巧用仿射变换解决椭圆相关问题的调查与实践

仿射变换在椭圆中的应用—以2道高考试题为例发布时间：2021-08-18T10:53:56.857Z 来源：《教学与研究》2021年11期作者：马慧燕李三平[导读] 椭圆是高中圆锥曲线中的主要内容之一，在高中数学中占据重要的地位，同时也是高考的重要考点以及学生学习的重难点。

马慧燕李三平陕西师范大学数学与统计学院西安 710062摘要：椭圆是高中圆锥曲线中的主要内容之一，在高中数学中占据重要的地位，同时也是高考的重要考点以及学生学习的重难点。

本文主要通过仿射变换，来解决与椭圆相关直线斜率、面积等问题，发现应用仿射变换比常规的解析几何方法运算更加简便，最重要的是可以大大减少运算量，这为学生在考试或高考中，节省了一定的时间。

关键词：仿射变换高考椭圆应用1.仿射变换的定义[1]如果平面上的一个点变换，把共线的任意三点变成共线的三点，并且保持三点的单比不变，则可以称该点变换为仿射变换。

仿射变换是几何学中一个基本的变换，图形在变换中保持许多不变的性质和不变量。

其中包括：同素性不变，即把直线变成直线、点变成点；平行不变性是把平行直线变成平行直线。

一般地，在仿射平面上，仿射变换的代数表达式为注：下面两个性质可以根据上述代数表达式进行相关证明，但为了后面能更好地将仿射变换应用到椭圆的具体事例中，故直接采用椭圆的代数仿射表达式进行相关的证明，以便于读者更直观的理解和应用。

2.仿射变换的性质[1]仿射变换在椭圆中的应用，主要涉及直线的斜率、图形的面积等，故下面的研究都是基于椭圆和直线，它们的方程分别为：2.1椭圆的仿射变换像是圆证明：由方程（2.1）可作如下的仿射变换x1=x/a,y1=y/b。

椭圆方程变为：x21+y21=1，该方程是坐标为原点，半径为1的单位圆。

因此，通过仿射变换可以将椭圆变换为圆，同理，也可以将圆通过仿射变换转化为椭圆，这也是本节为什么将椭圆和仿射变换结合的目的。

2.2直线在仿射变换后还是直线证明:由上述仿射变换将直线方程变为y1=ak/b x1+1，因为所做的变换是非退化的，所以a,b均不为0，故上述方程还是一个直线方程。

基于仿射变换的椭圆若干性质的研究
本文主要研究以仿射变换为基础的椭圆的性质，探讨其在图像处理、几何分析、结构数学等领域中的应用，以期深入理解其特性和潜力。

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仿射变换是一种用来将几何图形从一个空间移动到另一个空间的一种
变换方式。

因此，研究仿射变换下椭圆的若干性质是有必要的。

椭圆
是仿射变换下直线的曲线，它具有仿射性，当其中一系列参数改变时，它也将随之改变。

然而，椭圆也具有自身的具象属性，如长短轴比例、偏心率等，所以在仿射变换之后，这些特性也会产生影响。

此外，椭
圆的两个焦点的位置也会随着变换而改变，当椭圆受到压缩和拉伸等
转换时，也会改变其焦点的位置。

总之，基于仿射变换的椭圆若干性
质研究仍然是一个重要课题，它可以深入探究几何图形在空间移动过
程中的转变规律，从而为我们展示更完整的几何图形研究背景。

仿射变换在椭圆中的应用仿射变换在椭圆中的应用仿射变换是一种将图像在平面上进行旋转、伸缩、平移和斜切等操作。

在计算机视觉和图像处理中，仿射变换被广泛应用于图像的几何变换和纹理映射等方面。

而在椭圆方面，仿射变换也有着广泛的应用。

一、椭圆的表示椭圆通常用以下标准方程进行表示：aa2+aa2=1其中，a为椭圆长轴的一半，b为椭圆短轴的一半。

通常情况下，我们可以将椭圆沿着x轴旋转一个角度θ来表示，得到以下方程：(aaaaa+aaaaa)2a2+(−aaaaa+aaaaa)2a2=1二、椭圆的仿射变换对于椭圆的仿射变换，我们首先需要明确仿射变换的定义：仿射变换是指保持两条直线的交点和两线段比例不变的线性变换。

对于椭圆的仿射变换，我们可以通过将椭圆变换为单位圆，进行仿射变换后再变回原椭圆来实现。

例如，我们要将一椭圆沿着任意角度旋转，我们可以通过矩阵运算进行仿射变换，即：变换前：(aaaaa+aaaaa)2a2+(−aaaaa+aaaaa)2a2=1 变换后：[a′a′][a′a′]=a[aa]其中，M为2x2的矩阵，其表示旋转和缩放的变换，a’和b’为旋转后的长轴和短轴。

三、椭圆的应用1. 物体跟踪物体跟踪是指在视频中跟踪物体的位置和运动轨迹。

在物体跟踪中，椭圆被广泛应用于表示物体的位置和姿态。

通过椭圆的长轴和短轴可以确定物体的大小和方向，在跟踪过程中可以根据椭圆的变化来实时更新物体的位置和姿态。

2. 图像去畸变图像畸变是指图像在拍摄或扫描过程中由于光学等原因造成的形变。

对于图像去畸变，可以通过将畸变的图像拟合为椭圆，进行仿射变换后将图像变换为正常的图像。

这种方法被广泛应用于摄像机等设备中。

总之，仿射变换在椭圆中有着广泛的应用，可以用于物体跟踪、图像去畸变等方面。

在实际应用中，需要结合具体场景和问题进行变换及其参数的优化和调整，以达到最佳效果。

利用仿射变换可以解决许多初等几何问题，下面给出它在以下几个方面的应用。

平行投影平行投影是仿射变换中最基本、最简单的一类。

因此平行投影变换具有仿射变换中的一切性质。

解这类题的关键是选定平行投影方向，应用平行线段之比是仿射不变量。

例1 P 是ABC ∆内任一点，连结AP 、BP 、CP 并延长分别交对边于D 、E 、F 。

求证：1=++CFPFBE PE AD PD . [2]C图1证明：如图1，分别沿AB 和AC 方向作平行投影。

P →P '、P →P ''由仿射变换保简单比不变得，DC DP BD D P AD PD '''==，所以BCP P AD PD '''=， 同理 BC C P BE PE ''=，BCBP CF PF '=， 所以1''''''=++=++BCBP BC C P BC P P CF PF BE PE AD PD . 例2 一直线截三角形的边或其延长线,所得的顶点到分点和分点到顶点的有向线段的比的乘积等于﹣1，其逆也真。

（梅涅劳斯定理 ）[3]分析：如图2，本题要求证明当L 、M 、N 三点共线时，1-=⋅⋅NBANMA CM LC BL 。

其逆命题亦成立 。

NBAL'(L)A'C B AMMNA'L C图2（1）证明梅涅劳斯定理成立由于要证明的三条线段分别处在三条直线上，不便于问题的证明，为此应用平行投影将其集中到一条直线上，自然采用原三角形的一边最简便。

如图2(a)，以MN 为投影方向，将A 、N 、M 点平行投影到直线BC 上的A '、L 、L '点，则1''-=⋅⋅=⋅⋅LBL A LA CL LC BL NB AN MA CM LC BL .即原命题成立。

（2）证明逆命题成立证明当BC 、CA 、AB 上三点L 、M 、N 满足1-=⋅⋅NBANMA CM LC BL 时，则L 、M 、N 三点共线。

利用仿射变换把圆变成椭圆的例子标题：利用仿射变换将圆变成椭圆的例子摘要：此篇文章将介绍利用仿射变换将圆变成椭圆的例子。

我们将从概念及定义入手，逐步深入探讨仿射变换的原理，并通过具体的例子来展示其应用。

我们将总结仿射变换在几何变换中的重要性，并分享个人对此主题的观点和理解。

正文：1. 引言仿射变换是一种几何变换，在计算机图形学和计算机视觉等领域有着广泛的应用。

它可以通过改变平面上点的位置、旋转和缩放等方式，将一个几何图形转换成另一个图形，从而实现对图像的变形处理。

2. 什么是仿射变换仿射变换是指一类线性的几何变换，它保持平行关系和比例关系不变。

简单来说，它是由一个线性变换和一个平移变换组成的合成变换。

假设我们有一个平面上的点 (x, y)，经过仿射变换后，它将变成 (x',y')。

仿射变换可以用矩阵表示：```[x'] = [a b] [x] + [tx][y'] [c d] [y] [ty]```其中，a、b、c、d是线性变换的参数；tx、ty是平移变换的参数。

3. 仿射变换将圆变成椭圆的例子考虑一个以原点 O(0, 0) 为圆心、半径为 r 的圆。

现在我们希望将这个圆变成一个椭圆，即改变其形状。

我们需要找到一个仿射变换，使得圆上的点变换后仍然位于椭圆上。

假设仿射变换的矩阵表示为：```[x'] = [a b] [x] + [tx][y'] [c d] [y] [ty]```为了让变换后的点 (x', y') 位于椭圆上，我们需要满足以下条件：- 变换后的点 (x', y') 到原点 O(0, 0) 的距离与原点到圆心 O(0, 0) 的距离之比应该相等，即 |(x', y')| / r = |(x, y)| / r。

- 变换后的点 (x', y') 在相同的方向上离原点 O(0, 0) 的距离应该相等。

仿射变换在椭圆中的应用椭圆是数学中一种具有特殊形状的曲线，它在许多领域中都有广泛的应用。

而仿射变换是一种能够保持平行线性质的变换，它在几何学和图像处理中也有着重要的作用。

本文将探讨仿射变换在椭圆中的应用，并介绍其中的原理和实际应用。

我们来了解一下椭圆的基本性质。

椭圆是平面上到两个定点F1和F2距离之和为常数2a的点的轨迹。

其中，F1和F2称为椭圆的焦点，a称为椭圆的半长轴。

椭圆还具有对称性，其对称轴是连接两个焦点的直线。

椭圆的形状由半长轴a和半短轴b决定，其中b是使得椭圆到两个焦点距离之和为常数2a的点的轨迹。

在几何学中，我们常常需要对椭圆进行变换，以便更好地研究其性质。

而仿射变换正是其中一种常用的变换方法。

仿射变换可以保持直线的平行性质，因此可以将椭圆变换为其他形状的曲线，同时保持其重要的几何性质。

那么，如何进行仿射变换呢？在平面几何中，仿射变换可以通过矩阵乘法来表示。

具体地说，对于平面上的一个点(x,y)，其仿射变换可以表示为：x' = a*x + b*y + cy' = d*x + e*y + f其中，a、b、c、d、e、f是仿射变换的参数，它们决定了变换的具体效果。

通过调整这些参数，我们可以实现对椭圆的平移、旋转、缩放等变换操作。

接下来，我们将介绍仿射变换在椭圆中的具体应用。

首先是平移变换。

通过平移变换，我们可以将椭圆沿着平面上的任意方向移动一定的距离。

这在图形处理中非常有用，可以实现图像的平移和移动效果。

其次是旋转变换。

通过旋转变换，我们可以将椭圆绕着某个点旋转一定的角度。

这可以用于图像的旋转和扭曲效果，使得图像更具艺术效果。

仿射变换还可以用于椭圆的缩放和拉伸。

通过调整仿射变换的参数，我们可以改变椭圆的大小和形状，从而实现图像的缩放和形变效果。

仿射变换在椭圆中具有广泛的应用。

通过对椭圆进行平移、旋转、缩放等变换操作，我们可以改变椭圆的位置、形状和大小，从而实现各种图像处理效果。

仿射变换下一类椭圆问题的简单解法和椭圆相关的定点、定值、最值问题一直是高考的热点和重点．这类题目通常以压轴题的形式出现，并且由于计算量很大而具有很强的区分度．仿射变换可将椭圆转换为圆，而圆具有椭圆不具备的许多特殊性质，并且和圆有关的问题还可以借助初中平面几何知识解答，从而可以回避繁杂的计算，降低解题难度．因此，和椭圆相关的解析几何问题可以先转化为和圆相关的问题来研究，然后再回到椭圆中解决．本文给出仿射变换中的几个性质，再举若干例子展示其应用，旨在展示解题规律，揭示解题方法．以人教A版教材为例，课本在选修4-4中给出了坐标变换的概念：设P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点在坐标变换门x'=沾从>O,下，y =µy,µ> 0点P(x,y)的对应点为P'(x',y'),称中为平面直角坐标系中的伸缩变换．笔者发现，高中数学解题过程中，仿射变换常用到的性质主要包括以下四点[l]性质1A,B ,C三点在仿射变换下的对应点分别为A',B',c立若A,B,C三点共线，则A'' B',C'也三点共线，且满足对应线段的比值不变，如AB A'B'及＝霆·性质2仿射变换前直线与曲线相切（相交、相离），仿射变换后直线与曲线依然相切（相交、相离）．性质3直线在仿射变换前的斜率k与仿射变换后的斜率k'满足关系：k'=且k.入性质4变换前图形的面积S与变换后图形的面积s'满足关系：S'=扣s.下面我们来看一些应用（为节省篇幅和突出问题本身，部分例题作了必要的简化）．．十一十叶一十。

十•I "I• I "I• 十•I "I•• 十～十..十一一十·•I"I•• 十"I"I" I" I•• 十一十..十～十..十～十“十"I"I•• 十心十“十“十一十“十"I••I" I" I" I" I·+·+·(A)ab =O (B)a+b=O(C)a=b (D)a2+b2=0原解由奇函数的定义得f(—x)= -f(x) ,x ER, 即八—x)=—xi—X +a l+b=—f(x) =—x I x+a l-b.讨论可得a=b=O,即a2+b2 =0. 反之，亦可得证，选D.定义是对数学概念的确切而简要的说明，在解题过程中考虑定义就是回归问题的本质．简洁明快的解题方法，往往蕴涵在对定义的深刻理解之中．评析王老师如何“讨论可得“，笔者不得而知，想必也要费点功夫．对于解选择题，特殊值法的重要性不用多说．由奇函数性质八0)=O, 解得b=O; 而对于f(x) = x I x + a I, 由f(—a)=—f(a), 即0=-2a I a I得a=O.例7已知O为c,.ABC内一点，角A,B,C的..对边分别是a,b,c,若a OA+bOB +cOC=O, 求证心是�ABC的内心．评析在书中，王金战老师详细介绍了他经过多番努力，终于解答出这道题的经过．其实此题并不困难，考查的是向量形式的定比分点公式和角平分线逆定理．要真正看透这道题的本质，需要用到重心坐标的思想，这在笔者的《绕来绕去的向量法》中有详细叙述．.. .. .. ..证明 a OA +bOB +cOC =0, 即二仁b+c OAb ——>一勹十－－— Cb+c OB+ OC=O, 从这个式子容易看出，b +c .. ..b -沪 C在BC上有点仄满足OD=-OB+b+c b+c oc, BD C --DC b一－＝—,且OD与OA共线简而言之，延长A O交BD CBC于D,则—-=-DC b ．而BD= S纽BAD=DC S凶CAD c• ADsin乙BAD Cb• ADsin乙CAD b＝—（此即角平分线的性质），可得乙BAD=乙CAD.同理可证其他．参考文献[1]王金战，许永忠，李锦旭．王金战教你玩转数学：数学是怎样学好的（魅力与方法篇）[M]. 北京：北京大学出版社，2010.讨论十二次之多的方法来解决这个问题．另外，三个三角形两两相似，且没有任何已知的明确的对应关系，考生们情急之下无从下手，备感焦躁．倘若运用先排除再分类的方法，那么问题可迎刃而解．由于对应元素中，对应角是最易入手的，因此我们不妨从角入手，找到解题的突破口．解假设存在这样的点Q,使得l:c,.(1.刀，b.QOA和b.QAB中的任意两个三角形均相似．因为乙QAB=乙AOQ+乙AQO,所以乙QAB>乙AOQ,乙QAB>乙AQO.因此，要使i:c,.QOA与b.QAB相似，只能乙QAO=乙BAQ= 90勹即QA_ix轴．因b>趴故AB>0儿从而乙QOA>乙ABQ,所以只能乙AOQ=乙AQB.此时乙CQB = 90°0由QA_l X轴知QA II Y轴，故乙COQ=乙心A.故要使b.QOA与b.CQC相似，只能乙oco = 90° 或乙CQC= 90°.心当乙OCQ=90° 时，b.CQO竺b.AOQC图4八所以AQ=W=一．b4b 2由AQ2=OA•AB, 得口）=b-1. 解得b= 8士4/3.因为b>趴所以b=8+4祁．故点Q的坐标是(1,2+祁）．＠当乙心C=90° 时，b.OCO U) b.AOQC图5), 故岱＝沿，即心=OC• AQ.yC01 A B X 01 A图4图5又002= OA• O B, 所以CX•AQ =OA•bO B, 即—•AQ =l Xb. 解得AQ=4,此时b= 17 4＞么符合题意，故点Q的坐标是(1,4).综上可知，存在点Q(l,2+戎-)或Q(l,4)'使得60C0,6QOA和6QAB中的任意两个三角形均相似从解答过程中可以看到，先对6AOQ与6ABQ进行探讨，通过“外角”进行第一次排除，明确一对对应角．一般情况下，得知一对相等的角后，常常会分两种情况继续讨论．但此处通过“大边对大角”进行第二次排除，最终筛选出唯一的那一种情况．两次“排除”需要大胆的尝试，续密的逻辑思维，以及对图形敏锐的洞察，难度较大，但难而不繁．此题也显露出命题者构思的巧妙与布局的精当．继对6AOQ与6ABQ的探讨之后，再对6AOQ与6COQ进行探讨．这里的讨论方法就是先确定一组角对应相等，再分两种情况继续讨论的方法．但是，这看似轻松的讨论，因需要用到前面讨论中得到的"QA上x轴”这一结论，故而不能孤立存在．最后，通过“先排除再讨论"'把一个复杂的问题变得简单明了．，十..+ .. I.. I.. • ·-+•-+•-+·-+---+·I .. I.. I•-+·-+---+---+---+---+•-+·-+•-+•-+---+---+•-+•-+---+---+·-+·-+---+·-+·-+--令..I•-+---+·-+--I ..I• I..I·I .. I•-+·-+· （上接笫42页）点评圆中有许多优美的性质和结论，通过仿射变换可以十分完美地拓展到椭圆，蝴蝶定理只是其中的一支奇葩，有兴趣的读者不妨多多研究这类问题笔者最后要指出的是，尽管仿射变换性质的运用或许已经超出高中学生所学的知识范畴，但随着新课改的推进，越来越多的高等数学的知识与方法渗透到中学数学之中已成为不争的事实．作为一名中学教师，能从高等数学的角度剖析初等数学试题，站得高、看得远，有利于理解中学数学问题的来龙去脉，看清问题的本质[3].基于这一点，笔者认为本文的研究具有一定的现实意义．参考文献。

文章题目：利用仿射变换将圆变成椭圆的数学实例在数学和几何学中，仿射变换是一种对二维或更高维度几何形状进行变换的方法。

在本文中，我将以利用仿射变换将圆变成椭圆的实例为例，探讨仿射变换的原理和应用。

1. 圆和椭圆的基本定义圆是平面上到一个固定点的距离恒定的点的集合，这个固定点称为圆心，距离称为半径。

而椭圆是平面上到两个固定点的距离之和恒定的点的集合，这两个固定点称为焦点，距离之和称为主轴的长度。

圆和椭圆都是平面几何中常见的几何形状。

2. 仿射变换的定义和特点仿射变换是指在几何空间中保持各点共线、各线平行的变换。

它是一种特殊的线性变换，包括平移、旋转、缩放和错切等基本变换。

仿射变换具有保持原有图形形状和大小不变的性质。

3. 利用仿射变换将圆变成椭圆的过程假设我们有一个标准的圆形，即圆心在原点，半径为1。

要利用仿射变换将这个圆变成椭圆，一个简单的方法是对圆进行线性变换和平移变换。

通过线性变换改变圆的形状，使其变成一个椭圆；然后通过平移变换将椭圆的位置调整到我们需要的位置。

具体操作如下：步骤一：线性变换在二维平面上，假设我们将圆点(x, y)进行线性变换得到(x', y')，则有以下公式：x' = a * xy' = b * y其中a和b分别是水平方向和垂直方向的缩放系数。

步骤二：平移变换假设我们要将圆的位置从原点平移到另一个位置(h, k)，则有以下公式：x'' = x' + hy'' = y' + k其中(h, k)为平移的距离。

通过以上线性变换和平移变换的组合，我们可以将圆形变成任意倾斜角度的椭圆，并调整椭圆的位置到我们需要的位置。

4. 仿射变换在实际应用中的意义利用仿射变换将圆变成椭圆的实例是一个简单但重要的数学问题。

在实际应用中，仿射变换被广泛应用于图像处理、计算机图形学、地图投影、物体识别和运动估计等领域。

通过对图像进行仿射变换，可以实现图像的缩放、旋转、翻转、透视和镜像等操作，从而为图像处理和计算机视觉提供了便利。

用仿射变换解决高考中解析几何问题研究
作者：张天柱李松雪
来源：《新教育时代·学生版》2018年第14期
解析几何在高考中有着重要的地位，其中，与椭圆有关的问题出现频率很高。

在人教版选修4-2矩阵与变换中详细介绍了仿射变换，但在实际教学中，这部分内容往往被孤立起来，没有与其他知识形成体系。

如果将此部分知识运用到解析几何的解题中，可以通过仿射变换将椭圆变换成圆，再将与圆有关的性质应用到椭圆上，从而另辟蹊径，使得问题解决起来得心应手。

一、仿射变换的概念
仿射变换，又称仿射映射，是指在几何中，一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移，变为另一个向量空间。

在人教版选修4-2《矩阵与变换》中，开篇介绍了几类特殊线性变换及其二阶矩阵。

其中包括：旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换和切变变换。

本文将两题为例将以上几种特殊的仿射变换应用到与椭圆有关的解析几何的问题中，从而回避繁杂的计算，降低解题难度。

二、仿射变换的性质
不难证明，仿射变换具有以下性质：
性质一仿射变换前直线与曲线相切（相交、相离），仿射变换后直线与曲线依然相切（相交、相离）。

性质二仿射变换前直线与直线平行（相交、重合），伸缩变换后直线与直线依然平行（相交、重合）。

从仿射变换的性质上来看，我们的目的是将一般的几何图形变换为具有一定特殊性质的图形（例如将椭圆变换成圆，将一般三角形变换成正三角形，将平行四边形变换为正方形），根据其特殊性质来进行求解。

对于数学素养较高，数学能力较强的学生，接受起来还是比较容易的。

又因为此类学生很有可能参加数学联赛、自主招生等选拔考试，运用仿射变换解决相应题目，可以提高学生的解题能力。