《大高考》2016届高考复习数学理 三年模拟一年创新 第八章 立体几何初步 第一节

第一部分 2016高考试题立体几何1.【2016高考新课标1卷】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π,则它的表面积是（）（A）17π（B）18π（C）20π（D）28π2.【2016高考新课标2理数】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）（A）20π（B）24π（C）28π（D）32π3.【2016年高考北京理数】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A.16B.13C.12D.14.【2016高考新课标3理数】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）（A）18+（B）54+（C）90 （D）815.【2016高考山东理数】一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（）（A ）1233+π （B ）133+π （C ）136+π （D ）16+π 6.【2016高考浙江理数】已知互相垂直的平面αβ，交于直线l .若直线m ，n 满足,m n αβ∥⊥， 则（ ）A ．m ∥lB ．m ∥nC ．n ⊥lD ．m ⊥n7.【2016年高考四川理数】已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是.正视图338.【2016高考浙江理数】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是 cm 2，体积是 cm 3.9.【2016高考新课标2理数】 ,αβ是两个平面，,m n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果,,//m n m n αβ⊥⊥，那么αβ⊥. （2）如果,//m n αα⊥，那么m n ⊥. （3）如果//,m αβα⊂，那么//m β.（4）如果//,//m n αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有 ． (填写所有正确命题的编号）10.【2016高考浙江理数】如图，在△ABC 中，AB =BC =2，∠ABC =120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD =DA ，PB =BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是 .11.【2016高考新课标1卷】平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ,α//平面CB 1D 1,αI 平面ABCD =m ,αI 平面AB B 1A 1=n ,则m 、n 所成角的正弦值为(A)2 (B )2 (C)3 (D)1312.【2016高考新课标3理数】在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是（ ）13.【2016高考天津理数】已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m ），则该四棱锥的体积为_______m 3.14.【2016高考新课标1卷】（本小题满分为12分）如图,在以A ,B ,C ,D ,E ,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF =2FD , 90AFD ∠=,且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60． （I ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （II ）求二面角E -BC -A 的余弦值．15.【2016高考新课标2理数】如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5,6AB AC ==，点,E F 分别在,AD CD 上，54AE CF ==，EF 交BD 于点H ．将DEF∆沿EF 折到D EF '∆位置，OD '=（Ⅰ）证明：D H '⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角B D A C '--的正弦值．16.【2016高考山东理数】在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O '的直径，FB 是圆台的一条母线.（I ）已知G ,H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ；CABDEF（II ）已知EF =FB =12AC =AB =BC .求二面角F BC A --的余弦值.17.【2016高考江苏卷】(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥ ，1111AC A B ⊥. 求证：（1）直线DE ∥平面A 1C 1F ；（2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .18.【2016高考天津理数】（本小题满分13分）如图，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD ，点G 为AB 的中点，AB =BE =2. （I ）求证：EG ∥平面ADF ； （II ）求二面角O -EF -C 的正弦值； （III ）设H 为线段AF 上的点，且AH =23HF ，求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值.19.【2016年高考北京理数】（本小题14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，AC CD ==（1）求证：PD ⊥平面PAB ；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；（3）在棱PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由.20.【2016高考新课标3理数】如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥地面ABCD ，ADBC ，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．（I）证明MN平面PAB；（II）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.21.【2016高考浙江理数】(本题满分15分)如图,在三棱台ABC DEF-中,平面BCFE⊥平面ABC,=90ACB∠,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(I)求证：EF⊥平面ACFD；(II)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.22.【2016年高考四川理数】（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=12AD，E为边AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.（Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；（Ⅱ）若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.E D CB PA23. 【2016高考上海理数】将边长为1的正方形11AAO O （及其内部）绕的1OO 旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为23π，11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧。

第四节直线、平面平行的判定与性质A组三年高考真题（2016～2014年）1.(2014·某某，4)已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( )A.若m∥α，n∥α，则m∥nB.若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC.若m⊥α，m⊥n，则n∥αD.若m∥α，m⊥n，则n⊥α2.(2016·新课标全国Ⅲ，19)如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点.(1)证明：MN∥平面PAB；(2)求四面体NBCM的体积.3.(2015·，18)如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC，且AC＝BC＝2，O，M分别为AB，VA的中点．(1)求证：VB∥平面MOC；(2)求证：平面MOC⊥平面VAB；(3)求三棱锥VABC的体积．4.(2015·某某，18)如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3.(1)证明：BC∥平面PDA；(2)证明：BC⊥PD；(3)求点C到平面PDA的距离．5.(2015·某某，16)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.求证：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.6.(2015·某某，18)如图，三棱台DEF-ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．(1)求证：BD∥平面FGH；(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.7.(2014·某某，18)在如图所示的多面体中,四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形．(1)若AC ⊥BC ,证明：直线BC ⊥平面ACC 1A 1；(2)设D ,E 分别是线段BC ,CC 1的中点,在线段AB 上是否存在一点M ,使直线DE ∥平面A 1MC ？请证明你的结论．8.(2014·某某，18)如图，四棱锥PABCD 中，AP ⊥平面PCD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F 分别为线段AD ，PC 的中点．(1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：BE ⊥平面PAC .9.(2014·某某，19)如图，四棱锥P-ABCD 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G ，E ，F ，H 分别是棱PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD ，BC ∥平面GEFH . (1)证明：GH ∥EF ；(2)若EB ＝2，求四边形GEFH 的面积．B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·某某实验中学质量检测)已知直线m ，n 和平面α，则m ∥n 的一个必要条件是( ) A.m ∥α，n ∥α B.m ⊥α，n ⊥α C.m ∥α，n ⊂αD.m ，n 与α成等角2.(2016·某某资阳高考模拟)下列关于空间的直线和平面的叙述正确的是( ) A.平行于同一平面的两直线平行 B.垂直于同一平面的两平面平行C.如果两条互相垂直的直线分别平行于两个不同的平面，那么这两个平面平行D.如果一个平面内一条直线垂直于另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直3.(2016·某某威海一模)关于两条不同的直线m ，n 与两个不同的平面α，β，下列命题正确的是( )A.m ∥α，n ∥β，且α∥β，则m ∥nB.m ⊥α，n ⊥β且α⊥β，则m ∥nC.m ⊥α，n ∥β且α∥β，则m ⊥nD.m ∥α，n ⊥β且α⊥β，则m ∥n4.(2016·某某4月适应性考试)已知α，β表示两个不同平面，a ，b 表示两条不同直线，对于下列两个命题：①若b ⊂α，a ⊄α，则“a ∥b ”是“a ∥α”的充分不必要条件；②若a ⊂α，b ⊂α，则“α∥β”是“a ∥β且b ∥β”的充要条件. 判断正确的是( )A.①，②都是真命题B.①是真命题，②是假命题C.①是假命题，②是真命题D.①，②都是假命题5.(2015·某某某某检测)已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是( ) A.若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B.若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β C.若m ∥α，m ∥β，则α∥βD.若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n6.(2015·某某九校联考)如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AA 1＝AC ＝2AB ＝2，且BC 1⊥A 1C .(1)求证：平面ABC 1⊥平面A 1ACC 1；(2)设D 是A 1C 1的中点，在线段BB 1上是否存在点E ，使DE ∥平面ABC 1？若存在，求三棱锥EABC 1的体积；若不存在，请说明理由.答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.解析 若m ∥α，n ∥α，则m 与n 可能平行、相交或异面，故A 错； B 正确；若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α，故C 错误；若m ∥α，m ⊥n ，则n 与α可能平行、相交或n ⊂α，故D 错误．因此选B. 答案 B2.(1)证明 由已知得AM ＝23AD ＝2.取BP 的中点T ，连接AT ，TN ， 由N 为PC 中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT . 因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ， 所以MN ∥平面PAB .(2)解 因为PA ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点， 所以N 到平面ABCD 的距离为12PA .取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC ＝3得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5. 由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5， 故S △BCM ＝12×4×5＝2 5.所以四面体NBCM 的体积V NBCM ＝13×S △BCM ×PA 2＝453.3.解 (1)因为O ，M 分别为AB ，VA 的中点，所以OM ∥VB ， 又因为VB ⊄平面MOC ，所以VB ∥平面MOC .(2)因为AC ＝BC ，O 为AB 的中点，所以OC ⊥AB .又因为平面VAB ⊥平面ABC ，且OC ⊂平面ABC ，所以OC ⊥平面VAB . 所以平面MOC ⊥平面VAB .(3)在等腰直角三角形ACB 中，AC ＝BC ＝2，所以AB ＝2，OC ＝1， 所以等边三角形VAB 的面积S △VAB ＝ 3.又因为OC ⊥平面VAB .所以三棱锥CVAB 的体积等于13·OC ·S △VAB ＝33，又因为三棱锥VABC 的体积与三棱锥CVAB 的体积相等， 所以三棱锥VABC 的体积为33. 4.解 (1)因为四边形ABCD 是长方形，所以BC ∥AD ， 因为BC ⊄平面PDA ，AD ⊂平面PDA ，所以BC ∥平面PDA . (2)因为四边形ABCD 是长方形，所以BC ⊥CD ，因为平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC ∩平面ABCD ＝CD ，BC ⊂平面ABCD ， 所以BC ⊥平面PDC ，因为PD ⊂平面PDC ，所以BC ⊥PD . (3)取CD 的中点E ，连接AE 和PE . 因为PD ＝PC ，所以PE ⊥CD ，在Rt △PED 中，PE ＝PD 2－DE 2＝42－32＝7.因为平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC ∩平面ABCD ＝CD ，PE ⊂平面PDC ， 所以PE ⊥平面ABCD ，由(2)知：BC ⊥平面PDC ，由(1)知：BC ∥AD ，所以AD ⊥平面PDC ， 因为PD ⊂平面PDC ，所以AD ⊥PD .设点C 到平面PDA 的距离为h ，因为V 三棱锥CPDA ＝V 三棱锥PACD ，所以13S △PDA ·h ＝13S △ACD ·PE ，即h ＝S △ACD ·PE S △PDA ＝12×3×6×712×3×4＝372，所以点C 到平面PDA 的距离是372.5.证明 (1)由题意知，E 为B 1C 的中点， 又D 为AB 1的中点，所以DE ∥AC . 又因为DE ⊄平面AA 1C 1C ，AC ⊂平面AA 1C 1C ， 所以DE ∥平面AA 1C 1C .(2)因为棱柱ABCA 1B 1C 1是直三棱柱， 所以CC 1⊥平面ABC .因为AC ⊂平面ABC ，所以AC ⊥CC 1.又因为AC ⊥BC ，CC 1⊂平面BCC 1B 1，BC ⊂平面BCC 1B 1，BC ∩CC 1＝C ， 所以AC ⊥平面BCC 1B 1.又因为BC 1⊂平面BCC 1B 1，所以BC 1⊥AC . 因为BC ＝CC 1，所以矩形BCC 1B 1是正方形， 所以BC 1⊥B 1C .因为AC ，B 1C ⊂平面B 1AC ，AC ∩B 1C ＝C ， 所以BC 1⊥平面B 1AC .又因为AB 1⊂平面B 1AC ，所以BC 1⊥AB 1. 6.证明 (1)方法一连接DG，CD，设CD∩GF＝M，连接MH.在三棱台DEFABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形．则M为CD的中点，又H为BC的中点，所以HM∥BD，又HM⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，所以BD∥平面FGH.方法二在三棱台DEFABC中，由BC＝2EF，H为BC的中点，可得BH∥EF，BH＝EF，所以四边形HBEF为平行四边形，可得BE∥HF.在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GH∥AB.又GH∩HF＝H，所以平面FGH∥平面ABED.又因为BD⊂平面ABED，所以BD∥平面FGH.(2)连接HE，因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GH∥AB.由AB⊥BC，得GH⊥BC.又H为BC的中点，所以EF∥HC，EF＝HC，因此四边形EFCH是平行四边形，所以CF∥HE.又CF⊥BC，所以HE⊥BC.又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH＝H，所以BC⊥平面EGH.又BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH.7.(1)证明 因为四边形ABB 1A 1和ACC 1A 1都是矩形， 所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC .因为AB ，AC 为平面ABC 内两条相交直线， 所以AA 1⊥平面ABC .因为直线BC ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥BC .又由已知，AC ⊥BC ，AA 1，AC 为平面ACC 1A 1内两条相交直线， 所以BC ⊥平面ACC 1A 1.(2)解 取线段AB 的中点M ，连接A 1M ，MC ，A 1C ，AC 1，设O 为A 1C ，AC 1的交点．由已知可知，O 为AC 1的中点．连接MD ，OE ， 则MD ，OE 分别为△ABC ，△ACC 1的中位线， 所以，MD 綉12AC ，OE 綉12AC ，所以MD 綉OE .连接OM ，从而四边形MDEO 为平行四边形， 则DE ∥MO .因为直线DE ⊄平面A 1MC ，MO ⊂平面A 1MC ， 所以直线DE ∥平面A 1MC .即线段AB 上存在一点M (线段AB 的中点)，使直线DE ∥平面A 1MC . 8.证明 (1)设AC ∩BE ＝O ，连接OF ，EC . 由于E 为AD 的中点，AB ＝BC ＝12AD ，AD ∥BC ，所以AE ∥BC ，AE ＝AB ＝BC ，所以四边形ABCE 为菱形，所以O 为AC 的中点． 又F 为PC 的中点，所以在△PAC 中，可得AP ∥OF .又OF ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ，所以AP ∥平面BEF .(2)由题意知ED ∥BC ，ED ＝BC .所以四边形BCDE 为平行四边形，所以BE ∥CD . 又AP ⊥平面PCD ，所以AP ⊥CD ，所以AP ⊥BE . 因为四边形ABCE 为菱形，所以BE ⊥AC .又AP ∩AC ＝A ，AP 、AC ⊂平面PAC ，所以BE ⊥平面PAC .9.(1)证明 因为BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面PBC ，且平面PBC ∩平面GEFH ＝GH ， 所以GH ∥BC .同理可证EF ∥BC ，所以GH ∥EF .(2)解 连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK . 因为PA ＝PC ，O 是AC 的中点， 所以PO ⊥AC ，同理可得PO ⊥BD .又BD ∩AC ＝O ，且AC ，BD 都在底面内，所以PO ⊥底面ABCD . 又因为平面GEFH ⊥平面ABCD ，且PO ⊄平面GEFH ， 所以PO ∥平面GEFH .因为平面PBD ∩平面GEFH ＝GK ，所以PO ∥GK ，且GK ⊥底面ABCD ， 所以GK ⊥EF ，所以GK 是梯形GEFH 的高． 由AB ＝8，EB ＝2得EB ∶AB ＝KB ∶DB ＝1∶4， 所以KB ＝14DB ＝12OB ，即K 为OB 的中点．再由PO ∥GK 得GK ＝12PO ，即G 是PB 的中点，且GH ＝12BC ＝4.由已知可得OB ＝42，PO ＝PB 2－OB 2＝68－32＝6，所以GK ＝3. 故四边形GEFH 的面积S ＝GH ＋EF2·GK ＝4＋82×3＝18.B组两年模拟精选(2016～2015年)1.解析若m∥n，则m，n与平面α平行、相交、在平面上都有可能；平行所成的角一定相等，反之不成立.答案 D2.解析对于A，两直线平行，相交，异面均有可能；对于B，两平面也可能相交；对于D，两平面也可能平行，故A、B、D错误，C正确.答案 C3.解析由m⊥α，α∥β得m⊥β，又n∥β，所以m⊥n.答案 C4.解析由b⊂α,a⊄α,a∥b,可得a∥α,反之由a∥α,b⊂α可知a与b平行或异面,①正确；对于②,若a∥b,则由a⊂α,b⊂α,a∥β,b∥β不能得到α∥β,故②错误.答案 B5.解析对于A,同时平行于平面α的两直线可能相交、平行、异面,因此A不正确；对于B,垂直于同一平面的两个平面未必平行,它们也可能是相交的两个平面,因此B不正确；对于C,平行于同一直线的两个平面未必平行,它们也可能是相交的两个平面，因此C不正确；对于D,由垂直于同一平面的两条直线平行可知，D正确.故选D.答案 D6.(1)证明在直三棱柱ABCA1B1C1中，有A1A⊥平面ABC，∴A1A⊥AC，又A1A＝AC，四边形ACC1A为正方形，∴A1C⊥AC1.又BC1⊥A1C，且BC1∩AC1＝C1，∴A1C⊥平面ABC1，又A1C⊂平面ABC1，∴平面ABC1⊥平面A1ACC1.(2)解存在.取A1A的中点F，连接EF，FD，当E为B1B中点时，EF∥AB，DF∥AC1.又EF∩DF＝F，AB∩AC1＝A，∴平面EFD∥平面ABC1，又ED ⊂平面EFD ，∴ED ∥平面ABC 1.当E 为BB 1中点时，1EABC V ＝1C ABE V ＝13×12×1×1×2＝13.。

§8.7立体几何中的向量方法(二）——求空间角和距离1．两条异面直线所成角的求法设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则l1与l2所成的角θa与b的夹角β范围(0,错误!][0，π］求法cos θ＝|a·b｜｜a｜|b|cos β＝错误!2.设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β，则sin θ＝｜cos β｜＝错误!.3．求二面角的大小（1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈错误!,错误!〉．(2）如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ｜＝｜cos〈n1,n2>｜，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．4．利用空间向量求距离（供选用)（1）两点间的距离设点A（x1，y1,z1），点B(x2，y2，z2）,则｜AB｜＝|错误!|＝错误!。

（2)点到平面的距离如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为｜错误!｜＝错误!.【思考辨析】判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）（1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．（×)（2）直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．( ×)(3）两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．( ×) (4）两异面直线夹角的范围是（0，错误!］,直线与平面所成角的范围是［0，错误!］，二面角的范围是［0，π]．（√)（5)直线l 的方向向量与平面α的法向量夹角为120°，则l 和α所成角为30°.（ √ ）(6）若二面角α－a －β的两个半平面α，β的法向量n 1,n 2所成角为θ，则二面角α－a －β的大小是π－θ。

（ × ）1．如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是a ＝（1，0，1),b ＝（0，1，1)，那么这条斜线与平面所成的角是( ） A.π2 B 。

第一节 空间几何体的结构及其三视图与直观图A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·全国Ⅲ，9)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )A.18＋365B.54＋18 5C.90D.812.(2016·全国Ⅱ，6)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A.20πB.24πC.28πD.32π3.(2016·，6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )A.16B.13C.12D.1 4.(2016·某某，5)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋23πB.13＋23πC.13＋26πD.1＋26π 5.(2015·某某，8)若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值( )A.大于5B.等于5C.至多等于4D.至多等于36.(2015·，5)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( )A.2＋5B.4＋ 5C.2＋25D.57.(2015·某某，2)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )A.8 cm 3B.12 cm 3C.323 cm 3D.403cm 3 8.(2015·新课标全国Ⅰ，11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )A.1B.2C.4D.89.(2014·某某，2)某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是( )A.圆柱B.圆锥C.四面体D.三棱柱10.(2014·某某，5)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是( )11.(2014·某某，5)在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2).给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为( )A.①和②B.③和①C.④和③D.④和②12.(2014·新课标全国Ⅰ，12)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )A.6 2B.4 2C.6D.413.(2015·某某，10)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.如图,网格上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )A.2 2B. 6C.2 3D.32.(2016·某某某某二模)如图，圆锥的底面直径AB ＝2，母线VA ＝3，点C 在母线VB 上，且VC ＝1，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 爬到点C ，则这只蚂蚁爬行的最短路程是( )A.13B.7C.433D.3323.(2016·某某新华中学月考)如图是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图，则该几何体的体积是( )A.24B.12C.8D.44.(2015·某某某某模拟)某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则其侧视图的面积是( )A.12B.32C.1D. 3 5.(2015·某某莱芜模拟)如右图放置的六条棱长都相等的三棱锥，则这个几何体的侧视图是( )A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.无两边相等的三角形6.(2016·某某某某模拟)在三棱锥P －ABC 中，PB ＝6，AC ＝3，G 为△PAC 的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB 和AC ，则截面的周长为________.7.(2016·某某师大附中模拟)如图是一几何体的三视图，则该几何体的体积是________.8.(2016·某某某某统考)如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为________.答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）(2016年高考题6月底更新) 1.B [由题意知，几何体为平行六面体，边长分别为3，3，45，几何体的表面积S ＝3×6×2＋3×3×2＋3×45×2＝54＋18 5.]2.C [由三视图可知，组合体的底面圆的面积和周长均为4π，圆锥的母线长l ＝（23）2＋22＝4，所以圆锥的侧面积为S 锥侧＝12×4π×4＝8π，圆柱的侧面积S 柱侧＝4π×4＝16π，所以组合体的表面积S ＝8π＋16π＋4π＝28π，故选C.]3.A[由三视图知，三棱锥如图所示：由侧视图得高h ＝1，又底面积S ＝12×1×1＝12.所以体积V ＝13Sh ＝16.] 4.C[由三视图知,半球的半径R ＝22,四棱锥为底面边长为1,高为1的正四棱锥, ∴V ＝13×1×1×1＋12×43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫223＝13＋26π，故选C.] 5.C [当n ＝3时显然成立，故排除A ，B ；由正四面体的四个顶点，两两距离相等，得n ＝4时成立，故选C.]6.C [该三棱锥的直观图如图所示：过D 作DE ⊥BC ，交BC 于E ，连接AE ，则BC ＝2，EC ＝1，AD ＝1，ED ＝2，S 表＝S △BCD ＋S △ACD ＋S △ABD ＋S △ABC＝12×2×2＋12×5×1＋12×5×1＋12×2×5＝2＋2 5.] 7.C [该几何体是棱长为2 cm 的正方体与一底面边长为2 cm 的正方形，高为2 cm 的正四棱锥组成的组合体，V ＝2×2×2＋13×2×2×2＝323(cm 3).故选C.] 8.B [由题意知，2r ·2r ＋12·2πr ·2r ＋12πr 2＋12πr 2＋12·4πr 2＝4r 2＋5πr 2＝16＋20π，解得r ＝2.]9.A [圆柱的正视图是矩形，则该几何体不可能是圆柱.]10.B [由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组成.从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形.] 11.D [在空间直角坐标系O －xyz 中作出棱长为2的正方体，在该正方体中作出四面体，如图所示，由图可知，该四面体的正视图为④，俯视图为②.选D. ]12.C [如图，设辅助正方体的棱长为4，三视图对应的多面体为三棱锥ABCD ，最长的棱为AD ＝（42）2＋22＝6，选C. ]13.83π [由三视图可知，该几何体由相同底面的两圆锥和圆柱组成，底面半径为1，圆锥的高为1，圆柱的高为2，所以该几何体的体积V ＝2×13π×12×1＋π×12×2＝83π m 3.] B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.D [(1)几何体的直观图如图，其中平面ABD ⊥平面BCD ，△ABD 为等腰直角三角形，AB ＝2，BD ＝2，△BCD 是以BD 为底边的等腰三角形，C 到BD 的中点的距离为2，∴BC ＝CD ＝12＋22＝5，AC ＝22＋（5）2＝3.AD ＝22，显然所有棱中，AC 最长，长为3，故选D.]2.B [由题意,圆锥的从VA 到VB 的部分侧面展开图为如图所示的扇形,半径为3,圆心角为π3,连接AC ,在△VAC 中,因为VC ＝1,∠V ＝π3，VA ＝3,所以由余弦定理得AC 2＝32＋12－2×3×1×12＝7.∴AC ＝7，即蚂蚁爬行最短路程为7，故选B.]3.B [由三视图可知,该几何体由两个相同的直三棱柱构成,三棱柱的高为4,三棱柱的底面三角形为直角三角形,两直角边分别为2，32，所以三棱柱的底面积为12×2×32＝32，所以三棱柱的体积为32×4＝6.即该几何体的体积为2×6＝12，故选B.] 4.B [由三视图可以得到原几何体是以1为半径，母线长为2的半个圆锥，故侧视图的面积是32，故选B.] 5. A [∵六条棱长都相等的三棱锥，它的侧视图是如图所示的等腰三角形(AC ＝AB )，故选A.]6. 8[过点G 作EF ∥AC ,分别交PA 、PC 于点E 、F ，过E 、F 分别作EN ∥PB 、FM ∥PB ，分别交AB 、BC 于点N 、M ，连接MN ，则四边形EFMN 是平行四边形(面EFMN 为所求截面)，且EF＝MN ＝23AC ＝2，FM ＝EN ＝13PB ＝2，所以截面的周长为2×4＝8.] 7.9 [由三视图知该几何体是一个四棱锥，其体积V ＝13×12×(2＋4)×3×3＝9.] 8. 50 π [由三视图知,该几何体可以由一个长方体截去4个角后得到,此长方体的长、宽、高分别为5、4、3，所以外接球半径R 满足2R ＝42＋32＋52＝52，所以外接球的表面积为S ＝4πR 2＝4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫5222＝50π.]。

专题八 立体几何1.(2012·高考北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )A ．28＋65B ．30＋6 5C ．56＋12 5D ．60＋ 12 5 2.(2012·高考陕西卷)将正方形(如图1所示)截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为( )3.(2012·高考天津卷)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________ m 3.4.(2012·高考山东卷) 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 为线段B 1C 上的一点，则三棱锥A －DED 1的体积为__________．5.(2012·高考安徽卷)若四面体ABCD 的三组对棱分别相等，即AB ＝CD ，AC ＝BD ，AD ＝BC ，则________．(写出所有正确结论的编号)①四面体ABCD 每组对棱相互垂直 ②四面体ABCD 每个面的面积相等③从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于 180° ④连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分⑤从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长 6.(2012·高考课标全国卷) 如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点．(Ⅰ)证明：平面BDC 1⊥平面BDC ；(Ⅱ)平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．7.(2012·高考广东卷) 如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥平面P AD ，AB ∥CD ，PD＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点且DF ＝12AB ，PH 为△P AD 中AD 边上的高．(1)证明：PH ⊥平面ABCD ；(2)若PH ＝1，AD ＝2，FC ＝1，求三棱锥E －BCF 的体积； (3)证明：EF ⊥平面P AB .8.(2012·高考福建卷) 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，M 为棱DD 1上的一点．(Ⅰ)求三棱锥A －MCC 1的体积；(Ⅱ)当A 1M ＋MC 取得最小值时，求证：B 1M ⊥平面MAC .9.(2012·高考浙江卷) 如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AB ＝2，AD ＝2，BC ＝4，AA 1＝2，E 是DD 1的中点，F 是平面B 1C 1E 与直线AA 1的交点．(Ⅰ)证明：(ⅰ)EF ∥A 1D 1； (ⅱ)BA 1⊥平面B 1C 1EF ；(Ⅱ)求BC 1与平面B 1C 1EF 所成的角的正弦值．10.(2012·高考湖南卷) 如右图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC ，AC ⊥BD .(Ⅰ)证明：BD ⊥PC ；(Ⅱ)若AD ＝4，BC ＝2，直线PD 与平面P AC 所成的角为30°，求四棱锥P －ABCD 的体积．专题八 立体几何1.B 由三视图可得该三棱锥的直观图为(下图)，在直观图中，作SO ⊥AC 于O ，则SO ⊥面ABC，作OG ⊥AB 于G ，连SG ，则SG ⊥AB ，由三视图知，∠ACB ＝90°，SO ＝4，AO ＝2，CO ＝3，BC ＝4.在Rt △AOG 及Rt △ACB 中，由Rt △AOG ∽Rt △ACB ，∴AO AB ＝OG BC ⇒OG ＝2×441＝841. 在Rt △SOG 中，SG ＝SO 2＋OG 2＝16＋6441＝72041＝12541.∴S 表＝S △SAC ＋S △SBC ＋S △ABC ＋S △SAB ＝12×4×5＋12×4×42＋32＋12×4×5＋12×12541×41＝30＋6 5.2.B 由图2可知AD 1为实线，B 1C 在左视图中为虚线，所以左视图为B.3.30 由三视图知原几何体是由两个长方体及1个三棱柱组合而成，∴V ＝[3×4＋（1＋2）×12]×4＝30. 4.16 V D 1－EDF ＝V F －EDD 1＝13S △D 1DE ·CD ＝16. 5.②④⑤如图所示，利用特值法易知②④⑤正确，③错误，①不一定．6.证明：(Ⅰ)由题设知BC ⊥CC 1，BC ⊥AC ，CC 1∩AC ＝C ，所以BC ⊥平面ACC 1A 1. 又DC 1⊂平面ACC 1A 1，所以DC 1⊥BC . 由题设知∠A 1DC 1＝∠ADC ＝45°， 所以∠CDC 1＝90°，即DC 1⊥DC .又DC ∩BC ＝C ，所以DC 1⊥平面BDC . 又DC 1⊂平面BDC 1， 故平面BDC 1⊥平面BDC .(Ⅱ)设棱锥B －DACC 1的体积为V 1，AC ＝1.由题意得V 1＝13×1＋22×1×1＝12.又三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积V ＝1， 所以(V －V 1)∶V 1＝1∶1.故平面BDC 1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1. 7.解：(1)证明：因为AB ⊥平面P AD ， 所以PH ⊥AB .因为PH 为△P AD 中AD 边上的高， 所以PH ⊥AD .因为AB ∩AD ＝A ， 所以PH ⊥平面ABCD .(2)连结BH ，取BH 中点G ，连结EG ， 因为E 是PB 的中点， 所以EG ∥PH ，因为PH ⊥平面ABCD ， 所以EG ⊥平面ABCD ，则EG ＝12PH ＝12，V E －BCF ＝13S △BCF ·EG＝13·12·FC ·AD ·EG ＝212. (3)证明：取P A 中点M ，连结MD ，ME . 因为E 是PB 的中点，所以ME 綊12AB .因为DF 綊12AB ，所以ME 綊DF ，所以四边形MEDF 是平行四边形， 所以EF ∥MD . 因为PD ＝AD ，所以MD ⊥P A .因为AB ⊥平面P AD ， 所以MD ⊥AB . 因为P A ∩AB ＝A ， 所以MD ⊥平面P AB ， 所以EF ⊥平面P AB .8.解：(Ⅰ)由长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1知， AD ⊥平面CDD 1C 1，∴点A 到平面CDD 1C 1的距离等于AD ＝1，又S △MCC 1＝12CC 1×CD ＝12×2×1＝1，∴VA －MCC 1＝13AD ·S △MCC 1＝13.(Ⅱ)将侧面CDD 1C 1绕DD 1逆时针转90°展开，与侧面ADD 1A 1共面(如图)， 当A 1，M ，C ′共线时，A 1M ＋MC 取得最小值． 由AD ＝CD ＝1，AA 1＝2，得M 为DD 1中点．连接C 1M ，在△C 1MC 中，MC 1＝2，MC ＝2，CC 1＝2，∴CC 21＝MC 21＋MC 2，得∠CMC 1＝90°，即CM ⊥MC 1， 又由长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1知，B 1C 1⊥平面CDD 1C 1， ∴B 1C 1⊥CM .又B 1C 1∩C 1M ＝C 1，∴CM ⊥平面B 1C 1M ，得CM ⊥B 1M ， 同理可证，B 1M ⊥AM ，又AM ∩MC ＝M ，∴B 1M ⊥平面MAC .9.解：(Ⅰ)(ⅰ)因为C 1B 1∥A 1D 1，C 1B 1⊄平面ADD 1A 1，所以C 1B 1∥平面A 1D 1DA .又因为平面B 1C 1EF ∩平面A 1D 1DA ＝EF ，所以C 1B 1∥EF .所以A 1D 1∥EF .(ⅱ)因为BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1， 所以BB 1⊥B 1C 1.又因为B 1C 1⊥B 1A 1，BB 1∩B 1A 1＝B 1， 所以B 1C 1⊥平面ABB 1A 1. 所以B 1C 1⊥BA 1在矩形ABB 1A 1中，F 是AA 1的中点，tan ∠A 1B 1F ＝tan ∠AA 1B ＝22，即∠A 1B 1F ＝∠AA 1B . 又B 1F ∩B 1C 1＝B 1，故∠A 1B 1F ＋∠BA 1B 1＝90°， 故BA 1⊥B 1F .所以BA 1⊥平面B 1C 1EF .(Ⅱ)设BA 1与B 1F 交点为H .连结C 1H .由(Ⅰ)知BA 1⊥平面B 1C 1EF ，所以∠BC 1H 是BC 1与面B 1C 1EF 所成的角．在矩形AA 1B 1B 中，AB ＝2，AA 1＝2，得BH ＝46.在直角△BHC 1中，BC 1＝25，BH ＝46，得sin ∠BC 1H ＝BH BC 1＝3015.所以BC 1与平面B 1C 1EF 所成角的正弦值是3015. 10.解：(Ⅰ)证明：因为P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥BD .又AC ⊥BD ，P A ，AC 是平面P AC 内的两条相交直线，所以BD ⊥平面P AC .而PC ⊂平面P AC ，所以BD ⊥PC .(Ⅱ)设AC 和BD 相交于点O ，连结PO ，由(Ⅰ)知，BD ⊥平面P AC ，所以∠DPO 是直线PD 和平面P AC 所成的角．从而∠DPO ＝30°.由BD ⊥平面P AC ，PO ⊂平面P AC 知，BD ⊥PO .在Rt △POD 中，由∠DPO ＝30°得PD ＝2OD .因为四边形ABCD 为等腰梯形，AC ⊥BD ，所以△AOD ，△BOC 均为等腰直角三角形，从而梯形ABCD 的高为12AD ＋12BC ＝12×(4＋2)＝3，于是梯形ABCD 的面积S ＝12×(4＋2)×3＝9.在等腰直角三角形AOD 中，OD ＝22AD ＝22，所以PD ＝2OD ＝42，P A ＝PD 2－AD 2＝4.故四棱锥P －ABCD 的体积为V ＝13×S ×P A ＝13×9×4＝12.。

第一节空间几何体的结构及其三视图、直观图A组专项基础测试三年模拟精选选择题1.(2015·成都市一诊)若一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的正方形，则这个几何体的俯视图不可能是( )解析由题意知，俯视图的长度和宽度相等，故C不可能.答案 C2.(2015·北京朝阳区期末)一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析满足条件的四棱锥的底面为矩形，且一条侧棱与底面垂直，如图所示，易知该四棱锥四个侧面均为直角三角形.答案 D3.(2015·北京东城综合练习)已知一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，那么这个几何体的侧面积是( )A.(1＋2) cm 2B.(3＋2) cm 2C.(4＋2) cm 2D.(5＋2) cm 2解析 由三视图可知该几何体的直观图如图所示，所以侧面积为(4＋2)cm 2.故选C. 答案 C4.(2015·山东烟台莱州一中第二次质量检测)一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为①长方形；②直角三角形；③圆；④椭圆.其中正确的是( )A.①B.②C.③D.④解析 当俯视图为圆时，由三视图可知为圆柱，此时正视图和侧视图应该相同，所以俯视图不可能是圆，选C. 答案 C一年创新演练5.如图是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图，则该几何体的体积是( )A.24B.12C.8D.4解析 由三视图可知，该几何体由两个相同的直三棱柱构成，三棱柱的高为4，三棱柱的底面三角形为直角三角形，两直角边分别为2，32，所以三棱柱的底面积为12×2×32＝32，所以三棱柱的体积为32×4＝6，所以该几何体的体积为2×6＝12，选B.答案 B6.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球体积为________.解析 设该三棱锥的外接球的半径是R .依题意得，该三棱锥的形状如图所示，其中AB ⊥平面BCD ，AB ＝2，CD ＝22，BC ＝BD ＝2，BC ⊥BD ，因此可将其补形成一个棱长为2的正方体，则有2R ＝23，R ＝3，所以该三棱锥的外接球体积为4π3×(3)3＝43π.答案 43πB 组 专项提升测试 三年模拟精选一、选择题7.(2015·桂林市一调)已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的( )解析 只有C 项合适. 答案 C 二、填空题8.(2015·广东珠海综合测试)如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为________.解析 由几何体的三视图可知，这是一个有一条侧棱与底面垂直的三棱锥，其高为2，底面积为12×2×2＝1，所以该几何体的体积为23.答案 239.(2015·湖南益阳箴言中学二模)一个三棱锥的三视图如图所示，其正视图、侧视图、俯视图的面积分别是1，2，4，则这个几何体的体积是________.解析 由三视图可知，这是一个底面与两侧面均为直角三角形的三棱锥，且在一个顶点处有三个直角，设三棱锥直角顶点处的三条棱长分别为a ，b ，c ，则由正视图、侧视图、俯视图的面积分别是1，2，4，可得⎩⎪⎨⎪⎧12ab ＝1，12ac ＝2，12bc ＝4，将三个式子左右两边分别相乘可得，18(abc )2＝8，则abc ＝8，所以这个几何体的体积为V ＝13·12abc ＝43.答案 4310.(2014·河北重点中学联合考试)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________.解析 由三视图可知，该几何体是一个棱长为4的正方体被一个平面截去一部分后余下的一部分，如图，连接AC ，NC ，则这个几何体的体积是四棱锥CABEN 的体积的2倍，则该几何体的体积为V ＝2×13×12×(2＋4)×4×4＝32.答案 32一年创新演练11.如图所示，E，F分别是正方体的面ADD1A1，面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是________(要求：把可能的图的序号都填上).解析由正投影的定义，四边形BFD1E在面AA1D1D与面BB1C1C上的正投影是图③；其在面ABB1A1与面DCC1D1上的正投影是图②；其在面ABCD与面A1B1C1D1上的正投影也是②，故①④错误. 答案②③12.图(1)为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由________块木块堆成；图(2)中的三视图表示的实物为________.解析(1)由三视图可知从正面看到三块，从侧面看到三块，结合俯视图可判断几何体共由4块长方体组成.(2)由三视图可知几何体为圆锥.答案 4 圆锥。

221第一节 空间几何体的结构及其三视图、直观图A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2015·北京，7)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为( ) A.1 B. 2 C.3 D.2第1题图 第2题图2.(2015·重庆，5)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A.13＋2π B.13π6 C.7π3 D.5π23.(2015·陕西，5)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) A.3π B.4π C.2π＋4D.3π＋4第3题图 第4题图4.(2015·浙江，2)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( ) A ．8 cm 3B ．12 cm 3C.323 cm 3D.403cm 3 5.(2015·福建，9)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( )222A.8＋2 2B.11＋2 2C.14＋2 2D.156.(2014·辽宁，7)某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.8－π4B.8－π2C.8－πD.8－2π7.(2014·浙江，3)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( ) A.72 cm 3B.90 cm 3C.108 cm 3D.138 cm 38.(2014·新课标全国Ⅰ，8)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱9.(2014·新课标全国Ⅱ，6)如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm ，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )223A.1727B.59C.1027D.1310．(2015·天津，10)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.11.(2014·北京，11)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·成都市一诊)若一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的正方形，则这个几何体的俯视图不可能是()2.(2016·湖南衡阳大联考)如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为( )A.4B.4 2C.4 3D.82243.(2016·桂林市一调)已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的()4.(2016·石家庄二中一模)如图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值为()A.4B.5C.3 2D.3 35.(2015·北京朝阳区期末)一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()A.1B.2C.3D.46.(2015·山西质量监测)某几何体的正视图与俯视图如图所示，若俯视图中的多边形为正六边形，则该几何体的侧视图的面积为( )225A.152B.6＋ 3C.32＋3 3 D.4 37.(2015·江西师大附中、宜春中学联考)某几何体的直观图如图所示，该几何体的正视图和侧视图可能正确的是()8.(2015·辽宁沈阳质量监测)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为()A.1B.52C. 6D.2 3答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.解析 四棱锥的直观图如图所示，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝1，底面四边形ABCD 为正方形且边长为1，最长棱长PA ＝12＋12＋12＝ 3.答案 C2.解析 该几何体由一个圆柱和一个从轴截面截开的“半圆锥”组成， 其体积为V ＝π×12×2＋12×13π×12×1＝2π＋π6＝13π6.答案 B2263.解析 由三视图可知原几何体为半圆柱，底面半径为1，高为2， 则表面积为：S ＝2×12π×12＋12×2π×1×2＋2×2＝π＋2π＋4＝4＋3π.答案 D4.解析 由三视图可知该几何体是由棱长为2 cm 的正方体与底面为边长为2 cm 正方形、高为2 cm 的四棱锥组成，V ＝V 正方体＋V 四棱锥＝8 cm 3＋83 cm 3＝323 cm 3.故选C.答案 C5.解析 该几何体为底面是直角梯形的直四棱柱．S 表＝2×12(1＋2)×1＋2×1＋2×1＋2×2＋2×2＝11＋22，故选B.答案 B6.解析 该几何体是一个正方体截去两个四分之一圆柱形成的组合体， 其体积V ＝23－14×π×12×2×2＝8－π，故选C.答案 C7.解析 由三视图可知，该几何体的直观图如图所示，则该几何体的体积V ＝V 四棱柱＋V 三棱柱＝4×6×3＋12×4×3×3＝90(cm 3)．答案 B8.解析 由题知，该几何体的三视图为一个三角形，两个四边形，分析可知该几何体为三棱柱， 答案 B9.解析 由三视图可知该零件是一个底面半径为2、高为4的圆柱和一个底面半径为3、高为2的圆柱的组合体，所以该组合体的体积V 1＝π·22·4＋π·32·2＝34π，原来的圆柱体毛坯的体积为V ＝π·32·6＝54π，则切削掉部分的体积为V 2＝54π－34π＝20π，所以切削掉部分的体积与原来的圆柱体毛坯体积的比值为20π54π＝1027.故选C.答案 C22710.解析 由所给三视图可知，该几何体是由相同底面的两圆锥和一圆柱组成，底面半径为1，圆锥的高为1，圆柱的高为2，所以其体积V ＝2×13×π×12×1＋π×12×2＝83π. 答案 83π11.解析 三视图所表示的几何体的直观图如图所示．结合三视图知，PA ⊥平面ABC ，PA ＝2，AB ＝BC ＝2，AC ＝2， 所以PB ＝PA 2＋AB 2＝4＋2＝6，PC ＝PA 2＋AC 2＝22， 所以该三棱锥最长棱的棱长为2 2. 答案 2 2B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.解析 由题意知，俯视图的长度和宽度相等，故C 不可能. 答案 C2.解析 由三视图可知，几何体直观图如图所示，面积最小的面为面VAB ，其面积为12×2×42＝4 2.答案 B3.解析 只有C 项合适. 答案 C4.解析 由三视图知该几何体是一个直三棱柱和一个三棱锥的组合体，如图所示.由图知AC 和BD 的长为几何体上任意两点间的距离的最大值，即为32＋32＋32＝33，故选D. 答案 D5.解析 满足条件的四棱锥的底面为矩形，且一条侧棱与底面垂直，如图所示， 易知该四棱锥四个侧面均为直角三角形. 答案 D6.解析 由题意得该几何体的侧视图由一个底为3，高为3的等腰三角形和一个长为3， 宽为2的矩形组成，则其面积为12×3×3＋2×3＝152，故选A.228答案 A7.解析 将几何体置于正方体中，正视图和侧视图可能正确的是A ，故选A. 答案 A8.解析 由三视图在正方体中画出该几何体为三棱锥DABC ，计算得知面积最大的面为平面ABD ，其面积为12×22×（22）2－（2）2＝23， 答案 D。

三年高考两年模拟高考数学专题汇编第八章立体几何初步6理A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·全国Ⅱ,19)如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O,AB ＝5,AC ＝6,点E,F 分别在AD,CD 上,AE ＝CF ＝54,EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△D′EF 的位置.OD ′＝10.(1)证明：D′H⊥平面ABCD ；(2)求二面角B －D′A－C 的正弦值.2.(2015·陕西,18)如图1,在直角梯形 ABCD 中,AD ∥BC,∠BAD ＝π2,AB ＝BC ＝1,AD ＝2,E 是AD的中点,O 是AC 与BE 的交点.将△ABE 沿BE 折起到△A1BE 的位置,如图2.(1)证明：CD ⊥平面A1OC ；(2)若平面A1BE ⊥平面BCDE,求平面A1BC 与平面A1CD 夹角的余弦值.3.(2015·天津,17)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱A1A ⊥底面ABCD,AB ⊥AC,AB ＝1,AC ＝AA1＝2,AD ＝CD ＝5,且点M 和N 分别为B1C 和D1D 的中点. (1)求证：MN ∥平面ABCD ；(2)求二面角D1-AC-B1的正弦值；(3)设E 为棱A1B1上的点,若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13,求线段A1E 的长.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·云南丽江模拟)在长方体ABCD －A1B1C1D1中,AB ＝2,AA1＝3,AD ＝22,P 为C1D1的中点,M 为BC 的中点,则AM 与PM 的位置关系为( )A.平行B.异面C.垂直D.以上都不对 2.(2015·长沙模拟)有以下命题：①如果向量a,b 与任何向量不能构成空间向量的一个基底,那么a,b 的关系是不共线； ②O,A,B,C 为空间四点,且向量OA →,OB →,OC →不构成空间的一个基底,那么点O,A,B,C 一定共面； ③已知向量a,b,c 是空间的一个基底,则向量a ＋b,a －b,c 也是空间的一个基底. 其中正确的命题是( )A.①②B.①③C.②③D.①②③3.(2016·莆田模拟)已知a ＝(2,－1,3),b ＝(－1,4,－2),c ＝(7,5,λ),若a,b,c 三向量共面,则实数λ等 于( )A.627B.637C.607D.6574.(2015·福州模拟)若两点的坐标是A(3cos α,3sin α,1),B(2cos β,2sin β,1),则|AB|的取值范围是( )A.[0,5]B.[1,5]C.(0,5)D.[1,25]5.(2016·吉林四平模拟)如图,平面PAC ⊥平面ABC,△ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形,E,F,O 分别为PA,PB,AC 的中点,AC ＝16,PA ＝PC ＝10.(1)设G 是OC 的中点,证明：FG ∥平面BOE ；(2)证明：在△ABO 内存在一点M,使FM ⊥平面BOE,并求点M 到OA,OB 的距离.6.(2015·河南商丘模拟)如图,在三棱柱ABC －A1B1C1中,已知AB ⊥侧面BB1C1C,AB ＝BC ＝1,BB1＝2,∠BCC1＝60°.(1)求证：C1B ⊥平面ABC ；(2)设CE →＝λCC1→(0≤λ≤1),且平面AB1E 与BB1E 所成的锐二面角的大小为30°,试求λ的值.7.(2015·山东青岛一模)如图,在多面体ABCDEF 中,底面ABCD 是边长为2的的菱形,∠BAD ＝60°,四边形BDEF 是矩形,平面BDEF ⊥平面ABCD,BF ＝3,G 和H 分别是CE 和CF 的中点.(1)求证：平面BDGH ∥平面AEF ； (2)求二面角H －BD －C 的大小.答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(1)证明 由已知得AC ⊥BD,AD ＝CD.又由AE ＝CF 得AE AD ＝CFCD ,故AC ∥EF.因此EF ⊥HD,从而EF ⊥D′H.由AB ＝5,AC ＝6得DO ＝BO ＝AB2－AO2＝4.由EF ∥AC 得OH DO ＝AE AD ＝14.所以OH ＝1,D ′H ＝DH ＝3.于是D′H 2＋OH2＝32＋12＝10＝D′O 2,故D′H⊥OH.又D′H⊥EF,而OH∩E F ＝H, 所以D′H⊥平面ABCD.(2)解 如图,以H 为坐标原点,HF →的方向为x 轴正方向,建立空间直角坐标系H －xyz.则H(0,0,0),A(－3,－1,0),B(0,－5,0),C(3,－1,0),D′(0,0,3),AB →＝(3,－4,0),AC →＝(6,0,0),AD′→＝(3,1,3). 设m ＝(x1,y1,z1)是平面ABD′的法向量,则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AB →＝0，m ·AD′→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x1－4y1＝0，3x1＋y1＋3z1＝0，所以可取m ＝(4,3,－5).设n ＝(x2,y2,z2)是平面ACD′的法向量,则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AD′→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧6x2＝0，3x2＋y2＋3z2＝0，所以可取n ＝(0,－3,1).于是cos 〈m,n 〉＝m·n |m||n|＝－1450×10＝－7525.sin 〈m,n 〉＝29525.因此二面角B －D′A－C 的正弦值是29525.2.(1)证明 在图1中,因为AB ＝BC ＝1,AD ＝2,E 是AD 的中点,∠BAD ＝π2,所以BE ⊥AC,图1即在图2中,BE ⊥OA1,BE ⊥OC,且A1O ∩OC ＝O,图2从而BE ⊥平面A1OC,又在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC,BC ＝12AD,E 为AD 中点,所以BC 綉ED,所以四边形BCDE 为平行四边形,故有CD ∥BE,所以CD ⊥平面A1OC. (2)解由已知,平面A1BE ⊥平面BCDE,又由(1)知,BE ⊥OA1,BE ⊥OC, 所以∠A1OC 为二面角A1BEC 的平面角,所以∠A1OC ＝π2,如图,以O 为原点,建立空间直角坐标系, 因为A1B ＝A1E ＝BC ＝ED ＝1,BC ∥ED,所以B ⎝⎛⎭⎪⎫22，0，0,E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0，0,A1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，22,C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，0,得BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，0,A1C →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，－22,CD →＝BE →＝(－2,0,0),设平面A1BC 的法向量n1＝(x1,y1,z1),平面A1CD 的法向量n2＝(x2,y2,z2),平面A1BC 与平面A1CD 夹角为θ,则⎩⎪⎨⎪⎧n1·BC →＝0，n1·A1C →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x1＋y1＝0，y1－z1＝0，取n1＝(1,1,1)；⎩⎪⎨⎪⎧n2·CD →＝0，n2·A1C →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x2＝0，y2－z2＝0， 取n2＝(0,1,1),从而cos θ＝|cos<n1,n2>|＝23×2＝63, 即平面A1BC 与平面A1CD 夹角的余弦值为63. 3.如图,以A 为原点建立空间直角坐标系,依题意可得A(0,0,0),B(0,1,0),C(2,0,0),D(1,－2,0),A1(0,0,2),B1(0,1,2),C1(2,0,2),D1(1,－2,2),又因为M,N 分别为B1C 和D1D 的中点,得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，1,N(1,－2,1). (1)证明 依题意,可得n ＝(0,0,1)为平面ABCD 的一个法向量,MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－52，0,由此可得MN →·n ＝0,又因为直线MN ⊄平面ABCD,所以MN ∥平面ABCD.(2)解 AD1→＝(1,－2,2),AC →＝(2,0,0),设n1＝(x,y,z)为平面ACD1的法向量, 则⎩⎪⎨⎪⎧n1·AD1→＝0，n1·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2z ＝0，2x ＝0.不妨设z ＝1,可得n1＝(0,1,1).设n2＝(x,y,z)为平面ACB1的法向量,则⎩⎪⎨⎪⎧n2·AB1→＝0，n2·AC →＝0，又AB1→＝(0,1,2),得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2z ＝0，2x ＝0，不妨设z ＝1,可得n2＝(0,－2,1).因此有cos 〈n1,n2〉＝n1·n2|n1|·|n2|＝－1010,于是sin 〈n1,n2〉＝31010.所以,二面角D1ACB1的正弦值为31010.(3)解 依题意,可设A1E →＝λA1B1→,其中λ∈[0,1],则E(0,λ,2),从而NE →＝(－1,λ＋2,1),又n ＝(0,0,1)为平面ABCD 的一个法向量,由已知,得cos 〈NE →,n 〉＝NE →·n |NE →|·|n|＝1（－1）2＋（λ＋2）2＋12＝13,整理得λ2＋4λ－3＝0,又因为λ∈[0,1],解得λ＝7－2,所以,线段A1E 的长为7－2.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.C [建立如图所示空间直角坐标系,可得D(0,0,0),P(0,1,3),C(0,2,0),A(22,0,0),M(2,2,0).∴PM →＝(2,1,－3),AM →＝(－2,2,0).∴PM →·AM →＝(2,1,－3)·(－2,2,0)＝0.∴PM →⊥AM →,即AM ⊥PM.]2.C [对于①,“如果向量a,b 与任何向量不能构成空间向量的一个基底,那么a,b 的关系一定是共线”,所以①错误,②③正确.]3. D [由题意得c ＝ta ＋μb＝(2t －μ,－t ＋4μ,3t－2μ),∴⎩⎪⎨⎪⎧7＝2t －μ，5＝－t ＋4μ，λ＝3t －2μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝337，μ＝177，λ＝657.]4.B [∵A(3cos α,3sin α,1),B(2cos β,2sin β,1),|AB|＝（3cos α－2cos β）2＋（3sin α－2sin β）2＋（1－1）2＝9＋4－12（cos αcos β＋sin αsin β） ＝13－12cos （α－β）,∴13－12≤|AB|≤13＋12＝5, 即1≤|AB|≤5,故选B.]5.证明 (1)如图,连接OP,易知OB,OC,OP 两两垂直,以点O 为坐标原点,分别以OB,OC,OP 所在直线为x 轴,y 轴,x 轴,建立空间直角坐标系O －xyz,则O(0,0,0),A(0,－8,0),B(8,0,0),C(0,8,0),P(0,0,6),E(0,－4,3),F(4,0,3).由题意,得G(0,4,0)因为OB →＝(8,0,0),OE →＝(0,－4,3), 所以平面BOE 的一个法向量为n ＝(0,3,4). 由FG →＝(－4,4,－3),得n·FG →＝0,即n ⊥FG →. 又直线FG 不在平面BOE 内,所以FG ∥平面BOE.(2)设点M 的坐标为(x0,y0,0),则FM →＝(x0－4,y0,－3).所FM ⊥平面BOE,所以FM →∥n. 因此x0＝4,y0＝－94,即点M 的坐标是(4,－94,0).在平面直角坐标系xOy 中,△AOB 的内部区域可表示为不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧x>0，y<0，x －y<8.经检验,点M 的坐标满足上述不等式组,所以在△AOB 内存在一点M, 使FM ⊥平面BOE.由点M 的坐标得点M 到OA,OB 的距离分别为4,94.6.(1)证明 因为AB ⊥平面BB1C1C,BC1⊂平面BB1C1C,所以AB ⊥BC1, 在△CBC1中,BC ＝1,CC1＝BB1＝2,∠BCC1＝60°, 由余弦定理得：BC21＝BC2＋CC21－2BC·CC1·cos∠BCC1＝12＋22－2×1×2×cos 60°＝3, 所以BC1＝3,故BC2＋BC21＝CC21,所以BC ⊥BC1, 又BC∩AB＝B,∴C1B ⊥平面ABC.(2)解 由(1)可知,AB,BC,BC1两两垂直.以B 为原点,BC,BA,BC1所在直线为x,y,z 轴建立空间直角坐标系. 则B(0,0,0),A(0,1,0),C(1,0,0),C1(0,0,3),B1(－1,0,3). 所以CC1→＝(－1,0,3), 所以CE →＝(－λ,0,3λ),∴E(1－λ,0,3λ),则AE →＝(1－λ,－1,3λ),AB1→＝(－1,－1,3).设平面AB1E 的一个法向量为n ＝(x,y,z),则⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥AE →，n ⊥AB1→，得⎩⎨⎧（1－λ）x －y ＋3λz＝0，－x －y ＋3z ＝0，令z ＝3,则x ＝3－3λ2－λ,y ＝32－λ,∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－3λ2－λ，32－λ，3,∵AB ⊥平面BB1C1C,BA →＝(0,1,0)是平面的一个法向量, ∴|cos 〈n,BA →〉|＝n ·BA →|n|·|BA →|＝32－λ1×⎝ ⎛⎭⎪⎫3－3λ2－λ2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－λ2＋（3）2＝32. 两边平方并化简得2λ2－5λ＋3＝0,所以λ＝1或λ＝32(舍去).∴λ＝1.7. (1)证明 在△CEF 中,因为G,H 分别是CE,CF 的中点.所以GH ∥EF,又因为GH ⊄平面AEF,EF ⊂平面AEF,所以GH ∥平面AEF.设AC∩BD＝O,连接OH,因为ABCD 为菱形,所以O 为AC 中点,所以OH ∥AF, 又因为OH ⊄平面AEF,AF ⊂平面AEF,所以OH ∥平面AEF.又因为OH∩GH＝H,OH,GH ⊂平面BDGH,所以平面BDGH ∥平面AEF. (2)解 取EF 的中点N,连接ON,因为四边形BDEF 是矩形,O,N 分别为BD,EF 的中点,所以ON ∥ED, 因为平面BDEF ⊥平面ABCD,所以ED ⊥平面ABCD, 所以ON ⊥平面ABCD,因为ABCD 为菱形,所以AC ⊥BD,得OB,OC,ON 两两垂直.所以以O 为原点,OB,OC,ON 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,如图建立空间直角坐标系.因为底面ABCD 是边长为2的菱形,∠BAD ＝60°,BF＝3,所以B(1,0,0),D(－1,0,0),E(－1,0,3),F(1,0,3),C(0,3,0),H ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，32,所以BH →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，32,DB →＝(2,0,0).设平面BDH 的法向量为n ＝(x,y,z),则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BH →＝0n ·DB →＝0⇒⎩⎨⎧－x ＋3y ＋3z ＝0，2x ＝0，令z ＝1,得n ＝(0,－3,1).由ED ⊥平面ABCD,得平面BCD 的法向量为DE →＝(0,0,3), 则cos 〈n,DE →〉＝n ·DE →|n||DE →|＝0×0＋（－3）×0＋1×32×3＝12.结合图形知二面角H －BD －C 的大小为60°.。

第二节 空间几何体的表面积和体积A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·全国Ⅲ，10)在封闭的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( ) A.4πB.9π2 C.6πD.32π32.(2016·全国Ⅰ，6)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A.17πB.18πC.20πD.28π3.(2015·某某，5)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A .3πB .4πC .2π＋4D .3π＋44.(2015·某某，7)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )A.1＋ 3B.2＋3C.1＋2 2D.2 25.(2015·新课标全国Ⅱ，9)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( ) A.36π B.64π C.144π D.256π6.(2015·某某，7)在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.2π3 B.4π3 C.5π3D.2π 7.(2015·某某，5)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋πB.23＋πC.13＋2πD.23＋2π 8.(2015·新课标全国Ⅱ，6)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18B.17C.16D.159.(2015·某某，10)某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为(材料利用率＝新工件的体积原工件的体积)( )A.89πB.169πC.4(2－1)3πD.12(2－1)3π10.(2014·某某，7)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A.54B.60C.66D.7211.(2014·某某，3)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是( )A.90 cm2B.129 cm2C.132 cm2D.138 cm212.(2014·大纲全国，8)正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A.81π4B.16πC.9πD.27π413.(2014·某某，7)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )A.21＋3B.18＋3C.21D.1814.(2014·某某，5)已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为( )A.32π3B.4πC.2πD.4π315.(2014·某某，8)《算数书》竹简于上世纪八十年代在某某省江陵县X家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈136L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈275L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A.227B.258C.15750D.35511316.(2014·新课标全国Ⅱ，6)如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm，高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A.1727B.59C.1027D.1317.(2016·某某，13)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是________.18.(2016·某某，14)如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD＝DA，PB＝BA，则四面体PBCD的体积的最大值是________.19.(2015·某某，9)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为________.20.(2014·某某，8)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2，若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1V 2的值是________.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·东北师X 大学附属中学第二次模拟)一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的侧面积是( )A.2B.32＋26C.32＋22＋2D.32＋222.(2016·某某某某一模)如图是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为( )A.8πB.16πC.32πD.64π3.(2016·某某马某某模拟)如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.15B.16C.17D.184.(2016·某某某某模拟)已知四棱锥S －ABCD 的所有顶点都在半径为2的球O 的球面上，四边形ABCD 是边长为2的正方形，SC 为球O 的直径，则此棱锥的体积为( ) A.423 B.36C.823 D.225.(2016·某某某某二中一模)三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝1，PA ＝3，则该三棱锥外接球的表面积为( ) A.5πB.2π C.20πD.4π6.(2016·某某莱芜模拟)某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是( )A.2B.92C.32D.3 7.(2016·某某八校联考)正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 折叠，使点B 与点C 间的距离为3，则四面体ABCD 外接球的表面积为( ) A.7 πB.19 πC.767 πD.19619 π8.(2015·某某七州模拟)某个几何体的三视图如图所示(其中正视图中的圆弧是半径为2的半圆)，则该几何体的表面积为( )A.92＋24πB.82＋24πC.92＋14πD.82＋14π9.(2015·某某某某模拟)一个正方体的棱长为m ，表面积为n ，一个球的半径为p ，表面积为q .若m p ＝2，则nq＝( )A.8πB.6πC.π6D.π810.(2016·某某沙市模拟)如图，∠ACB ＝90°，DA ⊥平面ABC ，AE ⊥DB 交DB 于E ，AF ⊥DC 交DC 于F ，且AD ＝AB ＝2，则三棱锥D －AEF 体积的最大值为________.答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.B[由题意知，底面三角形的内切圆直径为4.三棱柱的高为3，所以球的最大直径为3，V 的最大值为9π2.] 2.A [由题知，该几何体的直观图如图所示，它是一个球(被过球心O 且互相垂直的三个平面)切掉左上角的18后得到的组合体，其表面积是球面面积的78和三个14圆面积之和，易得球的半径为2，则得S ＝78×4π×22＋3×14π×22＝17π，故选A.]3.D [由三视图可知原几何体为半圆柱，底面半径为1，高为2，则表面积为：S ＝2×12π×12＋12×2π×1×2＋2×2＝π＋2π＋4＝3π＋4.]4.B [由空间几何体的三视图可得该空间几何体的直观图，如图，∴该四面体的表面积为S 表＝2×12×2×1＋2×34×(2)2＝2＋3，故选B.] 5.C [如图，要使三棱锥O-ABC 即C-OAB 的体积最大，当且仅当点C 到平面OAB 的距离，即三棱锥C-OAB 底面OAB 上的高最大，其最大值为球O 的半径R ，则V O-ABC 最大＝V C-OAB 最大＝13×12S △OAB ×R ＝13×12×R 2×R ＝16R 3＝36，所以R ＝6，得S 球O ＝4πR 2＝4π×62＝144π，选C.]6.C [如图,由题意,得BC ＝2，AD ＝AB ＝1.绕AD 所在直线旋转一周后所得几何体为一个圆柱挖去一个圆锥的组合体.所求体积V ＝π×12×2－13π×12×1＝53π.]7.A [这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，V ＝12π×12×2＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×2×1＝π＋13，选A.] 8.D [如图，由题意知，该几何体是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1被过三点A 、B 1、D 1的平面所截剩余部分，截去的部分为三棱锥A-A 1B 1D 1，设正方体的棱长为1，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为1111111111111111A AB D A A B D BCD ABCDA B C D ABCD A A B D V V V V V -----=-＝13×12×12×113－13×12×12×1＝15，选D.]9.A [易知原工件为一圆锥，V 1＝13πr 2h ＝23π，设内接长方体长、宽、高为a 、b 、c ，欲令体积最大，则a ＝b .由截面图的相似关系知，c ＋a 2＋b 2＝2，即c ＋2a ＝2， ∴V 长方体＝abc ＝a 2c ＝a 2(2－2a )，设g (a )＝2a 2－2a 3，则g ′(a )＝4a －32a ＝0，令g ′(a )＝0，解得a ＝432，所以令a ＝432时，V 长方体最大为1627，∴V 长方体V 1＝16272π3＝89π.故选A.]10.B [该几何体的直观图如图所示，易知该几何体的表面是由两个直角三角形，两个直角梯形和一个矩形组成的，则其表面积S ＝12×3×4＋12×3×5＋2＋52×5＋2＋52×4＋3×5＝60.选B.] 11.D [由三视图可知该几何体由一个直三棱柱与一个长方体组合而成(如图)，其表面积为S ＝3×5＋2×12×4×3＋4×3＋3×3＋2×4×3＋2×4×6＋3×6＝138(cm 2).]12.A [设球的半径为R ，由题意可得(4－R )2＋(2)2＝R 2，解得R ＝94，所以该球的表面积为4πR 2＝81π4.故选A.]13.A [根据题意作出直观图如图，该多面体是由正方体切去两个角而得到的，根据三视图可知其表面积为6(22－12×1×1)＋2×34×(2)2＝6×72＋3＝21＋ 3.故选A.] 14.D [如图为正四棱柱AC 1.根据题意得AC ＝2，∴对角面ACC 1A 1为正方形，∴外接球直径2R ＝A 1C ＝2，∴R ＝1，∴V 球＝4π3，故选D.]15.B [圆锥的体积V ＝13πr 2h ＝13π⎝ ⎛⎭⎪⎫L 2π2h ＝L 2h 12π,由题意得12π≈752，π近似取为258，故选B.]16.C [由三视图知该零件是两个圆柱的组合体.一个圆柱的底面半径为2 cm ，高为4 cm ；另一个圆柱的底面半径为3 cm ，高为2 cm.则零件的体积V 1＝π×22×4＋π×32×2＝34π(cm 3).而毛坯的体积V ＝π×32×6＝54π(cm 3)，因此切削掉部分的体积V 2＝V －V 1＝54π－34π＝20π(cm 3)，所以V 2V ＝20π54π＝1027.故选C.]17.33[由题可知，∵三棱锥每个面都是腰为2的等腰三角形，由正视图可得如右俯视图，且三棱锥高为h ＝1，则面积V ＝13Sh ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×23×1×1＝33.]18.12[设PD ＝DA ＝x ，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°， ∴AC ＝AB 2＋BC 2－2·AB ·BC ·cos∠ABC ＝4＋4－2×2×2×cos 120°＝23， ∴CD ＝23－x ，且∠ACB ＝12(180°－120°)＝30°，∴S △BCD ＝12BC ·DC ×sin∠ACB ＝12×2×(23－x )×12＝12(23－x ).要使四面体体积最大，当且仅当点P 到平面BCD 的距离最大，而P 到平面BCD 的最大距离为x .则V 四面体PBCD ＝13×12(23－x )x ＝16[－(x －3)2＋3]，由于0＜x ＜23，故当x ＝3时，V 四面体PBCD 的最大值为16×3＝12.]19.7 [设新的底面半径为r ，由题意得13πr 2·4＋πr 2·8＝13π×52×4＋π×22×8，解得r ＝7.]20.32[设圆柱甲的底面半径为r 1，高为h 1，圆柱乙的底面半径为r 2，高为h 2.由题意得S 1S 2＝πr 21πr 22＝94，∴r 1r 2＝32.又∵S 甲侧＝S 乙侧，即2πr 1h 1＝2πr 2h 2，∴h 1h 2＝r 2r 1＝23，故V 1V 2＝S 1h 1S 2h 2＝S 1S 2·h 1h 2＝94×23＝32.] B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.D [由三视图知四棱锥如图所示，PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，PC ＝13，AC ＝BD ＝2，则正方形边长为2，BC ⊥侧面PAB ，CD ⊥侧面PAD .所以PA ＝PC 2－AC 2＝3，PB ＝PD ＝AB 2＋PA 2＝11.四棱锥侧面积S 侧＝S △PAB ＋S △PAD ＋S △PBC ＋S △PDC ＝2×12×3×2＋2×12×2×11＝32＋22.故选D.]2.C [由三视图可得，该几何体是四棱锥(如图)，其中底面BCDE ⊥侧面ABC ，且底面BCDE 为正方形(边长为4)，侧面ABC 为等腰直角三角形(AB ＝AC ＝22)，利用补形可知以A ，B ，C ，D ，E 为部分顶点的长方体的外接球即为四棱锥A －BCDE 的外接球，其半径为R ＝（22）2＋（22）2＋422＝22，所以外接球的表面积S ＝4πR 2＝32π，故选C.]3.A [在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，多面体ADD ′FCE 即为三视图对应的几何体，作EM ⊥DC 于M ，连接FM ，则MC ＝1，EM ＝3，FM ＝3，DM ＝3.则V ＝V 三棱柱ADD ′－FME ＋V 三棱锥E －FMC ＝S △EMF ·DM ＋13S △MFC ·EM ＝12×3×3×3＋13×12×1×3×3＝15.故选A.]4.C [连接AC ，由已知得∠SAC ＝∠SBC ＝∠SDC ＝90°， ∵CD ⊥AD ，CD ⊥SD ，AD ∩SD ＝D .∴CD ⊥平面SAD ，则CD ⊥SA . 又SA ⊥AC ，CD ∩AC ＝C .∴SA ⊥平面ABCD .∵SC ＝4，CD ＝2，∴SD ＝2 3.∴SA ＝SD 2－AD 2＝2 2.∴四棱锥S －ABCD 的体积V ＝13S 四边形ABCD ·SA ＝13×4×22＝823.故选C.]5. A [把三棱锥P －ABC 看作由一个长、宽、高分别为1、1、3的长方体截得的一部分(如图).易知该三棱锥的外接球就是对应长方体的外接球.又长方体的体对角线长为12＋12＋（3）2＝5，故外接球半径为52，表面积为4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝5π.]6. D [根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图如图所示.V ＝13×1＋22×2x ＝3⇒x ＝3.故选D.]7. A [由题意可知四面体ABCD 中，BD ＝CD ＝1，AB ＝AC ＝2，AD ＝3，BC ＝3，∠BDC ＝120°，易得AD ⊥BD ，AD ⊥CD ，∴AD ⊥平面BCD ，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，0，3)，B (1，0，0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，0，D (0，0，0)，设球心为O (x ，y ，z )，由OA ＝OB ＝OC ＝OD ，可得O ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，32，球的半径r ＝72，∴表面积S ＝4πr 2＝7π.]8. C [该几何体是个半圆柱与长方体的组合体，直观图如图，表面积为S ＝5×4＋2×4×4＋2×4×5＋2π×5＋π×22＝92＋14π.]9. B [由题意可以得到n ＝6m 2，q ＝4πp 2，所以n q ＝6m 24πp 2＝32π×4＝6π，故选B.]10.26[因为DA ⊥平面ABC ，所以DA ⊥BC ，又BC ⊥AC ，DA ∩AC ＝A ，所以BC ⊥平面ADC ，所以BC ⊥AF ，又AF ⊥CD ，BC ∩CD ＝C ，所以AF ⊥平面DCB ，所以AF ⊥EF ，AF ⊥DB ，又DB ⊥AE ，AE ∩AF ＝A ，所以DB ⊥平面AEF ，所以DE 为三棱锥D －AEF 的高.因为AE 为等腰直角三角形ABD 斜边上的高，所以AE ＝2，设AF ＝a ，FE ＝b ，则△AEF 的面积S ＝12ab ≤12·a 2＋b 22＝12×22＝12，所以三棱锥D －AEF 的体积V ≤13×12×2＝26(当且仅当a ＝b ＝1时等号成立).]。