动点类题目图形最值问题探究-备战2021年中考数学解题方法之探究十法(原卷版)

专题十动点型问题一、中考专题诠释所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.“动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。

二、解题策略和解法精讲解决动点问题的关键是“动中求静”.从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。

在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。

在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

三、中考考点精讲考点一：建立动点问题的函数解析式（或函数图像）函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.例1（2013•兰州）如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．思路分析：分析动点P的运动过程，采用定量分析手段，求出S与t的函数关系式，根据关系式可以得出结论．解：不妨设线段AB长度为1个单位，点P的运动速度为1个单位，则：（1）当点P在A→B段运动时，PB=1-t，S=π（1-t）2（0≤t＜1）；（2）当点P在B→A段运动时，PB=t-1，S=π（t-1）2（1≤t≤2）．综上，整个运动过程中，S与t的函数关系式为：S=π（t-1）2（0≤t≤2），这是一个二次函数，其图象为开口向上的一段抛物线．结合题中各选项，只有B符合要求．故选B．点评：本题结合动点问题考查了二次函数的图象．解题过程中求出了函数关系式，这是定量的分析方法，适用于本题，如果仅仅用定性分析方法则难以作出正确选择．对应训练1．（2013•白银）如图，⊙O的圆心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分线上运动，且⊙O 与∠α的两边相切，图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径r（r＞0）变化的函数图象大致是（）A．B．C．D．1．C考点二：动态几何型题目点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力.动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

动点最值问题19大模型+例题详解，彻底解决压轴难题动点最值问题永远都是中考最难的压轴类题目，很多同学都反应不知道该怎么下手寻找思路。

其实这类题目的题型有限，全部总结归纳就是这19种，希望同学们对每一种都能掌握技巧，再遇见类似的就能及时找到思路。

1、将军饮马模型（对称点模型）
2、利用三角形两边差求最值
3、手拉手全等取最值
4、手拉手相似取最值
5、平移构造平行四边形求最小
6、两点对称勺子型连接两端求最小
7、两点对称折线连两端求最小
8、时钟模型，中点两定边求最小值
9、时钟模型，相似两定边求最小值
10、转化构造两定边求最值
11、面积转化法求最值
12、相似转化法求最值
13、相似系数化一法求最值
14、三角函数化一求最值
15、轨迹最值
16、三动点的垂直三角形
17、旋转最值
18、隐圆最值-定角动弦
19、隐圆最值-动角定弦。

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动点及动图形的专题复习教案所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题。

关键:动中求静。

数学思想:分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理.选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。

在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路，这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质.二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新,目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点;（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题,就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养,在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容。

备战2020中考数学解题方法专题研究专题10 数形结合法专题【方法简介】数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。

中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。

作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。

“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等。

【真题演练】1. （2019•湖北省仙桃市•3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解答】解：解不等式x ﹣1＞0得x ＞1，解不等式5﹣2x≥1得x≤2，则不等式组的解集为1＜x≤2，故选：C ．2. （2019•江苏苏州•3分）若一次函数y kx b =+（k b 、为常数，且0k ≠）的图像经过点()01A -，，()11B ，，则不等式1kx b +>的解为（ ）。

A ．0x <B ．0x >C ．1x <D ．1x >【答案】D【解答】如下图图像，易得1kx b +>时，1x >故选D 。

y–1–2–312345–1–2–3–4–5123O3. (2018·常州)京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽(岸沿是平行的)，如图，在岸边分别选定了点A ，B 和点C ，D ，先用卷尺量得AB ＝160 m ，CD ＝40 m ，再用测角仪测得∠CAB ＝30°，∠DBA ＝60°，求该段运河的河宽(即CH 的长)．【解析】：过点D 作DE ⊥AB 于点E ，可得四边形CHED 为矩形，∴HE ＝CD ＝40 m.设CH ＝DE ＝x m ，在Rt △BDE 中，∠DBA ＝60°，∴BE ＝33x. 在Rt △ACH 中，∠BAC ＝30°，∴AH ＝3x.由AH ＋HE ＋EB ＝AB ＝160 m ，得3x ＋40＋33x ＝160， 解得x ＝303，即CH ＝30 3 m.答：该段运河的河宽为30 3 m ．4. (2018·乐山)某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y(℃)与时间x(h)之间的函数关系，其中线段AB ，BC 表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD 表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：(1)求这天的温度y 与时间x(0≤x≤24)的函数关系式；(2)求恒温系统设定的恒定温度；(3)若大棚内的温度低于10 ℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？【解答】 解：(1)设线段AB 解析式为y ＝k 1x ＋b(k≠0)，∵线段AB 过点(0，10)，(2，14)，代入，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝10，2k 1＋b ＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝2，b ＝10.。

专题瓜豆原理中动点轨迹直线型最值问题【专题说明】动点轨迹问题是中考的重要压轴点.受学生解析几何知识的局限和思维能力的束缚,该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎,致使该压轴点成为学生在中考中失分的一个黑洞.掌握该压轴点的基本图形,构建问题解决的一般思路,是中考专题复习的一个重要途径.本文就动点轨迹问题的基本图形作一详述.动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型.【知识精讲】动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。

（1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值（2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下三种方法进行确定①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线。

②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线。

③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线。

如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？P QAB C【分析】当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．可以这样理解：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．N C B AQP M【引例】如图，△APQ 是等腰直角三角形，∠P AQ =90°且AP =AQ ，当点P 在直线BC 上运动时，求Q 点轨迹？CB AQ P【分析】当AP 与AQ 夹角固定且AP :AQ 为定值的话，P 、Q 轨迹是同一种图形．当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q 点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q 点轨迹线段．Q 2Q 1ABC【模型总结】必要条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠P AQ 是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP :AQ 是定值）．结论：P 、Q 两点轨迹所在直线的夹角等于∠P AQ （当∠P AQ ≤90°时，∠P AQ 等于MN 与BC 夹角） M N ααP QAB CP 、Q 两点轨迹长度之比等于AP :AQ （由△ABC ∽△AMN ，可得AP :AQ =BC :MN ） M NααAB C【精典例题】1、如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE =1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边△EFG ，连接CG ，则CG 的最小值为 ．GA B CDE F2、如图，等腰Rt △ABC 中，斜边AB 的长为2，O 为AB 的中点，P 为AC 边上的动点，OQ ⊥OP 交BC 于点Q ，M 为PQ 的中点，当点P 从点A 运动到点C 时，点M 所经过的路线长为（ ）A ．24πB ．22πC ．1D ．23、如图，矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，点P 是矩形ABCD 内一动点，且∆∆=PAB PCD S S ，则PC PD +的最小值为_____．4、如图，在平面内，线段AB =6，P 为线段AB 上的动点，三角形纸片CDE 的边CD 所在的直线与线段AB 垂直相交于点P ，且满足PC =P A ．若点P 沿AB 方向从点A 运动到点B ，则点E 运动的路径长为______．5、如图，等边三角形ABC 的边长为4，点D 是直线AB 上一点．将线段CD 绕点D 顺时针旋转60°得到线段DE ，连结BE ．（1）若点D 在AB 边上（不与A ，B 重合）请依题意补全图并证明AD=BE ；（2）连接AE ，当AE 的长最小时，求CD 的长．【精典例题】1、如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE =1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边△EFG ，连接CG ，则CG 的最小值为 ．GA B C DE F【分析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求CG 最小值，可以将F 点看成是由点B 向点A 运动，由此作出G 点轨迹：考虑到F 点轨迹是线段，故G 点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻G 点在1G 位置，最终G 点在2G 位置（2G 不一定在CD 边），12G G 即为G 点运动轨迹．G 2G 1E DCB ACG 最小值即当CG ⊥12G G 的时候取到，作CH ⊥12G G 于点H ，CH 即为所求的最小值．根据模型可知：12G G 与AB 夹角为60°，故12G G ⊥1EG ．过点E 作EF ⊥CH 于点F ，则HF =1G E =1，CF =1322CE =， 所以CH =52，因此CG 的最小值为52． F HG 2G 1E DCB A 2、如图，等腰Rt △ABC 中，斜边AB 的长为2，O 为AB 的中点，P 为AC 边上的动点，OQ ⊥OP 交BC 于点Q ，M 为PQ 的中点，当点P 从点A 运动到点C 时，点M 所经过的路线长为（ ）A ．24B ．22C ．1D ．2【答案】C【详解】连接OC ，作PE ⊥AB 于E ，MH ⊥AB 于H ，QF ⊥AB 于F ，如图，∵△ACB 为到等腰直角三角形，∴AC=BC=222，∠A=∠B=45°，∵O 为AB 的中点，∴OC ⊥AB ，OC 平分∠ACB ，OC=OA=OB=1，∴∠OCB=45°，∵∠POQ=90°，∠COA=90°，∴∠AOP=∠COQ ，在Rt △AOP 和△COQ 中A OCQ AO COAOP COQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴Rt △AOP ≌△COQ ，∴AP=CQ ，易得△APE 和△BFQ 都为等腰直角三角形，∴PE=22AP=22CQ ，QF=22BQ ， ∴PE+QF=22（CQ+BQ ）=22BC=222， ∵M 点为PQ 的中点，∴MH 为梯形PEFQ 的中位线，∴MH=12（PE+QF ）=12， 即点M 到AB 的距离为12， 而CO=1，∴点M 的运动路线为△ABC 的中位线，∴当点P 从点A 运动到点C 时，点M 所经过的路线长=12AB=1， 故选C ．3、如图，矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，点P 是矩形ABCD 内一动点，且∆∆=PAB PCD S S ，则PC PD +的最小值为_____．【答案】213【详解】ABCD 为矩形，AB DC ∴=又=PAB PCD S S∴点P 到AB 的距离与到CD 的距离相等，即点P 线段AD 垂直平分线MN 上， 连接AC ，交MN 与点P ，此时PC PD +的值最小，且PC PD AC +==22224652213AB BC +=+==故答案为：2134、如图，在平面内，线段AB =6，P 为线段AB 上的动点，三角形纸片CDE 的边CD 所在的直线与线段AB 垂直相交于点P ，且满足PC =P A ．若点P 沿AB 方向从点A 运动到点B ，则点E 运动的路径长为______．【答案】62 【详解】解：如图，由题意可知点C 运动的路径为线段AC ′，点E 运动的路径为EE ′，由平移的性质可知AC ′=EE ′，在Rt △ABC ′中，易知AB =BC ′=6，∠ABC ′=90°，∴EE ′=AC 2266+2故答案为：625、如图，等边三角形ABC 的边长为4，点D 是直线AB 上一点．将线段CD 绕点D 顺时针旋转60°得到线段DE ，连结BE ．（1）若点D 在AB 边上（不与A ，B 重合）请依题意补全图并证明AD=BE ；（2）连接AE ，当AE 的长最小时，求CD 的长．【答案】（1）见解析；（2）27【详解】解：（1）补全图形如图1所示，AD=BE，理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠A=∠B=60°，由旋转的性质得：∠ACB=∠DCE=60°，CD=CE，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE．（2）如图2，过点A作AF⊥EB交EB延长线于点F．∵△ACD≌△BCE，∴∠CBE=∠A=60°，∴点E的运动轨迹是直线BE，根据垂线段最短可知：当点E与F重合时，AE的值最小，此时CD=CE=CF，∵∠ACB=∠CBE=60°，∴AC∥EF，∵AF⊥BE，∴AF⊥AC，在Rt △ACF 中， ∴CF=22AC AF +=()22423+=27，∴CD=CF=27.专题 瓜豆原理中动点轨迹圆或圆弧型最值问题【专题说明】动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。

《中考压轴题全揭秘》第二辑原创模拟预测题专题33：动态几何之线动形成的最值问题数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈．动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等．解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况．以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射．动态几何形成的最值问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的最值问题，双（多）动点形成的最值问题，线动形成的最值问题，面动形成的最值问题．本专题原创编写线动形成的最值问题模拟题．在中考压轴题中，线动形成的最值问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类和选择正确的解题方法．=上运动，当线段AB最短时，点B的坐标原创模拟预测题1．如图，定点A（﹣2，0），动点B在直线y x为．【答案】（﹣1，﹣1）．【解析】试题分析：过A作AD⊥直线y=x，过D作DE⊥x轴于E，则∠DOA=∠OAD=∠EDO=∠EDA=45°，∵A（﹣=上运动，当线段AB最2，0），∴OA=2，∴OE=DE=1，∴D的坐标为（﹣1，﹣1），即动点B在直线y x短时，点B的坐标为（﹣1，﹣1），故答案为：（﹣1，﹣1）．考点：一次函数图象上点的坐标特征；垂线段最短；动点型；最值问题；综合题．原创模拟预测题2．如图，四边形ABCD 中，∠A =90°，AB =33，AD =3，点M ，N 分别为线段BC ，AB 上的动点（含端点，但点M 不与点B 重合），点E ，F 分别为DM ，MN 的中点，则EF 长度的最大值为 ．【答案】3．考点：三角形中位线定理；勾股定理；动点型．原创模拟预测题3．如图1，已知直线3y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将直线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的“V 形折线”）．（1）类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的解析式；（2）如图2，双曲线k y x=与新函数的图象交于点C （1，a ），点D 是线段AC 上一动点（不包括端点），过点D 作x 轴的平行线，与新函数图象交于另一点E ，与双曲线交于点P ．①试求△P AD 的面积的最大值；②探索：在点D 运动的过程中，四边形P AEC 能否为平行四边形？若能，求出此时点D 的坐标；若不能，请说明理由．【答案】（1）函数的最小值为0；函数图象的对称轴为直线x =﹣3； 3 (3)3 (3)x x y x x +≥-⎧=⎨--<-⎩；（2）①258；②四边形P AEC 不能为平行四边形．【解析】 试题解析：（1）如图1，均是正整数新函数的两条性质：①函数的最小值为0，②函数图象的对称轴为直线x =﹣3；由题意得A 点坐标为（﹣3，0）．分两种情况：①x ≥﹣3时，显然y =x +3；②当x ＜﹣3时，设其解析式为y kx b =+．在直线y =x +3中，当x =﹣4时，y =﹣1，则点（﹣4，﹣1）关于x 轴的对称点为（﹣4，1）．把（﹣4，1），（﹣3，0）代入y kx b =+，得：4130k b k b -+=⎧⎨-+=⎩，解得：13k b =-⎧⎨=-⎩，∴y =﹣x ﹣3．综上所述，新函数的解析式为 3 (3)3 (3)x x y x x +≥-⎧=⎨--<-⎩； （2）如图2，①∵点C （1，a ）在直线y =x +3上，∴a =1+3=4．∵点C （1，4）在双曲线k y x =上，∴k =1×4=4，∴4y x=．∵点D 是线段AC 上一动点（不包括端点），∴可设点D 的坐标为（m ，m +3），且﹣3＜m ＜1．∵DP ∥x 轴，且点P 在双曲线上，∴P （43m +，m +3），∴PD =43m m -+，∴△P AD 的面积为S =14()(3)23m m m -⨯++=213222m m --+=21325()228m -++，∵a =12-＜0，∴当m =32-时，S 有最大值，为258，又∵﹣3＜32-＜1，∴△P AD 的面积的最大值为258； ②在点D 运动的过程中，四边形P AEC 不能为平行四边形．理由如下：当点D 为AC 的中点时，其坐标为（﹣1，2），此时P 点的坐标为（2，2），E 点的坐标为（﹣5，2），∵DP =3，DE =4，∴EP 与AC 不能互相平分，∴四边形P AEC 不能为平行四边形．考点：反比例函数综合题；分段函数；动点型；最值问题；二次函数的最值；探究型；综合题；压轴题． 原创模拟预测题4．如图，已知Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，BC =6，点P 以每秒1个单位的速度从A 向C 运动，同时点Q 以每秒2个单位的速度从A →B →C 方向运动，它们到C 点后都停止运动，设点P ，Q 运动的时间为t 秒．（1）在运动过程中，求P ，Q 两点间距离的最大值；（2）经过t 秒的运动，求△ABC 被直线PQ 扫过的面积S 与时间t 的函数关系式；（3）P ，Q 两点在运动过程中，是否存在时间t ，使得△PQC 为等腰三角形？若存在，求出此时的t 值；若不存在，请说明理由（5≈2.24，结果保留一位小数）．【答案】（1）35；（2）S =223 (05)51640 (58)t t t t t ⎧<≤⎪⎨⎪-+-<≤⎩；（3）t =165或t =4011或t =3.4． 【解析】试题分析：（1）如图1，过Q 作QE ⊥AC 于E ，连接PQ ，由△ABC ∽△AQE ，得到比例式AQ AE QE AB AC BC ==，求得PE =35t ，QE =65t ，由勾股定理求出PQ 35，当Q 与B 重合时，PQ 的值最大，于是得到当t =5时，得到PQ 的最大值；（2）由三角形的面积公式即可求得；（3）存在，如图2，连接CQ ，PQ ，分三种情况①当CQ =CP 时，②当PQ =CQ 时，③当PQ =PC 时，列方程求解即可．（2）如图1，△ABC 被直线PQ 扫过的面积=ΔAQP S ，当Q 在AB 边上时，S =12AP •QE =1625t t ⋅=235t ，（0＜t ≤5） 当Q 在BC 边上时，△ABC 被直线PQ 扫过的面积=S 四边形ABQP ， ∴S 四边形ABQP =S △ABC ﹣S △PQC =12×8×6﹣12（8﹣t ）•（16﹣2t ）=21640t t -+-，（5＜t ≤8）； ∴经过t 秒的运动，△ABC 被直线PQ 扫过的面积S 与时间t 的函数关系式：S =223 (05)51640 (58)t t t t t ⎧<≤⎪⎨⎪-+-<≤⎩；（3）存在，如图2，连接CQ ，PQ ，由（1）知QE =65t ，CE =AC ﹣AE =885t -，PQ 35， ∴CQ 22QE CE +2268()(8)55t t +-2322165t t -+ ①当CQ =CP 时，即：2322165t t -+8t -，解得；t =165， ②当PQ =CQ 35=2322165t t -+t =4011，t =8811（不合题意舍去）， ③当PQ =PC 35=8t -，解得：t =6510≈3.4；综上所述：当t =165，t =4011，t =3.4时，△PQC 为等腰三角形．考点：相似形综合题；分段函数；分类讨论；存在型；动点型；最值问题；压轴题．原创模拟预测题5．如图，在四边形ABCD 中，DC ∥AB ，DA ⊥AB ，AD =4cm ，DC =5cm ，AB =8cm ．如果点P 由B 点出发沿BC 方向向点C 匀速运动，同时点Q 由A 点出发沿AB 方向向点B 匀速运动，它们的速度均为1cm /s ，当P 点到达C 点时，两点同时停止运动，连接PQ ，设运动时间为t s ，解答下列问题：（1）当t 为何值时，P ，Q 两点同时停止运动？（2）设△PQB 的面积为S ，当t 为何值时，S 取得最大值，并求出最大值；（3）当△PQB 为等腰三角形时，求t 的值．【答案】（1）5；（2）当t =4时，S 的最大值是325；（3）t =4011秒或t =4811秒或t =4秒． 【解析】试题分析：（1）计算BC 的长，找出AB 、BC 中较短的线段，根据速度公式可以直接求得；（2）由已知条件，把△PQB 的边QB 用含t 的代数式表示出来，三角形的高可由相似三角形的性质也用含t 的代数式表示出来，代入三角形的面积公式可得到一个二次函数，即可求出S 的最值；（3）分三种情况讨论：①当PQ =PB 时，②当PQ =BQ 时，③当QB =BP ．试题解析：（1）作CE ⊥AB 于E ，∵DC ∥AB ，DA ⊥AB ，∴四边形AFVE 是矩形，∴AE =DE =5，CE =AD =4，∴BE =3，∴BC 2234 5，∴BC ＜AB ，∴P 到C 时，P 、Q 同时停止运动，∴t =51=5（秒），即t =5秒时，P ，Q 两点同时停止运动；（2）由题意知，AQ =BP =t ，∴QB =8﹣t ，作PF ⊥QB 于F ，则△BPF ～△BCE ，∴PF BP CE BC =，即45PF t =，∴PF =45t ，∴S =12QB •PF =14(8)25t t ⨯-=221655t t -+=2232(4)55t --+（0＜t ≤5），∵25-＜0，∴S 有最大值，当t =4时，S 的最大值是325； 综上所述：当t =4011秒或t =4811秒或t =4秒时，△PQB 为等腰三角形．考点：四边形综合题；动点型；二次函数的最值；最值问题；分类讨论；压轴题．原创模拟预测题6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线23333y x x =+x 轴于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），交y 轴于点W ，顶点为C ，抛物线的对称轴与x 轴的交点为D ．（1）求直线BC 的解析式；（2）点E （m ，0），F （m +2，0）为x 轴上两点，其中2＜m ＜4，EE ′，FF ′分别垂直于x 轴，交抛物线于点E ′，F ′，交BC 于点M ，N ，当ME ′+NF ′的值最大时，在y 轴上找一点R ，使|RF ′﹣RE ′|的值最大，请求出R 点的坐标及|RF ′﹣RE ′|的最大值；（3）如图2，已知x 轴上一点P （92，0），现以P 为顶点，23x 轴上方作等边三角形QPG ，使GP ⊥x 轴，现将△QPG 沿P A 方向以每秒1个单位长度的速度平移，当点P 到达点A 时停止，记平移后的△QPG 为△Q ′P ′G ′．设△Q ′P ′G ′与△ADC 的重叠部分面积为s ．当Q ′到x 轴的距离与点Q ′到直线AW 的距离相等时，求s 的值．【答案】（1）363y x =-+（2）R （0273，4；（3）S 13132093-7631193-． 【解析】试题分析：（1）求出抛物线与x 轴的交点坐标和顶点坐标，用待定系数法求解析式即可；（2）先求出E ′、F ′的坐标表示，然后求出E ′M 、F ′N ，用二次函数的顶点坐标求出当m =3时，ME ′+NF ′的值最大，得到E ′、F ′的坐标，再求出E ′F ′的解析式，当点R 在直线E ′F ′与y 轴的交点时，|RF ′﹣RE ′|的最大值，从而求出R 点的坐标及|RF ′﹣RE ′|的最大值；（3）分类两种情况讨论：①Q 点在∠WAB 的角平分线上；②当Q 点在∠CAB 的外角平分线上时，运用三角形相似求出相应线段，在求出△Q ′P ′G ′与△ADC 的重叠部分面积为S ．试题解析：（1）令y =0，则233330x x +=，解方程得：x =6或x =﹣2，∴A （﹣2，0），B （6，0），又23333y x x =++232)43x -+，又顶点C （2，43，设直线BC 的解析式为：y kx b =+，代入B 、C 两点坐标得：60243k b k b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩363k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴363y x =-+ （2）如图1，∵点E （m ，0），F （m +2，0），∴E ′（m ，233334m -++），F ′（m +2，23434m -+，∴E ′M =23333(33)m m ++=23333m +-，F ′N =2343(343)4m m -+--+=2334m m -+，∴E ′M +F ′N =22332333(3)44m m m m -+-+-+=2333332m m -+-，当33332()2m =-=⨯-时，E ′M +F ′N 的值最大，∴此时，E ′（3，1534）F ′（5，734），∴直线E ′F ′的解析式为：27334y x =-+，∴R （0，2734），根据勾股定理可得：RF ′=10，RE ′=6，∴|RF ′﹣RE ′|的值最大值是4； （3）由题意得，Q 点在∠WAB 的角平分线或外角平分线上，①如图2，当Q 点在∠WAB 的角平分线上时，Q ′M =Q ′N =3，AW =31，∵△RMQ ′∽△WOA ，∴''RQ MQ WA AO =，∴RQ ′=932，∴RN =9332+，∵△ARN ∽△AWO ，∴AO WO AN RN=，∴AN =2313+，∴DN =AD ﹣AN =2311031433+--=，∴S =1313209327-； ②如图3，当Q 点在∠CAB 的外角平分线上时，∵△Q ′RN ∽△WAO ，∴RQ ′=932，∴RM =9332-，∵△RAM ∽△WOA ，∴AM =3123-，在RtQ ′MP ′中，MP ′=3Q ′M =3，∴AP ′=MP ′﹣AM =31233--=11313-，在Rt △AP ′S 中，P ′S =32AP ′=3113123-⨯，∴S =763119312-．考点：二次函数综合题；动点型；分类讨论；最值问题；综合题；压轴题．原创模拟预测题7．如图，在直角坐标系中，Rt △OAB 的直角顶点A 在x 轴上，OA =4，AB =3．动点M 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO 向终点O 移动；同时点N 从点O 出发，以每秒1.25个单位长度的速度，沿OB 向终点B 移动．当两个动点运动了x 秒（0＜x ＜4）时，解答下列问题：（1）求点N 的坐标（用含x 的代数式表示）；（2）设△OMN 的面积是S ，求S 与x 之间的函数表达式；当x 为何值时，S 有最大值？最大值是多少？（3）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN 是直角三角形？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）N （x ，34x ）；（2）23382S x x =-+（0＜x ＜4），当x =2时，S 有最大值，最大值是32；（3）2秒或6441秒． 【解析】试题解析：（1）根据题意得：MA =x ，ON =1.25x ，在Rt △OAB 中，由勾股定理得：OB 22OA AB +2243+5，作NP ⊥OA 于P ，如图1所示，则NP ∥AB ，∴△OPN ∽△OAB ，∴PN OP ON AB OA OB ==，即 1.25345PN OP x ==，解得：OP =x ，PN =34x ，∴点N 的坐标是（x ，34x ）； （2）在△OMN 中，OM =4﹣x ，OM 边上的高PN =34x ，∴S =12OM •PN =13(4)24x x -⋅=23382x x -+，∴S 与x 之间的函数表达式为23382S x x =-+（0＜x ＜4），配方得：233(2)82S x =--+，∵38-＜0，∴S 有最大值，当x =2时，S 有最大值，最大值是32； （3）存在某一时刻，使△OMN 是直角三角形，理由如下：分两种情况：①若∠OMN =90°，如图2所示，则MN ∥AB ，此时OM =4﹣x ，ON =1.25x ，∵MN ∥AB ，∴△OMN ∽△OAB ，∴OM ON OA OB =，即4 1.2545x x -=，解得：x =2；②若∠ONM=90°，如图3所示，则∠ONM=∠OAB，此时OM=4﹣x，ON=1.25x，∵∠ONM=∠OAB，∠MON=∠BOA，∴△OMN∽△OBA，∴OM ONOB OA=，即4 1.2554x x-=，解得：x=6441；综上所述：x的值是2秒或6441秒．考点：相似形综合题；二次函数的最值；最值问题；分类讨论；动点型；综合题；压轴题．。

1．数轴（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．✮（4）数轴上两点间的距离公式：AB=X B-X A(即：右端点减左端点）✮（5）数轴上中点数公式：=+2(即：中点等于两端点相加除以2）例题精讲【例1】.如图，点A在数轴上表示的数为﹣3，点B表示的数为2，点P在数轴上表示的是整数，点P不与A、B重合，且PA+PB＝5，则满足条件的P点表示的整数有___________.变式训练【变式1-1】．如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，AB＝15，且OA＝2OB，点P从点B开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒5个单位和每秒2个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，若3AP+2OP﹣mBP的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则m＝．【变式1-2】．已知数轴上两点A、B对应的数分别是6，﹣8，M、N、P为数轴上三个动点，点M从A点出发，速度为每秒2个单位，点N从点B出发，速度为M点的3倍，点P 从原点出发，速度为每秒1个单位．（1）若点M向右运动，同时点N向左运动，求多长时间点M与点N相距46个单位？（2）若点M、N、P同时都向右运动，求多长时间点P到点M，N的距离相等？（3）当时间t满足t1＜t≤t2时，M、N两点之间，N、P两点之间，M、P两点之间分别有47个、37个、10个整数点，请直接写出t1，t2的值．【例2】．如图，周长为6个单位长度的圆上的六等分点分别为A，B，C，D，E，F，点A 落在2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么落在数轴上﹣2023的点是．变式训练【变式2-1】．在数轴上，点A，O，B分别表示﹣15，0，9，点P，Q分别从点A，B同时开始沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒4个单位，点Q的速度是每秒1个单位，运动时间为t秒．若点P，Q，O三点在运动过程中，其中一个点恰好是另外两点为端点的线段的一个中点，则运动时间为秒．【变式2-2】．如图：在数轴上A点表示数﹣3，B点示数1，C点表示数9．（1）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数表示的点重合；（2）若点A、点B和点C分别以每秒2个单位、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动．①若t秒钟过后，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点，求t值；②当点C在B点右侧时，是否存在常数m，使mBC﹣2AB的值为定值，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．1．如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上表示“0cm”“8cm”的刻度分别对应数轴上的是﹣3和x所表示的点，那么x等于（）A．5B．6C．7D．82．等边△ABC在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为0和﹣1，若△ABC绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1，则连续翻转2021次后，点B（）A．对应的数是2019B．对应的数是2020C．对应的数是2021D．不对应任何数3．在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：|x+1|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数﹣1的点的距离，|x﹣2|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离．结合以上知识，下列说法中正确的个数是（）①若|x﹣2022|＝1，则x＝2021或2023；②若|x﹣1|＝|x+3|，则x＝﹣1；③若x＞y，则|x﹣2|＞|y﹣2|；④关于x的方程|x+1|+|x﹣2|＝3有无数个解．A．1B．2C．3D．44．数轴上点A表示的数是﹣3，把点A向右移动5个单位，再向左移动7个单位到A′，则A′表示的数是．5．数轴上点A表示﹣8，点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O 和点B，C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，动点M从点A出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动；点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动．其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒，t时，M、N两点相遇（结果化为小数）．6．如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A、B、C把数轴分成①②③④四部分，点A、B、C对应的数分别是a、b、c，且ab＜0．（1）原点在第部分（填序号）；（2）化简式子：|a﹣b|﹣|c﹣a|﹣|a|；（3）若|c﹣5|+（a+1）2＝0，且BC＝2AB，求点B表示的数．7．已知b是最小的正整数，且（c﹣5）2与|a+b|互为相反数．（1）填空：a＝，b＝，c＝；（2）若P为一动点，其对应的数为x，点P在0和2表示的点之间运动，即0≤x≤2时，化简：|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|（请写出化简过程）；（3）如图，a，b，c在数轴上所对应的点分别为A，B，C，在（1）的条件下，若点A 以1个单位长度/s的速度向左运动，同时，点B和点C分别以2个单位长度/s和5个单位长度/s的速度向右运动．ts后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．8．数轴上有A、B、C三点，如图1，点A、B表示的数分别为m、n（m＜n），点C在点B 的右侧，AC﹣AB＝2．（1）若m＝﹣8，n＝2，点D是AC的中点．①则点D表示的数为﹣2．②如图2，线段EF＝a（E在F的左侧，a＞0），线段EF从A点出发，以1个单位每秒的速度向B点运动（点F不与B点重合），点M是EC的中点，N是BF的中点，在EF 运动过程中，MN的长度始终为1，求a的值；（2）若n﹣m＞2，点D是AC的中点，若AD+3BD＝4，试求线段AB的长．9．如图，数轴上点A，B分别表示数a，b，其中a＜0，b＞0．（1）若a＝﹣7，b＝3，求线段AB的长度及线段AB的中点C表示的数c；（2）该数轴上有另一点D表示数d．①若d＝2，点D在点B的左侧，且AB＝5BD．求整式2a+8b+2023的值；②若d＝﹣2，且AB＝5BD，能否求整式2a+8b+2023的值？若能，求出该值；若不能，说明理由．10．先阅读，后探究相关的问题【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|可以看做|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．（1）如图，先在数轴上画出表示点4.5的相反数的点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则点B和点C表示的数分别为和，B，C两点间的距离是；（2）若点A表示的整数为x，则当x为﹣2时，|x+6|与|x﹣2|的值相等；（3）要使代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是．11．如图，已知点O为数轴的原点，点A、B、C、D在数轴上，其中A、B两点对应的数分别为﹣1、3．（1）填空：线段AB的长度AB＝；（2）若点A是BC的中点，点D在点A的右侧，且OD＝AC，点P在线段CD上运动．问：该数轴上是否存在一条线段，当P点在这条线段上运动时，PA+PB的值随着点P的运动而没有发生变化？（3）若点P以1个单位/秒的速度从点O向右运动，同时点E从点A以5个单位/秒的速度向左运动、点F从点B以20个单位/秒的速度向右运动，M、N分点别是PE、OF的中点．点P、E、F的运动过程中，的值是否发生变化？请说明理由．12．如图，在数轴上，点O 表示原点，点A 表示的数为﹣1，对于数轴上任意一点P （不与点A 点O 重合），线段PO 与线段PA 的长度之比记作k （p ），即，我们称k （p ）为点P 的特征值，例如：点P 表示的数为1，因为PO ＝1，PA ＝2，所以．（1）当点P 为AO 的中点时，则k （p ）＝；（2）若k （p ）＝2，求点P 表示的数；（3）若点P 表示的数为p ，且满足p ＝2n ﹣1，（其中n 为正整数，且1≤n ≤7），求所有满足条件的k （p ）的和．13．把一根小木排放在数轴上，木棒左端点与点A 重合，右端点与点B 重合，数轴的单位长度为1cm ，如图所示．（1）若将木棒沿数轴向右移动，当木棒的左端点移动到点B 处时、它的右端点在数轴上对应的数为20；若将木棒沿数轴向左移动时，当它的右端点移动到点A 处时，木棒左端点在数轴上对应的数为5，由此可得木棒的长为5cm ；我们把这个模型记为“木捧摸型”；（2）在（1）的条件下，已知点C 表示的数为﹣2．若木棒在移动过程中，当木棒的左端点与点C 相距3cm 时，求木棒的右端点与点A 的距离；（3）请根据（1）的“木棒模型”解决下列问题．某一天，小字问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在那么大，你还要41年才出生；你若是我现在这么大，我就有124岁了，世界级老寿星了，哈哈！”请你画出“木棒模型”示意图，求出爷爷现在的年龄．14．对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．例如：数轴上点A，B，C 所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”．（1）若点A表示数﹣1，点B表示的数2，下列各数：，0，1，4，5所对应的点分别为C1，C2，C3，C4，C5，其中是点A，B的“联盟点”的是；（2）点A表示的数是﹣1，点B表示的数是3，P是数轴上的一个动点：①若点P在线段AB上，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数；②若点P在点A的左侧，点P、A、B中有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，求出此时点P表示的数．15．如图，点A，O，B，D在同一条直线l上，点B在点A的右侧，AB＝6，OB＝2，点C 是AB的中点，如图画数轴．（1）若点O是数轴的原点，则点B表示的数是，点C表示的数是；（2）若点O是数轴的原点时，D点表示的数为x，且AD＝5，求x；（3）若点D是数轴的原点，点D在点A的左侧，点A表示的数为m，且A，B，C，O 所表示的数之和等于21，求m；（4）当O是数轴的原点，动点E，F分别从A，B出发，相向而行，点E的运动速度是每秒2个单位长度，点F的运动速度是每秒1个单位长度，当EF＝3时，求点A，B，E，F表示的数之和．16．如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，a，c满足|a+4|+（c﹣2）2＝0，b是最大的负整数．（1）a＝，b＝，c＝．（2）若将数轴折叠，使得点A与点C重合，则点B与数表示的点重合；（3）点A，B，C开始在数轴上运动，若点A和点B分别以每秒0.4个单位长度和0.3个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒0.2个单位长度的速度向左运动，点C到达原点后立即以原速度向右运动，运动时间为t秒，若点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，请问：5AB﹣BC的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出5AB﹣BC的值．17．定义：对于数轴上的三点，若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系．如下图，数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B就是点A，C的一个“关联点”．（1）写出点A，C的其他三个“关联点”所表示的数：、、．（2）若点M表示数﹣2，点N表示数4，数﹣8，﹣6，0，2，10所对应的点分别是C1，C2，C3，C4，C5，其中不是点M，N的“关联点”是点．（3）若点M表示的数是﹣3，点N表示的数是10，点P为数轴上的一个动点．①若点P在点N左侧，且点P是点M，N的“关联点”，求此时点P表示的数．②若点P在点N右侧，且点P，M，N中，有一个点恰好是另外两个点的“关联点”，求此时点P表示的数．18．[知识背景]：数轴上，点A，点B表示的数为a，b，则A，B两点的距离表示为AB＝|a﹣b|．线段AB的中点P表示的数为．[知识运用]：已知数轴上A，B两点对应的数分别为a和b，且（a﹣4）2+|b﹣2|＝0，P 为数轴上一动点，对应的数为x．（1）a＝，b＝；（2）若点P为线段AB的中点，则P点对应的数x为，若点B为线段AP的中点，则P点对应的数x为；（3）若点A、点B同时从图中位置在数轴上向左运动，点A的速度为每秒1个单位长度，点B的速度为每秒3个单位长度，则经过秒点B追上点A；（4）若点A、点B同时从图中位置在数轴上向左运动，它们的速度都为每秒1个单位长度，与此同时点P从表示﹣16的点处以每秒2个单位长度的速度在数轴上向右运动．经过多长时间后，点A、点B、点P三点中，其中一点是另外两点组成的线段的中点？19．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）探究：①数轴上表示5和3的两点之间的距离是．②数轴上表示﹣1和﹣4的两点之间的距离是．③数轴上表示﹣3和5的两点之间的距离是．（2）归纳：一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于．（3）应用：①若数轴上表示数a的点位于﹣4与3之间，则|a+4|+|a﹣3|的值＝．②若a表示数轴上的一个有理数，且|a﹣1|＝|a+3|，则a＝．③若a表示数轴上的一个有理数，|a﹣1|+|a+2|的最小值是．④若a表示数轴上的一个有理数，且|a+3|+|a﹣5|＞8，则有理数a的取值范围是．（4）拓展：已知，如图2，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣20，B点对应的数为100．若当电子蚂蚁P从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从B点出发，以3单位/秒的速度向左运动，求经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度，并写出此时点P所表示的数．20．将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到如图所示的“折线数轴”，图中点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18．我们称点A和点C在数轴上的“友好函数”为28个单位长度．动点P从点A出发，以2单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为原来的一半．经过点B后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其负方向运动，当运动到点B与点O之间时速度变为原来的两倍，经过O后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒．（1）动点P从点A运动至点C需要秒，动点Q从点C运动至点A需要秒；（2）P，Q两点相遇时，求出相遇点M在“折线数轴”上所对应的数；（3）是否存在t值，使得点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”等于点A和点B 在“折线数轴”上的“友好距离”？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．21．在数轴上，点M，N对应的数分别是m，n（m≠n，mn≠0），P为线段MN的中点，同时给出如下定义：如果＝10，那么称M是N的“努力点”．例如：m＝1，n＝，M是N的“努力点”．（1）若|m﹣10|+（n+90）2＝0则m＝，n＝；（2）在（1）的条件下，下列说法正确的是（填序号）；①M是P的“努力点”；②M是N的“努力点”③N是M的“努力点”；④N是P的“努力点”（3）若mn＜0，且P是M，N其中一点的“努力点”，求值？22．在数轴上，O为原点，点A，B对应的数分别是a，b（a≠b，ab≠0），M为线段AB的中点．给出如下定义：若OA÷OB＝4，则称A是B的“正比点”；若OA×OB＝4，则称A是B的“反比点”．例如a＝2，时，A是B的“正比点”；a＝2，b＝﹣2时，A是B的“反比点”．（1）若|a+2|+（b﹣4）2＝0，则M对应的数为，下列说法正确的是（填序号）．①A是M的“正比点”；②A是M的“反比点”；③B是M的“正比点”；④B是M的“反比点”；（2）若ab＞0，且M是A的“正比点”，求的值；（3）若ab＜0，且M既是A，B其中一点的“正比点”，又是另一点的“反比点”，直接写出的值．23．在数轴上，把原点记作点O，表示数1的点记作点A．对于数轴上任意一点P（不与点O，点A重合），将线段PO与线段PA的长度之比定义为点P的特征值，记作，即＝，例如：当点P是线段OA的中点时，因为PO＝PA，所以＝1．（1）如图，点P1，P2，P3为数轴上三个点，点P1表示的数是﹣，点P2与P1关于原点对称．①＝；②比较，，的大小（用“＜”连接）；（2）数轴上的点M满足OM＝OA，求；（3）数轴上的点P表示有理数p，已知＜100且为整数，则所有满足条件的p的倒数之和为．24．阅读下列材料：我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即|x|＝|x﹣0|；这个结论可以推广为|x1﹣x2|表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离．绝对值的几何意义在解题中有着广泛的应用：例1：解方程|x|＝4．容易得出，在数轴上与原点距离为4的点对应的数为±4，即该方程的x＝±4；例2：解方程|x+1|+|x﹣2|＝5．由绝对值的几何意义可知，该方程表示求在数轴上与﹣1和2的距离之和为5的点对应的x的值．在数轴上，﹣1和2的距离为3，满足方程的x对应的点在2的右边或在﹣1的左边．若x对应的点在2的右边，如图1可以看出x＝3；同理，若x对应点在﹣1的左边，可得x＝﹣2．所以原方程的解是x＝3或x＝﹣2．例3：解不等式|x﹣1|＞3．在数轴上找出|x﹣1|＝3的解，即到1的距离为3的点对应的数为﹣2，4，如图2，在﹣2的左边或在4的右边的x值就满足|x﹣1|＞3，所以|x﹣1|＞3的解为x＜﹣2或x＞4．参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程|x+3|＝5的解为；（2）方程|x﹣2020|+|x+1|＝2023的解为；（3）若|x+4|+|x﹣3|≥11，求x的取值范围．。

一、选择题1．（2016广西百色市）如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l 对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是（）A．4 B．32C．23D．23【答案】A．【解析】作点A关于直线BC′的对称点A1，连接A1C交直线BC与点D，如图所示．由图象可知当点D在C′B的延长线上时，AD+CD最小，而点D为线段BC′上一动点，∴当点D与点B重合时AD+CD值最小，此时AD+CD=AB+CB=2+2=4．故选A．考点：轴对称-最短路线问题；等边三角形的性质；最值问题．2．（2016湖北省鄂州市）如图，菱形ABCD的边AB=8，∠B=60°，P是AB上一点，BP=3，Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点A′．当CA′的长度最小时，CQ的长为（）A．5 B．7 C．8 D．13 2【答案】B．【分析】作CH⊥AB于H，如图，根据菱形的性质可判断△ABC为等边三角形，则CH=32AB=43，AH=BH=4，再利用勾股定理计算出CP=7，再根据折叠的性质得点A′在以P点为圆心，PA为半径的弧上，利用点与圆的位置关系得到当点A′在PC上时，CA′的值最小，然后证明CQ=CP即可．考点：菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；综合题；最值问题．二、填空题3．（2016江苏省淮安市）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E 为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是．【答案】1.2．【分析】如图，延长FP 交AB 于M ，当FP ⊥AB 时，点P 到AB 的距离最小，利用△AFM ∽△ABC ，得到AF FMAB BC=，求出FM 即可解决问题．【解析】如图，延长FP 交AB 于M ，当FP ⊥AB 时，点P 到AB 的距离最小．∵∠A =∠A ，∠AMF =∠C =90°，∴△AFM ∽△ABC ，∴AF FMAB BC=，∵CF =2，AC =6，BC =8，∴AF =4，AB =22AC BC +=10，∴4108FM =，∴FM =3.2，∵PF =CF =2，∴PM =1.2，∴点P 到边AB 距离的最小值是1.2．故答案为：1.2．考点：翻折变换（折叠问题）． 三、解答题4．（2016新疆）如图，▱ABCD 中，AB =2，AD =1，∠ADC =60°，将▱ABCD 沿过点A 的直线l 折叠，使点D 落到AB 边上的点D ′处，折痕交CD 边于点E ．（1）求证：四边形BCED ′是菱形；（2）若点P 时直线l 上的一个动点，请计算PD ′+PB 的最小值．【答案】（1）证明见解析；（27【分析】（1）利用翻折变换的性质以及平行线的性质得出∠DAE =∠EAD ′=∠DEA =∠D ′EA ，进而利用平行四边形的判定方法得出四边形DAD ′E 是平行四边形，进而求出四边形BCED ′是平行四边形，根据折叠的性质得到AD =AD ′，然后又菱形的判定定理即可得到结论；（2）由四边形DAD ′E 是平行四边形，得到▱DAD ′E 是菱形，推出D 与D ′关于AE 对称，连接BD 交AE 于P ，则BD 的长即为PD ′+PB 的最小值，过D 作DG ⊥BA 于G ，解直角三角形得到AG ，DG ，根据勾股定理即可得到结论．考点：平行四边形的性质；菱形的判定；轴对称-最短路线问题；翻折变换（折叠问题）；最值问题．5．（2016福建省福州市）如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；（2）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．【答案】（1）DM3（2）245；（3）47（2）延长MN交AB延长线于点Q，由矩形的性质得出∠DMA=∠MAQ，由折叠性质得出∠DMA=∠AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，得出∠MAQ=∠AMQ，证出MQ=AQ，设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，证出∠ANQ=90°，在Rt△ANQ中，由勾股定理得出方程，解方程求出NQ =4，AQ =5，即可求出△ABN 的面积； （3）过点A 作AH ⊥BF 于点H ，证明△ABH ∽△BFC ，得出对应边成比例BH CFAH BC=，得出当点N 、H 重合（即AH =AN ）时，AH 最大，BH 最小，CF 最小，DF 最大，此时点M 、F 重合，B 、N 、M 三点共线，由折叠性质得：A D =AH ，由AAS 证明△ABH ≌△BFC ，得出CF =BH ，由勾股定理求出BH ，得出CF ，即可得出结果． 【解析】（1）由折叠性质得：△ANM ≌△ADM ，∴∠MAN =∠DAM ，∵AN 平分∠MAB ，∠MAN =∠NAB ，∴∠DAM =∠MAN =∠NAB ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠DAB =90°，∴∠DAM =30°，∴DM =AD •tan ∠DAM =3×tan 30°=333⨯=3； （2）延长MN 交AB 延长线于点Q ，如图1所示，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥DC ，∴∠DMA =∠MAQ ，由折叠性质得：△ANM ≌△ADM ，∴∠DMA =∠AMQ ，AN =AD =3，MN =MD =1，∴∠MAQ =∠AMQ ，∴MQ =AQ ，设NQ =x ，则AQ =MQ =1+x ，∵∠ANM =90°，∴∠ANQ =90°，在Rt △ANQ 中，由勾股定理得：222AQ AN NQ =+，∴222(1)3x x +=+，解得：x =4，∴NQ =4，AQ =5，∵AB =4，AQ =5，∴S △NAB =ΔNAB S =ΔNAQ 45S =12AN •NQ =245；（3）过点A 作AH ⊥BF 于点H ，如图2所示，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥DC ，∴∠HBA =∠BFC ，∵∠AHB =∠BCF =90°，∴△ABH ∽△BFC ，∴BH CFAH BC=，∵AH ≤AN =3，AB =4，∴当点N 、H 重合（即AH =AN ）时，AH 最大，BH 最小，CF 最小，DF 最大，此时点M 、F 重合，B 、N 、M 三点共线，如图3所示： 由折叠性质得：A D =AH ，∵AD =BC ，∴AH =BC ，在△ABH 和△BFC 中，∵∠HBA =∠BFC ，∠AHB =∠BCF ，AH =BC ，∴△ABH ≌△BFC （AAS ），∴CF =BH ，由勾股定理得：B H 22AB AH -=7，∴CF =7，∴DF 的最大值=DC﹣CF =47-．考点：翻折变换（折叠问题）；矩形的性质；最值问题；综合题．6．（2016四川省乐山市）在直角坐标系xOy 中，A （0，2）、B （﹣1，0），将△ABO 经过旋转、平移变化后得到如图1所示的△BCD ．（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）连结AC ，点P 是位于线段BC 上方的抛物线上一动点，若直线PC 将△ABC 的面积分成1：3两部分，求此时点P 的坐标；（3）现将△ABO 、△BCD 分别向下、向左以1：2的速度同时平移，求出在此运动过程中△ABO 与△BCD 重叠部分面积的最大值．【答案】（1）231222y x x =-++；（2）P （25-，3925）或P （67-，2349）；（3）2552． 【分析】（1）由旋转，平移得到C （1，1），用待定系数法求出抛物线解析式； （2）先判断出△BEF ∽△BAO ，再分两种情况进行计算，由面积比建立方程求解即可； （3）先由平移得到A 1B 1的解析式为y =2x +2﹣t ，A 1B 1与x 轴交点坐标为（22t -，0）．C 1B 2的解析式为1122y x t =++，C 1B 2与y 轴交点坐标为（0，12t +），再分两种情况进行计算即可． 【解析】（1）∵A （0，2）、B （﹣1，0），将△ABO 经过旋转、平移变化得到△BCD ，∴BD =OA =2，CD =OB =1，∠BDC =∠AOB =90°，∴C （1，1）．设经过A 、B 、C 三点的抛物线解析式2y ax bx c =++，则有012a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，∴32122a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，∴抛物线解析式为231222y x x =-++； （2）如图1所示，设直线PC 与AB 交于点E ．∵直线PC 将△ABC 的面积分成1：3两部分，∴13AE BE =或3AEBE=，过E 作EF ⊥OB 于点F ，则EF ∥OA ，∴△BEF ∽△BAO ，∴EF BE BF AO BA BO ==，∴当13AE BE =时，3241EF BF==，∴EF =32，BF =34，∴E （14-，32），∴直线PC 解析式为2755y x =-+，∴2312722255x x x -++=-+，∴125x =-，21x =（舍去），∴P （25-，3925）；当3AE BE =时，同理可得，P （67-，2349）．②如图3所示，当3455t ≤<时，△A 1B 1O 1与△B 2C 1D 1重叠部分为直角三角形．设A1B1与x轴交于点H，A1B1与C1D1交于点G，∴G（1﹣2t，4﹣5t），∴D1H=2451222t tt--+-=，D1G=4﹣5t，∴S=12D1H×D1G=21451(45)(54)224tt t--=-，∴当3455t≤<时，S的最大值为14．综上所述，在此运动过程中△ABO与△BCD重叠部分面积的最大值为25 52．考点：二次函数综合题；几何变换综合题；动点型；最值问题；二次函数的最值；分类讨论；压轴题．7．（2015浙江衢州）如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A（1，2），过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移过程中与△COD重叠部分面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．当AG =BH 时，四边形ABPM 为等腰梯形， ∴237t t t+2=222，化简得3t 2﹣8t +4=0．解得t 1=2（不合题意，舍去），t 2=23， ∴点P 的坐标为（2133，）． ∴存在点P （2133，），使得四边形ABPM 为等腰梯形．【考点】二次函数综合题，二次函数的图象和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值，等腰梯形的性质，相似三角形的判定和性质，图形平移的性质以及几何图形面积的求法．【分析】（1）抛物线y=ax2+bx+c经过点O、A、C，利用待定系数法求抛物线的解析式．（2）根据等腰梯形的性质，确定相关点的坐标以及线段长度的数量关系，得到一元二次方程，求出t的值，从而可解．结论：存在点P（2133，），使得四边形ABPM为等腰梯形．（3）求出得重叠部分面积S的表达式，然后利用二次函数的极值求得S的最大值．8．（2015江苏宿迁）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知直线l1：y=12x与直线l2：y=－x+6相交于点M，直线l2与x轴相较于点N．（1）求M，N的坐标；（2）在矩形ABCD中，已知AB=1，BC=2，边AB在x轴上，矩形ABCD沿x轴自左向右以每秒1个单位长度的速度移动．设矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为S．移动的时间为t（从点B与点O重合时开始计时，到点A与点N重合时计时结束）．直接写出S与自变量t之间的函数关系式（不需要给出解答过程）；（3）当0≤t≤1时，S的最大值为14，此时t=1．【考点】一次函数综合题，平移问题，直线上点的坐标与方程的关系，一次函数和二次函数的最值．【分析】（1）联立两直线方程即可求得M的坐标，在y=－x+6中令y=0即可求得N的坐标．（2）先求各关键位置，自变量t的情况：起始位置时，t=0；当点A与点O重合时，如图1，t=1；当点C与点M重合时，如图2，t=4；当点D与点M 重合时，如图3，t=5；当点B与点N重合时，如图4，t=6；结束位置时，点A与点N重合，t=7．（1）求抛物线的解析式．（2）在第三象限内，抛物线上的点P在什么位置时，△PBB1的面积最大？求出这时点P的坐标．（3）在第三象限内，抛物线上是否存在点Q，使点Q到线段BB12Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）∵AB ⊥x 轴，AB =3，tan ∠AOB =34，∴OB =4． ∴B （﹣4，0），B 1（0，﹣4），A 2（3，0）． ∵抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）经过点B 、B 1、A 2，∴16a 4b+c=0c=49a+3b+c=0-⎧⎪-⎨⎪⎩，解得1a=31b=3c=4⎧⎪⎪⎪⎨⎪-⎪⎪⎩．∴抛物线的解析式为：211y x x 433=+-．当x Q=﹣1时，y Q=﹣4；当x Q=﹣3时，y Q=﹣2．10．（2015四川南充）在Rt△POQ中，OP=OQ=4，M是PQ中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B，（1）求证：MA=MB（2）连接AB，探究：在旋转三角尺的过程中，△AOB的周长是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在．请说明理由．【答案】解：（1）证明：连接OM．∵ Rt△POQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中点，∴PQ=42，OM=PM=12PQ=22，∠PO M=∠BOM=∠P=450．∵∠PMA+∠AMO=∠OMB+∠AMO，∴∠PMA=∠OMB．∴△PMA≌△OMB（ASA）．∴ MA=MB．（2）△AOB的周长存在最小值．理由如下：11．（2015四川）如图，⊙C 的内接△AOB 中，AB =AO =4，tan ∠AOB=43，抛物线2y ax bx =+经过点A （4，0）与点（-2，6）（1）求抛物线的函数解析式．（2）直线m 与⊙C 相切于点A 交y 轴于点D ，动点P 在线段OB 上，从点O 出发向点B 运动；同时动点Q 在线段DA 上，从点D 出发向点A 运动，点P 的速度为每秒1个单位长，点Q 的速度为每秒2个单位长，当PQ ⊥AD 时，求运动时间t 的值（3）点R 在抛物线位于x 轴下方部分的图象上，当△ROB 面积最大时，求点R 的坐标．【答案】解：（1）把点A （4，0）与点（-2，6）代入抛物线2y ax bx =+，得：16a 4b 04a 2b 6+=⎧⎨-=⎩，解得，1a 2b 2⎧=⎪⎨⎪=-⎩．【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组，直线与圆相切的性质，弦和弧的关系，垂径定理，平行的判定和性质，锐角三角函数定义，勾股定理，一元二次方程根的判别式．【分析】（1）将点A（4，0）与点（-2，6）代入抛物线y=ax2+bx，得方程组，解之即可得出解析式．12．（2015辽宁丹东）已知抛物线2y ax 2ax c =-+与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，点A 的坐标是（－1，0），O 是坐标原点，且OC A 3O =． （1）求抛物线的函数表达式； （2）直接写出直线BC 的函数表达式；（3）如图1，D 为y 轴的负半轴上的一点，且OD =2，以OD 为边作正方形ODEF ．将正方形ODEF 以每秒1个单位的速度沿x 轴的正方向移动，在运动过程中，设正方形ODEF 与△OBC 重叠部分的面积为s ，运动的时间为t 秒（0＜t ≤2）．求：①s 与t 之间的函数关系式；②在运动过程中，s 是否存在最大值？如果存在，直接写出这个最大值；如果不存在，请 说明理由．（4）如图2，点P （1，k ）在直线BC 上，点M 在x 轴上，点N 在抛物线上，是否存在以A 、M 、N 、P 为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出M 点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）∵ A（－1，0）， OC 3OA =，∴C （0，－3）．∵抛物线经过A（－1，0），C（0，，3），∴抛物线的函数表达式y=x2－2x－3．【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，正方形的性质，二次函数的性质，平行四边形的判定．【分析】（1）求出点C的坐标，即可根据A，C的坐标用待定系数法求出抛物线的函数表达式．（2）求出点B的坐标（3，0），即可由待定系数法求出直线BC的函数表达式．（3）①分0＜t≤1和1＜t≤2讨论即可．②由于()()()222t0t1S1119t+3t=t3+1t22222<<⎧≤⎪=⎨----≤⎪⎩在0＜t≤2上随t的增大而增大，从而在运动过程中，s是存在最大值：当t =2秒时，S有最大值，最大值为72．13．（2014年甘肃天水12分）如图（1），在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）．Rt△CDE中，∠CDE=90°，CD=4，DE=43，直角边CD在y轴上，且点C与点A重合．Rt△CDE沿y轴正方向平行移动，当点C运动到点O时停止运动．解答下列问题：（1）如图（2），当Rt△CDE运动到点D与点O重合时，设CE交AB于点M，求∠BME的度数．（2）如图（3），在Rt△CDE的运动过程中，当CE经过点B时，求BC的长．（3）在Rt△CDE的运动过程中，设AC=h，△OAB与△CDE的重叠部分的面积为S，请写出S与h之间的函数关系式，并求出面积S的最大值．【答案】解：（1）如图2，∵在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0），∴OA=OB，∴∠OAB=45°．∵∠CDE=90°，CD=4，DE=43，∴DEtan OCE3CD∠=OCE=60°．∴∠CMA=∠OCE﹣∠OAB=60°﹣45°=15°．∴∠BME=∠CMA=15°．（2）如图3，∵∠CDE =90°，CD =4，DE =43，∴CD 3tan DEC DE ∠==．∴∠DEC =30°． ∵DE ∥x 轴，∴∠OBC =∠DEC =30°． ∵OB =6，∴BC =43．（3）①当h ≤2时，如答图1，作MN ⊥y 轴交y 轴于点N ，作MF ⊥DE 交DE 于点F ， ∵CD =4，DE =43，AC =h ，AN =NM ， ∴CN =4﹣FM ，AN =MN =4+h ﹣FM ， ∵△CMN ∽△CED ，∴CN MNCD DE =，即4FM 443-=． 解得31FM 4h +=-． ∴S =S △EDC ﹣S △EFM =()2113131443434h4h h 4h 822⎛⎫++⋅⋅-⋅--⋅-=-++ ⎪ ⎪⎝⎭， 此时，S 最大=153-．②当2<h 623≤-时，如答图2，由（2）可知，在Rt △CDE 的运动过程中，当CE 经过点B 时，BC =43，此时OC =23，h 623=-，S =S △ABC ﹣S △ACM =211313366h h h 18h 22⎛⎫++⋅⋅-⋅⋅+=- ⎪ ⎪⎝⎭， 此时，S 最大不超过153-． ③当623<h 6-≤时，如答图3，S =S △OCF =()()()2113OC OF 6h 36h 6h 22⋅⋅=⋅-⋅-=-，此时，S 最大不超过63．∵153********>0--=-， ∴面积S 的最大值为153-． 综上所述，S 与h 之间的函数关系式为()()()()22231h 4h 8h 233S 18h 2<h 62336h 623<h 6⎧+-++≤⎪⎪⎪+⎪=-≤-⎨⎪⎪--≤⎪⎪⎩，面积S 的最大值为153-．【考点】1．面动平移问题；2．点的坐标；3． 锐角三角函数定义；4．特殊角的三角函数值；5．相似三角形的判定和性质；6．由实际问题列函数关系式；7．二次函数的性质；8．分类思想、数形结合思想和转换思想的应用．【分析】（1）如图2，由对顶角的定义知，∠BME =∠CMA ，所以欲求∠BME 的度数，需求∠CMA 的度数．根据三角形外角定理进行解答即可．（2）如图3，通过解直角△BOC 来求BC 的长度．（3）需要分类讨论：①h ≤2时，②当2<h 623≤-时，③当623<h 6-≤时．14．（2014年江苏盐城12分）如图①，在平面直角坐标系中，一块等腰直角三角板ABC 的直角顶点A 在y 轴上，坐标为（0，﹣1），另一顶点B 坐标为（﹣2，0），已知二次函数23y x bx c 2=++的图象经过B 、C 两点．现将一把直尺放置在直角坐标系中，使直尺的边A ′D ′∥y 轴且经过点B ，直尺沿x 轴正方向平移，当A ′D ′与y 轴重合时运动停止． （1）求点C 的坐标及二次函数的关系式；（2）若运动过程中直尺的边A ′D ′交边BC 于点M ，交抛物线于点N ，求线段MN 长度的最大值； （3）如图②，设点P 为直尺的边A ′D ′上的任一点，连接PA 、PB 、PC ，Q 为BC 的中点，试探究：在直尺平移的过程中，当10PQ =时，线段PA 、PB 、PC 之间的数量关系．请直接写出结论，并指出相应的点P 与抛物线的位置关系．（说明：点与抛物线的位置关系可分为三类，例如，图②中，点A 在抛物线内，点C 在抛物线上，点D ′在抛物线外．）【答案】解：（1）如图1，过点C 作CD ⊥y 轴于D ，此时△CDA ≌△AOB ， ∵△CDA ≌△AOB ， ∴AD =BO =2，CD =AO =1． ∴OD =OA +AD =3， ∴C （﹣1，﹣3）．将B （﹣2，0），C （﹣1，﹣3）代入抛物线23y x bx c 2=++， 解得 b =32，c =﹣3． ∴抛物线的解析式为233y x x 322=+-．（3）P 在抛物线外时，BP 2+CP 2≥PA 2；P 在抛物线上时，BP +CP =2AP ；P 在抛物线内，BP 2+CP 2≥PA 2． 【考点】1．二次函数综合题；2．面动平移问题；3．曲线上点的坐标与方程的关系；4．待定系数法的应用；5．二次函数的性质；5．全等三角形的判定和性质；6．勾股定理；7．圆的性质；8．由实际问题列函数关系式；9．分类思想的应用．【分析】（1）求C 点坐标，考虑作x ，y 轴垂线，表示横纵坐标，易得△C DA ≌△AOB ，所以C 点坐标易知．进而抛物线解析式易得．（2）横坐标相同的两点距离，可以用这两点的纵坐标作差，因为两点分别在直线BC 与抛物线上，故可以利用解析式，设横坐标为x ，表示两个纵坐标．作差记得关于x 的二次函数，利用最值性质，结果易求． （3）如答图2，以Q 点为圆心，10为半径作⊙Q ， ∵OB =2，OA =1，∴AC =AB =22AO OB 5+=. ∴BC =22AC AB 10+=.∴BQ =CQ =10. ∵∠BAC =90°，∴点B 、A 、C 都在⊙Q 上． ①P 在抛物线外，如答图3，在抛物线外的弧BC 上任找一点P ，连接PB ，PC ，PA ， ∵BC 为直径，∴BP 2+CP 2=BC 2，BC ≥PA ， ∴BP 2+CP 2≥PA 2．②P 在抛物线上，此时，P 只能为B 点或者C 点， ∵AC =AB =5，∴AP =5.∵BP +CP =BC =10，∴BP +CP =2AP ． ③P 在抛物线内，同理①， ∵BC 为直径，∴BP 2+CP 2=BC 2，BC ≥PA ，∴BP 2+CP 2≥PA 2．15．（2014年山东莱芜12分）如图，过A （1，0）、B （3，0）作x 轴的垂线，分别交直线y =4﹣x 于C 、D 两点．抛物线y =ax 2+bx +c 经过O 、C 、D 三点． （1）求抛物线的表达式；（2）点M 为直线OD 上的一个动点，过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，问是否存在这样的点M ，使得以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M 的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）若△AOC 沿CD 方向平移（点C 在线段CD 上，且不与点D 重合），在平移的过程中△AOC 与△OBD 重叠部分的面积记为S ，试求S 的最大值．【答案】解：（1）由题意，可得C （1，3），D （3，1）． ∵抛物线过原点，∴设抛物线的解析式为：y =ax 2+bx ．∴a b 39a 3b 1+=⎧⎨+=⎩，解得4a 313b 3⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的表达式为：2413y x x 33=-+． （2）存在．设直线OD 解析式为y =kx ，将D （3，1）代入求得k =13， ∴直线OD 解析式为y =1x 3．设点M 的横坐标为x ，则M （x ，1x 3），N （x ，2413x x 33-+）， ∴MN =|y M ﹣y N |=2214134x x x x 4x 3333⎛⎫--+=- ⎪⎝⎭． 由题意，可知MN ∥AC ，∵以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，则有MN =AC =3．∴24x 4x 33-=． 若24x 4x 33-=，整理得：4x 2﹣12x ﹣9=0，解得： x =332+或x =332-； 若24x 4x 33-=-，整理得：4x 2﹣12x +9=0，解得：x =32．∴存在满足条件的点M ，点M 的横坐标为：32或332+或332-．∴易得直线OC 的解析式为y =3x ，直线OD 的解析式为y =1x 3． 如答图所示，设平移中的三角形为△A ′O ′C ′，点C ′在线段CD 上．设O ′C ′与x 轴交于点E ，与直线OD 交于点P ；设A ′C ′与x 轴交于点F ，与直线OD 交于点Q ． 设水平方向的平移距离为t （0≤t ＜2），则AF =t ，F （1+t ），Q （1+t ，11t 33+），C ′（1+t ，3﹣t ）． 设直线O ′C ′的解析式为y =3x +b ， 将C ′（1+t ，3﹣t ）代入得：b =﹣4t ，∴直线O ′C ′的解析式为y =3x ﹣4t ．∴E （4t 3，0）．联立y =3x ﹣4t 与y =1x 3，解得x =3t 2，∴P （31t,t 22）．过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，则PG =1t 2．∴S =S △OFQ ﹣S △OEP =12OF •FQ ﹣12OE •PG =()()2111141111t t t t t 123323263⎛⎫++-⋅⋅=--+ ⎪⎝⎭当t =1时，S 有最大值为13． ∴S 的最大值为13．【考点】1．二次函数综合题；2．单动点和面动平移问题；3．待定系数法的应用；4．曲线上点的坐标与方程的关系；5．平行四边形的性质；6．平移的性质；7．分类思想和方程思想的应用；8．二次函数最值． 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式．（2）由题意，可知MN ∥AC ，因为以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，则有MN =AC =3．设点M 的横坐标为x ，则求出MN =24x 4x 3-，解方程|24x 4x 33-=，求出x 的值，即点M 横坐标的值．（3）设水平方向的平移距离为t （0≤t ＜2），利用平移性质求出S 的表达式：S =()211t 163--+，当t =1时，s 有最大值为13．16．（2014年山西省13分）综合与探究：如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是平行四边形，A 、C 两点的坐标分别为（4，0），（﹣2，3），抛物线W 经过O 、A 、C 三点，D 是抛物线W 的顶点．（1）求抛物线W 的解析式及顶点D 的坐标；（2）将抛物线W 和OABC 一起先向右平移4个单位后，再向下平移m （0＜m ＜3）个单位，得到抛物线W ′和O ′A ′B ′C ′，在向下平移的过程中，设O ′A ′B ′C ′与OABC 的重叠部分的面积为S ，试探究：当m 为何值时S 有最大值，并求出S 的最大值；（3）在（2）的条件下，当S 取最大值时，设此时抛物线W ′的顶点为F ，若点M 是x 轴上的动点，点N 时抛物线W ′上的动点，试判断是否存在这样的点M 和点N ，使得以D 、F 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）设抛物线W 的解析式为y =ax 2+bx +c ， ∵抛物线W 经过O （0，0）、A （4，0）、C （﹣2，3）三点，∴c 016a 4b c 04a 2b c 3=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩，解得：1a 4b 1c 0⎧=⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩．∴抛物线W 的解析式为21y x x 4=-． ∵()2211y x x x 2144=-=--，∴顶点D 的坐标为（2，﹣1）． （2）由OABC 得，CB ∥OA ，CB =OA =4．又∵C 点坐标为（﹣2，3），∴B 点的坐标为（2，3）．如答图1，过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，由平移可知，点C ′在BE 上，且BC ′=m ． ∴BE =3，OE =2．∴EA =OA ﹣OE =2． ∵C ′B ′∥x 轴，∴△BC ′G ∽△BEA ． ∴BC C G BE EA ''=，即m C G 32'=.∴C ′G =2m 3． 由平移知，O ′A ′B ′C ′与OABC 的重叠部分四边形C ′HAG 是平行四边形．∴()22233S C G C E m 3m m 3322⎛⎫='⋅'=⋅-=--+ ⎪⎝⎭.∴当m =32时，S 有最大值为32．（3）存在．点M 的坐标分别为（0，0），（4，0），（6，0），（14，0）．【考点】1．二次函数综合题；2．线动平移、面动平移和双动点问题；3．待定系数法的应用；4．曲线上点的坐标与方程的关系；5．二次函数的性质；6．相似三角形的判定和性质；7．平行四边形的判定和性质；8．分类思想的应用．【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，化为顶点式求出顶点D 的坐标．（2）由平移性质，可知重叠部分为一平行四边形．如答图1，作辅助线，利用相似比例式求出平行四边形的边长和高，从而求得其面积的表达式；然后利用二次函数的性质求出最值． （3）在（2）的条件下，抛物线W 向右平移4个单位，再向下平移32个单位，得到抛物线W ′， ∵D （2，﹣1），∴F （6，52-）． ∴抛物线W ′的解析式为：()215y x 642=--． 设M （t ，0），以D 、F 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，分点N 在x 轴上方、下方两种情况讨论： ①若点N 在x 轴下方，如答题2所示： 过点D 作DP ∥y 轴，过点F 作FP ⊥DP 于点P ， ∵D （2，﹣1），F （6，52-），∴DP =32，FP =4． 过点N 作DQ ⊥x 轴于点Q ，由四边形FDMN 为平行四边形，易证△DFP ≌△NMQ ，∴MQ =FP =4，NQ =DP =32.∴N （4+t ，﹣32）． 将点N 坐标代入抛物线W ′的解析式()215y x 642=--，得：()2153t 2422--=-，解得：t =0或t =4，∴点M 的坐标为（0，0）或（4，0）． ②若点N 在x 轴上方，（请自行作图） 与①同理，得N （4﹣t ，32） 将点N 坐标代入抛物线W ′的解析式()215y x 642=--，得：()2153t 10422--=， 解得：t =6或t =14，∴点M 的坐标为（6，0）或（14，0）．综上所述，存在这样的点M 和点N ，点M 的坐标分别为（0，0），（4，0），（6，0），（14，0）．17．（2014年天津市10分）在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （-2，0），点B （0，2），点E ，点F 分别为OA ，OB 的中点．若正方形OEDF 绕点O 顺时针旋转，得正方形OE ’D ’F ’，记旋转角为α． （1）如图①，当α＝90°，求AE '，BF ' 的长；（2）如图②，当α＝135°，求证AE '＝BF '，且AE '⊥BF '；（3）若直线AE '与直线BF '相交于点P ，求点P 的纵坐标的最大值（直接写出结果即可）．【答案】解：（1）当α=90°时，点E ′与点F 重合，如图①． ∵点A （-2，0）点B （0，2），∴OA =OB =2．∵点E ，点F 分别为OA ，OB 的中点，∴OE =OF =1∵正方形OE ′D ′F ′是正方形OEDF 绕点O 顺时针旋转90°得到的， ∴OE ′=OE =1，OF ′=OF =1．在Rt △AE ′O 中，2222AE OA OE 215'=+=+=． 在Rt △BOF ′中，2222BF OB OF 215'=+=+= ∴AE ′，BF ′的长都等于5．（3）在第一象限内，当点D ′与点P 重合时，点P 的纵坐标最大． 如答图，过点P 作PH ⊥x 轴，垂足为H ， ∵∠AE ′O =90°，E ′O =1，AO =2，∴∠E ′AO =30°，AE ′=3．∴AP =31+． ∵∠AHP =90°，∠PAH =30°，∴131PH AP 2+==． ∴点P 的纵坐标的最大值为31+． 【考点】1．面动旋转问题；2．三角形的外角性质；3．全等三角形的判定和性质；4．含30度角的直角三角形的性质；5．勾股定理．【分析】（1）利用勾股定理即可求出AE ′，BF ′的长．（2）运用全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质就可解决问题．（3）首先找到使点P 的纵坐标最大时点P 的位置（点P 与点D ′重合时），然后运用勾股定理及30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识即可求出点P 的纵坐标的最大值．18．（2014年云南省9分）已知如图平面直角坐标系中，点O是坐标原点，矩形ABCD是顶点坐标分别为A （3，0）、B（3，4）、C（0，4）．点D在y轴上，且点D的坐标为（0，﹣5），点P是直线AC上的一动点．（1）当点P运动到线段AC的中点时，求直线DP的解析式（关系式）；（2）当点P沿直线AC移动时，过点D、P的直线与x轴交于点M．问在x轴的正半轴上是否存在使△DOM 与△ABC相似的点M？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P沿直线AC移动时，以点P为圆心、R（R＞0）为半径长画圆．得到的圆称为动圆P．若设动圆P的半径长为AC2，过点D作动圆P的两条切线与动圆P分别相切于点E、F．请探求在动圆P 中是否存在面积最小的四边形DEPF？若存在，请求出最小面积S的值；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）∵A（3，0），C（0，4），点P是AC中点，∴点P的坐标为（32，2）．设直线DP的解析式为y=kx+b，∵D（0，﹣5），P（32，2）在直线DP上，∴b53k b22=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得14k3b5⎧=⎪⎨⎪=-⎩．∴直线DP的解析式为14y x53=-．（2）存在①如答图1，若△DOM∽△ABC，∵△DOM∽△ABC，∴DO OM AB BC=．∵点B坐标为（3，4），点D的坐标为（0．﹣5），∴BC=3，AB=4，OD=5．∴5OM43=，解得15OM4=．∵点M在x轴的正半轴上，∴点M的坐标为（154，0）．②如答图2，若△DOM∽△CBA，∵△DOM∽△CBA，DO OM CB BA=．∵BC=3，AB=4，OD=5，∴5OM34=，解得20OM3=．∵点M在x轴的正半轴上，∴点M的坐标为（203，0）．综上所述：在x轴的正半轴上存在使△DOM与△ABC相似的点，点M的坐标为（154，0）或（203，0）．（3）∵OA=3，OC=4，∠AOC=90°，∴AC=5．∴PE=PF=12AC=52．∵DE、DF都与⊙P相切，∴DE=DF，∠DEP=∠DFP=90°．∴S△PED=S△PFD．∴S四边形DEPF=2S△PED=122⋅PE•DE=PE•DE=52DE．∵∠DEP=90°，∴DE2=DP2﹣PE2=DP2﹣254．根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：当DP⊥AC时，DP最短，此时DE取到最小值，四边形DEPF的面积最小．∵DP⊥AC，∴∠DPC=90°．∴∠AOC=∠DPC．∵∠OCA=∠PCD，∠AOC=∠DPC，∴△AOC∽△DPC．∴AO AC DP DC=．∵AO=3，AC=5，DC=4﹣（﹣5）=9，∴35DP9=，解得27DP5=．∴DE2=DP2﹣22527252291454100⎛⎫=-=⎪⎝⎭．∴DE=2291．∴S四边形DEPF=5522912291 DE22=⋅=．∴四边形DEPF面积的最小值为2291．【考点】1．单动点和动面问题；2．待定系数法的应用；3．直线上点的坐标与方程的关系；4．相似三角形的判定和性质；5．勾股定理；6．切线的性质；7．垂线段最短的性质；8．分类思想、转换思想和数形结合思想的应用．【分析】（1）只需先求出AC中点P的坐标，然后用待定系数法即可求出直线DP的解析式．（2）由于△DOM与△ABC相似，对应关系不确定，可分两种情况进行讨论，利用三角形相似求出OM的长，即可求出点M的坐标．（3）易证S△PED=S△PFD．从而有S四边形DEPF=2S△PED=52DE．由∠DEP=90°得DE2=DP2﹣PE2=DP2﹣254．根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：当DP⊥AC时，DP最短，此时DE也最短，对应的四边形DEPF的面积最小．借助于三角形相似，即可求出DP⊥AC时DP的值，就可求出四边形DEPF面积的最小值．。

专题18 数轴上的动点问题（提优）1．如图1，线段AB的长为a．（1）尺规作图：延长线段AB到C，使BC＝2AB；延长线段BA到D，使AD＝AC．（先用尺规画图，再用签字笔把笔迹涂黑．）（2）在（1）的条件下，以线段AB所在的直线画数轴，以点A为原点，若点B对应的数恰好为10，请在数轴上标出点C，D两点，并直接写出C，D两点表示的有理数，若点M是BC的中点，点N是AD 的中点，请求线段MN的长．（3）在（2）的条件下，现有甲、乙两个物体在数轴上进行匀速直线运动，甲从点D处开始，在点C，D之间进行往返运动；乙从点N开始，在N，M之间进行往返运动，甲、乙同时开始运动，当乙从M点第一次回到点N时，甲、乙同时停止运动，若甲的运动速度为每秒5个单位，乙的运动速度为每秒2个单位，请求出甲和乙在运动过程中，所有相遇点对应的有理数．【分析】（1）根据尺规作图的方法按要求做出即可；（2）根据中点的定义及线段长度的计算求出；（3）认真分析甲、乙物体运行的轨迹来判断它们相遇的可能性，分情况建立一元一次方程来计算相遇的时间，然后计算出位置．【解答】解：（1）如图所示；（2）根据（1）所作图的条件，如果以点A为原点，若点B对应的数恰好为10，则有点C对应的数为30，点D对应的数为﹣30，MN＝|20﹣（﹣15）|＝35（3）设乙从M点第一次回到点N时所用时间为t，则t=2MN2=2×352=35（秒）那么甲在总的时间t内所运动的长度为：s＝5t＝5×35＝175（单位长度），可见，在乙运动的时间内，甲在C，D之间运动的情况为：175÷60＝2……55，也就是说甲在C，D之间运动一个来回还多出55长度单位．①设甲乙第一次相遇时的时间为t1，有：5t1＝2t1+15，t1＝5（秒）而﹣30+5×5＝﹣5，﹣15+2×5＝﹣5 这时甲和乙所对应的有理数为﹣5．②设甲乙第二次相遇时再次经过的时间t 2，有： 5t 2+2t 2＝2×[30﹣（﹣5）]，t 2＝10（秒）此时甲的位置：﹣15×5+60+30＝15，乙的位置15×2﹣15＝15， 这时甲和乙所对应的有理数为15．③设甲乙第三次相遇时再次经过的时间t 3，有： 5t 3+2t 3＝45+50+5，t 3=1007（秒） 此时甲的位置：5×1007−45﹣30=−257，乙的位置：﹣（2×1007−5﹣20）=−257这时甲和乙所对应的有理数为−257．此时所经过的时间＝t 1+t 2+t 3＝5+10+1007=2927（秒），剩余的时间＝35﹣2927=557，甲运动的距离只有5×557=2847，可见甲和乙停止运动后不可能再相遇了，所以甲和乙在运动过程中所相遇的点对应的有理数为：﹣5，15，−257． 【点评】本题既考查数轴作图及线段长度计算的基础知识，重要的是两个点在数轴上做复杂运动时的运动轨迹和相遇的位置，具有比较大的难度．正确分析出可能相遇的情况并建立一元一次方程是解题的关键．2．如图1，数轴上，O 点与C 点对应的数分别是0，60（单位：单位长度），将一根质地均匀的直尺AB 放在数轴上（A 在B 的左边），若将直尺在数轴上水平移动，当A 点移动到B 点的位置时，B 点与C 点重合，当B 点移动到A 点的位置时，A 点与O 点重合．（1）请直接写出直尺的长为 20 个单位长度；（2）如图2，直尺AB 在数轴上移动，有BC ＝3OA ，求此时A 点所对应的数；（3）如图3，以OC 为边搭一个横截面为长方形的不透明的篷子，将直尺放入篷内的数轴上的某处（看不到直尺的任何部分，A 在B 的左边），将直尺AB 沿数轴以4个单位长度/秒的速度分别向左、右移动，直到完全看到直尺，所经历的时间分别为t 1、t 2，若t 1﹣t 2＝9（秒），求直尺放入篷内时，A 点所对应的数为多少？【分析】根据数轴上点的移动来计算相对点的位置，找到它们的数量关系来求解． 【解答】解：（1）∵OC ＝3AB ＝60， ∴AB ＝20， ∴直尺的长为：20．（2）当直尺AB 在数轴上移动时，符合BC ＝3OA 的情况如下所示： ①直尺在OC 之外时，设BO 为x ，∴60+x ＝3（20+x ），x ＝0， ∴A 所对应的数为﹣20．②直尺在OC 之内时，设OA 为x ，60﹣20﹣x ＝3x ，x ＝10， ∴A 所对应的数为10，∴综上所述，A 在数轴上所对应的数分别为﹣20或10． （3）设直尺在蓬内的x 处，即OA ＝x ，如下图，根据题意， t 1=x+204 t 2=60−x4∵t 1﹣t 2＝9 ∴x+204−60−x 4=9，解得x ＝38所以A 点在蓬内所对应的数为38．【点评】本题考查直尺两端相对固定的两个点在数轴上移动时和数轴上固定的点之间距离关系的变化来确定直尺两端的位置，根据已知条件来分析直尺两端所对应点位置的可能性是解题的关键．3．A ，B 两点在数轴上如图所示，其中O 为原点，点A 对应的有理数为a ，点B 对应的有理数为b ，且点A 距离原点6个单位长度，a ．b 满足b ﹣|a |＝2． （1）a ＝ ﹣6 ；b ＝ 8 ；（2）动点P 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t 秒（t ＞0） ①当PO ＝2PB 时，求点P 的运动时间t ： ②当PB ＝6时，求t 的值：（3）当点P 运动到线段OB 上时，分别取AP 和OB 的中点E 、F ，则AB−OP EF的值是否为一个定值？如果是，求出定值，如果不是，说明理由．【分析】（1）由点A 距离原点6个单位长度，点A 在原点左边，推出a ＝﹣6，由b ﹣|a |＝2．可得b ＝8； （2）①②根据题意构建方程即可解决问题；（3）根据中点坐标公式分别表示出点E 表示的数，点F 表示的数，再计算AB−OP EF即可．【解答】解：（1）∵点A 距离原点6个单位长度，点A 在原点左边， ∴a ＝﹣6， ∵b ﹣|a |＝2． ∴b ＝8， 故答案为﹣6，8．（2）①∵OP ＝2PB ，观察图象可知点P 在点O 的右侧：2t ﹣6＝2（14﹣2t ）或2t ﹣6＝2（2t ﹣14）， 解得t =173或11．②（14﹣2t ）＝6或（2t ﹣14）＝6 解得t ＝4或10．（3）当点P 运动到线段OB 上时， AP 中点E 表示的数是−6+2t−62=−6+t ，OB 的中点F 表示的数是4，所以EF ＝4﹣（﹣6+t ）＝10﹣t ， 则AB−OP EF =14−(2t−6)10−t=2．所以AB−OPEF的值为定值2．【点评】考查了一元一次方程的应用，数轴，两点间的距离公式，中点坐标公式．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．4．已知a 是最大的负整数，b 是多项式2m 2n ﹣m 3n 2﹣m ﹣2的次数，c 是单项式﹣2xy 2的系数，且a 、b 、c 分别是点A 、B 、C 在数轴上对应的数，数轴0对应点O ．（1）求a 、b 、c 的值，并在数轴上标出点A 、B 、C ．（2）若M 点在此在此数轴上运动，请求出M 点到AB 两点距离之和的最小值；（3）若动点P 、Q 同时从A 、B 出发沿数轴负方向运动，点P 的速度是每秒12个单位长度，点Q 的速度是每秒2个单位长度，求运动几秒后，OP ＝OQ ？（4）在数轴上找一点M ，使点M 到A 、B 、C 三点的距离之和等于10，请直接写出所有的M 对应的数．（不必说明理由）【分析】（1）理解多项式和单项式的相关概念，能够正确画出数轴，正确在数轴上找到所对应的点； （2）当M 点在线段AB 上时，M 点到AB 两点距离之和有最小值； （3）分两种情况，根据数轴上两点间的距离的求法进行求解； （4）注意数轴上两点间的距离公式：两点所对应的数的差的绝对值． 【解答】解：（1）∵a 是最大的负整数， ∴a ＝﹣1，∵b 是多项式2m 2n ﹣m 3n 2﹣m ﹣2的次数， ∴b ＝3+2＝5，∵c 是单项式﹣2xy 2的系数， ∴c ＝﹣2， 如图所示：（2）当M 点在线段AB 上时，M 点到AB 两点距离之和的最小值为5﹣（﹣1）＝6；（3）∵动点P 、Q 同时从A 、B 出发沿数轴负方向运动，点P 的速度是每秒12个单位长度，点Q 的速度是每秒2个单位长度，∴AB ＝6，两点速度差为：2−12， ∴6÷（2−12）＝4（秒）； 或1+12t ＝5﹣2t ， 解得t ＝1.6．答：运动1.6秒或4秒后，OP ＝OQ ．（4）存在点M ，使P 到A 、B 、C 的距离和等于10， 当M 在AB 之间，则M 对应的数是2， 当M 在C 点左侧，则M 对应的数是：﹣223．综上所述，M 对应的数为2或﹣223．【点评】此题主要考查了数轴有关计算以及单项式和多项式问题，注意数轴的三要素：原点、正方向、单位长度；能够正确表示数轴上两点间的距离：两点所对应的数的差的绝对值．5．如图，在数轴上，点O 为原点，点A ，B 是数轴上的点，已知点A 所对应的数是a ，点B 所对应的数是b ，且a ，b 满足|a +2|+（3a +b ）2＝0（1）请在数轴上标出点A ，B 的位置，并直接写出点B 所对应的数是 6 ； （2）在数轴上原点O 的右侧有一个点P ，满足P A +PB ＝14，求点P 对应的数；（3）在（2）的条件下，动点Q 从点B 出发沿数轴向右运动，点Q 的速度为每秒1个单位长度；同时点R 从点A 出发沿着数轴向右运动，点R 的速度为每秒5个单位长度，点M 为线段QR 的中点，若在数轴上有一点N 且满足NB ﹣NP ＝1，在点R ，Q 运动的过程中，设点Q 的运动时间为t 秒，当OM +MN ＝2RQ 时，求t 的值及此时点M 所表示的数？【分析】（1）题中出现了绝对值和平方的和为0，根据非负数的和为0，则每一个非负数都为0，即可求出a 和b 的值，进而求出点B 所对应的数；（2）设出点P 代表的数，列式求解即可，要分类讨论；（3）根据题意先求出点N 所对应的数，再分点M 在N 的左边，点M 在N 的右边两种情况进行讨论即可求解．【解答】解：（1）由|a +2|+（3a +b ）2＝0得 a +2＝0，3a +b ＝0 解得：a ＝﹣2，b ＝6， ∴点B 所对应的数是6． 故答案为6．（2）设点P 表示的数为x ，且x ＞0， 当点P 在点B 左侧，根据P A +PB ＝14， ∴x ﹣（﹣2）+6﹣x ＝14，无解； 当点P 在点B 右侧，根据P A +PB ＝14，∴x ﹣（﹣2）+x ﹣6＝14，解得：x ＝9， ∴点P 对应的数是9．（3）∵NB ﹣NP ＝1，点B 所对应的数是6，点P 对应的数是9， ∴点N 对应的数是8， 点M 在N 的左边，则12（﹣2+5t +6+t ）+[8−12（﹣2+5t +6+t ）]＝2[（6+t ）﹣（﹣2+5t ）]，解得t ＝1，点M 所表示的数是12×（﹣2+5+6+1）＝5；点M 在N 的右边，则12（﹣2+5t +6+t ）+[12（﹣2+5t +6+t ）﹣8]＝2[（﹣2+5t ）﹣（6+t ）]，解得t ＝6，点M 所表示的数是12×（﹣2+5×6+6+6）＝20．综上所述，t 的值是1时点M 所表示的数是5或t 的值是6时点M 所表示的数是20．【点评】本题考查了数轴与绝对值，通过数轴把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．6．数轴上有A 、B 、C 三点，分别表示有理数﹣26、﹣10、20，动点P 从A 出发，以每秒1个单位的速度向右移动，当P 点运动到C 点时运动停止．设点P 移动时间为t 秒．（1）用含t 的代数式表示P 点对应的数： ﹣26+t ．（2）当P 点运动到B 点时，点Q 从A 点出发，以每秒2个单位的速度向C 点运动，Q 点到达C 点后，再立即以同样的速度返回A 点．①用含t 的代数式表示Q 在由A 到C 过程中对应的数： 2t ﹣58 ． ②当t ＝ 32或1243时，动点P 、Q 到达同一位置（即相遇）．③当PQ ＝3时，求t 的值．【分析】（1）根据两点间的距离，可得P 点对应的数；（2）①根据两点间的距离，可得Q 在由A 到C 过程中对应的数； ②需要分类讨论：Q 返回前相遇和Q 返回后相遇；③需要分类讨论：Q 没有出发前PQ ＝3，Q 返回前PQ ＝3和Q 返回后PQ ＝3．【解答】解：（1）∵动点P 从A 出发，以每秒1个单位的速度向右移动，A 点表示的数为﹣26， ∴移动时间为t 秒时，P 点对应的数为﹣26+t ． 故答案为：﹣26+t ．（2）①点P 运动到点B 所需时间为（﹣10）﹣（﹣26）＝16（秒）， 点Q 到点C 的时间为20−(−26)2+16＝39（秒）．∵当P 点运动到B 点时，点Q 从A 点出发，以每秒2个单位的速度向C 点运动， ∴移动时间为t 秒时，Q 点对应的数为﹣26+2（t ﹣16）＝2t ﹣58． 故答案为：2t ﹣58．②当点Q 从点A 到点C 运动时，有﹣26+t ＝2t ﹣58， 解得：t ＝32；当从点C 向点A 返回时，有﹣26+t ＝20﹣2（t ﹣39）， 解得：t =1243． 故答案为：32或1243．③Q 没有出发前PQ ＝3，t ＝3÷1＝3（秒）；Q 返回前PQ ＝3，t ＝32﹣3÷（2﹣1）＝29（秒）或t ＝32+3÷（2﹣1）＝35（秒）； Q 返回后PQ ＝3，t =1243−3÷（2+1）=1213（秒）或t =1243+3÷（2+1）=1273（秒）． 综上所述，当PQ ＝3时，t 的值是3或29或35或1213或1273秒．【点评】本题考查了数轴，一元一次方程的应用．解答（2）题时，对t 分类讨论是解题关键． 7．如图，点A 、B 、C 在数轴上分别表示有理数a 、b 、c ，A 、B 两点之间的距离AB ＝|a ﹣b |＝2，且有理数a ，b ，c 满足（c ﹣5）2+|a +b |＝0， （1）请直接写出a 、b 、c 的值． a ＝ ﹣1 b ＝ 1 c ＝ 5 ．（2）点P 为一动点，其对应的数为x ，点P 在A 、B 之间运动时，请化简式子：|x ﹣1|﹣|x +1|+2x （3）现在点A 、B 、C 开始在数轴上运动，若点A 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B 和点C 分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t 秒钟过后，若点B 与点C 之间的距离表示为BC ，点A 与点B 之间的距离表示为AB ．请问：BC ﹣AB 的值是否随着时间t 的变化而变化？若变化，请说明理由：若不变，请求其值．【分析】（1）由非负数性质知c﹣5＝0且a+b＝0，即c＝5、a与b互为相反数，再根据|a﹣b|＝2可得a ＝﹣1、b＝1；（2）根据点P在A、B之间运动知﹣1＜x＜1，利用绝对值性质去绝对值符号、合并同类项可得；（3）先求出BC＝3t+4，AB＝3t+2，从而得出BC﹣AB＝2．【解答】解：（1）∵（c﹣5）2+|a+b|＝0，∴c﹣5＝0且a+b＝0，即c＝5，又∵A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|＝2，∴a＝﹣1、b＝1，故答案为：﹣1、1、5；（2）∵点P在A、B之间运动，∴﹣1＜x＜1，则|x﹣1|﹣|x+1|+2x＝1﹣x﹣x﹣1+2x＝0；（3）BC﹣AB的值不随着时间t的变化而改变，其值是2，理由如下：∵点A都以每秒1个单位的速度向左运动，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，∴BC＝3t+4，AB＝3t+2，∴BC﹣AB＝（3t+4）﹣（3t+2）＝2．【点评】本题考查了数轴与绝对值，通过数轴把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．8．如图，已知数轴上点B表示的为﹣5，点A是数轴上一点，且AB＝12，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点H从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）写出数轴上点A表示的数7；（2）当动点P，H同时从点A和点B出发，运动t秒时，点P表示的数7+t；点H表示的数2t﹣5；（用含t的代数式表示）（3）动点P、H同时出发，问点H运动多少秒时追上点P？【分析】（1）根据题意确定出点A表示的数即可；（2）表示出P与H表示的数即可；（3）根据题意列出方程，求出方程的解即可得到所求．【解答】解：（1）写出数轴上点A表示的数7；（2）点P表示的数7+t，点H表示的数2t﹣5；（3）根据题意得：2t﹣5＝7+t，解得：t＝12，答：点H运动12秒时追上点P．故答案为：（1）7；（2）7+t；2t﹣5【点评】此题考查了实数与数轴，以及一元一次方程的应用，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．9．如图，动点A从原点出发向数轴负方向运动，同时动点B也从原点出发向数轴正方向运动，2秒后，两点相距16个单位长度，已知动点A，B的速度比为1：3（速度单位：1个单位长度每秒）．（1）求两个动点的运动速度．（2）在数轴上画出A、B两点从原点出发2秒时的位置．（3）A，B两点以（1）小题的速度大小同时从（2）小题中标出的位置出发向数轴的负方向运动，再过多长时间使OB＝2OA？（OB就是点O与点B之间的距离，2OA表示O点与A点的距离的两倍）．【分析】（1）设动点A的速度是x单位长度/秒，那么动点B的速度是3x单位长度/秒，然后根据2秒后，两点相距16个单位长度即可列出方程解决问题；（2）根据（1）的结果和已知条件，即可得出A、B两点从原点出发2秒时的位置；（3）此问分两种情况讨论：设经过时间为x后，B在A的右边，若A在B的右边，列出等式解出x即可．【解答】解：（1）设动点A的速度是x单位长度/秒，根据题意得2（x+3x）＝16，∴8x＝16，解得：x＝2，则3x＝6．答：动点A的速度是2单位长度/秒，动点B的速度是6单位长度/秒；（2）AO＝2×2＝4，BO＝2×6＝12，标出A，B点如图，；（3）设x秒时，OB＝2OA，当B在A的右边，根据题意得：12﹣6x＝2（4+2x），∴x＝0.4；当A在B的右边，根据题意得：6x﹣12＝2（4+2x），∴x＝10，∴经过0.4秒或10秒时OB＝2OA．【点评】此题主要考查了一元一方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．10．边长为一个单位的正方形ABCD纸片在数轴上的位置如图所示，点A、D对应的数分别为0和﹣1．（1）把正方形ABCD纸片绕着顶点在数轴上向右滚动（无滑动），滚动1周后（正方形纸片滚动后AD 再次落在数轴上时称为1周），点D所对应的数为3；在滚动过程中是哪个顶点经过数轴上的数2017？答：B；（2）纸片在数轴上向右滚动的周数记为正数，纸片在数轴上向左滚动的周数记为负数，下列是纸片5次运动的周数记录情况：﹣3，+1，+2，﹣4，+3．（注：﹣3表示第1次纸片向左滚动了3周）．①第3次滚动后，D点距离原点最近；②当纸片结束运动时，此时点A所表示的数是﹣4．【分析】（1）根据正方形滚动1周后点B的位置得出点B对应的数，根据正方形滚动的规律，得到经过数轴上的数2017的点；（2）①先判断每次滚动后点A的位置，再根据所得结果判断A点距离原点最近和A点距离原点最远的出现的次数；②根据纸片结束运动时，点A的位置得出其所表示的数即可．【解答】解：（1）由题可得，正方形滚动一周，正方形的顶点移动4个单位，所以点D对应的数为：﹣1+4＝3因为2017÷4＝504…1，所以在滚动过程中，B点经过数轴上的数2017；故答案为：3，B；（2）①因为5次运动后，点A依次对应的数为：0+4×（﹣3）＝﹣12；﹣12+4×1＝﹣8；﹣8+4×2＝0；0﹣4×4＝﹣16；﹣16+4×3＝﹣4；所以第3次滚动后，D点距离原点最近；②由①可得：当纸片结束运动时，此时点A所表示的数是﹣4．故答案为：3，﹣4．【点评】本题主要考查了数轴，解决问题的关键是掌握数轴的概念，解题时注意：正方形滚动一周，正方形的顶点移动4个单位．11．如图，数轴上有A、B两点，AB＝12，原点O是线段AB上的一点，OA＝2OB．（1）写出A，B两点所表示的实数；（2）若点C是线段AB上一点，且满足AC＝CO+CB，求C点所表示的实数；（3）若动点P、Q分别从A、B同时出发，向右运动，点P的速度为每秒2个单位长，点Q的速度为每秒1个单位长，设运动时间为t秒，当点P与点Q重合时，P、Q两点停止运动．①当t为何值时，2OP﹣OQ＝4；②当点P到达点O时，动点M从点O出发，以每秒3个单位长的速度也向右运动，当点M追上点Q后立即返回，以同样的速度向点P运动，遇到点P后再立即返回，以同样的速度向点Q运动，如此往返，直到点P、Q停止时，点M也停止运动，求在此过程中，点M行驶的总路程和点M最后位置在数轴上对应的实数．【分析】（1）由AO＝2OB可知，将12平均分成三份，AO占两份为8，OB占一份为4，由图可知，A 在原点的左边，B在原点的右边，从而得出结论；（2）分两种情况：①点C在原点的左边，即在线段OA上时，②点C在原点的右边，即在线段OB上时，分别根据AC＝CO+CB列式即可；（3）①分两种情况：点P在原点的左侧和右侧时，OP表示的代数式不同，OQ＝4+t，分别代入2OP﹣OQ＝4列式即可求出t的值；②点M运动的时间就是点P从点O开始到追到点Q的时间，设点M运动的时间为t秒，列式为t（2﹣1）＝8，解出即可解决问题．【解答】解：（1）∵AB＝12，AO＝2OB，∴AO＝8，OB＝4，∴A点所表示的实数为﹣8，B点所表示的实数为4；（2）设C点所表示的实数为x，分两种情况：①点C在线段OA上时，则x＜0，如图1，∵AC＝CO+CB，∴8+x＝﹣x+4﹣x，3x＝﹣4，x=−4 3；②点C在线段OB上时，则x＞0，如图2，∵AC＝CO+CB，∴8+x＝4，x＝﹣4（不符合题意，舍）；综上所述，C点所表示的实数是−4 3；（3）①当0＜t＜4时，如图3，AP＝2t，OP＝8﹣2t，BQ＝t，OQ＝4+t，∵2OP﹣OQ＝4，∴2（8﹣2t）﹣（4+t）＝4，t=85=1.6，当点P与点Q重合时，如图4，2t＝12+t，t＝12，当4＜t＜12时，如图5，OP＝2t﹣8，OQ＝4+t，则2（2t﹣8）﹣（4+t）＝4，t＝8，综上所述，当t为1.6秒或8秒时，2OP﹣OQ＝4；②当点P到达点O时，8÷2＝4，此时，OQ＝4+t＝8，即点Q所表示的实数为8，如图6，设点M运动的时间为t秒，由题意得：2t﹣t＝8，t＝8，此时，点P 表示的实数为8×2＝16，所以点M 表示的实数也是16，∴点M 行驶的总路程为：3×8＝24，答：点M 行驶的总路程为24和点M 最后位置在数轴上对应的实数为16．【点评】本题考查了数轴上两点的距离、数轴上点的表示、一元一次方程的应用，比较复杂，要认真理清题意，并注意数轴上的点，原点左边表示负数，右边表示正数，在数轴上，两点的距离等于任意两点表示的数的差的绝对值．12．（1）如图，直径为1个单位长度的圆从原点O 沿数轴向右滚动一周，圆上一点P （滚动时与点O 重合）由原点到达点O ′，则点O ′的坐标是 π ；（2）已知2a ﹣1的平方根是±3，3a +b ﹣1的算术平方根是4，求√a +2b 的值．【分析】（1）直径为1个单位长度的圆从原点O 沿数轴向右滚动一周，说明OO ′之间的距离为圆的周长＝π，由此即可确定O ′点对应的数；（2）先根据平方根的定义得出2a ﹣1＝9①，由算术平方根的定义得出3a +b ﹣1＝16②，①与②联立组成关于a 、b 的二元一次方程组，解方程组求出a 、b 的值，再代入√a +2b ，计算即可求出其值．【解答】解：（1）因为圆的周长为π•d ＝π×1＝π，所以圆从原点沿数轴向右滚动一周OO '＝π，所以点O ′表示的数为π．故答案为π；（2）由题意，得{2a −1=93a +b −1=16， 解得{a =5b =2． 当a ＝5，b ＝2时，√a +2b =√5+2×2=√9=3．【点评】本题主要考查了（1）实数与数轴之间的对应关系，解题需注意：确定点O′的符号后，点O′所表示的数的绝对值是它与原点的距离；（2）平方根、算术平方根的定义，二元一次方程组的解法．如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a 的平方根，也叫做a的二次方根．注意一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．13．如图，在数轴上有A、B、C、D四个点，且线段AB＝4，CD＝6，已知A表示的数是﹣10，C表示的数是8，若线段AB以每秒6个单位长度的速度，线段CD以每秒2个单位长度的速度在数轴上运动（A 在B左侧，C在D左侧）（1）B，D两点所表示的数分别是﹣6、14；（2）若线段AB向右运动，同时线段CD向左运动，经过多少秒时，BC＝2；（3）若线段AB、CD同时向右运动，同时点P从原点出发以每秒1个单位长度的速度向右运动，经过多少秒时，点P到点A，C的距离相等？【分析】（1）根据线段的和差定义，求出线段OB、OD的长即可解决问题；（2）分两种情形构建方程即可解决问题；（3）分两种情形分别求解即可解决问题；【解答】解：（1）∵OA＝10，AB＝4，∴OB＝6，∵OC＝8，CD＝6，∴OD＝14，∴B，D两点所表示的数分别是﹣6、14故答案为﹣6，14．（2）①当B点在C点左边时，根据题意得：6t+2t+2＝14解得：t＝1.5②当B点在C点右边时，根据题意得：6t+2t﹣2＝14解得：t＝2综上可得：经过1.5秒或2秒时，BC＝2．（3）①当点P 是线段AC 的中点时，根据题意得：2t +8﹣t ＝t ﹣（6t ﹣10）解得：t =13．②当A 点与C 点重合时，根据题意得：2t +8﹣t ＝（6t ﹣10）﹣t解得：t =92综上可得：经过13秒或92秒时，点P 到点A ，C 的距离相等． 【点评】本题考查实数与数轴，解题的关键是理解题意，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．14．如图，已知点A 、B 、C 是数轴上三点，点C 表示的数为9，BC ＝6，AB ＝18．（1）数轴上点A 表示的数为 ﹣15 ；点B 表示的数为 3 ．（2）若动点P 从A 出发沿数轴匀速向右运动，速度为每秒6个单位，M 为AP 中点，设运动时间为t （t ＞0）秒，则数轴上点M 表示的数为 ﹣15+3t ；（用含t 的式子表示）（3）若动点P 、Q 同时从A 、C 出发，分别以6个单位长度每秒和3个单位长度每秒的速度，沿数轴匀速向右运动．N 在线段PQ 上，且PN =13PQ ，设运动时间为t （t ＞0）秒，则数轴上点N 表示的数为 5t ﹣7 （用含t 的式子表示）．【分析】（1）求出AO ，OB 的长即可解决问题．（2）求出OM 、PM 的长即可解决问题．（3）分别求OP 、PQ （分两种情况）、PN 的长，表示ON 的长可得结论．【解答】解：（1）∵BC ＝6，AB ＝18，∴AC ＝6+18＝24，∴点A 表示的数为：9﹣24＝﹣15，点B 表示的数为：OB ＝9﹣6＝3，故答案为：﹣15，3；（2）如图1，∵AP ＝6t ，M 是AP 的中点，∴PM ＝3t ，∵OA＝15，∴OM＝15﹣3t，∵M在x轴的负半轴上，∴数轴上点M表示的数为：﹣15+3t；故答案为：﹣15+3t；（3）∵AP＝6t，CQ＝3t，∴点P表示的数为﹣15+6t，点Q表示的数为9+3t，当P与Q重合时，6t＝24+3t，t＝8分两种情况：①当t＜8时，P在Q的左边时，如图2，∴PQ＝（9+3t）﹣（﹣15+6t）＝24﹣3t，∵PN=13PQ，∴PN=13（24﹣3t）＝8﹣t，分两种情况：i）当N在O的左边时，如图2，ON＝OP﹣PN＝15﹣6t﹣（8﹣t）＝7﹣5t，则点N表示的数为：5t﹣7；ii）当N在O的右边时，同理得：ON＝PN﹣OP＝（8﹣t）﹣（15﹣6t）＝5t﹣7，则点N表示的数为：5t﹣7；∴点N表示的数为：5t﹣7；②当t＞8时，P在Q的右边时，如图3，同理得：PQ＝（﹣15+6t）﹣（9+3t）＝3t﹣24，∵PN=13PQ，∴PN=13（3t﹣24）＝t﹣8，∴ON＝OP﹣PN＝6t﹣15﹣（t﹣8）＝5t﹣7，则点N表示的数为：5t﹣7；综上，点N表示的数为：5t﹣7；故答案为：5t﹣7．【点评】本题考查实数与数轴的关系、动点运动问题，解题的关键是理解数轴的定义，在原点左边的数表示负数，原点表示0，原点右边的数表示正数，学会利用线段的长表示点的坐标，属于中考常考题型．15．一次数学课上，小明同学给小刚同学出了一道数形结合的综合题，他是这样出的：如图，数轴上两个动点M，N开始时所表示的数分别为﹣10，5，M，N两点各自以一定的速度在数轴上运动，且M点的运动速度为2个单位长度/s．（1）M，N两点同时出发相向而行，在原点处相遇，求N点的运动速度．（2）M，N两点按上面的各自速度同时出发，向数轴正方向运动，几秒时两点相距6个单位长度？（3）M，N两点按上面的各自速度同时出发，向数轴负方向运动，与此同时，C点从原点出发沿同方向运动，且在运动过程中，始终有CN：CM＝1：2．若干秒后，C点在﹣12处，求此时N点在数轴上的位置．【分析】（1）根据速度＝路程÷时间，即可解决问题；（2）由OA+OB大于6个单位长度，分两种情况，一种B在右侧，一种A点在右侧，再根据时间＝路程÷时间，即可解决问题；（3）要想始终保持CA＝2CB，则C点的速度应介于A、B两者之间，设出C点速度为x个单位/秒，联立方程，解方程即可得出C点的运动速度，再由速度求时间，由时间求得N点的运动路程从而解得N点在数轴上的位置．【解答】解：（1）依题意，得10÷2＝5 5÷5＝1所以N点的运动速度是1个单位长度/s；（2）∵OM+ON＝10+5＝15＞6，且M点运动速度大于N点的速度，∴分两种情况，①当点M在点N的右侧时，运动时间为＝（OM+OM﹣6）÷（2﹣1）＝（10+5﹣6）÷1＝9s．②当点M在点N的右侧时，运动时间为＝（OM+ON+6）÷（2﹣1）＝（10+5+6）÷1＝21s综合①②得，9秒和21秒时，两点相距都是6个单位长度；（3）设点C的运动速度为x个单位/秒，运动时间为t，根据题意得知10+（2﹣x）×t＝[5+（x﹣1）×t]×2，整理，得2﹣x＝2x﹣2，解得x=43，即C点的运动速度为43个单位/秒∴当C点在﹣12处运动时间为12÷43=9s，∴N点运动路程是1×9＝9，∴N点在数轴上的位置是﹣4．【点评】本题考查了两点间的距离和一元一次方程的应用，解题的关键：（1）牢记速度＝路程÷时间；（2）分两种情况，再结合时间＝路程÷速度即可；（3）设出C点速度，联立方程，求解一元一次方程，能熟练的运用解一元一次方程来解决实际问题然后反复运用速度、时间、路程之间的关系可解的．16．A，B两点在数轴上的位置如图所示，其中O为原点，点A对应的有理数为﹣4，点B对应的有理数为6．（1）动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒（t＞0）．①当t＝1时，AP的长为2，点P表示的有理数为﹣2；②当PB＝2时，求t的值；（2）如果动点P以每秒6个单位长度的速度从O点向右运动，点A和B分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，且三点同时出发，那么经过几秒P A＝2PB．【分析】（1）①根据路程＝速度×时间，以及线段的和差定义计算即可；②分两种情形分别求解即可；（2）分两种情形分别构建方程即可解决问题；【解答】解：（1）①∵动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，∴当t＝1时，AP＝2，∵OA＝4，∴OP＝2，∴点P表示的有理数为﹣2．故答案为2，﹣2；②当点P在B左侧时，∵AB＝10，PB＝2，∴AP＝8，∴t＝4．当点P在点B右侧时，AP＝12，。

专题01 动点问题中的最值、最短路径问题动点问题是初中数学阶段的难点，它贯穿于整个初中数学，自数轴起始，至几何图形的存在性、几何图形的长度及面积的最值，函数的综合类题目，无不包含其中.其中尤以几何图形的长度及面积的最值、最短路径问题的求解最为繁琐且灵活多变，而其中又有一些技巧性很强的数学思想（转化思想），本专题以几个基本的知识点为经，以历年来中考真题为纬，由浅入深探讨此类题目的求解技巧及方法.一、基础知识点综述1. 两点之间，线段最短；2. 垂线段最短；3. 若A 、B 是平面直角坐标系内两定点，P 是某直线上一动点，当P 、A 、B 在一条直线上时，PA PB最大，最大值为线段AB 的长（如下图所示）；（1）单动点模型作图方法：作已知点关于动点所在直线的对称点，连接成线段与动点所在直线的交点即为所求点的位置. 如下图所示，P 是x 轴上一动点，求P A +PB 的最小值的作图.P 是∠AOB 内一点，M 、N 分别是边OA 、OB 上动点，求作△PMN 周长最小值.作图方法：作已知点P 关于动点所在直线OA 、OB 的对称点P ’、P ’’，连接P ’P ’’与动点所在直线的交点M 、N 即为所求.5. 二次函数的最大（小）值()2y a x h k =-+，当a >0时，y 有最小值k ；当a <0时，y 有最大值k .二、主要思想方法利用勾股定理、三角函数、相似性质等转化为以上基本图形解答. （详见精品例题解析） 三、精品例题解析例1. （2019·凉山州）如图，正方形ABCD 中，AB =12，AE =3，点P 在BC 上运动（不与B 、C 重合），过点P 作PQ ⊥EP ，交CD 于点Q ，则CQ 的最大值为【答案】4.【解析】解：∵PQ ⊥EP ，∴∠EPQ =90°，即∠EPB +∠QPC =90°，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B =∠C =90°，∠EPB +∠BEP =90°，∴∠BEP =∠QPC ，∴△BEP ∽△CPQ ，O。

专题06 动点折叠类问题中图形存在性问题一、基础知识点综述动点型问题是指题设中的图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线、直线、抛物线、双曲线、弧线等上运动的一类非常具有开放性的题目. 而从其中延伸出的折叠问题，更能体现其解题核心——动中求静，灵活运用相关数学知识进行解答，有时需要借助或构造一些数学模型来解答.实行新课标以来，各省（市）的中考数学试卷都会有此类题目，这些题目往往出现在选择、填空题的压轴部分，题型繁多，题意新颖，具有创新力. 其主要考查的是学生的分析问题及解决问题的能力.要求学生具备：运动观点；方程思想；数形结合思想；分类讨论思想；转化思想等等.存在性问题主要有等腰三角形存在性、直角三角形存在性、特殊落点存在性等问题，常用的数学解题模型有“一线三直角”等模型，作图方法是借助圆规化动为静找落点.解题思路：分析题目→依据落点定折痕→建立模型→设出未知数列方程求解→得到结论.解题核心知识点：折叠性质；①折叠前后图形大小、形状不变；②折痕是折叠前后对应点连线的垂直平分线；勾股定理；相似图形的性质、三角函数等.★等腰三角形存在性问题解题思路：依据圆规等先确定落点，再确定折痕；★直角三角形存在性问题解题思路：依据不同直角顶点位置分类讨论，作出图形求解.二、精品例题解析题型一：折叠问题中等腰三角形存在性问题例1.（2019·金水区校级模拟）如图，∠AOB=90°，点P为∠AOB内部一点，作射线OP，点M在射线OB上，且OM= ，点M与点M’关于射线OP对称，且直线MM’与射线OA交于点N，当△ONM’为等腰三角形时，ON的长为.【分析】分三种情况讨论：①当M ’落在线段ON 的垂直平分线上时，即M ’N =M ’O ，设∠ONM =x °，通过三角形外角定理及三角形内角和定理求得x =30°，进而利用三角函数求得ON 的长； ②当M ’N =ON 时，作出图形，得到∠ONM ’度数，利用三角函数求解；③当M ’O =ON =OMM 、M ’、N 点不在一条直线上，与题意不符，此种情况不存在.【答案】1或3.【解析】解：由△ONM ’为等腰三角形，分以下三种情况讨论：①当M ’落在线段ON 的垂直平分线上时，即M ’N =M ’O ，如图所示，设∠ONM ’=x °，则∠OM ’M =∠OMM ’ =2x °,∵∠AOB =90°，∴x +2x =90，解得：x =30，在Rt △NOM 中，ON =°=3tan 30OM ； ②当M ’N =ON 时，如下图所示，ANH。

2021中考数学 压轴专题训练之动点问题1. 如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC 各顶点的坐标分别为O (0，0)，A (3，33)，B (9，53)，C (14，0)．动点P 与Q 同时从O 点出发，运动时间为t 秒，点P 沿OC 方向以1单位长度/秒的速度向点C 运动，点Q 沿折线OA －AB－BC 运动，在OA ，AB ，BC 上运动的速度分别为3，3，52(单位长度/秒)．当P ，Q 中的一点到达C 点时，两点同时停止运动． (1)求AB 所在直线的函数表达式．(2)如图2，当点Q 在AB 上运动时，求△CPQ 的面积S 关于t 的函数表达式及S 的最大值．(3)在P ，Q 的运动过程中，若线段PQ 的垂直平分线经过四边形OABC 的顶点，求相应的t 值．图1 图22. 如图，抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴交于A ，B 两点(A 在B 的左侧)，与y 轴交于点N ，过A 点的直线l :y=kx+n 与y 轴交于点C ，与抛物线y=-x 2+bx+c 的另一个交点为D ，已知A (-1，0)，D (5，-6)，P 点为抛物线y=-x 2+bx+c 上一动点(不与A ，D 重合).(1)求抛物线和直线l 的解析式;(2)当点P 在直线l 上方的抛物线上时，过P 点作PE ∥x 轴交直线l 于点E ，作PF ∥y 轴交直线l 于点F ，求PE+PF 的最大值;(3)设M 为直线l 上的点，探究是否存在点M ，使得以点N ，C ，M ，P 为顶点的四边形为平行四边形.若存在，求出点M 的坐标;若不存在，请说明理由.3. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (－2, －4 )、O (0, 0)、B (2, 0)三点．（1）求抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式；（2）若点M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM ＋OM 的最小值．4. 设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与l 2：y ＝k 2x ＋b 2，若l 1⊥l 2，垂足为H ，则称直线l 1与l 2是点H 的直角线．（1）已知直线①122y x =-+；②2y x =+；③22y x =+；④24y x =+和点C (0，2)，则直线_______和_______是点C 的直角线（填序号即可）；（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A (3，0)、B (2，7)、C (0，7)，P 为线段OC 上一点，设过B 、P 两点的直线为l 1，过A 、P 两点的直线为l 2，若l 1与l 2是点P 的直角线，求直线l 1与l 2的解析式．5. 如图①，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y=ax 2-2ax -8a 与x 轴相交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C (0，-4).(1)点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ，线段AC 的长为 ，抛物线的解析式为 .(2)点P 是线段BC 下方抛物线上的一个动点.如果在x 轴上存在点Q ，使得以点B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点Q 的坐标.①6. 如图，已知抛物线211(1)444by x b x =-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）； （2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．7. 如图，已知A 、B 是线段MN 上的两点，，，．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设． （1）求x 的取值范围；（2）若△ABC 为直角三角形，求x 的值； （3）探究：△ABC 的最大面积？4=MN 1=MA 1>MB x AB=8. 如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(0, 1)、B(4, 3)两点．（1）求抛物线的解析式；（2）求tan∠ABO的值；（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．9. 在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1,k)和点B(－1,－k)．（1）当k＝－2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．10. 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋4(a≠0)的对称轴为直线x＝3，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，已知B点的坐标为(8，0)．(1)求抛物线的解析式；(2)点M为线段BC上方抛物线上的一点，点N为线段BC上的一点，若MN∥y 轴，求MN的最大值；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．11. 如图，直线y＝2x＋6与反比例函数y＝kx(k＞0)的图象交于点A(m，8)，与x轴交于点B，平行于x轴的直线y＝n(0＜n＜6)交反比例函数的图象于点M，交AB于点N，连接BM.(1)求m的值和反比例函数的解析式；(2)观察图象，直接写出当x＞0时不等式2x＋6－kx＞0的解集；(3)直线y＝n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？最大值是多少？12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．13. 在直角梯形OABC中，CB//OA，∠COA＝90°，CB＝3，OA＝6，BA＝分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求点B的坐标；（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点F．求直线DE的解析式；（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．14. 如图，已知一次函数y ＝－x ＋7与正比例函数43y x 的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ．（1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l //y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒．①当t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．15. 如图，二次函数y ＝a (x 2－2mx －3m 2)（其中a 、m 是常数，且a ＞0，m ＞0）的图像与x 轴分别交于A 、B （点A 位于点B 的左侧），与y 轴交于点C (0,－3)，点D 在二次函数的图像上，CD //AB ，联结AD ．过点A 作射线AE 交二次函数的图像于点E ，AB 平分∠DAE ． （1）用含m 的式子表示a ； （2）求证：ADAE为定值； （3）设该二次函数的图像的顶点为F ．探索：在x 轴的负半轴上是否存在点G ，联结GF ，以线段GF 、AD 、AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G 即可，并用含m 的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．16. 如图，二次函数y=-x2+4x+5的图象的顶点为D，对称轴是直线l，一次函数y=x+1的图象与x轴交于点A，且与直线DA关于l的对称直线交于点B.(1)点D的坐标是.(2)直线l与直线AB交于点C，N是线段DC上一点(不与点D，C重合)，点N 的纵坐标为n.过点N作直线与线段DA，DB分别交于点P，Q，使得∥DPQ与∥DAB 相似.①当n=时，求DP的长;②若对于每一个确定的n的值，有且只有一个∥DPQ与∥DAB相似，请直接写出n的取值范围.17. 已知直线y＝3x－3分别与x轴、y轴交于点A，B，抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A，B．（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线l，点B关于直线l的对称点为C，若点D在y 轴的正半轴上，且四边形ABCD为梯形．∥求点D的坐标；∥将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为P，其对称轴与直线y＝3x－3交于点E ，若73tan =∠DPE ，求四边形BDEP 的面积．18. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y ＝－x 2＋2x ＋8的图象与一次函数y ＝－x ＋b 的图象交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的纵坐标为－7.点P 是二次函数图象上A 、B 两点之间的一个动点(不与点A 、B 重合)，设点P 的横坐标为m ，过点P 作x 轴的垂线交AB 于点C ，作PD ⊥AB 于点D . (1)求b 及sin ∠ACP 的值；(2)用含m 的代数式表示线段PD 的长；(3)连接PB ，线段PC 把△PDB 分成两个三角形，是否存在适合的m 值，使这两个三角形的面积之比为1∶2？如果存在，直接写出m 的值；如果不存在，请说明理由．19. 如图，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；（3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式．20. 已知平面直角坐标系中两定点A (－1, 0)、B (4, 0)，抛物线y ＝ax 2＋bx －2（a≠0）过点A 、B ，顶点为C ，点P (m , n )（n ＜0）为抛物线上一点． （1）求抛物线的解析式和顶点C 的坐标； （2）当∠APB 为钝角时，求m 的取值范围；（3）若m ＞32，当∠APB 为直角时，将该抛物线向左或向右平移t （0＜t ＜52）个单位，点C 、P 平移后对应的点分别记为C ′、P ′，是否存在t ，使得顺次首尾连接A 、B 、P ′、C ′所构成的多边形的周长最短？若存在，求t 的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．2021中考数学 压轴专题训练之动点问题-答案一、解答题（本大题共20道小题）1. 【答案】【思维教练】(1)设一次函数解析式，将已知点A 、B 的坐标值代入求解即可；(2)S △CPQ ＝12·CP·Q y ，CP ＝14－t ，点Q 在AB 上，Q y 即为当x ＝t 时的y 值，代入化简得出S 与t 的函数关系式，化为顶点式得出最值；(3)垂直平分线过顶点需以时间为临界点分情况讨论，当Q 在OA 上时，过点C ；当Q 在AB 上时，过点A ；当Q 在BC 上时，过点C 和点B ，再列方程并求解．解图1解：(1)把A(3，33)，B(9，53)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎨⎧3k ＋b ＝33，9k ＋b ＝53，解得⎩⎨⎧k ＝33，b ＝23，∴y ＝33x ＋23；(3分)(2)在△PQC 中，PC ＝14－t ，∵OA ＝32＋（33）2＝6且Q 在OA 上速度为3单位长度/s ， AB ＝62＋（23）2＝43且Q 点在AB 上的速度为3单位长度/s ， ∴Q 在OA 上时的横坐标为t ，Q 在AB 上时的横坐标为32t ， PC 边上的高线长为33t ＋2 3.(6分)所以S ＝12(14－t )(32t ＋23)＝－34t 2＋532t ＋143(2≤t ≤6)．当t ＝5时，S 有最大值为8134.(7分)解图2(3)①当0＜t ≤2时，线段PQ 的中垂线经过点C(如解图1)．可得方程(332t )2＋(14－32t )2＝(14－t )2.解得t 1＝74，t 2＝0(舍去)，此时t ＝74.(8分)解图3②当2＜t ≤6时，线段PQ 的中垂线经过点A(如解图2)． 可得方程(33)2＋(t －3)2＝[3(t －2)]2.解得t 1＝3＋572，∵t 2＝3－572(舍去)，此时t ＝3＋572. ③当6＜t ≤10时，(1)线段PQ 的中垂线经过点C(如解图3)．可得方程14－t ＝25－52t ，解得t ＝223.(10分)解图4(2)线段PQ 的中垂线经过点B(如解图4)．可得方程(53)2＋(t －9)2＝[52(t －6)]2. 解得t 1＝38＋2027，t 2＝38－2027(舍去)． 此时t ＝38＋2027.(11分) 综上所述，t 的值为74，3＋572，223，38＋2027.(12分)【难点突破】解决本题的关键点在于对PQ 的垂直平分线过四边形顶点的情况进行分类讨论，在不同阶段列方程求解．2. 【答案】[分析] (1)将点A ，D 的坐标分别代入直线表达式、抛物线的表达式，即可求解; (2)设出P 点坐标，用参数表示PE ，PF 的长，利用二次函数求最值的方法.求解; (3)分NC 是平行四边形的一条边或NC 是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可.解:(1)将点A ，D 的坐标代入y=kx +n 得:解得:故直线l 的表达式为y=-x -1.将点A ，D 的坐标代入抛物线表达式， 得解得故抛物线的表达式为:y=-x 2+3x +4. (2)∵直线l 的表达式为y=-x -1，∴C (0，-1)，则直线l 与x 轴的夹角为45°，即∠OAC=45°， ∵PE ∥x 轴，∴∠PEF=∠OAC=45°.又∵PF ∥y 轴，∴∠EPF=90°，∴∠EFP=45°.则PE=PF .设点P 坐标为(x ，-x 2+3x +4)， 则点F (x ，-x -1)，∴PE +PF=2PF=2(-x 2+3x +4+x +1)=-2(x -2)2+18，∵-2<0，∴当x=2时，PE +PF 有最大值，其最大值为18. (3)由题意知N (0，4)，C (0，-1)，∴NC=5，①当NC 是平行四边形的一条边时，有NC ∥PM ，NC=PM. 设点P 坐标为(x ，-x 2+3x +4)，则点M 的坐标为(x ，-x -1)， ∴|y M -y P |=5，即|-x 2+3x +4+x +1|=5， 解得x=2±或x=0或x=4(舍去x=0)，则点M 坐标为(2+，-3-)或(2-，-3+)或(4，-5);②当NC 是平行四边形的对角线时，线段NC 与PM 互相平分. 由题意，NC 的中点坐标为0，，设点P 坐标为(m ，-m 2+3m +4)， 则点M (n'，-n'-1)， ∴0==，解得:n'=0或-4(舍去n'=0)， 故点M (-4，3).综上所述，存在点M ，使得以N ，C ，M ，P 为顶点的四边形为平行四边形，点M 的坐标分别为: (2+，-3-)，(2-，-3+)，(4，-5)，(-4，3).3. 【答案】（1）212y x x =-+。