高三数学综合练习 试卷

韶关市2023届高三综合测试（一）数学注意事项：1.考生务必将自己的姓名、准考证号、学校和班级用黑色字迹的钢笔或签字笔写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集{}2,1,0,1,2U =--，集合{}2,1A =-，{}2320B x x x =-+=∣，则()UA B =（ ） A.{}0,2B.{}1,0-C.{}1,2D.{}1,02．若11z i =+，21(2)z z i =+，1z 是1z 的共轭复数，则2z =（ ）B.2D103．下列区间中，函数()3sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递减区间是（ ） A.0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B.,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C.3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭4．函数433()1x xf x x --=+的部分图象大致为（ ）A. B. C. D.5．已知(3,4)a =，(1,0)b =，c a tb =+，若b c ⊥，则向量c 在向量a 上的投影向量为（ ） A.1625a -B.1625a C.45a -D.45a 6．某污水处理厂采用技术手段清除水中的污染物，同时生产出有用的肥料和清洁用水．已知在处理过程中，每小时可以清理池中残留污染物10％，若要使池中污染物不超过原来的12，至少需要的时间为（结果保留整数，参考数据：lg 20.30≈，lg30.48≈）（ ） A ．6小时B ．7小时C ．8小时D ．9小时7．已知点O 为坐标原点，点F 是双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的右焦点，以OF为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线交于点P ，线段PF 交双曲线C 于点Q .若Q 为PF 的中点，则双曲线的离心率为（ ）C.2D.38．已知函数()2lne xf x x e ex-=-+，若2202120222023202320232023e e e e f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1011()a b =-+，其中0b >，则1||2||a a b+的最小值为（ ）A.34C.54D.2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某电视传媒机构为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了200名观众进行调查，其中女性占40％．根据调查结果分别绘制出男、女观众两周时间收看该类体育节目时长的频率分布直方图，则A.0.08m =B ．女观众收看节目时长的中位数为6.5小时 C.女观众收看节目的平均时长小于男观众的平均时长D ．收看节目不少于9小时观众中的女观众人数是男观众人数的1310．已知正方体1111ABCD A B C D -，设E 是棱BC 的中点，则 A ．1BD ∥平面1C DE B.1BC AC ⊥C ．平面11A BC 与平面ABCD D ．三棱锥1D ACD -与三棱锥1B ACD -体积相等11．设A 是抛物线2:4C x y =上一点，F 是C 的焦点，A 在C 的准线l 上的射影为M ，M 关于点A 的对称点为N ，曲线C 在A 处的切线与准线l 交于点P ，直线NF 交直线l 于点Q ，则A ．F 到l 距离等于4 B.FM FN ⊥C ．FPQ △是等腰三角形D ．||MQ 的最小值为412．以下四个不等关系，正确的是 A.ln1.5ln 41⋅<B.ln1.10.1>C.19202019<D.22ln 24ln 4e >- 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的中间一项的系数为________（具体数字作答）.14．已知(0,)απ∈，且1cos 22sin 2αα-=-，则cos()πα-=________.15．我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念．数学中根据不同定义有好多种距离.平面上，欧几里得距离是()11,A x y 与()22,B x y 两点间的直线距离，即AB d =切比雪夫距离是()11,A x y 与()22,B x y 两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值中的最大值，即{}1212max ,AB d x x y y '=--.已知P 是直线:2150l x y +-=上的动点，当P 与o （o 为坐标原点）两点之间的欧几里得距离最小时，其切比雪夫距离为________.16．已知三棱锥P ABC -中，PBC △为等边三角形，AC AB ⊥，PA BC ⊥，PA =BC =________；若M 、N 分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段MN 的长度的最大值为________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题10分）在ABC △中，D 为AC 的中点，且sin 2sin BDC BAC ∠=∠.（1）证明：2BA BD =；（2）若22AC BC ==，求ABC △的面积． 18．（本小题12分） 已知数列{}n a 的首项145a =，且满足143n n n a a a +=+，设11n n b a =-. （1）求证：数列{}n b 为等比数列； （2）若1231111140na a a a ++++>，求满足条件的最小正整数n . 19．（本小题12分）北京冬奥会的举办使得人们对冰雪运动的关注度和参与度持续提高.某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：（1）从这10所学校中随机抽取2所，在抽取的2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人的条件下，求这2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人的概率；（2）“自由式滑雪”参与人数超过40人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机抽取3所，记X 为选出“基地学校”的个数，求X 的分布列和数学期望； （3）现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试．规定：在一轮测试中，这3个动作至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”．已知在一轮集训测试的3个动作中，甲同学每个动作达到“优秀”的概率均为23，每个动作互不影响且每轮测试互不影响．如果甲同学在集训测试中获得“优秀”次数的平均值不低于8次，那么至少要进行多少轮测试？ 20．（本小题12分）已知矩形ABCD 中，4AB =，2BC =，E 是CD 的中点，如图所示，沿BE 将BCE △翻折至BFE △，使得平面BFE ⊥平面ABCD ．（1）证明：BF AE ⊥；（2）若(01)DP DB λλ=<<是否存在λ，使得PF 与平面DEF 若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.21．（本小题12分）已知椭圆22:142x y C +=的左、右顶点分别为A ，B ，点D （不在x 轴上）为直线6x =上一点，直线AD 交曲线C 于另一点P . （1）证明：PB BC ⊥；（2）设直线BD 交曲线C 于另一点Q ，若圆O （O 是坐标原点）与直线PQ 相切，求该圆半径的最大值. 22．（本小题12分）已知函数2()1f x x =-，()ln(1)g x m x =-，m R ∈.（1）若直线:20l x y -=与()y g x =在(0,(0))g 处的切线垂直，求m 的值；（2）若函数()()()h x g x f x =-存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求证：()()1122x h x x h x >．2023届高三综合测试（一） 数学参考答案及评分标准1.参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数.2.对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数，选择题和填空题不给中间分. 一、单项选择题（每小题5分）1.【解析】由题意，23201,2B x x x =-+==，所以2,1,2AB =-，所以(){} 1,0UA B =-，故选B.2.【解析】21(2)(1)(2)3z z i i i i =+=-+=-，所以，2z ==，故选C.3.【解析】函数()3sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由题意，322()262k x k k Z πππππ+<+<+∈，解得422()33k x k k Z ππππ+<<+∈，取0k =，可得函数()f x 的一个单调递减区间为4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭，故选B. 4.【解析】()f x 是奇函数且(1)0f <，所以选D.5.【解析】因为b c ⊥，所以3t =-，()0,4c =，所以向量c 在向量a 上的投影向量为1625a c a a a a ⋅⋅=，所以选B. 6.【解析】设原来池中污染物的质量为m ，依题意，经过n 小时污染物的质量0.9nm ⋅，所以，10.92nm m ⋅≤，lg 2lg 27.51lg912lg3n ≥=≈--，故选C. 7.【解析】∵以OF 为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线交于点P ，∴OP PF ⊥，∵直线OP 的方程为b y x a =，(),0F c ，∴直线PF 的方程为()ay x c b=--，由()b y x a a y xc b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得2P a x c =，P ab y c =，∵12PQ PF =，∴Q 是PF 的中点，故222Q a c x c +=，2Q ab y c =，代入双曲线方程，得222222221a c ab c c a b ⎛⎫+⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=，整理，得()2222222144aca a c c+-=，222c a =，e =故选A. 法2：∵以OF 为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线交于点P ，∴OP PF ⊥，∴PF b =，从而1122PQ PF b ==，设双曲线左焦点为1F ，连结1QF ，则由定义知11222QF a QF a b =+=+，在Rt FPO △中，cos PF bPFO OF c∠==， 在1FQF △中，由余弦定理得：2221112cos QF QF QF QF QF QFO =+-⋅⋅∠，即2221112(2)22222b a b b c b c c ⎛⎫⎛⎫+=+-⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得a b =，所以e =8.【解析】因为()()()2ln 2()ln 2()e x e e xf x f e x x e e x e ex e e x ---+-=-++--+=-- 由上面结论可得22021202220222023202320232023e e e e f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以2a b +=，其中0b >，则2a b =-. 当0a >时，1||121212()1525111222222224a b a b b a a b a b a b a b a b -+⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+⋅-=++-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当，23a =，43b =时等号成立； 当0a <时，1||112152()11222222ab a a b a b a b a b --⎛⎫⎛⎫+==+⋅++=-+++ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1531224⎛≥-++= ⎝，当且仅当2a =-，4b =时等号成立；因为3544<，所以12a a b+的最小值为34.故选：A.二、多项选择题（全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）.误；对于B ，由频率分布直方图可知，女观众收看时间的352 6.54+⨯=，故B 正确； 对于C，男性观众收看节目的平均时长为40.160.150.480.210120.158.3⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=小时，女性观众收看节目的平均时长为40.260.40.380.110 6.6⨯+⨯+⨯+⨯=小时，故C 正确； 对于D ，由频率直方图可知，男性观众收看到达9小时人数为20060%(0.20.15)42⨯⨯+=人，女性观众收看达到9小时人数为20040%0.18⨯⨯=人，故D 错误.故选：BC. 10.【解析】对于A ，设1CD 交1C D 于F ，可得1EF BD ∥，从而得到1BD ∥平面1C DE ；所以A 正确；对于B ，可以求得1BC ，AC 所成角为3π，所以B 不正确. 对于C ，转化为求平面11A BC 与平面1111A B C D C 不正确； 对于D ，设正方体棱长为1，1116D ACD B ACD V V --==，D 正确.所以选AD. 11.【解析】对于A ，焦点到准线距离2p =，A 不正确.对于B ，因为C ：24x y =的准线为l ：1y =-，焦点为()0,1F ，设()00,A x y ，则()0,1M x -，()00,21N x y +，所以()()200000,2,240FM FN x x y y x ⋅=-⋅=-+=，所以90MFN ∠=︒，（或由抛物线定义知AM AN AF ==，所以90MFN ∠=︒，）故选项B 正确；对于C ，因为A 处的切线斜率，02AP x k =，而20000012242NF x y x k x x ⋅===，所以AP NF k k =， 从而AP NF ∥，又A 是线段MN 中点，所以，P 是线段MQ 的中点，又90MFN ∠=︒， 所以，PQ PF =，所以C 正确. 对于D ，因为02NFx k =，所以直线FN 的方程为012x y x -=，令1y =-，得04,1Q x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以0000444MQ x x x x -=-=+≥=，当且仅当02x =时，最小值为4，故选项D 正确；综上可知选BCD.12.【解析】对于A ，因为，2222ln1.5ln 4ln 6ln ln1.5ln 41244e+⎛⎫⋅<=<= ⎪⎝⎭，所以，A 正确；对于B ，由切线不等式()ln 11x x x <-≠，得ln1.1 1.110.1<-=，B 不正确 对于C ，由19202019<得19ln 2020ln19<，1920ln19ln 20<，设()ln x f x x=，0x >且1x ≠，()()2ln 10ln x f x x -'==，得x e =，当01x <<和1x e <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当x e >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，所以1920ln19ln 20<，C 正确. 对于D ，因为24ln 2ln 4=，22242222ln ln ln 422e e e e e e ==⎛⎫ ⎪⎝⎭，且()()24f f =，且2242e e <<<， 所以()222e f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即224ln 4ln 2e <-，D 正确.故选ACD.二、填空题（第13、14、15题每小题5分，第16题第一空2分，第二空3分）.13.【解析】依题意，展开式的中间一项是第4项，334621(2)T C x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其系数为33362(1)160C ⋅⋅-=-.14.【解析】∵21cos 22sin tan sin 22sin cos αααααα-==，∴tan 2α=-， ∵()0,απ∈，sin 5α=，cos 5α=-，∴cos()cos 5παα-=-=. 15.【解析】因为点P 是直线l ：2150x y +-=上的动点，要使OP 最小，则OP l ⊥，此时2l k =-，所以12POk =，由方程组215012x y y x +-=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得，6x =，3y = 所以，P ，Q 两点之间的比雪夫距离为6.16.【解析】由已知可证明PA ，AB ，AC 两两垂直且长度均为成正方体，如图所示三棱锥的外接球就是正方体的外接球，设外接球的半径为R ，则11322R AG ===. 设三棱锥外接球球心为1O ，内切球球心为2O ，内切球与平面PBC 的切点为K ，易知：1O ，2O ，K 三点均在AG 上，且AK ⊥平面PBC ，设内切球的半径为r ，由等体积法：()1133ACP ABP ABC BCP ABCS S S Sr S AP +++=⋅，得1r =，将几何体沿截面PAEG切开，得到如下截面图：两圆分别为外接球与内切球的大圆，注意到12AK GK =，6AG =，∴4GK =，∴M ，N 两点间距离的最大值为241)2GK r +=+=.四、解答题（第17题10分，第18-22题每题12分）. 17.（本小题满分10分）（1）证明：在ABD △中，由正弦定理得：sin sin BA BDBDA BAD∠∠=即，sin sin BA BDABD BAD∠∠=2分因为()sin sin sin BDA BDC BDC ∠π∠∠=-=，所以，sin sin BA BDCBD BAD∠∠=又由已知sin 2sin BDC BAD ∠∠=所以，2BABD= 2BA BD = 4分设BD x =，则2BA x =，在BCD △中，由余弦定理得：2222cos BD BC CD BC CD BCD ∠=+-⋅即222cos x BCD ∠=-在ABC △中，由余弦定理得：2222cos AB BC AC BC AC BCA ∠=+-⋅即2454cos x BCD ∠=- 7分 解得：3cos 4BCA ∠=，sin BCA ∠∴=所以11sin 1222ABCSBC AC BCA =⋅⋅∠=⨯⨯=. 10分 18.（本小题满分12分）解：（1）11311141111n n n nnn na b a a b a a +++--==-- 2分()()313414n n a a -==- 111114b a =-=数列{}n b 为首项为114b =，公比为34等比数列 5分 （2）由（1）可得12311111111n a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭13144314n⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-314n⎛⎫=- ⎪⎝⎭8分即1231111314nn n a a a a ⎛⎫++++-=- ⎪⎝⎭∴1231111314nn n a a a a ⎛⎫++++=+- ⎪⎝⎭10分 而314nn ⎛⎫+- ⎪⎝⎭随着n 的增大而增大要使1231111140n a a a a ++++>，即311404nn ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，则140n ≥ ∴n 的最小值为140. 12分 19.（本小题满分12分）解：记“这10所学校中随机选取2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人”为事件A ，“这10所学校中随机选取2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人”为事件B则()26210C P A C =，()24210C P AB C =所以，()()()25P AB P B A P A ==∣. 4分 （2）X 的所有可能取值为0,1,2,3，参与“自由式滑雪”人数在40人以上的学校共4所，所以()034631020101206C C P X C ⋅====，()124631060111202C C P X C ⋅====， ()2146310363212010C C P X C ⋅====，()304631041312030C C P X C ⋅====， 所以X 的分布列如下表：所以()23210305E X =+⨯+⨯= 8分（3）记“小小明同学在一轮测试中要想获得“优秀””为事件C ， 则()2332122033327P C C b ===+=， 由题意，小明同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布20,27B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由题意列式20827n ≥，得545n ≥，因为*n N ∈，所以n 的最小值为11，故至少要进行11轮测试 12分 20.（本小题满分12分） （1）证明：依题意ABCD 矩形，4AB =，2BC =，E 是CD 中点分别在等腰直角三角形ADE 和BCE 求得AE BE ==，又4AB =，所以， 222AE BE AB +=AE BE ⊥ 2分因为，平面BEF ⊥平面ABCD 平面BEF 平面ABCD BE = 所以，AE ⊥平面BEF ，又BF ⊂平面BEF ，所以AE BF ⊥ 5分（2）以C 为原点，CD 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，建立如图所示空间直角坐标系.则()0,0,0C ，()4,0,0D ，()0,2,0B ，()2,0,0E ， 设N 是BE 的中点，FE FB =有FN BE ⊥， 又平面BEF ⊥平面ABCD .平面BEF平面ABCD BE =FN ∴⊥平面ABCD ，()1,1,2F 8分假设存在满足题意的λ，则由(01)DP DB λλ=<<. 可得，(43,12PF DB DF λλλ=-+=--. 设平面DEF 的一个法向量为(),,x y z =n ，则00DE DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即2030x xy -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令y =0x =，1z =-，即()1=-n 10分∴PF 与平面DEF 所成的角的正弦值sin cos ,||||PF PF PF θ⋅===nn n=解得34λ=（1λ=舍去） .综上，存在34λ=，使得PF 与平面ADE12分21.（本小题满分12分） 解（1）设()00,P x y ∴002AP y k x =+，直线AD 的方程为()0022y y x x =++， 令6x =，得0086,2y D x ⎛⎫⎪+⎝⎭，∴0000822622BDy x y k x +==-+， 2分 又∵002BPy k x =-，且2200142x y += ∴20002000221224BD BPy y y k k x x x ⋅=⋅==-+--， ∴PB BD ⊥， 4分（2）当直线PQ 不垂直x 轴时，设直线PQ 方程为y kx m =+，()11,P x y ，()22,Q x y 由方程组2224x y y kx m ⎧+=⎨=+⎩得()222124240k xkmx m +++-=()()222Δ(4)412240mk k m =-+⋅->，2242k m +>21212224241212km m x x x x k k --+=⋅=++ 6分由（1）可知，1BD BP k k ⋅=-1212122y yx x ⋅=--- ()121212240x x x x y y ⋅-++⋅+= 又()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m ⋅=++=⋅+++，代入上式得：()()()2212121240k x x km x x m +⋅+-+++= 8分即：()()()2222222124401212m k km km m k k -+-⋅-++=++得到223840mmk k ++=23m k =-或2m k =-（舍去），10分 所以直线PQ 方程为23y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭恒过2,03S ⎛⎫⎪⎝⎭，当PQ 垂直x 轴时，同样成立。

高三数学综合练习题综合练习题一：1. 已知集合$A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$，集合$B = \{3, 4, 5, 6, 7\}$，求集合$A$与集合$B$的交集。

2. 已知函数$f(x) = x^2 + 2x + 1$，求函数$f(x)$在$x = -1$处的函数值。

3. 设集合$C = \{x|x \text{是正整数}, x \leq 10\}$，集合$D = \{2, 4, 6, 8, 10\}$，求集合$C$与集合$D$的并集。

4. 已知等差数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = 2n + 1$，求当$n =5$时的数列值。

5. 已知方程$2x^2 - 5x + 2 = 0$，求方程的解。

综合练习题二：1. 已知函数$g(x) = \sqrt{x} + 1$，求函数$g(x)$的定义域。

2. 设集合$E = \{x|x \text{是偶数}, 1 \leq x \leq 10\}$，集合$F = \{2, 4, 6, 8, 10\}$，求集合$E$与集合$F$的差集。

3. 已知等比数列$\{b_n\}$的首项为$3$，公比为$2$，求当$n = 4$时的数列值。

4. 已知方程$3x^2 + 2x - 1 = 0$，求方程的解。

综合练习题三：1. 已知函数$h(x) = \frac{1}{x}$，求函数$h(x)$的定义域。

2. 设两个集合$G = \{1, 2, 3, 4, 5\}$，$H = \{3, 4, 5, 6, 7\}$，求集合$G$与集合$H$的对称差。

3. 已知等差数列$\{c_n\}$满足$c_1 = 2$，$c_2 = 5$，求当$n = 3$时的数列值。

4. 已知方程$x^2 + 4x + 4 = 0$，求方程的解。

综合练习题四：1. 已知函数$j(x) = \log(x)$，求函数$j(x)$的定义域。

2. 设两个集合$I = \{1, 2, 3, 4, 5\}$，$J = \{3, 4, 5, 6, 7\}$，求集合$I$与集合$J$的交集。

山东省滕州实验中学2024年高三第二学期第二次综合练习数学试题理试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若函数()3222111()324f x x bx a c ac x =+++-存在极值，则角B 的取值范围是（ ） A ．0,3π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．,3π⎛⎫π⎪⎝⎭D ．,6π⎛⎫π⎪⎝⎭2．双曲线2214x y -=的渐近线方程是（ ）A ．2y x =±B ．3y x =±C ．2x y =±D ．2y x =±3．已知函数32,0()ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则1(())f f e =（ ）A ．32B ．1C ．-1D ．04．已知复数(1)(3)(z i i i =+-为虚数单位） ，则z 的虚部为（ ） A ．2B ．2iC ．4D ．4i5．若函数()()2(2 2.71828 (x)f x x mx e e =-+=为自然对数的底数)在区间[]1,2上不是单调函数，则实数m 的取值范围是( ) A ．510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．510,23⎛⎫⎪⎝⎭C ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．102,3⎛⎫⎪⎝⎭6．设a 、b R +∈，数列{}n a 满足12a =，21n n a a a b +=⋅+，n *∈N ，则（ ）A ．对于任意a ，都存在实数M ，使得n a M <恒成立B ．对于任意b ，都存在实数M ，使得n a M <恒成立C ．对于任意()24,b a ∈-+∞，都存在实数M ，使得n a M <恒成立D ．对于任意()0,24b a ∈-，都存在实数M ，使得n a M <恒成立 7．已知复数z 满足121iz i i+⋅=--（其中z 为z 的共轭复数），则z 的值为( )A ．1B ．2CD8．设一个正三棱柱ABC DEF -，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面ABC 的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行10次，仍然在上底面的概率为10P ，则10P 为（ ）A ．10111432⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭B ．111132⎛⎫+ ⎪⎝⎭ C ．111132⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．10111232⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭9．复数2(1)41i z i -+=+的虚部为（ ）A ．—1B ．—3C ．1D ．210．已知复数z 满足i •z ＝2+i ，则z 的共轭复数是（） A ．﹣1﹣2iB ．﹣1+2iC ．1﹣2iD ．1+2i11．在ABC 中，12BD DC =，则AD =（ ） A ．1344+AB AC B ．21+33AB ACC ．12+33AB ACD ．1233AB AC -12．已知函数21()log 1||f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭(lg )3f x >的解集为（ ）A ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,(10,)10⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．(1,10)D ．1,1(1,10)10⎛⎫⋃⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

综合卷（一）一、单选题1、命题“0x ∃>，220x e x +-<”的否定为()A.0x ∃>，220x e x +-B.0x ∃，220x e x +-C.0x ∀>，220x e x +- D.0x ∀，220x e x +-2、已知复数z 在复平面内对应的点为(1,2)-，则zz =()A.3455i-+ B.3455i-- C.3455i+ D.3455i -3、己知集合{{}2,3840A x y B x x x ===-+≤∣∣，则A B = （）A ．3,24⎛⎤⎥⎝⎦B ．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,14⎛⎤⎥⎝⎦4、已知数列{}n a 满足13a =-，11n n n a a a +=-，则105a =()A.14B.43C.1-D.535、随着社会的发展，人与人的交流变得便捷，信息的获取、传输和处理变得频繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟.已知电磁波在空间中自由传播时能损耗公式为32.420(lg lg )L D F =++，其中D 为传输距离(单位：)km ，F 为载波频率(单位：)MHz ，L 为传输损耗(单位：).dB 若载波频率变为原来的100倍，传输损耗增加了60dB ，则传输距离变为原来的()A.100倍B.50倍C.10倍D.5倍6．在ABC △中，角A ，B ，C ，所对的边分别为a ，b ，c ，2π3ABC ∠=，D 点为AC 上一点且π,32DBC BD ∠==，则2a c +的最小值为（）A ．B ．C ．D ．7、已知函数()cos f x x =，26()1x g x x =+，若函数()h x 在[,]22ππ-上的大致图象如图所示，则()h x 的解析式可能是()A.()()()h x f x g x =+B.()()()h x f x g x =-C.()()()f x h xg x =D.()()()h x f x g x =二、多选题9、已知函数321()42f x x x x =+-，则A.1x =是()f x 的极小值点 B.()f x 有两个极值点C.()f x 的极小值为1D.()f x 在[0,2]上的最大值为210、将函数()sin(2)3f x x π=-的图象向左平移4π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列结论正确的有()A.直线56x π=-是()g x 图象的一条对称轴B.()g x 在(,)26ππ-上单调递增C.若()g x 在(0,)α上恰有4个零点，则2329(,]1212ππα∈D.()g x 在[,42ππ上的最大值为12三、填空题12．已知π,,4αβαβ+=均为锐角，则(1tan )(1tan )αβ++=___________．13．已知定义在R 上的偶函数y ＝f (x ＋2)的图象连续，当x ＞2时，函数y ＝f (x )是单调函数，则满足f (x )＝的所有x 之积为________．14、已知实数x ，y 满足22231x y xy --=，则2223x y +的最小值为__________.四、解答题15、已知32(1)24()ax a x a f x x++++=是奇函数.(1)求a 的值;(2)求()f x 的值域.16、在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c sin()cos .B C a B c ++=(1)求角A 的大小;(2)若ABC 为锐角三角形，且6b =，求ABC 面积的取值范围.17、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PAD 是等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是PC ，AB 的中点.(1)证明：PC ⊥平面.DEF (2)求二面角B DE F --的余弦值.18、已知数列{}n a 满足2211222222 2.n n n n a a a n +++++=⨯-+ (1)求{}n a 的通项公式;(2)设1212342n n n a n n n a b a a a +++++=证明：1251.672120nb b b +++< 19．设点P 为圆22:4C x y +=上的动点，过点P 作x 轴垂线，垂足为点Q ，动点M满足2MQ =（点P 、Q 不重合）（1）求动点M 的轨迹方程E ；（2）若过点(4,0)T 的动直线与轨迹E 交于A 、B 两点，定点N 为31,2⎛⎫⎪⎝⎭，直线NA 的斜率为1k ，直线NB 的斜率为2k ，试判断12k k +是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．综合卷（一）一、单选题1、命题“0x ∃>，220x e x +-<”的否定为()A.0x ∃>，220x e x +-B.0x ∃，220x e x +-C.0x ∀>，220x e x +- D.0x ∀，220x e x +-【答案】C【解析】解：存在量词命题的否定为全称量词命题，所以该命题的否定为“0x ∀>，220xe x +-”.2、已知复数z 在复平面内对应的点为(1,2)-，则zz =()A.3455i-+ B.3455i-- C.3455i+ D.3455i -【答案】A【解析】解：由题意知12z i =-，12z i =+，则212(12)34.12(12)(12)55z i i i z i i i ++===-+--+3、己知集合{{}2,3840A x y B x x x ===-+≤∣∣，则A B = （）A ．3,24⎛⎤⎥⎝⎦B ．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,14⎛⎤⎥⎝⎦答案：D4、已知数列{}n a 满足13a =-，11n n n a a a +=-，则105a =()A.14B.43C.1-D.53【答案】A【解析】解：由11n n n a a a +=-可知0n a ≠，得111.n n a a +=-因为13a =-，所以243a =，314a =，43a =-，543a =， ，所以{}n a 是以3为周期的数列，则105333431.4a a a +⨯===5、随着社会的发展，人与人的交流变得便捷，信息的获取、传输和处理变得频繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟.已知电磁波在空间中自由传播时能损耗公式为32.420(lg lg )L D F =++，其中D 为传输距离(单位：)km ，F 为载波频率(单位：)MHz ，L 为传输损耗(单位：).dB 若载波频率变为原来的100倍，传输损耗增加了60dB ，则传输距离变为原来的()A.100倍B.50倍C.10倍D.5倍【答案】C【解析】解：设L '是变化后的传输损耗，F '是变化后的载波频率，D '是变化后的传输距离，则60L L '=+，100F F '=，6020lg 20lg 20lg 20lg 20lg 20lg D F L L D F D F D F''='-='+'--=+，则20lg6020lg 604020D F D F ''=-=-=，即lg 1D D'=，从而10D D '=，故传输距离变为原来的10倍.6．在ABC △中，角A ，B ，C ，所对的边分别为a ，b ，c ，2π3ABC ∠=，D 点为AC 上一点且π,32DBC BD ∠==，则2a c +的最小值为（）A ．B ．C ．D ．答案：B7、已知函数()cos f x x =，26()1x g x x =+，若函数()h x 在[,]22ππ-上的大致图象如图所示，则()h x 的解析式可能是()A.()()()h x f x g x =+B.()()()h x f x g x =-C.()()()f x h xg x =D.()()()h x f x g x =【答案】D【解析】解：.由图象可知，该函数是奇函数，因为()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，所以()()f x g x ±是非奇非偶函数，A ，B 不符合题意.因为当0x =时，()()f x yg x =无意义，所以C 不符合题意.故选.D二、多选题9、已知函数321()42f x x x x =+-，则A.1x =是()f x 的极小值点 B.()f x 有两个极值点C.()f x 的极小值为1D.()f x 在[0,2]上的最大值为2【答案】ABD【解析】解：因为321()42f x x x x =+-，所以2()34(1)(34).f x x x x x '=+-=-+当4(,)(1,)3x ∈-∞-⋃+∞时，()0;f x '>当4(,1)3x ∈-时，()0.f x '<故()f x 的单调递增区间为4(,3-∞-和(1,)+∞，单调递减区间为4(,1)3-，则()f x 有两个极值点，B 正确;且当1x =时，()f x 取得极小值，A 正确；且极小值为5(1)2f =-，C 错误.又(0)0f =，(2)2f =，所以()f x 在[0,2]上的最大值为2，D 正确.10、将函数()sin(2)3f x x π=-的图象向左平移4π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列结论正确的有()A.直线56x π=-是()g x 图象的一条对称轴B.()g x 在(,)26ππ-上单调递增C.若()g x 在(0,)α上恰有4个零点，则2329(,]1212ππα∈D.()g x 在[,42ππ上的最大值为12【答案】AC【解析】解：将函数()sin(2)3f x x π=-的图象向左平移4π个单位长度，得到函数()sin(26g x x π=+的图象.当56x π=-时，3262x ππ+=-，故直线56x π=-是()g x 图象的一条对称轴，A 正确.由(,)26x ππ∈-，得52()662x πππ+∈-，则()g x 在(,)26ππ-上不单调，B 不正确.由(0,)x α∈，得2(,2666x πππα+∈+，因为()g x 在(0,)α上恰有4个零点，所以4256ππαπ<+，解得23291212ππα<，C 正确.由[,42x ππ∈，得272[,]636x πππ+∈，则()g x 在[,42ππ的最大值为2，D 不正确.三、填空题12．已知π,,4αβαβ+=均为锐角，则(1tan )(1tan )αβ++=___________．答案：213．已知定义在R 上的偶函数y ＝f (x ＋2)的图象连续，当x ＞2时，函数y ＝f (x )是单调函数，则满足f (x )＝的所有x 之积为________．解析：因为函数y ＝f (x ＋2)是连续的偶函数，所以直线x ＝0是它的图象的对称轴，所以直线x ＝2就是函数y ＝f (x )图象的对称轴．因为f (x )＝x ＝1－1x ＋4或x ＋1－1x ＋4＝4.由x ＝1－1x ＋4，得x 2＋3x －3＝0，设方程的两根为x 1，x 2，所以x 1x 2＝－3；由x ＋1－1x ＋4＝4，得x 2＋x －13＝0，设方程的两根为x 3，x 4，所以x 3x 4＝－13.所以x 1x 2x 3x 4＝39.答案：3914、已知实数x ，y 满足22231x y xy --=，则2223x y +的最小值为__________.【答案】5【解析】解：因为22231x y xy --=，所以(23)() 1.x y x y -+=令23m x y =-，n x y =+，则35m n x +=，25n m y -=，且1mn =，所以222222222181231212623252555m n mn m n mn m n x y +++-++=+=，当且仅当2m =，266n =时，等号成立.四、解答题15、已知32(1)24()ax a x a f x x++++=是奇函数.(1)求a 的值;(2)求()f x 的值域.解：(1)因为32(1)24()ax a x a f x x++++=，所以3232()(1)()24(1)24().a x a x a ax a x a f x x x-++-++-+---==-又()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-，即3232(1)24(1)24ax a x a ax a x a x x-+----+--=，则0.a =(2)由(1)可知，244()x f x x x x+==+，0x ≠，当0x >时，44x x +=，当且仅当2x =时，等号成立.又()f x 是奇函数，所以()f x 的值域为(,4][4,).-∞-⋃+∞16、在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c sin()cos .B C a B c ++=(1)求角A 的大小;(2)若ABC 为锐角三角形，且6b =，求ABC 面积的取值范围.解：(1)sin()cos B C a B c ++=222sin 2a c b A a c ac+-+⋅=，则2222sin 2A a c b c ++-=，即222sin .a b c A =+-又2222cos a b c bc A =+-，所以cos A A =，即tan 3A =又(0,)A π∈，所以.6A π=(2)因为sin sin c b C B =，所以6sin sin C c B =，9sin()19sin 96sin .2sin sin 22tan ABC B C S bc A B B B π+==== 因为ABC 为锐角三角形，所以0,250,62B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩解得32B ππ<<，则tan B >故9222tan B <+<，即ABC面积的取值范围为(217、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PAD 是等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是PC ，AB 的中点.(1)证明：PC ⊥平面.DEF (2)求二面角B DE F --的余弦值.解：(1)证明：取AD 的中点O ，连接OP ，因为PAD 是等边三角形，所以.PO AD ⊥又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD ，因为底面ABCD 是正方形，不妨令2AB =，连接OF ，PF ，CF ，因为F 是AB 的中点，所以OP =，OF =，PF =CF =又E 是PC 的中点，PD CD =，所以DE PC ⊥，.EF PC ⊥因为DE EF E ⋂=，且DE 、EF ⊂平面DEF ，所以PC ⊥平面.DEF (2)解：以O 为坐标原点，OA 的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则由(1)可得，(1,0,0)D -，(1,2,0)B ，(1,1,0)F，1(,1,22E -，(0,P ，(1,2,0).(2,2,0)C DB -= ，13(,1,22DE = 设平面BDE 的法向量111(,,)m x y z =，则11111220,130,22x y x y z +=⎧⎪⎨++=⎪⎩令11x =，得3(1,1,).3m =- 由(1)知(1,n CP ==- 是平面DEF 的一个法向量，所以42cos ||||7m n m n ⋅===由图可知，二面角B DE F --为锐角，故二面角B DE F --的余弦值为718、已知数列{}n a 满足2211222222 2.n n n n a a a n +++++=⨯-+ (1)求{}n a 的通项公式;(2)设1212342n n n a n n n a b a a a +++++=证明：1251.672120n b b b +++< 【答案】解：(1)当1n =时，32122226a =-+=，则1 3.a =当2n 时，则2112222(1)222(21)2n n n n n n n a n n n +++=⨯-+--⨯+-=+⨯，则2 1.n a n =+又1211a =⨯+，所以{}n a 的通项公式为2 1.n a n =+(2)证明：由(1)可知，23212361911(21)(23)(25)2(21)(23)2(23)(25)2n n n n n b n n n n n n n ++++==-+++++++，所以1235571111352572572792n b b b +++=-+-+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 21232311111.(21)(23)2(23)(25)2120(23)(25)2120n n n n n n n n n ++++-=-<++++++又0n b >，所以1215672n b b b b +++=，故1251.672120n b b b +++< 19．设点P 为圆22:4C x y +=上的动点，过点P 作x 轴垂线，垂足为点Q ，动点M满足2MQ = （点P 、Q 不重合）（1）求动点M 的轨迹方程E ；（2）若过点(4,0)T 的动直线与轨迹E 交于A 、B 两点，定点N 为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线NA 的斜率为1k ，直线NB 的斜率为2k ，试判断12k k +是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．解析：（1）设点P 为()00,x y ，动点M 为(,)x y ，则Q 点为()0,0x ()()00,,0,MQ x x y PQ y =--=-())0022,0,MQ x x y y =∴--=-求得：002x x y =⎧⎪⎨-=⎪⎩又2222004443x y x y +=∴+= 即点M 的轨迹方程为：221(0)43x y y +=≠（2）设直线AB 方程为：4x my =+则224143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消x 得()223424360m y my +++=()22(24)436340m m =-⨯+> △2m ∴>或2m <-设A 点()11,x y ，B 点()22,x y 则1212222436,3434m y y y y m m +=-⋅=++求得：()121232my y y y =-+()()1212121221212123332392223339my y m y y y y k k my my m y y m y y ⎛⎫+-+--- ⎪⎝⎭∴+=+=+++++()()()1212123923392m y y m y y m y y -+-=-++++()()1212392392m y y m y y -+-=++1=-12k k ∴+的值为定值，定值为1-．。

广东省2023届高三综合能力测试（三）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ，B 是R 的子集，且()A B =∅R ，则下面选项中一定成立的是 （ ）A ．AB ⊆B ．A B B =C ．A B A =D ．A B =R2．若复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，且13i z =-，则12z z = （ ）A ．34i 55-- B ．34i 55-+ C ．43i 55-- D ．43i 55-+ 3．“李白斗酒诗百篇，长安市上酒家眠”，本诗句中的“斗”的本义是指盛酒的器具，后又作为计量粮食的工具．某数学兴趣小组利用相关材料制作了一个如图所示的正四棱台来模拟“斗”，用它研究“斗”的相关几何性质．已知该四棱台的上、下底的边长分别是2、4，高为1，则该四棱台的表面积为（ ） A．B ．32C．20+D．20+4．在ABC △中，2AB =，AC =，45A =︒，点M 满足3BM BC =，则AM 的长度为（ ）A．B．C．D．5．数学家也有一些“美丽的错误”，如法国数学家费马于1640提出了以下猜想：形如221()nn F n =+∈N 的数都是质数．1732年，瑞士数学家欧拉证明了5F 不是质数，请你利用所学知识，估算5F 是（ ）位数．(参考数据：lg 20.3010≈) A ．9B ．10C ．11D ．126．已知奇函数()cos()(0)f x x ωϕω=+>的图象关于直线3x π=对称，且在区间0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，则ω的值是（ ）A ．23 B ．34C ．32D ．27．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，左焦点为F ，过F 作倾斜角为30︒的直线交椭圆E 于M 、N 两点，且MF FN λ=(其中1λ>)，则λ的值为（ ）A ．2B． C．D ．38．某地质勘探队为研究各地区的水是否存在某种矿物质，现从不同地区采集了100个样本．勘探队中的成员甲提议用如下方式进行检测，先将100个样本分为10组，每组再选取部分样本进行混合，对混合样本进行检测，如果不含该矿物质，则检测下一组，若含有该矿物质，则逐个检测；成员乙提议将100个样本分为5组或20组等等．假设每个样本含有该矿物质的概率0.01p =，且每个样本是否含有该矿物质相互独立．则下列选项中检测次数的期望值最小的是 （ ）(参考数据：50.990.951≈，100.990.904≈，200.990.818≈)A ．5个一组B ．10个一组C ．20个一组D ．逐个检验二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的是 （ ） A ．若a b >，则lg lg a b > B ．若22a b >，则a b > C ．若a b >，c d >，则22ac bd >D ．若22ac bc >，则a b >10．如图，圆锥OP 的底面O 的半径2r =，母线l =，点A ，B 是O 上的两个动点，则（ ）A ．PAB △面积的最大值为2B ．PAB △周长的最大值为4+C ．当AB 的长度为2时，平面PAB 与底面所成角为定值D ．当AB 的长度为2时，AB 与母线l11．已知动圆Q 过点(0,1)，且与直线:1l y =-相切，记动圆Q 的圆心轨迹为Γ，过l 上一动点D 作曲线Γ的两条切线，切点分别为A 、B ，直线AB 与y 轴相交于点F ，下列说法正确的是（ ）A ．Γ的方程为24x y = B ．直线AB 过定点C ．AOB ∠为钝角(O 为坐标原点)D ．以AB 为直径的圆与直线1y =-相交12．已知函数21()e xf x ax a -=-+，1()ln g x x x=+，当[1,)x ∈+∞时，()()f x g x ≥恒成立，则实数a 的可能取值为（ ）A ．12-B ．0C ．12D ．2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．某单位安排4名工作人员随机分到3个核酸采样点参加“核酸检测亮码”工作，且每个人只去一个采样点，每个采样点至少有一名工作人员，则安排方案的总数为 ． 14．写出一个同时满足下列条件①②的函数()f x = ．①()f x 的图象关于点(0,1)对称；②曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为41y x =-．15．若,02πα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，sin (2cos )tan 2ααα=-，则tan α= ．16．如图，ABC △是面积为1的等腰直角三角形，记AB 的中点为1A ，以1CA 为直角边第一次构造等腰11Rt A B C △，记11A B 的中点为2A ，以2CA 为直角边第二次构造等腰22Rt A B C △，…，以此类推，当第n次构造的等腰Rt n n A B C △的直角边n CB 所构成的向量n CB 与CB同向时，构造停止，则构造出的所有等腰直角三角形的面积之和为 ．A12四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分） 已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足221n n n a a S =-． （1）证明：数列2{}n S 是等差数列；（2）设数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：10018T >．如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面为等腰直角三角形，且1122AC BC AA ===，点D ，E ，F 分别是线段1AA ，AC ，11B C 的中点． （1）求点1C 到平面DEF 的距离；（2）求平面DEF 与平面CDF 夹角的余弦值．1已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c =．（1）若cos b C =sin 3c B =，求A ； （2）若4b =，求ABC △面积的最大值．神舟十四号，简称“神十四”，为中国载人航天工程发射的第十四艘飞船，已经于2022年6月5日上午10时44分07秒在酒泉卫星发射中心发射，3名航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲进驻核心舱并在轨驻留6个月．“神十四”的成功发射是我国载人航天上又一个重要的里程碑，实现了“神十四”与天宫一号的快速对接，创造了新的奇迹．为了宣传这一航天盛事，某高校组织了一场航天知识竞赛，共有1000名大学生参加，经统计发现他们的成绩(满分120)全部位于区间[50,110]内．现将成绩分成6组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100)，[100,110]，得到如图所示的频率分布直方图，根据该直方图估计该1000名大学生成绩的平均分是77分．现规定前250名在10天后进行复赛．（1）求a ，b 的值(同一组数据用该组区间的中点值为代表)，并根据频率分布直方图估计进入复赛的分数线(结果保留整数)；（2）复赛共分为两个环节：A 和B ．经统计，通过初赛的学生在准备复赛的首日有23的学生准备项目A ，其余学生准备项目B ；在前一天准备项目A 的学生中，次日会有45的学生继续选择准备项目A ，其余选择准备项目B ；在前一天选择准备项目B 的学生中，次日会有23的学生继续选择准备项目B ，其余学生选择准备项目A ，用频率近似估计概率，记某学生在第n 天准备项目A 的概率为n P ，求10P ．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，左、右焦点分别为1F ，2F，且(0,M ，12MF F △是正三角形．（1）求C 的方程；（2）若直线l 与C 仅有一个公共点P ，且与C 的两条渐近线分别交于A ，B ，记AOP △的面积为1S ，BOP △的面积为2S (O 是坐标原点)，则1211S S +是否存在最小值?若存在，求出该最小值，若不存在，请说明理由．已知函数1()e sin x f x n x +=-+，,m n ∈R ． （1）若0n =，讨论()f x 的零点个数；（2）若函数()f x 有零点，证明：223e m n +>．。

江苏省盐城市阜宁县东沟高级中学2022—2023学年高三年级高考数学第四次综合训练试卷【参考答案】一、单项选择题。

（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数z满足（1﹣i）z＝2+2i，则|z|＝（）A．1B．C．2D．2【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出结论．【解答】解：∵（1﹣i）z＝2+2i，∴|1﹣i||z|＝|2+2i|，则，∴|z|＝2，故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．已知M，N均为R的子集，且M⊆∁R N，则∁R M∩N＝（）A．∅B．M C．N D．R【分析】根据M⊆∁R N可画出Venn图，根据Venn图即可得出∁R M∩N＝N．【解答】解：用Venn图表示M，N如下：由Venn图看出，M⊆∁R N，∁R M∩N＝N．故选：C．【点评】本题考查了交集和补集的定义及运算，子集的定义，借助Venn图解决集合问题的方法，考查了计算能力，属于基础题．3．将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，A表示事件“医生甲派往①村庄”；B表示事件“医生乙派往①村庄”；C表示事件“医生乙派往②村庄”，则（）A．事件A与B相互独立B．事件A与C相互独立C．D．【分析】由古典概型概率计算公式求出P（A），P（B），P（C），P（AB），P（AC），再利用相互独立事件的定义能判断AB；利用条件概率公式计算能判断CD．【解答】解：将甲、乙、丙、丁4名医生派往①②③三个村庄义诊的试验有＝36个基本事件，它们等可能，事件A含有的基本事件数为＝12，则P（A）＝＝，同理P（B）＝P（C）＝，事件AB含有的基本事件个数为＝2，则P（AB）＝，事件AC含有的基本事件数为＝5，则P（AC）＝，对于A，P（A）P（B）＝≠P（AB），即事件A与B相互不独立，故A不正确；对于B，P（A）P（C）＝≠P（AC），即事件A与C相互不独立，故B不正确；对于C，P（B|A）＝＝，故C不正确；对于D，P（C|A）＝＝，故D正确．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，考查相互独立事件的定义、条件概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．已知向量，满足＝（，1），•＝4，则||的最小值为（）A．1B．C．D．2【分析】由平面向量数量积运算，结合平面向量模的运算求解即可．【解答】解：由＝（，1），则，则，即，则||的最小值为2，故选：D．【点评】本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了平面向量模的运算，属基础题．5．已知直线l：x+（a﹣1）y+2＝0，，且l 1⊥l2，则a2+b2的最小值为（）A．B．C．D．【分析】根据l1⊥l2得出b与a的关系式，代入a2+b2中利用二次函数的性质即可求出a2+b2的最小值．【解答】解：因为l1⊥l2，所以b+（a﹣1）＝0，所以a＝1﹣b，所以a2+b2＝+b2＝4b2﹣2b+1＝4+，所以当时，a2+b2取最小值为．故选：A．【点评】本题考查了两直线垂直的应用问题，也考查了利用函数求最值的应用问题，是基础题．6．为庆祝神舟十三号飞船顺利返回，某校举行“特别能吃苦，特别能战斗，特别能攻关，特别能奉献”的航天精神演讲比赛，其冠军奖杯设计如图，奖杯由一个半径为6cm的铜球和一个底座组成，底座由边长为36cm 的正三角形铜片沿各边中点的连线向上折叠成直二面角而成，则冠军奖杯的高度为（）cm．A．B．C．D．【分析】A，B，C在底面内的射影为M，N，P分别为对应棱的中点，求解△ABC外接圆圆心O的半径r，转化求解O1到平面DEF距离，推出结果．【解答】解：由一个半径为6cm的铜球和一个底座组成，底座由边长为36cm的正三角形铜片沿各边中点的连线向上折叠成直二面角而成，设：A，B，C在底面内的射影为M，N，P分别为对应棱的中点，∴，∴△ABC是边长为9的等边三角形，设△ABC外接圆圆心O，半径r，则，∴，，∴O1到平面DEF距离：9，∴冠军奖杯的高度为：．故选：C．【点评】本题考查空间点、线、面距离的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．7．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与双曲线E的两条渐近线分别交于M，N，若，且∠F1NF2＝90°，则双曲线E的离心率为（）A．B．4C．D．6【分析】设N（x1，y1）则，利用，M在，求得N，则，，由，即可求双曲线离心率．【解答】解：设N（x1，y1），，∵N在，M在，∴∴，即N，则，，∴，∴，∴，故选：B．【点评】本题考查了双曲线的性质，考查了计算能力、转化思想，属于中档题．8．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），已知当x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣a，若f（x）＝m|x﹣1|恰有六个不相等的零点，则实数m的取值范围为（）A．（，）∪[﹣，﹣]B．（，）∪[﹣，]C．（，）∪{﹣}D．（，）∪{﹣}【分析】利用函数的奇偶性以及函数的对称性，推出函数的周期，结合函数的图象，函数零点个数，列出不等式求解即可．【解答】解：定义在R上的奇函数f（x），满足f（1+x）＝f（1﹣x），则f（x）关于x＝1对称，f（0）＝0，当x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣a，所以a＝1，y＝m|x﹣1|关于x＝1对称，f（x）＝m|x﹣1|有6个根，∴f（x）＝m（x﹣1）在x∈（1，+∞）有三个根，f（2+x）＝f（﹣x）＝﹣f（x），函数的周期T＝4，作出f（x）图象如图：当m＞0时，k AC＜m＜k AB，则；点m＜0时，，∴m的取值范围，故选：D．【点评】本题考查函数与方程的应用，零点个数的判断，考查数形结合以及计算能力，是中档题．二、多项选择题。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c的图像开口向上，且顶点坐标为（1，-2），则a、b、c的取值范围是（）。

A. a > 0，b < 0，c < 0B. a > 0，b > 0，c > 0C. a < 0，b < 0，c > 0D. a < 0，b > 0，c < 02. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 2，S3 = 18，则数列的公差d为（）。

A. 2B. 3C. 4D. 63. 下列函数中，在其定义域内单调递减的是（）。

A. y = x^2B. y = 2xC. y = 1/xD. y = -x^24. 已知复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则复数z在复平面上的轨迹是（）。

A. 直线y = 0B. 直线y = 2C. 圆心在原点，半径为1的圆D. 圆心在原点，半径为2的圆5. 在三角形ABC中，AB = AC，且∠BAC = 60°，则∠ABC的度数是（）。

A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°6. 若等比数列{an}的首项a1 = 3，公比q = 2，则数列的前n项和S_n为（）。

A. 3(2^n - 1)B. 3(2^n + 1)C. 3(2^n - 2)D. 3(2^n + 2)7. 若向量a = (2, -3)，向量b = (-1, 2)，则向量a和向量b的夹角θ的余弦值cosθ为（）。

A. 1/5B. 2/5C. 3/5D. 4/58. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，则函数f(x)的图像的对称中心是（）。

A. (0, 0)B. (1, 0)C. (2, 0)D. (3, 0)9. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则复数z在复平面上的轨迹是（）。

福建省福州市2024年数学（高考）统编版真题(综合卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题下列各组函数是同一个函数的是（）A ．与B．与C ．与D．与第(2)题的展开式中的系数是（）A．B．C．D．第(3)题若，则（）.A．B．C．D．第(4)题等差数列前项的和为，前项的和为，则它的前项的和为（）A．130B．170C．210D．260第(5)题如果且，那么直线不通过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第(6)题根据某医疗研究所的调查，某地区居民血型的分布为型49%，型19%，型25%，型7%.已知同种血型的人可以互相输血，型血的人可以给任何一种血型的人输血，型血的人可以接受任何一种血型的血，其他不同血型的人不能互相输血.现有一血型为型的病人需要输血，若在该地区任选一人，则能为该病人输血的概率为（）A．25%B．32%C．74%D．81%第(7)题设圆M的方程为，直线L的方程为，点P的坐标为，那么（）A．点P在直线L上，但不在圆M上B．点P在圆M上，但不在直线L上C．点P既在圆M上，又在直线L上D．点P既不在直线L上，也不在圆M上第(8)题若为函数相邻的两个极值点，且在，处分别取得极小值和极大值，则定义为函数的一个极优差，函数的所有极优差之和为（）A．B．C．D．二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。

全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题已知函数在区间上单调，且满足，下列结论正确的有（）A．B．若，则函数的最小正周期为C．关于方程在区间上最多有4个不相等的实数解D．若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为第(2)题如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（）A．动点轨迹的长度为B．三棱锥体积的最小值为C．与不可能垂直D．当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为第(3)题已知函数在区间上的最小值为a，最大值为，则（）A．B．D．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数C．的图象关于轴对称三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，若存在实数a，使得f(a) = 0，则a的取值范围是（）A. a > 0B. a < 0C. a = 0D. a ≠ 02. 若复数z满足|z-1| = |z+1|，则复数z的几何意义是（）A. z在复平面上的实部为0B. z在复平面上的虚部为0C. z在复平面上的轨迹为y轴D. z在复平面上的轨迹为直线x=03. 在等差数列{an}中，若a1 + a3 = 10，a2 + a4 = 18，则该数列的公差d是（）A. 2B. 3C. 4D. 54. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，若函数g(x) = |x| - 2，则f(x)与g(x)的图象交点的个数是（）A. 2B. 3C. 4D. 55. 若等比数列{bn}的首项b1 = 2，公比q = 3，则该数列的前5项和S5是（）A. 62B. 72C. 82D. 926. 在△ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，则sinC的值是（）A. √3/2B. 1/2C. √2/2D. 1/√27. 若函数y = ax^2 + bx + c的图象开口向上，且a > 0，b < 0，则该函数的对称轴是（）A. x = -b/2aB. x = b/2aC. x = -b/aD. x = b/a8. 在直角坐标系中，点P(2,3)关于直线y=x的对称点P'的坐标是（）A. (3,2)B. (2,3)C. (3,3)D. (2,2)9. 若等差数列{cn}的前n项和为Sn，公差为d，则Sn^2 - (n^2 - 1)Sn + 2(n^2 - 1) = 0的解为（）A. n = 1B. n = 2C. n = 3D. n = 410. 已知函数f(x) = |x-1| + |x+1|，若x∈[-1,1]，则f(x)的最大值是（）A. 0B. 2C. 4D. 6二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）11. 已知等差数列{an}的首项a1 = 3，公差d = 2，则第10项a10 = ________。

高三数学练习题及答案一、选择题1. 已知函数f(x) = 2x + 3，那么f(1)的值为（）。

A. 1B. 5C. 1D. 52. 若|a| = 5，则a的值为（）。

A. 5 或 5B. 0C. 5D. 53. 下列函数中，奇函数是（）。

A. y = x^2B. y = x^3C. y = |x|D. y = 1/x4. 在等差数列{an}中，若a1 = 1，a3 = 3，则公差d为（）。

A. 1B. 2C. 3D. 45. 若复数z满足|z 1| = |z + 1|，则z在复平面上的对应点位于（）。

A. 实轴上B. 虚轴上C. 原点D. 不在坐标轴上二、填空题1. 已知等差数列{an}的通项公式为an = 3n 2，则第7项的值为______。

2. 若向量a = (2, 3)，向量b = (4, 1)，则2a 3b = ______。

3. 不等式2x 3 > x + 1的解集为______。

4. 二项式展开式(a + b)^10中，含a^3b^7的项的系数为______。

5. 在三角形ABC中，a = 5, b = 8, sinA = 3/5，则三角形ABC的面积为______。

三、解答题1. 讨论函数f(x) = x^3 3x在区间(∞, +∞)上的单调性。

2. 设函数f(x) = (1/2)^x 2^x，求f(x)的单调递减区间。

3. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn = 2n^2 + n，求该数列的通项公式。

4. 在△ABC中，a = 10, b = 15, C = 120°，求sinA和cosA的值。

5. 解三角形ABC，已知a = 8, b = 10, sinB = 3/5。

6. 已知函数f(x) = x^2 + ax + 1在区间[1, 3]上的最小值为3，求实数a的值。

7. 设函数f(x) = x^2 2x + c，讨论函数在区间[0, 3]上的最大值和最小值。