吉林省东北师范大学附属中学2015-2016学年高一上学期期中总复习数学试题(1)

理科数学考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间120分钟． 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚．2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、字迹清楚．3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．4．保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径),,2,1,0()1()(n k p p C k p k n kk n n =-=-第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合{}b a A ,=,则满足{}c b a B A ,,= 的集合B 的个数是 ( ) A ．1 B ．3 C ．4 D ．8 2．已知复数i z +=1，则222-z z等于（ ） A ．i B ．i - C ．1+i D ．1-i3．已知函数xe y =的图像与函数)(xf y =的图像关于x y =对称，则（ ）A ．)()2(2R x e x f x∈= B ．)0(ln 2ln )2(>⋅=x x x fC ．)(2)2(R x e x f x∈= D ．)0(ln 2ln )2(>+=x x x f4．已知双曲线22221x y a b -=)0,0(>>b a 的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率是（ ）A ．53B ．3 C ．54D 5．若⎩⎨⎧≥≤x y y 1，则y x 2+的最大值是（ ）A ． 0B ． 3C ．1D ．不存在6．将函数x x y cos sin ⋅=的图像向右平移)0(>ϕϕ个单位后，得到的图像关于直线6π=x 对称，则ϕ的最小值为（ ） A ．125π B ．611π C ．1211π D ．以上都不对 7．已知数列{}n a 为公差不为0的等差数列，若421,,a a a 成等比数列，则105S S 等于（ ） A ．21 B ．41 C ．113D ．无法确定 8．已知函数)(x f 在区间[)+∞-,1上连续，且当0≠x 时，11)(-+=x x x f ,则)0(f 等于（ ）A ．4B ．3C ．2D ．19．设γβα、、为两两不重合的平面，n m l 、、为两两不重合的直线，则下列命题正确的是（ ）A ．γαγββα//，则，若⊥⊥B ．βαββαα//,//,//,,则若n m n m ⊂⊂C ．m l m l //,,,//则若βαβα⊂⊂D ．n m l ===αγγββα ,,若，则n m l 、、交与一点或相互平行10．从6名男生与5名女生中，各选3名，使男女相间排成一排，不同的排法种数是（ ）A ．35362A A B ．663536A C C C ．3536A A D ．343536A C A 11．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若()f x 在区间[])2(,1>a a 上单调递增且()0f x >.则下列不等式中不．一定成立的是（ ） A ．()f a >()0f B ．12a f +⎛⎫⎪⎝⎭>fC ．131a f a -⎛⎫⎪+⎝⎭>()f a - D ．131a f a -⎛⎫⎪+⎝⎭>()2f - 12．设F 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的一个焦点，A B C ，，为该椭圆上三点，若0=++，则FA FB FC ++=（ ）A ．a b 23 B ．2223b a b - C ．()a b a 2223- D ．2223ba a -第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在()()611-+x x 的展开式中，4x 的系数为_____________(用数字作答)．14．过原点作曲线xe y =的切线，则该切线的斜率为________(e 为自然对数的底数) ．15．若向量b ，b a b a a 则满足且向量1,),3,1(=-=的取值范围是 ． 16．球O 是棱长为1的正方体ABCD D C B A -1111 的外接球，N M ,分别是B B 1，11C B 的中点，下列三个命题：①球O 的表面积为 3π； ②,A B 两点间的球面距离为1arccos3； ③直线MN 被球面截得的弦长为26． 其中是真命题的序号为_____(把所有正确命题的序号都填上) ．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分10分）在三角形ABC 中，102)4sin(,1=-=πA BC ． （Ⅰ）求A sin 的值； （Ⅱ）求三角形ABC 面积的最大值. 18．（本小题满分12分）一大学生参加某公司的招聘考试，需依次参加A 、B 、C 、D 、E 五项测试，如果前四项测试中有两项不合格或第五项不合格，则该考生被淘汰，考试即结束。

高三数学阶段测试卷(第四周) （考试时间：120分钟 满分150分） 拟题人：毕伟 审题人：暴偶奇 2015.9.11【测试范围：集合，命题，简易逻辑，全称特称命题，函数性质，线性规划】一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确的代号填在指定位置上.1．【2014高考安徽卷理第2题】“0<x ”是“0)1ln(<+x ”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 2．【2014高考湖南卷第5题】已知命题.,:,:22y x y x q y x y x p ><-<->则若；命题则若在命题①q p q p q p q p ∨⌝⌝∧∨∧）④（③②);(;;中，真命题是（ ） A ①③ B.①④ C.②③ D.②④ 3．函数y =的定义域是( )（A ）(3,2)(2,3)- （B ）[3,2)(2,3]- （C ）(3,3)-（D ）[3,3]-4．已知偶函数[)()0,f x +∞在区间单调递增，则满足1(21)()3f x f -<的x 的取值范围是 ( )A ．12(,)33B ．12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．12(,)23D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭5．设222,2(),((5))log (1),2x x f x f f x x -⎧≤==⎨->⎩则（ ）A ．-1B ．1C ．-2D ．26．如右图是李大爷晨练时所走的离家距离（y)与行走时间(x)之间的函数关系图，若用黑点表示李大爷家的位置，则李大爷散步行走的路线可能是（ ）8．设函数3()12f x x x =-，则下列结论正确的是 （ ）A ．函数()f x 在(,1)-∞-上单调递增B ．函数()f x 的极小值是-12C ．函数()f x 的图象与直线10y =只有一个公共点D ．函数()f x 的图象在点(2,(2))f --处的切线方程为16y = 9．已知⎩⎨⎧≥<--=)1(log )1()3()(x xx ax a x f a 是),(+∞-∞上的增函数，那么a 的取值范围是 ……………………………( )A ．(1，+∞)B ． (0，3)C ．（1，3）D ． [32，3）．10．已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有1()()()2f m n f m f n +=++,且第6题图1()02f =,当12x >时, ()f x >0，则)2011(f 的值为( ) A ．22011 B ．26031 C ．26033 D ．3017二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上．11.若变量x y ，满足约束条件30101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最大值为 。

必修1期中总复习（5）第一卷一、选择题１、已知集合Ａ＝},51|{},0|{<<-=>X x B x x 则B A ＝（ ）Ａ、}1|{->x x Ｂ、}51|{<<-X x Ｃ、}50|{<<X x Ｄ、}5|{<X x２、函数211)(-+-=x x x f 的定义域为(）Ａ、［１，+∞） Ｂ、［1，2) (2,+∞） Ｃ、（2，+∞） Ｄ、（0,+∞)3、已知函数,31,,11,5,16|,32|)(2⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤-+-<<-+=X x x x x x x f 则=-)]2([f f （ ）Ａ、１ Ｂ、３ Ｃ、６Ｄ、９４、设集合Ｕ＝Ｚ，Ａ＝{－１，０，１，２｝,}|{2x x x B ==，则Ａ=)(B C U ( ）Ａ、{－１，２} Ｂ、{－１，０} Ｃ、｛０，１｝ Ｄ、{１,２｝ ５、已知集合M ＝},1015|{Z k k x x ∈+=,N=},5110|{Z k k x x ∈+=，则（）Ａ、M ＝N Ｂ、M ⊆N Ｃ、M ⊇NＤ、M N ＝Φ6、函数]3,1[,322-∈+-=x x x y 的最大值为（ )Ａ、2 Ｂ、3 Ｃ、47、函数245x x y --=的递增区间是( )Ａ、（－]2,-∞ Ｂ、),2[+∞- Ｃ、]2,5[-- Ｄ、]1,2[- 8、下列函数是偶函数的是：( )Ａ、|1|-=x y Ｂ、21x y =Ｃ、x x y 22-= Ｄ、x y =9、函数11122+-+-=x x y 的定义域为Ａ，值域为Ｂ，则ＡB A I ＝( ）Ａ、{1｝ Ｂ、｛－1,1｝Ｃ、Φ Ｄ、以上都不对10、设11)(+-=x x x f ，则)1()(x f x f +＝( ）Ａ、11+-x xＢ、x1Ｃ、1 Ｄ、11、已知函数⎩⎨⎧>-+-≤=0,3)4(0,)(2x a x a x ax x f ，是定义域上的减函数，则实数a 的取值范围的（ ）Ａ、a 〉0 Ｂ、a 〈4 Ｃ、30≤<a Ｄ、43<≤a12、已知函数],,[|,|)(b a x x x f ∈= 值域是［0，1]，那么点p （a,b)在平面直角坐标系中的位置位于图中的（ ） Ａ、线段OB 和OD Ｂ、线段BC 和CD Ｃ、线段BC 和BO Ｄ、线段OB 和CD第二卷二、填空题:（本大题共五个小题，每小题4分，共20分）13、集合｛a b a ,,1+}＝｛ba b ,,0}，则a b -＝；14、集合A ＝{a x x >|｝，B=1|{-=t y y }，若B A ⊆,则实数a 的取值范围是 。

吉林省东北师范大学附属中学2015届高三数学总复习阶段测试卷1文本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U R =,集合{}|2A x x =≥，{|05}B x x =≤<，则集合)U C A B ⋂=（（ ）A ．{|02}x x <<B ．{|02}x x <≤C ．{|02}x x ≤<D ．{|02}x x ≤≤2．命题“若1,x >则0x >”的否命题是 （ ）A ．若1x >，则0x ≤B ．若1x ≤，则0x >C ．若1x ≤，则0x ≤D ．若1x <，则0x <3．在复平面内复数-31+z i =的对应点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．函数1()(0,1)x f x a a a -=>≠的图象恒过点A ，下列函数中图象不经过点A 的是（ ） A 、yB 、y ＝｜x －2｜C 、y ＝2x －1D 、y ＝2log (2)x5．与椭圆:C 2211612y x +=共焦点且过点的双曲线的标准方程为（ ） A ．2213y x -= B ．2221y x -=C ．22122y x -= D ．2213y x -=6．已知向量a b r r 、是夹角为60°的两个单位向量，向量λa b r r ＋（λ∈R ）与向量2-a b r r垂直，则实数λ的值为（ ）A 、1B 、－1C 、2D 、07按如图所示的程序框图运行后，若输出的结果是63，则判断框的整数M 的值是（ ） A ．5B ．6C ．7D ．88、已知函数sin()y x ωϕ=+的最小正周期为2π，直线3x π=是其图像的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为（ ）A ．sin(4)6y x π=+ B ．sin(2)3y x π=+ C ．sin(4-)3y x π= D ．15sin()412y x π=+ 9．点A B C D 、、、在同一个球的球面上，AB BC ==，2AC =，若四面体ABCD 体积的最大值为23，则这个球的表面积为 （ ） A ．1256π3 B ．8π C ．254π D ．2516π10、已知函数()1,()ln f x g x a x =+=，若在14x =处函数f （x ）与g （x ）的图象的切线平行，则实数a的值为( )A、14B、12C、1D、411若点P在抛物线24y x=上，则点P到点(2,3)A的距离与点P到抛物线焦点的距离之差（）A．有最小值，但无最大值B有最大值但无最小值C．既无最小值，又无最大值D．既有最小值，又有最大值12．已知函数132,0()log,0xa xf x x x⎧⨯≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x的方程f（f（x））＝0有且仅有一个实数解，则实数a的取值范围是（）A、（－∞，0）B、（－∞，0）∪（0,1）C、（0,1）D、（0,1）∪（1，＋∞）第II卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~ 第21题为必考题，每个试题要求考生必须作答，第22题~ 第24题为选考题，考生根据要求作答。

高三文科数学阶段质量检测试题[25周]第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知集合}111|{≥-+=x x x M ，集合}032|{>+=x x N ，则=⋂N M C R )(( ) A ．(-1,23) B ．(-1,23] C ．[-1,23) D ．[-1,23] 2．已知α是第二象限角，且sin(53)-=+απ，则tan2α的值为( ) A ．54B ．723-C ．724-D ．924-3．下列函数中，在其定义域是减函数的是( )A. 12)(2++-=x x x f B. xx f 1)(=C. ||)41()(x x f = D. )2ln()(x x f -=4. 下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x=3π对称的函数是( ) A ．y=2sin(2x+3π) B ．y=2sin(2x-6π) C ．y=2sin(32π+x ) D ．y=2sin(2x-3π)5. 函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（ ） A ．（3，4） B ．（2，e ） C ．（1，2） D ．（0，1）6．已知二次函数4)(2+-=ax x x f ，若)1(+x f 是偶函数，则实数的值为( ) A. -1 B. 1 C. -2 D. 27. 2||,0)(sin(πϕωϕω<>+=x y )的图象的一部分图形如图所示，则函数的解析式为( )A ．y=sin(x+3π) B ．y=sin(x-3π) C ．y=sin(2x+3π)D ．y=sin(2x-3π) 8. 设a 为实数，函数f (x )=x 3+ax 2+(a -2)x 的导数是)('x f ，且)('x f 是偶函数，则曲线y =f (x )在原点处的切线方程为( )A ．y =-2xB ．y =3xC ．y =-3xD ．y =4x 9. 将函数y=sin(2x+4π)的图象向左平移4π个单位，再向上平移2个单位，则所得图象的函数解析式是( ) A ．y=2cos 2(x+8π) B ．y=2sin 2(x+8π) C ．y=2-sin(2x-4π) D ．y=cos2x 10．已知函数⎩⎨⎧≤<+-<≤---=)10(1)01(1)(x x x x x f ，则1)()(->--x f x f 的解集为( )A ．(-∞,-1)∪(1,+∞) B. [-1,-21)∪(0,1] C ．(-∞,0)∪(1,+∞) D. [-1,-21]∪(0,1) 11．对于任意的实数a 、b ，记max{a,b}=⎩⎨⎧<≥)()(b a b b a a .若F(x)=max{f(x),g(x)}(x ∈R),其中函数y=f(x)(x ∈R)是奇函数，且在x=1处取得极小值-2，函数y=g(x) (x ∈R)是正比例函数，其图象与x ≥0时的函数y=f(x)的图象如图所示，则下列关于函数y=F(x)的说法中，正确的是( ) A ．y=F(x)为奇函数 B ．y=F(x)有极大值F(-1)C ．y=F(x)的最小值为-2，最大值为2D ．y=F(x)在(-3,0)上为增函数12．设函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=)2(1)21()2()2()(x x x a x f x 是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(-∞，2)B ．(-∞，813] C ．(0,2) D ．[813,2) 二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分。

2015---2016学年（高一）年级上学期期中考试（数学）学科试卷注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分. 2．请在答题卡和答题纸的指定位置上填涂或填写班级、姓名、学号.3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚. 4．请仔细审题、认真做答.第Ⅰ卷（选择题 共60分 ）一、 选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（1）图中阴影部分表示的集合是（A ）U A B （） （B ）UA B （） （C ）()UA B （D ）()UA B（2）与函数()||f x x =表示同一函数的是（A ）()xx x f 2= （B ）()2x x f = （C ）()()2x x f =（D ）()33x x f =（3）一个偶函数定义在]7,7[-上,它在]7,0[上的图象如右图,下列说法正确的是（A ）这个函数仅有一个单调增区间 （B ）这个函数有两个单调减区间 （C ）这个函数在其定义域内有最大值是7 （D ）这个函数在其定义域内有最小值是 -7（4）下列函数中，既是奇函数，又在)0,(-∞上单调递增的是（A ）1-=x y （B ）2x y = （C ）3x y = （D ）2-=x y（5）函数()23log (1)f x x x =-++的定义域为（A ）[)1,3- （B ）()1,3- （C ）(1,3]- （D ）[]1,3- （6）已知集合{}0722=+-∈=x ax R x A ，且A 中只有一个元素，则a 的值为 （A ）0或17-（B ）0或17 （C ）17（D ）17-（7）函数xxy 212+=的值域是 xy -27 7 03.5U AB（A ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21 （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21 （C ）(]1,0 （D ）()1,0（8）已知1122log log 0m n <<，则（A ）1＜n ＜m （B ）1＜m ＜n （C ）m ＜n ＜1 （D ）n ＜m ＜1 （9）函数2()28f x x x =-+在[,1]a a +具有单调性，则实数a 的取值范围是 （A ）01a ≤≤ （B ）10a -≤≤ （C ）01a a ≤≥或（D ）10a a ≤-≥或（10）若3()f x ax x c =++在[,]a b 上是奇函数，则2a b c +++的值为（A ）-1 （B ）0 （C ）1 （D ）2（11）已知x x g a x f a xlog )(,)(== (1,0≠>a a 且)，若0)2014()2014(<-⋅g f ，则)(x f y =与)(x g y =在同一坐标系内的大致图形是（12）定义域为R 的函数()f x 满足条件：①1212[()()]()0f x f x x x -->1212(,,)x x R x x +∈≠；②()()0f x f x +-= ()x R ∈； ③(3)0f -=.则不等式()0x f x ⋅<的解集是 （A ）{}|303x x x -<<>或 （B ）{}|303x x x <-≤<或 （C ）{}|33x x x <->或 （D ）{}|3003x x x -<<<<或第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） （13）函数2)(1－+=x ax f 的图象恒过定点___________________．（14）函数2()lg(2)f x x x =-+的单调递增区间是 . （15）已知xx f 3)(=，若实数122015,,x x x 满足1220153x x x +++=，则122015()()()f x f x f x 的值= .（16）已知函数()()|lg |010()16102x x f x x x <<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，若a b c <<，且)()()(c f b f a f ==，则abc 的取值范围是___________.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）（17）（本小题满分10分）已知集合{}0652≤--=x x x A ，{}03<-=a x x B ，（Ⅰ）当31=a 时，求A B ； （Ⅱ）若B B A = ，求实数a 的取值范围．（18）（本小题满分12分） （Ⅰ）113240.0640.015-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭ （Ⅱ）12lg 23lg5lg 5++（19）（本小题满分12分）已知函数()1f x x x =-.（Ⅰ）在给定的直角坐标系内画出()f x 的图象，并写出函数的单调区间；（Ⅱ）讨论函数)(x f y =与y a =公共点的个数．（20）（本小题满分12分）已知函数a ax x x f -++-=12)(2在区间[]1,0上的最大值是2,求实数a 的值．（21）（本小题满分12分）已知函数()(0)y f x x =≠，对于任意的,,0x y R x y ∈≠且都满足()()()f xy f x f y =+. （Ⅰ）求(1)(1)f f -和的值，并证明：()y f x =为偶函数；（Ⅱ）若()y f x =在(0,)+∞上是增函数，解不等式1()(5)06f x f x +-≤.（22）（本小题满分12分）已知ax e x f x-+=)1ln()(是偶函数，xxbe e x g -+=)(是奇函数．（Ⅰ）求b a ,的值；（Ⅱ）判断)(x g 的单调性（不要求证明）；（Ⅲ）若不等式)())((x m g x f g ->在[)+∞,1上恒成立，求实数m 的取值范围．高一数学期中考试答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，每小题只有一个正确选项）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．()1,1-- 14．(0,1)(或(0,1]也可) 15．27 16．(10,12)三、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分10分） 解：（Ⅰ）当31=a 时，{}61≤≤-=x x A ，------------------------------------（2分） {}1<=x x B -----------------------------------------------------------------（4分） {}11A B x x =-≤<--------------------------------------------------------（6分）（Ⅱ）B B A = ，则B A ⊂--------------------------------------------------（8分） 则63>a ，∴2>a ---------------------------------------------------------------------------------------（10分）18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）113240.0640.015-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭12lg 23lg5lg5++1132321=[(0.4)]1[(0.1)](0.4)10.15112108=5---+=-+=-+1=lg4+lg125+lg 51lg 41255lg1002=⨯⨯==19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）图略----------------------------------------------------------------（2分）221,()|1|1,x x x f x x x x x x ≥⎧-=-=⎨<-+⎩，则函数的单调递增区间是1(,),(1,)2-∞+∞，单调递减区间是1(,1)2；-------------------------------------------------------（6分） （Ⅱ）当104a a <>或时，函数)(x f y =与x 轴有一个公共点；当104a a ==或时，函数)(x f y =与x 轴有两个公共点； 当104a <<时，函数)(x f y =与x 轴有三个公共点. ----------------------（12分）20．（本小题满分12分）解: a ax x x f -++-=12)(2的对称轴a x =, --------------------------------------------（1分）则⎩⎨⎧=-=<21)0(0a f a 解得1-=a --------------------------------------------（4分）或⎩⎨⎧=+-=≤≤21)(102a a a f a 解得φ∈a -------------------------------------------------------（7分） 或⎩⎨⎧==>2)1(1a f a 解得 2=a --------------------------------------------（10分）综上所述适合条件的a 值为21=-=a a 或.---------------------------------------------------（12分）21．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：∵对于任意的,,0x y R x y ∈≠且满足()()()f xy f x f y =+ ∴令1x y ==，得到：(1)(1)(1)(1)0f f f f =+∴=∴令1x y ==-，得到(1)(1)(1)(1)0f f f f -=-+-∴-=-------------------（2分）证明：由题可知，令1y =-，得()()(1)f x f x f -=+--------------------------------------------（4分） ∵(1)0f -=∴()()f x f x -=对于任意{|0}x x x ∈≠均成立 ∴()y f x =为偶函数. -----（6分） （Ⅱ）∵()()()f xy f x f y =+∴不等式1()(5)06f x f x +-≤可化为1[(5)](1)6f x x f -≤-------------------------------------------------------------------------------（8分） 由（Ⅱ）函数()f x 是定义在非零实数集上的偶函数且为增函数．∴11(5)16x x -≤-≤. 即6(5)6x x -≤-≤----------------------------------------------------------------------------------------（10分） 且0,50x x ≠-≠------------------------------------------------------------------------------------------（11分） 故不等式的解集为[-1，0）∪（0，2]∪[3，5）∪（5，6] ---------------------------------------（12分）22(本小题满分12分)解：（Ⅰ）由题意有：0)1ln()1ln()()(=-+--+=---ax e ax e x f x f xx可得21=a ----------------------------------------------------------------------------------------------（2分）再由0)()(=+++=-+--x x xx be e be e x g x g 可得：1-=b ----------------------------（4分）（Ⅱ）xxee x g --=)(在()+∞∞-,上为增函数．--------------------------------------------（6分）（Ⅲ）由（Ⅱ）得：x m x f x m g x f g ->⇔->)()())(( 即x e m x21)1ln(++<在[)+∞,1恒成立-----------------------------------------------------------（8分） x e x h x 21)1ln()(++= 为增函数， 21)1ln()1()(min ++==∴e h x h即21)1ln(++<e m ----------------------------------------------------------------------------------（12分）。

某某省某某市东北师大附中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）若M={x|﹣2＜x＜1}，N={x|0＜x＜2}，则M∩N=（）A．{x|x＞1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|﹣2＜x＜1}2．（4分）设集合A={x||x|＜2}，若B⊆A，则集合B可以是（）A．{x|﹣1＜x＜0} B．{x|﹣1＜x＜3} C．{x|﹣3＜x＜2} D．{x|﹣3＜x＜3} 3．（4分）函数f（x）=x+的图象关于（）对称．A．y轴B．直线y=x C．坐标原点D．直线y=﹣x4．（4分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，8），则f（5）的值为（）A．243 B．125 C．40 D．255．（4分）f（x）=﹣x2+mx在（﹣∞，1]上是增函数，则m的取值X围是（）A．{2} B．（﹣∞，2] C．[2，+∞）D．（﹣∞，1]6．（4分）三个数70.3，0.37，ln0.3，的大小关系是（）A．70.3＞0.37＞ln0.3 B．70.3＞ln0.3＞0.37C．0.37＞70.3＞ln0.3 D．ln0.3＞70.3＞0.377．（4分）设f（x）=，则f（f（2））的值为（）A．0 B．1 C．2 D．38．（4分）函数f（x）=|x+1|在[﹣2，2]上的最小值为（）A．5 B．2 C．1 D．09．（4分）若lg2=a，lg3=b，则log125可以用a，b表示为（）A．B．C．D．10．（4分）若log a＜1，则a的取值X围是（）A．（0，）∪（，+∞）B．（，+∞）C．（，1） D．（0，）∪（1，+∞）11．（4分）如图，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别在函数y=log x，y=x，y=（）x的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴，若点A的纵坐标为2，则的D的坐标为（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）12．（4分）下列说法中，正确的个数是（）①任取x＞0，均有3x＞2x；②在同一坐标系中，y=2x与y=2﹣x的图象关于y轴对称；③函数f（x）=log5（x2﹣2x）的单调递增区间是（1，+∞）；④若方程|log2x|=2﹣x的两个根分别为α，β，则αβ＜1．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）若全集U=R，集合A={x|x≥1}∪{x|x≤0}，则∁U A=．14．（4分）函数y=1+log a x，（a＞0且a≠1）恒过定点．15．（4分）已知函数y=g（x）与函数y=3x互为反函数，则g（27）的值为．16．（4分）设f（x）=|3x﹣1|，c＜b＜a且f（c）＞f（a）＞f（b），在关系式①3c＞3b②3b ＞3a③3c+3a＞2④3c+3a＜2中一定成立的是．三、解答题（共6小题，满分56分）17．（8分）求下列各式的值：（1）+8+25（2）3+log35﹣log315+log38•log23．18．（8分）已知函数f（x）=x2﹣2|x|﹣a．（1）当a=0时，画出函数f（x）的简图，并指出f（x）的单调递减区间；（2）若函数f（x）有4个零点，求a的取值X围．19．（10分）函数y=lg（3﹣4x+x2）的定义域为M，函数f（x）=4x﹣2x+1（x∈M）．（1）求M；（2）求函数f（x）的值域．20．（10分）已知函数f（x）定义域为R，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）•f（y）．（1）求f（0）的值；（2）求证：对任意x∈R，都有f（x）＞0．21．（10分）通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，讲座开始时，学生的兴趣增长，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持理想的状态，随后学生注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f（x）表示学生掌握和接受概念的能力（f（x）值越大，表示接受能力越强），x表示提出和讲授概念的时间（单位：分），可以有以下的公式：f（x）=（1）开讲多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多少时间？（2）开讲5分钟与开讲20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？22．（10分）设f（x）是定义在（﹣2，2）上的奇函数，当x∈（﹣2，0）时，f（x）=﹣log a（﹣x）﹣log a（2+x），其中a＞0，且a≠1．（1）解方程f（x）=0；（2）令t∈（0，2），判断函数f（x）在x∈（0，t）上是否有最大值、最小值；若有，求出最大值、最小值，并说明理由．某某省某某市东北师大附中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）若M={x|﹣2＜x＜1}，N={x|0＜x＜2}，则M∩N=（）A．{x|x＞1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|﹣2＜x＜1}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据题意和交集的运算求出M∩N即可．解答：解：由题意得，M={x|﹣2＜x＜1}，N={x|0＜x＜2}，则M∩N={x|0＜x＜1}，故选：B．点评：本题考查了交集的运算，属于基础题．2．（4分）设集合A={x||x|＜2}，若B⊆A，则集合B可以是（）A．{x|﹣1＜x＜0} B．{x|﹣1＜x＜3} C．{x|﹣3＜x＜2} D．{x|﹣3＜x＜3} 考点：集合的包含关系判断及应用．专题：计算题；集合．分析：化简集合A={x|﹣2＜x＜2}，从而可知，{x|﹣1＜x＜0}⊆{x|﹣2＜x＜2}．解答：解：集合A={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}，则{x|﹣1＜x＜0}⊆{x|﹣2＜x＜2}，故A正确．故选A．点评：本题考查了集合的化简与集合的包含关系的应用，属于基础题．3．（4分）函数f（x）=x+的图象关于（）对称．A．y轴B．直线y=x C．坐标原点D．直线y=﹣x考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：判断函数的奇偶性即可得出．解答：解：∵f（﹣x）==﹣=﹣f（x），（x≠0）∴函数f（x）是奇函数，其图象关于原点对称．故选：C．点评：本题考查了函数的奇偶性，属于基础题．4．（4分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，8），则f（5）的值为（）A．243 B．125 C．40 D．25考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：函数的性质及应用．分析：由已知条件得f（x）=x3，由此能求出f（5）．解答：解：∵幂函数y=f（x）=x a的图象过点（2，8），∴2a=8，解得a=3，∴f（x）=x3，∴f（5）=53=125．故选：B．点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．5．（4分）f（x）=﹣x2+mx在（﹣∞，1]上是增函数，则m的取值X围是（）A．{2} B．（﹣∞，2] C．[2，+∞）D．（﹣∞，1]考点：二次函数的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据二次函数的图象，可得f（x）在区间（﹣∞，]上是增函数，在区间[+∞）上是减函数．由此结合题意建立关于m的不等式，解之即可得到m的取值X围．解答：解：∵函数f（x）=﹣x2+mx的图象是开口向下的抛物线，关于直线x=对称，∴函数f（x）=﹣x2+mx在区间（﹣∞，]上是增函数，在区间[+∞）上是减函数∵在（﹣∞，1]上f（x）是增函数∴1≤，解之得m≥2故选：C点评：本题给出二次函数在给定区间上为增函数，求参数m的取值X围，着重考查了二次函数的图象与性质等知识，属于基础题．6．（4分）三个数70.3，0.37，ln0.3，的大小关系是（）A．70.3＞0.37＞ln0.3 B．70.3＞ln0.3＞0.37C．0.37＞70.3＞ln0.3 D．ln0.3＞70.3＞0.37考点：对数值大小的比较．专题：计算题；转化思想．分析：本题宜用中间量法比较，由相关的函数的性质，求出其所在的X围，再比较大小即可解答：解：由题，70.3＞1，0.37∈（0，1），ln0.3＜0三者大小关系为70.3＞0.37＞ln0.3故选A点评：本题考查数的大小比较，由于三个数涉及到三类函数，故无法用单调性直接比较，一般此类题都是用中间量法比较．7．（4分）设f（x）=，则f（f（2））的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：计算题．分析：考查对分段函数的理解程度，f（2）=log3（22﹣1）=1，所以f（f（2））=f（1）=2e1﹣1=2．解答：解：f（f（2））=f（log3（22﹣1））=f（1）=2e1﹣1=2，故选C．点评：此题是分段函数当中经常考查的求分段函数值的小题型，主要考查学生对“分段函数在定义域的不同区间上对应关系不同”这个本质含义的理解．8．（4分）函数f（x）=|x+1|在[﹣2，2]上的最小值为（）A．5 B．2 C．1 D．0考点：函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用．分析：分x≥﹣1与x≤﹣1两种情况去掉绝对值符号，再考虑函数的单调性，利用单调性求函数的最值．解答：解：当x≥﹣1时，|x+1|=x+1；当x≤﹣1时，|x+1|=﹣x﹣1，∴当﹣2≤x≤﹣1时，f（x）=|x+1|=﹣x﹣1，函数单调递减；当﹣1≤x≤2时，f（x）=|x+1|=x+1，函数单调递增，∴当x=﹣1时，函数f（x）取得最小值，∴f最小值=f（﹣1）=|﹣1+1|=0故选：D．点评：本题主要考查函数单调性，利用单调性求函数的最值，当函数表达式带有绝对值的符号时，去绝对值是解题的关键．9．（4分）若lg2=a，lg3=b，则log125可以用a，b表示为（）A．B．C．D．考点：换底公式的应用．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数的换底公式、lg2+lg5=1即可得出．解答：解：∵lg2=a，lg3=b，∴log125===．故选：A．点评：本题考查了对数的换底公式、lg2+lg5=1，属于基础题．10．（4分）若log a＜1，则a的取值X围是（）A．（0，）∪（，+∞）B．（，+∞）C．（，1） D．（0，）∪（1，+∞）考点：对数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：通过讨论a的X围，得到不等式组，解出即可．解答：解：若log a＜1，则＜，∴或，∴0＜a＜或a＞1，故选：D．点评：本题考查了对数函数的图象及性质，考查了分类讨论思想，是一道基础题．11．（4分）如图，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别在函数y=log x，y=x，y=（）x的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴，若点A的纵坐标为2，则的D的坐标为（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据点在函数图象，把点A的纵坐标代入对应的函数解析式求出x，求出点A的坐标，再由四边形ABCD是矩形求出B、C的坐标，最后求出点D的坐标．解答：解：由题意得，A，B，C分别在函数y=log x，y=x，y=（）x的图象上，把y=2代入y=log x得，2=log x，即x==，所以A（，2），由四边形ABCD是矩形得，B点的纵坐标也是2，把y=2代入y=x得，2=x，即x=4，所以B（4，2），则点C的横坐标是4，把x=4代入y=（）x得，y=，所以点D的坐标是（，），故选：A．点评：本题考查利用函数图象和解析式求出点的坐标，考查识图能力、数形结合思想．12．（4分）下列说法中，正确的个数是（）①任取x＞0，均有3x＞2x；②在同一坐标系中，y=2x与y=2﹣x的图象关于y轴对称；③函数f（x）=log5（x2﹣2x）的单调递增区间是（1，+∞）；④若方程|log2x|=2﹣x的两个根分别为α，β，则αβ＜1．A．1 B．2 C．3 D．4考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：本题考查指数函数对数函数的图象与性质，①②较简单，利用性质求解即可；③先求定义域，可判断为假；④较难，转化为两函数图象交点问题，利用图象求解．解答：解：①令f（x）=3x，g（x）=2x，当x＞0，f（x）=3x图象恒在g（x）=2x上侧，①正确；②在同一坐标系中，y=2﹣x=（）x与y=2x的图象关于y轴对称，②正确；③函数f（x）=log5（x2﹣2x）的定义域为（﹣∞，0）∪（2，+∞），区间（1，+∞）不在函数定义域内，③错误；④求x的取值X围为即0＜x≤2；且令f（x）=|log2x|，g（x）=2﹣x，f（x）与g（x）图象交点处的x值为方程两根α，β，作图得0＜α＜，1＜β＜，则αβ＜1，④正确．故选：C．点评：重点体现了数形结合的数学思想，也可使用根的存在性定理求解．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）若全集U=R，集合A={x|x≥1}∪{x|x≤0}，则∁U A=（0，1）．考点：补集及其运算．专题：计算题．分析：由已知条件我们易求出集合A，再根据补集的定义，易求出C U A．解答：解：∵集合A={x|x≥1}∪{x|x≤0}={x|x≥1，或x≤0}∴C U A={x|0＜x＜1}=（0，1）故答案为：（0，1）点评：本题考查的知识点是补集及其运算，其中求出满足条件的集合A是解答的关键．14．（4分）函数y=1+log a x，（a＞0且a≠1）恒过定点（1，1）．考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：由对数的性质知，当真数为1时，对数值一定为0，由此性质求函数的定点即可．解答：解：令x=1，得y=1+log a1，得到y=1，故函数y=1+log a x，（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（1，1）故答案为：（1，1）．点评：本题考查对数函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握对数函数的性质，并能根据性质判断出本题求定点的问题可以令真数为1求定点．15．（4分）已知函数y=g（x）与函数y=3x互为反函数，则g（27）的值为3．考点：反函数．专题：函数的性质及应用．分析：由于函数y=g（x）与函数y=3x互为反函数，可得g（x）=log3x．即可得出．解答：解：∵函数y=g（x）与函数y=3x互为反函数，∴g（x）=log3x．∴g（27）=log327=3．故答案为：3．点评：本题考查了互为反函数的性质、对数函数的运算，属于基础题．16．（4分）设f（x）=|3x﹣1|，c＜b＜a且f（c）＞f（a）＞f（b），在关系式①3c＞3b②3b ＞3a③3c+3a＞2④3c+3a＜2中一定成立的是④．考点：指数函数的图像变换．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由y=3x递增可判断①②不成立，由f（x）的单调性及已知条件可知c＜0，a＞0，再根据f（c）＞f（a）可得3c+3a＜2，从而可知③④是否成立．解答：解：∵y=3x递增，且c＜b，∴3c＜3b，①不成立；∵b＜a，∴3b＜3a，②不成立；f（x）=|3x﹣1|=，可知f（x）在（﹣∞，0）上递减，在（0，+∞）上递增，由题意可知c＜0，a＞0，f（c）＞f（a）即|3c﹣1|＞|3a﹣1|，1﹣3c＞3a﹣1，∴3c+3a＜2，∴③不成立，④成立，故答案为：④．点评：该题考查指数函数的单调性及其应用，考查学生分析问题解决问题的能力，属基础题．三、解答题（共6小题，满分56分）17．（8分）求下列各式的值：（1）+8+25（2）3+log35﹣log315+log38•log23．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用指数幂的运算法则即可得出；（2）利用对数的运算法则及对数换底公式即可得出．解答：解：（1）原式=﹣4++=；（2）原式=2++=2﹣1+3=4．点评：本题考查了指数幂的运算法则、对数的运算法则及换底公式，属于基础题．18．（8分）已知函数f（x）=x2﹣2|x|﹣a．（1）当a=0时，画出函数f（x）的简图，并指出f（x）的单调递减区间；（2）若函数f（x）有4个零点，求a的取值X围．考点：根的存在性及根的个数判断；函数图象的作法．专题：函数的性质及应用．分析：（1）当a=0时，将函数转化为分段函数，进行化图．（2）根据f（x）有4个零点，结合图象确定a的取值X围．解答：解：（1）当a=0时，，由图可知，f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1）和（0，1）．（2）由f（x）=0，得x2﹣2|x|=a，∴曲线y=x2﹣2|x|与直线y=a有4个不同交点，∴根据（1）中图象得﹣1＜a＜0．点评：本题主要考查二次函数的图象和性质，以及函数零点的应用，利用数形结合是解决此类问题的关键．19．（10分）函数y=lg（3﹣4x+x2）的定义域为M，函数f（x）=4x﹣2x+1（x∈M）．（1）求M；（2）求函数f（x）的值域．考点：对数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）解不等式3﹣4x+x2＞0，即可，（2）令t=2x，（t＞8，0＜t＜2），则f（x）=g（t）=t2﹣2t，（t＞8，0＜t＜2），根据二次函数求解．解答：解：（1）得x＞3，或＜1，∴定义域M为：（﹣∞，1）∪（3，+∞）（2）由（1）可得f（x）=4x﹣2x+1，x∈（﹣∞，1）∪（3，+∞）令t=2x，（t＞8，0＜t＜2），则f（x）=g（t）=t2﹣2t，（t＞8，0＜t＜2），根据二次函数性质得：[﹣1，0）∪（48，+∞）∴函数f（x）的值域为：[﹣1，0）∪（48，+∞）点评：本题综合考察了函数的性质，解不等式，属于中档题．20．（10分）已知函数f（x）定义域为R，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）•f（y）．（1）求f（0）的值；（2）求证：对任意x∈R，都有f（x）＞0．考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用赋值法，令x=2，y=0即可求得f（0）的值，（2）令x＜0，且y=﹣x，则﹣x＞0，f（﹣x）＞1，得到0＜f（x）＜1，问题得以证明．解答：解：（1）令x=1，y=0则f（1）=f（1）•f（0），∵当x＞0时，f（x）＞1，∴f（0）=1，（2）令x＜0，且y=﹣x，则﹣x＞0，f（﹣x）＞1，∴f（x﹣x）=f（x）•f（﹣x）=1，∵f（﹣x）＞1，∴0＜f（x）＜1，综上所述，对任意x∈R，都有f（x）＞0．点评：本题主要考查了抽象函数表达式反映函数性质及抽象函数表达式的应用，关键是转化化归的思想的应用，属于基础题．21．（10分）通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，讲座开始时，学生的兴趣增长，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持理想的状态，随后学生注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f（x）表示学生掌握和接受概念的能力（f（x）值越大，表示接受能力越强），x表示提出和讲授概念的时间（单位：分），可以有以下的公式：f（x）=（1）开讲多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多少时间？（2）开讲5分钟与开讲20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？考点：分段函数的应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：第一小题求学生的接受能力最强其实就是要求分段函数的最大值，方法是分别求出各段的最大值取其最大即可．第二小题比较5分钟和20分钟学生的接受能力何时强，方法是把x=5代入第一段函数中，而x=20要代入到第二段函数中，比较大小即可．不同的自变量代入相应的解析式才能符合要求．解答：解：（1）当0＜x≤10时，f（x）=﹣0.1x2+2.6x+43，为开口向下的二次函数，对称轴为x=13，故f（x）的最大值为f（10）=59，当10＜x≤16时，f（x）=59当x＞16时，f（x）为减函数，且f（x）＜59因此，开讲10分钟后，学生达到最强接受能力（为59），能维持6分钟时间．（2）f（5）=53.5，f=47，故开讲5分钟时学生的接受能力比开讲20分钟时要强一些．点评：此题考查的是分段函数的基本知识及分段函数图象增减性的应用．此题学生容易出错，原因是学生把分段函数定义理解不清，自变量取值不同，函数解析式不同是分段函数最显著的特点．22．（10分）设f（x）是定义在（﹣2，2）上的奇函数，当x∈（﹣2，0）时，f（x）=﹣log a（﹣x）﹣log a（2+x），其中a＞0，且a≠1．（1）解方程f（x）=0；（2）令t∈（0，2），判断函数f（x）在x∈（0，t）上是否有最大值、最小值；若有，求出最大值、最小值，并说明理由．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）令﹣log a（﹣x）=﹣log a（2+x）=0，由已知条件能求出f（x）=0解集．（2）由已知得，由此利用分类讨论思想能求出函数f（x）在x∈（0，t）上的最值．解答：解：（1）令﹣log a（﹣x）=﹣log a（2+x）=0，∴，解得x=﹣1，又∵f（x）是定义在（﹣2，2）上的奇函数，∴f（x）=0解集为{﹣1，0，1}．（2）∵f（x）是定义在（﹣2，2）上的奇函数，∴，当0＜a＜1时，f（x）=log a x（2﹣x）在（0，t]上单调递减，∴f（x）min=f（t）=log a t（2﹣t），无最大值；1＜t＜2，f（x）=log a x（2﹣x）在（0，1]上单调递减，在（1，t]上单调递增，∴f（x）min=f（1）=0，无最大值；当a＞1时，0＜t≤1，f（x）=log a x（2﹣x）在（0，t]上单调递增，∴f（x）max=f（t）=log a t（2﹣t），无最小值；1＜t＜2，f（x）=log a x（2﹣x）在（0，1]上单调递增，在（1，t]上单调递减，∴f（x）max=f（1）=0，无最小值．点评：本题考查方程的解法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想和函数性质的合理运用．。

吉林省东北师范大学附属中学2015届高三数学总复习阶段测试卷1理本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

参考公式： 样本数据nx x x ,,21的标准差 锥体体积公式s13V Sh 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积，体积公式V Sh 24S R 343V R其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合}4,3,2,1{ U ,}05|{2 p x x x M ，若}3,2{ M C U ，则实数p 的值为 A. 6 B. 4 C. 4 D. 62．若复数i ia 213 （i R a , 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为A. 6B. 2C. 4D. 6理科数学试卷 第1页(共6页)3．已知}{n a 为等差数列，若951a a a ，则)cos(82a a 的值为A.21B. 23C. 21D. 234．已知函数,0,)21(0,)(21x x x x f x则 )]4([f fA. 4B.41C. 4D. 65．下列命题错误的是A. 命题“若022 y x ，则0 y x ” 的逆否命题为“若y x ,中至少有一个不为0，则022 y x ”；B. 若命题1,:0200 x x R x p ，则01,:2x x R x p ； C. ABC 中，B A sin sin 是B A 的 充要条件；D. 若向量b a ,满足0 b a ，则a 与b 的夹角为钝角.6. 执行右面的程序框图，如果输入30,72 n m ， 则输出的n 是A. 12B. 6C. 3D. 07. 从5,4,3,2,1中不放回地依次取2个数，事件 A “第一次取到的是奇数”， B “第二次取到的是奇数”，则 )|(A B PA. 51B. 103C. 52D. 218. 函数)sin()( x x f （其中2||）的图象如图所示，为了得到x y sin 的图象，开始是输出n 结束求m 除以n 的余数r输入m ,nm=nn=r r=0? 否只需把)(x f y 的图象上所有点A. 向右平移6 个单位长度B. 向右平移12个单位长度 C. 向左平移6 个单位长度 D. 向左平移12个单位长度9． 曲线c bx x y 2在点))(,(00x f x P 处切线的倾斜角的取值范围为]4,0[，则点P 到该曲线对称轴距离的取值范围为A. ]1,0[B.]21,0[ C. ]2||,0[b D. ]2|1|,0[ b 10. 若圆2221:240,()C x y ax a a R 与圆2222:210,()C x y by b b R 外切，则a b 的最大值为A. 23B. 3C. 3D. 2311．若不重合的四点C B A P ,,,，满足0PA PB PC u u u r u u u r u u u r ，AB AC mAP u u u r u u u r u u u r，则实数m 的值为A. 2B. 3C. 4D. 512. 函数)(x f y 的最小正周期为2，且)()(x f x f ．当]1,0[ x 时，1)( x x f ，那么在区间]4,3[ 上，函数)(x f y 的图像与函数||)21(x y 的图像的交点个数是 A. 8 B. 7 C. 6 D. 5第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知双曲线)0,0(12222 b a b y a x 与抛物线x y 82 有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若5|| PF ，则双曲线方程为 ．ED14．设等比数列}{n a 的前n 项之和为nS ，已知20111 a ，且)(0221• N n a a a n n n ，则2012S ．15．已知不等式组a x x y x y 表示的平面区域S 的面积为4，点S y x P ),(，则y x z 2 的最大值为 .16. 一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几 何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表 面积是 .三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 17.（本小题满分12分）如图，AB 是底部B 不可到达的一个塔型建筑物，A 为塔的最高点．现需在对岸测出塔高AB ，甲、乙两同学各提出了一种测量方法，甲同学的方法是：选与塔底B 在同一水平面内的一条基线CD ，使B D C ,,三点不在同一条直线上，测出DCB 及CDB 的大小（分别 用 ,表示测得的数据）以及D C ,间的距离（用s 表示测得的数据），另外需在点C 测得塔顶A 的仰角（用 表示测量的数据），就可以求得塔高AB ．乙同学的方法是：选一条水平基线EF ，使B F E ,,三点在同一条直线上．在F E ,处分别测得塔顶A 的仰角（分别用 ,表示测得的数据）以及F E ,间的距离（用s 表示测得的数据），就可以求得塔高AB ．请从甲或乙的想法中选出一种测量方法，写出你的选择并按如下要求完成测量计算：①画出测量示意图；②用所叙述的相应字母表示测量数据，画图时B D C ,,按顺时针方向标注，F E ，按从左到右的方向标注；③求塔高AB ． 18．（本小题满分12分）yN MB如图，四边形DCBE 为直角梯形，90 DCB ，CB DE //，2,1 BC DE ，又1 AC ， 120 ACB ， AB CD ，直线AE 与直线CD 所成角为 60．（Ⅰ）求证：平面 ACD 平面ABC ； （Ⅱ）求BE 与平面ACE 所成角的正弦值． 19．（本小题满分12分）现有B A ,两个项目，投资A 项目100万元，一年后获得的利润为随机变量1X （万元），根据市场分析，1X 的分布列为： X1 12 11.8 11.7 P 612131投资B 项目100万元，一年后获得的利润2X (万元)与B 项目产品价格的调整(价格上调或下调)有关, 已知B 项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，且在每次调整中价格下调的概率都是)10( p p .20．（本小题满分12分）如图椭圆134:22 y x C 的右顶点是A ，上下两个顶点分别为D B ,，四边形OANB 是矩形（O 为原点），点M E ,分别为线段AN OA ,的中点．F EDCBA（Ⅰ）证明：直线DE 与直线BM 的交点 在椭圆C 上；（Ⅱ）若过点E 的直线交椭圆于S R ,两点，K 为R 关于x 轴的对称点（E K R ,,不共线）， 问：直线KS 是否经过x 轴上一定点，如果是， 求这个定点的坐标，如果不是，说明理由． 21．（本小题满分12分）设函数a ae x x f x)1ln()(，R a ． （Ⅰ）当1 a 时，证明)(x f 在),0( 是增函数； （Ⅱ）若),0[ x ，0)( x f ，求a 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本小题满分10分） 选修4—1；几何证明选讲．如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，BC 与AD 的延长线交于点E ，点F 在BA 的延长线上．（Ⅰ）若21,31EA ED EB EC ，求AB DC的值；（Ⅱ）若FB FA EF 2，证明：CD EF //．23.（本小题满分10分）选修4—4;坐标系与参数方程．在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为sin cos b y a x （0 b a ， 为参数），在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线1C 上的点)23,1(M 对应的参数3 ，射线3 与曲线2C 交于点)3,1(D ．（I ）求曲线1C ，2C 的方程；（II ）若点),(1 A ，)2,(2B 在曲线1C 上，求222111的值．24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲． 设不等式1|12| x 的解集是M ，M b a ,． （I ）试比较1 ab 与b a 的大小；（II ）设max 表示数集A 的最大数．b ab ba a h 2,,2max 22,求证：2 h ．答案参考：一、1. C 2.A 3.A 4.C 5.D 6.B 7.D 8.A 9.B 10.D 11.B 12.C 二、13. x2-y2/3=1; 14 .0; 15. 6; 16. 16π 三、选甲：示意图1图1 ----------4分在BCD △中，πCBD ．由正弦定理得sin sin BC CDBDC CBD．所以sin sin sin sin()CD BDC s BC CBD·．在ABC Rt 中，)sin(sin tan tans ACB BC AB ．---------12分选乙：图2图2----------4分在AEF 中， EAF ，由正弦定理得sin )sin(AFEF，所以)sin(sin )sin(sins EF AF ．在ABF Rt 中，)sin(sin sin sins AF AB ．---------12分由直线AE 与直线CD 所成角为60，得60cos |||| ，即3222a aa ，解得1 a ．∴)1,1,0( ，)0,21,23(CA ，)1,1,0( ，设平面ACE 的一个法向量为),,(z y x n ，则n n ，即 002123z y y x ，取,3x 则3,3 z y ，得)3,3,3(n ，设BE 与平面ACE 所成角为 ，则742sin，于是BE 与平面ACE 所成角的正弦值为742．---------12分19．（本小题满分12分） 【解析】（Ⅰ）1X 的概率分布为则8.11317.11218.116112)(1X E .01.031)8.117.11(21)8.118.11(61)8.1112()(2221 X D .---------4分（Ⅱ）解法1: 由题设得),2(~p B X ,则X 的概率分布为故2X 的概率分布为---------8分 解法2: 设iA 表示事件”第i 次调整,价格下调”()2,1 i ,则)0( X P = 212()()(1)P A P A p ;)1( X P =1212()()()()2(1)P A P A P A P A p p ;)2( X P =212()()P A P A p故2X 的概率分布为（Ⅲ）当3.0 p 时. 8.11)()(12 X E X E ,由于01.0)(1 X D . 555.9)(2 X D .所以)()(12X D X D ,当投资两个项目的利润均值相同的情况下,投资B 项目的风险高于A 项目.从获得稳定收益考虑, 当3.0 p 时应投资A 项目. ---------12分20．（本小题满分12分）解：（1）由题意，得)23,2(),0,1(),3,0(),3,0(),0,2(M E D B A ，所以直线DE 的方程33 x y ，直线BM 的方程为343 x y ，------2分由 34333x y x y ，得 53358y x ， 所以直线DE 与直线BM 的交点坐标为)533,58(，---------------4分因为13)533(4)58(22 ，所以点)533,58(在椭圆134:22 y x C 上．---------6分（2）设RS 的方程为)1( x k y ，代入134:22 y x C ，得01248)43(2222 k x k x k ， 设),(),,(2211y x S y x R ，则),(11y x K ，2221222143124,438k k x x k k x x ， 直线SK 的方程为)(212122x x x x y y y y ，令,0 y 得121221y y x y x y x，将)1(11 x k y ，)1(22 x k y 代入上式得（9设42)(2212121 x x x x x x x ，所以直线SK 经过x 轴上的点)0,4(．---------12分21．（本小题满分12分）解：（1）)1()1(11)('x e x a e e a x x f x x x ，当1 a 时, )1()1()('x e x e x f x x , ---------2分令x e x g x 1)(，则1)(' x e x g ，当),0( x 时，01)(' x e x g ，所以)(x g 在),0( 为增函数，因此),0( x 时，0)0()( g x g ，所以当),0( x 时，0)(' x f ，则)(x f 在),0( 是增函数. ---------6分(2)由)1()1()('x e x a e x f x x ,由(1)知,,1x e x 当且仅当0 x 等号成立. 故)1()1)(1()1()1(1)('x e x a x e x a x x f x x ,从而当01 a ,即1 a 时,对),0[ x ,0)(' x f ,于是对),0[ x 0)0()( f x f .由),0(1 x x e x 得)0(1 x x e x ,从而当1 a 时,)1())(()1(2)1()(22222'x e a a a e a a a e x e a ae e x e a ae a e x f x x x x x x x x x 故当))ln(,0(2a a a x 时,0)(' x f , 于是当))ln(,0(2a a a x 时,0)0()( f x f , 综上, a 的取值范围是]1,( .---------12分请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本小题满分10分） 选修4—1；几何证明选讲．FE D CBA证明：（1） D C B A ,,,四点共圆，EBF EDC ，又 AEB CED ，CED ∽AEB ，AB DC EB ED EA EC， 21,31 EA ED EB EC ， 66 ABDC ． （2） FB FA EF 2，FE FBFA EF ，又 BFE EFA ，FAE ∽FEB ，EBF FEA ，又 D C B A ,,,四点共圆，EBF EDC ，EDC FEA ，CD EF //.23.（本小题满分10分）选修4—4;坐标系与参数方程．解：（I ）将)23,1(M 及对应的参数3 ，代入 sin cos b y a x ，得 3sin 233cos 1b a ，即 12b a ，所以曲线1C 的方程为 sin cos 2y x （ 为参数），或1422 y x .设圆2C 的半径为R ,由题意,圆2C 的方程为 cos 2R ,(或222)(R y R x ). 将点)3,1(D 代入 cos 2R , 得3cos 21R ,即1 R .(或由)3,1( D ,得)23,21(D ,代入222)(R y R x ,得1 R ),所以曲线2C 的方程为 cos 2 ,或1)1(22 y x .（II）因为点),(1A，)2,(2B在在曲线1C上,所以1sin4cos221221,1cos4sin222222,所以45)cos4sin()sin4cos(1122222221.。

（八）幂函数与函数的图像 33.4．[2014·福建卷] 若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图1-1所示，则下列函数图像正确的是( )图1-1A BC D图1-234.10．[2014·湖北卷] 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)．若∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤－16，16B.⎣⎡⎦⎤－66，66C.⎣⎡⎦⎤－13，13D.⎣⎡⎦⎤－33，33 35.8．[2014·山东卷] 已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx ，若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A. ⎝⎛⎭⎫0，12B. ⎝⎛⎭⎫12，1 C. (1，2) D. (2，＋∞) 36.7．[2014·浙江卷] 在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x >0)，g (x )＝log a x 的图像可能是( )（九） 函数与方程37.10．[2014·湖南卷] 已知函数f (x )＝x 2＋e x －12(x <0)与g (x )＝x 2＋ln(x ＋a )的图像上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，1e) B ．(－∞，e)C.⎝⎛⎭⎫－1e ，e D.⎝⎛⎭⎫－e ，1e38.14．[2014·天津卷] 已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R .若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________．39.6．[2014·浙江卷] 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0<f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( )A ．c ≤3B ．3<c ≤6C ．6<c ≤9D ．c >9（十） 函数模型及其应用 40.8．[2014·湖南卷] 某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.p ＋q 2B.（p ＋1）（q ＋1）－12C.pqD.（p ＋1）（q ＋1）－141.10．[2014·陕西卷] 如图1-2，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为 ( )图1-2A ．y ＝1125x 3－35xB ．y ＝2125x 3－45xC ．y ＝3125x 3－xD ．y ＝－3125x 3＋15x（十一） 导数及其运算 42.18．[2014·安徽卷] 设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a ＞0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0，1]时 ，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值．43.21．[2014·安徽卷] 设实数c ＞0，整数p ＞1，n ∈N *. (1)证明：当x ＞－1且x ≠0时，(1＋x )p ＞1＋px ；(2)数列{a n }满足a 1＞c 1p ，a n ＋1＝p －1p a n ＋c p a 1－p n ，证明：a n ＞a n ＋1＞c 1p.44.20．[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝e x －ax (a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数f (x )的极值； (2)证明：当x >0时，x 2<e x ；(3)证明：对任意给定的正数c ，总存在x 0，使得当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x .45.10．[2014·广东卷] 曲线y ＝e －5x ＋2在点(0，3)处的切线方程为________．46.13．[2014·江西卷] 若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．47.18．[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝(x 2＋bx ＋b )1－2x (b ∈R )． (1)当b ＝4时，求f (x )的极值；(2)若f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，13上单调递增，求b 的取值范围．48.7．[2014·全国卷] 曲线y ＝x e x －1在点(1，1)处切线的斜率等于( ) A ．2e B ．e C ．2 D ．1 49.8．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3 50.21．[2014·陕西卷] 设函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝xf ′(x )，x ≥0，其中f ′(x )是f (x )的导函数．(1)令g 1(x )＝g (x )，g n ＋1(x )＝g (g n (x ))，n ∈N ＋，求g n (x )的表达式；(2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3)设n∈N＋，比较g(1)＋g(2)＋…＋g(n)与n－f(n)的大小，并加以证明．51.19．[2014·四川卷]设等差数列{a n}的公差为d，点(a n，b n)在函数f(x)＝2x的图像上(n∈N*)．(1)若a1＝－2，点(a8，4b7)在函数f(x)的图像上，求数列{a n}的前n项和S n；(2)若a1＝1，函数f(x)的图像在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－1ln 2，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n的前n项和T n.（十二）导数的应用52.21．[2014·四川卷]已知函数f(x)＝e x－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0，1]上的最小值；(2)若f(1)＝0，函数f(x)在区间(0，1)内有零点，求a的取值范围．53.18．[2014·安徽卷] 设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a＞0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x∈[0，1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．答案提示：(八) 幂函数与函数的图像33. B [解析] 由函数y ＝log a x 的图像过点(3，1)，得a ＝3.选项A 中的函数为y ＝⎝⎛⎭⎫13x，则其函数图像不正确；选项B 中的函数为y ＝x 3，则其函数图像正确；选项C 中的函数为y ＝(－x )3，则其函数图像不正确；选项D 中的函数为y ＝log 3(－x )，则其函数图像不正确．因此，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f (x )在R 上的大致图象如下，观察图象可知，要使∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则需满足2a 2－(－4a 2)≤1，解得－66≤a ≤66.故选B.35.8．B [解析] 画出函数f (x )的图像，如图所示．若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实数，则函数f (x )，g (x )有两个交点，则k ＞12，且k ＜1.故选B.36. [2014·浙江卷]7．D [解析] 只有选项D 符合，此时0<a <1，幂函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且当x ∈(0，1)时，f (x )的图像在直线y ＝x 的上方，对数函数g (x )在(0，＋∞)上为减函数，故选D.(九) 函数与方程 37.10．B [解析] 依题意，设存在P (－m ，n )在f (x )的图像上，则Q (m ，n )在g (x )的图像上，则有m 2＋e －m －12＝m 2＋ln(m ＋a )，解得m ＋a ＝ee －m －12，即a ＝ee －m －12－m (m ＞0)，可得a ∈(－∞，e)．38．[解析] 14．(0，1)∪(9，＋∞) 在同一坐标系内分别作出y ＝f (x )与y ＝a |x －1|的图像如图所示．当y ＝a |x －1|与y ＝f (x )的图像相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧－ax ＋a ＝－x 2－3x ，a >0，整理得x 2＋(3－39． [2014·浙江卷] .6．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0<f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( )A ．c ≤3B ．3<c ≤6C ．6<c ≤9D ．c >96．C [解析] 由f (－1)＝f (－2)＝f (－3)得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ，－8＋4a －2b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ⇒⎩⎪⎨⎪⎧－7＋3a －b ＝0，19－5a ＋b ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝11，则f (x )＝x 3＋6x 2＋11x ＋c ，而0<f (－1)≤3，故0<－6＋c ≤3， ∴6<c ≤9，故选C.（十）函数模型及其应用40.[解析] 8．D 设年平均增长率为x ，则有(1＋p )(1＋q )＝(1＋x )2，解得x ＝（1＋p ）（1＋q ）－1. 41. [2014·陕西卷] 9. 如图1-2，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为 ( )图1-2A ．y ＝1125x 3－35xB ．y ＝2125x 3－45xC ．y ＝3125x 3－xD ．y ＝－3125x 3＋15x10．A [解析] 设该三次函数的解析式为y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d .因为函数的图像经过点(0，0)，所以d ＝0，所以y ＝ax 3＋bx 2＋cx .又函数过点(－5，2)，(5，－2)，则该函数是奇函数，故b ＝0，所以y ＝ax 3＋cx ，代入点(－5，2)得－125a －5c ＝2.又由该函数的图像在点(－5，2)处的切线平行于x 轴，y ′＝3ax 2＋c ，得当x ＝－5时，y ′＝75a ＋c ＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧－125a －5c ＝2，75a ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1125，c ＝－35.故该三次函数的解析式为y ＝1125x 3－35x .(十一) 导数及其运算 42. [2014·安徽卷] 18． 设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a ＞0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0，1]时 ，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值． 18．解： (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)， f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2.令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a3，x 2＝－1＋4＋3a 3，x 1<x 2，所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)． 当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )<0； 当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1－4＋3a 3和 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋4＋3a 3，＋∞内单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫－1－4＋3a 3，－1＋4＋3a 3内单调递增．(2)因为a >0，所以x 1<0，x 2>0，①当a ≥4时，x 2≥1.由(1)知，f (x )在[0，1]上单调递增，所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值．②当0<a <4时，x 2<1.由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2，1]上单调递减， 所以f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0<a <1时，f (x )在x ＝1处取得最小值；当a ＝1时，f (x )在x ＝0和x ＝1处同时取得最小值； 当1<a <4时，f (x )在x ＝0处取得最小值． 43. [2014·安徽卷] 21． 设实数c ＞0，整数p ＞1，n ∈N *. (1)证明：当x ＞－1且x ≠0时，(1＋x )p ＞1＋px ；(2)数列{a n }满足a 1＞c 1p ，a n ＋1＝p －1p a n ＋c p a 1－p n ，证明：a n ＞a n ＋1＞c 1p. 21．证明：(1)用数学归纳法证明如下．①当p ＝2时，(1＋x )2＝1＋2x ＋x 2>1＋2x ，原不等式成立． ②假设p ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式(1＋x )k >1＋kx 成立．当p ＝k ＋1时，(1＋x )k ＋1＝(1＋x )(1＋x )k >(1＋x )(1＋kx )＝1＋(k ＋1)x ＋kx 2>1＋(k ＋1)x . 所以当p ＝k ＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，当x >－1，x ≠0时，对一切整数p >1，不等式(1＋x )p >1＋px 均成立． (2)方法一：先用数学归纳法证明a n >c 1p .①当n ＝1时，由题设知a 1>c 1p成立．由a k >c 1p >0得－1<－1p <1p ⎝⎛⎭⎫c a p k－1<0. 由(1)中的结论得⎝⎛⎭⎫a k ＋1a k p＝⎣⎡⎦⎤1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p k －1p>1＋p · 1p ⎝⎛⎭⎫c a p k －1＝c a p k . 因此a p k ＋1>c ，即a k ＋1>c 1p， 所以当n ＝k ＋1时，不等式a n >c 1p也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式a n >c 1p 均成立．再由a n ＋1a n ＝1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p n －1可得a n ＋1a n<1，即a n ＋1<a n .综上所述，a n >a n ＋1>c 1p，n ∈N *.方法二：设f (x )＝p －1p x ＋c p x 1－p ，x ≥c 1p ，则x p ≥c ，所以f ′(x )＝p －1p ＋c p (1－p )x －p ＝p －1p ⎝⎛⎭⎫1－c x p >0. 由此可得，f (x )在[c 1p ，＋∞)上单调递增，因而，当x >c 1p 时，f (x )>f (c 1p )＝c 1p .①当n ＝1时，由a 1>c 1p>0，即a p 1>c 可知 a 2＝p －1p a 1＋c p a 1－p 1＝a 1⎣⎡⎦⎤1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p 1－1<a 1，并且a 2＝f (a 1)>c 1p ，从而可得a 1>a 2>c 1p ， 故当n ＝1时，不等式a n >a n ＋1>c 1p成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式a k >a k ＋1>c 1p 成立，则当n ＝k ＋1时，f (a k )>f (a k ＋1)>f (c 1p )，即有a k ＋1>a k ＋2>c 1p，所以当n ＝k ＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式a n >a n ＋1>c 1p均成立．44. [2014·福建卷] 20．已知函数f (x )＝e x －ax (a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数f (x )的极值； (2)证明：当x >0时，x 2<e x ；(3)证明：对任意给定的正数c ，总存在x 0，使得当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x . 20．解：方法一：(1)由f (x )＝e x －ax ，得f ′(x )＝e x －a . 又f ′(0)＝1－a ＝－1，得a ＝2. 所以f (x )＝e x －2x ，f ′(x )＝e x －2. 令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2.当x <ln 2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x >ln 2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 所以当x ＝ln 2时，f (x )取得极小值，且极小值为f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＝2－ln 4， f (x )无极大值．(2)证明：令g (x )＝e x －x 2，则g ′(x )＝e x －2x . 由(1)得，g ′(x )＝f (x )≥f (ln 2)＝2－ln 4>0， 故g (x )在R 上单调递增，又g (0)＝1>0， 所以当x >0时，g (x )>g (0)>0，即x 2<e x .(3)证明：①若c ≥1，则e x ≤c e x .又由(2)知，当x >0时，x 2<e x . 故当x >0时，x 2<c e x .取x 0＝0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x .②若0<c <1，令k ＝1c >1，要使不等式x 2<c e x 成立，只要e x >kx 2成立．而要使e x >kx 2成立，则只要x >ln(kx 2)，只要x >2ln x ＋ln k 成立． 令h (x )＝x －2ln x －ln k ，则h ′(x )＝1－2x ＝x －2x .所以当x >2时，h ′(x )>0，h (x )在(2，＋∞)内单调递增．取x 0＝16k >16，所以h (x )在(x 0，＋∞)内单调递增．(2)同方法一．(3)对任意给定的正数c ，取x 0＝4c， 由(2)知，当x >0时，e x>x 2，所以e x＝e x 2·e x 2>⎝⎛⎭⎫x 22·⎝⎛⎭⎫x 22，当x >x 0时，e x>⎝⎛⎭⎫x 22⎝⎛⎭⎫x 22>4c ⎝⎛⎭⎫x 22＝1c x 2，因此，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x . 方法三：(1)同方法一． (2)同方法一．(3)首先证明当x ∈(0，＋∞)时，恒有13x 3<e x .证明如下：令h (x )＝13x 3－e x ，则h ′(x )＝x 2－e x .由(2)知，当x >0时，x 2<e x ，从而h ′(x )<0，h (x )在(0，＋∞)上单调递减， 所以h (x )<h (0)＝－1<0，即13x 3<e x .取x 0＝3c ，当x >x 0时，有1c x 2<13x 3<e x .因此，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x .45. [2014·广东卷] 10．曲线y ＝e －5x ＋2在点(0，3)处的切线方程为________． 10．y ＝－5x ＋3 [解析] 本题考查导数的几何意义以及切线方程的求解方法．因为y ′＝－5e －5x ，所以切线的斜率k ＝－5e 0＝－5，所以切线方程是：y －3＝－5(x －0)，即y ＝－5x ＋3.46. [2014·江西卷] 13． 若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．13．(－ln 2，2) [解析] 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，y ′＝－e －x .又切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，所以－e －x 0＝－2，可得x 0＝－ln 2，此时y ＝2，所以点P 的坐标为(－ln 2，2)．47. [2014·江西卷] 18．已知函数f (x )＝(x 2＋bx ＋b )1－2x (b ∈R )．(1)当b ＝4时，求f (x )的极值；(2)若f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，13上单调递增，求b 的取值范围． 18．解：(1)当b ＝4时，f ′(x )＝－5x （x ＋2）1－2x，由f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝0.所以当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(－2，0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，故f (x )在x ＝－2处取得极小值f (－2)＝0，在x ＝0处取得极大值f (0)＝4.(2)f ′(x )＝－x [5x ＋（3b －2）]1－2x ，易知当x ∈⎝⎛⎭⎫0，13时，－x1－2x<0， 依题意当x ∈⎝⎛⎭⎫0，13时，有5x ＋(3b －2)≤0，从而53＋(3b －2)≤0，得b ≤19. 所以b 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，19. 48. [2014·全国卷] 7．曲线y ＝x e x －1在点(1，1)处切线的斜率等于( )A ．2eB ．eC ．2D ．17．C [解析] 因为y ′＝(x e x －1)′＝e x －1＋x e x －1，所以y ＝x e x －1在点(1，1)处的导数是y ′|x ＝1＝e 1－1＋e 1－1＝2，故曲线y ＝x e x －1在点(1，1)处的切线斜率是2.49. [2014·新课标全国卷Ⅱ] 8．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．38．D [解析] y ′＝a －1x ＋1，根据已知得，当x ＝0时，y ′＝2，代入解得a ＝3.50. [2014·陕西卷] 21． 设函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝xf ′(x )，x ≥0，其中f ′(x )是f (x )的导函数．(1)令g 1(x )＝g (x )，g n ＋1(x )＝g (g n (x ))，n ∈N ＋，求g n (x )的表达式； (2)若f (x )≥ag (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(3)设n ∈N ＋，比较g (1)＋g (2)＋…＋g (n )与n －f (n )的大小，并加以证明．21．解：由题设得，g (x )＝x1＋x(x ≥0)．(1)由已知，g 1(x )＝x 1＋x ，g 2(x )＝g (g 1(x ))＝x 1＋x 1＋x 1＋x＝x1＋2x ，那么，当n ＝k ＋1时，g k ＋1(x )＝g (g k (x ))＝g k （x ）1＋g k （x ）＝x 1＋kx 1＋x 1＋kx ＝x1＋（k ＋1）x ，即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N ＋成立．(2)已知f (x )≥ag (x )恒成立，即ln(1＋x )≥ax1＋x恒成立． 设φ(x )＝ln(1＋x )－ax1＋x (x ≥0)，则φ′(x )＝11＋x －a（1＋x ）2＝x ＋1－a （1＋x ）2， 当a ≤1时，φ′(x )≥0(仅当x ＝0，a ＝1时等号成立)，∴φ(x )在[0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0，∴φ(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立， ∴a ≤1时，ln(1＋x )≥ax1＋x 恒成立(仅当x ＝0时等号成立)．当a >1时，对x ∈(0，a －1]有φ′(x )<0，∴φ(x )在(0，a －1]上单调递减，∴φ(a －1)<φ(0)＝0. 即a >1时，存在x >0，使φ(x )<0，故知ln(1＋x )≥ax1＋x不恒成立． 综上可知，a 的取值范围是(－∞，1]．(3)由题设知g (1)＋g (2)＋…＋g (n )＝12＋23＋…＋nn ＋1，比较结果为g (1)＋g (2)＋…＋g (n )>n －ln(n ＋1)．证明如下：方法一：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x1＋x，x >0. 令x ＝1n ，n ∈N ＋，则1n ＋1<ln n ＋1n .下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，12<ln 2，结论成立．②假设当n ＝k 时结论成立，即12＋13＋…＋1k ＋1<ln(k ＋1)．那么，当n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋1k ＋1＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋ln k ＋2k ＋1＝ln(k ＋2)，即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N ＋成立．方法二：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x1＋x，x >0.令x ＝1n ，n ∈N ＋，则ln n ＋1n >1n ＋1.故有ln 2－ln 1>12，ln 3－ln 2>13，……ln(n ＋1)－ln n >1n ＋1，上述各式相加可得ln(n ＋1)>12＋13＋…＋1n ＋1，结论得证．方法三：如图，⎠⎛0nx x ＋1d x 是由曲线y ＝x x ＋1，x ＝n 及x 轴所围成的曲边梯形的面积，51.[2014·四川卷] .19．设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图像上(n ∈N *)．(1)若a 1＝－2，点(a 8，4b 7)在函数f (x )的图像上，求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)若a 1＝1，函数f (x )的图像在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 的前n 项和T n .19．解：(1)由已知得，b 7＝2a 7，b 8＝2a 8＝4b 7，所以 2a 8＝4×2a 7＝2a 7＋2，解得d ＝a 8－a 7＝2，所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－2n ＋n (n －1)＝n 2－3n .(2)函数f (x )＝2x 在点(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)， 其在x 轴上的截距为a 2－1ln 2.由题意有a 2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a 2＝2.所以d ＝a 2－a 1＝1.从而a n ＝n ，b n ＝2n ，所以数列{a n b n }的通项公式为a n b n ＝n2n ，所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ，2T n ＝11＋22＋322＋…＋n2n －1，因此，2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝2－12n －1－n 2n ＝2n ＋1－n －22n .所以，T n ＝2n ＋1－n －22n.（十二） 导数的应用 52. [2014·四川卷] 21． 已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0，1]上的最小值； (2)若f (1)＝0，函数f (x )在区间(0，1)内有零点，求a 的取值范围． 21．解：(1)由f (x )＝e x －ax 2－bx －1，得g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b . 所以g ′(x )＝e x －2a .当x ∈[0，1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]．当a ≤12时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0，1]上单调递增，因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ；于是，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b .综上所述，当a ≤12时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当12<a <e2时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ； 当a ≥e2时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b .(2)设x 0为f (x )在区间(0，1)内的一个零点，则由f (0)＝f (x 0)＝0可知，f (x )在区间(0，x 0)上不可能单调递增，也不可能单调递减． 则g (x )不可能恒为正，也不可能恒为负． 故g (x )在区间(0，x 0)内存在零点x 1. 同理g (x )在区间(x 0，1)内存在零点x 2. 故g (x )在区间(0，1)内至少有两个零点．由(1)知，当a ≤12时，g (x )在[0，1]上单调递增，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点；当a ≥e2时，g (x )在[0，1]上单调递减，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意．所以12<a <e 2.此时g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增． 因此x 1∈(0，ln(2a )]，x 2∈(ln(2a )，1)，必有g (0)＝1－b >0，g (1)＝e －2a －b >0.由f (1)＝0得a ＋b ＝e －1<2， 则g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0，解得e －2<a <1. 当e －2<a <1时，g (x )在区间[0，1]内有最小值g (ln(2a ))． 若g (ln(2a ))≥0，则g (x )≥0(x ∈[0，1])，从而f (x )在区间[0，1]内单调递增，这与f (0)＝f (1)＝0矛盾，所以g (ln(2a ))<0. 又g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0.故此时g (x )在(0，ln(2a ))和(ln(2a )，1)内各只有一个零点x 1和x 2.由此可知f (x )在[0，x 1]上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在[x 2，1]上单调递增． 所以f (x 1)>f (0)＝0，f (x 2)<f (1)＝0，故f (x )在(x 1，x 2)内有零点． 综上可知，a 的取值范围是(e －2，1)． 53. [2014·安徽卷] 18．设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a ＞0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0，1]时 ，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值． 18．解： (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)， f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2.令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a3，x 2＝－1＋4＋3a 3，x 1<x 2，所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)． 当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )<0； 当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1－4＋3a 3和 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋4＋3a 3，＋∞内单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫－1－4＋3a 3，－1＋4＋3a 3内单调递增．(2)因为a >0，所以x 1<0，x 2>0，①当a ≥4时，x 2≥1.由(1)知，f (x )在[0，1]上单调递增，所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值．。

吉林省东北师范大学附属中学2015届高三数学第一轮高考总复习阶段测试卷（第25周）理说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟.注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己姓名、考号、考试科目用2B铅笔涂写在答题卡上. 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.3．将第Ⅰ卷选择题的答案涂在答题卡上，第Ⅱ卷每题的答案写在答题纸的指定位置. 4．考试结束，将答题纸和答题卡一并交回，答案写在试卷上视为无效答案.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本题共有12小题，每小题5分, 共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. （）A. B. C. D.2. 已知集合，集合，以下命题正确的个数是（）①②③都有④都有A.4B. 3C. 2D. 13. 已知的取值如下表所示：2 3 45 4 6如果与呈线性相关，且线性回归方程为，则（）A. B. C. D.4. 已知中，，则（）A. B. C. D.5. 若，，则（）A.,B.,C.,D.,6. 已知等差数列的公差为2，成等比数列, 则=（）A. –4B. –6C.–8D.–107. 函数的部分图象如图所示，则函数表达式为（）A.B.C.D.8. 已知函数的最小正周期是8，且对一切实数成立，则（）A.是偶函数不是奇函数B.是奇函数不是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.不是奇函数，也不是偶函数9. 已知正方体的棱长为2，则四面体在平面上的正投影的面积为（）A. 4B. 3C. 2D. 110. 已知数列是等差数列，，则数列的前项和等于（）A. B. C. D.11. 实数，满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.12. 以双曲线的焦点为圆心，实半轴长为半径的圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本题共4小题, 每小题5分, 共20分）13. 已知抛物线，O为坐标原点，过抛物线的焦点，倾斜角为的直线，交抛物线于两点，则的面积为.14. 如图，已知底面半径为的圆柱被一个平面所截，剩下部分的母线长的最大值为，最小值为，那么圆柱被截后剩下部分的体积是.15. 从8名候选人中选出3人参加A，B，C三项活动，其中甲不得参加A项活动，则不同的选派方法有_________________种.16. 过一定点的互相垂直的两条直线与圆锥曲线分别交于点A、B和C、D，如果线段AB的中点的横坐标为(为直线的斜率)，则线段CD的中点的横坐标为.三、解答题（本题共6小题, 共70分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．(本小题满分12分)在△ABC中角A、B、C的对边分别为、、，设向量，，且，.（1）求证：△是直角三角形；（2）求的取值范围.18．(本小题满分12分)如图，是某市1000户居民月平均用电量的频率分布直方图，（1）如果当地政府希望以上的居民每月的用电量不超出标准，这个标准为多少时比较适当？（2）计算这1000户居民月用电量的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；（3）有关部门为了制定居民月用电量标准，采用分层抽样的方法从1000户居民中抽取50户参加听证会，并且要在这已经确定的50人中随机确定两人做中心发言，求这两人分别来自用电量区间和的概率.19．(本小题满分12分)已知直三棱柱中，△为等腰直角三角形，∠＝90°，且＝，、、分别为、、的中点，（1）求证：∥平面；（2）求证：⊥平面；（3）求二面角的余弦值.20．(本小题满分12分)已知函数，（1）当时，求该函数的定义域和值域；（2）如果在区间上恒成立，求实数的取值范围.21．(本小题满分12分)已知线段，的中点为，动点满足（为正常数）．（1）建立适当的直角坐标系，求动点所在的曲线方程；（2）若存在点，使，试求的取值范围；（3）若，动点满足，且，试求面积的最大值和最小值．请在下面三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，是圆的切线，切点为，过的中点作割线交圆于和，求证：.23．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程已知圆(为参数)和直线(其中为参数，为直线的倾斜角)，如果直线与圆有公共点，求的取值范围.24．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲解不等式.答案提示：一、选择题（本题共有12小题，每小题5分, 共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C B A D B A A D B D D 二、填空题（本题共4小题, 每小题5分, 共20分）13．14. 15. 294 16.三、解答题（本题共6小题, 共70分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. (本小题满分12分)解：(1)解法一：因为所以，由正弦定理，得，即又且，所以即，因此△ABC是直角三角形.解法二：因为所以，由余弦定理，得整理得，因为所以，所以因此△ABC是直角三角形.(2)=，且，因此的取值范围是18. (本小题满分12分)解：(1)月用电量在100以上的居民所占的比例为，的居民月用电量在100以下，因此，居民月用电量标准定为100比较适当.(2)居民月用电量的平均值为：(3)19. (本小题满分12分)解：解法一：(1)连接A1B、A1E，并延长A1E交AC的延长线于点P，连接BP.由E为C1C的中点，A1C1∥CP 可证A1E＝EP∵D、E是A1B、A1P的中点，∴DE∥BP又∵BP平面ABC，DE平面ABC，∴DE∥平面ABC（2）∵△ABC为等腰直角三角形，F为BC的中点∴BC⊥AF，又∵B1B⊥平面ABC，由三垂线定理可证B1F⊥AF，设＝，则∴，∵(3) 过F做FM⊥AE于点M，连接B1M∵B1F⊥平面AEF，由三垂线定理可证B1M⊥AE∴∠B1MF为二面角B1—AE—F的平面角C1C⊥平面ABC，AF⊥FC，由三垂线定理可证EF⊥AF在Rt△AEF中，可求在Rt△B1FM中，∠B1FM＝90°，∴∴二面角B1—AE—F的余弦值为解法二：如图建立空间直角坐标系O—xyz令AB＝AA1＝4，则A（0，0，0），E（0，4，2），F（2，2，0），B（4，0，0），B1（4，0，4）2分（I）设G是AB的中点，连结DG，则DG平行且等于EC所以四边形DECG是平行四边形，所以DE//GC，从而DE∥平面ABC.（II）∴∴∵（III）平面AEF的法向量为，设平面B1AE的法向量为即令x＝2，则∴∴二面角B1—AE—F的余弦值为20. (本小题满分12分)解：(1) 当时，令，解得所以函数的定义域为.令，则所以因此函数的值域为(2) 解法一：在区间上恒成立等价于在区间上恒成立令当时，，所以满足题意.当时，是二次函数，对称轴为，当时，，函数在区间上是增函数，，解得；当时，，，解得当时，，，解得综上，的取值范围是解法二：在区间上恒成立等价于在区间上恒成立由且时，，得令，则所以在区间上是增函数，所以因此的取值范围是.21. (本小题满分12分)解：（1）以为圆心，所在直线为轴建立平面直角坐标系若，即，动点所在的曲线不存在；若，即，动点所在的曲线方程为；若，即，动点所在的曲线方程为. （2）解法一：假设存在点，根据题意，以焦距为直径的圆与椭圆有公共点，因此，，解得：解法二：假设存在点，使，则由，得所以，，解得(3)当时，其曲线方程为椭圆由条件知两点均在椭圆上，且设，，的斜率为，则的方程为，的方程为解方程组得，同理可求得，面积=令则令所以，即当时，可求得,故，故的最小值为，最大值为1.22．(本小题满分10分)（选修4-1：几何证明选讲）是题产证明：因为且所以，即因为所以因此，23．(本小题满分10分)（选修4-4：坐标系与参数方程）解：圆的普通方程为：将直线的参数方程代入圆普通方程，得关于的一元二次方程有解所以或因为所以。