2018-2019学年高二数学苏教版选修2-1课时跟踪训练：(二十) 空间向量基本定理含参考解析

3．1.4空间向量的坐标表示[对应学生用书P56]在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，建立空间直角坐标系(如图)，在x轴，y轴，z轴上分别取三个单位向量i，j，k.AD.问题1：用i，j，k表示AC，1AD＝j＋k.提示：AC＝i＋j，1AC＝x i＋y j＋z k，则x，y，z为多少？与点C1的坐标有什么关系？问题2：若1AC＝i＋j＋k，提示：∵1∴x＝1，y＝1，z＝1，(x，y，z)＝(1,1,1)与C1的坐标相同．在空间直角坐标系O－xyz中，分别取与x轴、y轴、z轴方向相同的单位向量i、j、k作为基向量．对于空间任意一个向量a，根据空间向量基本定理，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使a＝x i＋y j＋z k，有序实数组(x，y，z)叫做向量a在空间直角坐标系O－xyz中的坐标，记作a＝(x，y，z).一块巨石从山顶坠落，挡住了前面的路，抢修队员紧急赶到从三个方向拉倒巨石，这三个力为F1，F2，F3，它们两两垂直，且|F1|＝3 000 N，|F2|＝2 000 N，|F3|＝2 000 3 N.问题1：若以F1，F2，F3的方向分别为x轴，y轴，z轴正半轴建立空间直角坐标系，巨石受合力的坐标是什么？提示：F＝(3 000,2 000,2 0003)．问题2：巨石受到的合力有多大？提示：|F|＝5 000 N.1．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R.2．空间向量平行的坐标表示为a∥b(a≠0)⇔b1＝λa1，b2＝λa2，b3＝λa3(λ∈R)．3．一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标．1．确定空间向量的坐标的方法：(1)向量的坐标可由其两个端点的坐标确定，可先求其两端点的坐标． (2)通过向量间的坐标运算求得新向量的坐标． 2．空间向量的坐标运算：(1)向量的加减等于对应坐标的加减，其结果仍是向量．(2)向量与实数相乘等于实数与其坐标分别相乘，其结果仍是向量．[对应学生用书P57][例1] 如图所示，P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，并且P A ＝AB ＝1.求向量MN 的坐标．[思路点拨] 以AB 、AD 、AP 为单位正交基底建立空间直角坐标系，用AB 、AD 、AP 表示MN ，得其坐标．[精解详析]∵P A ＝AB ＝AD ＝1，P A ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，∴AB 、AD 、AP 是两两垂直的单位向量．设AB ＝e 1，AD ＝e 2，AP ＝e 3，以{e 1，e 2，e 3}为基底建立空间直角坐标系A －xyz .法一：∵MN ＝MA ＋AP ＋PN ＝－12AB ＋AP ＋12PC＝－12AB ＋AP ＋12(PA ＋AC )＝－12AB ＋AP ＋12(PA ＋AB ＋AD )＝12AP ＋12AD ＝12e 2＋12e 3，∴MN ＝⎝⎛⎭⎫0，12，12. 法二： 如图所示，连结AC 、BD 交于点O .则O 为AC 、BD 的中点． ∴MO ＝12BC ＝12AD ，ON ＝12AP ，∴MN ＝MO ＋ON ＝12AD ＋12AP ＝12e 2＋12e 3，∴MN ＝⎝⎛⎭⎫0，12，12. [一点通] 用坐标表示空间向量的解题方法与步骤：1.已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为2的正方体，E ，F 分别为BB 1和DC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出1DB ，DE ，DF 的坐标．解：设x 、y 、z 轴的单位向量分别为e 1，e 2，e 3，其方向与各轴上的正方向相同， 则1DB ＝DA ＋AB ＋1BB ＝2e 1＋2e 2＋2e 3， ∴1DB ＝(2,2,2)．∵DE ＝DA ＋AB ＋BE ＝2e 1＋2e 2＋e 3， ∴DE ＝(2,2,1)． 又∵DF ＝e 2， ∴DF ＝(0,1,0)．2.在直三棱柱ABO －A 1B 1O 1中，∠AOB ＝π2，AO ＝4，BO ＝2，AA 1＝4，D 为A 1B 1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求DO 、1A B 的坐标．解：(1)∵DO ＝－OD ＝－(1OO ＋1O D ) ＝－[1OO ＋12(OA ＋OB )]＝－1OO －12OA －12OB .又|1OO |＝4，|OA |＝4，|OB |＝2， ∴DO ＝(－2，－1，－4)．(2)∵1A B ＝OB －1OA ＝OB －(OA ＋1AA ) ＝OB －OA －1AA .又|OB |＝2，|OA |＝4，|1AA |＝4， ∴1A B ＝(－4,2，－4)．3．已知向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标是(2,3，－1)，求p 在基底{a ，a ＋b ，a ＋b ＋c }下的坐标． 解：由已知p ＝2a ＋3b －c ， 设p ＝x a ＋y (a ＋b )＋z (a ＋b ＋c ) ＝(x ＋y ＋z )a ＋(y ＋z )b ＋z c . 由向量分解的惟一性， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝2，y ＋z ＝3，z ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4，z ＝－1.∴p 在基底{a ，a ＋b ，a ＋b ＋c }下的坐标为(－1,4，－1).[例2] 已知a ＝(2，－1，－2)，b ＝(0，－1,4)， 求：a ＋b ，a －b,3a ＋2b .[思路点拨] 空间向量的加、减、数乘运算与平面向量的加、减、数乘运算方法类似． [精解详析] a ＋b ＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4) ＝(2＋0，－1＋(－1)，－2＋4)＝(2，－2,2)． a －b ＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)＝(2－0，－1－(－1)，－2－4)＝(2,0，－6)． 3a ＋2b ＝3(2，－1，－2)＋2(0，－1,4) ＝(6，－3，－6)＋(0，－2,8)＝(6，－5,2)．[一点通] 空间向量的加、减、数乘运算是今后利用向量知识解决立体几何知识的基础，必须熟练掌握，并且能够灵活应用．4．已知a ＝(1，－2,4)，b ＝(1,0,3)，c ＝(0,0,2)． 求：(1)a －(b ＋c )； (2)4a －b ＋2c .解：(1)∵b ＋c ＝(1,0,5)，∴a －(b ＋c )＝(1，－2,4)－(1,0,5)＝(0，－2，－1)． (2)4a －b ＋2c ＝(4，－8,16)－(1,0,3)＋(0,0,4) ＝(3，－8,17)．5．已知O 为原点，A ，B ，C ，D 四点的坐标分别为：A (2，－4,1)，B (3，2,0)，C (－2,1,4)，D (6,3,2)，求满足下列条件的点P 的坐标．(1)OP ＝2(AB －AC )； (2)AP ＝AB －DC .解：(1)AB －AC ＝CB ＝(3,2,0)－(－2,1,4)＝(5,1，－4)， ∴OP ＝2(5,1，－4)＝(10,2，－8)， ∴点P 的坐标为(10,2，－8)．(2)设P (x ，y ，z )，则AP ＝(x －2，y ＋4，z －1)， 又AB ＝(1,6，－1)，DC ＝(－8，－2,2)， ∴AB －DC ＝(9,8，－3)， ∴(x －2，y ＋4，z －1)＝(9,8，－3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝9，y ＋4＝8，z －1＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝11，y ＝4，z ＝－2.所以点P 的坐标为(11,4，－2).[例3] 已知四边形ABCD 的顶点坐标分别是A (3，－1,2)，B (1,2，－1)，C (－1,1，－3)，D (3，－5,3)，求证：四边形ABCD 是一个梯形．[思路点拨] 证明AB ∥CD 且AD 不平行BC ，或证AB ∥CD 且|AB |≠|CD |即可．[精解详析] ∵AB ＝(1,2，－1)－(3，－1,2)＝(－2,3，－3)，CD ＝(3，－5,3)－(－1,1，－3)＝(4，－6,6)， ∴－24＝3－6＝－36， ∴AB 与CD 共线，即AB ∥CD ，又∵AD ＝(3，－5,3)－(3，－1,2)＝(0，－4,1)，BC ＝(－1,1，－3)－(1,2，－1)＝(－2，－1，－2)，∴0－2≠－4－1≠1－2，∴AD 与BC 不平行． ∴四边形ABCD 为梯形． [一点通]利用空间向量的坐标运算证明线线平行时，应该遵循的步骤是： (1)建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标； (2)写出相应向量的坐标； (3)证明两个向量平行；(4)证明其中一个向量所在直线上一点不在另一向量所在的直线上，从而证得线线平行．6．设a ＝(1,2，－1)，b ＝(－2,3,2)．若(k a ＋b )∥(a －3b )，求k 的值． 解：∵k a ＋b ＝(k,2k ，－k )＋(－2,3,2) ＝(k －2,2k ＋3,2－k )，a －3b ＝(1,2，－1)－(－6,9,6)＝(7，－7，－7)． ∵(k a ＋b )∥(a －3b )， ∴k －27＝2k ＋3－7＝2－k －7，∴k ＝－13.7.如图，在长方体OAEB －O 1A 1E 1B 1中，OA ＝3，OB ＝4，OO 1＝2，点P 在棱AA 1上，且AP ＝2P A 1，点S 在棱BB 1上，且SB 1＝2BS ，点Q 、R 分别是棱O 1B 1、AE 的中点．求证：PQ ∥RS .证明：如图，建立空间直角坐标系，则A (3,0,0)，B (0,4,0)，O 1(0,0,2)，A 1(3,0,2)，B 1(0,4,2)． ∵P A ＝2P A 1，SB 1＝2BS ，Q 、R 分别是棱O 1B 1、AE 的中点，∴P ⎝⎛⎭⎫3，0，43，Q (0,2,2)，R (3,2,0)，S ⎝⎛⎭⎫0，4，23. 于是PQ ＝⎝⎛⎭⎫－3，2，23＝RS .∴PQ ∥RS . ∵R ∉PQ ，∴PQ ∥RS .1．运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤： (1)建立恰当的空间直角坐标系； (2)求出相关点的坐标；(3)写出向量的坐标； (4)结合公式进行论证、计算； (5)转化为几何结论．2．用空间向量的坐标运算解决问题的前提是建立恰当的空间直角坐标系，为便于坐标的求解及运算，在建立空间直角坐标系时，要充分分析空间几何体的结构特点，应使尽可能多的点在坐标轴上或坐标平面内．[对应课时跟踪训练(二十一)]1．已知a ＝(1，－2,1)，a －b ＝(－1,2，－1)，则b ＝________. 解析：b ＝a －(a －b )＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)． 答案：(2，－4,2)2．已知点A 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(2,1,3)，其中a ＝4i ＋2j ，b ＝2j ＋3k ，c ＝3k －j ，则点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为________．解析：由题意知点A 对应向量为2a ＋b ＋3c ＝2(4i ＋2j )＋(2j ＋3k )＋3(3k －j )＝8i ＋3j ＋12k ， 故点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为(8,3,12)． 答案：(8,3,12)3．已知向量a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,0，λ)，若a 、b 、c 三个向量共面，则实数λ＝________. 解析：由a 、b 、c 共面可得c ＝x a ＋y b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧7＝2x －y ，0＝－x ＋4y ，λ＝3x －2y ，解得λ＝10.答案：104．已知a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，若a ∥b ，则x ＝_______________， y ＝________.解析：∵a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)， 又∵a ∥b ，显然y ≠0， ∴2x 1＝1－2y ＝39， ∴x ＝16，y ＝－32.答案：16 －325．已知点A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C 为线段AB 上一点，且AC ＝13AB ，则C 点坐标为________．解析：设C 点坐标(x ，y ，z )，则AC ＝(x －4，y －1，z －3)．∵AB ＝(－2，－6，－2)，∴13AB ＝13(－2，－6，－2)＝⎝⎛⎭⎫－23，－2，－23， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －4＝－23，y －1＝－2，z －3＝－23.解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝103，y ＝－1，z ＝73.答案：(103，－1，73)6．已知P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，并且P A ＝AD ＝1，试建立适当的坐标系并写出向量MN ，DC 的坐标．所以可设AD ＝e 1，解：如图，因为P A ＝AD ＝AB ＝1，且P A ⊥平面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ＝e 2，AP ＝e 3，以{e 1，e 2，e 3}为基底建立空间直角坐标系A -xyz . 因为DC ＝AB ＝e 2，MN ＝MA ＋AP ＋PN ＝MA ＋AP ＋12PC＝－12AB ＋AP ＋12(PA ＋AD ＋DC )＝－12e 2＋e 3＋12(－e 3＋e 1＋e 2)＝12e 1＋12e 3.所以MN ＝⎝⎛⎭⎫－12，0，12，DC ＝(0,1,0)． 7．已知A 、B 、C 三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1)、(－2,2,3)．求点P 的坐标，使： (1)OP ＝12(AB －AC )；(2)AP ＝12(AB －AC )．解：AB ＝(2,6，－3)，AC ＝(－4,3,1)． (1)OP ＝12(6,3，－4)＝⎝⎛⎭⎫3，32，－2， 则点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫3，32，－2. (2)设P 为(x ，y ，z )，则AP ＝(x －2，y ＋1，z －2) ＝12(AB －AC )＝⎝⎛⎭⎫3，32，－2， ∴x ＝5，y ＝12，z ＝0，则点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫5，12，0. 8. 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，DA ＝DC ＝4，DD 1＝3，点P 是线段BD 1上一动点，E 是BC 的中点，当点P 在什么位置时，PE ∥A 1B?解：以D 为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则A 1(4,0,3)，B (4,4,0)，C (0,4,0)，D 1(0，0,3)．∵E 为BC 的中点， ∴E (2,4,0)．∴1A B ＝(4,4,0)－(4,0,3)＝(0,4，－3)，1BD ＝(0,0,3)－(4,4,0)＝(－4，－4,3)，EB ＝(4,4,0)－(2,4,0)＝(2,0,0)．设BP ＝λ1BD ，则EP ＝EB ＋BP ＝EB ＋λ1BD . ∵EB ＝(2,0,0)，λ1BD ＝(－4λ，－4λ，3λ)， ∴EP ＝(2－4λ，－4λ，3λ)． 由PE ∥A 1B ，得EP ∥1A B ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2－4λ＝0，－4λ4＝3λ－3.∴λ＝12.此时点P 为BD 1的中点．故当点P 为BD 1的中点时，PE ∥A 1B .。

课时跟踪训练(二十五) 空间的角的计算1．已知A (0,1,1)，B (2，－1,0)，C (3,5,7)，D (1,2,4)，则直线AB 与直线CD 所成角的余弦值为________．2．棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为A 1B 1，BB 1的中点，则异面直线AM 与CN 所成角的余弦值是________．3．P A ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，P A ＝AC ＝1，BC ＝2，则二面角A －PB －C 的余弦值为________．4．(大纲全国卷改编)已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于________．5．已知E ，F 分别是棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BC ，CC 1的中点，则截面AEFD 1与底面ABCD 所成二面角的余弦值是________．6.如图，在几何体ABCDE 中，△ABC 是等腰直角三角形，∠ABC ＝90°，BE 和CD 都垂直于平面ABC ，且BE ＝AB ＝2，CD ＝1，点F 是AE 的中点．求AB 与平面BDF 所成角的正弦值．7．(江西高考)如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，E 为BD 的中点，G 为PD 的中点，△DAB ≌△DCB ，EA ＝EB ＝AB ＝1，P A ＝32，连结CE 并延长交AD 于F .(1)求证：AD ⊥平面CFG ；(2)求平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值．8.如图，在几何体ABCDE 中，DA ⊥平面EAB ，CB ∥DA ，EA ⊥AB ，M 是EC 的中点，EA ＝DA ＝AB ＝2CB .(1)求证：DM ⊥EB ；(2)求异面直线AB 与CE 所成角的余弦值； (3)求二面角M －BD －A 的余弦值．答 案1．解析：AB ＝(2，－2，－1)，CD ＝(－2，－3，－3)，∴cos 〈AB ，CD 〉＝AB ·CD |AB ||CD |＝53×22＝5 2266.∴直线AB ，CD 所成角的余弦值为52266.答案：522662．解析：依题意，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1,0,0)，M ⎝⎛⎭⎫1，12，1，C (0,1,0)，N ⎝⎛⎭⎫1，1，12.∴AM ＝⎝⎛⎭⎫0，12，1，CN ＝⎝⎛⎭⎫1，0，12， ∴cos 〈AM ，CN 〉＝1252·52＝25，故异面直线AM 与CN 所成角的余弦值为25.答案：253．解析：如图建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (2，1,0)，C (0,1,0)，P (0,0,1)，AP ＝(0,0,1)，AB ＝(2，1,0)，CB ＝(2，0,0)，CP ＝(0，－1，1)．设平面P AB的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AP ＝0，m ·AB ＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y ，z )·(0，0，1)＝0，(x ，y ，z )·(2，1，0)＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ，z ＝0，令x ＝1，则m ＝(1，－2，0)． 设平面PBC 的法向量为n ＝(x ′，y ′，z ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·CB ＝0，n ·CP ＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧(x ′，y ′，z ′)·(2，0，0)＝0，(x ′，y ′，z ′)·(0，－1，1)＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝0，y ′＝z ′，令y ′＝－1，则n ＝(0，－1，－1)， ∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝33.答案：334.解析：以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA 1＝2AB＝2，则D (0,0,0)，C (0,1,0)，B (1,1,0)，C 1(0,1,2)，则DC ＝(0,1,0)，DB ＝(1,1,0)，1DC ＝(0,1,2)．设平面BDC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ⊥DB ，n ⊥1DC ，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y ＋2z ＝0，令y ＝－2，得平面BDC 1的一个法向量为n ＝(2，－2,1)．设CD 与平面BDC 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，DC 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·DC |n ||DC |＝23.答案：235.解析：以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图，则A (1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫12，1，0，F ⎝⎛⎭⎫0，1，12，D 1(0,0,1)． 所以1AD ＝(－1,0,1)，AE ＝⎝⎛⎭⎫－12，1，0. 设平面AEFD 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·1AD ＝0n ·AE ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－x 2＋y ＝0.取y ＝1，则n ＝(2,1,2)，而平面ABCD 的一个法向量为u ＝(0,0,1)， ∴cos 〈n ，u 〉＝23.答案：236．解：以点B 为原点，BA 、BC 、BE 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B (0,0,0)，A (2,0,0)， C (0,2,0)，D (0,2,1)，E (0,0,2)， F (1,0,1)．∴BD ＝(0,2,1)，DF ＝(1，－2,0)，BA ＝(2,0,0)． 设平面BDF 的一个法向量为n ＝(2，a ，b )， ∵n ⊥DF ，n ⊥BD ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ n ·DF ＝0，n ·BD ＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧2－2a ＝0，2a ＋b ＝0.解得a ＝1，b ＝－2.∴n ＝(2,1，－2)． 又设AB 与平面BDF 所成的角为θ，则sin θ＝BA ·n | BA |·|n |＝42×3＝23.即AB 与平面BDF 所成角的正弦值为23.7．解：(1)证明：在△ABD 中，因为E 是BD 中点， 所以EA ＝EB ＝ED ＝AB ＝1， 故∠BAD ＝π2，∠ABE ＝∠AEB ＝π3，因为△DAB ≌△DCB ，所以△EAB ≌△ECB ， 从而有∠FED ＝∠BEC ＝∠AEB ＝π3，所以∠FED ＝∠FEA ，故EF ⊥AD ，AF ＝FD .因为PG ＝GD ，所以FG ∥P A . 又P A ⊥平面ABCD ，所以GF ⊥AD ，故AD ⊥平面CFG .(2)以点A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C ⎝⎛⎭⎫32，32，0，D (0，3，0)，P ⎝⎛⎭⎫0，0，32， 故BC ＝⎝⎛⎭⎫12，32，0，CP ＝⎝⎛－32，⎭⎫－32，32， CD ＝⎝⎛⎭⎫－32，32，0.设平面BCP 的一个法向量n 1＝(1，y 1，z 1)， 则⎩⎨⎧n 1·BC ＝12＋32y 1＝0，n 1·CP ＝－32－32y 1＋32z 1＝0，解得⎩⎨⎧y 1＝－33，z 1＝23，即n 1＝⎝⎛⎭⎫1，－33，23. 设平面DCP 的一个法向量n 2＝(1，y 2，z 2)， 则⎩⎨⎧n 2·CD ＝－32＋32y 2＝0，n 2·CP ＝－32 －32y 2＋32z 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝3，z 2＝2，即n 2＝(1，3，2)．从而平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值为 cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝43169·8＝24. 8．解：以直线AE 、AB 、AD 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系A －xyz ，设CB ＝a ，则A (0,0,0)，E (2a,0,0)，B (0,2a,0)，C (0,2a ，a )，D (0,0,2a )， 所以M (a ，a ，a2)，(1)证明：DM ＝(a ，a ，－3a2)，EB ＝(－2a,2a,0)，∴DM ·EB ＝a ·(－2a )＋a ·2a ＋0＝0， ∴DM ⊥EB ，即DM ⊥EB .(2)AB ＝(0,2a,0)，CE ＝(2a ，－2a ，－a )， 设异面直线AB 与CE 所成的角为θ， 则cos θ＝|AB ·CE ||AB |·|CE |＝4a 22a ·3a ＝23.即异面直线AB 与CE 所成角的余弦值为23.(3)∵DA ⊥平面EAB ，AD ⊂平面DAB ， ∴平面DAB ⊥平面EAB ，∵EA ⊂平面EAB ，平面EAB ∩平面DAB ＝AB ， EA ⊥AB .∴EA ⊥平面DAB .∴AE ＝(2a,0,0)是平面DAB 的一个法向量． 设平面MBD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，DM ＝(a ，a ，－3a2)，BD ＝(0，－2a,2a )，则⎩⎪⎨⎪⎧DM ·n ＝0， BD ·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3z 2＝0，－y ＋z ＝0.令z ＝a ，则n ＝⎝⎛⎭⎫a2，a ，a ， 设二面角M －BD －A 的平面角为α， 则cos α＝AE ·n | AE |·|n |＝a 22a ·3a 2＝13.即二面角M －BD －A 的余弦值为13.。

课时跟踪训练(十七)曲线的交点1．曲线x2－xy－y2－3x＋4y－4＝0与x轴的交点坐标是________．2．曲线x2＋y2＝4与曲线x2＋y29＝1的交点个数为________．3．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________．4．曲线y＝x2－x＋2和y＝x＋m有两个不同的公共点，则实数m的范围是________．5．如果椭圆x236＋y29＝1的一条弦被点(4,2)平分，那么这条弦所在直线的方程是________．6．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为42，离心率为6 4.(1)求椭圆的标准方程；(2)直线l与该椭圆交于M、N两点，MN的中点为A(2，－1)，求直线l的方程．7．已知椭圆C1与抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：(1)求C1，C2的标准方程；(2)请问是否存在直线l满足条件：①过C2的焦点F；②与C1交于不同两点M，N且满足OM⊥ON？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．8．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点(A ，B 不是左右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．答 案1．解析：当y ＝0时，得x 2－3x －4＝0，解得x 1＝4或x 2＝－1.所以交点坐标为(4,0)和(－1,0)．答案：(4,0)，(－1,0)2．解析：由数形结合可知两曲线有4个交点．答案：43．解析：由y 2＝8x ，得准线方程为x ＝－2.则Q 点坐标为(－2,0)．设直线y ＝k (x ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，y 2＝8x ，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.若直线l 与y 2＝8x 有公共点，则Δ＝(4k 2－8)2－16k 4≥0.解得－1≤k ≤1.答案：[－1,1] 4．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，y ＝x 2－x ＋2，消去y ，得x 2－2x ＋2－m ＝0.若有两个不同的公共点，则Δ＝4－4(2－m )>0，∴m >1.答案：(1，＋∞)5．解析：设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵P (4,2)为AB 中点，∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4.又∵A ，B 在椭圆上，∴x 21＋4y 21＝36，x 22＋4y 22＝36.两式相减得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0，即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－(x 1＋x 2)4(y 1＋y 2)＝－12.即直线l 的斜率为－12.∴所求直线方程为x ＋2y －8＝0.答案：x ＋2y －8＝06．解：(1)由题意2a ＝42，∴a ＝22，又e ＝c a ＝c 22＝64， ∴c ＝ 3.∴b 2＝a 2－c 2＝8－3＝5.故所求椭圆的标准方程为x 28＋y 25＝1. (2)∵点A 在椭圆内部，∴过A 点的直线必与椭圆有两交点．当直线斜率不存在时，A 点不可能为弦的中点，故可设直线方程为y ＋1＝k (x －2)，它与椭圆的交点分别为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝k (x －2)，x 28＋y 25＝1.消去y 得 (8k 2＋5)x 2－16k (2k ＋1)x ＋8[(2k ＋1)2－5]＝0，∴x 1＋x 2＝16k (2k ＋1)8k 2＋5， 又∵A (2，－1)为弦MN 的中点，∴x 1＋x 2＝4，即16k (2k ＋1)8k 2＋5＝4， ∴k ＝54，从而直线方程为5x －4y －14＝0. 7．解：(1)设抛物线C 2：y 2＝2px (p ≠0)，则有y 2x ＝2p (x ≠0)，据此验证4个点知(3，－23)，(4，－4)在抛物线上，易求C 2：y 2＝4x .设C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，把点(－2,0)，⎝⎛⎭⎫2，22代入得⎩⎨⎧ 4a 2＝1，2a 2＋12b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.∴C 1的方程为x 24＋y 2＝1. (2)容易验证直线l 的斜率不存在时，不满足题意；当直线l 的斜率存在时，假设存在直线l 过抛物线焦点F (1,0)，设其方程为y ＝k (x －1)，与C 1的交点坐标为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k (x －1)消去y 得， (1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－1)＝0，于是x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4(k 2－1)1＋4k 2. ① 所以y 1y 2＝k (x 1－1)·k (x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4(k 2－1)1＋4k 2－8k 21＋4k 2＋1＝－3k 21＋4k 2. ② 由OM ⊥ON ，即OM ·ON ＝0，得x 1x 2＋y 1y 2＝0. ③ 将①②代入③式得，4(k 2－1)1＋4k 2－3k 21＋4k 2＝k 2－41＋4k 2＝0，解得k ＝±2. 所以存在直线l 满足条件，且l 的方程为：y ＝2x －2或y ＝－2x ＋2.8．解：(1)由题意设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 由题意得a ＋c ＝3，a －c ＝1，∴a ＝2，c ＝1，b 2＝3.∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1得， (3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0，∴Δ＝64m 2k 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0，即3＋4k 2－m 2>0.∴x 1＋x 2＝－8mk3＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－3)3＋4k 2. y 1y 2＝(kx 1＋m )·(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3(m 2－4k 2)3＋4k 2. ∵以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点D (2,0)，k AD ·k BD ＝－1，∴y 1x 1－2·y 2x 2－2＝－1，化简得 y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0，即3(m 2－4k 2)3＋4k 2＋4(m 2－3)3＋4k 2＋16mk 3＋4k 2＋4＝0， 化简得7m 2＋16mk ＋4k 2＝0，解得m 1＝－2k ，m 2＝－2k 7，且满足3＋4k 2－m 2>0. 当m ＝－2k 时，l ：y ＝k (x －2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾；当m ＝－2k 7时，l ：y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －27，直线过定点⎝⎛⎭⎫27，0. 综上可知，直线l 过定点，定点坐标为⎝⎛⎭⎫27，0.。

课时跟踪训练(八) 椭圆的标准方程1．若椭圆x 225＋y 29＝1上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为________．2．椭圆25x 2＋16y 2＝1的焦点坐标是________．3．已知方程(k 2－1)x 2＋3y 2＝1是焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是________．4．已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.5．已知P 为椭圆x 225＋4y 275＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为________．6．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)以(0,5)和(0，－5)为焦点，且椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26；(2)以椭圆9x 2＋5y 2＝45的焦点为焦点，且经过M (2，6)．7．如图，设点P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是点P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且MD ＝45PD ，当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程．8．已知动圆M 过定点A (－3,0)，并且内切于定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64，求动圆圆心M 的轨迹方程．答 案1．解析：由椭圆定义知，a ＝5，P 到两个焦点的距离之和为2a ＝10，因此，到另一个焦点的距离为5.答案：52．解析：椭圆的标准方程为x 2125＋y 2116＝1，故焦点在y 轴上，其中a 2＝116，b 2＝125，所以c 2＝a 2－b 2＝116－125＝9400，故c ＝320.所以该椭圆的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，±320. 答案：⎝⎛⎭⎫0，±320 3．解析：方程(k 2－1)x 2＋3y 2＝1可化为x 21k 2－1＋y 213＝1. 由椭圆焦点在y 轴上，得⎩⎨⎧ k 2－1>0，1k 2－1<13.解之得k >2或k <－2.答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)4．解析：由题意，知(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝2a ＋2a ，又由a ＝5，可得|AB |＋(|BF 2|＋|AF 2|)＝20，即|AB |＝8.答案：85．解析：在△F 1PF 2中，F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos 60°， 即25＝PF 21＋PF 22－PF 1·PF 2.① 由椭圆的定义，得10＝PF 1＋PF 2.②由①②，得PF 1·PF 2＝25，∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2sin 60°＝25 34. 答案：25 346．解：(1)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． ∵2a ＝26,2c ＝10，∴a ＝13，c ＝5.∴b 2＝a 2－c 2＝144.∴所求椭圆的标准方程为y 2169＋x 2144＝1. (2)法一：由9x 2＋5y 2＝45，得y 29＋x 25＝1，c 2＝9－5＝4， 所以其焦点坐标为F 1(0,2)，F 2(0，－2)．设所求椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． 由点M (2，6)在椭圆上，所以MF 1＋MF 2＝2a ，即2a ＝(2－0)2＋(6－2)2＋(2－0)2＋(6＋2)2＝43， 所以a ＝23，又c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝8，所以所求椭圆的标准方程为y 212＋x 28＝1. 法二：由法一知，椭圆9x 2＋5y 2＝45的焦点坐标为F 1(0,2)，F 2(0，－2)，则设所求椭圆方程为y 2λ＋4＋x 2λ＝1(λ＞0)， 将M (2，6)代入，得6λ＋4＋4λ＝1(λ＞0)， 解得λ＝8或λ＝－2(舍去)．所以所求椭圆的标准方程为y 212＋x 28＝1. 7．解：设M 点的坐标为(x ，y )，P 点的坐标为(x P ，y P )， 由已知易得⎩⎪⎨⎪⎧ x P ＝x ，y P ＝54y .∵P 在圆上，∴x 2＋(54y )2＝25.即轨迹C 的方程为x 225＋y 216＝1. 8．解：设动圆M 的半径为r ，则|MA |＝r ，|MB |＝8－r ，∴|MA |＋|MB |＝8，且8>|AB |＝6，∴动点M 的轨迹是椭圆，且焦点分别是A (－3,0)，B (3,0)，且2a ＝8， ∴a ＝4，c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.∴所求动圆圆心M 的轨迹方程是x 216＋y 27＝1.。

课时跟踪训练(十五) 曲线与方程1．曲线C 的方程为y ＝x (1≤x ≤5)，则下列四点中在曲线C 上的序号是________． ①(0,0)；②⎝⎛⎭⎫15，15；③(1,5)；④(4,4)．2．若P (2，－3)在曲线x 2－ay 2＝1上，则a 的值为________． 3．以下各组方程表示的曲线相同的是________(填序号)． ①x 2＝y 2与y ＝|x | ②y ＝x 2与y ＝10lg x ③xy ＝1与y ＝|x |x 2 ④x y ＝1与y x＝14．方程(x ＋y －1)x －1＝0所表示的曲线是________． 5．若点M (m ，m )在曲线x －y 2＝0上，则m 的值为________． 6．下列命题是否正确？若不正确，说明原因． (1)过点A (2,0)平行于y 轴的直线l 的方程是|x |＝2； (2)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是y ＝x .7．已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断P (1，－2)，Q (2，3)两点是否在此方程表示的曲线上； (2)若点M (m2，－m )在此方程表示的曲线上，求m 的值．8. 如图，直线l 1和l 2相交于点M ，l 1⊥l 2，点N ∈l 1，以A 、B 为端点的曲线C 上的任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等．若△AMN 为锐角三角形，AM＝17，AN ＝3，且BN ＝6，建立适当的坐标系，求曲线C 的方程．答 案1．解析：∵y ＝x (1≤x ≤5)，∴(4,4)在曲线C 上． 答案：④2．解析：∵P (2，－3)在曲线x 2－ay 2＝1上，∴4－9a ＝1，解得a ＝13.答案：133．解析：①、②、③中方程表示的曲线不相同． 答案：④4．解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x ≥1或x ＝1，故方程表示的是一条射线与一条直线．答案：一条射线与一条直线5．解析：∵点M 在曲线x －y 2＝0上，∴m －m 2＝0，解得m ＝0或m ＝1. 答案：0或16．解：(1)错误，因为以方程|x |＝2的解为坐标的点，不都在直线l 上，直线l 只是方程|x |＝2所表示的图形的一部分．(2)错误，因为到两坐标轴距离相等的点的轨迹有两条直线y ＝x 和y ＝－x ，故命题错误． 7．解：(1)因为12＋(－2－1)2＝10，而(2)2＋(3－1)2≠10.所以点P (1，－2)在方程表示的曲线上，点Q (2，3)不在方程表示的曲线上．(2)因为点M ⎝⎛⎭⎫m 2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，所以⎝⎛⎭⎫m22＋(－m －1)2＝10， 解得m ＝2或m ＝－185.8．解：如图，以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，点O 为坐标原点．依题意可设曲线C 的方程为y 2＝2px (p >0)，则p ＝MN .由题意知x 1≤x ≤x 2，y >0，其中x 1、x 2分别为A 、B 的横坐标． ∵M ⎝⎛⎭⎫－p 2，0、N ⎝⎛⎭⎫p2，0， AM ＝17，AN ＝3，∴⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫x 1＋p 22＋2px 1＝17，⎝⎛⎭⎫x 1－p 22＋2px 1＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，p ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2，p ＝2.∵△AMN 为锐角三角形，∴p2>x 1，故舍去⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2，p ＝2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，p ＝4. 由点B 在曲线C 上，得x 2＝BN －p 2＝4.综上得，曲线C 的方程为y 2＝8x (1≤x ≤4，y >0)．。

课时跟踪训练(十三) 抛物线的几何性质1．抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是________．2．抛物线y 2＝2x 上的两点A ，B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 的中点到y 轴的距离是________．3．过点(0,1)且与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点的直线有________条．4．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为________．5．已知点A (2,0)，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则FM ∶MN ＝________.6．已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，抛物线上的点M (3，m )到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m 的值．7．已知顶点在原点，焦点在y 轴上的抛物线被直线x －2y －1＝0截得的弦长为15，求此抛物线方程．8．已知抛物线y 2＝2x .(1)设点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫23，0，求抛物线上距离点A 最近的点P 的坐标及相应的距离|P A |；(2)在抛物线上求一点P ，使P 到直线x －y ＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值．答 案1．解析：这里p ＝4，焦点(2,0)，准线x ＝－2，∴焦点到准线的距离是4.答案：42．解析：抛物线y 2＝2x 的焦点为F ⎝⎛⎭⎫12，0，准线方程为x ＝－12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AF ＋BF ＝x 1＋12＋x 2＋12＝5，解得x 1＋x 2＝4，故线段AB 的中点横坐标为2.故线段AB 的中点到y 轴的距离是2. 答案：23．解析：过点(0,1)，斜率不存在的直线为x ＝0，满足与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点．当斜率存在时，设直线方程为y ＝kx ＋1，再与y 2＝4x 联立整理得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0，当k ＝0时，方程是一次方程，有一个解，满足一个交点；当k ≠0时，由Δ＝0可得k 值有一个，即有一个公共点，所以满足题意的直线有3条．答案：34．解析：设抛物线方程为y 2＝2px ，则焦点坐标为(p 2，0)，将x ＝p 2代入y 2＝2px 可得y 2＝p 2，|AB |＝12，即2p ＝12，故p ＝6.点P 在准线上，到AB 的距离为p ＝6，所以△P AB 的面积为12×6×12＝36. 答案：365．解析：如图所示，，过点M 作MM ′垂直于准线y ＝－1于点M ′，则由抛物线的定义知MM ′＝FM ，所以FM MN ＝MM ′MN ，由于△MM ′N ∽△FOA ，则MM ′M ′N＝OF OA ＝12，则MM ′∶MN ＝1∶5，即FM ∶MN ＝1∶ 5.答案：1∶ 56．解：法一：设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，则焦点F (p 2，0)，由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p ， m 2＋(3－p 2)2＝5. 解得⎩⎨⎧ p ＝4，m ＝26，或⎩⎨⎧ p ＝4，m ＝－2 6.故所求的抛物线方程为y 2＝8x ，m 的值为±2 6.法二：设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，焦点F (p 2，0)，准线方程x ＝－p 2，根据抛物线定义，点M 到焦点的距离等于M 到准线方程的距离，则3＋p 2＝5，∴p ＝4. 因此抛物线方程为y 2＝8x .又点M (3，m )在抛物线上，于是m 2＝24，∴m ＝±2 6.7．解：设抛物线方程为：x 2＝ay (a ≠0)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝ay ，x －2y －1＝0. 消去y 得：2x 2－ax ＋a ＝0，∵直线与抛物线有两个交点，∴Δ＝(－a )2－4×2×a >0，即a <0或a >8.设两交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝a 2，x 1x 2＝a 2， 弦长为|AB |＝ 54(x 1－x 2)2 ＝ 54[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝14 5(a 2－8a ).∵|AB |＝15，∴14 5(a 2－8a )＝15， 即a 2－8a －48＝0，解得a ＝－4或a ＝12，∴所求抛物线方程为：x 2＝－4y 或x 2＝12y .8．解：(1)设抛物线上任一点P 的坐标为(x ，y )，则|P A |2＝⎝⎛⎭⎫x －232＋y 2＝⎝⎛⎭⎫x －232＋2x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋132＋13. ∵x ≥0，且在此区间上函数单调递增，故当x ＝0时，|P A |min ＝23，故距点A 最近的点的坐标为(0,0)． (2)法一：设点P (x 0，y 0)是y 2＝2x 上任一点，则P 到直线x －y ＋3＝0的距离为d ＝|x 0－y 0＋3|2＝⎪⎪⎪⎪y 202－y 0＋32＝|(y 0－1)2＋5|22. 当y 0＝1时，d min ＝522＝524. ∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，1.法二：设与直线x －y ＋3＝0平行的抛物线的切线为x －y ＋t ＝0，与y 2＝2x 联立，消去x ， 得y 2－2y ＋2t ＝0，由Δ＝0，得t ＝12，此时y ＝1，x ＝12， ∴点P 坐标为⎝⎛⎭⎫12，1，两平行线间的距离就是点P 到直线x －y ＋3＝0的最小距离，即d min ＝524.。

课时跟踪训练(三)“且”“或”“非”1．命题“正方形的两条对角线互相垂直平分”的构成形式是________．2．如果原命题是“p或q”的形式，那么它的否定形式是________________________．3．由命题p：6是12的约数，q：6是24的约数，构成的“p或q”形式的命题是_________________________________________________________________________，“p且q”形式的命题是____________________________________________________，“非p”形式的命题是______________________________________________________．4．“末位数字是1或3的整数不能被8整除”的否定形式是_____________________，否命题是__________________________________________________________________．5．分别用“p或q”，“p且q”，“非p”填空：(1)命题“非空集A∩B中的元素既是A中的元素，也是B中的元素”是________的形式；(2)命题“非空集A∪B中的元素是A中元素或B中的元素”是________的形式；(3)命题“非空集∁U A的元素是U中的元素但不是A中的元素”是________的形式．6．分别指出下列命题的形式及构成它的简单命题：(1)12可以被3或4整除；(2)3是12和15的公约数．7．分别写出由命题p：方程x2－4＝0的两根符号不同，q：方程x2－4＝0的两根绝对值相等构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的命题．8．写出下列各命题的否定形式及否命题：(1)面积相等的三角形是全等三角形；(2)若m2＋n2＋a2＋b2＝0，则实数m，n，a，b全为零；(3)若xy＝0，则x＝0或y＝0.答案1．解析：正方形的两条对角线互相垂直并且平分，是p且q的形式．答案：p且q2．綈p且綈q3．6是12或24的约数6是12的约数且是24的约数6不是12的约数4．解析：命题的否定仅否定结论，所以该命题的否定形式是：末位数字是1或3的整数能被8整除；而否命题要同时否定原命题的条件和结论，所以否命题是：末位数字不是1且不是3的整数能被8整除答案：末位数字是1或3的整数能被8整除末位数字不是1且不是3的整数能被8整除5．解析：(1)命题可以写为“非空集A∩B中的元素是A中的元素，且是B中的元素”，故填p且q；(2)“是A中元素或B中的元素”含有逻辑联结词“或”，故填p或q；(3)“不是A中的元素”暗含逻辑联结词“非”，故填非p.答案：(1)p且q(2)p或q(3)非p6．解：(1)这个命题是“p或q”的形式，其中p：12可以被3整除；q：12可以被4整除．(2)这个命题是“p且q”的形式，其中p：3是12的约数；q：3是15的约数．7．解：p或q：方程x2－4＝0的两根符号不同或绝对值相等．p且q：方程x2－4＝0的两根符号不同且绝对值相等．非p：方程x2－4＝0的两根符号相同．8．解：(1)否定形式：面积相等的三角形不一定是全等三角形；否命题：面积不相等的三角形不是全等三角形．(2)否定形式：若m2＋n2＋a2＋b2＝0，则实数m，n，a，b不全为零；否命题：若m2＋n2＋a2＋b2≠0，则实数m，n，a，b不全为零．(3)否定形式：若xy＝0，则x≠0且y≠0；否命题：若xy≠0，则x≠0且y≠0.。

课时跟踪训练(二十二)空间向量的数量积1．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量AB与AC的夹角为________．2．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|＝________.3．若AB＝(－4,6，－1)，AC＝(4,3，－2)，|a|＝1，且a⊥AB，a⊥AC，则a＝________________________________________________________________________.4．已知a＝(1,1,0)，b＝(0,1,1)，c＝(1,0,1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，则p·q＝________.5．如图，120°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在两个半平面内，且都垂直于AB.若AB＝4，AC＝6，BD＝8，则CD的长为________．6．已知a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．(1)若(k a＋b)∥(a－3b)，求k的值；(2)若(k a＋b)⊥(a－3b)，求k的值．7．已知A(1,1,1)，B(2,2,2)，C(3,2,4)，求△ABC的面积．8．在长方体OABC－O1A1B1C1中，|OA|＝2，|AB|＝3，|AA1|＝2，E是BC的中点．建立空间直角坐标系，用向量方法解决下列问题．(1)求直线AO1与B1E所成的角的余弦值；(2)作O1D⊥AC于D，求点O1到点D的距离．答 案1．解析：AB ＝(0,3,3)，AC ＝(－1,1,0)，∴cos 〈AB ，AC 〉＝332×2＝12，∴〈AB ，AC 〉＝60°.答案：60°2．解析：a ·b ＝2×3×cos 60°＝3.∴|2a －3b |＝4|a |2－12a ·b ＋9|b |2＝4×4－12×3＋81＝61. 答案：613．解析：设a ＝(x ，y ，z )，由题意有⎩⎨⎧a·AB ＝0，a ·AC ＝0，|a|＝1，代入坐标可解得：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝313，y ＝413，z ＝1213或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－313，y ＝－413，z ＝－1213.答案：⎝⎛⎭⎫313，413，1213或⎝⎛⎭⎫－313，－413，－1213 4．解析：∵p ＝(1,1,0)－(0,1,1)＝(1,0，－1)，q ＝(1,1,0)＋2(0,1,1)－(1,0,1)＝(0,3,1)，∴p ·q ＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1.答案：－15．解析：∵AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，∴AC ·AB ＝0，BD ·AB ＝0.又∵二面角为120°，∴〈CA ，BD 〉＝60°，∴CD 2＝|CD |2＝(CA ＋AB ＋BD )2＝CA 2＋AB 2＋BD 2＋2(CA ·AB ＋CA ·BD ＋AB ·BD )＝164，∴|CD |＝241.答案：2416．解：k a ＋b ＝(k －2,5k ＋3，－k ＋5)， a －3b ＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5) ＝(7，－4，－16)． (1)∵(k a ＋b )∥(a －3b )， ∴k －27＝5k ＋3－4＝－k ＋5－16，解得k ＝－13. (2)∵(k a ＋b )⊥(a －3b )，∴(k －2)×7＋(5k ＋3)×(－4)＋(－k ＋5)×(－16)＝0. 解得k ＝1063.7．解：∵AB ＝(1,1,1)，AC ＝(2,1,3)， ∴|AB |＝3，|AC |＝14，AB ·AC ＝6，∴cos ∠BAC ＝cos 〈AB ，AC 〉＝AB ·AC|AB ||AC |＝63×14＝427，∴sin ∠BAC ＝1－cos 2A ＝17＝77， ∴S △ABC ＝12|AB ||AC |sin ∠BAC＝12×3×14×77＝62. 8．解：建立如图所示的空间直角坐标系．(1)由题意得A (2,0,0)，O 1(0,0,2)，B 1(2,3,2)，E (1,3,0)，∴1AO ＝(－2,0,2)，1B E ＝(－1,0，－2)， ∴cos 〈1AO ，1B E 〉＝－2210＝－1010.故AO 1与B 1E 所成的角的余弦值为1010. (2)由题意得1O D ⊥AC ，AD ∥AC ， ∵C (0,3,0)，设D (x ，y,0)，∴1O D ＝(x ，y ，－2)，AD ＝(x －2，y,0)，AC ＝(－2,3,0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋3y ＝0，x －2－2＝y 3，解得⎩⎨⎧x ＝1813，y ＝1213，∴D ⎝⎛⎭⎫1813，1213，0. O 1D ＝|1O D |＝ ⎝⎛⎭⎫18132＋⎝⎛⎭⎫12132＋4＝1 144132＝228613.。

课时跟踪训练(十四) 圆锥曲线的统一定义1．双曲线2x 2－y 2＝－16的准线方程为________．2．设P 是椭圆x 225＋y 29＝1上一点，M ，N 分别是两圆：(x ＋4)2＋y 2＝1和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则PM ＋PN 的最小值、最大值分别为________________．3．到直线y ＝－4的距离与到A (0，－2)的距离的比值为2的点M 的轨迹方程为________．4．(福建高考)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．5．已知椭圆x 24＋y 22＝1内部的一点为A ⎝⎛⎭⎫1，13，F 为右焦点，M 为椭圆上一动点，则MA ＋2MF 的最小值为________．6．已知椭圆x 2100＋y 236＝1上有一点P ，到其左、右两焦点距离之比为1∶3，求点P 到两准线的距离及点P 的坐标．7．已知平面内的动点P 到定直线l ：x ＝2 2的距离与点P 到定点F (2，0)之比为 2.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)若点N 为轨迹C 上任意一点(不在x 轴上)，过原点O 作直线AB ，交(1)中轨迹C 于点A 、B ，且直线AN 、BN 的斜率都存在，分别为k 1、k 2，问k 1·k 2是否为定值？8．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右两个焦点分别为F 1，F 2，P 是左支上一点，P 到左准线的距离为d ，双曲线的一条渐近线为y ＝3x ，问是否存在点P ，使d 、PF 1、PF 2成等比数列？若存在，则求出P 的坐标，若不存在，说明理由．答 案1．解析：原方程可化为y 216－x 28＝1.∵a 2＝16，c 2＝a 2＋b 2＝16＋8＝24，∴c ＝2 6.∴准线方程为y ＝±a 2c ＝±1626＝±463. 答案：y ＝±4632．解析：PM ＋PN 最大值为PF 1＋1＋PF 2＋1＝12，最小值为PF 1－1＋PF 2－1＝8. 答案：8,123．解析：设M (x ，y )，由题意得|y ＋4|x 2＋(y ＋2)2＝ 2.化简得y 28＋x 24＝1. 答案：y 28＋x 24＝1 4．解析：直线y ＝3(x ＋c )过点F 1(－c,0)，且倾斜角为60°，所以∠MF 1F 2＝60°，从而∠MF 2F 1＝30°，所以MF 1⊥MF 2.在Rt △MF 1F 2中，MF 1＝c ，MF 2＝3c ，所以该椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝2c c ＋3c＝3－1. 答案：3－1 5．解析：设M 到右准线的距离为d ，由圆锥曲线定义知MF d ＝22，右准线方程为x ＝a 2c ＝2 2.∴d ＝2MF .∴MA ＋2MF ＝MA ＋d .由A 向右准线作垂线，垂线段长即为MA ＋d 的最小值，∴MA ＋d ≥22－1.答案：22－16．解：设P (x ，y )，左、右焦点分别为F 1、F 2.由已知的椭圆方程可得a ＝10，b ＝6，c ＝8，e ＝c a ＝45，准线方程为x ＝±252. ∵PF 1＋PF 2＝2a ＝20，且PF 1∶PF 2＝1∶3，∴PF 1＝5，PF 2＝15.设P 到两准线的距离分别为d 1、d 2，则由PF 1d 1＝PF 2d 2＝e ＝45，得d 1＝254，d 2＝754.∴x ＋a 2c ＝x ＋252＝254，∴x ＝－254. 代入椭圆方程，得y ＝±3394. ∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－254，3394或⎝⎛⎭⎫－254，－3394. 7．解：(1)设点P (x ，y )，依题意，有(x －2)2＋y 2|x －2 2|＝22. 整理，得x 24＋y 22＝1.所以动点P 的轨迹C 的方程为 x 24＋y 22＝1. (2)由题意，设N (x 1，y 1)，A (x 2，y 2)，则B (－x 2，－y 2)，x 214＋y 212＝1，x 224＋y 222＝1. k 1·k 2＝y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝y 21－y 22x 21－x 22＝2－12x 21－2＋12x 22x 21－x 22＝－12，为定值． 8．解：假设存在点P ，设P (x ，y )．∵双曲线的一条渐近线为y ＝3x ，∴b a＝3，b 2＝3a 2，c 2－a 2＝3a 2. ∴c a＝2. 若d 、PF 1、PF 2成等比数列，则PF 2PF 1＝PF 1d ＝2，PF 2＝2PF 1.① 又∵双曲线的准线为x ＝±a 2c， ∴PF 1＝⎪⎪⎪⎪2x 0＋2·a 2c ＝|2x 0＋a |， PF 2＝⎪⎪⎪⎪2x 0－2·a 2c ＝|2x 0－a |. 又∵点P 是双曲线左支上的点，∴PF 1＝－2x 0－a ，PF 2＝－2x 0＋a .代入①得－2x 0＋a ＝2(－2x 0－a )， x 0＝－32a . 代入x 2a 2－y 2b 2＝1得y 0＝±152a .∴存在点P 使d 、PF 1、PF 2成等比数列，P ⎝⎛⎭⎫－32a ，±152a .。

课时跟踪训练(二十一)　空间向量的坐标表示1．已知a ＝(1，－2,1)，a －b ＝(－1,2，－1)，则b ＝________.2．已知点A 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(2,1,3)，其中a ＝4i ＋2j ，b ＝2j ＋3k ，c ＝3k －j ，则点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为________．3．已知向量a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,0，λ)，若a 、b 、c 三个向量共面，则实数λ＝________.4．已知a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，若a ∥b ，则x ＝________，y ＝________.5．已知点A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C 为线段AB 上一点，且＝，则C 点坐标AC 13AB为________．6．已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，并且PA ＝AD ＝1，试建立适当的坐标系并写出向量，DC ―→的坐标．MN DC7．已知A 、B 、C 三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1)、(－2,2,3)．求点P 的坐标，使：(1)＝(－)；OP 12AB AC(2) ＝(－)．AP 12AB AC 8.如图，在长方体ABCD －A1B 1C 1D 1中，DA ＝DC ＝4，DD 1＝3，点P 是线段BD 1上一动点，E 是BC 的中点，当点P 在什么位置时，PE ∥A 1B?答 案1．解析：b ＝a －(a －b )＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)．答案：(2，－4,2)2．解析：由题意知点A 对应向量为2a ＋b ＋3c ＝2(4i ＋2j )＋(2j ＋3k )＋3(3k －j )＝8i ＋3j ＋12k ，故点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为(8,3,12)．答案：(8,3,12)3．解析：由a 、b 、c 共面可得c ＝x a ＋y b ，∴Error!解得λ＝10.答案：104．解析：∵a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，又∵a ∥b ，显然y ≠0，∴＝＝，∴x ＝，y ＝－.2x11－2y 391632答案：　－16325．解析：设C 点坐标(x ，y ，z )，则＝(x －4，y －1，z －3)．AC∵＝(－2，－6，－2)，AB∴＝(－2，－6，－2)＝，13AB 13(－23，－2，－23)∴Error!解得：Error!答案：(，－1，)103736.解：如图，因为PA ＝AD ＝AB ＝1，且PA ⊥平面ABCD ，AD ⊥AB ，所以可设＝e 1，＝e 2，＝e 3，以{e 1，e 2，e 3}为基底建立空间AD AB AP直角坐标系A ­xyz .因为＝＝e 2，DC AB＝＋＋＝＋＋MN MA AP PN MA AP12PC＝－＋＋(＋＋)12AB AP 12PA AD DC ＝－e 2＋e 3＋(－e 3＋e 1＋e 2)＝e 1＋e 3.12121212所以＝，＝(0,1,0)．MN (－12，0，12)DC 7．解：＝(2,6，－3)，＝(－4,3,1)．ABAC (1)＝(6,3，－4)＝，OP 12(3，32，－2)则点P 的坐标为.(3，32，－2)(2)设P 为(x ，y ，z )，则＝(x －2，y ＋1，z －2)AP＝(－)＝，12AB AC (3，32，－2)∴x ＝5，y ＝，z ＝0，则点P 的坐标为.12(5，12，0)8．解：以D 为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则A 1(4,0,3)，B (4,4,0)，C (0,4,0)，D 1(0，0,3)．∵E 为BC 的中点，∴E (2,4,0)．∴＝(4,4,0)－(4,0,3)＝(0,4，－3)，1A B＝(0,0,3)－(4,4,0)＝(－4，－4,3)，1BD＝(4,4,0)－(2,4,0)＝(2,0,0)．EB设＝λ，则＝＋＝＋λ.BP 1BD EP EB BP EB1BD ∵＝(2,0,0)，λ＝(－4λ，－4λ，3λ)，EB1BD ∴＝(2－4λ，－4λ，3λ)．EP由PE ∥A 1B ，得∥，EP 1A B∴Error!∴λ＝.12此时点P 为BD 1的中点．故当点P 为BD 1的中点时，PE ∥A 1B .。

课时跟踪训练(十八) 空间向量及其线性运算1．有下列命题：(1)单位向量一定相等；(2)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； (3)相等的非零向量，若起点不同，则终点一定不同； (4)方向相反的两个单位向量互为相反向量； (5)起点相同且模相等的向量的终点的轨迹是圆． 其中正确的命题的个数为________个．2．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若CA ＝a ，CB ＝b ，1CC ＝c ，则1A B ＝________. 3．在下列命题中，错误命题的序号是________． ①若a ≠λb ，则a 与b 不共线(λ∈R )； ②若a ＝2b ，则a 与b 共线；③若m ＝a －2b ＋3c ，n ＝－2a ＋4b －6c ，则m ∥n ； ④若a ＋b ＋c ＝0，则a ＋b ＝－c .4．设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB ＝2e 1＋k e 2，CB ＝e 1＋3e 2，CD ＝2e 1－e 2，且A ，B ，D 三点共线，则k ＝________.5．如图，已知空间四边形ABCD 中，AB ＝a －2c ，CD ＝5a ＋6b －8c ，对角线AC ，BD的中点分别为E ，F ，则EF ＝________.(用向量a ，b ，c 表示)6.如图，在空间四边形ABCD 中，G 为△BCD 的重心，E ，F 分别为边CD 和AD 的中点，试化简AG ＋13BE －12AC ，并在图中标出化简结果的向量．7．已知正四棱锥P －ABCD ，O 是正方形ABCD 的中心，Q 是CD 的中点，求下列各式中x ，y ，z 的值． (1) OQ ＝PQ ＋y PC ＋z PA ； (2) PA ＝x PO ＋y PQ ＋PD .8．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是平行六面体．(1)化简121AA ＋BC ＋23AB ，并在图上以A 1A 的中点为起点标出计算结果；(2)设M 是BD 的中点，N 是侧面BCC 1B 1对角线BC 1上的点，且BN ∶NC 1＝3∶1，试用向量AB ，AD ，1AA 来表示向量MN .答 案1．解析：(1)不正确，因为忽略方向；(2)方向相同，模相等的向量是相等向量，与起点无关，故(2)正确．(3)、(4)正确；(5)不正确，轨迹是个球面．答案：32．解析：如图，1A B ＝1B B －11B A ＝1B B －BA ＝－1CC －(CA －CB ) ＝－c －(a －b )＝－c －a ＋b . 答案：－c －a ＋b3．解析：①错，当a ≠0，b ＝0，λ≠0时，a 与b 共线，②③④均正确． 答案：①4．解析：∵BD ＝BC ＋CD ＝(－e 1－3e 2)＋(2e 1－e 2)＝e 1－4e 2， 又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB ＝λBD ， 即2e 1＋k e 2＝λ(e 1－4e 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ，k ＝－4λ，∴k ＝－8. 答案：－85．解析：设G 为BC 的中点，连结EG ，FG ，则EF ＝EG ＋GF＝12AB ＋12CD ＝12(a －2c )＋12(5a ＋6b －8c )＝3a ＋3b －5c 答案：3a ＋3b －5c6．解：∵G 是△BCD 的重心，BE 是CD 边上的中线，∴GE ＝13BE .又∵12AC ＝12(DC －DA )＝12DC －12DA ＝DE －DF ＝FE ， ∴AG ＋13BE －12AC＝AG ＋GE －FE ＝AF (如图所示)．7．解：如图：(1)∵OQ ＝PQ －PO ＝PQ －12(PA ＋PC )＝PQ －12PC －12PA ， ∴y ＝z ＝－12.(2)∵O 为AC 的中点，Q 为CD 的中点， ∴PA ＋PC ＝2PO ，PC ＋PD ＝2PQ ， ∴PA ＝2PO －PC ，PC ＝2PQ －PD ， ∴PA ＝2PO －2PQ ＋PD ， ∴x ＝2，y ＝－2.8．解：(1)先在图中标出121AA ，为此可取AA 1的中点E ，则121AA ＝1EA .∵AB ＝11D C ，在D 1C 1上取点F ，使D 1F ＝23D 1C 1，因此23AB ＝2311D C ＝1D F ，又BC ＝11A D ，从而121AA ＋BC ＋23AB ＝1EA ＋11A D ＋1D F ＝EF .计算结果如图所示．(2)MN ＝MB ＋BN ＝12DB ＋341BC ＝12(DA ＋AB )＋34(BC ＋1CC )＝12(－AD ＋AB )＋34(AD ＋1AA )＝12AB ＋14AD ＋341AA .。

课时跟踪训练(十六) 求曲线的方程1．到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是________．2．等腰三角形底边的两个顶点是B (2,1)，C (0，－3)，则另一顶点A 的轨迹方程是________．3．已知两定点A (－1,0)，B (2,0)，动点P 满足P A PB ＝12，则P 点的轨迹方程是________． 4．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足P A ＝2PB ，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于________．5．已知直线l ：2x ＋4y ＋3＝0，P 为l 上的动点，O 为坐标原点，点Q 分线段OP 为1∶2两部分，则Q 点的轨迹方程是________．6．若动点P 在曲线y ＝2x 2＋1上移动，求点P 与Q (0，－1)连线中点M 的轨迹方程．7．已知双曲线2x 2－2y 2＝1的两个焦点为F 1、F 2，P 为动点，若PF 1＋PF 2＝6，求动点P 的轨迹E 的方程．8.如图所示，A (m ，3m )和B (n ，－3n )两点分别在射线OS ，OT 上移动，且OA ·OB ＝－12，O 为坐标原点，动点P 满足OP ＝OA ＋OB . (1)求mn 的值；(2)求动点P 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？答 案1．解析：设动点M (x ，y )，到两坐标轴的距离为|x |、|y |.则|x |＝|y |，∴x 2＝y 2.答案：x 2＝y 22．解析：设点A 的坐标为(x ，y )．由已知得AB ＝AC ，即(x －2)2＋(y －1)2＝x 2＋(y ＋3)2.化简得 x ＋2y ＋1＝0.∵点A 不能在直线BC 上，∴x ≠1，∴顶点A 的轨迹方程为x ＋2y ＋1＝0(x ≠1)．答案：x ＋2y ＋1＝0(x ≠1)3．解析：设P (x ，y )，由已知得(x ＋1)2＋y 2(x －2)2＋y2＝12，化简得：x 2＋4x ＋y 2＝0.即(x ＋2)2＋y 2＝4.答案：(x ＋2)2＋y 2＝44．解析：设P (x ，y )，由题知(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，整理得x 2－4x ＋y 2＝0，配方得(x －2)2＋y 2＝4，可知圆的面积为4π.答案：4π5．解析：据题意，OP ＝3OQ ，设P (x ′，y ′)，Q (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝3y ，又∵P (x ′，y ′)在2x ＋4y ＋3＝0上，∴2×(3x )＋4×(3y )＋3＝0，即2x ＋4y ＋1＝0，即点Q 的轨迹方程为2x ＋4y ＋1＝0.答案：2x ＋4y ＋1＝06．解：设P (x 0，y 0)，中点M (x ，y )， 则⎩⎨⎧ x ＝x 0＋02，y ＝y 0－12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y ＋1. 又P (x 0，y 0)在曲线y ＝2x 2＋1上，∴2y ＋1＝2(2x )2＋1，即y ＝4x 2.∴点M 的轨迹方程为y ＝4x 2.7．解：依题意双曲线方程可化为x 212－y 212＝1， 则F 1F 2＝2.∴PF 1＋PF 2＝6>F 1F 2＝2，∴点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆，其方程可设为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 由2a ＝6,2c ＝2得a ＝3，c ＝1.∴b 2＝a 2－c 2＝8.则所求椭圆方程为x 29＋y 28＝1. 故动点P 的轨迹E 的方程为x 29＋y 28＝1. 8．解：(1)由OA ·OB ＝(m ，3m )·(n ，－3n )＝－2mn .得－2mn ＝－12，即mn ＝14. (2)设P (x ，y )(x >0)，由OP ＝OA ＋OB ，得(x ，y )＝(m ，3m )＋(n ，－3n )＝(m ＋n ，3m －3n )，∴⎩⎨⎧x ＝m ＋n ，y ＝3m －3n ， 整理得x 2－y 23＝4mn ， 又mn ＝14， ∴P 点的轨迹方程为x 2－y 23＝1(x >0)． 它表示以原点为中心，焦点在x 轴上，实轴长为2，焦距为4的双曲线x 2－y 23＝1的右支．。

课时跟踪训练(二)充分条件和必要条件1．(安徽高考改编)“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的________条件．2．已知直线l1：x＋ay＋6＝0和l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0，则l1∥l2的充要条件是a＝________.3．对任意实数a，b，c，给出下列命题：①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；②“a>b”是“a2>b2”的充分条件；③“a<5”是“a<3”的必要条件；④“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件．其中真命题的序号为________．4．(北京高考改编)“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的____________条件．5．若p：x(x－3)<0是q：2x－3<m的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________．6．求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.7．求直线l：ax－y＋b＝0经过两直线l1：2x－2y－3＝0和l2：3x－5y＋1＝0交点的充要条件．8．已知p：－6≤x－4≤6，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．答 案1．解析：由(2x －1)x ＝0可得x ＝12或x ＝0，因为“x ＝12或x ＝0”是“x ＝0”的必要不充分条件，所以“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的必要不充分条件．答案：必要不充分2．解析：由1×3－a ×(a －2)＝0，得a ＝3或－1，而a ＝3时，两条直线重合，所以a ＝－1.答案：－13．解析：①“a ＝b ”是ac ＝bc 的充分不必要条件，故①错，②a >b 是a 2>b 2的既不充分也不必要条件，故②错．③④正确．答案：③④4．解析：由sin φ＝0可得φ＝k π(k ∈Z )，此为曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点的充要条件，故“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的充分不必要条件．答案：充分不必要5．解析：p ：0<x <3，q ：x <3＋m 2， 若p 是q 的充分不必要条件，则3＋m 2≥3，即m ≥3. 答案：[3，＋∞)6．证明：(1)必要性：因为方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b 2－4ac >0，x 1x 2＝c a<0(x 1，x 2为方程的两根)，所以ac <0. (2)充分性：由ac <0可推得Δ＝b 2－4ac >0及x 1x 2＝c a<0(x 1，x 2为方程的两根)．所以方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．综上所述，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.7．解：由⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y －3＝0，3x －5y ＋1＝0，得交点P (174，114)． 若直线l ：ax －y ＋b ＝0经过点P ，则a ×174－114＋b ＝0.∴17a ＋4b ＝11. 设a ，b 满足17a ＋4b ＝11，则b ＝11－17a 4， 代入方程ax －y ＋b ＝0，得ax －y ＋11－17a 4＝0， 整理，得⎝⎛⎭⎫y －114－a ⎝⎛⎭⎫x －174＝0.∴直线l ：ax －y ＋b ＝0恒过点⎝⎛⎭⎫174，114，此点即为l 1与l 2的交点．综上，直线l ：ax －y ＋b ＝0经过两直线l 1：2x －2y －3＝0和l 2：3x －5y ＋1＝0交点的充要条件为17a ＋4b ＝11.8．解：p ：－6≤x －4≤6⇔－2≤x ≤10.q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0⇔[x －(1－m )][x －(1＋m )]≤0(m >0) ⇔1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．因为q 是p 的充分不必要条件．即{x |1－m ≤x ≤1＋m }{x |－2≤x ≤10}，如图，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≥－2，1＋m <10，或⎩⎪⎨⎪⎧1－m >－2，1＋m ≤10，解得m ≤3. 又m >0，所以实数m 的范围为{m |0<m ≤3}．。

课时跟踪训练(十) 双曲线的标准方程1．双曲线x 225－y 224＝1上的点P 到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为________．2．已知点F 1，F 2分别是双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，I 是△PF 1F 2的内心，且S △IPF 2＝S △IPF 1－λS △IF 1F 2，则λ＝________. 3．若方程x 2k －3＋y 2k ＋3＝1(k ∈R )表示双曲线，则k 的范围是________． 4．已知椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则实数a ＝________. 5．已知双曲线的两个焦点为F 1(－10，0)，F 2＝(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且满足1MF ·2MF ＝0，|1MF |·|2MF |＝2，则该双曲线的方程是__________． 6．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)以椭圆x 225＋y 29＝1的长轴端点为焦点，且经过点P (5，94)； (2)过点P 1(3，－4 2)，P 2(94，5)．7．设F 1，F 2为双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝120°.求△F 1PF 2的面积．8．如图，在△ABC 中，已知|AB |＝4 2，且三内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．答 案1．解析：设双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，不妨设PF 1＝11，根据双曲线的定义知|PF 1－PF 2|＝2a ＝10，∴PF 2＝1或PF 2＝21，而F 1F 2＝14，∴当PF 2＝1时，1＋11<14(舍去)，∴PF 2＝21.答案：212．解析：设△PF 1F 2内切圆的半径为r ，则由S △IPF 2＝S △IPF 1－λS △IF1F 2⇒12×PF 2×r ＝12×PF 1×r －12λ×F 1F 2×r ⇒PF 1－PF 2＝λF 1F 2，根据双曲线的标准方程知2a ＝λ·2c ，∴λ＝a c ＝45. 答案：453．解析：依题意可知：(k －3)(k ＋3)<0，求得－3<k <3.答案：－3<k <34．解析：由双曲线x 2a －y 22＝1可知a >0，且焦点在x 轴上，根据题意知4－a 2＝a ＋2，即a 2＋a －2＝0，解得a ＝1或a ＝－2(舍去)．故实数a ＝1.答案：15．解析：∵1MF ·2MF ＝0，∴1MF ⊥2MF .∴|1MF |2＋|2MF |2＝40.∴(|1MF |－|2MF |)2＝|1MF |2－2|1MF |·|2MF |＋|2MF |2＝40－2×2＝36.∴||1MF |－|2MF ||＝6＝2a ，a ＝3.又c ＝10，∴b 2＝c 2－a 2＝1，∴双曲线方程为x 29－y 2＝1. 答案：x 29－y 2＝1 6．解：(1)因为椭圆x 225＋y 29＝1的长轴端点为A 1(－5,0)，A 2(5,0)，所以所求双曲线的焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)．由双曲线的定义知，|PF 1－PF 2|＝⎪⎪⎪⎪(5＋5)2＋(94－0)2－ (5－5)2＋(94－0)2＝⎪⎪⎪⎪ (414)2－ (94)2＝8，即2a ＝8，则a ＝4. 又c ＝5，所以b 2＝c 2－a 2＝9.故所求双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1. (2)设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，分别将点P 1(3，－4 2)，P 2(94，5)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧ 9A ＋32B ＝1，8116A ＋25B ＝1，解得⎩⎨⎧ A ＝－19，B ＝116，故所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1. 7．解：由已知得a ＝2，b ＝1；c ＝a 2＋b 2＝5，由余弦定理得：F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos 120° 即(2 5)2＝(PF 1－PF 2)2＋3PF 1·PF 2∵|PF 1－PF 2|＝4.∴PF 1·PF 2＝43. ∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2·sin 120°＝12×43×32＝33.8．解：以AB 边所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图所示)．则A (－2 2，0)，B (2 2，0)．设边BC 、AC 、AB 的长分别为a 、b 、c ，由正弦定理得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R，sin C ＝c 2R(R 为△ABC 外接圆的半径)． ∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ，∴2a ＋c ＝2b ，即b －a ＝c 2. 从而有|CA |－|CB |＝12|AB |＝2 2<|AB |. 由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点)．∵a ＝2，c ＝2 2，∴b 2＝6.∴顶点C 的轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)．。

课时跟踪训练(十二) 抛物线的标准方程1．抛物线x 2＝8y 的焦点坐标是________．2．已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，其上的点P (－3，m )到焦点的距离为5，则抛物线方程为________．3．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为________． 4．抛物线x 2＝－ay 的准线方程是y ＝2，则实数a 的值是________．5．双曲线x 2m －y 2n＝1(mn ≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则mn 的值为________．6．根据下列条件，分别求抛物线的标准方程：(1)抛物线的焦点是双曲线16x 2－9y 2＝144的左顶点；(2)抛物线的焦点F 在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，AF ＝5.7．设抛物线y 2＝mx (m ≠0)的准线与直线x ＝1的距离为3，求抛物线的方程．8．一个抛物线型的拱桥，当水面离拱顶2 m 时，水宽4 m ，若水面下降1 m ，求水的宽度．答 案1．解析：由抛物线方程x 2＝8y 知，抛物线焦点在y 轴上，由2p ＝8，得p 2＝2，所以焦点坐标为(0,2)．答案：(0,2)2．解析：因为抛物线顶点在原点、焦点在x 轴上，且过p (－3，m )，可设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，由抛物线的定义可知，3＋p 2＝5.∴p ＝4.∴抛物线方程为y 2＝－8x . 答案：y 2＝－8x3．解析：椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点为(2,0)，由p 2＝2，得p ＝4. 答案：44．解析：由条件知，a ＞0，且a 4＝2，∴a ＝8. 答案：85．解析：y 2＝4x 的焦点为(1,0)，则c ＝1，c a ＝2，∴a ＝12， 即m ＝a 2＝14，n ＝c 2－a 2＝34，∴mn ＝14×34＝316. 答案：3166．解：(1)双曲线方程化为x 29－y 216＝1，左顶点为(－3,0)，由题意设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，且－p 2＝－3，∴p ＝6，∴方程为y 2＝－12x . (2)设所求焦点在x 轴上的抛物线的方程为y 2＝2px (p ≠0)，A (m ，－3)，由抛物线定义，得5＝AF ＝⎪⎪⎪⎪m ＋p 2. 又(－3)2＝2pm ，∴p ＝±1或p ＝±9，故所求抛物线方程为y 2＝±2x 或y 2＝±18x .7．解：当m ＞0时，由2p ＝m ，得p 2＝m 4，这时抛物线的准线方程是x ＝－m 4. ∵抛物线的准线与直线x ＝1的距离为3，∴1－⎝⎛⎭⎫－m 4＝3，解得m ＝8， 这时抛物线的方程是y 2＝8x .当m ＜0时，⎝⎛⎭⎫－m 4－1＝3，解得m ＝－16. 这时抛物线的方程是y 2＝－16x .综上，所求抛物线方程为y 2＝8x 或y 2＝－16x .8．解：如图建立直角坐标系．设抛物线的方程为x 2＝－2py ，∵水面离拱顶2 m 时，水面宽4 m ，∴点(2，－2)在抛物线上，∴4＝4p ，∴p ＝1.∴x 2＝－2y ，∵水面下降1 m ，即y ＝－3，而y ＝－3时，x ＝±6， ∴水面宽为2 6 m.即若水面下降1 m ，水面的宽度为2 6 m.。

课时跟踪训练(二十四) 空间线面关系的判定1．若两平面α，β的法向量分别为u ＝(2，－3,4)，v ＝⎝⎛⎭⎫－23，1，－43，则α与β的位置关系是________．2．若平面α、β的法向量分别为(－1,2,4)，(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为________． 3．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是B 1D 1的中点，则B 1C 与平面ODC 1的关系是________．4．若AB ＝λCD ＋μCE (λ，μ∈R )，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是________________________．5．已知AB ＝(1,5，－2)，BC ＝(3,1，z )，若AB ⊥BC ，BP ＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则(x ，y ，z )等于________．6．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 为PC 的中点，EF ⊥BP 于点F .求证：(1)P A ∥平面EDB ； (2)PB ⊥平面EFD .7．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，PB ＝4PM ，PB 与平面ABCD 成30°的角．求证：(1)CM ∥平面P AD ； (2)平面P AB ⊥平面P AD .8.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，用向量法证明： (1)平面A 1BD ∥平面CB 1D 1； (2)AC 1⊥平面A 1BD .答 案1．解析：∵u ＝－3v ，∴u ∥v ，∴α∥β. 答案：平行2．解析：∵α⊥β，∴－x －2－8＝0.∴x ＝－10. 答案：－103．解析：∵1B C ＝11B C ＋1B B ＝1B O ＋1OC ＋1D O ＋OD ＝1OC ＋OD ，∴1B C ，1OC ，OD 共面．又∵B 1C 不在平面ODC 1内，∴B 1C ∥平面ODC 1.答案：平行4．解析：∵AB ＝λCD ＋μCE (λ，μ∈R )，∴AB 与CD ，CE 共面．∴AB ∥平面CDE 或AB ⊂平面CDE .答案：AB ∥平面CDE 或AB ⊂平面CDE5．解析：AB ·BC ＝3＋5－2z ＝0，故z ＝4. BP ·AB ＝x －1＋5y ＋6＝0，且BP ·BC ＝3(x －1)＋y －12＝0，得x ＝407，y ＝－157.答案：⎝⎛⎭⎫407，－157，46．证明：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D －xyz ，如图，设DC ＝PD ＝1，则P (0,0,1)，A (1,0,0)，D (0,0,0)，B (1,1,0)，E ⎝⎛⎭⎫0，12，12. ∴PB ＝(1,1，－1)，DE ＝⎝⎛⎭⎫0，12，12，EB ＝⎝⎛⎭⎫1，12，－12，设F (x ，y ，z )，则PF ＝(x ，y ，z －1)，EF ＝⎝⎛⎭⎫x ，y －12，z －12. ∵EF ⊥PB ，∴x ＋⎝⎛⎭⎫y －12－⎝⎛⎭⎫z －12＝0，即x ＋y －z ＝0.① 又∵PF ∥PB ，可设PF ＝λPB ， ∴x ＝λ，y ＝λ，z －1＝－λ.② 由①②可知，x ＝13，y ＝13，z ＝23，∴EF ＝⎝⎛⎭⎫13，－16，16.(1)设n 1＝(x 1，y 1，z 1)为平面EDB 的一个法向量，则有⎩⎨⎧n 1·DE ＝0⇒12y 1＋12z 1＝0，n 1·EB ＝0⇒x 1＋12y 1－12z 1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝z 1，y 1＝－z 1. 取z 1＝－1，则n 1＝(－1,1，－1)． ∵PA ＝(1,0，－1)，∴PA ·n 1＝0. 又∵P A ⊄平面EDB ，∴P A ∥平面EDB .(2)设n 2＝(x 2，y 2，z 2)为平面EFD 的一个法向量，则有⎩⎨⎧n 2·EF ＝0⇒13x 2－16y 2＋16z 2＝0，n 2·DE ＝0⇒12y 2＋12z 2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－z 2，y 2＝－z 2. 取z 2＝1，则n 2＝(－1，－1,1)． ∴PB ∥n 2，∴PB ⊥平面EFD .7.证明：以C 为坐标原点，CB 所在直线为x 轴，CD 所在直线为y 轴，CP 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系C -xyz .∵PC ⊥平面ABCD ，∴∠PBC 为PB 与平面ABCD 所成的角， ∴∠PBC ＝30°.∵PC ＝2，∴BC ＝2 3，PB ＝4.∴D (0,1,0)，B (2 3，0,0)，A (2 3，4,0)，P (0,0,2)，M ⎝⎛⎭⎫32，0，32，∴DP ＝(0，－1,2)，DA ＝(2 3，3,0)，CM ＝⎝⎛⎭⎫32，0，32，(1)法一：令n ＝(x ，y ，z )为平面P AD 的一个法向量，则⎩⎨⎧DP ·n ＝0，DA ·n ＝0，即⎩⎨⎧－y ＋2z ＝0，2 3x ＋3y ＝0，∴⎩⎨⎧z ＝12y ，x ＝－32y ，令y ＝2，得n ＝(－3，2,1)．∵n ·CM ＝－3×32＋2×0＋1×32＝0， ∴n ⊥CM ，又CM ⊄平面P AD ，∴CM ∥平面P AD .法二：∵PD ＝(0,1，－2)，PA ＝(23，4，－2)，令CM ＝x PD ＋y PA ，则⎩⎨⎧32＝2 3y ，0＝x ＋4y ，32＝－2x －2y ，方程组有解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝14，∴CM ＝－PD ＋14PA ，由共面向量定理知CM 与PD ，PA 共面，又∵CM ⊄平面P AD，∴CM ∥平面P AD .(2)取AP 的中点E ，连接BE ，则E (3，2,1)，BE ＝(－3，2,1)，∵PB ＝AB ，∴则BE ⊥P A .又∵BE ·DA ＝(－3，2,1)·(2 3，3,0)＝0， ∴BE ⊥DA ，∴BE ⊥DA ，又P A ∩DA ＝A . ∴BE ⊥平面P AD ，又∵BE ⊂平面P AB ， ∴平面P AB ⊥平面P AD .8．证明：建系如图，设正方体的棱长为1.则A 1(1,0,1)、B (1,1,0)、D 1(0,0,1)、B 1(1,1,1)、C (0,1,0)、A(1,0,0)、C 1(0,1,1)．(1)∴1A D ＝(－1,0，－1)，1A B ＝(0,1，－1)， 11D B ＝(1,1,0)， 1D C ＝(0,1，－1)，设平面A 1BD 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·1A D ＝0，n 1·1A B ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－x 1－z 1＝0，y 1－z 1＝0.令z 1＝1，得x 1＝－1，y 1＝1.∴平面A 1BD 的一个法向量为n 1＝(－1,1,1)． 设平面CB 1D 1的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·11D B ＝0，n 2·1D C ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝0，y 2－z 2＝0.令y 2＝1，得x 2＝－1，z 2＝1， ∴n 2＝(－1,1,1)． ∴n 1＝n 2，即n 1∥n 2. ∴平面A 1BD ∥平面CB 1D 1.(2)又1AC ＝(－1,1,1)，∴1AC ∥n 1. ∴1AC 是平面A 1BD 的一个法向量， ∴1AC ⊥平面A 1BD .。

课时跟踪训练(二十) 空间向量基本定理1．空间中的四个向量a ，b ，c ，d 最多能构成基底的个数是________．2.如图所示，设O 为▱ABCD 所在平面外任意一点，E 为OC 的中点，若AE u u u r ＝12OD u u u r ＋x OB u u u r ＋y OA u u u r ，则x ＝________，y ＝________. 3．已知空间四边形OABC ，其对角线为AC 、OB ，M 、N 分别是OA 、BC 的中点，点G 是MN 的中点，取{OA u u u r ，OB u u u r ，OC u u u r }为基底，则OG u u u r ＝________.4．平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，若AC 'u u u u r ＝x AB u u u r ＋2y BC u u u r －3zCC ′―→，则x ＋y ＋z ＝________.5．设a 、b 、c 是三个不共面向量，现从①a ＋b ，②a －b ，③a ＋c ，④b ＋c ，⑤a ＋b －c 中选出一个使其与a 、b 构成空间向量的一个基底，则可以选择的向量为______(填写序号)．6．若a ＝e 1＋e 2＋e 3，b ＝e 1＋e 2－e 3，c ＝e 1－e 2＋e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，d ＝αa ＋β b ＋γc ，求α、β、γ的值．7.如图所示，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是AC 和A 1D 的一个三等分点，且AM MC ＝12，A 1N ND＝2，设AB u u u r ＝a ，AD u u u r ＝b ，1AA u u u u r ＝c ，试用a ，b ，c 表示MN u u u u r .8.如图所示，平行六面体OABC －O ′A ′B ′C ′，且OA u u u r ＝a ，OC u u u r ＝b ，OO 'u u u r ＝c ，用a ，b ，c 表示如下向量：(1) OB 'u u u r 、O B 'u u u u r 、AC 'u u u u r ；(2) GH u u u r (G 、H 分别是B ′C 和O ′B ′的中点)．答 案1．解析：当四个向量任何三个向量都不共面时，每三个就可构成一个基底，共有4组． 答案：42．解析：∵AE u u u r ＝OE u u u r －OA u u u r ＝12OC u u u r －OA u u u r ＝12(OD u u u r ＋DC u u u r )－OA u u u r ＝12OD u u u r ＋12AB u u u r －OA u u u r ＝12OD u u u r ＋12(OB u u u r －OA u u u r )－OA u u u r ＝12OD u u u r ＋12OB u u u r －32OA u u u r ，∴x ＝12，y ＝－32.答案：12 －323．解析：如图，OG u u u r ＝12(OM u u u u r ＋ON u u u r ) ＝12OM u u u u r ＋12×12(OB u u u r ＋OC u u u r ) ＝14OA u u u r ＋14OB u u u r ＋14OC u u u r ＝14(OA u u u r ＋OB u u u r ＋OC u u u r )． 答案：14(OA u u u r ＋OB u u u r ＋OC u u u r ) 4．解析：∵AC 'u u u u r ＝AB u u u r ＋BC u u u r ＋CC 'u u u r ＝x AB u u u r ＋2y BC u u u r －3z CC 'u u u r ，∴x ＝1,2y ＝1，－3z ＝1，即x ＝1，y ＝12，z ＝－13. ∴x ＋y ＋z ＝1＋12－13＝76. 答案：765．解析：根据基底的定义，∵a ，b ，c 不共面，∴a ＋c ，b ＋c ，a ＋b －c 都能与a ，b 构成基底．答案：③④⑤6．解：由题意a 、b 、c 为三个不共面的向量，所以由空间向量定理可知必然存在惟一的有序实数对{α，β，γ}，使d ＝αa ＋β b ＋γc ，∴d ＝α(e 1＋e 2＋e 3)＋β(e 1＋e 2－e 3)＋γ(e 1－e 2＋e 3)＝(α＋β＋γ)e 1＋(α＋β－γ)e 2＋(α－β＋γ)e 3.又∵d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧ α＋β＋γ＝1，α＋β－γ＝2，α－β＋γ＝3，解得⎩⎨⎧α＝52，β＝－1，γ＝－12.7. 解：如图所示，连接AN ，则MN u u u u r ＝MA u u u r ＋AN u u u r由ABCD 是平行四边形，可知AC u u u r ＝AB u u u r ＋AD u u u r ＝a ＋b ，MA u u u r ＝－13AC u u u r ＝－13(a ＋b )．AN u u u r ＝131A D u u u u r ＝13(b －c )，AN u u u r ＝AD u u u r ＋DN u u u r ＝AD u u u r －AN u u u r ＝b －13(b －c )＝13(c ＋2b )，所以MN u u u u r ＝MA u u u r ＋AN u u u r＝－13(a ＋b )＋13(c ＋2b ) ＝13(－a ＋b ＋c )． 8．解：(1)OB u u u r ′＝OB u u u r ＋BB 'u u u r ＝OA u u u r ＋OC u u u r ＋OO 'u u u r ＝a ＋b ＋c ，O B 'u u u u r ＝O O 'u u u u r ＋OB u u u r ＝O O 'u u u u r ＋OA u u u r ＋OC u u u r ＝－c ＋a ＋b ＝a ＋b －c ，AC 'u u u u r ＝AC u u u r ＋CC u u u r ′＝AB u u u r ＋AO u u u r ＋AA 'u u u r＝OC u u u r ＋AA 'u u u r －OA u u u r ＝b ＋c －a .(2) GH u u u r ＝GO u u u r ＋OH u u u r ＝－OG u u u r ＋OH u u u r＝－12(OB u u u r ′＋OC u u u r )＋12(OB 'u u u r ＋OO 'u u u r ) ＝－12(a ＋b ＋c ＋b )＋12(a ＋b ＋c ＋c ) ＝12(c －b )．。

课时跟踪训练(九) 椭圆的几何性质1．(新课标全国卷Ⅱ改编)设椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．2．(广东高考改编)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是________________________________________________________________________．3．曲线x225＋y29＝1与曲线x225－k＋y29－k＝1(k <9)的________相等．(填“长轴长”或“短轴长”或“离心率”或“焦距”)4．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的离心率是63，过椭圆上一点M 作直线MA ，MB 分别交椭圆于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若点A ，B 关于原点对称，则k 1·k 2的值为________．5．设F 1，F 2是椭圆E ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率是________．6．已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率e ＝35，经过点A (5 32，－2)，求椭圆的标准方程．7．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．8．若椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，点P 是椭圆上的一点，P 在x 轴上的射影恰为椭圆的左焦点，P 与中心O 的连线平行于右顶点与上顶点的连线，且左焦点与左顶点的距离等于10－5，试求椭圆的离心率及其方程．答 案1．解析：法一：由题意可设|PF 2|＝m ，结合条件可知|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝3m ，故离心率e ＝c a ＝2c2a＝|F1F2||PF1|＋|PF2|＝3m 2m ＋m ＝33.法二：由PF 2⊥F 1F 2可知P 点的横坐标为c ，将x ＝c 代入椭圆方程可解得y ＝±b2a ，所以|PF 2|＝b2a .又由∠PF 1F 2＝30°可得|F 1F 2|＝3|PF 2|，故2c ＝3·b2a，变形可得3(a 2－c 2)＝2ac ，等式两边同除以a 2，得3(1－e 2)＝2e ，解得e ＝33或e ＝－3(舍去)．答案：332．解析：依题意，设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，c a ＝12，c2＝a2－b2，解得a 2＝4，b 2＝3.答案：x24＋y23＝13．解析：c 2＝25－k －(9－k )＝16，c ＝4.故两条曲线有相同的焦距．答案：焦距4．解析：设点M (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，则y 2＝b 2－b2x2a2，y 21＝b 2－b2x21a2.所以k 1·k 2＝y －y1x －x1·y ＋y1x ＋x1＝y2－y21x2－x21＝－b2a2＝c2a2－1＝e 2－1＝－13，即k 1·k 2的值为－13.答案：－135．解析：设直线x ＝3a 2与x 轴交于点M ，则∠PF 2M ＝60°.由题意知，F 1F 2＝PF 2＝2c ，F 2M ＝3a2－c .在Rt △PF 2M 中，F 2M ＝12PF 2，即3a 2－c ＝c .∴e ＝c a ＝34.答案：346．解：设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)，则754a2＋4b2＝1.①由已知e ＝35，∴c a ＝35，∴c ＝35a .∴b 2＝a 2－c 2＝a 2－(35a )2，即b 2＝1625a 2.②把②代入①，得754a2＋4×2516a2＝1，解得a 2＝25，∴b 2＝16，∴所求方程为x225＋y216＝1.7．解：椭圆方程可化为x2m ＋y2mm ＋3＝1，由m >0，易知m >mm ＋3，∴a 2＝m ，b 2＝mm ＋3.∴c ＝a2－b2＝错误!.由e ＝32，得 m ＋2m ＋3＝32，解得m ＝1，∴椭圆的标准方程为x 2＋y214＝1.∴a ＝1，b ＝12，c ＝32.∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，两焦点坐标分别为F 1⎝⎛⎭⎫－32，0，F 2⎝⎛⎭⎫32，0，顶点坐标分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1⎝⎛⎭⎫0，－12，B 2⎝⎛⎭⎫0，12.8．解：令x ＝－c ，代入x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)，得y 2＝b 2(1－c2a2)＝b4a2，∴y ＝±b2a.设P (－c ，b2a)，椭圆的右顶点A (a,0)，上顶点B (0，b )．∵OP ∥AB ，∴k OP ＝k AB ，∴－b2ac ＝－ba，∴b ＝c .而a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，∴a ＝2c ，∴e ＝c a ＝22.又∵a －c ＝10－5，解得a ＝10，c ＝5，∴b ＝5，∴所求椭圆的标准方程为x210＋y25＝1.。

课时跟踪训练(四) 含逻辑联结词的命题的真假判断1．若p 是真命题，q 是假命题，则下列说法错误的是________．①p ∧q 是真命题 ②p ∨q 是假命题 ③綈p 是真命题 ④綈q 是真命题2．已知命题p ：若a >1，则a x >log a x 恒成立；命题q ：在等差数列{a n }中，m ＋n ＝p ＋q 是a m ＋a n ＝a p ＋a q 成立的充分不必要条件(m ，n ，p ，q ∈N *)，则下面为真命题的是________．①(綈p )∧(綈q )；②(綈p )∨(綈q )；③p ∨(綈q )；④p ∧q .3．已知命题p ：不等式ax ＋b >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x >－b a ，命题q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )<0的解集为{x |a <x <b }，则“p 或q ”“p 且q ”和“非p ”形式的命题中，真命题为________．4．已知命题p ：所有自然数都是正数，命题q ：正数的对数都是正数，则下列命题中为真命题的是________．(填序号)①綈p 且q ；②p 或q ；③綈p 且綈q ；④綈p 或綈q5．(湖北高考改编)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为________．①(綈p )∨(綈q )；②p ∨(綈q )；③(綈p )∧(綈q )；④p ∨q .6．写出下列各组命题构成的“p 或q ”、“p 且q ”以及“非p ”形式的命题，并判断它们的真假．(1)p ：5是有理数，q ：5是整数；(2)p ：不等式x 2－2x －3＞0的解集是(－∞，－1)，q ：不等式x 2－2x －3＞0的解集是(3，＋∞)．7．命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0(a >0)，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|≤2，x ＋3x －2≥0. (1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若q ⇒綈p ，求实数a 的取值范围．8．命题p：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为∅，命题q：函数y＝(2a2－a)x 为增函数，分别求出符合下列条件的实数a的取值范围．(1)p∨q为真命题；(2)“p∨q”为真，“p∧q”为假．答案1．解析：p是真命题，则綈p是假命题．q是假命题，则綈q是真命题．故p∧q是假命题，p∨q是真命题．答案：①②③2．解析：当a＝1.1，x＝2时，a x＝1.12＝1.21，log a x＝log1.12>log1.11.21＝2，此时，a x<log a x，故p为假命题．命题q，由等差数列的性质，当m＋n＝p＋q时，a n＋a m＝a p＋a q成立，当公差d＝0时，由a m＋a n＝a p＋a q不能推出m＋n＝p＋q成立，故q是真命题．故綈p是真命题，綈q是假命题，所以p∧q为假命题，p∨(綈q)为假命题，(綈p)∧(綈q)为假命题，(綈p)∨((綈q)为真命题．答案：②3．解析：命题p是假命题，因为当a<0或a＝0时解集与已知不同；命题q也是假命题，因为不知道a，b的大小关系．所以只有非p是真命题．答案：非p4．解析：因为命题p为假命题，命题q为假命题，所以綈p且綈q为真命题，綈p或綈q 为真命题．答案：③④5．解析：由题意可知，“至少有一位学员没有降落在指定范围”意味着“甲没有或乙没有降落在指定范围”，使用“非”和“或”联结词即可表示该复合命题为(綈p )∨(綈q )．答案：①6．解：(1)p 或q ：5是有理数或5是整数；p 且q ：5是有理数且5是整数；非p ：5不是有理数．因为p 假，q 假，所以p 或q 为假，p 且q 为假，非p 为真．(2)p 或q ：不等式x 2－2x －3＞0的解集是(－∞，－1)或不等式x 2－2x －3＞0的解集是(3，＋∞)；p 且q ：不等式x 2－2x －3＞0的解集是(－∞，－1)且不等式x 2－2x －3＞0的解集是(3，＋∞)；非p ：不等式x 2－2x －3＞0的解集不是(－∞，－1)．因为p 假，q 假，所以p 或q 假，p 且q 假，非p 为真．7．解：(1)由于a ＝1，则x 2－4ax ＋3a 2<0⇔x 2－4x ＋3<0⇔1<x <3.所以p ：1<x <3.解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ |x －1|≤2，x ＋3x －2≥0得2<x ≤3，所以q ：2<x ≤3.由于p ∧q 为真，所以p ，q 均是真命题， 解不等式组⎩⎨⎧1<x <3，2<x ≤3得2<x <3， 所以实数x 的取值范围是(2,3)．(2)綈p ：x 2－4ax ＋3a 2≥0，a >0，x 2－4ax ＋3a 2≥0⇔(x －a )(x －3a )≥0⇔x ≤a 或x ≥3a ，所以綈p ：x ≤a 或x ≥3a ，设A ＝{x |x ≤a 或x ≥3a }，由(1)知q ：2<x ≤3，设B ＝{x |2<x ≤3}．由于q ⇒綈p ，所以B A ，所以3≤a 或3a ≤2，即0<a ≤23或a ≥3， 所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，23∪[3，＋∞)． 8．解：命题p 为真时，Δ＝(a －1)2－4a 2＜0，即a ＞13或a ＜－1.① 命题q 为真时，2a 2－a ＞1，即a ＞1或a ＜－12.② (1)当p ∨q 为真时，即p 、q 至少有一个是真命题，即上面两个范围的并集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ＜－12或a ＞13； ∴“p ∨q ”为真时，a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a | a ＜－12或a ＞13. (2)当“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，即p ，q 有且只有一个是真命题时，有两种情况：当p 真q 假时，13＜a ≤1；当p 假q 真时，－1≤a ＜－12. ∴“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假时，a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a | 13＜a ≤1或－1≤a ＜－12.。

课时跟踪训练(一) 四 种 命 题1．给出下列语句：①空集是任何集合的真子集；②三角函数是周期函数吗？③一个数不是正数就是负数；④老师写的粉笔字真漂亮！⑤若x ∈R ，则x 2＋4x ＋5>0.其中为命题的序号是________，为真命题的序号是________．2．设a ，b 是向量，命题“若a ＝－b ，则|a |＝|b |”的逆命题是________________________．3．命题“对于正数a ，若a >1，则lg a >0”及其逆命题、否命题、逆否命题四个命题中真命题的个数为________．4．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是__________． 5．给出下列命题：①“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为零”的否命题；②“若{a n }既是等差数列，又是等比数列，则a n ＝a n ＋1(n ∈N *)”的逆命题；③“若m >1，则不等式x 2＋2x ＋m >0的解集为R ”的逆否命题．其中所有真命题的序号是________．6．把下列命题写成“若p ，则q ”的形式，并判断真假．(1)奇函数的图像关于原点对称；(2)当x 2－2x －3＝0时，x ＝－3或x ＝1；(3)a <0时，函数y ＝ax ＋b 的值随x 值的增大而增大．7．证明：若m 2＋n 2＝2，则m ＋n ≤2.8．判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；(2)若在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，b 2－4ac <0，则该函数图像与x 轴有交点．答 案1．解析：①是命题，且是假命题，因为空集是任何非空集合的真子集；②该语句是疑问句，不是命题；③是命题，且是假命题，因为数0既不是正数，也不是负数；④该语句是感叹句，不是命题；⑤是命题，因为x 2＋4x ＋5＝(x ＋2)2＋1>0恒成立，所以是真命题．答案：①③⑤ ⑤2．若|a |＝|b |，则a ＝－b3．解析：逆命题：对于正数a ，若lg a >0，则a >1.否命题：对于正数a ，若a ≤1，则lg a ≤0.逆否命题：对于正数a ，若lg a ≤0，则a ≤1.根据对数的性质可知都是真命题．答案：44．解析：将条件与结论分别否定，再交换即可．答案：若tan α≠1，则α≠π45．解析：①的否命题为“若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为零”是真命题；②的逆命题为“数列{a n }中，若a n ＝a n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }既是等差数列，又是等比数列”是假命题，如0,0,0……；对于③当m >1时，Δ＝4－4m <0恒成立，x 2＋2x ＋m >0的解集为R 是真命题．因此逆否命题是真命题．答案：①③6．解：(1)若一个函数是奇函数，则它的图像关于原点对称，是真命题．(2)若x 2－2x －3＝0，则x ＝－3或x ＝1，是假命题．(3)若a <0，则函数y ＝ax ＋b 的值随着x 值的增大而增大，是假命题．7．证明：将“若m 2＋n 2＝2，则m ＋n ≤2”视为原命题，则它的逆否命题为“若m ＋n >2，则m 2＋n 2≠2”．由于m ＋n >2，则m 2＋n 2≥12(m ＋n )2>12×22＝2， 所以m 2＋n 2≠2.故原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．8．解：(1)该命题为真．逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则四边形的对角互补，为真．否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形，为真．逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则四边形的对角不互补，为真．(2)该命题为假．逆命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴有交点，则b2－4ac<0，为假．否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c中b2－4ac≥0，则函数图像与x轴无交点，为假．逆否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴无交点，则b2－4ac≥0，为假．。