑作为一个整体，和 余下的元素按照要求进行排列，最后解捆． (4)对于不相邻问题可以采用插空的方法，先将不相邻的元素拿出来，余下的元 素按要求排列，找满足要求的空，再将不相邻的元素排入． (5)对于顺序给定的元素的排列问题只需考虑其余元素的排列即可．

3
学习新知
2、排列数：
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做
从n个不同的元素中取出m个元素的排列数。用符号
表示。
排列数与一个排列相同吗？
如：问题1中从4个不同的元素a,b,c,d中任取2个元素的排列有
ab、ac、ad、ba、bc、bd、ca、cb、cd、da、db、dc共12个，
：
邢
启
强
14
课堂小结
排列问题，是取出m个元素后，还要按一定的顺序排成
一列，取出同样的m个元素，只要排列顺序不同，就视为
完成这件事的两种不同的方法（两个不同的排列）．
由排列的定义可知，排列与元素的顺序有关，也就是说与
位置有关的问题才能归结为排列问题．当元素较少时，可以
根据排列的意义写出所有的排列．
讲
(n m)!
(n m)! (n m)!
m

讲
课
人
：
邢
启
强
m
A
n
9
练习1：证明：
证明：
讲
课
人
：
邢
启
强
A 8A 7 A A
8
7
6
7
8
7
6
7
A 8A 7 A 8A 8A A A
8
7
6
7
7
7
7
8
7
6
7
7
7
7
10
巩固练习
3
7
1．与 A10·A7不相等的是( B )
8
问题5：证明：（1）
证明：
（1）
m1
n An-1

解：根据排列数公式可得
（1） =7 x 6 x 5 = 210
（2） =7 x 6 x 5 x 4 = 840
!
（3） =!=7 x 6 x 5 = 210

（4） × =6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 6! = 720
A66
A77 7!
x2 y2
(2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．若方程 2＋ 2＝1 表示焦点在
a b
x2 y2
x 轴上的椭圆，则必有 a>b，a，b 的大小关系一定；在双曲线 2－ 2＝1 中，不管
a b
x2 y2
a>b 还是 a<b，方程 2－ 2＝1 均表示焦点在 x 轴上的双曲线，且是不同的双曲线，
a b
有 种取法；
第二类：个位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在
十位和百位，有 种取法；
第三类：十位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在
个位和百位，有 种取法；
根据分类加法计数原理，所求三位数的个数为：
+ + = × × + × + × =
5 4 3 60 .
m
*
A

n
(
n

1)(
n

2)



(
n

m

1).
(
m
,
n

N
且m n )
排列数公式： n
排列数公式的特点：
1. 公式中是m个连续正整数的连乘积；
2. 连乘积中最大因数为n，后面依次减1，最小因数是(n－m＋1).

分析：每组任意2支队之间进行的1场比赛，可以看作是从该组6支队中选取2支，按“主队、
客队”的顺序排成的一个排列.
解：可以先从这6支队中选1支为主队，然后从剩下的5支队中选1支为客队.
按分步乘法计数原理，每组进行的比赛场数为
6×5=30.
典例解析
例2. （1）一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有
一些简单的排列应用题.
温故知新
两个原理的联系与区别
1.联系:分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是解决计数问题最基本、最重要的方法.
2.区别
分类加法计数原理
区别 完成一件事共有n类办法,关
一 键词是“分类”
每类办法中的每种方法都能
独立地完成这件事,它是独立
区别
的、一次的且每种方法得到
二
的都是最后结果,只需一种方
按分步乘法计数原理，不同的取法种数为
5×5×5=125.
概念解析
n!
m
2.排列数公式:n =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=(n-m)!,这里
m,n∈N*,并且 m≤n.
3.全排列和阶乘:n 个不同元素全部取出的一个排列,叫做 n 个元素的一个全排
列.这时,排列数公式中 m=n,即有A =n(n-1)(n-2)×…×3×2×1.也就是说,将 n 个
C.(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m)
D.(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m)
3.某次演出共有6位演员参加,规定甲只能排在第一个或最后一个出场,乙和丙必须排在相
邻的顺序出场,不同的演出顺序共有(
A.24种
B.144种

4、m＜n时的排列叫选排列，m＝n时的排列叫 全排列。
5、为了使写出的所有排列情况既不重复也不 遗漏，最好采用“树形图”。
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素 的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素中
取出m个元素的排列数。用符号 Anm 表示。
问题1 ：从3个不同的元素中取出2个元素的排列
数,记为 A32 3 2 6
这里的每一种排法就是一个排列。
cabc
b
dabd
cbac
a
dbad
a
c
ba c b b da c d
c
ab c a db c d
d
ba d b
cadc
d
ab d a
cbd c
bc a b
a
dc ad
bdab
a
c dac
c
b
ac b a d dc b d
adb a
b
c dbd
d
ac d a
bc d b
上面问题中被取丙
从3个不同的元素a、b、c 中任取2个，按照一定的顺
序排成一列，共有多少种
丙
甲 丙甲 不同的排法？
乙 丙乙
这里的每一种安排方案就是一个排列。
问题二：从a、b、c、d这4个字母中， 每次取出3个按顺序排成一列，共有多少种 不同的排法？并列出所有不同的排法。
例6. 6个人排成一横排，按照下面的要求分别有多 少种不同的排法？ （1）甲不站排头也不站排尾； （2）甲、乙站在两端； （3）甲不站排头，乙不站排尾； （4）甲、乙必须相邻； （5）甲、乙不相邻； （6）甲必须在乙的右边; （7）甲、乙必须相邻且不能站在两端.
【2017天津，理14】用数字1，2，3，4， 5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至 多有一个数字是偶数的四位数，这样的四 位数一共有___________个.（用数字作答）

m n
n! . (n m)!
为了使得上式对m n 时也成立，我们规定0! 1.
另外，为了方便起见，也规定A0n 1 .
例2.
求证：A
m n
mA
m1 n
Am n1
.
A
m n
mA
m1 n
n! m (n m)!
n! [n (m 1)]!
(n
n! m)!
1
n
m
m
1
(n
n! m)!
等价于“从12个不同对象中，任取2个按照先后顺序排成一列”
是“排列”问题.排列数为：A122 12 11 132 .
研究具体计数问题时： （1）先将具体问题转化为等价的数学模型.再辨析是否为
“排列”问题？ 即判断是否具有：①互异性；②有序性.
（2）学会使用排列数，尤其在之后我们研究一些较复 杂的计数问题时，运用排列数会使列式更为简洁.
列）称为全排列.
排列定义中的2个特征： ①取出的对象互不相同； ②取出的对象要按一定的顺序排列.
问题（2）.在甲、乙、丙、丁4名学生中选出2名，分别在某话剧 表演中扮演A和B两个角色，共有多少种不同的选择方法？
（甲、乙）
不同 排列
（乙、甲）
角色A由甲扮演 角色B由乙扮演
（甲、乙）是一个排列
.
角色A由乙扮演 角色B由甲扮演
如：例1（4）：A122 12 11 132 .
阶乘形式：A
m n
n! . (n m)!
排列数中含有“未知量”或需将算式“恒等变换”时，
使用“阶乘”形式，可以简化列式.
如例2.求证：Amn
mA
m1 n
Am n1
.

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所 有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个
元素的组合数，用符号Cnm表示。
注意：1.m个元素必须从这n个元素中取出；
2.组合问题，哪些是排列问题？
1、从a,b,c,d四名学生中选2名学生完成一件工作，
1.排列 定义:一般地,从 n 个不同元素中,任取 m (m≤n) 个元素,按照一定的顺序排成一列, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的 一个排列.
说明:①一次性取出m个元素;②将这m个
元素按一定的顺序排成一列.③ m≤n
注:（相同排列：元素相同，顺序相同.）
例1.下列问题是不是排列问题？ 1．某学校的高二（1）班有50名同学,从 中选出5人组成班委会,共有多少种选法？
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
4）甲不排头，也不排尾，共有几种排法？
甲
5）甲只能排头或排尾，共有几种排法？
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
6）甲不排头，乙不排尾，共有多少种排法？
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三 家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
1）甲站在正中间的排法有几种？
甲
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
2）甲乙两人必须站在两端的排法有几种？
甲
乙
3）甲乙两人不能站在两端的排法有几种？
有多少种不同的选法？
组合
2、从a,b,c,d四名学生中选2名学生完成两件不同的

(4)某商场有四个大门，若从一个大门进去，购买物品后，再从另一个大门出 来，不同的出入方式有多少种？ (5)有红球、黄球、白球各一个，现从这三个小球中任取两个，分别放入甲、乙 两个盒子里，有多少种不同的放法？ 【思维导引】与“顺序”有关是排列问题，与“顺序”无关不是排列问题．
【解析】(1)不是．加法运算满足交换律，所以选出的2个元素做加法时，与两个 元素的位置无关，所以不是排列问题． (2)是．由于取出的两数组成的点的坐标与哪一个数为横坐标，哪一个数为纵坐 标的顺序有关，所以这是一个排列问题． (3)不是．因为任何一种从10名同学中抽取2名同学去学校开座谈会的方式不需要 考虑两个人的顺序，所以这不是排列问题．
3．书架上原来并排放着5本不同的书，现要再插入3本不同的书，那么不同的插 法共有________种(请用数字作答). 【解析】我们可以一本一本插入，先插入一本可以在原来5本书形成的6个空隙中 插入，共有6种插入方法；同理再插入第二本共有7种插入方法，插入第三本共有 8种插入方法，所以共有6×7×8＝336(种)不同的插法． 答案：336
课堂素养达标
1．从2，3，5，7四个数中任选两个分别相除，则得到的结果有( ) A．6个 B．10个 C．12个 D．16个 【解析】选C.从2，3，5，7四个数中任选两个数分别相除，被除数有4种不同选 法，除数有3种不同选法，所以共有4×3＝12个．
2．由1，2，3，4，5组成没有重复数字且1，2都不与5相邻的五位数的个数是 ________． 【解析】先排3，4有2种排法，再插空排5有3种排法，再插空排1有2种排法，插 空排2有3种排法，所以共有2×3×2×3＝36个． 答案：36
(3)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．从5个数中取3个数，与顺序无 关；若这3个数字组成不同的三位数，则与顺序有关．