2012高中数学 第二章《等差数列前n项和》学案(1) 大纲人教版

《2.2.3等差数列的前n项和（1）》说课稿江苏省清浦中学时坤明【教材分析】数列在高中数学中占据非常重要的位置，主要以等差数列与等比数列为核心内容展开。

本节课是在学习了等差数列通项公式及简单性质的基础上进行了进一步研究，该内容也为日后学习各种数列的求和作出了引领与铺垫。

等差数列的前n项和公式是数列求和的最基本公式。

不论是公式的获取过程，还是公式推导及方法的发现过程，都是数学家们发现数学结论和数学方法的重要过程。

苏教版必修五旧教材中本课内容是以计算一堆钢管总数为例，从身边的生活实际出发，运用从特殊到一般的方法，进一步发现等差数列的前n项和公式的推导方法。

此法虽然比较实用，导向性比较明确，但个人认为其方式给予学生的思考空间比较狭隘、思维路径比较简短、思维方式过于单一。

参考2019年新出版的人教版高中数学必修五新教材中本课内容开头直接给出问题“?+++ ”，对学生的思维方法没有++4100321=作出任何限定，给了学生广阔的想象空间。

教师可以根据学情因地制宜的安排导入新课的方式，便于让学生更好的掌握本课内容。

除此而外，在例题及习题的编排上，新教材比旧教材更加注重了实用，题目也变得更加灵活，这也是新课程理念和思想在课标教材中的又一体现。

【学情分析】本课之前，学生已经学习了等差数列的通项公式及基本性质。

大部分学生对高斯算法有一定的认识，甚至有些同学对此算法原理比较熟练，然而熟练的只是高斯算法中的“?++++ ”这样一种特殊数列的求和，对于一般等差数列的求和方法+1001=423和公式，学生却没有详细了解。

江苏省常州高级中学是江苏省一所名校，学生的知识面、动脑能力、动手能力等各方面综合素质较高。

针对这一情况，教师所设置教学内容应具有一定的梯度性、关联性、灵活性及发散性。

教师应给予学生足够的展示平台和发挥空间，要处理好预设与生成的关系。

把握本质、紧扣主题，在达成目标的情况下适度外延，丰富知识内涵，体现数学的科学价值、人文价值及审美价值。

各位老师大家好：我说课的课题是人教版必修5第二章等差数列中《等差数列前n项和公式》的第一节内容。

下面我将从说教材、说教法学法、说教学过程、说板书设计以及说教学反思几个方面对本节课加以说明。

一、下面先说说教材1、教材的地位和作用数列这一章是高中数学的重要内容之一。

它不仅是函数知识的延伸，而且还有着非常广泛的实际应用；同时数列还是培养学生数学思维能力的良好题材。

《等差数列的前n项和公式》是本章的第二节，它为后继学习提供了知识基础，对提高学生分析、猜想、概括、归纳的能力有着重要的作用。

《等差数列》作为《数列》这一章中两个最重要的数列之一，具有承上启下的作用，它的研究和解决集中体现了研究《数列》问题的思想和方法。

2、教学目标根据教学大纲的要求和教学内容的结构特征，并结合学生学习的实际情况，我将本节课的教学目标确定为以下三个方面知识目标：理解等差数列前n项和公式的推导过程；掌握并能熟练运用等差数列的前n项和公式；了解倒序相加法的原理。

能力目标：通过公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法；培养学生观察、归纳、类比、联想等发现规律的一般方法。

提高学生分析问题和解决问题的能力情感目标：培养学生主动探索的精神和良好的学习习惯。

让学生在问题中感受学习的乐趣；3、教学重点和难点根据本节课的内容以及学生已掌握的知识情况我将教学重点确定为：等差数列的前n项和公式及应用教学难点确定为：引导学生用”倒序相加法”来推导公式。

二、说教法学法首先说说教法：教学有法但教无定法，教学方法要与学生学习的实际情况相结合。

现在大多数学生不爱学习，不会学习。

学生认为数学难，枯燥理解不了。

对数学学习提不起兴趣，因此在教学中我注重激发学生学习的兴趣。

本节课通过工作5年比较工资的实例引入，引起学生学习的兴趣，对前n项和公式的推导，采用了问题、类比、发现、归纳的探究式教学方法，引导学生积极主动的去学习。

在课堂教学中强调以学生为主体，注重精讲多练。

2.2 等差数列的前n 项和第1课时 等差数列的前n 项和内 容 标 准学 科 素 养 1.理解等差数列的前n 项和公式的推导方法.2.掌握等差数列的前n 项和公式,会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题.强化图形应用 严格公式代换 抽象数学模型授课提示：对应学生用书第11页[基础认识]知识点一 等差数列的前n 项和公式 预习教材P 15－18,思考并完成以下问题1．你知道高斯求和的故事吗？请同学们交流一下,高斯是怎样求1＋2＋3＋…＋100的结果的？ 提示：对于这个问题,著名数学家高斯十岁时就能很快求出它的结果,当时他的思路和解答方法是：S ＝1＋2＋3＋…＋99＋100,把加数倒序写一遍S ＝100＋99＋98＋…＋2＋1.所以有2S ＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(99＋2)＋(100＋1)＝100×101,∴S＝50×101＝5 050. 2．你能用高斯的计算方法求1＋2＋3…＋n 的值吗？ 提示：设S n ＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n,① 又S n ＝n ＋(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1,②两式相加得2S n ＝(1＋n)＋(2＋n －1)＋…＋(n ＋1)＝n(n ＋1), ∴S n ＝n （n ＋1）2.3．我们把高斯的这种计算方法称为倒序求和法．你能用这种方法推得等差数列{a n }的前n 项和S n 吗？ 提示：S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＋a n ＝a 1＋(a 1＋d)＋(a 1＋2d)＋…＋[a 1＋(n －2)d]＋[a 1＋(n －1)d], S n ＝a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a 2＋a 1＝a n ＋(a n －d)＋(a n －2d)＋…＋[a n －(n －2)d]＋[a n －(n －1)d], ∴2S n ＝(a 1＋a n )×n , ∴S n ＝n （a 1＋a n ）2.③4．问题(2)中求出的S n 是已知等差数列首项、末项与项数时求前n 项和S n 的公式,如果用a n ＝a 1＋(n －1)d 替换末项,问题3中求出的S n 会变形为怎样的形式呢？ 提示：S n ＝na 1＋12n(n －1)d.知识点二 a 1n n 思考并完成以下问题(1)两个公式共涉及a 1,d,n,a n 及S n 五个基本量,它们分别表示等差数列的首项,公差,项数,通项和前n 项和．(2)依据方程的思想,在等差数列前n 项和公式中已知其中三个量可求另外两个量,即“知三求二”． 知识点三 等差数列前n 项和的最值 思考并完成以下问题等差数列前n 项和的最值与{S n }的单调性有关．(1)若a 1＞0,d ＜0,则数列的前面若干项为正项(或0),所以将这些项相加即得{S n }的最大值． (2)若a 1＜0,d ＞0,则数列的前面若干项为负项(或0),所以将这些项相加即得{S n }的最小值．(3)若a 1＞0,d ＞0,则{S n }是递增数列,S 1是{S n }的最小值；若a 1＜0,d ＜0,则{S n }是递减数列,S 1是{S n }的最大值．[自我检测]1．在等差数列{a n }中,若其前13项的和S 13＝52,则a 7为( ) A ．4 B ．3 C ．6D ．12解析：∵在等差数列{a n }中,其前13项的和S 13＝52, ∴S 13＝132(a 1＋a 13)＝13a 7＝52,解得a 7＝4.故选A.答案：A2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若7a 5＋5a 9＝0,且a 9＞a 5,则S n 取得最小值时n 的值为( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8解析：由7a 5＋5a 9＝0得a 1d ＝－173,又a 9＞a 5,所以d ＞0,a 1＜0,因为函数y ＝d 2x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2x 的图像的对称轴为x ＝12－a 1d ＝12＋173＝376,取最接近的整数6,故S n 取最小值时n 的值为6.答案：B3．在等差数列{a n }中,a 1＝1,a 3＋a 5＝14,其前n 项和S n ＝100,则n ＝________．解析：设等差数列的公差为d,则a 3＋a 5＝2a 1＋6d ＝2＋6d ＝14,∴d＝2.则S n ＝n ＋n （n －1）2×2＝n 2.令S n ＝100,即n 2＝100. 解得n ＝10或n ＝－10(舍)． 答案：10授课提示：对应学生用书第12页 探究一 等差数列前n 项和公式的基本应用[P17练习1第3题]在等差数列{a n }中, (1)已知S 8＝48,S 12＝168,求a 1和d ； (2)已知a 6＝10,S 5＝5,求a 8和S 8. (3)已知a 3＋a 15＝40,求S 17. 解析：设{a n }中首项为a 1,公差为d,(1)⎩⎪⎨⎪⎧S 8＝8a 1＋28d ＝48S 12＝12a 1＋66d ＝168,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，d ＝4. (2)⎩⎪⎨⎪⎧a 6＝a 1＋5d ＝10S 5＝5a 1＋10d ＝5,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5d ＝3. ∴a 8＝a 1＋7d ＝－5＋21＝16, S 8＝8a 1＋28d ＝－40＋84＝44.(3)S 17＝17×（a 1＋a 17）2＝17×（a 3＋a 15）2＝17×402＝340.[例1] 已知一个等差数列{a n }的前10项的和是310,前20项的和是1 220,由这些条件能确定这个等差数列的前n 项和的公式吗？[解析] 法一：由题意知,S 10＝310, S 20＝1 220,将它们代入公式S n ＝na 1＋n （n －1）2d,得到⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋45d ＝310，20a 1＋190d ＝1 220，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝6.∴S n ＝n×4＋n （n －1）2×6＝3n 2＋n.法二：∵S 10＝10（a 1＋a 10）2＝310,∴a 1＋a 10＝62,①∵S 20＝20（a 1＋a 20）2＝1 220,∴a 1＋a 20＝122,② ②－①,得,a 20－a 10＝60, ∴10d＝60,∴d＝6,a 1＝4. ∴S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝3n 2＋n.方法技巧 两种思想方法在等差数列前n 项和公式中的应用(1)方程思想：等差数列的通项公式及前n 项和公式中“知三求二”的问题,一般是由通项公式和前n 项和公式联立方程(组)求解．(2)整体代换：在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体代换思想的运用． 跟踪探究 1.(2019·珠海市模拟)已知{a n }为等差数列,前n 项和为S n ,若a 2＋a 5＋a 8＝π4,则sin S 9＝( ) A.12 B.22 C ．－12D ．－22解析：∵a 2＋a 5＋a 8＝π4,a 2＋a 8＝2a 5＝a 1＋a 9,∴3a 5＝π4,a 5＝π12,∴a 1＋a 9＝π6,∴S 9＝9（a 1＋a 9）2＝92×π6＝3π4,sin S 9＝22.故选B.答案：B探究二 等差数列前n 项和的最值问题[P18练习2第1题]已知数列{2n －11},那么S n 的最小值是( ) A ．S 1 B ．S 5 C ．S 6D ．S 11解析：由a n ＝2n －11,令a n ≤0,得n≤5.5,又∵n∈N ＋, 所以该数列前5项均为负数,从第6项开始为正数, 故S n 的最小值为S 5. 答案：B[例2] 在等差数列{a n }中,a 10＝18,前5项的和S 5＝－15, (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和S n 的最小值,并指出何时取最小值． [解题指南] (1)根据题意列关于a 1和d 的方程（组）→解出a 1和d →写出a n 的表达式(2)法一：写出S n 的表达式→分析S n 的最值 法二：分析{a n }中项的变化规律→确定S n 最小时n 的值→求S n[解析] (1)设公差为d,则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝18，5a 1＋52×4×d＝－15， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－9，d ＝3，则a n ＝3n －12.(2)法一：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝12(3n 2－21n)＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722－1478,所以n ＝3或4时,前n 项的和S n 取得最小值为－18. 法二：要使数列{a n }前n 项的和取得最小值,则⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝3n －12≤0，a n ＋1＝3（n ＋1）－12≥0，得3≤n≤4,又n∈N ＋,所以n ＝3或4,S 3＝S 4＝－18.所以数列{a n }前n 项的和取得最小值为－18.方法技巧 求等差数列前n 项和的最值问题的两种方法(1)在等差数列{a n }中,当a 1＞0,d ＜0时,S n 有最大值,使S n 取到最值的n 可由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0确定．当a 1＜0,d ＞0时,S n 有最小值,使S n 取到最值的n 可由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0确定．(2)因为S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n,若d≠0,则从二次函数的角度看：当d ＞0时,S n 有最小值；当d ＜0时,S n 有最大值；且n 取最接近对称轴的正整数时,S n 取到最值．跟踪探究 2.在等差数列{a n }中,若a 1＝25,且S 9＝S 17,求S n 的最大值． 解析：法一：∵S 9＝S 17,a 1＝25,∴9×25＋9（9－1）2d ＝17×25＋17（17－1）2d,解得d ＝－2.由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝－2n ＋27≥0，a n ＋1＝－2（n ＋1）＋27≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧n≤1312，n≥1212，又∵n∈N ＋,∴当n ＝13时,S n 有最大值169. 法二：同方法一,求出公差d ＝－2. 设S n ＝An 2＋Bn. ∵S 9＝S 17,∴二次函数对称轴为x ＝9＋172＝13,且开口方向向下,∴当n ＝13时,S n 取得最大值169. 探究三 等差数列前n 项和的实际应用[阅读教材P18例11及解答]九江抗洪指挥部接到预报,24 h 后有一洪峰到达,为确保安全,指挥部决定在洪峰来临前筑一道堤坝作为第二道防线．经计算,除现有的部队指战员和九江干群连续奋战外,还需调用20台同型号翻斗车,平均每辆工作24 h,但目前只有一辆车投入施工,其余的需从昌九高速公路沿线抽调．每隔20 min 能有一辆车到达,指挥部最多可调集25辆车,那么在24 h 内能否构筑成第二道防线？ 题型：等差数列前n 项和的实际应用． 方法步骤：①从实际问题中抽象出等差数列． ②确定数列首项a 1及公差d. ③求出等差数列的前n 项和． ④判断并得出结论．[例3] 从4月1日开始,有一新款服装投入某商场销售.4月1日该款服装售出20件,第二天售出35件,第三天售出50件,以后每天售出的件数分别递增15件,直到4月12号日销售量达到最大,然后,每天售出的件数分别递减10件．(1)记从4月1日起该款服装日销售量为a n ,销售天数为n,1≤n≤30,求a n 与n 的关系； (2)求4月份该款服装的总销售量．[解题指南] 解答本题可先确定a n 与n 的关系,然后用等差数列的前n 项和公式求总销量．[解析] (1)设从4月1日起该款服装的日销售量构成数列{a n }．由题意知,数列a 1,a 2,…,a 10是首项为20,公差为15的等差数列,所以a 9＝15n ＋5(1≤n≤12且n∈N ＋)． 而a 13,a 14,a 15,…a 30是首项为a 13＝a 12－10＝175, 公差为－10的等差数列．所以a n ＝175＋(n －13)×(－10)＝－10n ＋305(13≤n≤30且n∈N ＋)．所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧15n ＋5，1≤n≤12且n∈N ＋，－10n ＋305，13≤n≤30且n∈N ＋.(2)4月份该款服装的总销售量为12（a 1＋a 12）2＋18a 13＋（30－12）×（30－12－1）×（－10）2＝12×（20＋185）2＋18×175＋18×17×（－10）2＝2 850(件)．延伸探究 本例中,条件不变,求“按规律,当该商场销售此服装超过1 300件时,社会上就开始流行,当此服装的销售量连续下降,且日销售量低于110件时,则此服装在社会上不再流行．试问：该款服装在社会上流行是否超过10天？说明理由．” 解析：4月1日至4月12日的销售总量为 12（a 1＋a 12）2＝12×（20＋185）2＝1 230＜1 300,所以4月12日前该款服装在社会上还没有流行．4月1日至4月13日的销售总量为1 230＋a 13＝1 230＋175＝1 405＞1 300, 故4月13日该款服装在社会上已开始流行． 由－10n ＋305＜110,得n ＞392,所以第20天该款服装在社会上不再流行． 所以该款服装在社会上流行没有超过10天． 方法技巧 解应用题的基本程序跟踪探究 3.一名技术人员计划用下面的办法测试一种赛车：从时速10 km/h 开始,每隔2 s 速度提高20 km/h.如果测试时间是30 s,测试距离是________km. 解析：由于每隔2 s 速度提高20 km/h,所以该赛车在每个2 s 内的速度构成等差数列{a n },且a 1＝10,d ＝20. 测试时间是30 s,则最后一个2 s 内的速度是a 15,测试距离S ＝(a 1＋a 2＋…＋a 15)×23 600＝(15×10＋15×142×20)×23 600＝1.25(km)．答案：1.25授课提示：对应学生用书第14页[课后小结](1)推导等差数列前n 项和公式的方法称为倒序相加法,在某些数列求和中也可能用到．(2)等差数列的两个求和公式中,一共涉及a 1,a n ,S n ,n,d 五个量．若已知其中三个量,通过方程思想可求另外两个量．在利用求和公式时,要注意整体思想的应用,注意下面结论的运用： 若m ＋n ＝p ＋q,则a n ＋a m ＝a p ＋a q (n,m,p,q∈N ＋)； 若m ＋n ＝2p,则a n ＋a m ＝2a p .(3)求等差数列前n 项和S n 的最值的常用方法有两种： ①用二次函数的性质求解；②明确数列中的正项与负项,用负项之和最小,正项之和最大来解决． (4)解决数列应用题时应分清： ①是否为等差数列问题； ②是通项问题还是求和问题．[素养培优]忽略数列中为零的项致错设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a 1＞0,S 11＝S 18,则当n 为何值时S n 最大？易错分析 在求解等差数列前n 项和S n 的最值时,容易忽略数列中为零的项而致错．利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0a n ＋1≤0(或⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0a n ＋1≥0)求n 的范围或利用二次函数的图像求解均可避免出错,考查图形应用的学科素养． 自我纠正 法一：由S 11＝S 18 将11a 1＋55d ＝18a 1＋153d. 即a 1＝－14d ＞0,所以d ＜0,构建不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝a 1＋（n －1）d≥0a n ＋1＝a 1＋nd≤0.即⎩⎪⎨⎪⎧－14d ＋（n －1）d≥0，－14d ＋nd≤0 解得14≤n≤15.故当n ＝14或n ＝15时,S n 最大．法二：由S 11＝S 18知a 1＝－14d.所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－14dn ＋n （n －1）2 d＝d 2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2922－8418d,由于n∈N ＋,结合S n 对应的二次函数的图像知, 当n ＝14或n ＝15时S n 最大．法三：由S 11＝S 18知,a 12＋a 13＋a 14＋a 15＋a 16＋a 17＋a 18＝0,即7a 15＝0, 所以a 15＝0,又a 1＞0,所以d ＜0. 故当n ＝14或n ＝15时,S n 最大.。

2.3 等差数列的前n项和一、教学目标：知识技能目标：1.掌握等差数列前n项和公式； 2.掌握等差数列前n项和公式的推导过程;3.会简单运用等差数列前n项和公式.过程与方法： 1．通过对等差数列前n项和公式的推导,体会倒序相加求和的思想方法；2. 通过公式的运用体会方程的思想。

情感态度：结合具体模型,将教材知识和实际生活联系起来,使学生感受数学的实用性,有效激发学习兴趣,并通过对等差数列求和历史的了解,渗透数学史和数学文化.二、教学重点难点：教学重点：等差数列前n项和公式的推导和应用.教学难点：在等差数列前n项和公式的推导过程中体会倒序相加的思想方法.三、教学策略及设计本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略．利用数形结合、类比归纳的思想，层层深入，通过学生自主探究，分析、整理出推导公式的思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点。

四. 教法、学法本课采用“探究——发现”教学模式．教师的教法突出活动的组织设计与方法的引导.学生的学法突出探究、发现与交流.五.教学过程教学过程设计为六个教学环节：（如下图）指导思想：就是从特殊到一般，由具体到抽象，类比归纳总结出指导等差数列前n项和公式的倒序相加法，然后引导学生认识和熟记公式并活应用，同时在应用过程中体会方程的思想方法。

识，引入新知归纳抽象形成概念比较分析，深化认识二、问题牵引，探究发现问题1：（播放媒体资料情景引入）印度泰姬陵世界七大奇迹之一。

传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见图），奢靡之程度，可见一斑。

你知道这个图案一共花了多少颗宝石吗？即: S100=1+2+3+······+100=？著名数学家高斯小时候就会算，闻名于世，那么小高斯是如何快速地得出了答案的呢？请同学们思考高斯方法的特点，适合类型和方法本质。

《等差数列前n项和》教案（高一年级第一册·第三章第三节）一、教材分析●教学内容《等差数列前n项和》人教版高中教材第三章第三节“等差数列前n项和"的第一课时，主要内容是等差数列前n项和的推导过程和简单应用●地位与作用高中数列研究的主要对象是等差、等比两个基本数列。

本节课的教学内容是等差数列前n 项和公式的推导及其简单应用。

在推导等差数列前n项和公式的过程中，采用了：1。

从特殊到一般的研究方法；2。

逆序相加求和。

不仅得出了等差数列前n项和公式，而且对以后推导等比数列前n项和公式有一定的启发，也是一种常用的数学思想方法。

等差数列前n项和是学习极限、微积分的基础,与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系.二、学情分析●知识基础:高一年级学生已掌握了函数，数列等有关基础知识，并且在初中已了解特殊的数列求和.●认知水平与能力：高一学生已初步具有抽象逻辑思维能力，能在教师的引导下独立地解决问题。

●任教班级学生特点：我所任教的班级是普通班级,学生基础知识不是很扎实，处理抽象问题的能力还有待进一步提高.三、目标分析1、教学目标依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念,并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标．●知识与技能目标掌握等差数列前n项和公式，能较熟练应用等差数列前n项和公式求和.●过程与方法目标经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法,学会观察、归纳、反思。

●情感、态度与价值观目标获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力。

2、教学重点、难点根据教学内容和本校学生特点，我确定本节课的教学重点为:●重点等差数列前n项和公式的推导和应用。

●难点等差数列前n项和公式的推导过程中渗透倒序相加的思想方法。

●重、难点解决的方法策略本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略．利用数形结合、类比归纳的思想,层层深入，通过学生自主探究,分析、整理出推导公式的不同思路，同时,借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过范例后的变式训练和教师的点拨引导，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点．四、过程设计结合教材知识内容和教学目标,本课的教学环节及时间分配如下：五、教学过程教学环节活动说明创设情境：首先让学生欣赏一幅美丽的图片-—泰姬陵。

课时同步练4.2.2 等差数列的前n 项和 （1）一、单选题1．记等差数列的前n 项和为n S ,若244,20S S ==,则该数列的公差d = （ ）A ．2B ．3C ．6D ．7【答案】B【详细解析】()()()42234124123S S S a a a a d d --=+-+==⇒=, 故选B2．若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－1,则a 4等于 （ ）A ．7B ．8C ．9D ．17【答案】A【详细解析】4431587a S S =-=-=, 故选A.3．在等差数列{}n a 中,若d=2,5S =55,则1a 为 （ ）A ．5或7B ．3或5-1C ．7D ．5【答案】C【详细解析】515452552S a ⨯=+⨯=,,解得17a =, 故选C .4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1090S =,58a =,则4a = （ ）A ．16B ．12C ．8D ．6【答案】D【详细解析】∵S 10=90= （a 1+a 10）×102= （a 5+a 6）×102,a 5=8, ∴a 6=10 ∴a 4=2a 5﹣a 6=6 故选D ．5．“嫦娥”奔月,举国欢庆．据科学计算运载“嫦娥”飞船的“长征3号甲”火箭,点火1 min 内通过的路程为2 km,以后每分钟通过的路程增加2 km,在到达离地面240 km 的高度时,火箭与飞船分离,则这一过程大约需要的时间是 （ ）A ．10 minB ．13 minC ．15 minD ．20 min【答案】C【详细解析】根据题意分析可以知道,这是一个首项为2,公差为2的等差数列,即()1222402n n n -⋅+⋅=,解得15n =,故选C.6．一个凸多边形的内角成等差数列,其中最小的内角为120°,公差为5°,那么这个多边形的边数n 等于 （ ） A ．12B ．16C ．9D ．16或9【答案】C【详细解析】依题意可知,凸多边形的内角成等差数列, 故内角和为()()1120521802n n n n -⋅+⋅=-⋅,解得9n =或16n =.由于内角小于180,所以()12015180,13n n +-⋅<<,所以9n =, 故选C .7．某运输卡车从材料工地运送电线杆到500 m 以外的公路,沿公路一侧每隔50 m 埋一根电线杆,又知每次最多只能运3根,要完成运载20根电线杆的任务,最佳方案是使运输卡车运行 （ ）A ．11 700 mB ．14 600 mC ．14 500 mD ．14 000 m【答案】D【详细解析】由于总的任务量20是固定的,每次最多运3根,所以有2根是单独的,必须第一趟运送.每次来回行走的米数构成一个等差数列,记为n a ,则11100a =,300d =,7n =,所以77671100300140002S ⨯=⨯+⨯=, 故选D.8．一个等差数列共有2n+1项,其奇数项的和为512,偶数项的和为480,则中间项的值为 （ ）A ．30B ．31C ．32D ．33【答案】C【详细解析】中间项为1n a +.因为()()()1211=115122n n a a S n n a +++⋅+=+=奇,2214802nn a a S n n a ++=⋅=⋅=偶,所以1=51248032n a S S +=--=奇偶. 故选C.9．已知{}n a 是等差数列,公差0d ≠,设12n n S a a a =++⋯+,则在数列{}n S 中 （ ）A ．任一项均不为零B ．必有一项为零C ．至多一项为零D ．没有一项为零或无穷多项为零【答案】C【详细解析】因为已知{}n a 是等差数列,公差0d ≠,设12n n S a a a =++⋯+,所以()2111222n n n d d n d n a n S a -⎛⎫+=+-⎝= ⎪⎭, 因为0d ≠,令0n S =即21022d d n a n ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭解得0n =或121an d =-, 当1211a d -≥,即120a d ≤时{}n S 存在一项为零,当120ad>时,{}n S 不存在为零的项, 故选C10．在等差数列{}n a 中,1250200a a a ++⋅⋅⋅+=,51521002700a a a ++⋅⋅⋅+=,则1a 等于 （ ）A ．1221-B ．21.5C ．20.5-D ．20-【答案】C【详细解析】由于数列{}n a 是等差数列,所以由1250200a a a ++⋅⋅⋅+=,51521002700a a a ++⋅⋅⋅+=,得()1150495020025049505027002a d a d d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪++=⎪⎩,解得120.5,1a d =-=. 故选C.11．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,已知6636,324,144(6)n n S S S n -===>,那么n 等于 （ ）A ．16B ．17C ．18D ．19【答案】C【详细解析】因为n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,6636,324,144-===n n S S S , 所以()6636324144216-+-=+-=n n S S S ,即1)6(216+=n a a ,所以136+=n a a ,又1()3242+==n n n a S a ,所以18n =. 故选C12．把正整数下列方法分组: （1）, （2,3）, （4,5,6）,…,其中每组都比它的前一组多一个数.设n S 表示第n 组中所有数的和,那么21S 等于 （ ）A ．1113B ．4641C ．5082D ．53 361【答案】B【详细解析】因为第n 组有n 个数,所以前20组一共有12320210+++⋅⋅⋅+= （个）数, 所以第21组的第一个数为211,这一组共有21个数, 所以21212021211146412S ⨯=⨯+⨯=, 故选B.二、填空题13．在数列{}n a 中,若15a =,12n n a a +=-,则它的前n 项和n S =______.【答案】26n n -+,n *∈N 【详细解析】15a =,12n n a a +=-12n n a a +∴-=-所以数列为首项15a =,公差为2d =-的等差数列.(1)5(2)2n n n S n -∴=+⨯- 26n S n n =-故填26n n -+,n *∈N .14．在等差数列{}n a 中,已知5a 7=,5S 15=,则515280...a a a +++=______.【答案】3840【详细解析】依题意得51514751015a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩,解得11,2a d =-=,故23n a n =-,故5199a =,所以原式5130293023099302938402a ⨯=+⨯=⨯+⨯=. 故填384015．在等差数列{}n a 中,37101148,4a a a a a +-=-=,记12n n S a a a =++⋯+,则13S 等于______.【答案】156 【详细解析】依题意,∵371011484a a a a a +-=⎧⎨-=⎩, 即1874a d d -=⎧⎨=⎩,∴160747a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, ∴13113126013124131********S a d ⨯⨯=+=⨯+⨯=. 故填156.16．已知数列{}n a 的通项公式112n a n =-,12n n S a a a =++⋅⋅⋅+,则10S =______.【答案】50【详细解析】由1120n a n =-≥,得112n ≤, ∴数列{}n a 的前5项为正数,从第6项起为负数,又由112n a n =-,得19a =,()111211122n n a a n n +-=-+-+=-, ∴数列{}n a 是首项为9,公差为－2的等差数列.则12n n S a a a =++⋅⋅⋅+()()1256710a a a a a a =++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+()()12101252a a a a a a =-++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()()1051110925422102522S S a a ⨯⨯-⨯⨯-⎛⎫⎛⎫=-+=-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()109902592050=-⨯-+⨯-=.故填50.17．等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若10100100,10S S ==,则110S =__________.【答案】110-【详细解析】由题意,设等差数列的公差为d ,因为10100100,10S S ==,所以1110910100210099100102a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩,解得1109911,10050a d ==-, 所以11011101091099110109111101101102100250S a d ⨯⨯=+=⨯-⨯=-. 故填-11018．等差数列{}n a 中,0n a >,n *∈N ,7976898616a a a a a a a a +++=,则14S =______.【答案】28【详细解析】因为数列{}n a 为等差数列,则797689867698697869()()()()16a a a a a a a a a a a a a a a a a a +++=+++=++=,又7869a a a a +=+,所以278()16a a +=又0n a >,所以784a a +=, 所以114781414()14()2822a a a a S ⨯++===,故填28.三、解答题19．已知等差数列{}n a 中,156a =,5n S =-,32n a =-,求n 与d 的值. 【详细解析】由于数列{}n a 是等差数列,故()()11115231256n n n na d a a n d a ⎧-+=-⎪⎪⎪=+-=-⎨⎪⎪=⎪⎩,解得15n =,16d =-. 20． （1）等差数列{}n a 前n 项和为n S ,求证:()2121n n S n a -=-; （2）等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ,若231n n S nT n =+,求n na b 的表达式.【详细解析】 （1）等差数列n a 前n 项和为n S ,设首项为1a 公差为d ,1(1)n a a n d =+-;2111(211)2(1)n a a n d a n d -=+--=+-,[][]21111212(1)+(1)(21)(21)2n n n S a a n d a n d n n a --=++-=--=- ()2121n n S n a -∴=-成立.（2）23+1n n S n T n =, 由 （1）得()2121n n S n a -=-,2121(21)4221(21)63131n n n n S n a n n T n b n n -----∴===--+-, 2131n n a n b n -∴=-. 21．设1a ,d 为实数,首项为1a ,公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足56150S S +=。

n + 1 2 n 等差数列前 n 项和公式 (教学设计)一、课题引入高斯，德国著名数学家，被誉为“数学王子”.在高斯上小学时。

他的算术老师提出了下面的问题：1+2+3+…+100=？【设计意图】提高学生学习能动性，自主性以及解决问题的能力，共同探讨出高斯算法，为新课做铺垫。

【学情预设】学生会想到高斯是运用首尾配对的方式快速解答的，即 (1+100)+(2+99)+(50+51)=50×101=5050二、问题探究问题 1：1+2+3+…+81=？组织学生分组讨论，合作学习.【学情预设】学生可能出现以下求法：方法 1：原式=(1+2+3+…+80)+81方法 2：原式=0+1+2+…+81以上的方法实际上是应用了“化归思想”,将奇数个项的问题转化为偶数个项求解.【设计意图】奇数个项求和问题，无法完全配对，就不能在简单模仿高斯算法.引导学生怎样计算才能使高斯算法避免讨论奇偶.1 n + +2 n-1 +… +… + + n-1 2 + + n 1 n+1 + n+1 +… + n+1 + n+1 由此可知 1+2+3+⋯+n =n ⨯(n +1)2问题 2： 设想这种方法能不能推广到求一般等差数列的前 n 项和？设{a } 为等差数列，结合等差数列性质，求Sn学生容易得出以下过程 a a + ⋯ + a = ？ S n = a 1 + a 2 + a 3 + + a n -1 + a nS n = a n + a n -1 + a n -2 + + a 2 + a 1把两式左右两端相加2S n =(a 1 +a n )+(a 1 +a n )+(a 1 +a n )+⋅⋅⋅+(a 1 +a n ).=于是得S = n (a n +a 1 ) n 2组织学生讨论若将a n 式？ = a + (n -1)d 上述公式中又可得出哪个表达 1 n (n -1)三、讲解例题S = na +dn 1 2 【设计意图】建立等差数列前 n 项和与方程之间的联系，根据已知量，通过解方程(组)，得出其余未知量，让学生体会方程思想在解决数列问题中的应用， 并认识到等差数列前 n 项和公式中五个基本量(a 1 ,a n ,d ,n ,S n ) 可以知三求二.课件展示例题，引导学生分析，要求前 n 项和，需要求什么基本量，指导学生独立完成.并通过练习巩固等比数列前 n 项和公式.四、课堂总结本节课采用改进后的高斯算法(倒序相加法)，推导出等差数列前 n 项和公式，公式中出现的五个基本量，将前 n 项和公式与方程思想相结合，有效解决与等差数列前 n 项和有关的问题.五、作业设计作业：教材 46 页习题 2.3A 第 2,3,4 题。

数学必修Ⅴ人教新课标B 第二章等差数列的前n 项和教案（一）教学知识点等差数列前n 项和公式：S n =.2)1(2)(11d n n na a a n n -+=+ （二）能力训练要求1.掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路.2.会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题. （三）德育渗透目标 1.提高学生的推理能力. 2.增强学生的应用意识. ●教学重点等差数列前n 项和公式的推导、理解及应用. ●教学难点灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题. ●教学方法 启发引导法结合所学知识，引导学生在解决实际问题的过程中发现新知识，从而理解并掌握. ●教具准备投影片一张：记作 例:如图（课本），一个堆放铅笔的V 形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V 形架上共放着多少支铅笔?●教学过程 Ⅰ.复习回顾［师］经过前面的学习，我们知道，在等差数列中： （1）a n －a n －1=d （n ≥1），d 为常数.（2）若a ，A ，b 为等差数列，则A =2ba +. （3）若m +n =p +q ,则a m +a n =a p +a q .（其中m ,n ,p ,q 均为正整数） Ⅱ.讲授新课［师］随着学习数列的深入，我们经常会遇到这样的问题. （打出投影片）这是一堆放铅笔的V 形架，这形同前面所接触过的堆放钢管的示意图，看到此图，大家都会很快捷地找到每一层的铅笔数与层数的关系，而且可以用一个式子来表示这种关系，利用它便可以求出每一层的铅笔数.那么，这个V 形架上共放着多少支铅笔呢？这个问题又该如何解决呢？经过分析，我们不难看出，这是一个等差数求和问题？首先，我们来看这样一个问题：1+2+3+…+100=？对于这个问题，著名数学家高斯10岁时曾很快求出它的结果，你知道他是怎么算的吗？ 高斯的算法是：首项与末项的和：1+100=101， 第2项与倒数第2项的和：2+99=101， 第3项与倒数第3项的和：3+98=101， ……第50项与倒数第50项的和：50+51=101，于是所求的和是101×2100=5050. 这个问题，它也类似于刚才我们所遇到的问题，它可以看成是求等差数列1，2，3，…，n ,…的前100项的和.在上面的求解中，我们发现所求的和可用首项、末项及项数n 来表示，且任意的第k 项与倒数第k 项的和都等于首项与末项的和，这就启发我们如何去求一般等差数列的前n 项的和.如果我们可归纳出一计算式，那么上述问题便可迎刃而解.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，即S n =a 1+a 2+…+a n , ① 把项的次序反过来，S n 又可写成S n =a n +a n －1+…+a 1 ② ①+②⇒2S n =（a 1+a n ）+（a 2+a n －1）+…+（a n +a 1）又∵a 2+a n －1=a 3+a n －2=a 4+a n －3=…=a n +a 1,∴2S n =n （a 1+a n ）,即：S n =2)(1n a a n + 若根据等差数列{a n }的通项公式，S n 可写为：S n =a 1+（a 1+d ）+…+［a 1+（n －1）d ］ ①,把项的次序反过来，S n 又可写为：S n =a n +（a n －d ）+…+［a n －（n －1）d ②］,把①、②两边分别相加，得2S n ==n （a 1+a n ）,即：S n =2)(1n a a n +. 由此可得等差数列{a n }的前n 项和的公式S n =2)(1n a a n +. 也就是说，等差数列的前n 项和等于首末两项的和与项数乘积的一半.用这个公式来计算1+2+3+…+100=？我们有S 100=2)1001(100+=5050.又∵a n =a 1+（n －1）d ,∴S n =[]d n n na d n a a n a a n n 2)1(2)1(2)(1111-+=-++=+∴S n =2)(1n a a n +或S n =na 1+2)1(-n n d有了此公式，我们就不难解决最开始我们遇到的问题，下面我们看具体该如何解决？ （打出投影片）［师］分析题意可知，这个V 形架上共放着120层铅笔，且自上而下各层的铅笔成等差数列，可记为{a n }，其中a 1=1,a 120=120,n =120.［生］解：设自上而下各层的铅笔成等差数列{a n }，其中n =120,a 1=1,a 120=120.则：S 120=2)1201(120+=7260答案：这个V 形架上共放着7260支铅笔. 下面我们再来看一例题：等差数列－10,－6,－2,2，…前多少项的和是54?分析：先根据等差数列所给出项求出此数列的首项，公差，然后根据等差数列的求和公式求解.解：设题中的等差数列为｛a n ｝，前n 项为的S n ，由题意可知：a 1=－10,d =（－6）－ （－10）=4，S n =54由等差数列前n 项求和公式可得： －10n +2)1(-n n ×4=54 解之得：n 1=9,n 2=－3（舍去）答案：等差数列－10,－6,－2,2,…前9项的和是54. Ⅲ.课堂练习 ［生］练习课本1.根据下列各题中的条件，求相应的等差数列{a n }的S n ; （1）a 1=5,a n =95,n =10;解：由S n =2)(1n a a n +,得S n =2)955(10+⨯=500.（2）a 1=100,d =－2,n =50;解：由S n =na 1+2)1(-n n d , 得S 50=50×100×+2)150(50-⨯×（－2）=2550.（3）a 1=14.5,d =0.7,a n =32解：由a n =a 1+（n －1）d ,得32=14.5+（n －1）×0.7,解之得n =26由S n =na 1+2)1(-n n d ,得S 26=26×14.5+2)126(26-×0.7=604.5 评述：要熟练掌握等差数列求和公式的两种形式，以便根据题目所给条件灵活选用而求解.2.（1）求正数数列中前n 个数的和.解：由题意可知正整数列为：1，2，3，…，n ,…,∴S n =2)1(+n n （2）求正整数列中前n 个偶数的和.解：由题意可知正整数数列为：1，2，3，…，n ,…,其中偶数可组成一新数列为：2，4，6，…2n ,…，设正整数列中前n 个偶数的和为S n ，则S n =2)22(n n +=n （n +1）. 评述：首先要理解题意，然后综合使用公式而求解. 3.等差数列5，4，3，2，…前多少项的和是－30？ 解：由题意可知，a 1=5,d =4－5=－1.由S n =na 1+2)1(-n n d ,得－30=5n +2)1(-n n ×（－1）,解之得：n 1=15,n 2=－4（舍去） 评述：利用方程思想，解决一些简单的相关问题. Ⅳ.课时小结通过本节学习，要熟练掌握等差数列前n 项和公式:S n =2)(1n a a n +=na 1+2)1(-n n d 及其获取思路.Ⅴ.课后作业 （一）课本（二）1.预习内容：课本2.预习提纲：如何灵活应用等差数列求和公式解决相关问题? ●板书设计课 题 等差数列求和公式：S n =2)(1n a a n +=na 1+2)1(-n n d 推导过程 例题感谢您的阅读，祝您生活愉快。