【一本通】2014届高考数学一轮复习 第14章 随机事件的概率 理

第3讲 随机事件的概率【2014年高考会这样考】1．考查互斥事件、对立事件的概率求法． 2．考查条件概率的求法．对应学生168考点梳理1．频率与概率(1)在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝n A n为事件A 出现的频率． (2)对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率f n (A )稳定在某个常数上，把这个常数记作P (A )，称为事件A 的概率，简称为A 的概率． 2．事件的关系与运算对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号P (B |A )来表示，其公式为P (B |A )＝P ABP A.(1)在古典概型中，若用n (A )表示事件A 中基本事件的个数，则P (B |A )＝n ABn A.(2) 如果B 和C 是两互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )． 4．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P (A )≤1. (2)必然事件的概率P (E )＝1. (3)不可能事件的概率P (F )＝0. (4)互斥事件概率的加法公式①如果事件A 与事件B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )． ②若事件B 与事件A 互为对立事件，则P (A )＝1－P (B )． 【助学·微博】 一个关系两个事件对立则一定互斥，两个事件互斥未必对立．两事件对立是这两事件互斥的充分而不必要条件． 两种方法求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P (A )＝1－P (A )，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”、“至少”型题目，用间接法就显得比较简便．考点自测1．(人教A 版习题改编)从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是( )． A ．至少有一个红球与都是红球 B ．至少有一个红球与都是白球 C ．至少有一个红球与至少有一个白球 D ．恰有一个红球与恰有二个红球解析 对于A 中的两个事件不互斥，对于B 中两个事件互斥且对立，对于C 中两个事件不互斥，对于D 中的两个互斥而不对立． 答案 D2．(2013·广州月考)某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20，0.30,0.10，则此射手在一次射击中不够8环的概率为( )． A ．0.40 B ．0.30 C ．0.60 D ．0.90解析 一次射击不够8环的概率为：1－0.2－0.3－0.1＝0.4.答案 A3．(2011·陕西)甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是( )． A.136 B.19 C.536 D.16解析 若用{1,2,3,4,5,6}代表6处景点，显然甲、乙两人选择结果为{1,1}、{1,2}、{1,3}、…、{6,6}，共36种；其中满足题意的“同一景点相遇”包括{1,1}、{2,2}、{3,3}、…、{6,6}，共6个基本事件，所以所求的概率值为16.答案 D4．(2011·辽宁)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )等于( )． A.18 B.14 C.25 D.12解析 P (A )＝C 23＋C 22C 25＝410＝25，P (A ∩B )＝C 22C 25＝110.由条件概率计算公式，得P (B |A )＝P A ∩BP A ＝110410＝14.答案 B5．(2011·湖北)在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为________(结果用最简分数表示)．解析 所取的2瓶中都是不过期的饮料的概率为P ＝C 227C 230＝117145，则至少有1瓶为已过保质期饮料的概率P ＝1－P ＝28145.答案28145对应学生169考向一 随机事件的频率与概率【例1】►某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方(分别称为A 配方和B 配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A 配方的频数分布表(2)已知用B 配方生产的一件产品的利润y (单位：元)与其质量指标值t 的关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，t <94，2，94≤t <102，4，t ≥102，估计用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B 配方生产的上述100件产品平均一件的利润．[审题视点] 分别计算出相应的频率，由频率可估计概率．解 (1)由试验结果知，用A 配方生产的产品中优质品的频率为22＋8100＝0.3，所以用A 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.由试验结果知，用B 配方生产的产品中优质品的频率为32＋10100＝0.42，所以用B 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42.(2)由条件知，用B 配方生产的一件产品的利润大于0，需其质量指标值t ≥94，由试验结果知，质量指标值t ≥94的频率为0.96，所以用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96.用B 配方生产的产品平均一件的利润为1100×[4×(－2)＋54×2＋42×4]＝2.68(元)．概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率．【训练1】 某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如表所示：(1)(2)根据表中数据，估计该运动员射击一次命中10环的概率．解 (1)表中击中10环的频率依次为0.8,0.95,0.88,0.93，0.89，0.906. (2)估计该运动员射击一次命中10环的概率为0.9.考向二 条件概率【例2】►(2012·湖北)根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X (单位：mm)对工期的影响如下表：历史气率分别为0.3,0.7,0.9，求：(1)工程延误天数Y 的均值与方差；(2)在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．[审题视点] (1)先求出离散型随机变量的分布列，再根据期望、方差公式求解(2)利用概率性质及条件概率公式求解．解 (1)由已知条件和概率的加法公式有：P (X <300)＝0.3，P (300≤X <700)＝P (X <700)－P (X <300)＝0.7－0.3＝0.4，P (700≤X <900)＝P (X <900)－P (X <700)＝0.9－0.7＝0.2，P (X ≥900)＝1－P (X <900)＝1－0.9＝0.1.所以Y 的分布列为：于是，E (Y )D (Y )＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.故工期延误天数Y 的均值为3，方差为9.8.(2)由概率的加法公式，得P (X ≥300)＝1－P (X <300)＝0.7， 又P (300≤X <900)＝P (X <900)－P (X <300)＝0.9－0.3＝0.6. 由条件概率，得P (Y ≤6|X ≥300)＝P (X <900|X ≥300)＝P XP X＝0.60.7＝67.故在降水量X 至少是300 mm 的条件下，工期延误不超过6天的概率是67.条件概率的求法：(1)定义法：先求P (A )和P (AB )，再由P (B |A )＝P ABP A求P (B |A )．(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再求事件AB 所包含的基本事件数n (AB )，得P (B |A )＝n ABn A.【训练2】 (2011·湖南)如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则(1)P (A )＝________；(2)P (B |A )＝________.解析 圆的面积是π，正方形的面积是2，扇形的面积是π4，根据几何概型的概率计算公式得P (A )＝2π，根据条件概率的公式得P (B |A )＝P ABP A ＝12π2π＝14.答案2π 14考向三 互斥事件、对立事件的概率【例3】►据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为0,1,2的概率分别为0.4,0.5,0.1.(1)求该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率；(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．[审题视点] (1)根据互斥事件，第(1)问可转化为求被消费者投诉0次和1次的概率和． (2)第(2)问可转化为求以下三种情形的概率和：①1,2月份各被投诉1次；②1,2月份各被投诉0,2次；③1,2月份各被投诉2,0次．解 法一 (1)设事件A 表示“一个月内被投诉的次数为0”，事件B 表示“一个月内被投诉的次数为1”，∴P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.4＋0.5＝0.9.(2)设事件A i 表示“第i 个月被投诉的次数为0”，事件B i 表示“第i 个月被投诉的次数为1”，事件C i 表示“第i 个月被投诉的次数为2”，事件D 表示“两个月内共被投诉2次”．∴P (A i )＝0.4，P (B i )＝0.5，P (C i )＝0.1(i ＝1,2)，∵两个月中，一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次的概率为P (A 1C 2＋A 2C 1)， 一、二月份均被投诉1次的概率为P (B 1B 2)，∴P (D )＝P (A 1C 2＋A 2C 1)＋P (B 1B 2)＝P (A 1C 2)＋P (A 2C 1)＋P (B 1B 2)， 由事件的独立性得P (D )＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.5×0.5＝0.33.法二 (1)设事件A 表示“一个月内被投诉2次”，事件B 表示“一个月内被投诉的次数不超过1次”．∵P (A )＝0.1，∴P (B )＝1－P (A )＝1－0.1＝0.9. (2)同法一．本题主要考查随机事件，互斥事件有一个发生的概率及相互独立事件同时发生的概率；实际生活中的概率问题，在阅读理解的基础上，利用互斥事件分类，有时还借助对立事件寻求间接求解问题的捷径，这类问题重在考查学生思维的灵活性和解决实际问题的能力．【训练3】 某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A 、B 、C ，求： (1)P (A )，P (B )，P (C )； (2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．解 (1)P (A )＝11 000，P (B )＝101 000＝1100，P (C )＝501 000＝120.故事件A ，B ，C 的概率分别为11 000，1100，120.(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M ，则M ＝A ∪B ∪C .∵A 、B 、C 两两互斥，∴P (M )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝1＋10＋501 000＝611 000. 故1张奖券的中奖概率为611 000.(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N ，则事件N 与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件， ∴P (N )＝1－P (A ∪B )＝1－⎝⎛⎭⎪⎫11 000＋1100＝9891 000.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.对应学生171热点突破27——全面突破概率与统计的综合性问题【命题研究】 通过近三年的高考试题分析，概率与统计的综合性问题越来越受到命题人的青睐，多数以解答题的形式出现，难度中等．【真题探究】► (2012·北京)近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：(1)(2)试估计生活垃圾投放错误的概率；(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a ，b ，c ，其中a >0，a ＋b ＋c ＝600.当数据a ，b ，c 的方差s 2最大时，写出a ，b ，c 的值(结论不要求证明)，并求此时s 2的值．(注：s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为数据x 1，x 2，…，x n 的平均数)[教你审题] 第1步 用厨余垃圾箱中的400除以厨余垃圾总数． 第2步 先求其对立事件的概率． 第3步 运用方差公式．[解法] (1)厨余垃圾投放正确的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量＝400400＋100＋100＝23.(2)设生活垃圾投放错误为事件A ，则事件A －表示生活垃圾投放正确．事件A －的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P (A －)约为400＋240＋601 000＝0.7，所以P (A )约为1－0.7＝0.3.(3)当a ＝600，b ＝c ＝0时，s 2取得最大值． 因为x ＝13(a ＋b ＋c )＝200，所以s 2＝13[(600－200)2＋(0－200)2＋(0－200)2]＝80 000.即s 2的最大值为80 000.[反思] 概率统计综合题一般是先给出样本数据或样本数据的分布等，在解题中首先要处理好数据，如数据的个数、数据的分布规律等，即把数据分析清楚，然后再根据题目的要求进行相关的计算．【试一试】 某小型超市发现每天营业额Y (单位：万元)与当天进超市顾客人数X 有关．据统计，当X ＝700时，Y ＝4.6；当X 每增加10，Y 增加0.05.已知近20天X 的值为：1 400，1 100，1 900,1 600,1 400,1 600,2 200,1 100,1 600,1 600，1 900，1 400,1 100,1 600,2 200,1 400,1 600,1 600，1 900，700. (1)完成如下的频率分布表：近20天每天进超市顾客人数频率分布表(2)率，求今天营业额低于10.6万元高于4.6万元的概率．解 (1)在所给数据中，进超市顾客人数为1 100的有3个，为1 600的有7个，为1 900的有3个，为2 200的有2个．故近20天每天进超市顾客人数频率分布表为(2)由已知可得Y ＝4.6＋10×0.05＝200X ＋1.1， ∵4.6<Y <10.6，∴4.6<X200＋1.1<10.6， ∴700<X <1 900.∴P (4.6<Y <10.6)＝P (700<X <1 900)＝P (X ＝1 100)＋P (X ＝1 400)＋P (X ＝1 600)＝320＋420＋720＝1420＝710. 即今天营业额低于10.6万元高于4.6万元的概率为710.对应学生333A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )．A ．对立事件B ．不可能事件C ．互斥但不对立事件D ．以上答案都不对解析 由于甲和乙有可能一人得到红牌，一人得不到红牌，也有可能甲、乙两人都得不到红牌，故两事件为互斥但不对立事件． 答案 C2．(2013·日照模拟)从一箱产品中随机抽取一件，设事件A ＝{抽到一等品}，事件B ＝{抽到二等品}，事件C ＝{抽到三等品}，且已知P (A )＝0.65，P (B )＝0.2，P (C )＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为( )．A ．0.7B ．0.65C ．0.35D ．0.3解析 由对立事件可得P ＝1－P (A )＝0.35. 答案 C3．(2013·海口模拟)盒中装有10个乒乓球，其中6个新球，4个旧球．不放回地依次取出2个球使用，在第一次取出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为( )． A.35B.110 C.59D.25解析 第一次结果一定，盒中仅有9个乒乓球，5个新球4个旧球，所以第二次也取到新球的概率为59.答案 C4．(2013·揭阳二模)把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A ，“第二次出现正面”为事件B ，则P (B |A )等于( )．A.12B.14C.16 D.18解析 法一 P (B |A )＝P ABP A ＝1412＝12.法二 A 包括的基本事件为{正，正}，{正，反}，AB 包括的基本事件为{正，正}，因此P (B |A )＝12. 答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)5．对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹．设A ＝{两次都击中飞机}，B ＝{两次都没击中飞机}，C ＝{恰有一次击中飞机}，D ＝{至少有一次击中飞机}，其中彼此互斥的事件是________，互为对立事件的是________．解析 设I 为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为A ∩B ＝∅，A ∩C ＝∅，B ∩C ＝∅，B ∩D ＝∅.故A 与B ，A 与C ，B 与C ，B 与D 为彼此互斥事件，而B ∩D ＝∅，B ∪D ＝I ，故B与D 互为对立事件．答案 A 与B 、A 与C 、B 与C 、B 与D B 与D6．(2013·成都模拟)某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品．若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件抽得正品的概率为________． 解析 记“生产中出现甲级品、乙级品、丙级品”分别为事件A ，B ，C .则A ，B ，C 彼此互斥，由题意可得P (B )＝0.03，P (C )＝0.01，所以P (A )＝1－P (B ＋C )＝1－P (B )－P (C )＝1－0.03－0.01＝0.96. 答案 0.96 三、解答题(共25分)7．(12分)某战士甲射击一次，问：(1)若事件A (中靶)的概率为0.95，事件A －(不中靶)的概率为多少？(2)若事件B (中靶环数大于6)的概率为0.7，那么事件C (中靶环数不大于6)的概率为多少？解 (1)∵事件A (中靶)的概率为0.95，根据对立事件的概率公式得到A －的概率为1－0.95＝0.05.(2)由题意知中靶环数大于6与中靶环数不大于6是对立事件，∵事件B (中靶环数大于6)的概率为0.7，∴事件C (中靶环数不大于6)的概率为1－0.7＝0.3.8．(13分)某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4，且只乘一种交通工具去开会．(1)求他乘火车或乘飞机去开会的概率；(2)求他不乘轮船去开会的概率；(3)如果他乘某种交通工具去开会的概率为0.5，请问他有可能是乘何种交通工具去开会的？解(1)记“他乘火车去开会”为事件A1，“他乘轮船去开会”为事件A2，“他乘汽车去开会”为事件A3，“他乘飞机去开会”为事件A4，这四个事件不可能同时发生，故它们是彼此互斥的．故P(A1＋A4)＝P(A1)＋P(A4)＝0.3＋0.4＝0.7.(2)设他不乘轮船去开会的概率为P，则P＝1－P(A2)＝1－0.2＝0.8.(3)由于0.3＋0.2＝0.5,0.1＋0.4＝0.5,1－(0.3＋0.2)＝0.5,1－(0.1＋0.4)＝0.5，故他有可能乘火车或轮船去开会，也有可能乘汽车或飞机去开会．B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．甲：A1，A2是互斥事件；乙：A1，A2是对立事件．那么( )．A．甲是乙的充分但不必要条件B．甲是乙的必要但不充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件解析根据互斥事件和对立事件的概念可知互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件．答案 B2．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )．A.110B.310C.35D.910解析从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球通过列举知共有10个基本事件；所取的3个球中至少有1个白球的反面为“3个球均为红色”，有1个基本事件，所以所取的3个球中至少有1个白球的概率是1－110＝910.答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)3．某中学部分学生参加全国高中数学竞赛取得了优异成绩，指导老师统计了所有参赛同学的成绩(成绩都为整数，试题满分120分)，并且绘制了条形统计图(如下图所示)，则该中学参加本次数学竞赛的人数为________，如果90分以上(含90分)获奖，那么获奖的概率大约是________．解析 由题图可知，参加本次竞赛的人数为4＋6＋8＋7＋5＋2＝32；90分以上的人数为7＋5＋2＝14，所以获奖的频率为1432＝0.437 5，即本次竞赛获奖的概率大约是0.437 5.答案 32 0.437 54．(2013·浙江五校联考)在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率为________．解析 设A ＝{第一次取到不合格品}，B ＝{第二次取到不合格品}，则P (AB )＝C 25C 2100，所以P (B |A )＝P ABP A ＝5×4100×995100＝499答案499. 三、解答题(共25分)5．(12分)(2013·长春模拟)黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示：AB 型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B 型血，若小明因病需要输血，问： (1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？ (2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？解 (1)对任一人，其血型为A ，B ，AB ，O 型血的事件分别记为A ′，B ′，C ′，D ′，它们是彼此互斥的．由已知，有P (A ′)＝0.28，P (B ′)＝0.29，P (C ′)＝0.08，P (D ′)＝0.35. 因为B ，O 型血可以输给B 型血的人，故“可以输给B 型血的人”为事件B ′＋D ′.根据互斥事件的概率加法公式，有P(B′＋D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.(2)法一由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“不能输给B型血的人”为事件A′＋C′，且P(A′＋C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.法二因为事件“其血可以输给B型血的人”与事件“其血不能输给B型血的人”是对立事件，故由对立事件的概率公式，有P(B′＋D′])＝1－P(B′＋D′)＝1－0.64＝0.36.即：任找一人，其血可以输给小明的概率为0.64，其血不能输给小明的概率为0.36. 6．(13分)(2011·陕西)如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：(1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？(2)用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对(1)的选择方案，求X的分布列和数学期望．解(1)A i表示事件“甲选择路径L i时，40分钟内赶到火车站”，B i表示事件“乙选择路径L i时，50分钟内赶到火车站”，i＝1,2.用频率估计相应的概率可得P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，∵P(A1)＞P(A2)，∴甲应选择L1；P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，∵P(B2)＞P(B1)，∴乙应选择L2.(2)A，B分别表示针对(1)的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由(1)知P(A)＝0.6，P(B)＝0.9，又由题意知，A，B独立，∴P(X＝0)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.4×0.1＝0.04，P(X＝1)＝P(A B＋A B)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝0.4×0.9＋0.6×0.1＝0.42，P(X＝2)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.6×0.9＝0.54.∴X的分布列为∴E(X)。

第4节随机事件的概率最新考纲i•了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别；2•了解两个互斥事件的概率加法公式.I基础摻断丨回归教材，夯实基础知识梳理1. 频率与概率(1) 在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数n A为事件A出现的频数，称事件A出现的比例f n(A) = n A为事件A出现的频率.(2) 对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率f p(A) 稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率.3.概率的几个基本性质(1) 概率的取值范围：0 w P(A)w 1.(2) 必然事件的概率P(E) = 1.(3) 不可能事件的概率P(F) = 0.(4) 互斥事件概率的加法公式①如果事件A与事件B互斥，贝U P(A U B) = P(A) + P(B).②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A) = 1- P(B).［常用结论与微点提醒］1 .从集合的角度理解互斥事件和对立事件(1) 几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集.(2) 事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.2. 概率加法公式的推广当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1 U A2U-U A n)= P(A1)+ P(A2)+…+ P(A n).3. 一般概率加法公式P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A A B).诊断自测1. 思考辨析(在括号内打“V”或“X”)(1) 事件发生的频率与概率是相同的.()(2) 在大量的重复实验中，概率是频率的稳定值.()(3) 若随机事件A发生的概率为P(A),则0< P(A)w 1.( )(4) 6张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于乙中奖的概率.()答案(1)x ⑵V ⑶V ⑷X2. (2018金华十校联考)有各不相同的5个红球、3个黄球、2个白球，事件A:从红球和黄球中各选1球，事件B:从所有球中选取2球，则事件A发生是事件B 发生的（） A .充分不必要条件 B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析 事件A :从红球和黄球中各选1球，能推出事件B :从所有球中选取2球, 是充分条件， 事件B :从所有球中选取2球，推不出事件A :从红球和黄球中各选1球，不是 必要条件. 答案 A3. （2016天津卷）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是1 1所以甲不输的概率 P = P(A U B) = P(A) + P(B) = + 3=答案1 解析 由题意知，所求概率P =7+ 35—35. 17答案15355.袋中装有100个大小相同的红球、白球和黑球，从中任取一球，摸出红球、 白球的概率分别是0.40和0.35,那么黑球共有 __________ . 解析 任取一球是黑球的概率为 1 —（0.40+ 0.35）= 0.25,二黑球有100X 0.25=25(个).答案 25 6. （2018嘉兴测试）口袋内有一些大小、形状完全相同的红球、黄球和白球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或黄球的概率为0.4,摸出的球是红球或白球1 1 2,甲获胜则甲不输的概率为（） A.5B .2C-6 D.3解析 设“两人下成和棋”为事件A , “甲获胜”为事件 B.事件A 与B 是互斥事件,4.围棋盒子中有多粒黑子和白子,1已知从中取出2粒都是黑子的概率为7,都是12白子的概率是西，则从中任意取出 2粒恰好是同一色的概率是 12= 17的概率为0.9，那么摸出的球是黄球的概率为 _____________ ;是白球的概率为解析设摸出红球的概率是P(A)，摸出黄球的概率是P(B)，摸出白球的概率是P(C),「. P(A) + P(B)= 0.4, P(A) + P(C) = 0.9，A P(C) = 1-P(A)- P(B)= 0.6, P(B) =1-P(A)- P(C) = 0.1.答案0.1 0.6I考点突破丨分类讲练■、以俺求沱考点一随机事件间的关系【例1】从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数. 上述事件中，是对立事件的是()A •①B •②④C •③D •①③解析从1, 2, 3, 4, 5这五个数中任取两个数有3种情况：一奇一偶，两个奇数，两个偶数.其中“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或两个奇数这两种情况，它与两个都是偶数是对立事件.又①②④中的事件可以同时发生，不是对立事件.答案C规律方法(1)本题中准确理解恰有两个奇数(偶数)，一奇一偶，至少有一个奇数(偶数)是求解的关键，必要时可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而断定所给事件的关系.(2)准确把握互斥事件与对立事件的概念.①互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生.②对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生.【训练1】口袋里装有1红、2白、3黄共6个形状相同的小球，从中取出2 球, 事件A=“取出的2球同色”，B=“取出的2球中至少有1个黄球”，C=“取出的2球至少有1个白球”，D=“取出的2球不同色”，E=“取出的2球中至多有1个白球” •下列判断中正确的序号为____________________________ .①A与D是对立事件；②B与C是互斥事件；③C与E是对立事件；④P(C U E) =1;⑤ P(B)= P(C).解析当取出的2个球中一黄一白时，B与C都发生，②不正确•当取出的2 个球中恰有一个白球时，事件C与E都发生，则③不正确•显然A与D是对立事件，①正确；C U E不一定为必然事件，P(C U E)< 1,④不正确•由于P(B)=4 35，P(C)=5，所以⑤不正确.答案①考点二随机事件的频率与概率【例2】(2016全国U卷)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次01234> 5数保费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表:160%”，求P(B)的估计值；(3) 求续保人本年度平均保费的估计值.解(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2,由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为一20^ = 0.55,故P(A)的估计值为0.55.(2)事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于 1且小于4,由所给数据知，一年内故P(B)的估计值为03 (3) 由所给数据得调查的 200名续保 人的平 均保费为 O.85a 0.30 + a 0.25 + 1.25a 0.15 +1.5a X 0.15+ 1.75a x 0.10+ 2a X 0.05_ 1.192 5a. 因此，续保人本年度平均保费的估计值为 1.192 5a.规律方法 (1)解题的关键是根据统计图表分析满足条件的事件发生的频数，计 算频率，用频率估计概率.(2)频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确 定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小， 通过大量的重复试验, 事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数(概率)，因此有时也用频率来作为随机 事件概率的估计值.【训练2】 某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种 商品的情况，整理成如下统计表，其中“V”表示购买，“x”表示未购买 .(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率;出险次数大于 1且小于4的频率为 30+ 30_200 0.3,(2) 估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3种商品的概率；(3) 如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？ 解(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙, 所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为 1000= 0.2.(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了 2种商品.所以顾客在甲、乙 丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为 所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大. 考点三互斥事件与对立事件的概率【例3】 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收 集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.100+ 200 CC 1 000 = 0.3⑶与⑴同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为丁的概率可以估计为10备二0.1. 200 _1 000_0.2, 100+ 200+ 3001 000 0.6,顾客同时购买甲和已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1) 确定x, y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2) 求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率).解 ⑴由已知得 25+ y + 10= 55, x + 30= 45, 所以 x = 15, y = 20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体， 所收集的100位顾客一次购 物的结算时间可视为总体的一个容量为 100的简单随机样本，顾客一次购物的结 算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1 X 15+ 1.5X 30+ 2X 25 + 2.5X 20+ 3X 10 100 (2)记A 表示事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为 1分钟”、“该顾客一次购物的结 算时间为1.5分钟”、“该顾客一次购物的结算时间为 2分钟” •将频率视为概 率得 _15 3 30 3251P(A1)=预=20, P(A2)=而=亦，P(A3)=而=4.因为A =A 1 U A 2U A 3，且A 1, A 2, A 彼此是互斥事件， 所以 P(A) = P(A 1 U A 2U A 3) = P(A 1)+ P(A 2) + P(A 3) 3 3 17 =—+ — + 一 =— =20+ 10 + 4= 10.故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2分钟的概率为£规律方法 (1)①求解本题的关键是正确判断各事件的关系，以及把所求事件用 已知概率的事件表示出来.②结算时间不超过2分钟的事件，包括结算时间为2分钟的情形，否则会计算错 误. (2)求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的 概率分解为一些彼此互斥的事件的概率再求和； 二是间接法，先求该事件的对立 事件的概率，再由P(A)= 1-P(A)求解.当题目涉及“至多”、“至少”型问题, 多考虑间接法.【训练3】某商场有奖销售活动中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖1.9(分钟).2 分钟”，券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A, B, C,求:(1)P(A), P(B), P(C);(2)1张奖券的中奖概率;(3)1张奖券不中特等奖且不1 1故事件A, B, C的概率分别为1000,而, 丄20.(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖•设“1张奖券中奖”这个事件为M，贝U M = A U B U C.••• A, B, C两两互斥,••• P(M)= P(A U B U C) = P(A) + P(B)+ P(C)_ 1+ 10+ 50 _ 611 000 1 00061故1张奖券的中奖概率为1 00。

2014年高考一轮复习热点难点精讲精析：11.2概率一、随机事件的概率※相关链接※1．事件的判断震怒地三种事件即不可能事件、尽然事件和随机事件的概念充分理解，特别是随机事件要看它是否可能发生，并且是在一定条件下的，它不同于判断命题的真假。

2．对随机事件的理解应包含下面两个方面：（1）随机事件是指一定条件下出现的某种结果，随着条件的改变其结果也会不同，因此必须强调同一事件必须在相同的条件下研究；（2）随机事件可以重复地进行大量试验，每次试验结果不一定相同，且无法预测下一次的结果，但随着试验的重复进行，其结果呈现规律性。

※例题解析※〖例〗一个口袋装有5个白球和3个黑球，从中任意取出一个球：（1）“取出的球是红球”是什么事件？（2）“取出的球是黑球”是什么事件？（3）“取出的球是白球或黑球”是什么事件？思路解析：结合必然事件、不可能事件、随机事件的概念求解。

解答：（1）由于口袋内只装有黑、白两种颜色的球，故“取出的球是红球”是不可能事件；（2）由已知，从口袋内取出一个球，可能是白球也可能是黑球，故“取出的球是黑球”是随机事件；（3）由于口袋内装的黑、白两种颜色的球，故取出一个球不是黑球，就是白球鞋。

因此，“取出的球是白球或黑球”是必然事件。

（二）随机事件的频率与概率※相关链接※1．随机事件的频率，指此事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。

我们给这个常数取一个名字，叫做这个随机事件的概率；2．概率可看做频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近。

只要次数足够多，所是频率就近似地当做随机事件的概率。

※例题解析※〖例〗某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下：（1）计算表中进球的频率；（2）这位运动员投篮一次，进球的概率是多少？ 思路解析：解答本题可根据频率的计算公式()An n f A n=，其中n 为相同条件下重复的试验次数，A n 为事件A 出现的次数，且随着试验次数的增多，频率接近概率解答：（1）由公式可计算出每场比赛该运动员罚球进球的频率依次为（2）由（1）知，每场比赛进球的频率虽然不同，但频率总是在34的附近摆动，可知该运动员投篮一次，进球的概率约为34。

第四节 随机事件的概率[备考方向要明了]考 什 么怎 么 考1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率意义以及频率与概率的区别．2.了解两个互斥事件的概率加法公式.1.随机事件的概率是高考的必考内容，主要考查互斥事件的概率公式以及对立事件的求法为主，其中对立事件的概率是“正难则反”思想的具体应用，在高考中常考查．2.多以选择和填空的形式考查，有时也渗透在解答题中，属容易题，如2012某某T6等.[归纳·知识整合]1．事件的分类2．频率和概率(1)在相同的条件S 下重复n 次实验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝n An为事件A 出现的频率．(2)对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率f n (A )稳定在某个常数上，把这个常数记作P (A )，称为事件A 的概率，简称为A 的概率．[探究] 1.概率和频率有什么区别和联系？提示：频率随着试验次数的变化而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象．当试验次数越来越大时，频率也越来越向概率接近，只要次数足够多，所得频率就近似地看作随机事件的概率．3.事件的关系与运算定义 符号表示提示：互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的．在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生；而对立事件则是必有一个发生，但不能同时发生．所以两个事件互斥但未必对立；反之两个事件对立则它们一定互斥．4．概率的几个基本性质(1)概率的取值X围：[0,1]．(2)必然事件的概率P(E)＝1.(3)不可能事件的概率P(F)＝0.(4)概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．若事件A与B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)．[自测·牛刀小试]1．甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件．那么( )A．甲是乙的充分但不必要条件B．甲是乙的必要但不充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件解析：选B 对立事件一定互斥，互斥事件不一定对立．2．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A．至少有1个白球，都是白球B．至少有1个白球，至少有1个红球C．恰有1个白球，恰有2个白球D．至少有1个白球，都是红球解析：选C A 、B 中的事件可同时发生，不是互斥事件，D 为对立事件．3．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm 的概率为0.2，该同学的身高在[160,175]的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm 的概率为( )A ．0.2B ．0.3C ．0.7D ．0.8解析：选B 由对立事件的概率可求该同学的身高超过175 cm 的概率为 1－0.2－0.5＝0.3.4．某城市2012年的空气质量状况如下表所示：污染指数T 30 60 100 110 130 140 概率P1101613730215130其中污染指数T ≤50时，空气质量为优；50<T ≤100时，空气质量为良；100<T ≤150时，空气质量为轻微污染．该城市2012年空气质量达到良或优的概率为( )A.35B.1180C.119D.56解析：选A 由表知空气质量为优的概率为110，空气质量为良的概率为16＋13＝36＝12.故空气质量为优或良的概率为110＋12＝35. 5．甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则乙不输的概率是________．解析：“乙不输”包含“两人和棋”和“乙获胜”这两个事件，并且这两个事件是互斥的，故“乙不输”的概率为12＋13＝56. 答案：56随机事件间的关系[例1] 从装有5只红球，5只白球的袋中任意取出3只球，判断下列每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件．(1)“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”；(2)“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球”；(3)“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”；(4)“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只红球”．[自主解答] 任取3只球，共有以下4种可能结果：“3只红球”，“2只红球1只白球”，“1只红球2只白球”，“3只白球”．(1)“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”不可能同时发生，是互斥事件，但有可能两个都不发生，故不是对立事件．(2)“取出2只红球1只白球”，与“取出3只红球”不可能同时发生，是互斥事件，可能同时不发生，故不是对立事件．(3)“取出3只红球”与“取出3只球中至少有一只白球”不可能同时发生，故互斥．其中必有一个发生，故对立．(4)“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只红球”可能同时发生，故不是互斥事件，也不可能是对立事件．———————————————————理解互斥事件与对立事件应注意的问题(1)对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不可能同时发生外，其并事件应为必然事件，这可类比集合进行理解；(2)具体应用时，可把试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而判断所给事件的关系．1．判断下列每对事件是否为互斥事件？是否为对立事件？从一副桥牌(52X)中，任取1X，(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为3的倍数”与“抽出的牌点数大于10”．解：(1)是互斥事件但不是对立事件．因为“抽出红桃”与“抽出黑桃”在仅取一X时不可能同时发生，因而是互斥的．同时，不能保证其中必有一个发生，因为还可能抽出“方块”或“梅花”，因此两者不对立．(2)是互斥事件又是对立事件．因为两者不可同时发生，但其中必有一个发生．(3)不是互斥事件，更不是对立事件．因为“抽出的牌点数为3的倍数”与“抽出的牌点数大于10”这两个事件有可能同时发生，如抽得12.随机事件的频率与概率[例2] 某射击运动员进行双向飞碟射击训练，各次训练的成绩如下表：射击次数 100 120 150 100 150 160 150 击中飞碟数 81 95 123 82 119 127 121 击中飞碟的频率(1)将各次击中飞碟的频率填入表中； (2)这个运动员击中飞碟的概率约为多少？[自主解答] 利用频率公式依次计算出击中飞碟的频率．(1)射中次数100，击中飞碟数是81，故击中飞碟的频率是81100＝0.81，同理可求得下面的频率依次是0.792，0.82，0.82，0.793,0.794,0.807；(2)击中飞碟的频率稳定在0.81，故这个运动员击中飞碟的概率约为0.81. ———————————————————概率和频率的关系概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率．2．某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习，如下表所示： (1)计算表中进球的频率并填表；(2)这位运动员投篮一次，进球的概率约是多少？投篮次数n 8 10 15 20 30 40 50 进球次数m 6 8 12 17 25 32 38 进球频率m n解：(1)频率是在试验中事件发生的次数与试验次数的比值，由此得进球频率依次是68，810，1215，1720，2530，3240，3850，即表中依次填入0.75,0.8,0.8,0.85,0.83,0.8,0.76. (2)由(1)知进球频率稳定在0.8，所以这位运动员投篮一次，进球时概率约是0.8.互斥事件、对立事件的概率[例3] 某战士射击一次，问：(1)若中靶的概率为0.95，则不中靶的概率为多少？(2)若命中10环的概率是0.27，命中9环的概率为0.21，命中8环的概率为0.24，则至少命中8环的概率为多少？不够9环的概率为多少？[自主解答] (1)记中靶为事件A ，不中靶为事件A ，根据对立事件的概率性质，有P (A )＝1－P (A )＝1－0.95＝0.05.故不中靶的概率为0.05.(2)记命中10环为事件B ，命中9环为事件C ，命中8环为事件D ，至少8环为事件E ，不够9环为事件F .由B 、C 、D 互斥，E ＝B ∪C ∪D ，F ＝B ∪C ， 根据概率的基本性质，有P (E )＝P (B ∪C ∪D )＝P (B )＋P (C )＋P (D )＝0.27＋0.21＋0.24＝0.72；P (F )＝P (B ∪C )＝1－P (B ∪C )＝1－(0.27＋0.21)＝0.52.所以至少8环的概率为0.72，不够9环的概率为0.52. ——————————————————— 求复杂的互斥事件的概率的一般方法(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率求和，运用互斥事件的概率求和公式计算．(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P (A )＝1－P (A )，即运用逆向思维，特别是“至少”“至多”型题目，用间接法就显得较简便．3．某商场有奖销售中，购满100元商品得1X 奖券，多购多得.1 000X 奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1X 奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A 、B 、C ，求：(1)P (A )，P (B )，P (C )； (2)1X 奖券的中奖概率；(3)1X 奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．解：(1)P (A )＝11 000，P (B )＝101 000＝1100，P (C )＝501 000＝120.故事件A ，B ，C 的概率分别为11 000，1100，120. (2)1X 奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1X 奖券中奖”这个事件为M ，则M ＝A ∪B ∪C .∵A 、B 、C 两两互斥，∴P (M )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝ 1＋10＋501 000＝611 000.故1X 奖券的中奖概率为611 000.(3)设“1X 奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N ，则事件N 与“1X 奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，∴P (N )＝1－P (A ∪B )＝1－⎝⎛⎭⎪⎫11 000＋1100＝9891 000.故1X 奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.1个难点——对频率和概率的理解(1)依据定义求一个随机事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验，用事件发生的频率近似地作为它的概率，但是，某一事件的概率是一个常数，而频率随着试验次数的变化而变化．(2)概率意义下的“可能性”是大量随机事件现象的客观规律，与我们日常所说的“可能”“估计”是不同的．也就是说，单独一次结果的不确定性与积累结果的有规律性，才是概率意义下的“可能性”，事件A 的概率是事件A 的本质属性．1个重点——对互斥事件与对立事件的理解 (1)对于互斥事件要抓住如下特征进行理解： ①互斥事件研究的是两个事件之间的关系； ②所研究的两个事件是在一次试验中涉及的；③两个事件互斥是从试验的结果中不能同时出现来确定的．(2)对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且只有一个发生的两个事件，集合A 的对立事件记作A .从集合的角度来看，事件A 所含的结果的集合正是全集U 中由事件A 所含结果组成的集合的补集，即A ∪A ＝U ，A ∩A ＝∅.对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件.易误警示——误判事件间的关系导致概率计算失误[典例] (2013·某某模拟)抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字1、2、3、4、5、6)，事件A 表示“朝上一面的数是奇数”，事件B 表示“朝上一面的数不超过3”，则P (A ∪B )＝________.[解析] 事件A ∪B 可以分成事件C 为“朝上一面的数为1、2、3”与事件D 为“朝上一面的数为5”这两件事，则事件C 和事件D 互斥，故P (A ∪B )＝P (C ∪D )＝P (C )＋P (D )＝36＋16＝46＝23. [答案] 23[易误辨析]1．因未分清事件A 、B 的关系，误以为事件A 、B 是互斥事件，从而造成概率计算错误； 2．因不能把所求事件转化为几个互斥事件，思维受阻，从而得不到正确答案． 3．求解随机事件的概率问题时还有如下错误：解决互斥与对立事件问题时，由于对事件的互斥与对立关系不清楚，不能准确判断互斥与对立事件的关系而致错．[变式训练]某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙均属于次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，出现丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件，恰好得正品的概率为( )A ．0.99B ．0.98C ．0.97D ．0.96解析：选D 记事件A ＝{甲级品}，B ＝{乙级品}，C ＝{丙级品}．事件A 、B 、C 彼此互斥，且A 与B ∪C 是对立事件．所以P (A )＝1－P (B ∪C )＝1－P (B )－P (C )＝1－0.03－0.01＝0.96.一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．给出以下结论： ①互斥事件一定对立． ②对立事件一定互斥． ③互斥事件不一定对立．④事件A 与B 的和事件的概率一定大于事件A 的概率． ⑤事件A 与B 互斥，则有P (A )＝1－P (B )．其中正确命题的个数为( )A．0个B．1个C．2个 D．3个解析：选C 对立必互斥，互斥不一定对立，所以②③正确，①错；又当A∪B＝A时，P(A∪B)＝P(A)，所以④错；只有A与B为对立事件时，才有P(A)＝1－P(B)，所以⑤错．2．将一枚骰子向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现的点数为偶数，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则( ) A．A与B是互斥而非对立事件B．A与B是对立事件C．B与C是互斥而非对立事件D．B与C是对立事件解析：选D A∩B＝{出现点数2}，事件A，B不互斥更不对立；B∩C＝∅，B∪C为全集，故事件B，C是对立事件，故选D.3．(2013·某某模拟)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是( )A.45 B.35C.25 D.15解析：选D 从{1,2,3,4,5}中选取一个数a有5种取法，从{1,2,3}中选取一个数b有3种取法．所以选取两个数a，b共有5×3＝15个基本事件．满足b>a的基本事件共有3个．因此b>a的概率P＝315＝15.4．从16个同类产品(其中有14个正品，2个次品)中任意抽取3个，下列事件中概率为1的是( )A．三个都是正品B．三个都是次品C．三个中至少有一个是正品D．三个中至少有一个是次品解析：选C 16个同类产品中，只有2件次品，抽取三件产品，A是随机事件，B是不可能事件，C是必然事件，D是随机事件，又必然事件的概率为1.5．某种饮料每箱装6听，其中有4听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是( )A.115 B.35C.815D.1415解析：选B 记4听合格的饮料分别为A 1、A 2、A 3、A 4，2听不合格的饮料分别为B 1、B 2，则从中随机抽取2听有(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，A 4)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)，共15种不同取法，而至少有一听不合格饮料有(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)，共9种，故所求概率为P ＝915＝35.6．甲、乙二人玩数字游戏，先由甲任想一数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b ，且a ，b ∈{1,2,3}，若|a －b |≤1，则称甲、乙“心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )A.13B.59C.23D.79解析：选D 甲想一数字有3种结果，乙猜一数字有3种结果，基本事件总数为3×3＝9.设“甲、乙心有灵犀”为事件A ，则A 的对立事件B 为“|a －b |>1”，又|a －b |＝2包含2个基本事件，所以P (B )＝29，所以P (A )＝1－29＝79.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．人在打靶中连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是________________． 解析：“至少有1次中靶”包括两种情况：①有1次中靶；②有2次中靶．其对立事件为“2次都不中靶”．答案：2次都不中靶8．甲、乙两颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为________．解析：P ＝1－0.2×0.25＝0.95. 答案：0.959．盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球．若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是________．解析：设3只白球为A ，B ，C,1只黑球为d ，则从中随机摸出两只球的情形有：AB ，AC ，Ad ，BC ，Bd ，Cd 共6种，其中两只球颜色不同的有3种，故所求概率为12.答案：12三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．由经验得知，在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：求：(1)(2)至少2人排队的概率．解：记“没有人排队”为事件A，“1人排队”为事件B，“2人排队”为事件C，A，B，C彼此互斥．(1)记“至少2人排队”为事件E，则P(E)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)记“至少2人排队”为事件D.“少于2人排队”为事件A＋B，那么事件D与事件A ＋B是对立事件，则P(D)＝1－P(A＋B)＝1－[P(A)＋P(B)]＝1－(0.1＋0.16)＝0.74.11．已知向量a＝(x，y)，b＝(1，－2)，从6X大小相同、分别标有1,2,3,4,5,6的卡片中，有放回地抽取两X，x，y分别表示第一次，第二次抽取的卡片上的．(1)求满足a·b＝－1的概率；(2)求满足a·b>0的概率．解：(1)设(x，y)表示一个基本事件，则两次抽取卡片的所有基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,5)，(6,6)，共36个．用A表示事件“a·b＝－1”，即x－2y＝－1，则A包含的基本事件有(1,1)，(3,2)，(5,3)，共3个，P(A)＝336＝1 12.(2)a·b>0，即x－2y>0，在(1)中的36个基本事件中，满足x－2y>0的事件有(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(5,2)，(6,2)共6个，所以所求概率P＝636＝16.12．某次会议有6名代表参加，A，B两名代表来自甲单位，C，D两名代表来自乙单位，E，F两名代表来自丙单位，现随机选出两名代表发言，问：(1)代表A被选中的概率是多少？(2)选出的两名代表“恰有1名来自乙单位或2名都来自丙单位”的概率是多少？解：(1)从这6名代表中随机选出2名，共有15种不同的选法，分别为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)．其中代表A被选中的选法有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)共5种，则代表A被选中的概率为515＝13.(2)法一：随机选出的2名代表“恰有1名来自乙单位或2名都来自丙单位”的结果有9种，分别是(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F )．则“恰有1名来自乙单位或2名都来自丙单位”这一事件的概率为915＝35.法二：随机选出的2名代表“恰有1名来自乙单位”的结果有8种，概率为815；随机选出的2名代表“都来自丙单位”的结果有1种，概率为115.则“恰有1名来自乙单位或2名都来自丙单位”这一事件的概率为815＋115＝35.1．有两个质地均匀、大小相同的正四面体玩具，每个玩具的各面上分别写有数字1,2,3,4.把两个玩具各抛掷一次，斜向上的面所有数字之和能被5整除的概率为( )A.116B.14C.38D.12解析：选B “斜向上的所有数字之和能被5整除”等价于：两个底面数字之和能被5整除，而两底数所有的情况有4×4＝16(种)，而两底数和为5包括(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)共4种情况，所以P ＝416＝14. 2．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2点，已知P (A )＝12，P (B )＝16，则出现奇数点或2点的概率为________．解析：因为事件A 与事件B 是互斥事件，所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝12＋16＝23.答案：233．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为715，取得两个绿球的概率为115，则取得两个同颜色的球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________．解析：(1)由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同色球，只需两互斥事件有一个发生．因而取得两个同色球的概率为P ＝715＋115＝815.(2)由于事件A “至少取得一个红球”与事件B “取得两个绿球”是对立事件．则至少取得一个红球的概率P (A )＝1－P (B )＝1415.答案：8151415。

同步练习g3.1094随机事件的概率1.从分别写有A、B、C、D、E的5张卡片中，任取2张，这2张上的字母恰好按字母顺序相邻的概率为A. B. C. D.2.（2004年湖北模拟题）甲、乙二人参加法律知识竞赛,共有12个不同的题目,其中选择题8个,判断题4个.甲、乙二人各依次抽一题,则甲抽到判断题,乙抽到选择题的概率是A. B. C. D.3.（2004年全国Ⅰ,理11）从数字1、2、3、4、5中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为A. B. C. D.4. （广东卷）先后抛掷两枚均匀的正方体股子（它们的六个面分别标有点数１、２、３、４、５、６），股子朝上的面的点数分别为，则的概率为（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）5．（湖北卷）把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是A．168B．96 C．72 D．1446．（湖北卷）以平行六面体ABCD—A′B′C′D′的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率p为A．B．C．D．7.一次二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文5篇和非试点学校的论文3篇.若任意排列交流次序，则最先和最后交流的论文都为试点学校的概率是________.（结果用分数表示）8.(重庆卷)若10把钥匙中只有2把能打开某锁，则从中任取2把能将该锁打开的概率为__________。

9.甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人依次各抽一题.（1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是（2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是10.把编号为1到6的六个小球，平均分到三个不同的盒子内，则：（1）每盒各有一个奇数号球的概率（2）有一盒全是偶数号球的概率11.（2004年全国Ⅱ,18）已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A、B两组，每组4支.求：（1）A、B两组中有一组恰有两支弱队的概率；（2）A组中至少有两支弱队的概率.12.从1，2,…,10这10个数字中有放回地抽取3次，每次抽取一个数字，试求3次抽取中最小数为3的概率. （）13 .将甲、乙两颗骰子先后各抛一次,a、b分别表示抛掷甲、乙两颗骰子所出现的点数. （1）若点P（a,b）落在不等式组表示的平面区域的事件记为A,求事件A的概率;（2）若点P（a,b）落在直线x+y=m（m为常数）上,且使此事件的概率最大,求m的值.答案1—6 BCDCDA 7. 8.9.（1）.（2）. 10. （1）.（2）.11. （1）.（2）. 12.最小数为3的概率为0.169。

2014届高考数学理科试题大冲关：随机事件的概率一、选择题1．已知非空集合A、B满足AÜB，给出以下四个命题：①若任取x∈A，则x∈B是必然事件；②若x∉A，则x∈B是不可能事件；③若任取x∈B，则x∈A是随机事件；④若x∉B，则x∉A是必然事件．其中正确的个数是( ) A．1 B．2C．3 D．42．甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件．那么( )A．甲是乙的充分不必要条件B．甲是乙的必要不充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件3．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为( )A.15B.25C.35D.454．在第3、6、16路公共汽车的一个停靠站(假定这个车站只能停靠一辆公共汽车)，有一位乘客需在5分钟之内乘上公共汽车赶到厂里，他可乘3路或6路公共汽车到厂里，已知3路车，6路车在5分钟之内到此车站的概率分别为0.20和0.60，则该乘客在5分钟内能乘上所需要的车的概率为( )A．0.20 B．0.60C．0.80 D．0.125．某城市2011年的空气质量状况如下表所示：其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50<T≤100时，空气质量为良；100<T≤150时，空气质量为轻微污染．该城市2011年空气质量达到良或优的概率为( )A.35 B.1180C.119D.566．中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”互动环节，是一种竞猜游戏，规则如下：在20个商标牌中，有5个商标牌的背面注明一定的奖金额，其余商标牌的背面是一张哭脸，若翻到哭脸就不得奖，参与这个游戏的观众有三次翻牌机会(翻过的牌不能再翻)，某观众前两次翻牌均获得若干奖金，那么他第三次翻牌获奖的概率是 ( )A.14 B.15 C.16D.320二、填空题7．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽验一只是正品(甲级)的概率为________．8．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2点，已知P (A )＝12，P (B )＝16，则出现奇数点或2点的概率为________．9．口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为________．三、解答题10．对一批衬衣进行抽样检查，结果如表：(1)求次品出现的频率．(2)记“任取一件衬衣是次品”为事件A ，求P (A )．(3)为了保证买到次品的顾客能够及时更换，销售1 000件衬衣，至少需进货多少件？11．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为14，得到黑球或黄球的概率为512，得到黄球或绿球的概率是12，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？ 12．某省是高中新课程改革实验省份之一，按照规定每个学生都要参加学业水平考试，全部及格才能毕业，不及格的可进行补考．某校有50名同学参加物理、化学、生物水平测试补考，已知只补考物理的概率为950，只补考化学的概率为15，只补考生物的概率为1150.随机选出一名同学，求他不止补考一门的概率．详解答案一、选择题1．解析：①③④正确，②是随机事件． 答案：C2．解析：由互斥事件、对立事件的定义可知互斥不一定对立，对立一定互斥，即甲是乙的必要条件但不是充分条件．答案：B3．解析：记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A 、B 、C 、D 、E ，则A 、B 、C 、D 、E 互斥，取到理科书的概率为事件B 、D 、E 概率的和．∴P (B ∪D ∪E )＝P (B )＋P (D )＋P (E )＝15＋15＋15＝35.答案：C4．解析：该乘客在5分钟内能乘上所需要的车的概率为0.20＋0.60＝0.80. 答案：C5．解析：空气质量达到良或优，即T ≤100，故所求概率P ＝110＋16＋13＝35.答案：A6．解析：因为该观众已经两次翻牌且均中奖，所以该观众在进行第三次翻牌时还有18个商标牌，其中有3个背面注明一定的奖金额，故他第三次翻牌获奖的概率为P ＝318＝16.答案：C 二、填空题7．解析：P ＝1－5%－3%＝0.92. 答案：0.928．解析：“出现奇数点”的概率为P (A )，“出现2点”的概率为P (B )，且事件A 与B 互斥，则“出现奇数点或2点”的概率为P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝12＋16＝23.答案：239．解析：摸出红球的概率为45100＝0.45， 因为摸出红球、白球和黑球是互斥事件， 因此摸出黑球的概率为1－0.45－0.23＝0.32. 答案：0.32 三、解答题10．解：(1)次品率依次为：0,0.02,0.06,0.054,0.045,0.05,0.05 (2)由(1)知，出现次品的频率m n在0.05附近摆动， 故P (A )＝0.05. (3)设进衬衣x 件， 则x (1－0.05)≥1 000，解得x ≥1 053.故至少需进货1 053件．11．解：分别记得到红球、黑球、黄球、绿球为事件A 、B 、C 、D .由于A 、B 、C 、D 为互斥事件，根据已知得⎩⎪⎨⎪⎧14＋P B ＋P C ＋P D ＝1，P B ＋P C ＝512，PC ＋PD ＝12.解得⎩⎪⎨⎪⎧P B ＝14，PC ＝16，PD ＝13.故得到黑球、黄球、绿球的概率分别是14，16，13.12．解：设“不止补考一门”为事件E ，“只补考一门”为事件F ，“只补考物理”为事件A ，则P (A )＝950，“只补考化学”为事件B ，则P (B )＝15，“只补考生物”为事件C ，则P (C )＝1150.这三个事件为互斥事件，所以P (F )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝3050＝0.6. 又因为事件E 和事件F 互为对立事件． 所以P (E )＝1－P (F )＝1－0.6＝0.4，即随机选出一名同学，他不止补考一门的概率为0.4.。

2014届高三一轮复习随机事件与概率1．事件的分类：随机事件和确定事件（必然和不可能事件）2．频数、频率与概率3．事件与关系与运算(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率：P(A)＝1.(3)不可能事件的概率：P(A)＝0.(4)互斥事件的概率加法公式：①P(A∪B)＝(A，B互斥)．②P(A1∪A2∪…∪A n)＝(A1，A2，…，A n彼此互斥)．(5)对立事件的概率：P(A)＝．（正难则反）基础自测1．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是()．A．至少有一个红球与都是红球B．至少有一个红球与都是白球C．至少有一个红球与至少有一个白球D．恰有一个红球与恰有二个红球2．甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是()．A.136 B.19 C.536 D.163.判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中，任取一张．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．4.抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字1、2、3、4、5、6)，事件A表示“朝上一面的数是奇数”，事件B 表示“朝上一面的数不超过3”，P(A∪B)___________．5..掷一枚均匀的硬币两次,事件M:一次正面朝上,一次反面朝上;事件N:至少一次正面朝上,则下列结果正确的是().A.P(M)=,P(N)=B.P(M)=,P(N)=C.P(M)=,P(N)=D.P(M)=,P(N)=6.据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为0,1,2的概率分别为0.4,0.5,0.1.(1)该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率___________；(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率____________．题型一随机事件的概率与频率（统计思想）【例1-1】某射击运动员在同一条件下进行练习,结果如下表所示:(1)计算表中击中10环的各个频率;(2)这位射击运动员射击一次,击中10环的概率是多少?(结果精确到0.1)（3）这位射击运动员射击10次,击中10环的期望和方差各是多少？【例1-2】.某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关．据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，Y增加 5.已知近20年X的值为：140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.(1)完成如下的频率分布表：近20年六月份降雨量频率分布表(2)站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率．（3）今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量的分布列、数学期望、方差。