高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.6对数与对数函数教案文含解析新人教A版

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考点 4
反函数
ax
lg 指数函数 y＝ax(a＞0 且 a≠1)与对数函数 y＝ o
(a＞0 且
a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线 y＝x 对称．
真 题 演 练 集 训
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[双基夯实]
真 题 演 练 集 训
1 ( .) 1 A. 2
[教材习题改编]lg 5＋lg 20的值是( B ) B．1 D．100
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C．10
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( 2 ) [教材习题改编]( o lg 1 A. 4 C．2 1 B. 2
o ( l ) · g 29
34)＝(
D )
D．4
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第二章
函数概念与基本初等函数Ⅰ

对数与对数函数1.对数的概念如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b＝N ，那么数b 叫作以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，其中__a __叫作对数的底数，__N __叫作真数. 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )；④log am M n ＝n mlog a M (m ，n ∈R ，且m ≠0). (2)对数的性质①a log a N ＝__N __；②log a a N＝__N __(a >0且a ≠1). (3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .3.对数函数的图像与性质4.反函数指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图像关于直线__y ＝x __对称. 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( × ) (2)log a x ·log a y ＝log a (x ＋y ).( × )(3)函数y ＝log 2x 及y ＝log 133x 都是对数函数.( × )(4)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数.( × ) (5)函数y ＝ln 1＋x1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同.( √)(6)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图像过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，－1，函数图像只在第一、四象限.( √ )1.(2015·湖南)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A.奇函数，且在(0,1)上是增函数 B.奇函数，且在(0,1)上是减函数 C.偶函数，且在(0,1)上是增函数 D.偶函数，且在(0,1)上是减函数 答案 A解析 易知函数定义域为(－1，1)，f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数，又f (x )＝ln 1＋x 1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－2x －1，由复合函数单调性判断方法知，f (x )在(0,1)上是增函数，故选A.2.设a ＝log 1312，b ＝log 1323，c ＝log 343，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.a <b <cB.c <b <aC.b <a <cD.b <c <a答案 B解析 ∵a ＝log 1312＝log 32，b ＝log 1323＝log 332，c ＝log 343.log 3x 是定义域上的增函数，2>32>43，∴c <b <a ，故选B.3.函数f (x )＝lg(|x |－1)的大致图像是( )答案 B解析 由函数f (x )＝lg(|x |－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，值域为R .又当x >1时，函数单调递增，所以只有选项B 正确.4.已知x ，y ，z 都是大于1的正数，m >0，且log x m ＝24，log y m ＝40，log xyz m ＝12，则log z m 的值为( ) A.160 B.60 C.2003D.320答案 B解析 由已知得log m (xyz )＝log m x ＋log m y ＋log m z ＝112，而log m x ＝124，log m y ＝140，故log m z ＝112－log m x －log m y＝112－124－140＝160，即log z m ＝60. 5.(教材改编)若log a 34<1(a >0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是________________.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞)解析 当0<a <1时，log a 34<log a a ＝1，∴0<a <34；当a >1时，log a 34<log a a ＝1，∴a >1.∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞).题型一 对数式的运算例1 (1)设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m 等于( )A.10B.10C.20D.100(2)lg 5＋lg 20的值是________. 答案 (1)A (2)1解析 (1)∵2a ＝5b＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2. ∴m ＝10.(2)原式＝lg 100＝lg 10＝1.思维升华 在对数运算中，要熟练掌握对数的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量先化成同底的形式再进行运算.(1)计算： 1－log 63 2＋log 62·log 618log 64＝________.(2)已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n＝________.答案 (1)1 (2)12 解析 (1)原式＝1－2log 63＋ log 63 2＋log 663·log 6 6×3log 64＝1－2log 63＋ log 63 2＋ 1－log 63 1＋log 63 log 64＝1－2log 63＋ log 63 2＋1－ log 63 2log 64＝2 1－log 63 2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.(2)∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a m＝2，a n＝3， ∴a 2m ＋n＝(a m )2·a n ＝22×3＝12.题型二 对数函数的图像及应用例2 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的图像大致是( )(2)当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝⎛⎭⎪⎫22，1 C.(1，2) D.(2，2)答案 (1)C (2)B解析 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A 、B ； 又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除D.选C.(2)方法一 构造函数f (x )＝4x和g (x )＝log a x ，当a >1时不满足条件，当0<a <1时，画出两个函数在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上的图像，可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， 即2<log a 12，则a >22，所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1. 方法二 ∵0<x ≤12，∴1<4x≤2，∴log a x >4x>1，∴0<a <1，排除选项C ，D ；取a ＝12，x ＝12，则有412＝2，log 1212＝1，显然4x<log a x 不成立，排除选项A.思维升华 应用对数型函数的图像可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解.(1)已知lg a ＋lg b ＝0，则函数f (x )＝a x与函数g (x )＝－log b x 的图像可能是()(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( ) A.(1,10) B.(5,6) C.(10,12) D.(20,24)答案 (1)B (2)C解析 (1)∵lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1，∵g (x )＝－log b x 的定义域是(0，＋∞)，故排除A. 若a >1，则0<b <1，此时f (x )＝a x是增函数，g (x )＝－log b x 是增函数.故选B.(2)方法一 不妨设a <b <c ，取特例，如取f (a )＝f (b )＝f (c )＝12，则易得a ＝1210-，b ＝1210，c ＝11，从而abc ＝11，故选C.方法二 作出f (x )的大致图像(图略).由图像知，要使f (a )＝f (b )＝f (c )，不妨设a <b <c ，则－lg a ＝lg b ＝－12c ＋6，∴lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1，∴abc ＝c .由图知10<c <12，∴abc ∈(10,12).题型三 对数函数的性质及应用命题点1 比较对数值的大小例3 设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )A.c >b >aB.b >c >aC.a >c >bD.a >b >c答案 D解析 由对数运算法则得a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝1＋log 52，c ＝1＋log 72，由对数函数图像得log 32>log 52>log 72，所以a >b >c ，故选D. 命题点2 解对数不等式例4 若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( ) A.(0,1) B.(0，12)C.(12，1) D.(0,1)∪(1，＋∞)答案 C解析 由题意得a >0，故必有a 2＋1>2a ， 又log a (a 2＋1)<log a 2a <0，所以0<a <1， 同时2a >1，所以a >12.综上，a ∈(12，1).命题点3 和对数函数有关的复合函数 例5 已知函数f (x )＝log a (3－ax ).(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由. 解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0,2]时，t (x )的最小值为3－2a ，当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立. ∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a ∈(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0，∴函数t (x )为减函数. ∵f (x )在区间[1,2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1,2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a 3－a ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.思维升华 在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.(1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( )A.a >c >bB.b >c >aC.c >b >aD.c >a >b(2)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为( ) A.[1,2) B.[1,2] C.[1，＋∞)D.[2，＋∞)(3)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12 －x ，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A.(－1,0)∪(0,1)B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)C.(－1,0)∪(1，＋∞)D.(－∞，－1)∪(0,1)答案 (1)D (2)A (3)C解析 (1)∵3<2<3,1<2<5，3>2， ∴log 33<log 32<log 33，log 51<log 52<log 55，log 23>log 22， ∴12<a <1,0<b <12，c >1，∴c >a >b . (2)令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧g 1 >0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1,2)，故选A.(3)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，log 2a >log 12a或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，log 12－a >log 2 －a ，解得a >1或－1<a <0.2.比较指数式、对数式的大小典例 (1)设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.c <b <a B.a <b <c C.b <a <cD.a <c <b (2)设a ＝log 2π，b ＝log 12π，c ＝π－2，则( )A.a >b >cB.b >a >cC.a >c >bD.c >b >a(3)已知a ＝2log 3.45，b ＝4log 3.65，c ＝3log 0.31()5，则( )A.a >b >cB.b >a >cC.a >c >bD.c >a >b思维点拨 (1)可根据幂函数y ＝x 0.5的单调性或比商法确定a ，b 的大小关系，然后利用中间值比较a ，c 大小.(2)a ，b 均为对数式，可化为同底，再利用中间变量和c 比较.(3)化为同底的指数式. 解析 (1)根据幂函数y ＝x 0.5的单调性， 可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b <a <1；根据对数函数y ＝log 0.3x 的单调性，可得log 0.30.2>log 0.30.3＝1，即c >1.所以b <a <c . (2)∵a ＝log 2π>log 22＝1，b ＝log 12π＝log 21π<log 21＝0,0<c ＝1π2<1，∴b <c <a .(3)33310log log 0.3log 0.331()555c -=== 方法一 在同一坐标系中分别作出函数y ＝log 2x ，y ＝log 3x ，y ＝log 4x 的图像，如图所示.由图像知：log 23.4>log 3103>log 43.6.方法二 ∵log 3103>log 33＝1，且103<3.4，∴log 3103<log 33.4<log 23.4.∵log 43.6<log 44＝1，log 3103>1，∴log 43.6<log 3103.∴log 23.4>log 3103>log 43.6.由于y ＝5x为增函数，∴32410log log 3.4log 3.63555>>.即324log 0.3log 3.4log 3.615()55>>，故a >c >b . 答案 (1)C (2)C (3)C温馨提醒 (1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法.(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.[方法与技巧]1.对数值取正、负值的规律当a >1且b >1或0<a <1且0<b <1时，log a b >0； 当a >1且0<b <1或0<a <1且b >1时，log a b <0. 2.对数函数的定义域及单调性在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为(0，＋∞).对数函数的单调性和a 的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0<a <1和a >1进行分类讨论.3.比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性.4.多个对数函数图像比较底数大小的问题，可通过比较图像与直线y ＝1交点的横坐标进行判定. [失误与防范]1.在运算性质log a M α＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M ＞0的条件下应为log a M α＝αlog a |M |(α∈N ＋，且α为偶数).2.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围.A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1.若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是( )答案 B解析 由题图可知y ＝log a x 的图像过点(3,1)， ∴log a 3＝1，即a ＝3.A 项，y ＝3－x＝(13)x 在R 上为减函数，错误；B 项，y ＝x 3符合；C 项，y ＝(－x )3＝－x 3在R 上为减函数，错误； D 项，y ＝log 3(－x )在(－∞，0)上为减函数，错误. 2.函数y ＝ln 1|2x －3|的图像为( )答案 A解析 易知2x －3≠0，即x ≠32，排除C 、D.当x >32时，函数为减函数，当x <32时，函数为增函数，所以选A.3.已知b >0，log 5b ＝a ，lg b ＝c,5d＝10，则下列等式一定成立的是( ) A.d ＝ac B.a ＝cd C.c ＝ad D.d ＝a ＋c答案 B解析 log 5b ＝a ，lg b ＝c ，两式相除得log 5b lg b ＝a c ，log 510＝a c .∵5d＝10，∴log 510＝d ，∴d ＝a c，cd ＝a .故选B.4.设f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是( )A.(－1,0)B.(0,1)C.(－∞，0)D.(－∞，0)∪(1，＋∞)答案 A解析 由f (x )是奇函数可得a ＝－1， ∴f (x )＝lg 1＋x1－x ，定义域为(－1,1).由f (x )<0，可得0<1＋x1－x<1，∴－1<x <0.5.定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x＋15，则f (log 220)等于( )A.1B.45 C.－1 D.－45答案 C解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)，得f (x )＝f (x ＋4)，因为4＜log 220＜5，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f (log 245)＝24log 51(2)5-+＝－1.6.(2015·安徽)lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________.答案 －1解析 lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 52＋lg 22－2＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫52×4－2＝1－2＝－1. 7.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ≥2，f x ＋1 ，x <2，则f (log 23)的值为________.答案 16解析 由题意知f (log 23)＝f (1＋log 23)＝f (log 26)＝2log 61()2＝16.8.(2015·福建)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________________________________________. 答案 (1,2]解析 由题意f (x )的图像如下图，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，3＋log a 2≥4，∴1＜a ≤2.9.已知函数y ＝log 12(x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2)上是增函数，求a 的取值范围.解 函数y ＝log 12(x 2－ax ＋a )是由函数y ＝log 12t 和t ＝x 2－ax ＋a 复合而成.因为函数y ＝log 12t 在区间(0，＋∞)上单调递减，而函数t ＝x 2－ax ＋a 在区间(－∞，a2)上单调递减， 又因为函数y ＝log 12(x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧2≤a 2，2 2－2a ＋a ≥0，解得⎩⎨⎧a ≥22，a ≤2 2＋1 ，即22≤a ≤2(2＋1).10.设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域； (2)求f (x )在区间[0，32]上的最大值.解 (1)∵f (1)＝2， ∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)， ∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，3－x >0，得x ∈(－1,3)，∴函数f (x )的定义域为(－1,3). (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数； 当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在[0，32]上的最大值是f (1)＝log 24＝2.B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11.(2015·陕西)设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( ) A.q ＝r ＜p B.p ＝r <q C.q ＝r >p D.p ＝r ＞q答案 B解析 ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b2＞ab ，又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p .又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝p ，故p ＝r ＜q .选B.12.设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( ) A.f (13)<f (2)<f (12)B.f (12)<f (2)<f (13)C.f (12)<f (13)<f (2)D.f (2)<f (12)<f (13)答案 C解析 由f (2－x )＝f (x )知f (x )的图像关于直线x ＝2－x ＋x2＝1对称， 又当x ≥1时，f (x )＝ln x ，所以离对称轴x ＝1距离大的x 的函数值大， ∵|2－1|>|13－1|>|12－1|，∴f (12)<f (13)<f (2).13.若函数f (x )＝lg(－x 2＋8x －7)在区间(m ，m ＋1)上是增函数，则m 的取值范围是__________. 答案 [1,3]解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤4，－m 2＋8m －7≥0，解得1≤m ≤3，所以答案应填[1,3].14.已知函数f (x )＝ln x1－x，若f (a )＋f (b )＝0，且0<a <b <1，则ab 的取值范围是________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 解析 由题意可知ln a 1－a ＋ln b1－b ＝0，即ln ⎝⎛⎭⎪⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b 1－b ＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14， 又0<a <b <1，∴0<a <12，故0<－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14<14.15.设x ∈[2,8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值.解 由题意知f (x )＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2)＝12(log 2a x ＋3log a x ＋2)＝12(log a x ＋32)2－18. 当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32.又∵x ∈[2,8]，∴a ∈(0,1). ∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴函数f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得. 若12(log a 2＋32)2－18＝1， 则a ＝132-，此时f (x )取得最小值时，x ＝1332(2)--＝2∉[2,8]，舍去.若12(log a 8＋32)2－18＝1，则a ＝12， 此时f (x )取得最小值时，x ＝321()2＝22∈[2,8]，符合题意，∴a ＝12.。

函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因 为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数 才是同一函数. （3）反函数
反函数的定义
设函数 y f (x)(x A) 的值域是 C，根据这个函数中 x,y 的关系，用 y 把 x 表
高考数学第一轮复习教案汇总【精华】
专题二 函数概念与基本初等函数
一、考试内容： 映射、函数、函数的单调性、奇偶性． 反函数．互为反函数的函数图像间的关系． 指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数． 对数．对数的运算性质．对数函数． 函数的应用． 二、考试要求： （1）了解映射的概念，理解函数的概念． （2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法． （3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数． （4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像 和 性质． （5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质． （6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题． 三、命题热点
y f 1(x)
（二）函数的性质 函数的单调性
定义：对于函数 f(x)的定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1,x2, ⑴若当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2),则说 f(x)在这个区间上是增函数； ⑵若当 x1<x2 时，都有 f(x1)>f(x2),则说 f(x) 在这个区间上是减函数.
奇函 数的定 义：如果 对于函 数f(x)的定 义域内 任意一 个x,都有 f(-x)=-f(x),那么 函数f(x)就叫 做奇函 数.

高考数学一轮总复习学案：第1讲函数及其表示1．函数与映射的概念函数映射两集合A，B 设A，B是两个非空的数集设A，B是两个非空的集合对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)(x∈A)对应f：A→B是一个映射(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．[注意] 分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．常用结论1．直线x ＝a (a 是常数)与函数y ＝f (x )的图象有0个或1个交点． 2．几个常用函数的定义域(1)分式型函数，分母不为零的实数集合． (2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合．(3)f (x )为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合． (4)若f (x )＝x 0，则定义域为{x |x ≠0}．(5)正切函数y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z .一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f (x )＝x 2－2x 与g (t )＝t 2－2t 是相等函数．( )(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．( )(3)若集合A ＝R ，B ＝{x |x ＞0}，f ：x →y ＝|x |，则对应关系f 是从A 到B 的映射．( ) (4)分段函数是由两个或几个函数组成的．( )(5)分段函数的定义域等于各段定义域的并集，值域等于各段值域的并集．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√ 二、易错纠偏常见误区| (1)对函数概念理解不透彻； (2)解分段函数不等式时忘记范围； (3)用换元法求解析式，反解时忽视范围．1．已知集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，下列从P 到Q 的各对应关系f 中不是函数的是________．(填序号)①f ：x →y ＝12x ；②f ：x →y ＝13x ；③f ：x →y ＝23x ；④f ：x →y ＝x .解析：对于③，因为当x ＝4时，y ＝23×4＝83∉Q ，所以③不是函数．答案：③2．设函数f (x )＝⎩⎨⎧（x ＋1）2，x <1，4－x －1，x ≥1，则使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围为________．解析：因为f (x )是分段函数，所以f (x )≥1应分段求解．当x <1时，f (x )≥1⇒(x ＋1)2≥1⇒x ≤－2或x ≥0，所以x ≤－2或0≤x <1；当x ≥1时，f (x )≥1⇒4－x －1≥1，即x －1≤3，所以1≤x ≤10.综上所述，x ≤－2或0≤x ≤10，即x ∈(－∞，－2]∪[0，10]．答案：(－∞，－2]∪[0，10]3．已知f (x )＝x －1，则f (x )＝________．解析：令t ＝x ，则t ≥0，x ＝t 2，所以f (t )＝t 2－1(t ≥0)，即f (x )＝x 2－1(x ≥0)． 答案：x 2－1(x ≥0)函数的定义域(多维探究) 角度一 求函数的定义域(1)已知函数f (x )的定义域是[－1，1]，则函数g (x )＝f （2x －1）ln （1－x ）的定义域是( )A ．[0，1]B ．(0，1)C ．[0，1)D ．(0，1](2)(2020·高考北京卷)函数f (x )＝1x ＋1＋ln x 的定义域是________． 【解析】 (1)由函数f (x )的定义域为[－1，1]，得－1≤x ≤1，令－1≤2x －1≤1，解得0≤x ≤1，又由1－x >0且1－x ≠1，解得x <1且x ≠0，所以函数g (x )的定义域为(0，1)，故选B ．(2)函数f (x )＝1x ＋1＋ln x 的自变量满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，x ＞0，所以x ＞0，即定义域为(0，＋∞)．【答案】 (1)B (2)(0，＋∞)求解函数定义域的策略(1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题．在解不等式组取交集时可借助于数轴，要特别注意端点值的取舍．(2)求抽象函数的定义域：①若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式a ＜g (x )＜b 即可求出y ＝f [g (x )]的定义域；②若y ＝f [g (x )]的定义域为(a ，b )，则求出g (x )在(a ，b )上的值域即得y ＝f (x )的定义域．(3)已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式(组)，然后求解． [提醒] (1)求函数定义域时，对函数解析式先不要化简． (2)求出定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式． 角度二 已知函数的定义域求参数(1)如果函数f (x )＝ln(－2x ＋a )的定义域为(－∞，1)，那么实数a 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2(2)若函数y ＝ax ＋1ax 2－4ax ＋2的定义域为R ，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C ． ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 【解析】 (1)因为－2x ＋a >0， 所以x <a2，所以a2＝1，所以a ＝2.(2)由ax 2－4ax ＋2＞0恒成立， 得a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝（－4a ）2－4×a ×2＜0，解得0≤a ＜12. 【答案】 (1)D (2)D已知函数定义域求参数的取值范围，通常是根据已知的定义域将问题转化为方程或不等式恒成立的问题，然后求得参数的值或范围．1．函数f (x )＝3xx －1＋ln(2x －x 2)的定义域为( )A ．(2，＋∞)B ．(1，2)C ．(0，2)D ．[1，2]解析：选B ．要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，2x －x 2>0， 解得1<x <2. 所以函数f (x )＝3xx －1＋ln(2x －x 2)的定义域为(1，2)．2．已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________． 解析：因为y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，所以x ∈[－3，3]，x 2－1∈[－1，2]，所以y ＝f (x )的定义域为[－1，2]．答案：[－1，2] 3．若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是________．解析：因为函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，所以mx 2＋4mx ＋3≠0，所以m ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0，Δ＝16m 2－12m ＜0，即m ＝0或0＜m ＜34， 所以实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34求函数的解析式(师生共研)(1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )的解析式为________________．(2)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x2＝x 4＋1x4，则f (x )的解析式为________________．(3)若f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2，则f (x )的解析式为________________．(4)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，则f (x )的解析式为______________． 【解析】 (1)(换元法)令2x＋1＝t ，由于x >0，所以t >1且x ＝2t －1， 所以f (t )＝lg2t －1， 即f (x )的解析式是f (x )＝lg2x －1(x >1)． (2)(配凑法)因为f ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 22－2，所以f (x )＝x 2－2，x ∈[2，＋∞)．(3)(待定系数法)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 又f (0)＝c ＝3.所以f (x )＝ax 2＋bx ＋3，所以f (x ＋2)－f (x )＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋3－(ax 2＋bx ＋3)＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2.所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－x ＋3. (4)(解方程组法)因为2f (x )＋f (－x )＝2x ，① 将x 换成－x 得2f (－x )＋f (x )＝－2x ，② 由①②消去f (－x )，得3f (x )＝6x ， 所以f (x )＝2x . 【答案】 (1)f (x )＝lg 2x －1(x ＞1) (2)f (x )＝x 2－2，x ∈[2，＋∞) (3)f (x )＝x 2－x ＋3 (4)f (x )＝2x求函数解析式的4种方法(1)配凑法：由已知条件f [g (x )]＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，得f (x )的表达式．(2)换元法：已知复合函数f [g (x )]的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．(3)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法．(4)解方程组法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．[提醒] 求解析式时要注意新元的取值范围．1．(一题多解)已知二次函数f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，则f (x )＝_______． 解析：方法一(换元法)：令2x ＋1＝t (t ∈R )，则x ＝t －12，所以f (t )＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－6·t －12＋5＝t 2－5t ＋9(t ∈R )，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )．方法二(配凑法)：因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5＝(2x ＋1)2－10x ＋4＝(2x ＋1)2－5(2x ＋1)＋9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )．方法三(待定系数法)：因为f (x )是二次函数，所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)2＋b (2x ＋1)＋c ＝4ax 2＋(4a ＋2b )x ＋a ＋b ＋c .因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－5，c ＝9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )． 答案：x 2－5x ＋9(x ∈R )2．已知函数f (x )满足2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝3x ，则f (x )＝________________． 解析：因为2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝3x ，① 把①中的x 换成1x，得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝3x.②联立①②可得⎩⎪⎨⎪⎧2f （x ）＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f （x ）＝3x ，解此方程组可得f (x )＝2x －1x(x ≠0)．答案：2x －1x(x ≠0)3．已知函数f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )的解析式为________________． 解析：方法一(换元法)：设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2，t ≥1，代入原式得f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1.故f (x )＝x 2－1，x ≥1.方法二(配凑法)：因为x ＋2x ＝(x )2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1， 所以f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1，x ＋1≥1， 即f (x )＝x 2－1，x ≥1. 答案：f (x )＝x 2－1(x ≥1)分段函数(多维探究) 角度一 分段函数求值(1)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x，x ≤0，f （x －3），x >0，则f (5)的值为( )A ．－7B ．－1C ．0D ．12(2)若函数f (x )＝⎩⎨⎧lg （1－x ），x <0，－2x ，x ≥0，则f [f (－9)]＝________．(3)(2021·广东省七校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（3－x ），x ≤02x －1，x ＞0，若f (a －1)＝12，则实数a ＝________．【解析】 (1)f (5)＝f (5－3)＝f (2)＝f (2－3)＝f (－1)＝(－1)2－2－1＝12.故选D ．(2)因为函数f (x )＝⎩⎨⎧lg （1－x ），x <0，－2x ，x ≥0，所以f (－9)＝lg 10＝1，所以f [f (－9)]＝f (1)＝－2.(3)当a －1≤0，即a ≤1时，log 2(4－a )＝12，4－a ＝212，故a ＝4－212，不满足a ≤1，舍去．当a －1＞0，即a ＞1时，2a －1－1＝12，2a －1＝32，解得a ＝log 23，满足a ＞1.综上可得a ＝log 23.【答案】 (1)D (2)－2 (3)log 23分段函数的求值问题的解题思路(1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f [f (a )]的形式时，应从内到外依次求值．(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．角度二 分段函数与方程(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜0，3x ，x ≥0，若f [f (－1)]＝9，则实数a ＝( )A ．2B ．4C ．133D ．4或133(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，－1＜x ＜0，2x ，x ≥0，若实数a 满足f (a )＝f (a －1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】 (1)因为－1＜0，所以f (－1)＝a －2， 所以f (a －2)＝9. 当a －2≥0，即a ≥2时， 3a －2＝9，解得a ＝4.当a －2＜0，即a ＜2时，2(a －2)＋a ＝9，解得a ＝133(舍去)．综上可知a ＝4.故选B ． (2)由题意得a >0.当0<a <1时，由f (a )＝f (a －1)，即2a ＝a ，解得a ＝14，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝8.当a ≥1时，由f (a )＝f (a －1)，得2a ＝2(a －1)，不成立．故选D ．【答案】 (1)B (2)D(1)若分段函数中含有参数，则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参； (2)若是求自变量的值，则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论，再求值． 角度三 分段函数与不等式(一题多解)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1，0)D ．(－∞，0)【解析】 方法一：①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)＜f (2x )即为2－(x ＋1)＜2－2x，即－(x ＋1)＜－2x ，解得x ＜1.所以不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ＞0时，不等式组无解．③当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，2x ≤0，即－1＜x ≤0时，f (x ＋1)＜f (2x )即为1＜2－2x ，解得x ＜0.所以不等式的解集为(－1，0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，2x ＞0，即x ＞0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，0)． 故选D ．方法二：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x ＞0，所以函数f (x )的图象如图所示．由图可知，只有当⎩⎪⎨⎪⎧2x ＜0，x ＋1≥0或2x ＜x ＋1＜0时，满足f (x ＋1)＜f (2x )，故x ＜0，所以不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，0)．【答案】 D涉及与分段函数有关的不等式问题，主要表现为解不等式，当自变量取值不确定时，往往要分类讨论求解；当自变量取值确定，但分段函数中含有参数时，只需依据自变量的情况，直接代入相应解析式求解．1．(2021·长沙市统一模拟考试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3 x ，x ＞0，x 2，x ≤0，则f [f (－3)]＝( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1解析：选D ．f (－3)＝3，则f [f (－3)]＝f (3)＝log 33＝1.故选D ．2．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x＋a ，x ≤2，f （x －1），x ＞2，若f (3)＝－89，则实数a ＝( )A ．1B ．－1C ．19D ．0解析：选B ．f (3)＝f (3－1)＝f (2)＝3－2＋a ＝－89，解得a ＝－1.3．(2021·六校联盟第二次联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 2，x ≤0，1，x ＞0，若f (x －4)＞f (2x －3)，则实数x 的取值范围是( )A ．(－1，＋∞)B ．(－∞，－1)C ．(－1，4)D ．(－∞，1)解析：选C ．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 2，x ≤0，1，x ＞0在(－∞，0]上是减函数，在(0，＋∞)上函数值保持不变，若f (x －4)＞f (2x －3)，则⎩⎪⎨⎪⎧x －4＜0，2x －3≥0或x －4＜2x －3≤0，解得x ∈(－1，4)．故选C ．4．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．解析：由题可知，1－a 与1＋a 异号，当a ＞0时，1－a ＜1，1＋a ＞1， 所以2(1－a )＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32(舍去)．当a ＜0时，1－a ＞1，1＋a ＜1， 所以－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ， 解得a ＝－34.答案：－34核心素养系列2 数学抽象——函数的新定义问题定义函数问题是指给出阅读材料，设计一个陌生的数学情境，定义一个新函数，并给出新函数所满足的条件或具备的性质；或者给出函数，再定义一个新概念(如不动点)，把数学知识与方法迁移到这段阅读材料，考生需捕捉相关信息，通过归纳、探索，发现解题方法，然后解决问题．若函数f (x )满足：在定义域D 内存在实数x 0，使得f (x 0＋1)＝f (x 0)＋f (1)成立，则称函数f (x )为“1的饱和函数”．给出下列四个函数：①f (x )＝1x；②f (x )＝2x ；③f (x )＝lg(x 2＋2)；④f (x )＝cos (πx )．其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号为( ) A ．①③ B ．②④ C ．①②D ．③④【解析】 对于①，若存在实数x 0，满足f (x 0＋1)＝f (x 0)＋f (1)，则1x 0＋1＝1x 0＋1，所以x 20＋x 0＋1＝0(x 0≠0，且x 0≠－1)，显然该方程无实根，所以①不是“1的饱和函数”；对于②，若存在实数x 0，满足f (x 0＋1)＝f (x 0)＋f (1)，则2x 0＋1＝2x 0＋2，解得x 0＝1，所以②是“1的饱和函数”；对于③，若存在实数x 0，满足f (x 0＋1)＝f (x 0)＋f (1)，则lg[(x 0＋1)2＋2]＝lg(x 20＋2)＋lg(12＋2)，化简得2x 20－2x 0＋3＝0，显然该方程无实根，所以③不是“1的饱和函数”；对于④，注意到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋1＝cos 4π3＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f (1)＝cos π3＋cos π＝－12，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f (1)，所以④是“1的饱和函数”．综上可知，其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号是②④.【答案】 B处理新定义函数问题的常用方法(1)联想背景：有些题目给出的新函数是以熟知的初等函数(如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等)为背景定义的，可以通过阅读材料，分析有关信息，联想背景函数及其性质，进行类比，捕捉解题灵感，然后解决问题．(2)紧扣定义：对于题目定义的新函数，通过仔细阅读，分析定义以及新函数所满足的条件，围绕定义与条件来确定解题的方向，然后准确作答．(3)巧妙赋值：如果题目所定义的新函数满足的条件是函数方程，可采用赋值法，即令x ，y 取特殊值，或为某一范围内的值，求得特殊函数值或函数解析式，再结合掌握的数学知识与方程思想来解决问题．(4)构造函数：有些定义型函数可看成是由两个已知函数构造而成的．1．对于函数f (x )，若存在常数a ≠0，使得x 取定义域内的每一个值，都有f (x )＝f (2a －x )，则称f (x )为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是( )A ．f (x )＝xB ．f (x )＝x 2C ．f (x )＝tan xD ．f (x )＝cos (x ＋1)解析：选D ．由题意可得准偶函数的图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，即准偶函数的图象存在不是y 轴的对称轴．选项A ，C 中函数的图象不存在对称轴，选项B 中函数的图象的对称轴为y 轴，只有选项D 中的函数满足题意．2．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f (x )的图象恰好经过n (n ∈N *)个整点，则称函数f (x )为n 阶整点函数．给出下列函数：①f (x )＝sin 2x ；②g (x )＝x 3；③h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x；④φ(x )＝ln x .其中是一阶整点函数的是( ) A ．①②③④ B ．①③④ C ．①④D ．④解析：选C ．对于函数f (x )＝sin 2x ，它的图象(图略)只经过一个整点(0，0)，所以它是一阶整点函数，排除D ；对于函数g (x )＝x 3，它的图象(图略)经过整点(0，0)，(1，1)，…，所以它不是一阶整点函数，排除A ；对于函数h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，它的图象(图略)经过整点(0，1)，(－1，3)，…，所以它不是一阶整点函数，排除B ．故选C ．。

2.6 对数与对数函数
1． 对数的概 念与性质
对数的 定义
如果 __ ____________ ，那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数，记作
__________ ，其中 ____叫做对数的底数， ____叫做真数． (1)________ 没有对数．
对数的 性质
(2)log a1＝ ____( a＞0，且 a≠1) ． (3)log aa ＝ ____( a＞ 0，且 a≠ 1)．
1
1
A. 4
B. 2
C．2
D． 4
5．函 数 y＝ lo ga(x－ 1)＋2(a＞ 0 且 a≠ 1)的图象恒过一定点是 __________ ．
一、对数式的化简与求值 【例 1－ 1】 若 xlog3 2＝ 1，则 4x＋ 4－x＝ __________.
【例 1－ 2】 (2012 北京高考 ) 已知函数 f(x) ＝ lg x，若
值域： ______
过定点 ______，即 x＝ 1 时， y＝ ______
单调性：在 (0，＋∞ ) 上是 ______
单调性：在 (0，＋∞ ) 上是 ______
当 0＜x＜ 1 时， y∈______；当 x＞ 1 当 0＜x＜ 1 时， y∈ ______；当 x
时， y∈______
(1)对数函数的定义 一般地，我们把函数 y＝ __________ 叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是
(0，＋∞ )． (2)对数函数 y＝ log ax(a＞0，且 a≠ 1)的图象和性质 a＞ 1
0＜ a＜1
图象
性 质 [来
源 :]
定义域： __________ [来源:www ][来源:www ]

(1)确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义 域上进行． (2)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论 错误． (3)在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优 先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定 要明确底数 a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的 限制条件．
A．3
B．13
C． 3
D．
3 3
解析：选 D.因为 xlog34＝1，即 log34x＝1.所以 4x＝3.即 2x＝ 3，
所以
2－x＝
1＝ 3
3 3.
12/11/2021
(必修 1 P71 例 7(1)改编)函数 y＝log2x2 的大致图象是( )
解析：选 D.法一：f(－x)＝log2(－x)2＝log2x2＝f(x)． 所以 y＝log2x2 的图象关于 y 轴对称，故选 D. 法二：y＝log2x2＝2log2|x|＝22lloogg22x（，－x＞ x）0， ，x＜0. 作出图象可知选 D.
【答案】
(1)D
1 (2)4
12/11/2021
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象 上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合 要求的选项． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问 题，利用数形结合法求解．
12/11/2021
【对点通关】 1．(必修 1 P73 练习 T1 改编)若函数 y＝a|x|(a>0，且 a≠1)的值 域为{y|y≥1}，则函数 y＝loga|x|的图象大致是( )
12/11/2021
【对点通关】
1．(2016·高考全国卷Ⅰ)若 a>b>0，0<c<1，则( )

x 2 ，x≥4， f(x)＝ fx＋1，x<4，
则
1－ 5 (2)(2015· 安徽卷)lg2＋2lg 2－2 1＝________.
解析
(1)因为 3<2＋log23<4，所以 f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝23
＋log23
＝8×2log23＝24.
解析 (1)log2x2＝2log2|x|，故(1)错． (2)形如y＝logax(a＞0，且a≠1)为对数函数，故(2)错． (4)当x＞1时，logax＞logbx，但a与b的大小不确定，故(4)错．
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×
2．已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，且a≠1)的 图象如图，给出下列结论： ①a>1，c>1；
1－ 5 (2)lg2＋2lg 2－2 1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝lg 5＋lg 2－2＝lg 10－2
＝－1.
答案 (1)24 (2)－1
考点二
对数函数的图象及应用
第6讲 对数与对数函数
考试要求 1.对数的概念及其运算性质，换底公式及应用， B级要求；2.对数函数的概念、图象与性质，B级要求；3.指 数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互
为反函数，A级要求．
知识梳理
1．对数的概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记 作 x＝logaN ，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
2 ＋ 4．(2015· 浙江卷)计算：log2 2 ＝________；2log23 log43＝________. 解析 2 1 1 log2 ＝log2 2－log22＝ －1＝－ ； 2 2 2

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对数与对数函数1．对数： (1） 定义：如果Na b =)1,0(≠>a a 且,那么称 为 ，记作 ,其中a 称为对数的底，N 称为真数。

① 以10为底的对数称为常用对数，N 10log 记作___________．② 以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称为自然对数，N e log 记作_________． (2） 基本性质：① 真数N 为 (负数和零无对数)；② 01log =a ;③ 1log =a a ; ④ 对数恒等式:N a N a =log ． （3） 运算性质：① log a (MN)＝___________________________； ② log a NM ＝____________________________；③ log a M n＝ （n ∈R).④ 换底公式：log a N ＝ （a >0，a ≠1，m >0，m ≠1,N 〉0）⑤ log m na a nb b m= 。

2．对数函数:① 定义：函数 称为对数函数，1) 函数的定义域为（ ；2） 函数的值域为 ；3） 当______时，函数为减函数，当______时为增函数；4） 函数x y a log =与函数)1,0(≠>=a a a y x且互为反函数。

第6讲对数与对数函数一、知识梳理1．对数概念如果a(a＞0，且a≠1)的b次幂等于N，即a b＝N，那么b叫作以a为底N的对数，记作b＝log a__N．其中a叫作对数的底数，N叫作真数性质底数的限制：a>0，且a≠1对数式与指数式的互化：a x＝N⇒log a__N＝x负数和零没有对数1的对数是零：log a1＝0底数的对数是1：log a a＝1对数恒等式：a log a N＝N运算性质log a(M·N)＝log a M＋log a Na>0，且a≠1，M>0，N>0 log aMN＝log a M－log a Nlog a M n＝n log a M(n∈R)2.对数函数的图像与性质a>10<a<1图像性质定义域：(0，＋∞)值域：R过定点(1，0)当x >1时，y >0 当0<x <1时，y <0 当x >1时，y <0 当0<x <1时，y >0 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数3.反函数指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称． 常用结论1．换底公式的三个重要结论 ①log a b ＝1log b a ；②log am b n＝n mlog a b ；③log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 2．对数函数的图象与底数大小的关系如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0<c <d <1<a <b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内与y ＝1相交的对数函数从左到右底数逐渐增大．二、教材衍化1． (log 29)·(log 34)＝________．解析：(log 29)·(log 34)＝lg9lg2×lg4lg3＝2lg3lg2×2lg2lg3＝4.答案：42．若函数y ＝f (x )是函数y ＝2x的反函数，则f (2)＝________． 解析：由题意知f (x )＝log 2x ， 所以f (2)＝log 22＝1. 答案：13．函数y ＝log a (4－x )＋1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过点________． 解析：当4－x ＝1即x ＝3时，y ＝log a 1＋1＝1. 所以函数的图象恒过点(3，1)． 答案：(3，1)4．已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为________．解析：因为0<a <1，b <0，c ＝log 1213＝log 23>1.所以c >a >b .答案：c >a >b一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N .( ) (2)log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )．( )(3)函数y ＝log 2x 及y ＝log 133x 都是对数函数．( )(4)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( ) (5)函数y ＝ln 1＋x1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( )(6)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，－1，函数图象只经过第一、四象限．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)√ 二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)对数函数图象的特征不熟致误； (2)忽视对底数的讨论致误； (3)忽视对数函数的定义域致误．1．已知a >0，a ≠1，函数y ＝a x与y ＝log a (－x )的图象可能是________．(填序号)解析：函数y ＝log a (－x )的图象与y ＝log a x 的图象关于y 轴对称，符合条件的只有②. 答案：②2．函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a ＝________． 解析：分两种情况讨论：①当a >1时，有log a 4－log a 2＝1，解得a ＝2；②当0<a <1时，有log a 2－log a 4＝1，解得a ＝12.所以a ＝2或12.答案：2或123．函数y ＝log 23（2x －1）的定义域是________．解析：由log 23(2x －1)≥0，得0<2x －1≤1.所以12<x ≤1.所以函数y ＝log 23（2x －1）的定义域是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1对数式的化简与求值(自主练透)1．计算(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25的结果为________．解析：原式＝lg 2(lg 2＋lg 50)＋lg 25＝2lg 2＋lg 25＝lg 4＋lg 25＝2. 答案：22．若lg x ＋lg y ＝2lg(2x －3y )，则log 32xy 的值为________．解析：依题意，可得lg(xy )＝lg(2x －3y )2， 即xy ＝4x 2－12xy ＋9y 2，整理得：4⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 2－13⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋9＝0，解得x y ＝1或x y ＝94. 因为x >0，y >0，2x －3y >0，所以x y ＝94，所以log 32xy＝2.答案：23．设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m 等于________．解析：由2a ＝5b＝m 得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， 所以1a ＋1b ＝log m 2＋log m 5＝log m 10.因为1a ＋1b＝2，所以log m 10＝2.所以m 2＝10，所以m ＝10. 答案：104．已知log 23＝a ，3b＝7，则log 37221的值为________．解析：由题意3b＝7，所以log 37＝b . 所以log 37221＝log6384＝log 284log 263＝log 2（22×3×7）log 2（32×7）＝2＋log 23＋log 23·log 372log 23＋log 23·log 37＝2＋a ＋ab2a ＋ab.答案：2＋a ＋ab 2a ＋ab对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．对数函数的图象及应用(师生共研)(1)(2019·高考某某卷)在同一直角坐标系中，函数y ＝1a x ，y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12(a >0，且a ≠1)的图象可能是( )(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 3x |，0＜x ＜313x 2－103x ＋8，x ≥3，若存在实数a ，b ，c ，d ，满足f (a )＝f (b )＝f (c )＝f (d )，其中d ＞c ＞b ＞a ＞0，则abcd 的取值X 围________．【解析】 (1)对于函数y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，当y ＝0时，有x ＋12＝1，得x ＝12，即y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12的图象恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，排除选项A 、C ；函数y ＝1a x 与y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12在各自定义域上单调性相反，排除选项B ，故选D.(2)由题意可得－log 3a ＝log 3b ＝13c 2－103c ＋8＝13d 2－103d ＋8，可得log 3(ab )＝0，故ab ＝1.结合函数f (x )的图象，在区间[3，＋∞)上， 令f (x )＝1可得c ＝3、d ＝7、cd ＝21. 令f (x )＝0可得c ＝4、d ＝6、cd ＝24. 故有21＜abcd ＜24.【答案】 (1)D (2)(21，24)对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．1.已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A ．a >1，c >1B ．a >1，0<c <1C ．0<a <1，c >1D ．0<a <1，0<c <1解析：选D.由对数函数的图象和性质及函数图象的平移变换知0<a <1，0<c <1.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值X 围是________．解析：问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a >1.答案：(1，＋∞)对数函数的性质及应用(多维探究) 角度一 比较大小已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b【解析】 因为c ＝log 1213＝log 23>log 2e ＝a ，所以c >a .因为b ＝ln 2＝1log 2e<1<log 2e ＝a ， 所以a >b . 所以c >a >b . 【答案】 D比较对数值大小的常见类型及解题方法常见类型 解题方法底数为同一常数 可由对数函数的单调性直接进行判断底数为同一字母 需对底数进行分类讨论底数不同，真数相同 可以先用换底公式化为同底后，再进行比较底数与真数都不同常借助1，0等中间量进行比较角度二 解简单对数不等式已知不等式log x (2x 2＋1)<log x (3x )<0成立，则实数x 的取值X 围是________．【解析】 原不等式⇔⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1，2x 2＋1>3x >1①或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，2x 2＋1<3x <1②，解不等式组①得13<x <12，不等式组②无解，所以实数x 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12求解对数不等式的两种类型及方法类型 方法log a x >log a b借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况讨论log a x >b需先将b 化为以a 为底的对数式的形式，再借助y ＝log a x 的单调性求解[提醒] 注意对数式的真数大于零，且不等于1. 角度三 与对数函数有关的综合问题已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0，2]时，函数f (x )恒有意义，某某数a 的取值X 围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．【解】 (1)因为a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0，2]时，t (x )的最小值为3－2a ，当x ∈[0，2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0，2]时，3－ax >0恒成立． 所以3－2a >0.所以a <32.又a >0且a ≠1，所以a ∈(0，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，因为a >0， 所以函数t (x )为减函数．因为f (x )在区间[1，2]上为减函数， 所以y ＝log a t 为增函数，所以a >1，当x ∈[1，2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a（3－a ）＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1.解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤1．(2019·高考某某卷)已知a ＝log 52，b ＝log 0.50.2，c ＝0.50.2，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b解析：选A.a ＝log 52<log 55＝12，而c ＝0.50.2>0.51＝12，故a <c ；b ＝log 0.50.2>log 0.50.25＝2，而c ＝0.50.2<0.50＝1，故c <b .所以a <c <b .2．若定义在区间(－1，0)内的函数f (x )＝log 2a (x ＋1)满足f (x )>0，则实数a 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D ．(0，＋∞)解析：选A.因为－1<x <0，所以0<x ＋1<1.又因为f (x )>0，所以0<2a <1，所以0<a <12.3．已知a >0，若函数f (x )＝log 3(ax 2－x )在[3，4]上是增函数，则a 的取值X 围是________．解析：要使f (x )＝log 3(ax 2－x )在[3，4]上递增， 则y ＝ax 2－x 在[3，4]上递增， 且y ＝ax 2－x >0恒成立， 即⎩⎪⎨⎪⎧12a ≤3，9a －3>0，解得a >13.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞数形结合法在对数函数问题中的应用设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则( )A．x1x2<0 B．x1x2＝0C．x1x2>1 D．0<x1x2<1【解析】作出y＝10x与y＝|lg(－x)|的大致图象，如图．显然x1<0，x2<0.不妨令x1<x2，则x1<－1<x2<0，所以10x1＝lg(－x1)，10x2＝－lg(－x2)，此时10x1<10x2，即lg(－x1)<－lg(－x2)，由此得lg(x1x2)<0，所以0<x1x2<1，故选D.【答案】 D一些对数型函数、方程、不等式问题的求解，需转化为相应函数图象问题，利用数形结合法求解．设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a<b<10，则abc的取值X围是________．解析：由题意知，在(0，10)上，函数y＝|lg x|的图象和直线y＝c有两个不同交点，所以ab ＝1，0<c<lg 10＝1，所以abc的取值X围是(0，1)．答案：(0，1)[基础题组练]1．函数y ＝log 3（2x －1）＋1的定义域是( ) A ．[1，2] B ．[1，2) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞解析：选C.由⎩⎪⎨⎪⎧log 3（2x －1）＋1≥0，2x －1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧log 3（2x －1）≥log 313，x >12，解得x ≥23.2．(2020·吕梁模拟)已知a ＝log 35，b ＝1.51.5，c ＝ln 2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c <a <b B ．c <b <a C ．a <c <bD ．a <b <c解析：选A.1<a ＝log 35＝12log 325<12log 327＝1.5，b ＝1.51.5>1.5，c ＝ln 2<1，所以c <a <b ，故选A.3．如果log 12x <log 12y <0，那么( )A ．y <x <1B ．x <y <1C ．1<x <yD ．1<y <x解析：选D.由log 12x <log 12y <0，得log 12x <log 12y <log 121，所以x >y >1.4．函数f (x )＝|log a (x ＋1)|(a >0，且a ≠1)的大致图象是( )解析：选 C.函数f (x )＝|log a (x ＋1)|的定义域为{x |x >－1}，且对任意的x ，均有f (x )≥0，结合对数函数的图象可知选C.5．若函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，则a 的取值X 围是 ( ) A ．0<a <1 B ．0<a <2，a ≠1 C ．1<a <2D ．a ≥2解析：选C.当a >1时，y 有最小值，则说明x 2－ax ＋1有最小值，故x 2－ax ＋1＝0中Δ<0，即a 2－4<0，所以2>a >1.当0<a <1时，y 有最小值，则说明x 2－ax ＋1有最大值，与二次函数性质相互矛盾，舍去．综上可知，故选C.6．已知函数f (x )＝x 3＋a log 3x ，若f (2)＝6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________．解析：由f (2)＝8＋a log 32＝6，解得a ＝－2log 32，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝18＋a log 312＝18－a log 32＝18＋2log 32×log 32＝178. 答案：1787．已知2x ＝72y＝A ，且1x ＋1y＝2，则A 的值是________．解析：由2x ＝72y＝A 得x ＝log 2A ，y ＝12log 7A ，则1x ＋1y ＝1log 2A ＋2log 7A ＝log A 2＋2log A 7＝log A 98＝2，A 2＝98.又A >0，故A ＝98＝7 2. 答案：7 28．已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm＝________．解析：因为f (x )＝|log 3x |，正实数m ，n 满足m <n ，且f (m )＝f (n )，所以－log 3m ＝log 3n ，所以mn ＝1.因为f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，函数f (x )在[m 2，1)上是减函数，在(1，n ]上是增函数，所以－log 3m 2＝2或log 3n ＝2.若－log 3m 2＝2，得m ＝13，则n ＝3，此时log 3n ＝1，满足题意．那么n m ＝3÷13＝9.同理．若log 3n ＝2，得n ＝9，则m ＝19，此时－log 3m 2＝4>2，不满足题意．综上可得n m＝9.答案：99．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，且a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值． 解：(1)因为f (1)＝2，所以log a 4＝2(a >0，且a ≠1)，所以a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，3－x >0，得－1<x <3， 所以函数f (x )的定义域为(－1，3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]，所以当x ∈(－1，1]时，f (x )是增函数； 当x ∈(1，3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. 10．已知函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过点(4，2)． (1)求a 的值；(2)若g (x )＝f (1－x )＋f (1＋x )，求g (x )的解析式及定义域； (3)在(2)的条件下，求g (x )的减区间．解：(1)函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过点(4，2)， 可得log a 4＝2，解得a ＝2.(2)g (x )＝f (1－x )＋f (1＋x )＝log 2(1－x )＋log 2(1＋x )＝log 2(1－x 2)， 由1－x ＞0且1＋x ＞0，解得－1＜x ＜1， 可得g (x )的定义域为(－1，1)． (3)g (x )＝log 2(1－x 2)，由t ＝1－x 2在(－1，0)上是增加的，(0，1)上是减少的， 且y ＝log 2t 在(0，＋∞)上是增加的， 可得函数g (x )的减区间为(0，1)．[综合题组练]1．若log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＜－1，则( ) A ．2x ＜3y ＜5z B ．5z ＜3y ＜2x C ．3y ＜2x ＜5zD ．5z ＜2x ＜3y解析：选B.设log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＝t ，则t ＜－1, x ＝2t,y ＝3t,z ＝5t,因此2x ＝2t ＋1，3y ＝3t ＋1，5z ＝5t ＋1. 又t ＜－1，所以t ＋1＜0，由幂函数y ＝xt ＋1的单调性可知5z ＜3y ＜2x .2．(2020·某某模拟)已知x 1＝log 132，x 2＝2－12，x 3满足⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＝log 3x 3，则( ) A ．x 1<x 2<x 3 B ．x 1<x 3<x 2 C ．x 2<x 1<x 3D ．x 3<x 1<x 2解析：选A.由题意可知x 3是函数y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x与y 2＝log 3x 的图象交点的横坐标，在同一直角坐标系中画出函数y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x与y 2＝log 3x 的图象，如图所示，由图象可知x 3>1，而x 1＝log 132<0，0<x 2＝2－12<1，所以x 3>x 2>x 1.故选A.3．已知函数f (x )＝log 0.5(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上是减少的，则a 的取值X 围为________．解析：令g (x )＝x 2－ax ＋3a ，因为f (x )＝log 0.5(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞) 是减少的， 所以函数g (x )在区间[2，＋∞)内是增加的，且恒大于0， 所以12a ≤2且g (2)＞0，所以a ≤4且4＋a ＞0，所以－4＜a ≤4. 答案：(－4，4]4．设函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)的定义域为[m ，n ](m <n )，值域为[0，1]，若n －m 的最小值为13，则实数a 的值为________．解析：作出y ＝|log a x |(0＜a ＜1)的大致图象如图所示，令|log a x |＝1.得x ＝a 或x ＝1a，又1－a －⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1＝1－a －1－a a ＝（1－a ）（a －1）a ＜0，故1－a ＜1a－1，所以n －m 的最小值为1－a ＝13，a ＝23.答案：235．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2.解：(1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x )．因为函数f (x )是偶函数， 所以f (－x )＝f (x )＝log 12(－x )，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12（－x ），x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2转化为f (|x 2－1|)>f (4)． 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5， 即不等式的解集为(－5，5)．。

§2.6 对数与对数函数1．对数的概念如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b＝N ，那么数b 叫作以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，其中 a 叫作对数的底数， N 叫作真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )．(2)对数的性质 ①log a Na＝N ；②log a a N＝N (a >0，且a ≠1)．(3)对数的换底公式log a b ＝log c blog c a (a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0)．3．对数函数的图像与性质4.反函数指数函数y ＝a x(a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y ＝x 对称．知识拓展1．换底公式的两个重要结论 (1)log a b ＝1log b a； (2)log m na b ＝n mlog a b .其中a >0且a ≠1，b >0且b ≠1，m ，n ∈R . 2．对数函数的图像与底数大小的比较如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图像交点的横坐标为相应的底数，故0<c <d <1<a <b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( × )(2)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × )(3)函数y ＝ln 1＋x1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( √ )(4)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图像过定点(1,0)且过点(a,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，－1，函数图像只在第一、四象限．( √ ) 题组二 教材改编2．lg 427－lg 238＋lg 75＝________.答案 12解析 原式＝lg 4＋12lg 2－lg 7－23lg 8＋lg 7＋12lg 5＝2lg 2＋12(lg 2＋lg 5)－2lg 2＝12.3．已知a ＝132－，b ＝log 213，c ＝12log 13，则a ，b ，c 的大小关系为________．答案 c >a >b解析 ∵0<a <1，b <0，c ＝12log 13＝log 23>1.∴c >a >b .4．函数y ______．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1 解析 由23log log 23(2x －1)≥0，得0<2x －1≤1.∴12<x ≤1.∴函数y ⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1. 题组三 易错自纠5．已知b >0，log 5b ＝a ，lg b ＝c,5d＝10，则下列等式一定成立的是( ) A ．d ＝ac B ．a ＝cd C ．c ＝ad D ．d ＝a ＋c答案 B6．已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图像如图，则下列结论成立的是( )A ．a >1，c >1B ．a >1,0<c <1C ．0<a <1，c >1D ．0<a <1,0<c <1答案 D解析 由该函数的图像通过第一、二、四象限知该函数为减函数，∴0<a <1，∵图像与x 轴的交点在区间(0,1)之间，∴该函数的图像是由函数y ＝log a x 的图像向左平移不到1个单位后得到的，∴0<c <1.7．若log a 34<1(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是____________________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞) 解析 当0<a <1时，log a 34<log a a ＝1，∴0<a <34；当a >1时，log a 34<log a a ＝1，∴a >1.∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞)．题型一 对数的运算1．设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m 等于( )A.10 B ．10 C ．20 D ．100答案 A解析 由已知，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，则1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2. 解得m ＝10.2．计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷10012－＝________.答案 －20解析 原式＝(lg 2－2－lg 52)×10012＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫122×52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.3．计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝________.答案 1 解析 原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 663·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.思维升华 对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算． 题型二 对数函数的图像及应用典例 (1)若函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是( )答案 B解析 由题意y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图像过(3,1)点，可解得a ＝3.选项A 中，y ＝3－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，显然图像错误；选项B 中，y ＝x 3，由幂函数图像性质可知正确；选项C 中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图像不符；选项D 中，y ＝log 3(－x )的图像与y ＝log 3x 的图像关于y 轴对称，显然不符，故选B.(2)当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2)答案 B解析 由题意得，当0<a <1时，要使得4x <log a x ⎝⎛⎭⎪⎫0<x ≤12，即当0<x ≤12时，函数y ＝4x的图像在函数y ＝log a x 图像的下方．又当x ＝12时，124＝2，即函数y ＝4x的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.把点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2代入y ＝log a x ，得a ＝22.若函数y ＝4x 的图像在函数y ＝log ax 图像的下方，则需22<a <1(如图所示)．当a >1时，不符合题意，舍去． 所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1. 引申探究若本例(2)变为方程4x＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则实数a 的取值范围为__________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 解析 若方程4x ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则函数y ＝4x和函数y ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有交点，由图像知⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，log a 12≤2，解得0<a ≤22. 思维升华 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解．跟踪训练 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的图像大致是( )答案 C解析 函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A ，B ；又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除D.故选C.(2)(2017·衡水调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1，＋∞)解析 如图，在同一坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图像，其中a 表示直线在y 轴上的截距．由图可知，当a >1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝log 2x 只有一个交点．题型三 对数函数的性质及应用命题点1 对数函数的单调性 典例 (1)若a >b >0,0<c <1，则( ) A ．log a c <log b c B ．log c a <log c b C ．a c<b cD ．c a>c b答案 B解析 当0<c <1时，y ＝log c x 是减函数， ∴log c a <log c b ，故选B.(2)(2017·江西九江七校联考)若函数f (x )＝log 2(x 2－ax －3a )在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，4)B ．(－4,4]C ．(－∞，－4)∪[－2，＋∞)D ．[－4,4)答案 D解析 由题意得x 2－ax －3a >0在区间(－∞，－2]上恒成立且函数y ＝x 2－ax －3a 在(－∞，－2]上是减少的，则a2≥－2且(－2)2－(－2)a －3a >0，解得实数a 的取值范围是[－4,4)，故选D.命题点2 和对数函数有关的复合函数典例 已知函数f (x )＝log a (3－ax )(a >0且a ≠1)．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由． 解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0,2]时，t (x )的最小值为3－2a ，当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立． ∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a 的取值范围为(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (2)假设存在这样的实数a .t (x )＝3－ax ，∵a >0，∴函数t (x )为减函数．∵f (x )在区间[1,2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1,2]时，t (x )的最小值为3－2a ，f (x )的最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a (3－a )＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1. 思维升华 (1)利用对数函数单调性时要注意真数必须为正，明确底数对单调性的影响． (2)解决与对数函数有关的复合函数问题，首先要确定函数的定义域，根据“同增异减”原则判断函数的单调性，利用函数的最值解决恒成立问题． 跟踪训练 (1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( )C ．c >b >aD ．c >a >b答案 D解析 a ＝log 32<log 33＝1，b ＝log 52<log 55＝1. 又c ＝log 23>log 22＝1，所以c 最大． 由1<log 23<log 25，得1log 23>1log 25，即a >b ，所以c >a >b .(2)已知函数f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2x 的定义域是(1，＋∞)，则实数a 的值为________．答案 2解析 由题意，得不等式1－a 2x >0的解集是(1，＋∞)，由1－a2x >0，可得2x>a ，故x >log 2a ，由log 2a ＝1， 得a ＝2.比较指数式、对数式的大小考点分析 比较大小问题是每年高考的必考内容之一．(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.典例 (1)设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c <b <a B ．a <b <c C ．b <a <cD ．a <c <b(2)(2017·新乡二模)设a ＝60.4，b ＝log 0.40.5，c ＝log 80.4，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．c <b <a C ．c <a <bD ．b <c <a(3)若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2，则下列关系中不可能成立的是( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <b <aD ．a <c <b(4)(2017·石家庄一模)已知函数y ＝f (x ＋2)的图像关于直线x ＝－2对称，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝|log 2x |，若a ＝f (－3)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，c ＝f (2)，则a ，b ，c 的大小关系是( )C ．c >a >bD ．a >c >b解析 (1)根据幂函数y ＝x 0.5的单调性， 可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b <a <1；根据对数函数y ＝log 0.3x 的单调性，可得log 0.30.2>log 0.30.3＝1，即c >1.所以b <a <c . (2)∵a ＝60.4>1，b ＝log 0.40.5∈(0,1)，c ＝log 80.4<0，∴a >b >c .故选B.(3)由log a 2<log b 2<log c 2的大小关系，可知a ，b ，c 有如下四种可能：①1<c <b <a ；②0<a <1<c <b ；③0<b <a <1<c ；④0<c <b <a <1.对照选项可知A 中关系不可能成立．(4)易知y ＝f (x )是偶函数．当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝|log 2x |，且当x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝log 2x 是增加的，又a ＝f (－3)＝f (3)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝f (4)，所以b >a >c .答案 (1)C (2)B (3)A (4)B1．设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则( ) A ．b <a <c B ．c <a <b C ．c <b <a D ．a <c <b答案 B解析 ∵a ＝log 37，∴1<a <2. ∵b ＝21.1，∴b >2. ∵c ＝0.83.1，∴0<c <1. 即c <a <b ，故选B.2．(2017·孝义模拟)函数y ＝ln sin x (0<x <π)的大致图像是( )答案 C解析 因为0<x <π，所以0<sin x ≤1， 所以ln sin x ≤0，故选C.3．已知偶函数f (x )，当x ∈[0,2)时，f (x )＝2sin x ，当x ∈[2，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋f (4)等于( ) A ．－3＋2 B ．1 C ．3 D.3＋2答案 D解析 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin π3＝3， f (4)＝log 24＝2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋f (4)＝3＋2，故选D.4．(2017·北京)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN最接近的是( ) (参考数据：lg 3≈0.48) A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093答案 D解析 由题意，lg M N ＝lg 33611080＝lg 3361－lg 1080＝361lg 3－80lg 10≈361×0.48－80×1＝93.28. 又lg 1033＝33，lg 1053＝53，lg 1073＝73，lg 1093＝93， 故与MN最接近的是1093. 故选D.5．(2017·江西红色七校二模)已知函数f (x )＝lne x e －x ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2 013＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2e 2 013＋…＋f ⎝⎛⎭⎪⎫2 012e 2 013＝503(a ＋b )，则a 2＋b 2的最小值为( )A ．6B ．8C ．9D ．12 答案 B解析 ∵f (x )＋f (e －x )＝2， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫e 2 013＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2e 2 013＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 012e 2 013＝2 012，∴503(a ＋b )＝2 012，∴a ＋b ＝4. ∴a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝8，当且仅当a ＝b ＝2时取等号．6．若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上是减少的，则a 的取值范围为( )A ．[1,2)B ．[1,2]C ．[1，＋∞) D．[2，＋∞) 答案 A解析 令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上是减少的，则有⎩⎪⎨⎪⎧g (1)>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1,2)，故选A. 7．若a ＝log 43，则2a＋2－a＝________. 答案433解析 ∵a ＝log 43＝22log 3＝12log 23＝log 23，∴2a＋2－a＝log 2log 2-＝3＋log 2＝3＋33＝433. 8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是__________．答案 [0，＋∞) 解析 当x ≤1时，由21－x≤2，解得x ≥0，所以0≤x ≤1；当x >1时，1－log 2x ≤2，解得x ≥12，所以x >1.综上可知x ≥0.9．(2017·南昌模拟)设实数a ，b 是关于x 的方程|lg x |＝c 的两个不同实数根，且a <b <10，则abc 的取值范围是________． 答案 (0,1)解析 由题意知，在(0,10)上，函数y ＝|lg x |的图像和直线y ＝c 有两个不同交点，∴ab ＝1,0<c <lg 10＝1，∴abc 的取值范围是(0,1)．10．函数f (x )＝log 2x ·x )的最小值为________．答案 －14解析 f (x )＝log 2x ·(2x )＝12log 2x ·2log 2(2x )＝log 2x (1＋log 2x )．设t ＝log 2x (t ∈R )，则原函数可以化为y ＝t (t ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－14(t ∈R )，故该函数的最小值为－14.故f (x )的最小值为－14.11．已知函数f (x )＝log a (2x －a )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 解析 当0<a <1时，函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上是减函数，所以log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫43－a >0，即0<43－a <1， 又2×12－a >0，解得13<a <43，且a <1，故13<a <1；当a >1时，函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上是增函数，所以log a (1－a )>0，即1－a >1，且2×12－a >0，解得a <0，且a <1，此时无解．综上所述，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1. 12．(2018·长沙模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x . (1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2. 解 (1)当x <0时，－x >0， 则f (－x )＝12log (－x )．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )． 所以x <0时，f (x )＝log 12(－x )，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12(－x )，x <0.(2)因为f (4)＝12log 4＝－2，f (x )是偶函数， 所以不等式f (x 2－1)>－2可化为f (|x 2－1|)>f (4)．又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以0<|x 2－1|<4，解得－5<x <5且x ≠±1， 又当x 2－1＝0时，f (0)＝0>－2成立，所以－5<x < 5.即不等式的解集为(－5，5)．13．设函数f (x )＝log a |x |在(－∞，0)上是增加的，则f (a ＋1)与f (2)的大小关系是( ) A ．f (a ＋1)>f (2) B ．f (a ＋1)<f (2) C ．f (a ＋1)＝f (2) D ．不能确定答案 A解析 由已知得0<a <1，所以1<a ＋1<2，根据函数f (x )为偶函数，可以判断f (x )在(0，＋∞)上是减少的，所以f (a ＋1)>f (2)．14．已知函数f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m ，若对任意x 1∈[0,3]，存在x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12 答案 A解析 当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由题意可知原条件等价于f (x )min ≥g (x )min ， 即0≥14－m ，所以m ≥14，故选A.15．已知函数f (x )＝ln x1－x，若f (a )＋f (b )＝0，且0<a <b <1，则ab 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫0，14解析 由题意可知ln a 1－a ＋ln b1－b＝0，即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b 1－b ＝1， 化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14，又0<a <b <1，∴0<a <12，故0<－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14<14.16．(2017·厦门月考)已知函数f (x )＝lnx ＋1x －1. (1)求函数f (x )的定义域，并判断函数f (x )的奇偶性； (2)对于x ∈[2,6]，f (x )＝ln x ＋1x －1>ln m(x －1)(7－x )恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)由x ＋1x －1>0，解得x <－1或x >1， ∴函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)， 当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f (－x )＝ln－x ＋1－x －1＝ln x －1x ＋1＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1－1＝－ln x ＋1x －1＝－f (x )， ∴f (x )＝lnx ＋1x －1是奇函数． (2)∵x ∈[2,6]时，f (x )＝lnx ＋1x －1>ln m (x －1)(7－x )恒成立，∴x ＋1x －1>m(x －1)(7－x )>0， ∵x ∈[2,6]，∴0<m <(x ＋1)(7－x )在[2,6]上恒成立． 令g (x )＝(x ＋1)(7－x )＝－(x －3)2＋16，x ∈[2,6]，由二次函数的性质可知，x ∈[2,3]时函数g (x )是增加的，x ∈[3,6]时函数g (x )是减少的， ∴当x ∈[2,6]时，g (x )min ＝g (6)＝7， ∴0<m <7.。

一、知识梳理１．对数函数的图象与性质a>１0<a<１图象性质定义域：（0，＋∞）值域：R过定点（１，0）当x>１时，y>0当0<x<１时，y<0当x>１时，y<0当0<x<１时，y>0在（0，＋∞）上是增函数在（0，＋∞）上是减函数指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．常用结论对数函数图象的特点（１）当a>１时，对数函数的图象呈上升趋势；当0<a<１时，对数函数的图象呈下降趋势．（２）对数函数y＝log a x（a>0，且a≠１）的图象过定点（１，0），且过点（a，１），错误!，函数图象只在第一、四象限．（３）在直线x＝１的右侧：当a>１时，底数越大，图象越靠近x轴；当0<a<１时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”．二、习题改编１．（必修１P7４A组T7改编）函数y＝错误!的定义域为．解析：要使函数有意义，故满足错误!解得错误!<x≤１．答案：错误!２．（必修１P7３练习T３改编）已知a＝２错误!，b＝log２错误!，c＝log错误!错误!，则a，b，c 的大小关系是．答案：c>a>b一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）函数y＝log２x及y＝log错误!３x都是对数函数．（）（２）对数函数y＝log a x（a>0且a≠１）在（0，＋∞）上是增函数．（）（３）函数y＝ln 错误!与y＝ln（１＋x）—ln（１—x）的定义域相同．（）（４）对数函数y＝log a x（a>0且a≠１）的图象过定点（１，0），且过点（a，１），函数图象只经过第一、四象限．（）答案：（１）×（２）×（３）×（４）√二、易错纠偏错误!（１）忽略真数大于零致误；（２）忽视对底数的讨论致误．１．函数f（x）＝log２x２的单调递增区间为．解析：设t＝x２，因为y＝log２t在定义域上是增函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t＝x２的单调递增区间，所以所求区间为（0，＋∞）．答案：（0，＋∞）２．函数y＝log a x（a>0，a≠１）在[２，４]上的最大值与最小值的差是１，则a＝．解析：分两种情况讨论：１当a>１时，有log a４—log a２＝１，解得a＝２；２当0<a<１时，有log a ２—log a４＝１，解得a＝错误!，所以a＝２或错误!.答案：２或错误!对数函数的图象及应用（典例迁移）（１）若函数y＝a|x|（a>0，且a≠１）的值域为{y|y≥１}，则函数y＝log a|x|的图象大致是（）（２）若方程４x＝log a x在错误!上有解，则实数a的取值范围为．【解析】（１）由于y＝a|x|的值域为{y|y≥１}，所以a>１，则y＝log a|x|在（0，＋∞）上是增函数，又函数y＝log a|x|的图象关于y轴对称．因此y＝log a|x|的图象应大致为选项Ｂ．（２）构造函数f（x）＝４x和g（x）＝log a x，当a>１时不满足条件，当0<a<１时，画出两个函数在错误!上的图象，可知，只需两图象在错误!上有交点即可，则f错误!≥g错误!，即２≥log a错误!，则a≤错误!，所以a的取值范围为错误!.【答案】（１）B （２）错误!【迁移探究】（变条件）若本例（２）的条件变为：当0<x≤错误!时，４x<log a x，则a的取值范围为．解析：构造函数f（x）＝４x和g（x）＝log a x，当a>１时不满足条件，当0<a<１时，画出两个函数在错误!上的图象，可知f错误!<g错误!，即２<log a错误!，则a>错误!，所以a的取值范围为错误!.答案：错误!错误!对于较复杂的不等式恒成立问题，可借助函数图象解决，具体做法为：（１）对不等式变形，使不等号两边分别对应两函数f（x），g（x）；（２）在同一直角坐标系下作出两个函数f（x）与g（x）的图象；（３）比较当x在某一范围内取值时图象的上下位置来确定参数的取值．１．函数y＝２log４（１—x）的图象大致是（）解析：选Ｃ．函数y＝２log４（１—x）的定义域为（—∞，１），排除A，B；函数y＝２log４（１—x）在定义域上单调递减，排除Ｄ．选Ｃ．２．已知函数f（x）＝错误!且关于x的方程f（x）＋x—a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是．解析：如图，在同一直角坐标系中分别作出y＝f（x）与y＝—x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上的截距．由图可知，当a>１时，直线y＝—x＋a与y＝log２x只有一个交点．答案：（１，＋∞）对数函数的性质及应用（多维探究）角度一比较对数值的大小（２0１9·高考天津卷）已知a＝log２7，b＝log３8，c＝0．３0．２，则a，b，c的大小关系为（）Ａ．c<b<aＢ．a<b<cＣ．b<c<aＤ．c<a<b【解析】因为a＝log２7>log２４＝２，b＝log３8<log３9＝２，且b＝log３8>１，c＝0．３0．２<0．３0＝１，所以c<b<a.故选Ａ．【答案】A错误!比较对数值的大小的方法角度二解简单的对数不等式或方程（一题多解）已知函数f（x）＝log a x（a>0且a≠１）满足f错误!<f错误!，则f错误!>0的解集为（）Ａ．（0，１）Ｂ．（—∞，１）Ｃ．（１，＋∞）Ｄ．（0，＋∞）【解析】法一：因为函数f（x）＝log a x（a>0且a≠１）在（0，＋∞）上为单调函数，而错误!<错误!且f错误!<f错误!，所以f（x）＝log a x在（0，＋∞）上单调递增，结合对数函数的图象与性质可得f（２x—１）>0⇒２x—１>１，所以x>１．法二：由f错误!<f错误!知log a错误!>log a错误!，所以log a２—１<log a３—１，所以log a２<log a３，所以a>１，由f（２x—１）>0得log a（２x—１）>0，所以２x—１>１，即x>１．【答案】C错误!解对数不等式的函数及方法（１）形如log a x>log a b的不等式，借助y＝log a x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>１与0<a<１两种情况讨论；（２）形如log a x>b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．角度三对数型函数的综合问题已知函数f（x）＝log４（ax２＋２x＋３）．（１）若f（１）＝１，求f（x）的单调区间；（２）若f（x）的最小值为0，求a的值．【解】（１）因为f（１）＝１，所以log４（a＋５）＝１，因此a＋５＝４，即a＝—１，所以f（x）＝log４（—x２＋２x＋３）．由—x２＋２x＋３>0得—１<x<３，即函数f（x）的定义域为（—１，３）．令g（x）＝—x２＋２x＋３．则g（x）在（—１，１）上单调递增，在[１，３）上单调递减．又y＝log４x在（0，＋∞）上单调递增，所以f（x）的单调递增区间是（—１，１），单调递减区间是[１，３）．（２）若f（x）的最小值为0，则h（x）＝ax２＋２x＋３应有最小值１，因此应有错误!解得a＝错误!.故实数a的值为错误!.错误!解与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤１．（２0１9·高考全国卷Ⅰ）已知a＝log２0．２，b＝２0．２，c＝0．２0．３，则（）Ａ．a＜b＜cＢ．a＜c＜bＣ．c＜a＜bＤ．b＜c＜a解析：选B.因为a＝log２0．２<log２１＝0，b＝２0．２>２0＝１，c＝0．２0．３<0．２0＝１且c>0，所以a<c<b，故选Ｂ．２．设函数f（x）＝错误!则满足f（x）≤２的x的取值范围是（）Ａ．[—１，２] Ｂ．[0，２]Ｃ．[１，＋∞）Ｄ．[0，＋∞）解析：选Ｄ．当x≤１时，２１—x≤２，解得x≥0，所以0≤x≤１；当x>１时，１—log２x≤２，解得x≥错误!，所以x>１．综上可知x≥0．思想方法系列４分类讨论思想研究指数、对数函数的性质已知函数f（x）＝log a（２x—a）（a>0且a≠１）在区间[错误!，错误!]上恒有f（x）>0，则实数a的取值范围是（）Ａ．（错误!，１）Ｂ．[错误!，１）Ｃ．（错误!，１）Ｄ．[错误!，１）【解析】当0<a<１时，函数f（x）在区间[错误!，错误!]上是减函数，所以log a（错误!—a）>0，即0<错误!—a<１，解得错误!<a<错误!，故错误!<a<１；当a>１时，函数f（x）在区间[错误!，错误!]上是增函数，所以log a（１—a）>0，即１—a>１，解得a<0，此时无解．综上所述，实数a的取值范围是（错误!，１）．【答案】A错误!本题利用了分类讨论思想，在研究指数、对数函数的性质时，常对底数a的值进行分类讨论，实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想．已知函数y＝a２x＋２a x—１（a>0，且a≠１），当x≥0时，求函数的值域．解：y＝a２x＋２a x—１，令t＝a x，则y＝g（t）＝t２＋２t—１＝（t＋１）２—２．当a>１时，因为x≥0，所以t≥１，所以当a>１时，y≥２．当0<a<１时，因为x≥0，所以0<t≤１．因为g（0）＝—１，g（１）＝２，所以当0<a<１时，—１<y≤２．综上所述，当a>１时，函数的值域是[２，＋∞）；当0<a<１时，函数的值域是（—１，２]．[基础题组练]１．函数y＝错误!的定义域是（）Ａ．[１，２] Ｂ．[１，２）Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｃ．由错误!即错误!解得x≥错误!.故选Ｃ．２．若函数y＝f（x）是函数y＝a x（a>0且a≠１）的反函数，且f（２）＝１，则f（x）＝（）Ａ．log２xＢ．错误!Ｃ．log错误!xＤ．２x—２解析：选Ａ．由题意知f（x）＝log a x（a>0且a≠１），因为f（２）＝１，所以log a２＝１，所以a ＝２．所以f（x）＝log２x.故选Ａ．３．（２0２0·东北三省四市一模）若a＝log２错误!，b＝0．４8，c＝ln ２，则a，b，c的大小关系是（）Ａ．a<c<bＢ．a<b<cＣ．c<b<aＤ．b<c<a解析：选Ｂ．a＝log２错误!<log２１＝0，即a<0，b＝0．４8<0．４<错误!，又0．４8>0，所以0<b<错误!，c＝ln ２＝ln错误!>ln错误!＝错误!，即c>错误!，所以a<b<c.故选Ｂ．４．设函数f（x）＝log a|x|在（—∞，0）上单调递增，则f（a＋１）与f（２）的大小关系是（）Ａ．f（a＋１）>f（２）Ｂ．f（a＋１）<f（２）Ｃ．f（a＋１）＝f（２）Ｄ．不能确定解析：选Ａ．由已知得0<a<１，所以１<a＋１<２，又易知函数f（x）为偶函数，故可以判断f（x）在（0，＋∞）上单调递减，所以f（a＋１）>f（２）．５．（２0２0·河南平顶山模拟）函数f（x）＝log a|x＋１|（a>0，a≠１），当x∈（—１，0）时，恒有f（x）>0，则（）Ａ．f（x）在（—∞，0）上是减函数Ｂ．f（x）在（—∞，—１）上是减函数Ｃ．f（x）在（0，＋∞）上是增函数Ｄ．f（x）在（—∞，—１）上是增函数解析：选D.由题意，函数f（x）＝log a|x＋１|（a>0且a≠１），则说明函数f（x）关于直线x＝—１对称，当x∈（—１，0）时，恒有f（x）>0，即|x＋１|∈（0，１），f（x）>0，则0<a<１．又u＝|x ＋１|在（—∞，—１）上是减函数，在（—１，＋∞）上是增函数，结合复合函数的单调性可知，f（x）在（—∞，—１）上是增函数，选Ｄ．6．已知函数y＝log a（x—１）（a>0，a≠１）的图象过定点A，若点A也在函数f（x）＝２x＋b的图象上，则f（log２３）＝．解析：由题意得A（２，0），因此f（２）＝４＋b＝0，b＝—４，从而f（log２３）＝３—４＝—１．答案：—１7．若函数f（x）＝log a x（0<a<１）在区间[a，２a]上的最大值是最小值的３倍，则a的值为．解析：因为0<a<１，所以函数f（x）是定义域上的减函数，所以f（x）max＝log a a＝１，f（x）min ＝log a２a，所以１＝３log a２a⇒a＝（２a）３⇒8a２＝１⇒a＝错误!.答案：错误!8．已知函数f（x）＝log a（ax—３）在[１，３]上单调递增，则a的取值范围是．解析：由于a>0，且a≠１，所以u＝ax—３为增函数，所以若函数f（x）为增函数，则f（x）＝log a u必为增函数，所以a>１．又u＝ax—３在[１，３]上恒为正，所以a—３>0，即a>３．答案：（３，＋∞）9．已知函数f（x—３）＝log a错误!（a>0，a≠１）．（１）求f（x）的解析式；（２）判断f（x）的奇偶性，并说明理由．解：（１）令x—３＝u，则x＝u＋３，于是f（u）＝log a错误!（a>0，a≠１，—３<u<３），所以f（x）＝log a错误!（a>0，a≠１，—３<x<３）．（２）因为f（—x）＋f（x）＝log a错误!＋log a错误!＝log a１＝0，所以f（—x）＝—f（x），又定义域（—３，３）关于原点对称．所以f（x）是奇函数．１0．设f（x）＝log a（１＋x）＋log a（３—x）（a>0且a≠１），且f（１）＝２．（１）求实数a的值及f（x）的定义域；（２）求f（x）在区间错误!上的最大值．解：（１）因为f（１）＝２，所以log a４＝２（a>0，a≠１），所以a＝２．由错误!得—１<x<３，所以函数f（x）的定义域为（—１，３）．（２）f（x）＝log２（１＋x）＋log２（３—x）＝log２[（１＋x）（３—x）]＝log２[—（x—１）２＋４]，所以当x∈（—１，１]时，f（x）是增函数；当x∈（１，３）时，f（x）是减函数，故函数f（x）在错误!上的最大值是f（１）＝log２４＝２．[综合题组练]１．（２0２0·河南新乡二模）已知函数f（x）＝log３（9x＋１）＋mx是偶函数，则不等式f（x）＋４x<log３２的解集为（）Ａ．（0，＋∞）Ｂ．（１，＋∞）Ｃ．（—∞，0）Ｄ．（—∞，１）解析：选Ｃ．由f（x）＝log３（9x＋１）＋mx是偶函数，得f（—x）＝f（x），即log３（9—x＋１）＋m（—x）＝log３（9x＋１）＋mx，变形可得m＝—１，即f（x）＝log３（9x＋１）—x，设g（x）＝f（x）＋４x＝log３（9x＋１）＋３x，易得g（x）在R上为增函数，且g（0）＝log３（90＋１）＝log３２，则f（x）＋４x<log３２⇒g（x）<g（0），则有x<0，即不等式的解集为（—∞，0）．故选Ｃ．２．设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a<b<１0，则abc的取值范围是．解析：由题意知，在（0，１0）上，函数y＝|lg x|的图象和直线y＝c有两个不同交点，所以|lg a|＝|lg b|，又因为y＝lg x在（0，＋∞）上单调递增，且a<b<１0，所以lg a＝—lg b，所以lg a＋lg b＝0，所以ab＝１，0<c<lg １0＝１，所以abc的取值范围是（0，１）．答案：（0，１）３．已知函数f（x）＝lg错误!，其中x>0，a>0．（１）求函数f（x）的定义域；（２）若对任意x∈[２，＋∞）恒有f（x）>0，试确定a的取值范围．解：（１）由x＋错误!—２>0，得错误!>0．因为x>0，所以x２—２x＋a>0．当a>１时，定义域为（0，＋∞）；当a＝１时，定义域为（0，１）∪（１，＋∞）；当0<a<１时，定义域为（0，１—错误!）∪（１＋错误!，＋∞）．（２）对任意x∈[２，＋∞）恒有f（x）>0，即x＋错误!—２>１对x∈[２，＋∞）恒成立，即a>—x２＋３x对x∈[２，＋∞）恒成立，记h（x）＝—x２＋３x，x∈[２，＋∞），则只需a>h（x）max.而h（x）＝—x２＋３x＝—错误!错误!＋错误!在[２，＋∞）上是减函数，所以h（x）max＝h（２）＝２，故a>２．。

逻辑思维 应用性 数学运算 数学运算
运算求解 综合性 逻辑推理 数学运算
运算求解 创新性 逻辑推理
考题
考点
考向
关键能力 考查要求 核心素养
2021新高 函数奇偶性 利用奇偶性求 运算求解 基础性 数学运算
考Ⅰ，13 与周期性 解参数的值
2021新高 函数奇偶性 函数奇偶性的 运算求解 基础性 数学运算
(2)如果两个函数的定义域相同，并且___对__应__关__系___完全一致，则这
两个函数为相等函数．
3．函数的表示法 表示函数的常用方法有___解__析__法___、图象法和列表法．
知识点二 分段函数 1．若函数在其定义域的不同子集上，因对函数称为分段函数．分段函数表示的是一个 函数． 2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于 各段函数的值域的__并__集____.
第一讲 函数的概念及其表示
知识梳理 · 双基自测
知识梳理 知识点一 函数的概念及其表示 1．函数的概念
函数
两个集合A，B
设A，B是两个__非__空__数__集____
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中 对应关系f：A→B 的__任__意____一个数x，在集合B中都有__唯__一__确__定___
x (5)函数 y＝ x－1定义域为 x>1.( × )
题组二 走进教材 2．(必修1P67T1改编)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}， 值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( B )
[解析] A中函数的定义域不是[－2,2]；C中图象不表示函数；D中 函数的值域不是[0,2]．
的定义域为x2<x<3，且x≠52 .

第二节对数函数第六课时导入新课思路1.复习指数函数与对数函数的关系，那么函数y＝a x与函数y＝log a x到底还有什么关系呢？这就是本堂课的新内容——反函数，教师板书课题：对数函数及其性质(3)．思路2.在比较系统地学习对数函数的定义、图象和性质的基础上，利用对数函数的图象和性质研究一些含有对数式的、形式上比较复杂的函数的图象和性质，特别明确了对数函数的单调性，并且我们通过对数函数的单调性解决了有关问题．因此，应搞清y＝a x与函数y＝log a x的关系，培养学生综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力．教师点出课题：对数函数及其性质(3)．推进新课新知探究提出问题①用列表描点法在同一个直角坐标系中画出x＝log2y、y＝2x与y＝log2x的函数图象．②通过图象探索在指数函数y＝2x中，x为自变量，y为因变量，如果把y当成自变量，x当成因变量，那么x是y的函数吗？③如果是，那么对应关系是什么？如果不是，请说明理由．④探索y＝2x与x＝log2y的图象间的关系．⑤探索y＝2x与y＝log2x的图象间的关系．⑥结合②与⑤推测函数y＝a x与函数y＝log a x的关系．x图7②在指数函数y＝2x中，x是自变量，y是x的函数(x∈R，y∈R＋)，而且其在R上是单调递增函数．过y轴的正半轴上任意一点作x轴的平行线，与y＝2x的图象有且只有一个交点，即对任意的y都有唯一的x相对应，可以把y作为自变量，x作为y的函数．③由指数式与对数式的关系，y＝2x得x＝log2y，即对于每一个y，在关系式x＝log2y 的作用之下，都有唯一确定的值x和它对应，所以，可以把y作为自变量，x作为y的函数，即x＝log2y.这时我们把函数x＝log2y〔y∈(0，＋∞)〕叫做函数y＝2x(x∈R)的反函数，但习惯上，通常以x表示自变量，y表示函数，对调x＝log2y中的x，y写成y＝log2x，这样y＝log2x〔x∈(0，＋∞)〕是指数函数y＝2x(x∈R)的反函数．由上述讨论可知，对数函数y ＝log2x〔x∈(0，＋∞)〕是指数函数y＝2x(x∈R)的反函数；同时，指数函数y＝2x(x∈R)也是对数函数y＝log2x〔x∈(0，＋∞)〕的反函数．因此，指数函数y＝2x(x∈R)与对数函数y＝log2x〔x∈(0，＋∞)〕互为反函数．以后，我们所说的反函数是x，y对调后的函数．如y＝log3x，x∈(0，＋∞)与y＝3x(x∈R)互为反函数，y＝log0.5x与y＝0.5x(x∈R)互为反函数．④从我们的列表中知道，y＝2x与x＝log2y的函数图象相同．⑤通过观察图象可知，y＝2x与y＝log2x的图象关于直线y＝x对称．⑥通过②与⑤类比归纳知道，y＝a x(a>0，且a≠1)的反函数是y＝log a x(a＞0且a≠1)，且它们的图象关于直线y＝x对称．由反函数的概念可知，同底的指数函数和对数函数互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x对称．提出问题用计算机在同一坐标系中作出下列函数的图象：①y＝log3x；②y＝log3x＋；③y＝log3x－从图象上观察它们之间有什么样的关系？用计算机在同一坐标系中作出下列函数的图象：①y＝log3x；②y＝log3x＋1；③y ＝log3x－从图象上观察它们之间有什么样的关系？你能推广到一般的情形吗？活动：学生动手画出函数图象，教师点拨，学生没有思路教师可以提示．学生回忆函数作图的方法与步骤，按规定作出图象，特别是关键点．讨论结果：(1)如图8.图8(2)观察图8可以看出，y＝log3x，y＝log3(x＋1)，y＝log3(x－1)的图象间有如下关系：y＝log3(x＋1)的图象由y＝log3x的图象向左移动1个单位得到；y＝log3(x－1)的图象由y＝log3x的图象向右移动1个单位得到；y＝log3(x－1)的图象由y＝log3(x＋1)的图象向右移动2个单位得到；y＝log3(x＋1)的图象由y＝log3(x－1)的图象向左移动2个单位得到．(3)如图9.图9(4)观察图9可以看出，y＝log3x，y＝log3x＋1，y＝log3x－1的图象间有如下关系：y＝log3x＋1的图象由y＝log3x的图象向上平移1个单位得到；y＝log3x－1的图象由y＝log3x的图象向下平移1个单位得到；y＝log3x－1的图象由y＝log3x＋1的图象向下平移2个单位得到；y＝log3x＋1的图象由y＝log3x－1的图象向上平移2个单位得到．(5)由上面的观察讨论可知，一般情况如下：①由函数y＝log a x的图象得到函数y＝log a(x＋h)的图象的变化规律为：当h＞0时，只需将函数y＝log a x的图象向左平移h个单位就可得到函数y＝log a(x＋h)的图象；当h＜0时，只需将函数y＝log a x的图象向右平移|h|个单位就可得到函数y＝log a(x＋h)的图象．②由函数y＝log a x的图象得到函数y＝log a x＋b的图象的变化规律为：当b ＞0时，只需将函数y ＝log a x 的图象向上平移b 个单位就可得到函数y ＝log a x ＋b 的图象；当b ＜0时，只需将函数y ＝log a x 的图象向下平移|b |个单位就可得到函数y ＝log a x ＋b 的图象．③由函数y ＝log a x 的图象得到函数y ＝log a (x ＋h )＋b 的图象的变化规律为：画出函数y ＝log a x 的图象，先将函数y ＝log a x 的图象向左(当h ＞0时)或向右(当h ＜0时)平移|h |个单位，可得到函数y ＝log a (x ＋h )的图象，再将函数y ＝log a (x ＋h )的图象向上(当b ＞0时)或向下(当b ＜0时)平移|b |个单位就可得到函数y ＝log a (x ＋h )＋b 的图象．这样我们就可以很方便地将函数y ＝log a x 的图象进行平移得到与函数y ＝log a x 有关的函数图象．那么，你能很方便地由函数y ＝log a x 的图象得到函数y ＝log a |x |的图象吗？留作思考练习，同学们课下完成．应用示例例1 已知a >0，a ≠1，f (log a x )＝ax 2－1x a 2－(x >0)． (1)求f (x )的表达式；(2)求证：函数f (x )在R 上是增函数．活动：学生审题，教师指导，学生有困难，教师提示，并及时评价．(1)把log a x 看成一个整体，利用换元法处理．利用指数与对数的关系，求出log a x 中的x ，然后代入求解．(2)证明函数的增减性要用函数单调性的定义．学生回顾单调性的证明方法与步骤，要按规定的格式书写．(1)解：设t ＝log a x ，则x ＝a t ，f (t )＝a ·a 2t －1a t a 2－. 所以f (x )＝a ·a 2x －1a x a 2－. (2)证明：设x 1，x 2∈R ，x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝a ·a 2x 1－1ax 1a 2－－a ·a 2x 2－1ax 2a 2－＝ax 1－ax 2a ·ax 1·ax 2＋ax 1ax 2a 2－， 当a >1时，ax 1－ax 2<0，a 2－1>0，当0<a <1时，ax 1－ax 2>0，a 2－1<0，而ax 1ax 2及a ·ax 1·ax 2＋1均为正，所以对一切a >0，a ≠1，总有f (x 1)<f (x 2)．所以f (x )在R 上是增函数．点评：换元法是解题常用的数学方法，要注意体会．例2 已知F (x )＝f (x )－g (x )，其中f (x )＝log a (x －1)，并当且仅当(x 0，y 0)在f (x )的图象上时，点(2x 0,2y 0)在y ＝g (x )的图象上．(1)求y ＝g (x )的解析式；(2)当x 在什么范围时，F (x )≥0?活动：学生仔细审题，积极思考，探讨解题方法，教师及时提示引导．(1)由已知函数的解析式利用代入法求函数的解析式．由于P 0(x 0，y 0)与P 1(2x 0,2y 0)是相关的，如果我们能把y ＝g (x )上的点P 1(2x 0,2y 0)的坐标通过变换，表示为P 0(x 0，y 0)的坐标的相关形式，代入即可，也称相关点法；(2)求字母的取值范围一般是转化为不等式．在(1)的基础上，求出F (x )，由F (x )≥0得不等式，根据不等式的类型来解．解：(1)由点(x 0，y 0)在y ＝log a (x －1)的图象上，得y 0＝log a (x 0－1)．令2x 0＝u,2y 0＝v ，则x 0＝u 2，y 0＝v 2， 所以v 2＝log a (u 2－1)，即v ＝2log a (u 2－1)． 由(2x 0,2y 0)在y ＝g (x )的图象上，即(u ，v )在y ＝g (x )的图象上，故y ＝g (x )＝2log a (x 2－1)． (2)F (x )＝f (x )－g (x )＝log a (x －1)－2log a (x 2－1)， 当a >1时，由F (x )≥0，可解得2<x ≤4＋22，当0<a <1时，由F (x )≥0，可解得x ≥4＋2 2.点评：(1)注意求函数解析式的方法，特别是相关点法．(2)解对数不等式，当底数是字母时，应分情况求解，注意分类讨论的数学思想的运用． 知能训练已知集合M ＝{x |x <3}，N ＝{x |log 2x >1}，则M ∩N 等于( )A ．∅B ．{x |0<x <3}C ．{x |1<x <3}D ．{x |2<x <3}答案：D拓展提升对于区间[m ，n ]上有意义的两个函数f (x )与g (x )，如果对任意的x ∈[m ，n ]，均有|f (x )－g (x )|≤1，则称f (x )与g (x )在[m ，n ]上是接近的，否则称f (x )与g (x )在[m ，n ]上是非接近的．现有两个函数f 1(x )＝log a (x －3a )与f 2(x )＝log a 1x －a(a ＞0，a ≠1)，给定区间[a ＋2，a ＋3]．(1)若f 1(x )与f 2(x )在给定区间[a ＋2，a ＋3]上都有意义，求a 的取值范围；(2)讨论f 1(x )与f 2(x )在给定区间[a ＋2，a ＋3]上是否是接近的．活动：学生读题，理解题目的含义，教师引导学生，及时提示，严格把握新信息f (x )与g (x )在[m ，n ]上是接近的定义解题．解：(1)依题意a ＞0，a ≠1，a ＋2－3a ＞0，a ＋2－a ＞0，所以0＜a ＜1.(2)|f 1(x )－f 2(x )|＝|log a (x 2－4ax ＋3a 2)|.令|f 1(x )－f 2(x )|≤1，得－1≤log a (x 2－4ax ＋3a 2)≤1.①因为0＜a ＜1，又[a ＋2，a ＋3]在x ＝2a 的右侧，所以g (x )＝log a (x 2－4ax ＋3a 2)在[a ＋2，a ＋3]上为减函数．从而g (x )max ＝g (a ＋2)＝log a (4－4a )，g (x )min ＝g (a ＋3)＝log a (9－6a )， 于是①成立，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ log a －4a ，log a －6a －1，0<a <1.解此不等式组得0<a ≤9－5712. 故当0<a ≤9－5712时，f 1(x )与f 2(x )在给定区间[a ＋2，a ＋3]上是接近的； 当a ＞9－5712且a ≠1时，f 1(x )与f 2(x )在给定区间[a ＋2，a ＋3]上是非接近的． 课堂小结1．互为反函数的概念及其图象间的关系．2．对数函数图象的平移变换规律．3．本节课又复习了对数函数的图象与性质，借助对数函数的性质的运用，我们对函数的单调性和奇偶性又进行了复习巩固，利用单调性和奇偶性解决了一些问题，对常考的函数图象的变换进行了学习，要高度重视，在不断学习中总结规律．4．指数、对数函数图象性质对比．作业课本习题2.2B 组 1、4、5.设计感想学生已经比较系统地掌握了对数函数的定义、图象和性质，因此本堂课首先组织学生回顾函数的通性，以及有关指数型函数的图象的变化规律以及与指数式有关的复合函数的奇偶性、单调性的讨论方法与步骤，为学生用类比法学习作好方法上的准备．由于本节课是本单元的最后一节，内容比较综合，量也较大，所以应响应高考要求，抓住关键，强化细节，努力使学生掌握与高考相适应的知识与能力，做到与高考接轨．备课资料指导学生学习的方法集锦1．科学家培根的“酿蜜法”：我们不应该像蚂蚁一样单只收集，也不应该像蜘蛛一样光会在肚里抽丝，而应该像蜜蜂一样采百花酿甜蜜．2．理学家朱熹的“三到法”：读书有三到：心到、眼到、口到．3．教育家孔子的“学思结合法”：学而不思则罔，思而不学则殆．4．小说家巴尔扎克的“反问法”：打开一切科学的钥匙是问号．5．作家列夫·托尔斯泰的“思维法”：只有靠积极思维得来的才是真正的知识．6．心理学家洛克的“多少法”：学识广博的诀窍是：一下子不要学很多的东西．7．生理学家巴甫洛夫的“循序渐进法”：要想一下全知道，就意味着什么也不会知道．8．文学家伏尔泰的“再读法”：重新再读一本旧书，就仿佛与老友重逢．9．文学家欧阳修的“三上法”：马上，枕上，厕上．10．历史学家陈恒的“读目法”：读书先读目录，心中有数．11．学问家王盛鸣的“竭泽法”：知识如鱼，目录如网，要学会用网在书海中打捞．12．天文学家哥白尼的“合精法”：要善于集合相近学科的理论精华．13．教育家布鲁纳的“兴趣法”：学习的最好刺激，乃是对所学材料的兴趣．14．国学家章学诚的“切己法”：不切己者，虽泰山而不顾．15．科学家巴斯德的“坚持法”：使我达到目的的奥秘是我的坚持精神．16．孟轲的“独立思考法”：尽信书不如无书．17．短篇小说家马克·吐温的“专注法”：只要能专注，就能取得连自己都会吃惊的成就．18．史学家顾炎武的“新旧法”：每年用三个月复习旧知识，其余时间学新书．。