人教课标版高中数学选修2-3《离散型随机变量及其分布列(第1课时)》教案-新版

2．1．2离散型随机变量的分布列一、【学习目标】知识目标1．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念。

2．掌握离散型随机变量的分布列的表示方法和基本性质。

能力目标1．在具体问题中能写出随机变量的取值，能列出概率分布列；2．培养学生独立思考问题的能力．情感、态度与价值观1加强师生情感交流，营造和谐课堂。

2在教学过程中让学生体会数学在生活的应用。

3充分发挥非智力因素在教学中的作用，增强学生对数学学习的兴趣二、【重点难点】重点：1.离散型随机变量概率分布列的概念。

2. 离散型随机变量分布列的表示方法和性质；难点：1.确定离散型随机变量的取值、随机变量所对应的概率2. 随机变量在某个范围内取值的概率的计算考点：1离散型随机变量及其分布列的概念2离散型随机变量的分布列的表示方法和基本性质3具体问题中能写出随机变量的取值，能列出概率分布列三、【知识链接】.1.随机变量的概念：如果____________________可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母__________________等表示2. 离散型随机变量的概念：对于随机变量可能取的值，可以按__________________，这样的随机变量叫做离散型随机变量3.对立事件定义.:其中必有一个发生的两个______叫做对立事件是,一种特殊的互斥事件4.互斥事件事件定义：A与事件B在任何一次试验中__________________四、【合作探究】引入对于一个随机试验，仅仅知道试验结果的取值是不够的，还要把握每一个结果发生概率的大小。

还要研究这些结果取值的平均数，这些结果取值的波动状态等等。

实例引入：在随机试验掷一枚骰子中，我们可以定义一个随机变量X , X 的值分别对应试验所得的点数.X能取那些值，X 取每个值的概率分别是多少？解：X的取值有1、2、3、4、5、6则列成表格形式X 1 2 3 4 5 6P归纳小结：该表不仅列出了随机变量X的所有取值．而且列出了X的每一个取值的概率．这样，我们就从概率的角度指出了随机变量在随机试验中取值的分布状况，为进一步研究随机现象奠定了基础，这就是今天我们要学习的内容——离散型随机变量的分布列离散型随机变量的分布列定义：一般地，设离散型随机变量X可能取的不同值为：,X取每一个x（ｉ=1，2，……）的概率,P（X=xｉ）=Ｐｉ.，以表格的形式表示如下：X …………P P P……P……此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称X 的分布列也可用P(X=xｉ）=P i=1,2,3 …n表示X的分布列合作探究1分布列的构成:⑴列出随机变量ξ的所有取值;⑵给出ξ的每一个取值的概率注：在具体问题中关键是要搞清楚什么是随机变量，随机变量能取哪些值，随机变量取值的概率是什么2分布列的性质:（1）请同学们思考随机变量概率的取值有什么特点呢(2) 请同学们思考P1+P2+…+Pn=？为什么（3）随机变量在某个范围内取值的概率等于随机变量在这个范围内取各个值得概率的和。

（一）创设情境设置问题情境：引出用数字表达的随机试验.姚明每次罚球具有一定的随机性，那么他三次罚球的得分结果可能是什么？（1）投进零个球——— 0分（2）投进一个球——— 1分（3）投进两个球——— 2分（4）投进三个球——— 3分教师提出问题，学生思考，引入课题.让学生由具体的熟悉的事物进行感知，激发求知兴趣，引入课题课题2.1.1 离散型随机变量的概念课时 1 授课时间主备人：教学目标知识与技能：理解随机变量和离散型随机变量的概念，能够运用随机变量表示随机事件，学会恰当的定义随机变量；过程与方法：在教学过程中，以不同的实际问题为导向，引导学生分析问题的特点，归纳问题的共性，提高理解分析能力和抽象概括能力；情感态度与价值观：通过列举生活中的实例，提高学生学习数学的积极性，使学生进一步感受到数学与生活的零距离，增强数学应用意识。

教学准备ppt重点难点教学重点：随机变量、离散型随机变量概念的理解及随机变量的实际应用；教学难点：对随机变量概念的透彻理解及对引入随机变量目的的认识。

教师活动学生活动设计意图课题：离散型随机变量（二）探究发现探究1：完成掷一枚骰子的试验，总结学生列举的随机试验的结果，归纳实际意义.对应可为：（1）一点对应数字1（2）两点对应数字2……以此类推，在这些随机试验中，可能出现的结果都可以用一个数来表示．这个数在随机试验前是否是预先确定的?在不同的随机试验中，结果是否不变?随机变量的定义：在一些试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量X叫做一个随机变量.探究2：在投掷一枚硬币的随机试验中，结果可以用数字来表示吗？（1）正面朝上对应数字1反面朝上对应数字0（2）正面朝上对应数字-1反面朝上对应数字1……如果投掷n此后，我们关心的是正面朝教师提出问题，引导学生根据第一个例子，去发现定义.猜想硬币投掷的表示结果类比，让学生自己探求随机试验的结果表示方法使学生了解用随机变量表示一个随。

离散型随机变量的概念》教学设计一、教材分析《离散型随机变量的概念》是人教A版《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-3》第二章随机变量及其分布的第一节离散型随机变量及其分布列的第一课时。

本章是在必修三中学习了基本的概率统计知识的基础上，进一步学习随机变量及其分布的知识。

本节内容一方面承接了必修三的知识；另一方面，掌握好这一节课将有助于后续的学习，因此它在知识体系上起着承上启下的作用。

随机变量是连接随机现象和实数空间的一座桥梁，从而使得更多的数学工具有了用武之地。

离散型随机变量是最简单的随机变量。

本节课主要通过离散型随机变量展示用实数空间刻画随机现象的方法。

二、学情分析学生在必修3概率一章中学习过的随机试验、随机事件、简单的概率模型和必修1中学习过的变量、函数、映射等知识是学习、领悟和“接纳”随机变量概念的重要知识基础，教学时应充分注意这一教学条件；另外，为更好地形成随机变量和离散型随机变量两个概念，教学中可借助媒体列举和展现丰富的实例和问题，以留给学生更多的时间思考和概括。

三、教学策略分析学生是教学的主体，本节课要给学生提供各种参与机会。

本课以情境为载体，以学生为主体，以问题为手段，激发学生观察思考、猜想探究的兴趣。

注重引导帮助学生充分体验“从实际问题到数学问题”的建构过程，培养学生分析问题、解决问题的能力。

四、目标分析1、知识与技能目标：理解随机变量和离散型随机变量的概念，能够运用随机变量表示随机事件，学会恰当的定义随机变量；2、过程与方法目标：在教学过程中，以不同的实际问题为导向，引导学生分析问题的特点，归纳问题的共性，提高理解分析能力和抽象概括能力；3、情感与态度目标：通过列举生活中的实例，提高学生学习数学的积极性，使学生进一步感受到数学与生活的零距离，增强数学应用意识。

五、教学重点与难点教学重点：随机变量、离散型随机变量概念的理解及随机变量的实际应用；教学难点：对随机变量概念的透彻理解及对引入随机变量目的的认识。

2.3 离散型随机变量的均值与方差（第1课时）一、教学目标1．核心素养通过对离散型随机变量的均值的学习，更进一步提高了学生的数学建模能力和数学运算能力．2．学习目标（1）通过实例，理解取得有限值的离散型随机变量的均值的概念；（2）能计算简单离散型随机变量的期望，并能解决一些实际问题.3．学习重点离散型随机变量的期望的概念、公式及其应用.4．学习难点灵活利用公式求期望.二、教学设计1．预习任务任务1阅读教材P60－P63，思考：何为加权平均、权数？随机变量的均值（数学期望）的定义是什么？它反应了什么？任务2根据数学期望的计算过程，可得到它的什么性质？任务3何为两点分布？如果随机变量服从两点分布，则其数学期望有什么特点？任务4随机变量均值与样本的平均值有何联系与区别？2．预习自测1．已知X的分布列为则E(X)等于()A．0.7 B．0.61 C．－0.3 D．02．设E(X)＝10，E(Y)＝3，则E(3X＋5Y)＝()A．45 B．40 C．30 D．153．若X ～B (4，12)，则E (X )的值为( )A ．4B ．2C ．1 D.12 （二）课堂设计 1．知识回顾（1）何为离散型随机变量． （2）离散型性随机变量的分布列． （3）何为样本平均值？怎么计算？．（4）我们预习本课的数学期望是怎么定义的？怎么计算？ 2.创设情境 引入新知前面我们学习了离散性随机变量分布列的概念，研究了一些简单离散型随机变量的分布，建立了二项分布、超几何分布等应用广泛的概率模型.离散型随机变量的分布列刻画了随机变量取值的概率规律，但往往还需要进一步了解离散型随机变量取值的特征.比如：某商店为了满足市场需求，要将单价分别为18元/kg ，24元/kg 、36元/kg ，如果按照3：2：1的比例对糖果进行混合销售，其中混合糖果中每颗质量都相等，如何对每千克糖果定价才合理？通过师生探究发现：当定价为混合糖果的平均价格时才合理.进而求混合糖果的平均价格，从而得出如下结论：根据混合糖果中3种糖果的比例可知在1kg 的混合糖果中，3种糖果的质量分别是63kg ，62 kg 和61kg ，则混合糖果的合理价格应该是18×63+24×62+36×61=23（元/kg ）. 问题1：上述分式中36，26和61的意义是什么？在学生思考后，教师指出：上面的平均值其实是一种加权平均数，其中36，26和61表示一种权重系数，简称为权数.在计算平均数时，权数可以表示总体中的各种成分所占的比例.权数越大的数据在总体中所占的比例越大，它对加权平均数的影响越大.加权平均数是不同比重数据的平均数.加权平均数就是把原始数据按照合理的比例来计算.通过交流，使学生达成共识：36，26和61分别表示价格为18元/kg 、24元/kg 何36元/kg 的糖果在混合糖果中所占的比例.问题2：如果每一颗糖果的质量都相等，则在搅拌均匀的混合糖果中， 任取一颗恰好是18元/kg 的糖果的概率是多少？恰好是24元/kg 的糖果的概率是多少？恰好是36元/kg 的糖果的概率是多少？学生讨论，得出共识：在混合糖果中，任取一颗恰好是18元/kg 的糖果的概率是36，恰好是24元/kg 的糖果的概率是26，恰好是36元/kg 的糖果的概率是61.问题3：假如从混合糖果中随机的选取一颗，记X 为该糖果原来的单价，你能写出X 的分布列吗？学生不难得出随机变量X 的分布列为：问题4：能否将混合糖果的平均价格用X 的取值及其相应的概率来表示呢？由之前的知识，学生得出： 每千克混合糖果的平均价格为：18×63+24×62+36×61=23（元/kg ） 即18×P(X=18）+24×P(X=24）+36×P(X=36）=23（元/kg ） 教师总结：这里混合糖果的平均价格为随机变量X 的取值与其相应概率乘积之和.混合糖果的平均价格既为随机变量X 的均值.（设计意图：用实际问题为背景，从求学生熟悉的样本平均数为出发点，设置问题串，层层递进，逐步深入，最终得出结论：离散型随机变量X 取值的平均值为离散型随机变量X 的所有取值与其相应概率乘积之和.这样不但可以使学生直观感受到数学与生活的联系，而且可以激发学生的学习兴趣与热情.同时有利于学生进行知识迁移，为下面概括抽象得出科学定义做好铺垫.） 3.概括抽象 构建概念问题5：能否用数学语言表述离散型随机变量的均值这一概念的定义？ 可以使学生自行定义，教师作出修正，最终形成正式的定义：若离散型随机变量X 的分布列为：则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．数学期望又简称为期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.（设计意图：使学生经历离散型随机变量均值概念的形成过程，体验从具体问题中概括、抽象，形成定义的思想方法，体会概括、抽象是一种常用的数学逻辑方法，使学生学会科学定义的方法.这里渗透了从特殊到一般的数学思想方法）问题6：离散型随机变量ξ的期望与ξ可能取值的算术平均数相同吗？通过师生共同分析得出结论，期望的计算是从概率分布出发，因而它是概率意义下的平均值.随机变量ξ取每个值时概率不同导致了期望不同于初中所学的算术平均数.（设计意图：期望源于平均值，但又不同于平均值，通过比较，进一步加深对数学期望的理解.）问题7：能给出两点分布与二项分布的均值吗？根据均值的计算公式，学生不难得出：4.例题分析应用新知例1：设随机变量X的分布列如下所示，已知E(X)＝1.6，则a－b＝()A．0.2B．0.1 C【知识点：期望】详解：a＋b＝0.8，且E(X)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6.即a＋b＝0.8，且a＋2b＝1.3，∴a＝0.3，b＝0.5，a－b＝－0.2.点拨：本题主要考查离散型随机变量的均值的计算公式，且要熟知离散型随机变量的概率之和为1.例2：有一批数量很大的产品，其次品率是15℅.对这批产品进行抽查，每次抽出1件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽到次品，但抽查次数最多不超过10次.求抽查次数ξ的期望.【知识点：期望】详解：解决这个实际问题的难点是求ξ的分布列，一般地，在产品抽查中已说明产品数量很大时，各次抽查结果可以认为是相互独立的.并且取1～10的整数，前k-1次取到正品，而第k 次取到次品的概率是P （ξ=k ）=15.085.01⨯-k （k=1，2，3，…,9），P （ξ=10）=185.09⨯.然后学生运用数学期望的定义来解题点拨：求离散型随机变量期望的步骤： （1）确定离散型随机变量ξ的取值.（2）写出分布列，并检查分布列的正确与否. （3）求出期望.例3：某同学代表班级参加设计比赛，每连续设计10次，其中有3次中10环，5次中9环，2次中8环.①求次同学射击一次中靶的环数的均值是多少？②如果把该同学射击一次所得的环数的2倍再加上5记为该同学的设计成绩Y ，即Y=2X+5，那么试求Y 的均值. 【知识点：分布列、期望及性质】详解：(1)击靶数的分布列，根据期望的计算公式可得出E(X)=9.1(2)写出得分Y 的分布列，并求出E （Y ）=23.2点拨：当X 为随机变量时，若Y=aX+b(a,b 为常数)，则Y 也为随机变量，并称随机变量X 和Y 具有线性关系.X 与Y 的均值也具有线性关系，且E(Y=aX+b)=aE(X)+b 练习：设E (X )＝10，E (Y )＝3，则E (3X ＋5Y )＝( ) A ．45 B ．40 C ．30 D ．15【知识点：离散型随机变量期望的性质】 详解：E(3X+5Y)=3E(X)+5E(Y)=45.点拨：随机变量X 和Y 具有线性关系.X 与Y 的均值也具有线性关系，且E(Y=aX+b)=aE(x)+b 5.课堂总结均值或数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称=ξE 为ξ的均值或数学期望，简称期望．均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.均值或期望的一个性质:若b aX Y +=，其中b a ,是常数(X 是随机变量)，则Y 也是随机变量，且有()()E aX b aE X b +=+.(1)当0=a 时，()E b b =，即常数的数学期望就是这个常数本身；(2)当1=a 时，()()E X b E X b +=+，即随机变量X 与常数之和的期望等于X 的期；(3)当0=b 时，E aX aE X =（）（），即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.①若X 服从两点分布，则)(X E ＝p ； ②若ξ～),,(p n B 则)(X E ＝np . 6. 随堂检测1．随机抛掷一个骰子，所得点数η的均值为( ) A.16 B.13 C.12 D.3.52．若X ～B (4，12)，则E (X )的值为( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．123．若X 是一个随机变量，则E (X －E (X ))的值为( ) A ．无解 B ．0 C ．E (X ) D ．2E (X ) （三）课后作业 (一)基础型1．若随机变量ξ～B (n,0.6)，且E (ξ)＝3，则P (ξ＝1)的值是( ) A ．2×0.44 B ．2×0.45 C ．3×0.44 D ．3×0.642．今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达数为ξ，则E (ξ)的值为( ) A ．0.765 B ．1.75 C ．1.765 D ．0.223．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为ξ，则ξ的期望是( ) A ．7.8 B ．8 C ．16 D ．15.64．若X 是一个随机变量，则E (X －E (X ))的值为( ) A ．无解 B ．0 C ．E (X ) D ．2E (X ) （二）能力型5．两封信随机投入A 、B 、C 三个空邮箱，则A 邮箱的信件数ξ的数学期望是( )A.13 B.23 C.43 D.346．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A．100 B．200 C．300 D．4007．某一供电网络，有n个用电单位，每个单位在一天中使用电的机会是p，供电网络中一天平均用电的单位个数是()A．np(1－p) B．Np C．n D．p(1－p)8．甲、乙两台自动车床生产同种标准产品1 000件，ξ表示甲机床生产1 000件产品中的次品数，η表示乙机床生产1 000件产品中的次品数，经过一段时间的考察，ξ，η的分布列分别是：据此判定()A．甲比乙质量好B．乙比甲质量好C．甲与乙的质量相同D．无法判定9．在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件，求：(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．10．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数．(1)求ξ的分布列；(2)求ξ的数学期望；(3)求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率．11．某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检)，若安检不合格，则必须整改，若整改后经复查仍不合格，则强制关闭．设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8.计算(结果精确到0.01)：(1)恰好有两家煤矿必须整改的概率；(2)平均有多少家煤矿必须整改；(3)至少关闭一家煤矿的概率．12．为了拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类．这三类工程所含项目的个数分别占总数的12、13、16.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(2)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列及数学期望．（三）探究型13.设l为平面上过点(0,1)的直线，l的斜率等可能地取－22，－3，－52，0，52，3，22，用ξ表示坐标原点到l的距离，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝________.14.马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布如下表：请小牛同学计算ξ“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝________.15.某企业2014年工作计划中，对每位员工完成工作任务的奖励情况作出如下规定：有一季度完成任务者得奖金300元；有两季度完成任务者得奖金750元；有三季度完成任务者得奖金1 260元；对四个季度均完成任务的员工，奖励 1 800元；若四个季度均未完成任务则没有奖金．假若每位员工在每个季度里完成任务与否都是等可能的，求企业每位员工在2014年所得奖金的数学期望．（四）自助餐1．已知某一随机变量X的概率分布列如下表，E(X)＝6.3，则a值为()A．5 B．6 C．7 D．82．节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元处理．根据前5年节日期间对这种鲜花销售情况需求量X(束)的统计(如下表)，若进这种鲜花500束在今年节日期间销售，则期望利润是()A．706元B．690元3．如果袋中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后放回，连续摸取4次，设ξ为取得红球的次数，那么ξ的期望E(ξ)＝()A.34 B.125 C.197 D.134．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若X表示取到次品的个数，则E(X)等于()A.35 B.815 C.1415 D.15．某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗亭．假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇红灯的次数的期望为()A．0.4 B．1.2 C．0.43 D．0.66．袋子装有5只球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3个球，用X表示取出的球的最大号码，则E(X)＝()A．4 B．5 C．4.5 D．4.757．设15 000件产品中有1 000件次品，从中抽取150件进行检查，由于产品数量较大，每次检查的次品率看作不变，则查得次品数的数学期望为()A．15 B．10 C．20 D．58．某班有14的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数X～B(5，14)，则E(－X)的值为()A.14B．－14C．54D．－549．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝p k(1－p)1－k(k＝0,1,0<p<1)，则E(X)＝________.10．一个人有n把钥匙，其中只有一把能打开他的房门，他随意地进行试开，并将试开不对的钥匙除去，则打开房门所试开次数ξ的数学期望是________．11．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获得12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果：12．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是________．13．若事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事件在一次试验中发生的概率为________． （四）参考答案 预习自测 1.C 2.A 3.B 随堂检测 1.D 2.B 3.B 课后作业 基础型 1.C 2.B 3.A 4.B 能力型 5.B 6.B 7.B 8.A9.解:(1)由于从10件产品中任取3件的结果数为C 310，从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的结果数为C k 3C 3－k 7，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的概率为 P (X ＝k )＝C k 3C 3－k7C 310，k ＝0,1,2,3.所以随机变量X 的分布列是X 的数学期望E (X )＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910.(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A ，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A 1，“恰好取出2件一等品”为事件A 2，“恰好取出3件一等品”为事件A 3.由于事件A 1，A 2，A 3彼此互斥，且A ＝A 1∪A 2∪A 3，而P (A 1)＝C 13C 23C 310＝340，P (A 2)＝P (X ＝2)＝740，P (A 3)＝P (X ＝3)＝1120，所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为 P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝340＋740＋1120＝31120. ∴σ(X 3)＝D X 3＝10×12×12＝ 2.5.10. 解:(1)ξ可能取的值为0,1,2.P (ξ＝k )＝C k 2·C 3－k4C 36，k ＝0,1,2.所以，ξ的分布列为(2)由(1)，ξ的数学期望为 E (ξ)＝0×15＋1×35＋2×15＝1.(3)由(1)，“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率为 P (ξ≤1)＝P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＝45.11. 解:(1)每家煤矿必须整改的概率是1－0.5，且每家煤矿是否整改是相互独立的，所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是P 1＝C 25×(1－0.5)2×0.53＝516≈0.31.(2)由题设，必须整改的煤矿数ξ服从二项分布B (5，0.5)，从而ξ的数学期望E (ξ)＝5×0.5＝2.50，即平均有2.50家煤矿必须整改．(3)某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，所以该煤矿被关闭的概率是P 2＝(1－0.5)×(1－0.8)＝0.1，从而该煤矿不被关闭的概率是0.9.由题意可知，每家煤矿是否被关闭是相互独立的，故至少关闭一家煤矿的概率是P 3＝1－0.95≈0.41.12. 解:记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件A i ，B i ，C i ，i ＝1,2,3，由题意知A 1，A 2，A 3相互独立，B 1，B 2，B 3相互独立，C 1，C 2，C 3相互独立，A i ，B j ，C k (i ，j ，k ＝1,2,3，且i ，j ，k 互不相同)相互独立，且P (A i )＝12，P (B i )＝13， P (C i )＝16.(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率 P ＝3！P (A 1B 2C 3)＝6P (A 1)P (B 2)P (C 3)＝6×12×13×16＝16.(2)解法一 设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η， 由已知，η～B (3，13)，且ξ＝3－η， 所以P (ξ＝0)＝P (η＝3)＝C 33(13)3＝127， P (ξ＝1)＝P (η＝2)＝C 23(13)2(23)＝29， P (ξ＝2)＝P (η＝1)＝C 13(13)(23)2＝49， P (ξ＝3)＝P (η＝0)＝C 03(23)3＝827. 故ξ的分布列是ξ的数学期望E (ξ)＝0×127＋1×29＋2×49＋3×827＝2.解法二 记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为事件D i ，i ＝1,2,3. 由已知，D 1，D 2，D 3相互独立，且 P (D i )＝P (A i ＋C i )＝P (A i )＋P (C i )＝12＋16＝23.所以ξ～B (3，23)，即P (ξ＝k )＝C k 3(23)k (13)3－k，k ＝0,1,2,3. 故ξ的分布列是ξ的数学期望E (ξ)＝3×23＝2. 探究型 13.47 14.215.解:P (X ＝0)＝C 04(12)0(12)4＝116；P (X ＝300)＝C 14(12)1(12)3＝14； P (X ＝750)＝C 24(12)2(12)2＝38；P (X ＝1 260)＝C 34(12)3(12)1＝14；P (X ＝1 800)＝C 44(12)4(12)0＝116. 故X 的分布列为E (X )＝0×116＋300×14＋750×38＋1 260×14＋1 800×116＝783.75(元)． 自助餐 1.C 2.A 3.B 4.A 5.B 6.C 7.B 8.D 9.p 10.n ＋12 11.4 760 12.49 13.0.5。

教案其为一个必然事件概率等于 1. 上面右式各项彼此互斥，根据互斥事件的概率加法公式有：2})({})({i nP X x P X p p +=+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+（3）求“点数不超过5”的概率. 解：（1）X 的可能取值为1,2,3,4,5,6,.1(1)6P X == 1(2)6P X ==1(3)6P X == 1(4)6P X ==1(5)6P X == 1(6)6P X ==所以X 的分布列为：X 1 2 3 4 5 6P161616 1616 16（2）111(4)(5)(6)663P X P X P X >==+==+=； （3）方法一：(5)(1)(2)(5)15566P X P X P X P X ==+=+⋅⋅⋅+==⨯=≤方法二：5(5)1(6)6P X P X =-==≤.例. 某同学向如图所示的圆形靶投掷飞镖，飞镖落在靶外的概率为0.1，飞镖落在靶内各点是随机的.已知圆形靶中三个圆为同心圆，半径分别为30cm ，20cm ，10cm ，飞镖落在不同区域的环数如图中标示.设这位同学投掷一次得到的环数这个随机变量为X . （1）求X 的分布列； （2）求“不超过9环”的概率. 解：（1）0,8,9,10X =. 由题可知：因为三个同心圆的半径比为3:2:1， 所以三个同心圆面积之比为9:4:1，所以8环、9环、10环区域面积之比为5:3:1， 设掷得8环、9环、10环的概率分别为5,3,k k k ， 根据分布列性质（2）有：0.1531k k k +++=，生深入理解分布列的两个基本性质，促进学生对离散型随机变分布列的本质理解.解得0.1k=.所以X的分布列分布列为X08910P0.10.50.30.1（2）(9)1(10)0.9P X P X=-==≤.例.掷两颗骰子，设掷得的点数之和为随机变量X：（1）求X的分布列；（2）求“点数之和大于9”的概率；（3）求“点数之和不超过7”的概率.解：（1）X的可能取值为2,3,,12⋅⋅⋅1(2)36P X==1(3)18P X==1(4)12P X==1(5)9P X==5(6)36P X==1(7)6P X==5(8)36P X==1(9)9P X==1(10)12P X==1(11)18P X==1(12)36P X==所以X的分布列为：（2）1(9)(10)(11)(12)6P X P X P X P X>==+=+==；（3）7(7)(2)(3)(7)12P X P X P X P X==+=+⋅⋅⋅+==≤.总结通过今天的学习，希望同学们能够明晰理解离散型随机变量的概念，分布列的定义、求解步骤以及两让学生通过小结，反思学习过程，进一步。

高中数学离散型随机变量的分布列教案1新人教a 版选修23教学目标：知识与技能：会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布。

过程与方法：认识概率分布关于刻画随机现象的重要性。

情感、态度与价值观：认识概率分布关于刻画随机现象的重要性。

教学重点：离散型随机变量的分布列的概念 教学难点：求简单的离散型随机变量的分布列 授课类型：新授课 课时安排：2课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：1.随机变量：假如随机试验的结果能够用一个变量来表示，那么如此的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2. 离散型随机变量:关于随机变量可能取的值，能够按一定次序一一列出，如此的随机变量叫做离散型随机变量3．连续型随机变量: 关于随机变量可能取的值，能够取某一区间内的一切值，如此的变量就叫做连续型随机变量4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量差不多上用变量表示随机试验的结果；然而离散型随机变量的结果能够按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不能够一一列出若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量同时不改变其属性（离散型、连续型）请同学们阅读课本P 5-6的内容，说明什么是随机变量的分布列？ 二、讲解新课：1. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x 1，x 2，…，x 3，…，ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表为随机变量的概率分布，简称的分布列2. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:1)(0≤≤A P ，同时不可能事件的概率为0，必定事件的概率为1．由此你能够得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：⑴P i ≥0，i ＝1，2，...； ⑵P 1+P 2+ (1)关于离散型随机变量在某一范畴内取值的概率等于它取那个范畴内各个值的概率的和即⋅⋅⋅+=+==≥+)()()(1k k k x P x P x P ξξξ3.两点分布列:例1.在掷一枚图钉的随机试验中，令 ⎧⎨⎩1，针尖向上；X=0,针尖向下.假如针尖向上的概率为p ，试写出随机变量 X 的分布列．解：依照分布列的性质，针尖向下的概率是（1p -) ．因此，随机变量 X 的分布列是像上面如此的分布列称为两点分布列．两点分布列的应用专门广泛．如抽取的彩券是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等，都能够用两点分布列来研究．假如随机变量X 的分布列为两点分布列，就称X 服从两点分布 ( two 一point distribution)，而称p =P (X = 1）为成功概率．两点分布又称0一1分布．由于只有两个可能结果的随机试验叫伯努利（ Bernoulli ) 试验，因此还称这种分布为伯努利分布．()q P ==0ξ， ()p P ==1ξ，10<<p ，1=+q p ．4. 超几何分布列：例 2．在含有 5 件次品的 100 件产品中，任取 3 件，试求： (1)取到的次品数X 的分布列； （2）至少取到1件次品的概率．解： (1)由于从 100 件产品中任取3 件的结果数为310C ，从100 件产品中任取3件， 其中恰有k 件次品的结果数为3595kkC C -，那么从 100 件产品中任取 3 件，其中恰有 k 件次品的概率为35953100(),0,1,2,3k kC C P X k k C -===。

第二章随机变量及其分布本章概览课标要求1．离散型随机变量及其分布列(1)在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性．(2)通过实例(如彩票抽奖)，理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．2．二项分布及其应用在具体情境中，了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题．3．离散型随机变量的均值与方差通过实例，理解取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．4．正态分布通过实际问题，借助直观(如实际问题的直观图)，认识正态分布、正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义．内容概述教学建议1．在教学过程中要交代引入随机变量的原因(章引言中)；2．通过与函数的比较加深对随机变量的理解；3．在介绍有关随机变量的概念过程中，重点在于概念的理解及应用，不宜引入过于复杂的计算，以免喧宾夺主；4．注意产生超几何分布与二项分布的背景差别，以帮助学生更好地理解两个模型以及两个事件间独立性的概念．超几何分布：从a个红球和b个黑球中，不放回摸出m个球中的红球个数，结果导致“第i次摸出红球”与“第j次摸出红球”不相互独立(i≠j)；二项分布：从a个红球和b个黑球中，有放回摸出m个球中的红球个数，结果导致“第i次摸出红球”与“第j次摸出红球”相互独立(i≠j)．5．注意解释随机变量与样本均值(方差)的关系：两者都表示各自的平均位置(变化剧烈程度)；样本均值(方差)是随机变量，具有随机性，而随机变量的均值(方差)是实数，没有随机性；样本均值(方差)的极限是总体均值(方差)．6．在高尔顿钉板试验中，课文中说“随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状会越来越像一条钟形曲线”的含义为：随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状会越来越接近于钟形曲线的离散化．课时安排全章共安排了4个小节，教学约需9课时，具体内容和课时分配如下(仅供参考)：2．1离散型随机变量及其分布列约2课时2．2二项分布及其应用约3课时2．3离散型随机变量的均值与方差约2课时2．4正态分布约1课时习题课约1课时2．1离散型随机变量及其分布列2．1.1离散型随机变量整体设计教材分析本章是在初中“统计初步”和高中必修课“概率”的基础上，学习随机变量和分布列的一些知识．学习这些知识后，学生将能解决类似引言中的一些实际问题．随机变量在概率统计研究中起着极其重要的作用，随机变量是用来描述随机现象的结果的一类特殊的变量，随机变量能够反映随机现象的共性，有关随机变量的结论可以应用到具有不同背景的实际问题中．随机变量就是建立了一个从随机试验结果的集合到实数集合的映射，这与函数概念在本质上(一种对应关系)是一致的．随机试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．离散型随机变量是最简单的随机变量，随机变量和离散型随机变量是上、下位概念的关系．本节课主要通过离散型随机变量展示用实数空间刻画随机现象的方法．重点是怎样用数学的方法来研究随机事件(即先把随机事件映射成随机变量，建立随机变量X与随机事件发生的概率P之间的函数关系，用研究函数的方法来研究随机变量)，并在此过程中深刻体会和领悟随机变量在研究随机现象中的工具和桥梁作用．课时分配1课时教学目标知识与技能1．理解随机变量的意义；2．学会区分离散型与非离散型随机变量，并能举出离散型随机变量的例子；3．理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量．过程与方法发展抽象、概括能力，提高解决实际问题的能力．情感、态度与价值观使学生感悟数学与生活的和谐之美，体现数学的文化功能与人文价值．重点难点教学重点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义．教学难点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义．教学过程引入新课统计表明：商场内的促销活动可获得经济效益2万元；商场外的促销活动，如果不遇雨天则带来经济效益10万元，如果遇到雨天则带来经济损失4万元．假设国庆节有雨的概率是40%，请问商场应该选择哪种促销方式较好？为了解决类似问题，从今天开始学习本章内容——随机变量及其分布列．设计意图：设置悬念，营造一种神秘气氛，容易吸引学生注意力，调动学生学习兴趣，揭示随机变量的分布列的客观存在性和研究它的必要性，点出了本章内容．活动设计：复习回顾概率有关知识．概率是描述在一次随机试验中的某个随机事件发生可能性大小的度量．随机试验是指满足下列三个条件的试验：①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．(本部分可由教师提示、学生完成)提出问题：同学们能举出一些随机试验的例子吗？并说明该随机试验的所有可能结果．学情预测：学生容易举出抛硬币、掷骰子等试验，然后教师可根据例子实施引导、启发．活动结果：(以下为可能出现的例子)掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1,2,3,4,5,6来表示；某人射击一次，可能出现命中0环，命中1环，…，命中10环等结果，即可能出现的结果可以由0,1，…，10这11个数表示；从装有4个黑球，3个红球的篮子中任意拿出2个球，可能出现哪些情况？提出问题：这些随机试验，有哪些共同点？活动结果：随机试验中可能出现的每种结果都可以用一个数来表示．(由学生完成)探究新知提出问题：掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1,2,3,4,5,6来表示．那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？学情预测：此时有的学生会产生疑虑，不敢作答，教师根据学情引导．活动结果：抛一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．虽然这个随机试验的结果不具有数量性质，但我们可以用数1和0分别表示正面向上和反面向上．(也可用另外两个数如1、2分别表示正面向上和反面向上，通过准确、恰当的抽象，可使问题简单化，这正是数学的魅力所在)教师指出：在前面掷骰子和抛硬币的随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．(给出定义)定义1：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．随机变量常用字母X，Y，ξ，η，…表示．随机变量ξ或η的特点：(1)可以用数表示；(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值；(3)在试验之前不可能确定取何值．提出问题：随机变量和高一学习的什么概念有类似的地方吗？(函数或映射)活动结果：随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数．在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．(学生为主，教师完善)教师：例如，从含有4个黑球3个红球的篮子中，任意抽取两个球，可能含有的红球数X将随着抽取结果的变化而变化，是一个随机变量，其取值范围是{0,1,2}．提出问题：利用随机变量可以表达一些事件．例如{X＝0}表示“抽出两个黑球”，{X＝2}表示“抽出2个红球”等．你能说出{X<1}在这里表示什么事件吗？“抽出1个以上黑球”又如何用X表示呢？(学生基本能顺利完成)教师指出：红球数X是一个随机变量，其取值是0、1、2，可以一一列举(给出定义)．定义2：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．提出问题：离散型随机变量的例子很多．例如某人一分钟内眨眼次数X是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0,1,2…；同学们还能举出哪些例子？学情分析：有的学生在举例时会错举出一个连续型随机变量来，借机发问，例如：提出问题：灯泡的使用寿命X是离散型随机变量吗？活动结果：灯泡的使用寿命X 的可能取值是任何一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出，所以X 不是离散型随机变量．定义3：连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量．提出问题：同学们还能举出哪些例子？活动结果：如某林场树木最高达30米，则林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0,30]内的一切值(或者其他)．教师指出：在研究随机现象时，有时可根据需要恰当地定义随机变量．例如，如果我们仅关心电灯泡的使用寿命是否不少于1 000小时，那么就可以定义如下的随机变量：Y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，寿命<1 000小时；1，寿命≥1 000小时. 与电灯泡的寿命X 相比较，随机变量Y 的构造更简单，它只取两个不同的值0和1，是一个离散型随机变量，研究起来更加容易．提出问题：同学们还能举出哪些离散型或连续型随机变量的例子？你能否总结出二者的区别与联系？活动结果：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出(由学生完成)．理解新知教师进一步指出：(1)有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数量来表达，如投掷一枚硬币，ξ＝0，表示正面向上，ξ＝1，表示反面向上．(2)若ξ是随机变量，η＝aξ＋b ，a ，b 是常数，则η也是随机变量．(可通过拓展练习来说明)运用新知例1一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1,2,3,4,5.现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；写出随机变量ξ可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．解：(1)ξ可取3,4,5.ξ＝3，表示取出的3个球的编号为1,2,3；ξ＝4，表示取出的3个球的编号为1,2,4或1,3,4或2,3,4；ξ＝5，表示取出的3个球的编号为1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3,5或3,4,5.例2抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：“ξ>4”表示的试验结果是什么？解：因为一枚骰子的点数可以是1,2,3,4,5,6六种结果之一，由已知得－5≤ξ≤5，也就是说“ξ>4”就是“ξ＝5”．所以，“ξ>4”表示第一枚为6点，第二枚为1点．【变练演编】写出某用户的电话在单位时间内收到的呼叫次数η的可能值．解：η可取0,1，…，n ，….η＝i ，表示被呼叫i 次，其中i ＝0,1,2，….变式：一用户在打电话时忘记了最后3个号码，只记得最后3个数两两不同，且都大于5.于是他随机拨最后3个数(两两不同)，设他拨到正确号码的次数为X ，写出随机变量X 的可能值．解：X 可取1,2,3， (24)【达标检测】1．有下列问题：①某路口一天经过的车辆数为ξ；②某地半年内下雨的次数为ξ；③一天之内的温度为ξ；④某人一生中的身高为ξ；⑤射击运动员对某目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用ξ表示运动员在射击中的得分．上述问题中的ξ是离散型随机变量的是( )A ．①②③⑤B ．①②④C ．①D ．①②⑤2．随机变量ξ的所有可能取值为1,2，…，n ，若P(ξ<4)＝0.3，则( )A ．n ＝3B ．n ＝4C ．n ＝10D ．不能确定3．抛掷两次骰子，两次点数的和不等于8的概率为( )A.1112B.3136C.536D.112答案：1.D 2.C 3.B课堂小结1．离散型随机变量、连续型随机变量的概念；2．随机变量ξ是关于试验结果的映射，即每一个试验结果对应着一个实数；3．随机变量ξ的线性组合η＝aξ＋b(其中a 、b 是常数)也是随机变量．补充练习【基础练习】1．写出下列各随机变量可能的取值：(1)从10张已编号的卡片(从1号到10号)中任取1张，被取出的卡片的号数X.解：X ＝1,2,3， (10)(2)某一自动装置无故障运转的时间ξ.解：ξ取(0，＋∞)内的一切值．【拓展练习】某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4 km ，则按10元的标准收租车费．若行驶路程超出4 km ，则按每超出1 km 加收2元计费(超出不足1 km 的部分按1 km 计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15 km.某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按1 km 路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量，他收旅客的租车费η也是一个随机变量．(1)求租车费η关于行车路程ξ的关系式；(2)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15 km ，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟？解：(1)依题意得η＝2(ξ－4)＋10，即η＝2ξ＋2.(2)由38＝2ξ＋2，得ξ＝18,5×(18－15)＝15.所以，出租车在途中因故停车累计最多15分钟．设计说明本节主要采用教师提出问题引导，学生思考归纳的形式，让学生经历概念的形成过程，避免了以往由老师叙述概念条文，然后讲解例题的教学模式，以实际问题为向导，引导学生分析问题、归纳问题的共性，提炼出随机变量的概念．备课资料备选例题：1．把一枚硬币先后抛掷两次，如果出现两个正面得5分，出现两个反面得－3分，其他结果得0分，用X表示得分的分值，列表写出可能出现的结果与对应的X值．解：2．写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值所表示的随机试验的结果：(1)从一个装有编号为1号到10号的10个球的袋中，任取1球，被取出的球的编号为X；解：ξ可取1,2， (10)(2)一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X；解：X可取0,1,2,3,4.(3)投掷两枚骰子，所得点数之和为X，所得点数之和是偶数为Y.解：X可取2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.Y可取2,4,6,8,10,12.(设计者：王宏东李王梅)。

离散型随机变量及其分布列辅导教案学生姓名性别年级学科数学授课教师上课时间年月日第（）次课共（）次课课时：2课时教学课题人教版选修2-3 第二章离散型随机变量及其分布列同步教案教学目标知识目标：理解离散型随机变量的概念，并会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布。

能力目标：通过对离散型随机变量的学习认识概率分布对于刻画随机现象的重要性。

情感态度价值观：通过合作与交流，让学生体会数学与生活的紧密联系，感受学习的乐趣。

教学重点与难点离散型随机变量的分布列的概念及求法。

教学过程（一）离散型随机变量知识梳理1．离散型随机变量的定义如果对于试验的样本空间中的每一个样本点，变量都有一个确定的实数值与之对应，则变量是样本点的实函数，记作．我们称这样的变量为随机变量．若随机变量只能取有限个数值或可列无穷多个数值则称为离散随机变量。

2．离散型随机变量的表示方法离散型随机变量常用字母 X , Y，ξ，η，…表示．例题精讲【题型一、随机变量的表示方法】【例1】写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果(1)一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；(2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η【方法技巧】随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示，对于离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出。

【题型二、随机变量的表示意义】【例2】抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：“ξ> 4”表示的试验结果是什么？【方法技巧】在掷骰子和掷硬币的随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．【题型三、随机变量应用题】【例3】某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km，则按10元的标准收租车费若行驶路程超出4km，则按每超出lkm加收2元计费(超出不足1km的部分按lkm计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km．某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量，他收旅客的租车费可也是一个随机变量(1)求租车费η关于行车路程ξ的关系式；(Ⅱ)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?【方法技巧】若ξ是随机变量，baba,,+=ξη是常数，则η也是随机变量巩固训练1．随机变量为抛掷两枚硬币时徽花向上的硬币数，求的可能取值2.某射手有五发子弹，射一次命中率为0.9，若命中了就停止射击，若不命中就一直射到子弹耗尽.求随机变量的可能取值3.随机变量X 是某城市1天之中发生的火警次数，随机变量Y 是某城市1天之内的温度．随机变量ξ是某火车站 1小时内的旅客流动人数.这三个随机变量中不是离散型随机变量的是( )A ．只有X 和ξB ．只有YC ．只有Y 和ξD ．只有ξ（二）离散型随机变量的分布列知识梳理 1．分布列设离散型随机变量ξ可能取得值为x1，x2，…，x3，…， ξ取每一个值xi （i=1，2，…）的概率为()i iP x p ξ==，则称表ξ x1 x2 … xi …[来源:P P1[来源:] P2 … Pi …为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 .2．分布列的两个性质任何随机事件发生的概率都满足:1)(0≤≤A P ，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质： ⑴Pi ≥0，i ＝1，2，...； ⑵P1+P2+ (1)对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和.即⋅⋅⋅+=+==≥+)()()(1k k k x P x P x P ξξξ .【方法技巧】一般地，在含有M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有X 件次品数，则事件 {X=k ｝发生的概率为(),0,1,2,,k n k M N MnNC C P X k k mC --===其中min{,}m M n =，且,,,,n N M N n M N N *≤≤∈．称分布列X1…mP0nM N Mn N C C C -11n M N Mn NC C C --…m n m M N Mn NC C C --为超几何分布列．【题型三、互斥事件的概率】【例3】 某一射手射击所得的环数ξ的分布列如下：ξ 4 5 6 7 8 9 10 P0.020.040.060.090.280.290.22求此射手“射击一次命中环数≥7”的概率．【方法技巧】 “射击一次命中环数≥7”是指互斥事件“ξ＝7”、“ξ＝8”、“ξ＝9”、“ξ＝10”的和，根据互斥事件的概率加法公式，可以求得此射手“射击一次命中环数≥7”的概率．。

《离散型随机变量》教学设计一．教学目标知识目标： 1. 理解随机变量的意义；2.学会区分离散型与非离散型随机变量，并能举出离散性随机变量的例子；3.理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量.能力目标：发展抽象、概括能力，提高实际解决问题的能力.情感目标：二．教学重点学会合作探讨，体验成功，提高学习数学的兴趣.离散型随机变量的概念，以及在实际问题中如何恰当地定义随机变量.三．教学难点对引入随机变量目的的认识，了解什么样的随机变量便于研究.四．教学方法发现式为主、讲授式为辅，讲练结合.五．教学过程教学教学内容师生活动设计说明环节创设情境投放男生追女生数学模型由学生感兴趣的设置问题情境，引出用数字表达的随机试例子出发，激发求知验.兴趣，引入课题 . 这样教师给出例子，提出问实例一：抛掷骰子, 观察出现的点数 .既符合学生由具体到题：以上实例有什么共性抽象的思维习惯，也吗？培养学生的抽象概括S={1 ， 2， 3， 4，5， 6}学生观察，寻找类同思维，同时也使课堂随机试验的结果本身就具有数量性质点，回答。

的内容更加丰富，从投放类似例子：而使数学学习更加贴1.科比 3 次投罚球的得分。

近生活，很好地体现2.某人在射击训练中，射击一次，命中的环新教材改革的总体思数。

想 .3.在含有10 件次品的100 件产品中任意抽取 4 件，其中含有的次品件数。

探究发现教学环节实例 2抛掷一枚硬币, 会出现正面向上与反面向上两种可能结果。

结果可以用数字来表示吗？在前面例子的基（1）正面朝上对应数字1础上，让学生自己探教师提出问题，实验结果反面朝上对应数字0求随机试验的结果表没有数量性质怎么办？结（2）正面朝上对应数字-1示方法使学生的认知果可以用数字来表示吗？反面朝上对应数字1起点与新知识平顺的如果投掷n 此后，我们关心的是正面朝上的对接 .学生思考，讨论。

次数，应该如何定义随机变量？如果更关心教师引导学生根据第正面和反面的次数是否相等又应该如何定一个例子，去发现定义.义？猜想硬币投掷的表示结果 . 学生回答问题，答案使学生了解用随机变可能是多种的，教师应该让在这些随机试验中，可能出现的结果都可量表示一个随机试验学生充分地表达，然后根据以用一个数来表示．这个数在随机试验前是结果的多样性，同时学生的回答给与总结.否是预先确定的?在不同的随机试验中，结深化试验结果与随机果是否不变 ?变量的对应关系.随机变量：在一些试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且 X 是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量X 叫做一个随机变量. 随机变量常用字母X、Y、来表示.探索发现观察上面的表示结果，虽然不尽相同，但是他们有没有什么共同的性质？回顾函数的概念，你能对它给与简单的解释吗？根据知识建构的函数的理解：引导学生思考随机变特点，在已有的旧知函数量的定义过程，对比函数的识的基础上，类比新实数实数定义，从映射的角度对随机知识，使得学生对新类比函数的概念，提出对随机变量的理变量进行理解，进而归纳随知识的理解更加自解：即变量值域的概念.然，降低新知识的难随机变量度 .随机试验的结果实数我们把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域 .因此上面试验中，随机变量的值域可以为{0 ， 1}、{-1， 1} 或{1，2}例 1、一个袋中装有 5 个白球和 5 个意义黑球，若从中任取 3 个，则其中所含白球的个数 x 就是一个随机变量，求x 的取值范教师举例子，学生根据围，并说明x 的不同取值所表示的事件。

人教版高中选修2-32.1离散型随机变量及其分布列课程设计一、前言本次课程设计主要围绕高中数学选修2中32.1章节——离散型随机变量及其分布列展开。

通过本次课程设计的学习，同学们将能够掌握离散型随机变量及其分布列的基本概念和计算方法，理解离散型随机变量及其分布列在实际问题中的应用。

二、学习目标1.掌握离散型随机变量的概念及其特点。

2.掌握离散型随机变量的分布列的计算方法。

3.运用离散型随机变量及其分布列解决实际问题。

三、预备知识在学习离散型随机变量及其分布列之前，需要了解以下相关的概念和计算方法：1.离散型随机变量的概念和性质；2.概率分布函数的概念和计算方法；3.期望值的概念和计算方法；4.方差的概念和计算方法。

四、课程内容1. 离散型随机变量的概念和特点（1）定义离散型随机变量是将可能取到的值排成一列，列中每个值都有一个非零概率与之对应的随机变量。

（2）特点离散型随机变量的取值只能是一个个离散的点，而不是连续的一段。

离散型随机变量的概率分布可以用分布列或分布律的形式表示。

2. 离散型随机变量的分布列的计算方法（1）定义设 X 是一个离散型随机变量，x1, x2, ……, xn 是 X 所有可能取到的值，P(X=xi) 表示 X 取值为 xi 的概率，则称P(X=xi) = pi为 X 的分布列。

（2）计算方法针对特定的问题，可以根据题目给出的概率分布函数，来计算离散型随机变量的分布列。

3. 运用离散型随机变量及其分布列解决实际问题通过练习相关的例题和习题，同学们可以熟练掌握离散型随机变量及其分布列在实际问题中的应用场景和求解方法。

五、作业内容1.认真阅读课程设计内容和相关参考书籍。

2.完成指定的练习和习题。

3.在学习本章后，同学们可以尝试选择特定问题，设计相关的概率模型和计算方法，并在课堂上讲解自己的思路和解法。

六、总结通过本次课程设计的学习，同学们将会掌握离散型随机变量及其分布列的基本概念和计算方法，理解离散型随机变量及其分布列在实际问题中的应用，同时培养自己的数学建模和解决实际问题的能力。

失散型随机变量的散布列教课目 ：知 与技术 ：会求出某些 的失散型随机 量的概率散布。

程与方法 ： 概率散布 于刻画随机 象的重要性。

感情、 度与价： 概率散布 于刻画随机 象的重要性。

教课要点： 失散型随机 量的散布列的观点 教课 点： 求 的失散型随机 量的散布列 授 型： 新授 安排： 2 教具：多媒体、 物投影教课 程 ： 一、复 引入：1. 随机 量：假如随机 的 果能够用一个 量来表示，那么 的 量叫做随机 量随机 量常用希腊字母 ξ 、 η 等表示2. 失散型随机 量 : 于随机 量可能取的 ，能够按必定序次一一列出， 的随机 量叫做失散型随机 量3 ． 型随机 量 : 于随机 量可能取的 ，能够取某一区 内的全部 ， 的 量就叫做 型随机 量 4. 失散型随机 量与 型随机 量的区 与 系: 失散型随机 量与 型随机量都是用 量表示随机 的 果；可是失散型随机 量的 果能够按必定序次一一列出，而 性随机 量的 果不能够一一列出若 是随机 量，a b, a,b 是常数，也是随机 量而且不改 其属性（失散型、 型）同学 本P 5-6 的内容， 明什么是随机 量的散布列？二、 解新 ：1. 散布列 : 失散型随机 量 ξ 可能获得 x 1， x 2，⋯，x 3，⋯，ξ 取每一个x i （ i =1， 2，⋯）的概率 P(x i )p i ， 称表ξx 1x 2⋯x i⋯P2iP1[根源:学,科,网PZ,X,X,K]P⋯⋯随机 量 ξ 的概率散布 ， 称 ξ 的散布列2. 散布列的两个性 ：任何随机事件 生的概率都 足: 0P( A) 1 ，而且不行能事件的概率 0，必定事件的概率1．由此你能够得出失散型随机 量的散布列都拥有下边两个性 ：⑴ P i ≥ 0， i ＝1， 2，⋯； ⑵ P 1+P 2+⋯ =1．于失散型随机 量在某一范 内取 的概率等于它取 个范 内各个 的概率的和即 P(x k ) P( x k ) P(x k 1 )3.两点散布列 :例 1. 在掷一枚图钉的随机试验中，令1，针尖向上；X=0, 针尖向下.假如针尖向上的概率为p ，试写出随机变量X的散布列．解：依据散布列的性质，针尖向下的概率是（1 p )．于是，随机变量X 的散布列是ξ01P1p p像上边这样的散布列称为两点散布列．两点散布列的应用特别宽泛．如抽取的彩券能否中奖；买回的一件产品能否为正品；新生婴儿的性别；投篮能否命中等，都能够用两点散布列来研究．假如随机变量X 的散布列为两点散布列，就称X 听从两点散布 ( two 一 point distribution)，而称 p =P (X = 1）为成功概率．两点散布又称0 一 1 散布．因为只有两个可能结果的随机试验叫伯努利（ Bernoulli) 试验，所以还称这类散布为伯努利散布．P0q ，P1p ，0p1， p q 1 ．4.超几何散布列：例 2 ．在含有5件次品的100件产品中，任取3件，试求：(1)取到的次品数 X 的散布列；（2）起码取到 1 件次品的概率．解： (1)因为从 100件产品中任取 3 件的结果数为C103，从 100件产品中任取 3 件，此中恰有 k件次品的结果数为 C5k C953k ，那么从100 件产品中任取 3件，此中恰有k 件次品的概率为P( X k)C5k C953 k, k0,1,2,3。

课题：§ 2.1.1离散型随机变量导学案【三维目标】知识与技能：1.理解随机变量的意义；2.学会区分离散型与非离散型随机变量，并能举出离散性随机变量的例子；3.理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量过程与方法：通过实例，理解随机变量与离散性随机变量的含义情感态度与价值观：通过学习，体会用数学工具研究随机现象的意义，体会数学的应用价值【学习重点】随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义【学习难点】对随机变量含义的理解.【学法指导】认真阅读本章的篇头语与本节课的教材，按要求完成导学案【知识链接】1、什么是随机事件？什么是基本事件？在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件。

试验的每一个可能的结果称为基本事件。

2、什么是随机试验？凡是对现象或为此而进行的实验，都称之为试验。

如果试验具有下述特点：试验可以在相同条件下重复进行；每次试验的所有可能结果都是明确可知的，并且不止一个；每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果，它被称为一个随机试验，简称试验。

例如1、某人射击一次，可能出现命中0环，命中1环，，，命中10环等结果，即可能出现的结果可以用数字__________________________________ 表示；2、某次产品检验，在含有5件次品的100件产品中任意抽取4件，那么其中含有的次品可能是0件，1件，2件，3件，4件，即可能出现的结果可以由数字表示在上面例子中，随机试验有下列特点：①试验的所有可能结果可以用一个数来表示；②每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.【学习过程】A问题1：掷一枚骰子，出现的点数可以用数字 1 , 2 , 3, 4, 5, 6来表示•那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？B问题2:试归纳随机变量的概念？随机变量常用什么表示?C问题3:随机变量和函数有类似的地方吗？随机变量的值域是什么?B问题4: 一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取个4球，其中所含红球的个数X是一个随机变量，写出随机变量的值域B 问题5:利用随机变量可以表达一些事件•例如{X=0 }表示“抽出0件次品”表示“抽出4件次品”等•你能说出{ X< 3 }在这里表示什么事件吗？ “抽出 品”又如何用 X 表示呢？B 问题6:试归纳离散型随机变量的概念?B 问题7:电灯的寿命 X 是离散型随机变量吗？为什么?C 问题8:在研究电灯泡的使用寿命是否超过1000小时时，定义如下的随机变量:Y= °，寿命<1000小时；随机变量Y 是一个离散型随机变量吗？为什么？ ]1,寿命丄1000小时.拓展：连续型随机变量：对于随机变量可能取的值， 可以取某一区间内的一切值， 这样的变量就叫做连续型随机变量，如某林场树木最高达 30米，则林场树木的高度 ■是一个随机变量，它可以取(0, 30]内的一切值.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列 出，而连续性随机变量的结果不可以 -------------------------------------- 列出一注意：(1)有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数量来表达 •如投掷一枚硬币，=0，表示正面向上，'=1，表示反面向上，(2)若•是随机变量，b,a,b 是常数，则也是随机变量一例1、写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果•(1) 一袋中装有 5只同样大小的白球，编号为 1 , 2, 3, 4, 5现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数E ;(2) 某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数n -C 例2、抛掷两枚骰子各一次， 记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为 试问：“三＞ 4 ”表示的试验结果是什么？,{X =4} 3件以上次B1、下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示？若能，请写出各随机变量可能的取值并说明这些值所表示的随机试验的结果。

2.1 离散型随机变量及其分布列（第1课时）一、教学目标【核心素养】对离散型随机变量及其分布列概念的学习，初步形成从实际问题到数学问题的数学建模思想．【学习目标】1.了解随机变量的概念．2.理解离散型随机变量的概率分布列及其特征．3.学会解答一些简单分布列的运算．【学习重点】离散型随机变量分布列制表．【学习难点】1.正确选取离散型随机变量及概率的运算．2.掌握如何将实际问题划归为离散型随机变量的分布列方法．二、教学设计（一）课前设计1.预习任务任务1-阅读教材，了解离散型随机变量的的概念及性质．任务2-离散型随机变量分布列的性质及表格的制作．2.预习自测1.已知：①某机场候机室中一天的旅客数量X；②某寻呼台一天内收到的寻呼次数X ；③某篮球下降过程中离地面的高度X ；④某立交桥经过的车辆数X .其中不是离散型随机变量的是（ ） A.①中的X B.②中的X C.③中的X D.④中的X 解：C2.袋中有大小相同的5个小球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X,则X 所有可能取值的个数是（ ） A.5 B.9 C.10 D.25 解：B由于本试验属于有放回抽取，所以所有1,2,3,4,5肯能号码都可被抽取到．然后抽取的数字之和是相同值得时候只能看作1次取值．所以最后可能组合就有9组不重复可能取值．3．某一随机变量X 的概率分布列如下表，且2.12=+n m ,则2nm -的值为（ ）A.-0.2B.0.2C.0.1D.-0.1 解：B利用概率=∑=ni i p 11．（二）课堂设计问题探究一 、离散型随机变量的定义●活动一 感知随机变量引例：某一时间段内公交站等公交的乘客人数；某固定电话在某时间段内接到的电话数量；一批注入某种毒素的动物在确定时间段内死亡的数量；长途汽车在1000KM 的行驶路程中到达目的地所用的时间等等． 讨论：（1）变量：可变的量；在函数中常见；常用x,y,z 等字母表示一些不确定的数值关系．（2）随机性：偶然性的一种形式；是对某一事件发生的不确定性的描述． （3）离散性：数据的分散性，不具备连续的特征（如:连续型数据-10≤x ≤9；离散型数据：x =-10，-1，0，1，9）． 引入（1）在随机试验的实际结果与数学之间，自然地或人为地建立起一种数学数字对应关系，使每一个可能的结果都对应着一个实数，那么随机试验的结果就可以用取值对应的任一个变量来表示，这个变量叫随机变量，随机变量常用X 、Y 、ξ、η等表示（区别于连续型函数)(x f ）．（2）离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值有限多个或无限多个，但可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量（如：掷骰子点6出现的次数X ;抛硬币正面出现的次数N ;流水生产线上发生故障点的个数M ）．注意：①并不是所有的随机变量都能一一列出．例如汽车的使用寿命；从发电站到用户家庭的线路故障点；一天中雷雨天气的发生时间等等．②相反的，如果随机变量可以取定区间内的任意一个数值，这样的变量称之为连续型随机变量．●活动二随机变量类型的判别、选取、取值实例感知，如何在实际情景中选取随机变量：例1.重庆至武汉的高铁路段设立有固定的100个安全检测点，请能否将此监测点看作随机变量？属于离散型或是连续型？如何选取随机变量？例2.三峡大坝水位检测站承担对长江沿岸（0，168m)水位任务检测工作．该水位站检测到的水位数据是否属于随机变量？是连续型或是离散型？例3.一个盒子里面装有5个红球4个黄球3个白球．一次实验中取出依次不放回取出3个球．根据题意如何选取随机变量．例4.在一次关于电视娱乐节目的调查中，对100个家庭进行了调查分析．发现有观看关于娱乐节目、生活节目、电视剧节目、电影节目．请对以上调查结果做出合理的分析，给出随机变量的的选取意见．随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果对应的某个函数的自变量．即随机变量的取值实质上是试验所对应的结果数，但这些数是预先知道的所有可能的值，而不知道具体是哪一个值，也就充分验证了实验结果具有随机性的特征．问题探究二、离散型随机变量的分布列及其性质●活动一列分布列表(1)分布列的定义表示概率在所有试验结果中的分布情况的列表．（2）分布列的表示①设定离散型随机变量X 可能的取值为nx x x ,,,21⋅⋅⋅．②求出X 取定每一个值i x (n i ,,3,2,1⋅⋅⋅=)的概率i i p x X P ==)(． ③列出概率分布表则该表格为离散型随机变量X 的概率分布列，简称X 的分布列． ●活动二 结合实例，认知分布列性质思考：分布列的概率问题是否与之前所学概率知识有相通之处？例1.已知随机变量X 的分布列为33)21()(i C i X P == （i =0,1,2,3）则==)2(X P ；详解：83)21()2(323===i C X P点拔：考察组合在概率中的基本算法． 例2.已知随机变量X 的分布列为则x = ．详解：3.0)5.02.0(1)2(=+-==X P ． 点拔：概率的性质．通过以上案例的分析，我们不难发现： 离散型随机变量分布列的性质由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质： ①0(1,2,3,,)i p i n ≥=L ， ②11ni i p ==∑点拔：1.理解分布列的两大性质，熟练掌握概率的算法及运用它来解决一些实际问题．2.重点理解性质②，对于求取分布列中的某些参数具有重要指导意义． 三、课堂总结 【知识梳理】1.连续型随机变量、离散型随机变量的概念与区别．2.如何在实际问题中筛选出随机变量并建立变量关系．3.离散型随机变量分布列的概率性质：①0(1,2,3,,)i p i n ≥=L ，；②=∑=ni i p 1 1.4.随机变量分布列的表格制作步骤：①选取随机变量的可能取值；②计算随机变量取值对应的概率；③制作概率分布列表格． 【重难点突破】1.若X 是一个随机变量，λ、μ是常数.则有如下情况：μλ+=X Y ;X X Y μλ+=2; 2)(μλ+=X Y ......中的Y 也是一个随机变量．提示：类比于理解函数中x 与f （x ）的对应关系．2.掌握离散型随机变量分布列的两大性质，学会应用其概率特征解决一些参数问题．3.在具体划归分布列的应用中，关键明确变量的取值，正确求取值对应的概率四、随堂检测1.抛掷两颗骰子，如果将所得点数之和记为X，那么X=4表示的随机试验结果是（）A.两颗都是4点B.一颗是1点，另一颗是3点C.两颗都是2点D.一颗是1点，另一颗是3点，或者两颗都是2点【知识点：随机变量的概念】解：D2.下列4个表格中，可以作为离散型随机变量分布列的一个是（）A.B.C.D.【知识点：概率分布列的性质；互斥事件】 解：C3.随机变量X 的概率分布规律为)4,3,2,1()1()(=+==n n n an X P 其中a 是常数，则)2521(<<X P 的值为 ．【知识点：分布列的性质；互斥事件概率】解：654.设X 是离散型随机变量，其分布列如下表所示.则=q （ ）． A.1 B.221±C.221+D.221-【知识点：分布列的性质；互斥事件概率】 解：D 五、课后作业 ★基础型 自主突破1.如果X 是一个离散型随机变量，则假命题是（ ） A.X 取每一个可能值的概率都是非负数； B.X 取所有可能值的概率之和为1；C.X 取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；D.X 在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和 【知识点：真假命题；分布列的性质】解：由分布列性质①可知1≥i p ≥0，(n i ,,3,2,1⋅⋅⋅=)，故A 是真命题；分布列性质②=∑=ni i p 1 1 可知B 、C 是真命题．故D 是假命题．2.①某寻呼台一小时内收到的寻呼次数X ；②在(0,1)区间内随机的取一个数X ；③某超市一天中的顾客量X 其中的X 是离散型随机变量的是（ ） A.① B .② C.③ D.①③【知识点：离散型随机变量的定义】解：②中的区间取值是随机的，但是数值是连续的，是不能一一列出的，这样的数据属于连续型随机变量．故选D.3.设离散型随机变量ξ的概率分布如下，则a 的值为（ ）A .12B .16C .13D .14【知识点:分布列性质】解：由概率分布列性质=∑=ni i p 11可知31,1)4()3()2()1(===+=+=+=a X P X P X P X P 故选C ．4、设随机变量X 的分布列为()()1,2,3,,,k P X k k n λ===⋯⋯，则λ的值为（ ） A ．1B ．12C ．13D ．14【知识点:等比数列通项式及前n 项和公式；分布列性质】解：21,113211==-=⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=∑∞=λλλλλλλn i i p 故选B ．5、已知随机变量X 的分布列为：()12k p X k ==， ,3,2,1=k ，则()24p X <≤=（ ） A.163B.41C.161 D.165【知识点:互斥事件概率问题；分布列性质】 解：,1632121)4()3()42(43=+==+==≤<X p X p X p 故选A ．6、投掷两枚骰子，所得点数之和记为X ，那么4X =表示的随机实验结果是（ ）A.一枚是3点，一枚是1点B.两枚都是2点C.两枚都是4点D.一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点【知识点:离散型随机变量；数学思想：分类讨论】解：一枚骰子可取点数范围从1、2、3、4、5、6；X =2+2=4 或X =1+3=4的讨论组合方式，故选D ．★★能力型 师生共研7.设随机变量X 的分布列为()()21,2,3,,,k P X k k n λ==⋅=⋯⋯，则 λ= .【知识点:等比数列通项式及前n 项和公式；分布列性质】 解：31,11222223211==-=⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=∑∞=λλλλλλλn i i p8.一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5 现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数X 可能取值为【知识点:组合；数学思想：分类讨论】解：由于抽取的过程中是不放回取球．可能情况数1035 C ,分类讨论情况如下（不论先后）：①1，2，3.②1，3，4③1，3，5 ④2，3，4 ⑤2，3，5 ⑥3，4，5.⑦4，5，1⑧4，5，2⑨5，1，2⑩4，2，1.故X 的可能取值为3，4，5.9.某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km ，则按10元的标准收租车费若行驶路程超出4km ，则按每超出lkm 加收2元计费(超出不足1km 的部分按lkm 计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km ．某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm 路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量，他收旅客的租车费可也是一个随机变量(1)求租车费η关于行车路程ξ的关系式；(2)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km ，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?【知识点:离散型随机变量；数学思想：转化】解：(1)依题意得η=2(ξ-4)+10，即η=2ξ+2(2)由38=2ξ+2，得ξ=18，5×（18-15）=15．所以，出租车在途中因故停车累计最多15分钟．★★★探究型 多维突破11、一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出一球所得分数X 的分布列．【知识点:分布列；数学思想：转化、分类讨论】解：设黄球的个数为n ，由题意知绿球个数为2n ，红球个数为4n ，盒中的总数为7n ．∴44(1)77n P X n ===，1(0)77n P X n ===，22(1)77n P X n =-==． 所以从该盒中随机取出一球所得分数X 的分布列为12、一个类似于细胞分裂的物体，一次分裂为二，两次分裂为四，如此继续分裂有限多次，而随机终止．设分裂n 次终止的概率是n 21(n =1,2,3,…)．记X 为原物体在分裂终止后所生成的子块数目，求(10)P X ≤.【知识点:分布列，互斥事件概率；数学思想：转化、分类讨论】解：依题意，原物体在分裂终止后所生成的数目X 的分布列为∴(10)(2)(4)(8)P X P X P X P X ≤==+=+==87814121=++． 自助餐1.下列随机变量中,不是离散随机变量的是( )A.从10只编号的球 ( 0号到9号) 中任取一只,被取出的球的号码ξB.抛掷两个骰子,所得的最大点数ξC.[0 , 10]区间内任一实数与它四舍五入取整后的整数的差值ξD.一电信局在未来某日内接到的 电话呼叫次数ξ【知识点:离散型随机变量】2.甲乙两名篮球运动员轮流投篮直至某人投中为止，设每次投篮甲投中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，而且不受其他投篮结果的影响.设甲投篮的次数为ξ，若甲先投，则==)(k P ξ（ ）A.4.06.01⨯-kB.76.024.01⨯-kC.6.04.01⨯-kD.24.076.01⨯-k【知识点:互斥事件概率；数学思想：转化、分类讨论】解：B 若甲投1次球，则包含两层信息---甲乙两人共投球1次；甲乙两人共投球2次，即概率76.0)4.01)(4.01(4.0)1(=--+==ξP ；若甲投2次球，则包含两层信息---甲乙两人共投球3次；甲乙两人共投球4次，即概率1824.0)4.01)(4.01(4.0)4.01(4.04.0)4.01()2(=--⋅-+⋅-==ξP ．同理可得出==)(k P ξ76.024.01⨯-k ．3.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则)0(=ξP 等于（ ）A.0B.21 C.31 D.32 【知识点:对立事件概率】4.设随机变量ξ的分布列为)5,4,3,2,1(15)(===k k k P ξ，则)2521(<<ξP 等于（ ） A.21B.91C.61D.51【知识点:互斥事件概率；数学思想：分类讨论】解：D5.已知随机变量ξ的分布列为：),3,2,1(21)(⋅⋅⋅===k k P k ξ，则=≤<)42(ξP （）A.163B.41C.161D.165【知识点:互斥事件概率；数学思想：分类讨论】解：A6.已知随机变量ξ的概率分布为：则==)10(ξP ( ) A.932 B.1032 C.931 D.1031 【知识点:分布列；数学思想：观察法】解：D7.位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上向右的概率都是21，质点P 移动5次后位于点（2,3）的概率是（ ） A.3)21( B.525)21(C C.335)21(C D.53525)21(C C 【知识点:计数原理，独立事件概率；数学思想：组合】解：B8.在一批产品中共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取得合格品之前取出的次品数ξ的所有可能取值是【知识点:离散型随机变量】解：0,1,2,3.9.设随机变量ξ只能取5,6,7，…，16这12个值，且取每个值的概率相同，则=>)8(ξP ，)146(≤<ξP =【知识点:对立事件、互斥事件概率；数学思想：分类讨论、正反面】 解：31121121121121)8(=+++=>ξP ；65)121121(1)6(1)146(=+-=≤-=≤<ξξP P ．10.已知随机变量ξ的分布列是：=≤≤)42(ξP【知识点:分布列；数学思想：分类讨论】解：0.711.指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)某人射击一次命中的环数；(2)任意掷一枚均匀硬币5次，出现正面向上的次数；(3)投一颗质地均匀的骰子出现的点数(最上面的数字)；(4)某个人的属相随年龄的变化．【知识点:离散型随机变量】解：(1)某人射击一次，可能命中的环数是0环，1环，…，10环结果中的一个而且出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(2)任意掷一枚硬币1次，可能出现正面向上也可能出现反面向上，因此投掷5次硬币，出现正面向上的次数可能是0,1,2,3,4,5，而且出现哪种结果是随机的，是随机变量．(3)投一颗骰子出现的结果是1点，2点，3点，4点，5点，6点中的一个且出现哪个结果是随机的，因此是随机变量．(4)属相是人出生时便确定的，不随年龄的变化而变化，不是随机变量．12.设b,c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数.（1）设A =},,02|{2R x c bx x x ∈<+-求φ≠A 的概率；（2）设随机变量|,|c b -=ξ求ξ的分布列. 【知识点:二次方程根的判别，对立事件概率；数学思想：分类讨论】 解：b,c 的所有可能取值从1-6.当b =1,c =1,2,3,4,5,6; 08)2(4)(4222<-=--=-=∆c b c b ac b ;当b =2,c =1,2,3,4,5,6;08)2(4)(4222<-=--=-=∆c b c b ac b ;当b =3,c =2,3,4,5,6;08)2(4)(4222<-=--=-=∆c b c b ac b ; 当b =4,c =3,4,5,6;08)2(4)(4222<-=--=-=∆c b c b ac b ;当b =5,c =4,5,6;08)2(4)(4222<-=--=-=∆c b c b ac b ;当b =6,c =5,6;08)2(4)(4222<-=--=-=∆c b c b ac b .故当φ≠A 时概率18536261=-；5,4,3,2,1,0=ξ其分布列如下：。

教学准备
1. 教学目标
离散型随机变量的分布列
2. 教学重点/难点
离散型随机变量的分布列
3. 教学用具
4. 标签
教学过程
一、基本知识概要：
1. 随机变量：随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量的随机变量，记作；
说明：若是随机变量，，其中是常数，则也是随机变量。

2. 离散型随机变量：随机变量可能取的值，可以按一定顺序一一列出
连续型随机变量：随机变量可以取某一区间内的一切值。

说明：①分类依据：按离散取值还是连续取值。

②离散型随机变量的研究内容：随机变量取什么值、取这些值的多与少、所取值的平均值、稳定性等。

说明：放回抽样时，抽到的次品数为独立重复试验事件，即。

例2：一袋中装有5只球，编号为1,2，3，4，5，在袋中同时取3只，以表示取出的三只球中的最小号码，写出随机变量的分布列。

剖析：因为在编号为1，2，3，4，5的球中，同时取3只，所以小号码可能是1或2或3，即可以取1，2，3。

三、课堂小结
1会根据实际问题用随机变量正确表示某些随机试验的结果与随机事件；2熟练应用分布列的两个基本性质；
3能熟练运用二项分布计算有关随机事件的概率。

四、作业布置：教材P193页闯关训练。

《离散型随机变量的分布列》教学设计一、教材分析《离散型随机变量的分布列》是人教A版《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-3》第二章随机变量及其分布的第一节离散型随机变量及其分布列的第二课时，主要内容是学习分布列的定义、性质、应用和两点分布模型。

离散型随机变量的分布列是高中阶段的重点内容，它作为概率与统计的桥梁与纽带，既是概率的延伸，也是学习统计学的理论基础，起到承上启下的作用，是本章的关键知识之一，也是后续第三节离散型随机变量的均值和方差的基础。

从近几年的高考观察，这部分内容有加强命题的趋势。

一般以实际情境为主，需要学生具备一定的建模能力，建立合适的分布列，通过均值和方差解释实际问题。

二、学情分析在必修三的教材中，学生已经学习了有关统计概率的基本知识，在本书的第一章中也全面学习了排列组合的有关内容，有了知识上的准备; 并且通过古典概率的学习，基本掌握了离散型随机变量取某些值时对应的概率, 有了方法上的准备, 但并未系统化。

处于这一阶段的学生，思维活跃，已初步具备自主探究的能力，动手能力运算能力尚佳，但基础薄弱，对数学图形、符号、文字三种语言的相互转化，以及处理抽象问题的能力，还有待于提高。

三、教学策略分析学生是教学的主体，本节课要给学生提供各种参与机会。

本课以情境为载体，以学生为主体，以问题为手段，激发学生观察思考、猜想探究的兴趣。

注重引导帮助学生充分体验“从实际问题到数学问题”的建构过程，通过设计抽奖方案，让学生感受“从特殊到一般，再从一般到特殊”的抽象思维过程，应用类比、归纳、转化的思想方法，得到分布列的三种表示方法及分布列的性质，培养学生分析问题、解决问题的能力。

四、目标分析1.理解核心概念——离散型随机变量分布列及两点分布模型，掌握分布列的性质，会求离散型随机变量的分布列，并能解决实际问题；2. 在对抽奖问题的分析中经历数学建模过程，通过与函数的类比使学生理解离散型随机变量的分布列的函数属性，通过对抽奖方案的分析得出特殊的离散型随机变量的分布列，再从特殊的离散型随机变量的分布列归纳出一般的离散型随机变量的分布列，再通过对例题的抽奖方案的分析得出两点分布模型，让学生感知从特殊到一般再从一般到特殊的认知过程；3. 通过情境导入使学生在具体情境中认识分布列对于刻画随机现象的重要性，体会数学来源于生活，又应用于生活的本质。

离散型随机变量及分布列2.1.1离散型随机变量【教学目标】1．了解随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义，并能说明随机变量取的值所表示的随机试验的结果．2．通过本课的学习，能举出一些随机变量的例子，并能识别是离散型随机变量，还是连续型随机变量．【教学重点难点】教学重点：随机变量，离散型随机变量，连续型随机变量的概念的理解．教学难点：随机变量，离散型随机变量，连续型随机变量的概念的理解【学前准备】：多媒体，预习例题离散型随机变量及其分布列【教学目标】知识目标：理解随机变量、离散型随机变量的概念；能力目标：通过教学渗透由特殊到一般的数学思想，发展学生的抽象、概括能力；情感目标：通过引导学生对解决问题的过程的参与，使学生进一步感受到生活与数学“零距离”【教学重难点】理解离散型随机变量【学前准备】：多媒体，预习例题说，这种随机试验的结果都可以用一个变量来表示在产品检验的随机试验中，结果也可以用“次品数”这个变量表示如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ε、η等表示例 1 如果用表示抛掷一枚硬币的结果，出现“正面”记为1，出现“反面”记为0，则是一个可以取0和1两个可能值的随机变量。

例 2 如果用表示抛掷一颗骰子出现的点数，则是一个可以取1，2，…，6六个可能值的随机变量。

例3如果用表示在件产品中不合格品的件数，或在次射击时命中目标的次数，则是一个可以取个可能值0，1，2，…，的随机变量。

3、随机变量和函数的关系4、离散型随机变量的概念同行；能的，并且不只一个；恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果个随机试验，为了方便起见，也简称试验量，即是随机试验的试验结果和实数之间的一个对应关系，这种对应关系是人为建立起来的，但又是客观存在的这与函数概念的本质是一样的，只中，函数量机变量的概念中，随机变量试验结果例如，任意掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上这两种结果，虽然这个随机试验的结果不具有数量性质，但仍可以用数量来表示它通常我们用ε来表示这个随机试验的结果： ε=0，表示正面向上；ε=1，表示反面向上如果随机变量的所有可能值只有有限多个或可列多个（所有值可以一一列出）则称之为离散型随机变量。