Drazin逆的显示公式!

第60卷 第3期吉林大学学报(理学版)V o l .60 N o .32022年5月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y (S c i e n c eE d i t i o n )M a y2022d o i :10.13413/j .c n k i .jd x b l x b .2021289广义n -强D r a z i n 逆的注记李明珠,宋贤梅(安徽师范大学数学与统计学院,安徽芜湖241002)摘要:首先,在条件a c d =d b d ,b d b =b a c 下给出广义n -强D r a z i n 可逆元的C l i n e 公式及J a c o b s o n 引理;其次,给出广义n -强D r a z i n 可逆的幂等元相等的等价刻画;最后,在条件a c d =d b d ,d b a =a c a 下讨论广义n -强D r a z i n 可逆元相似的等价刻画以及多元素相似性问题.关键词:广义n -强D r a z i n 逆;相似;单位正则环中图分类号:O 153.3 文献标志码:A 文章编号:1671-5489(2022)03-0577-06N o t e s o nG e n e r a l i z e d n -S t r o n g Dr a z i n I n v e r s e L IM i n gz h u ,S O N G X i a n m e i (C o l l e g e o f M a t h e m a t i c s a n dS t a t i s t i c s ,A n h u iN o r m a lU n i v e r s i t y ,W u h u 241002,A n h u i P r o v i n c e ,C h i n a )A b s t r a c t :F i r s t l y ,t h eC l i n e s f o r m u l a a n dJ a c o b s o n s l e mm a f o r g e n e r a l i z e d n -s t r o n g D r a z i n i n v e r s e w e r e g i v e nu n d e r t h e c o n d i t i o n s o f a c d =d b d ,b d b =b a c .S e c o n d l y ,t h e e qu i v a l e n t c h a r a c t e r i z a t i o n s o f g e n e r a l i z e d n -s t r o n g D r a z i n i n v e r s e i d e m p o t e n t e l e m e n t s e q u a l i t y w e r e g i v e n .F i n a l l y ,t h e e q u i v a l e n t c h a r a c t e r i z a t i o n s o f g e n e r a l i z e d n -s t r o n g D r a z i n i n v e r t i b l e e l e m e n t s i m i l a r i t y a n d t h e p r o b l e mo fm u l t i -e l e m e n t s i m i l a r i t y u n d e r t h e c o n d i t i o no f a c d =d b d ,d b a =a c a w e r e d i s c u s s e d .K e y w o r d s :g e n e r a l i z e d n -s t r o n g D r a z i n i n v e r s e ;s i m i l a r ;u n i t r e g u l a r r i n g 收稿日期:2021-08-08.第一作者简介:李明珠(1996 ),女,汉族,硕士研究生,从事环模理论的研究,E -m a i l :l i m i n g z h u 96@163.c o m.通信作者简介:宋贤梅(1977 ),女,汉族,博士,副教授,从事代数学和代数编码的研究,E -m a i l :x i a n m e i s o n ga h n u @163.c o m.基金项目:安徽省自然科学基金(批准号:2008085MA 06)和安徽省教育厅重点研究项目(批准号:K J 2019A 0488).1 引言与预备知识设R 是含有单位元的结合环.由于D r a z i n 逆在矩阵论与环论中应用广泛,因此已得到很多代数研究者的广泛关注.C l i n e [1]证明了若a b 是D r a z i n 可逆的,则b a 也是D r a z i n 可逆的,且(b a )D =b ((a b )D )2a (称为C l i n e 公式).J a c ob s o n 引理是指若α=1-a b 可逆,则β=1-b a 可逆,且β-1=1+b α-1a .P a t r íc i o 等[2]提出了若α=1-a b 是D r a z i n 可逆的,β=1-b a 是否也为D r a z i n 可逆的问题.C a s t r o -G o n z 췍l e z 等[3]和C v e t k o v i c '-I l i c '等[4]分别回答了文献[2]的问题,证明了α和β有相同的D r a z i n 指数.此后,关于广义逆的C l i n e 公式与J a c o b s o n 引理或其推广形式的研究得到广泛关注[5-9].M o s i c '[5]引入了环上广义n -强D r a z i n 逆的概念,是广义强D r a z i n 逆与广义H i r a n o 逆的推广,并给出了广义n -强D r a z i n 逆的C l i n e 公式,但仅说明广义1-强D r a z i n 逆的J a c o b s o n 引理成立;C h e n 等[6]证明了1-a b 有广义n -强D r a z i n 逆当且仅当1-b a 有广义n -强D r a z i n 逆,但未给出1-a b 的广义n -强D r a z i n 逆与1-b a 广义n -强D r a z i n 逆之间的关系;吴珍莺等[7]将广义n -强D r a z i n 逆的J a c o b s o n 引理推广到a c d =d b d ,d b a =a c a 的条件下.另一方面,H a r t w i g [10]证明了F l a n d e r s 定理,得到了强π-正则环R 是单位正则的当且仅当R 是正则的,且a b 的D r z a i n 逆与b a 的D r z a i n 逆相似;L i u 等[11]研究了875吉林大学学报(理学版)第60卷单位正则环上的广义F l a n d e r s定理,得到了单位正则环R中元素a,b,c满足a c a=a b a时,若a c和b a 是D r z a i n可逆的,则a c的D r z a i n逆与b a的D r z a i n逆相似.本文受文献[5,11]的启发,给出广义n-强D r a z i n逆的广义C l i n e公式与J a c o b s o n引理以及幂等元相等的等价刻画,并讨论广义n-强D r a z i n可逆元素相似的等价刻画以及多元素相似性问题.设C(R),U(R)分别表示环R的中心和R中所有可逆元之集,ℕ表示自然数集.设R是环,aɪR, A⊂R.记c o mm(a)={xɪR:a x=x a},c o mm2(a)={xɪR:x y=y x,∀yɪc o mm(a)}.aʎ={yɪR:a y=0},ʎa={yɪR:y a=0},Aʎ={xɪR:A x={0}},ʎA={yɪR:y A={0}}.若对任意的xɪc o mm(a),均有1+a xɪU(R),则称a是拟幂零的[5].R中所有拟幂零元素的集合记为R q n i l.若存在bɪR使得a b a=a,则称aɪR是正则的(或有内逆b)[12].a的所有内逆记为a-,R-表示R中所有正则元之集.若存在bɪU(R)使得a b a=a,则称aɪR是单位正则的.如果R中所有元素都是单位正则元,则称环R是单位正则环[11].设kɪℕ,若存在元素xɪR,使得a x=x a,x a x=x,a k+1x=a k,(1)则称aɪR是D r a z i n可逆的[1].x是a的D r a z i n逆,a的D r a z i n逆若存在则唯一,记为x=a D.满足式(1)中3个方程的最小非负整数k称为a的指数,记为i n d(a).若i n d(a)=1,则称a是群可逆的,x 为a的群逆,记为x=a#.用R D表示R中所有D r a z i n可逆元之集,R#表示R中所有群可逆元之集.若存在元素xɪR,使得xɪc o mm2(a),x a x=x,a(1-a x)ɪR q n i l,则称aɪR是广义D r a z i n可逆的[13],称x是a的广义D r a z i n逆,且a的广义D r a z i n逆若存在则唯一,记为x=a d.用R d表示R中所有广义D r a z i n可逆元之集.设nɪℕ,若存在元素xɪR,使得xɪc o mm2(a),x a x=x,a n-a xɪR q n i l,则称aɪR是广义n-强D r a z i n逆[5],称x是a的广义n-强D r a z i n逆.a的广义n-强D r a z i n逆若存在则唯一,记为x=a n s d.用R n s d表示R中所有广义n-强D r a z i n可逆元之集.设R是环,a,bɪR,如果存在可逆元s使得a=s-1b s,则称a,b相似[11],记为a~b.设R是环,aɪR,如果存在元素bɪR,使得b2=bɪc o mm2(a),a bɪR q n i l,a+bɪR-1,则称aɪR是拟p o l a r元,且b是a的谱幂等[12]. 2基本性质引理1[14]设R是环,a,b,c,dɪR满足a c d=d b d,b d b=b a c.则下列结论成立:1)如果a cɪR d,则b dɪR d,且(b d)d=b((a c)d)2d;2)如果a cɪR q n i l,则b dɪR q n i l.定理1设R是环,a,b,c,dɪR满足a c d=d b d,b d b=b a c,nɪℕ.如果a cɪR n s d,则b dɪR n s d,且(b d)n s d=b((a c)n s d)2d.证明:假设a cɪR n s d.由文献[5]可知a cɪR d且(a c)d=(a c)n s d.由引理1中1)可知b dɪR d,且(b d)d=b((a c)d)2d=b((a c)n s d)2d.下面仅需证明(b d)n-b d(b((a c)n s d)2d)ɪR q n i l.事实上,令p=b((d b)n-1-(a c)n s d),q=((a c)n-1-(a c)n s d)a,则p d=(b d)n-b d(b((a c)n s d)2d),且q c=(a c)n-(a c)n s d a c.注意到a c d=d b d,于是(a c)n d=(d b)n d.因此下列等式成立:q c d=(a c)n d-(a c)n s d a c d=(d b)n d-(a c)n s d d b d=d[b((d b)n-1-(a c)n s d)]d=d p d,p d p=b((d b)n-1-(a c)n s d)d b((d b)n-1-(a c)n s d)=(b(d b)n-1-b(a c)n s d)d b((d b)n-1-(a c)n s d)=((b d)n-1b d b-b(a c)n s d d b)((a c)n-1-(a c)n s d)=((b d)n-1b a c-b a c(a c)n s d)((a c)n-1-(a c)n s d)=b((d b)n-1-(a c)n s d)((a c)n-1-(a c)n s d)a c=p q c.由假设a c ɪR n s d 可知q c ɪR q n i l .因为q ,c ,p ,d 满足引理1的条件,故可得p d ɪR q n i l.下面考虑环中元素在a c d =d b d ,b d b =b a c 条件下,广义n -强D r z a i n 可逆元的J a c o b s o n 引理.引理2 设R 是环,a ,b ,c ,d ,u ,v ɪR 满足a c d =d b d ,b d b =b a c ,且u ,v ɪc o mm (a c )ɘc o mm (d b ).记b ᶄ=b u v -b ðni =1C in(-d b )i -1, c ᶄ=c u v -ðni =1C i n (-c a )i -1c .则a c ᶄd =d b ᶄd ,b ᶄd b ᶄ=b ᶄa c ᶄ.证明:由条件可知如下等式成立:b ᶄd b ᶄ=b u v -b ðni =1C in(-db )i -[]1d bu v -b ðni =1C in(-d b )i -[]1=b u v d b u v -b u v d b ðn i =1C i n(-d b )i -1-b ðni =1C i n (-d b )i -1d b u v +b ðn i =1C in(-d b )i -1d b ðni =1C i n (-d b )i -1=b a c (u v )2-b u v a ðn i =1C in(-c a )i -1c -b ðni =1C i n (-d b )i -1a c u v +b ðni =1C in(-d b )i -1a ðni =1C i n (-c a )i -1c =bu v -b ðni =1C i n(-d b )i -[]1a c u v -ðni =1C in(-c a )i -1[]c =b ᶄa c ᶄ,因此b ᶄd b ᶄ=b ᶄa c ᶄ.同理可得a c ᶄd =d b ᶄd .证毕.引理3[5] 设R 是环,a ɪR ,n ɪℕ.则a ɪR ns d当且仅当存在p ɪR ,使得p 2=p ɪco mm 2(a ), a n -p ɪR q n i l. 注1 文献[5]说明了这样的幂等元p =a a n s d 是唯一的,记1-p =a π.定理2 设R 是环,a ,b ,c ,d ɪR 满足a c d =d b d ,b d b =b a c ,n ɪℕ.如果1-a c ɪR n s d,则1-b d ɪR n s d.此时,(1-b d )n s d =1+b [(1-a c )n s d -(1-a c )π(1-(1-a c )π(1-a c ))-1]d . 证明:假设1-a c ɪR n s d.由文献[5]可知1-a c ɪR d .由文献[12]中定理4.2知1-a c 是拟p o l a r元,则由拟p o l a r 元的定义知(1-a c )π(1-a c )ɪR q n i l ,故1-(1-a c )π(1-a c)是可逆的.记v =(1-(1-a c )π(1-a c ))-1,y =1+b [(1-a c )n s d -(1-a c )π(1-(1-a c )π(1-a c ))-1]d .由文献[15]中定理2.5可知,y 是1-b d 的广义D r z a i n 逆,y ɪc o mm 2(1-b d ),y (1-b d )y =y .为证y =(1-b d )n s d ,只需证明(1-b d )n -(1-b d )y ɪR qn i l .事实上,由于y (1-b d )=1-b (1-a c )πv d =(1-b d )y ,因此(1-b d )n -(1-b d )y =(1-b d )n -1+b (1-a c )πv d =(b (1-a c )πv -b ðni =1C i n (-d b )i -1)d .另一方面,由于a c (1-a c )π=(1-a c )π(1-(1-a c )π(1-a c )),即(1-a c )π=a c (1-a c )πv ,从而(1-a c )n -(1-a c )(1-a c )n s d =(1-a c )n -1+ac (1-a c )πv =a (c (1-a c )πv -ðni =1C i n (-c a )i -1c ).975 第3期 李明珠,等:广义n -强D r a z i n 逆的注记085吉林大学学报(理学版)第60卷令bᶄ=b(1-a c)πv-bðn i=1C i n(-d b)i-1,cᶄ=c(1-a c)πv-ðn i=1C i n(-c a)i-1c.则易知(1-a c)π,vɪc o mm(a c)ɘc o mm(d b).由引理2知a cᶄd=d bᶄd,bᶄd bᶄ=bᶄa cᶄ.由于a cᶄ= (1-a c)n-(1-a c)(1-a c)n s d,且1-a c为广义n-强D r a z i n逆,于是a cᶄɪR q n i l.由引理1中2)可知, (1-b d)n-(1-b d)y=bᶄdɪR q n i l.证毕.受文献[16]中定理6.1的启发,下面讨论广义n-强D r a z i n逆的幂等元,可得以下结论.定理3设R是环,aɪR n s d,bɪR,则下列条件等价:1)bɪR n s d,aπ=bπ;2)aπɪc o mm2(b),b n-aπɪR q n i l;3)bɪR n s d,b n s d=(b n s d a+bπ)a n s d;4)bɪR n s d,a n s d-b n s d=b n s d(b-a)a n s d;5)bɪR n s d,aπɪc o mm(b),1-(bπ-aπ)2ɪU(R);6)bɪR n s d,b n s d R⊂a n s d R,(b n s d)ʎ⊂(a n s d)ʎ.证明:1)⇔2).由引理3及注1易证.1)⇒5),1)⇒6)显然.1)⇒3).假设bɪR n s d,aπ=bπ,则a a n s d=b b n s d.从而有(b n s d a+bπ)a n s d=b n s d a a n s d+bπa n s d=b n s d b b n s d+aπa n s d=b n s d.3)⇒4).假设bɪR n s d,b n s d=(b n s d a+bπ)a n s d,则有a n s d-b n s d=a n s d-(b n s d a+bπ)a n s d=(1-bπ-b n s d a)a n s d=b n s d(b-a)a n s d.4)⇒1).假设bɪR n s d,a n s d-b n s d=b n s d(b-a)a n s d,则有bπ(a n s d-b n s d)=bπb n s d(b-a)a n s d=0.注意到bπ(1-aπ)=bπa n s d a=bπb n s d a=0,故bπ=bπaπ.类似可证aπ=bπaπ.所以aπ=bπ.5)⇒1).假设bɪR n s d,aπɪc o mm(b),1-(bπ-aπ)2ɪU(R).由于bπɪc o mm2(b),因此bπaπ=aπbπ.注意到1-(bπ-aπ)2=(1-bπ+aπ)(1-aπ+bπ),故1-bπ+aπ,1-aπ+bπɪU(R).另一方面,有aπ(1-aπ+bπ)=aπbπ=bπ(1-bπ+aπ).于是aπ=aπbπ(1-aπ+bπ)-1=aπbπ(1-aπ+bπ)(1-aπ+bπ)-1=aπbπ,bπ=aπbπ(1-bπ+aπ)-1=aπbπ(1-bπ+aπ)(1-bπ+aπ)-1=aπbπ,从而aπ=bπ.6)⇒1).由条件(b n s d)ʎ⊂(a n s d)ʎ,可得R b n s d⊂R a n s d.由于a n s d,b n s d是正则的,故由文献[12]中命题3.1以及条件(b n s d)ʎ⊂(a n s d)ʎ,得(R b n s d)ʎ=(b n s d)ʎ⊂(a n s d)ʎ=(R a n s d)ʎ.从而R b n s d=ʎ((R b n s d)ʎ)⊃ʎ((R a n s d)ʎ)=R a n s d,于是R a n s d⊂R b n s d=R b b n s d.另一方面,由条件可知b n s d R⊂a n s d R=a a n s d R,因此存在x,yɪR,使得a n s d=y b b n s d,b n s d=a a n s d x.于是(1-a a n s d)b n s d=0=a n s d(1-b b n s d)成立,即a n s d=a n s d b b n s d,b n s d=a a n s d b n s d 成立.从而可得a a n s d=a a n s d b b n s d=b n s d b=b b n s d.所以aπ=bπ.3相似性引理4设R是环,a,b,cɪR,且a#,c#存在,则a b=b c当且仅当a#b=b c#.证明:假设a b=b c,a#,c#存在.则a#b=a#a a#b=a#a#a b=a#a#b c=a#a#b c c#c=a#a#a b c#c=a#b c c#=a a#b c#,b c #=b c #c c #=b c c #c #=a b c #c #=a a #a b c #c #=a a #b c c #c #=a a #b c #,故a #b =b c #.反之,同理可证.命题1 设R 是环,n ɪℕ,a ,b ,c ,d ɪR 满足a c d =d b d ,d b a =a c a .若(a c )n s d 或(b d )n s d存在,则下列等式成立:(b d )n s d =b [(a c )n s d ]2d , (a c )n s d =d [(b d )n s d ]3b ac ,d (b d )n s d =(a c )n s d d , d b (a c )n s d =ac (a c )n s d. 证明:由文献[5]中定理2.3知,(b d )n s d =b [(a c )n s d ]2d 和(a c )n s d =d [(b d )n s d ]3b ac 成立,因此d (b d )n s d =d b [(a c )n s d ]2d =d b d [(b d )n s d ]3b a c (a c )n s d d =(a c )n s dd ,d b (a c )n s d =db ac [(a c )n sd ]2=a c a c [(a c )n s d ]2=a c (a c )n s d. 推论1 设R 是环,n ɪℕ,a ,b ɪR ns d,则下列条件等价:1)a n s d ~bn s d ;2)a 2a n s d ~b 2b n sd ;在该情形下,下列条件成立:3)a a n s d ~b b n s d ,(a n s d +1-a a n s d )~(b n s d +1-b b n s d).证明:验证可得(a n s d )#=a 2a n s d ,(b n s d )#=b 2b n s d.1)⇒2).假设a n s d ~b n s d ,则存在可逆元q 使得a n s d q =q b n s d .由引理4知(a n s d )#q =q (b n s d )#,于是a 2a n s d q =qb 2b n s d ,故a 2a n s d ~b 2b n s d.2)⇒1).假设a 2a n s d ~b 2b n s d ,则存在可逆元s ,使得a 2a n s d s =s b 2b n s d .由于((a n s d )#)#=a n s d,由引理4得(a 2a n s d )#s =s (b 2b n s d )#,即a n s d s =s b n s d ,a n s d ~b n s d.1)⇒3).假设a n s d ~b n s d ,则存在可逆元q ,使得a n s d q =q b n s d ,由上述证明过程知a 2a n s d q =q b 2b n s d.由于a a n s d =a a n s d a a n s d =(a 2a n s d )a n s d,因此a a n s d q =(a 2a n s d )a n s d q =(a 2a n s d )q b n s d =q b 2b n s d b n s d =qb b n s d,即a a n s d ~b b n s d.由上述证明过程可知,若a n s d ~b n s d ,则存在可逆元q ,使得a n s d q =q b n s d 且a a n s d q =qb b n s d,因此(a n s d +1-a a n s d )~(b n s d +1-b b n s d).定理4 设R 是单位正则环,n ɪℕ,a ,b ,c ,d ɪR 满足a c d =d b d ,d b a =a c a .若(a c )n s d 或(b d )n s d存在,则(a c )n s d ~(b d )n s d .此时,(a c )2(a c )n s d ~(b d )2(b d )n s d.证明:由命题1知(b d )n s d =b [(ac )n sd ]2d =b (a c )n s d (a c )n s dd .设x =b (a c )n s d ,y =a c (a c )n s d d ,则x (a c )n s d y =b (ac )n sd (a c )n s d d =(b d )n s d,且y (b d )n s d x =ac (a c )n sd (a c )n s d d b (a c )n s d =(a c )n s d .因此x y x =b (a c )n s d a c (a c )n s d a c (a c )n s d =x 且y x y =a c (a c )n s d a c (a c )n s d a c (a c )n s d d =y .由于R 是单位正则环,则对x 存在v ɪU (R ),使得x =x v x .令u =(1-x y -x v )v -1(1-yx -v x ),则u -1=(1-y x -v x )v (1-x y -xv )=v -v x v +y .注意到(a c )n s d u -1=y (b d )n s d x [v (1-x v )+y ]=y (b d )n s d x v (1-x v )+y (b d )n s dx y =a c (a c )n s d d (b d )n s d b (ac )n sd a c (a c )n s dd =(a c )n s d a c (a c )n s d a c (a c )n s d d =(a c )n s d d ,u -1(b d )n s d =[(1-v x )v +y ]x (a c )n s dy =(1-v x )v x (a c )n s d y +y x (a c )n s dy =185 第3期 李明珠,等:广义n -强D r a z i n 逆的注记285吉林大学学报(理学版)第60卷a c(a c)n s d d b(a c)n s d(a c)n s d a c(a c)n s d d=a c(a c)n s d a c(a c)n s d(a c)n s d d=(a c)n s d d,因此(a c)n s d=u-1(b d)n s d u,即(a c)n s d~(b d)n s d.由推论1可知(a c)2(a c)n s d~(b d)2(b d)n s d.注2在定理4的条件下,有下列结论:1)若d=a,(a c)n s d或(b a)n s d存在,则(a c)n s d~(b a)n s d,此时(a c)2(a c)n s d~(b a)2(b a)n s d;2)若d=a,c=b,(a b)n s d或(b a)n s d存在,则(a b)n s d~(b a)n s d,此时(a b)2(a b)n s d~(b a)2(b a)n s d.参考文献[1] C L I N ERE.A nA p p l i c a t i o n o fR e p r e s e n t a t i o n s f o r t h eG e n e r a l i z e d I n v e r s e o f aM a t r i x[R].M a d i s o n,W I:M R CT e c h n i c a l S u mm a r y R e p o r t,N o.592.1965.[2] P A T RÍC I O P,V E L O S O D AC O S T A A.O n t h eD r a z i n I n d e x o fR e g u l a rE l e m e n t s[J].C e n t E u r JM a t h,2009,7(2):200-205.[3] C A S T R O-G O N ZÁL E ZN,M E N D E S-A R A U'J O C,P A T R I C I O P.G e n e r a l i z e dI n v e r s e so f aS u mi nR i n g s[J].B u l lA u s t r a lM a t hS o c,2010,82(1):156-164.[4] C V E T K O V I C'-I L I C'D,HA R T ER.O n J a c o b s o n sL e mm a a n dD r a z i n I n v e r t i b i l i t y[J].A p p lM a t hL e t t,2010,23(4):417-420.[5] MO S I C'D.T h eG e n e r a l i z e d a n dP s e u d o n-S t r o n g D r a z i n I n v e r s e s i nR i n g s[J].L i n e a rM u l t i l i n e a rA l g e b r a,2021,69(2):361-375.[6] C H E N H Y,S H E I B A N I M.J a c o 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《线性关系Drazin逆的若干性质》篇一摘要：本文探讨了线性关系中Drazin逆的若干性质。

首先，介绍了Drazin逆的基本概念和定义，然后通过数学推导和实例分析，详细阐述了Drazin逆的几个重要性质，包括其存在性、唯一性以及与伪逆的关系等。

最后，对Drazin逆在矩阵计算和线性系统中的应用进行了简要介绍。

一、引言在矩阵理论中，逆矩阵是一个重要的概念，它对于解决线性方程组和矩阵计算具有重要意义。

然而，并非所有矩阵都存在逆矩阵。

在这种情况下，Drazin逆作为一种广义逆的概念被引入。

Drazin逆在处理某些特殊类型的矩阵时具有独特的作用，特别是在处理非方阵或奇异矩阵时。

本文将探讨线性关系中Drazin逆的若干性质。

二、Drazin逆的基本概念和定义Drazin逆是一种广义逆矩阵的概念，对于任意矩阵A（m×n 维），如果存在一个m×n维矩阵X，满足AX与XA均具有某些性质，则称X为A的Drazin逆。

其数学定义是满足下列条件的最小阶数的广义逆矩阵：A^p XA = A^p（其中p为正整数）。

三、Drazin逆的若干性质（一）存在性与唯一性对于给定的矩阵A，其Drazin逆的存在性与唯一性依赖于A 的性质。

一般来说，如果A满足一定条件（如存在一定的幂等性），则其Drazin逆存在且唯一。

然而，在某些情况下，Drazin 逆可能不存在或具有多个解。

这些情况通常涉及到矩阵的奇异值和秩等特性。

（二）与伪逆的关系Drazin逆与伪逆（Moore-Penrose逆）之间存在密切的关系。

当矩阵A为方阵时，其Drazin逆和伪逆是相同的。

但在非方阵或奇异矩阵的情况下，二者存在差异。

伪逆是一种更广泛的广义逆概念，而Drazin逆则是特定情况下的一个特例。

了解这两者之间的关系对于理解和应用Drazin逆具有重要意义。

（三）计算方法计算Drazin逆的方法有多种，包括基于奇异值分解的方法、基于迭代的方法等。

《线性关系Drazin逆的若干性质》篇一摘要：本文旨在探讨线性关系中Drazin逆的若干性质。

首先，我们将简要介绍Drazin逆的概念及其在数学领域的重要性。

随后，我们将深入分析Drazin逆的基本性质，包括其定义、存在性、唯一性以及与其它数学概念的关系。

最后，我们将通过实例和推导来进一步阐释Drazin逆的性质及其在解决实际问题中的应用。

一、引言Drazin逆是线性代数中一个重要的概念，它是对矩阵逆的一种广义定义。

在处理一些特殊矩阵或非满秩矩阵时，Drazin逆发挥着重要的作用。

通过研究Drazin逆的性质，我们可以更好地理解其在矩阵论和数值计算中的应用。

二、Drazin逆的基本概念Drazin逆定义为：对于任意矩阵A，若存在某个正整数k，使得A^k中存在一个幂等元（即存在A^k = A^kA^k），则A的Drazin逆定义为A^k（即最小的满足该条件的k）。

Drazin逆与常规逆有所不同，因为常规逆要求矩阵必须是可逆的（即行列式不为零），而Drazin逆放宽了这一条件。

三、Drazin逆的基本性质1. 存在性：对于任意矩阵A，其Drazin逆总是存在。

然而，具体的形式依赖于矩阵A的性质。

2. 唯一性：在满足一定条件下（如A是正则矩阵或其它特定情形），Drazin逆是唯一的。

3. 与其它数学概念的关系：Drazin逆与矩阵的幂、指数、行列式等数学概念密切相关。

例如，Drazin逆可以用于计算矩阵的幂序列的极限等。

四、Drazin逆的性质分析1. 代数性质：Drazin逆具有一些特殊的代数性质，如与单位矩阵的乘积、与其它矩阵的乘积等。

这些性质使得Drazin逆在代数运算中具有独特的地位。

2. 数值稳定性：在数值计算中，Drazin逆具有良好的数值稳定性。

即使在某些情况下矩阵A的条件数很大，通过计算其Drazin逆仍能得到较为准确的结果。

3. 应用领域：Drazin逆在控制理论、信号处理、系统辨识等领域有着广泛的应用。

《线性关系Drazin逆的若干性质》篇一摘要：本文探讨了线性关系中Drazin逆的若干性质。

首先，介绍了Drazin逆的定义及研究背景；接着，对Drazin逆的普遍性质进行了一些探索和归纳；然后，我们探讨了线性映射在特定条件下对Drazin逆的影响，以及其在某些矩阵分解和方程解中的潜在应用；最后，我们对本研究的成果进行了总结，并展望了未来可能的研究方向。

一、引言Drazin逆作为线性代数中的一个重要概念，广泛应用于矩阵运算、矩阵分解以及方程解等众多领域。

其理论对于理解线性系统在面对某些非平凡问题时的性质具有关键作用。

近年来，Drazin逆的性质和应用已经得到了广泛的研究和关注。

本文旨在深入探讨Drazin逆的若干性质，以及其在线性关系中的应用。

二、Drazin逆的定义与背景Drazin逆是矩阵理论中一个重要的概念，它描述了矩阵在某种特定条件下的广义逆。

对于任意一个矩阵A，如果存在一个矩阵X满足特定的条件（如AXP=A，其中P是幂等元素），则称X为A的Drazin逆。

相较于传统的逆矩阵，Drazin逆对矩阵的要求较为宽松，能更好地处理某些复杂和奇异矩阵的运算问题。

三、Drazin逆的普遍性质1. 存在性与唯一性：在一定的条件下，Drazin逆是存在的且唯一的。

例如，对于可幂的方阵A（即存在正整数n使得A^n=A），其Drazin逆是存在的且唯一。

2. 计算方法：Drazin逆的计算方法多种多样，包括但不限于直接计算法、迭代法等。

这些方法各有优劣，需要根据具体问题选择合适的方法。

3. 代数性质：Drazin逆具有一系列代数性质，如与原矩阵的乘积满足特定的关系等。

这些性质对于理解Drazin逆的性质和在具体问题中的应用具有重要意义。

四、线性映射与Drazin逆的关系线性映射对Drazin逆的性质有重要影响。

在特定的线性映射下，Drazin逆可能具有一些特殊的性质或变化规律。

例如，当线性映射满足某种特定的条件时，Drazin逆的计算可能会变得更加简单或具有特定的形式。

拉氏逆变换的公式L^-1{F(s)} = 1/2πj ∫[γ-j∞, γ+j∞] F(s)e^(st) ds其中，L^-1代表拉氏逆变换操作，F(s)代表拉氏变换后的函数，j代表虚数单位，t代表时间，γ为一条垂直于虚轴的直线，γ应该位于F(s)函数的所有极点的右侧。

换句话说，拉氏逆变换可以通过对拉氏变换后的函数F(s)在复平面上所有的极点进行逆时针积分来恢复原始函数。

逆变换的结果是一个时间域函数，它描述了信号或系统在时域上的响应。

拉氏逆变换的计算通常是通过查找拉氏变换表或使用部分分式分解的方法进行。

当拉氏变换的函数F(s)包含多个不同的极点时，我们可以将其分解为简单的分式形式，然后使用逆变换表格来找到每个分式对应的原始函数。

部分分式分解的方法允许我们将复杂的函数分解为简单的形式，从而方便进行逆变换的计算。

此外，还有一些常见的拉氏逆变换公式，例如：1.L^-1{1/s}=1这是一个简单的逆变换，它表示拉氏变换中的常数1/s在逆变换后变为了常数1。

2. L^-1{1/(s-a)} = e^(at)这个逆变换公式表示了一个带有指数增长项的逆变换，其中a是实数。

3. L^-1{s/(s^2+a^2)} = sin(at)这个逆变换公式表示了一个正弦函数，其中a是实数。

这些公式只是拉氏逆变换的一些基本示例，还有很多其他的逆变换公式可用于恢复各种不同类型的函数。

在实际应用中，可以根据具体的拉氏变换函数来选择合适的逆变换公式进行计算。

总结起来，拉氏逆变换是一种通过对拉氏变换函数进行逆时针积分来恢复原始函数的数学变换。

逆变换的公式包括基本的逆变换公式以及部分分式分解方法。

拉氏逆变换在信号处理和控制理论中发挥着重要的作用，它允许我们在时域上分析和处理各种信号和系统。

第３９卷第６期２０２１年１１月贵州师范大学学报（自然科学版）ＪｏｕｒｎａｌｏｆＧｕｉｚｈｏｕＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅｓ）Ｖｏｌ．３９．Ｎｏ．６Ｎｏｖ．２０２１引用格式：杨晓英，王亚强，刘新．分块矩阵Ｄｒａｚｉｎ逆的新表示［Ｊ］．贵州师范大学学报（自然科学版），２０２１，３９（６）：２０ ２２．［ＹＡＮＧＸＹ，ＷＡＮＧＹＱ，ＬＩＵＸ．ＴｈｅｎｅｗｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅＤｒａｚｉｎｉｎｖｅｒｓｅｏｆｂｌｏｃｋｍａｔｒｉｘ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＧｕｉｚｈｏｕＮｏｒｍａｌＵｎｉ ｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅｓ），２０２１，３９（６）：２０ ２２．］分块矩阵Ｄｒａｚｉｎ逆的新表示杨晓英１，王亚强２，刘　新１（１．四川信息职业技术学院人文学院，四川广元　６２８０１７；２．宝鸡文理学院数学与信息科学学院，陕西宝鸡　７２１０１３）摘要：依据分块矩阵拆分为３个简单矩阵之和的思想，然后结合２个矩阵之和的Ｄｒａｚｉｎ逆已有结论，分别给出分块矩阵在２种条件下的Ｄｒａｚｉｎ逆新的表示。

关键词：分块矩阵；Ｄｒａｚｉｎ逆；幂零；矩阵拆分中图分类号：Ｏ１５１．２１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００４—５５７０（２０２１）０６－００２０－０３ＤＯＩ：１０．１６６１４／ｊ．ｇｚｎｕｊ．ｚｒｂ．２０２１．０６．００４ＴｈｅｎｅｗｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅＤｒａｚｉｎｉｎｖｅｒｓｅｏｆｂｌｏｃｋｍａｔｒｉｘＹＡＮＧＸｉａｏｙｉｎｇ１，ＷＡＮＧＹａｑｉａｎｇ２，ＬＩＵＸｉｎ１（１．ＳｃｈｏｏｌｏｆＨｕｍａｎｉｔｉｅｓ，ＳｉｃｈｕａｎＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＣｏｌｌｅｇｅ，Ｇｕａｎｇｙｕａｎ，Ｓｉｃｈｕａｎ６２８０１７，Ｃｈｉｎａ；２．ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＳｃｉｅｎｃｅｓ，ＢａｏｊｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＡａｒｔｓａｎｄＳｃｉｅｎｃｅｓ，Ｂａｏｊｉ，Ｓｈａａｎｘｉ７２１０１３，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂａｓｅｄｏｎｔｈｏｕｇｈｔｓｆｏｒｓｐｌｉｔｔｉｎｇｔｈｅｂｌｏｃｋｍａｔｒｉｘｉｎｔｏｔｈｅｓｕｍｏｆｔｈｒｅｅｓｉｍｐｌｅｍａｔｒｉｃｅｓ，ａｎｄｃｏｍｂｉｎｉｎｇｗｉｔｈｔｈｅＤｒａｚｉｎｉｎｖｅｒｓｅｆｏｒｔｈｅｓｕｍｏｆｔｗｏｍａｔｒｉｃｅｓｉｎｐｒｅｖｉｏｕｓｌｉｔｅｒａｔｕｒｅ，ｔｈｅｎｅｗｒｅｐｒｅｓｅｎ ｔａｔｉｏｎｓｆｏｒｔｈｅＤｒａｚｉｎｉｎｖｅｒｓｅｏｆｔｈｅｂｌｏｃｋｍａｔｒｉｘｕｎｄｅｒｔｗｏｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓａｒｅｇｉｖｅｎｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｂｌｏｃｋｍａｔｒｉｘ；Ｄｒａｚｉｎｉｎｖｅｒｓｅ；Ｎｉｌｐｏｔｅｎｔｍａｔｒｉｘ；Ｍａｔｒｉｘｓｐｌｉｔｔｉｎｇ０　引言设Ｃｍ×ｎ表示ｍ×ｎ阶复矩阵的集合，Ａ∈Ｃｎ×ｎ，若Ｘ∈Ｃｎ×ｎ满足下列方程［１］：Ａｋ＋１Ｘ＝Ａｋ，ＸＡＸ＝Ｘ，ＡＸ＝ＸＡ，则称Ｘ为Ａ的Ｄｒａｚｉｎ逆，记作Ｘ＝ＡＤ，称ｋ为Ａ的指数，记作ｉｎｄ（Ａ）＝ｋ。

毕业论文_四元数矩阵方程Drazin逆的行列式表示提供完整版的各专业毕业设计，四元数矩阵方程Drazin逆的行列式表示摘要:在行列式的理论中，我们知道在四元数域上，Hermitian和任意矩阵的Drazin逆的行列式表示。

利用已知的行列式理论，我们得到矩阵方程Drazin逆的表示公式(克莱默法则)，从而解出四元数矩阵方程AXB=D的Drazin逆。

如果A，B是hermitia矩阵或其他任意一般矩阵，我们也可以得到AX=D和XB=D的解法。

关键词:矩阵式，Drazin逆，四元矩阵，克莱默法则，行列式表示引言在本文里，我们用表示实域，用表示四元代数域上全体矩阵，用表示适当阶数的单位矩阵。

用表示四元矩阵的环域。

对于，表示A的共轭转置，如果A =A ,则矩阵是Hermitian矩阵。

作为矩阵求逆运算的重要类型之一，Drazin求逆运算以及应用在文献(1-6)中得到了很好的证明，Stanimirovic和Djordjevic提出了基于满秩矩阵下的Drazin 求逆运算。

在[8,9]中，我们得到了复杂矩阵的有限Drazin逆的行列式表达式。

Drazin求逆运算的矩阵等式:这篇论文对[8,9]提出的有关对四元数矩阵方程的运算进行了拓展。

考虑到四元数矩阵的特点，我们主要解决了求四元矩阵方程平方的行列式运算。

最近有关四元数矩阵的行列运算理论得到了发展。

在该理论下，Moore-Penrose广义逆的行列式表示通过经典伴随矩阵算法得出，对于阶数较小的矩阵可以根据克莱默准则计算其行列式的值。

(根据克莱默准则，基于二乘法计算矩阵等式的情况同样被考虑。

在[15-17]中，作者得出一般矩阵，逆的行列式表示，和，并根据行列式理论，提出了四元数域下，Moore-Penrose广义逆和Drazin逆的求解方法。

但是在求这些值得过程中，这种方法借用了A的辅助矩阵。

在本文中，我们主要得出了关于Hermitian和一般矩阵的Drazin逆的行列式表示。

矩阵逆的公式摘要：1.矩阵逆的定义与重要性2.矩阵逆的计算方法3.矩阵逆的应用举例4.矩阵逆的性质与特点正文：一、矩阵逆的定义与重要性矩阵逆是线性代数中一个非常重要的概念，它对于解决线性方程组等问题有着至关重要的作用。

矩阵逆是指对于一个可逆矩阵A，存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I 是单位矩阵。

矩阵逆元素的求解，可以帮助我们更好地理解线性方程组的性质，从而解决实际问题。

二、矩阵逆的计算方法矩阵逆的计算方法有很多，其中最常用的是高斯消元法和求解线性方程组法。

1.高斯消元法：通过高斯消元法可以将一个矩阵化为行最简形式，从而求得矩阵的逆。

具体操作是将矩阵的每个元素都除以矩阵的第一行第一个元素，然后将矩阵的行进行交换，使得第一行变为单位矩阵，然后继续消元，直到矩阵变为行最简形式。

2.求解线性方程组法：假设有一个线性方程组Ax=B，其中A 是系数矩阵，x 是变量矩阵，B 是常数矩阵。

如果这个线性方程组有唯一解，那么系数矩阵A 的逆就可以通过求解这个线性方程组得到。

三、矩阵逆的应用举例矩阵逆在实际应用中有广泛的应用，下面举一个简单的例子来说明。

假设有一个线性方程组：2x+3y=7，5x-4y=8，我们可以通过求解这个线性方程组得到x 和y 的解，从而验证这个线性方程组是否有解。

通过矩阵逆的计算，我们可以得到矩阵的逆，然后将线性方程组转化为Ax=B 的形式，其中A 是系数矩阵，B 是常数矩阵，然后通过求解这个线性方程组，我们可以得到x 和y 的解，从而验证这个线性方程组是否有解。

四、矩阵逆的性质与特点矩阵逆具有以下几个重要的性质：1.矩阵逆只对可逆矩阵存在，对于不可逆矩阵，没有逆矩阵。

2.矩阵逆是唯一的，即对于一个可逆矩阵，其逆矩阵是唯一的。

3.矩阵逆的计算与求解线性方程组密切相关，可以通过求解线性方程组来计算矩阵的逆。

4.矩阵逆的计算方法有多种，包括高斯消元法、求解线性方程组法等。