(完整版)上海市虹口区2019届高三一模数学卷版(附详细答案)(最新整理)

2019年上海市虹口区高考数学一模试卷一、填空题1. 计算________．【答案】【考点】极限及其运算【解析】当时，，由则可得解．【解答】＝．2. 不等式的解集是________ （用区间表示）．【答案】【考点】一元二次不等式的解法【解析】先将移项，然后通分，利用同解变形将不等式化为，利用二次不等式的解法求出解集．【解答】解：不等式同解于：，即，即，解得，所以不等式的解集是．故答案为：．3. 设全集________＝________，若________＝，________＝，则________（________）＝________【答案】,,,,,,,,,【考点】交、并、补集的混合运算【解析】可解出，然后进行交集、补集的运算即可．【解答】＝；∴＝；∴＝．4. 设常数________，若函数________________＝________+________的反函数的图象经过点，则________＝________．【答案】,,,,,,【考点】反函数【解析】反函数图象过，等价于原函数的图象过，代点即可求得．【解答】依题意知：＝的图象过，∴＝，解得＝．5. 若一个球的表面积是，则它的体积是________．【答案】【考点】球的体积和表面积【解析】由球的表面积是，求出球半径为，由此能求出球的体积．【解答】解：设球的半径为，∵球的表面积是，∴，解得，∴球的体积．故答案为：．6. 函数________________＝________________的值域为________，．【答案】,,,,[函数的值域及其求法【解析】直接利用对勾函数的单调性即可求解函数的最大与最小值，从而可求值域【解答】由对勾函数的单调性可知，＝在上单调递减，在上单调递增∴当＝时，函数有最小值，∵＝，＝当＝时，函数有最大值＝故函数的值域为7. 二项式的展开式中的常数项为________．【答案】【考点】二项式定理的应用【解析】求出二项式的通项公式，令的幂指数等于，求出的值，即可得到展开式中的常数项．【解答】解：二项式的通项公式为，令，解得．故常数项为，故答案为．8. 双曲线的焦点到渐近线的距离为________．【答案】【考点】双曲线的特性【解析】先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．【解答】解：由题得：其焦点坐标为，．渐近线方程为，即，所以焦点到其渐近线的距离．故答案为：．9. 若复数________．（为虚数单位），则的模的最大值为【考点】复数的模二阶行列式的定义【解析】由已知展开二阶行列式，求得复数模，利用倍角公式降幂后求最值．【解答】∵＝，∴．10. 已知个实数，，，________，________，________，________依次构成等比数列，若从这个数中任取个，则他们的和为正数的概率为________．【答案】,,,,【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】这个实数为，，，，，，，根据概率公式计算即可．【解答】由题意可得，这个实数为，，，，，，，①所选个数均为正数：＝，②所选个一正一负：，，，，，，共种，∴，11. 如图，已知半圆________的直径________＝，________是等边三角形，若点________是边________（包含端点________）上的动点，点________在弧上，且满足________________，则的最小值为________．【答案】,,,,,,,,,【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】由题意可得，，结合向量数量积的几何意义可知，当与重合时，在上的投影最短，代入可求【解答】∵，∴，∵半圆的直径＝，是等边三角形，且边长为，由题意可得，，由数量积的几何意义可知，当与重合时，在上的投影最短，此时＝．12. 若直线________＝________与曲线________＝________恰有两个公共点，则实数________的取值范围为________．【答案】,,,,,【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】＝即，观察＝与＝可得恰有两个公共点的的取值范围为：＝【解答】＝，即，则＝与＝恰有两个公共点的的取值范围为：＝或，二、选择题已知，则“”是“”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】A【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】由得：，再由“”与“”的关系判断即可【解答】由得：，又“”能推出“”又“”不能推出“”即“”是“”的充分非必要条件，关于三个不同平面，，与直线，下列命题中的假命题是（）A.若，则内一定存在直线平行于B.若与不垂直，则内一定不存在直线垂直于C.若，，，则D.若，则内所有直线垂直于【答案】D【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【解析】根据空间线面位置关系的判定和性质判断或距离说明．【解答】解：对于，假设，则内所有平行于的直线都平行，故正确；对于，假设内存在直线垂直于，则，与题设矛盾，故假设错误，故正确；对于，设，，在内任取一点，作于点，于点，则，，且、不可能共线．又，，∴，．又，，，∴．故正确．对于，假设，则内所有平行于的直线都平行，故错误．故选：．已知函数，函数，若函数恰好有个不同零点，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【考点】根的存在性及根的个数判断【解析】化函数恰好有个不同零点为函数与函数的图象有两个不同的交点，从而解得．【解答】解：∵，∴，而，作函数与函数的图象如下，，结合选项可知，实数的取值范围是，故选：．已知点是抛物线＝的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上，在中，若＝，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【考点】抛物线的性质【解析】设的倾斜角为，则，当取得最大值时，最小，此时直线与抛物线相切，将直线方程代入抛物线方程，＝，求得的值，即可求得的最大值．【解答】过（轴上方）作准线的垂线，垂足为，则由抛物线的定义可得＝，由＝，则中由正弦定理可知：则＝，∴＝，设的倾斜角为，则，当取得最大值时，最小，此时直线与抛物线相切，设直线的方程为＝，则，即＝，∴＝＝，∴＝，即＝，则，则的最大值为，三、解答题在如图所示的圆锥中，底面直径与母线长均为，点是底面直径所对弧的中点，点是母线的中点（1）求该圆锥的侧面积与体积；（2）求异面直线与所成角的大小．【答案】由题意得，＝，＝，，＝＝，侧取的中点，连接，，则或其补角即为所求，易证面，∴，，，∴，故异面直线与所成角的大小为．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）异面直线及其所成的角【解析】（1）直接利用公式代值求解即可；（2）需取中点，利用化异面直线为共面直线，找到异面直线所成角，求解较易．【解答】由题意得，＝，＝，，＝＝，侧取的中点，连接，，则或其补角即为所求，易证面，∴，，，∴，故异面直线与所成角的大小为．已知函数＝是定义在上的奇函数．（1）求实数的值及函数的值域；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．【答案】由＝，解得：＝，反之＝时，＝，＝，符合题意，故＝，由＝，时，，时，，故函数的值域是；＝在递增，故，故，故，令＝，，则随的增大而增大，最大值是，故实数的取值范围是．【考点】函数奇偶性的性质与判断函数恒成立问题【解析】（1）根据函数的奇偶性求出的值，检验即可；（2）问题转化为，令＝，，根据函数的单调性求出的范围即可．【解答】由＝，解得：＝，反之＝时，＝，＝，符合题意，故＝，由＝，时，，时，，故函数的值域是；＝在递增，故，故，故，令＝，，则随的增大而增大，最大值是，故实数的取值范围是．某城市的棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示，经过调研、规划确定，棚改规划用地区域近似为圆面，该圆的内接四边形区域是原棚户区建筑用地，测量可知边界＝＝，＝．＝．（1）求的长以及原棚户区建筑用地的面积；（2）因地理条件限制，边界，不能更变，而边界，可以调整，为了增加棚户区建筑用地的面积，请在弧上设计一点，使得棚户区改造后的新建筑用地（四边形）的面积最大，并求出这个面积的最大值．【答案】四边形中，＝，∴＝，即，解得，且＝；∴＝，∴建筑用地的面积为＝；设＝，＝，由余弦定理得＝，又＝＝，当且仅当＝时，等号成立；，得四边形所以，当且仅当＝，即为线段垂直平分线与弧交点时，面积最大，此时为等边三角形，面积最大，最大值为．【考点】函数最值的应用【解析】（1）由圆内接四边形对角互补，利用余弦定理求得的值，再求建筑用地的面积；（2）设＝，＝，利用余弦定理和基本不等式求得四边形面积的最大值．【解答】四边形中，＝，∴＝，即，解得，且＝；∴＝，∴建筑用地的面积为＝；设＝，＝，由余弦定理得＝，又＝＝，当且仅当＝时，等号成立；得，四边形所以，当且仅当＝，即为线段垂直平分线与弧交点时，面积最大，此时为等边三角形，面积最大，最大值为．设椭圆Γ：＝，点为其右焦点，过点的直线与椭圆Γ相交于点，．（1）当点在椭圆Γ上运动时，求线段的中点的轨迹方程；（2）如图，点的坐标为，若点是点关于轴的对称点，求证：点，，共线；（3）如图，点是直线＝上的任意一点，设直线，，的斜率分别为，，．求证：，，成等差数列．【答案】由椭圆方程可知，设，则，由点在椭圆Γ上，有．∴线段的中点的轨迹方程；证明：当的斜率存在时，设其方程为＝，，，将＝代入椭圆方程并化简得：＝．，．∵．∴＝，即，，共线．而当斜率不存在时，由椭圆对称性，，重合，结论显然成立，综上，，，共线；证明：设，，由（2）知，，∴＝．故，，成等差数列．【考点】轨迹方程椭圆的离心率【解析】（1）由椭圆方程可知，设，则，把的坐标代入椭圆Γ，即可求得线段的中点的轨迹方程；（2）当的斜率存在时，设其方程为＝，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系证明＝，即，，共线．而当斜率不存在时，由椭圆对称性，，重合，结论显然成立，可得，，共线；（3）设，然后证明＝即可证明，，成等差数列．【解答】由椭圆方程可知，设，则，由点在椭圆Γ上，有．∴线段的中点的轨迹方程；证明：当的斜率存在时，设其方程为＝，，，将＝代入椭圆方程并化简得：＝．，．∵．∴＝，即，，共线．而当斜率不存在时，由椭圆对称性，，重合，结论显然成立，综上，，，共线；证明：设，，由（2）知，，∴＝．故，，成等差数列．对于个实数构成的集合＝，记＝．已知由个正整数构成的集合＝满足：对于任意不大于的正整数，均存在集合的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于．（1）求，的值；（2）求证：“，，…，成等差数列”的充要条件是“”（3）若＝．求证：的最小值是，并求取最小值时，的最大值．【答案】∵由个正整数构成的集合＝满足：对于任意不大于的正整数，均存在集合的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于．∴＝，＝．证明：先证明必要性：∵＝，＝，，，…，成等差数列，∴＝，∴．再证充分性：∵，，，…，为正整数数列，∴＝，＝，，，…，，∴＝，∵，∴＝，＝,…,，∴，，…，成等差数列．先证明，＝,…,，假设存在，且为最小的正整数，由题意，则，∵，∴当时，不能等于集合的任何一个子集的所有元素之和，∴假设不成立，即＝,…,成立，∴＝＝，即，∴，∵＝，∴＝，若时，则当时，集合中不可能有不同元素之和为，∴，即，此时，可构造集合＝，∵当时，可以等于集合中若干个不同元素之和，∴当时，可以等于集合中若干个不同元素之和，…∴当时，可以等于集合中若干个不同元素之和，∴当时，可以等于集合中若干个不同元素之和，∴当时，可以等于集合，∴集合＝满足题设，∴当取最小值时，的最大值为．【考点】子集与真子集等差数列的性质数列的求和【解析】（1）由题意能求出＝，＝．（2）先证明必要性：推导出＝，从而．再证充分性：推导出＝，＝，，，…，，从而＝，从而，，…，成等差数列．（3）先证明，＝,…,，推导出当时，不能等于集合的任何一个子集的所有元素之和，再由反证法求出＝,…,成立，从而，，推导出，由此能求出当取最小值时，的最大值为．【解答】∵由个正整数构成的集合＝满足：对于任意不大于的正整数，均存在集合的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于．∴＝，＝．证明：先证明必要性：∵＝，＝，，，…，成等差数列，∴＝，∴．再证充分性：∵，，，…，为正整数数列，∴＝，＝，，，…，，∴＝，∵，∴＝，＝,…,，∴，，…，成等差数列．先证明，＝,…,，假设存在，且为最小的正整数，由题意，则，∵，∴当时，不能等于集合的任何一个子集的所有元素之和，∴假设不成立，即＝,…,成立，∴＝＝，即，∴，∵＝，∴＝，若时，则当时，集合中不可能有不同元素之和为，∴，即，此时，可构造集合＝，∵当时，可以等于集合中若干个不同元素之和，∴当时，可以等于集合中若干个不同元素之和，…∴当时，可以等于集合中若干个不同元素之和，∴当时，可以等于集合中若干个不同元素之和，∴当时，可以等于集合，∴集合＝满足题设，∴当取最小值时，的最大值为．。

（第11题图）虹口区2018学年度第一学期教学质量监控测试1.计算153lim ________.54n nnnn +→+∞-=+ 2. 不等式21xx >-的解集为_________. 3．设全集{}{}3,2,1,0,1,2log (1),U R A B x y x ==--==-若，则()U A B =I ð_______． 4. 设常数,a R ∈若函数()()3log f x x a =+的反函数的图像经过点()2,1，则a =_______. 5. 若一个球的表面积为4,π 则它的体积为________. 6. 函数8()f x x x=+[)(2,8)x ∈的值域为________. 7．二项式62x ⎫⎪⎭的展开式的常数项为________．8. 双曲线22143x y -=的焦点到其渐近线的距离为_________.9. 若复数z =sin 1cos i iθθ-（i 为虚数单位），则z 的模的最大值为_________. 10.已知7个实数1,2,4,,,,a b c d -依次构成等比数列，若从这7个数中任取2个，则它们的和为正数的概率为__________.11.如图，已知半圆O 的直径4,AB = OAC ∆是 等边三角形，若点P 是边AC （包含端点,A C ）上的动点，点Q 在弧»BC 上，且满足,OQ OP ⊥ 则OP BQ ⋅uur uu u r的最小值为__________.12.若直线y k x =与曲线2log (2)21x y x +=--恰有两个公共点，则实数k 的取值范围为________.二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得 5分，否则一律零分. 13.已知,x R ∈则“1233x -<”是“1x <”的 （ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件14．关于三个不同平面,,αβγ与直线l ，下列命题中的假命题是 ( )（第17题图）B（A ）若,αβ⊥则α内一定存在直线平行于β（B ）若αβ与不垂直，则α内一定不存在直线垂直于β （C ）若,,l αγβγαβ⊥⊥⋂=， 则l γ⊥ （D ）若,αβ⊥则α内所有直线垂直于β15．已知函数21,1,()1,(),11,1,1,x f x a x x g x x x x -≤-⎧⎪=-+=-<<⎨⎪≥⎩若函数()()y f x g x =-恰有两个零点，则实数a 的取值范围为 （ ）（A ）(0,)+∞ （B ）(,0)(0,1)-∞⋃ （C ）1(,)(1,)2-∞-⋃+∞ （D ）(,0)(0,2)-∞⋃16．已知点E 是抛物线2:2(0)C y p x p =>的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线C 的 焦点，点P 在抛物线C 上.在EFP ∆中，若sin sin EFP FEP μ∠=⋅∠，则μ的最大值为（）（A（B（C（D 三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.17．(本题满分14分) 本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分. 在如图所示的圆锥中，底面直径与母线长均为4， 点C 是底面直径AB 所对弧的中点，点D 是母线PA 的中点.（1）求该圆锥的侧面积与体积；（2）求异面直线AB 与CD 所成角的大小.18．（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分．已知函数16()1(0,1)x f x a a a a+=->≠+是定义在R 上的奇函数.(1)求实数a 的值及函数()f x 的值域；(2)若不等式 ()[]331,2x t f x x ⋅≥-∈在上恒成立，求实数t 的取值范围.19．(本题满分14分) 本题共2小题，每小题7分.（第19题图）某城市的棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示，经过调研、规划确定，棚改规划用地区域近似为圆面，该圆的内接四边形ABCD 区域是原棚户区建筑用地，测量可知边界2()3(),1().AB AD k m BC k m CD k m ====，(1) 求AC 的长及原棚户区建筑用地ABCD 的面积； （2）因地理条件限制，边界,AD DC 不能变更，而 边界,AB BC 可以调整，为了增加棚户区建筑用地的面积，请在弧 ¼ABC 上设计一点,P 使得棚户区改造后的 新建筑用地（四边形APCD ）的面积最大，并求出这 个面积最大值.20．（本题满分16分）本题共3小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分. 设椭圆22:1,2x y Γ+=点F 为其右焦点， 过点F 的直线与椭圆Γ相交于点,.P Q (1) 当点P 在椭圆Γ上运动时，求线段FP 的中点M 的轨迹方程；(2) 如图1，点R 的坐标为（2，0），若点S 是点P 关于x 轴的对称点，求证：点,,Q S R 共线；(3) 如图2，点T 是直线:2l x =上的任意一点，设直线,,PT FT QT 的斜率分别为,PT k,,FT QT k k 求证：,,PT FT QT k k k 成等差数列；（第20题图1）（第20题图2）21.(本题满分18分) 本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.对于()n n N *∈个实数构成的集合{}12,,,n E e e e =L ,记12E n S e e e =+++L .已知由n 个正整数构成的集合{}12,,,n A a a a =L 12(,3)n a a a n <<<≥L 满足:对于任意不大于A S 的正整数,m 均存在集合A 的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于.m （1）试求12,a a 的值；（第17题图）（2）求证：“12,,,n a a a L 成等差数列”的充要条件是“1(1)2A S n n =+”；（3）若2018A S =， 求证：n 的最小值为11；并求n 取最小值时，n a 的最大值.虹口区2018学年度第一学期期终教学质量监控测试高三数学 参考答案和评分标准 2018年12月一、填空题（本大题满分54分）本大题共12题，第1-6题，每空填对得4分;第7-12题，每空填对得5分. 请直接将结果填写在答题纸相应题号的空格内. 1．5 2．()1,2 3.{}1,2 4．8 5．43π6. )9⎡⎣ 7. 60 8 10．4711．2 12.(]{},01-∞⋃二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）13. A 14. D 15. B 16. C 三、解答题（本大题共5题，满分76分）17．(本题满分14分) 本题共2个小题，第1小题6分，第2小题8分.解：（1）由已知，得圆锥的底面半径为2OA =，高为OP = …… 2分 故该圆锥的侧面积为248S OA PA πππ=⋅⋅=⨯⨯=. …… 4分该圆锥的体积21()3V OA OP π=⋅⋅⋅=. …… 6分 （2）以直线,,OC OB OP 分别为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系，则相关点的坐标为(0,2,0)A -，(0,2,0),B(2,0,0),(0,0,(0,C P D -于是(0,4,0),(2,AB CD ==--u u u r u u u r (10)分故 cos ,4AB CD AB CD AB CD⋅<>===-⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u uu r u u u r 因此异面直线AB 与CD 所成角的大小为…… 14分 18．（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分． 解：（1）由()f x 是R 上的奇函数，知(0)0,f =610, 3.a a a-==+解得（第19题图）此时31(),31x x f x -=+故对于任意的3131,()()0,3131x x x x x R f x f x ----∈+-=+=++有即()f x 是R 上的奇函数；因此实数a 的值为3. …… 4分令31(),31x x f x y -==+则130,1x yy+=>-解得11,y -<<即函数()f x 的值域为()1,1.-…6分（2）解法1：由（1）知31(),31x x f x -=+于是不等式 ()33xt f x ⋅≥-可化为2(3)(2)3(3)0.x xt t -+⋅+-≤ …… 8分 令[][]33,9(1,2)x u x =∈∈因，则不等式2(2)(3)0u t u t -+⋅+-≤在[]3,9u ∈上恒成立.设2()(2)(3),g u u t u t =-+⋅+- 则()0g u ≤在[]3,9u ∈上恒成立， …… 10分等价于(3)0.(9)0g g ≤⎧⎨≤⎩即0(3)93(2)(3)015.15(9)819(2)(3)022t g t t t g t t t ≥⎧=-++-≤⎧⎪⇔⇔≥⎨⎨=-++-≤≥⎩⎪⎩因此，实数t 的取值范围为15,.2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭…… 14分 （2）解法2：由（1）知31(),31x x f x -=+当[]1,2x ∈时，()0.f x >于是不等式()33x t f x ⋅≥-可化为()233(33)(31)(31)44(31).313131x x xx xx x xt f x --+--≥===----- …… 10分令[][]312,8(1,2)x v x -=∈∈因，则由函数[]4()2,8v v vϕ=-在上递增知，max 15()(8).2v ϕϕ==故由max ()t v ϕ≥恒成立知，实数t 的取值范围为15,.2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭…… 14分19．(本题满分14分) 本题共2小题，每小题7分.解：（1）设,AC x =则由余弦定理，得2222222321cos ,cos .223221x x B D +-+-==⋅⋅⋅⋅由四边形ABCD 是圆内接四边形，得180,B D ∠+∠=︒ 故cos cos 0,B D +=从而2222222232107,223221x x x AC +-+-+=⇔==⋅⋅⋅⋅即……3分从而1cos =60=120.2B B D =⇒∠︒∠︒， ……5分故 11=+23sin 6021sin12022ABC ADC ABCD S S S ∆∆=⋅⋅⋅︒+⋅⋅⋅︒=四边形答：AC (km ）,原棚户区建筑用地ABCD 的面积为2)k m . ……7分（2）解法1：由条件及“同弧所对的圆周角相等”得60P B ∠=∠=︒.要使棚户区改造后的新建筑用地APCD 的面积更大，必须使APC ∆的面积最大，即点P 到AC 的距离最大，从而点P 在弦AC 的垂直平分线上，即.PA PC = ……10分于是APC ∆为等边三角形，2()AC = (12)分因此，棚户区改造后的新建筑用地APCD ADC S ∆==即当APC ∆为等边三角形时，新建筑用地APCD 2).k m ……14分（2）解法2：由条件及“同弧所对的圆周角相等”得60P B ∠=∠=︒.设1,(,0),sin .2APC PA u PC v u v S uv P ∆==>=⋅∠=则 ……9分在APC ∆中，由余弦定理，有222227=2cos (),4APC AC u v uv P u v uv uv ∆=+-⋅∠=+-≥==故APC S ∆≤当且仅当u v ==. (12)分因此，棚户区改造后的新建筑用地APCD面积的最大值为4424ADC S ∆+=+= 即当APC ∆为等边三角形时，新建筑用地APCD2).k m ……14分 20．（本题满分16分）本题共3小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分.（第20题图1）（第20题图2）解：（1）易知(1,0),F 设11(,),(,),M x y P x y 则由M 为线段FP 的中点，得11111212.022x x x x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩ ……2分 于是，由点11(,)P x y 在椭圆22:12x y Γ+=上，得 22(21)(2)12x y -+=，即点M 的轨迹方程为 22(21)82x y -+=. ……5分证：（2）当过点F 的直线与x 轴重合时，点P 与S 重合，点,Q S 分别为椭圆在x 轴的两个顶点，显然点,,Q S R 共线.当过点F 的直线与x 轴不重合时，设其方程为11221,(,),(,),x m y P x y Q x y =+且则11(,),S x y -由221,1,2x m y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)210m y my ++-=，显然0.∆> 所以 12122221,,22my y y y m m +=-=-++ 于是 22221111(2,)(1,),(2,)(1,),RQ x y my y RS x y my y =-=-=--=--u u u r u u u r故 22112211,,2121RQ RS y y y y k k x my x my --====---- (8)分所以21121221122()0,11(1)(1)RQ RS y y my y y y k k my my my my -+-=+==----即RQ RS k k =，因此点,,Q S R 共线. ……10分证：（3）由T 是直线:2l x =上的点，可设其坐标为(2,).t当过点F 的直线与x轴重合时，有(P Q 从而+2,,21PT QT FT tk k t k t ====-故 2.PT QT FS k k k += (12)分当过点F 的直线与x 轴不重合时，其方程为11221,(,),(,),x m y P x y Q x y =+且有11221122,,,212121PT QT FT y t y t y t y t tk k k t x my x my ----======----- 由(2)知12122221,,22my y y y m m +=-=-++ 于是 121221121221212121222222222()(1)()(1)2(1)()211(1)(1)()122(1)24(1)222222(1)122PT QT FTy t y t y t my y t my my y t m y y tk k my my my my m y y m y y m m t m tt m m m t k m m m m m ----+---++++=+==-----+++-+++++====+-++++即2,PT QT FS k k k +=综合上述，得,,PT FT QT k k k 成等差数列. ……16分21. (本题满分18分) 本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分. 解：（1）由条件，知A 1S ,1.A ≤∈必有又12n a a a <<<L 均为正整数，故1=1.a ……2分由条件，知A 2S ,≤故由A S 的定义及12n a a a <<<L 均为正整数，2,A ∈必有于是2=2.a……4分 证：（2）必要性 由“123,,,,n a a a a L 成等差数列”及12=1,=2a a 得=(1,2,,).i a i i n =L此时{}1,2,3,,1,A n n =-L ，满足题设条件；从而12112(1).2A n S a a a n n n =+++=+++=+L L ……7分 充分性 由条件知12n a a a <<<L ，且它们均为正整数，可得(1,2,,)i a i i n ≥=L ，故 112(1)2A S n n n ≥+++=+L 当且仅当(1,2,,)i a i i n ==L 时，上式等号成立. 于是当1(1)2A S n n =+时,=(1,2,,)i a i i n =L ，从而123,,,,n a a a a L 成等差数列. 因此 “123,,,,n a a a a L 成等差数列”的充要条件是“1(1)2AS n n =+”. ……10分 证：(3)由于n 元集合A 的非空子集的个数为21,n-故当10n =时,10211023,-=此时A的非空子集的元素之和最多表示出1023个不同的正整数,m 不符合要求. ……12分而用11个元素的集合{}1,2,4,8,1632641282565121024M =，，，，，，的非空子集的元素之和可以表示2047个正整数：1,232046,2047.L ,,, 因此当2018A S =时，n 的最小值为11. ……14分 当2018A S =，n 取最小值11时，设101210,S a a a =+++L 由题设得10112018,S a += 并且10111.S a +≥事实上，若10111,S a +<则101111112019201821,2S a a a =+<-⇒>由11,a N *∈故111010.a ≥此时101008,S ≤从而1009m =时，其无法用A 的非空子集的元素之和表示，与题意矛盾！于是由10112018,S a +=与10111,S a +≥可得 101111112019201821,2S a a a =+≥-⇒≤故由11,a N *∈得111009.a ≤ ……16分当11=1009a 时，用{}1,2,4,8,163264128256,498,1009A =，，，，的非空子集的元素之和可以表示出1,2,3，…，2017,2018中的每一个数.因此，当2018A S =时，n 的最小值为11，n a 的最大值为1009. ……18分。

2019年上海市宝山区高考数学一模试卷一、填空题（本题满分54分)本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分。

1．（4分）函数f（x）＝sin（﹣2x）的最小正周期为．2．（4分）集合U＝R，集合A＝{x|x﹣3＞0}，B＝{x|x+1＞0}，则B∩∁U A＝．3．（4分）若复数z满足（1+i）z＝2i（i是虚数单位），则．4．（4分）方程ln（9x+3x﹣1）＝0的根为．5．（4分）从某校4个班级的学生中选出7名学生参加进博会志愿者服务，若每个班级至少有一名代表，则各班级的代表数有种不同的选法．（用数字作答）6．（4分）关于x，y的二元一次方程的增广矩阵为，则x+y＝．7．（5分）如果无穷等比数列{a n}所有奇数项的和等于所有项和的3倍，则公比q ＝．8．（5分）函数y＝f（x）与y＝lnx的图象关于直线y＝﹣x对称，则f（x）＝．9．（5分）已知A（2，3），B（1，4），且（sin x，cos y），x，y∈（，），则x+y＝．10．（5分）将函数y的图象绕着y轴旋转一周所得的几何容器的容积是．11．（5分）张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在△ABC 中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知b＝2，∠A＝45°，求边c，显然缺少条件，若他打算补充a的大小，并使得c只有一解，a的可能取值是（只需填写一个适合的答案）12．（5分）如果等差数列{a n}，{b n}的公差都为d（d≠0），若满足对于任意n∈N*，都有b n﹣a n＝kd，其中k为常数，k∈N*，则称它们互为同宗”数列．已知等差数列{a n}中，首项a1＝1，公差d＝2，数列{b n}为数列{a n}的“同宗”数列，若（），则k＝．二、选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．（5分）若等式1+x+x2+x3＝a0+a1（1﹣x）+a2（1﹣x）2+a3（1﹣x）3对一切x∈R 都成立，其中a0，a1，a2，a3为实常数，则a0+a1+a2+a3＝（）A．2B．﹣1C．4D．114．（5分）“x∈[，]是“sin（arcsin）＝x”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分又非必要15．（5分）关于函数f（x）的下列判断，其中正确的是（）A．函数的图象是轴对称图形B．函数的图象是中心对称图形C．函数有最大值D．当x＞0时，y＝f（x）是减函数16．（5分）设点M、N均在双曲线C：1上运动，F1，F2是双曲线C的左、右焦点，||的最小值为（）A．2B．4C．2D．以上都不对三、解答题（本题满分76分）本大题共有5题，解答下列名题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤。

上海市虹口区2019-2020学年高考第一次大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC 的面积是( )A 3B ．2C 3D 3【答案】A【解析】【分析】先根据已知求出原△ABC 的高为AO 3△ABC 的面积.【详解】由题图可知原△ABC 的高为AO 3∴S △ABC ＝12×BC×OA ＝12×2×33 A 【点睛】本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 2．在空间直角坐标系O xyz -中，四面体OABC 各顶点坐标分别为：22(0,0,0),(0,0,2),3,0,0,3,033O A B C ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎭⎝⎭．假设蚂蚁窝在O 点，一只蚂蚁从O 点出发，需要在AB ，AC 上分别任意选择一点留下信息，然后再返回O 点．那么完成这个工作所需要走的最短路径长度是（ ）A ．2B ．1121-C 521+D ．23【答案】C【解析】【分析】将四面体OABC 沿着OA 劈开，展开后最短路径就是AOO '△的边OO '，在AOO '△中，利用余弦定理即可求解.【详解】将四面体OABC 沿着OA 劈开，展开后如下图所示：最短路径就是AOO '△的边OO '．易求得30OAB O AC '∠=∠=︒，由2AO =，233OB =433AB = 433AC =，22263BC OB OC =+=222cos 2AB AC BC BAC AB AC+-⇒∠=⋅ 161683333444233+-== 由余弦定理知2222cos OO AO AO AO AO OAO ''''=+-⋅⋅∠其中2AO AO '==，()321cos cos 608OAO BAC -'∠=︒+∠=∴2521,521OO OO ''=⇒=+故选：C【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理的内容，考查了学生的空间想象能力，属于中档题. 3．已知平行于x 轴的直线分别交曲线2ln 21,21(0)y x y x y =+=-≥于,A B 两点，则4AB 的最小值为（ ）A ．5ln 2+B ．5ln 2-C ．3ln 2+D ．3ln 2-【答案】A【解析】【分析】设直线为1122(0),(,)(,)y a a A x y B x y =>，用a 表示出1x ，2x ，求出4||AB ，令2()2ln f a a a =+-，利用导数求出单调区间和极小值、最小值，即可求出4||AB 的最小值．【详解】解：设直线为1122(0),(,)(,)y a a A x y B x y =>，则1ln 21a x =+，11(ln 1)2x a ∴=-， 而2x 满足2221a x =-，2212a x +∴= 那么()()22211144()4ln 122ln 22a AB x x a a a ⎡⎤+=-=--=+-⎢⎥⎣⎦设2()2ln f a a a =+-，则221()a f a a -'=，函数()f a 在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，所以minmin 42()25ln 22AB f a f ⎛⎫===+ ⎪ ⎪⎝⎭ 故选：A ．【点睛】本题考查导数知识的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导确定函数的最小值是关键，属于中档题．4．()()()()()*121311x x x nx n N+++⋅⋅⋅+∈的展开式中x 的一次项系数为（ ） A ．3n CB ．21nC + C ．1n n C -D ．3112n C + 【答案】B【解析】【分析】根据多项式乘法法则得出x 的一次项系数，然后由等差数列的前n 项和公式和组合数公式得出结论．【详解】由题意展开式中x 的一次项系数为21(1)122n n n n C +++++==L ． 故选：B ．【点睛】本题考查二项式定理的应用，应用多项式乘法法则可得展开式中某项系数．同时本题考查了组合数公式．5．若复数21z m mi =-+（m R ∈）在复平面内的对应点在直线y x =-上，则z 等于( )A ．1+iB ．1i -C ．1133i --D ．1133i -+ 【答案】C【解析】【分析】由题意得210m m -+=，可求得13m =，再根据共轭复数的定义可得选项. 【详解】 由题意得210m m -+=，解得13m =，所以1133z i =-+，所以1133z i =--， 故选：C.【点睛】本题考查复数的几何表示和共轭复数的定义，属于基础题.6．已知抛物线2:4(0)C y px p =>的焦点为F ，过焦点的直线与抛物线分别交于A 、B 两点，与y 轴的正半轴交于点S ，与准线l 交于点T ，且||2||FA AS =，则||||FB TS =（ ） A ．25 B ．2 C ．72D ．3 【答案】B【解析】【分析】过点A 作准线的垂线，垂足为M ，与y 轴交于点N ，由2FA AS =和抛物线的定义可求得TS ，利用抛物线的性质1122AF BF p+=可构造方程求得BF ，进而求得结果. 【详解】 过点A 作准线的垂线，垂足为M ，AM 与y 轴交于点N ，由抛物线解析式知：(),0F p ，准线方程为x p =-.2FA AS =Q ，13SA SF ∴=，133p AN OF ∴==，43AM p ∴=， 由抛物线定义知：43AF AM p ==，1223AS AF p ∴==，2SF p ∴=， 2TS SF p ∴==.由抛物线性质11212AF BF p p +==得：3114p BF p+=，解得：4BF p =， 422FB p TS p∴==. 故选：B .【点睛】本题考查抛物线定义与几何性质的应用，关键是熟练掌握抛物线的定义和焦半径所满足的等式. 7．若a R ∈，则“3a =”是“()51x ax +的展开式中3x 项的系数为90”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】【分析】求得()51x ax +的二项展开式的通项为15C k k k a x +⨯⋅,令2k =时,可得3x 项的系数为90,即25290C =a ⨯,求得a ,即可得出结果.【详解】若3a =则()()55=113x ax x x ++二项展开式的通项为+15C 3k k k x ⨯⋅,令13k +=,即2k =,则3x 项的系数为252C 3=90⨯,充分性成立;当()51x ax +的展开式中3x 项的系数为90,则有25290C =a ⨯,从而3a =±,必要性不成立.故选:B.【点睛】本题考查二项式定理、充分条件、必要条件及充要条件的判断知识,考查考生的分析问题的能力和计算能力,难度较易.8．已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=（ ）A ．21B ．42C ．63D ．84【答案】B【解析】由a 1+a 3+a 5=21得242421(1)21172a q q q q q ++=∴++=∴=∴a 3+a 5+a 7=2135()22142q a a a ++=⨯=，选B.9．在平面直角坐标系中，经过点P ，渐近线方程为y =的双曲线的标准方程为（ ）A ．22142-=x y B ．221714x y -= C ．22136x y -= D ．221147y x -=【答案】B【解析】【分析】 根据所求双曲线的渐近线方程为y 2x =±，可设所求双曲线的标准方程为222x y-=k ．再把点()22,2-代入，求得 k 的值，可得要求的双曲线的方程． 【详解】∵双曲线的渐近线方程为y 2x,=±∴设所求双曲线的标准方程为222x y -=k ．又()22,2-在双曲线上，则k=16-2=14,即双曲线的方程为222x y 14-=，∴双曲线的标准方程为22x y 1714-= 故选：B【点睛】本题主要考查用待定系数法求双曲线的方程，双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题．10．若x 、y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为（ ）A ．5B ．9C ．6D ．12【答案】C【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线32z x y =+，找出直线在y 轴上的截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算即可.【详解】 作出满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩的可行域如图阴影部分（包括边界）所示．由32z x y =+，得322z y x =-+，平移直线322z y x =-+，当直线322z y x =-+经过点()2,0时，该直线在y 轴上的截距最大，此时z 取最大值，即max 32206z =⨯+⨯=.故选：C.【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值，一般利用平移直线的方法找到最优解，考查数形结合思想的应用，属于基础题.11．音乐，是用声音来展现美，给人以听觉上的享受，熔铸人们的美学趣味．著名数学家傅立叶研究了乐声的本质，他证明了所有的乐声都能用数学表达式来描述，它们是一些形如sin a bx 的简单正弦函数的和，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．由乐声的数学表达式可知，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．下列函数中不能与函数0.06sin180000y t =构成乐音的是（ ） A ．0.02sin 360000y t =B ．0.03sin180000y t =C ．0.02sin181800y t =D ．0.05sin 540000y t = 【答案】C【解析】【分析】由基本音的谐波的定义可得12()f nf n *=∈N ,利用12f T ωπ==可得12()n n ωω*=∈N ,即可判断选项. 【详解】由题,所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍,称为基本音的谐波, 由12f T ωπ==,可知若12()f nf n *=∈N ,则必有12()n n ωω*=∈N , 故选:C【点睛】本题考查三角函数的周期与频率,考查理解分析能力.12．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若33a =-，77S =-，则n S 的最小值为（ ）A ．12-B ．15-C ．16-D ．18-【答案】C【解析】【分析】根据已知条件求得等差数列{}n a 的通项公式，判断出n S 最小时n 的值，由此求得n S 的最小值.【详解】依题意11237217a d a d +=-⎧⎨+=-⎩，解得17,2a d =-=，所以29n a n =-.由290n a n =-≤解得92n ≤，所以前n 项和中，前4项的和最小，且4146281216S a d =+=-+=-.故选：C【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式和前n 项和公式的基本量计算，考查等差数列前n 项和最值的求法，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

（第11题图）虹口区2018学年度第一学期教学质量监控测试1.计算153lim ________.54n nnnn +→+∞-=+ 2. 不等式21xx >-的解集为_________. 3．设全集{}{}3,2,1,0,1,2log (1),U R A B x y x ==--==-若，则()U A B =I ð_______． 4. 设常数,a R ∈若函数()()3log f x x a =+的反函数的图像经过点()2,1，则a =_______. 5. 若一个球的表面积为4,π 则它的体积为________. 6. 函数8()f x x x=+[)(2,8)x ∈的值域为________. 7．二项式62x ⎫⎪⎭的展开式的常数项为________．8. 双曲线22143x y -=的焦点到其渐近线的距离为_________.9. 若复数z =sin 1cos i iθθ-（i 为虚数单位），则z 的模的最大值为_________. 10.已知7个实数1,2,4,,,,a b c d -依次构成等比数列，若从这7个数中任取2个，则它们的和为正数的概率为__________.11.如图，已知半圆O 的直径4,AB = OAC ∆是 等边三角形，若点P 是边AC （包含端点,A C ）上的动点，点Q 在弧»BC 上，且满足,OQ OP ⊥ 则OP BQ ⋅uur uu u r的最小值为__________.12.若直线y k x =与曲线2log (2)21x y x +=--恰有两个公共点，则实数k 的取值范围为________.二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得 5分，否则一律零分. 13.已知,x R ∈则“1233x -<”是“1x <”的 （ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件14．关于三个不同平面,,αβγ与直线l ，下列命题中的假命题是 ( )（第17题图）（A ）若,αβ⊥则α内一定存在直线平行于β（B ）若αβ与不垂直，则α内一定不存在直线垂直于β （C ）若,,l αγβγαβ⊥⊥⋂=， 则l γ⊥ （D ）若,αβ⊥则α内所有直线垂直于β15．已知函数21,1,()1,(),11,1,1,x f x a x x g x x x x -≤-⎧⎪=-+=-<<⎨⎪≥⎩若函数()()y f x g x =-恰有两个零点，则实数a 的取值范围为 （ ）（A ）(0,)+∞ （B ）(,0)(0,1)-∞⋃ （C ）1(,)(1,)2-∞-⋃+∞ （D ）(,0)(0,2)-∞⋃16．已知点E 是抛物线2:2(0)C y p x p =>的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线C 的 焦点，点P 在抛物线C 上.在EFP ∆中，若sin sin EFP FEP μ∠=⋅∠，则μ的最大值为（）（A（B（C（D 三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.17．(本题满分14分) 本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分. 在如图所示的圆锥中，底面直径与母线长均为4， 点C 是底面直径AB 所对弧的中点，点D 是母线PA 的中点.（1）求该圆锥的侧面积与体积；（2）求异面直线AB 与CD 所成角的大小.18．（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分．已知函数16()1(0,1)x f x a a a a+=->≠+是定义在R 上的奇函数.(1)求实数a 的值及函数()f x 的值域；(2)若不等式 ()[]331,2x t f x x ⋅≥-∈在上恒成立，求实数t 的取值范围.19．(本题满分14分) 本题共2小题，每小题7分.（第19题图）某城市的棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示，经过调研、规划确定，棚改规划用地区域近似为圆面，该圆的内接四边形ABCD 区域是原棚户区建筑用地，测量可知边界2()3(),1().AB AD k m BC k m CD k m ====，(1) 求AC 的长及原棚户区建筑用地ABCD 的面积； （2）因地理条件限制，边界,AD DC 不能变更，而 边界,AB BC 可以调整，为了增加棚户区建筑用地的面积，请在弧 ¼ABC 上设计一点,P 使得棚户区改造后的 新建筑用地（四边形APCD ）的面积最大，并求出这 个面积最大值.20．（本题满分16分）本题共3小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分. 设椭圆22:1,2x y Γ+=点F 为其右焦点， 过点F 的直线与椭圆Γ相交于点,.P Q (1) 当点P 在椭圆Γ上运动时，求线段FP 的中点M 的轨迹方程；(2) 如图1，点R 的坐标为（2，0），若点S 是点P 关于x 轴的对称点，求证：点,,Q S R 共线；(3) 如图2，点T 是直线:2l x =上的任意一点，设直线,,PT FT QT 的斜率分别为,PT k,,FT QT k k 求证：,,PT FT QT k k k 成等差数列；21.(本题满分18分) 本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.对于()n n N *∈个实数构成的集合{}12,,,n E e e e =L ,记12E n S e e e =+++L .已知由n 个正整数构成的集合{}12,,,n A a a a =L 12(,3)n a a a n <<<≥L 满足:对于任意不大于A S 的正整数,m 均存在集合A 的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于.m （1）试求12,a a 的值；（第20题图1）（第20题图2）（第17题图）（2）求证：“12,,,n a a a L 成等差数列”的充要条件是“1(1)2A S n n =+”；（3）若2018A S =， 求证：n 的最小值为11；并求n 取最小值时，n a 的最大值.虹口区2018学年度第一学期期终教学质量监控测试高三数学 参考答案和评分标准 2018年12月一、填空题（本大题满分54分）本大题共12题，第1-6题，每空填对得4分;第7-12题，每空填对得5分. 请直接将结果填写在答题纸相应题号的空格内. 1．5 2．()1,23. {}1,2 4．8 5．43π6. )9⎡⎣ 7. 60 8 10．4711．2 12.(]{},01-∞⋃二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）13. A 14. D 15. B 16. C 三、解答题（本大题共5题，满分76分）17．(本题满分14分) 本题共2个小题，第1小题6分，第2小题8分.解：（1）由已知，得圆锥的底面半径为2OA =，高为OP = …… 2分 故该圆锥的侧面积为248S OA PA πππ=⋅⋅=⨯⨯=. …… 4分该圆锥的体积21()3V OA OP π=⋅⋅⋅=. …… 6分 （2）以直线,,OC OB OP 分别为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系，则相关点的坐标为(0,2,0)A -，(0,2,0),B(2,0,0),(0,0,(0,C P D -于是(0,4,0),(2,AB CD ==--u u u r u u u r (10)分故cos ,AB CD AB CD AB CD⋅<>===⋅u u u r u u u ru u u r u u u r uu u r u u u r 因此异面直线AB 与CD 所成角的大小为…… 14分 18．（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分． 解：（1）由()f x 是R 上的奇函数，知(0)0,f =610, 3.a a a-==+解得（第19题图）此时31(),31x x f x -=+故对于任意的3131,()()0,3131x x x x x R f x f x ----∈+-=+=++有即()f x 是R 上的奇函数；因此实数a 的值为3. …… 4分令31(),31x x f x y -==+则130,1x yy+=>-解得11,y -<<即函数()f x 的值域为()1,1.-…6分（2）解法1：由（1）知31(),31x x f x -=+于是不等式 ()33xt f x ⋅≥-可化为2(3)(2)3(3)0.x xt t -+⋅+-≤ …… 8分 令[][]33,9(1,2)x u x =∈∈因，则不等式2(2)(3)0u t u t -+⋅+-≤在[]3,9u ∈上恒成立.设2()(2)(3),g u u t u t =-+⋅+- 则()0g u ≤在[]3,9u ∈上恒成立， …… 10分等价于(3)0.(9)0g g ≤⎧⎨≤⎩即0(3)93(2)(3)015.15(9)819(2)(3)022t g t t t g t t t ≥⎧=-++-≤⎧⎪⇔⇔≥⎨⎨=-++-≤≥⎩⎪⎩因此，实数t 的取值范围为15,.2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭…… 14分 （2）解法2：由（1）知31(),31x x f x -=+当[]1,2x ∈时，()0.f x >于是不等式()33xt f x ⋅≥-可化为()233(33)(31)(31)44(31).313131x x x x xx x xt f x --+--≥===----- …… 10分令[][]312,8(1,2)x v x -=∈∈因，则由函数[]4()2,8v v vϕ=-在上递增知，max 15()(8).2v ϕϕ==故由max ()t v ϕ≥恒成立知，实数t 的取值范围为15,.2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭…… 14分19．(本题满分14分) 本题共2小题，每小题7分.解：（1）设,AC x =则由余弦定理，得2222222321cos ,cos .223221x x B D +-+-==⋅⋅⋅⋅由四边形ABCD 是圆内接四边形，得180,B D ∠+∠=︒故cos cos 0,B D +=从而2222222232107,223221x x x AC +-+-+=⇔==⋅⋅⋅⋅即……3分从而1cos =60=120.2B B D =⇒∠︒∠︒， ……5分故 11=+23sin 6021sin12022ABC ADC ABCD S S S ∆∆=⋅⋅⋅︒+⋅⋅⋅︒=四边形答：AC (km ）,原棚户区建筑用地ABCD 的面积为2)k m . ……7分（2）解法1：由条件及“同弧所对的圆周角相等”得60P B ∠=∠=︒.要使棚户区改造后的新建筑用地APCD 的面积更大，必须使APC ∆的面积最大，即点P 到AC 的距离最大，从而点P 在弦AC 的垂直平分线上，即.PA PC = ……10分于是APC ∆为等边三角形，2()AC = (12)分因此，棚户区改造后的新建筑用地APCD ADC S ∆+==即当APC ∆为等边三角形时，新建筑用地APCD 2).k m ……14分（2）解法2：由条件及“同弧所对的圆周角相等”得60P B ∠=∠=︒.设1,(,0),sin .2APC PA u PC v u v S uv P ∆==>=⋅∠=则 ……9分在APC ∆中，由余弦定理，有222227=2cos ),APC AC u v uv P u v uv uv ∆=+-⋅∠=+-≥==故APC S ∆≤当且仅当u v ==. (12)分因此，棚户区改造后的新建筑用地APCD 面积的最大值为4424ADC S ∆+=+=即当APC ∆为等边三角形时，新建筑用地APCD 2).k m (14)20．（本题满分16分）本题共3小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分.解：（1）易知(1,0),F 设11(,),(,),M x y P x y 则由M 为线段FP 的中点，得11111212.022x x x x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩ ……2分 于是，由点11(,)P x y 在椭圆22:12x y Γ+=上，得 22(21)(2)12x y -+=，即点M 的轨迹方程为 22(21)82x y -+=. ……5分证：（2）当过点F 的直线与x 轴重合时，点P 与S 重合，点,Q S 分别为椭圆在x 轴的两个顶点，显然点,,Q S R 共线.当过点F 的直线与x 轴不重合时，设其方程为11221,(,),(,),x m y P x y Q x y =+且则11(,),S x y -由221,1,2x m y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)210m y my ++-=，显然0.∆> 所以 12122221,,22my y y y m m +=-=-++于是 22221111(2,)(1,),(2,)(1,),RQ x y my y RS x y my y =-=-=--=--u u u r u u u r故 22112211,,2121RQ RS y y y y k k x my x my --====---- (8)分所以21121221122()0,11(1)(1)RQ RS y y my y y y k k my my my my -+-=+==----即RQ RS k k =，因此点,,Q S R 共线. (10)（第20题图1）（第20题图2）证：（3）由T是直线:2l x=上的点，可设其坐标为(2,).t当过点F的直线与x轴重合时，有(P Q从而+2,,21PT QT FTtk k t k t====-故2.PT QT FSk k k+= (12)分当过点F的直线与x轴不重合时，其方程为11221,(,),(,),x m y P x y Q x y=+且有11221122,,,212121PT QT FTy t y t y t y t tk k k tx my x my----======-----由(2)知12122221,,22my y y ym m+=-=-++于是121221121221212121222222222()(1)()(1)2(1)()2 11(1)(1)()122(1)24(1)222222(1)122PT QTFTy t y t y t my y t my my y t m y y t k kmy my my my m y y m y ym m t mt t mm m t km m mm m----+---+++ +=+==-----+++-+++++====+-++++即2,PT QT FSk k k+=综合上述，得,,PT FT QTk k k成等差数列.……16分21. (本题满分18分)本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.解：（1）由条件，知A1S,1.A≤∈必有又12na a a<<<L均为正整数，故1=1.a……2分由条件，知A2S,≤故由AS的定义及12na a a<<<L均为正整数，2,A∈必有于是2=2.a……4分证：（2）必要性由“123,,,,na a a aL成等差数列”及12=1,=2a a得=(1,2,,).ia i i n=L此时{}1,2,3,,1,A n n=-L，满足题设条件；从而12112(1).2A nS a a a n n n=+++=+++=+L L……7分充分性 由条件知12n a a a <<<L ，且它们均为正整数，可得(1,2,,)i a i i n ≥=L ，故 112(1)2A S n n n ≥+++=+L 当且仅当(1,2,,)i a i i n ==L 时，上式等号成立. 于是当1(1)2A S n n =+时,=(1,2,,)i a i i n =L ，从而123,,,,n a a a a L 成等差数列. 因此 “123,,,,n a a a a L 成等差数列”的充要条件是“1(1)2A S n n =+”. ……10分证：(3)由于n 元集合A 的非空子集的个数为21,n-故当10n =时,10211023,-=此时A的非空子集的元素之和最多表示出1023个不同的正整数,m 不符合要求. ……12分而用11个元素的集合{}1,2,4,8,1632641282565121024M =，，，，，，的非空子集的元素之和可以表示2047个正整数：1,232046,2047.L ,,, 因此当2018A S =时，n 的最小值为11. ……14分 当2018A S =，n 取最小值11时，设101210,S a a a =+++L 由题设得10112018,S a += 并且10111.S a +≥事实上，若10111,S a +<则101111112019201821,2S a a a =+<-⇒>由11,a N *∈故111010.a ≥此时101008,S ≤从而1009m =时，其无法用A 的非空子集的元素之和表示，与题意矛盾！于是由10112018,S a +=与10111,S a +≥可得 101111112019201821,2S a a a =+≥-⇒≤故由11,a N *∈得111009.a ≤ ……16分当11=1009a 时，用{}1,2,4,8,163264128256,498,1009A =，，，，的非空子集的元素之和可以表示出1,2,3，…，2017,2018中的每一个数.因此，当2018A S =时，n 的最小值为11，n a 的最大值为1009. ……18分。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，属于有理数的是（）A. √3B. πC. 0.1010010001…D. -1/32. 函数y=2x+1在定义域内的（）A. 增函数B. 减函数C. 常数函数D. 无定义函数3. 已知等差数列{an}的公差d=3，若a1+a3+a5=27，则a2的值为（）A. 6B. 9C. 12D. 154. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则sinB的值为（）A. 3/5B. 4/5C. 3/4D. 4/35. 已知函数f(x)=x^3-3x+2，则f'(1)的值为（）A. -2B. -1C. 0D. 16. 下列命题中，正确的是（）A. 若两个向量垂直，则它们的点积为0B. 若两个向量的点积为0，则它们垂直C. 若两个向量的模相等，则它们平行D. 若两个向量的模相等，则它们垂直7. 已知复数z=2+3i，则|z|^2的值为（）A. 13B. 4C. 25D. 98. 在直角坐标系中，点P(2,3)关于直线y=x的对称点坐标为（）A. (3,2)B. (2,3)C. (-3,-2)D. (-2,-3)9. 下列不等式中，恒成立的是（）A. x^2+y^2>0B. x^2-y^2<0C. x^2+y^2=0D. x^2-y^2=010. 已知函数y=log2x，若y=3，则x的值为（）A. 2B. 4C. 8D. 16二、填空题（每题5分，共50分）11. 若sinA=1/2，cosB=3/5，且A、B均为锐角，则sin(A+B)的值为______。

12. 已知等比数列{an}的首项a1=2，公比q=3，则第10项an的值为______。

13. 已知函数f(x)=x^2-4x+4，则f(x)的对称轴方程为______。

14. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=5，b=7，c=12，则三角形ABC的面积S为______。

2019年上海市高考数学一模试卷一、填空题（共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）设集合A={x||x﹣2|＜1，x∈R}，集合B=Z，则A∩B=．2．（4分）函数y=sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=．3．（4分）设i为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为．4．（4分）若函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），则实数a=．5．（4分）已知（a+3b）n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n=．6．（4分）甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有种．7．若圆锥的侧面展开图是半径为2cm，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为cm3．8．若数列{a n}的所有项都是正数，且++…+=n2+3n（n∈N*），则（）=．9．如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为．10．有以下命题：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）的值域为{0}；②若函数f（x）是偶函数，则f（|x|）=f（x）；③若函数f（x）在其定义域内不是单调函数，则f（x）不存在反函数；④若函数f（x）存在反函数f﹣1（x），且f﹣1（x）与f（x）不完全相同，则f（x）与f﹣1（x）图象的公共点必在直线y=x上；其中真命题的序号是．（写出所有真命题的序号）11．设向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A、B、C三点共线，则+的最小值为．12．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为cm．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．“x＜2”是“x2＜4”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件14．若无穷等差数列{a n}的首项a1＜0，公差d＞0，{a n}的前n项和为S n，则以下结论中一定正确的是（）A．S n单调递增B．S n单调递减C．S n有最小值D．S n有最大值15．给出下列命题：（1）存在实数α使．（2）直线是函数y=sinx图象的一条对称轴．（3）y=cos（cosx）（x∈R）的值域是[cos1，1]．（4）若α，β都是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ．其中正确命题的题号为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）16．如果对一切实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[3，+∞）C．[﹣2，2]D．[﹣3，3]三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD与平面BCD 所成的角为30°，且AB=BC=2；（1）求三棱锥A﹣BCD的体积；（2）设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18．（14分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2．（I）求角A的大小；（II）若a=，b+c=3，求b和c的值．19．（14分）某地要建造一个边长为2（单位：km）的正方形市民休闲公园OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为（1，2），曲线OD是函数y=ax2图象的一部分，对边OA上一点M在区域OABD内作一次函数y=kx+b（k ＞0）的图象，与线段DB交于点N（点N不与点D重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN为绿化风景区：（1）求证：b=﹣；（2）设点P的横坐标为t，①用t表示M、N两点坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S=S（t），并求S的最大值．20．（16分）已知函数f（x）=9x﹣2a•3x+3：（1）若a=1，x∈[0，1]时，求f（x）的值域；（2）当x∈[﹣1，1]时，求f（x）的最小值h（a）；（3）是否存在实数m、n，同时满足下列条件：①n＞m＞3；②当h （a）的定义域为[m，n]时，其值域为[m2，n2]，若存在，求出m、n的值，若不存在，请说明理由．21．（18分）已知无穷数列{a n}的各项都是正数，其前n项和为S n，且满足：a1=a，rS n=a n a n+1﹣1，其中a≠1，常数r∈N；（1）求证：a n+2﹣a n是一个定值；（2）若数列{a n}是一个周期数列（存在正整数T，使得对任意n∈N*，都有a n+T=a n成立，则称{a n}为周期数列，T为它的一个周期，求该数列的最小周期；（3）若数列{a n}是各项均为有理数的等差数列，c n=2•3n﹣1（n∈N*），问：数列{c n}中的所有项是否都是数列{a n}中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例．参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．设集合A={x||x﹣2|＜1，x∈R}，集合B=Z，则A∩B={2} ．【考点】交集及其运算．【分析】利用交集定义求解．【解答】解：|x﹣2|＜1，即﹣1＜x﹣2＜1，解得1＜x＜3，即A=（1，3），集合B=Z，则A∩B={2}，故答案为：{2}【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意定义法的合理运用．2．函数y=sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=2．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据三角函数的周期性及其求法即可求值．【解答】解：∵y=sin（ωx﹣）（ω＞0），∴T==π，∴ω=2．故答案是：2．【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基础题．3．设i为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：复数===对应的点到原点的距离==．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．若函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），则实数a=3．【考点】反函数．【分析】由题意可得函数f（x）=log2（x+1）+a过（1，4），代入求得a的值．【解答】解：函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），即函数f（x）=log2（x+1）+a的图象经过点（1，4），∴4=log2（1+1）+a∴4=1+a，a=3．故答案为：3．【点评】本题考查了互为反函数的两个函数之间的关系与应用问题，属于基础题．5．已知（a+3b）n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n=6．【考点】二项式系数的性质．【分析】令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和，根据二项式系数和公式得到各项二项式系数的和2n，据已知列出方程求出n 的值．【解答】解：令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和4n 又各项二项式系数的和为2n据题意得，解得n=6．故答案：6【点评】求二项展开式的系数和问题一般通过赋值求出系数和；二项式系数和为2n．属于基础题．6．甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有60种．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】间接法：①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，作差可得答案．【解答】解：根据题意，采用间接法：①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C52C52=100，②两人所选两门都相同的有为C52=10种，都不同的种数为C52C32=30，故只恰好有1门相同的选法有100﹣10﹣30=60种．故答案为60．【点评】本题考查组合公式的运用，解题时注意事件之间的关系，选用间接法是解决本题的关键，属中档题．7．若圆锥的侧面展开图是半径为2cm，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为cm3．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得底面半径，进而求出圆锥的高，代入圆锥体积公式，可得答案．【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，由题意，得：2πr=π×2，解得r=．故圆锥的高h==，∴圆锥的体积V=πr2h=cm3．故答案为：．【点评】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．8．若数列{a n}的所有项都是正数，且++…+=n2+3n（n∈N*），则（）=2．【考点】数列的求和；极限及其运算．【分析】利用数列递推关系可得a n，再利用等差数列的求和公式、极限的运算性质即可得出．【解答】解：∵ ++…+=n2+3n（n∈N*），∴n=1时，=4，解得a1=16．n≥2时，且++…+=（n﹣1）2+3（n﹣1），可得：=2n+2，∴a n=4（n+1）2．=4（n+1）．∴（）==2．故答案为：2．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的求和公式、极限运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为．【考点】余弦定理．【分析】先根据余弦定理求出∠ADC的值，即可得到∠ADB的值，最后根据正弦定理可得答案．【解答】解：在△ADC中，AD=5，AC=7，DC=3，由余弦定理得cos∠ADC==﹣，∴∠ADC=120°，∠ADB=60°在△ABD中，AD=5，∠B=45°，∠ADB=60°，由正弦定理得，∴AB=故答案为：．【点评】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，在解决问题的过程中要灵活运用正弦定理和余弦定理．属基础题．10．有以下命题：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）的值域为{0}；②若函数f（x）是偶函数，则f（|x|）=f（x）；③若函数f（x）在其定义域内不是单调函数，则f（x）不存在反函数；④若函数f（x）存在反函数f﹣1（x），且f﹣1（x）与f（x）不完全相同，则f（x）与f﹣1（x）图象的公共点必在直线y=x上；其中真命题的序号是①②．（写出所有真命题的序号）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】①函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0．②利用偶函数的定义和性质判断．③利用单调函数的定义进行判断．④利用反函数的性质进行判断．【解答】解：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0，为常数函数，所以f（x）的值域是{0}，所以①正确．②若函数为偶函数，则f（﹣x）=f（x），所以f（|x|）=f（x）成立，所以②正确．③因为函数f（x）=在定义域上不单调，但函数f（x）存在反函数，所以③错误．④原函数图象与其反函数图象的交点关于直线y=x对称，但不一定在直线y=x上，比如函数y=﹣与其反函数y=x2﹣1（x≤0）的交点坐标有（﹣1，0），（0，1），显然交点不在直线y=x上，所以④错误．故答案为：①②．【点评】本题主要考查函数的有关性质的判定和应用，要求熟练掌握相应的函数的性质，综合性较强．11．设向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A、B、C三点共线，则+的最小值为8．【考点】基本不等式．【分析】A、B、C三点共线，则=λ，化简可得2a+b=1．根据+ =（+）（2a+b），利用基本不等式求得它的最小值【解答】解：向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，∴=﹣=（a﹣1，1），=﹣=（﹣b﹣1，2），∵A、B、C三点共线，∴=λ，∴，解得2a+b=1，∴+=（+）（2a+b）=2+2++≥4+2=8，当且仅当a=，b=，取等号，故+的最小值为8，故答案为：8【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，基本不等式的应用，属于中档题．12．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为13cm．【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】将三棱柱展开两次如图，不难发现最短距离是六个矩形对角线的连线，正好相当于绕三棱柱转两次的最短路径．【解答】解：将正三棱柱ABC﹣A1B1C1沿侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图如图所示，在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．由已知求得矩形的长等于6×2=12，宽等于5，由勾股定理d==13故答案为：13．【点评】本题考查棱柱的结构特征，空间想象能力，几何体的展开与折叠，体现了转化（空间问题转化为平面问题，化曲为直）的思想方法．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．“x＜2”是“x2＜4”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先求出x2＜4的充要条件，结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：由x2＜4，解得：﹣2＜x＜2，故x＜2是x2＜4的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题考察了充分必要条件，考察集合的包含关系，是一道基础题．14．若无穷等差数列{a n}的首项a1＜0，公差d＞0，{a n}的前n项和为S n，则以下结论中一定正确的是（）A．S n单调递增B．S n单调递减C．S n有最小值D．S n有最大值【考点】等差数列的前n项和．【分析】S n=na1+d=n2+n，利用二次函数的单调性即可判断出结论．【解答】解：S n=na1+d=n2+n，∵＞0，∴S n有最小值．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的求和公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．给出下列命题：（1）存在实数α使．（2）直线是函数y=sinx图象的一条对称轴．（3）y=cos（cosx）（x∈R）的值域是[cos1，1]．（4）若α，β都是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ．其中正确命题的题号为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）【考点】正弦函数的定义域和值域；两角和与差的正弦函数；正弦函数的对称性；余弦函数的定义域和值域．【分析】（1）利用辅助角公式将可判断（1）；（2）根据函数y=sinx图象的对称轴方程可判断（2）；（3）根据余弦函数的性质可求出y=cos（cosx）（x∈R）的最大值与最小值，从而可判断（3）的正误；（4）用特值法令α，β都是第一象限角，且α＞β，可判断（4）．【解答】解：（1）∵，∴（1）错误；（2）∵y=sinx图象的对称轴方程为，k=﹣1，，∴（2）正确；（3）根据余弦函数的性质可得y=cos（cosx）的最大值为y max=cos0=1，y min=cos（cos1），其值域是[cos1，1]，（3）正确；（4）不妨令，满足α，β都是第一象限角，且α＞β，但tanα＜tanβ，（4）错误；故选B．【点评】本题考查正弦函数与余弦函数、正切函数的性质，着重考查学生综合运用三角函数的性质分析问题、解决问题的能力，属于中档题．16．如果对一切实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[3，+∞）C．[﹣2，2]D．[﹣3，3]【考点】函数恒成立问题．【分析】将不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立转化为+≥asinx+1﹣sin2x恒成立，构造函数f（y）=+，利用基本不等式可求得f（y）=3，于是问题转化为asinx﹣sin2x≤2恒成立．通过对sinx＞0、sinx min＜0、sinx=0三类讨论，可求得对应情况下的实数a的取值范围，最后取其交集即可得到答案．【解答】解：∀实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立⇔+≥asinx+1﹣sin2x恒成立，令f（y）=+，则asinx+1﹣sin2x≤f（y）min，当y＞0时，f（y）=+≥2=3（当且仅当y=6时取“=”），f（y）=3；min当y＜0时，f（y）=+≤﹣2=﹣3（当且仅当y=﹣6时取“=”），f（y）max=﹣3，f（y）min不存在；综上所述，f（y）min=3．所以，asinx+1﹣sin2x≤3，即asinx﹣sin2x≤2恒成立．①若sinx＞0，a≤sinx+恒成立，令sinx=t，则0＜t≤1，再令g（t）=t+（0＜t≤1），则a≤g（t）min．由于g′（t）=1﹣＜0，所以，g（t）=t+在区间（0，1]上单调递减，因此，g（t）min=g（1）=3，所以a≤3；②若sinx＜0，则a≥sinx+恒成立，同理可得a≥﹣3；③若sinx=0，0≤2恒成立，故a∈R；综合①②③，﹣3≤a≤3．故选：D．【点评】本题考查恒成立问题，将不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立转化为+≥asinx+1﹣sin2x恒成立是基础，令f（y）=+，求得f （y）min=3是关键，也是难点，考查等价转化思想、分类讨论思想的综合运用，属于难题．三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）（2017•上海一模）如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD与平面BCD所成的角为30°，且AB=BC=2；（1）求三棱锥A﹣BCD的体积；（2）设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【分析】（1）由AB⊥平面BCD，得CD⊥平面ABC，由此能求出三棱锥A﹣BCD的体积．（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出异面直线AD与CM所成角的大小．【解答】解：（1）如图，因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD，又BC⊥CD，所以CD⊥平面ABC，因为AB⊥平面BCD，AD与平面BCD所成的角为30°，故∠ADB=30°，由AB=BC=2，得AD=4，AC=2，∴BD==2，CD==2，则V A﹣BCD====．（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，2，2），D（2，0，0），C（0，0，0），B（0，2，0），M（），=（2，﹣2，﹣2），=（），设异面直线AD与CM所成角为θ，则cosθ===．θ=arccos．∴异面直线AD与CM所成角的大小为arccos．【点评】本题考查了直线和平面所成角的计算，考查了利用等积法求点到面的距离，变换椎体的顶点，利用其体积相等求空间中点到面的距离是较有效的方法，此题是中档题．18．（14分）（2017•上海一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2．（I）求角A的大小；（II）若a=，b+c=3，求b和c的值．【考点】余弦定理；解三角形．【分析】（I）在△ABC中有B+C=π﹣A，由条件可得：4[1﹣cos（B+C）]﹣4cos2A+2=7，解方程求得cosA 的值，即可得到A的值．（II）由余弦定理及a=，b+c=3，解方程组求得b 和c的值．【解答】解：（I）在△ABC中有B+C=π﹣A，由条件可得：4[1﹣cos （B+C）]﹣4cos2A+2=7，（1分）又∵cos（B+C）=﹣cosA，∴4cos2A﹣4cosA+1=0．（4分）解得，∴．（6分）（II）由．（8分）又．（10分）由．（12分）【点评】本题主要考查余弦定理，二倍角公式及诱导公式的应用，属于中档题．19．（14分）（2017•上海一模）某地要建造一个边长为2（单位：km）的正方形市民休闲公园OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为（1，2），曲线OD 是函数y=ax2图象的一部分，对边OA上一点M在区域OABD内作一次函数y=kx+b（k＞0）的图象，与线段DB交于点N（点N不与点D 重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN 为绿化风景区：（1）求证：b=﹣；（2）设点P的横坐标为t，①用t表示M、N两点坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S=S（t），并求S的最大值．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）根据函数y=ax2过点D，求出解析式y=2x2；由，消去y得△=0即可证明b=﹣；（2）写出点P的坐标（t，2t2），代入①直线MN的方程，用t表示出直线方程为y=4tx﹣2t2，令y=0，求出M的坐标；令y=2求出N的坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S（t），利用基本不等式求出S的最大值．【解答】（1）证明：函数y=ax2过点D（1，2），代入计算得a=2，∴y=2x2；由，消去y得2x2﹣kx﹣b=0，由线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，得△=（﹣k）2﹣4×2×b=0，解得b=﹣；（2）解：设点P的横坐标为t，则P（t，2t2）；①直线MN的方程为y=kx+b，即y=kx﹣过点P，∴kt﹣=2t2，解得k=4t；y=4tx﹣2t2令y=0，解得x=，∴M（，0）；令y=2，解得x=+，∴N（+，2）；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数为S=S（t）=2×2﹣×2×[+（+）]=4﹣（t+）；由t+≥2•=，当且仅当t=，即t=时“=”成立，所以S≤4﹣2；即S的最大值是4﹣．【点评】本题考查了函数模型的应用问题，也考查了阅读理解能力，是综合性题目．20．（16分）（2017•上海一模）已知函数f（x）=9x﹣2a•3x+3：（1）若a=1，x∈[0，1]时，求f（x）的值域；（2）当x∈[﹣1，1]时，求f（x）的最小值h（a）；（3）是否存在实数m、n，同时满足下列条件：①n＞m＞3；②当h （a）的定义域为[m，n]时，其值域为[m2，n2]，若存在，求出m、n的值，若不存在，请说明理由．【考点】函数的最值及其几何意义；函数的值域．【分析】（1）设t=3x，则φ（t）=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，φ（t）的对称轴为t=a，当a=1时，即可求出f（x）的值域；（2）由函数φ（t）的对称轴为t=a，分类讨论当a＜时，当≤a ≤3时，当a＞3时，求出最小值，则h（a）的表达式可求；（3）假设满足题意的m，n存在，函数h（a）在（3，+∞）上是减函数，求出h（a）的定义域，值域，然后列出不等式组，求解与已知矛盾，即可得到结论．【解答】解：（1）∵函数f（x）=9x﹣2a•3x+3，设t=3x，t∈[1，3]，则φ（t）=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，对称轴为t=a．当a=1时，φ（t）=（t﹣1）2+2在[1，3]递增，∴φ（t）∈[φ（1），φ（3）]，∴函数f（x）的值域是：[2，6]；（Ⅱ）∵函数φ（t）的对称轴为t=a，当x∈[﹣1，1]时，t∈[，3]，当a＜时，y min=h（a）=φ（）=﹣；当≤a≤3时，y min=h（a）=φ（a）=3﹣a2；当a＞3时，y min=h（a）=φ（3）=12﹣6a．故h（a）=；（Ⅲ）假设满足题意的m，n存在，∵n＞m＞3，∴h（a）=12﹣6a，∴函数h（a）在（3，+∞）上是减函数．又∵h（a）的定义域为[m，n]，值域为[m2，n2]，则，两式相减得6（n﹣m）=（n﹣m）•（m+n），又∵n＞m＞3，∴m﹣n≠0，∴m+n=6，与n＞m＞3矛盾．∴满足题意的m，n不存在．【点评】本题主要考查二次函数的值域问题，二次函数在特定区间上的值域问题一般结合图象和单调性处理，是中档题．21．（18分）（2017•上海一模）已知无穷数列{a n}的各项都是正数，其前n项和为S n，且满足：a1=a，rS n=a n a n+1﹣1，其中a≠1，常数r ∈N；（1）求证：a n+2﹣a n是一个定值；（2）若数列{a n}是一个周期数列（存在正整数T，使得对任意n∈N*，都有a n+T=a n成立，则称{a n}为周期数列，T为它的一个周期，求该数列的最小周期；（3）若数列{a n}是各项均为有理数的等差数列，c n=2•3n﹣1（n∈N*），问：数列{c n}中的所有项是否都是数列{a n}中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例．【考点】数列递推式．【分析】（1）由rS n=a n a n+1﹣1，利用迭代法得：ra n+1=a n+1（a n+2﹣a n），由此能够证明a n+2﹣a n为定值．（2）当n=1时，ra=aa2﹣1，故a2=，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项，再由r＞0和r=0两种情况进行讨论，能够求出该数列的周期．（3）因为数列{a n}是一个有理等差数列，所以a+a=r=2（r+），化简2a2﹣ar﹣2=0，解得a是有理数，由此入手进行合理猜想，能够求出S n．【解答】（1）证明：∵rS n=a n a n+1﹣1，①∴rS n+1=a n+1a n+2﹣1，②②﹣①，得：ra n+1=a n+1（a n+2﹣a n），∵a n＞0，∴a n+2﹣a n=r．（2）解：当n=1时，ra=aa2﹣1，∴a2=，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项：a，r+，a+r，2r+，a+2r，3r+，…．当r＞0时，奇数项和偶数项都是单调递增的，所以不可能是周期数列，∴r=0时，数列写出数列的前几项：a，，a，，…．所以当a＞0且a≠1时，该数列的周期是2，（3）解：因为数列{a n}是一个有理等差数列，a+a+r=2（r+），化简2a2﹣ar﹣2=0，a=是有理数．设=k，是一个完全平方数，则r2+16=k2，r，k均是非负整数r=0时，a=1，a n=1，S n=n．r≠0时（k﹣r）（k+r）=16=2×8=4×4可以分解成8组，其中只有，符合要求，此时a=2，a n=，S n=，∵c n=2•3n﹣1（n∈N*），a n=1时，不符合，舍去．a n=时，若2•3n﹣1=，则：3k=4×3n﹣1﹣1，n=2时，k=，不是整数，因此数列{c n}中的所有项不都是数列{a n}中的项．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的定义与通项公式、数列的周期性性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

虹口区2019学年度第一学期期终学生学习能力诊断测试高三数学 试卷 2019年12月考生注意：1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.一、填空题（本大题满分54分）本大题共12题，第1-6题，每空填对得4分;第7-12题，每空填对得5分. 请直接将结果填写在答题纸相应题号的空格内.1. 设全集21,1,x U R A x x -⎧⎫==>⎨⎬⎩⎭若则U A =ð_______． 2．若复数31iz i-=+（i 为虚数单位），则z =_________. 3. 设,x R +∈则21x x ++的最小值为________. 4．若sin2cos 0,2cos 1x x x= 则锐角x =_________.5. 设等差数列{}n a 的前n 项和为274,12,8,n S a a S +==若则n a =_______.6. 抛物线26x y =的焦点到直线3410x y +-=的距离为________.7. 设6270127(21)(1),x x a a x a x a x --=++++L 则5________.a =8. 设1()f x -为函数2()log (41)x f x =-的反函数，则当1()2()f x f x -=时，x 的值为_______. 9. 已知,m n α是平面外的两条不同直线. 给出三个论断：①;m n ⊥②//;n α③.m α⊥以其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题（论断用序号表示）：________________.10. 的直角三角板拼在一起，则OD AB ⋅=u u u r u u u r _________.（第16题图）B11.如图，12,F F 分别是双曲线222:1x C y a-=的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别交于,A B 两点，若212,0,F A AB FB F B =⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r则双曲线C 的焦距12F F 为________. 12. 已知函数()f x 的定义域为(],0,2,()(2),R x f x x x ∈=-当时且对任意的,x R ∈均有 (2)2().f x f x += 若不等式15()2f x ≤在(],x a ∈-∞上恒成立，则实数a 的最大值为________.二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得 5分，否则一律零分.13.设,x R ∈则“11x -<”是“24x <”的 （ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件14．已知函数())cos(2)f x x x θθ=+++为偶函数，且在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，则θ的一个值可以是 （ ）（A ）6π （B ）3π （C ）23π （D ）23π- 15．已知函数()2,(),f x x g x x t =+=+定义函数(),()g(),()g(),()g().f x f x x F x x f x x ≤⎧=⎨>⎩当当若对任意的,x R ∈都有()(2)F x F x =-成立，则t 的取值为 （ ）（A ）4- （B ）2- （C ）0 （D ）216．正四面体ABCD 的体积为1，O 为其中心， 正四面体EFGH 与正四面体ABCD 关于点O 对称， 则这两个正四面体的公共部分的体积为 （ ） （A ）13（B ）12（C ）23 （D ）341（第18题图）三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.17．(本题满分14分) 本题共2小题，每小题7分. 在ABC ∆中，18,6,cos .3a b A ===- 求 （1）角B ； （2）BC 边上的高.18．(本题满分14分) 本题共3小题，第1小题4分，第2小题5分,第3小题5分. 如图，在圆柱1OO 中，它的轴截面11ABB A 是一个边长为2的正方形，点C 为棱1BB 的中点，点111C A B 为弧的中点. 求（1）异面直线11OC AC 与所成角的大小； （2）直线1CC 与圆柱1OO 底面所成角的大小； （3）三棱锥11C OAC -的体积.19．（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.某企业接到生产3000台某产品的甲、乙、丙3种部件的订单，每台产品需要这3种部件的数量分别为2，2，1（单位：件）.已知每个工人每天可生产甲部件6件，或乙部件3件，或丙部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这3种部件，生产乙部件的人数与生产甲部件的人数成正比例，比例系数为k （k 2≥为正整数）.（1）设生产甲部件的人数为x ，分别写出完成甲、乙、丙3种部件生产需要的时间； （2）假设这3种部件的生产同时开工，试确定正整数k 的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案.20．（本题满分16分）本题共3小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分. 已知两点12(0),0),F F 设圆O ：224x y +=与x 轴交于,A B 两点，且动点P 满足：以线段2F P 为直径的圆与圆O 相内切，如图所示.记动点P 的轨迹为Γ，过点2F 与x 轴不重合 的直线l 与轨迹Γ交于,M N 两点.(1) 求轨迹Γ的方程；(2) 设线段MN 的中点为Q ，直线OQ 与直线x =,R 求证：2F R l ⊥u u u u r ； （3）记,ABM ABN ∆∆的面积分别为12,,S S 求12S S -的最大值及此时直线l 的方程.21.(本题满分18分) 本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.在数列{}n a 中，1212210,,,,2m m m a m N a a a m *-+=∈且对任意的构成以为公差的等差数列.（1）求证：456,,a a a 成等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式；（3）设2222323,2n n nn S S n a a a =+++-L 试问是否存在极限？若存在，求出其值；若不存在，请说明理由.A虹口区2019学年度第一学期期终学生学习能力诊断测试高三数学 参考答案和评分标准 2019年12月一、填空题（本大题满分54分）本大题共12题，第1-6题，每题填对得4分;第7-12题，每题填对得5分.1．[]0,1 21 4．4π 5．23()n n N *-∈ 6.17. 36 8． 1 9.若①③，则② （或：若②③，则①） 10．1- 11 12.274二、选择题（本大题共 4题，每题5分，满分20分）13. A 14. D 15.A 16. B 三、解答题（本大题共5题，满分76分）17．（本题满分14分）本题共2小题，每小题7分． 解：（1）在ABC ∆中，由1cos ,sin 3A A =-=得…… 2分 由正弦定理，得6sin 3sin 8b AB a=== …… 5分 于是由角A 为钝角，知.4B π=…… 7分sinC sin()cosA)2A B =+=+=（） 因…… 10分设ABC ∆的BC 边上的高为h,则由11sin ,22ABC S ah ab C ∆==得sin 64h b C === 即ABC ∆的BC 边上的高等于4 …… 14分 18．(本题满分14分) 本题共3小题，第1小题4分，第2小题5分,第3小题5分.解：（1）以点O 为原点，直线1,OB OO 分别为,y z轴,建立空间直角坐标系，如图所示.则相关点的坐标为(0,0,0),(0,1,0),O B 1(0,1,2),B(0,1,1),C 111(0,1,2),(0,0,2),(1,0,2).A O C - 于是11(0,1,1),(1,1,0).OC AC ==u u u r u u u u r ……2分从而1111111cos ,,2OC A C OC A C OC A C ⋅<>===⋅u u u r u u u u ru u u r u u u u r u u u r u u u u r 因此，异面直线11OC AC 与所成角的大小为.3π……4分 （2）由于1(0,0,2)OO =u u u u r是圆柱1OO 底面的一个法向量,又1(1,1,1)CC =-u u u u r,……6分 设直线1CC 与圆柱1OO 底面所成角的大小为,θ 则111111sin cos ,=CC OO CC OO CC OO θ⋅=<>==⋅u u u u r u u u u ru u u u r u u u u r u u u u r u u u u r于是，直线1CC 与圆柱1OO底面所成角的大小为 …… 9分 （3）由于三棱锥11C OAC -的顶点11111,C OA C C O =到面的距离为 …… 11分 而 111111111322121121.2222OA C OAA OBC A B C ABB A S S S S S ∆∆∆∆=---=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=正方形故 1111111311.3322C OA C OA C V S O C -∆=⋅=⨯⨯= …… 14分 19．(本题满分14分) 本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.解：（1）设完成甲、乙、丙3种部件生产需要的时间（单位：天）分别为123(),(),(),T x T x T x 则由题意，得[]12323000100023000200030001500(),(),(),63()2200(1)200(1)T x T x T x x x k x kx k x k x⨯⨯======-+-+即123100020001500(),(),(),200(1)T x T x T x x kx k x===-+ ……4分 其中,,200(1)x kx k x -+均为1到200的正整数，且.k N *∈ ……6分（2）完成订单所用的时间为{}123()max (),(),(),f x T x T x T x =其定义域为2001,,,2.1x x x k N k k *⎧⎫≤<∈≥⎨⎬+⎩⎭且 由于1210002000(),()T x T x x kx ==均为减函数，31500()200(1)T x k x=-+为增函数，并注意到212()().T x T x k=……8分 （i ）当2k =时，12()(),T x T x =此时{}12310001500()max (),(),()max ,,2003f x T x T x T x x x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭其中{}166,.x x x N *≤≤∈且由13(),()T x T x 的单调性知，当100015002003x x =-时，()f x 取得最小值，解得400.9x =由于134002503004445,(44)T (44),(45)T (45),(44)(45).91113f f f f <<====<而故 当44x =时，完成订单任务所用的时间最短，最短时间为25011天. ……11分（ii ）当2k >时，12()(),T x T x > 由于,3,k N k *∈≥故此时3375()(),()50T x T x T x x≥=-且为增函数.于是 {}{}1311000375()max (),()max (),() = g()max ,.50f x T x T x T x T x x x x ⎧⎫=≥=⎨⎬-⎩⎭由1(),()T x T x 的单调性知，当100037550x x=-时，()g x 取得最小值，解得400.11x =由于134002502503752503637,(36)T (36),(37)T (37),119111311g g <<==>==>而此时完成订单任务的最短时间大于25011天.综上所述，当2k =时，完成订单任务所用时间最短，最短时间为25011天；此时生产甲、乙、丙3种部件的人数分别为44，88，68人. ……14分20．（本题满分16分）本题共3小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分. 解：（1）连结1,PF 设2PF 的中点为,C 则12.PF CO = 由圆C 与圆O 相内切，得 22,CO CF +=于是 1222()4,PF PF CO CF +=+= ……3分 因此，动点P 的轨迹是：以12,F F 为焦点，4为长轴长的椭圆；其方程为 22 1.4x y +=……5分证：（2）设直线l的方程为x my =并设1122(,),(,),M x yN x y 则由2244,x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 22(m 4)10,y ++-=得 故121221.4y y y y m +==-+从而1212()x x m y y+=++=于是Q……7分所以),OQ m=-u u u r于是直线40.OQ mx y+=的方程为由40,mx yx+=⎧⎪⎨=⎪⎩解得),R从而2)).F R m==-u u u u r由于直线l的法向量2(1,m)//,F R-u u u u r故2.F R l⊥u u u u r……10分解：（3）由（2）知121221.4y y y ym+==-+故111222112,2,22S AB y y S AB y y=⋅==⋅=……12分而120,y y<故12121222S S y y y y-=+=-=……14分由于12S S-最大时0,m≠故12mmS S-=≤=+当且仅当2m=时，等号成立.因此12maxS S-=此时直线l的方程为20,20.x y x y+=-或……16分21. (本题满分18分)本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.证：（1）因为1212210,,,,2m m ma m N a a a m*-+=∈且对任意的构成以为公差的等差数列.所以，当121321,0,22,24;m a a a a a===+==+=时当343542,4,48,412;m a a a a a===+==+=时……2分当565763,12,618,624.m a a a a a===+==+=时于是65543,2a aa a==故456,,a a a成等比数列. ……4分解：（2）由题意，对2121,4,m mm N a a m*+-∈-=任意的有于是2121212123311()()()(1)44(1)41042(1),2m m m m m a a a a a a a a m m m m m m ++---=-+-++-++=+-++⨯+=⋅=+L L结合10,a =得212(1)().m a m m m N +=+∈令121,,2n m n m -+==则得21112().222n n n n a n -+-=⋅⋅=为奇数 ……7分由题意，对2221,22(1)22,m m m N a a m m m m m *+∈=-=+-=任意的有 故对正偶数,n 有 222().22n n n a ==因此，数列{}n a 的通项公式为2221,(1)12().24,2n n n n n n a a n N n n *⎧-⎪--⎪==+∈⎨⎪⎪⎩为奇数,或为偶数,……10分 解：（3）对于任意的,k N *∈有22222221(2)4(21)44111112,22().22(1)2(1)21k k k k k k k a k a k k k k k k ++++====+=+-+++ ……12分下面分n 为偶数与奇数两种情况讨论：（i ）当n 为偶数时，设2(),n k k N *=∈22222,S a ==则当2k ≥时，222222242352124(2)35(21)111111()()22(1)(1)()()22231113142(1)2.22n k k k k S k k a a a a a a k k k n k n--⎡⎤=+++++++=+-+-+-++-⎢⎥-⎣⎦=-+-=--L L L 于是312.2nS n n-=-- ……15分（ii ）当n 为奇数时，设21(),n k k N *=+∈则当2k ≥时，222222242352124(2)35(21)111111()()22(1)()()2223111314(1)2.2121n k k k k S k k a a a a a a k k k n k n ++⎡⎤=+++++++=++-+-++-⎢⎥+⎣⎦=+-=--++L L L 于是312.21nS n n -=--+综上，得31,3,21231.2n n n S n n n ⎧--≥⎪⎪+-=⎨⎪--⎪⎩为奇数，为正偶数于是2n S n -存在极限，且3lim (2).2nn S n →+∞-=-……18分。

上海市虹口区2019-2020学年高考第一次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()sinx 12sinxf x =+的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（ ）①绕着x 轴上一点旋转180︒;②沿x 轴正方向平移;③以x 轴为轴作轴对称;④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称.A ．①③B ．③④C ．②③D ．②④ 【答案】D【解析】【分析】 计算得到()()2f x k f x π+=，22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数是周期函数，轴对称图形，故②④正确，根据图像知①③错误，得到答案.【详解】 ()sin 12sin x f x x=+，()()()()sin 2sin 212sin 212sin x k x f x k f x x k x πππ++===+++，k Z ∈， 当沿x 轴正方向平移2,k k Z π∈个单位时，重合，故②正确；co sin 2212co s s s 12in 2x f x x x x πππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-== ⎪+⎛⎫⎝⎭+- ⎪⎝⎭，co sin 2212co s s s 12in 2x f x x x x πππ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭+== ⎪+⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭， 故22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数关于2x π=对称，故④正确； 根据图像知：①③不正确；故选：D .本题考查了根据函数图像判断函数性质，意在考查学生对于三角函数知识和图像的综合应用.2．小王因上班繁忙，来不及做午饭，所以叫了外卖.假设小王和外卖小哥都在12：00~12：10之间随机到达小王所居住的楼下，则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率是（ ）A ．12B ．45C ．38D ．34【答案】C【解析】【分析】设出两人到达小王的时间，根据题意列出不等式组，利用几何概型计算公式进行求解即可.【详解】设小王和外卖小哥到达小王所居住的楼下的时间分别为,x y ，以12：00点为开始算起，则有5x y y x ≤⎧⎨-≤⎩，在平面直角坐标系内，如图所示：图中阴影部分表示该不等式组的所表示的平面区域，所以小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率为：11101010105532210108P ?创-创==´. 故选：C本题考查了几何概型中的面积型公式，考查了不等式组表示的平面区域，考查了数学运算能力. 3．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()3f x x x=+-．若0x ≤，则()0f x ≤的解集是（ ）A ．[2,1]--B ．(,2][1,0]-∞-⋃-C ．(,2][1,0)-∞-⋃-D ．(,2)(1,0]-∞-⋃- 【答案】B【解析】【分析】利用函数奇偶性可求得()f x 在0x <时的解析式和()0f ，进而构造出不等式求得结果.【详解】 ()f x Q 为定义在R 上的奇函数，()00f ∴=.当0x <时，0x ->，()23f x x x∴-=---， ()f x Q 为奇函数，()()()230f x f x x x x ∴=--=++<， 由0230x x x <⎧⎪⎨++≤⎪⎩得：2x -≤或10x -≤<； 综上所述：若0x ≤，则()0f x ≤的解集为(][],21,0-∞--U .故选：B .【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，涉及到利用函数奇偶性求解对称区间的解析式；易错点是忽略奇函数在0x =处有意义时，()00f =的情况.4．已知3ln 3,log ,log a b e c e π===，则下列关系正确的是（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】A【解析】【分析】首先判断,,a b c 和1的大小关系，再由换底公式和对数函数ln y x =的单调性判断,b c 的大小即可.【详解】因为ln3ln 1a e =>>，311log ,log ln 3ln b e c e ππ====，1ln3ln π<<，所以1c b <<，综上可得c b a <<.故选：A【点睛】本题考查了换底公式和对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．如图，平面四边形ACBD 中，AB BC ⊥，AB DA ⊥，1AB AD ==，2BC =，现将ABD △沿AB 翻折，使点D 移动至点P ，且PA AC ⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．8πB ．6πC ．4πD ．823π 【答案】C【解析】【分析】 由题意可得PA ⊥面ABC ，可知PA BC ⊥，因为AB BC ⊥，则BC ⊥面PAB ，于是BC PB ⊥.由此推出三棱锥P ABC -外接球球心是PC 的中点，进而算出2CP =，外接球半径为1，得出结果.【详解】解：由DA AB ⊥，翻折后得到PA AB ⊥，又PA AC ⊥，则PA ⊥面ABC ，可知PA BC ⊥．又因为AB BC ⊥，则BC ⊥面PAB ，于是BC PB ⊥，因此三棱锥P ABC -外接球球心是PC 的中点．计算可知2CP =，则外接球半径为1，从而外接球表面积为4π．故选：C.【点睛】本题主要考查简单的几何体、球的表面积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及创新意识，属于中档题．6．圆心为()2,1且和x 轴相切的圆的方程是（ ）A ．()()22211x y -+-=B ．()()22211x y +++=C ．()()22215x y -+-=D ．()()22215x y +++= 【答案】A【解析】【分析】求出所求圆的半径，可得出所求圆的标准方程.【详解】圆心为()2,1且和x 轴相切的圆的半径为1，因此，所求圆的方程为()()22211x y -+-=. 故选：A.【点睛】本题考查圆的方程的求解，一般求出圆的圆心和半径，考查计算能力，属于基础题.7．若函数32()39f x x ax x =++-在3x =-时取得极值，则a =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】【分析】对函数求导，根据函数在3x =-时取得极值，得到()30f '-=，即可求出结果.【详解】因为()3239f x x ax x =++-，所以()2323f x x ax =++'， 又函数()3239f x x ax x =++-在3x =-时取得极值， 所以()327630f a -=-+='，解得5a =.故选D【点睛】本题主要考查导数的应用，根据函数的极值求参数的问题，属于常考题型.8．某三棱锥的三视图如图所示，那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．0【答案】C【解析】【分析】 由三视图还原原几何体，借助于正方体可得三棱锥的表面中直角三角形的个数.【详解】由三视图还原原几何体如图，其中ABC ∆，BCD ∆，ADC ∆为直角三角形.∴该三棱锥的表面中直角三角形的个数为3.故选：C.【点睛】本小题主要考查由三视图还原为原图，属于基础题.9．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ）A ．12y x =B ．2x y =C ．12log y = xD ．1y x =- 【答案】C【解析】【分析】由每个函数的单调区间，即可得到本题答案.【详解】 因为函数12,2x y x y ==和1y x=-在(0,)+∞递增，而12log y x =在(0,)+∞递减. 故选：C【点睛】本题主要考查常见简单函数的单调区间，属基础题.10．下列函数中，既是奇函数，又在(0,1)上是增函数的是（ ）．A ．()ln f x x x =B ．()x x f x e e -=-C ．()sin 2f x x =D ．3()f x x x =- 【答案】B【解析】【分析】奇函数满足定义域关于原点对称且()()0f x f x +-=，在(0,1)上()'0f x ≥即可.【详解】A ：因为()ln f x x x =定义域为0x >，所以不可能时奇函数，错误；B ：()x x f x e e -=-定义域关于原点对称，且()()0x x x x f x f x e e e e --+-=-+-=满足奇函数，又()'0x x f x e e -=+>，所以在(0,1)上()'0f x ≥，正确；C ：()sin 2f x x =定义域关于原点对称，且()()sin 2sin 20f x f x x x +-=+-=满足奇函数，()'2cos2f x x =，在(0,1)上，因为()()'0'122cos20f f =⨯<，所以在(0,1)上不是增函数，错误；D ：3()f x x x =-定义域关于原点对称，且()()33()0f x f x x x x x +-=-+-+=， 满足奇函数，()2'31f x x =-在(0,1)上很明显存在变号零点，所以在(0,1)上不是增函数，错误； 故选：B【点睛】此题考查判断函数奇偶性和单调性，注意奇偶性的前提定义域关于原点对称，属于简单题目.11．复数z 满足()11i z i +=-，则z =（ ）A ．1i -B ．1i +C -D + 【答案】C【解析】【分析】 利用复数模与除法运算即可得到结果.【详解】解: )()())1111111222ii i z i i i i ---=====-+++-， 故选：C【点睛】本题考查复数除法运算，考查复数的模，考查计算能力，属于基础题.12．定义在R 上的函数()()f x x g x =+，()22(2)g x x g x =--+--，若()f x 在区间[)1,-+∞上为增函数，且存在20t -<<，使得(0)()0f f t ⋅<.则下列不等式不一定成立的是（ ）A ．()2112f t t f ⎛⎫++> ⎪⎝⎭B ．(2)0()f f t ->>C ．(2)(1)f t f t +>+D ．(1)()f t f t +>【答案】D【解析】【分析】 根据题意判断出函数的单调性，从而根据单调性对选项逐个判断即可．【详解】由条件可得(2)2(2)2()22()()f x x g x x g x x g x x f x --=--+--=--+++=+=∴函数()f x 关于直线1x =-对称；()f x Q 在[1-，)+∞上单调递增，且在20t -<<时使得(0)()0f f t <g ；又(2)(0)f f -=Q()0f t ∴<，(2)(0)0f f -=>，所以选项B 成立；223112()0224t t t ++-=++>Q ，21t t ∴++比12离对称轴远， ∴可得21(1)()2f t t f ++>，∴选项A 成立； 22(3)(2)250t t t +-+=+>Q ，|3||2|t t ∴+>+，∴可知2t +比1t +离对称轴远 (2)(1)f t f t ∴+>+，选项C 成立；20t -<<Q ，22(2)(1)23t t t ∴+-+=+符号不定，|2|t ∴+，|1|t +无法比较大小， (1)()f t f t ∴+>不一定成立．故选：D ．【点睛】本题考查了函数的基本性质及其应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。